Märge Põhimõttes Principia Mathematica

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-11-26 16:07

Sisenemise navigeerimine

• Sissesõidu sisu
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Sõprade PDF-i eelvaade
• Teave autori ja tsitaadi kohta
• Tagasi üles

Märge põhimõttes Principia Mathematica

Esmakordselt avaldatud 19. augustil 2004; sisuline redaktsioon Pühap 17. juuli 2016

AN Whitehead ja Bertrand Russell, Principia Mathematica, avaldas 1910–1913 Cambridge University Pressi kolmes köites, sisaldab suure osa matemaatika tuletisi, kasutades mõisteid ja sümboolse loogika põhimõtteid. Selle töö märkused on asendatud hilisema loogika arenguga 20. ^sajandilsajandil, niivõrd, kui algajal on üldse probleeme PM-i lugemisega. See artikkel annab sissejuhatuse PM sümboolikasse, näidates, kuidas seda sümboolikat saab muuta tänapäevasemaks märkeks, mis peaks olema tuttav kõigile, kellel on sümboolika loogika esimene kursus. Seda tõlget pakutakse abiks originaalse notatsiooni õppimisele, mis ise on teadusliku vaidluse objekt ja kehastab sisulisi loogilisi õpetusi, nii et seda ei saa lihtsalt asendada tänapäevase sümboolikaga. Seejärel on märkuse õppimine esimene samm Principia Mathematica eripäraste loogiliste doktriinide õppimiseks.

• 1. Miks õppida sümboolikat Principia Mathematical?
• 2. Primitiivsed sümbolid

• 3. Punktide kasutamine kirjavahemärkide jaoks

  • 3.1 Mõned põhinäited
  • 3.2 Ühendusjõud
  • 3.3 Veel näiteid
• 4. Esialgsed funktsioonid

• 5. Tüüpide ja tellimuste puuduv märge

  • 5.1 Lihtsad tüübid
  • 5.2 Rahuldatud tüübid
• 6. Muutujad
• 7. Ennustatavad funktsioonid ja identiteet
• 8. Kindlad kirjeldused
• 9. klassid
• 10. Prolegomena kardinali aritmeetikast
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. Miks õppida sümboolikat Principia Mathematical?

Principia Mathematica [PM] kirjutasid Alfred North Whitehead ja Bertrand Russell ühiselt mitme aasta jooksul ja see avaldati kolmes köites, mis ilmusid aastatel 1910–1913. See tutvustab sümboolse loogika süsteemi ja pöördub seejärel matemaatika aluste poole loogikaprojekt matemaatiliste mõistete määratlemiseks loogiliste mõistetena ja matemaatika kui loogika teoreemide põhiaksioomide tõestamine. Ehkki loogika, matemaatikafilosoofia ja laiemas mõttes varajase analüütilise filosoofia arendamisel on tohutu tähtsus, ei uurita tööd enam nende teemade jaoks. Selle tulemusel on teose märkimine muutunud kaasaegsetele loogikatudengitele võõraks ja see on saanud takistuseks Principia Mathematica uurimisel.

Selle sissekande eesmärk on aidata PM-i üliõpilasel lugeda teose sümboolset osa. Järgnevalt on toodud sümboolika osaline tõlkimine tänapäevasemaks märkeks, mis peaks olema tuttav teiste selle entsüklopeedia artiklitega ja mis on sümboolse loogika tänapäevastes õpikutes üsna tavaline. Täielikku algoritmi ei pakuta, pigem on ette nähtud mitmesugused soovitused, mis aitaksid lugejal õppida PM sümboolikat. Paljusid tõlgendamisprobleeme saaks otsustada ainult siis, kui kasutataks kaasaegset notatsiooni, ja paljud märkused, mis on omane ainult PM-le, sõltuvad sellest märkest. Allpool näeme koos märkuse mõne vaieldavama aspektiga, et sisulised õpetused on integreeritud PM märkesse. Märgise asendamine moodsama sümboolikaga muudaks järsult raamatu sisu.

2. Primitiivsed sümbolid

Altpoolt leiab lugeja järgmiste sümbolite kirjelduse PM-vormingus järjekorras, mida kirjeldatakse lühidalt. Üksikasjalikum teave on järgmine:

∗	hääldatakse “täht”; tähistab numbrit või peatükki nagu in 1 või ∗ 20.
·	tsentreeritud punkt (vana Briti koma); tähistab nummerdatud lauset esimese numbri järjekorras (kõik 0-d eelnevad 1-le jne), seejärel teine number jne. ∗ 1 esimesed määratlused ja ettepanekud illustreerivad seda leksikograafilist järjekorda: 1 · 01, 1 · 1, 1 · 11, 1 · 2, 1 · 3, 1 · 4, 1 · 5, 1 · 6, 1 · 7, 1, 71, 1, 72.
(vdash)	kinnitusmärk; tähistab väidet, kas aksioomi (st primitiivset väidet, millele on lisatud ka märkus “(Pp)”) või teoreemi.
(Df)	määratlusmärk; järgib määratlust.
(.), \(:), \(:.), \(::), jne.	on punktid, mida kasutatakse kirjavahemärkide piiritlemiseks; kaasaegses loogikas kasutame (), , ({ }) jne.
(p, q, r) jne	on pakkumismuutujad.
(lor), (supset), (osim), (equiv), (sdot)	on tuttavad senentsiaalsed ühendused, vastavalt vastavalt kas “või”, “kui-siis”, “ei”, “siis ja ainult siis” ja “ja”. [PM-i teises väljaandes 1925–27 on Shefferi löök “(mid)” üks ürgsemaid ühendusi. See tähendab “mitte nii… kui ka _”.]
(x, y, z) jne	on üksikud muutujad, mida tuleb lugeda “tüüpilise mitmetähenduslikkusega”, st täidetavate loogiliste tüüpidega (vt allpool).
(a, b, c) jne	on individuaalsed konstandid ja tähistavad indiviide (madalaimat tüüpi). Need esinevad ainult PM sissejuhatuses ja mitte ametlikus süsteemis.
(xRy, aRb, R (x)) jne	on aatomi ennustused, milles muutujate või konstandite nimetatud objektid seisavad seostes ((R)) või neil on omadus ((R)). Need esinevad ainult sissejuhatuses. „(A)” ja „(b)” esinevad konstantidena ainult teises väljaandes. Ennustusi (R (x), R (x, y)) jne kasutatakse ainult teises väljaandes.
(phi), (psi), (chi) jne ja (f, g) jne.	on muutujad, mis ulatuvad pakkumisfunktsioonide vahel, olenemata sellest, kas need funktsioonid on lihtsad või keerulised.
(phi x), (psi x), (phi (x, y)) jne	avatud aatomi valemid, milles nii “(x)” kui ka “(phi)” on vabad. [Alternatiivne tõlgendus on vaadata vaadet “(phi x)” skemaatilise tähena, mis tähistab valemit, milles muutuja “(x)” on vaba.]
(müts { fantoom {x}})	ümbermõõt; kui see asetatakse muutuja kohale avatud valemis (nagu jaotises / \ / \ / {{}}), saadakse funktsiooni termin. [See küsimus on vaieldav. Vt Landini 1998.] Kui ümberlõigatud muutuja eelneb keerukale muutujale, näitab tulemus klassi, nagu (hat {x} phi x).
(phi / hat {x}, / psi / hat {x}, / phi (hat {x}, / hat {z}),) jne	Pakkumisfunktsioonide tingimused. Siin on näiteid selliste konstantsete mõistete kohta: "(hat {x}) on õnnelik", "(hat {x}) on kiilas ja (hat {x}) on õnnelik", “(4 / lt / hat {x} lt 6)” jne. Kui rakendame näiteks funktsiooni “(hat {x}) kiilas ja (hat {x}) on õnnelik”konkreetse inimese jaoks (b), tulemuseks on lause„ (b) on kiilas ja (b) õnnelik”.
(olemas) ja ()	on kvantifikaatorid vastavalt “olemas” ja “kõigi jaoks” (“iga”). Näiteks kui (phi x) on lihtne või keeruline avatud valem, ((eksisteerib x) phi x) kinnitab "Eksisteerib (x) selline, et (phi x)" ((olemas / phi) phi x) kinnitab "Eksisteerib pakkimisfunktsioon (phi) nii, et (phi x)" ((x) phi x) kinnitab "Iga (x) on selline, et (phi x)" ((phi) phi x) kinnitab "Iga pakkumisfunktsioon (phi) on selline, et (phi x)" [Neid kasutas Peano. Hiljuti lisati (forall) sümmeetria jaoks (on olemas). Mõni teadlane peab kvantitaatoreid ((phi)) ja ((olemas / phi)) asenduslikeks.]
(phi x / supset_x / psi x) (phi x / equiv_x / psi x)	Seda tähist kasutatakse universaalselt kvantifitseeritud muutujate lühendamiseks. Kaasaegses märkuses muutuvad need vastavalt (forall x (phi x / supset / psi x)) ja (forall x (phi x / equiv / psi x)). Vaadake selle märkuse määratlusi allpool jaotise 3.2 lõpus.
(bang)	hääldatakse “kriiskama”; näitab, et funktsioon on predikatiivne, nagu (phi / bang x) või (phi / bang / hat {x}) puhul. Vt 7. jagu.
=	identiteedi sümbol; väljendab identiteeti, mis on PM-is määratletud mõiste, mitte primitiivne nagu tänapäevases loogikas.
(atoi)	loetakse kui “; on ümberpööratud joot või kirjeldusoperaator ja seda kasutatakse kindlates kirjeldustes, näiteks ((atoi x) phi x) (mida loetakse järgmiselt: (x) selliselt, et (phi x)).
) ((atoi x) phi x)]	sulgudes kindel kirjeldus; see on kindlate kirjelduste ulatuse indikaator.
(E / bang)	on defineeritud ∗ 14 · 02 kontekstis (E / bang (atoi x) phi x) tähendamaks, et kirjeldus ((atoi x) phi x) on õige, st on täpselt üks (phi).
(olemas / bang)	on defineeritud väärtuses ∗ 24 · 03 kontekstis (on olemas / bang / alpha) tähendamaks, et klass (alpha) pole tühi, st sellel on liige.

3. Punktide kasutamine kirjavahemärkide jaoks

Otseseks takistuseks PM-i lugemisele on punktide harjumatu kasutamine kirjavahemärkide asemel tavalisemate sulgude ja sulgude asemel. Süsteem on täpne ja seda saab õppida vaid väikese harjutamisega. Punktide kasutamine kirjavahemärkide jaoks pole PM-i ainulaadne. Algselt Peano päritolu kasutati seda hiljem Alonzo kiriku, WVO Quine'i ja teiste töödes, kuid nüüd on see suuresti kadunud. (Mõne ajaloolise huviga punktide kasutamine, kuna Alan Turing tegi 1942. aastal uuringu punktide kasutamise kohta arvutuslikust vaatepunktist, arvatavasti vabal ajal pärast päevast tööd Bletchley pargis, purustades Enigma masina koode.) Parim viis selle kasutamiseks õppida on vaadata mõnda näidist, mis tõlgitakse valemitesse sulgude abil, ja saada sellega tunne. Järgnevalt selgitatakse PM-i lehekülgedel 9–10 toodud selgitust.millele järgneb rida näiteid, mis illustreerivad kõiki selle punkte:

Punktide kasutamine. Punktidel sümbolite real on kaks otstarvet: üks on väidete ümardamiseks, teine kahe pakkumise loogilise korrutise tähistamiseks. Punktid, millele vahetult eelnevad või järgnevad “(lor)” või “(supset)” või “(equiv)” või “(vdash)” või “((x))”,“((X, y))”,“((x, y, z))”… või“((on x))”,“((on x, y))”,“((eksisteerib x, y, z))”… või“([(atoi x) (phi x)])”või“([R'y])”Või analoogseid avaldisi kasutatakse pakkumise sulustamiseks; muidu tekivad punktid tähistavad loogilist toodet. Üldine põhimõte on, et suurem arv punkte tähistab välist sulgu, väiksem number tähistab sisemist sulgu. Punktides näidatud sulgude ulatuse täpne reegel saadakse punktide esinemise jagamisel kolmeks rühmaks, mida me nimetame I, II ja III. I rühm koosneb punktidest, mis külgnevad implikatsiooni ((supset)) või ekvivalentsuse ((equiv)) või disjunktsiooni (lor)) või võrdsuse tähisega ((= / Df)). II rühm koosneb sulgudes olevatest punktidest, mis viitavad ilmsele muutujale, näiteks ((x)) või ((x, y)) või ((eksisteerib x)) või ((eksisteerib x, y)) või ([(atoi x) (phi x)]) või analoogsed avaldised. III rühm koosneb punktidest, mis seisavad väidete vahel loogilise toote tähistamiseks. I rühm on suurema jõu kui II rühm ja II rühm kui III rühm. Mistahes punktide kogumiga näidatud sulguri ulatus ulatub tahapoole või tahapoole, ületades väiksemat arvu punkte või sama suure arvu väiksema jõu grupist,kuni jõuame väidetava väite lõppu või suurema arvu punktide või võrdse arvuga, mis kuulub võrdse või kõrgema jõu rühma. Loogilist toodet tähistavatel punktidel on ulatus, mis töötab nii edasi kui ka edasi; muud punktid töötavad ainult kõrvaloleva eraldusmärgi, implikatsiooni või ekvivalentsuse märgist eemal või lähevad kaugemale ühe teise II rühmas loetletud tüübi külgnevast sümbolist. Mõned näited illustreerivad punktide kasutamist. (PM 9–10)

3.1 Mõned põhinäited

Mõelge järgmisele laiendatud näidete seeriale, milles uurime väiteid PM-is ja arutame seejärel, kuidas neid samm-sammult tõlkida tänapäevaseks märgiks. (Allolevaid sümboleid kasutatakse mõnikord enda nimedena, vältides nii mõndagi teisiti vajalikku jutumärki. Russelli süüdistatakse sageli kasutamise ja mainimise segadusse seadmises, nii et selles praktikas võib olla ka mõni oht.)

Näide 1

) tag * {∗ 1 · 2} { vdash} koolon p / lor p / ldot { supset} ldot p / quad / Pp)

See on tähe 1 teine väide. Tegemist on tegelikult aksioomi või primitiivse ettepanekuga, millele viitab '(Pp)'. Et see on väide (aksioom või teoreem) ja mitte definitsiooni, osutab “(vdash)” kasutamine. (Seevastu määratlus jätaks väitesildi välja, kuid lõppeks märgiga (Df).) Nüüd on step 1 · 2 tänapäevaseks märkimiseks tõlkimise esimene samm käärsoole märkimine. Ülaltoodud tsiteeritud lõigust tuletage meelde, et „suurem arv punkte tähistab välimist sulgu, väiksem number tähistab sisemist sulgu”. Seega tähistab käärsool siin (mis koosneb suuremast arvust punktidest kui üksikute punktidena, mis esinevad joonel 2 1,2) välist sulgu. Niisiis, esimene samm on tõlkida ∗ 1,2:

) vdash [p / lor p / ldot { supset} ldot p])

Nii tähistavad sulud “[” ja “]” käärsoole in 1,2. Käärsoole ulatus laieneb seega väiksema arvu punktide arvust (st üks punkt) valemi lõpuni. Kuna valemeid loetakse vasakult paremale, tähendab väljend "minevik" "paremal".

Järgmisena tähistatakse tähemärki “(supset)” tänapäevases märkuses eelneva inimese sulgudega ja sellest tulenevatega. Tuletage meelde, et ülaltoodud lõigust leiame, et „… punktid töötavad ainult kõrvaloleva eraldusmärgi, implikatsiooni või samaväärsuse märgist eemal…”. Järgmine samm tõlkeprotsessis on liikuda valemi juurde:) vdash [(p / lor p) supset (p)])

Lõpuks võimaldavad standardsed tänapäevased konventsioonid kustutada üksikute tähtede ümber olevad sulud ja sulud, andes:

) vdash (p / lor p) supset p)

Meie järgmine näide hõlmab konjunktsiooni, millele viitab aatomlausete lihtne kõrvutamine või punktiga, kui võib kaaluda asendusjuhtumit, nagu järgmises sidesõnas:

Näide 2

) tag * {∗ 3 · 01} p / sdot q / ldot {=} ldot / osim (osim p / lor / osim q) quad / Df)

Siin on juhtum, kus punktid esinevad nii "loogilise toote" (st konjunktsiooni) kui ka piiritlevate sulgude korral. Esimese sammuna · 3 · 01 tõlkimisel tänapäevaseks märgiks asendame esimese punkti ampersandiga (ja selle vastavate ulatuse piiritlejatega) ja asendame „(ldot {=} ldot)“sõnaga „(= _ {df})”, saades:

[(p / amp q) = _ {df}) osim (osim p / lor / osim q)])

Ülaltoodud samm illustreerib selgelt, kuidas "loogilist toodet tähistaval punktil on ulatus, mis töötab nii edasi kui ka edasi". Pange tähele, et esimene punkt ∗ 3,01 -s, st (p) ja (q) vahel on tõesti valikuline, arvestades ülaltoodud PM tsitaati. Kuna mõnikord võime soovida asendada (p) ja (q) terveid valemeid, näitab punkt asendatud valemite ulatust. Seega võib meil asendusnäitena olla: (r / lor s / sdot q / supset s) (PM-märkuses) või ((r / lor s) amp (q / supset s)) (tänapäevastes sümbolites).

Lõpuks, meie tänapäevased konventsioonid võimaldavad meil eemaldada lõplikud sulud definiendist ja sulgud “[” ja “]” definiensist, andes:

[p / amp q = _ {df} osim (osim p / lor / osim q))

Pange tähele, et eitusmärgi „(osim)” ulatust ∗ 3 · 01 ei tähistata punktidega, isegi PM-süsteemis, vaid see nõuab pigem sulgudes sisestamist.

Näide 3

) tag * {∗ 9 · 01} osim {(x) sdot / phi x } ldot {=} ldot (eksisteerib x) sdot / osim / phi x / quad / Df)

Kui rakendame reeglit „punktid töötavad ainult eemal olevast disjunktsiooni, implikatsiooni või ekvivalentsuse märgist või lähevad kaugemale II rühma kuuluvate muude liikide sümbolist” (kus II rühm hõlmab „((on olemas) x))”), siis oleks moodne vaste järgmine:) osim (x) phi x = _ {df} (eksisteerib x) osim / phi x) või) osim / forall x / phi x = _ {df} eksisteerib x / osim / phi x)

3.2 Ühendusjõud

Sideühendite järjestamine suhtelise jõu või ulatuse osas on tänapäevases loogikas tavaline tava. Kui puuduvad otsesidemed sideühenduse ulatuse tähistamiseks, siis eeldatakse, et alamvormide korral on paremusjärjestuses ülimuslikud, jne. Selle asemel sõnastatakse selle asemel tülikas järgmine DeMorgani seadus:

[(osim p) lor (osim q)] equiv) osim (p / amp q)])

tänapäeval kirjutame seda nii:

) osim p / lor / osim q / equiv / osim (p / amp q))

See lihtsam sõnastus on loomulik, kuna (equiv) on ülimuslik (on laiema ulatusega kui) (lor) ja &, ja viimane on ülimuslik (osim) suhtes. Tõepoolest pole sulgu sulgudes (equiv) vaja, arvestades veel ühte konventsiooni, milles (equiv) on ülimuslik (supset) ees. Seega muutub valem (p / supset q / equiv / osim p / lor q) üheselt mõistetavaks. Võiksime neid kokkuleppeid esindada, loetledes rühmas ühendused, mille ülaosas on kõige laiem ulatus:

) alustada {array} {c} equiv \\ / supset \\ / amp, / lor \\ / osim / end {array})

Whiteheadi ja Russelli puhul on sümbolid (supset), (equiv), (lor) ja (ldots = / ldots / Df) I rühmas võrdse jõuga. II rühm koosneb muutuvatest siduvatest avaldistest, kvantifikaatoritest ja kindlate kirjelduste ulatusnäitajatest ning III rühm koosneb sidetest. Negatsioon on kõigist neist allpool. Nii et pingerida PM-is oleks järgmine:

) alustada {array} {c} supset, / equiv, / lor / text {and} ldots = / ldots / quad / Df \(x), (x, y) ldots (eksisteeriv x), (eksisteerib x, y) ldots [(atoi x) phi x] / p / sdot q / quad / text {(conjunction)} / \ osim / end {array})

Just seda näivad tähendavat Whitehead ja Russell, kui nad ütlevad: "I rühmal on suurem jõud kui II rühmal ja II rühmal kui III rühmal." Mõelge järgmisele:

Näide 4

) tag * {∗ 3 · 12} { vdash} koolon / osim p / ldot { lor} ldot / osim q / ldot { lor} ldot p / sdot q)

See teoreem illustreerib, kuidas lugeda ühe valemi piires sama arvu punktide korduvat kasutamist. Grupeerides „sidus vasakule” nii punktide kui ka mitmete disjunktsioonide jaoks, järgides vasakult paremale lugemise tava ja määratlust:

) tag * {∗ 2 · 33} p / vee q / vee r / ldot {=} ldot (p / vee q) vee r / quad / Df)

Niisiis, · 3 · 12, kaks esimest punkti (lor) ümber lihtsalt töötavad ühendusest eemale. Teine “ulatub”, kuni see kohtub sama numbri järgmisega (kolmas üksikpunkt). See kolmas punkt ja neljas punkt "eemalduvad" teisest (lor) ja viimane punkt tähistab kõige kitsama ulatusega ühendust. Tulemus, mis on sõnastatud kõigi võimalike kirjavahemärkidega maksimaalse selguse saamiseks, on järgmine:

) {[(osim p) lor (osim q)] lor (p / amp q) })

Kui võtame sulgudes ära kõik standardsed tavad, siis saab see:

[(osim p / lor / osim q) lor (p / amp q))

See illustreerib ülaltoodud tsitaadi lõiku, kus öeldakse: "Mis tahes punktide kogumiga tähistatud sulguri ulatus ulatub tahapoole või tahapoole kaugemale väiksema arvu punktide arvust või võrdse arvu väiksema jõu grupist, kuni jõuame kummagi otsa väites, et suurem arv punkte või võrdne arv kuulub võrdse või kõrgema jõu rühma."

Enne kui vaatame laiemat näidete ringi, osutub kvantitatiivseid muutujaid hõlmav üksikasjalik näide õpetlikuks. Whitehead ja Russell järgivad Peano tava väljendada universaalselt kvantifitseeritud tingimuslikke tingimusi (näiteks „Kõik (phi) on (psi) s”), mille seotud muutuja on tingmärgi all allkirjastatud. Sarnaselt universaalselt kvantifitseeritud kahe tingimusega (“Kõik ja ainult (phi) on (psi) s”). See tähendab, et väljendid “(phi x / supset_x / psi x)” ja “(phi x / equiv_x / psi x)” on määratletud järgmiselt:

) tag * {∗ 10 · 02} phi x / supset_x / psi x / ldot {=} ldot (x) ldot / phi x / supset / psi x / quad / Df)) tag * {∗ 10 · 03} phi x / equiv_x / psi x / ldot {=} ldot (x) ldot / phi x / equiv / psi x / quad / Df)

ja vastavad vastavalt järgmistele moodsamatele valemitele:

) forall x (phi x / supset / psi x))) forall x (phi x / equiv / psi x))

Harjutusena võib lugeja kalduda formuleerima range algoritmi PM teisendamiseks konkreetseks kaasaegseks sümboolikaks (sulgude sisestamise tavadega), kuid parim viis süsteemi õppimiseks on vaadata veel mõned näited tõlgetest ja seejärel hakake lihtsalt valemeid otse lugema.

3.3 Veel näiteid

Allpool toodud näidetes järgneb igale valemi numbrile kõigepealt Principia märge ja seejärel selle moodne tõlge. Pange tähele, et ∗ 1 · 5 sulgudes kasutatakse lisaks punktidele ka kirjavahemärke. (Primitiivsed ettepanekud ∗ 1, 2, ∗ 1, 3, ∗ 1, 4, ∗ 1 ja 5 ning ∗ 1, 6 moodustavad koos PM-s aluse loogika aksioomidena.) Propositsioon ∗ 1,5 oli koondatud Paul Bernays 1926. aastal. Selle võib tuletada teiste sobivatest juhtumitest ja modus ponensi reeglist.

∗ 1,3	({ vdash} koolon q / ldot { supset} ldot p / lor q / quad / Pp) (q / supset p / lor q)
∗ 1,4	({ vdash} koolon p / lor q / ldot { supset} ldot q / lor p / quad / Pp) (p / lor q / supset q / lor p)
∗ 1,5	({ vdash} koolon p / lor (q / lor r) ldot { supset} ldot q / lor (p / lor r) quad / Pp) (p / lor (q / lor r) supset q / lor (p / lor r))
∗ 1,6	({ vdash} colondot q / supset r / ldot { supset} koolon p / lor q / ldot { supset} ldot p / lor r / quad / Pp) ((q / supset r) supset (p / lor q / supset p / lor r))
∗ 2 · 03	({ vdash} koolon p / supset / osim q / ldot { supset} ldot q / supset / osim p) ((p / supset / osim q) supset (q / supset / osim p))
∗ 3,3	({ vdash} colondot p / sdot q / ldot { supset} ldot r / koolon { supset} koolon p / ldot { supset} ldot q / supset r) ([(p amp q) supset r] supset [p / supset (q / supset r)])
∗ 4 · 15	({ vdash} colondot p / sdot q / ldot { supset} ldot / osim r / koolon { equiv} koolon q / sdot r / ldot { supset} ldot / osim p) (p / amp q / supset / osim r / equiv q / amp r / supset / osim p)
∗ 5 · 71	({ vdash} colondot q / supset / osim r / ldot { supset} koolon p / lor q / sdot r / ldot { equiv} ldot p / sdot r) ((q / supset / osim r) supset [(p / lor q) amp r / equiv p / amp r])
∗ 9 · 04	(p / ldot { lor} ldot (x) ldot / phi x / koolon {=} ldot (x) ldot / phi x / lor p / quad / Df) (p / lor / forall x / phi x = _ {df} forall x (phi x / lor p))
∗ 9 · 521	({ vdash} koolonid (eksisteerib x) ldot / phi x / ldot { supset} ldot q / koolon { supset} colondot (eksisteerib x) ldot / phi x / ldot { lor } ldot r / koolon { supset} ldot q / lor r)) ((eksisteerib x / phi x) supset q] supset [((eksisteerib x / phi x) lor r) supset (q / lor r))]
∗ 10,55	({ vdash} colondot (eksisteerib x) ldot / phi x / sdot / psi x / koolon / phi x / supset_x / psi x / koolon { equiv} koolon (eksisteerib x) ldot / phi x / koolon / phi x / supset_x / psi x) (eksisteerib x (phi x / amp / psi x) amp / forall x (phi x / supset / psi x) ekvivalent / eksisteerib x / phi x / amp / forall x (phi x / supset / psi x))

4. Esialgsed funktsioonid

PM-is on kahte tüüpi funktsioone. Algfunktsioone, nagu „(hat {x}) on naturaalarv”, tuleb eristada tuttavamatest matemaatilistest funktsioonidest, mida nimetatakse „kirjeldavateks funktsioonideks” (PM, 31). Kirjeldavad funktsioonid määratletakse suhete ja kindlate kirjelduste abil. Kirjeldavate funktsioonide näideteks on (x + y) ja “(n) järeltulija”.

Keskendudes pakkumisfunktsioonidele, eristavad Whitehead ja Russell vaba muutujaga väljendeid (näiteks „(x) on haiget”) ja funktsioonide nimesid (nt „(hat {x}) on haavatud”) (PM, 14–15). Pakkumised, mis tulenevad valemist, määrates vabale muutujale „x” lubatud väärtused, on funktsiooni „mitmetähenduslikud väärtused”. Ümmarguse märkega väljendeid, näiteks (phi / hat {x}), kasutatakse ainult sissejuhatavas materjalis PM-i tehnilistes osades, mitte tehnilistes osades (välja arvatud klasside teooriat käsitlevad lõigud)), ajendades mõnda teadlast ütlema, et selliseid väljendeid ei esine tegelikult PM ametlikus süsteemis. See küsimus eristub selliste sümbolite tõlgendamise teemadest. Kas need on terminit moodustavad operaatorid, kes muudavad avatud valemi funktsiooni nimeks või on see lihtsalt süntaktiline seade, kohahoidja, näitamaks muutujat, mida saab asendada avatud valemiga? Kui neid tuleb käsitleda terminit moodustavate operaatoritena, oleks (phi / hat {x}) tänapäevane märge: (lambda x / phi x). Märke (lambda) eeliseks on see, et selgesti selgub, et muutujat (x) seob terminit moodustav operaator (lambda), mis võtab predikaadi (phi) ja annab saagise mõiste (lambda x / phi x) (mis mõnes loogikas on ainsustermin, mis võib esineda lause subjektipositsioonis, teistes loogikates aga keeruline predikatiivne väljend). Erinevalt (lambda) - märkest, ei saa ümberlõiget kasutav PM märge ulatust näidata. Funktsioonilause “(phi (hat {x},\ hat {z}))”on ebaselge sõnade„ (lambda x / lambda y / phi xy)”ja„ (lambda y / lambda x / phi xy)”vahel, ilma täiendava kokkuleppeta. Tõepoolest, Whitehead ja Russell täpsustasid seda konventsiooni suhete laiendamiseks (lk 200 sissejuhatavas materjalis ∗ 21, muutujate järjekorra osas), kuid ebaselgus tõi see kõige selgemalt välja kasutades (lambda) märkus: esimene tähistab seoseid olemisega (x) ja (y) selliselt, et (phi xy) ja teine tähistab (y) ja (x) selline, et (phi xy).kuid ebaselgus tõi see kõige selgemalt esile märke (lambda) abil: esimene tähistab (x) ja (y) olemise suhet selliselt, et (phi xy) ja teine tähistab (y) ja (x) olemuse vastupidine suhe selliseks, et (phi xy).kuid ebaselgus tõi see kõige selgemalt esile märke (lambda) abil: esimene tähistab (x) ja (y) olemise suhet selliselt, et (phi xy) ja teine tähistab (y) ja (x) olemuse vastupidine suhe selliseks, et (phi xy).

5. Tüüpide ja tellimuste puuduv märge

Selles jaotises selgitatakse märkimist, mis pole Principia Mathematicas. Välja arvatud mõned märkused „suhtelise” tüübi kohta II köites, pole Principia Mathematicas teadaolevalt tüüpide sümboleid! Lauseid tuleb üldjuhul pidada „tavaliselt mitmetähenduslikeks” ja seega tähendab see terve rea tüüpide avaldisi ja nii, nagu puuduvad üksikud või predikatiivsed konstandid, puuduvad ka konkreetset tüüpi konkreetsed funktsioonid. Nii et mitte ainult ei näe, kuidas argumenti sümboliseerida:

Kõik mehed on surelikud.

Sokrates on mees.

Seetõttu on Sokrates surelik

kuid ka funktsiooni “(hat {x}) on surelik” loogilist tüüpi pole. PMi eesmärk on taandada matemaatika loogikale ja osa selle projekti loogikast on selles, et loogilised tõed on kõik täiesti üldised. Matemaatika tõdede tuletamine määratlustest ja loogika tõdedest ei hõlma seega mingeid konkreetseid konstante peale nende, mis on määratletud puhtalt loogilise mõiste definitsioonilt. Selle tulemusel ei lisata PM-is nende tüüpide kirjeldamiseks ühtegi märkust. Need meist, kes soovivad käsitleda PM-i kui loogikat, mida saab rakendada, peavad seda täiendama mõnede viidetega tüüpidele.

Lugejad peaksid tähele panema, et allpool esitatud tüüpide seletused ei vasta PM väited teksti tüüpide kohta. Alonzo kirik [1976] töötas välja märke lihtsa ja ratsionaalse rekonstrueerimise nii lihtsa kui ka rambitüübi teooria jaoks, nagu vihjab PM tekst. (Tüüpide teooria jaoks on ka alternatiivseid, samaväärseid märkeid.) Täielikku teooriat võib käsitleda tüüpide lihtsa teooria edasiarendusena.

5.1 Lihtsad tüübid

Lihtsat tüüpi võib määratleda järgmiselt:

• (iota) (kreeka iota) on üksikisiku tüüp.
• Kui (tau_1, / ldots, / tau_n) on mis tahes tüüpi, siis (ulcorner (tau_1, / ldots, / tau_n) urcorner) on pakkumisfunktsiooni tüüp, mille argumendid on tüüpi (tau_1, / ldots, / tau_n).
• (ulcorner) () (urcorner) on väidete tüüp.

Siin on mõned intuitiivsed viisid tüübi määratluse mõistmiseks. Oletame, et “Sokrates” nimetab inimest. (Me ignoreerime siin Russelli kaalutud arvamust, et sellised tavalised isikud on tegelikult aistingute andmete klassid ja seega palju kõrgemad tüübid.) Siis oleks individuaalne konstant “Sokrates” tüüpi (iota). Monadiline propositsioonifunktsioon, mis võtab indiviidid argumendina, on tüüpi ((iota)). Oletame, et “on surelik” on predikaat, mis väljendab sellist funktsiooni. Funktsioon “(hat {x}) on surelik” on ka tüüpi ((iota)). Kahekohaline või binaarne suhe üksikisikute vahel on tüüpi ((iota, / iota)). Seega on relatsioonilause nagu „vanem” ja funktsioon „(hat {x}) on vanem ((müts {z})”) tüüpi ((iota, / iota)).

Tüüpilisi ((iota)) propositsioonifunktsioone nimetatakse sageli „esimeseks järjeks”; seega nimi tuttava loogika jaoks „esimese järjekorra loogika”, kus muutujad ulatuvad ainult esimese järjekorra funktsioonide argumentide kohale. Tüübi (tau) argumentide monaadne funktsioon on tüüpi ((tau)) ja seega on nende funktsioonide tüüp (((tau))). Teise astme loogikal on muutujad selliste funktsioonide argumentide jaoks (nagu ka muutujad üksikisikute jaoks). Binaarsuhted tüübi (tau) funktsioonide vahel on tüüpi ((tau, / tau)) jne, kui nende suhete jaoks on rohkem kui 2 argumenti. Segatüüpe määratletakse ülalpool. Seos indiviidi ja ettepaneku vahel (näiteks „(hat {x}) usub, et (hat {P})”) on tüüpi ((iota), ()).

5.2 Rahuldatud tüübid

PM-tüüpide täieliku rafineeritud teooria märkuse moodustamiseks tuleb sümbolitesse kodeerida veel üks teave. Kirik nimetab saadud süsteemi üheks r-tüübiks. Ühtlustatud tüüpide põhiidee on see, et iga funktsioon, mis määratletakse teatud tüüpi funktsioonide kvantifitseerimise abil, peab olema kõrgema järjekorraga kui need funktsioonid. Russelli näite kasutamiseks:

(hat {x}) omab kõiki omadusi, mis suurtel kindralitel on

on funktsioon, mis vastab tõele inimeste (st üksikisikute) kohta, ja lihtsat tüüpi teooria seisukohast on sellel sama lihtne loogiline tüüp kui indiviidide konkreetsetel omadustel (näiteks vaprus ja otsustavus). Ramifitseeritud tüüpi teoorias on ülaltoodud funktsioon siiski kõrgem kui indiviidide konkreetsetel omadustel, kuna erinevalt nendest konkreetsetest omadustest hõlmab see nende omaduste kvantifitseerimist. Ehkki väljend „(hat {x}) on julge” tähistab r-tüüpi funktsiooni ((iota) / 1), on väljendil „(hat {x}) kõik omadused, mis suurtel kindralitel on”, saavad r-tüüpi ((iota) / 2). Nendes r-tüüpides tähistab number “/” järel funktsiooni taset. Funktsioonide järjekord määratletakse ja arvutatakse järgmiste määratluste kohaselt.

Kirik määratleb r-tüübid järgmiselt:

• (iota) (kreeka iota) on üksikisiku r-tüüp.
• Kus (tau_1, / ldots, / tau_m) on mis tahes r-tüüpi, (ulcorner (tau_1, / ldots, / tau_m) / n / urcorner) on r-tüüp; see on taseme (m) - ary juhendfunktsiooni taseme r (tüüpi) funktsioon (n), millel on r-tüüpi (tau_1, / ldots, / tau_m) argumendid.

Üksuse järjekord määratletakse järgmiselt (siin me ei järgi enam kirikut, sest ta määratleb muutujate järjestused, st avaldised, selle asemel, et tellida asju, mille muutujad ulatuvad üle):

• üksikisiku (r-tüüpi (iota)) järjekord on 0,
• funktsiooni r-tüüpi ((tau_1, / ldots, / tau_m) / n) järjekord on (n + N), kus (N) on argumentide järjestusest suurim (tau_1, / id, / tau_m).

Neid kahte määratlust täiendatakse põhimõttega, mis määratleb konkreetsete määratletud funktsioonide tasemed, nimelt et määratletud funktsiooni tase peaks olema üks kõrgem kui kõrgeima järgu üksus, millel on nimi või muutuja, mis ilmub selle funktsiooni määratluses.

Et näha, kuidas neid määratlusi ja põhimõtteid saab kasutada funktsiooni "(hat {x}) kõigi omaduste, mis suurtel kindralitel on, arvutamiseks, arvestage, et funktsiooni saab esitada järgmiselt, kus" (x, y)”on muutujad, mis ulatuvad r-tüüpi (iota) üksustega (järjekord 0),„ GreatGeneral ((y))”on predikaat, mis tähistab r-tüüpi ((iota) / 1) (ja nii järjekorrast 1) ning “(phi)” on muutuja, mis ulatub r-tüüpi ((iota) / 1) (ja nii järjekord 1) nagu suur kindral, vaprus, juhioskus, oskus, ettenägelikkus jms:

[(phi) {[(y) (textrm {GreatGeneral} (y) supset / phi (y)] supset / phi / hat {x} })

Esiteks märgime, et ülaltoodud põhimõtet arvestades on selle funktsiooni r-tüüp ((iota) / 2); tase on 2, kuna selle funktsiooni r-tüübi tase peab olema üks kõrgem kui definitsioonis nimetatud üksuse (või kasutatava muutuja ulatuse) kõrgeim järk. Sel juhul on GreatGeneral'i tähis ja muutuja vahemik "(phi)" suurusjärgus 1 ja mitte ühtegi muud avaldusnime ega vahemikku kõrgema astme üksusest. Seega on ülalnimetatud funktsiooni tase defineeritud kui 2. Lõpuks arvutame funktsiooni järjestuse, mida ülalpool tähistati, nagu see oli määratletud: taseme summa pluss ülaltoodud funktsiooni argumentide järjestuste suurim summa. Kuna ülaltoodud funktsiooni ainsad argumendid on indiviidid (järjekorrast 0), on meie funktsiooni järjekord vaid 2.

Järjestuse (k) r-tüüpi ((tau) / n) funktsioonide kvantifitseerimine uue funktsiooni määratluses annab r-tüüpi (((tau) / n + 1) funktsiooni, ja seega funktsioon järjekorrast ühe võrra kõrgemal, (k + 1). Siis võib kahte tüüpi funktsioone olla teisest järjest: (1) üksikisikute esimese järgu funktsioonide, r-tüüpi (((iota) / 1) / 1) ja (2) funktsioonide funktsioonid r-tüüpi ((iota) / 2), näiteks meie näitel "(hat {x}) on kõik omadused, mis suurtel kindralitel on". Viimane on funktsioon, mis kehtib tõepoolest üksikisikute, näiteks Napoleoni kohta, kuid kõrgema astme funktsioonidest kui lihtsatel funktsioonidel, nagu näiteks "(hat {x}) on vaprad", mis on r-tüüpi ((iota) / 1).

Loogikud kasutavad tänapäeval tellimuse mõistet teisiti. Tänapäeval on esimese astme loogika loogika, mis sisaldab ainult üksikisikute muutujaid. Teise järgu loogika on loogika, mis sisaldab muutujaid nii üksikisikute kui ka üksikute omaduste kohta. Kolmanda järgu loogika on loogika, mis sisaldab muutujaid üksikisikute, indiviidide omaduste ja üksikisikute omaduste omaduste kohta. Ja nii edasi. Seevastu kirik nimetaks neid loogikaid vastavalt tüüpide ((iota) / 1) ja ((iota, / ldots, / iota) / 1) funktsioonide loogikaks, funktsioonide loogikaks tüüpidest ((((iota) / 1) / 1) ja (((iota, / ldots, / iota) / 1, / ldots, (iota, / ldots, / iota) / 1) / 1) ja tüüpi ((((iota) / 1) / 1) / 1) jne funktsioonide loogika (st eelneva tüübi funktsioonide esimese taseme funktsioonid). Kiriku definitsioone arvestades on need esimese, teise ja kolmanda järgu funktsioonide loogika,vastavalt kokku, kattudes seega kaasaegse terminoloogiaga „(n)^th järku loogika.

6. Muutujad

Nagu varem mainitud, ei ole PM formaalses süsteemis individuaalseid ega predikaatkonstante, on ainult muutujad. Sissejuhatuses kasutatakse aga aatomifaktide arutelul näidet “(a), mis seostuvad (R) kuni (b)” (PM, 43). Ehkki “(R)” kasutatakse hiljem muutujana, mis ulatub suhetes laiendini, ja “(a, b, c, / ldots)” on üksikud muutujad, lisame need ajutiselt süsteemi predikaadina ja üksikud konstandid, et arutada muutujate kasutamist PM-is.

PM kasutab eristust tegelike või vabade muutujate ja nähtavate või seotud muutujate vahel. Kuna “(x)” on muutuja, on “(xRy)” meie laiendatud keeles aatomivalem koos tegelike muutujatega “(x)” ja “(y)”. Kui sellised valemid kombineeritakse pakkumisjuhenditega (osim), (lor) jne, on tulemuseks maatriks. Näiteks maatriks oleks näiteks (aRx / ldot { lor} ldot xRy).

Nagu varem nägime, on ka muutujaid, mis varieeruvad funktsioonide lõikes: “(phi), (psi), (ldots, f, g)” jne. Väljend “(phi x)”sisaldab seega kahte muutujat ja tähistab väidet, eriti funktsiooni (phi) üksikisikule (x) kohaldamise tulemust.

Teoreemid on esitatud reaalsete muutujatega, mis annab neile teooria osas erilise tähenduse. Näiteks,) tag * {∗ 10 · 1} vdash / koolon (x) ldot / phi x / ldot { supset} ldot / phi y / quad / Pp)

on PM kvantitatiivse teooria oluline aksioom. Selles ürgses ettepanekus on muutujad “(phi)” ja “(y)” reaalsed (vabad) ja “(x)” on nähtavad (seotud). Kuna süsteemis pole konstante, on see kõige lähedasem, et PM jõuab universaalse kiirenduse reeglisse.

Whitehead ja Russell tõlgendavad “((x) sdot / phi x)” kui “väidet, mis kinnitab kõiki väärtusi dokumendile (phi / hat {x})” (PM 41). Sõna „kõik” kasutamisel on tüüpide teoorias eriline tähendus. Nad väidavad seda, et tüüpteooria aluseks on „nõiaringi põhimõte”

… üldiselt, kui arvestada mis tahes objektide komplekti, näiteks kui eeldada, et komplektil on summa, siis sisaldab see liikmeid, mis eeldavad seda summat, siis sellisel nagu komplektil ei saa olla summat. Öeldes, et komplektil puudub "totaalne", peame silmas eeskätt seda, et "kõigi selle liikmete" kohta ei saa olulist lauset teha. (PM, 37)

Täpsemalt, kvantifitseeritud väljend, kuna see räägib “kõigist” terviku liikmetest, peab nõiaringi põhimõtte järgimiseks ulatuma konkreetsest loogilisest tüübist. Seega peame seotud muutuja tõlgendamisel eeldama, et see ulatub konkreetse olemi tüübi kohal ja seetõttu tuleb tüübid vastavalt tüübiteooriale omistada muudele üksustele, mida valemis kasutatakse avaldisi.

Küsimus kerkib aga siis, kui on aru saada, et primaarsete väidete ja teoreemide väiteid PM-s nagu ∗ 10 · 1 peetakse „tavaliselt mitmetähenduslikeks (st tüübi suhtes mitmetähenduslikeks). Need avaldused on tegelikult skemaatilised ja esindavad kõiki võimalikke konkreetseid väiteid, mida saab nende tüüpide asjakohase tõlgendamise teel tuletada. Kui aga sellised avaldused nagu · 10,1 on skeemid ja neil on siiski seotud muutujad, kuidas siis määrata tüüpe üksustele, mille piires seotud muutujad asuvad? Vastus on kõigepealt otsustada, millist tüüpi asju lauses leiduvad vabad muutujad ületavad. Näiteks kui eeldada, et muutuja (y) vahemikus ∗ 10 · 1 ulatub üle üksikisikute (tüüp (iota)), siis peab muutuja (phi) ulatuma üle tüübi ((iota) / n), mõne jaoks (n). Siis ulatub seotud muutuja (x) ka üksikisikute vahel. Kui aga eeldame, et muutuja (y) vahemikus ∗ 10 · 1 ulatub üle tüübi ((iota) / 1) funktsioonide, siis peab muutuja (phi) ulatuma üle tüübi funktsioonide (((iota) / 1) / m), mõne jaoks (m). Sel juhul ulatub köidetud muutuja (x) funktsioonide tüüp ((iota) / 1) vahel.

Niisiis nimetatakse (y) ja (phi) reaalseteks muutujateks ∗ 10 · 1 mitte ainult seetõttu, et need on vabad, vaid ka seetõttu, et need võivad ulatuda igat tüüpi. Whitehead ja Russell väidavad sageli, et tegelikke muutujaid tähistatakse nende eksemplaride mis tahes kahemõtteliselt, samas kui seotud muutujad (mis ka mitmetähenduslikult tähistavad) ulatuvad kõigi nende esinemisjuhtude vahel (õigustatud tervikuna, st tüübi piires).

7. Ennustatavad funktsioonid ja identiteet

Hüüumärk “!” järgides funktsiooni muutujat ja järgides argumenti, nagu jaotistes „(f / bang / hat {x})”, „(phi / bang x)”, „(phi / bang / hat { x})”näitab, et funktsioon on predikatiivne, st madalaimas järjekorras, mida saab kasutada tema argumentide jaoks. Kiriku märkuses tähendab see, et predikatiivsed funktsioonid on kõik esimesel tasemel, tüüpidega vorm ((ldots) / 1). Selle tulemusel on predikatiivsed funktsioonid järjekorras üks rohkem kui nende argumentide kõrgeim järk. See analüüs põhineb järgmistes tsitaatidel PM sissejuhatuses:

Me määratleme ühe muutuja funktsiooni predikatiivina, kui see asub järgmises järjekorras, mis ületab tema argumendi, st madalaim järjekord, mis ühildub selle argumendiga. (PM, 53)

Kahjuks leiame ∗ 12 kokkuvõttes „Eelisfunktsioon on funktsioon, mis ei sisalda nähtavaid muutujaid, st on maatriks” [PM, 167]. Selle väite ja selle sissejuhatuses esitatud määratlusega ühitamine on teadlaste jaoks probleem.

Tegeliku pilkupüüdva märke nägemiseks kaaluge järgmist identiteedi määratlust:

) tag * {∗ 13 · 01} x = y / ldot {=} koolon (phi) koolon / phi / bang x / ldot { supset} ldot / phi / bang y / quad / Df]

See tähendab, et (x) on identne dokumendiga (y) siis ja ainult siis, kui (y) on olemas iga etteantud funktsioon (phi), mida valdab (x). (Muidugi tähistab „=” teine esinemine määratlust ja sellel pole iseseisvalt tähendust. See on esimene esinemissagedus, mis seob isendeid (x) ja (y).)

Et näha, kuidas see määratlus taandub identiteedi määratlusele (mille objektid on identsed, kui neil on samad omadused), vajame redigeeritavuse aksioomi. Redutseeritavuse aksioom väidab, et mis tahes funktsiooni jaoks on ekvivalentne funktsioon (st üks kehtib kõigi samade argumentide kohta), mis on predikatiivne:

Redutseeritavuse aksioom:) tag * {∗ 12 · 1} vdash / koolon (on olemas f) koolon / phi x / ldot { equiv_x} ldot f / bang x / quad / Pp)

Et näha, kuidas see aksioom eeldab identiteedi tuttavamat määratlemist, pidage meeles, et identiteedi tuttavam määratlus on:

[x = y / ldot {=} koolon (phi) koolon / phi x / ldot { supset} ldot / phi y / quad / Df)

jaoks (phi) mis tahes tüüpi. (Pange tähele, et see erineb ∗ 13,01 selle poolest, et kriiskamist enam ei ilmu.) Selle tõestuseks eeldage nii ∗ 13 · 01 kui ka redutseeritavuse aksioomi ja oletagem redutseerimise teel tõestuseks, et (x = y) ja (phi x), mitte (phi y) mõne suvalist tüüpi funktsiooni (phi) korral. Siis garanteerib redutseeritavuse aksioom · 12 · 1, et eksisteerib predikatiivne funktsioon (psi / bang), mis on ulatuslikult koos (phi) nii, et (psi / bang x), kuid mitte (psi / bang y), mis on vastuolus · 13 · 01-ga.

8. Kindlad kirjeldused

Pöördunud kreeka tähte iota “(atoi)” kasutatakse PM-is, millele järgneb alati muutuja, et alustada kindlat kirjeldust. ((atoi x) phi x) loetakse kui (x) nii, et (x) on (phi) ", või lihtsamalt öeldes kui" (phi)”. Sellised avaldised võivad esineda subjekti positsioonis, nagu näiteks dokumendis (psi (atoi x) phi x), loetakse nii, et (phi) on (psi). Russelli kuulsa “kindlate kirjelduste teooria” ametlik osa koosneb kõigi valemite “… (psi (atoi x) phi x)…” määratlusest, milles kirjeldus esineb. Eristamaks osa (psi) ülejäänud suuremast lausest (mida tähistavad ülaltoodud ellipsid), milles avaldis (psi (atoi x) phi x) esineb, on kirjelduse ulatus järgmine: tähistatakse sulgudes oleva kindla kirjelduse kordamisega:

[(atoi x) phi x] sdot / psi (atoi x) phi x)

Ulatuse mõiste eesmärk on selgitada vahet, mida Russell kuulsalt arutab raamatus „On Denoting” (1905). Russell ütleb, et lause “Prantsusmaa praegune kuningas pole kiilas” on kahe lugemise vahel ebaselge: 1) lugemine, kus öeldakse praeguse Prantsusmaa kuninga kohta, et ta pole kiilas, ja (2) lugemine, millel eitatakse et praegune Prantsusmaa kuningas on kiilas. Esimene lugemine nõuab, et paljaste asjade loendis oleks ainulaadne Prantsusmaa kuningas, samas kui viimane lihtsalt ütleb, et kiilas olevate asjade loendis pole ühtegi ainulaadset Prantsuse kuningat. Russell väidab, et viimane, kuid mitte esimene, võib tõsi olla olukorras, kus Prantsusmaa kuningat pole. Russell analüüsib seda erinevust kindla kirjelduse ulatuse osas, ehkki nagu näeme,mõned kaasaegsed loogikud arvavad, et see olukord on eitusmärgi ulatuse küsimus. Seega tutvustab Russell meetodit kindla kirjelduse ulatuse näitamiseks.

Et näha, kuidas Russelli ulatusmeetod sel juhul töötab, peame mõistma määratlust, mis tutvustab kindlaid kirjeldusi (st ümberpööratud iotaoperaator). Whitehead ja Russell määratlevad:

) tag * {∗ 14 · 01} [(atoi x) phi x] sdot / psi (atoi x) phi x / ldot {=} koolon (olemas b) koolon / phi x / ldot { equiv_x} ldot x = b / koolon / psi b / quad / Df)

Seda määratlust nimetatakse kontekstuaalseks määratluseks, mis tuleb vastandada otseste määratlustega. Määratluse kirjelduse selgesõnaline määratlus peaks välja nägema järgmine:

[(atoi x) (phi x) = / koolon / ldots / quad / Df)

mis võimaldaks kindla kirjelduse igas kontekstis asendada sellega, kumb määratluse täidab ellipsis. Seevastu ∗ 14 · 01 näitab, kuidas lauset, milles on kirjeldus ((atoi x) (phi x)) kontekstis (psi), saab asendada mõne muu lausega lause (hõlmates (phi) ja (psi)), mis on samaväärne. Selle määratluse eksemplari väljatöötamiseks alustage järgmisest näitest:

Näide.

Praegune Prantsusmaa kuningas on kiilas.

Kasutades (PKFx) praeguse Prantsuse kuninga olemise funktsionaalse funktsiooni tähistamiseks ja (B) kiilas olemise juhendfunktsiooni esindamiseks, esindaksid Whitehead ja Russell ülaltoodud väidet järgmiselt:

[(atoi x) (PKFx)] sdot B (atoi x) (PKFx))

mis tähega · 14,01 tähendab:

[(olemas b) koolon PKFx / ldot { equiv_x} ldot x = b / koolon Bb)

Sõnades on üks ja ainus (b), mis on praegune Prantsusmaa kuningas ja kiilas. Kaasaegsete sümbolite korral, kasutades muutujana (b) mittestandardselt, saab see:

[(eksisteerib b)) forall x (PKFx / equiv x = b) amp Bb])

Nüüd naaseme näite juurde, mis näitab, kuidas kirjelduse ulatus erineb:

Näide.

Praegune Prantsusmaa kuningas pole kiilas.

Selle lause esitamiseks on kaks võimalust.

[(atoi x) (Kx)] sdot / osim B (atoi x) (Kx))

ja

) osim [(atoi x) (Kx)] sdot B (atoi x) (Kx))

Esimeses on kirjeldus „lai” ja teises kirjeldus on „kitsas”. Russell ütleb, et esimeses on kirjelduses “esmane esinemine” ja teises “sekundaarne esinemine”. Arvestades definitsiooni ∗ 14,01, laienevad kaks ülaltoodud PM-valemit primitiivseks märkimiseks järgmiselt:

) alusta {joonda} (eksisteerib b) koolon PKFx / equiv_x x = b / koolon / osim Bb \\ / osim (eksisteerib b) koolon PKFx / equiv_x x = b / koolon Bb / lõpp {joondama})

Kaasaegses märkuses muutuvad need:

) alusta {joondamine} eksisteerib x) forall y (PKFy / equiv y = x) amp / osim Bx] / \ osim / eksisteerib x) forall y (PKFy / equiv y = x) amp Bx] lõpeta {joondus})

Esimene ütleb, et on üks ja ainus objekt, mis on praegune Prantsusmaa kuningas ja mis pole kiilas; St on täpselt üks praegune Prantsuse kuningas ja ta pole kiilas. See tõlgendus on vale, arvestades, et praegust Prantsusmaa kuningat pole. Viimane väidab, et pole nii, et täpselt üks praegune Prantsuse kuningas on kiilas. See lugemine vastab tõele.

Ehkki Whitehead ja Russell peavad neis näidetes sisalduvaid kirjeldusi ulatuslikeks väljenditeks, viitavad ülaltoodud näited nii laiendatud PM-märkuses kui ka kaasaegses märkuses, miks mõned tänapäevased logistikud peavad siin esitatud näitude erinevust küsimuseks eitus märk.

9. klassid

Klassi tähistamiseks kasutatakse valemiga eelnenud muutuja ümbermõõtu “ˆ”, seega (müts {x} psi x) on asjade klass (x), mis on sellised, et (psi x). Kaasaegses tähistuses tähistame seda klassi kui ({x / mid / psi x }), mida loetakse järgmiselt: (x) klass, mis on selline, et (x) on (psi). Tuletame meelde, et "(phi / hat {x})" väljendab ümberfleksi muutuja kohal predikaatmuutuja järel ja väljendab funktsiooni olla (x) selline, et (phi x). PM-tüüpi teoorias on klassil (hat {x} phi x) sama loogiline tüüp kui funktsioonil (phi / hat {x}). Seetõttu on asjakohane kasutada järgmist kontekstuaalset määratlust, mis võimaldab klassitermi (hat {x} psi x) kõrvaldada kontekstis esinevatest sündmustest (f):) tag * {∗ 20 · 01} f { hat {z} (psi z) } ldot {=} koolon (olemas / phi) koolon / phi / bang x / ldot { equiv_x} ldot / psi x / koolon f { phi / bang / hat {z} } quad / Df) või moodsas märkuses: [f {z / mid / psi z } = _ { df} eksisteerib / phi) forall x (phi x / equiv / psi x) amp f (lambda x / phi x)])], kus (phi) on (x)

Pange tähele, et (f) tuleb tõlgendada kõrgema järgu funktsioonina, mis eeldab funktsiooni (phi / bang / hat {z}). Ülaltoodud moodsas märkuses peab keel olema trükitud keel, milles (lambda) avaldised on argumendi positsioonis lubatud. Nagu hiljem viidati (Chwistek 1924, Gödel 1944 ja Carnap 1947), peaksid klasside avaldiste jaoks olema ulatuse indikaatorid, nagu ka kindlate kirjelduste jaoks. Näiteks Chwistek tegi ettepaneku kopeerida märge kindlate kirjelduste jaoks, asendades sellega ∗ 20 · 01 järgmisega:

[) hat {z} (psi z)] sdot f { hat {z} (psi z) } ldot {=} koolon (olemas / phi) koolon / phi / pauk x / ldot { equiv_x} ldot / psi x / koolon f { phi / bang / hat {z} })

Komplekti teooria kaasaegsed vormistamised kasutavad midagi sellist, nagu need kontekstipõhised määratlused, kui nad nõuavad vormi “eksisteerimise” teoreemi (eksisteerib x / forall y (y / in x / ekvivalent; ldots y / ldots)) ainsuse termini ({y / mid / ldots y / ldots }) kasutuselevõtu õigustamiseks. (Arvestades laiendatavuse seadust, järeldub dokumendist (eksisteerib x / forall y (y / x x ekvivalendites l / yddd))), et selline kordumatu komplekt on olemas.) Klassidesse kuulumise suhe (in) määratletakse PM-is, määratledes esmalt sarnase seose objektide ja pakkumisfunktsioonide vahel:) tag * {∗ 20 · 02} x / in (phi / bang / hat {z}) ldot {=} ldot / phi / bang x / quad / Df) või tänapäevases märkuses: [x / in / lambda z / phi z = _ {df} phi x)

Seejärel kasutatakse · 20 · 01 ja ∗ 20 · 02 koos, et määratleda klassi kuulumise mõiste, mis on tuttavam. Ametlikku väljendit “(y / in { hat {z} (phi z) })” võib nüüd vaadelda kontekstina, milles klassitermin esineb; see elimineeritakse kontekstilise määratlusega ∗ 20 · 01. (Harjutus)

PM-il on klasside jaoks ka kreeka tähed: (alfa, / beeta, / gamma) jne. Need ilmuvad seotud (reaalsete) muutujatena, nähtavate (vabade) muutujatena ja klasside tõeste propositsioonifunktsioonide kokkuvõtetes, nagu näiteks (phi / müts { alpha}). Ainult seotud kreeka muutujate definitsioonid kuvatakse teksti põhiosas, teised määratletakse mitteametlikult sissejuhatuses:) tag * {∗ 20 · 07} (alpha) sdot f / alpha / ldot {=} ldot (phi) sdot f { hat {z} (phi / bang z) } quad / Df) või tänapäevases tähenduses) forall / alpha \, f / alpha = _ { df} forall / phi f {z / mid / phi z }), kus (phi) on predikatiivne funktsioon.

Seega on universaalselt kvantifitseeritud klassimuutujad defineeritud kvantifikaatoritena, mis ulatuvad predikatiivsete funktsioonide vahel. Samamoodi eksistentsiaalse kvantifitseerimise korral:) tag * {∗ 20 · 071} (eksisteerib / alfa) sdot f / alfa / ldot {=} ldot (eksisteerib / phi) sdot f { hat {z} (phi / bang z) } quad / Df) või tänapäevases märkuses:) on olemas / alpha \, f / alpha = _ {df} on olemas / phi f {z / mid / phi z }) kus (phi) on etteantud funktsioon.

Määratletakse avaldised kreeka muutujaga vasakul (in):) tag * {∗ 20 · 081} alpha / in / psi / bang / hat { alpha} ldot {=} ldot / psi / bang / alpha / quad / Df)

Need määratlused ei hõlma kreeka muutujate kõiki võimalikke esinemissagedusi. PM sissejuhatuses pakutakse välja täiendavaid määratlusi mõistetele (f / alpha) ja (f / hat { alpha}), kuid tuleb märkida, et mõisted on mingil moel omapärased ja neid ei esine teose keha. (F / hat { alpha}) määratlus on järgmine:

[f / müts { alfa} ldot {=} ldot (eksisteerib / psi) sdot / müts { phi} bang x / equiv_x / psi / bang x / sdot f { psi / bang / müts {z} })

või tänapäevases tähenduses

) lambda / alpha \, f / alpha = _ {df} lambda / phi f {x / mid / phi x })

See tähendab, et (f / hat { alpha}) on avaldis, mis nimetab funktsiooni, mis võtab funktsiooni (phi) pakkumiseks, mis kinnitab (f) klassi (phi) s. (Kaasaegne märge näitab, et PM-märkuses pakutud (f / hat { alpha}) definitsioonis ei tohiks oodata definitsiooni, kuid (alpha), kuna see on tõepoolest seotud muutuja (f / hat { alpha}); samamoodi ei tohiks me eeldada, et (phi) on definiendumis, kuna see on defineeritud parameetrites seotud muutuja.) Võib eeldada ka selliseid määratlusi nagu ∗ 20 · 07 ja ∗ 20 · 071, juhul kui Rooma täht „(z \””asendatakse kreeka tähega. PM-is esitatud määratlused ei ole seega täielikud, kuid on võimalik arvata, kuidas neid laiendataks kreeka tähtede esinemisele. See viiks lõpule klasside "klassideta" teooria projekti, näidates, kuidas saab klasside kogu juttu taandada pakkumisfunktsioonide teooriale.

10. Prolegomena kardinali aritmeetikast

Kuigi filosoofiatudengid ei loe tavaliselt PM-st enam kui 20,, on see tegelikult koht, kus matemaatika “ehitamine” tegelikult algab. ∗ 21 tutvustab “suhete üldteooriat” (suhete teooria pikendus; tänapäevases loogikas käsitletakse neid Wieneri järgselt järjestatud paaride kogumina). (müts {x} müts {y} psi (x, y)) on seos (x) ja (y) vahel, mis saab, kui (psi (x, y)) on tõsi. Kaasaegses märkuses tähistame seda kui järjestatud paaride komplekti ({ langle x, y / rangle / keset / psi (x, y) }), mida loetakse: tellitud paaride komplekti (langle x, y / rangle), mis on sellised, et (x) kannab seost (psi) ja (y).

Järgmine kontekstuaalne määratlus (∗ 21 · 01) võimaldab kõrvaldada seosetermi (hat {x} hat {y} psi (x, y)) kontekstis esinevate sündmuste korral (f):

[f { müts {x} müts {y} psi (x, y) } ldot {=} colondot (eksisteerib / phi) koolon / phi / bang (x, y) ldot { equiv_ {x, y}} ldot / psi (x, x) koolon f { phi / bang (hat {u}, / hat {v}) } quad / Df)

või moodsas märkuses:

[f { langle x, y / rangle / mid / psi (x, y) } = _ {df} on olemas / phi) forall xy (phi (x, y) equiv / psi (x, y)) amp f (lambda u / lambda v / phi (u, v))])

kus (phi) on (u) ja (v) predikatiivne funktsioon.

Principia ei analüüsi seoseid (või matemaatilisi funktsioone) järjestatud paaride komplektidena, vaid võtab pigem propositsioonifunktsiooni mõiste primitiivsena ja määratleb seosed ja funktsioonid nende järgi. Suurtähti ({R}, {S}) ja ({T}) jne kasutatakse pärast ∗ 21 nende „suhete laiendamiseks” tähistamiseks ning neid eristatakse pakkumisfunktsioonidest selle poolest, et kirjutatud argumentide vahele. Seega on (psi (x, y)) argumentidega pärast funktsionaalsümbolit, kuid (xRy). ∗ 21 funktsioonist “(phi) ja (psi)” jne kaovad ja ainult suhted laiendites, ({R}), ({S}) ja ({T }) jne, ilmuvad Principia lehtedel. Ehkki pakkumisfunktsioonid võivad samade objektide puhul kehtida, kuid ei pruugi olla identsed, ei kehti samade objektide puhul kaks laiendatud suhet. Principia loogika on seega „laiendatav” alates I köitest alates leheküljest 200 kuni III köite lõpuni.

∗ 22. peatükis “Klasside arvutamine” on esitatud ristmike, liitmike ja tühja hulga elementaarne kogumiteooria, mis on sageli kogu muud laadi teooria, mida kasutatakse muud tüüpi matemaatikas. Üliõpilane, kes otsib Principia püstitatud teooriat, et seda võrrelda näiteks Zermelo-Fraenkeli süsteemiga, peab hiljem teksti vaatama erinevaid numbreid. Valiku aksioom on at 88-s määratletud kui „multiplikatiivne aksioom“ja lõpmatuse aksioomi versioon ilmub II köites ∗ 120 juures kui „lõpmatu telg“. Principia komplektne teooria on Zermelo 1908. aasta aksioomidele lähemal mitmesuguste tuttavate aksioomisüsteemide seas, mis tähendab, et sellel puuduvad setteooria nüüd standardsete Zermelo-Fraenkeli aksioomide aluse aksioom ja asendamise aksioom. Principia süsteem erineb Zermelo omast olulisel määral selle poolest, et see on sõnastatud lihtsas tüüpi teoorias. Selle tulemusel puudub näiteks kvantifikaator, mis ulatuks kõigist komplektidest, ja olemas on kõigi asjade kogum (iga tüübi jaoks).

∗ 30 teemal “Kirjeldavad funktsioonid” pakub Whiteheadi ja Russelli matemaatiliste funktsioonide analüüsi suhete ja kindlate kirjeldustena. Frege oli funktsiooni mõistet matemaatiliselt kasutanud oma loogilises süsteemis põhimõistena. Seega on Fregeani „kontseptsioon” funktsioon objektidest argumentidena ühele kahest „tõe väärtusest” kui selle väärtustest. Mõiste annab väärtuse “tõene” iga objekti jaoks, mille suhtes kontseptsioon kehtib, ja “vale” kõigi teiste jaoks. Russell, juba aastast 1904, oli juba enne Principia kirjutamist eelistanud funktsioone analüüsida iga argumendi ja väärtuse vahelise seose ning "ainulaadsuse" mõiste osas. Kaasaegse sümboolikaga väljendataks tema vaadet järgmiselt. Iga funktsiooni (lambda xf (x)) jaoks on mingi seos (pikenduses) (R),nii, et argumendi (a) funktsiooni väärtus, st (f (a)), on ainulaadne isik, kes kannab seost (R) (a) -ga. (Tänapäeval taandame funktsioonid binaarseks suhteks argumendi ja teiselt poolt väärtuse vahel.) Tulemuseks on, et Principias puuduvad funktsioonisümbolid. Nagu Whitehead ja Russell ütlevad, analüüsitakse tuttavaid matemaatilisi väljendeid nagu “(sin / pi / 2)” seose ja kindla kirjeldusega kui “kirjeldavat funktsiooni”. Kirjeldav funktsioon, (R'y) ((y)) (((R))), on määratletud järgmiselt:) Tulemuseks on, et Principias puuduvad funktsioonisümbolid. Nagu Whitehead ja Russell ütlevad, analüüsitakse tuttavaid matemaatilisi väljendeid nagu “(sin / pi / 2)” seose ja kindla kirjeldusega kui “kirjeldavat funktsiooni”. Kirjeldav funktsioon, (R'y) ((y)) (((R))), on määratletud järgmiselt:) Tulemuseks on, et Principias puuduvad funktsioonisümbolid. Nagu Whitehead ja Russell ütlevad, analüüsitakse tuttavaid matemaatilisi väljendeid nagu “(sin / pi / 2)” seose ja kindla kirjeldusega kui “kirjeldavat funktsiooni”. Kirjeldav funktsioon, (R'y) ((y)) (((R))), on määratletud järgmiselt:

) tag * {∗ 30 · 01} R'y = (atoi x) xRy / quad / Df)

Selle lõigu lõpetame, esitades allpool nende hilisemate numbrite hulgast silmapaistvaid näiteid, nende intuitiivne tähendus, asukoht PM-is, PM-is määratlus ja kaasaegne vaste. (Mõned neist numbritest on pigem teoreemid kui definitsioonid.) Pange siiski tähele, et kaasaegne vaste erineb mõnikord loogiliselt PM-i algsest versioonist, näiteks käsitledes suhteid järjestatud paaride komplektidena jne. Tema loogikaarvestuses of Principia, WV Quine (1951) vaidlustab suure osa selle sümboolika keerukusest ja isegi koondamisest. Neid valemeid saab välja töötada, kasutades määratlusi järk-järgult.

Iga valemi numbri kohta esitame teabe järgmises vormingus:

PM sümbol	(Intuitiivne tähendus) [Asukoht] PM Määratlus Modern Equivalent
(alfa / alamhulk / beeta)	((alpha) on (beeta) alamhulk. [∗ 22 · 01] (x / in / alpha / ldot { supset_x} ldot x / in beeta) (alpha / subseteq / beeta)
(alpha / cap / beeta)	((alpha) ja (beeta)) ristmik [∗ 22 · 02] (hat {x} (x / in / alpha / sdot x / in beeta)) (alfa / kork / beeta)
(alfa / tass / beeta)	((alfa) ja (beeta]) liit [∗ 22 · 03] (müts {x} (x / in / alpha / lor x / in beeta)) (alfa / tass / beeta)
(- / alfa)	((alfa)) komplement [∗ 22 · 04] (hat {x} (x / osim / in / alpha)) [st, (hat {x} osim (x / \ alpha)) by 20 · 06] ({x / keskel x / ei / in / alpha })
(alfa - / beeta)	((alpha) miinus (beeta)) [∗ 22 · 05] (alpha / cap - / beta) ({x / mid x / in / alpha / amp x / not / \ beeta })
(matemaatika {V})	(universaalne klass) [∗ 24 · 01] (müts {x} (x) = (x)) (matemaatika {V}) või ({x / keskel x = x })
(Lambda)	(tühi klass) [∗ 24 · 02] (- / mathrm {V}) (varnothing)
(R'y)	((y)) (kirjeldav funktsioon) [∗ 30 · 01] ((atoi x) (xRy)) (f ^ {- 1} (y)), kus (f = { langle x, y / rangle / Rxy / keskel })
(breve {R})	((R)) vastand [∗ 31 · 02] (müts {x} müts {z} (zRx)) ({ langle x, z / rangle / keskel Rzx })
(ümarool {R} 'y)	((y)) eelkäijad [∗ 32 · 01] (müts {x} (xRy)) ({x / keset Rxy })
(üle vasaknool {R} 'x)	((x)) R-pärijad [∗ 32 · 02] (hat {z} (xRz)) ({z / keskel Rxz })
(DR)	(domeen (R)) [∗ 33 · 11] (müts {x} {(eksisteerib y) sdot xRy }) ({x / mid / eksisteerib yRxy })
(backd'R)	(vahemik (R)) [∗ 33 · 111] (müts {z} {(eksisteerib x) sdot xR z }) ({z / keskel / eksisteerib x Rxz })
(C'R)	((R)) väli [∗ 33 · 112] (müts {x} {(eksisteerib y): xRy / ldot { lor} ldot yRx }) ({x / keskel / eksisteerib y (xRy / lor yRx) })
(R / keskel S)	((R) ja (S)) suhteline korrutis [∗ 34 · 01] (hat {x} hat {z} {(eksisteerib y) sdot xRy / sdot ySz }) ({ langle x, z / rangle / mid / eksisteerib y (xRy / amp ySz) })
(R / piirang / beeta)	((R) piiranguks (beeta)) [∗ 35 · 02] (müts {x} müts {z} [xRz / sdot z / in beeta]) ({ langle x, z / rangle / keset z / in / beta / amp Rxz })
(alfa / ülesvool / beeta)	(Descartes'i toode toodetes (alpha) ja (beeta)) [∗ 35 · 04] (hat {x} hat {z} [x / in / alpha / sdot z / in beta)] (alfa X / beeta) või ({ langle x, z / rangle / keskel x / in / alpha / amp z / in beeta })
(R '' / beeta)	((beeta] projektsioon (R)) abil [∗ 37 · 01] (müts {x} {(eksisteerib y) sdot y / in / beta / sdot x Ry }) ({x / mid / eksisteerib y (y / in beeta / amp Rxy) })
(iota'x)	(x-i ainsus) [∗ 51 · 11] (müts {z} (z = x)) ({x })
(mathbf {1})	(kardinal number 1) [∗ 52 · 01] (müts { alpha} {(eksisteerib x) sdot x = / iota'x }) ({x / mid / eksisteerib y \; (x = {y }) }) (kõigi singletonite klass)
(mathbf {2})	(kardinal number 2) [∗ 54 · 02] (müts { alpha} {(eksisteerib x, y) sdot x / neq y / sdot / alpha = / iota'x / cup / iota'y }) ({x / keskel / eksisteerib y / eksisteerib z (y / neq z / amp x = {y } tass {z }) }) (kõigi paaride klass)
(x / allanool y)	((x) ja (y) tavaline paar [∗ 55 · 01] (iota'x / ülesvool / iota'y) (langlex, y / rangle) (tellitud paar (langle x, y / rangle))
Märge:	PM-i paberkandjal lühendatud väljaanne kuni 56 to läheb ainult nii kaugele, nii et ülejäänud definitsioonid on olnud kättesaadavad ainult neile, kellel on juurdepääs PM-i kolmele kogule.
(alpha / rightarrow / beeta)	[∗ 70 · 01] (hat {R} (overrightarrow {R} “\ backed” R / subet / alpha / sdot / overleftarrow {R} “D'R / subset / beta) (f: / alfa / paremnool / beeta) (funktsioonid (f) (alfa) kuni (beeta)
(alpha / mathbin { ületähtsustatud { mathrm {sm}}} beeta)	(sarnasussuhete klass vahemikus (alpha) ja (beta)) [∗ 73 · 01] (1 / paremnool 1 / cap / ülejääva nool {D} '\ alpha / cap / overleftarrow { backd } '\ beeta) ({f / keskel f: / alpha / stackrel {1-1} { longrightarrow} beta })
(matemaatika {sm})	(sarnasuse seos) [∗ 73 · 02] (hat { alpha} hat { beta} (on olemas! / alpha / mathbin { overline { mathrm {sm}}} beeta)) (alpha / approx / beeta)
(R _ *)	((R)) esivanem [∗ 90 · 01] (müts {x} müts {y} {x / C 'R / koolon / breve {R} / mu / alamhulk / mu / sdot x / in / mu / ldot { supset _ { mu}} ldot y / in / mu }) Nüüd kirjutatud (R ^ *) järgib Frege määratlust: (y) on kõigis (R) - pärilikud klassid (x) asuvad.

11. II köite aritmeetika

Principia Mathematica II köide algab III osast “Kardinaalne aritmeetika”. Kardinaalsete arvude mõisteid arendatakse täiesti üldises plaanis, ulatudes lõpmatute kardinaliteni. Sellest tulenevalt tutvustatakse naturaalarvude teooriat, mida PM-s nimetatakse “induktiivseks kardinaliks” koos mõistete erijuhtude definitsioonide seeriaga, mis võetakse esmakordselt kasutusele üldkujul, mis kehtib kõigi arvude või klasside kohta. Näiteks naturaalarvude lisamine, nagu kuulsas tõendis, mille kohaselt 1 + 1 = 2 ∗ 110,04-s tõestatakse kardinaalsetele numbritele kehtiva klasside liitmise erijuhuna '(+ _ c)'. Need määratlused, lõpetades lõpmatuse aksioomi ilmumisega at 120,03, viivad sissejuhatuse Principia Mathematica sümboolikasse.

(mathrm {N_c})	(kardinalinumbrid) [∗ 100 · 01] (ülekäik { mathrm {sm}}) See on tegelikult suhe klassi ja tema kardinali vahel. ({x / keskel / forall y (y / x-leftrightarrow / forall z / forall wz, w / in y / leftrightarrow z / approx w)) }) kardinalarvud on võrdsel arvul (sarnased) klassid.
(mathbf {0})	(kardinaalne arv 0) [∗ 101 · 01] (0 = / mathrm {N_c} '\ Lambda) ({ varnothing }) Kõigi klasside klass, mis on võrdne tühja komplektiga, on ainult ainsus mis sisaldab tühja komplekti.
(alfa + / beeta)	((alpha) ja (beeta] aritmeetiline summa) [∗ 110 · 01] (allanool (Lambda / cap / beeta) “\ iota” / alpha / cup (Lambda / cap / alpha) downarrow “\ iota“\ beeta)) See on (alpha) ja (beta) liit pärast nende lahutamist, ühendades (beta) iga elemendi ({ alpha }) ja (alpha) iga element koos ({ beta }). Klassid (alpha) ja (beeta) ristuvad summa elementide tüübiga tühja klassiga (Lambda). ((beeta / ajad { alfa}) tass (alfa / ajad { beeta }))
(mu + _c / nu)	((mu) ja (nu) kardinaalne summa) [∗ 110 · 02] (hat { xi} {((eksisteerib / alfa, / beeta) sdot / mu = / mathrm {N_0 c} '\ alpha / sdot / nu = / mathrm {N_0 c}' / beeta / sdot / xi \, / mathrm {sm} (alpha + / beeta) }) Kardinaalne liitmine on aritmeetiline summa homogeensete kardinalide hulgast, ühtlast tüüpi kardinalid, millega (alpha) ja (beta) on seotud (mathrm {N_0 c}) (see on ise määratletud [∗ 103 · 01]). ({x / keskel x / umbes (beeta / ajad { alfa}) tass (alfa / ajad {{beeta }) })

Lugeja saab nüüd aru, miks seda elementaarset teoreemi tõestatakse alles PM II köite 83. leheküljel:

) tag * {∗ 110 · 643} 1 + _c 1 = 2)

Whitehead ja Russell märgivad, et “ülaltoodud väide on aeg-ajalt kasulik. Seda kasutatakse vähemalt kolm korda,…”. See nali tuletab meile meelde, et looduslike arvude teooria, nii Frege teoste keskne, ilmub PM-s kardinaalsete ja ordinaalarvude üldise teooria ning isomorfsete struktuuride veelgi üldisemate klasside erijuhuna.

See PM-is tehtud märkuste uurimine lõpeb naturaalarvude määratluse ja lõpmatuse aksioomi avaldusega, mis võimaldab tõestada Peano aritmeetika teisi aksioome kui taas üldisemate mõistete erijuhte.

NC indutseerida

(induktiivsed kardinalid) [∗ 120 · 01] (müts { alpha} { alpha ({+ _ c} 1) _ * 0 }) ({x / mid 0 S ^ * x }) Induktiivsed kardinalid on „naturaalarvud”, on 0 ja kõik need kardinaalsed numbrid, mis on 0ga seotud „järeltulija suhte” esivanemaga (S), kus (xSy) igaks juhuks (y = x +1).

Lõplik kirves

(lõpmatuse aksioom) [∗ 120 · 03] (alpha / in / text {NC induct} sdot / supset _ { alfa} sdot / eksisteerib! / alfa) (forall y ({x / mid 0S ^ * x } supset y / neq / varnothing)) Lõpmatuse aksioom kinnitab, et kõik induktiivsed kardinalid pole tühjad. (Pidage meeles, et 0 = ({ muutmata }) ja seega 0 ei ole tühi.) Lõpmatuse aksioom ei ole "primitiivne väide", vaid tuleb selle kasutamise korral loetleda "hüpoteesina", see tähendab tingimusliku eelkäijana, kus väidetav sõltub väidetavalt aksioomist. Tehniliselt ei ole see PM-i aksioom, kuna [∗ 120,03] on määratlus, seega on see PM-is vaid veel üks märkus!

12. Järeldus

Definitsioonid kuni · 120,03 moodustavad ainult umbes poole PM-i määratlustest. Teise väljaande (1925) I köite viimased kaheksa lehekülge (667–674) koosneb kõigist kolmest köitest koosnev täielik mõistete loetelu. Kirjavahetus Bertrand Russelli arhiivis viitab sellele, et selle nimekirja võis koostada Dorothy Wrinch. Loendit saab kasutada PM määratletud väljendite jälgimiseks käesolevas kandes käsitletud märkuse juurde.

Bibliograafia

• Carnap, R., 1947, tähendus ja vajalikkus, Chicago: University of Chicago Press.
• Church, A., 1976, “Semantiliste antinoomide Russelli resolutsiooni võrdlus Tarski omaga”, Journal of Symbolic Logic, 41: 747–60.
• Chwistek, L., 1924, “Konstruktiivsete tüüpide teooria”, Annales de la Société Polonaise de Mathématique (Rocznik Polskiego Towarzystwa Matematycznego), II: 9–48.
• Feys, R. ja Fitch, FB, 1969, Matemaatilise loogika sümbolite sõnaraamat, Amsterdam: Põhja-Holland.
• Gödel, K., 1944, “Russelli matemaatiline loogika”, PA Schilpp, toim., Bertrand Russelli filosoofia, LaSalle: Open Court, 125–153.
• Landini, G., 1998, Russelli varjatud asendusteooria, New York ja Oxford: Oxford University Press.
• Linsky, B., 1999, Russelli metafüüsiline loogika, Stanford: CSLI Publications.
• –––, 2009, „Kirjeldavatest funktsioonidest tellitud paaride komplektideni” redutseerimisel - abstraktsioonil - analüüsil, A. Hieke ja H. Leitgeb (toim.), Ontos: München, 259–272.
• –––, 2011, Principia Mathematica evolutsioon: Bertrand Russelli käsikirjad ja märkused teiseks väljaandeks, Cambridge: Cambridge University Press.
• Quine, WVO, 1951, “Valgepea ja moodsa loogika tõus”, Alfred North Whiteheadi filosoofia, toim. PA Schilpp, 2. trükk, New York: Tudor Publishing, 127–163.
• Russell, B., 1905, “On Denoting”, Mind (NS), 14: 530–538.
• Turing, AM, 1942, “Punktide kasutamine sulgudena kiriku süsteemis”, Journal of Symbolic Logic, 7: 146–156.
• Whitehead, AN ja B. Russell, [PM], Principia Mathematica, Cambridge: Cambridge University Press, 1910–13, 2. trükk, 1925–27.
• Whitehead, AN ja B. Russell, 1927, Principia Mathematica kuni 56, Cambridge: Cambridge University Press.

Akadeemilised tööriistad

	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

• Principia Mathematica, reprodutseeritud Michigani ülikooli ajaloolise matemaatikakollektsioonis.
• Russelli teos "On Denoting", mis pärineb Mind 1905 originaalartikli kordustrükist Logic and Knowledge (R. Marsh, toim. 1956), HTML-i sisestanud Cosma Shalizi (U. Michigan, Keerukate süsteemide uuringute keskus).