Tõe Revideerimise Teooria

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-08-25 04:38

See on fail Stanfordi filosoofia entsüklopeedia arhiivides.

Tõe revideerimise teooria

Esmakordselt avaldatud reedel 15. detsembril 1995; sisuline redaktsioon reedel 28. juulil 2006

Mõelge järgmisele lausele:

(1) ei vasta tõele.

(1)

On juba ammu teada, et lause (1) tekitab paradoksi, nn valetaja paradoksi: tundub võimatu järjekindlalt väita, et (1) on tõsi, ja võimatu järjekindlalt väita, et (1) pole tõene. (Üksikasjalikuma teabe saamiseks lugege allpool 1. jagu.) Sellist paradoksi arvestades võib tõe mõiste või vähemalt tõenäosus anda tõest teaduslikult austatud ülevaade skeptiliselt. Alfred Tarski suureks saavutuseks oli näidata, kuidas anda - vaatamata sellele skepsisele - laias vormis formaliseeritud keelte tõele ametlikku määratlust. Tarski ei näidanud aga, kuidas anda tõele definitsioon keeltele (näiteks inglise keel), mis sisaldavad omaenda tõe predikaate. Ta arvas, et seda ei saa teha just valetaja paradoksi tõttu. Ta arvas, et iga keel, millel on oma tõepõhjendus, oleks ebajärjekindel, kui see vastaks tavapärase klassikalise loogika reeglitele ja suudaks osutada oma lausetele.

Arvestades tähenduse ja tõe tihedat seost, leitakse laialdaselt, et kõik keele L semantikad, st kõik L tähenduse teooriad on tihedalt seotud L tõesuse teooriaga: tõepoolest, tavaliselt leitakse, et midagi nagu Tarskiani tõeteooria L jaoks, on L semantika keskne osa. Seega ähvardab võimatus anda Tarski tõeteooriat keeltele, millel on oma tõesed predikaadid, projektile semantika andmine keeltele, millel on oma tõesed predikaadid.

Pidime ootama Kripke 1975 ja Martin & Woodruff 1975 tööd süstemaatilise ametliku ettepaneku jaoks semantiliste keelte jaoks, millel on oma tõesed predikaadid. Põhimõte on lihtne: võtke sellised solvavad laused nagu 1, et need ei oleks tõesed ega valed. Eelkõige näitab Kripke, kuidas seda mõtet rakendada paljude erinevate keelte jaoks, kasutades semantikat, millel on kolm väärtust: tõene, vale ja kumbki. ^[1] Võib kindlalt väita, et Kripkeani lähenemisviisid on asendanud Tarski pessimismi kui uut keeli käsitlevat ortodoksiat omaenda tõe predikaadiga.

Kolme väärtusega semantika üks peamisi konkurente on Hans Herzbergeri ja Anil Gupta iseseisvalt välja töötatud tõe revideerimise teooria ehk RTT, mis esmakordselt avaldati Herzbergeri 1982a ja 1982b, Gupta 1982 ja Belnap 1982 väljaandes - esimesed monograafiad sellel teemal on Yaqūb 1993 ja locus classicus, Gupta & Belnap 1993. RTT eesmärk on modelleerida seda laadi mõttekäike, milleni valelik lause viib, kahesuunalises kontekstis. Keskne idee on revisjoniprotsessi idee: protsess, mille käigus vaatame läbi hüpoteesid ühe või mitme lause tõeväärtuse kohta. Käesoleva artikli eesmärk on visandada tõe revideerimise teooria. Me toimime järgmiselt:

• 1. Semiformaalne sissejuhatus

• 2. Probleemi raamimine

  • 2.1 Tõekeeled
  • 2.2 Maapealsed mudelid
  • 2.3 Valetaja paradoks (jälle)

• 3. RTT põhimõisted

  • 3.1 Läbivaatamisreeglid
  • 3.2 Redaktsioonide järjekord

• 4. Formalismi tõlgendamine

  • 4.1 T tähistamine
  • 4.2 'iff' T-bioloogilistes tingimustes
  • 4.3 Paradoksaalne arutluskäik
  • 4.4 Tähendusväitekiri
  • 4.5 Semantika ülimuslikkus
  • 4.6 Yaqūbi tõlgendus formaalsusest

• 5. Muud küsimused

  • 5.1 Kolme väärtusega semantika
  • 5.2 RTT muudatused
  • 5.3 Ringteel määratletud mõistete revideerimise teooria
  • 5.5 Rakendused
  • 5.5 Lahtine küsimus
• Bibliograafia
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. Semiformaalne sissejuhatus

Vaatame lähemalt ülaltoodud lauset (1):

(1) ei vasta tõele.

(1)

Kasulik on paradoksaalne arutluskäik selgeks teha. Esiteks oletame seda

(1) ei vasta tõele.

(2)

Tundub intuitiivne tõega seotud põhimõte, et iga p-lause jaoks on meil nn T-bicondition

'p' on tõsi, kui p.

(3)

(Siinkohal kasutame sõna "iff" lühendina "kui ja ainult siis".) Eriti peaks see meil olema

'(1) ei ole tõsi' on tõsi, kui 1 (1) pole tõsi.

(4)

Seega saame punktidest (2) ja (4)

„(1) ei vasta tõele” on tõene.

(5)

Siis saame identiteeti rakendada,

(1) = '(1) ei vasta tõele.'

(6)

järeldada, et (1) vastab tõele. See kõik näitab, et kui (1) pole tõene, siis (1) on tõene. Samamoodi võime väita, et kui (1) on tõene, siis (1) pole tõene. Seega (1) näib olevat nii tõene kui ka tõene: seega paradoks. Nagu eespool öeldud, võtab kolmevääriline lähenemisviis paradoksile valeliku lause (1) valeks ega valeks. Täpselt, kuidas või isegi kas see samm blokeerib ülaltoodud mõttekäike, on arutelu küsimus. RTT ei ole ette nähtud ülaltoodud mõtteviisi blokeerimiseks, vaid modelleerib seda või enamikku sellest. ^[2] Nagu eespool öeldud, on keskne idee läbivaatamisprotsessi idee: protsess, mille käigus vaatame läbi hüpoteesid ühe või mitme lause tõeväärtuse kohta.

Mõelge valeliku lause põhjendustele (1) eespool. Oletame, et hüpoteesime, et (1) pole tõsi. Seejärel võiksime asjakohase T-bic tingimuse rakendamisel oma hüpoteesi üle vaadata järgmiselt:

Hüpotees:	(1) ei vasta tõele.
T-bioloogilised:	'(1) ei ole tõsi' on tõsi, kui 1 (1) pole tõsi.
Seetõttu:	„(1) ei vasta tõele” on tõene.
Teadaolev identiteet:	(1) = "(1) pole tõene".
Järeldus:	(1) vastab tõele.
Uus muudetud hüpotees:	(1) vastab tõele.

Saaksime redaktsiooniprotsessi jätkata, muutes oma hüpoteesi veel kord järgmiselt:

Uus hüpotees:	(1) vastab tõele.
T-bioloogilised:	'(1) ei ole tõsi' on tõsi, kui 1 (1) pole tõsi.
Seetõttu:	„(1) ei vasta tõele” pole tõene.
Teadaolev identiteet:	(1) = "(1) pole tõene".
Järeldus:	(1) ei vasta tõele.
Uus uus muudetud hüpotees:	(1) ei vasta tõele.

Muutmisprotsessi jätkudes libiseme edasi-tagasi valeliku lause õigeks ja mitte õigeks tunnistamise vahel.

Näide 1.1.

Tasub vaadata, kuidas selline revideerimise mõttekäik töötab mitme lausega juhul. Rakendame redaktsiooniidee järgmisele kolmele lausele:

(8) on tõene või (9) on tõene.	(7)
(7) vastab tõele.	(8)
(7) ei vasta tõele.	(9)

Mitteametlikult võime seda põhjendada järgmiselt. Kumbki (7) on tõene või (7) pole tõene. Seega kas (8) on tõene või (9) tõene. Seega (7) on tõsi. Seega (8) on tõene ja (9) pole tõene ning (7) on endiselt tõene. Protsessi veel kord korrates saame taas (8) tõese, (9) pole tõsi ja (7) on tõsi. Ametlikumalt kaaluge mis tahes esialgset hüpoteesi h ₀ punktide 7, 8 ja 9 tõeväärtuste kohta. Kumbki h ₀ ütleb, et (7) on tõene või h ₀ ütleb, et (7) ei ole tõsi. Mõlemal juhul saame oma muudetud hüpoteesi h _{1 saamiseks} kasutada T-bicondition: kui h ₀ ütleb, et (7) on tõene, siis h ₁ ütleb, et '(7) on tõene' on tõsi, st et (8) on tõsi; ja kui h ₀ütleb, et (7) on tõene, siis h ₁ ütleb, et '(7) pole tõsi' on tõsi, st et (9) on tõene. Nii et h ₁ ütleb, et kas (8) on tõene või (9) on tõene. Nii et h ₂ ütleb, et „(8) on tõene või (9) on tõene” on tõene. Teisisõnu, h ₂ ütleb, et (7) on tõene. Nii et olenemata sellest, millise hüpoteesiga h ₀ alustame, viivad redigeerimisprotsessi kaks iteratsiooni hüpoteesini, et (7) on tõene. Sarnaselt viivad läbivaatamisprotsessi kolm või enam iteratsiooni hüpoteesini, et (7) on tõene, (8) tõene ja (9) vale - sõltumata meie algsest hüpoteesist. 3. jaotises vaatame selle näite uuesti läbi formaalsemas kontekstis.

Üks asi, mida tuleb märkida, on see, et näites 1.1 annab versiooniprotsess kõigi kolme lause jaoks stabiilsed tõeväärtused. RTT-s on keskseks mõisteks lause kõigis versioonijadades kindlalt õige lause. Revisjoniteoreetiline käsitlus vastandub sel juhul kolme väärtusega lähenemisviisile: enamikul viisidel kolme väärtusega ideed rakendada osutuvad kõik kolm lauset (7), (8) ja (9) kumbki tõsi ega vale. ^[3] Sel juhul lööb RTT väidetavalt paremini õigeid mitteformaalseid põhjendusi kui kolme väärtusega lähenemisviis: RTT määrab lausetele (7), (8) ja (9) neile määratud tõeväärtused. näite alguses esitatud mitteametlike põhjenduste abil.

2. Probleemi raamimine

2.1 Tõekeeled

RTT eesmärk on anda ülevaade meie tõe sageli ebastabiilsetest ja sageli paradoksaalsetest mõttekäikudest - kahe väärtusega konto, mis määrab lausetele stabiilse klassikalise tõe väärtused, kui intuitiivne mõttekäik annaks stabiilse klassikalise tõe väärtused. Tutvustame formaalse keele ametlikku semantikat: soovime, et sellel keelel oleks nii tõepõhjendus kui ka ressursid oma lausetele viitamiseks.

Vaatleme esimese astme keelt L koos sidumis-,,- ja ¬-ga, kvantifikaatoritega ∀ ja ∃, võrdusmärgiga =, muutujatega ja mõne nimega, funktsioonisümbolite ja relatsioonisümbolitega. Ütleme, et L on tõde, kui sellel on eraldatud predikaat T ja jutumärgid 'ja', mida kasutatakse tsitaatnimede moodustamiseks: kui A on lause L, siis 'A' on nimi. Lastud _L = {A: A on lause L}.

2.2 Maapealsed mudelid

Muud kui tõe predikaat, eeldame, et meie keelt tõlgendatakse täiesti klassikaliselt. Seega esindame tõekeele L T- vabad fragmenti maapõhimudeli abil, st L T- vabad fragmendi klassikalise tõlgendusega. Poolt T -vaba fragment L mõtleme esimest järku keele L ^- mis on samad nimed, funktsiooni sümbolid ja seoses sümboleid L, välja arvatud unaarsed predikaat T. Kuna L ^- on samad nimed kui L, sealhulgas samad tsitaadinimed, siis L ^- on L iga lause A jaoks tsitaadinimi 'A'. Seega ∀ x T x ei ole lause L ^-, vaid '∀ x T x 'on L ^- nimi ja ∀ x (x =' ∀ x T x ') on L ^- lause. Alusmudeli korral kaalume võimalusi T rahuldava tõlgenduse pakkumiseks. Kõige ilmsem desideratum on, et maa mudel, laiendatud, et hõlmata tõlgendust T vastama Tarski T-biconditionals, st biconditionals vormi

T  'A' iff A

võtta iga A ∈ Saadetud _L. Asjade täpsuse huvides olgu, et maapinnal põhinev mudel L oleks klassikaline mudel M = <D, I> L T- vaba fragmendi jaoks, mis vastaks järgmisele:

1. D on diskursuse mittevaba domeen;

2. Olen funktsiooni määrav

   1. igale L-i nimele D-liige;
   2. Igale n -ary funktsioonitähis L funktsioon D ⁿ D; ja
   3. Igale n -ary seoses sümbol, va T, L funktsioon D ⁿ ühele kahest tõtt-väärtuste hulga { t, f }; ^[4]
3. Saadetud _L ∈ D; ja
4. I ('A') = A iga A ∈ saadetud _{L kohta}.

Laused (1) ja (2) täpsustavad lihtsalt, mis tähendab, et M peab olema L T- vaba fragmendi klassikaline mudel. Klauslid (3) ja (4) tagavad, et tõlgendamisel oskab L rääkida oma lausetest. Kuna L-le on esitatud alusmudel M ja nimi, funktsioonisümbol või suhte sümbol X, siis võime mõelda I (X) tõlgendusena või, kui laenata mõistet Gupta ja Belnap, X tähistamist. Gupta ja Belnap iseloomustavad väljendi või kontseptsiooni tähistamist maailmas w kui „abstraktset asja, mis kannab kogu teavet väljendi [või kontseptsiooni] laiendussuhete kohta w-s”. Kui me tahame tõlgendada T x kui „x on tõene”, siis tahaksime maapealse mudeli M korral leida sobivat tähistust või sobivat tähendusvahemikku T.

2.3 Valetaja paradoks (jälle)

Võiksime proovida määrata T- le klassikalise tähenduse, laiendades M-i klassikaliseks mudeliks M '= <D', I '> kõigi L, sealhulgas T-ga. Tuletame meelde, et me tahame, et M 'täidaks T-tingimuste tingimusi: kõige ilmsem mõte on mõista' iff 'kui standardset tõe-tingimuslikku biccondition. Kahjuks ei saa iga maapealset mudelit M = <D, I> laiendada selliseks M '. Vaatleme tõekeelt L nimega λ ja alusmudelit M = <D, I> selliselt, et I (λ) = ¬ T λ. Ja oletame, et M 'on M klassikaline laienemine kogu L-le. Kuna M 'on M laiendus, lepime mina ja mina kõik L nimed kokku. Nii

I '(λ) = I (λ) = ¬ T λ = I (' ¬ T λ ') = I' ('¬ T λ').

Nii et lausetel T λ ja T  '¬ T λ' on M-is sama tõeväärtus. Nii et T-biconditional

T  '¬ T λ' ≡ ¬ T λ

on M-is vale. See on valetaja paradoksi vormistamine, kusjuures lause ¬ T λ on valetava valetaja lause.

Keele semantilisuses, mis suudab väljendada oma tõepõhimõtteid, ei ole T- l üldiselt klassikalist tähendust; ja 'iff' ei loeta T-bioloogilistes tingimustes klassikalise bioloogilise tingimusena. Neid ettepanekuid käsitleme allpool 4. osas.

3. RTT põhimõisted

3.1 Läbivaatamisreeglid

1. jaotises visandasime mitteametlikult RTT-i keskse mõtte, nimelt, et T-tingimuse tingimuste abil saate luua revideerimisreegli - reegli tõepredikaadi laiendamise hüpoteesi muutmiseks. Siin vormistame selle mõiste ja töötame läbi 1. jao näite.

Üldiselt olgu L tõdede keel ja M L-i alusmudel. Hüpotees on funktsioon h: D → { t, f }. Tegelikult on hüpotees T-i hüpoteesitud klassikaline tõlgendus. Töötame näitega, mis haarab nii valetaja paradoksi kui ka jaotise 1. näite 1.1. Näitame näite T ühelt hüpoteetiliselt esitatud laiendilt teisele ülemineku kohta formaalselt, kuid mõistlikult poolvormiliselt.

Näide 3.1

Oletame, et L on neli mitte-quote nimed, α, β, γ ja λ ja ei predikaadid va T. Oletame ka, et M = <D, I> on järgmine:

D	=	Saadetud L
I (α)	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	T α
I (γ)	=	Ž T α
I (λ)	=	Ž T λ

Seda on mugav lasta

A	ole lause	T β ∨ T γ
B	ole lause	T α
C	ole lause	Ž T α
X	ole lause	Ž T λ

Seega:

D	=	Saadetud L
I (α)	=	A
I (β)	=	B
I (γ)	=	C
I (λ)	=	X

Oletame, et hüpotees h ₀ hüpoteesib, et A on vale, B on tõene, C on vale ja X on tõene. Seega

h 0 (A)	=	f
h 0 (B)	=	t
h 0 (C)	=	f
h 0 (X)	=	f

Nüüd käsitleme mõnd semiformaalset mõttekäiku hüpoteesi h _{0 põhjal}. Hulgas neli lauset, A, B, C ja X, h ₀ paneb ainult B laiendamist T. Seega järeldades h _0-st, järeldame, et

Ž T α	kuna α referent ei asu T- laiendis
T β	kuna β referent asub T pikenduses
¬ T γ	kuna γ viitaja ei asu T- laiendis
Ž T λ	kuna λ referent ei asu T- laiendis.

Nelja lause A, B, C ja X T-b-tingimused on järgmised:

(T A)	A on tõene, kui T β ∨ T γ
(T B)	B on tõene, kui T α
(T C)	C on tõsi, kui ¬ T α
(T X)	X on tõsi, kui ¬ T λ

Seega järeldades h _0-st, järeldame, et

A on tõsi

B ei vasta tõele

C on tõsi

X on tõsi

Sellest tuleneb meie uus hüpotees h ₁:

h 1 (A)	=	t
h 1 (B)	=	f
h 1 (C)	=	t
h 1 (X)	=	t

Vaatame oma hüpoteesi veel kord üle. Nüüd tegeleme hüpoteesi h ₁ põhjal mõne semiformaalse arutlusega. Hüpotees h ₁ paneb, C ja X, kuid mitte B, et laiendamine T. Seega järeldades punkti h ₁ järeldame, et

T α	kuna a referee on T laiendis
Ž T β	kuna β referent asub T pikenduses
T γ	kuna γ viitaja ei asu T- laiendis
T λ	kuna λ referent ei asu T- laiendis

Tuletage meelde ülaltoodud nelja lause A, B, C ja X T-tingimuse b-tingimust. Arvestades h _1-st ja nendest T-bitingimustest järeldame, et

A on tõsi

B on tõsi

C ei vasta tõele

X ei vasta tõele

Sellest tuleneb meie uus uus hüpotees h ₂:

h 2 (A)	=	t
h 2 (B)	=	t
h 2 (C)	=	f
h 2 (X)	=	f

□

Vormistame näites 3.1 läbiviidud semiformaalsed mõttekäigud. Esiteks hüpoteesisime, et teatud laused olid või ei olnud T- laiendis. Mõelge tavalisele klassikalisele mudelateooriale. Oletame, et meie keeles on predikaat G ja nimi a ning et meil on mudel M = <D, I>, mis paigutab referaatori G pikenduse sisemusse:

I (G) (I (a)) = t

Siis järeldame klassikaliselt, et lause Ga vastab tõele M-s. Kasulik on klassikalise mudeli M korral mõni lause S klassikalise tõe väärtuse märkimine. Kirjutame Val _M (S). Sel juhul on Val _M (Ga) = t. Näites 3.1 ei hakanud me kasutama kogu keele L klassikalist mudelit, vaid ainult L T- vaba fragmendi klassikalist mudelit. Kuid siis lisasime hüpoteesi, et saada klassikaline mudel kõigist L-st. Kasutame märget M + h kõigi L-ide klassikalise mudeli korral, mille saate M laiendamisel, määrates hüpoteesi h abil T- laiend. Kui olete predikaadile T laienduse määranud, saate arvutada L erinevate lausete tõeväärtused. See tähendab, et iga lause S kohta saame arvutada

Val _{M + h} (S)

Näites 3.1 alustasime hüpoteesiga h ₀ järgmiselt:

h 0 (A)	=	f
h 0 (B)	=	t
h 0 (C)	=	f
h 0 (X)	=	f

Siis arvutasime järgmiselt:

Val M + h 0 (T α)	=	f
Val M + h 0 (T β)	=	t
Val M + h 0 (T γ)	=	f
Val M + h 0 (T λ)	=	f

Ja siis järeldasime järgmiselt:

Val M + h 0 (A)	=	Val M + h 0 (T β ∨ T γ) = t
Val M + h 0 (B)	=	Val M + h 0 (Ž T α) = f
Val M + h 0 (C)	=	Val M + h 0 (T a) = t
Val M + h 0 (X)	=	Val M + h 0 (Ž T λ) = t

Need järeldused genereerisid meie uue hüpoteesi h ₁:

h 1 (A)	=	t
h 1 (B)	=	f
h 1 (C)	=	t
h 1 (X)	=	t

Pange tähele, et üldiselt

h ₁ (S) = Val _{M + h 0 (S).}

Oleme nüüd valmis määratlema revideerimisreegli, mille annab alusmudel M = <D, I>. Üldiselt, arvestades hüpoteesi h, olgu M + h = <D, I '> L mudel, mis nõustub M-iga L T- vabast fragmendist ja mis on selline, et I' (T) = h. Nii et M + h on lihtsalt klassikaline mudel kogu L jaoks. Mis tahes mudeli M + h korral, mis koosneb L-st, ja lause A korral, kui L, olgu Val _{M + h} (A) tavaline klassikaline tõe väärtus A-s M + h-s.

Definitsioon 3.2

Oletagem, et L on tõekeel ja M = <D, I> on L alusmudel. Parandusreegel τ _M on hüpoteeside hüpoteesideks kaardistamise funktsioon järgmiselt:

τ M (h) (d)

=

{

t, kui d ∈ D on lause L ja Val M + h (d) = t f, vastasel juhul

„Muidu” klausel ütleb meile, et kui d ei ole lause L lause, siis peame pärast ühe redaktsiooni rakendamist hüpoteesiga, et d pole tõene. ^[5] Pange tähele, et näites 3.1 on h ₁ = τ _M (h ₀) ja h ₂ = τ _M (h ₁). Tihtipeale kukutame tellitud M-tähe, kui kontekst teeb selgeks, milline alusmudel on kõne all.

3.2 Redaktsioonide järjekord

Valime näite 3.1 ja vaatame, mis juhtub, kui kordame redigeerimisreegli rakendamist.

Näide 3.3 (näide 3.2 jätkus)

Tuletame meelde, et L on neli mitte-quote nimed, α, β, γ ja λ ja ei predikaadid va T. Samuti tuletage meelde, et M = <D, I> on järgmine:

D	=	Saadetud L
I (α)	=	A	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	B	=	T α
I (γ)	=	C	=	Ž T α
I (λ)	=	X	=	Ž T λ

Järgmine tabel näitab, mis juhtub korrektuurireegli τ _M korduvate rakendustega näite 3.1 hüpoteesile h ₀. Sellesse tabelisse kirjutame τ _M asemel τ:

S	h 0 (S)	τ (h 0) (S)	τ 2 (h 0) (S)	τ 3 (h 0) (S)	τ 4 (h 0) (S)	…
A	f	t	t	t	t	…
B	t	f	t	t	t	…
C	f	t	f	f	f	…
X	f	t	f	t	f	…

Nii et h ₀ genereerib revisjonijada (vt määratlust 3.7 allpool). Ja A ja B vastavad selles muudatuste jadas püsivalt tõele (vt definitsiooni 3.6 allpool), samas kui C on stabiilselt vale. Vale lause X ei ole üllatav, ei stabiilselt tõene ega püsivalt vale: valelik lause on ebastabiilne. Sarnane arvutus näitaks, et A on stabiilselt tõene, sõltumata esialgsest hüpoteesist: seega on A kategooriliselt tõsi (vt definitsioon 3.8).

Enne redigeerimisjada täpse määratluse andmist toome näite, kus tahaksime redigeerimisprotsessi viia kaugemale lõplikest etappidest, h, τ ¹ (h), τ ² (h), τ ³ (h) jne. peal.

Näide 3.4

Oletame, et L sisaldab nonquote nimed ai ₀, α ₁, α ₂, α ₃, … ning unaarsed predikaadid G ja T. Nüüd täpsustame maapinna mudeli M = <D, I>, kus nimi α ₀ viitab mingile tautoloogiale ja kus

nimi α ₁ viitab lausele T α ₀

nimi α ₂ viitab lausele T α ₁

nimi a ₃ viitab lausele T a ₂

Ametlikumalt olgu A ₀ lause T α ₀ ∨ ¬ T α ₀ ja iga n ≥ 0 korral olgu A _{n +1} lause T α _n. Seega on A ₁ lause T α ₀ ja A ₂ on lause T α ₁ ja A ₃ on lause T α ₂ jne. Meie alusmudel M = <D, I> on järgmine:

D	=	Saadetud L
I (α n)	=	A n
I (G) (A) = t	iff	A = A n mõne n korral

Seega on G laiendus järgmine lausekomplekt: {A ₀, A ₁, A ₂, A ₃,…} = {(T α ₀ ∨ ¬ T α ₀), T α ₀, T a ₁, T a ₂, T a ₃,…}. Lõpuks olgu B lause ∀ x (Gx ⊃ T x). Olgu h hüpotees, mille kohta meil iga naturaalarvu n korral on

h (A _n) = h (B) = f.

Järgmine tabel näitab, mis juhtub korrigeerimisreegli τ _M korduvate rakendustega hüpoteesile h. Sellesse tabelisse kirjutame τ _M asemel τ:

S	h (S)	t (h) (S)	τ 2 (h) (S)	τ 3 (h) (S)	τ 4 (h) (S)	…
A 0	f	t	t	t	t	…
A 1	f	f	t	t	t	…
A 2	f	f	f	t	t	…
A 3	f	f	f	f	t	…
A 4	f	f	f	f	f	…
B	f	f	f	f	f	…

At 0 ^th etapil on iga _n on väljaspool varemoletatud pikendamist T. Aga alates n ^th etapist A _n on oletatavat pikendamise T. Niisiis, hüpoteesitakse iga n-i kohta lause A _n stabiilsena. Sellele vaatamata pole ühtegi lõplikku etappi, kus kõigi _An- de hüpotees vastaks tõele: selle tulemusel jääb lause B = ∀ x (Gx ⊃ T x) igal lõplikul etapil valeks. See soovitab laiendada protsessi järgmiselt:

S	h (S)	τ (h) (S)	τ 2 (h) (S)	τ 3 (h) (S)	…	ω	ω + 1	ω + 2	…
A 0	f	t	t	t	…	t	t	t	…
A 1	f	f	t	t	…	t	t	t	…
A 2	f	f	f	t	…	t	t	t	…
A 3	f	f	f	f	…	t	t	t	…
A 4	f	f	f	f	…	t	t	t	…
B	f	f	f	f	…	f	t	t	…

Seega, kui lubame revisjoniprotsessil minna kaugemale lõplikest etappidest, siis on lause B = ∀ x Gx ⊃ T x) stabiilne tõene alates ω + 1- ^st etapist. □

Näites 3.4 on intuitiivne otsus, et mitte ainult iga A _n peaks saama stabiilse tõe väärtuse t, vaid ka lause B = ∀ x (Gx ⊃ T x). Ainus viis selle tagamiseks on revisjoniprotsessi viimine kaugemale lõplikest etappidest. Nii me kaalume läbivaatamist järjestusi, mis on väga pikk: mitte ainult vaadata järjestus on ^th etapis iga hulga n, kuid η ^th etapis iga järjenumbriga η. (Järgmine lõik on mõeldud lugeja abistamiseks järjekorranumbrite tundmatusest.)

Üks viis järjenumbrite väljamõtlemiseks on järgmine. Alustage piiratud naturaalarvudest:

0, 1, 2, 3,…

Lisage arv ω, mis on suurem kui kõik need, kuid mitte ühegi neist vahetu järeltulija:

0, 1, 2, 3,…, ω

Ja siis võtke ω järeltulija, selle järeltulija jne.

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3…

Seejärel lisage arv ω + ω või ω × 2, mis on suurem kui kõik need (ja jällegi mitte ühegi vahetu õigusjärglane), ja alustage uuesti, korrates seda protsessi ikka ja jälle:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3,…, ω × 2, (ω × 2) +1, (ω × 2) +2, (ω × 2) +3,…, ω × 3, (ω × 3) +1, (ω × 3) +2, (ω × 3) +3,…

Selle lõppu lisame järjenumbri ω × ω või ω ²:

0, 1, 2,…, ω, ω + 1, ω + 2,…, ω × 2, (ω × 2) +1,…, ω × 3,…, ω × 4,…, ω × 5, …, Ω ², ω ² +1,…

Järjestikuste arvude struktuur on järgmine: igal järgarvul on kohene järeltulija, keda tuntakse järkjärgulise järjena; ja mis tahes järk-järgult kasvava järjenumbri jada jaoks on olemas piir ordinal, mis on suurem kui kõik jada liikmed ja mis ei ole jada ühegi liikme otsene järglane. Järgnevad ordinaalid on järgmised: 5, 178, ω + 12, (ω × 5) +56, ω ² +8; ja järgmine on piir järgarvudel: ω, ω x2, ω ², (ω ² + ω) jne Arvestades piir järgarvuline η jada, S objektide on η- pika jada kui seal on objekt S _δ võtta iga ordinaalne δ <η. Me tähistame ordenite klassi kui On. Mis tahes objektide S jada on Pikk jada, kui on objekt S _δ iga ordinaalse δ kohta.

Hinnates, kas lause saab stabiilse tõeväärtuse, võtab RTT arvesse hüpoteeside jadasid pikkusega Sees. Nii et oletagem, et S on Hüpoteeside pikk pikk jada ja laske ζ ja η ulatuda ordinaalide kohal. On selge, et S esindada ümbertöötamisprotsess, peame ζ + 1 ^silmus oletuse tekkinud ζ ^th hüpoteesi versiooniuuendusse reegel. Seega nõuame, et S _{ζ + 1} = τ _M (S _ζ). Kuid mida peaksime tegema piiratud etapis? See tähendab, kuidas peaksime määrama S _η (δ), kui η on ordinaalne piir? Selge, et kõik objektid, mis on selle staadiumini stabiilselt tõesed [valed], peaksid selles etapis olema tõesed [valed]. Seetõttu kaaluge näidet 3.2. Lause A ₂Näiteks on tõene kuni ω ^th etapil; nii püstitasime me ₂ et olla tõsi hetkel ω ^th staadiumis. Objektide puhul, mis ei stabiliseeru kuni selle staadiumini, rakendavad Gupta ja Belnap 1993 liberaalset poliitikat: kui revisjonijada S konstrueeritakse, kui objekti d ∈ D väärtus ei ole stabiliseerunud ajaks, kui jõuate lõppstaadiumisse η, siis saate seada S _η (δ) väärtuseks kumb t või f meeldib. Enne muudatuste jada täpse määratluse andmist jätkame näitega 3.3, et näha selle idee rakendust.

Näide 3.5 (näide 3.3 jätkus)

Tuletame meelde, et L sisaldab nelja suitsetamine tsitaat nimesid, α, β, γ ja λ ja mingit predikaadid va T. Samuti tuletage meelde, et M = <D, I> on järgmine:

D	=	Saadetud L
I (α)	=	A	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	B	=	T α
I (γ)	=	C	=	Ž T α
I (λ)	=	X	=	Ž T λ

Järgmine tabel näitab, mis juhtub korrektuurireegli τ _M korduvate rakendustega näite 3.1 hüpoteesile h ₀. Iga ordinaalse η kohta tähistame η- ^ndat hüpoteesi S _η-ga (summutades indeksi M väärtusel τ). Seega S ₀ = h ₀, S ₁ = τ (h ₀), S ₂ = τ ² (h ₀), S ₃ = τ ³ (h ₀) ja S _ω, the ^th hüpotees, on mingil viisil kindlaks määratud selleni viinud hüpoteesidest. Alustades h _0-st Näitest 3.3 algab meie redigeerimise jada järgmiselt:

S	S 0 (S)	S 1 (S)	S 2 (S)	S 3 (S)	S 4 (S)	…
A	f	t	t	t	t	…
B	t	f	t	t	t	…
C	f	t	f	f	f	…
X	f	t	f	t	f	…

Mis juhtub ω ^th etapi? A ja B on stabiilselt tõsi kuni ω ^th staadiumis ning C on stabiilselt false kuni ω ^th staadiumis. Nii et ω ^th etapis, peame olema järgmised:

S	S 0 (S)	S 1 (S)	S 2 (S)	S 3 (S)	S 4 (S)	…	S ω (S)
A	f	t	t	t	t	…	t
B	t	f	t	t	t	…	t
C	f	t	f	f	f	…	f
X	f	t	f	t	f	…	?

Kuid S _ω (X) kirje võib olla kas t või f. Teisisõnu, algne hüpotees h ₀ genereerib vähemalt kaks revisjonijärjestust. Igal redaktsioonijärjestusel S, mille algne hüpotees on h ₀, peavad olema S _ω (A) = t, S _ω (B) = t ja S _ω (C) = f. Kuid on ka mõni revisjonijada S, mille alghüpoteesiks on h ₀ ja S _ω (X) = t; ja seal on mingi redaktsioonijärjestus S ', mille algseks hüpoteesiks on h ₀ ja S _ω'(X) = f. □

Oleme nüüd valmis määratlema redaktsioonijada mõiste:

Definitsioon 3.6

Oletagem, et L on tõekeel ja M = <D, I> on alusmudel. Oletame, et S on pikaajaline hüpoteeside jada. Siis ütleme, et d ∈ D on stabiilselt t [ f] S iff-is mõne meie korralise θ korral

S _ζ (d) = t [ f] iga ordinaalse ζ ≥ θ kohta.

Oletame, et S on mingi piir ordinaalse η hüpoteesi η-pikkune jada. Siis ütleme, et d ∈ D on stabiilselt t [ f] S iff-is mõne korralise θ <η kohta, mis meil on

S _ζ (d) = t [ f] iga ordinaalse ζ kohta nii, et ζ ≥ θ ja ζ <η.

Kui S on Hüpoteeside On-pikk jada ja η on ordinaalne piir, siis S | _η on S algne segment, kuid mitte, kuid mitte η. Pange tähele, et S | _η on η-pikk hüpoteeside jada.

Definitsioon 3.7

Oletagem, et L on tõekeel ja M = <D, I> on alusmudel. Oletame, et S on pikaajaline hüpoteeside jada. S on M iff revisjonijada

• S _{ζ + 1} = τ _M (S _ζ), iga ζ ∈ Sees ja
• iga piirangu korral - η ja iga d ∈ D, kui d on stabiilselt t [ f] S | _η, siis S _η (d) = t [ f].

Definitsioon 3.8

Oletagem, et L on tõekeel ja M = <D, I> on alusmudel. Me ütleme, et lause A on kategooriliselt tõene [vale] Mffis, kui A on stabiilselt t [ f] igas M-i redaktsioonijärjestuses. Me ütleme, et A on kategoorias M, kui A on kategooriliselt tõene või kategoorias M vale.

Nüüd illustreerime neid mõisteid näitega. See näide illustreerib ka uut kontseptsiooni, mis tuleb hiljem määratleda.

Näide 3.9

Oletame, et L on tõde keeles sisaldavad nonquote nimed P, α ₀, α ₁, α ₂, α ₃, …, ja unaarsed predikaadid G ja T. Olgu lause B

T β ∨ ∀ x ∀ y (Gx & ¬ T x & Gy & ¬ T y ⊃ x = y).

Olgu A ₀ lause ∃ x (Gx & ¬ T x). Ja iga n ≥ 0 kohta olgu A _{n +1} lause T α _n. Vaatleme järgmist maapealset mudelit M = <D, I>

D	=	Saadetud L
I (β)	=	B
I (α n)	=	A n
I (G) (A) = t	iff	A = A n mõne n korral

Seega on G laiendus järgmine lausekomplekt: {A ₀, A ₁, A ₂, A ₃,…} = { T α ₀, T α ₁, T α ₂, T α ₃,…}. Olgu h mis tahes hüpotees, mille kohta meil on, h (B) = f ja iga naturaalarvu n korral,

h (A _n) = f.

Ja olgu S revisjonijada, mille algne hüpotees on h, st S ₀ = h. Järgmises tabelis on toodud mõned väärtused S _γ (C), lausetes C ∈ {B, A ₀, A ₁, A ₂, A ₃,…}. Ülemises reas tähistame redigeerimisprotsessis ainult etappi tähistavat järjenumbrit.

0

1

2

3

…

ω

ω + 1

ω + 2

ω + 3

…

ω × 2

(ω × 2) +1

(ω × 2) +2

…

B

f

f

f

f

…

f

t

t

t

…

t

t

t

…

A 0

f

t

t

t

…

t

f

t

t

…

t

f

t

…

A 1

f

f

t

t

…

t

t

f

t

…

t

t

f

…

A 2

f

f

f

t

…

t

t

t

f

…

t

t

t

…

A 3

f

f

f

f

…

t

t

t

t

…

t

t

t

…

A 4

f

f

f

f

…

t

t

t

t

…

t

t

t

…

Lause B ja lause A ₀ käitumist tasub vastandada. Alates ω + 1 ^silmus etapis, B on stabiliseerub tõsi. Tegelikult vastab B stabiilselt tõele igas M versioonis. Seega vastab B kategoorias M kategooriliselt tõele. Lause A ₀ ei stabiliseeru aga kunagi: tavaliselt on see tõsi, kuid mõne ordinaarse piirangu lõpliku etapi jooksul võib lause A ₀ olla vale. Sellises olukorras, ütleme, et A ₀ on peaaegu stabiilselt tõsi (vt definitsiooni 3.10 allpool.) Tegelikult ₀ on peaaegu stabiilselt kehtib iga läbivaatamist järjestuses M. □

Näide 3.9 illustreerib mitte ainult stabiilsuse mõistet revisjonijärjestuses, vaid ka peaaegu stabiilsuse mõistet, mida me määratleme nüüd:

Määratlus 3.10.

Oletame, et L on tõekeel ja M = <D, I> on alusmudel. Oletame, et S on pikaajaline hüpoteeside jada. Siis ütleme, et d ∈ D on mingisuguse ordinaalse θ jaoks S stabiilses väärtuses peaaegu stabiilselt t [ f]

iga ζ ≥ θ jaoks on olemas naturaalarv n, nii et iga m ≥ n korral on S _{ζ + m} (d) = t [ f].

Gupta ja Belnap 1993 iseloomustavad stabiilsuse ja peaaegu stabiilsuse erinevust järgmiselt: “Stabiilsuse lihtsustajaks on vaja elementi [meie puhul lauset], et ta astuks väärtusele x [meie puhul tõe väärtus] pärast seda, kui mõned esialgsed kõikumised ütlevad kuni [ordinaalne η] … Seevastu võimaldab peaaegu püsivus kõikumisi ka pärast η, kuid need kõikumised peavad piirnema piiritletud piirkondadega vahetult pärast piir ordinaale”(lk 169). Gupta ja Belnap 1993 tutvustavad kahte tõeteooriat, T ^* ja T ^#, mis põhinevad stabiilsusel ja peaaegu stabiilsusel. Teoreemid 3.12 ja 3.13, allpool, illustreerivad süsteemi T ^# eelist, st süsteemi, mis põhineb peaaegu stabiilsusel.

Definitsioon 3.11

Oletagem, et L on tõekeel ja M = <D, I> on alusmudel. Me ütleme, et lause A on kehtiv M poolt T ^* iff A on stabiilselt kehtib iga läbivaatamist jada. Ja me ütleme, et lause A kehtib tähes M, kui T ^# iff A vastab peaaegu stabiilselt tõele igas redaktsioonijärjestuses.

Teoreem 3.12

Oletame, et L on tõekeel ja M = <D, I> on alusmudel. Siis iga lause A L järgmine kehtib M poolt T ^#:

T '¬ A' ≡ ¬ T 'A'.

Teoreem 3.13

On olemas tõekeel L ja alusmudel M = <D, I> ning lause L lause L, nii et T ^{* korral} ei kehti järgmine M:

T  '¬ A' ≡ ¬ T  'A'.

Gupta ja Belnap 1993 jagu 6C tähele sarnaseid eeliseid T ^# üle T ^*. Näiteks T ^{# küll}, kuid T ^* ei valideeri järgmisi semantilisi põhimõtteid:

T  'A & B' ≡ T  'A' ja T  'B'

T  'A ∨ B' ≡ T  'A' ∨ T  'B'

Gupta ja Belnap jäävad sõltumatuks sellest, kumb T ^# ja T ^* (ja veel üks alternatiiv, mille nad määratlevad, T ^c) on eelistatavamad.

4. Formalismi tõlgendamine

RTT peamised formaalsed mõisted on revideerimisreegli mõiste (definitsioon 3.2), st hüpoteeside muutmise reegel; ja redaktsioonijada (definitsioon 3.7), hüpoteeside jada, mis on genereeritud vastavalt asjakohasele redaktsioonireeglile. Neid mõisteid kasutades saame maapõhise mudeli korral täpsustada, millal on lause konkreetses redaktsioonijärjestuses stabiilne või peaaegu stabiilne, õige või vale. Nii saaksime määratleda kaks tõeteooriat, T ^* ja T ^#, tuginedes stabiilsusele ja peaaegu stabiilsusele. Lõplik idee on see, et kõik need teooriad annavad välja otsuse, mille alusel on keele mudeleid kategooriliselt kinnitatavad keele laused.

Pange tähele, et saime kasutada redaktsiooniteoreetilisi mõisteid, et teha lausete vahel üsna peeneid eristusi: Mõned laused on igas redaktsioonijärjestuses ebastabiilsed; teised on stabiilsed igas versioonis, kuigi mõnedes stabiilselt tõesed ja teistes stabiilselt valed; ja nii edasi. Seega saame kasutada revideerimisteoreetilisi ideid, et anda täpset analüüsi erinevate lausete oleku ja erinevate lausete omavaheliste seoste kohta.

Tuletage meelde 2. jao lõpus tehtud ettepanek:

Keele semantilisuses, mis suudab väljendada oma tõepõhimõtteid, ei ole T- l üldiselt klassikalist tähendust; ja 'iff' ei loeta T-bioloogilistes tingimustes klassikalise bioloogilise tingimusena.

Gupta ja Belnap täidavad neid ettepanekuid järgmisel viisil.

4.1 T tähistamine

Esiteks viitavad nad sellele, et T tähistus, milleks on alusmudel M, on redigeerimisreegel τ _M ise. Nagu märgitud käesoleva otsuse eelmises punktis, saame anda peeneteraline analüüs lausete olekuid ja omavahelisi põhjal mõisted loodud otseselt ja loomulikult läbivaatamise reegel τ _M. Seega on τ _M hea kandidaat T tähistamiseks, kuna see näib olevat "abstraktne asi, mis sisaldab kogu teavet kõigi T- i laiendussuhete kohta" M-is. (Vt Gupta ja Belnapi kirjeldust väljendi tähistamise kohta, mis on esitatud ülalpool 2. jaos.)

4.2 'iff' T-bioloogilistes tingimustes

Gupta ja Belnapi seotud ettepanek, mis käsitleb i-b-tingimuste iff-i, on see, et selle asemel, et olla klassikaline bicconditional, on see 'iff' eristatav bicconditional, mida kasutatakse varem määratlemata mõiste määratlemiseks. 1993. aastal esitavad Gupta ja Belnap tõe revideerimise teooria ringikujuliselt määratletud mõistete revideerimise teooria erijuhuna. Oletame, et L on keel, millel on unaarne predikaat F ja binaarne predikaat R. Mõelge uuele kontseptsioonile, mida väljendab predikaat G, mis kehtestatakse järgmise määratluse kaudu:

Gx = _df ∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx ja Gx).

Oletame, et alustame diskursuse domeeniga D ja predikaadi F ning relatsioonisümboli R tõlgendusega. Gupta ja Belnapi ringkäigul sisse viidud mõistete revideerimisteoreetiline käsitlus võimaldab anda teatud d ∈ D jaoks kategoorilisi kohtuotsuseid selle kohta, kas d vastab G-le või mitte. Muud objektid on G suhtes ebastabiilsed: me ei saa kategooriliselt väita, et d ei vasta G-le ega et d ei vasta G-le. Tõe puhul võtavad Gupta ja Belnap vormi T-biconditionals

T  'A' = df A

(10)

koos, et anda tõe mõiste definitsioon. Redaktsioonireegli τ _M määravad nende käsitlemine '= _df ' (mõiste määratluse sissejuhatuse 'iff') abil koos vormi T-b-tingimustega (10).

4.3 Paradoksaalne arutluskäik

Tuletage meelde valelik lause (1) selle artikli algusest:

(1) ei vasta tõele

(1)

Jaos 1 väitsime, et RTT eesmärk on modelleerida, mitte blokeerida sellist paradoksaalset arutlust (1). Kuid märkisime joonealuses märkuses 2, et RTT väldib nendes olukordades vastuolusid. Selle nägemiseks on kaks võimalust. Esiteks, samal ajal kui RTT toetab bic tingimust

(1) on tõsi, kui 1 ei ole tõsi,

nagu eespool selgitatud, ei ole asjaomane „iff” materiaalne bikitingimus. Seega ei järeldu, et mõlemad (1) on tõesed ja (1) ei ole tõesed. Teiseks pange tähele, et ühegi hüpoteesi korral ei saa järeldada, et mõlemad (1) on tõesed ja (1) ei ole tõesed. Kui me hoiame seda kindlalt meeles, et revisjoniteoreetilised mõttekäigud on pigem hüpoteetilised kui kategoorilised, siis ei saa me tuletada mingeid vastuolusid sellise lause olemasoluga nagu (1) ülal.

4.4 Tähendusväitekiri

Gupta ja Belnap soovitusi, mis käsitlevad mentaalse T ja tõlgendamine "Iff T-biconditionals, dovetail kenasti kahe tihedalt seotud intuitions liigendatud Gupta & Belnap 1993. Esimene intuitsiooni, lõdvalt väljendatud, on", et T -tingimused on analüütilised ja fikseerivad „õige” tähenduse (lk 6). Täpsemalt öeldes saab sellest „Signifikatsiooniväitekiri” (lk 31): „T-bitsetingimused kinnitavad tõe tähistamist igas maailmas [kus maailma esindab alusmudel].” ^[6] Arvestades läbivaatamise teoreetilise ravi mõiste "Iff ja andnud põhjusel mudel M, T-biconditionals (10) ei, nagu on märgitud, määrata soovituslikke mentaalse T, st läbivaatamise reegel τ _M.

4.5 Semantika ülimuslikkus

Teine intuitsioon on tõe tähistamise ülimuslikkus. See on M. Kremeri 1988. aasta väljapakutud semantika ülimuslikkuse järeltulija. Idee on lihtne: millised laused kuuluvad mõiste tõde alla, tuleks fikseerida (1) mittesemantilise sõnavara tõlgendamise ja (2) empiiriliste faktidega. Mitteringikujulistel juhtudel on see intuitsioon eriti tugev: sõnade “lumi” ja “valge” standardsest tõlgendusest ja empiirilisest faktist, et lumi on valge, piisab sellest, et teha kindlaks, kas lause “lumi on valge” kuulub mõiste “tõde” alla. Tõe tähistamise ülimuslikkus on tees, mille kohaselt tõe tähendus, olenemata sellest, on fikseeritud alusmudeliga M. On selge, et RTT täidab seda põhimõtet.

Tasub vaadata, kuidas tõeteooria seda põhimõtet rikkuda võib. Vaatleme tõtt-öelda lauset, st lauset, mis iseenesest ütleb, et see on tõene:

(11) vastab tõele

(11)

Nagu eespool märgitud, võimaldab Kripke kolme väärtusega semantika kolme tõe väärtust: tõene (t), vale (f) ja kumbki (n). Arvestades tõekeele L alusmudelit M = <D, I>, on T kandidaatõlgendused kolme väärtusega tõlgendused, st funktsioonid h: D → {  t, f, n  }. Arvestades T -väärtuse kolme väärtusega tõlgendust ja liitlausete tõeväärtuse nende osade järgi hindamise skeemi, võime täpsustada tõeväärtuse Val _{M + h} (A) = t, f või n, iga lause A kohta L. Kolmeväärtuselise semantika keskne teoreem on see, et mis tahes alusmudeli M korral on olemas T -i kolme väärtusega tõlgendus h, nii et iga lause A jaoks on meil Val _{M + h} (T  'A') = Val _{M + h} (A). ^[7] Sellist T tõlgendust nimetame vastuvõetavaks tõlgenduseks. Meie mõte siin on järgmine: kui leidub tõejutustaja, nagu punktis 11, siis pole T-l ainult üks aktsepteeritav tõlgendus; neid on kolm: üks, mille kohaselt (11) on tõene, üks, mille kohaselt (11) on vale ja teine, mille kohaselt (11) pole kumbki. Seega puudub T ühtne “õige” tõlgendusantud alusmudeli M. Seega näib, et kolme väärtusega semantika rikub semantika ülimuslikkust. ^[8]

RTT ei omista tõejutustajale tõe väärtust, (11). Pigem annab see analüüsi selliste mõttekäikude kohta, mida võiks tõejutustaja suhtes kasutada: Kui alustame hüpoteesist h, mille kohaselt (11) on tõene, siis revideerimisel (11) jääb tõeks. Ja kui me alustame hüpoteesist h, mille kohaselt (11) pole tõsi, siis jääb muutmisel (11) tõeks. Ja see on kõik, mis tõe mõiste meile jätab. Arvestades punkti 11 käitumist, ütleb RTT meile, et (11) ei ole kategooriliselt tõene ega kategooriliselt vale, kuid see erineb kohtuotsusest, et (11) pole tõene ega vale.

4.6 Yaqūbi tõlgendus formaalsusest

Märgime revisjoniteoreetilise formalismi alternatiivset tõlgendust. Yaqūb 1993 nõustub Gupta ja Belnapiga selles, et T-bioloogilised tingimused on pigem määratlevad kui materiaalsed kaks tingimusi ja seetõttu on tõe mõiste ringikujuline. Kuid Yaqūb tõlgendab seda ümmargust ainulaadselt. Ta väidab, et

kuna mõnes lauses sisalduvad tõetingimused hõlmavad tõele viitamist olulisel, vähendamatul viisil, saavad need tingimused tõusta või ebaõnnestuda ainult maailmas, mis juba hõlmab tõepredikaadi laiendamist. Seega, selleks, et redaktsiooniprotsess saaks kindlaks teha tõepredikaadi laienduse, tuleb eeldada predikaadi esialgset laiendit. See tuleneb palju ringlusest ja bivalentsusest. (1993, 40)

Nagu Gupta ja Belnap, ei oma Yaqūb T-le privilegeeritud pikendust. Ja nagu Gupta ja Belnap, näeb ta ka T- laiendite revisjonijärjestusi, mille iga jada genereerib esialgse hüpoteesitud laiendiga, "mis on võimeline mahutama (ja diagnoosima) vaadeldavate keelte mitmesuguseid problemaatilisi ja probleemseid lauseid" (1993)., 41). Kuid erinevalt Gupta ja Belnapist järeldab ta nendest kaalutlustest, et „tõde kahevalentses keeles ei ole superventiivne” (1993, 39). Ta selgitab joonealuses märkuses: et tõde oleks ülimuslik, peavad iga lause tõestatuse staatuse „täielikult määrama mittesemantlikud faktid”. Yaqūb ei kasuta sõnaselgelt mõiste tähenduse mõistet. Kuid Yaqūb näib olevat pühendunud väitele, et T - st selle, mis määrab iga lause tõestatuse - annab konkreetne redaktsioonijada ise. Ja mitte ühtegi revisjonijärjestust ei määra mittesemantlikud faktid, st ainuüksi maapealne mudel: revisjonijada määratakse parimal juhul maandusmudeli ja esialgse hüpoteesi abil. ^[9]

5. Muud küsimused

5.1 Kolme väärtusega semantika

Arutledes tõe tähistamise ülimuslikkuse üle, oleme andnud ainult kolme väärtusega semantika kõige lahedama ekspositsiooni. Arvestades tõekeelt L ja alusmudelit M, määratlesime T -i aktsepteeritava kolme väärtusega tõlgenduse h-tõlgendusena: D → {  t, f, n  } nii, et Val _{M + h} (T 'A') = Val _{M + h} (A) L-lause iga lause A korral. Üldiselt, arvestades maapealset mudelit M, on T-l palju vastuvõetavaid tõlgendusi. Oletame, et need kõik on tõepoolest tõeliselt vastuvõetav tõlgendus. Siis rikub kolme väärtusega semantika T tähistamise ülimuslikkust.

Oletame teisest küljest, et iga maapealse mudeli M korral võime eraldada eelistatud vastuvõetava tõlgenduse kui T õige tõlgenduse. Gupta ja Belnap esitavad mitmeid kaalutlusi kolmemõõtmelise semantika vastu, mis on nii välja mõeldud. (Vt Gupta & Belnap 1993, peatükk 3.) Üks peamisi argumente on see, et keskne teoreem, st et iga maamudeli jaoks on olemas aktsepteeritav tõlgendus, kehtib ainult siis, kui aluseks olev keel on teatud viisil selgesõnaliselt vaesunud: näiteks kolme väärtusega lähenemine ebaõnnestub, kui keelel on seos järgmise tõestustabeliga:

A	~ A
t	f
f	t
n	t

Ainus eitusoperaator, kellega kolme väärtusega lähenemisviis hakkama saab, on järgmise tõestabeliga:

A	¬ A
t	f
f	t
n	t

Kuid mõelge valetajale, mis iseenesest ütleb, et see pole “tõsi”, viimases tähenduses “ei”. Gupta ja Belnap nõuavad väidet, et see lause „lakkab olemast intuitiivselt paradoksaalne” (1993, 100). RTT väidetav eelis on võime kirjeldada tõeliselt paradoksaalsete lausete käitumist: tõeline valelik on semantilise hindamise ajal ebastabiilne: "Ükskõik, mille hüpoteesiks selle väärtus on, semantiline hinnang lükkab ümber meie hüpoteesi." Kolme väärtusega semantika saab hakkama ainult “nõrga valetajaga”, st lausega, mis ainult nõrgalt eitab iseennast, kuid mis ei ole paradoksaalne: “Siin on valetaja esinemised, kuid nad petavad”.

5.2 RTT muudatused

Märgime RTT muutmise kolme viisi. Esiteks võiksime seada piirangud sellele, millised hüpoteesid on vastuvõetavad. Näiteks Gupta ja Belnap 1993 kasutusele teooriaga, T ^c, tõtt põhineb järjekindel hüpoteese: hüpotees h vastab iff hulga {A: h (A) = t } on täielik ühtsed lauseid. Suhtelisi väärtusi T ^*, T ^# ja T ^c arutatakse Gupta & Belnap 1993, 6. peatükk.

Teiseks võime kehtestada piiravama piiripoliitika kui Gupta ja Belnap. Tuletage meelde 3. jaos esitatud küsimust: Kuidas peaksime määrama S _η (d), kui η on ordinaalne piir? Andsime osalise vastuse: iga objekt, mis on kuni selle staadiumini püsivalt tõene [vale], peaks selles etapis olema tõene [vale]. Samuti märkisime, et objektil d ∈ D, mis ei stabiliseeru kuni astmeni η, võimaldavad Gupta ja Belnap 1993 seada S _η (d) kas t või f. Sarnases kontekstis omistavad Herzberger 1982a ja 1982b ebastabiilsetele objektidele väärtuse f. Ja Gupta soovitas algselt Gupta 1982-s, et ebastabiilsed elemendid saavad mis tahes väärtuse, mille nad said algse hüpoteesi S _{0 korral}.

Need kaks esimest RTT muutmise viisi piiravad tegelikult revisjonijada mõistet, seades piirangud sellele, milliseid meie redaktsioonijärjestusi peetakse aktsepteeritavateks redaktsioonijadadeks. Piirangud on mõnes mõttes lokaalsed: esimene piirang saavutatakse piirangute seadmisega, millele hüpoteese võib kasutada, ja teine piirang saavutatakse piirangute seadmisega sellele, mis juhtub piir ordinaaridel. Kolmas võimalus oleks seada globaalsemad piirangud, mille puhul oletatavad redaktsioonijärjestused loetakse vastuvõetavateks. Yaqūb 1993 soovitab tegelikult piirireeglit, mille kohaselt ebastabiilsete lausete vastuvõetavad kohtuotsused mingil piirietapil η sõltuvad teistes piirietappides tehtud kohtuotsustest. Yaqūb väidab, et need piirangud võimaldavad meil vältida teatud “esemeid”. Näiteks oletagem, et maandusmudel M = <D, I>on kaks iseseisvat valelikku, omades kahte nime α ja β, kus I (α) = ¬ T α ja I (β) = ¬ T β. Yaqūb väidab, et tegemist on lihtsalt naiivselt esitatud revisjoni semantika „artefaktiga”, et leidub revisjonijadasid, milles lause ¬ T α ≡ ¬ T β on stabiilselt tõene, kuna need kaks valetajat on sõltumatud. Tema globaalsed piirangud on välja töötatud selliste järjestuste välistamiseks. (Lisateavet leiate Chapuis 1996.)

5.3 Ringteel määratletud mõistete revideerimise teooria

Nagu meie arutelu osutas, tutvustavad T-bicditions 'iff' 4. jaotises Gupta ja Belnap RTT-d kui ringis määratletud mõistete revideerimise teooria erijuhtu. Jaotise 4 näite uuesti läbivaatamiseks. Oletagem, et L on keel, mille pretsedendil on F ja binaarsel predikaadil R. Vaatleme uut mõistet, mida väljendab predikaat G, mis on sisse viidud definitsiooni D kaudu:

Gx = _df A (x, G)

kus A (x, G) on valem

∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

Maalmudel on selles kontekstis keele L klassikaline mudel M = <D, I>: alustame diskursuse domeeniga D ja predikaadi F ning relatsioonisümboli R tõlgendusega. Me sooviksime laiendada M keele L + G tõlgendusele. Seega mõeldakse selles kontekstis hüpoteesi kui äsja kasutusele võetud kontseptsiooni G hüpoteesitud laiendit. Formaalselt on hüpotees lihtsalt funktsioon h: D → { t, f }. Hüpoteesi h korral võtame M + h klassikalise mudeli M + h = <D, I '>, kus I' tõlgendab F ja R samamoodi nagu mina ja kus I '(G) = h. Arvestades G hüpoteesitud tõlgendust h, genereerime G uue tõlgenduse järgmiselt: ja objekt d ∈ D on G uues laiendis juhuks, kui defineeriv valem A (x, G) vastab mudelile M d + h. Formaalselt kasutame alusmudelit M ja definitsiooni D, et määratleda redaktsioonireegel, δ _{D, M}, hüpoteeside kaardistamine hüpoteesideks, st G hüpoteetilised tõlgendused G hüpoteetilisteks tõlgendusteks. Täpsemalt, iga valemi B korral, millel on üks vaba muutuja x ja d ∈ D, saame määratleda tõe väärtuse Val _{M + h, d} (B) standardsel viisil. Siis

5 _{D, M} (h) (d) = Val _{M + h, d} (A)

Arvestades läbivaatamise reegel δ _{D, M}, saame üldistada mõiste läbivaatamist järjestus, mis on nüüd jada hüpoteetilise laiendused G asemel T. Saame üldistada lauset B, mis on paranduste jada suhtes stabiilselt tõene, peaaegu stabiilselt tõene jne. Gupta ja Belnap tutvustavad süsteemidele S ^* ja S ^#, analoogselt T ^* ja T ^#, järgmiselt: ^[10]

Mõiste 5.1.

• Lause B kehtib definitsioonis D süsteemis S ^* olevas maandusmudelis M (märge M ⊨ _{*, D} B), kui B vastab versioonireegli δ _{D, M} iga versiooni jadade suhtes stabiilselt tõele.
• Lause B kehtib määratlemise D maasse mudel M süsteemis S ^# (märge M ⊨ _{#, D} B) iff B on peaaegu stabiilselt tõsi võrreldes Iga paranduse järjestus läbivaatamise reegel δ _{D, M}.
• Lause B kehtib definitsioonis D süsteemis S ^* (märge ⊨ _{*, D} B), kui kõigi klassikaliste maapinnamudelite M korral on meil M ⊨ _{*, D} B.
• Lause B kehtib definitsioonis D süsteemis S ^# (märge ⊨ _{#, D} B), kui kõigi klassikaliste maapealsete mudelite M korral on meil M ⊨ _{#, D} B.

Üks Gupta ja Belnapi põhimõttelist lahtist küsimust on, kas nende süsteemide jaoks on olemas täielik arvutus: see tähendab, kas iga definitsiooni D jaoks on rekursiivselt aksiomeeritav üks järgmistest kahest lausekomplektist: {B: ⊨ _{*, D} B} ja {B: ⊨ _#, DB }. Kremer 1993 tõestab, et vastus on eitav: ta näitab, et on olemas määratlus D, mille kohaselt kõik need lausekomplektid on keerukad vähemalt Π ¹ ₂, seades sellega madalama piiri S ^* ja S ^# keerukusele. (Antonelli 1994b ja 2002 näitavad, et see on ka ülemine piir.)

Kremeri tõendusmaterjal kasutab ära ümbersõnastatud mõistete ümmarguste definitsioonide - teoreetiliselt ja induktiivsete definitsioonidena mõistetavate ringmõistete - lähedast suhet: induktiivsete määratluste teooria on juba mõnda aega üsna hästi mõistetav. Eelkõige tõestab Kremer, et iga induktiivselt määratletud mõistet saab revideerida-teoreetiliselt määratleda. Ümmarguste määratluste revideerimisteoreetilise käsitluse väljendusjõud ja muud aspektid on palju huvitava töö teema: vt Welch 2001, Löwe 2001, Löwe ja Welch 2001 ning Kühnberger jt. 2005.

5.5 Rakendused

Arvestades Gupta ja Belnapi ümmarguste määratluste üldist revideerimise-teoreetilist käsitlust - mille puhul nende tõe käsitlus on erijuhtum - võiks eeldada, et revideerimise-teoreetilisi ideid rakendatakse ka muude mõistete suhtes. Antonelli 1994a rakendab neid ideid põhjendamata komplektide suhtes: põhjendamata komplekti X võib pidada ringikujuliseks, kuna mõne X ₀,…, X _{n puhul on} meil X ∈ X ₀ ∈… ∈ X _n ∈ X. Ja Chapuis 2003 rakendab ratsionaalsete otsuste tegemisel revisjoniteoreetilisi ideid.

5.5 Lahtine küsimus

Lõpetame avatud küsimusega T ^* ja T ^{# kohta}. Tuletame meelde ülaltoodud definitsiooni 3.11, mis määratleb, millal tõekeele L lause A kehtib alusmudelis M T ^* või T ^{# abil}. Me ütleme, et A kehtib T ^{* järgi} [alternatiivselt T ^#], kui A on alusmudelis M kehtiv T ^{* abil} [alternatiivselt T ^#] iga maapealse mudeli M jaoks. Meie avatud küsimus on järgmine: kui keeruline on lause T ^* [ T ^#] kehtiv lausekomplekt ?

Bibliograafia

• Antonelli, GA, 1994, “Redaktsiooni keerukus”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 35: 204–218.
• Antonelli, GA, 1994, “Põhjendamata komplektid revideerimiseeskirjade kaudu”, Journal of Philosophical Logic, 23: 633–679.
• Antonelli, GA, 2002, “Redaktsiooni keerukus, muudetud”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 43: 75–78.
• Belnap, N., 1982, “Gupta tõe revideerimise teooria”, Journal of Philosophical Logic, 11: 103–116.
• Chapuis, A., 1996, “Tõe alternatiivsed revideerimise teooriad”, Journal of Philosophical Logic, 25: 399–423.
• Chapuis, A., 2003, “Ümmarguste määratluste rakendamine: ratsionaalne otsus”, Löwes, Malzkornis ja Räschis (toim.), Formaalteaduste alused II: Matemaatilise loogika rakendused filosoofias ja keeleteaduses, Dordrecht: Kluwer, 47–54.
• Gupta, A., 1982, “Tõde ja paradoks”, Journal of Philosophical Logic, 11: 1–60.
• Gupta, A., ja Belnap, N., 1993, The Revision Theory of Truth, Cambridge, MA: MIT Press.
• Hammer, E., 2003, “Tõe muutmise teooria”, Stanfordi filosoofia entsüklopeedia (2003. aasta kevade väljaanne), Edward N. Zalta (toim), URL = .
• Herzberger, HG, 1982, “Märkused naiivse semantika kohta”, Journal of Philosophical Logic, 11: 61–102.
• Herzberger, HG, 1982, “Naiivne semantika ja valelik paradoks”, Journal of Philosophy, 79: 479–497.
• Kremer, M., 1988, “Kripke ja tõe loogika”, Journal of Philosophical Logic, 17: 225–78.
• Kremer, P., 1993, “Gupta-Belnapi süsteemid S ^# ja S ^* ei ole aksiomatiseeritavad”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 583–596.
• Kripke, S., 1975, “Tõeteooria ülevaade”, Journal of Philosophy, 72: 690–716.
• Kühnberger, K., Löwe, B., Möllerfeld, M. ja Welch, P., 2005, “Induktiiv- ja ringmõistete võrdlemine: parameetrid, keerukus ja mängud”, Studia Logica, 81: 79–98.
• Löwe, B., 2001 “Lõpmatu ajaga revisjonijärjestused ja arvutid”, Journal of Logic and Computation, 11: 25–40.
• Löwe, B. ja Welch, P., 2001, “Set-teoreetiline absoluutsus ja tõe revideerimise teooria”, Studia Logica, 68/1: 21–41.
• Martin, R. ja Woodruff, P., 1975, “True-in-L” esindamise kohta L”, Philosophia, 5: 217–221.
• Welch, P., 2001, “Tõe Gupta-Belnapi revideerimise teooriate, Kripkeani fikseeritud punktide ja järgmise stabiilse komplekti kohta”, Sümboolse loogika bülletään, 7: 345–360.
• Yaqūb, A., 1993, Valetaja räägib tõtt: tõe revideerimise teooria kaitsmine, Oxford: Oxford University Press.

Muud Interneti-ressursid