Selgitus Loogika

Sisukord:

Selgitus Loogika
Selgitus Loogika

Video: Selgitus Loogika

Video: Selgitus Loogika
Video: Vaba Akadeemia loeng 3.07.2020: Peeter Lorents “Loogikad - tõde ja õigus" 2024, Märts
Anonim

See on fail Stanfordi filosoofia entsüklopeedia arhiivides. Autorite ja tsitaatide teave | Sõbrad PDF-i eelvaade | InPho otsing | PhilPapersi bibliograafia

Selgitus Loogika

Esmakordselt avaldatud ke 22. juuni 2011; sisuline redaktsioon ke 20. juuli 2011

Võite öelda: „Ma tean, et Abraham Lincoln oli pikk mees.”Teie käest võidakse omakorda küsida, kuidas te teate. Peaaegu kindlasti ei vastaksite semantiliselt, Hintikka-stiilis, et Abraham Lincoln oli pikk kõigis teie teadmistega ühilduvates olukordades. Selle asemel ütleksite tõenäolisemalt: “Ma lugesin Abraham Lincolni kõrguse kohta mitmes raamatus ja olen näinud fotosid temast teiste inimeste kõrval.”Teadmisi saab kinnitada, esitades põhjuse, põhjenduse. Hintikka semantika haarab teadmisi tõelise tõekspidamisena. Põhjendusena pakub loogika puuduvat kolmandat osa Platoni teadmiste kvalifitseerimisel õigustatud tõekspidamisena.

  • 1. Miks loogika?

    • 1.1 Episteemiline traditsioon
    • 1.2 Matemaatiline loogika traditsioon
  • 2. Põhjendusloogika põhikomponendid

    • 2.1 Põhjendusloogika keel
    • 2.2 Põhiline loogika J 0
    • 2.3 Loogiline teadlikkus ja püsivad spetsifikatsioonid
    • 2.4 Funktsionaalsus
    • 2.5 Positiivne enesevaatlus
    • 2.6 Negatiivne enesevaatlus
  • 3. Semantika

    • 3.1 Võimalik, et üksainus maailm: J
    • 3.2 Nõrk ja tugev terviklikkus
    • 3.3 Üksikagentide perekond
    • 3.4 Ühtse maailma õigustusmudelid
  • 4. Realiseerimisteoreemid
  • 5. Üldistused

    • 5.1 Selgete ja kaudsete teadmiste segamine
    • 5.2 Võimalikud mitut esindajat esindavad maailmapõhimõtte mudelid
  • 6. Russelli näide: indutseeritud funktsionaalsus
  • 7. Põhjenduste enesereferentsiaalsus
  • 8. Põhjendusloogika kvantifikaatorid
  • 9. Ajaloolised märkmed
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Seotud kirjed
  • Muud Interneti-ressursid

1. Miks loogika?

Selgitus Loogika on episteemiline loogika, mis võimaldab teadmiste ja veendumuste moodused lahti seletada põhjendustes: □ X asemel kirjutatakse t: X ja loetakse seda kui „X on põhjusega t õigustatud”. Võib mõelda traditsioonilistele modaaloperaatoritele kui kaudsetele modaalsustele ja õigustusterminitele kui nende selgesõnalisele väljatöötlusele, mis täiendavad modaalset loogikat peenema astme episteemiliste masinatega. Põhjenduste perekonnal on struktuur ja toimingud. Toimingute valik põhjustab erinevat põhjendusloogikat. Kõigi tavaliste episteemiliste loogikate puhul saab nende moodused täielikult lahti seletada selgesõnaliseks õigustusvormiks. Selles suhtes selgitab loogika traditsioonilise episteemilise modaalloogika selget, kuid varjatud sisu ja kasutab seda.

Selgitus Loogika sai alguse osana õnnestunud projektist, mille eesmärk oli pakkuda konstruktiivset semantikat intuitiivsete loogika-põhjendamise tingimuste jaoks, mis eemaldasid kõik, välja arvatud matemaatiliste tõendite kõige põhilisemad tunnused. Tõendid on õigustused nende kõige puhtamal kujul. Seejärel viidi õigustamisloogika ametlikku epistemoloogiasse. See artikkel tutvustab õigustusloogika üldist ulatust, nagu see on praegu arusaadav. Selles käsitletakse nende suhteid tavapärase modaalse loogikaga. Lisaks tehnilistele masinatele uuritakse artiklis, kuidas selgesõnaliste õigustusterminite kasutamine valgustab paljusid traditsioonilisi filosoofilisi probleeme. Teema tervikuna on endiselt aktiivse arengu all. Siin on esitatud ülevaade sellest kirjutamise ajal.

Õigustusloogika juured on pärit paljudest erinevatest allikatest, millest kahte käsitletakse üksikasjalikult: epistemoloogiat ja matemaatilist loogikat.

1.1 Episteemiline traditsioon

Teadmiste ja veendumuste omadused on olnud formaalse loogika objektiks vähemalt von Wrightist ja Hintikka alates (Hintikka 1962, von Wright 1951). Teadmisi ja veendumusi käsitletakse modaalsustena viisil, mis on nüüd väga tuttav - episteemiline loogika. Kuid Platoni kolme teadmise kriteeriumi, õigustatud, tõese, veendumuse (Gettier 1963, Hendricks 2005) kohta töötab episteemiline loogika tõepoolest ainult kahega neist. Võimalikud maailmad ja eristamatu mudeli usk - inimene usub seda, mis on kõigil tingimustel võimalik. Funktsionaalsus lisab mängu tõepärasuse komponendi - kui midagi pole tegelikus maailmas nii, siis seda ei saa teada, ainult usutakse. Kuid õigustava tingimuse esitus puudub. Sellest hoolimata,ümbersuunamine on olnud märkimisväärselt edukas, võimaldades rikkaliku matemaatilise teooria ja rakenduste väljatöötamist (Fagin, Halpern, Moses ja Vardi 1995, van Ditmarsch, van der Hoek ja Kooi 2007). See pole siiski tervikpilt.

Modaalne lähenemine teadmiste loogikale on teatud mõttes üles ehitatud universaalse kvantifikaatori ümber: X on teada olukorras, kus X vastab tõele kõigis olukordades, mida sellest eristada ei saa. Põhjendused seevastu toovad pildile eksistentsiaalse kvantifikaatori: X on olukorras teada, kui selles olukorras on X-ile õigustus. See universaalne / eksistentsiaalne dihhotoomia on loogikute jaoks tuttav. Formaalses loogikas on olemas valem X tõestus siis ja ainult siis, kui X vastab tõele kõigis loogika mudelites. Võib mõelda mudeleid kui olemuselt mittekonstruktiivseid ja tõestusi kui konstruktiivseid asju. Üks ei lähe kaugele valesti, mõeldes põhjendusi üldiselt sama palju nagu matemaatilisi tõestusi. Tõepoolest, esimene õigustusloogika oli otseselt ette nähtud matemaatiliste tõendite aritmeetika püüdmiseks,midagi, mida arutatakse lähemalt jaotises 1.2.

Põhjenduses Loogika on lisaks valemite kategooriale olemas ka teine põhjenduste kategooria. Põhjendused on formaalsed terminid, mis on konstanditest ja muutujatest üles ehitatud, kasutades mitmesuguseid operatsioonisümbolid. Konstandid tähistavad üldtunnustatud tõdede tüüpilisi aksioome. Muutujad tähistavad määratlemata põhjendusi. Erinevad õigustusloogikad erinevad, millistel toimingutel on lubatud (ja ka muul viisil). Kui t on õigustustermin ja X on valem, siis t: X on valem ja see on ette nähtud järgmiselt:

t on Xi õigustus.

Üks toiming, mis on ühine kõigile õigustusloogikatele, on rakendus, kirjutatud nagu korrutamine. Idee on, kui s on A → B õigustus ja t on A õigustus, siis [s ⋅ t] on B [1] õigustus. See tähendab, et üldiselt eeldatakse järgmiste andmete kehtivust:

(1) s:(A → B) → (t: A → [s ⋅ t]: B).

See on teadmusettevõtjate ja üldiselt transpordiliikide ettevõtjate tavapärase jaotuse selgesõnaline versioon kaudselt:

(2) □ (A → B) → (□ A → □ B).

Tegelikult on valem (2) paljude loogilise kõiketeadlikkuse probleemide taga. Ta väidab, et agent teab kõike, mida agendi teadmised vihjavad - selle tagajärjel on suletud. Ehkki põhimõtteliselt teadlik on teadlikkus sellest tulenevalt suletud, ei saa seda öelda tegelike teadmiste ühegi usutava versiooni kohta. (1) ja (2) vahelist vahet saab kasutada Goldmani ja Kripke paradigmaatilise Red Barn näite arutelul; siin on loo lihtsustatud versioon (Dretske 2005).

Oletame, et sõidan läbi naabruskonna, kus minule teadmata on papier-mâché ait laiali ja näen, et minu ees on objekt ait. Kuna mul on ettekujutusi küüntest enne mind, usun, et minu ees on objekt ait. Meie intuitsioonid viitavad sellele, et ma ei tunne lauta. Kuid oletame nüüd, et naabruskonnas pole võltspunaseid küünid ja märkan ka, et minu ees olev objekt on punane, nii et ma tean, et seal asub punane küün. See kõrvutamine, kuna see on punane laut, mida ma tean, tähendab, et seal on laut, mida ma ei tee, “on piinlik”.

Punase lauda näite esimesel vormistamisel viiakse loogiline tuletamine läbi põhilises modaalses loogikas, milles □ tõlgendatakse 'uskumuse' modaalsust. Siis tõlgendatakse mõnda □ esinemist väliselt probleemi kirjelduse kohaselt teadmisena. Olgu B lause "objekt minu ees on ait" ja R oleks lause "minu ees olev objekt on punane".

  1. □ B, 'usun, et minu ees on objekt ait'
  2. □ (B ∧ R): „Ma usun, et minu ees on objekt punane ait”.

Metatasandil on 2 tegelikult teadmine, samas kui probleemi kirjelduse järgi 1 ei ole teadmine.

□ (B ∧ R → B), loogilise aksioomi teadmise kinnitus

Selle vormistamise käigus näib, et episteemilist suletust selle modaalsel kujul (2) rikutakse: rida 2, □ (B ∧ R) ja rida 3, □ (B ∧ R → B) on teadmiste juhtumid, samas kui □ B (joon) 1) ei ole teadmine. Siinne modaalkeel ei näi aitavat seda küsimust lahendada.

Järgmisena kaaluge punase lauda näidet põhjendusloogikas, kus t: F tõlgendatakse kui "ma usun F põhjusel t". Olgu u konkreetne individuaalne põhjendus uskumusele, et B, ja v, veendumusele, et B ∧ R. Olgu lisaks a loogilise tõe B ∧ R → B õigustus. Siis on eelduste loetelu järgmine:

  1. u: B, "u on põhjus arvata, et minu ees on objekt ait";
  2. v:(B ∧ R), 'v on põhjus arvata, et minu ees olev objekt on punane laut'
  3. a:(B ∧ R → B).

Metatasandil öeldakse probleemi kirjelduses, et 2 ja 3 on teadmise juhtumid, mitte ainult usk, samas kui 1 on usk, mis pole teadmine. Ametlik mõttekäik läheb järgmiselt:

  1. a:(B ∧ R → B) → (v:(B ∧ R) → [a ⋅ v]: B) põhimõtteliselt (1);
  2. v:(B ∧ R) → [a ⋅ v]: B, alates 3. ja 4., ettepanekuloogika abil;
  3. [a ⋅ v]: B, alates 2. ja 5., ettepanekuloogika abil.

Pange tähele, et 6. järeldus on [a ⋅ v]: B, mitte u: B; episteemiline sulgemine peab paika. Põhjendades loogika loogikat, jõuti järeldusele, et [a ⋅ v]: B on teadmiste juhtum, st „tean B-d põhjusel a ⋅ v”. See, et u: B ei ole teadmiste juhtum, ei riku sulgemise põhimõtet, kuna viimane väidab teadmist konkreetselt [a ⋅ v] kohta: B. Seega, pärast punase fassaadi vaatlemist tean tõepoolest B-d, kuid sellel teadmisel pole midagi pistmist 1-ga, mis on pigem usu kui teadmise juhtum. Põhjendusloogika vormistamine kujutab olukorda õiglaselt.

Põhjenduste jälgimine tähistab punase lauda näite struktuuri viisil, mida traditsioonilised episteemilised modaalsed tööriistad ei haara. Selgitus Loogika vormistamine modelleerib seda, mis sellisel juhul juhtub; teadmiste sulgemine loogilise kaasatuse korral säilib, isegi kui ait pole tajutavalt teada. [2]

1.2 Matemaatiline loogika traditsioon

Brouweri sõnul tähendab tõde konstruktiivses (intuitionistlikus) matemaatikas tõendi olemasolu, vrd. (Troelstra ja van Dalen 1988). Aastatel 1931–34 andsid Heyting ja Kolmogorov mitteametliku kirjelduse intuitiivistliku loogika jaoks ette nähtud tõenduspõhisest semantikast (Kolmogorov 1932, Heyting 1934), mida nüüd nimetatakse Brouwer-Heyting-Kolmogorovi (BHK) semantikaks. BHK tingimuste kohaselt on valem tõene, kui sellel on tõendusmaterjal. Lisaks on liitlause tõend ühendatud selle komponentide tõenditega järgmisel viisil:

  • tõend A ∧ B koosneb tõestusest väite A ja tõendi pakkumise B kohta;
  • tõend A ∨ B kohta esitatakse kas tõendiga A või tõendiga B;
  • tõend A → B on konstruktsioon, mis muudab tõendid A tõenditeks B;
  • vale on a väide, millel puudub tõestus, ¬ A on lühend A → ⊥.

Kolmogorov pakkus selgesõnaliselt välja, et tema tõlgenduses olevad tõenditaolised objektid (“probleemilahendused”) pärinevad klassikalisest matemaatikast (Kolmogorov 1932). Aluspõhimõtteliselt ei ole tegelikult mõistlik mõista ülaltoodud “tõestusi” tõenditena intuitsioonistlikus süsteemis, mida need tingimused peaksid täpsustama.

BHK semantika põhiväärtus seisneb selles, et mitteametlikult, kuid ühemõtteliselt soovitab see põhjendusi, siin matemaatilisi tõestusi, käsitleda kui operatsioonide objekte.

(Gödel 1933) astus Gödel esimese sammu intuitsioonismi range tõenduspõhise semantika väljatöötamise suunas. Gödel pidas klassikalist modaalloogikat S4 arvutatavaks, mis kirjeldab tõestatavuse omadusi:

  • Klassikalise propositsioonilise loogika aksioomid ja reeglid;
  • □ (F → G) → (□ F → □ G);
  • □ F → F;
  • □ F → □□ F;
  • Vajadusreegel: kui ⊢ F, siis ⊢ □ F.

Tuginedes Brouweri arusaamisele loogilisest tõest kui tõestatavusest, määratles Gödel intuitiivses keeles valemi F tõlke tr (F) klassikalise modaalloogika keelde: tr (F) saadakse, kinnitades iga F alamvormi tõestatavusega. modaalsus □. Mitteametlikult öeldes, kui valemi klassikalise tõe kindlaksmääramise tavapärast protseduuri rakendatakse tr (F) -le, kontrollib see iga Brogiweri idee abil iga F alamvormi tõestatavust (mitte tõde). Gödeli tulemustest ja McKinsey-Tarski modaalloogika topoloogilise semantika tööst järeldub, et tõlge tr (F) tagab Intuitionistic Propositional Calculus, IPC, õige kinnistamise S4-sse, st intuitsioonilise loogika kinnistamise klassikalisesse loogikasse pikendatud tõendusvõimaluse operaatori poolt.

(3) Kui IPC tõendab F, siis S4 tõendab tr (F).

Gödeli esialgset eesmärki määratleda intuitiivne loogika klassikalise tõestatavuse osas ei olnud siiski saavutatud, kuna S4 seost tavalise matemaatilise tõestatavuse mõistega ei suudetud kindlaks teha. Veelgi enam, Gödel märkis, et modaalsuse □ F tõlgendamise sirgjooneline idee kui F on antud formaalses süsteemis tõestatav, oli Gödeli teise puudulikkuse teoreemiga vastuolus. Tõepoolest, □ (□ F → F) saab S4-s tuletada vajaduse reegli järgi aksioomist □ F → F. Teisest küljest, tõlgendades modaalsust □ formaalse tõestatavuse predikaadina teoorias T ja F vastuoluna, teisendab see valem valeväite, et T järjepidevus on sisemiselt tõestatav T-s.

Olukorda pärast (Gödel 1933) saab kirjeldada järgmise joonisega, kus “X ↪ Y” tuleks lugeda kui “X tõlgendatakse Y-ga”

STK ↪ S4 ↪? ↪ KLASSIKALISED TÕENDID

1938. aastal Viinis peetud avalikul loengul täheldas Gödel, et selgesõnaliste tõendite vormingut kasutades:

(4) t on F tõend

aitab tõlgendada tema tõestatavuse kalkulatsiooni S4 (Gödel 1938). Kahjuks jäi Gödeli teos (Gödel 1938) avaldamata kuni 1995. aastani, selleks ajaks oli Gödeli selgesõnaliste tõendite loogika juba taasavastatud, aksiomeeritud kui Proofs LP loogika ja tarnitud täielikkuse teooriatega, mis ühendasid seda nii S4 kui ka klassikaliste tõenditega (Artemov 1995).

Tõendite loogika LP sai Selgitus Logic perekonnas esimeseks. Tõestusterminid LP-s pole midagi muud kui BHK-terminid, mida mõistetakse klassikaliste tõenditena. LP-ga sai intuitiivne loogika soovitud range BHK semantika:

STK ↪ S4 ↪ LP ↪ KLASSIKALISED TÕENDID

Matemaatilise loogika traditsiooni edasiseks arutamiseks lugege lisadokumendi Mõned tehnilised küsimused 1. jagu.

2. Põhjendusloogika põhikomponendid

Selles jaotises on toodud õigustusloogika levinumate süsteemide süntaks ja aksiomaatika.

2.1 Põhjendusloogika keel

Põhjendusloogika ametliku ülevaate koostamiseks tuleb teha põhiline struktuurne eeldus: õigustused on abstraktsed objektid, millel on ülesehitus ja toimingud. Hea põhjenduse näited on ametlikud tõendid, mis on juba pikka aega olnud matemaatilise loogika ja arvutiteaduse õppeobjektid (vrd punkt 1.2).

Selgitus Loogika on formaalne loogiline raamistik, mis hõlmab episteemilisi väiteid t: F, kui t tähistab sõna F, on õigustus. Selgitus Loogika ei analüüsi otseselt seda, mida tähendab t, et õigustada F-d väljaspool vormingut t: F, vaid püüab seda seost aksiaalselt iseloomustada. See sarnaneb sellega, kuidas Boole'i loogika kohtleb oma ühendusi, näiteks disjunktsiooni: ta ei analüüsi valemit p ∨ q, vaid eeldab selle valemi kohta teatud loogilisi aksioome ja tõestabelit.

Projekteerimisotsuseid on tehtud mitu. Selgitus Loogika algab kõige lihtsamast alusest: klassikalisest Boole'i loogikast ja seda mõjuvatel põhjustel. Põhjendused pakuvad piisavalt tõsist väljakutset isegi kõige lihtsamal tasandil. Russelli, Goldman-Kripke, Gettieri ja teiste paradigmaatilisi näiteid saab käsitleda tõeväärtusliku loogika abil. Episteemilise loogika tuum koosneb klassikalise Boole'i alusega (K, T, K4, S4, K45, KD45, S5 jne) modaalsüsteemidest ja igaüks neist on varustatud vastava Boolei loogikal põhineva loogikakaaslasega.. Lõpuks ei eeldata alati õigustuste faktilisust. See võimaldab tabada epistemoloogia arutelude olemust, mis hõlmab uskumuse ja mitte teadmise küsimusi.

Põhjenduste põhitoimingud on taotlus ja summa. Rakendusoperatsioon võtab põhjendused s ja t ning annab põhjenduse s ⋅ t nii, et kui s:(F → G) ja t: F, siis [s ⋅ t]: G. Sümboolselt

s:(F → G) → (t: F → [s ⋅ t]: G)

See on kombinatoorse loogika ja λ-arvutustes (Troelstra ja Schwichtenberg 1996), Brouwer-Heyting-Kolmogorovi semantilisuses (Troelstra ja van Dalen 1988), Kleene realiseeritavuses (Kleene 1945), Proofs LP loogikas eeldatavate põhjenduste põhiomadus..

Kõiki kahte põhjendust saab ohutult ühendada millekski laiemaks. Selleks kasutatakse operatsioonisummat '+'. Kui s: F, siis mis iganes tõendusmaterjal t võib olla, jäävad tõendite s + t põhjenduseks F. Õigemini võtab operatsioon '+' õigustusi s ja t ning annab s + t, mis on õigustus kõigele, mida õigustavad s või t.

s: F → [s + t]: F ja t: F → [s + t]: F

Motivatsioonina võiks mõelda s ja t kui entsüklopeedia kaks köidet ja s + t kui nende kahe köite kogum. Kujutage ette, et üks köide, näiteks s, sisaldab väite F piisavat põhjendust, st s: F. Siis sisaldab suurem hulk s + t piisavat põhjendust F, [s + t]: F jaoks. Tõendite loogika LP jaotises 1.2 võib 's + t' tõlgendada tõendite s ja t liitmisena.

2.2 Põhiline loogika J 0

Põhjendused on üles ehitatud õigustusmuutujatest x, y, z,… ja põhjenduskonstanditest a, b, c,… (indeksitega i = 1, 2, 3,…, mis jäetakse alati välja, kui see on ohutu) toimingute abil”. ⋅ 'ja' + '. Allpool käsitletud keerukam loogika võimaldab täiendavaid toiminguid põhjendustega. Konstandid tähistavad aatomi õigustusi, mida süsteem ei analüüsi; muutujad tähistavad määratlemata põhjendusi. Põhilised loogika põhjendused, J 0 on axiomatized järgmise.

Klassikaline loogika
Klassikalised propositsioonilised aksioomid ja reegel Modus Ponens
Rakenduse aksioom
s:(F → G) → (t: F → [s ⋅ t]: G),
Summa aksioomid
s: F → [s + t]: F, s: F → [t + s]: F.

J 0 on loogika üldistele (mitte tingimata faktilistele) põhjendustele absoluutselt skeptiliselt esindatud agendile, kelle jaoks ükski valem pole tõestatavalt õigustatud, st J 0 ei tule t: F ühegi t ja F jaoks. Selline agent on siiski võimeline tegema vormi suhtelisi õigustavaid järeldusi

Kui x: A, y: B,…, z: C hoidke, siis t: F.

Selle suutlikkusega suudab J 0 jäljendada loogika süsteeme oma keeles.

2.3 Loogiline teadlikkus ja püsivad spetsifikatsioonid

Loogilise teadlikkuse põhimõttes öeldakse, et loogilised aksioomid on õigustatud ex officio: agent aktsepteerib loogilisi aksioome õigustatuna (sealhulgas õigustavaid aksioome). Nagu äsja öeldud, võib loogiline teadlikkus olla mõnes episteemilises olukorras liiga tugev. Kuid Selgitus Loogika pakub püsivate tehniliste kirjelduste paindlikku mehhanismi, mis tähistab loogilise teadlikkuse erinevat varjundit.

Muidugi tuleb vahet teha eeldusel ja põhjendatud eeldusel. Põhjenduses kasutatakse loogikakonstante eelduste õigustamiseks olukordades, kus neid enam ei analüüsita. Oletame, et soovitakse oletada, et aksioom A on teadjale õigustatud. Lihtsalt postuleeritakse e 1: mõne tõendusmaterjali korral konstant e 1 (indeksiga 1). Kui lisaks soovitakse järeldada, et see uus põhimõte e 1: A on õigustatud, võib postuleerida e 2:(e 1: A) konstandi e 2 jaoks.(indeksiga 2). Ja nii edasi. Indeksite jälgimine pole vajalik, kuid see on lihtne ja aitab otsustusprotsessides (Kuznets 2008). Kõigi antud loogika jaoks mõeldud eelduste komplekti nimetatakse pidevaks spetsifikatsiooniks. Siin on ametlik määratlus:

Constant spetsifikatsioon CS antud selgitust loogika L on kogum valemid vormi

e n: e n −1:…: e 1: A (n ≥ 1),

kus A on L aksioom ja e 1, e 2,…, e n on sarnased konstandid indeksitega 1, 2,…, n. Eeldatakse, et CS sisaldab kõiki vahepealseid kirjeldusi, st alati, kui e n: e n −1:…: e 1: A on CS-s, siis e n −1:…: e 1: A on ka CS-s.

Kirjanduses on püsivatele spetsifikatsioonidele seatud mitmeid eritingimusi. Järgnevad on kõige tavalisemad.

Tühi
CS = ∅. See vastab absoluutselt skeptiliselt esindajale. See tähendab tööd loogikaga J 0.
Piiratud
CS on valemite piiratud komplekt. See on täiesti esinduslik juhtum, kuna põhjenduse Logic konkreetne tuletamine hõlmab ainult piiritletud konstandite komplekti.
Aksiomaatiliselt sobiv
Igal aksioomil, kaasa arvatud need, mis on omandatud pideva spetsifikatsiooni enda kaudu, on põhjendused. Formaalses seadistuses on iga aksioomi A jaoks konstant e 1, nii et e 1: A on CS-s ja kui e n: e n −1:…: e 1: A ∈ CS, siis e n +1: e n: e n −1:…: e 1: A ∈ CS, iga n ≥ 1. Selle internaliseerimise omaduse tagamiseks on vaja aksiomaatiliselt sobivaid püsivaid spetsifikatsioone, mida käsitletakse käesoleva jaotise lõpus.
Kokku

Iga aksioomi A ja konstandite e 1, e 2,… e n korral

e n: e n −1:…: e 1: A ∈ CS.

Nimi TCS on reserveeritud kogu konstantse spetsifikatsiooni jaoks (antud loogika jaoks). Loomulikult on kogu konstantne spetsifikatsioon aksiomaatiliselt sobiv.

Nüüd võime täpsustada:

Põhjenduste loogika antud püsiva spetsifikatsiooniga:

Las CS on pidev spetsifikatsioon. J CS on loogika J 0 + CS; koos CS-i liikmetega on J 0 aksioomid ja ainus järelduse reegel on Modus Ponens. Pange tähele, et J 0 on J .

Põhjenduste loogika

J on loogika J 0 + aksioomi sisestamise reegel. Uus reegel sätestab:

Iga aksioom A ja mis tahes konstandid e 1, e 2, …, e n järeldama e n: e n -1: …: e 1: a.

Viimane kehastab J.-i piiramatu loogilise teadlikkuse ideed. Sarnane reegel ilmus ka tõendite logika LP-s ja seda on ette nähtud ka Goldmani väljaandes (Goldman 1967). Loogiline teadlikkus, mida väljendavad aksiomaatiliselt sobivad konstantsed spetsifikatsioonid, on modaalloogika vajalikkuse reegli otsene kehastus: ⊢ F ⇒ ⊢ □ F, kuid piirdub aksioomidega. Pange tähele, et J langeb kokku J TCS-iga.

Selgitus Loogikasüsteemide põhijooneks on nende võime sisestada omaenda tuletised tõestatavate õigustusväidetena oma keeles. See vara oli ette nähtud (Gödel 1938).

Teoreem 1: Iga aksiomaatiliselt sobiva püsiva spetsifikatsiooni CS jaoks on J CS- l internalisatsioon:

Kui ⊢ F, siis ⊢ p: F mõne põhjendustermini p jaoks.

Tõestus. Induktsioon tuletamise pikkuse kohta. Oletame ⊢ F. Kui F kuulub J 0 või liige CS, esineb pidev e n (kus n võib olla 1) nii, et e n: F on CS, kuna CS on axiomatically omastada. Siis e n: F on tuletatav. Kui F saadakse Modus Ponensi poolt väärtustest X → F ja X, siis induktsioonhüpoteesi abil ⊢ s:(X → F) ja ⊢ t: X mõne s jaoks, t. Rakenduse aksioomi kasutades ⊢ [s ⋅ t]: F.

Konkreetsete süntaktiliste tuletiste näiteid õigustusloogikas leiate lisadokumendi 2. jaotisest „Mõned tehnilisemad küsimused”.

2.4 Funktsionaalsus

Tegelikkus väidab, et agendil tõe järeldamiseks piisab õigustusest. Seda kirjeldatakse järgnevas.

Tegevuse aksioom t: F → F.

Funktsionaalsuse aksioomil on sarnane motivatsioon episteemilise loogika tõe aksioomiga, □ F → F, mida aktsepteeritakse laialdaselt kui teadmise põhiomadust.

Erinevalt rakenduse ja summa põhimõttest ei ole põhjenduste tegelikkus põhiloogika süsteemides nõutav, mis võimaldab neil esitada nii osalisi kui ka faktilisi põhjendusi. Funktsionaalsuse aksioom ilmus tõendite logika LP jaotises 1.2 matemaatiliste tõendite peamise tunnusjoonena. Tõepoolest, selles seades on funktsioon selgelt kehtiv: kui on olemas matemaatiline tõend F, siis peab F olema tõene.

Faktiivsuse aksioom on võetud teadmiste juurde viivate põhjenduste jaoks. Ainuüksi faktuaalsus ei õigusta siiski teadmisi, nagu on näidanud Gettieri näited (Gettier 1963).

Faktiivsete põhjenduste loogika

  • JT 0 = J 0 + omadused;
  • JT = J + funktsionaalsus.

Püsikirjelduste CS-le vastavad süsteemid JT CS on määratletud jaotises 2.3.

2.5 Positiivne enesevaatlus

Teadmise üks levinumaid põhimõtteid on teadmise tuvastamine ja teadmine, et inimene teab. Modaalses režiimis vastab see □ F → □□ F. Sellel põhimõttel on piisav selgesõnaline vaste: tõsiasi, et esindaja aktsepteerib t-d F-i jaoks piisavate tõenditena, on t: F-i jaoks piisav tõend. Sageli on sellistel meta-tõenditel füüsiline vorm: kohtuniku aruanne, mis tõendab paberkandjal esitatud tõendite õigsust; arvutikontrolli väljund, mille sisendiks on formaalne tõend F; ametlik tõend selle kohta, et t on F-i tõend jne. Positiivne eneseteostusoperatsioon '!' võidakse sellesse keelde lisada; siis eeldatakse, et antud t korral esitab agent põhjenduse! t of t: F selline, et t: F →! t:(t: F). Selle operatiivse vormi positiivne enesevaatlus ilmus esmakordselt tõendite logika LP-s.

Positiivse enesevaatluse aksioom: t: F →! t:(t: F).

Seejärel määratleme:

  • J4: = J + positiivne enesevaatlus;
  • LP: = JT + positiivne enesevaatlus. [3]

Loogika J4 0, J4 CS, LP 0 ja LP CS on määratletud loomulikul viisil (vrd punkt 2.3). Teoreemi 1 otsene analoog kehtib ka J4 CS ja LP CS kohta.

Positiivse introspektsiooni aksioomi juuresolekul võib aksiomi internaliseerimise reegli ulatust piirata sisemiste aksioomide sisenemisega, mis ei ole kujul e: A. Nii tehti seda LP-s: Axiomi internaliseerimist saab seejärel jäljendada kasutades !! e:(! e:(e: A)) asemel e 3:(e 2:(e 1: A)) jne mõiste Constant spetsifikatsioon võimalik lihtsustada ka vastavalt. Sellised muudatused on väikesed ja ei mõjuta põhjenduse loogika peamisi teoreeme ja rakendusi.

2.6 Negatiivne enesevaatlus

(Pacuit 2006, Rubtsova 2006) pidas negatiivse enesevaatluse operatsiooni '?' mis kontrollib, kas antud õigustusväide on vale. Võimalik motivatsioon sellise operatsiooni kaalumiseks on see, et positiivne enesevaatlusoperatsioon '!' võib pidada võimeks teha veenvaid kontrollotsuseid õigustusväidete t: F kehtivuse kohta, nii et kui t ei ole F õigustus, siis selline '!' peaks järeldama, et ¬ t: F. Tavaliselt kehtib see arvutitõendajate, ametlike teooriate tõendite kontrollijate jms puhul. See motivatsioon on siiski nüanss: tõenduskontrolli ja tõestamise kontrollijate näited toimivad sisendina nii t kui ka F abil, samas kui Pacuit-Rubtsova vormingus? t soovitab, et ainus sisend „?” on õigustus t ja tulemus? t peaks väidet põhjendama ¬ t:F ühtlaselt kõigi F jaoks, mille korral t: F ei hoia. Selline operatsioon '?' sest ametlikke matemaatilisi tõestusi pole olemas? t peaks siis olema üks tõestus lõpmata paljude väidete kohta ¬ t: F, mis on võimatu.

Negatiivse sissejuhatuse aksioom ¬ t: F →? t: (¬ t: F)

Me määratleme süsteemid:

  • J45 = J4 + negatiivne enesevaatlus;
  • JD45 = J45 + t: ⊥;
  • JT45 = J45 + funktsionaalsus

ja loomulikult laiendada neid määratlusi J45 CS, JD45 CS ja JT45 CS. Teoreemi 1 otsene analoog kehtib J45 CS, JD45 CS ja JT45 CS kohta.

3. Semantika

Põhjendusloogika praegune standardne semantika pärineb (Fitting 2005) - kasutatud mudeleid nimetatakse kirjanduses üldiselt sobivateks mudeliteks, kuid neid hakatakse siin nimetama võimalikeks maailma õigustusmudeliteks. Võimalikud maailma õigustusmudelid on Hintikka ja Kripke tõttu teadmiste ja uskumuste loogika jaoks tuttava võimaliku maailma semantika liitmine koos õigustusterminitele spetsiifiliste masinatega, mille Mkrtychev tutvustas (Mkrtychev 1997) (vrd punkt 3.4).

3.1 Võimalik, et üksainus maailm: J

Täpsuse huvides tuleb määratleda J CS semantika, kus CS on pidev spetsifikatsioon. Vormiliselt on J CS võimalik maailma õigustamisloogika struktuur M = ⟨G, R, E, V⟩. Sellest ⟨G, R⟩ on tavaline K kaader, kus G on võimalike maailmade kogum ja R on sellel binaarsuhe. V on kaardistamine pakutavatest muutujatest G alamhulkadeni, täpsustades aatomitõde võimalike maailmade juures.

Uus kirje on tõendusfunktsioon E, mis sai alguse (Mkrtychev 1997). See kaardistab maailmakogumite õigustusterminid ja valemid. Intuitiivne idee on, kui võimalik maailm Γ asub E (t, X), siis t on X-i jaoks asjakohane või lubatav tõend maailmas world. Asjakohaseid tõendeid ei tohiks pidada veenvateks. Mõelge sellele pigem kui tõenditele, mida saab kohtus tunnistada: see tunnistus, see dokument on midagi, mida žürii peaks uurima, midagi asjakohast, kuid midagi, mille tõesust määravat staatust tuleb veel arvestada. Tõendusfunktsioonid peavad vastama teatud tingimustele, kuid neid arutatakse natuke hiljem.

Arvestades J CS võimaliku maailma õigustamise mudelit M = ⟨G, R, E, V⟩, tähistatakse valemi X tõesust võimaliku maailma korral M M, Γ ⊩ X ja see peab vastama järgmistele tüüptingimustele:

Iga ∈ ∈ G kohta:

  1. M, ⊩ ⊩ P iff Γ ∈ V (P) P jaoks ettepanekutähe jaoks;
  2. ei ole nii, et M, Γ ⊩ ⊥;
  3. M, Γ ⊩ X → Y, kui pole nii, et M, Γ ⊩ X või M, Γ ⊩ Y.

Need lihtsalt ütlevad, et aatomi tõde on määratletud meelevaldselt ja propositsioonilised ühendused käituvad tõe-funktsionaalselt igas maailmas. Võtmeelement on järgmine.

M, Γ ⊩ (t: X) siis ja ainult siis, kui Γ ∈ E (t, X) ja iga Δ with G jaoks koos Γ R Δ on meil see M, Δ ⊩ X

See tingimus jaguneb kaheks osaks. Klausel, mis nõuab, et M, Δ ⊩ X iga Δ ∈ G kohta oleks selline, et Γ R Δ on tuttav Hintikka / Kripke tingimus, mille kohaselt X-i võib uskuda või uskuda punktis Γ. Punkt, mis nõuab, et Γ ∈ E (t, X) lisab, et t peaks olema X jaoks asjakohane tõend at. Siis on mitteametlikult t: X tõene võimalikus maailmas, kui X on selles maailmas usutav episteemilise loogika tavapärases tähenduses ja t on X jaoks selles maailmas asjakohane tõend.

On oluline mõista, et selles semantikas ei pruugi keegi maailmas mingil kindlal põhjusel midagi uskuda, kuna see pole lihtsalt usutav või kuna see on, kuid põhjus pole sobiv.

Mõned tõendid tuleb siiski tõendusfunktsioonidele seada ja ka pilt tuleb lisada pidevale spetsifikatsioonile. Oletame, et ühele antakse põhjendusena s ja t. Neid saab ühendada kahel erineval viisil: kasutada mõlemalt saadud teavet korraga; või kasutage ainult ühe teabe teavet, kuid kõigepealt valige kumb. Mõlemal juhul tehakse põhiprotseduur põhjendustel, ja +, mis on aksomaatiliselt sisse toodud jaotises 2.2.

Oletame, et s on implikatsiooni jaoks asjakohane tõendusmaterjal ja t on eelkäija jaoks asjakohane tõendusmaterjal. Siis annavad s ja t koos asjakohase tõendusmaterjali tagajärje kohta. Tõendusfunktsioonide täitmisel eeldatakse järgmist tingimust:

E (s, X → Y) ∩E (t, X) ⊆ E (s ⋅ t, Y)

Selle tingimuse lisamisega on

s:(X → Y) → (t: X → [s ⋅ t]: Y)

on turvatud.

Kui s ja t on tõendusmaterjalid, võiks öelda, et midagi õigustab s või t, ilma et vaevuksite täpsustama, kumb, ja see jääb ikkagi tõenditeks. Tõendusfunktsioonidele seatakse järgmine nõue.

E (s, X) ∪ E (t, X) ⊆ E (s + t, X)

Pole üllatav, et mõlemad

s: X → [s + t]: X

ja

t: X → [s + t]: X

nüüd hoia.

Lõpuks tuleks arvesse võtta püsiva spetsifikatsiooni CS-d. Tuletame meelde, et konstandid on mõeldud esindama põhiliste eelduste põhjuseid, mis on täiesti aktsepteeritud. Mudel M = ⟨G, R, E, V⟩ vastab püsiva spetsifikatsiooni CS tingimustele: kui c: X ∈ CS, siis E (c, X) = G.

Võimalik maailmapõhimõtete mudel J CS-i võimalik maailma õigustusmudel on struktuur M = ⟨G, R, E, V⟩, mis vastab kõigile ülalnimetatud tingimustele ja vastab püsiva spetsifikatsiooni CS-le.

Vaatamata nende sarnasustele võimaldavad võimalikud maailma õigustusmudelid täpsustatud analüüsi, mis pole Kripke mudelite puhul võimalik. Üksikasjalikuma teabe saamiseks lugege lisadokumendi Jagu 3 Veel tehnilisi küsimusi.

3.2 Nõrk ja tugev terviklikkus

Valem X kehtib J CS jaoks konkreetses mudelis, kui see vastab mudeli kõikidele võimalikele maailmadele. J CS aksiomaatika oli esitatud punktides 2.2 ja 2.3. Täielikkuse teoreem võtab nüüd oodatud vormi.

Teoreem 2: Valem X on J CS-s tõestatav ainult siis, kui X kehtib kõigis J CS- mudelites.

Äsja öeldud terviklikkuse teooriat nimetatakse mõnikord nõrgaks täielikkuseks. Võib-olla on pisut üllatav, et modaalloogika K. jaoks on seda oluliselt lihtsam tõestada kui täielikkust. Teisest küljest on see väga üldine ja töötab kõigi püsivate spetsifikatsioonide jaoks.

Aastal (Fitting 2005) tutvustati ka semantika tugevamat versiooni. Mudelit M = ⟨G, R, E, V⟩ nimetatakse täielikult selgitavaks, kui see vastab järgmisele tingimusele. Iga Γ ∈ G korral, kui M, Δ ⊩ X kõigi Δ ∈ G korral, nii et Γ R Δ, siis M, Γ ⊩ t: X mõne õigustustermini t jaoks. Pange tähele, et tingimus M, Δ ⊩ X kõigi Δ ∈ G korral, nii et Γ R Δ, on tavaline tingimus, et X oleks usutav punktis Γ Hintikka / Kripke tähenduses. Seega ütleb täielikult seletav tõepoolest, et kui valem on võimalikus maailmas usutav, on see õigustatud.

Mitte kõik nõrgad mudelid ei vasta täielikult selgitavatele tingimustele. Mudeleid, mida tehakse, nimetatakse tugevateks mudeliteks. Kui püsiv spetsifikatsioon CS on piisavalt rikas, nii et internalisatsiooni teoreem kehtib, siis on CS-l vastavate tugevate mudelite osas täielik. Tõepoolest, lõpuleviimine tugevate mudelite osas on sobivas mõttes sama, mis suuteline tõestama internaliseerimist.

Tugevate mudelite täielikkuse tõestamine on väga sarnane täielikkuse tõendiga, mille puhul kasutatakse modaalloogika K. kanoonilisi mudeleid. Tugevaid mudeleid saab kasutada realiseerimisteooria semantilise tõestuse saamiseks (vrd punkt 4)..

3.3 Üksikagentide perekond

Siiani on räägitud ühe õigustusloogika võimalikust maailma semantikast, J-i jaoks on K. vaste. Nüüd on asju laiendatud, et hõlmata teiste tuttavate modaalloogika õigustusanalooge.

Liites lihtsalt jaotises 3.1 oleva mudeli tingimustele juurdepääsetavuse suhte R refleksiilsuse, saab t kehtivuse X: X iga t ja X jaoks ning saadakse JT jaoks semantika, mis on modaalloogika õigustusloogiline analoog T, teadmiste kõige nõrgem loogika. Tõepoolest, kui M, Γ ⊩ t: X, siis X vastab tõepoolest igas olekus, kuhu pääseb alates Γ. Kuna juurdepääsetavuse seos peab olema refleksiivne, M, Γ Γ X. Nõrkade ja tugevate terviklikkuse teooriate olemasolu on tõestatavad samade masinate abil, mida rakendati J puhul, ning JT ja T ühendava realiseerimisteoreemi semantiline tõend on samuti olemas. Sama kehtib ka allpool käsitletud loogika kohta.

K4 analoogi õigustamiseks on täiendav ühene operaator '!' lisatakse terminile keel, vt jaotist 2.5. Tuletame meelde, et see operaator kaardistab põhjendused õigustustega, kus mõte on, et kui t on Xi õigustus, siis! t peaks õigustama t: X. Semantiliselt lisab see tingimusi mudelile M = ⟨G, R, E, V⟩ järgmiselt.

Esiteks peaks R muidugi olema transitiivne, kuid mitte tingimata refleksiivne. Teiseks on vaja tõendusfunktsioonide monotoonsust:

Kui Γ R Δ ja Γ ∈ E (t, X), siis Δ ∈ E (t, X)

Ja lõpuks on vaja veel ühte tõendusfunktsiooni tingimust.

E (t, X) ⊆ E (! T, t: X)

Need tingimused tähendavad koos t: X kehtivust! t: t: X ja koostage J4, K4 põhjendusanaloogi semantika koos neid ühendava realiseerimisteoreemiga. Reflektiivsuse lisamine viib loogikani, mida ajaloolistel põhjustel nimetatakse LP-ks.

Võib lisada ka negatiivse eneseteostuse operaatori '?', Vt punkt 2.6. Põhjendusloogika mudelid, mis hõlmavad seda operaatorit, lisavad kolm tingimust. Esimene R on sümmeetriline. Teiseks lisab tingimuse, mida on tuntud tugeva tõendina: M, Γ ⊩ t: X kõigi Γ ∈ E korral (t, X). Lõpuks on tõendite funktsiooni tingimuseks:

E (t, X) ⊆ E (? T, ¬ t: X)

Kui see masin liidetakse J4-ga, saame loogika J45, mis on K45 põhjendus. Aksiomaatilist usaldusväärsust ja täielikkust saab tõestada. Samal viisil saab sõnastada seotud loogikad JD45 ja JT45.

Seda operaatorit arvestavat realiseerimisteooriat näidati (Rubtsova 2006).

3.4 Ühtse maailma õigustusmudelid

Ühtse maailma õigustusmudelid töötati välja märkimisväärselt enne üldisemaid võimalikke maailma õigustamise mudeleid, mida arutame (Mkrtychev 1997). Tänapäeval saab neile kõige lihtsamini mõelda võimalike maailma õigustusmudelitena, millel on üksainus maailm. J-i täielikkuse tõendit ja muid ülalnimetatud õigustusloogikaid saab hõlpsasti muuta, et tuvastada täielikkus ühe maailma õigustusmudelite osas, ehkki loomulikult polnud see algne argument. Üksiku maailma õigustusmudelite täielikkus ütleb meile, et õigustusmudelite võimaliku maailmstruktuuri käsitleva teabe saab lubatava tõendusfunktsiooni abil täielikult kodeerida, vähemalt seni arutletud loogika osas. Mkrtychev kasutas LP otsustusvõimelisuse kindlaksmääramiseks ühtse maailma õigustusmudeleid,ja teised on neid põhimõtteliselt ära kasutanud õigustamisloogika keerukuse piiride määramisel, samuti usu õigustusloogika konservatiivsuse tulemuste kuvamisel (Kuznets 2000, Kuznets 2008, Milnikel 2007, Milnikel 2009). Keerukuse tulemusi on kasutatud ka loogilise kõiketeadlikkuse probleemi lahendamiseks.

4. Realiseerimisteoreemid

Tõendusväite loomulik modaalne episteemiline vaste t: F on □ F, loetakse x, x: F. See tähelepanek viib unustava projektsiooni mõisteni, mis asendab kõik t: F esinemised □ F-ga ja teisendab seega loogikalause S vastavaks modaalloogikalauseks S o. Unustav projektsioon ulatub loomulikul viisil lausetest loogikani.

Ilmselt võivad erinevad loogikalaused olla sama unustava projektsiooniga, seega kaotab S o teatud teabe, mis sisaldus S-s. Siiski on hõlpsasti täheldatav, et unustav projektsioon kaardistab alati põhjendusloogika kehtivad valemid (nt J-i aksioomid) vastava episteemilise loogika (antud juhul K) kehtivate valemitega. Vastupidine on ka seisukoht: mis tahes kehtiv episteemilise loogika valem on mõne põhjendusloogika kehtiva valemi unustav projektsioon. See tuleneb kirjavahetuse teoreemist 3.

Teoreem 3: J o = K.

See vastavus kehtib teiste põhjendus- ja episteemiliste süsteemide paari kohta, näiteks J4 ja K4 või LP ja S4 ning paljude teiste jaoks. Sellisel laiendatud kujul näitab kirjavahetuse teoreem, et peamistel modaalloogikatel, nagu K, T, K4, S4, K45, S5 ja mõnel teisel, on täpsed põhjendused.

Kirjavahetuse teoreemi keskmes on järgmine realiseerimisteoreem.

Teoreem 4: On olemas algoritm, mis seob iga K-s tuletatava modaalvalemi F korral molaarsuse iga esinemise F-s tõendusterminid selliselt, et tulemuseks olev valem F r on tuletatav J-s. Lisaks sellele omistatakse realiseerimisel tõendusmuutujad. modaaloperaatorite negatiivsete esinemiste suhtes F-s, austades sellega episteemilise modaalsuse eksistentsiaalset lugemist.

Tuntud realiseerimisalgoritmid, mis taastavad modaalsetes teoreemides tõendusterminid, kasutavad vastavas modaalses loogikas lõikudeta tuletisi. Teise võimalusena saab realiseerimisteooria semantiliselt kinnitada Fitingi meetodi või selle sobivate modifikatsioonide abil. Põhimõtteliselt toodavad need semantilised argumendid ka realiseerimisprotseduure, mis põhinevad põhjalikul otsingul.

Oleks viga teha järeldust, et mis tahes modaalloogikal on mõistlik põhjendusloogika vaste. Näiteks sisaldab formaalse tõestatavuse loogika GL (Boolos 1993) Löbi põhimõtet:

(5) □ (□ F → F) → □ F,

millel ei näi olevat episteemiliselt vastuvõetavat selget versiooni. Vaatleme näiteks juhtumit, kus F on valearvutuse konstant ⊥. Kui teoreemi 4 analoog kataks Löbi printsiipi, oleksid põhjendused s ja t sellised, et x:(s: ⊥ → ⊥) → t: ⊥. Kuid see on faktiliselt õigustatav. Tõepoolest, s: ⊥ → ⊥ on funktsionaalsuse aksioomi näide. Rakendage Axiomi sisestamist, et saada konstantse c korral c:(s: ⊥ → ⊥). See c valik muudab c eelneva: (s: ⊥ → ⊥) → t: ⊥ intuitiivselt tõeseks ja järeldus valeks [4]. Täpsemalt, Löbi printsiip (5) ei kehti tõestatud tõlgenduse korral (vrd (Goris 2007), kus on esitatud täielik ülevaade sellest, millised GL põhimõtted on realiseeritavad).

Kirjavahetuse teoreem annab värske ülevaate episteemilisest modaalsest loogikast. Kõige olulisem on see, et see pakub peamise modaalloogika uut semantikat. Lisaks traditsioonilisele Kripke-stiilis □ F 'universaalsele' lugemisele, nagu F kehtib kõigis võimalikes olukordades, on nüüd ka □ F jaoks range 'eksistentsiaalne' semantika, mida saab lugeda, kuna sellele on olemas tunnistaja (tõestus, õigustus) F.

Selgitus Semantil on modaalses loogikas sarnane roll kui Kleene realiseeritavuse puhul intuitsioonilises loogikas. Mõlemal juhul on kavandatud semantika eksistentsiaalne: intuitsioonilise loogika Brouwer-Heyting-Kolmogorovi tõlgendus (Heyting 1934, Troelstra ja van Dalen 1988, van Dalen 1986) ja Gödeli S4 tõestatavuse lugemine (Gödel 1933, Gödel 1938). Mõlemal juhul on olemas universumi võimalik maailma semantikaiseloomu, mis on väga tugev ja domineeriv tehniline tööriist. See ei käsitle siiski kavandatud semantika eksistentsiaalset iseloomu. Intuitionistliku loogika arvutusliku semantika ja tõendite loogika paljastamiseks kulus Kleene realiseeritavus (Kleene 1945, Troelstra 1998), et pakkuda intuitionistliku ja modaalloogika tõendite täpset BHK-semantikat.

Episteemilises kontekstis lisavad loogika ja kirjavahetuse teoreem teadmiste ja uskumuste modaalsesse loogikasse uue „põhjenduse” komponendi. Jällegi oli see uus komponent tegelikult vana ja keskne mõiste, mida peavoolu epistemoloogid on laialt arutanud, kuid mis jäi klassikalise episteemilise loogika raamest välja. Kirjavahetuse teoreem ütleb meile, et põhjendused sobivad kokku Hintikka-stiilis süsteemidega ja seega saab neid turvaliselt lisada episteemilise modaaloogika alusesse.

Realiseerimisteooriate kohta lisateabe saamiseks lugege lisadokumendi 4. peatükki "Veel mõned tehnilised küsimused".

5. Üldistused

Siiani on selles artiklis vaadeldud ainult ühe agendi õigustusloogikat, mis on analoogne teadmiste üheagentilise loogikaga. Selgitus Loogikat võib pidada otseste teadmiste loogikaks, mis on seotud kaudsete teadmiste tavapärasema loogikaga. Kirjanduses on uuritud arvukalt süsteeme, mida ei käsitleta ülalpool ja mis hõlmavad paljusid agente või millel on nii kaudsed kui ka otsesed operaatorid või nende kombinatsioon.

5.1 Selgete ja kaudsete teadmiste segamine

Kuna õigustusloogika pakub selgesõnalisi põhjendusi, samal ajal kui tavapärane teadmisteloogika pakub kaudset teadmusoperaatorit, on loomulik kaaluda nende kahe ühendamist ühes süsteemis. Kõige tavalisem selgesõnaliste ja kaudsete teadmiste ühine loogika on S4LP (Artemov ja Nogina 2005). S4LP keel sarnaneb LP keelega, kuid millele on lisatud kaudne teadmisoperaator, kirjutatakse kas K või □. Aksioomaatika on nagu LP oma, kombineerituna kaudse operaatori S4 omaga ning ühendava aksioomiga t: X → □ X, on teada kõik, millel on selgesõnaline põhjendus.

Semantiliselt ei vaja LP võimalikud maailma õigustusmudelid muutmist, kuna neil on juba olemas kõik Hintikka / Kripke mudelite masinad. Üks modelleerib operaatorit □ tavapärasel viisil, kasutades lihtsalt juurdepääsetavuse seost, ja üks modelleerib punktis 3.1 kirjeldatud õigustustermineid, kasutades nii juurdepääsetavust kui ka tõendusfunktsiooni. Kuna tavapärane □ X-i tõesuse tingimus maailmas on üks tingimuse t: X tõesuse kahest klauslist, annab see t-i kehtivuse kohe: X → □ X ja heledus järgneb hõlpsalt. Aksiomaatiline täielikkus on samuti üsna sirgjooneline.

S4LP-s on esindatud nii kaudsed kui ka eksplitsiitsed teadmised, kuid võimaliku maailma õigustusmudeli semantikas on mõlemale üks ligipääsetavuse seos. See pole ainus viis seda teha. Üldisemalt võiks teadmiste juurdepääsetavuse otsene seos olla kaudsete teadmiste jaoks selle õige laiendus. See kujutab selgesõnaliste teadmiste visiooni, mille kohaselt on teadaolevate jaoks rangemad standardid kui kaudsete teadmiste oma. Erinevate juurdepääsetavussuhete kasutamine selgesõnaliste ja kaudsete teadmiste jaoks osutub vajalikuks siis, kui need episteemilised mõisted järgivad erinevaid loogilisi seadusi, nt S5 kaudsete teadmiste jaoks ja LP otseste jaoks. Mitme juurdepääsetavussuhte juhtumit tuntakse kirjanduses tavaliselt Artemov-Fittingi mudelitena, kuid siin nimetatakse seda mitme agendi võimalikeks maailmamudeliteks. (vrd punkt 5.2).

Kummalisel kombel, kuigi loogika S4LP näib üsna loomulik, on realiseerimisteoreem olnud selle jaoks problemaatiline: sellist teoreemi ei saa tõestada, kui nõutakse nn tavamõistmisi (Kuznets 2010). S4LP kaudsete teadmusviiside realiseerimine selgesõnaliste põhjendustega, mis austaksid episteemilist struktuuri, on selles valdkonnas endiselt suur väljakutse.

Kaudsete ja selgesõnaliste teadmiste vaheline interaktsioon võib mõnikord olla üsna delikaatne. Näitena kaaluge järgmist negatiivse sissejuhatuse segapõhimõtet (jällegi □ tuleks lugeda kaudset episteemilist operaatorit),

(6) ¬ t: X → □ ¬ t: X.

Tõendatavuse vaatenurgast on see negatiivse sissejuhatuse õige vorm. Tõepoolest, tõlgendage □ F-d nii, et F on tõestatav ja t: F, kuna t on F-i tõend antud formaalses teoorias T, nt Peano aritmeetilises PA-s. Siis (6) osutab tõestatavale põhimõttele. Tõepoolest, kui t ei ole F-i tõend, siis kuna see väide on otsustatav, saab selle tuvastada T-s, seega on see lause T-s tõestatav. Teisest küljest sõltub tõend p, et 't ei ole F tõend, nii t kui ka F, p = p (t, F) ja seda ei saa arvutada ainult t väärtuse korral. Selles suhtes ei saa □ asendada ühegi konkreetse tõestusmõistega, mis sõltub ainult t-st, ja (6) ei saa seda esitada täiesti selges õigustusstiilis.

Esimesed näited otsestest / kaudsetest teadmiste süsteemidest ilmusid tõestatavuse loogika valdkonnas. Aastal (Sidon 1997, Yavorskaya (Sidon) 2001) tutvustati loogilist LPP-d, mis ühendas tõestatavuse loogika koos tõendite loogikaga LP, kuid tagamaks, et saadud süsteemil oleks soovitavad loogilised omadused mõned lisatoimingud väljastpoolt algkeeli lisati GL ja LP. Aastal (Nogina 2006, Nogina 2007) pakuti tõendite ja tõestatavuse jaoks täielikku loogilist süsteemi GLA GL ja LP originaalkeelte summana. Nii LPP kui ka GLA on täielikud nii aritmeetiliste mudelite klassi kui ka võimalike maailma õigustusmudelite klassi suhtes.

Veel üks näide tõestatavuse põhimõttest, mida ei saa täielikult selgesõnaliseks muuta, on Löbi põhimõte (5). LPP ja GLA kohta on lihtne leida tõestustermin l (x) nii, et

(7) x: (□ F → F) → l (x): F

hoiab. Puudub aga realiseerimine, mis muudaks kõik kolm punkti 5 alapunktis 5 selgesõnaliseks. Tegelikult on realiseeritavuse tõestatavuse põhimõtete komplekt GL ja S4 ristmik (Goris 2007).

5.2 Võimalikud mitut esindajat esindavad maailmapõhimõtte mudelid

Mitmeagentiliste võimalike maailma õigustusmudelite puhul kasutatakse mitut juurdepääsetavussuhet ja nendevahelisi seoseid (Artemov 2006). Idee on selles, et agente on mitu, kõigil on kaudne teadmiste operaator, ja on olemas õigustusterminid, millest iga agent mõistab. Lahtiselt saavad kõik aru selgesõnalistest põhjustest; need moodustavad tõenduspõhise üldteabe.

N -agent võimalik maailma õigustust mudel on struktuuri ⟨G, R 1, …, R n, R, E, V⟩ vastavad järgmistele tingimustele. G on võimalike maailmade kogum. Iga R 1, …, R n on kättesaadavus seoses, üks iga agent. Neid võib vastavalt soovile pidada refleksiivseteks, transitiivseteks või sümmeetrilisteks. Neid kasutatakse esindajate perekonna kaudsete teadmiste modelleerimiseks. Juurdepääsetavuse suhe R vastab LP tingimustele, refleksiivsusele ja läbitavusele. Seda kasutatakse selgesõnaliste teadmiste modelleerimisel. E on tõendusfunktsioon, mis vastab samadele tingimustele, mis LP osas 3.3. V kaardistab pakkumise tähed maailmarühmadesse, nagu tavaliselt. Kehtestatud on eritingimus: iga i = 1,…, n, R i ⊆ R kohta.

Kui M = ⟨G, R 1, …, R n, R, E, V⟩ on multi-agent võimalik maailma õigustust mudel tõde-at-maailma suhtes, M, Γ ⊩ X on määratletud enamik tavalised klauslid. Eriti huvipakkuvad on järgmised:

  • M, Γ ⊩ K i X siis ja ainult siis, kui iga Δ ∈ G kohta koos Γ R i Δ on meil see M, Δ ⊩ X.
  • M, Γ ⊩ t: X siis ja ainult siis, kui Γ ∈ E (t, X) ja iga Δ ∈ G jaoks koos Γ R Δ on meil see M, Δ ⊩ X.

Tingimus R i ⊆ R tähendab, et iga agendi i korral kehtivad t: X → K i X. Kui on ainult üks agent ja selle agendi juurdepääsetavussuhe on refleksiivne ja transitiivne, pakub see S4LP-le veel ühe semantika. Olenemata esindajate arvust, aktsepteerib iga esindaja teadmiste kinnistamiseks selgesõnalisi põhjuseid.

Kahe agendiga LP versiooni tutvustati ja uuriti (Yavorskaya (Sidon) 2008), ehkki seda saab üldistada mis tahes piiratud arvu agentide jaoks. Selles on igal agendil oma õigustusoperaatorite, muutujate ja konstantide komplekt, selle asemel, et kõigil üks ühtne komplekt, nagu ülal. Lisaks võib lubada piiratud esindajate vahelist suhtlust, kasutades uut operaatorit, mis võimaldab ühel agendil kontrollida teise agendi põhjenduste õigsust. Kaheagentilise loogika jaoks loodi nii ühtse maailma kui ka üldisema võimaliku maailma õigustamise semantika versioonid. See hõlmab tõendusfunktsiooni mõiste sirget laiendamist ja võimalike maailma õigustamise mudelite jaoks, kasutades kahte juurdepääsetavussuhet. Realiseerimisteoreemid on tõestatud süntaktiliselt,kuigi arvatavasti toimiks ka semantiline tõend.

Hiljuti on avalike teadaannete rolli mitme agendi õigustusloogikas uuritud (Renne 2008, Renne 2009).

Tõenduspõhiste ühiste teadmiste mõiste kohta on lisadokumendi Mõned tehnilisemad küsimused osas 5.

6. Russelli näide: indutseeritud funktsionaalsus

Põhjendusloogika kasutamiseks on olemas meetod sama fakti erinevate põhjenduste analüüsimiseks, eriti kui mõned põhjendused on faktilised ja mõned mitte. Meetodi demonstreerimiseks kaaluge tuntud näidet:

Kui mees usub, et hilise peaministri perekonnanimi algas tähega B, usub ta, mis on tõsi, kuna hiline peaminister oli sir Henry Campbell Bannerman [5]. Kuid kui ta usub, et hr Balfour oli hilinenud peaminister [6], usub ta ikkagi, et hilise peaministri perekonnanimi algas tähega B, siiski ei usuta, et see usk, ehkki tõene, on teadmine. (Russell 1912)

Nagu jaotises 1.1 käsitletud Punase lauda näites, tuleb siin käsitleda tõese väite kahte põhjendust, millest üks on õige ja teine mitte. Olgu B lause (aluseta aatom), w on määratud põhjenduse muutuja B vale vale põhjuse jaoks ja ra määratud õigustusmuutuja B õige (seega faktilise) põhjuse jaoks. Seejärel Russell näiteks teha järgmised eelduste [7]:

R = {w: B, r: B, r: B → B}

Mõnevõrra vastupidiselt intuitsioonile võib loogiliselt tuletada R funktsionaalsuse w:

  1. r: B (eeldus)
  2. r: B → B (eeldus)
  3. B (1 ja 2 Modus Ponensi poolt)
  4. B → (w: B → B) (juhuslik aksioom)
  5. w: B → B (Modus Ponensi 3-st ja 4-st)

Kuid selles tuletamises kasutatakse asjaolu, et r on B faktiline põhjendus järeldusele w: B → B, mis kujutab w: B jaoks 'esilekutsutud tegelikkuse' juhtumit. Küsimus on selles, kuidas saab eristada r: B "tegelikku" omadust w: B "esilekutsutud tegelikkusest"? Siin on vaja mingisugust tõejälgimist ja Selgitus Loogika on sobiv vahend. Loomulik lähenemisviis on kaaluda eelduste kogumit ilma r: Bta, st

S = {w: B, r: B → B}

ja teha kindlaks, et w, st w: B → B funktsionaalsus ei ole tuletatav S-st. Siin on võimalik maailma õigustamise mudel M = (G, R, E, V), milles S omab, kuid w: B → B ei:

  • G = { 1 },
  • R = ∅,
  • V (B) = ∅ (ja nii mitte - 1 ⊩ B),
  • E (t, F) = { 1 } kõigi paaride (t, F) jaoks, välja arvatud (r, B) ja
  • E (r, B) = ∅.

Lihtne on näha, et sulgemistingimused on täidetud ja Sum on E täidetud. Kell 1, w: B omab, st

1 ⊩ w: B

alates w on kaalukaid tõendeid B 1 ja ei ole võimalik maailmast pääseb 1. Lisaks

mitte- 1 ⊩ r: B

kuna vastavalt E, R ei ole kaalukaid tõendeid B 1. Seega:

1 ⊩ r: B → B

Teiselt poolt,

mitte- 1 ⊩ w: B → B

kuna B ei hoia 1.

7. Põhjenduste enesereferentsiaalsus

Realiseerimisalgoritmid toodavad mõnikord konstantseid spetsifikatsioone, mis sisaldavad enesesuguseid õigustusväiteid c: A (c), see tähendab väiteid, milles õigustus (siin c) leiab aset väites (siin A (c)).

Põhjenduste enesekreferentsus on uus nähtus, mida tavapärases modaalkeeles ei esine. Lisaks intrigeerivatele episteemilistele objektidele pakuvad sellised enesereferentsiaalsed väited semantilisest vaatenurgast erilist väljakutset, kuna on sisse ehitatud nõiaring. Tõepoolest, c hindamiseks tuleks kõigepealt hinnata A-d ja seejärel määrata A-le põhjendusobjekt c-le. Seda ei saa aga teha, kuna A sisaldab c-d, mida tuleb veel hinnata. Selles valdkonnas oli suur lahtine küsimus, kas modaalset loogikat on võimalik realiseerida ilma isereferentsiaalseid põhjendusi kasutamata.

Kuznetsi (Brežnev ja Kuznets 2006) põhitulemuses öeldakse, et põhjenduste enesekindlustamine on vältimatu S4 realiseerimisel LP-s. Asjade hetkeseisu annab Kuznetsi tõttu järgmine teoreem:

Teoreem 5: Modaalse loogika K ja D realiseerimisel saab vältida enesereferentsiaalsust. Modaalloogika T, K4, D4 ja S4 realiseerimisel ei saa vältida enesereferentslikkust.

See teoreem kinnitab, et S4 õigustusterminite süsteem peab tingimata olema isereferentsiline. See tekitab tõestatavuse semantikale tõsiseid, kuigi mitte otseselt nähtavaid piiranguid. Gödeli aritmeetiliste tõendite kontekstis sai probleem hakkama üldise meetodiga, mille kohaselt aritmeetiline semantika omistatakse enesereferentsiaalsetele väidetele c: A (c), väites, et c on A (c) tõend. Tõendite loogikas käsitleti seda mittetriviaalset fikseeritud punktiga konstruktsiooni.

Enesereferentsus annab Moore'i paradoksile huvitava vaatenurga. Üksikasju leiate lisadokumendi jaotisest 6. Veel mõned tehnilised küsimused.

8. Põhjendusloogika kvantifikaatorid

Ehkki väidetava põhjendusloogika uurimine pole kaugeltki lõpule jõudnud, on esmatähtsate versioonide kallal ka juhuslikult tööd tehtud. Modal Logicu kvantifitseeritud versioonid pakuvad juba keerukust, mis ületab tavapärase esimese järjekorra loogika. Põhjendusloogikaga seotud küsimustes on kvantifitseerimisel veelgi laiem valdkond. Klassikaliselt on kvantifitseeritav „objektide” kohal ja mudelid on varustatud domeeniga, mille ulatuses kvantifitseerijad jäävad vahemikku. Modaalselt võib ühel kõigil võimalikel maailmadel olla ühine domeen või iga maailma jaoks võib olla eraldi domeenid. Barcani valemi roll on siin hästi teada. Põhjendusloogika jaoks on saadaval ka püsivad ja erinevad domeenivalikud. Lisaks on olemas võimalus, millel pole Modal Logicu jaoks analoogi: võib kvantifitseerida põhjendused ise.

Kvantifitseeritud põhjenduse loogikaga seotud esialgsed tulemused olid eriti ebasoodsad. Proofs LP loogika aritmeetiline tõestatavuse semantika üldistab loomulikult tavapäraste kvantifikaatoritega esimese järgu versiooni ja tõendite kvantifikaatoritega versiooni. Mõlemal juhul vastati aksiomatilisuse küsimustele eitavalt.

Teoreem 6: Esimese astme tõendite loogika ei ole rekursiivselt loendatav (Artemov ja Yavorskaya (Sidon) 2001). Tõendite kvantifikaatoritega tõendite loogika ei ole rekursiivselt loendatav (Yavorsky 2001).

Ehkki aritmeetiline semantika pole võimalik, anti (Fitting 2008) võimalikule maailma semantikale ja aksiomaatilise tõestuse teooriale LP versiooni jaoks, mille kvantifikaatorid ulatuvad õigustusest erinevalt. Tõestati usaldusväärsus ja täielikkus. Sel hetkel eraldub võimalik maailma semantika aritmeetilisest semantikast, mis võib olla häire põhjuseks või mitte. Samuti näidati, et S4 sulandub kvantifitseeritud loogikasse, tõlkides □ Z, kuna „eksisteerib põhjendus x selliselt, et x: Z *”, kus Z * on Z tõlge. Kuigi see loogika on mõnevõrra keeruline, on see leidnud rakendusi, nt (Dean ja Kurokawa 2009b), et seda kasutada Knoweri paradoksi analüüsimiseks, ehkki sellele analüüsile on vastuväiteid esitatud (Arlo-Costa ja Kishida 2009).

Samuti on tehtud tööd põhjenduste loogika versioonide jaoks koos kvantifikaatoritega objektide üle, nii koos Barcani valemi analoogiga kui ka ilma selleta. Ühtegi neist ei ole avaldatud ja seda tuleks pidada pooleli olevaks.

9. Ajaloolised märkmed

Esialgne põhjendus Loogikasüsteem, tõendite loogika, võeti kasutusele 1995. aastal (Artemov 1995) (vrd ka (Artemov 2001)), kus esmakordselt kehtestati sellised põhiomadused nagu internaliseerimine, realiseerimine, aritmeetiline täielikkus. LP pakkus Gödeli tõestatavuse loogika S4 jaoks kavandatavat tõestatavuse semantikat, pakkudes seeläbi Brouwer-Heyting-Kolmogorovi semantilisuse vormistamist intuitsioonilise ettepanekuloogika jaoks. Episteemiline semantika ja terviklikkus (Fitting 2005) kehtestati esmakordselt LP jaoks. LP sümboolsed mudelid ja otsustatavus tulenevad Mkrtychevist (Mkrtychev 1997). Keerukuse hinnangud ilmusid esmakordselt (Brežnev ja Kuznets 2006, Kuznets 2000, Milnikel 2007). Kõigi otsustamis- ja keerukustulemuste põhjaliku ülevaate leiate (Kuznets 2008). Systems J, J4,ja JT-d käsitleti esmakordselt (Brežnev 2001) erinevate nimede all ja pisut erinevas keskkonnas. JT45 ilmus iseseisvalt väljaannetes (Pacuit 2006) ja (Rubtsova 2006) ning JD45 väljaandes (Pacuit 2006). Ühe järelduse tõendite loogika on leitud (Krupski 1997). Põhjendatud teadmistel põhinevat ühisteadmiste üldisemat lähenemist pakuti artiklis (Artemov 2006). Põhjenduse loogika ja dünaamilise episteemilise loogika mängude semantikat koos põhjendustega uuriti (Renne 2008, Renne 2009). Põhjenduse loogika ja loogilise üldteabe probleemi seoseid uuriti artiklis (Artemov ja Kuznets 2009, Wang 2009). Nimi Selgitus Loogika võeti kasutusele (Artemov 2008), kus vormistati Kripke, Russell ja Gettier näited; seda vormistamist on kasutatud paradokside lahendamiseks, kontrollimiseks,varjatud eelduse analüüs ja koondamiste kõrvaldamine. Dokumendis (Dean ja Kurokawa 2009a) kasutati Knoweri ja teadlikkuse paradokside analüüsimisel loogikat.

Bibliograafia

  • Antonakos, E. (2007). “Põhjendatud ja üldised teadmised: piiratud konservatiivsus”, S. Artemov ja A. Nerode (toim.), Arvutiteaduse loogilised alused, rahvusvaheline sümpoosion, LFCS 2007, New York, NY, USA, 4. – 7. Juuni 2007, Proceedings (Arvutiteaduse loengumärkused: köide 4514), Berliin: Springer, lk 1–11.
  • Arlo-Costa, H. ja K. Kishida (2009). “Kolm tõendit ja teadja tõendite kvantitatiivses loogikas” ametlikus epistemoloogia õpikojas / FEW 2009. Proceedings, Carnegie Melloni ülikool, Pittsburgh, PA, USA.
  • Artemov, S. (1995). “Operatiivne modaaloogika”, tehniline aruanne MSI 95–29, Cornelli ülikool.
  • –––. (2001). „Selgesõnaline tõestatavus ja konstruktiivne semantika”, Sümboolse loogika bülletään, 7 (1): 1–36.
  • –––. (2006). “Põhjendatud üldteadmised”, Teoreetiline informaatika, 357 (1–3): 4–22.
  • –––. (2008). “Põhjendamise loogika”, sümboolse loogika ülevaade, 1 (4): 477–513.
  • Artemov, S. ja R. Kuznets (2009). “Loogiline kõiketeadlikkus kui arvutusliku keerukuse probleem”, A. Heifetzis (toim), Ratsionaalsuse ja teadmiste teoreetilised aspektid, kaheteistkümnenda konverentsi toimetised (TARK 2009), ACM Kirjastus, lk 14–23.
  • Artemov, S. ja E. Nogina (2005). “Põhjenduse tutvustamine episteemilises loogikas”, Journal of Logic and Computation, 15 (6): 1059–1073.
  • Artemov, S. ja T. Yavorskaya (Sidon) (2001). “Esimese astme tõendite loogikast”, Moskva Mathematical Journal, 1 (4): 475–490.
  • Boolos, G. (1993). Tõendatavuse loogika, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Brežnev, V. (2001). “Tõendite loogikast”, K. Striegnitzis (toim), ESSLLI kuuenda õpilasistungi 13. Euroopa loogika, keele ja teabe suvekooli (ESSLLI'01) artiklid, lk 35–46.
  • Brežnev, V. ja R. Kuznets (2006). “Teadmiste täpsustamine: kui raske see on”, Teoreetiline arvutiteadus, 357 (1–3): 23–34.
  • Cubitt, RP ja R. Sugden (2003). “Ühised teadmised, silmapaistvus ja tavapärasus: David Lewise mängude teooria rekonstrueerimine”, Economics and Philosophy, 19: 175–210.
  • Dean, W. ja H. Kurokawa (2009a). “Teadmiste paradoksist tõendite olemasoluni”, Synthese, 176 (2): 177–225.
  • –––. (2009b). “Teadmised, tõestusmaterjal ja teadja”, A. Heifetz (toim), Ratsionaalsuse ja teadmiste teoreetilised aspektid, kaheteistkümnenda konverentsi toimetised (TARK 2009), ACM Publications, lk 81–90.
  • Dretske, F. (2005). “Kas teadmised on teadaoleva kaasamise korral suletud? Juhtum sulgemise vastu”, M. Steup ja E. Sosa (toim), Epistemoloogia kaasaegsed arutelud, Oxford: Blackwell, lk 13–26.
  • Fagin, R., J. Halpern, Y. Moses ja M. Vardi (1995). Teadmiste põhjendamine, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Fitting, M. (2005). “Tõendite loogika semantiliselt”, Annals of Pure and Applied Logic, 132 (1): 1–25.
  • –––. (2006). “Asendusteoreem LP jaoks ”, tehniline aruanne TR-2006002, New Yorgi Linnaülikooli arvutiteaduse osakond.
  • –––. (2008). “Tõendite kvantifitseeritud loogika”, Annals of Pure and Applied Logic, 152 (1–3): 67–83.
  • –––. (2009). “Realisatsioonid ja LP ”, Puhta ja rakendatud loogika ajakirjad, 161 (3): 368–387.
  • Gettier, E. (1963). "Kas õigustatud tõdemus on teadmine?" Analüüs, 23: 121–123.
  • Girard, J.-Y., P. Taylor ja Y. Lafont (1989). Tõendid ja tüübid (Cambridge Tracts in Computer Science: 7. köide), Cambridge: Cambridge University Press.
  • Gödel, K. (1933). “Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalkuls”, Ergebnisse matemaatika. Kolloq., 4: 39–40. Ingliskeelne tõlge: S. Feferman et al. (toim), Kurt Gödeli kogutud teosed (1. köide), Oxford ja New York: Oxford University Press ja Clarendon Press, 1986, lk 301–303.
  • –––. (1938). “Vortrag bei Zilsel / Loeng Zilseli juures” (* 1938a), S. Feferman, JJ Dawson, W. Goldfarb, C. Parsons ja R. Solovay (toim), avaldamata esseed ja loengud (Kurt Gödel Kogutud teosed: Köide III), Oxford: Oxford University Press, 1995, lk 86–113.
  • Goldman, A. (1967). „Põhjusliku põhjuslikkuse teooria”, ajakiri Philosophy, 64: 335–372.
  • Goodman, N. (1970). „Konstruktsioonide teooria on samaväärne aritmeetikaga”, J. Myhill, A. Kino ja R. Vesley (toim), intuitsiooni ja tõestusteooria, Amsterdam: Põhja-Holland, lk 101–120.
  • Goris, E. (2007). “Selgesõnalised tõendid formaalse tõestatavuse loogikas”, S. Artemov ja A. Nerode (toim), Computer Science Logical Foundations of International Symposium, LFCS 2007, New York, NY, USA, 4. – 7. Juuni 2007, Proceedings (ecture Note in Computer Science: köide 4514), Berliin: Springer, lk 241–253.
  • Hendricks, V. (2005). Mainstream ja Formal Epistemology, New York: Cambridge University Press.
  • Heyting, A. (1934). Mathematische Grundlagenforschung. Intuitsioonismus. Beweistheorie, Berliin: Springer.
  • Hintikka, J. (1962). Teadmised ja usk, Ithaca: Cornell University Press.
  • Kleene, S. (1945). “Intuitionistliku arvuteooria tõlgendamise kohta”, The Journal of Symbolic Logic, 10 (4): 109–124.
  • Kolmogorov, A. (1932). “Zur Deutung der Intuitionistischen Logik”, Mathematische Zeitschrift, 35: 58–65. Ingliskeelne tõlge VM Tikhomirovis (toim), AN Kolmogorovi valitud teosed. I köide: matemaatika ja mehaanika, Dordrecht: Kluwer, 1991, lk 151–158.
  • Kreisel, G. (1962). „Intuitsionistliku loogika alused”, E. Nagel, P. Suppes ja A. Tarski (toim), loogika, metoodika ja teadusfilosoofia. 1960. aasta rahvusvahelise kongressi materjalid, Stanford: Stanford University Press, lk 198–210.
  • –––. (1965). “Matemaatiline loogika”, T. Saaty (toim), Loengud kaasaegses matemaatikas III, New York: Wiley ja pojad, lk 95–195.
  • Krupski, V. (1997). “Tõendite toimimisloogika funktsionaalsuse tingimusega tõendipregaadil”, S. Adian ja A. Nerode (toim.), Computer Science Logical Foundations, 4. rahvusvaheline sümpoosion, LFCS'97, Jaroslavl, Venemaa, 6. – 12. Juuli 1997, Toimetised (arvutiteaduse loengumärkused: köide 1234), Berliin: Springer, lk 167–177.
  • Kurokawa, H. (2009). “Tableaux ja hüpersekvendid põhjendusloogika jaoks”, S. Artemov ja A. Nerode (toim), Arvutiteaduse loogilised alused, rahvusvaheline sümpoosion, LFCS 2009, Deerfield Beach, FL, USA, 3. – 6. Jaanuar 2009, Proceedings (Loengumärkused arvutiteaduses: köide 5407), Berliin: Springer, lk 295–308.
  • Kuznets, R. (2000). “Selgesõnalise modaaloogika keerukuse kohta”, P. Clote ja H. Schwichtenberg (toim), Computer Science Logic, 14. rahvusvaheline töötuba, CSL 2000, EACSLi aastakonverents, Fischbachau, Saksamaa, 21. – 26. August 2000, Toimetised (loengumärkused arvutiteaduses: köide 1862), Berliin: Springer, lk 371–383.
  • –––. (2008). Põhjendusloogika keerukusküsimused, Ph. D. väitekiri, New Yorgi Linnaülikooli Graduate Centeri arvutiteaduse osakond.
  • –––. (2010). “ Märkused S4LP realiseerimise ebaharilikkuse kohta”, autorites K. Brünnler ja T. Studer (toim.), Tõend, arvutamine, PCC keerukuse kompleks 2010, rahvusvaheline töötuba, toimetised, IAMi tehnilised aruanded IAM-10-001, arvutiinstituut Teaduse ja rakendusmatemaatika, Berni ülikool.
  • McCarthy, J., M. Sato, T. Hayashi ja S. Igarishi (1978). “Teadmiste näidisteooria kohta”, tehniline aruanne STAN-CS-78-667, Stanfordi ülikooli arvutiteaduse osakond.
  • Milnikel, R. (2007). „Tõendusloogika teatud alamsüsteemides on tuletatavus Π 2 p- täielik”, Annals of Pure and Applied Logic, 145 (3): 223–239.
  • –––. (2009). S. Conservatiivsus õigustatud usu loogika jaoks, S. Artemov ja A. Nerode (toim.), Arvutiteaduse loogilised alused, rahvusvaheline sümpoosion, LFCS 2009, Deerfield Beach, FL, USA, 3. – 6. Jaanuar 2009, Proceedings (Loengumärkused arvutiteaduses: köide 5407), Berliin: Springer, lk 354–364.
  • Mkrtychev, A. (1997). “Tõestusloogika mudelid”, S. Adian ja A. Nerode (toim.), Arvutiteaduse loogilised alused, 4. rahvusvaheline sümpoosion, LFCS'97, Jaroslavl, Venemaa, 6. – 12. Juuli 1997, Toimetised (loeng Märkused arvutiteaduses: köide 1234), Berliin: Springer, lk 266–275.
  • Nogina, E. (2006). “Tõendusloogika ja tõestatavuse kohta”, Sümboolse Loogika Assotsiatsiooni 2005. aasta suvekoosolek, Logic Colloquium'05, Ateena, Kreeka (28. juuli – 3. august 2005), Sümboolse loogika bülletään, 12 (2): 356.
  • –––. (2007). “ GLA episteemiline täielikkus”, Florida Sümboolika Loogika Assotsiatsiooni aastakoosolek, Florida ülikool, Gainesville, Florida (10. – 13. Märts 2007), sümboliloogika bülletään, 13 (3): 407.
  • Pacuit, E. (2006). “Märkused mõningase selgesõnalise modaalse loogika kohta”, tehniline aruanne PP – 2006–29, loogika-, keele- ja arvutusinstituut, Amsterdami ülikool.
  • Plaza, J. (2007). “Avaliku kommunikatsiooni loogika”, Synthese, 158 (2): 165–179.
  • Renne, B. (2008). Dünaamiline episteemiline loogika koos põhjendusega, doktoritöö, arvutiteaduse osakond, CUNY kraadiõppe keskus, New York, NY, USA.
  • –––. (2009). “Tõendite kaotamine mitme agendi põhjendusloogikas”, A. Heifetz (toim), Ratsionaalsuse ja teadmiste teoreetilised aspektid, kaheteistkümnenda konverentsi toimetised (TARK 2009), ACM Publications, lk 227–236.
  • Rose, G. (1953). Algprobleemiline arvutus ja realiseeritavus, Ameerika Matemaatika Seltsi tehingud, 75: 1–19.
  • Rubtsova, N. (2006). “ S5- modaalsuse realiseerimisest tõendusmaterjalide abil”, Journal of Logic and Computation, 16 (5): 671–684.
  • Russell, B. (1912). Filosoofia probleemid, Oxford: Oxford University Press.
  • Sidon, T. (1997). “Tõendatavuse loogika tõendite kasutamisega”, S. Adian ja A. Nerode (toim.), Arvutiteaduse loogilised alused, 4. rahvusvaheline sümpoosion, LFCS'97, Jaroslavl, Venemaa, 6. – 12. Juuli 1997, Proceedings (loeng Märkused arvutiteaduses: köide 1234), Berliin: Springer, lk 342–353.
  • Troelstra, A. (1998). “Realiseeritavus”, S. Buss (toim), Tõestusteooria käsiraamat, Amsterdam: Elsevier, lk 407–474.
  • Troelstra, A. ja H. Schwichtenberg (1996). Algteabe teooria, Amsterdam: Cambridge University Press.
  • Troelstra, A. ja D. van Dalen (1988). Matemaatika konstruktivism (1. ja 2. köide), Amsterdam: Põhja-Holland.
  • van Dalen, D. (1986). “Intuitionistlik loogika”, D. Gabbay ja F. Guenther (toim.), Filosoofilise loogika käsiraamat (3. köide), Bordrecht: Reidel, lk 225–340.
  • van Ditmarsch, H., W. van der Hoek ja B. Kooi (toim), (2007). Dünaamiline episteemiline loogika (Synthese'i raamatukogu, köide 337), Berliin: Springer..
  • von Wright, G. (1951). Essee modaalses loogikas, Amsterdam: Põhja-Holland.
  • Wang, R.-J. (2009). H. Ono, M. Kanazawa ja R. de Queiroz (toim) teadmised, aeg ja loogiline kõiketeadmine, loogika, keel, teave ja arvutus, 16. rahvusvaheline töötuba, WoLLIC 2009, Tokyo, Jaapan, 21. juuni -24, 2009, Toimetised (tehisintellekti loengumärkused: köide 5514), Berliin: Springer, lk 394–407.
  • Yavorskaya (Sidon), T. (2001). “Tõestusloogika ja tõestatavus”, Annals of Pure and Applied Logic, 113 (1–3): 345–372.
  • –––. (2008). “Selgesõnaliste tõenduslike süsteemide koostoimimine”, arvutisüsteemide teooria, 43 (2): 272–293.
  • Yavorsky, R. (2001). „Tõendatavuse loogika koos tõendite kvantifikaatoritega”, Annals of Pure and Applied Logic, 113 (1–3): 373–387.

Akadeemilised tööriistad

sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon
info ikoon
Vaadake seda sisestusteema Indiana filosoofia ontoloogia projekti (InPhO) alt.
phil paberite ikoon
phil paberite ikoon
Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

Soovitatav: