Seletus Matemaatikas

Sisukord:

Seletus Matemaatikas
Seletus Matemaatikas

Video: Seletus Matemaatikas

Video: Seletus Matemaatikas
Video: Lühidalt seletatud: Matemaatika 2024, Märts
Anonim

See on fail Stanfordi filosoofia entsüklopeedia arhiivides.

Seletus matemaatikas

Esmakordselt avaldatud 6. aprillil 2008 pühapäeval

Matemaatiliste seletuste filosoofiline analüüs puudutab kahte erinevat, ehkki omavahel seotud uurimisvaldkonda. Esimeses valdkonnas käsitletakse küsimust, kas matemaatika võib mängida seletavat rolli loodus- ja sotsiaalteadustes. Teine käsitleb probleemi, kas matemaatilised seletused esinevad matemaatikas endas. Sellest tulenevalt vaadeldakse selles sissekandes mõlema valdkonna kaastööd, see näitab nende olulisust filosoofia ja teaduse ajaloos, väljendab nende seost ja osutab filosoofilistele tasudele, mida on oodata, kui süvendame oma arusaamist teemast.

  • 1. Matemaatilised seletused loodusteadustes
  • 2. Matemaatika seletav roll loodusteadustes: mõned ajaloolised märkused
  • 3. Matemaatiliste seletuste filosoofiline tähtsus teaduses

    • 3.1 Matemaatika, modelleerimine ja idealiseerimine
    • 3.2 Asendamatuse argumendid
  • 4. Matemaatilised seletused matemaatikas
  • 5. Matemaatilised selgitused: mõned ajaloolised märkused
  • 6. Kaks mudelit matemaatiliseks selgitamiseks: Steiner ja Kitcher

    • 6.1 Kohalik seletusmudel: Steiner
    • 6.2 Selgituse terviklik mudel: Kitcher
  • 7. Järeldus
  • Bibliograafia
  • Muud Interneti-ressursid
  • Seotud kirjed

1. Matemaatilised seletused loodusteadustes

Matemaatikal on keskne roll meie teaduslikus pildis maailmast. See, kuidas tuleb arvestada matemaatika ja maailma vahelist seost, on endiselt üks kõige keerulisemaid probleeme teadusfilosoofias, matemaatikafilosoofias ja üldfilosoofias. Selle probleemi väga oluline aspekt on see, et matemaatika näib seletava rolli arvestamist füüsiliste nähtuste arvel. Vaatleme järgmist näidet evolutsioonibioloogiast, mida mainiti Lyonis ja Colyvanis 2007. Miks on tarude-mesilaste kärgstruktuurid kuusnurkse struktuuriga? Küsimuse olemus on vastandlik: miks kuusnurkne, mitte näiteks mõni muu hulknurkne kuju või nende kombinatsioon? Osa selgitust sõltub evolutsioonilistest faktidest. Mesilastel, kes kasutavad vähem vaha ja kulutavad seega vähem energiat, on suurem tõenäosus, et neid valitakse. Selgituse lõpetuseks osutatakse, et "mis tahes tasapinna jagunemisel võrdse pindalaga piirkondadele on perimeeter vähemalt tavalise kuusnurkse kärgstruktuuri plaatimisega". Seega on kuusnurkne plaatimine tasapinna võrdseteks aladeks jagamise ja perimeetri minimeerimise osas optimaalne. Seda "kärgstruktuuri oletusena" tuntud fakti tõestati hiljuti Hales 2001. Bioloogilise fakti selgitus näib sõltuvat põhiliselt matemaatilisest faktist. Näib, et bioloogilise fakti selgitamine sõltub põhiliselt matemaatilisest faktist. Näib, et bioloogilise fakti selgitamine sõltub põhiliselt matemaatilisest faktist.

Veel ühte evolutsioonibioloogia näidet on arutatud Bakeris 2005. See on seotud niinimetatud perioodilise tsikaadi elutsükliga. Selgub, et selliste liikide kolmel liigil on sama ebaharilik elutsükkel. Igas liigis püsib nümfaalstaadium mullas pikema aja vältel, siis ilmneb täiskasvanud cicada 13 või 17 aasta pärast, sõltuvalt geograafilisest piirkonnast. Veelgi hämmastavamalt sünkroniseerub see ilmnemine mis tahes piirkonnas asuvate tsikaadiliikide liikmete vahel. Kõik täiskasvanud kerkivad esile sama päeva jooksul, paarituvad, surevad mõni nädal hiljem ja tsükkel kordub.” (2005, 229). Selle konkreetse elutsükli tüübi kohta on tõstatatud mitu küsimust, kuid üks neist on põhjus, miks sellised perioodid on esmatähtsad. Üks seletus apelleerib bioloogilisele väitele, et tsikaadidel, mis minimeerivad ristumist teiste tsikaadide ja kiskjate elutsüklitega, on evolutsiooniline eelis nende ees, kellel seda pole. Selgituse matemaatiline komponent täiendab bioloogilist väidet, osutades, et algperioodid minimeerivad ristmikku.

Üks huvitav erinevus kahe näite vahel on see, et esimene apelleerib geomeetrilisele teoreemile, teine aga aritmeetilisele teoreemile. See näitab, et erinevad matemaatikavaldkonnad võivad teaduslikele selgitustele kaasa aidata, potentsiaalselt erineval viisil.

Kui liigume füüsika juurde, on selgituse matemaatiliste ja füüsikaliste komponentide eristamine veelgi keerulisem - arvestades õppeaine väga matemaatikat. Vaatleme järgmist näidet. Märgistage tennisereketi näod tähega R (kare) ja S (sile). Hoidke tennisereket horisontaalselt käepidemest nii, et nägu S oleks ülespoole. Olgu y peamine telg. See on käepidemega risti asetsev vertikaalne telg, mis läbib raketi massi keskpunkti. Viska reket ümber, üritades selle pöörata ümber y-telje. Pange rekett pärast täielikku pööramist käepidemest kinni. Üllatav tähelepanek on see, et R-nägu on peaaegu alati püsti (võiks eeldada, et S on üleval). Teisisõnu: reket teeb käepidemest poole keerdu. Selle nähtuse kohta selgitati ajakirjas Ashbaugh, Chicone ja Cushman 1991. Nad ütlevad: „Selles töös selgitame keerdumist tennisereketi liikumisruumi [diferentsiaal] võrrandite analüüsiga kosmoses… Meie keerdkäsitlus on jagatud kaheks osaks. Esimeses osas tõestame kahte teoreemi, mis näitavad, et käepide liigub peaaegu tasapinnas ja pöörleb peaaegu ühtlaselt … Teises osas arutleme, kuidas käepideme keerdumine ja pöörlemine on seotud”(Ashbaugh jt 1991, 68). Pole kahtlust, et me selgitame füüsilist korrapärasust, kuid matemaatika siseneb siia nii nähtuse modelleerimisel kui ka selgitavas kontos pöörleva tennisereketi klassikalise dünaamika abil.„Selles töös selgitame keerdumist tennisereketi liikumisruumide [diferentsiaal] võrrandite analüüsi abil kosmoses. Meie keerdkäsitlus jaguneb kaheks osaks. Esimeses osas tõestame kahte teoreemi, mis näitavad, et käepide liigub peaaegu tasapinnas ja pöörleb peaaegu ühtlaselt … Teises osas arutleme, kuidas käepideme keerdumine ja pöörlemine on seotud”(Ashbaugh jt 1991, 68). Pole kahtlust, et selgitame füüsilist korrapärasust, kuid matemaatika siseneb siia nii nähtuse modelleerimisel kui ka seletuskontodel pöörleva tennisereketi klassikalise dünaamika abil.„Selles töös selgitame keerdumist tennisereketi liikumisruumide [diferentsiaal] võrrandite analüüsi abil kosmoses. Meie keerdkäsitlus jaguneb kaheks osaks. Esimeses osas tõestame kahte teoreemi, mis näitavad, et käepide liigub peaaegu tasapinnas ja pöörleb peaaegu ühtlaselt … Teises osas arutleme, kuidas käepideme keerdumine ja pöörlemine on seotud”(Ashbaugh jt 1991, 68). Pole kahtlust, et me selgitame füüsilist korrapärasust, kuid matemaatika siseneb siia nii nähtuse modelleerimisel kui ka selgitavas kontos pöörleva tennisereketi klassikalise dünaamika abil. Esimeses osas tõestame kahte teoreemi, mis näitavad, et käepide liigub peaaegu tasapinnas ja pöörleb peaaegu ühtlaselt … Teises osas arutleme, kuidas käepideme keerdumine ja pöörlemine on seotud”(Ashbaugh jt 1991, 68). Pole kahtlust, et selgitame füüsilist korrapärasust, kuid matemaatika siseneb siia nii nähtuse modelleerimisel kui ka seletuskontodel pöörleva tennisereketi klassikalise dünaamika abil. Esimeses osas tõestame kahte teoreemi, mis näitavad, et käepide liigub peaaegu tasapinnas ja pöörleb peaaegu ühtlaselt … Teises osas arutleme, kuidas käepideme keerdumine ja pöörlemine on seotud”(Ashbaugh jt 1991, 68). Pole kahtlust, et selgitame füüsilist korrapärasust, kuid matemaatika siseneb siia nii nähtuse modelleerimisel kui ka seletuskontodel pöörleva tennisereketi klassikalise dünaamika abil.

Veel ühe lihtsa näite, kus geomeetriline fakt näib olevat palju selgitavat, on pakkunud Peter Lipton:

Näib, et on ka füüsilisi seletusi, mis pole põhjuslikud. Oletame, et hunnik pulgakesi paisatakse õhku suure keerutusega, nii et need keerlevad ja kukuvad maha kukkudes. Külmutame stseeni, kuna pulgad on vabalanguses ja leiame, et neist on märgatavalt rohkem horisontaalse kui vertikaalse orientatsiooni lähedal. Miks on see? Põhjus on selles, et kepil on rohkem võimalusi horisontaalseks kui vertikaali lähedale. Selle nägemiseks kaaluge ühte kindla fikseeritud keskpunktiga pulka. Sellel pulgal võib olla palju horisontaalseid võimalusi (keerutage seda horisontaaltasapinnas), kuid ainult kahel viisil võib see olla vertikaalne (üles või alla). See asümmeetria püsib horisontaalse ja vertikaalse asendi lähedal, nagu näete, kui mõtlete kogu kepi poolt välja tõmmatud kestale, kuna see võtab kõik võimalikud orientatsioonid. See on ilus selgitus tikkude füüsilisele jaotusele, kuid see, mis selgitusi teeb, on üldiselt geomeetrilised faktid, mis ei saa olla põhjused. (Lipton 2004, 9-10)

Liptoni näite kirjeldus osutab ühele põhjusele, miks filosoofid sellistest seletustest eriti huvitatud on, sest need näivad olevat vastuargumendid väitele, et loodusõpetuse kõik seletused peavad olema põhjuslikud.

Olles tuvastanud, et matemaatika näib mängivat olulist rolli loodusteaduste seletuste andmisel, liigume nüüd mõne ajaloolise märkuse juurde, kuidas see probleem on tekkinud filosoofia ja teaduse ajaloos.

2. Matemaatika seletav roll loodusteadustes: mõned ajaloolised märkused

Kas matemaatika aitab selgitada füüsilist maailma või takistab see tegelikult füüsiliste mehhanismide mõistmist, mis selgitavad loodusnähtuste toimimise viise ja miks? Siin pole võimalik seda teemat täielikult keerukalt käsitleda, kuid mõned märkused aitavad lugejal hinnata küsimuse ajaloolist tähtsust.

Aristoteles kirjeldab oma positsioonianalüüsis oma teaduslike teadmiste ideaali muu hulgas põhjuse teadmise kaudu:

Eeldame, et omame asja kohta kvalifitseerimata teaduslikke teadmisi, mitte aga seda, et teame seda juhuslikult, nagu sofist teab, kui arvame, et teame põhjust, millest fakt sõltub, ja mis pole muu ja lisaks, et fakt ei saanud olla midagi muud kui see on. (BWA, 111, Post. An. I.1, 71b 5-10)

Vaatlusalused põhjused [aitia] on neli aristotellist põhjust: formaalsed, materiaalsed, tõhusad ja lõplikud. Tänapäeval eelistavad Aristotelese tõlkijad ja kommentaatorid tõlkida aitiat kui „seletust”, nii et nelja põhjuse teooriast saab aru nelja tüüpi seletuste kohta. Näiteks siin on Barnesi tõlge varem tsiteeritud lõigust: „Me arvame, et mõistame asja lihtsustavat (ja mitte juhuslikult) keerulist moodust, kui arvame, et teame mõlemad, et seletus, milleks objekt on, on selle seletus, ja et see pole võimalik teisiti. " (Aristoteles CWA, 115, Post. An. I.1, 71b 5-10)

Aga kuidas saada teadmisi? Teadmised saadakse tutvustamise kaudu. Kuid mitte kõik loogiliselt veenvad tõendid ei paku meile sellist laadi demonstratsiooni, mis annab teaduslikke teadmisi. Teaduslikus demonstratsioonis "eeldused peavad olema tõesed, esmased, vahetud, paremini teada ja enne järelduste tegemist, mis on nendega seoses põhjustega veelgi seotud". (BWA, 112, Post. An. I.1, 71b 20-25) Barnesi tõlkes: “Kui siis on mõistmine selline, nagu me eeldasime, siis on demonstratiivsel mõistmisel vaja eelkõige sõltuda tõest ja primitiivne, vahetu ja tuttavam kui järeldusele eelnev ja järeldusi selgitav”(Aristoteles CWA, 115, Post. An. I.1, 71b 20-25).

Sellest lähtuvalt eristas Aristoteles “Posterior Analytics” jaotises I.13 “fakti” ja “põhjendatud fakti” demonstreerimise. Ehkki mõlemad on loogiliselt kindlad, peegeldavad ainult viimased uuritavate nähtuste põhjuslikku struktuuri ja pakuvad meile seega teadmisi. Me võime neid nimetada meeleavaldusteks, mis ei ole seletavad.

Aristotelese süsteemis ei olnud füüsika matemaatiseeritud, ehkki põhjuslikud põhjendused olid sellele kohased. Aristoteles arutas siiski põhjalikult ka niinimetatud segatud teadusi, nagu optika, harmoonilised ja mehaanika, iseloomustades neid kui "matemaatiliste teaduste füüsilisemat". Nende segatud teaduste ja puhta matemaatika valdkondade vahel on alluvuse seos. Näiteks harmoonikud on allutatud aritmeetikale ja optika geomeetriale. Aristoteles ei kahtle selles, et füüsikalistele nähtustele on matemaatilisi seletusi:

Sest siin peab empiiriline teadlane teadma fakti ja matemaatik teadma põhjuse, miks; viimaste jaoks on nende selgituste demonstreerimine ja sageli ei tea nad seda tõsiasja, just nagu need, kes peavad universaalseks, ei tea sageli vaatluse puudumise tõttu mõnda detaili. (Aristoteles CWA, kd I, 128, post. An. I.13, 79a1-79a7)

Küsimus, kas matemaatika võiks loodusnähtustele seletusi anda, oli aga üks, milles eriarvamusi peeti. Kuna domeenid, milles matemaatikat rakendada sai, kasvasid, suurenes ka selle vastupanu. Üks pingeallikas seisnes katses ühildada puhta matemaatika aristotellist ettekujutust mateeriast ja liikumisest abstraktselt sellega, et nii füüsika (loodusfilosoofia) kui ka segateadused on loodusnähtuste suhtes üksteisega kursis ja sõltuvad seega ainest ja liikumisest.. Näiteks renessansiajas toimunud olulisel arutelul, mida tunti kui Quaestio de Certitudine Mathematicarum, keskenduti suures osas sellele, kas matemaatika võiks mängida Aristotelese poolt talle pandud seletavat rolli. Mõned väitsid, et põhjuslikkuse puudumine,matemaatika ei saanud olla loodusnähtuste selgitamisel seletuslüli (vt ka punkt 5).

Selleks ajaks, kui jõuame seitsmeteistkümnenda sajandini ja Newtoni füüsika revolutsioonini, ilmneb probleem uuesti seoses selgitus- ja arusaadavuskriteeriumite muutumisega. Seda on Y. Gingrase artiklis (2001) ilusti kirjeldatud. Gingras väidab, et “matemaatika kasutamine dünaamikas (erinevalt selle kasutamisest kinemaatikas) muutis mõiste“seletus”selle tähenduse, nagu seda kasutasid filosoofid seitsmeteistkümnendal sajandil” (385). Gingras kirjeldab muu hulgas seda, kuidas Newtoni ja tema järgijate pooldatud jõu matemaatiline käsitlemine - käsitlus, milles eirati mehhanisme, mis võiksid selgitada, miks ja kuidas see jõud töötas - sai XVIII sajandil aktsepteeritavaks seletusstandardiks. Olles viidanud seitsmeteistkümnenda ja kaheksateistkümnenda sajandi aruteludele gravitatsiooni mehaanilise seletuse kohta, märgib ta järgmist:

See episood näitab, et hindamiskriteeriumid, mida tuli pidada aktsepteeritavaks (antud juhul gravitatsiooni) seletuseks, nihkusid matemaatika poole ja eemaldusid mehaanilistest seletustest. Seistes silmitsi nähtuse matemaatilise formuleerimisega, millele mehaaniline seletus puudus, valisid üha enam näitlejaid esimest isegi selle hinnaga, et viimast ei leitud. See oli midagi uut. Terve seitsmeteistkümnenda sajandi ja enamiku kaheksateistkümnenda vältel tuleb füüsikalist nähtust "seletada", mille eesmärk oli anda selle tootmises füüsiline mehhanism …. Newtoni Principia avaldamine tähistab selle nihke algust, kus eelistati matemaatilisi selgitusi. mehaanilistele selgitustele, kui viimane ei vastanud arvutustele. (Gingras 2001, 398)

Nende seas, kes seadsid segadusele „füüsiliste seletuste” ja „matemaatiliste seletuste” vahel, oli jesuiit Louis Castel. M. Isaac Newtoni „Vrai système de physique générale de M. Isaac Newtonis” (Pariis, 1734) arutas ta Principia III raamatu XIII ettepanekut (Kepleri alade seaduse kohta). Ta möönis, et väide ühendas matemaatiliselt pöördvõrdelise ruutseaduse planeetide kursi elliptilisusega. Siiski vaidles ta vastu sellele, et „üks ei ole põhjus, mitte teise põhjus” (Castel 1734, 97) ja Newton ei ole esitanud füüsilisi, vaid ainult matemaatilisi seletusi. Tõepoolest, „füüsilised põhjused on vajalikud mehhanismi kaasamise põhjusteks. Newtonis seda tüüpi pole.” (Castel 1734, 121)

Huvitav oleks neid küsimusi uurida XIX ja XX sajandisse, kuid ilmselgelt pole siin midagi sellist teha. Pigem oli ülaltoodu eesmärk ette valmistada pinnas näitamiseks, kuidas tänapäevastes teadusfilosoofia aruteludes, kuhu me nüüd pöördume, selliste probleemidega silmitsi seisame.

3. Matemaatiliste seletuste filosoofiline tähtsus teaduses

On kaks peamist valdkonda, milles arutelu selle üle, kas matemaatika võiks looduses seletavat rolli mängida, paneb end tundma. Esimene puudutab teaduse modelleerimise ja idealiseerimise küsimusi. Teine puudutab nominalismi-platonismi arutelu.

3.1 Matemaatika, modelleerimine ja idealiseerimine

Hea lähtepunkt on siin Morrisoni raamat “Teaduste ühendamine” (2000). Raamatu üks peamisi teesid on see, et ühendamine ja selgitamine tõmbuvad sageli eri suundadesse ja lähevad lahku (vastupidiselt sellele, mida väidavad ühendamise teooriad). Üks sissejuhatuses käsitletud näide tuletab meile meelde Casteli vastuväiteid:

Teine näide on maapealsete ja taevataoliste nähtuste ühendamine Newtoni Principias. Ehkki seda mõjutab Cartesiuse mehhaanika, on Principia üks silmatorkavamaid jooni selle eemaldumine planeetide liikumiste selgitustest mehaaniliste põhjuste osas. Selle asemel tuuakse esile jõu matemaatiline vorm; Kepleri avastatud planeetide ellipsid on seletatud neid liikumisi tekitava jõu matemaatilise kirjeldusega. Muidugi selgitab gravitatsioonilise külgetõmbe pöördvõrdeline seadus, miks planeedid liiguvad nii, nagu nad seda teevad, kuid pole selgitust selle kohta, kuidas see gravitatsioonijõud kehadele mõjub (kuidas seda veetakse), ega selle põhjuslikkusest ole mingit aru omadused. (Morrison 2000, 4)

Kasutades mitmeid juhtumianalüüse (Maxwelli elektromagnetism, elektrilülituse ühendamine jne), väidab Morrison, et ühendamisel osalevad matemaatilised struktuurid pakuvad „sageli vähe või üldse mitte teoreetilist seletust ühtse teooria füüsikalisele dünaamikale” (Morrison 2000, 4). Lühidalt, matemaatiline formalism hõlbustab ühendamist, kuid ei aita meil selgitada füüsiliste nähtuste toimimise viise ja miks.

Seevastu Batterman analüüsib filmis “Kurat detailides” (2002) laia seletuste klassi - asümptootilisi seletusi -, mis sõltuvad suuresti matemaatikast. „Asümptootiline mõttekäik - piiride võtmine lihtsustamise vahendina ja nende piiride olemuse uurimine - on matemaatiku tööriistakastis peamine idealiseerimisviis” (Batterman 2002, 132). Nendes meetodites ignoreeritakse paljusid analüüsitava nähtuse osasid, isegi põhjuslikku laadi üksikasju. Kuid hoolimata sellest, ei jõua selle tulemusel nähtuste õigete selgitusteni. Tegelikult on asümptootiliste analüüsidega nii sageli füüsilise ülevaate saamine põhjus, et need valgustavad nähtuse ja selle juhtvõrrandite struktuuriliselt stabiilseid aspekte. (Batterman 2000, 59)

Seega näeme, et matemaatika seletava rolli probleem looduses on tihedalt seotud loodusteaduste modelleerimise ja idealiseerimise probleemidega. Sellest omakorda aru saamine, kuidas modelleerimine ja idealiseerimine toimivad, on lahutamatu osa küsimuses, kuidas matemaatika haakub reaalsusega, st ülevaade matemaatika rakendatavusest reaalsuses (vt Shapiro 2000, 35 ja 217).

3.2 Asendamatuse argumendid

Kui punktis 3a käsitletud teemad mõjutavad teaduse metoodikat, siis seoses matemaatikafilosoofia nominaalsuse-platonismi aruteluga on esile kerkinud teistsugune probleemide kogum. Suur osa selle valdkonna arutelust on keskendunud niinimetatud hädavajalikkuse argumentidele. Pakutavaid argumente on tegelikult mitmesuguseid (vt Colyvan 2001), kuid argumendi üldine ülesehitus on järgmine. Üks algab eeldusest, et matemaatika on meie parima teaduse jaoks hädavajalik. Kuid teiseks eelduseks peaksime uskuma oma parimaid teooriaid. Seega peaksime olema pühendunud sellistele üksustele, mille kvantifitseerivad meie parimad teooriad. Üldiselt on see argument platonismi kasuks, kuna meie parim teadus kvantitatiivselt väljendab matemaatilisi üksusi.

Argumenti on võimalik blokeerida mitmel viisil. Meie aruteluga seotud põhijoon on siiski järgmine. Asendamatuse argumendi mitmed versioonid tuginevad teaduslike teooriate terviklikule kontseptsioonile, mille kohaselt teooria ontoloogiline pühendumus määratakse kõigi teooriaga kaasnevate eksistentsiaalsete väidete vaatlemisel. Siiski ei pöörata tähelepanu sellele, kuidas teooria erinevad osad võivad vastutada erinevate positsioonide eest ja erinevatele rollidele, mida see võib mängida. Baker 2005 pakub asendamatuse argumendi versiooni, mis ei sõltu holismist. Baker alustab arutelust Colyvani (2001, 2002) ja Melia (2000,2002), mis nägi, et mõlemad autorid nõustusid, et hädavajalikkuse argumendi platonistliku eduka kasutamise väljavaated toetuvad teadusliku praktika näidetele, kus matemaatiliste objektide postuleerimine põhjustab nende teoreetiliste vooruste suurenemise, mida pakuvad teoreetiliste üksuste postuleerimine. Mõlemad autorid nõustuvad, et selliste teoreetiliste vooruste hulgas on seletav jõud. Baker usub, et sellised seletused on olemas, kuid väidab ka, et Colyvan 2001 esitatud juhtumid ei ole tõelised füüsikaliste nähtuste matemaatiliste seletuste juhtumid. Suurem osa tema artiklist on pühendatud evolutsioonibioloogia konkreetsele juhtumianalüüsile nn perioodilise tsikaadi elutsükli kohta, mida kirjeldati 1. osas. Tuletame meelde, et huvipakkuv küsimus oli selles, miks selliste tsikaadide elutsükliperioodid on algarvud ja et vastus viitas evolutsioonifaktidele ja algarvude matemaatilistele omadustele. Pärast selgituse rekonstrueerimist järeldab Baker järgmist:

Selgituses kasutatakse konkreetseid ökoloogilisi fakte, üldisi bioloogilisi seadusi ja numbriteoreetilist tulemust. Minu väide on, et puhtalt matemaatiline komponent [algperioodid minimeerivad ristumiskohta (võrreldes mittetähtsate perioodidega)] on nii üldise selgituse jaoks olulised kui ka iseenesest tõeliselt selgitavad. Täpsemalt selgitab see, miks algperioodid on sellisel juhul evolutsiooniliselt soodsad. (2005, 233)

Sellised seletused annavad hädavajalikkuse argumendile uue keerdu. Argument on nüüd järgmine.

  1. Empiiriliste nähtuste kohta on olemas tõeliselt matemaatilised seletused
  2. Peaksime olema pühendunud selliste seletuste eeldatavatele teoreetilistele seisukohtadele; seega
  3. Me peaksime olema pühendunud üksustele, mida postitab kõnealune matemaatika.

Argument pole jäänud vaidlustamata. Tõepoolest, Leng 2005 proovib järeldusele vastu seista, blokeerides eelduse b). Ta nõustub punktiga a, kuid seab kahtluse alla väite, et matemaatika roll seob selliseid seletusi meid positsioonide tegeliku olemasoluga (erinevalt väljamõeldud). Ta väidab, et see antakse siis, kui mõistetakse, et nii Colyvan kui ka Baker järeldavad matemaatilise seletuse olemasolust õigusvastaselt, et seletuse aluseks olevad väited on tõesed. Ta väidab, et matemaatilistel seletustel ei pea olema tõeseid seletusi ja järelikult ei pea selliste seletuste põhjustatud objekte olema. Veel ühe väljakutse on tõstatanud Bangu 2008,kes väidab, et matemaatiline keel on vajaliku küsimuse sõnastamisel esmatähtis (“miks on elutsükli periood peamine?”) ja seega tekitab see argument küsimuse nominaalist. Numbrite olemasolu ja numbrite omadused eeldatakse juba väite “elutsükli periood on peamine” aktsepteerimisel. Sarnase vastuväite mis tahes katsetele kasutada füüsikas matemaatilisi seletusi selgituses sisalduvate matemaatiliste üksuste olemasolu järeldamiseks oli juba 1978. aastal tõstatanud Steiner, kes loobus sellistest argumentidest tähelepanekuga, et selgitust vajavat ei saa isegi kirjeldada ilma matemaatilist keelt kasutamata. Seega ei saanud empiiriliste nähtuste matemaatiliste seletuste olemasolu järeldada matemaatiliste üksuste olemasolu järeldamisest,sest selle olemasolu eeldati seletatava fakti kirjelduses. Tõepoolest, ta toetas Quine'ilt ja Goodmanilt pärit argumentatsiooni, mille kohaselt "me ei saa ilma numbriteta öelda, milline oleks maailm, sest mis tahes mõeldava kogemuse kirjeldamine (välja arvatud täielik tühjus) eeldab nende olemasolu". (1978b, 20)

Nominalistlik Väli pidas asendamatuse argumendi modifitseeritud versioone, mis rõhutas matemaatika asendamatuse olulisust teaduse selgitamiseks, väljakutseks selliste argumentide platonistlikule kasutamisele. Field (1989, 14-20) aktsepteerib sedalaadi järeldustes parimat selgitust, kuid ta väitis (Field 1980), et platonistliku matemaatika võiks asendada nominaalselt vastuvõetava teooriaga, mis oli piisav klassikalise mehaanika arendamiseks. Lisaks oleks nominaalse asendamise eeliseks ka füüsiliste nähtuste “sisemiste” selgituste andmine. See tõi kaasa palju arutelusid selle üle, kui kaugele Fieldi programmi suudeti lükata. Malament 1982 oli väitnud, et Hamiltoni mehaanikas faasiruumiteooriate nomineerimise takistused näivad olevat ületamatud. Lyon ja Colyvan (2007) lähevad Malamendi väitest kaugemale, väites, et isegi kui faasiruumiteooriate nominaalne rekonstrueerimine oleks olemas, peaks nominalist ikkagi näitama, et selline rekonstrueerimine võib anda seoseid, mis on antud mitte-nominalistlikele versioonidele. Nad usuvad, et nominalist ebaõnnestub selle ülesande täitmisel ja teevad oma väitekirja jaoks usaldusväärse juhtumi, esitades Hénon-Heilesi süsteemina tuntud füüsilise süsteemi juhtumianalüüsi. Süsteem kirjeldab tähe liikumist galaktikakeskuse ümber. Nende väide on, et süsteemi faasiruumi analüüs annab seletusi, mida ükski nominaalne rekonstrueerimine ei anna. Nende artikli lõpusLyon ja Colyvan vaatavad läbi ka mõned võimalikud liigutused, mida nominalist vastuseks võib teha. Üks selline samm eitaks seda, et matemaatilistel seletustel on mingisugune mõju füüsilistele seletustele ja et on vaja mõnda sillapõhimõtet, mis seovad matemaatika füüsilise süsteemiga. Nad vastavad:

Meie vastus sellele on nõus, et selleks, et matemaatiline seletus oleks empiiriliste faktide seletus, on vaja mõnda sobivat sillapõhimõtet. Kuid see ei tähenda, et matemaatiline seletus piirduks puhta matemaatikaga. Jah, sillapõhimõtete nimel tuleb teha palju tööd, et matemaatilised seletused oleksid füüsiliste faktide seletused, ja nende sillapõhimõtete olemuse ja piisavuse kohta tuleb palju öelda, kuid see teeb siiski mitte vähendama kõnealuse matemaatilise seletuse tähtsust. Vaatlusalused sildprintsiibid on tõepoolest füüsikaliste süsteemide ja matemaatiliste struktuuride vastendamine, ja need on ka ise matemaatilised üksused (st kaardistamised). Kui nominalist loodab olukorda leevendada, lastes sillapõhimõtetel osa selgitavat koormust kanda, näib see edasiliikumiseks vilets viis. (lk 15)

Lyon ja Colyvan kinnitavad, et kuigi empiiriliste faktide matemaatilistes selgitustes nõutakse selliseid sillapõhimõtteid, ei näi nad „teevat muud kui lubavad matemaatiliste seletuste edastamist empiirilistesse valdkondadesse“(lk 15).

Seega näib, et teaduse seletuste nõuetekohane arvessevõtmine nõuab puhta matemaatika matemaatiliste seletuste analüüsi. Tõepoolest, see oli ka peamine intuitsioon Steineri 1978. aasta teaduse matemaatiliste seletuste kohta teaduses, mille keskne mõte oli, et füüsikalise fakti matemaatiline seletus on see, mille puhul füüsika eemaldamisel see, mis meile alles on, on matemaatiline seletus. matemaatilise fakti kohta. Steiner ise oli esitanud ülevaate matemaatiliste faktide matemaatilistest seletustest aastal 1978a. Arutame seda 6. jaotises matemaatika seletuste käsitlemise kontekstis, mille poole me nüüd pöördume.

4. Matemaatilised seletused matemaatikas

Paljusid matemaatilisi tegevusi juhivad muud põhjused kui õigustavad eesmärgid, näiteks matemaatilise fakti tõesuse tuvastamine. Paljudel juhtudel loetakse ebarahuldavaks teadmine, et midagi on nii, ja see viib matemaatikuteni olukorra edasist uurimist, et otsida faktidest paremaid selgitusi. See võib toimuda kujul, et tuua vaid mõned näited, pakkuda tuntud tulemuste jaoks alternatiivseid tõendusmaterjale, anda ülevaade üllatuslike analoogiate kohta või kogu matemaatika valdkond uuesti sõnastada uutel alustel rahuldavama "selgitava" ülevaate saamiseks. piirkonnas. Selliste selgitavate tegevuste mitmekesisuse fenomenoloogiat on osaliselt uuritud Sandborgis (1997, ptk 1) ja Hafner & Mancosu 2005 (vt ka Robinson 2000 tõendite kognitiivset analüüsi, rõhutades selgitavaid tegureid).

Mõelge näiteks tõelise algebralise geomeetri Brumfieli juhtumile. Brumfiel vastandas oma raamatus „Osaliselt tellitud rõngad ja osaliselt algebraline geomeetria” (1979) erinevatele meetoditele tõeste suletud väljade teoreemide tõestamiseks. Üks neist tugineb otsustusprotseduurile reaalsete suletud väljade teooria teatavaks aksiomatiziseerimiseks. Selle meetodi abil saab leida elementaarseid tõestusi lausete kohta, mis on formuleeritud selle teooria keeles - vähemalt põhimõtteliselt, kuna nagu Brumfiel märgib: "selle elementaarse tõestuse väljatöötamine võib kindlasti olla väga tüütu, kui mitte füüsiliselt võimatu" () 166)

Teine tõestusmeetod seisneb nn ülekandepõhimõtte kasutamises, mis võimaldab tuletada lause tõesust kõigi tegelike suletud väljade kohta tõesusest ühes tõelises suletud väljaga, st reaalarvudega. Hoolimata asjaolust, et ülekandepõhimõte on väga tõhus vahend, ei kasuta Brumfiel seda eriti hästi ja ta on selles väga selge.

Selles raamatus keeldume absoluutselt ja ühemõtteliselt tõendite esitamisest selle teise tüübi kohta. Iga tulemus on tõeselt tõestatud kõigi päris suletud väljade puhul. Meie filosoofiline vastuväide transtsendentaalsetele tõenditele on see, et nad võivad tulemust loogiliselt tõestada, kuid nad ei selgita seda, välja arvatud reaalarvude erijuhtum. (Brumfiel 1979, 166)

Brumfiel eelistab kolmandat tõestusmeetodit, mille eesmärk on anda mittetranstsendentaalsed tõendid puhtalt algebralise tulemuse kohta. See ei tähenda, et ta piirduks vaid elementaarsete meetoditega; ta kasutab küll tugevamaid tööriistu, kuid on ülioluline, et neid kohaldataks ühtlaselt kõigile tegelikele suletud väljadele.

Kuid selgitused matemaatikas ei tule ainult tõendite vormis. Mõnel juhul otsitakse selgitusi kogu distsipliini kontseptuaalse ümbersõnastamise korral. Sellistes olukordades annab peamine kontseptuaalne ümbersõnastamine ka uusi tõendusmaterjale, kuid uute tõendite seletatavus tuleneb kontseptuaalsest ümbersõnastamisest. See viib selgituse globaalsema (või tervikliku pildi) saamiseni kui see, mis põhineb keskendumisel üksikutele tõenditele. Mancosu 2001 kirjeldab üksikasjalikult sellist globaalset selgitava tegevuse juhtumit keeruka analüüsi põhjal; täiendavaid juhtumianalüüse vaata ka Kitcher 1984 ja Tappenden 2005.

5. Matemaatilised selgitused: mõned ajaloolised märkused

Kuna analüütilise filosoofia panus matemaatiliste seletuste uurimisse pärineb ainult Steinerilt 1978a, võib kahtlustada, et see teema oli Quineani teaduslike teooriate kontseptsiooni kõrvalprodukt (vt Resnik ja Kushner, 1987, 154). Kui matemaatika ja loodusõpetus paigutati samale alusele, sai võimalikuks mõlemas valdkonnas rakendada ühtset metoodikat. Seega oli mõistlik seletusi otsida nii matemaatikas kui loodusteadustes. See ajalooline rekonstrueerimine oleks siiski ekslik. Matemaatiliste faktide matemaatilised seletused on olnud Aristotelesest saadik osa filosoofilisest mõtisklusest. Oleme juba näinud, kuidas Aristoteles eristas demonstreerimist “fakti” ja “põhjendatud fakti” demonstratsioonidest. Mõlemad on loogiliselt ranged, kuid ainult viimased pakuvad nende tulemuste kohta selgitusi. Aristoteles väitis ka, et "põhjendatud fakti" demonstratsioonid leiavad aset matemaatikas. Jaotises 2 öeldu põhjal võib neid meeleavaldusi nimetada „selgitavateks“meeleavaldusteks. Aristotelese seisukoht seletuslike tõendite kohta matemaatikas seati kahtluse alla juba iidsetel aegadel. Proclus teatab sellest oma märkuses “Eukleidi elementide esimese raamatu kommentaar”. Ta teatab: “Paljud inimesed on arvanud, et geomeetria ei uuri põhjust, st ei esita küsimust“Miks?”(Proclus 1970, 158-159; Proclusest matemaatiliste seletuste kohta lähemalt vt Harari 2008). Proclus ise eristab Euclidi „Elementide”, nagu I.32, teatud väiteid, kuna need pole „põhjendatud fakti” demonstratsioonid. Euclid I32 väidab, et kolmnurga sisenurkade summa on võrdne kahe täisnurgaga. Kui demonstratsioon toimuks teadusliku sillogismi kaudu Aristoteleani tähenduses, siis peaks sillogismi keskpaik andma fakti põhjuse. Kuid Proclus väidab, et Euclid'i tõendusmaterjal ei vasta nendele Aristoteli piirangutele, kuna abijoonte ja välisnurkade küljes olemine ei ole põhjuslik:

Sellel tõendil, mida me leiame, on mõnikord demonstratsiooni omadused, kuna see suudab määratleda keskmõistena selle, mida taotletakse, ja see on demonstreerimise täiuslik vorm; kuid mõnikord üritatakse seda märkide abil tõestada. Seda punkti ei tohiks tähelepanuta jätta. Ehkki geomeetrilised väited tuletavad nende vajalikkuse alati uuritavast küsimusest, ei jõua nad tulemusteni alati demonstratiivsete meetodite abil. Näiteks kui [alates] tõsiasjast, et kolmnurga välisnurk on võrdne kahe vastaskülje sisenurgaga, näidatakse, et kolmnurga sisenurkade summa on võrdne kahe täisnurgaga, kuidas saab seda nimetada a meeleavaldus põhjuse põhjal? Kas keskmist terminit ei kasutata siin ainult märgina? Sest isegi kui välisnurka pole,sisenurgad on võrdsed kahe täisnurgaga; sest see on kolmnurk, isegi kui selle külg ei ole sirutatud. (Proclus 1970, 161-2)

Lisaks leidis Proclus ka, et vastuolulised tõendid ei olnud „põhjendatud fakti” demonstratsioonid. Proclus taasavastati renessansiajastuga eesmärgiga käivitada kaugeleulatuv arutelu matemaatiliste demonstratsioonide põhjuslikkuse üle, millele viidati eespool kui Quaestio de Certitudine Mathematicarum. Esimese laskmise tulistas Alessandro Piccolomini 1547. aastal. Piccolomini eesmärk oli desarmeerida traditsiooniline väide, mille kohaselt matemaatika saab oma kindluse aristoteleani mõistes „teaduslike demonstratsioonide“kasutamise tõttu (sellised tõendid olid tuntud kui „potissimae“) renessanssis). Kuna potissimae meeleavaldused pidid olema põhjuslikud, ründas Piccolomini väidet, väites, et matemaatilised demonstratsioonid pole põhjuslikud. See viis renessansi ja seitsmeteistkümnenda sajandi ühe huvitavama epistemoloogilise aruteluni. Need, kes eitavad matemaatiliste demonstratsioonide "põhjuslikkust" (Piccolomini, Pereyra, Gassendi jt), väitsid, esitades konkreetseid näiteid matemaatikapraktika demonstratsioonidest (tavaliselt Euclid'i elementidest), mida nende sõnul ei olnud võimalik aristoteeliuse mõttes põhjuslikeks põhjendusteks rekonstrueerida.. Seevastu need, kes loodavad matemaatiliselt taastada põhjusliku seose, näitasid, et väidetavaid vastanäiteid saab hõlpsasti mahutada "põhjuslike" meeleavalduste valdkonda (Clavius, Barrow jne). Ajaloolisi arenguid on üksikasjalikult kirjeldatud Mancosu 1996 ja Mancosu 2000. Olulisem on siinjuures hinnata seda, et põhiline intuitsioon - selgitavate ja mitteseletuslike demonstratsioonide vastandumine - oli pika ja eduka ajalooga ning mõjutas nii matemaatilisi kui ka filosoofilisi arenguid ka pärast seitsmeteistkümnendat sajandit. Näiteks Mancosu 1999 näitab, et XZ sajandi kaks peamist matemaatikafilosoofi Bolzano ja Cournot tõlgendavad matemaatikafilosoofia keskset probleemi, mis seisneb selgitavate ja mitte-seletatavate demonstratsioonide eristamise arvestamises. Bolzano puhul toimub see Grundi (maapind) ja Folge (tagajärg) teooria kujul. Kitcher 1975 luges esimesena Bolzanot matemaatiliste seletuste teooria toetajana. Cournot 'puhul on see selgelt määratletud vastuseisuga „ordre logique” ja „ordre rationnel” (vt Cournot 1851). Bolzano puhul viis analüüsi ja geomeetria osade rekonstrueerimise eesmärk, nii et ekspositsioon kasutaks ainult „selgitavaid” tõestusi, ka olulised matemaatilised tulemused, näiteks tema puhtanalüütiline tõend vaheväärtuse teoreemi kohta.

Selle lõigu lõpetuseks peaksime rõhutama ka seda, et matemaatikas on veel üks seletamise mõtlemise traditsioon, mis hõlmab ka Millit, Lakatost, Russelli ja Gödelit. Neid autoreid motiveerib ettekujutus matemaatikast (ja / või selle alustest) olemuselt hüpoteetiliselt deduktiivseks ja see viib nende tõlgendamiseni matemaatilise tegevuse analoogselt sellega, kuidas teaduses selgitavad hüpoteesid esinevad (vt lähemalt Mancosu 2001).

6. Kaks mudelit matemaatiliseks selgitamiseks: Steiner ja Kitcher

Jaos 4 toodi välja, et matemaatilises praktikas selgituste otsimise kaks peamist vormi esinevad sama tulemuse erinevate tõendite võrdlemise ja peamiste valdkondade kontseptuaalse uuesti sõnastamise tasandil. Need kaks seletustegevuse tüüpi põhjustavad seletuse kahte erinevat kontseptsiooni. Neid kontseptsioone võiks iseloomustada kui kohalikke ja globaalseid. Asi on selles, et esimesel juhul on seletavus peamiselt tõendite (kohalik) omadus, teises aga kogu teooria või raamistiku (globaalne) omadus ja tõestusi peetakse selgitavaks, kuna nad on raamistiku osa. Kuigi need kaks seletusliiki ei ammenda praktikas esinevaid matemaatilisi seletusi,Kohaliku ja globaalse vastandamine kajastab hästi peamist erinevust kahe olemasoleva matemaatilise selgituse - Steineri ja Kitcheri - vahel.

Enne nende arutamist tuleks samuti välja tuua, et võib arvata, et muud teadusliku seletuse mudelid laienevad ka matemaatilisele seletusele. Näiteks testib Sandborg (1997, 1998) van Fraasseni seletuskirja kui vastust miks-küsimustele, kasutades matemaatilisi seletusi.

6.1 Kohalik seletusmudel: Steiner

Steiner pakkus välja oma matemaatilise seletuse mudeli 1978.a. Oma matemaatika seletuslike tõendite väljatöötamisel arutab ta - ja lükkab tagasi - mitmeid algselt usutavaid selgituskriteeriume, näiteks tõendi (suurema astme) abstraktsus või üldisus, selle visuaalsus ja geneetiline külg, mis sellest tingiks tulemuse avastamiseni. Seevastu Steiner võtab kasutusele idee, et "üksuse käitumise selgitamiseks tuletatakse käitumine olemuse olemusest või olemusest" (Steiner 1978a, 143). Et vältida kurikuulsaid olemuse ja olulise (või vajaliku) omaduse mõistete määratlemisel esinevaid raskusi, mis pealegi ei tundu matemaatilistes oludes niikuinii kasulikud, kuna kõiki matemaatilisi tõdesid peetakse vajalikuks,Steiner tutvustab vara iseloomustamise kontseptsiooni. (Lubage mul mainida kõrvale, et Kit Fine eristab olulisi ja vajalikke omadusi ning võib-olla võiks seda erinevust selles kontekstis ära kasutada). Vara iseloomustamisel tähendab Steiner „omadust, mis on ainulaadne antud üksuse või struktuuri suhtes nende üksuste või struktuuride perekonnas või domeenis”, kus perekonna mõistet peetakse määratlemata. Seetõttu eristab selgitavat tõendit mitteelustavast tõendist seda, et ainult esimene hõlmab sellist iseloomustavat omadust. Steineri sõnul: "selgitav tõend viitab teoreemis nimetatud olemi või struktuuri iseloomustavale omadusele, nii et tõestusest on ilmne, et tulemus sõltub omadusest". Lisaksselgitav tõend on üldistatav järgmises tähenduses. Asjakohase tunnuse (ja seega ka teatud iseloomustava omaduse) muutmine sellises tõendis annab tulemuseks hulga vastavaid teoreeme, mis on tõestatud ja seletatavad algse tõestuse „deformatsioonide” massiivi. Seega jõuab Steiner selgitavate tõendite saamiseks kahe kriteeriumi juurde, st sõltuvus iseloomustavast omadusest ja üldistatavus selle omaduse varieerimise kaudu (Steiner 1978a, 144, 147).sõltuvus iseloomustavast omadusest ja üldistatavus selle omaduse varieerimise kaudu (Steiner 1978a, 144, 147).sõltuvus iseloomustavast omadusest ja üldistatavus selle omaduse varieerimise kaudu (Steiner 1978a, 144, 147).

Steineri mudelit kritiseeris Resnik & Kushner 1987, kes seadis kahtluse alla seletuslike ja mitteseletuslike tõendite absoluutse eristamise ja väitis, et selline eristamine võib olla ainult kontekstist sõltuv. Samuti pakkusid nad Steineri kaitstud kriteeriumidele vastunäiteid. Hafneri ja Mancosu 2005 väidetakse, et Resniku ja Kushneri kriitika ei ole Steineri jaoks piisav väljakutse, kuna nad tuginevad spetsiifiliste tõendite seletatavuse omistamisele, mis ei põhine praktiseerivate matemaatikute hinnangul, vaid tuginevad pigem autorite intuitsioonidele. Seevastu Hafner ja Mancosu ehitavad oma juhtumi Steineri vastu, kasutades reaalse analüüsi seletuse juhtumit, mida sellisena tunnustatakse matemaatikapraktikas, mis puudutab Kummeri lähenemiskriteeriumi tõestamist. Nad väidavad, et Steineri mudelis ei saa arvestada kõnealuse tulemuse tõestamise seletatavusega ja mis veelgi olulisem - see aitab kaasa mudeli erinevate kontseptuaalsete komponentide hoolikale ja üksikasjalikule uurimisele. Lisaks on Steineri konto edasine arutelu selle parendamiseks mõeldud väljaandes Weber & Verhoeven 2002.

6.2 Selgituse terviklik mudel: Kitcher

Kitcher on tuntud kaitsja teaduslikust seletusest kui teoreetilisest ühendamisest. Kitcher näeb oma vaatenurga üheks vooruseks seda, et seda saab rakendada ka matemaatikas seletuste suhtes, erinevalt teistest teadusliku seletuse teooriatest, mille kesksed mõisted, näiteks põhjuslikkus või loodusseadused, ei tundu matemaatikas asjakohased. Kitcher ei ole pühendanud ühtegi artiklit matemaatilisele seletusele ja seega saab tema positsiooni koguda vaid nende põhjal, mida ta ütleb matemaatika kohta oma suuremates teaduslikke seletusi käsitlevates artiklites. Oma hilisemas töös, näiteks Kitcher 1989, kasutab ta ühendamist ülima mudelina selgitamiseks nii loodusteadustes kui ka matemaatikas:

Tõsiasi, et ühendamise lähenemisviis pakub selgitusi ja selgitavaid asümmeetriaid matemaatikas, on selle tõestuseks. (Kitcher 1989, 437)

Kitcher väidab, et Hempeli katteseadusemudeli - loogilise positivismi ametliku seletusmudeli - taga oli seos mitteametliku mudeliga, mis nägi seletust ühendavana. Mida tuleks eeldada seletuskirjast? Kitcher tõi 1981. aastal välja kaks asja. Esiteks peaks seletusteooria kajastama seda, kuidas teadus edendab meie arusaamist maailmast. Teiseks peaks see aitama meid teaduse vaidluste hindamisel või lahendamisel. Ta väidab, et katteseaduse mudel ebaõnnestub mõlemal juhul ja ta soovitab, et tema ühendamiskonto oleks palju parem.

Kitcher leidis inspiratsiooni Friedmanist 1974. aastal, kus Friedman esitas idee, et teadus saavutab maailma mõistmise sellega, et vähendatakse nende faktide arvu, mida võtame jõhkraks:

see on teadusliku seletuse olemus - teadus suurendab meie arusaamist maailmast, vähendades iseseisvate nähtuste koguarvu, mida peame aktsepteerima ülima või antud kujul. Maailm, kus on vähem iseseisvaid nähtusi, on muud asjad võrdsed, arusaadavamad kui need, kus on rohkem. (Friedman 1974, 15)

Juba Friedman oli püüdnud seda intuitsiooni täpsustada, asendades nähtuste ja seaduste keelelised kirjeldused. Kitcher ei nõustu Friedmani ettepaneku konkreetsete üksikasjadega, kuid arvab, et üldine intuitsioon on õige. Ta muudab Friedmani ettepanekut, rõhutades, et ühendamise taga on selgituste andmisel kasutatavate argumendimallide arvu vähendamine, samal ajal kui see on seletatavate nähtuste arvu osas võimalikult ulatuslik:

Nähtuste mõistmine ei tähenda lihtsalt „fundamentaalsete arusaamatuste” vähendamist, vaid seoste, ühiste mustrite nägemist selles, mis algselt näis erinevates olukordades. Siin osutub ülioluliseks kontseptsiooni üleminek eelduste-järelduste paaridelt tuletustele. Teadus edendab meie looduse mõistmist, näidates meile, kuidas tuletada paljude nähtuste kirjeldusi, kasutades ikka ja jälle samu tuletusmustrid, ja seda demonstreerides õpetab ta meile, kuidas vähendada faktiliikide arvu, mida peame aktsepteerima. kui ülim (või jõhker). Nii et ühendamise kriteerium, mida püüan sõnastada, põhineb ideel, et E (K) on tuletiste kogum, mis annab parima kompromissi kasutatud tuletusmustrite arvu minimeerimise ja tekitatud järelduste arvu maksimeerimise vahel.(Kitcher 1989, lk.432)

Tehkem see natuke ametlikumaks. Alustame K-rühma uskumustega, mis eeldatakse olevat järjepidevad ja deduktiivselt suletud (mitteametlikult võib seda mõelda kui väidete kogumit, mille on kindla teadusringkonna poolt konkreetsel ajahetkel heaks kiidetud; Kitcher 1981, lk 75). K süstematiseerimine on mis tahes argumentide kogum, mis tuletab mõned laused K-s teistest K lausetest. Selgitav pood K, E (K) kohal on K parim süstematiseerimine (Kitcher teeb siin idealiseerimise, väites, et E (K) on ainulaadne). Erinevatele süsteemistustele vastavalt on meil erinevad ühendamisastmed. Suurim ühendamisaste on see, mille annab E (K). Kuid milliste kriteeriumide alusel saab süstematiseerimise parimaks pidada? Seal on kolm tegurit: mustrite arv,ühendamisest tulenevate mustrite ja tagajärgede kogumi rangus.

Me ei saa siin käsitleda Kitcheri mudeli tehnilisi üksikasju. Erinevalt Steineri matemaatilise seletuse mudelist pole Kitcheri matemaatilise seletuse kontot põhjalikult arutatud (vastupidiselt tema mudeli ulatuslikule arutlusele üldise teadusfilosoofia kontekstis). Üldine arutelu on kirjas Tappenden 2005, kuid mitte detailset analüüsi. Ainus erand on Hafner & Mancosu 2008, kus Kitcheri mudelit testiti Brumfieli juhtumi valguses tegeliku algebralise geomeetria põhjal, mida on kirjeldatud osas 4. Autorid väidavad, et Kitcheri mudel annab ennustusi seletatavuse kohta, mis lähevad matemaatikapraktikas konkreetsetele juhtumitele vastu.

7. Järeldus

Vaatamata nii loodusteaduste kui ka matemaatika matemaatiliste seletuste probleemi muljetavaldavale ajaloolisele sugupuule on selle valdkonna analüütilise filosoofia alane töö alles alanud.

Empiiriliste faktide matemaatilisi selgitusi ei ole piisavalt uuritud. Vajame hädasti üksikasjalikumaid juhtumianalüüse, et paremini mõista erinevaid seletavaid kasutusviise, mida matemaatika võib empiirilises kontekstis mängida. Filosoofilised tasud võivad tulla vähemalt kolmest erinevast suunast. Esiteks võib oodata tulemusi matemaatika rakendatavuse parema mõistmise suunas maailmas. Matemaatika "mõistliku tõhususe" mõistmine füüsilise maailma seaduste avastamisel ja arvestamisel (Wigner 1967, Steiner 1998 ja 2005) on tõepoolest lahendatav ainult siis, kui me mõistame, kuidas matemaatika aitab teaduslikul selgitamisel aidata. Teiseks, teaduslike faktide matemaatiliste seletuste uurimine on katse teaduslike seletuste teooriate jaoks,eriti need, kes eeldavad, et seletus loodusõpetuses on põhjuslik seletus. Kolmandaks, metafüüsilisel areenil võivad filosoofilised eelised ilmneda ka asendamatuse argumendi mitmesuguste vormide parema kasutamise kaudu. Kas mõni selline argument osutub edukaks, jääb üle vaadata, kuid arutelu toob filosoofilisi eeliseid, sundides näiteks nominaali võtma seisukoha selle kohta, kuidas ta suudab arvestada matemaatika selgitatavusega empiiriliste teaduste alal.näiteks peab nominalist võtma seisukoha selle kohta, kuidas ta saab aru saada matemaatika selgitatavusest empiiriliste teaduste alal.näiteks peab nominalist võtma seisukoha selle kohta, kuidas ta saab aru saada matemaatika selgitatavusest empiiriliste teaduste alal.

Ka matemaatiliste faktide matemaatilise selgituse korral peame hoolikalt analüüsima rohkem juhtumianalüüse, et saada paremini aru matemaatiliste seletuste variantidest. Varasemad matemaatilise seletuse teooriad kulgesid ülalt alla, st esmalt esitati üldine mudel, ilma et oleks vaja palju fenomenoloogiat kirjeldada matemaatilisest praktikast, mida teooria peaks arvestama. Hiljutised tööd on näidanud, et alt-üles jätkamine võib olla viljakam, see tähendab, et esiteks pakub hea juhtumianalüüsi proovi, enne kui pakub välja ühtse matemaatilise seletuse mudeli. Tõepoolest võib selline töö viia järelduseni, et matemaatilised seletused on heterogeensed ja et ükski teooria ei hõlma neid kõiki. Loodetakse, et matemaatilise selgitamisega seotud töö filosoofilised tasud tulevad järgmistest valdkondadest. Esiteks saab matemaatilise seletuse mudeleid kasutada teadusliku seletuse mudelite testimiseks. Teaduslike seletuste teooriate eesmärk on hõivata „teaduslikke” seletusi mis tahes teadmiste alal, mitte ainult loodusteaduste seletusi. Kui nad ei saa matemaatilisi seletusi, näitab see kõnealuste teooriate olulisi piiranguid. Teisest küljest, kui ükski selline teooria ei suuda ühe mudeli alusel hõlmata loodusteaduste matemaatilisi seletusi ja seletusi, osutab see olulistele erinevustele loodusteaduste ja matemaatika vahel. Teiseks, nagu meie ekspositsioonist selgus,teaduslike faktide matemaatiliste seletuste arvestamine nõuab suure tõenäosusega matemaatiliste faktide matemaatiliste seletuste arvestamist. Kolmandaks, „seletavus” on ainult üks voorus nende seas, mida matemaatika epistemoloogia, mis ei piirdu üksnes aksioomide õigustamise traditsiooniliste aruteludega, saab viljakalt uurida. Tõepoolest, on selge, et „seletus” on tihedalt seotud muude mõistetega, nagu „üldisus”, „visuaalsus”, „matemaatiline mõistmine”, „meetodite puhtus”, „kontseptuaalne viljakus” jne. Nende oluliste mõistete epistemoloogiline analüüs matemaatiline praktika ja nendevaheline seos on alles hiljuti tõsiseltvõetav olnud (hiljutise sellesuunalise töö kohta vaata köiteid Mancosu jt 2005 ja Mancosu 2008a). Kolmandaks, „seletavus” on ainult üks voorus nende seas, mida matemaatika epistemoloogia, mis ei piirdu üksnes aksioomide õigustamise traditsiooniliste aruteludega, saab viljakalt uurida. Tõepoolest, on selge, et „seletus” on tihedalt seotud muude mõistetega, nagu „üldisus”, „visuaalsus”, „matemaatiline mõistmine”, „meetodite puhtus”, „kontseptuaalne viljakus” jne. Nende oluliste mõistete epistemoloogiline analüüs matemaatiline praktika ja nendevaheline seos on alles hiljuti tõsiseltvõetav olnud (hiljutise sellesuunalise töö kohta vaata köiteid Mancosu jt 2005 ja Mancosu 2008a). Kolmandaks, „seletavus” on ainult üks voorus nende seas, mida matemaatika epistemoloogia, mis ei piirdu üksnes aksioomide õigustamise traditsiooniliste aruteludega, saab viljakalt uurida. Tõepoolest, on selge, et „seletus” on tihedalt seotud muude mõistetega, nagu „üldisus”, „visuaalsus”, „matemaatiline mõistmine”, „meetodite puhtus”, „kontseptuaalne viljakus” jne. Nende oluliste mõistete epistemoloogiline analüüs matemaatiline praktika ja nendevaheline seos on alles hiljuti tõsiseltvõetav olnud (hiljutise sellesuunalise töö kohta vaata köiteid Mancosu jt 2005 ja Mancosu 2008a).on selge, et "seletus" on tihedalt seotud muude mõistetega nagu "üldisus", "visuaalsus", "matemaatiline mõistmine", "meetodite puhtus", "kontseptuaalne viljakus" jne. Nende oluliste mõistete epistemoloogiline analüüs, mis annab teavet matemaatilise praktika kohta ja nendevaheline seos on alles hiljuti tõsiseltvõetav olnud (hiljutise sellesuunalise töö kohta vaata köiteid Mancosu jt 2005 ja Mancosu 2008a).on selge, et "seletus" on tihedalt seotud muude mõistetega nagu "üldisus", "visuaalsus", "matemaatiline mõistmine", "meetodite puhtus", "kontseptuaalne viljakus" jne. Nende oluliste mõistete epistemoloogiline analüüs, mis annab teavet matemaatilise praktika kohta ja nendevaheline seos on alles hiljuti tõsiseltvõetav olnud (hiljutise sellesuunalise töö kohta vaata köiteid Mancosu jt 2005 ja Mancosu 2008a).on alles hiljuti tõsiselt võetud (hiljutise sellesuunalise töö kohta vaata köiteid Mancosu jt 2005 ja Mancosu 2008a).on alles hiljuti tõsiselt võetud (hiljutise sellesuunalise töö kohta vaata köiteid Mancosu jt 2005 ja Mancosu 2008a).

Bibliograafia

  • Aristoteles, [BWA], 1941, Aristotelese põhiteosed, toim. autor R. McKeon, New York, Random House.
  • Aristoteles, [CWA], 1984, Aristotelese täielik töö, toim. autor J. Barnes, Princeton, Princeton University Press.
  • Asbaugh, MS, CC Chicone ja RH Cushman, 1991, “The twisting tennis reket”, Journal of Dynamics and Differentia Equations, vol. 3, n.1, 67-85.
  • Baker, A., 2005, “Kas on olemas füüsikaliste nähtuste ehtsaid matemaatilisi seletusi?”, Mind, 114, 223-238.
  • Bangu, SI, 2008, “Parima seletuse ja matemaatilise realismi järeldused”, Synthese, 160, 13-20.
  • Batterman, R., 2002, Kurat detailides. Asümptootiline põhjendus selgitamisel, vähendamisel ja tekkimisel, Oxford, Oxford University Press.
  • Brumfiel, G., 1979, osaliselt tellitud rõngad ja poolageraatiline geomeetria, Cambridge, Cambridge University Press.
  • Castel, L., 1734, Vrai Système de Physique Générale de M. Isaac Newton, Pariis.
  • Colyvan, M., 2001, Matemaatika hädavajalikkus, Oxford, Oxford University Press.
  • Colyvan, M., 2002, “Matemaatika ja esteetilised kaalutlused looduses”, Mind, 11, 69–78.
  • Cournot, A., 1851, Essai sur les fondements de nos connaissances philosophiques et sur le caractère de la kritico filosoofia, ajakirjas Oeuvres complètes, vol. II, toim. Autor JC Pariente (Pariis: Vrin 1981). Ingliskeelne tõlge: MH Moore, A. Cournot, Essee meie teadmiste alustest, The Liberal Arts Press, New York, 1956.
  • Field, H., 1980, Teadus ilma numbriteta: Nominalismi kaitse, Oxford, Blackwell.
  • Field, H., 1989, Realism, matemaatika ja moodus, Oxford, Blackwell.
  • Friedman, M., 1974, “Selgitamine ja teaduslik mõistmine”, The Journal of Philosophy, 71, 5–19.
  • Gingras, Y., 2001, “Mida tegi matemaatika füüsikaga?”, Science of Science, 39, 383-416.
  • Hales, T., 2001, “Kärgstruktuuri oletused”, Diskreetne ja arvutuslik geomeetria, 25, 1–22.
  • Hafner, J. ja P. Mancosu, 2005, “Matemaatilise seletuse variandid”, P. Mancosu et al., Toim., Matemaatika visuaal-, selgitus- ja põhjendusstiilid, Springer, 2005, 215–250.
  • Hafner, J. ja P. Mancosu, 2008, “Beyond Unification”, P. Mancosu, ed., Matemaatilise praktika filosoofia, Oxford University Press, Oxford, 2008.
  • Harari, O., 2008, “Proclus 'selgitav selgitus matemaatikas ja selle kontekstis“, ilmumas Archiv für Geschichte der Philosophie.
  • Kitcher, P., 1975, „Bolzano algebralise analüüsi ideaal”, uurimused ajaloos ja teadusfilosoofias, 6, 229–269.
  • Kitcher, P., 1981, “Selgitav ühendamine”, teadusfilosoofia, 48, 507–531.
  • Kitcher, P., 1984, The Mathematical Knowledge, Oxford, Oxford University Press.
  • Kitcher, P., 1989, “Selgitav ühendamine ja maailma põhjuslik struktuur”, P. Kitcher & W. Salmon, toim., Scientific Explanation, vol. XIII Minnesota teaduste filosoofiaõpingud, 1989, Minnesota Press, Minneapolis, 410-505.
  • Leng, M., 2005, “Matemaatiline seletus”, C. Cellucci ja D. Gillies, toim., Mathematical Reasoning and Heuristics, King's College Publications, London, 167–189.
  • Lipton, P., 2004, “Mis hea on seletus”, publikatsioonis J. Cornwell, ed., Selgitused. Seletusstiilid teaduses, OUP, 2004, 1–21.
  • Lyon, A. ja M. Colyvan, 2007, “Faasiruumide seletav jõud”, Philosophia Mathematica Advance Access, avaldatud veebis 8. augustil 2007, 1.-17.
  • Malament, D., 1982, “Ülevaade väljade teadusest numbriteta”, Journal of Philosophy, 79, 523–534.
  • Mancosu, P., 1996, matemaatika filosoofia ja matemaatiline praktika seitsmeteistkümnendal sajandil, Oxford, Oxford University Press.
  • Mancosu, P., 1999, “Bolzano ja Cournot on matemaatiline seletus”, Revue d'Histoire des Sciences, 52, 429-455
  • Mancosu, P., 2000, “On Mathematical Selection”, E. Grosholz ja H. Breger, toim., Matemaatiliste teadmiste kasv, Kluwer, 103–119
  • Mancosu, P., 2001, “Matemaatiline seletus: probleemid ja väljavaated”, Topoi 20, 97–117.
  • Mancosu, P., 2008a, toim., Matemaatilise praktika filosoofia, Oxford, Oxford University Press, 2008.
  • Mancosu, P., 2008b, “Matemaatiline seletus: miks see on oluline”, P. Mancosu, toim., Matemaatilise praktika filosoofia, Oxford, Oxford University Press, 2008.
  • Mancosu, P., K. Jørgensen ja S. Pedersen, toim, 2005, Matemaatika visualiseerimine, selgitamine ja põhjendamine, Springer.
  • Melia, J., 2000, “Weaseling Away the Asendamatuse Argument”, Mind, 109, 455-479.
  • Melia, J., 2002, “Response to Colyvan”, Mind, 111, 75-79.
  • Morrison, M., 2000, Ühendavad teaduslikud teooriad. Füüsikalised kontseptsioonid ja matemaatilised struktuurid, Cambridge, Cambridge University Press.
  • Proclus, 1970, kommentaar Eukleidi elementide esimese raamatu kohta, tõlkinud GR Morrow, Princeton, Princeton University Press.
  • Robinson, JA, 2000, “Proof = garantii + seletus”, S. Hölldobler, ed., Intellectics and Computational Logic, Kluwer, Dordrecht, 277-294.
  • Resnik, M., D. Kushner, 1987, “Seletamine, sõltumatus ja realism matemaatikas”, British Journal for the Philosophy of Science, 38, 141-158.
  • Sandborg, D., 1997, selgitus ja matemaatiline praktika, Ph. D. väitekiri, Pittsburghi ülikool.
  • Sandborg, D., 1998, “Matemaatiline seletus ja küsimuste teooria”, Briti ajakiri teaduse filosoofiale, 49, 603–624.
  • Shapiro, S., 2000, Mõeldes matemaatikast, Oxford, Oxford University Press.
  • Steiner, M., 1978a, “Matemaatiline seletus”, Filosoofilised uuringud, 34, 1978, 135-151.
  • Steiner, M., 1978b, “Matemaatika, seletused ja teaduslikud teadmised”, Nous, 12, 17–28.
  • Steiner, M., 1998, Matemaatika rakendatavus filosoofilise probleemina, Cambridge, Mass., Harvard University Press.
  • Steiner, M., 2005, “Matemaatika-rakendused ja rakendatavus”, S. Shapiro ed., Oxfordi matemaatika ja loogika filosoofia käsiraamat, Oxford, Oxford University Press, 625–650.
  • Tappenden, J., 2005, “Tõestusstiil ja mõistmine matemaatikas I: Visualiseerimine, ühendamine ja aksioomivalik”, P. Mancosu, K. Jørgensen ja S. Pedersen, toim., Visualization, Selection and Reasoning Styles in Mathematics, Springer, 2005, 147-214.
  • Weber, E. ja L. Verhoeven, “Selgitavad tõendid matemaatikas”, Logique et Analyze, 179–180, 2002 [ilmus 2004], 299–307.
  • Wigner, E., 1967, “Matemaatika põhjendamatu tõhusus loodusteadustes”, Symmetries and Reflections, Bloomington, Indiana University Press, 222–237.

Muud Interneti-ressursid

[Palun võtke soovitustega ühendust autoriga.]

Soovitatav: