Statistilise Mehaanika Filosoofia

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-05-24 11:17

Sisenemise navigeerimine

• Sissesõidu sisu
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Sõprade PDF-i eelvaade
• Teave autori ja tsitaadi kohta
• Tagasi üles

Statistilise mehaanika filosoofia

Esmakordselt avaldatud 12. aprillil 2001; sisuline redaktsioon reedel 24. juulil 2015

Statistiline mehaanika oli esimene põhiline füüsikaline teooria, milles olulist rolli mängisid tõenäosuslikud mõisted ja tõenäosuslikud seletused. Filosoofi jaoks on see ülioluline proovijuhtum, kus võrrelda filosoofide ideid tõenäosuslike väidete tähenduse ja tõenäosuse rolli kohta selgitamisel sellega, mis tegelikult toimub siis, kui tõenäosus siseneb füüsikalisesse alusteooriasse. Asümmeetria statistiliste mehaanikute pakutav ülevaade füüsikaliste protsesside ajal mängib olulist rolli ka filosoofi katses mõista põhjusliku seose ja aja enda väidetavaid asümmeetriaid.

• 1. Ajalooline visand
• 2. Tõenäosuste ja statistiliste selgituste filosoofid
• 3. Tasakaaluteooria
• 4. Mittetasakaaluline teooria
• 5. Pöördumatus
• 6. Termodünaamika redutseerimine (?) Statistiliseks mehaanikaks
• 7. Aja suund
• 8. Kvantdünaamika
• 9. Faasimuutus
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. Ajalooline visand

Alates seitsmeteistkümnendast sajandist saadi aru, et materiaalseid süsteeme saab sageli kirjeldada väheste kirjeldavate parameetrite abil, mis on üksteisega seotud lihtsal seaduspärasel viisil. Need parameetrid osutasid aine geomeetrilistele, dünaamilistele ja termilistele omadustele. Seadustele oli tüüpiline ideaalse gaasi seadus, mis seostas gaasi rõhu ja mahu gaasi temperatuuriga.

Peagi mõisteti, et põhimõtteline mõiste on tasakaal. Enda jaoks süsteemid muudaksid nende parameetrite väärtusi, kuni nad jõuavad seisundisse, kus enam mingeid muutusi ei täheldatud - tasakaaluseisundisse. Lisaks selgus, et selline spontaanne lähenemine tasakaalule oli ajaliselt asümmeetriline protsess. Näiteks ebaühtlane temperatuur muutus, kuni temperatuur oli ühtlane. Sama tihendamise protsess toimus ka tiheduste osas.

S. Carnoti põhjalikud uuringud võime kohta eraldada mehaaniline töö mootoritest, mis töötavad boileri ja kondensaatori temperatuurierinevuse tõttu, viisid R. Clausius sisse veel ühe olulise süsteemi, mis kirjeldab materjali süsteemi, selle entroopiat. Kuidas seletati mateeria kirjeldamiseks vajaliku lihtsa parameetrite komplekti olemasolu ja neid ühendavaid seaduspäraseid seaduspärasusi? Mis tingis tasakaalu lähenemise ja selle aja asümmeetria? Üks põhiprintsiip oli see, et keha soojusisaldus oli mehaaniliseks tööks muundatav ja sellest muundatav energiavorm. Isoleeritud süsteemi võimetus spontaanselt liikuda korrapärasemasse olekusse, alandada oma entroopiat oli teine. Aga miks need seadused olid tõesed?

Üks lähenemisviis, nii P. Duhemi, E. Machi kui ka “energeetikute” lähenemine, oli rõhutada, et need põhimõtted on autonoomsed fenomenoloogilised seadused, mis ei vaja täiendavat maandamist mõnes muus füüsilises põhimõttes. Alternatiivne lähenemisviis oli väita, et kehas soojusena salvestatud energia on keha mingisuguste peidetud, mikroskoopiliste koostisosade liikumisenergia, ja nõuda, et arvestatud seadustega - termodünaamiliste põhimõtetega - tuleks arvestada. välja makroskoopilise objekti konstrueerimisel selle osadest ja nende osade liikumist reguleerivatest põhilistest dünaamilistest seadustest. See on soojuse kineetiline teooria.

W. Herepathi ja J. Waterstoni varasemat tööd kineetilise teooria osas praktiliselt eirati, kuid A. Krönigi töö tegi kineetilise teooria füüsikas elavaks teemaks. JC Maxwell tegi suure edusammu, tuletades mõnest lihtsast postulaadist seaduse gaasi molekulide kiiruste jaotuse kohta tasakaalus olles. Nii Maxwell kui ka L. Boltzmann läksid kaugemale ja erinevatel, kuid omavahel seotud viisidel tuletasid võrrandi lähenemisel gaasi tasakaalule. Maxwelli varem leitud tasakaalulist jaotust võib siis näidata selle võrrandi statsionaarse lahendusena.

See varane töö kohtus jõuliste vastuväidetega. H. Poincaré oli tõestanud piiratud dünaamiliste süsteemide korduvuse teoreemi, mis näis olevat vastuolus termodünaamika nõutud tasakaalulise monotoonilise lähenemisega. Poincaré teoreem näitas, et iga õigesti piiritletud süsteem, milles energiat säästetakse, tagastab lõpmatu aja jooksul vajaduse lõpmatu arv kordi olekutele, mis on meelevaldselt lähedal algsele dünaamilisele olekule, milles süsteem käivitati. J. Loschmidt väitis, et termodünaamika ajaline pöördumatus oli kokkusobimatu sümmeetriaga, mille korral klassikalise dünaamika ajaline ümberpööramine eeldab objekti molekulaarsete koostisosade liikumist.

Osaliselt ajendatuna vajadusest käsitleda neid vastuväiteid, hakkasid Maxwell ja Boltzmann teoorias kasutusele tõenäosusmõisteid. Mõlemad mõistsid, et koguste tasakaalulisi väärtusi saab arvutada, kehtestades tõenäosusjaotuse mikroskoopilistes dünaamilistes olekutes, mis ühilduvad süsteemile seatud piirangutega, ja tuvastades vaadeldud makroskoopilised väärtused mikroskoopilistest olekutest määratletavate koguste keskmiste abil, kasutades seda tõenäosusjaotust. Kuid mis oli selle protseduuri füüsiline õigustus?

Mõlemad väitsid ka, et tasakaalustamatuse teoorias nõutavat tasakaalu poole pöördumist võib mõista ka tõenäosuslikult. Maxwell, tutvustades mõistet "deemon", kes võiks manipuleerida süsteemi mikroskoopiliste olekutega, väitis, et entroopilise suurenemise seadus kehtib ainult tõenäosuslikult. Boltzmann pakkus välja oma võrrandi tõenäosusliku versiooni, mis kirjeldab lähenemist tasakaalule. Ilma märkimisväärse hoolitsuseta võib Boltzmanni pilt siiski osutuda vastupidiseks korduvuse ja pöörduvuse vastuväidetele, mida tõlgendatakse tõenäosuslikult.

Oma elu lõpul vastas Boltzmann vastuväidetele tõenäosusteooriale, pakkudes teooria ajasümmeetrilist tõlgendust. Süsteemid olid tõenäosuslikult peaaegu alati tasakaalule lähedal. Kuid võib oodata mööduvaid kõikumisi mittetasakaalustatud olekutesse. Olles tasakaalustamata olekus, oli suure tõenäosusega süsteem nii pärast kui ka enne seda olekut lähemal tasakaalule. Miks me siis elasime universumis, mis polnud lähedal tasakaalule? Võib-olla oli universum ruumis ja ajas tohutu ning me elasime selle „väikeses” tasakaalustamatus kõikumises. Me leidsime end ainult sellisest "ebatõenäolisest" osast, sest ainult sellises piirkonnas võisid eksisteerida tundlikud olendid. Miks leidsime, et entroopia kasvab tuleviku, mitte mineviku poole? Siin oli vastus, et nii nagu kohalik gravitatsiooni suund määratles, mida me mõtlesime ruumi allapoole suunatud suunale, fikseeris lokaalne suund ajas, milles entroopia suurenes, selle, mida me võtsime aja tulevaseks suunaks.

Ühes olulises teoses (mis on loetletud bibliograafias) pakkusid P. ja T. Ehrenfest ette ka Boltzmanni tasakaalu lähenemise võrrandi lugemise, mis väldiks korduvaid vastuväiteid. Siin võrrandi lahenduse abil kirjeldati mitte süsteemi “ülima tõenäolist arengut”, vaid selle asemel esitati olekute jada, mis erinevatel aegadel leiduvad ülekaalus süsteemide kogumis, mis kõik algasid samast mitte- tasakaalu seisund. Isegi kui iga üksik süsteem korduks oma algtingimustesse, võib see “kontsentratsioonikõver” siiski näidata monotoonset muutust tasakaalu poole esialgsest mittetasakaalulisest seisundist.

Paljud statistikamehaanika filosoofilised küsimused keskenduvad tõenäosuse mõistele, nagu see teoorias ilmneb. Kuidas neid tõenäosusi mõistetakse? Mis õigustas ühe tõenäosusjaotuse valimist teise asemel? Kuidas kasutatakse teooria piires prognooside tegemisel tõenäosusi? Kuidas neid saab kasutada vaatlusaluste nähtuste selgitamiseks? Ja kuidas on tõenäosusjaotused ise selgitava konto saamiseks? See tähendab, mis on füüsilise maailma olemus, mis vastutab korrektsete tõenäosuste eest, mis mängivad nende teoorias edukat rolli?

2. Tõenäosuste ja statistiliste selgituste filosoofid

Tõenäosuse tõlgendamisega tegelevad filosoofid tegelevad tavaliselt järgmise probleemiga: Tõenäosust iseloomustavad mitmed formaalsed reeglid, nendest keskseim on tõenäosuste liitmine lahus olevate võimalustega. Kuid mida peaksime võtma formaalse teooria teooriaks? Mõned tõlgendused on „objektivistlikud”, võttes tõenäosusena, et need võivad olla tulemuste sagedused või selliste sageduste idealiseeritud piirid, või võib-olla mõõta tulemuste „dispositsiooni” või „kalduvust” konkreetsetes testimisolukordades.

Muud tõlgendused on „subjektivistlikud”, võttes tõenäosust, et mõõdetakse „uskumuse astet”, mida võib-olla tõestavad käitumine riskisituatsioonides saadaolevate loteriide valimine tulemuste asemel. Veel üks tõlgendus loeb tõenäosusi kui väidete omamoodi "osalise loogilise kaasatuse" mõõtmeid.

Ehkki statistikamehaanikas on tõenäosuse subjektivistlikke (või pigem loogilisi) tõlgendusi (nt E. Jaynes), valib enamik teooria tõlkijaid tõenäosuse objektivistliku tõlgendamise. See jätab siiski lahtiseks olulised küsimused selle kohta, mis "objektiivsel" tunnusel on teooria eeldatavad tõenäosused ja kuidas loodus soovib, et sellised tõenäosused tema käitumises ilmneksid.

Statistilise seletusega tegelevad filosoofid on üldiselt keskendunud tõenäosuse igapäevasele kasutamisele selgitamisel või tõenäosuslike seletuste kasutamisele sellistes erialades nagu sotsiaalteadused. Mõnikord on soovitatud tulemuse tõenäosuslikku selgitamist näidata, et see on tõenäoliselt aset leidnud, võttes arvesse maailma taustafakte. Muudel juhtudel soovitatakse tulemuse tõenäoliseks selgitamiseks toota fakte, mis suurendavad selle tulemuse tõenäosust selle asemel, mis oleks olnud, kui neid fakte eirataks. Veel väidavad teised, et tõenäosuslik seletus näitab, et sündmus on olnud mingi maailma tunnuse põhjuslik tulemus, mida iseloomustab tõenäosuslik põhjuslik dispositsioon.

Mittetasakaalulise statistilise mehaanika seletusmustrid paigutavad mateeria makroskoopiliste tunnuste muutumise tõenäosusmustrisse võimalike mikroskoopiliste arengutega võrreldes. Pakutavad selgitustüübid sobivad siin traditsiooniliste filosoofiliste mudelitega. Peamised lahtised küsimused on seotud eeldatavate tõenäosuste selgitavate põhjustega. Nagu näeme tasakaaluteoorias, on statistilisel seletusmustril üsna erinev olemus.

3. Tasakaaluteooria

Tasakaaluliselt energeetiliselt isoleeritud süsteemi omaduste arvutamise standardmeetodi algatasid Maxwell ja Boltzmann ning selle töötas välja mikrokanoonilise ansamblina J. Gibbs. Siin kehtestatakse tõenäosusjaotus mikroskoopiliste olekute komplekti suhtes, mis ühildub süsteemile seatud väliste piirangutega. Seda tõenäosusjaotust kasutades arvutatakse gaasi mikroskoopiliste tingimuste (faasi keskmised) täpsustatud funktsioonide keskmised väärtused. Neid identifitseeritakse makroskoopiliste tingimustega. Kuid tekivad mitmed küsimused: miks see tõenäosusjaotus? Miks makroskoopiliste tingimuste keskmised väärtused? Kuidas on faasi keskmised seotud makroskoopilise süsteemi mõõdetud tunnustega?

Boltzmann arvas, et makroskoopiliste tunnustega samastumiseks sobivad keskmised väärtused on mikroskoopilistest olekutest arvutatavate koguste keskmised aja jooksul. Ta soovis tuvastada faasi keskmised selliste ajakeskmistega. Ta mõistis, et seda saab teha, kui mis tahes mikroskoopilises olekus käivitatud süsteem läbib lõpuks kõik võimalikud mikroskoopilised olekud. See oli nii tuntud kui ergoodiline hüpotees. Kuid see on topoloogiliste ja teoreetiliste aluste mõõtmisel väidetavalt vale. Nõrgem väide, et mis tahes olekus käivitatud süsteem läheks mikroskoopilises olekus meelevaldselt lähedale, on samuti vale ja isegi kui tõene, ei teeks see vajalikku tööd.

Nendest varajastest ideedest arenes välja ergoodilise teooria matemaatiline distsipliin. Millal saab faasi keskmist tuvastada aja keskmisega lõpmatu aja jooksul? G. Birkhoff (varasemate tulemustega, autorid J. von Neumann) näitas, et see oleks kõigi, kuid võib-olla kõigi trajektooride nullmõõtmete komplekti korral (standardmõõtmes, mida kasutatakse tõenäosusfunktsiooni määratlemiseks), kui faasipunktide komplekt oleks meetriliselt mittekomposteeritav, see tähendab, et seda ei saa jagada mitmeks tükiks nii, et iga tüki mõõt oleks suurem kui null ja selliseks, et ühes tükis käivitatud süsteem arenes alati selles tükis süsteemiks.

Kuid kas süsteemi realistlik mudel vastas kunagi meetrilise kirjeldamatuse tingimusele? Meetrilise mittekompositsioonitavuse saamiseks on vajalik trajektooride piisav ebastabiilsus, et trajektoorid ei moodustaks nullist erineva suurusega rühmi, mis ei suuda kogu faasipiirkonna ulatuses piisavalt tiirutada. Varjatud liikumiskonstandi olemasolu rikuks meetrilist kirjeldamatust. Pärast palju vaevalist tööd, mille kulminatsiooniks oli Ya. Siinai puhul näidati, et mõned süsteemide "realistlikud" mudelid, näiteks gaasi mudel kui karbi karbisfäär, vastavad meetrilisele kirjeldamatusele. Teisest küljest näitab dünaamilise teooria veel üks tulemus, Kolmogorov-Arnold-Moseri (KAM) teoreem, et realistlikumad mudelid (näiteks molekulid, mis interakteeruvad “pehmete” potentsiaalide abil) ei vasta tõenäoliselt ergodicityle selle otseses tähenduses. Sellistel juhtudel on vaja ka peenemat arutluskäiku (tuginedes paljudele vabadusastmetele süsteemis, mis koosneb suurest arvust koostisosadest).

Mida ergodicity valdab, mida saab näidata? Võib näidata, et kõigi algpunktide nullpunktist erineva komplekti korral võrdub lõpmatu aja jooksul faasikoguse ajakeskmine selle faasi keskmisega. Võib näidata, et iga mõõdetava piirkonna jaoks kulub keskmine aeg selles piirkonnas proportsionaalselt piirkonna suurusega (mõõdetuna mikrokanoonilises ansamblis kasutatava tõenäosusmõõduga). Samuti on arenenud edasise probleemi lahendus. Boltzmann teadis, et standardne tõenäosusjaotus oli süsteemide dünaamikat arvestades aja jooksul muutumatu. Kuid kuidas võisime teada, et see oli ainus selline muutumatu meede? Ergodicity abil saame näidata, et tavaline tõenäosusjaotus on ainus, mis on nii muutumatu,vähemalt siis, kui piirduda tõenäosusmõõtudega, mis omistavad tõenäosuse nulli igale standardmõõduga nullile määratud komplektile.

Siis on meil olemas mingi "transtsendentaalne deduktsioon" mikroskoopiliste olekute jaoks omistatud standardtõenäosuse osas tasakaalu korral. Tasakaal on ajas muutumatu olek. Seega nõuame, et tõenäosusmõõt, mille abil tasakaalukogused arvutatakse, oleks ka ajaliselt paigal. Kui eeldada, et tõenäosusmõõtmeid, millega tavapärase mõõtmega nullile määratud olekukogumitele omistatakse nullist erinev tõenäosus, saab eirata, siis võime näidata, et standardtõenäosus on ainus selline ajaline invariantne tõenäosus dünaamika alusel, mis juhib üksikuid süsteeme ühest mikroskoopiline olek teisele.

Tasakaalustatuse statistilise mehaanika täieliku "põhjendusena" jääb siiski palju küsitavaks. Probleem on selles, et range ergodicity ei kehti tõeste süsteemide puhul. Põhjenduse kasutamisel on palju probleeme, kuna Boltzmann lootis tuvastada mõõdetud kogustega faasi keskmised, tuginedes tõsiasjale, et makroskoopilised mõõtmised võtavad molekulaarskaalal pikka aega. Probleeme tekitab asjaolu, et kõiki matemaatiliselt õigustatud ergoodilisi tulemusi kvalifitseeritakse eranditega nullmõõtmete komplektide jaoks. Mis teeb füüsiliselt trajektooride komplekti eiramise õigustatud just seetõttu, et sellel on standardmõõt null? Lõppude lõpuks põhjustab selline hoolimatus katastroofiliselt valesid ennustusi, kui liikumisvõimalused on tegelikult varjatud, globaalsed. Standardmõõtme ainulaadselt invariantse tõestamisel miks on meil õigus ignoreerida tõenäosusmõõtmeid, mis määravad nullist erineva tõenäosuse tingimuste komplektile, millele on standardmõõtmeks määratud null tõenäosus? Lõppude lõpuks üritasime õigustada just selle standardmeetme kasutamist.

Igal juhul on tasakaaluteooria kui autonoomne distsipliin eksitav. Lõppude lõpuks on see, mida me tahame, tasakaalu käsitlemine tasakaalustamatuses. Tahaksime mõista, kuidas ja miks süsteemid arenevad mis tahes algselt fikseeritud makroskoopilisest olekust, võttes tasakaalu just sellise dünaamilise evolutsiooni "lõpp-punktiks". Seega peame pöörduma mittetasakaalu üldise arvepidamise poole, kui soovime täielikku arusaamist selle tõenäosusteooria toimimisest füüsikas.

4. Mittetasakaaluline teooria

Boltzmann esitas võrrandi lahjendatud gaaside osakeste kiiruste jaotumise muutumisel tasakaalustamatust lähteseisundist (Boltzmanni võrrand). Teist tüüpi süsteemide jaoks on leitud mitmeid järgnevaid võrrandeid, kuigi üldistamine, näiteks, tihedatele gaasidele, on osutunud keerukaks. Kõiki neid võrrandeid nimetatakse kineetilisteks võrranditeks.

Kuidas neid õigustada ja selgitada? Pärast Boltzmanni tööd järgnenud diskussioonides pöördumatuse probleemi üle keskenduti tähelepanu tema tehtud põhimõttelisele oletusele: hüpoteesile kokkupõrke numbrite osas. See ajaliselt asümmeetriline eeldus eeldas, et gaasimolekulide liikumised olid enne molekulide põrkumist statistiliselt korreleerimata. Mõne muu kineetilise võrrandi tuletamisel tuleb teha sarnane seisukoht. Mõned üldised meetodid selliste võrrandite saamiseks on põhivõrrandil põhinev lähenemisviis ja lähenemisviis, mis põhineb süsteemi mikrotaset tähistavate punktide faasiruumi jämedal grammimisel lõplikeks rakkudeks ja fikseeritud ülemineku tõenäosuste eeldamisel rakkudest rakkudesse (Markovi eeldus). Kuid selline eeldus ei tulenenud süsteemi aluseks olevast dünaamikast ja kõigi nende jaoks, mida nad seni teadsid, võisid see dünaamikaga vastuolus olla.

Sellise eelduseta on tehtud mitmeid katseid ja tuletatud tasakaalupõhine lähenemisviis tuleneb süsteemi aluseks olevast dünaamikast. Kuna see dünaamika on ajas pöördeliselt muutumatu ja kineetilised võrrandid on aja asümmeetrilised, tuleb aja asümmeetria lisada seletavasse teooriasse kuskile.

Üks lähenemisviis kineetiliste võrrandite tuletamiseks põhineb tööl, mis üldistab ergoodilise teooria. Tuginedes trajektooride ebastabiilsusele üritatakse näidata, et tasakaalustamatus olukorras ettevalmistatud süsteemi võimalikke mikrotaset esindavate faasipunktide piirkond kujuneb piirangute muutumisel lõpuks välja faasipunktide kogumiks, mis on "jämedalt" jaotunud kogu faasiruumi piirkonnas, mida võimaldavad muutunud piirangud. Vana regioon ei saa uut piirkonda dünaamika fundamentaalse teoreemiga (Liouville'i teoreem) „peeneks” katta. Kuid Gibbsi esmakordselt kirjeldatud viisil võib see piirkonda katta jämedas mõttes. Näitamaks, et punktide kogum levib sellisel viisil (vähemalt lõpmatu aja jooksul), üritatakse näidata süsteemi, millel on sobiv „juhuslikkuse” omadus. Tugevuse suurendamiseks hõlmavad sellised omadused nõrka segunemist, segamist, K-süsteemiks või Bernoulli-süsteemiks olemist. Selle probleemi jaoks on olemas ka muud, topoloogilised, mitte teoreetilised lähenemisviisid.

Nagu tavaliselt, kehtivad paljud hoiatused. Kas tõesti saab süsteemil näidata sellist juhuslikku funktsiooni (näiteks KAM-i teoreemi silmas pidades)? Kas lõpmatu ajalised tulemused on meie füüsiliste selgituste jaoks asjakohased? Kui tulemused on piiratud ajaga, kas need on relativiseeritud selles mõttes, et öeldakse, et need kehtivad ainult süsteemi mõne jämeda jaotuse jaoks, mitte aga eksperimentaalse huvi jaoks?

Mis kõige tähtsam - segamine ja selle ilk ei saa olla kogu lugu. Kõik selle teooria tulemused on aja sümmeetrilised. Aja asümmeetriliste tulemuste saamiseks ja tulemuste saamiseks, mis püsivad piiratud aegadel ja mis näitavad evolutsiooni kineetilise võrrandi kirjeldatud viisil nendel piiratud aegadel, nõuab ka eeldust, kuidas tõenäosus jaotatakse punktide piirkonnale lubatud esindada süsteemi esialgsel hetkel.

Milline peab see tõenäosuse eeldus välja nägema ja kuidas seda õigustada? Neid küsimusi esitas N. Krylov ja uuris neid osaliselt. Selle esialgse tõenäosuse eelduse ratsionaliseerimise katsed on ulatunud Krylovi enda ettepanekust, mille kohaselt see on mittekvantilise „määramatuse” põhimõtte tulemus, mis põhineb füüsiliselt süsteemide ettevalmistamise režiimidel, kuni ettepanekuni, et see on aluseks oleva stohhastilise tulemuse tulemus maailma olemus, mida kirjeldatakse Ghirardi-Rimini-Weberi lähenemisviisis kvantmehaanika mõõtmise mõistmisele. Esialgse tõenäosuse eelduse olek ja seletus on tasakaalustamatuse statistilise mehaanika keskne mõistatus.

Nähtuste segunemisele tuginevate lähenemisviiside tasakaalustatuse mõistmiseks on ka teisi lähenemisviise. Näiteks O. Lanford on näidanud, et idealiseeritud lõpmata lahjendatud gaasi korral võib väga väikeste ajavahemike järel näidata gaasi käitumist Boltzmanni võrrandi kohaselt äärmiselt tõenäolise käitumisega. Ehrenfesti poolt selle võrrandi tõlgendus, mis on segamismeetodile sobiv, lükatakse tagasi võrrandi vanemale ideele, mis kirjeldab süsteemi valdavalt tõenäolist arengut. Selle tuletamise eeliseks on Boltzmanni võrrandi range genereerimine, kuid seda rakendatakse ainult ühe tõsiselt idealiseeritud süsteemi jaoks ja ainult siis väga lühikeseks ajaks (kuigi tulemus võib olla tõene, kui seda pole tõestatud, pikema ajakava korral). Taaskord on aja asümmeetria jaoks vajalik esialgne tõenäosusjaotus.

5. Pöördumatus

Termodünaamilised põhimõtted nõuavad maailma, kus füüsikalised protsessid on ajas asümmeetrilised. Isoleeritud süsteemi entroopia võib spontaanselt suureneda tulevikku, kuid mitte minevikku. Kuid dünaamilised seadused, mis reguleerivad mikrokomponentide liikumist, on vähemalt nende seaduste tavavaatel tavapäraste klassikalise või kvantdünaamika seaduste korral ajapöördusvariandid. Tõenäosuslike elementide tutvustamine aluseks oleva teooriaga ei seleta ikkagi iseenesest seda, kuhu aja asümmeetria satub selgitavasse kohta. Isegi kui järeldada, et Maxwelli järgi on termodünaamika teine seadus tema väidetes üksnes tõenäosuslik, jääb see aja asümmeetriliseks.

Kogu distsipliini ajaloo vältel on sageli tehtud ettepanekuid selle kohta, et mõni sügav, aluseks olev dünaamiline seadus ise juurutab mikrokomponentide liikumises aja asümmeetriat.

Üks lähenemisviis on eitada mikrokomponente reguleeriva dünaamika ajalist asümmeetriat ja otsida asendusseadus, mis ise on aja asümmeetriline. Selle kaasaegne versioon otsib kvantmehaanika tõlgendust, mis püüab selgitada kurikuulsat “lainepaketi kokkuvarisemist” mõõtmisel. Ghirardi, Rimini ja Weber (GRW) on positsioneerinud puhta stohhastilise protsessi olemasolu sügavamale kui tavaline kvant evolutsioon. See juhuslik protsess viib makroskoopilised süsteemid kiiresti positsiooni omafunktsioonide lähedale, jättes isoleeritud mikrosüsteemid superpositsioonile. Stohhastiline protsess on ajaliselt asümmeetriline (nagu ka lainefunktsiooni kokkuvarisemine mõõtmisel). D. Albert on soovitanud, et selline GRW protsess, kui see on reaalne,võidakse samuti kasutada süsteemide dünaamika ajaasümmeetria arvestamiseks, mida tuleb arvestada termodünaamikas. GRW kokkuvarisemise ajaline asümmeetria võib toimida otseselt süsteemi dünaamikat mõjutades, või võib ta teha oma ülesande isoleeritud süsteemide algseisundite asjakohase randomiseerimisega. Üksikasjade täitmiseks on veel vähe ära tehtud, et näha, kas positsioneeritud GRW protsessid võiksid teada saada olevate termodünaamiliste asümmeetriate korral, kui need on reaalsed. Ja muidugi on palju skepsist, et GRW protsessid on isegi reaalsed. Üksikasjade täitmiseks on veel vähe ära tehtud, et näha, kas positsioneeritud GRW protsessid võiksid teada saada olevate termodünaamiliste asümmeetriate korral, kui need on reaalsed. Ja muidugi on palju skepsist, et GRW protsessid on isegi reaalsed. Üksikasjade täitmiseks on veel vähe ära tehtud, et näha, kas positsioneeritud GRW protsessid võiksid teada saada olevate termodünaamiliste asümmeetriate korral, kui need on reaalsed. Ja muidugi on palju skepsist, et GRW protsessid on isegi reaalsed.

Teised ettepanekud võtavad süsteemi entroopilise muutuse, mida vahendab tegelikult süsteemist väljastpoolt tulevate juhuslike põhjuslike mõjutuste süsteemi tegelikult vältimatu “sekkumine”. Näiteks on võimatu süsteemi tõeliselt läbi vaadata väljastpoolt tulevate peenete gravitatsiooniliste mõjutuste järgi. Välise sekkumise rolli isoleeritud süsteemina idealiseeritud näiliselt spontaanse käitumise osas on palju arutatud. Argumentides mängib siin rolli spetsiaalsete süsteemide olemasolu (näiteks tuumamagnetresonantsil esinevad spinn-kaja süsteemid). Nende süsteemide puhul näib isoleerituna spontaanset tasakaalu lähenemist, kuid nende nähtav entroopiline käitumine võib süsteemi "väljapoole" vastava impulsi abil "tagasi minna". Näib, et see näitab entroopilist suurenemist ilma välise sekkumiseta, mis hävitab tõeliselt süsteemis sisalduva algse korra. Igal juhul on raske mõista, kuidas välised sekkumised aja asümmeetria juurutamisel toimiksid, välja arvatud juhul, kui selline asümmeetria pannakse selle häire iseloomustamiseks „käsitsi”.

Boltzmann pakkus esimesena välja probleemi omamoodi „kosmoloogilise” lahenduse. Nagu eespool märgitud, soovitas ta universumi, mis on üldiselt tasakaalule lähedal ja väikeste alampiirkondadega sellest olekust eemal. Sellises allpiirkonnas leitaks maailm, mis on tasakaalust kaugel. Tutvustades tuttavaid ajasümmeetrilisi tõenäosuslikke eeldusi, saab tõenäoliseks, et sellises piirkonnas leitakse madalama entroopia olekud ühes ajasuunas ja kõrgema entroopia seisundid teises. Seejärel viige lahendus lõpule, tutvustades teist Boltzmanni ettepanekut, et see, mida me tulevase ajasuuna all silmas peame, on fikseeritud kui aja suund, milles entroopia kasvab.

Praegune kosmoloogia näeb hoopis teistsugust universumit kui see, mille esitas Boltzmann. Niipalju kui me võime öelda, et universum tervikuna on väga tasakaalustamata olekus, millega kaasneb paralleelne entroopiline tõus tulevikku kõikjal. Kuid kosmose struktuur, nagu me seda teame, võimaldab termodünaamikas leida alternatiivse lahenduse aja asümmeetria päritolu probleemile. Tundub, et universum laieneb ruumiliselt, alguse ainulaadsuse, Suure Paugu, ajal, mis pärineb mõnikümmend miljardit aastat tagasi. Laienemine iseenesest ei taga termodünaamika jaoks vajalikku aja asümmeetriat, füüsika lubab staatilise või väheneva entroopiaga laieneva universumi jaoks. Mõnes kosmoloogilises mudelis, milles universum pärast laienemist kahaneb, on see tõepoolest, kuigi mitte alati,eeldati, et isegi kokkutõmbumisel entroopia kasvab.

Entroopilise asümmeetria allikat otsitakse pigem maailma füüsilises olekus Suure Paugu ajal. Suure paugu järel vahetult pärast seda peetakse tavaliselt maksimaalse entroopia seisundiks - termiliseks tasakaaluks. Kuid see ei võta arvesse "kosmose enda" struktuuri ega soovi korral viisi, kuidas mateeria jaotub ruumis ja mille suhtes kogu aine universaalset gravitatsiooni tõmbab kõigi muude ainete jaoks. Maailm, milles mateeria jaotub ühtlaselt, on madala entroopiaga. Kõrge entroopia seisund on selline, kus me leiame aine klastrite tihedatesse piirkondadesse, kus neid piirkondi eraldab palju tühja ruumi. See kõrvalekalle tavalisest ootusest - ruumiline ühtlus kui kõrgeima entroopia seisund - tuleneb asjaolust, et gravitatsioon,erinevalt näiteks gaasi molekulide interaktsiooni reguleerivatest jõududest, on see puhtalt ligitõmbav jõud.

Seejärel võib tekkida Suure Paugu esialgne “väga madal entroopia” olek, kusjuures aine ruumiline ühtlus tagab “entroopilise restoratuuri”. Universumi laienedes läheb mateeria ühtlaselt jaotunud ja ühtlase temperatuuriga olekust ka sellisesse seisundisse, milles aine on tihedalt kuumade tähtede külge koondunud külma tühja ruumi keskkonnas. Ühel on universum, nagu me seda tunneme, oma termiliselt väga mittetasakaalulise seisundiga. "Esialgne madal entroopia" on siis mineviku olek, millele tulevikus (niipalju kui me teame) ei vasta mingisugune singulaarsus, veelgi vähem madala entroopiaga. Kui sõltuda sellest algsest madala entroopia olekust, siis saadakse statistilise mehaanika ajasümmeetrilisi tõenäosusi kasutades ennustus universumist, mille entroopia aja jooksul kasvas.

Kuid see pole muidugi kogu universumi entroopia, mida teine seadus puudutab, vaid pigem „väikeste” süsteemide, mis on ajutiselt energeetiliselt eraldatud nende keskkonnast. Võib väita H. Reichenbachile tagasiulatuvalt, et universumi kui terviku entroopiline suurenemine viib taas tavalisi ajasümmeetrilisi tõenäosuspositsioone kasutades suure tõenäosusega, et juhuslik harude süsteem näitab entroopilist. suureneb paralleelselt universumi omaga ja paralleelselt teiste harusüsteemidega. Enamik kirjanduses esitatud argumente selle kohta, et see nii on, on ekslikud, kuid järeldused on sellegipoolest mõistlikud. Samuti on soovitatud, et kui tuginetakse mõnele aluseks olevale statistilisele dünaamilisele seadusele (näiteks ülalmainitud GRW seadus),termodünaamiliste tulemuste saamiseks ei pea lisaks esialgsele madalale entroopiale esitama harusüsteemi hüpoteesi.

Esialgse madala entroopia postitamine Suurele Paugule tekitab tema enda "filosoofiliste" küsimuste komplekti: Arvestades tavalisi tõenäosusi, milles kõrge entroopia on ülemäära tõenäoline, kuidas saaksime selgitada algseisundi radikaalselt "ootamatut" madalat entroopiat? Tõepoolest, kas me saame universumi süsteemidele, nagu me seda teame, universumi kui terviku jaoks sobivat tõenäosuspõhimõtet kasutada? Siinsed teemad meenutavad vanu arutelusid jumala olemasolu teleoloogilise argumendi üle.

6. Termodünaamika redutseerimine (?) Statistiliseks mehaanikaks

Pole üllatav, et vanema termodünaamilise teooria seos uue statistilise mehaanikaga, millel see on maandatud, on teatud keerukus.

Vanemal teoorial polnud selle seaduste suhtes tõenäosuslikku kvalifikatsiooni. Kuid nagu Maxwell oli selgelt teadlik, ei saanud see siis olla “täpselt” tõene, kui uus tõenäosusteooria kirjeldab maailma õigesti. Võib säilitada termodünaamilise teooria traditsioonilisel kujul ja selgitada hoolikalt selle seoseid uuemate tõenäosuslike järeldustega või genereerida, nagu seda on tehtud väga huvitavatel viisidel, uue statistilise termodünaamika, mis impordib vanemasse teooria tõenäosusstruktuur.

Kontseptuaalselt on vanemate suhe uuema teooria vahel üsna keeruline. Vanema teooria kontseptsioonid (maht, rõhk, temperatuur, entroopia) peavad olema seotud uuema teooria kontseptsioonidega (molekulaarkonstitutsioon, dünaamilised mõisted, mis reguleerivad molekulaarsete koostisosade liikumist, tõenäosuslikud mõisted, mis iseloomustavad kas individuaalse süsteemi olekuid või jaotusi) riikide kujutletud süsteemide komplekti üle, millele kehtivad mõned ühised piirangud).

Termodünaamilise teooria üks termin, näiteks „entroopia”, on seotud paljude uuemate kontode mõistetega. Näiteks on Boltzmanni entroopia, mis on ühe süsteemi omadus, mis on määratletud selle molekulide ruumilise ja impulssjaotusega. Teisest küljest on olemas Gibbsi entroopiad, mis on määratletavad tõenäosusjaotuse kaudu mõne Gibbsia süsteemikomplekti vahel. Kui lisada veel komplikatsioone, on näiteks Gibbsi peeneteraline entroopia, mis on määratletud ainult ansambli tõenäosusega ja on väga kasulik tasakaaluseisundite ja Gibbsi iseloomustamiseks.jämedateraline entroopia, mille määratlemine nõuab faasiruumi teatavat jaotamist lõplikeks rakkudeks, samuti algset tõenäosusjaotust ja mis on kasulik mõiste tasakaalustamise lähenemise iseloomustamiseks ansambli perspektiivist. Lisaks nendele teoreetilist laadi mõõtmetele on ka topoloogilisi mõisteid, mis võivad mängida ka teatud entroopia rolli.

Miski selles keerukuses ei takista väidet, et statistiline mehaanika kirjeldab maailma viisil, mis selgitab, miks termodünaamika töötab ja töötab sama hästi. Kuid teooriate omavaheliste suhete keerukus peaks filosoofi kasutama ettevaatlikult selle suhte kasutamisel teoreetilise reduktsiooni hästi mõistetava ja lihtsa paradigmana.

Filosoofiliselt on huvitav, kas termodünaamika seos statistilise mehaanikaga näitab teatud sarnasust mõtete ja keha suhte funktsionalistlikes teooriates kajastatud aspektidega. Mõelge näiteks tõsiasjale, et väga erinevate füüsikaliste põhiseadustega süsteemidel (näiteks gaas, mis koosneb ühelt poolt jõudude kaudu vastastikku toimivatest molekulidest ja teiselt poolt kiirgusest, mille komponendid on omavahel energeetiliselt seotud valguse lainepikkusega) võivad olla termodünaamilised Funktsioonid. Need võivad olla näiteks samal temperatuuril. Füüsiliselt tähendab see, et kaks süsteemi, kui need on alguses tasakaalus ja seejärel energeetiliselt ühendatud, säilitavad oma algsed tasakaalutingimused. Selge on paralleel väitega, et funktsionaalselt määratletud vaimse seisundi (ütleme näiteks uskumuse) saab realiseerida väga erinevates füüsilistes seadmetes.

7. Aja suund

Oleme märkinud, et just Boltzmann pakkus kõigepealt välja, et meie tulevase ajasuuna kontseptsiooni fikseerib aeg, mille jooksul meie universumi osas entroopia suurenes. Paljud soovitused on järginud seda soovitust ja aja asümmeetria “entroopiline” teooria on ajafilosoofias endiselt palju vaieldav teema.

Kõigepealt peame küsima, mida see teooria tegelikult väidab. Teooria mõistlikus versioonis ei ole väita, et saaksime sündmuste ajajärjestuse teada süsteemide entroopia kontrollimisel ja hilisema sündmuse võtmisel selliseks, milles mõnel süsteemil on kõrgem entroopia. Väide on pigem see, et just süsteemide entroopilise asümmeetria ajalised faktid “maandavad” nähtusi, mida me arvame tavaliselt tähistavat aja enda asümmeetrilist olemust.

Millised on mõned tunnused, mille intuitiivne ajaline asümmeetria arvatakse võib-olla „moodustavat” aja asümmeetrilise olemuse? Teadmisi on asümmeetria: meil on mälestusi ja andmeid mineviku, kuid mitte tuleviku kohta. Otsustamisel on asümmeetriat: Me arvame, et põhjuslik seos on minevik minevikust olevikku tulevikku ja mitte vastupidine. Muret tekitavad asümmeetriad: võime minevikku kahetseda, kuid näeme tulevikku innukalt ette. Tegelikkuse väidetava asümmeetria kohta on väidetavalt asümmeetriat: Mõnikord väidetakse, et minevik ja olevik on tegelikkust määranud, kuid tulevikul, mis on pelgalt võimaluste valdkond, pole üldse sellist määravat olemist.

Entroopiline teooria selle kõige usutavas sõnastuses on väide selle kohta, et kõigi nende intuitiivsete asümmeetriate päritolu saame selgitada, viidates faktidele maailma entroopilise asümmeetria kohta.

Seda saab kõige paremini mõista, kui vaadata väga analoogiat, mida Boltzmann kasutas: üles ja alla gravitatsioonikonto. Mida me mõtleme ruumilises asendis allapoole suunatud suuna all? Kõik nähtused, mille abil me intuitiivselt tuvastame allapoole suunatud suuna (näiteks suuna, millesse kivid langevad), saavad selgituse kohaliku gravitatsioonijõu ruumilise suuna osas. Isegi meie vahetu teadlikkus sellest, mis suund on allapoole, on seletatav raskusjõu mõjuga vedelikule meie poolringikujulistes kanalites. Meile pole üldse šokk, et Austraalia jaoks "alla" on vastassuunas kui Chicago alla. Samuti ei häbene meid öelda, et kosmoses, kaugel suurest gravitatsiooniobjektist nagu Maa,pole olemas sellist asja nagu üles-alla eristamine ega ruumi suund, mis oleks allapoole suunatud.

Sarnaselt väidab entroopiline teoreetik, et ülalnimetatud intuitiivseid asümmeetriaid selgitavad entroopilised tunnused, et universumi piirkondades, kus entroopilisele asümmeetriale suunati ajas vastupidine, oleksid aja mineviku ja tuleviku suunad vastupidised ja et universumi piirkond, kus puudub entroopiline asümmeetria, ei loeks ükski ajasuund minevikku ega tulevikku.

Suur probleem jääb proovile näidata, et entroopiline asümmeetria on seletavalt piisav, et arvestada kõiki teisi asümmeetriaid viisil, et gravitatsiooniline asümmeetria võib kajastada üles ja alla eristamist. Hoolimata paljudest huvitavatest panustest sellealase kirjanduse juurde, on probleem endiselt lahendamata.

8. Kvantdünaamika

Enamik statistilise mehaanika uurimise eeldusi eeldab klassikalist dünaamilist alust makroskoopiliste süsteemide koostisosade dünaamika kirjeldamiseks. Kuid see ei saa muidugi olla õige, kuna aluseks olev dünaamika peab olema kvantmehaaniline. Näiteks väitis Gibbs, et väitis oma statistilise mehaanika ansambliversioonile lihtsat selgitavat rolli, kuna see viis kurikuulsalt valede ennustusteni süsteemide selliste makroskoopiliste tunnuste kohta nagu nende eriline kuumus. Hiljem mõisteti, et siin ei peitu viga mitte Gibbsi statistilises mehaanikas, vaid eeldades koostisosade klassikalist dünaamikat. Kui süsteeme on korrektselt kirjeldatud kvantmehaanilisel alusel, ennustusvead kadusid.

Looduslik kvantmehaaniliseks muutmine viib statistilise mehaanika hulgimüügimuutusteni. Näiteks on vaja uut faasiruumi mõistet koos tõenäosustega selle kohal. Kas see tähendab siiski, et klassikalist mehaanikat eeldavad alusuuringud ei ole nüüd olulised?

Oleme juba märkinud, et on tehtud mõned ettepanekud, mille eesmärk on maandada statistilise mehaanika väga tõenäolist olemust kvantmehaanika fundamentaalselt tõenäolisuse olemuses dünaamilisel tasandil või pigem selle tõlgendamisel, kuidas tõenäosus funktsioneerib juurtes kvantmehaanika.

Isegi kui nii kaugele ei lähe, nõuab kvantdünaamilisele alusele üleminek lihtsalt aluspõhimõtetes peenete küsimuste mõningast ümbermõtestamist. Varasematest päevadest alates oli Poincare'i kordumise teoreem statistiliste mehaanikute jaoks probleem. Klassikalise dünaamilise aluse korral võiks anda vastuse, et kuigi teoreem püsis üksikute süsteemide jaoks, mis puudutasid teooriat, ei pea see tingimata hõlmama selliste süsteemide komplekti. Kui inimene on liikunud kvantmehaanilisele alusele, pole see väljapääs enam saadaval. Mõlemas dünaamilises raamistikus võib aga süsteemis sisalduva lõpmatu arvu komponentide termodünaamilise piirini liikumine kõrvaldada teoreemi rakendatavuse, kuna see on vastu termodünaamiliste muutuste monotoonsusele, mis on statistilises mehaanikas kättesaamatu.

9. Faasimuutus

Süsteemide üks silmatorkavamaid makroskoopilisi omadusi on mitme faasi olemasolu (näiteks gaasiline, vedel ja tahke või teise jaoks diamagnetiline ja ferromagnetiline) ning nende faaside vahelised üleminekud on termodünaamilised tunnused, nagu temperatuur ja rõhk, või pealekandmine. mitmekesine. Faasisiirete varase tööga keskenduti sellele, kuidas kvantiteedid muutusid mitteanalüütiliselt faasidevahelisteks, ehkki statistiline mehaanika näis näitavat, et selline mitteanalüütiline käitumine oli võimatu, vähemalt süsteemide jaoks, millel on piiratud arv komponente. Siin pidi sageli minema idealiseeritud lõpmatu süsteemi termodünaamilise piirini.

Hiljuti on välja töötatud meetodid faasisiirete käsitlemiseks, mis mitte ainult ei täienda traditsioonilise statistilise mehaanika standardseid selgitavaid skeeme, vaid pakuvad ka teadmisi teadusealaste selgituste mitmesugustest vormidest. Selgitav programm, nn renormaliseerimisrühma kasutamine, annab ülevaate sellest, miks just üsna erineva füüsikalise olemusega süsteemid võivad faasidelt faasidele üleminekul näidata termodünaamilisi sarnasusi. Mõnel juhul näib ülemineku olemus sõltuvat vähestest abstraktsetest parameetritest, mitte süsteemi füüsilistest üksikasjadest. Oluline on selline asi nagu süsteemi mõõde,koostisosade dünaamika vabadusastmed ja koostisosade vastastikmõju üldised piirid, näiteks asjakohaste interaktsioonijõudude lühi- ja pikamaa käitumine.

Trikk on kõigepealt uurida lähimate koostisosade koostoimet. Seejärel liigutakse ühe koostisosade ploki juurde, kuna see on seotud lähimate sarnaste plokkidega. Uue plokkidevaheline interaktsiooni võib mõnikord saada individuaalse koostisosa interaktsiooni "skaleerimise teel". Üks jätkab seda protsessi lõpmatu süsteemi piirini ja otsib pidevalt mõõdetava interaktsiooni piirpunkti. Sellest piiravast käitumisest võib vahel leida faasimuutuse üllatavaid “universaalseid” tunnuseid, mis selgitab sarnaste faasisiirete üldisust erinevates füüsilistes süsteemides.

Siinne seletusstrateegia on üsna erinev statistiliste mehaanikateaduste tavapärasest ja näitab teravalt, kuidas teaduses selgitamiseks kisendavate füüsiliste süsteemide eripära võib täieliku mõistmise saavutamiseks nõuda uute metoodiliste plokkide kasutuselevõttu. Selles meenutab nende renormaliseerimisrühma meetodite kasutuselevõtt seda, kuidas vajadus makroskoopilise termodünaamilise käitumise atomistliku arvestamise järele tingis vajaduse statistilise mehaanika uute meetodite lisamiseks tüüpiliste dünaamiliste seletuste vanemasse repertuaari.

Bibliograafia

Teemasid käsitletakse filosoofilises plaanis tervikuna Sklar 1993. Olulise ajaloolise huviga on Reichenbach 1956. Põhiküsimuste kättesaadav ja ajakohane arutelu on Albert 2000. Ajaliselt asümmeetrilise seaduse võimalik kutsumine GRW kaudu lähenemist käsitletakse selles raamatus. Madala entroopia algsest lähenemisest aja asümmeetriale on meeleolukaks kaitseks hind 1996. Frigg 2008 annab ülevaate filosoofi täiendavatest töödest põhiküsimustes. Paljude algdokumentide ingliskeelsed tõlked on Brushis 1965. Brush 1976 kirjeldab teooria arengut ajalooliselt. Kaks olulist alusteost on Gibbs 1960 ning Ehrenfest ja Ehrenfest 1959. Kaks tööd, mis selgitavad selgelt ja detailselt paljude fundamentaalse statistilise mehaanika tehnilisi aspekte, on Emch ja Liu 2002 ning Toda, Kubo ja Saito 1983. Need kaks tööd annavad põhjaliku ülevaate kvantstatistika mehaanikast ja sellest, kuidas see erineb klassikalisel teoorial põhinevast statistilisest mehaanikast.. Suurepärane sissejuhatus faasimuutusse ja renormaliseerimisrühma teooriasse on Batterman 2002.

• Albert, D., 2000, aeg ja võimalus, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Batterman, R., 2002, Kurat üksikasjades, Oxford: Oxford University Press.
• Brush, S. (toim.), 1965, Kinetic Theory, Oxford: Pergamon Press.
• Brush, S., 1976, liik, mida me kutsume soojuseks, Amsterdam: Põhja-Holland.
• Ehrenfest, P. ja T., 1959, Mehaanika statistilise lähenemisviisi kontseptuaalsed alused, Ithaca, NY: Cornell University Press.
• Emch, G. ja Chuang, L., 2002, Termostatistliku füüsika loogika, Berliin: Springer.
• Frigg, R., 2008, “Välijuhend hiljutisele tööle statistilise mehaanika alustel”, D. Rickles (toim), Ashgate'i kaaslane tänapäevasele füüsikafilosoofiale, London: Ashgate, lk 99–196.
• Gibbs, J., 1960, Elementaarsed põhimõtted statistilises mehaanikas, New York: Dover.
• Hind, H., 1996, Aja nool ja Archimedean Point, Oxford: Oxford University Press.
• Reichenbach, H., 1956, Aja suund, Berkeley: University of California Press.
• Sklar, L., 1993, Füüsika ja võimalus: Filosoofilised küsimused statistilise mehaanika alustel, Cambridge: Cambridge University Press.
• Toda, M., Kubo, R. ja Saito, N., 1983, Statistiline füüsika (I ja II köide), Berliin: Springer.

Akadeemilised tööriistad

	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

[Palun võtke soovitustega ühendust autoriga.]