Komplekti Teooria: Konstruktiivne Ja Intuitsiooniline ZF

Sisukord:

Komplekti Teooria: Konstruktiivne Ja Intuitsiooniline ZF
Komplekti Teooria: Konstruktiivne Ja Intuitsiooniline ZF

Video: Komplekti Teooria: Konstruktiivne Ja Intuitsiooniline ZF

Video: Komplekti Teooria: Konstruktiivne Ja Intuitsiooniline ZF
Video: CS50 2015 - Week 0, continued 2024, Märts
Anonim

Sisenemise navigeerimine

  • Sissesõidu sisu
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Sõprade PDF-i eelvaade
  • Teave autori ja tsitaadi kohta
  • Tagasi üles

Komplekti teooria: konstruktiivne ja intuitsiooniline ZF

Esmakordselt avaldatud 20. veebruaril 2009; sisuline läbivaatamine teisipäev, 13. veebruar 2019

Konstruktiivsed ja intuitionistlikud Zermelo-Fraenkeli komplektiteooriad on Zermelo-Fraenkeli komplektiteooria (ZF) stiilis aksomaatilised komplektide teooriad, mis põhinevad intuitionistlikul loogikal. Need võeti kasutusele 1970-ndatel aastatel ja kujutavad endast ametlikku konteksti, mille abil matemaatikat kodifitseerida intuitsioonistliku loogika alusel (vt konstruktiivse matemaatika sissekannet). Need on formuleeritud Zermelo-Fraenkeli komplekti teooria standardses esimese astme keeles ega kasuta otseselt loomupäraselt konstruktiivseid ideid. Konstruktiivse ja intuitiivse ZF-iga töötades võime seega mingil määral tugineda oma tuttavusele ZF-i ja selle heuristikaga.

Vaatamata sarnasustele klassikalise komplekti teooriaga, erinevad konstruktiivsete ja intuitionistlike teooriatega määratletud komplekti kontseptsioonid klassikalise traditsiooni omadest oluliselt; nad erinevad ka üksteisest. Neis töötamiseks ja nende kohta metamatmaatiliste tulemuste saamiseks kasutatavad tehnikad erinevad mõnes mõttes ka klassikalisest traditsioonist, kuna nad on pühendunud intuitionistlikule loogikale. Tegelikult, nagu see on tavaline intuitionistlikes seadetes, on konstruktiivsete ja intuitionistlike kogumiteooriate uurimiseks saadaval arvukalt semantilisi ja tõestusteoreetilisi meetodeid.

See sissejuhatus tutvustab konstruktiivsete ja intuitionistlike kogumiteooriate põhijooni. Kuna valdkond laieneb kiiresti, saame vaid lühidalt meelde tuletada tulemusi ja olemasolevaid tehnikaid. Keskendume rohkem konstruktiivsele komplektiteooriale, et tuua esile olulised aluspõhimõtted, mis selles tekivad. Pange tähele, et jätame silmapaistva osa konstruktiivsest ja intuitionistlikust ZF-ist, mis on seotud nende kategooriliste tõlgendustega. Selles valdkonnas on aastate jooksul toimunud suuri arenguid, sedavõrd, et nende edusammude piisav käsitlemine eeldaks selle kande olulist pikendamist. Huvitatud lugeja võiks tutvuda kategooriateooria sissekande ja selle viidetega (vt ka selle lisa Programmiline lugemisjuhend).

  • 1. Konstruktiivse ja intuitsioonilise lavastusteooria olemus

    • 1.1 Aksiomaatiline vabadus
    • 1.2 Konstruktiivne versus intuitionistlik kogumiteooria
    • 1.3 Ennustatavus konstruktiivses kogumiteoorias

      • 1.3.1 Eraldamise ebareaalsus
      • 1.3.2 Powerseti kasutatavus
      • 1.3.3 Komplektide konstruktiivne universum
  • 2. Konstruktiivsete ja intuitsiooniliste komplektiteooriate alged
  • 3. Axioms Systems CZF ja IZF
  • 4. Konstruktiivse valiku põhimõtted
  • 5. Konstruktiivse ja intuitiivse ZF-i tõestusteooria ja semantika

    • 5.1 Tõestatud teoreetiline tugevus
    • 5.2 Suured komplektid konstruktiivses ja intuitiivses ZF-is
    • 5.3 Konstruktiivse ja intuitiivse ZF-i ja semantiliste võtete metameetrilised omadused

      • 5.3.1 Konstruktiivse ja intuitiivse ZF-i disjunktsiooni- ja olemasoluomadused
      • 5.3.2 Teostatavus
      • 5.3.3 Kripke mudelid ja Heytingi väärtustatud semantika
      • 5.3.4 Konstruktiivse ja intuitionistliku kogumiteooria kategoorilised mudelid
      • 5.4 Konstruktiivsete ja intuitiivsete komplektiteooriate variandid: Komplektide teooriad koos elementidega ja laiendamata komplekti teooriad
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Muud Interneti-ressursid
  • Seotud kirjed

1. Konstruktiivse ja intuitsioonilise lavastusteooria olemus

Konstruktiivsed ja intuitiivsed Zermelo-Fraenkeli komplektiteooriad põhinevad pigem intuitionistlikul kui klassikalisel loogikal ja kujutavad endast looduskeskkonda, milles kodifitseerida ja õppida matemaatikat, tuginedes intuitionistlikule loogikale. Konstruktiivse ZF-i puhul on põhitähelepanu pööratud piiskopi matemaatilise praktika esindamisele (Bishop 1967, Bishop and Bridges 1985).

Intuitsioonilise loogika, konstruktiivse matemaatika ja intuitionismi põhimõistete ja juhtmõtete jaoks võib lugeja soovida tutvuda järgmiste kirjetega:

  • intuitsiooniline loogika,
  • intuitsioonilise loogika arendamine,
  • konstruktiivne matemaatika,
  • intuitsioonism matemaatikafilosoofias,
  • Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

Klassikalise komplektiteooria kohta vaata sissekannet setiteooria kohta.

Konstruktiivne ja intuitiivne ZF põhineb samal esimese astme keelel kui klassikaline ZF-i komplektiteooria, millel on mitteloogilise sümbolina ainult binaarne predikaattähis (in) (liikmesus). See tähendab, et need on sõnastatud intuitiivse esimese astme loogika alusel võrdsusega, millele lisandub binaarne predikaatmärk (in). Seega saame ära kasutada set-teoreetilise keele lihtsust ja selle tundmist (Myhill 1975). Nagu Bishop-stiilis konstruktiivse matemaatika puhul, on ka konstruktiivne ja intuitionistlik ZF ühildatavad klassikalise traditsiooniga selles mõttes, et kõik nende teoreemid on klassikaliselt tõesed. Tegelikult on kaks ametlikku süsteemi, mida me kaalume: konstruktiivne Zermelo-Fraenkel (CZF) ja intuitsiooniline Zermelo-Fraenkel (IZF),väliskeskme põhimõtte lihtsa lisamisega saadakse täielik klassikaline ZF.

1.1 Aksiomaatiline vabadus

Klassikalise Zermelo-Fraenkeli komplekti teooria põhineb klassikalisel esimese astme predikaatloogikal võrdsusega. Loogiliste põhimõtete kõrval on aksioomid ja skeemid, mis kirjeldavad komplekti mõistet, mida teooria kodifitseerib. Neid põhimõtteid võib jagada kolme tüüpi. Esiteks on olemas põhimõtted, mis võimaldavad meil moodustada antud komplektidest uusi komplekte. Näiteks paari aksioom võimaldab meil moodustada komplekti, mis on kahe antud komplekti paar. Teiseks on põhimõtted, mis määravad kindlaks määratud teoreetilise struktuuri omadused. Näiteks identifitseerib laiendatavuse aksioom kõiki komplekte, millel on samad elemendid. Kolmandaks ja lõpuks on olemas aksioomid, mis kinnitavad konkreetsete komplektide olemasolu. Seega väidab lõpmatuse aksioom, et eksisteerib lõpmatu komplekt. Neid põhimõtteid kõiki koos nimetatakse tavaliselt setteoreetilisteks põhimõteteks.

Intuitsionistlikul loogikal põhinevate ZF-i versioonide tutvustamisel tuleb kõigepealt loogikast välistada keskmise (EM) põhimõte. Järgmine samm on valida hea kogum teoreetilisi põhimõtteid, mis esindavad tõepoolest soovitud konstruktiivse kogumi mõistet. Need ülesanded osutuvad keerukamaks, kui alguses võis oodata. Tegelikult, nagu on hästi teada, on “nõrgemal” loogikal põhinevatel süsteemidel võime eristada väiteid, mis on “tugevama” loogika seisukohast samaväärsed. Komplektteooria korral esitatakse mõned ZF-i aksioomid või skeemid sageli ühena paljudest klassikaliselt samaväärsetest formulatsioonidest. Klassikaliselt on ainult mugavuse küsimus, millist neist konkreetsel ajal kasutada. Intuitsionistliku loogika põhjal töötadeserinevad klassikalise aksioomi formulatsioonid võivad osutuda eristatavateks (mitteekvivalentseteks). Tegelikult võib ette kujutada uusi väiteid, mis on ZF-aksioomiga klassikaliselt ekvivalentsed, kuid intuitiivselt sellest eraldatud (näiteks CZF-i alamhulkade kogumise aksioom (Aczel 1978)).

Esimese sammuna, mis seisneb loogikast väljajäetud keskpunkti põhimõtte kõrvaldamises, selgub, et selle põhimõtte lihtsalt väljatõstmine alusloogikast on ebapiisav; see tähendab, et ei piisa, kui võtta aluseks intuitiivne, mitte klassikaline predikaatarvutus. Peame tagama ka selle, et seatud teoreetilised aksioomid ei tooks meie teooriasse tagasi tõrjutud keskosa soovimatuid vorme. Näiteks nagu märkis Myhill (1973), vajame vundamendi aksioomiks sobiva väite valimisel erilist tähelepanu. Sihtasutus on sisse seatud komplektide teoorias, et välistada iseenesest kuuluvad komplektid ja seega (in) - komplektide ahelad. Vundamendi tavapärane sõnastus väidab, et igal asustatud komplektil (vähemalt ühe elemendiga komplekt) on liikmesuhte suhtes kõige vähem elementi. See avaldus agasaab näidata konstruktiivselt vastuvõetamatuid välistatud keskmisi juhtumeid tagasihoidlike setteoreetiliste eelduste põhjal. Seetõttu tuleb intuitionistlikul loogikal põhineval kogumiteooriast välja jätta tavaline vundamendi sõnastus. Tõendi leiate lisadokumendist:

Intuitistliku loogikaga kokkusobimatud setteoreetilised põhimõtted.

Tüüpiline samm intuitsioonilisel loogikal põhinevate komplektiteooriate sõnastamisel on vundamendi asendamine klassikaliselt ekvivalentse komplekti induktsiooni skeemiga, millel ei ole samad “kõrvalmõjud”, kuid millel on sarnased tagajärjed. [1]

Teise sammu kohta, mis on seotud hulgaliselt teoreetiliste põhimõttepõhimõtete valimist, on kõige suuremat tähelepanu pälvinud asendamise ja eraldamise skeemid ning võimu komplekti aksioom. Nende põhimõtete täpse sõnastuse leiate lisadokumendist:

CZF ja IZF aksioomid.

Järgnev on tüüpiline stsenaarium. Arvestades, millised on ühe komplekti-teoreetilise põhimõtte klassikalised kaks varianti, nõuab nende klassikaline samaväärsuse tõestus mingil hetkel välistatud keskpunkti olemasolu. Kuid üldiselt ei ulatu see samaväärsuse tõend intuitiivsesse konteksti ja seega võivad klassikalised ühe põhimõtte kaks vormi intuitiivselt töötades saada kaks erinevat põhimõtet. Neist teise valimine võib seega mõjutada meie määratletud komplekti mõistet. Konstruktiivsete kogumiteooriate nagu CZF kontekstis asendatakse energiakogum ja eraldamine intuitiivselt nõrgemate põhimõtetega. Selle üks põhjus on see, et kogu seatud jõu tugevust ja täielikku eraldumist peetakse tarbetuks,kuna nende nõrgematest asendajatest näib konstruktiivse matemaatika läbiviimiseks piisavat. Teine põhjus on see, et neid käsitletakse filosoofiliselt problemaatilistena, kuna need võivad kehtestada teooria piires impredikatiivsuse vorme (vt jaotist Predikatiivsus konstruktiivse kogumiteooria osas). Asendamise versus kogumine on kuidagi keerukam (vt näiteks artikleid (Friedman ja Scedrov 1985), (Rathjen 2005) ja (Rathjen 2012)). Väärib rõhutamist, et kuigi tavalise aluse sõnastuse vastuvõtmine läheb vastuollu intuitsioonilise loogika kui taustloogika eeldusega, ei ole eraldamise ja võimu komplekti põhimõtted üldse ühilduvad intuitionistliku loogikaga, niivõrd, et need on lahutamatu osa intuitiivne komplektide teooria IZF (Friedman 1973a). Teine põhjus on see, et neid käsitletakse filosoofiliselt problemaatilistena, kuna need võivad kehtestada teooria piires impredikatiivsuse vorme (vt jaotist Predikatiivsus konstruktiivse kogumiteooria osas). Asendamise versus kogumine on kuidagi keerukam (vt näiteks artikleid (Friedman ja Scedrov 1985), (Rathjen 2005) ja (Rathjen 2012)). Väärib rõhutamist, et kuigi tavalise vundamendi formuleerimise vastuvõtmine läheb vastuollu intuitsioonilise loogika kui taustloogika eeldusega, ei ole eraldamise ja võimu komplekti põhimõtted üldse ühilduvad intuitionistliku loogikaga, niivõrd, et need on lahutamatu osa intuitiivne komplektide teooria IZF (Friedman 1973a). Teine põhjus on see, et neid käsitletakse filosoofiliselt problemaatilistena, kuna need võivad kehtestada teooria piires impredikatiivsuse vorme (vt jaotist Predikatiivsus konstruktiivse kogumiteooria osas). Asendamise versus kogumine on kuidagi keerukam (vt näiteks artikleid (Friedman ja Scedrov 1985), (Rathjen 2005) ja (Rathjen 2012)). Väärib rõhutamist, et kuigi tavalise aluse sõnastuse vastuvõtmine läheb vastuollu intuitsioonilise loogika kui taustloogika eeldusega, ei ole eraldamise ja võimu komplekti põhimõtted üldse ühilduvad intuitionistliku loogikaga, niivõrd, et need on lahutamatu osa intuitiivne komplektide teooria IZF (Friedman 1973a).kuna nad võivad juurutada teooriasse impredikatiivsuse vorme (vt jaotist Predikatiivsus konstruktiivse kogumiteooria osas). Asendamise versus kogumine on kuidagi keerukam (vt näiteks artikleid (Friedman ja Scedrov 1985), (Rathjen 2005) ja (Rathjen 2012)). Väärib rõhutamist, et kuigi tavalise aluse sõnastuse vastuvõtmine läheb vastuollu intuitsioonilise loogika kui taustloogika eeldusega, ei ole eraldamise ja võimu komplekti põhimõtted üldse ühilduvad intuitionistliku loogikaga, niivõrd, et need on lahutamatu osa intuitiivne komplektide teooria IZF (Friedman 1973a).kuna nad võivad juurutada teooriasse impredikatiivsuse vorme (vt jaotist Predikatiivsus konstruktiivse kogumiteooria osas). Asendamise versus kogumine on kuidagi keerukam (vt näiteks artikleid (Friedman ja Scedrov 1985), (Rathjen 2005) ja (Rathjen 2012)). Väärib rõhutamist, et kuigi tavalise aluse sõnastuse vastuvõtmine läheb vastuollu intuitsioonilise loogika kui taustloogika eeldusega, ei ole eraldamise ja võimu komplekti põhimõtted üldse ühilduvad intuitionistliku loogikaga, niivõrd, et need on lahutamatu osa intuitiivne komplektide teooria IZF (Friedman 1973a). Väärib rõhutamist, et kuigi tavalise vundamendi formuleerimise vastuvõtmine läheb vastuollu intuitsioonilise loogika kui taustloogika eeldusega, ei ole eraldamise ja võimu komplekti põhimõtted üldse ühilduvad intuitionistliku loogikaga, niivõrd, et need on lahutamatu osa intuitiivne komplektide teooria IZF (Friedman 1973a). Väärib rõhutamist, et kuigi tavalise vundamendi formuleerimise vastuvõtmine läheb vastuollu intuitsioonilise loogika kui taustloogika eeldusega, ei ole eraldamise ja võimu komplekti põhimõtted üldse ühilduvad intuitionistliku loogikaga, niivõrd, et need on lahutamatu osa intuitiivne komplektide teooria IZF (Friedman 1973a).

Kokkuvõtvalt võib öelda, et intuitsioonilisel loogikal põhineva kogumiteooria sõnastamisel on esimene ülesanne välistada välja tõrjutud keskpunkt, kaasa arvatud need selle juhtumid, mis võivad olla peidetud setteoreetiliste aksioomide tuttavates sõnastustes. Järgmine ülesanne on valida igast klassikalisest põhimõttest üks versioon, mis iseloomustab kõige paremini soovitud komplekti mõistet. See avab valikuid, mida saab teha, kuna intuitiivsete põhimõtete paljusus võib vastata ühele klassikalisele põhimõttele. Tuleks rõhutada, et konstruktiivsest küljest on see valikute (ja seega süsteemide) paljusus, selle asemel, et põhjustada rahutust, väga soovitav olukord, kuna see kujutab endast „aksiomaatilise vabaduse” vormi. Näiteks võimaldab see meil eristada arvukaid matemaatilisi mõisteid, hoides sellega paremini oma intuitsiooni neist selgelt eristuvana. See annab meile ka vabaduse valida mõisteid ja teooriaid, mis antud konteksti kõige paremini sobivad. Lisaks võime intuitiivset loogikat oma teooriatesse lisada põhimõtted, mis on klassikaliselt väga tugevad, ilma et peaksime pühenduma oma klassikalisele tugevusele. Näiteks võib nõrgale konstruktiivsele kogumiteooriale lisada ligipääsmatu kogumi mõiste ja saada predikatiivse teooria, samal ajal kui klassikalisesse konteksti manustatud mõiste muutub äärmiselt tugevaks (vt jaotisi Ennustatavus konstruktiivse kogumiteooria ja Suured komplektid konstruktiivse teooria jaoks) ja intuitsiooniline ZF). Lõpuks tekib loomulikult rikkalik piirkond (meta-teoreetiline) saadud tulemuste eraldiseisvate set-teoreetiliste süsteemide suhete uurimiseks. Nagu arvata võis, on sellel vabadusel ka hind,kuna aksioomaatiliste teooriate väga tehniline uurimine võib osutuda vajalikuks nende põhimõtete eristamiseks ja nende peensuste paljastamiseks. Seda võib taas pidada eeliseks, kuna see sunnib meid kaasatud matemaatiliste mõistete sügavamale ja selgemale analüüsile ning ajendab meid välja töötama uusi keerukaid tööriistu.

1.2 Konstruktiivne versus intuitionistlik kogumiteooria

Ehkki intuitiivsel loogikal põhinevaid komplektide süsteeme on palju, võime kirjanduses eristada kahte peamist suundumust. Esimese kohaselt võtame kõik selle, mis on klassikalises ZF-i komplekti teoorias saadaval, ja modifitseerime ainult neid põhimõtteid, näiteks vundament, millel on selge kokkusobimatus intuitionistliku loogikaga. Siit tulenevad sellised teooriad nagu intuitsiooniline Zermelo-Fraenkel, IZF, mille varianti tutvustati juba (Friedman 1973a). (Vt Beeson 1985, peatükid 8 ja 9 ja Scedrov 1985, mis käsitlevad kahte IZF-i uuringut.) Nende teooriate aluspõhimõteteks näib olevat matemaatikule võimalikult võimsate tööriistade andmine, kui säilitatakse ühilduvus intuitsioonilise loogikaga. Teise lähenemisviisi kohaseltlisaks intuitsioonilise loogika järgimisele tutvustame ka piiranguid lubatud teoreetilistele põhimõtetele, kuivõrd saadud süsteem vastab konstruktiivsele matemaatilisele praktikale. Selle teise laadi teooriaid võib seega vaadelda klassikalise ZF-i suhtes kahekordse piiramise protsessi tulemusena. Esmalt seatakse piirang intuitsioonilisele loogikale, seejärel seatakse piirang lubatud teoreetilistele konstruktsioonidele. Viimast motiveerib (1) tähelepanek, et konstruktiivsest matemaatilisest praktikast piisab nõrgematest põhimõtetest ja (2) soovist kinni pidada predikatiivsuse vormist (predikatiivsuse mõiste selgitamiseks vaata järgmist osa). Viimati nimetatud tüüpi süsteemide paradigmaatilised näited on Myhilli konstruktiivne kogumiteooria (Myhill 1975),Friedmani süsteem B (Friedman 1977) ja Aczeli konstruktiivne Zermelo-Fraenkeli komplektiteooria CZF (Aczel 1978; 1982; 1986, Aczel & Rathjen 2001; Aczel & Rathjen 2010, muud Interneti-ressursid). Samuti võime öelda, et selles teises lähenemisviisis mõjutab alusmotivatsioon praktikat suuremal määral.

Järgnevalt kasutame tänapäeval sageli kehtivat konventsiooni, mille kohaselt omadussõna „intuitionistlik” viitab neile püstitatud teooriatele, näiteks IZF, mis on ebamäärased, samas kui „konstruktiivne” viitab kindlatele teooriatele, näiteks CZF, mis vastavad teatud suundumusele. Pange siiski tähele, et seda tava ei järgita kirjanduses alati. Tegelikult on adjektiivi „konstruktiivne“kasutatud ka implikatiivsete teooriate tähistamiseks ja „intuitionistlikku“viitamaks predikatiivsetele alusteooriatele nagu Martin-Löfi tüüpi teooria (Martin-Löf 1975; 1984). Samuti väärib märkimist, et praegune sõnade „konstruktiivne“ja „intuitionistlik“kasutamise kokkulepe erineb konstruktiivse matemaatika kontekstis tehtud konventsioonist (vt näiteks sissekannet konstruktiivse matemaatika kohta ning ka Bridges ja Richman 1987).

1.3 Ennustatavus konstruktiivses kogumiteoorias

Predicativism sai alguse Poincaré ja Russelli kirjutistest, kes vastasid paradoksidele, mis avastati Cantori ja Frege püstitatud teooriatest 20. sajandi alguses. Hiljem tegi Weyl põhjaliku panuse predikatiivse matemaatika uurimisse (Weyl 1918, vt ka Feferman 1988). Ühe mõiste kohaselt on määratlus ebatäpne, kui see määratleb objekti viitega tervikule, mis hõlmab määratletavat objekti. Oma nõiaringi põhimõttega (VCP) kavatses Russell kaotada matemaatikas ringluse, mis tuleneb sellistest ebamäärastest määratlustest. Russell esitas erinevaid riskikapitalipreparaate, millest üks on:

See, mis sisaldab näivmuutujat, ei tohi olla selle muutuja võimalik väärtus (Russell 1908, van Heijenoort 1967, 163).

Poincaré, Russelli ja Weyli predikatiivsuse alusanalüüs on sillutanud tee selle idee mitmesugustele loogilistele analüüsidele. Kõige sagedamini aktsepteeritud analüüs tuleneb Fefermani ja Schütte'ist (sõltumatult) Kreiseli viidatud joontest (Kreisel 1958, Feferman 1964 ja Schütte 1965; 1965a). Tõenditeooria on siin mänginud keskset rolli. Väga jämedalt öeldes oli idee eraldada teooriate kogum (ordinaalide poolt indekseeritud rafineeritud teise järgu aritmeetika süsteemide transfinite progressioon), mille abil saaks iseloomustada predikatiivse ordinaadi teatavat mõistet. Fefermani ja Schütte'i tõestatud teoreetiline nende teooriate analüüs on tuvastanud ordinaali, mida tavaliselt nimetatakse kui (Gamma_0), mis on selle mõiste kohaselt kõige vähem ettekäändel olev ordinaal. Formaalset süsteemi peetakse eelistatavalt õigustatuks, kui see on teoreetiliselt tõestatav taandatavaks teise järgu artmeetilise süsteemi järjendiks, mille indeks on ordinaaliga väiksem kui (Gamma_0). Seetõttu loetakse tõestusteoorias, et (gamma_0) esindab tavaliselt prediktiivsuse piiri. (Selle predikatiivsuse mõiste täpsema mitteametliku kirjelduse ja täiendavate viidete saamiseks vt Feferman 2005. Vt ka Crosilla 2017. Samuti võib lugeja tutvuda predicativismi jaotisega matemaatikafilosoofia ja paradokside ning tänapäevase loogika osas)..(Selle predikatiivsuse mõiste täpsema mitteametliku kirjelduse ja täiendavate viidete saamiseks vt Feferman 2005. Vt ka Crosilla 2017. Samuti võib lugeja tutvuda predicativismi jaotisega matemaatikafilosoofia ja paradokside ning tänapäevase loogika osas)..(Selle predikatiivsuse mõiste täpsema mitteametliku kirjelduse ja täiendavate viidete saamiseks vt Feferman 2005. Vt ka Crosilla 2017. Samuti võib lugeja tutvuda predicativismi jaotisega matemaatikafilosoofia ja paradokside ning tänapäevase loogika osas)..

Konstruktiivsete aluspõhimõtete teemal on predicativismile pakutud liberaalsemat lähenemisviisi, alustades Lorenzeni, Myhilli ja Wangi 1950-ndate aastate lõpust (vt nt Lorenzen ja Myhill 1959). Ajendiks on see, et konstruktiivse matemaatika valdkonnas tuleks lubada nn induktiivseid määratlusi. Induktiivsete määratluste intuitiivne õigustamine on seotud asjaoluga, et neid saab väljendada piiritletud reeglite abil, altpoolt ülespoole. Induktiivsete definitsioonide teooriate tõestatud teoreetiline tugevus ületab Fefermani ja Schütte'i piirid (Buchholz, Feferman, Pohlers ja Sieg 1981). Seega peetakse tänapäeval konstruktiivse matemaatika alustalades suhteliselt tugevaid teooriaid prediktiivseks. Seda liberaalsemaid prediktiivsuse mõisteid on sageli nimetatud üldiseks prediktiivsuseks. Selles sissekandes kirjutame lihtsalt predikatiivsuse üldistatud predikatiivsuse kohta ja nimetame predikatiivsuseks looduslike numbritega paremini tuntud predikatiivsuse vormi, mis tekib klassikalises kontekstis ja mida on analüüsinud Kreisel, Feferman ja Schütte.

Selles mõttes predikatiivse teooria näide on konstruktiivne kogumiteooria CZF, kuna selle tõenditeoreetiline tugevus on sama, mis ühe induktiivse määratluse, mida tuntakse ID (_ 1), teoorial. Selle asemel on IZF-süsteem ebamõistlik, kuna selle tõestusteoreetiline tugevus võrdub kogu klassikalise ZF-i omaga (Friedman 1973a).

Intuitsionistlikul loogikal põhinevatel teooriatel saavutatakse predikatiivsus tavaliselt eraldamise ja võimu komplekti põhimõtete piiramisega, kuna need näivad olevat peamised impredikatiivsuse allikad (kui eeldada lõpmatuse aksioomi).

1.3.1 Eraldamise ebareaalsus

Eraldamise skeem võimaldab meil moodustada antud komplekti alamhulga, mille elemendid vastavad antud omadusele (väljendatud valemiga komplekti teooria keeles). Arvestades komplekti (B) ja valemit (phi (X)), võimaldab eraldamine ehitada uue komplekti, nende elementide komplekti (X), mis on (B), mille jaoks (phi). Tavaliselt tähistatakse seda mitteametlikult järgmiselt: ({X / B-vormingus: / phi (X) }). Eraldamine võib põhjustada ebatäpsust, kui valem (phi) sisaldab piiramatuid kvantitatoreid kogu komplektide universumis; tegelikult võime uue komplekti lahususe määratlemisel viidata just sellele kogumile, mis on vastuolus Russelli riskikapitali põhimõttega. Näiteks kui defineerime hulga (C) eraldamise teel kui ({X / B-s: / Forall Y / psi (X, Y) }), siis on (C) (Y), mida tuleb atribuudi (psi) osas kontrollida. Sellist ebamäärasuse vormi välditakse konstruktiivses kogumiteoorias eraldamisskeemi piiramisega: nõudes, et kõik valemi (phi) vahemikus esinevad kvantitaatorid oleksid ainult “varem konstrueeritud” komplektide kohal. Süntaktiliselt tähendab see, et antud komplekti (B) korral saame moodustada uue komplekti ({X / B: / phi (X) }) eraldamise teel ainult juhul, kui kõik kvantifikaatorid on (phi) on piiratud; see tähendab, et ainult juhul, kui kõik kvantifikaatorid jaotises (phi) on kujul (forall X (X / Y / parempoolses servas / ldots)) või (eksisteerib X (X / Y / kiilul / ldots))), mõne komplekti jaoks (Y).\ phi (X) }) eraldamisega ainult juhul, kui kõik (phi) kvantifikaatorid on piiratud; see tähendab, et ainult juhul, kui kõik kvantifikaatorid jaotises (phi) on kujul (forall X (X / Y / parempoolses servas / ldots)) või (eksisteerib X (X / Y / kiilul / ldots))), mõne komplekti jaoks (Y).\ phi (X) }) eraldamisega ainult juhul, kui kõik (phi) kvantifikaatorid on piiratud; see tähendab, et ainult juhul, kui kõik kvantifikaatorid jaotises (phi) on kujul (forall X (X / Y / parempoolses servas / ldots)) või (eksisteerib X (X / Y / kiilul / ldots))), mõne komplekti jaoks (Y).

Näeme, et eraldamise piiramine sel viisil väldib ebatäpsust, jälgides, et CZF-i tõestatud teoreetiline tugevus, millel on ainult piiratud eraldamine, jääb prediktiivsuse piiridesse. Täieliku eraldamise lisamisega CZF-ile saadakse aga impredikatiivne teooria, tegelikult sama, mille tõendusteoreetiline tugevus on sama kui teise järgu aritmeetikal (Lubarsky 2006). Vt ka 5. jagu, kus käsitletakse tõestusteooria rolli konstruktiivsete ja intuitionistlike kogumiteooriate analüüsimisel.

1.3.2 Powerseti kasutatavus

Võimsuse komplekti aksioom võimaldab meil moodustada antud komplekti kõigi alamhulkade komplekti. Näide energiakogumi ebatäpse kasutamise kohta on antud naturaalarvude alamhulga (N) määratlusega järgmiselt: (B: = {n / in N: / forall C / subseteq N / phi (n, C) }), kus (phi) võib pidada piiritletud valemiks. Siin tekib ringikujuline vorm, kuna (B) on üks osa (N) alamhulkadest, mida tuleb kontrollida (phi) osas. Nagu rõhutas Myhill (1975, 354), on võimsuse kogumit konstruktiivsest küljest raske õigustada: see koondab kõik antud komplekti kõik alamhulgad, kuid ei näe ette reeglit, mis "konstrueerib" varem antud komplekti komplekti, nagu näib eeldavat eelduslikkust.

Myhill kirjutab:

Võimukomplekt tundub teiste aksioomidega võrreldes eriti mittekonstruktiivne ja ebamäärane: see ei tähenda, nagu teisedki, juba kokku pandud komplektide kokku panemist või eraldamist, vaid pigem kõigi komplektide hulgast nende seast valimist, mis seostuvad kaasamine antud komplekti. (Myhill 1975, 351).

Toitekomplekt tundub eriti problemaatiline lõpmatute komplektide puhul, kuna "meil pole aimugi, mis on lõpmatu komplekti suvaline alamhulk; puudub võimalus neid kõiki genereerida ja seega pole meil võimalust moodustada kõigi nende komplekti. neid "(Myhill 1975, 354). Selle tagajärjel näib, et lõpmatu komplekti kõigi alamhulkade komplektile pole konstruktiivset mõtet anda.

Myhill täheldab otsustavalt, et võimsuskomplekti pole Bishop-stiilis konstruktiivse matemaatika jaoks vaja, kuna selle võib asendada ühe tagajärjega. Seda nimetatakse sageli Myhilli eksponentsiaksioomiks ja see väidab, et võime moodustada kõigi funktsioonide komplekti ühest antud komplektist teise. See aksioom on selgelt samaväärne võimsusega, mis on seatud klassikalises kontekstis, kus antud komplekti alamhulki võivad tähistada iseloomulikud funktsioonid. Välistatud keskpunkti põhimõtte puudumisel pole aga seatud võimsus ja eksponentsiaal samaväärsed. Myhilli põhiline tähelepanek on, et eksponenteerimisest piisab matemaatika läbiviimiseks (Bishop 1967); näiteks võimaldab see ehitada (Cauchy) reaalarvud konstruktiivse kogumiteooria piires. Myhill väidab, et eksponentsiatsioon on konstruktiivselt mõttekas, kuna funktsioon on reegel,piiratud objekt, mida tegelikult saab anda.

Samuti kirjutab ta, et võimu komplekt erineb eksponentseerumisest:

isegi lõpmatute komplektide (A) ja (B) korral on meil ettekujutus meelevaldse kaardistamise hulgast (A) (B). Suvaline kaardistamine (mathbf {Z}) -st (mathbf {Z}) on osaline rekursiivne funktsioon koos tõendiga, et arvutamine alati lõpeb; sarnase konto võib anda ka suvalise reaalse funktsiooni kohta. „Suvalise alamhulga” vastavat seletust pole. (Myhill 1975, 354).

Myhilli eksponentsiaksioom on nüüd osa kõigist konstruktiivse kogumiteooria peamistest süsteemidest. CZF-i puhul on tegelikult eksponentsiatsiooni tugevnemine, mida tuntakse alamhulkade kogumina, mis on ühtlasi ka võimu komplekti nõrgenemine. Eksponentsiatsiooni üldistust võib leida ka konstruktiivsest tüüpi teooriast.

CZF-i puhul võib tehnilise tulemusega põhjendada väidet, et võimsuse komplekti aksioomi lisamine põhjustab teatud määral ebamäärasust. Rathjen (2012b) näitab, et võimsuskomplekti aksioomiga täiendatud CZF ületab klassikalise Zermelo komplekti teooria tugevust ja seega viib võimsuse komplekti aksioomi lisamine CZF-ile täiesti ebamäärase teooria. See näitab ka seda, et implikatsiooni võimsuse seast alamhulkade kogumiseni ei saa ümber pöörata, kuna CZF-i tõenditeoreetiline tugevus on palju väiksem kui Zermleo set-teooria oma. Teisisõnu on võimsuse komplekti aksioom palju tugevam kui nii eksponentsiatsioon kui ka alamhulkade kogumine.

1.3.3 Komplektide konstruktiivne universum

Olles kehtestanud võimsuse seadmisele ja eraldamisele sobivad piirangud, võime nüüd silmitsi seista olulise vastuväitega. Konstruktiivseid ja intuitionistlikke kogumiteooriaid võib käsitleda klassikalise ZF-i komplekti teooria modifikatsioonidena, mis saadakse järgmiselt: (1) asendades klassikalise intuitiivse loogikaga ja (2) valides erinevate klassikaliselt samaväärsete põhimõtete hulgast täpselt need, mis tunduvad antud eesmärkidel sobivad. Näiteks võime valida põhimõtted, millest piisab teatud matemaatilise praktika esindamiseks, näiteks Bishopi stiilis matemaatika. Sellest tulenev komplekti mõiste võib aga muutuda varjatuks ja komplekti teoreetiliste põhimõtete valik võib osutuda teatud määral meelevaldseks. Intuitsionistliku ZF-i puhul võib setteoreetiliste põhimõtete valikut õigustada selle semantiliste tõlgenduste uurimisega,nagu Heyting semantika või vaadates selle kategoorilisi mudeleid. Sellise vastuväite takistamiseks on Aczel konstruktiivse kogumiteooria korral tõlgendanud CZF-i Martin-Löfi tüüpi teooria versioonis (Aczel 1978). Väide on, et CZF-i mõistele seatakse selge konstruktiivne tähendus, vaadates selle tähendust Martin-Löfi tüüpi teoorias, kuna viimast peetakse tavaliselt komplekti konstruktiivse mõiste täpseks ja täielikult motiveeritud sõnastuseks. Aczeli tõlgendus CZF-ist konstruktiivses tüübiteoorias antakse tüüpide teoorias puude segamise teel. See tähendab, et konstruktiivses tüüptükis on CZF-i komplektide universum esindatud väiketüüpide U tüüpi universumi kohale ehitatud iteratiivsete komplektide tüübiga V (Aczel 1978; Martin-Löf 1984). See tõlgendus toob selgelt esile CZF-i (üldistatud) predikatiivsuse, mille kogumeid võib pidada induktiivselt üles ehitatud puudeks ja mille komplekteeritud teoreetilisel universumil on ka selge induktiivne struktuur.

CZF-i ja sellega seotud süsteemide predikatiivsus on kooskõlas filosoofiliste seisukohtadega, mida sageli seostatakse intuitionistliku loogika kasutamisega. Eelkõige näib, et kui me konstrueerime näiteks matemaatilisi objekte, kui matemaatilised objektid on mingisugused vaimsed konstruktsioonid, annaks ebamääraste definitsioonide kasutamine ringluse ebasoovitava vormi. See on selgelt vastuolus vaatega, mida sageli seostatakse klassikalise kogumiteooriaga, mille jaoks meie matemaatilist tegevust võib pidada kogumite universumi omaduste järkjärguliseks avalikustamiseks, mille olemasolu meist on sõltumatu. Selline seisukoht on tavaliselt seotud klassikalise loogika ja impredikatiivsuse kasutamisega setteoreetilise universumi uurimisel. Ennustatavust peetakse sageli seotuks tegeliku ja potentsiaalse lõpmatuse ajaliselt eristatavaga. Ennustavaid (ja seega eriti konstruktiivseid) teooriaid peetakse sageli tegelikule lõpmatusele viitamise vältimiseks ja ainult potentsiaalsele lõpmatusele pühendumiseks (Dummett 2000, Fletcher 2007). See näib jällegi eriti kooskõlas nende filosoofiliste seisukohtadega, mis tõstavad esile meie matemaatilise tegevuse inimmõõtme, nähes näiteks matemaatilisi objekte ja nende kohta käivate väidete tõesust meist sõltuvatena. Teist sellega seotud aspekti peetakse sageli prediktiivsuseks: kui komplektide universum on üles ehitatud etappidena meie endi matemaatilise tegevuse kaudu, oleks loomulik ka seda lahtiseks vaadata. Sel põhjusel tuleb konstruktiivses kontekstiskus klassikalise loogika tagasilükkamine vastab predikatiivsuse nõudele, kirjeldatakse komplektide universumit sageli avatud mõistena, universumina “fieri”. See idee on eriti hästi näitlikustatud konstruktiivse tüübiteooria raames, kus tüübiteoreetilise universumi mõiste on Per Martin-Löf tahtlikult lahtiseks jätnud (jätmata selle jaoks spetsiifilisi kõrvaldamisreegleid). Komplektide universumi lahtine olemus on sillutanud põhimõtted selle laiendamiseks. Neid on uuritud nii tüübiteooria kui ka konstruktiivse kogumiteooria raames. Vt (Rathjen 2005a) tulemuste uuringut ja põhjalikku arutelu, samuti jaotist 5.2. Komplektide konstruktiivse universumi ametliku analüüsi ja võrdluse Von Neumanni hierarhiaga leiate (Ziegler 2014).komplektide universumit kirjeldatakse sageli avatud kontseptsioonina, universumit “in fieri”. See idee on eriti hästi näitlikustatud konstruktiivse tüübiteooria raames, kus tüübiteoreetilise universumi mõiste on Per Martin-Löf tahtlikult lahtiseks jätnud (jätmata selle jaoks spetsiifilisi kõrvaldamisreegleid). Komplektide universumi lahtine olemus on sillutanud põhimõtted selle laiendamiseks. Neid on uuritud nii tüübiteooria kui ka konstruktiivse kogumiteooria raames. Vt (Rathjen 2005a) tulemuste uuringut ja põhjalikku arutelu, samuti jaotist 5.2. Komplektide konstruktiivse universumi ametliku analüüsi ja võrdluse Von Neumanni hierarhiaga leiate (Ziegler 2014).komplektide universumit kirjeldatakse sageli avatud kontseptsioonina, universumit “in fieri”. See idee on eriti hästi näitlikustatud konstruktiivse tüübiteooria raames, kus tüübiteoreetilise universumi mõiste on Per Martin-Löf tahtlikult lahtiseks jätnud (jätmata selle jaoks spetsiifilisi kõrvaldamisreegleid). Komplektide universumi lahtine olemus on sillutanud põhimõtted selle laiendamiseks. Neid on uuritud nii tüübiteooria kui ka konstruktiivse kogumiteooria raames. Vt (Rathjen 2005a) tulemuste uuringut ja põhjalikku arutelu, samuti jaotist 5.2. Komplektide konstruktiivse universumi ametliku analüüsi ja võrdluse Von Neumanni hierarhiaga leiate (Ziegler 2014).kus tüübiteoreetilise universumi mõiste on Per Martin-Löf tahtlikult lahtiseks jätnud (jätmata selle jaoks spetsiifilisi kõrvaldamisreegleid). Komplektide universumi lahtine olemus on sillutanud põhimõtted selle laiendamiseks. Neid on uuritud nii tüübiteooria kui ka konstruktiivse kogumiteooria raames. Vt (Rathjen 2005a) tulemuste uuringut ja põhjalikku arutelu, samuti jaotist 5.2. Komplektide konstruktiivse universumi ametliku analüüsi ja võrdluse Von Neumanni hierarhiaga leiate (Ziegler 2014).kus tüübiteoreetilise universumi mõiste on Per Martin-Löf tahtlikult lahtiseks jätnud (jätmata selle jaoks spetsiifilisi kõrvaldamisreegleid). Komplektide universumi lahtine olemus on sillutanud põhimõtted selle laiendamiseks. Neid on uuritud nii tüübiteooria kui ka konstruktiivse kogumiteooria raames. Vt (Rathjen 2005a) tulemuste uuringut ja põhjalikku arutelu, samuti jaotist 5.2. Komplektide konstruktiivse universumi ametliku analüüsi ja võrdluse Von Neumanni hierarhiaga leiate (Ziegler 2014). Neid on uuritud nii tüübiteooria kui ka konstruktiivse kogumiteooria raames. Vt (Rathjen 2005a) tulemuste uuringut ja põhjalikku arutelu, samuti jaotist 5.2. Komplektide konstruktiivse universumi ametliku analüüsi ja võrdluse Von Neumanni hierarhiaga leiate (Ziegler 2014). Neid on uuritud nii tüübiteooria kui ka konstruktiivse kogumiteooria raames. Vt (Rathjen 2005a) tulemuste uuringut ja põhjalikku arutelu, samuti jaotist 5.2. Komplektide konstruktiivse universumi ametliku analüüsi ja võrdluse Von Neumanni hierarhiaga leiate (Ziegler 2014).

2. Konstruktiivsete ja intuitsiooniliste komplektiteooriate alged

Zermelo-Fraenkeli komplektiteooriate intuitsioonilised versioonid tutvustati 1970. aastate alguses Friedmani ja Myhilli poolt. Autor (Friedman 1973) tutvustab autor erinevate intuitionistlike süsteemide formaalsete omaduste uuringut ja tutvustab neile Kleene realiseeritavuse meetodi laiendit. Realiseeritavuse tehnikat rakendatakse (Myhill 1973), et näidata intuitiivse Zermelo-Fraenkeli komplekti teooria versiooni olemasolu koos omadustega (kogu asendamise asemel). Teise põhimõttelise kaastööna laiendab Friedman intuitonistliku loogika topelt eitustõlget klassikaliste ja intuitionistlike teooriate seostamiseks (Friedman 1973a). Need esimesed artiklid käsitlevad juba seost mõne suurema intuitsioonistliku kogumiteooria ja klassikalise ZF-i vahel. Samuti selgitavad nad intuitiivsel loogikal põhineva kogumiteooria põhijoont,peamiselt seda, et see on kasutatav võimsate konstruktiivsete semantiliste tõlgendustega, nagu realiseeritavus. Neid tehnikaid kasutatakse oluliste metateoreetiliste omaduste uurimisel, mis on tüüpilised konstruktiivsele lähenemisele ja mida naudivad mõned konstruktiivsed kogumiteooriad (vt jaotis Semantilised tehnikad). Seda murrangulist tööd on Beesoni ja McCarty töös täielikult ära kasutatud ja oluliselt laiendatud (vt Beeson 1985; McCarty 1984). Seda murrangulist tööd on Beesoni ja McCarty töös täielikult ära kasutatud ja oluliselt laiendatud (vt Beeson 1985; McCarty 1984). Seda murrangulist tööd on Beesoni ja McCarty töös täielikult ära kasutatud ja oluliselt laiendatud (vt Beeson 1985; McCarty 1984).

Konstruktiivsel kogumiteoorial on algusest peale erilisem aluspõhimõte ja see on seotud Bishopi matemaatikaga. Tegelikult avaldas Bishop 1967. aastal raamatu “Konstruktiivse analüüsi alused” (Bishop 1967), mis avas uue aja intuitsioonilisel loogikal põhinevale matemaatikale (vt sissekannet konstruktiivse matemaatika kohta). Monograafia stimuleeris loogilise kogukonna värskeid katseid selgitada ja formaalselt esitada põhimõtteid, mida piiskop kasutas, ehkki ainult mitteametlikul tasandil. Goodmani ja Myhilli (Goodman and Myhill 1972) esimesed katsed kasutasid Gödeli süsteemi T versioone (vt samalaadse katse kohta ka (Bishop 1970)). Myhill jõudis siiski järeldusele, et sellest tulenev vormistamine oli liiga keeruline ja kunstlik (Myhill 1975, 347). Myhill pakkus selle asemel välja süsteemi, mis on lähemal piiskopi poolt algselt kasutatud mitteametlikule arusaamale komplektist ja lähemale ka setteoreetilisele traditsioonile. Myhill kirjutab (1975, 347):

Keeldume uskumast, et asjad peavad olema nii keerulised - (Bishop 1967) argumentatsioon tundub väga ladus ja näib langevat otse teatud kontseptsioonist selle kohta, mis on komplektid, funktsioonid jne, ning soovime leida formalismi, mis isoleerib selle kontseptsiooni aluseks olevad põhimõtted samal viisil, nagu Zermelo-Fraenkeli püstitatud teooria isoleerib klassikalise (mittekonstruktiivse) matemaatika aluseks olevad põhimõtted. Me tahame, et need põhimõtted oleksid sellised, mis muudaksid vormistamise protsessi täiesti triviaalseks, nagu see on klassikalisel juhul.

Siinkohal täheldame, et Myhilli konstruktiivne kogumiteooria eristas funktsiooni, naturaalarvu ja komplekti mõisteid; seega esindas see tihedalt konstruktiivset traditsiooni, milles funktsioonid ja naturaalarvud on kontseptuaalselt komplektidest sõltumatud. Veel üks põhiline samm konstruktiivse kogumiteooria väljatöötamisel oli Friedmani „Set-teoreetilised alused konstruktiivseks analüüsiks” (Friedman 1977). Siin määratletakse muude süsteemide hulgas süsteem nimega B, millel on Myhilli omadega võrreldes veelgi kitsamad setteooria põhimõtted (eriti sellel pole seatud induktsiooni). Sellel on ka sõltuva valiku aksioomi piiratud vorm. On näidatud, et süsteem B on piisavalt ekspressiivne, et kajastada Bishop'i (1967) konstruktiivset analüüsi, olles samal ajal tõestus-teoreetiliselt väga nõrk (määratud induktsiooni puudumise tõttu). Süsteem B on tegelikult aritmeetika konservatiivne pikendus (seega on see tunduvalt madalam predikatiivsuse piirist, kui naturaalarvud on lühidalt meelde tuletatud jaotises 1.3). Myzelli ja Friedmani süsteeme muutis Aczel hiljem, saamaks süsteemi ZZF (Constructive Zermelo-Fraenkel), mis ühildub täielikult ZF-i keelega (Aczel 1978, 1982, 1986; Aczel ja Rathjen 2001; 2010). CZF ei sisaldanud ka valiku põhimõtteid. Aczel andis CZF-i tõlgenduse Martin-Löfi tüüpi teoorias eesmärgiga kinnitada seatud teooria konstruktiivset olemust. Samuti tugevdas ta mõnda Myhilli süsteemi põhimõtet (nimelt kogumist ja eksponenteerimist) põhjusel, et tugevamad versioonid on tüübiteoorias endiselt tõlgendusega kinnitatud.

Muud piiskopilises konstruktiivses matemaatikas kasutatavad alussüsteemid võeti kasutusele 1970ndate alguses. Näiteks: S. Fefermani ekspressiivne matemaatika (Feferman 1975) ja juba mainitud intuitsioonistüübi teooria (Martin-Löf 1975; 1984). Konstruktiivse tüübi teooriat peetakse konstrueeriva matemaatika Bishop-stiilis kõige rahuldavamaks aluseks. Nii tüübiteooriat kui ka eksplitsiitset matemaatikat saab vaadelda konstruktiivse matemaatika arvutusliku sisu otsesema väljendusena. Eriti tüübiteooriat võib lugeda väga üldise ja väljendusrikka programmeerimiskeelena. Konstruktiivsed ja intuitiivsed kogumiteooriad näitavad oma arvutuslikku sisu ainult kaudselt semantiliste tõlgenduste kaudu (vt nt (Aczel 1977), (Lipton 1995) ja Semantilisi tehnikaid käsitlev osa).

3. Axioms Systems CZF ja IZF

Lugejale, kes on juba tuttav ZF-i komplekti teooriaga, tuletame nüüd lühidalt meelde süsteemide CZF ja IZF aksioome. Nende aksioomide täieliku loetelu ja selgituse leiate viidatud lisadokumendist:

CZF ja IZF aksioomid.

CZF ja IZF on formuleeritud intuitiivse esimese astme loogika alusel võrdsusega, millel on täiendava mitteloogilise binaarse predikatsioonisümbolina ainult (in) (liikmesus). Nende setteoreetilised aksioomid on järgmised.

(mathbf {IZF}) (mathbf {CZF})
Laiendavus (sama)
Paari (sama)
Liit (sama)
Lõpmatus (sama)
Eraldamine Piiratud eraldamine
Kollektsioon Tugev kollektsioon
Powerset Alamkomplekt
Seadke induktsioon (sama)

Pange tähele, et IZF-is on eraldamise skeem piiramatu. CZF-is tugevdatakse kogumist piiratud eraldamise kompenseerimiseks. Alamkomplekt on Myhilli eksponentsiaksioomi tugevdamine, asendades sellega ZF-i Powerseti.

4. Konstruktiivse valiku põhimõtted

Klassikalise kogumiteooria kui matemaatika aluse rolli arutamisel võetakse tavaliselt arvesse teooriat ZFC, see tähendab aksioomisüsteemi ZF pluss valitud aksioomi (AC). Seetõttu võiks küsida, milline on valitud aksioomi staatus intuitsioonilistes seadetes. Küsimus on eriti oluline, kuna selle esimesel ilmumisel peeti valitud aksioomi sageli vastuoluliseks ja väga mittekonstruktiivseks. Kuid konstruktiivses kontekstis saab inimene olla omapärase nähtuse tunnistajaks. Valitud aksioomi tavalist vormi kinnitavad tüüpide teooriad, näiteks Martin-Löfi tüüpi teooria, kus kehtib Curry-Howardi kirjavahetus (vt konstruktiivse matemaatika sissekande punkt 3.4). Teisest küljest annab valitud aksioomi eeldus pikenduskontekstides välistatud keskpunkti juhtumeid,kus on olemas ka eraldamisviis. See kehtib näiteks konstruktiivse ja intuitiivse ZF-i kohta. (Selle tõendusmaterjali leiate lisadokumendist Intuitionistliku loogikaga kokkusobimatute set-teoreetiliste põhimõtete kohta.) Tõend AC-i kokkusobimatuse kohta pikenduste komplekti teooriatega, mis põhineb intuitionistlikul loogikal, näib esmakordselt ilmunud kategoorias (Diaconescu 1975) kategoorilises kontekstis. Goodman ja Myhill esitavad argumendi intuitsioonilisel loogikal põhinevatele teooriatele (Goodman ja Myhill 1978).) Tõend AC vaheldamise kohta intuitiivistlikul loogikal põhinevate laiendite komplekti teooriatega näib esmakordselt ilmunud kategoorias (Diaconescu 1975). Goodman ja Myhill esitavad argumendi intuitsioonilisel loogikal põhinevatele teooriatele (Goodman ja Myhill 1978).) Tõend AC vaheldamise kohta intuitiivistlikul loogikal põhinevate laiendite komplekti teooriatega näib esmakordselt ilmunud kategoorias (Diaconescu 1975). Goodman ja Myhill esitavad argumendi intuitsioonilisel loogikal põhinevatele teooriatele (Goodman ja Myhill 1978).

Ehkki valitud aksioom ei ühildu nii konstruktiivse kui ka intuitsioonilise ZF-iga, võib põhisüsteemidele lisada muid valiku põhimõtteid, ilma et need tekitaksid samu soovimatuid tulemusi. Näiteks võiks lisada loendatava valiku põhimõtte (AC (_ 0)) või sõltuva valiku põhimõtte (DC). Tegelikult on mõlemad sageli rakendatud konstruktiivses matemaatikapraktikas. (Nende täpse koostise leiate CZF ja IZF aksioomide lisadokumendist.)

Autor kaalus (Aczel 1978) ka valiku põhimõtet nimega Presentation Axiom, mis kinnitab, et iga komplekt on niinimetatud aluse surjektiivne pilt. Alus on kogum, näiteks (B), nii et iga seos domeeniga (B) laiendab funktsiooni domeeniga (B).

Kõigi nende valikuvõimaluste ühilduvust konstruktiivse kogumiteooriaga on Aczel tõestanud, laiendades CZF-i tõlgendust Martin-Löfi tüüpi teoorias (Aczel 1982). Rathjen (2006) on kaalunud ka erinevaid konstruktiivseid valiku põhimõtteid ja nende vastastikuseid suhteid.

Viimane märkus: kuigi konstruktiivsed ja intuitiivsed komplektiteooriad ühilduvad äsja mainitud valiku põhimõtetega, määratletakse seatud teooriad sageli ilma valikuvõimalusteta. Selle eesmärk on võimaldada “pluralistlikku” aluspõhimõtet. Eelkõige sooviks saada alusteooriat, mis ühilduks nende kontekstidega (nt kogumiteooria kategoorilised mudelid), milles isegi neid nõrgemaid valiku põhimõtteid ei pruugita kinnitada. Sarnaste ideede kohta konstruktiivse tüübiteooria kontekstis vaata (Maietti ja Sambin 2005, Maietti 2009). Samuti soovime mainida siin Richmani üleskutset konstruktiivsele matemaatikale, mis ei kasuta valiku põhimõtteid (Richman 2000; 2001).

5. Konstruktiivse ja intuitiivse ZF-i tõestusteooria ja semantika

Vaadeldes teatavat matemaatilist tava (või selle kodifitseerimiseks kasutatavat teooriat) filosoofilisest vaatenurgast, peame võimalikult suure täpsusega selgitama selle sisemisi eeldusi ja neist eeldustest tulenevaid tagajärgi. See kehtib eriti siis, kui töötatakse teooriatega, mis põhinevad nõrgemal loogikal kui klassikaline, mille puhul on kohustuslik sügavam ja täpsem ülevaade. Saadaval on palju tehnilisi vahendeid, mis aitavad meil neid aspekte selgitada. Kättesaadavate instrumentide hulgas on nii tõenditeoreetilisi tehnikaid, nagu tõestusteoreetilised tõlgendused, kui ka semantilisi tehnikaid, nagu realiseeritavus, Kripke mudelid, Heytingi väärtustatud semantika. Tegelikult on kirjanduses sageli tunnistajaks tõenditeoreetilise ja semantilise tehnika koosmõju. Siin käsitleme mõnda neist teemadest põgusalt ja soovitame seda lähemalt lugeda.

5.1 Tõestatud teoreetiline tugevus

Tõestusteooria (eriti selle distsipliini haru, mida nimetatakse ordinaalseks analüüsiks) põhiteema on teooriate klassifitseerimine transfinite ordinaalide abil, mis mõõdavad nende "konsistentsi tugevust" ja "arvutusvõimet". Need käskkirjad annavad teada, kui tugev on teooria, ja pakuvad seetõttu võimalust erinevate teooriate võrdlemiseks. Näiteks ordinaalne (varepsilon_0) on Peano aritmeetika tõenditeoreetiline ordinal ja palju väiksem kui ordinaalne (Gamma_0), mida tavaliselt nimetatakse "predikatiivsuse piiriks" (vt punkt 1.3 eespool)). See osutab sellele, et on olemas eelistatavalt vastuvõetavaid teooriaid, mis on palju tugevamad kui Peano aritmeetika.

Nagu peatükis 1 käsitletud, nõuab samm klassikalisest ZF-ist selle intuitionistlike variantide juurde iga seateoreetilise aksioomi jaoks sobiva formulatsiooni valimist: ühel klassikalisel aksioomil võib olla mitmeid intuitiivseid variante, mis osutuvad üksteisega mitteekvivalentseteks.. Seda peegeldab mõnikord saadud teooriate tõenditeoreetiline tugevus, mis võib varieeruda sõltuvalt sellest, milliseid põhimõtteid me valime. Näiteks juba märkisime, et CZF-is ei ole meil täielikku eraldamist ja võimsuse komplekti, mis asendatakse vastavalt ennustatavalt vastuvõetavate piiride eraldamise ja alamhulkade kogumise põhimõtetega. Kui aga lisada mõni neist põhimõtetest CZF-i, saadakse ebatäpsed teooriad. Saadud teooriate ebareaalsusele annab tunnistust asjaolu, et nende tõestusteoreetiline tugevus ületab tunduvalt CZF-i oma.

Pole üllatav, et konstruktiivsete ja intutionistlike kogumiteooriate tõenditeoreetilise tugevuse uurimine on olnud ülioluline metateoreetiline vahend nende teooriate ja nende suhete mõistmiseks. Teooria tõenditeoreetilise tugevuse uurimine on rikkalik ja informatiivne. Eelkõige on Feferman (1993) väitnud, et tõestusteoreetiline analüüs võib aidata meil kindlaks teha, kas teatud teooria vastab antud filosoofilisele raamistikule: näiteks võib analüüs paljastada, et teooria on prediktiivne või finitistlik jne. tõenditeoreetilise analüüsi kõrvalsaadusena saadakse mõnikord lihtsaid sõltumatuse tõestusi. Tegelikult võime näidata, et teooria ei suuda tõestada konkreetset põhimõtet, sest selle lisamine teooriale suurendaks teooria tõendusteoreetilist tugevust. Näiteks,CZF ei tõesta võimsusvahemiku aksioomi, kuna võimestiku lisamine CZF-ile annab palju tugevama teooria. Samuti on kasutatud tõestusteoreetilisi tõlgendusi, et võrrelda konstruktiivseid ja intuitiivseid ZF-i teooriaid nii omavahel kui ka nende klassikaliste kolleegidega ning ka teiste konstruktiivse matemaatika alussüsteemidega, nagu näiteks konstruktiivse tüübi teooria ja eksplitsiitse matemaatika (vt nt. Griffor ja Rathjen 1994, Tupailo 2003). Tõenditeoreetilise tugevuse mõiste määratluse ja tõestusteooria uuringute kohta vaata näiteks (Rathjen 1999, 2006b).nagu ka nende klassikaliste kolleegidega ja ka teiste konstruktiivse matemaatika alussüsteemidega, nagu näiteks konstruktiivse tüübi teooria ja eksplitsiitse matemaatika (vt nt Griffor ja Rathjen 1994, Tupailo 2003). Tõenditeoreetilise tugevuse mõiste määratluse ja tõestusteooria uuringute kohta vaata näiteks (Rathjen 1999, 2006b).nagu ka nende klassikaliste kolleegidega ja ka teiste konstruktiivse matemaatika alussüsteemidega, nagu näiteks konstruktiivse tüübi teooria ja eksplitsiitse matemaatika (vt nt Griffor ja Rathjen 1994, Tupailo 2003). Tõenditeoreetilise tugevuse mõiste määratluse ja tõestusteooria uuringute kohta vaata näiteks (Rathjen 1999, 2006b).

Ehkki CZF ja IZF on kõige laiemalt uuritud süsteemid, on kirjanduses seni kaalutud arvukalt muid konstruktiivse ja intuitionistliku kogumiteooria süsteeme. Mitmete konstruktiivsete ja intuitionistlike kogumiteooriate tõestatud teoreetiline tugevus on loodud mitmesuguste tööriistade abil, näiteks näiteks topelt eituse tõlgendamise teooria laiendus (pärineb (Friedman 1973a)) ja mitmesugused muudest tõestusteoreetilistest tõlgendustest, mis tulenevad sageli semantilise ja tõestusteoreetilise tehnika hoolikast kombinatsioonist. Paljudel juhtudel on süsteemi tõestatud teoreetiline tugevus määratud konstruktiivsete ja klassikaliste süsteemide vahelise tõlgenduste ahela abil, kasutades ordinaalanalüüsi mitmesuguseid vahendeid alates paindlikkusest kuni traditsioonilisemate tõestusteoreetiliste meetoditeni (vt.näiteks Beeson 1985; Griffor ja Rathjen 1994; Rathjen 2012b). Eelkõige on selle paindlikkuse tõttu osutunud väga kasulikuks realiseeritavus. Nende uurimiste tulemuste osas osutuvad mõned analüüsitud süsteemid sama nõrgaks kui aritmeetika, näiteks Friedmani süsteem B (Friedman 1977); muud süsteemid on sama tugevad kui täielik klassikaline ZF, nagu IZF (Friedman 1973a). On olemas ka keskmise tugevusega süsteeme, näiteks CZF. Viimati nimetatud teooria tugevus võrdub tegelikult ühe induktiivse määratluse, mida tuntakse ID (_ 1), teooria omaga. Fakt, et CZF-il on sama tugevus kui ID (_ 1), on kinnitatud teooria (üldise) predikatiivsuse kinnitamiseks ja tõestamaks, et see ületab naturaalarvude puhul predikatiivsuse piiri, kuna ID (_ 1) tõestus teoreetiline ordinal on palju kõrgem kui (Gamma_0). Beeson 1985; Griffor ja Rathjen 1994; Rathjen 2012b). Eelkõige on selle paindlikkuse tõttu osutunud väga kasulikuks realiseeritavus. Nende uurimiste tulemuste osas osutuvad mõned analüüsitud süsteemid sama nõrgaks kui aritmeetika, näiteks Friedmani süsteem B (Friedman 1977); muud süsteemid on sama tugevad kui täielik klassikaline ZF, nagu IZF (Friedman 1973a). On olemas ka keskmise tugevusega süsteeme, näiteks CZF. Viimati nimetatud teooria tugevus võrdub tegelikult ühe induktiivse määratluse, mida tuntakse ID (_ 1), teooria omaga. Fakt, et CZF-il on sama tugevus kui ID (_ 1), on kinnitatud teooria (üldise) predikatiivsuse kinnitamiseks ja tõestamaks, et see ületab naturaalarvude puhul predikatiivsuse piiri, kuna ID (_ 1) tõestus teoreetiline ordinal on palju kõrgem kui (Gamma_0). Beeson 1985; Griffor ja Rathjen 1994; Rathjen 2012b). Eelkõige on selle paindlikkuse tõttu osutunud väga kasulikuks realiseeritavus. Nende uurimiste tulemuste osas osutuvad mõned analüüsitud süsteemid sama nõrgaks kui aritmeetika, näiteks Friedmani süsteem B (Friedman 1977); muud süsteemid on sama tugevad kui täielik klassikaline ZF, nagu IZF (Friedman 1973a). On olemas ka keskmise tugevusega süsteeme, näiteks CZF. Viimati nimetatud teooria tugevus võrdub tegelikult ühe induktiivse määratluse, mida tuntakse ID (_ 1), teooria omaga. Fakt, et CZF-il on sama tugevus kui ID (_ 1), on kinnitatud teooria (üldise) predikatiivsuse kinnitamiseks ja tõestamaks, et see ületab naturaalarvude puhul predikatiivsuse piiri, kuna ID (_ 1) tõestus teoreetiline ordinal on palju kõrgem kui (Gamma_0). Rathjen 2012b). Eelkõige on selle paindlikkuse tõttu osutunud väga kasulikuks realiseeritavus. Nende uurimiste tulemuste osas osutuvad mõned analüüsitud süsteemid sama nõrgaks kui aritmeetika, näiteks Friedmani süsteem B (Friedman 1977); muud süsteemid on sama tugevad kui täielik klassikaline ZF, nagu IZF (Friedman 1973a). On olemas ka keskmise tugevusega süsteeme, näiteks CZF. Viimati nimetatud teooria tugevus võrdub tegelikult ühe induktiivse määratluse, mida tuntakse ID (_ 1), teooria omaga. Fakt, et CZF-il on sama tugevus kui ID (_ 1), on kinnitatud teooria (üldise) predikatiivsuse kinnitamiseks ja tõestamaks, et see ületab naturaalarvude puhul predikatiivsuse piiri, kuna ID (_ 1) tõestus teoreetiline ordinal on palju kõrgem kui (Gamma_0). Rathjen 2012b). Eelkõige on selle paindlikkuse tõttu osutunud väga kasulikuks realiseeritavus. Nende uurimiste tulemuste osas osutuvad mõned analüüsitud süsteemid sama nõrgaks kui aritmeetika, näiteks Friedmani süsteem B (Friedman 1977); muud süsteemid on sama tugevad kui täielik klassikaline ZF, nagu IZF (Friedman 1973a). On olemas ka keskmise tugevusega süsteeme, näiteks CZF. Viimati nimetatud teooria tugevus võrdub tegelikult ühe induktiivse määratluse, mida tuntakse ID (_ 1), teooria omaga. Fakt, et CZF-il on sama tugevus kui ID (_ 1), on kinnitatud teooria (üldise) predikatiivsuse kinnitamiseks ja tõestamaks, et see ületab naturaalarvude puhul predikatiivsuse piiri, kuna ID (_ 1) tõestus teoreetiline ordinal on palju kõrgem kui (Gamma_0).realiseeritavus on paindlikkuse tõttu osutunud väga kasulikuks. Nende uurimiste tulemuste osas osutuvad mõned analüüsitud süsteemid sama nõrgaks kui aritmeetika, näiteks Friedmani süsteem B (Friedman 1977); muud süsteemid on sama tugevad kui täielik klassikaline ZF, nagu IZF (Friedman 1973a). On olemas ka keskmise tugevusega süsteeme, näiteks CZF. Viimati nimetatud teooria tugevus võrdub tegelikult ühe induktiivse määratluse, mida tuntakse ID (_ 1), teooria omaga. Fakt, et CZF-il on sama tugevus kui ID (_ 1), on kinnitatud teooria (üldise) predikatiivsuse kinnitamiseks ja tõestamaks, et see ületab naturaalarvude puhul predikatiivsuse piiri, kuna ID (_ 1) tõestus teoreetiline ordinal on palju kõrgem kui (Gamma_0).realiseeritavus on paindlikkuse tõttu osutunud väga kasulikuks. Nende uurimiste tulemuste osas osutuvad mõned analüüsitud süsteemid sama nõrgaks kui aritmeetika, näiteks Friedmani süsteem B (Friedman 1977); muud süsteemid on sama tugevad kui täielik klassikaline ZF, nagu IZF (Friedman 1973a). On olemas ka keskmise tugevusega süsteeme, näiteks CZF. Viimati nimetatud teooria tugevus võrdub tegelikult ühe induktiivse määratluse, mida tuntakse ID (_ 1), teooria omaga. Fakt, et CZF-il on sama tugevus kui ID (_ 1), on kinnitatud teooria (üldise) predikatiivsuse kinnitamiseks ja tõestamaks, et see ületab naturaalarvude puhul predikatiivsuse piiri, kuna ID (_ 1) tõestus teoreetiline ordinal on palju kõrgem kui (Gamma_0).osa analüüsitud süsteeme osutub sama nõrgaks kui aritmeetika, näiteks Friedmani süsteem B (Friedman 1977); muud süsteemid on sama tugevad kui täielik klassikaline ZF, nagu IZF (Friedman 1973a). On olemas ka keskmise tugevusega süsteeme, näiteks CZF. Viimati nimetatud teooria tugevus võrdub tegelikult ühe induktiivse määratluse, mida tuntakse ID (_ 1), teooria omaga. Fakt, et CZF-il on sama tugevus kui ID (_ 1), on kinnitatud teooria (üldise) predikatiivsuse kinnitamiseks ja tõestamaks, et see ületab naturaalarvude puhul predikatiivsuse piiri, kuna ID (_ 1) tõestus teoreetiline ordinal on palju kõrgem kui (Gamma_0).osa analüüsitud süsteeme osutub sama nõrgaks kui aritmeetika, näiteks Friedmani süsteem B (Friedman 1977); muud süsteemid on sama tugevad kui täielik klassikaline ZF, nagu IZF (Friedman 1973a). On olemas ka keskmise tugevusega süsteeme, näiteks CZF. Viimati nimetatud teooria tugevus võrdub tegelikult ühe induktiivse määratluse, mida tuntakse ID (_ 1), teooria omaga. Fakt, et CZF-il on sama tugevus kui ID (_ 1), on kinnitatud teooria (üldise) predikatiivsuse kinnitamiseks ja tõestamaks, et see ületab naturaalarvude puhul predikatiivsuse piiri, kuna ID (_ 1) tõestus teoreetiline ordinal on palju kõrgem kui (Gamma_0). On olemas ka keskmise tugevusega süsteeme, näiteks CZF. Viimati nimetatud teooria tugevus võrdub tegelikult ühe induktiivse määratluse, mida tuntakse ID (_ 1), teooria omaga. Fakt, et CZF-il on sama tugevus kui ID (_ 1), on kinnitatud teooria (üldise) predikatiivsuse kinnitamiseks ja tõestamaks, et see ületab naturaalarvude puhul predikatiivsuse piiri, kuna ID (_ 1) tõestus teoreetiline ordinal on palju kõrgem kui (Gamma_0). On olemas ka keskmise tugevusega süsteeme, näiteks CZF. Viimati nimetatud teooria tugevus võrdub tegelikult ühe induktiivse määratluse, mida tuntakse ID (_ 1), teooria omaga. Fakt, et CZF-il on sama tugevus kui ID (_ 1), on kinnitatud teooria (üldise) predikatiivsuse kinnitamiseks ja tõestamaks, et see ületab naturaalarvude puhul predikatiivsuse piiri, kuna ID (_ 1) tõestus teoreetiline ordinal on palju kõrgem kui (Gamma_0).

Viimane märkus: kuigi CZF-i tugevus on tunduvalt madalam kui teise astme aritmeetika tugevus, annab CZF-i (välja arvatud keskosa) lihtne lisamine meile (täieliku) ZF-i. Seda tuleks vastandada IZF-ile, millel on juba ZF-i tugevus (Friedman 1973a). CZF-i piiratud tõestatud teoreetilist tugevust võrreldes IZF-iga on sageli peetud konstruktiivse peamiseks eeliseks intuitsioonistliku kogumiteooria ees. Teatud mõttes näib, et CZF kasutab maksimaalselt ära intuitionistliku loogika kasutamist, kuna see iseloomustab (üldistatud) ettejuhtuva kogumi mõistet, mis on piisavalt tugev suure osa konstruktiivse matemaatika arendamiseks, aga ka piisavalt nõrk, et vältida impredikatiivsust. Huvitav on see, et kui konstruktiivsele kogumiteooriale on lisatud mõned suured komplekti aksioomid, on tekkinud sarnane muster,kuna saadud teooria tugevus on tunduvalt madalam kui vastava klassikalise teooria oma.

5.2 Suured komplektid konstruktiivses ja intuitiivses ZF-is

Klassikalise komplektiteooria silmapaistev uurimisvaldkond on suurte kardinalide uurimine (vt sissekannet setiteooria kohta). Konstruktiivses kontekstis ei ole ordinaadid lineaarselt järjestatud. (Konstruktiivse ordinaalse mõiste ja selle omaduste lühikese kirjelduse leiate lisadokumendist teemal: Intuitionistliku loogikaga ühildamatud set-teoreetilised põhimõtted.) Seetõttu ei mängi kardinalide arv sama rolli kui klassikalises seaduses.

Sellegipoolest saab uurida suurte kogumiga aksioomide vormi peegelduspõhimõtete mõju. Näiteks saab konstruktiivsetele ja intuitsioonilistele komplektiteooriatele lisada aksioomi, mis kinnitab ligipääsmatute komplektide olemasolu. [2] Intuitsionistlikule ZF-ile pakkusid suured kompleksid aksioomid lisaks esmakordselt Friedman ja Scedrov (Friedman ja Scedrov 1984). Nende üks eesmärk oli valgustada vastavaid klassikalisi mõisteid; teine eesmärk oli uurida nende põhimõtete mõju algsete kogumiteooriate metateoreetilistele omadustele. Friedman ja Scedrov on näiteks näidanud, et suurte komplekti aksioomide lisamine ei kahjusta IZF-i disjunktsiooni ja numbriliste olemasolu omaduste kehtivust.

Konstruktiivse komplektiteooria kontekstis on Aczel kasutusele võtnud suured komplektid niinimetatud regulaarsete komplektide kujul, et võimaldada komplektide induktiivseid määratlusi (Aczel 1986). Rathjen ja Crosilla on pidanud kättesaamatuid komplekte (Rathjen al. 1998; Crosilla ja Rathjen 2001) ja Mahlo komplekte (Rathjen 2003a). Sellegipoolest võiks vastuväiteid esitada konstruktiivse kogumiteooria laiendamiseks suurte komplekti aksioomide abil. Klassikalises komplektiteoorias võib suuri kardinalid vaadelda kõrgema lõpmatuse kehastusena. Kuidas me neid põhimõtteid konstruktiivselt õigustame? Nende arusaamade konstruktiivne õigustus tugineb taas tüübiteoreetilisele tõlgendusele. Nende põhimõtete lisamine vastab tegelikult universumite ja (W) tüüpidele konstruktiivses tüüptiteoorias. Laienduste õigustamine suurte komplektide abil on seega seotud Martin-Löfi tüüpi teooria piiride küsimusega (Rathjen 2005). Samuti märgime, et CZF-i nõrgale alamsüsteemile (millel pole sissejuhatavat induktsiooni) on kättesaamatute aksioomide lisamine tulemuseks tugevuse teooria (Gamma_0), mille ordinaali valisid Feferman ja Schütte predikatiivsuse piiriks, arvestades looduslikku numbrid (Crosilla ja Rathjen 2001; vt ka punkt 1.3). Selle tunnistajaks on asjaolu, et töötades konstruktiivses ja ettevaatavas kontekstis, saame taltsutada traditsiooniliselt tugevaid setteoreetilisi arusaamu.ordinaali, mille Feferman ja Schütte valisid predikatiivsuse piiriks, arvestades naturaalarvu (Crosilla ja Rathjen 2001; vt ka punkt 1.3). Selle tunnistajaks on asjaolu, et töötades konstruktiivses ja ettevaatavas kontekstis, saame taltsutada traditsiooniliselt tugevaid setteoreetilisi arusaamu.ordinaali, mille Feferman ja Schütte valisid predikatiivsuse piiriks, arvestades naturaalarvu (Crosilla ja Rathjen 2001; vt ka punkt 1.3). Selle tunnistajaks on asjaolu, et töötades konstruktiivses ja ettevaatavas kontekstis, saame taltsutada traditsiooniliselt tugevaid setteoreetilisi arusaamu.

Crosilla ja Rathjeni teooria ligipääsmatute komplektidega (kuid komplekti induktsioonita) on teoreetiliselt üsna nõrk, kuid matemaatiliselt üsna ekspressiivne tõestus. Näiteks on seda kasutatud selleks, et kontrollida, kas Voevodsky Univalentsuse Aksiomi lisamine Martin-Löfi tüüpi teooriasse ei tekita ebamäärasust (Rathjen 2017). Univalentsuse aksioomi tutvustas Voevodsky oma programmi Univalent Foundations (Voevodsky 2015) raames. (Univalentsete sihtasutuste kohta vaadake kirjeid tüübiteooria ja intuitionistliku tüüptiteooria kohta). Voevodsky esitas konstruktiivse tüübi teooria mudeli Univalentsi aksioomiga, mis põhineb Kan lihtsustavatel komplektidel (vt Kapulkin & Lumsdaine 2012, Muud Interneti-ressursid). Ülaltoodud artiklis välja töötatud konstruktiivse tüübi teooria lihtsustatus ühevalentsusega viiakse läbi ZFC laiendusel, kus on ligipääsmatud kardinalid. See ajendas küsima, kas saaks anda seda tüüpi teooria konstruktiivsema mudeli, ja eriti, kas tüübiteooria on predikatiivne. Bezem, Coquand ja Huber (2014) on hiljuti pakkunud välja seda tüüpi teooria mudeli kuupmeetrilistes komplektides, mis on arvutuslik ja mida saab väljendada konstruktiivses metaloogikas. Rathjen (2017) on kinnitanud, et seda uut mudelit saab kodifitseerida ligipääsmatute komplektide abil sobivasse CZF-i laiendisse, mis on palju nõrgem kui ligipääsmatute kardinalidega klassikaline komplektiteooria. Tegelikult selgub, et kui võtta lähtepunktiks suhteliselt nõrk tüüpi teooria, st üks, millel pole W-tüüpe, ja laiendada seda Univalentsi Aksioomi abil,saadud teoorial on tõestatud teoreetiline tugevus (Gamma_0), ordinaalset võetakse tavaliselt naturaalarvudest lähtuva predikatiivsuse piiri tähistamiseks (Rathjen 2017). Selle tõestamiseks saab tõestada, et Bezemi, Coquandi ja Huberi kuupmudelit saab teostada Crosilla ja Rathjenis (2001) tutvustatud süsteemi laiendusena (piiritletud) Relativiseeritud sõltuva valiku abil. (Crosilla ja Rathjen 2001) ja (Rathjen 2003) järeldub, et viimasel on tõenditeoreetiline ordinaalne (Gamma_0). Coquandit ja Huberi saab teostada Crosilla ja Rathjenis (2001) tutvustatud süsteemi laiendusena (piiritletud) Relativiseeritud sõltuva valiku abil. (Crosilla ja Rathjen 2001) ja (Rathjen 2003) järeldub, et viimasel on tõenditeoreetiline ordinaalne (Gamma_0). Coquandit ja Huberi saab teostada Crosilla ja Rathjenis (2001) tutvustatud süsteemi laiendusena (piiritletud) Relativiseeritud sõltuva valiku abil. (Crosilla ja Rathjen 2001) ja (Rathjen 2003) järeldub, et viimasel on tõenditeoreetiline ordinaalne (Gamma_0).

5.3 Konstruktiivse ja intuitiivse ZF-i ja semantiliste võtete metameetrilised omadused

Intuitsionistliku loogika jaoks on laiendatud mitmesuguseid tõlgendusi intuitionistlikele ja konstruktiivsetele teooriatele, nagu realiseeritavus, Kripke mudelid ja Heytingi väärtustatud semantika. Kõiki neid tehnikaid on kasutatud metatemaatiliste tulemuste saamiseks püstitatud teooriate kohta.

5.3.1 Konstruktiivse ja intuitiivse ZF-i disjunktsiooni- ja olemasoluomadused

Mõned intuitionistlikud kogumiteooriad vastavad teatavatele „tunnusjoonega” metamatemaatilistele omadustele, näiteks disjunktsiooni ja olemasolu omadustele. Samuti saab näidata, et need on kooskõlas põhimõtete lisamisega, mis lähevad kaugemale sellest, mida me tavaliselt konstruktiivseteks peame. Nende hulgas on näiteks kirikutöö ja Markovi põhimõte. Nende põhimõtete kirjeldamiseks intuitiivse loogika kontekstis võib lugeja tutvuda intuitsioonistliku loogika või Troelstra ja van Daleni raamatu "Konstruktivism matemaatikas" (Troelstra ja van Dalen 1988) peatükkidega 4.2 ja 5.2.

Siinkohal tuletame meelde disjunktsiooni- ja eksistentsiomadusi, mis on formuleeritud kindla teooria jaoks (T). Disjunktsiooni ja olemasolu omaduste mitteametlik motivatsioon põhineb meie arusaamisel disjunktiivsete ja eksistentsiaalsete väidete konstruktiivsetest tõenditest (vastavalt). Tegelikult näib mõistlik eeldada, et kui me konstruktiivselt tõestame disjunktsiooni (phi / vee / psi), peaksime ka suutma tõestada (phi) või tõestada (psi). Samamoodi, kui me tõestame eksistentsiaalset väidet, peaksime suutma tõestada, et selle väite tunnistaja on meie teooria sees määratletav.

Ehkki sellised omadused tunduvad üsna loomulikud ja neid on aritmeetiliste teooriate jaoks üsna lihtne kindlaks teha, osutuvad nad komplektide ülemäärase hierarhia ja laiendatavuse aksioomi tõttu komplekti teooriate puhul märkimisväärseks tehniliseks väljakutseks. Tegelikult osutuvad silmapaistvad konstruktiivsed ja intuitionistlikud kogumiteooriad eksistentsiomaduseks, nagu käsitletakse järgmises osas.

Olgu (T) teooria, mille keel (L (T)) hõlmab kindla teooria keelt. Lisaks eeldame lihtsuse huvides, et (L (T)) omab konstanti (omega), mis tähistab von Neumanni naturaalarvude kogumit, ja iga (n) konstandi (c_n), mis tähistab (n) - element (omega).

Teooria (T) omab disjunktsiooni omadust (DP), kui alati (T) osutub lauseteks (phi) ja (psi) lauseteks ((phi / vee / psi)) (L (T)), siis (T) tõestab (phi) või (T) tõestab (psi).

Olemasolu vara on kaks erinevat versiooni kontekstis Hulgateooria: numbriline olemasolu vara (NEP) ja olemasolu vara (EP). Olgu (theta (x)) valem, milles on maksimaalselt (x) vaba. Me ütleme, et:

(1) (T) omab NEP-i, kui alati, kui (T) osutub (eksisteerib x / in omega / theta (x)), siis mõne naturaalarvu (n, T) korral tõestub (teeta (c_n)).

(2) (T) omab EP-d juhul, kui (T) osutub (eksisteerib x / theta) (x), siis on olemas valem (phi (x)), kus on täpselt (x) tasuta, nii et (T) osutub (olemas! x (phi (x) kiil / teeta (x))).

Kuna realiseeritavusmeetodid on konstruktiivsete ja intuitionistlike kogumiteooriate olemasolu ja disjunktsiooni omaduste uurimisel osutunud ülioluliseks, arutame järgmises osas nende uuringute tulemusi.

5.3.2 Teostatavus

Realiseeritavus on olnud intuitionistlikul loogikal põhinevate teooriate ümbritsevate uurimistööde üks esimesi ja peamisi vahendeid, alustades Friedmani ja Myhilli varastest kaastöödest (Friedman 1973, Myhill 1973). Intuitsionistliku aritmeetika realiseeritavuse semantika pakkus esmakordselt välja Kleene (Kleene 1945) ja laiendas Kreiseli ja Troelstra kõrgema järgu Heitingi aritmeetikat (Kreisel ja Troelstra 1970). Aritmeetika realiseeritavuse määratluse kohta vaata intuitionistliku loogika sissekande jaotist 5.2. Friedman rakendas kõrgema järgu aritmeetika süsteemidele Kreiseli ja Troelstraga sarnast realiseeritavust (Friedman 1973). Myhill tutvustas selle realiseeritavuse varianti, mis sarnaneb Kleene kaldkriipsuga (Myhill 1973; Kleene 1962, 1963). Seega tõestas ta, et IZF-i versioonil, mis asendab kogumise asemel (nimega IZF (_ {Rep})), on DP, NEP ja EP. Neid tulemusi laiendati veelgi (Myhill 1975; Friedman ja Scedrov 1983). Kui Friedman ja Myhill andsid laiendikomplekti teooriate realiseeritavuse mudeleid, töötas Beeson välja laienditeta teooriate realiseeritavuse idee. Seejärel uuris ta laienduskomplektide teooriate metateoreetilisi omadusi nende mittepikenduslike kolleegide tõlgenduse kaudu. Seega tõestas ta, et IZF-il (koos kollektsiooniga) on DP ja NEP (Beeson 1985). Seejärel tutvustas McCarty IZF-i realiseeritavust otse laiendikomplekti teooria jaoks (McCarty 1984; 1986). CZF-i variantide realiseeritavuse semantikat on kaalutud näiteks (Crosilla ja Rathjen 2001; Rathjen 2006a). Viimati mainitud artikli realiseeritavus on inspireeritud McCarty'st ja sellel on oluline omadus, et IZF-i puhul on McCarty's see CZF-i isevalideeriv semantika (see tähendab, et selle realiseeritavuse mõiste saab vormistada CZF-is ja CZF-i iga teoreem on) realiseeritav CZF-is). Rathjen on kasutanud seda realiseeritavuse mõistet, et näidata, et CZF-il (ja selle mitmel laiendusel) on DP ja NEP (Rathjen 2005b).

Teine realistlikkus, mis on osutunud väga kasulikuks, on Lifschitzi realiseeritavus. Lifschitz (1979) tutvustas modifikatsiooni Kleene realiseeritavusest Heytingi aritmeetika jaoks, millel on eripära kinnitada unikaalsustingimusega kiriku lõputöö nõrk vorm, kuid mitte CT ise. Van Oosten (1990) laiendas Lifschitzi realiseeritavust teise järgu aritmeetikale. Hiljem laiendasid seda täieliku IZF-i hulka Cheng ja Rathjen, kes kasutasid seda mitmete iseseisvustulemuste saamiseks, samuti valideeriti niinimetatud vähemteaduslik üldteadvuse põhimõte (LLPO) (LLPO kohta vaata sissekannet konstruktiivse matemaatika kohta).

Eriti keeruliseks osutus küsimus, millised komplekti teooriad rahuldavad eksistentsi omadusi. (Friedman ja Scedrov 1985) kasutasid Kripke mudeleid, et näidata, et IZF-il (see tähendab kogumissüsteemiga) pole EP-d, samas nagu ülalpool mainitud, on süsteemil IZF (_ {Rep}) (millel on paigas asendus) kogumik) on EP. See ajendas Beesoni esitama järgmise küsimuse [Beeson 1985, IX]:

Kas mõnel mõistlikul kogumiku teoorial on olemas olemasolu omadus?

Esimene vastus Beesoni küsimusele tuli koos (Rathjen 2012), kus autor tutvustas nõrga eksistentsi omaduse mõistet: siinkohal keskendutakse iga eksistentsiaalse teoreemi jaoks tõestatavalt määratletava tunnistajate kogumi leidmisele. Seejärel tutvustas ta realiseeritavuse vormi, mis põhineb üldistel rekursiivsetel funktsioonidel, kus eksistentsiaalse avalduse realiseerija pakub eksistentsiaalse kvantitaatori jaoks tunnistajate komplekti, mitte ühe tunnistaja. Rathjen ühendas selle realiseeritavuse mõiste tõega, et järeldada, et paljudel kogumiku teooriatel on nõrk eksistentsiomadus (samas kui IZFil mitte). Nende hulgas on eriti CZF-i teooria ilma alamhulgata ja Myhilli eksponentsiaksioom, CZF (_ {Exp}). Tegelikult väitis Rathjen, et ühendades need tulemused edasise tööga,ta võiks näidata, et CZF-l (_ {Exp}) (ja veel mitmetel teooriatel) on olemasolu omadus. Silmatorkav tähelepanek on see, et need teooriad sõnastatakse kogumisega; järelikult ei saa IZF-i olemasolu omaduse ebaõnnestumist seostada üksnes kogumisega, vaid selle skeemi ja piiramatu eraldamise vastastikuse mõjuga.

Mis puutub silmatorkavasse küsimusesse, kas CZF-il on olemas eksistentsiomadusi, siis selle on negatiivselt lahendanud Swan (2014). Seal kasutas autor kolme hästi läbimõeldud realiseeritavuse mudelit ja nende vahele manustamist, et näidata, et CZF-i jaoks ebaõnnestub isegi nõrga olemasolu omadus. Seejuures näitas ta ka, et süüdlane on CZF-i alamhulkade kogumisskeem. Nagu selgelt välja toodud (Luik 2014), ei näita asjaolu, et CZF-il pole EP-d, CZF-i kui konstruktiivse teooria mõnda nõrkust. Isegi kui Swan tõestas sisuliselt seda, et CZF väidab selliste matemaatiliste objektide olemasolu, mida ta ei oska ehitada, on CZF-il siiski loomulikke tõlgendusi, milles neid objekte saab konstrueerida, nagu näiteks Aczeli tõlgendus tüüpide teooriaks (Aczel 1978)..

Intuitsionistliku kogumiteooria tulemuste ülevaate leiate (Beeson 1985, IX peatükk). CZF-i vastavate arengute kohta vaata (Rathjen 2005b, 2006, 2012) ja (Luik 2014).

5.3.3 Kripke mudelid ja Heytingi väärtustatud semantika

Intuitsionistlike komplektiteooriate Kripke mudeleid on kasutatud (Friedman ja Scedrov 1985), et näidata, et IZF-il pole EP-d (ja kombineerides seda tulemustega (Myhill 1973), on meil IZF (_ {Rep}) ei tõesta IZF). Kripke mudeleid on hiljuti kasutatud energiakomplekti aksioomi konstruktiivsete asendajate: Myhilli eksponentsiaksioomi ja Aczeli alamhulga kogumisskeemi seoste selgitamiseks. On selge, et võimsuse komplekti aksioom eeldab mõlemat nimetatud põhimõtet ja alamhulkade kogumine tähendab eksponentsiatsiooni. Teisest küljest ei tähenda kaks viimast põhimõtet võimsuse määramist, kuna alamhulkade kogumi asemel seadistatud võimsusega CZF on palju tugevam kui CZF ja CZF (_ {Exp}) (Rathjen 2012b). Tegelikult on CZF-l ja CZF-l (_ {väga hea}) sama tõestatud teoreetiline tugevus (Griffor ja Rathjen 1994);seetõttu, et uurida alamhulkade kogumise ja eksponentseerumise vahelist seost konstruktiivses kogumiteoorias, oli vaja välja töötada tööriistad peale tõenditeoreetiliste meetodite. Lubarsky (2005) kasutas Kripke mudeleid, et näidata, et Myhilli eksponentsiaksioom ei tähenda Aczeli alamhulkade kogumit (CZF-i miinus alamhulkade kogumi ja täieliku lahutuse põhjal). Autorid (Lubarsky ja Rathjen 2007) kasutasid autorid Kripke mudelite tehnikat, et näidata, et ka CZF ja CZF (_ {Exp}) teooriate tagajärjed on erinevad. Aczel ja Rathjen (2001) näitasid, et Dedekindi reaalarvude klass moodustab CZF-is komplekti, kasutades alamhulkade kogumit. Lubarsky ja Rathjen (2007) näitasid, et CZF (_ {Exp}) ei ole sama väite tõestamiseks piisav. Kripke mudelite edasiste rakenduste kohta oluliste konstruktiivsete mõistete eraldamiseks vt nt(Diener ja Lubarsky 2013).

Intuitsionistlike kogumiteooriate heyting-väärtuslik semantika saadi Graysonilt (Grayson 1979) Boole'i mudelite vastandina klassikalisele komplektiteooriale. Neid on üldistatud eriti kategoorilise semantika kaudu (sissejuhatuse kohta vt MacLane ja Moerdijk 1992). Heytingu väärtusega semantika on leidnud kasutamist iseseisvuse tulemustes (Scedrov 1981; 1982). (Gambino 2006) on antud konstruktiivne käsitlus. Vaata ka (Lubarsky 2009). Vt ka Ziegler (2012) realiseeritavuse üldistamise ja Heytingi mudelite kohta konstruktiivse kogumiteooria jaoks.

5.3.4 Konstruktiivse ja intuitionistliku kogumiteooria kategoorilised mudelid

Konstruktiivsete ja intuitionistlike kogumiteooriate kategoorilised mudelid on aastatega õitsenud. Siinkohal mängivad olulist rolli topos ja nina mõisted (vt nt Fourman 1980 ja Fourman ja Scott 1980). Põhimõistete ülevaate leiate kategooriateooria sissekandest ja seal pakutavatest viidetest (vt eriti lisa Programmiline lugemisjuhend). Viimaste arengute kohta, mis on konkreetsemalt seotud konstruktiivsete kogumiteooriatega, vt nt (Simpson 2005) ja (Awodey 2008), samuti veebilehte: algebraline kogumiteooria.

5.4 Konstruktiivsete ja intuitiivsete komplektiteooriate variandid: Komplektide teooriad koos elementidega ja laiendamata komplekti teooriad

Mõnikord on intuitiivse ja konstruktiivse kogumiteooria süsteeme esitatud koos naturaalarvudega eraldi liigina, st primitiivsete objektideta elementidena (Friedman 1977; Myhill 1975; Beeson 1985). Konstruktiivselt on see loomulik valik, mis on kooskõlas ideedega, mida on väljendanud näiteks Bishop (1967) (muu hulgas). Bishopi monograafias võetakse naturaalarvud põhimõttelise mõistena, millel põhinevad kõik muud matemaatilised mõisted. Tehnilisest küljest, kui naturaalarvu võetakse primitiivsena ja eristub nende setteoreetilistest esindustest, siis lõpmatuse aksioom on järgmine: „on olemas naturaalarvude kogum (urelementidena)”. Ulementide üldisemat vormi konstruktiivsetes teooriates on käsitletud artiklis (Cantini ja Crosilla 2008). Siin pakutakse välja konstruktiivse kogumiteooria variant, mis ühendab intentsionaalse ja osalise toimimise mõiste CZF-i laiendatud mõistega (vt ka Cantini ja Crosilla 2010).

Laiendatavuse aksioom on kõigi seni käsitletud süsteemide ühine joon. Kuid kontekstis, kus avalduse arvutuslikku sisu peetakse ülioluliseks, võiks sobivam olla intentsionaalne teooria. Näiteks nii konstruktiivne tüüpteooria kui ka eksplitsiitsed matemaatikad hõlmavad mõnd intensiivsuse vormi. Kirjanduses on kaalutud intuitsioonistlikke laiendusteooriata teooriaid (Friedman 1973a, Beeson 1985). Nende motivatsioon ei ole olnud olemuselt siiski arvutuslik, vaid tehniline, tulenevalt raskustest, mida ekstensiivsus intuitiivsete komplektiteooriate metamatmaatiliste omaduste uurimisel tekitab.

Bibliograafia

  • Aczel, P., 1978, “Konstruktiivse kogumiteooria tüüpide teoreetiline tõlgendamine”, loogika kollokviumis '77, A. MacIntyre, L. Pacholski, J. Paris (toim), Amsterdam ja New York: Põhja-Holland, lk 55–66.
  • –––, 1982, „Konstruktiivse kogumiteooria tüüpide teoreetiline tõlgendus: valiku põhimõtted“, LEJ Brouweri Centenary Symposiumis, AS Troelstra ja D. van Dalen (toim), Amsterdam ja New York: Põhja-Holland, lk. 1–40.
  • –––, 1986, “Konstruktiivse kogumiteooria tüüpide teoreetiline tõlgendus: induktiivsed määratlused”, teaduse loogika, metoodika ja filosoofia VII, RB Marcus, GJ Dorn ja GJW Dorn (toim), Amsterdam ja New York: Põhja-Holland, lk 17–49.
  • –––, 1988, Mitmetähenduslikud komplektid (CSLI loengu märkused 14), Stanford: CSLI.
  • Aczel, P. ja Rathjen, M., 2001, “Märkused konstruktiivse komplekti teooria kohta”, aruanne nr 40, 2000/2001, Djursholm: Institut Mittag-Leffler, [saadaval veebis]
  • Aczel, P. ja Gambino, N., 2002, “Kogumispõhimõtted sõltuvas tüüptükis” tõendite ja programmide tüüpides (loenguteatised arvutiteaduses 2277), P. Callaghan, Z. Luo, J. McKinna ja R. Pollack (toim.), Berlin: Springer, lk 1–23.
  • Awodey, S., 2008, “Lühike sissejuhatus algebraliste komplektide teooriasse”, Sümboolika bülletään, 14 (3): 281–298.
  • Barwise, J. ja Moss, L., 1996, Vicious Circles (CSLI loengu märkused 60), Stanford: CSLI.
  • Beeson, M., 1985, Konstruktiivse matemaatika alused, Berliin: Springer.
  • Bezem, M., Thierry, C. ja Huber, S., 2014, “Tüübiteooria mudel kuupmeetrilistes komplektides”, 19. rahvusvahelisel konverentsil tõendite ja programmide tüüpide kohta (TYPES 2013), Matthes, R. ja Schubert, A. (toim.), Dagstuhl: Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum fuer Informatik, lk 107–128.
  • Bishop, E., 1967, Konstruktiivse analüüsi alused, New York: McGraw-Hill.
  • –––, 1970, “Matemaatika kui arvkeel”, intuitsiooni ja tõestusteooria osas, A. Kino, J. Myhill ja RE Vesley (toim), Amsterdam: Põhja-Holland, lk 53–71.
  • Bishop, E. ja Bridges, D., 1985, Konstruktiivne analüüs, Berliin ja Heidelberg: Springer.
  • Bridges, D. ja Richman, F., 1987, Varianti of Constructive Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Buchholz, W., Feferman, S., Pohlers, W., ja Sieg, W., 1981, Iterated Inductive Definitions and Subsystems of Analysis, Berliin: Springer.
  • Cantini, A. ja Crosilla, L., 2008, “Konstruktiivne komplektiteooria operatsioonidega”, artiklites A. Andretta, K. Kearnes, D. Zambella (toim), Logic Colloquium 2004 (Loengukirjad Logic 29-s), Cambridge: Cambridge University Press, lk 47–83.
  • Cantini, A. ja Crosilla, L., 2010, “Eksplitsiitse operatiivkomplekti teooria”, R. Schindler (toim), Proof Theory Theory Ways, Frankfurt: Ontos, lk 199–240.
  • Chen, R.-M. ja Rathjen, M., 2012, “Lifschitzi realiseeritavus intuitsioonilise Zermelo-Fraenkeli komplekti teooria jaoks”, Archive for Mathematical Logic, 51: 789–818.
  • Crosilla, L., 2017, “Ennustatavus ja Feferman”, artiklites G. Jäger ja W. Sieg (toim.), Feferman for Foundations (Silmapaistvad kaastööd loogikale: 13. köide), Cham: Springer, lk 423–447.
  • Crosilla, L. ja Rathjen, M., 2001, “Juurdepääsmatutel komplekti aksioomidel võib olla väike konsistentsitugevus”, Annals of Pure and Applied Logic, 115: 33–70.
  • Diaconescu, R., 1975, “Valitud ja täiendav aksioom”, Proceedings of the American Mathematical Society, 51: 176–178.
  • Diener, H. ja Lubarsky, R., 2013, “Fänniteoreemi eraldamine ja selle nõrgenemised”, SN Artemov ja A. Nerode (toim.), LFCS '13 Proceedings of LFCS '13 (Lecture Notes in Computer Science 7734), Dordrecht: Springer, lk 280–295.
  • Dummett, M., 2000, Intuitionismi elemendid, teine trükk (Oxford Logic Guides 39), New York: Oxford University Press.
  • Feferman, S., 1964, “Predikatiivse analüüsi süsteemid”, Journal of Symbolic Logic, 29: 1–30.
  • –––, 1975, „Keel ja eksisteeriva matemaatika aksioomid”, Algebra ja loogika (Matemaatika loengumärkused 450), J. Crossley (toim.), Berliin: Springer, lk 87–139.
  • ––– 1988, „Weyl õigustas: Das Kontinuum seitsekümmend aastat hiljem” ajalehes Temi e prospective della logica e della scienza kaasaegne, C. Cellucci ja G. Sambin (toim), lk 59–93.
  • –––, 1993, “Millel toetub? Matemaatika tõestatud-teoreetiline analüüs”, Matemaatikafilosoofia I osa, 15. rahvusvahelise Wittgensteini sümpoosioni toimetised. Viin: Verlag Hölder-Pichler-Tempsky.
  • –––, 2005, “Ennustatavus”, matemaatika ja loogika filosoofia käsiraamat, S. Shapiro (toim), Oxford: Oxford University Press.
  • Fletcher, P., 2007, “Lõpmatus”, loogikafilosoofia käsiraamatus, D. Jacquette, (toim), Amsterdam: Elsevier, lk 523–585.
  • Fourman, MP, 1980, “Sheaf mudelid for set theory”, Journal of Pure Applied Algebra, 19: 91–101.
  • MP liige Fourman ja Scott, DS, 1980, “Käärid ja loogika”, kääride rakenduses (Matemaatika loengumärkused 753), MP Fourman, CJ Mulvey ja DS Scott (toim), Berliin: Springer, lk 302– 401.
  • Friedman, H., 1973, “Kleene'i meetodite mõned rakendused intuitiivsete süsteemide jaoks”, 1971. aasta Cambridge'i matemaatilise loogika suvekooli artiklid (loengumärkused matemaatikas 337), ARD Mathias ja H. Rogers (toim), Berliin: Springer, lk 113–170.
  • –––, 1973a, “Klassikalise kogumiteooria kooskõla komplektiteooriaga ja intuitionistlik loogika”, Journal of Symbolic Logic, 38: 315–319.
  • –––, 1977, “Teoreetilised alused konstruktiivseks analüüsiks”, Annals of Mathematics, 105: 1–28.
  • Friedman, H., Scedrov, A., 1983, “Määrake eksistentsiomadused sõltuva valikuga intuitsiooniliste teooriate jaoks”, Annals of Pure and Applied Logic, 25: 129–140.
  • –––, 1984, „Suured komplektid intuitionistlikus komplektiteoorias“, Annals of Pure and Applied Logic, 27: 1–24.
  • ––– 1985, „Määratletavate tunnistajate ja tõestatavalt rekursiivsete funktsioonide puudumine intuitionistlikus kogumiteoorias”, Advances in Mathematics, 57: 1–13.
  • Gambino, N., 2006, “Konstruktiivse kogumiteooria heyting-value interpretatsioonid”, Annals of Pure and Applied Logic, 137: 164–188.
  • Goodman, ND, ja Myhill, J., 1972, “Bishopsi konstruktiivse matemaatika vormistamine”, Toposes, Algebraic Geometry and Logic (Lecture Notes in Mathematics 274), FW Lawvere (toim), Berliin: Springer, lk 83 –96.
  • Goodman, ND, ja Myhill, J., 1978, “Valik tähendab välistatud keskmist”, Zeitschrift fürhematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 24 (5): 461.
  • Grayson, RJ, 1979, “Heytingi väärtusega mudelid intuitsioonilise komplektiteooria jaoks” Sheaves'i rakendustes (Lecture Notes in Mathematics 753), MP Fourman, CJ Mulvey ja DS Scott (toim), Berliin: Springer, lk 402 –414.
  • Griffor, E., ja Rathjen, M., 1994, “Mõne Martin-Löfi tüüpi teooria tugevus”, Archive Mathematical Logic, 33: 347–385.
  • van Heijenoort, J., 1967, Fregest Gödelini. Lähteraamat matemaatilises loogikas 1879–1931, Cambridge: Harvard Univ. Vajutage.
  • Kleene, SC, 1945, “Intuitionistliku arvuteooria tõlgendamise kohta”, Journal of Symbolic Logic, 10: 109–124.
  • –––, 1962, “Disjunktsioon ja eksistents intuitsioonilistes formalismides”, Journal of Symbolic Logic, 27: 11–18.
  • –––, 1963, “Adendum”, Journal of Symbolic Logic, 28: 154–156.
  • Kreisel, G., 1958, “Ordinaalne loogika ja mitteametlike tõestusmõistete iseloomustamine”, Rahvusvahelise matemaatikute kongressi toimikud (14. – 21. August 1958), Pariis: Gauthier-Villars, lk 289–299.
  • Kreisel, G. ja Troelstra, A., S., 1970, “Mõnede intuitiivse analüüsi harude formaalsed süsteemid”, Annals of Mathematical Logic, 1: 229–387.
  • Lifschitz, V., 1979, “CT (_ 0) on tugevam kui CT (_ 0)!”, Proceedings of the American Mathematical Society, 73 (1): 101–106.
  • Lindström, I., 1989, “Martin-Löfi tüüpi teooria piires põhjendamata komplektide konstrueerimine”, Journal of Symbolic Logic, 54: 57–64.
  • Lipton, J., 1995, “Realiseeritavus, komplektiteooria ja mõiste eraldamine”, The Curry-Howard isomorfismis (Cahiers du Centre de Logique de l'Universite Catholicique de Louvain 8), Louvain-la-Neuve: Academia, lk 257 –364.
  • Lorenzen, P. ja Myhill, J., 1959, “Teatavate analüütiliste numbrikomplektide konstruktiivne määratlus”, Journal of Symbolic Logic, 24: 37–49.
  • Lubarsky, R., 2005, “Iseseisvuse tulemused konstruktiivse ZF ümber”, Annals of Pure and Applied Logic, 132: 209–225.
  • –––, 2006, “CZF ja teise järgu aritmeetika”, Annals of Pure and Applied Logic, 141: 29–34.
  • –––, 2009, “Topoloogiline sunniviisiline semantika koos asustamisega”, SN Artemov ja A. Nerode (toim.), LFCS '09 toimetised (arvutiteaduse loengute märkused 5407), Dordrecht: Springer, lk 309–322.
  • Lubarsky, R. ja Rathjen, M., 2007, “On Constructive Dedekind Reals”, SN Artemov ja A. Nerode (toim.), LFCS 2007 Proceedings of LFCS 2007 (loenguteatised arvutiteaduses 4514), Dordrecht: Springer, lk 349–362.
  • MacLane, S. ja Moerdijk, I., 1992, “Nupud geomeetrias ja loogikas”, New York: Springer.
  • Maietti, ME, Sambin, G., 2005, “Konstruktiivse matemaatika minimalistliku aluse poole”, komplektidest ja tüüpidest topoloogia ja analüüsini: konstruktiivse matemaatika praktiliste aluste poole (Oxford Logic Guides 48), L. Crosilla ja P Schuster (toim), Oxford: Oxford University Press.
  • Maietti, ME, 2009, “Minimalistlik kahetasandiline alus konstruktiivsele matemaatikale”, Annals of Pure and Applied Logic, 160 (3): 319–354.
  • Martin-Löf, P., 1975, “Tüüpide intuitiivne teooria: predikatiivne osa”, HE Rose ja J. Sheperdson (toim), loogikakollokvium '73, Amsterdam: Põhja-Holland, lk 73–118.
  • –––, 1984, “Intuitionistlik tüüpi teooria”, Napoli: Bibliopolis.
  • McCarty, DC, 1984, “Realiseeritavus ja rekursiivne matemaatika”, D. Phil. Väitekiri, filosoofia, Oxfordi ülikool.
  • –––, 1986, “Realiseeritavus ja rekursiivne kogumiteooria”, Annals of Pure and Applied Logic, 32: 153–183.
  • Myhill, J., 1973, “Intuitionistliku Zermelo-Fraenkeli komplekti teooria mõned omadused”, Cambridge'i 1971. aasta matemaatikaloogika suvekooli (Lecture Notes in Mathematics 337), ARD Mathias ja H. Rogers (toim) toimetustes, Berlin: Springer, lk 206–231.
  • –––, 1975, “Konstruktiivse komplekti teooria”, Journal of Symbolic Logic, 40: 347–382.
  • van Oosten, J., 1990, “Lifschitzi realiseeritavus”, The Journal of Symbolic Logic, 55: 805–821.
  • Powell, W., 1975, “Gödeli negatiivse tõlgenduse laiendamine ZF-ile”, Journal of Symbolic Logic, 40: 221–229.
  • Rathjen, M., Griffor, E., ja Palmgren, E., 1998, “Juurdepääsmatus konstruktiivses kogumiteoorias ja tüüptükis”, Annals of Pure and Applied Logic, 94: 181–200.
  • Rathjen, M., 1999, “Ordinaalse analüüsi valdkond”, komplektides ja tõendites (Londoni matemaatilise ühiskonna loengu märkused 258), Cambridge: Cambridge University Press, lk 219–279.
  • –––, 2003, „Vundamendi vastane aksioom konstruktiivsetes teooriates” mängudes, loogikas ja konstruktiivsetes komplektides (CSLI loengu märkused 161), Stanford: CSLI väljaanne, lk 87–108.
  • –––, 2003a, „Mahlo komplekti teooria realiseerimine tüüptükis“, Matemaatilise loogika arhiiv, 42: 89–101.
  • –––, 2004, “Ennustatavus, ringlus ja aluspõhja vastane võitlus”, Russeli paradoksi saja aasta jooksul (Loogika ja selle rakendused 6), G. Link (toim.), Berliin: de Gruyter, lk 191–219.
  • –––, 2005, “Asendamine versus kogumine ja sellega seotud teemad konstruktiivses Zermelo-Fraenkeli komplekti teoorias”, Annals of Pure and Applied Logic, 136: 156–174.
  • –––, 2005a, „Konstruktiivne Hilberti programm ja Martin-Löfi tüüpi teooria piirid“, Synthese, 147: 81–120.
  • –––, 2005b, „Disjunktsioon ja sellega seotud omadused konstruktiivse Zermelo-Fraenkeli komplekti teooria jaoks“, Journal of Symbolic Logic, 70 (4): 1232–1254.
  • –––, 2006, „Valiku põhimõtted konstruktiivses ja klassikalises komplektiteoorias”, loogikakollokvium ’02 (loengu märkused logikas 27), Z. Chatzidakis, P. Koepke ja W. Pohlers (toim), Wellesley, Massachusetts: AK Peters, 299–326.
  • –––, 2006a, „Konstruktiivse Zermelo-Fraenkeli komplekti teooria realiseeritavus“, loogikakollokviumis '03 (loengu märkused logikas 24), V. Stoltenberg-Hansen ja J. Väänänen (toim.), Wellesley, Massachusets: AK Peters, lk 282–314.
  • –––, 2006b, “Teooriad ja juhised tõenditeoorias”, Synthese, 148 (3): 719–743.
  • –––, 2008, „Naturaalarvud konstruktiivses kogumiteoorias”, Matemaatiline loogika kvartal, 54: 287–312.
  • –––, 2012, „Nõrgast kuni tugeva eksistentsi omaduseni“, Annals of Pure and Applied Logic, 163: 1400–1418.
  • –––, 2012b, „Konstruktiivne Zermelo-Fraenkeli komplekti teooria, jõuseade ja konstruktsioonide kalkulatsioon“, epistemoloogias versus ontoloogia: matemaatika filosoofia ja aluste esseed Per Martin-Löfi auks (loogika, epistemoloogia ja teaduse sari), P. Dybjer, S. Lindström, E. Palmgren ja G. Sundhölm (toim.), New York ja Dordrecht: Springer Verlag.
  • –––, 2017, “Konstruktiivsete süsteemide tõestamisteooria: induktiivsed tüübid ja universaalsus”, autorid G. Jäger ja W. Sieg (toim.), Feferman vundamentidest (silmapaistvad kaastööd loogikale: 13. köide), Cham: Springer, lk 385–419.
  • Richman, F., 2000, “Algebra põhiteoreem: konstruktiivne areng ilma valikuta”, Pacific Journal of Mathematics, 196: 213–230.
  • –––, 2001, „Konstruktiivne matemaatika ilma valikuta“, antipoodide taasühinemine: konstrueerivad ja mittestandardsed vaated kontinuumile (Synthese'i raamatukogu 306), P. Schuster jt. (toim), Dordrecth: Kluwer, lk 199–205.
  • Russell, B., 1908, “Matemaatiline loogika tüüpide teooria põhjal”, American Journal of Mathematics, 30: 222–262. Kordustrükk van Heijenoortis (1967), 150–182.
  • Scedrov, A., 1981, “Järjepidevuse ja sõltumatuse tulemuseks on intuitsioonistlik kogumiteooria” konstruktiivses matemaatikas (Lecture Notes in Mathematics 873), F. Richman (toim.), Berlin: Springer, lk 54–86.
  • –––, 1982, „Fänniteoreemi sõltumatus järjepidevuse põhimõtete olemasolul“LeJ Brouweri Centenary Symposiumis, AS Troelstra ja D. van Dalen (toim), Amsterdam: Põhja-Holland, lk 435–442.
  • ––– 1985, “Intuitionistlik kogumiteooria” Harvey Friedmani uurimuses matemaatika aluste kohta, LA Garrubgtib jt. (toim), Amsterdam: Elsevier.
  • Schütte, K., 1965, “Ennustav heade tellimuste vormistamine süsteemsetes ja rekursiivsetes funktsioonides”, J. Crossley ja M. Dummett (toim.), Amsterdam: Põhja-Holland, lk 279–302.
  • –––, 1965a, “Eine Grenze für die Beweisbarkeit der Transfiniten Induktion in der verzweigten Typenlogik”, matemaatika logik ja Grundlagenforschung, 7: 45–60.
  • Simpson, A., 2005, “Konstruktiivsed kogumiteooriad ja nende kategooriateoreetilised mudelid”, komplektidest ja tüüpidest topoloogia ja analüüsini: konstruktiivse matemaatika praktiliste aluste poole (Oxford Logic Guides 48), L. Crosilla ja P. Schuster (toim.), Oxford: Oxford University Press.
  • Swan, AW, 2014, “CZF-il puudub vara olemasolu”, Annals of Pure and Applied Logic, 165: 1115–1147.
  • Troelstra, AS, ja van Dalen, D., 1988, konstruktivism matemaatikas (kaks köidet), Amsterdam: Põhja-Holland.
  • Tupailo, S., 2003, “Konstruktiivse kogumiteooria realiseerimine eksplitsiitsesse matemaatikasse: Mahlo ebareaalse universumi alumine piir”, Annals of Pure and Applied Logic, 120: 165–196.
  • Voevodsky, V., 2015, “Formaalse matemaatika eksperimentaalne raamatukogu, mis põhineb ühevalentsetel alustel”, Matemaatilised struktuurid arvutiteaduses, 25: 1278–1294.
  • Weyl, H., 1918, “Das Kontinuum. Kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis”, Veit, Leipzig.
  • Ziegler, Albert, 2012, “Üldistav realiseeritavuse ja Heytingi mudelid konstruktiivse kogumiteooria jaoks”, Annals of Pure and Applied Logic, 163 (2): 175–184.
  • –––, 2014, „Komplektiivse kogumiteooria komplektide kumulatiivne hierarhia“, Matemaatiline loogika kvartal, 60 (1-2): 21–30.

Akadeemilised tööriistad

sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon
info ikoon
Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon
phil paberite ikoon
Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

  • Aczel, P. ja M. Rathjen, 2010, Märkused konstruktiivse komplekti teooria kohta, raamatu mustand, saadaval veebis.
  • Kapulkin, C. ja PL Lumsdaine, 2012, “Ühevalentsete vundamentide lihtsustatud mudel (pärast Voevodsky)”, eeltrükk arXiv.org.
  • Algebraline teooria, autor S. Awodey (Carnegie Mellon).

[Täpsemate ettepanekute saamiseks pöörduge autori poole.]

Soovitatav: