Set Theory

Sisukord:

Set Theory
Set Theory

Video: Set Theory

Video: Set Theory
Video: INTRODUCTION to SET THEORY - DISCRETE MATHEMATICS 2024, Märts
Anonim

Sisenemise navigeerimine

  • Sissesõidu sisu
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Sõprade PDF-i eelvaade
  • Teave autori ja tsitaadi kohta
  • Tagasi üles

Set Theory

Esmakordselt avaldatud 8. oktoobril 2014; sisuline läbivaatamine teisipäev, 12. veebruar 2019

Komplekti teooria on hulga liikmeteks või elementideks nimetatud objektide hästi määratletud kogumite, mida nimetatakse kogumiteks, matemaatiline teooria. Puhta komplekti teooria tegeleb eranditult komplektidega, seega käsitletakse ainult neid komplekte, mille liikmed on ka komplektid. Pärilikult-piiratud komplektide teooria, nimelt need piiratud hulgad, mille elemendid on samuti piiratud hulgad, mille elemendid on samuti piiratud jne, on formaalselt samaväärne aritmeetikaga. Niisiis, setteooria olemus on lõpmatute komplektide uurimine ja seetõttu saab seda määratleda kui matemaatilist teooriat tegelikust, mitte potentsiaalsest-lõpmatust.

Komplekti mõiste on nii lihtne, et seda tutvustatakse tavaliselt mitteametlikult ja peetakse enesestmõistetavaks. Komplektteoorias antakse aga, nagu tavaliselt matemaatikas, aksomaatiliselt, seega nende olemasolu ja põhiomadused on ette nähtud sobivate formaalsete aksioomide poolt. Komplekti teooria aksioomid eeldavad komplektteoreetilise universumi olemasolu, mis on nii rikas, et kõiki matemaatilisi objekte saab tõlgendada komplektidena. Samuti võimaldab puhta kogumiteooria ametlik keel vormistada kõik matemaatilised mõisted ja argumendid. Seega on setteooriast saanud matemaatika standardne alus, kuna iga matemaatilist objekti saab vaadelda kogumina ja matemaatika iga teoreemi saab loogiliselt tuletada Predicate Calculus setteooria aksioomidest.

Komplekti teooria mõlemad aspektid, nimelt lõpmatu matemaatika teaduse ja matemaatika alusena, on filosoofilise tähtsusega.

  • 1. Päritolu
  • 2. Koguteooria aksioomid

    2.1 ZFC aksioomid

  • 3. Transfinite ordinate ja kardinalide teooria

    3.1 Kardinalid

  • 4. Kõigi komplektide universum (V)
  • 5. Määrake matemaatika alustalaks teooria

    • 5.1 Metamaatika
    • 5.2 Mittetäielikkuse nähtus
  • 6. Kontinuumi seatud teooria

    • 6.1 Kirjeldav kogumiteooria
    • 6.2 Kindlus
    • 6.3 Kontinuumi hüpotees
  • 7. Gödeli konstruktiivne universum
  • 8. Sundimine

    8.1 Muud sunniviisilised rakendused

  • 9. Uute aksioomide otsimine
  • 10. Suured kardinalid

    • 10.1 Suurte kardinalide sisemudelid
    • 10.2 Suurte kardinalide tagajärjed
  • 11. Sunnitud aksioomid
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Muud Interneti-ressursid
  • Seotud kirjed

1. Päritolu

Set-teooria kui eraldi matemaatiline distsipliin saab alguse Georg Cantori töödest. Võib öelda, et komplektiteooria sündis 1873. aasta lõpus, kui ta tegi hämmastava avastuse, et lineaarset pidevust, see tähendab tegelikku joont, ei saa loendada, mis tähendab, et selle punkte ei saa arvutada naturaalarvude abil. Ehkki nii loomulike arvude arv kui ka reaalarvude arv on lõpmatu, on reaalseid numbreid rohkem kui naturaalarvuid, mis avas ukse lõpmatuse erineva suuruse uurimiseks. Setteteoreetiliste ideede päritolu ja nende kasutamise kohta erinevate matemaatikute ja filosoofide poolt enne Cantori aega ja selle ümbruses käsitlege sissekannet setteooria varajase arendamise teemal.

Cantori sõnul on kahel komplektil (A) ja (B) sama suurus ehk kardinaalsus, kui need on juveelitavad, st et (A) elemendid saab panna üks-ühele vastavus (B) elementidega. Seega on naturaalarvude hulgal (mathbb {N}) ja reaalarvude hulgal (mathbb {R}) erinevad kardinaalsused. 1878. aastal sõnastas Cantor kuulsa pidevhüpoteesi (CH), mis väidab, et iga lõpmatu reaalarvude komplekt on kas loendatav, st sellel on sama kardinaalsus nagu (mathbb {N}) või sama kardinaalsus kui (mathbb {R}). Teisisõnu, lõpmatu reaalarvude komplekte on ainult kaks võimalikku suurust. CH on setteooria kõige kuulsam probleem. Cantor ise pühendas sellele palju jõupingutusi ja nii tegid seda ka paljud teised kahekümnenda sajandi esimese poole juhtivad matemaatikud, näiteks Hilbert,kes loetles CH-i esimese probleemina tema tähistatavas 23 lahendamata matemaatilise probleemi nimekirjas, mis esitati 1900. aastal Pariisis teisel rahvusvahelisel matemaatikute kongressil. CH-i tõestamise katsed viisid setteoorias suurte avastusteni, nagu näiteks kokkupandavate komplektide teooria ja sundustehnika, mis näitasid, et CH-d ei saa setteooria tavalistest aksioomidest tõestada ega ümber lükata. Tänaseks päevaks on CH avatud. Tänaseks päevaks on CH avatud. Tänaseks päevaks on CH avatud.

Varakult tekkisid teatud ebakõlad või paradoksid seoses mõiste mõiste naiivse kasutamisega; eriti petlikult loomulikust eeldusest, et iga omadus määrab komplekti, nimelt nende objektide komplekti, millel on omadus. Üks näide on Russelli paradoks, tuntud ka Zermelo kohta:

arvestage komplektide omadusega mitte olla iseenda liikmed. Kui omadus määrab komplekti, siis nimetage see (A), siis (A) on iseenda liige ainult siis, kui (A) ei ole ise liige.

Seega ei ole mõned kogumid, nagu kõigi komplektide kogum, kõigi järjenumbrite kogum või kõigi kardinalide kogu, komplektid. Selliseid kollektsioone nimetatakse korralikeks klassideks.

Paradokside vältimiseks ja kindlale alusele asetamiseks tuli komplekti teooria aksiomatiziseerida. Esimene aksiomatization oli tingitud Zermelo (1908) ja see tulenes vajadusest täpsustada põhilised set-teoreetilised põhimõtted, mis tuginesid tema kinnitusele Cantori korraliku käitamise põhimõttest. Zermelo aksiomatization väldib Russelli paradoksi eraldamisaksioomi abil, mis on sõnastatud kui komplektide omaduste kvantifitseerimine ja seega on see teise astme avaldus. Skolemi ja Fraenkeli edasine töö viis eraldamise aksioomi ametliku vormistamiseni vara mitteametliku mõiste asemel esimese järgu valemite kaudu ning asendamise aksioomi kehtestamiseni, mis on sõnastatud ka aksioomina. esimese järgu valemite skeem (vt järgmist jaotist). Asendamise aksioom on vajalik transfinite ordinaalide ja kardinalide teooria nõuetekohaseks arendamiseks, kasutades transfinite rekursiooni (vt punkt 3). Samuti on vaja tõestada selliste lihtsate komplektide olemasolu nagu pärilikult piiratud komplektide kogum, st need piiratud hulgad, mille elemendid on piiratud, mille elemendid on samuti piiratud jne. või tõestada põhilisi setteoreetilisi fakte, nagu näiteks see, et iga komplekt sisaldub transitiivses komplektis, st komplektis, mis sisaldab selle elementide kõiki elemente (Zermelo komplekti teooria nõrkade külgede kohta vt Mathias 2001). Fon Nexani täiendav täiendus fondi aksioomist viis komplekti teooria standardse aksioomide süsteemini, mida tuntakse Zermelo-Fraenkeli aksioomidena, millele lisandub valiku aksioom ehk ZFC. Samuti on vaja tõestada selliste lihtsate komplektide olemasolu nagu pärilikult piiratud komplektide kogum, st need piiratud hulgad, mille elemendid on piiratud, mille elemendid on samuti piiratud jne. või tõestada põhilisi setteoreetilisi fakte, nagu näiteks see, et iga komplekt sisaldub transitiivses komplektis, st komplektis, mis sisaldab kõiki selle elementide elemente (vt Mathias 2001 Zermelo komplekti teooria nõrkade külgede kohta). Fon Nexani täiendav täiendus fondi aksioomist viis komplekti teooria standardse aksioomide süsteemini, mida tuntakse Zermelo-Fraenkeli aksioomidena, millele lisandub valiku aksioom ehk ZFC. Samuti on vaja tõestada selliste lihtsate komplektide olemasolu nagu pärilikult piiratud komplektide kogum, st need piiratud hulgad, mille elemendid on piiratud, mille elemendid on samuti piiratud jne. või tõestada põhilisi setteoreetilisi fakte, nagu näiteks see, et iga komplekt sisaldub transitiivses komplektis, st komplektis, mis sisaldab kõiki selle elementide elemente (vt Mathias 2001 Zermelo komplekti teooria nõrkade külgede kohta). Fon Nexani täiendav täiendus fondi aksioomist viis komplekti teooria standardse aksioomide süsteemini, mida tuntakse Zermelo-Fraenkeli aksioomidena, millele lisandub valiku aksioom ehk ZFC.või tõestada põhilisi setteoreetilisi fakte, nagu näiteks see, et iga komplekt sisaldub transitiivses komplektis, st komplektis, mis sisaldab kõiki selle elementide elemente (vt Mathias 2001 Zermelo komplekti teooria nõrkade külgede kohta). Fon Nexani täiendav täiendus fondi aksioomist viis komplekti teooria standardse aksioomide süsteemini, mida tuntakse Zermelo-Fraenkeli aksioomidena, millele lisandub valiku aksioom ehk ZFC.või tõestada põhilisi setteoreetilisi fakte, nagu näiteks see, et iga komplekt sisaldub transitiivses komplektis, st komplektis, mis sisaldab selle elementide kõiki elemente (Zermelo komplekti teooria nõrkade külgede kohta vt Mathias 2001). Fon Nexani täiendav täiendus fondi aksioomist viis komplekti teooria standardse aksioomide süsteemini, mida tuntakse Zermelo-Fraenkeli aksioomidena, millele lisandub valiku aksioom ehk ZFC.

Muud komplekti teooria aksiomatizations, näiteks von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) või Morse-Kelley (MK), võimaldavad ka sobivate klasside ametlikku käsitlemist.

2. Koguteooria aksioomid

ZFC on aksioomisüsteem, mis on formuleeritud esimese astme loogikas võrdsusega ja millel on ainult üks binaarsuhte sümbol (in) liikmeks saamiseks. Seega kirjutame (A / B-s), et väljendada, et (A) on hulga (B) liige. Vaadake

Täiendus põhikomplekti teooria kohta

lisateavet. Vaata ka

Täiendus Zermelo-Fraenkeli komplekti teooria kohta

aksioomide ametliku versiooni ja täiendavate kommentaaride jaoks. Me seisame ZFC aksioomide all mitteametlikult.

2.1 ZFC aksioomid

  • Laiendavus: kui kahel hulgal (A) ja (B) on samad elemendid, siis on nad võrdsed.
  • Nullkomplekt: eksisteerib komplekt, mida tähistatakse märgiga ({ varnothing}) ja mida nimetatakse tühjaks, mis ei sisalda ühtegi elementi.
  • Paar: arvestades mis tahes komplekte (A) ja (B), eksisteerib komplekt, tähisega ({A, B }), mis sisaldab (A) ja (B) kui selle ainsad elemendid. Eelkõige eksisteerib komplekt ({A }), mille ainus element on (A).
  • Toitekomplekt: iga komplekti (A) jaoks on olemas komplekt, tähistatud numbriga (matemaatiline {P} (A)) ja mida nimetatakse (A) energiakomplektiks, mille elemendid on kõik (A).
  • Liit: iga komplekti (A) jaoks on olemas komplekt, mida tähistab (bigcup A) ja mida nimetatakse liituks ((A)), mille elemendid on kõik elementide (A) elemendid).
  • Lõpmatus: On olemas lõpmatu komplekt. Eelkõige on olemas komplekt (Z), mis sisaldab ({ varnothing}) ja selline, et kui (A / Z-s), siis (bigcup {A, {A } } Z-s).
  • Eraldamine: iga komplekti (A) ja iga antud omaduse jaoks on komplekt, mis sisaldab täpselt (A) elemente, millel see omadus on. Omaduse annab valem (varphi) komplektiteooria esimese astme keelest.

    Seega ei ole eraldamine üksik aksioom, vaid aksioomiskeem, see tähendab lõpmatu loetelu aksioomidest, üks iga valemi jaoks (varphi).

  • Asendamine: iga antud määratletava funktsiooni jaoks koos domeeniga komplektiga (A) on komplekt, mille elemendid on kõik funktsiooni väärtused.

    Asendamine on ka aksioomiskeem, kuna määratletavad funktsioonid on esitatud valemitega.

  • Sihtasutus: iga mittetühi komplekt (A) sisaldab (in) - minimaalset elementi, st elementi, nii et ükski (A) element sellest ei kuulu.

Need on Zermelo-Fraenkeli komplekti teooria ehk ZF aksioomid. Null-komplekti ja paari aksioomid järgivad teisi ZF-i aksioome, nii et need võib ära jätta. Asendamine tähendab ka eraldamist.

Lõpuks on olemas valiku aksioom (AC):

Valik: iga paaris-disjunkteeritud mittetühja komplekti (A) komplekti jaoks on olemas komplekt, mis sisaldab täpselt ühte elementi igast ((A) -komplekti komplektist.

AC oli pikka aega vastuoluline aksioom. Ühelt poolt on see matemaatikas väga kasulik ja laialdaselt kasutatav. Teisest küljest on sellel üsna intuitiivsed tagajärjed, nagu näiteks Banach-Tarski paradoks, mis ütleb, et ühiku kuul võib olla jagatud lõplikult paljudeks tükkideks, mida saab seejärel ümber korraldada kahe ühikupalli moodustamiseks. Vastuväited aksioomile tulenevad asjaolust, et selles kinnitatakse selliste komplektide olemasolu, mida ei saa selgesõnaliselt määratleda. Kuid Gödeli 1938. aasta tõendusmaterjal selle järjekindluse kohta ZF-i järjepidevuse suhtes hajutas kõik sellega seotud kahtlused.

Valiku aksioom on samaväärne modulo ZF-ga hästi korrastava põhimõttega, mis kinnitab, et iga komplekti saab hästi tellida, st seda saab tellida lineaarselt, nii et igal mittetühjal alamhulgal oleks minimaalne element.

Ehkki see pole formaalselt vajalik, kasutab ta lisaks sümbolile (in) mugavuse huvides tavaliselt ka muid määratletud määratletud sümboleid. Näiteks väljendab (A / subseteq B), et (A) on (B) alamhulk, st iga (A) liige on (B) liige. Põhitoimingute abil saadud komplektide tähistamiseks kasutatakse muid sümboleid, näiteks (A / cup B), mis tähistab (A) ja (B) liitumist, st kogumit, mille elemendid on järgmised: (A) ja (B); või (A / cap B), mis tähistab (A) ja (B) ristmikku, st kogumit, mille elemendid on ühised (A) ja (B) jaoks. Tellitud paar ((A, B)) on määratletud kui komplekt ({ {A }, {A, B } }). Seega on kaks järjestatud paari ((A, B)) ja ((C, D)) võrdsed siis ja ainult siis, kui (A = C) ja (B = D). Ja Cartesiuse toode (A / korda B) on määratletud kõigi tellitud paaride komplektina ((C,D)) nii, et (C / sisse) ja (D / sisse B). Arvestades suvalist valemit (varphi (x, y_1, / ldots, y_n)) ja komplekte (A, B_1, / ldots, B_n), võib moodustada kõigi nende ((A) elementide komplekti mis vastavad valemile (varphi (x, B_1, / ldots, B_n)). Seda komplekti tähistatakse tähega ({a / tähes A: / varphi (a, B_1, / ldots, B_n) }). ZF-is saab hõlpsalt tõestada, et kõik need komplektid on olemas. Edasiseks aruteluks lugege põhikomplekti teooria lisa.

3. Transfinite ordinate ja kardinalide teooria

ZFC-s saab välja töötada kantori teooria transfinite (st lõpmatu) ordinaalse ja kardinaalse arvu kohta. Järgides Von Neumanni poolt 1920. aastate alguses antud määratlust, saadakse järgarvud ehk lühinumbrid tühja komplektiga alustades ja kaks toimingut sooritades: vahetu järeltulija võtmine ja piirini jõudmine. Seega on esimene järjekorranumber ({ varnothing}). Järjestikuse (alpha) korral on selle vahetu järeltulija, tähisega (alpha +1), komplekt (alpha / cup { alpha }). Ja arvestades mittetühja tavaliste seadistuste komplekti (X), nii et iga (alpha / in X) korral on (alpha +1) ka (X), saab üks limiidi ordinaalne (bigcup X). Üks näitab, et iga ordinaali ((rangelt)) korraldab (rangelt) hästi, st., Et see on lineaarselt järjestatud vastavalt (in) ja puudub lõpmatu (in) - laskuv järjestus. Samuti on iga hästi järjestatud komplekt isomorfne unikaalse ordinaali suhtes, mida nimetatakse selle järjekorra tüübiks.

Pange tähele, et iga ordinal on eelkäijate kogum. Kõigi käskkirjade klass (ON) ei ole siiski komplekt. Vastasel juhul oleks (ON) ordinaal suurem kui kõik ordinaadid, mis on võimatu. Esimest lõpmatut ordinaali, mis on kõigi piiritletud ordinaalide kogum, tähistatakse kreeka tähega omega ((omega)). ZFC-s identifitseeritakse piiritletud ordinaadid naturaalarvudega. Seega, ({ varnothing} = 0), ({{ varnothing} } = 1), ({{ varnothing}, {{ varnothing} } } = 2) jne, seega (omega) on lihtsalt naturaalarvude komplekt (mathbb {N}).

Naturaalarvude liitmise ja korrutamise toiminguid saab laiendada kõigile ordinaalidele. Näiteks ordinaalne (alpha + / beta) on korraliku tellimuse tüüp, mis saadakse hästi järjestatud tellimustüübi (alpha) ja hästi järjestatud tellimuste komplekti liitmisel -tüüp (beeta). Tavaliste jada, mille on hästi korraldanud (in), algab järgmiselt

0, 1, 2, …, (n), …, (omega), (omega + 1), (omega + 2), …, (omega + / omega), …, (n / cdot / omega), …, (omega / cdot / omega), …, (omega ^ n), …, (omega ^ / omega),…

Käsud vastavad piirmääratud induktsiooni põhimõttele: oletame, et (C) on ordinaalide klass, nii et kui (C) sisaldab kõiki käske ((beeta)), mis on väiksem kui mõni ordinaalne ((alfa)), siis (alpha) on ka (C) -s. Siis klass (C) sisaldab kõiki käske. Transfinite induktsiooni abil saab ZFC-s tõestada (ja vajatakse asendamise aksioomi) olulist transfinite rekursiooni põhimõtet, mis ütleb, et arvestades mis tahes määratletavat klassifunktsiooni (G: V / kuni V), saab klassi määratleda -funktsioon (F: ON / kuni V), nii et (F (alpha)) on funktsiooni (G) väärtus, mida rakendatakse funktsioonile (F), mis on piiratud (alpha). Näiteks kasutatakse transfinite rekursiooni selleks, et õigesti määratleda käskude liitmise, korrutamise ja eksponentsiatsiooni aritmeetilisi toiminguid.

Pidage meeles, et lõpmatu komplekt on loendatav, kui see on kallis, st kui selle saab panna üks-ühele kirjavahetuses, kasutades (omega). Kõik ülaltoodud käsud on kas piiratud või loendatavad. Kuid kõigi piiritletud ja loendatavate käskude kogum on ka ordinaalne, mida nimetatakse (omega_1), ja see pole loendatav. Sarnaselt on kõigi ordinaalide kogum, mis on juurditav mõne ordinaaliga, mis on väiksem kui või sellega võrdne (omega_1), samuti ordinaaliga, nimega (omega_2), ja see ei ole bihelleeritav koos (omega_1), ja nii edasi.

3.1 Kardinalid

Kardinal on ordinal, mida ei saa ühegi väiksema ordinaliga kaunistada. Seega on iga piiritletud ordinal kardinaalne ja (omega), (omega_1), (omega_2) jne on ka kardinalid. Lõpmatuid kardinalid tähistatakse heebrea tähestiku tähega aleph ((aleph)) ja ordinaadid indekseerivad nende järjestust. See algab niimoodi

(aleph_0), (aleph_1), (aleph_2),…, (aleph_ / omega), (aleph _ { omega +1}),…, (aleph _ { omega + / omega}),…, (aleph _ { omega ^ 2}),…, (aleph _ { omega ^ / omega}),…, (aleph _ { omega_1}),…, (aleph _ { omega_2}),…

Seega, (omega = / aleph_0), (omega_1 = / aleph_1), (omega_2 = / aleph_2) jne. Igal kardinalil on suurem ja järjestikuse järjestuse piir. kardinal on ka kardinal. Seega ei ole kõigi kardinalide klass komplekt, vaid korralik klass.

Lõpmatut kardinaali (kappa) nimetatakse regulaarseks, kui see pole vähem kui (kappa) väiksemate kardinalide liit. Seega on (aleph_0) korrapärane ja nii on ka kõigis lõpmatutes järglaskardiinides, näiteks (aleph_1). Mitteregulaarset lõpmatut kardinali nimetatakse ainsuseks. Esimene ainsuse kardinal on (aleph_ / omega), kuna see on arvuliselt paljude väiksemate kardinalide liit, nimelt (aleph_ / omega = / bigcup_ {n <\ omega} aleph_n).

Kardinaali (kappa), mida tähistatakse tähega (cf (kappa)), lõplikkus on väikseim kardinal (lambda), nii et (kappa) on (lambda) - palju väiksemaid ordinaale. Seega (vrd (aleph_ / omega) = / aleph_0).

AC poolt (hästi korraldava põhimõtte kujul) saab iga komplekti (A) hästi tellida, seega on see kalliskivi unikaalse kardinaliga, mida nimetatakse (A) kardinaalsuseks. Arvestades kahte kardinali (kappa) ja (lambda), määratletakse summa (kappa + / lambda) kogumi kardinaalsusena, mis koosneb kahest disjunktiivsest komplektist, millest üks on kardinaalsus (kappa) ja üks kardinaalsusest (lambda). Ja toodet (kappa / cdot / lambda) määratletakse Cartesiuse toote (kappa / times / lambda) kardinaalsusena. Lõpmatute kardinalide summa ja korrutise toimingud on triviaalsed, kui (kappa) ja (lambda) on lõpmatud kardinalid, siis (kappa + / lambda = / kappa / cdot / lambda = maximum { kappa, / lambda }).

Seevastu kardinaalne eksponentsiaalsus on väga mittetriviaalne, isegi kõige lihtsama mittetriviaalse lõpmatu eksponentsiaalse väärtuse, nimelt (2 ^ { aleph_0}) väärtus pole teada ja seda ei saa ZFC-s määrata (vt allpool). Kardinaalne (kappa ^ / lambda) on määratletud kui Cartesiuse toote kardinaalsus (lambda) koopiatest (kappa); samamoodi kui kõigi funktsioonide komplekti kardinaalsus alates (lambda) kuni (kappa). Königi teoreem väidab, et (kappa ^ {cf (kappa)}> / kappa), mis tähendab, et kardinaali (2 ^ { aleph_0}) ühiskondlikkus peab olema loendamatu. Kuid see on põhimõtteliselt kõik, mida ZFC võib eksponentsiaalse (2 ^ { aleph_0}) väärtuse osas tõestada.

Ainsuse kardinalide paljunemise korral on ZFC-l palju rohkem öelda. 1989. aastal tõestas Shelah silmapaistvat tulemust, et kui (aleph_ / omega) on tugev piir, see tähendab, ((2 ^ { aleph_n} <\ aleph_ / omega), iga (n <\ omega), siis (2 ^ { aleph_ / omega} <\ aleph _ { omega_4}) (vt Shelah (1994)). Shelahi välja töötatud tehnikat selle ja sarnaste teoreemide tõestamiseks ZFC-s nimetatakse pcf-teooriaks (võimalike kaasinimeste jaoks) ja see on leidnud palju rakendusi teistes matemaatikavaldkondades.

4. Kõigi komplektide universum (V)

Tagantjärele võivad muud ZF-aksioomid peale ekstensiivsuse - mis ei vaja põhjendamist, kuna see lihtsalt sätestab komplektide määratleva omaduse - olla õigustatud nende kasutamisega komplektide kumulatiivse hierarhia ülesehitamisel. Nimelt määratleme ZF-is transfinite rekursiooni abil klassifunktsiooni, mis määrab igale ordinaalsele ((alpha)) komplektile (V_ / alpha) järgmise valemi:

  • (V_0 = { varnothing})
  • (V _ { alpha +1} = / matemaatiline {P} (V_ / alpha))
  • (V_ / alpha = / bigcup _ { beta <\ alpha} V_ / beta), alati kui (alpha) on piirmäärus.

Toitekomplekti aksioomi kasutatakse (V _ { alpha +1}) saamiseks (V_ / alpha). Asendamine ja liit võimaldavad ühe moodustada (V_ / alpha) (alpha) piirmääruse jaoks. Mõelge tõepoolest funktsioonile, mis omistatakse igale (beeta <\ alpha) komplektile (V_ / beeta). Asendamise teel on kogu (beeta <\ alfa) kogum (V_ / beeta) kogum, seega kohaldatakse sellele komplekti saagikusele (V_ / alfa) liidu aksioomi. Lõpmatuse aksioom on vajalik (oomega] olemasolu ja seega ka ordinaanide transfinite jada olemasolu tõestamiseks. Ja lõpuks, vundamendi aksioom on samaväärne, eeldades teisi aksioome, väitega, et iga komplekt kuulub mõnele (V_ / alpha), mõnele ordinal (alpha). Seega tõestab ZF, et määratud teoreetiline universum, mida tähistatakse märgiga (V), on kõigi (V_ / alpha), (alpha) ordinatiivide liit.

Õige klass (V) koos seosega (in) rahuldab kõiki ZFC aksioome ja on seega ZFC mudel. See on ZFC kavandatud mudel ja võib arvata, et ZFC kirjeldab (V) - kirjeldus on siiski väga puudulik, nagu näeme allpool.

(V) üks oluline omadus on nn peegelduspõhimõte. Nimelt tõestab ZFC, et iga valemi (varphi (x_1, / ldots, x_n)) kohta on olemas mõni (V_ / alpha), mis seda kajastab, st iga (a_1, / ldots, a_n / in V_ / alpha),

(varphi (a_1, / ldots, a_n)) hoiab rakenduses (V) ainult siis, kui (varphi (a_1, / ldots, a_n)) on (V_ / alpha).

Seega ei saa (V) iseloomustada ühegi lausega, kuna iga lause, mis on tõene loendis (V), peab olema tõene ka mõnes algsegmendis (V_ / alpha). Eelkõige ei ole ZFC lõplikult aksiomeeritav, sest vastasel korral tõestaks ZFC, et piiritult paljude käskkirjade korral (alpha), (V_ / alpha) on ZFC mudel, mis on vastuolus Gödeli teise puudulikkuse teoreemiga (vt punkt 5.2)..

Peegelduspõhimõte kapseldab ZF-i komplekti teooria olemuse, sest nagu näitas Levy (1960), on ekstensiivsuse, eraldamise ja aluse aksioomid koos reflektsiooniprintsiibiga sõnastatud aksioomiskeemina, kinnitades, et iga valem kajastub mingis kogumis mis sisaldab kõiki elemente ja selle elementide kõiki alamhulki (pange tähele, et (V_ / alpha) on sellised), on samaväärne ZF-iga.

5. Määrake matemaatika alustalaks teooria

Iga matemaatilist objekti võib vaadelda kogumina. Näiteks naturaalarvud identifitseeritakse piiratud käskudega, seega (mathbb {N} = / omega). Tervikarvu (mathbb {Z}) võib defineerida kui naturaalarvude paaride ekvivalentsusklasside kogumit ekvivalentsisuhte ((n, m) ekvivalentide (n ', m')) all, kui ja ainult siis, kui (n + m '= m + n'). Identifitseerides iga naturaalarvu (n) paari ekvivalentsusklassiga ((n, 0)), võib loomulike arvu ja korrutise toiminguid loomulikult laiendada väärtusele (mathbb {Z}). (üksikasju vt Enderton (1977) ja Levy (1979) erineva konstruktsiooni kohta). Lisaks võib määratleda ratsionaalid (mathbb {Q}) täisarvude paaris ekvivalentsusklasside kogumina ((n, m)), kus (m / ne 0) ekvivalentsuse seose all ((n, m) ekvivalent (n ', m')) ainult siis, kui (n / cdot m '= m / cdot n'). Jällegi võib (mathbb {Z}) toiminguid (+) ja (cdot) loomulikult laiendada ka (mathbb {Q}). Veelgi enam, ratsionaalide järjestamine (leq _ { mathbb {Q}}) antakse järgmiselt: (r / leq _ { mathbb {Q}} s) siis ja ainult siis, kui see on olemas (t / in / mathbb {Q}) selliselt, et (s = r + t). Reaalseid numbreid võib defineerida kui (mathbb {Q}) Dedekind-jaotustükke, nimelt antakse reaalarv mitte-tühjade disjunktsioonikomplektide paariga ((A, B)) selliselt, et (A / tass B = / mathbb {Q}) ja (a / leq _ { mathbb {Q}} b) iga (a / A-s) ja (b / B-s). Seejärel saab uuesti laiendada (+) ja (cdot) toiminguid saidil (mathbb {Q}), samuti tellimist (leq _ { mathbb {Q}}), reaalarvude komplekti (mathbb {R}).toiminguid (+) ja (cdot) saidil (mathbb {Z}) võib loomulikult laiendada ka (mathbb {Q}). Veelgi enam, ratsionaalide järjestamine (leq _ { mathbb {Q}}) antakse järgmiselt: (r / leq _ { mathbb {Q}} s) siis ja ainult siis, kui see on olemas (t / in / mathbb {Q}) selliselt, et (s = r + t). Reaalseid numbreid võib defineerida kui (mathbb {Q}) Dedekind-jaotustükke, nimelt antakse reaalarv mitte-tühjade disjunktsioonikomplektide paariga ((A, B)) selliselt, et (A / tass B = / mathbb {Q}) ja (a / leq _ { mathbb {Q}} b) iga (a / A-s) ja (b / B-s). Seejärel saab uuesti laiendada (+) ja (cdot) toiminguid saidil (mathbb {Q}), samuti tellimist (leq _ { mathbb {Q}}), reaalarvude komplekti (mathbb {R}).toiminguid (+) ja (cdot) saidil (mathbb {Z}) võib loomulikult laiendada ka (mathbb {Q}). Veelgi enam, ratsionaalide järjestamine (leq _ { mathbb {Q}}) antakse järgmiselt: (r / leq _ { mathbb {Q}} s) siis ja ainult siis, kui see on olemas (t / in / mathbb {Q}) selliselt, et (s = r + t). Reaalseid numbreid võib defineerida kui (mathbb {Q}) Dedekind-jaotustükke, nimelt antakse reaalarv mitte-tühjade disjunktsioonikomplektide paariga ((A, B)) selliselt, et (A / tass B = / mathbb {Q}) ja (a / leq _ { mathbb {Q}} b) iga (a / A-s) ja (b / B-s). Seejärel saab uuesti laiendada (+) ja (cdot) toiminguid saidil (mathbb {Q}), samuti tellimist (leq _ { mathbb {Q}}), reaalarvude komplekti (mathbb {R}).(r / leq _ { mathbb {Q}} s) siis ja ainult siis, kui eksisteerib (t / in / mathbb {Q}), nii et (s = r + t). Reaalseid numbreid võib defineerida kui (mathbb {Q}) Dedekind-jaotustükke, nimelt antakse reaalarv mitte-tühjade disjunktsioonikomplektide paariga ((A, B)) selliselt, et (A / tass B = / mathbb {Q}) ja (a / leq _ { mathbb {Q}} b) iga (a / A-s) ja (b / B-s). Seejärel saab uuesti laiendada (+) ja (cdot) toiminguid saidil (mathbb {Q}), samuti tellimist (leq _ { mathbb {Q}}), reaalarvude komplekti (mathbb {R}).(r / leq _ { mathbb {Q}} s) siis ja ainult siis, kui eksisteerib (t / in / mathbb {Q}), nii et (s = r + t). Reaalseid numbreid võib defineerida kui (mathbb {Q}) Dedekind-jaotustükke, nimelt antakse reaalarv mitte-tühjade disjunktsioonikomplektide paariga ((A, B)) selliselt, et (A / tass B = / mathbb {Q}) ja (a / leq _ { mathbb {Q}} b) iga (a / A-s) ja (b / B-s). Seejärel saab uuesti laiendada (+) ja (cdot) toiminguid saidil (mathbb {Q}), aga ka tellimist (leq _ { mathbb {Q}}), reaalarvude komplekti (mathbb {R}).nagu ka tellimine (leq _ { mathbb {Q}}) reaalarvude komplekti (mathbb {R}).nagu ka tellimine (leq _ { mathbb {Q}}) reaalarvude komplekti (mathbb {R}).

Rõhutagem, et ei väideta, et näiteks reaalarvud on ratsionaalide Dedekindi jaotustükid, kuna neid saab määratleda ka Cauchy jadade abil või muul viisil. Põhimõtteliselt on oluline, et (mathbb {R}) set-teoreetiline versioon täidab koos tavaliste algebraliste toimingutega kategoorilisi aksioome, mida reaalarvud rahuldavad, nimelt täielik tellitud väli. Metafüüsiline küsimus, mis tegelikud arvud tegelikult on, ei oma siin tähtsust.

Algebralisi struktuure võib vaadelda ka komplektidena, kuna mis tahes (n) - hulga seoseid hulga elementidel (A) saab vaadelda kui (n) - tüüpide ((a_1, / punktid, a_n)) (A) elementidest. Ja mis tahes (n) funktsiooni (f) funktsioonil (A), mille väärtused on mingil hulgal (B), võib vaadelda kui (n + 1) - tüüpide (((a_1, / ldots, a_n), b)) selliselt, et (b) on (f) väärtus ((a_1, / ldots, a_m)). Nii on näiteks rühm lihtsalt kolmik ((A, +, 0)), kus (A) on mittetühi kogum, (+) on (A), mis on assotsiatiivne, (0) on (A) element selliselt, et (a + 0 = 0 + a = a) kõigile (a / A-s) ja iga (a-s A-s) on element (A), tähistatud numbriga (- a), nii et (a + (- a) = (- a) + a = 0). Samuti on topoloogiline ruum lihtsalt kogum (X) koos sellel paikneva topoloogiaga (tau), st.(tau) on (matemaatiline {P} (X)) alamhulk, mis sisaldab (X) ja ({ varnothing}) ning on suletud suvaliste ühenduste ja piiratud ristmike all. Mistahes matemaatilist objekti saab alati vaadelda kogumina või õige klassina. Objekti omadusi saab siis väljendada teooria keeles. Mis tahes matemaatilise väite saab vormistada seadusteooria keelde ja ükskõik millise matemaatilise teoreemi saab tuletada, kasutades esimese astme loogika arvutust, ZFC aksioomidest või ZFC mingist laiendist. Just selles mõttes loob komplektteooria matemaatika aluse. Objekti omadusi saab siis väljendada teooria keeles. Mis tahes matemaatilise väite saab vormistada komplektteooria keelde ja ükskõik millise matemaatilise teoreemi saab tuletada, kasutades esimese astme loogika arvutust, ZFC aksioomidest või ZFC mingist laiendist. Just selles mõttes loob komplektteooria matemaatika aluse. Objekti omadusi saab siis väljendada teooria keeles. Mis tahes matemaatilise väite saab vormistada komplektteooria keelde ja ükskõik millise matemaatilise teoreemi saab tuletada, kasutades esimese astme loogika arvutust, ZFC aksioomidest või ZFC mingist laiendist. Just selles mõttes loob komplektteooria matemaatika aluse.

Püstitatud teooria põhiline roll matemaatikas on küll oluline, kuid ei ole sugugi ainus selle uurimise õigustus. Püstitatud teooria raames välja töötatud ideed ja tehnikad, näiteks lõpmatu kombinatoorika, sundimine või suurte kardinalide teooria, on muutnud selle sügavaks ja põnevaks matemaatiliseks teooriaks, mis on iseenesest uurimist vääriv ning oluliste rakendustega praktiliselt kõigile matemaatika valdkondadele.

5.1 Metamaatika

Märkimisväärne asjaolu, et praktiliselt kogu matemaatikat saab ZFC-s vormistada, võimaldab matemaatika enda uurimist. Seega saab kõigile matemaatilise objekti olemasolu või oletuse või hüpoteesi tõestatavuse kohta esitatud küsimustele anda matemaatiliselt täpse sõnastuse. See võimaldab metamaatikat, nimelt matemaatika enda matemaatilist uurimist. Niisiis, küsimus mis tahes antud matemaatilise väite tõestatavuse või tõestamatuse kohta saab mõistlikuks matemaatiliseks küsimuseks. Kui seisavad silmitsi avatud matemaatilise probleemiga või oletustega, on mõistlik küsida selle tõestatavust või tõestamatust ZFC formaalses süsteemis. Kahjuks ei pruugi vastus olla kumbagi, kuna ZFC, kui see on järjekindel, on puudulik.

5.2 Mittetäielikkuse nähtus

Gödeli esimese astme loogika täielikkuse teoreem eeldab, et ZFC on järjekindel - selle vastuolusid ei saa tuletada siis ja ainult siis, kui sellel on mudel. ZFC mudel on paar ((M, E)), kus (M) on mittetühi komplekt ja (E) on (M) binaarsuhe selliselt, et kõik aksioomid ZFC väärtused on tõesed, kui neid tõlgendada kujul ((M, E)), st kui muutujad, mis ilmuvad aksioomides, asuvad elementide (M) kohal, ja (sisse) tõlgendatakse kui (E). Seega, kui (varphi) on määratud teooria keele lause ja võib leida ZFC mudeli, milles (varphi) on, siis selle eitust (neg / varphi) ei saa tõestada ZFC-s. Seega, kui leitakse mudel (varphi) ja ka mudel (neg / varphi), siis pole (varphi) ZFC-s tõestatav ega ümberlükatav, sel juhul me ütleme, et (varphi) on otsustamatu,või ZFC-st sõltumatu.

Aastal 1931 teatas Gödel oma silmatorkavatest mittetäielikkuse teoreemidest, mis kinnitavad, et matemaatika mõistlik formaalne süsteem on tingimata puudulik. Täpsemalt, kui ZFC on järjekindel, siis on ZFC-s määramatuid ettepanekuid. Veelgi enam, Gödeli teine puudulikkuse teoreem tähendab, et formaalset (aritmeetilist) väidet (CON (ZFC)), mis väidab, et ZFC on järjekindel, kuigi tõene, ei saa ZFC-s tõestada. Ja ka see ei saa eitada. Seega on (CON (ZFC)) ZFC-s otsustamatu.

Kui ZFC on järjekindel, ei saa see tõestada ZFC mudeli olemasolu, sest vastasel korral tõestaks ZFC oma järjepidevust. Seega on antud lause (varphi) järjepidevuse või otsustamatuse tõend alati suhtelise järjepidevuse tõend. See tähendab, et eeldatakse, et ZFC on järjekindel, järelikult on sellel mudel, ja siis konstrueeritakse teine ZFC mudel, kus lause (varphi) on tõene. Järgmistes jaotistes näeme mitmeid näiteid.

6. Kontinuumi seatud teooria

Alates Cantorist ja kuni umbes 1940. aastani arenes komplektiteooria enamasti kontinuumi, see tähendab tegeliku joone (mathbb {R}) uurimise ümber. Peamiseks teemaks oli lihtsuselt määratletavate reaalarvude komplektide niinimetatud regulaarsuse omaduste ja muude struktuuriliste omaduste uurimine - see on matemaatika valdkond, mida tuntakse kui kirjeldavat kogumiteooriat.

6.1 Kirjeldav kogumiteooria

Kirjeldav kogumiteooria on määratletud reaalarvude määratletavate kogumite omaduste ja struktuuri ning üldisemalt (mathbb {R} ^ n) ja muude Poola ruumide (st topoloogiliste ruumide, mis on homeomorfsed eraldatav täielik mõõdikute tühik), näiteks kõigi funktsioonide Baire-ruum (matemaatiline {N}) (f: / mathbb {N} kuni / mathbb {N}), keeruliste numbrite ruum, Hilbert ja eraldatavad Banachi ruumid. Realarvude lihtsaimad komplektid on põhilised avatud komplektid (st ratsionaalsete lõpp-punktidega avatud intervallid) ja nende komplemendid. Komplektid, mis saadakse loendatava arvu sammudena, alustades põhilistest avatud komplektidest ja rakendades komplemendi võtmise toiminguid ning moodustades eelnevalt saadud komplektide loendatava ühenduse, on Boreli komplektid. Kõik Boreli komplektid on korrapärased, stneil on kõik klassikalise korrektsuse omadused. Regulaarsuse omaduse üheks näiteks on Lebesgue'i mõõdetavus: rearealade komplekt on Lebesgue'iga mõõdetav, kui see erineb Borelist nullkomplektiga, nimelt komplektiga, mida saab katta meelevaldselt väikese kogupikkusega põhiliste avatud intervallidega.. Seega on triviaalselt iga Boreli komplekt mõõdetav Lebesgue'iga, kuid keerulisemad komplektid kui Boreli komplektid ei pruugi olla. Muud klassikalised reeglipärasuse omadused on Baire omadus (rearealade komplektil on Baire omadus, kui see erineb nappide komplektiga avatud komplektist, nimelt komplektist, mis on loetav komplekt komplektidest, mis pole ühegi intervalliga tihedad), ja täiusliku komplekti omadus (rearealade komplektil on täiuslik komplektiomadus, kui see on kas loendatav või sisaldab perfektset komplekti, nimelt tühja suletud komplekti, millel pole isoleeritud punkte). ZFC-s saab tõestada, et on olemas mitteregulaarsed rearealarvud, kuid selleks on vajalik vahelduvvool (Solovay 1970).

Analüütilised komplektid, mida nimetatakse ka (mathbf { Sigma} ^ 1_1), on Boreli komplektide pidevad kujutised. Ja kaasanalüütilised ehk (mathbf { Pi} ^ 1_1) komplektid on analüütiliste komplektide täiendid.

Alustades analüütilistest (või kaasanalüütilistest) komplektidest ja rakendades projektsioonitoiminguid (tooteruumist (mathbb {R} times / matemaatiline {N}) kuni (mathbb {R})) ja täiendamine, saadakse projektiivsed komplektid. Projektiivsed komplektid moodustavad järjest keerukama hierarhia. Näiteks kui (A / subseteq / mathbb {R} korda / matemaatiline {N}) on kaasanalüütiline, siis projektsioon ({x / in / mathbb {R}: / eksisteerib y / in / matemaatiline {N} ((x, y) in A) }) on projektsioonikomplekt järgmisel keerukusastmel, mis asub kopanalüütiliste komplektide kohal. Nende komplektide nimi on (mathbf { Sigma} ^ 1_2) ja nende komplementide nimi on (mathbf { Pi} ^ 1_2).

Projektiivsed komplektid kerkivad matemaatikapraktikas esile väga loomulikult, sest selgub, et reaalarvude komplekt (A) on projektiivne ainult siis, kui see on struktuuris määratletav.

) matemaatiline {R} = (mathbb {R}, +, / cdot, / mathbb {Z}).)

See tähendab, et struktuuri keeles on olemas esimese järgu valem (varphi (x, y_1, / ldots, y_n)), nii et mõne (r_1, / ldots, r_n / in / mathbb {R }), [A = {x / in / mathbb {R}: / matemaatiline {R} mudelid / varphi (x, r_1, / ldots, r_n) }.)

ZFC tõestab, et iga analüütiline komplekt ja seega iga kaasanalüütiline komplekt on Lebesgue'iga mõõdetav ja sellel on Baire'i omadus. See tõestab ka, et igal analüütilisel komplektil on täiuslik komplekti omadus. Kuid kaasanalüütiliste komplektide täiuslik omadus eeldab, et esimene loendamatu kardinal, (aleph_1), on konstrueeritavas universumis suur kardinal (L) (vt 7. jagu), nimelt niinimetatud ligipääsmatu kardinal (vt punkt 10), mis tähendab, et ZFC-s ei saa tõestada, et igal kaasanalüütilisel komplektil on täiuslik komplekti omadus.

Kaasanalüütilisest suuremate keerukate projektiivsete komplektide teooria on ZFC poolt täielikult määramata. Näiteks dokumendis (L) on (mathbf { Sigma} ^ 1_2) komplekt, mis pole Lebesgue'iga mõõdetav ja millel pole Baire'i omadust, kui aga Martini aksioom kehtib (vt punkt 11), siis iga sellisel komplektil on need korrektsuse omadused. Siiski on olemas aksioom, mida nimetatakse Projektiivse määramise aksioomiks ehk PD, mis on kooskõlas ZFC-ga, modifitseerides mõnede suurte kardinalide järjepidevust (tegelikult tuleneb see mõnede suurte kardinalide olemasolust) ja tähendab, et kõik projektiivkomplektid on korrapärased. Lisaks lahendab PD põhimõtteliselt kõik küsimused projektiivsete komplektide kohta. Lisateavet leiate sisendist suurte kardinalide ja määramise kohta.

6.2 Kindlus

Komplektide regulaarsuse omadus, mis on kõigi teiste klassikaliste reeglipärasuse omaduste alusel, on määratav. Lihtsuse huvides töötame Baire'i tühikuga (matemaatiline {N}). Tuletame meelde, et (matemaatiline {N}) elemendid on funktsioonid (f: / mathbb {N} kuni / mathbb {N}), see tähendab, looduslike arvu numbrite jadad (omega). Tühik (matemaatiline {N}) on topoloogiliselt samaväärne (st homeomorfne) (mathbb {R}) irratsionaalsete punktide kogumiga. Kuna oleme huvitatud (mathbb {R}) alamhulkade regulaarsuse omadustest ja kuna loendatavad komplektid, näiteks ratsionaalide komplekt, on nende omaduste osas tühised, võime sama hästi töötada ka (matemaatiline {N}), (mathbb {R}) asemel.

Arvestades (A / subseteq / matemaatilist {N}), on mänguga (A) seotud mäng, mida tähistatakse märgiga ({ matemaatiline G} _A), kaks mängijat, I ja II, kes mängivad alternatiivselt (n_i / in / mathbb {N}): ma mängin (n_0), siis II mängin (n_1), siis mängin (n_2) jne. Niisiis, etapil (2k) mängib mängija I (n_ {2k}) ja etapil (2k + 1), mängija II mängib (n_ {2k + 1}). Võime mängu käiku visualiseerida järgmiselt:

(mathbf {I}) (n_0) (n_2) (n_4) (cdots) (n_ {2k}) (cdots)
(mathbf {II}) (n_1) (n_3) (cdots) (cdots) (n_ {2k + 1}) (cdots)

Pärast lõpmatuseni palju käike annavad kaks mängijat lõpmatu hulga naturaalarvutest (n_0, n_1, n_2, / ldots). I mängija võidab mängu, kui jada kuulub (A). Muidu võidab mängija II mängija.

Mäng ({ matemaatiline {G}} _ A) otsustatakse, kui ühe mängija jaoks on olemas võidustrateegia. Ühe mängija võidustrateegia, näiteks II mängija jaoks, on funktsioon (sigma) naturaalarvude lõplike jadade hulgast (mathbb {N}) selliseks, et kui mängija mängib vastavalt selle funktsiooni, st ta mängib (sigma (n_0 / ldots, n_ {2k})) on (k) - th omakorda ta alati võita mängu, ükskõik mis teine mängija ei.

Me ütleme, et (mathcal {N}) alamhulk (A) määratakse ainult siis, kui mäng ({ matemaatiline {G}} _ A) on määratud.

ZFC-s saab tõestada - ja vahelduvvoolu kasutamine on vajalik -, et on olemas määramata komplekte. Seega ei ole AC-iga ühilduv määramise aksioom (AD), mis väidab, et (matemaatika {N}) kõik alamhulgad on kindlaks määratud. Kuid Donald Martin tõestas ZFC-s, et iga Boreli komplekt on kindlameelne. Lisaks näitas ta, et kui on olemas suur kardinal, mida nimetatakse mõõdetavaks (vt punkt 10), siis määratakse isegi analüütilised kogumid. Projektiivse määravuse (PD) aksioom kinnitab, et iga projektiivne komplekt on kindlaks määratud. Selgub, et PD tähendab, et kõik projektiivsed reaalkomplektid on korrapärased, ja Woodin on näidanud, et PD lahendab teatavas mõttes põhimõtteliselt kõik küsimused projektiivsete komplektide kohta. Pealegi näib, et PD on selleks vajalik. Veel üks aksioom, (AD ^ {L (Bbb R)}), kinnitab, et AD-l on (L (Bbb R)),mis on kõige vähem transitiivne klass, mis sisaldab kõiki käske ja tegelikke numbreid ning vastab ZF-i aksioomidele (vt punkt 7). Niisiis, (AD ^ {L (Bbb R)}) tähendab, et iga rea ((L (Bbb R)) kuuluvate reade komplekt on korrapärane. Kuna (L (Bbb R)) sisaldab kõiki projektiivkomplekte, tähendab (AD ^ {L (Bbb R)}) PD-d.

6.3 Kontinuumi hüpotees

Cantori poolt 1878. aastal formuleeritud pidevhüpotees (CH) kinnitab, et igal lõpmatu reaalarvude komplektil on kardinaalsus kas (aleph_0) või sama kardinaalsus nagu (mathbb {R}). Seega on CH samaväärne (2 ^ { aleph_0} = / aleph_1).

Cantor tõestas 1883. aastal, et suletud reaalarvude komplektidel on täiuslik komplektiomadus, millest järeldub, et igal loendamatul hulgal suletud reaalarvudel on sama kardinaalsus kui (mathbb {R}). Seega CH hoiab suletud komplekte. Rohkem kui kolmkümmend aastat hiljem laiendas Pavel Aleksandrov tulemust kõigile Boreli komplektidele ja seejärel Mihhail Suslini kõigile analüütilistele komplektidele. Seega vastavad kõik analüütilised komplektid CH-le. Püüded tõestada, et kaasanalüütilised komplektid vastavad CH-le, ei õnnestu, kuna see pole ZFC-s tõestatav.

Aastal 1938 tõestas Gödel CH kooskõla ZFC-ga. Eeldusel, et ZF on järjekindel, ehitas ta välja konstruktiivse universumina tuntud ZFC mudeli, milles CH hoiab. Seega näitab tõend, et kui ZF on ühtlane, siis on ka ZF koos AC ja CH-ga. Seega, kui eeldada, et ZF on ühtlane, ei saa AC-d ZF-is ümber lükata ja CH-d ZFC-s ümber lükata.

Probleemi hetkeseisu kohta leiate pidevhüpoteesi käsitlevat kirjet, sealhulgas Woodini uusimaid tulemusi.

7. Gödeli konstruktiivne universum

Gödeli konstrueeritavat universumit, mida tähistatakse märgiga (L), määratletakse ordinaalide lõpliku rekursiooniga, sarnaselt (V), kuid järgnevatel sammudel, selle asemel, et võtta võimsuskomplekt (V_ / alpha), et saada (V _ { alpha +1}), võetakse ainult need (L_ / alpha) alamhulgad, mis on defineeritavad (L_ / alpha), kasutades parameetritena (L_ / alpha) elemente. Seega lastes (matemaatilisel {P} ^ {Def} (X)) tähistada kõigi (X) alamhulkade komplekti, mis on struktuuris ((X, / in)) defineeritavad komplekti teooria keele valemi, kasutades definitsiooni parameetritena elemente (X), laseme

  • (L_0 = { varnothing})
  • (L _ { alpha +1} = / matemaatiline {P} ^ {Def} (L_ / alpha))
  • (L_ / lambda = / bigcup _ { alpha <\ lambda} L_ / alpha), alati kui (lambda) on piirmäärus.

Siis (L) on kõigi (L_ / alpha) liit (alpha) korraliseks, st (L = / bigcup _ { alpha / sisse}} L_ / alpha).

Gödel näitas, et (L) vastab kõigile ZFC aksioomidele ja ka CH-le. Tegelikult vastab see üldistatud pidevhüpoteesile (GCH), nimelt (2 ^ { aleph_ / alpha} = / aleph _ { alpha +1}) iga korralise (alpha) jaoks.

Lause (V = L), mida nimetatakse konstruktiivsuse aksioomiks, kinnitab, et iga komplekt kuulub (L). See mahub (L), seega on see kooskõlas ZFC-ga ja tähendab nii vahelduvvoolu kui ka GCH.

Õige klass (L) koos (in) -suhtega, mis on piiratud (L) -ga, on ZFC sisemudel, st transitiivne (st sisaldab kõiki selle elementide elemente) klass, mis sisaldab kõiki käske ja vastab kõigile ZFC aksioomidele. See on tegelikult ZFC väikseim sisemudel, kuna seda sisaldavad kõik muud sisemudelid.

Üldisemalt, arvestades mis tahes komplekti (A), saab ehitada ZF-i väikseima transitiivse mudeli, mis sisaldab (A) ja kõiki käske sarnaselt (L), kuid alustades nüüd transitiivsest sulgemisest ({A }), st väikseim siirdekomplekt, mis sisaldab ({ varnothing}) asemel (A). Saadud mudel (L (A)) ei pea siiski olema vahelduvvoolu mudel. Üks väga oluline selline mudel on (L (mathbb {R})), ZF väikseim transitiivne mudel, mis sisaldab kõiki käske ja tegelikke numbreid.

Kokkupandavate komplektide teooria võlgneb palju Ronald Jenseni tööd. Ta töötas välja (L) niinimetatud peenstruktuuri teooria ja isoleeris mõned kombinatoorsed põhimõtted, näiteks teemant ((diamondsuit)) ja ruut ((Box)), mida saab kasutada kandmiseks loendamatu matemaatilise objekti keerulised konstruktsioonid. Peenstruktuuri teooria mängib olulist rolli ka suuremate (L) sarnaste mudelite, näiteks (L (mathbb {R})) või suurte kardinalide sisemudelite analüüsimisel (vt punkt 10.1).

8. Sundimine

1963. aastal, kakskümmend viis aastat pärast seda, kui Gödel tõestas CH-i ja AC-i järjepidevust ZF-i püsivuse suhtes, tõestas Paul Cohen (1966) CH-i ja ka AC-i eituse järjepidevust., ZF konsistentsi suhtes. Seega, kui ZF on püsiv, siis CH on ZFC-s määramatu ja ZF-s AC on määramatu. Selle saavutamiseks töötas Cohen välja uue ja ülivõimsa tehnika, mida nimetatakse sundimiseks ZF-i loendatavate transitiivsete mudelite laiendamiseks.

Kuna aksioom (V = L) viitab vahelduvvoolule ja CH-le, peab AC või CH eituse mis tahes mudel rikkuma (V = L). Nii illustreerime sundimise mõtet (V = L) eituse mudeli ehitamise korral. Alustame ZFC transitiivse mudeliga (M), mida võime üldistust kaotamata eeldada, et see on mudel (V = L). (V = L) rikkumiseks peame laiendama (M), lisades uue komplekti (r), nii et laiendatud mudelis oleks (r) mittekonstrueeritav. Kuna kõik pärilikult piiritletud komplektid on konstruktiivsed, on meie eesmärk lisada lõpmatu hulk naturaalarvudest. Esimene probleem, millega silmitsi seisame, on see, et (M) võib sisaldada juba kõiki (omega) alamhulki. Õnneks on Löwenheim-Skolemi esimese astme loogika teoreemi järgi (M) loendatav elementaarne alammudel (N). Kuna meid huvitavad ainult väited, mis sisaldavad (M),ja mitte (M) endas, võime samamoodi töötada ka (N) asemel (M) ja seega võime eeldada, et (M) ise on loendatav. Kuna (matemaatiline {P} (omega)) on loendamatu, on hulgaliselt (omega) alamhulki, mis ei kuulu (M). Kuid kahjuks ei saa me lihtsalt valida ühtegi lõpmatut alamhulka (r) (omega), mis ei kuulu (M), ja lisada see (M). Põhjus on see, et (r) võib kodeerida palju teavet, nii et (M) lisamisel ei ole (M) enam ZFC mudel või on see siiski (V = L). Selle vältimiseks tuleb valida (r) väga hoolikalt. Idee on valida (r) üldine üle (M), mis tähendab, et (r) on üles ehitatud selle lõplikest lähenditest selliselt, et sellel pole ühtegi omadust, mida saab määratleda rakenduses (M) ja seda saab vältida. Näiteks,vaadates (r) naturaalarvude lõpmatu jadana kasvavas järjekorras, saab vältida (r) omadust, mis sisaldab ainult paarisarvulisi paarisarvu, kuna arvestades mis tahes lõplikku lähendust (r) - st naturaalarvude piiratud arvu kasvav jada saab seda alati laiendada, lisades ühtlasemaid numbreid, nii et konstruktsiooni lõpus sisaldab (r) lõpmata palju paarisarvu; samas kui arvu 7 sisaldamise omadust ei saa vältida, kuna kui (r) lõplik lähendamine sisaldab arvu 7, jääb see samaks, hoolimata sellest, kuidas (r) ehitamine edeneb. Kuna (M) on loendatav, on olemas sellised üldised (r). Siis nimetatakse laiendatud mudelit (M [r]), mis sisaldab (M) ja sisaldab uut komplekti (r), üldist laiendit (M). Kuna eeldasime, et (M) on (V = L) transitiivne mudel,mudel (M [r]) on lihtsalt (L_ / alpha (r)), kus (alpha) on (M) käskkirjade ülaosa. Siis saab, kasutades sundsuhet lõplike lähendite (r) ja valemite vahel komplekti teooria keeles, mida on laiendatud komplekti nn nimedega üldlaiendis, näidata, et (M [r]) on ZFC ja (r) mudel ei ole konstruktsioonis ((M [r])) konstruktiivsed, mistõttu konstruktiivsuse aksioom (V = L) nurjub.

Üldiselt saadakse mudeli (M) sunniviisiline laiend, kui lisate (M) mõnele osaliselt tellitud komplektile (mathbb {P}) kuuluvale (M) üldisele alamhulgale (G), mis kuulub (M). Ülaltoodud näites oleks (mathbb {P}) kõigi naturaalarvude lõplike suurenevate jadade kogum, mida vaadeldakse kui lõplikku lähendust lõpmatule jadale (r), mille on tellinud (subseteq); ja (G) oleks kõigi ((r)) lõplike algsegmentide kogum.

CH eituse järjepidevuse tõendite korral alustatakse mudelist (M) ja lisatakse (aleph_2) (omega) uued alamhulgad, nii et üldises laiendis CH ebaõnnestub. Sel juhul tuleb kasutada sobivat osalist järjestamist (mathbb {P}), nii et (M) (aleph_2) ei variseks, st see oleks sama mis (aleph_2) ja seega rahuldab üldlaiend (M [G]) lauset, mis ütleb, et on olemas (aleph_2) reaalarvud.

8.1 Muud sunniviisilised rakendused

Lisaks CH-le on ZFC-s sunnitehnika abil lahendamatuteks osutunud paljud muud matemaatilised oletused ja kontinuumi probleemid ning muud lõpmatud matemaatilised objektid.

Üks oluline näide on Suslini hüpotees (SH). Cantor näitas, et iga lineaarselt järjestatud komplekt (S) ilma lõpp-punktita, mis on tihe (st. (S) kahe erineva elemendi vahel on veel üks), täielik (st iga (S) alamhulk ülalpool piiritletud on supremum) ja loendatava tiheda alamhulgaga on isomorfne reaaljoone suhtes. Suslin väitis, et see on tõsi, kui leevendatakse loendatava tiheda alamhulga sisaldamise nõuet, et see oleks ccc, st iga paaris-lõheliste intervallide kogum on loendatud. 1970. aastate alguses koostas Thomas Jech sundimise abil järjekindla vastanäidise ja Ronald Jensen näitas, et (L) on olemas ka vastunäide. Umbes samal ajalRobert Solovay ja Stanley Tennenbaum (1971) töötasid välja ja kasutasid esimest korda itereeritud sundustehnikat, et toota mudel, kus SH hoiab, näidates sellega oma sõltumatust ZFC-st. Veendumaks, et SH hoiab üldlaiendis, tuleb hävitada kõik vastunäidised, kuid ühe konkreetse vastunäidise hävitamisega võib tahtmatult luua uusi näiteid, nii et inimene peab ikka ja jälle sundima; tegelikult tuleb minna vähemalt (omega_2) - mitu sammu. Seetõttu on vaja sundlikku iteratsiooni.tegelikult tuleb minna vähemalt (omega_2) - mitu sammu. Seetõttu on vaja sundlikku iteratsiooni.tegelikult tuleb minna vähemalt (omega_2) - mitu sammu. Seetõttu on vaja sundlikku iteratsiooni.

Muude kuulsate matemaatiliste probleemide hulgas, mis on tänu sunnitehnikale osutunud ZFC-s otsustamatuks, eriti kasutades iteratiivset sundimist ja mõnikord koos suurte kardinalidega, võime mainida mõõtmisteoorias mõõteprobleemi ja Boreli-oletust, Kaplansky oletust Banachi algebrate kohta ja Whiteheadi probleem rühmateoorias.

9. Uute aksioomide otsimine

50-aastase sunnitehnika arendamise ja selle rakenduste abil matemaatika paljudes avatud probleemides on nüüd praktiliselt kõigis matemaatikavaldkondades sõna otseses mõttes tuhandeid küsimusi, mis on näidatud ZFC-st sõltumatult. Need hõlmavad peaaegu kõiki küsimusi loendamatu komplektide struktuuri kohta. Võib öelda, et otsustamatuse nähtus on levinud, niikaugele, et loendamatu uurimine on peaaegu ZFC-s peaaegu võimatuks muudetud (tähelepanuväärsete erandite kohta vaata siiski Shelah (1994)).

See paneb küsima ZFC otsustamata avalduste tõeväärtuse kohta. Kas peaks olema rahul sellega, et nad on vaieldamatud? Kas on üldse mõistlik küsida nende tõeväärtust? Sellele on mitu võimalikku reaktsiooni. Üks on skeptiku seisukoht: ZFC-s otsustamatutel väidetel pole kindlat vastust; ja need võivad olla isegi olemuselt ebamäärased. Teine, matemaatikute seas levinud seisukoht on Gödeli seisukoht: otsustamatus näitab vaid seda, et ZFC süsteem on neile küsimustele vastamiseks liiga nõrk, ja seetõttu tuleks neile otsida uusi aksioome, mis kunagi ZFC-le lisandusid. Uute aksioomide otsimine on olnud tuntud kui Gödeli programm. Programmi põhjaliku filosoofilise arutelu leiate Hauserist (2006),ning ka kanne suurte kardinalide kohta ja määramine filosoofilistest kaalutlustest komplekti teooria uute aksioomide õigustamiseks.

Seega on kogumiteooria keskne teema uute aksioomide otsimine ja klassifitseerimine. Praegu jagunevad need kahte tüüpi: suurte kardinalide aksioomid ja sunnivad aksioomid.

10. Suured kardinalid

ZFC-s ei saa tõestada, et eksisteerib regulaarne piirkardinal (kappa), sest kui (kappa) on selline kardinal, siis (L_ / kappa) on ZFC mudel ja seega ZFC tõestada enda järjekindlust, olles vastuolus Gödeli teise puudulikkuse teoreemiga. Seega tuleb regulaarse piirkardinaali olemasolu uue aksioomina postuleerida. Sellist kardinalit nimetatakse nõrgalt ligipääsmatuks. Kui lisaks on (kappa) kindel piir, st (2 ^ / lambda <\ kappa) iga kardinaali (lambda <\ kappa) jaoks, siis (kappa) on nimetatakse tugevalt ligipääsmatuks. Kardinal (kappa) on tugevalt ligipääsmatu siis ja ainult siis, kui see on korrapärane ja (V_ / kappa) on ZFC mudel. Kui GCH omab, siis on iga nõrgalt ligipääsmatu kardinal tugevalt ligipääsmatu.

Suured kardinalid on loendamatud kardinalid, kes vastavad mõnele omadusele, mis teeb neist väga suured ja mille olemasolu ei saa ZFC-ga tõestada. Esimene nõrgalt ligipääsmatu kardinal on kõigist suurtest kardinalidest väikseim. Lisaks juurdepääsematutele kardinalidele on rikkalik ja keeruline mitmesuguseid suuri kardinalid, mis moodustavad lineaarse hierarhia konsistentsi tugevuse ja paljudel juhtudel ka otsese implikatsiooni osas. Lisateavet leiate iseseisvuse ja suurte kardinalide sissekandest.

Järgmise tugevama suure kardinali mõiste sõnastamiseks ütleme, et lõpmatu kardinaali (kappa) alamhulk (C) on suletud, kui (C) elementide iga piir on ka (C); ja on piiramatu, kui iga (alpha <\ kappa) jaoks on olemas (beeta / C-keeles), mis on suurem kui (alpha). Näiteks piirmäärmete komplekt, mis on väiksem kui (kappa), on suletud ja piiramatu. Samuti nimetatakse (kappa) alamhulka (S) statsionaarseks, kui see ristub iga (suletud) piiramata alamhulgaga. Kui (kappa) on korrapärane ja loendamatu, on statsionaarse komplekti näide kõigi käskude kogum, mis on väiksem kui (kappa) ühiskondlikkus (omega). Tavalist kardinali (kappa) nimetatakse Mahlo, kui tugevalt ligipääsmatute kardinalide komplekt, mis on väiksem kui (kappa), on paigal. Seegaesimene Mahlo kardinal on palju suurem kui esimene tugevalt ligipääsmatu kardinal, kuna on (kappa) - paljud tugevalt ligipääsmatud kardinalid on väiksemad kui (kappa).

Palju tugevamad suured kardinalmõisted tulenevad tugevate peegeldusomaduste arvestamisest. Tuletame meelde, et peegeldamispõhimõte (punkt 4), mis on tõestatav ZFC-s, kinnitab, et kõik tõesed laused (st kõik laused, mis hoiavad asukohta (V)) on tõesed mõnes (V_ / alpha). Selle põhimõtte tugevdamine teise järgu lauseteks annab mõned suured kardinalid. Näiteks on (kappa) raskesti juurdepääsetav siis ja ainult siis, kui iga (Sigma ^ 1_1) lause (st eksistentsiaalne teise järgu lause komplekti teooria keeles koos ühe täiendava predikaatmärgiga) vastab tõele ükskõik millises vormi struktuur ((V_ / kappa, / in, A)), kus (A / subseteq V_ / kappa), vastab tõele mõnes ((V_ / alpha, / in, A / cap V_ / alpha)) koos (alpha <\ kappa). Sama tüüpi peegeldus, kuid nüüd (Pi ^ 1_1) lausete puhul (st universaalsed teise järgu laused),annab palju tugevama (kappa) kardinaalse omaduse, mida nimetatakse nõrgaks kompaktsuseks. Iga nõrgalt kompaktne kardinal (kappa) on Mahlo ja Mahlo kardinalide komplekt, mis on väiksem kui (kappa), on paigal. Lubades peegeldada keerukamaid teise või veelgi kõrgema astme lauseid, saadakse suured kardinaalsed mõisted, mis on tugevamad kui nõrk kompaktsus.

Kõige kuulsamad suured kardinalid, mida nimetatakse mõõdetavateks, avastas Stanisław Ulam 1930. aastal meetmeprobleemi lahendamise tulemusel. Kardinaalsel (kappa) (kahe väärtusega) mõõdul ehk ultrafiltril on (matemaatilise {P} (kappa)) alamhulk (U), millel on järgmised omadused: (i) (U) mis tahes kahe elemendi ristumiskoht on (U); (ii) kui (X / U / -s) ja (Y) on (kappa) alamhulk, nii et (X / subseteq Y), siis (Y / U / -s); ja (iii) iga (X / subseteq / kappa) puhul kas (X / U / -s) või (kappa -X / U-s), kuid mitte mõlemat. Mõõdet (U) nimetatakse (kappa) - täielik, kui (U) elementide vähem kui (kappa) elementide ristmik asub ka (U). Ja mõõtu nimetatakse põhiprintsiibiks, kui puudub (alpha <\ kappa), mis kuuluks kõigi (U) elementide hulka. Kardinaali (kappa) nimetatakse mõõdetavaks, kui (kappa) -l on mingi mõõde, mis on (kappa) - täielik ja põhiprintsiibita.

Mõõdetavaid kardinaale saab iseloomustada universumi (V) elementaarsete manustamistega mõnda transitiivsesse klassi ((M)). Et selline manustamine (j: V / kuni M) on elementaarne, tähendab, et (j) säilitab tõe, st iga komplekti keele valemi (varphi (x_1, / ldots, x_n)) jaoks teooria ja iga (a_1, / ldots, a_n) lause (varphi (a_1, / ldots, a_n)) mahub (V) ainult siis, kui (varphi (j (a_1)), / ldots, j (a_n))) mahub (M). Selgub, et kardinal (kappa) on mõõdetav siis ja ainult siis, kui on olemas elementaarset manustamist (j: V / kuni M) koos (M) transitiiviga, nii et (kappa) on esimene ordinal, mida liigutab (j), st esimene ordinal, nii et (j (kappa) ne / kappa). Me ütleme, et (kappa) on (j) kriitiline punkt, ja kirjutame (crit (j) = / kappa). Manustamine (j) on määratletav (kappa) abil - (kappa) täielikust põhiprintsiibist, kasutades niinimetatud ülivõimsuse konstruktsiooni. Ja kui (j: V / kuni M) on elementaarne manustamine, kus (M) on transitiivsed ja (kappa = crit (j)), siis komplekt (U = {X / subseteq / kappa: / kappa / in j (X) }) on (kappa) - täielik (kuid mitte põhiline) ultrafilter saidil (kappa). Selliselt meetodilt (j) saadud suurust (U) nimetatakse normaalseks.

Iga mõõdetav kardinal (kappa) on nõrgalt kompaktne ja palju on nõrgalt kompaktseid kardinaale, mis on väiksemad kui (kappa). Tegelikult on allpool (kappa) palju kardinali, mis on täiesti kirjeldamatud, st peegeldavad kõiki lauseid, mis tahes keerukusega ja mis tahes kõrgema astme keeles.

Kui (kappa) on mõõdetav ja (j: V / kuni M) antakse ülivõimsuse konstruktsiooni abil, siis (V_ / kappa / subseteq M) ja iga pikkuse jada on väiksem või võrdne (M) elementide (kappa) kuulub (M). Seega on (M) üsna sarnane (V) -ga, kuid see ei saa olla (V) ise. Tõepoolest, Kenneth Kuneni kuulus teoreem näitab, et (j: V / kuni V) ei saa olla muud elementaarset manustamist kui triviaalne, st identiteet. Kõik selle tulemuse teadaolevad tõendid kasutavad valiku aksioomi ja aksioomi vajalikkus on oluline lahendamata küsimus. Kuneni teoreem avab ukse mõõdetavusest tugevamate kardinaalsete mõistete sõnastamiseks, nõudes, et (M) oleks lähemal (V) -le.

Näiteks nimetatakse (kappa) tugevaks, kui iga ordinaalse (alpha) jaoks on olemas elementaarset manustamist (j: V / kuni M), mõne (M) transitiivset, näiteks et (kappa = crit (j)) ja (V_ / alpha / subseteq M).

Teine oluline ja palju tugevam suur kardinalmõiste on ülivõime. Kardinal (kappa) on ülitihe, kui iga (alpha) jaoks on olemas elementne manustamine (j: V / kuni M) koos (M) transitiivse ja kriitilise punktiga (kappa), nii et (j (kappa)> / alpha) ja iga elementide jada pikkusega (M) (alpha) kuulub (M).

Woodini kardinalid jäävad tugeva ja superkompakti vahele. Iga ülikompaktne kardinal on Woodin ja kui (delta) on Woodin, siis (V_ / delta) on ZFC mudel, milles on olemas tugev klass tugevaid kardinali. Seega, kuigi Woodini kardinal (delta) ei pea ise olema väga tugev - esimene pole isegi nõrgalt kompaktne -, tähendab see paljude (V_ / delta) kardinalide olemasolu.

Lisaks ülitihedatele kardinalidele leiame laiendatavad kardinalid, tohutud, ülisuured jne.

Kuneni teoreem mittetriviaalse elementaarse manustamise olemuse kohta (j: V / kuni V) näitab tegelikult, et elementaarset manustamist ei saa olla (j: V _ { lambda +2} V _ { lambda +2}) erineb identiteedist mis tahes (lambda) jaoks.

Tugevamad suured kardinaalsed arusaamad, mis pole teada, et need on vastuolulised, on Modulo ZFC, järgmised:

  • Seal on identiteedist erinev elementide manustamine (j: V _ { lambda +1} kuni V _ { lambda +1}).
  • Esineb elementaarset manustamist (j: L (V _ { lambda +1}) kuni L (V _ { lambda +1})), mis erineb identiteedist.

Suured kardinalid moodustavad kasvava järjepidevuse tugevusega lineaarse hierarhia. Tegelikult on need matemaatiliste teooriate tõlgendatavuse hierarhia sammud. Lisateavet leiate iseseisvuse ja suurte kardinalide sissekandest. Mis tahes lause (varphi) korral on teooria ZFC plus (varphi) kohta täpselt üks kolmest järgmisest võimalusest:

  • ZFC plus (varphi) on ebajärjekindel.
  • ZFC plus (varphi) on võrdses vastavuses ZFC-ga.
  • ZFC plus (varphi) on võrdeline ZFC pluss mõne suure kardinali olemasoluga.

Nii saab suurte kardinalide abil tõestada, et antud lause (varphi) ei tähenda teist lauset (psi), modulo ZFC, näidates, et ZFC pluss ((psi)) tähendab mõnede järjepidevust. suur kardinal, samas kui ZFC plus (varphi) on järjekindel, kui eeldada väiksema suure kardinali olemasolu või eeldada lihtsalt ZFC järjepidevust. Teisisõnu, (psi) on suurema konsistentsitugevusega kui (varphi), modulo ZFC. Siis ei suuda Gödeli teise puudulikkuse teoreemi järgi ZFC plus (varphi) tõestada (psi), eeldades, et ZFC plus (varphi) on järjekindel.

Nagu me juba märkisime, ei saa ZFCs tõestada suurte kardinalide olemasolu. Kuid kõik näitab, et nende olemasolu mitte ainult ei saa ümber lükata, vaid tegelikult on nende olemasolu eeldamine seatud teooria väga mõistlik aksioom. Esiteks on nende järjepidevuse kohta palju tõendeid, eriti nende suurte kardinalide jaoks, kelle jaoks on võimalik konstrueerida sisemudel.

10.1 Suurte kardinalide sisemudelid

ZFC sisemudel on transitiivne õige klass, mis sisaldab kõiki käske ja vastab kõigile ZFC aksioomidele. Seega on (L) väikseim sisemudel, samas kui (V) on suurim. Mõned suured kardinalid, näiteks juurdepääsematud, Mahlo või nõrgalt kompaktsed, võivad asukohas (L) olemas olla. See tähendab, et kui (kappa) on üks neist suurtest kardinaalsetest omadustest, siis on sellel ka omadus (L). Kuid mõnda suurt kardinali ei saa asukohas (L) eksisteerida. Scott (1961) näitas tõepoolest, et kui on olemas mõõdetav kardinal (kappa), siis (V / ne L). Oluline on tähele panna, et (kappa) kuulub (L), kuna (L) sisaldab kõiki käske, kuid see ei ole mõõdetav (L), kuna (kappa) - (kappa) täielikku põhiprintsiibi ei saa seal eksisteerida.

Kui (kappa) on mõõdetav kardinal, saab konstrueerida (L) - sarnase mudeli, milles (kappa) on mõõdetav, võttes (kappa) - täielik põhiprintsiip ja tavaline mõõt (U) peal (kappa) ja jätkates nagu (L) määratluses, kuid kasutades nüüd täiendava predikaadina (U). Saadud mudel nimega (L [U]) on ZFC sisemudel, milles (kappa) on mõõdetav ja tegelikult (kappa) on ainus mõõdetav kardinal. Mudel on kanooniline selles mõttes, et mis tahes muu normaalne meede, mis näitab (kappa) mõõdetavust, annaks sama mudeli ja sellel oleks palju (L) omadusi. Näiteks on sellel reaalainete projekteerimine hästi ja see vastab GCH-le.

Sarnaste (L) -laadsete mudelite ehitamine tugevamate suurte kardinalide, näiteks tugevate või Woodini jaoks on palju raskem. Need mudelid on kujul (L [E]), kus (E) on laiendite jada, kusjuures iga laiend on mõõtesüsteem, mis kodeerib asjakohaseid elementaarseid manuseid.

Siiani saadud suurimad (L) -taolised suurte kardinalide sisemudelid võivad sisaldada Woodini kardinalide Woodini piirmäärasid (Neeman 2002). (L) -taolise mudeli ehitamine ülikompaktsele kardinalile on siiski endiselt väljakutse. Superkompaktne barjäär näib olevat ülioluline, sest Woodin on näidanud, et mingi (L) - nagu sisemudel superkompaktiga kardinalile, mida ta nimetab ülimaks - (L), kõigi tugevamate suurte kardinalide jaoks, kes võivad eksisteerida versioonis (V), näiteks laiendatav, tohutu, I1 jne eksisteeriksid ka mudelis. Ultimate - (L) ehitamine on endiselt lõpetamata ja veel pole selge, kas see õnnestub, sest see tugineb mõnele tehnilisele hüpoteesile, mida tuleb kinnitada.

10.2 Suurte kardinalide tagajärjed

Suurte kardinalide olemasolul on dramaatilised tagajärjed isegi lihtsalt määratletavate väikeste komplektide jaoks, nagu reaalarvude projektiivsed kogumid. Näiteks tõestas Solovay (1970), eeldades, et eksisteerib mõõdetav kardinal, et kõik (mathbf { Sigma} ^ 1_2) reaalarved on Lebesgue'iga mõõdetavad ja omavad Baire'i omadust, mida ei saa ainult ZFC-ga tõestada.. Ja Shelah ja Woodin (1990) näitasid, et Woodini kardinalide õige klassi olemasolu tähendab, et (L (mathbb {R})) teooriat, isegi kui parameetrid on reaalarvud, ei saa sundimisega muuta, mis tähendab, et kõik reaalarvude komplektid, mis kuuluvad (L (mathbb {R})), on korrapärased. Lisaks tõestasid nõrgema suure kardinali hüpoteesi, nimelt lõpmata arvukate Woodini kardinalide olemasolu kohta, Martin ja Steel (1989), et iga projektiline reaalarvude komplekt on kindlaks määratud, s.t.nt PD aksioom peab kinni, seega on kõik projektiivkomplektid korrapärased. Veelgi enam, Woodin näitas, et lõpmata paljude Woodini kardinalide olemasolu, lisaks kõigi ees mõõdetav kardinal, tähendab, et (L (mathbb {R})) iga rearealade komplekt on kindlaks määratud, st aksioom (AD ^ {L (mathbb {R})}) hoiab, seega on kõik reale numbrite komplektid, mis kuuluvad (L (mathbb {R})), ja seetõttu kõik projektiivsed komplektid, regulaarsed. Ta näitas ka, et Woodini kardinalid pakuvad optimaalseid suuri kardinalseid eeldusi, tõestades, et järgmised kaks väidet:seega on kõik reaalse arvu numbrid, mis kuuluvad (L (mathbb {R})), ja seetõttu kõik projektiivsed komplektid, regulaarsed. Ta näitas ka, et Woodini kardinalid pakuvad optimaalseid suuri kardinalseid eeldusi, tõestades, et järgmised kaks väidet:seega on kõik reaalse arvu numbrid, mis kuuluvad (L (mathbb {R})), ja seetõttu kõik projektiivsed komplektid, regulaarsed. Ta näitas ka, et Woodini kardinalid pakuvad optimaalseid suuri kardinalseid eeldusi, tõestades, et järgmised kaks väidet:

  1. Seal on ääretult palju Woodini kardinali.
  2. (AD ^ {L ({ Bbb R})}).

on võrdses järjekorras, st ZFC pluss 1 on ühtlane siis ja ainult siis, kui ZFC pluss 2 on ühtlane. Lisateavet ja seotud tulemusi leiate sisendist suurte kardinalide ja määramise kohta.

Teine valdkond, kus suurtel kardinalidel on oluline roll, on ainsuse kardinalide eksponentsiaal. Niinimetatud ainsuse kardinaalne hüpotees (SCH) määrab täielikult ainsuse kardinalide eksponentsiaalse käitumise käitumise, modulo eksponentsiaalse käitumise tavaliste kardinalide puhul. SCH tuleneb GCH-st ja seega kehtib ka (L). SCH tagajärg on, et kui (2 ^ { aleph_n} <\ aleph_ / omega) kõigi piiratud (n) korral, siis (2 ^ { aleph _ { omega}} = / aleph_ { omega +1}). Seega, kui GCH hoiab kardinalide puhul väiksemat kui (aleph_ / omega), siis hoiab see ka asukohta (aleph_ / omega). SCH hoiab ülal esimest ülivõimsat kardinali (Solovay). Kuid Magidor (1977) näitas, et kui arvestada suurte kardinalide olemasolu, siis on võimalik luua ZFC mudel, kus GCH ebaõnnestub kõigepealt (aleph_ / omega), seega ka SCH ebaõnnestub. Selleks on tegelikult vaja suuri mõõdetavatest kardinalidest suuremaid. Vastupidiselt aga piisab ainult ZFC-st, et tõestada, et kui SCH kehtib kõigi kardinalide jaoks, mis on väiksemad kui (aleph _ { omega_1}), siis kehtib see ka (aleph _ { omega_1}) kohta. Veelgi enam, kui SCH kehtib kõigi loendatava kaasfinantsusega ainsuste kardinalide kohta, siis kehtib see kõigi ainsuse kardinalide kohta (Hõbe).

11. Sunnitud aksioomid

Sunniviisilised aksioomid on komplekti teooria aksioomid, mis kinnitavad, et teatavad eksistentsiaalsed avaldused on kõigi komplektide universumi (V) ja selle (ideaalse) sundlaiendite vahel absoluutsed, st mõned eksistentsiaalsed avaldused, mis kehtivad mõnes (V) on tõsi juba rakenduses (V). Esimese sunniviisilise aksioomi sõnastas Donald Martin pärast Solovay-Tennenbaumi tõendit Suslini hüpoteesi järjekindluse kohta ja nüüd on see tuntud kui Martini aksia (MA). Enne kui me seda väidame, ütleme, et osaline tellimine on tühi hulk (P) koos binaarse seosega (leq) saidil (P), mis on refleksiivne ja transitiivne. (P) kahte elementi, (p) ja (q), nimetatakse ühilduvaks, kui on olemas (r / in P), näiteks (r / leq p) ja (r / leq q). (P) antikeha on (P) alamhulk, mille elemendid on paaris-ühildumatud. Osalist tellimist (P) nimetatakse ccc-ks, kui iga (P) antikeha on loendatav. (P) mittetühja alamhulka (G) nimetatakse filtriks, kui (i) (G) kõik kaks elementi on ühilduvad ja (ii) kui (p / G-is) ja (p / leq q), siis ka (q / G-is). Lõpuks nimetatakse (P) alamhulka (D) tihedaks, kui iga (p / in P) jaoks on (q / in D) selline, et (q / leq p).

MA väidab järgmist:

Iga ccc osalise tellimise (P) ja iga komplekti ({D_ / alpha: / alpha <\ omega_1 }) tihedate alamhulkade (P) korral on olemas filter (G / subseteq P), mis on komplekti jaoks üldine, st (G / cap D_ / alpha / ne { varnothing}) kõigi (alpha <\ omega_1) jaoks.

Martin ja Solovay (1970) tõestasid, et MA on kooskõlas ZFC-ga, kasutades korduvat sundimist koos ccc-omadusega. Esmapilgul ei pruugi MA tunduda aksioomina, nimelt ilmse või vähemalt mõistliku väitena komplektide kohta, vaid pigem tehnilise avaldusena CCS-i osaliste tellimuste kohta. See näib topoloogilises plaanis väljendatuna siiski loomulikum, sest see on lihtsalt tuntud Baire'i kategooria teoreemi üldistus, mis väidab, et igas kompaktses Hausdorffi topoloogilises ruumis on arvestatavalt paljude tihedate avatud komplektide ristumiskoht mitte- tühi. MA võrdub tõepoolest:

Igas kompaktses Hausdorff ccc topoloogilises ruumis on (aleph_1) - paljude tihedate avatud komplektide ristumiskoht mittetühi.

Magistrikraadil on palju erinevaid samaväärseid formulatsioone ja seda on kasutatud väga edukalt suure hulga lahtiste probleemide lahendamiseks teistes matemaatikavaldkondades. Näiteks vihjab see Suslini hüpoteesile ja et iga (mathbf { Sigma} ^ 1_2) rearealade komplekt on Lebesgue'iga mõõdetav ja sellel on Baire'i omadus. See tähendab ka CH eitust ja et (2 ^ { aleph_0}) on tavaline kardinal, kuid ta ei otsusta, milline kardinal see on. MA ja muude samaväärsete preparaatide veel paljude tagajärgede kohta vt Fremlin (1984). Hoolimata sellest, on MA staatuse aksioomina endiselt ebaselge. Võib-olla on kõige loomulikum MA sõnastus, lähtudes selle lähtepunktist, peegelduse mõttes. HC kirjutamine pärilikult loendatavate komplektide komplektile (st loendatavad komplektid, mille elemendid on loendatavad, mille elemendid on samuti loendavad,ja nii edasi), MA on samaväärne:

Kui iga ccc osaline tellimine (P), kui eksistentsiaalne avaldus (HC) kohta on (V) (ideaalses) üldlaiendis, mis on saadud sundimisega (P), siis on väide tõene, st see mahub (V). Teisisõnu, kui komplekt, millel on omadus, mis sõltub ainult (HC) komplektidest, eksisteerib mõnes (ideaalses) üldlaiendis ((V)), mis on saadud sundides ccc-ga osalist tellimist, siis komplekt, millel on see omadus on juba olemas (V).

(V) ideaalse geneerilise laienduse mõiste saab täpsustada niinimetatud tõeväärtusega mudelite osas, mis pakuvad sundimise alternatiivset versiooni.

MA-st palju tugevamad sunniviisilised aksioomid viidi sisse 1980ndatel, näiteks J. Baumgartneri korraliku sundimise aksioom (PFA) ning Foremani, Magidori ja Shelahi (1988) tugevam Martini maksimum (MM), mis on sisuliselt võimalikult tugev sundimine. aksioom. Nii PFA kui ka MM on superkompaktse kardinali olemasolu suhtes ühtlased. PFA väidab sama, mis MA, kuid osaliste tellimuste korral, mille omadus on nõrgem kui Shecc'i kehtestatud ccc-l, nõrgemate omadustega. Ja MM kinnitab sama osalise tellimuse laiemale klassile, mis koos nendega sundimisel ei hävita (omega_1) statsionaarseid alamhulki.

Tugevad sunniviisilised aksioomid, näiteks PFA ja MM, tähendavad, et kõik projektiivsed reaalide komplektid on kindlaks määratud (PD), ja sellel on palju muid tugevaid tagajärgi lõpmatus kombinatoorikas. Need tähendavad nimelt, et pidevuse kardinaalsus on (aleph_2).

Bibliograafia

  • Bagaria, J., 2008, “Set Theory”, Princetoni kaaslane matemaatikale, toimetaja Timothy Gowers; Juuni Barrow-Green ja Imre Leader, kaastöötajad. Princeton: Princeton University Press.
  • Cohen, PJ, 1966, Set Theory and Continuum Hüpotees, New York: WA Benjamin, Inc.
  • Enderton, HB, 1977, Set Theory Elements, New York: Academic Press.
  • Ferreirós, J., 2007, mõtte labürint: setteooria ajalugu ja selle roll tänapäevases matemaatikas, teine muudetud väljaanne, Basel: Birkhäuser.
  • Foreman, M., M. Magidor ja S. Shelah, 1988, “Martini maksimaalsed, küllastunud ideaalid ja mitteregulaarsed ultrafiltrid”, I osa, Matemaatika Annals, 127: 1–47.
  • Fremlin, DH, 1984, “Martini aksiomi tagajärjed”, Cambridge'i traktaadid matemaatikas nr 84. Cambridge: Cambridge University Press.
  • Gödel, K., 1931, “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”, “Monatshefte für Mathematik Physik, 38: 173–198. Ingliskeelne tõlge Gödel 1986, 144–195.
  • –––, 1938, „Valitud aksioomi ja üldise pidevuse hüpoteesi järjepidevus“, USA Riikliku Teaduste Akadeemia toimetised, 24: 556–557.
  • –––, 1986, Kogutud teosed I. Väljaanded 1929–1936, S. Feferman jt. (toim), Oxford: Oxford University Press.
  • Hauser, K., 2006, “Gödeli programm vaadati uuesti läbi, I osa: Pöörd fenomenoloogia poole”, Sümboolse loogika bülletään, 12 (4): 529–590.
  • Jech, T., 2003, komplekti teooria, 3. väljaanne, New York: Springer.
  • Jensen, RB, 1972, “Konstrueeruva hierarhia peenstruktuur”, Annals of Mathematical Logic, 4 (3): 229–308.
  • Kanamori, A., 2003, Kõrgem lõpmatu, teine trükk. Monograafiad Springerist matemaatikas, New York: Springer.
  • Kechris, AS, 1995, klassikaline kirjeldav kogumiteooria, matemaatika lõputunnistused, New York: Springer Verlag.
  • Kunen, K., 1980, Set Theory, Sissejuhatus iseseisvuse tõenditesse, Amsterdam: Põhja-Holland.
  • Levy, A., 1960, “Tugeva lõpmatuse aksioomiskeemid aksiomaatilise komplekti teoorias”, Pacific Journal of Mathematics, 10: 223–238.
  • –––, 1979, põhikomplekti teooria, New York: Springer.
  • Magidor, M., 1977, “Ainsuse kardinalide probleem, II”, Annals of Mathematics, 106: 514–547.
  • Martin, DA ja R. Solovay, 1970, “Sisemised Coheni pikendused”, Annals of Mathematical Logic, 2: 143–178.
  • Martin, DA ja JR Steel, 1989, “Projektiivse määramise tõend”, American Mathematical Society ajakiri, 2 (1): 71–125.
  • Mathias, ARD, 2001, “Zermelo komplektiteooria õhukesed mudelid”, Journal of Symbolic Logic, 66: 487–496.
  • Neeman, I., 2002, “Sisemudelid Woodini kardinalide Woodini piiril”, Annals of Pure and Applied Logic, 116: 67–155.
  • Scott, D., 1961, “Mõõdetavad kardinalid ja kokkupandavad komplektid”, Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques, 9: 521–524.
  • Shelah, S., 1994, “Cardinal Arithmetic”, Oxford Logic Guides, 29, New York: The Clarendon Press, Oxford University Press.
  • –––, 1998, Õige ja vale sundimine, 2. trükk, New York: Springer-Verlag.
  • Shelah, S. ja WH Woodin, 1990, “Suured kardinalid tähendavad, et iga mõistlikult määratletav reaalide komplekt on Lebesgue'iga mõõdetav”, Israel Journal of Mathematics, 70 (3): 381–394.
  • Solovay, R., 1970, “Komplekti teooria mudel, milles iga rearealade komplekt on Lebesgue'iga mõõdetav”, Annals of Mathematics, 92: 1–56.
  • Solovay, R. ja S. Tennenbaum, 1971, “Itenreeritud Coheni pikendused ja Souslini probleem”, Annals of Mathematics (2), 94: 201–245.
  • Todorcevic, S., 1989, “Jaotusprobleemid topoloogias”, Kaasaegne matemaatika, köide 84. American Mathematical Society.
  • Ulam, S., 1930, 'Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre', Fundamenta Mathematicae, 16: 140–150.
  • Woodin, WH, 1999, Määramise aksioom, aksioome sundides ja mittestatsionaarne ideaal, De Gruyteri seeria loogika ja selle rakendused 1, Berliin-New York: Walter de Gruyter.
  • –––, 2001, „Jätkuv hüpotees, I osa“, AMSi teated, 48 (6): 567–576 ja „Jätkuv hüpotees, II osa“, AMSi teated 48 (7): 681–. 690.
  • Zeman, M., 2001, Sisemudelid ja suured kardinalid, De Gruyteri seeria loogika ja selle rakendused 5, Berliin-New York: Walter de Gruyter.
  • Zermelo, E., 1908, “Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I”, Mathematische Annalen 65: 261–281. Kordustrükis Zermelo 2010: 189–228, eestikeelse ingliskeelse tõlkega ja Ulrich Felgneri sissejuhatusega (2010). Ingliskeelne tõlge ka van Heijenoortis 1967: 201–215.

Akadeemilised tööriistad

sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon
info ikoon
Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon
phil paberite ikoon
Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid