Mitmuse Kvantifitseerimine

Sisukord:

Mitmuse Kvantifitseerimine
Mitmuse Kvantifitseerimine
Anonim

Sisenemise navigeerimine

  • Sissesõidu sisu
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Sõprade PDF-i eelvaade
  • Teave autori ja tsitaadi kohta
  • Tagasi üles

Mitmuse kvantifitseerimine

Esmakordselt avaldatud 27. oktoobril 2004; sisuline redaktsioon teisipäev, 16. mai 2017

Tavaline inglise keel sisaldab erinevaid objektide kvantifitseerimise vorme. Lisaks tavapärasele ainsusele kvantifitseerimisele, nagu

(1) Laual on õun

on mitmuse kvantifitseerimine, nagu ka

(2) Laual on mõned õunad

Alates Frege'ist on formaalne loogika eelistanud kahte ainsusekvantiiri (forall {x}) ja (eksisteeriv {x}) nende mitmuse kolleegide (forall {xx}) ja (eksisteeriva { xx}) (tuleb lugeda nii nagu kõigi asjade jaoks (xx) ja on ka mõned asjad (xx)). Kuid viimastel aastakümnetel on väidetud, et meil on põhjust oma primitiivsete loogiliste mõistete hulgas lubada ka mitmuslikke kvantiive (forall {xx}) ja (eksisteerib {xx}) (Boolos 1984 ja 1985a).

Vastuolulisemalt on väidetud, et sellest tulenev formaalne süsteem koos mitmuse ja ka ainsuse kvantifitseerimisega kvalifitseerub “puhta loogikana”; eriti, et see on universaalselt rakendatav, ontoloogiliselt süütu ja suurepäraselt mõistetav. Lisaks sellele, et see lõputöö on iseenesest huvitav, teeb see mitmuse kvantifitseerimise kättesaadavaks kui süütu, kuid äärmiselt võimsa tööriista metafüüsikas, matemaatikafilosoofias ja filosoofilises loogikas. Näiteks on George Boolos kasutanud monaadilise teise järgu loogika tõlgendamiseks mitmuses kvantifitseerimist [1]ja on selle põhjal väitnud, et monaadiline teise astme loogika kvalifitseerub „puhtaks loogikaks”. Mitmuse kvantifitseerimist on kasutatud ka katsetes kaitsta logistilisi ideid, arvestada püstitatud teooriat ja kõrvaldada ontoloogilised kohustused matemaatiliste objektide ja keerukate objektide suhtes.

  • 1. Mitmuse kvantifitseerimise keeled ja teooriad

    • 1.1 Mitmuse kvantifitseerimise rügement
    • 1.2 PFO ja PFO + teooriad
  • 2. Mitmuse või teise astme kvantitatiivne arvutamine

    • 2.1 Mitmuse kvantifitseerimine ja monaadiline teise astme loogika
    • 2.2 Suhted
    • 2.3 Modaalne kontekst
    • 2.4 Mitmuse kvantifitseerimise kõrgem tase?
  • 3. Loogilisuse tees
  • 4. Mitmuse kvantifitseerimise rakendused

    • 4.1 Monadilise teise järgu loogika loogilisuse tuvastamine
    • 4.2 Loogika
    • 4.3 Määrake teooria
    • 4.4 Matemaatiline nominalism
    • 4.5 Keerukate objektide elimineerimine
  • 5. Ontoloogiline süütus?

    • 5.1 Määratud teoreetiline argument
    • 5.2 Vale ennustusargument
    • 5.3 Otsene argument
    • 5.4 Semantilised väärtused ja ontoloogilised kohustused
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Muud Interneti-ressursid
  • Seotud kirjed

1. Mitmuse kvantifitseerimise keeled ja teooriad

Loogilised formalismid, mis on Frege ajast saadik domineerinud analüütilises traditsioonis, ei võimalda mitmust kvantifitseerida. Sissejuhatavates loogikakursustes õpetatakse seetõttu õpilasi tavaliselt mitmuse asukohtade parafraseerimiseks. Näiteks võidakse neid õpetada muutma „Alice ja Bob näljaseks”, kuna „Alice on näljane ja Bob on näljane” ja „laual on mõned õunad”, nagu „(olemas {x} eksisteerib { y} (x) on laual olev õun ja (y) on laual olev õun & (x / ne y))”. Kuid mitte ainult sellised parafraasid pole sageli ebaloomulikud, vaid need ei pruugi isegi saadaval olla. Üks huvitavamaid näiteid ainsuse parafraseerimisele vastu paneva mitmuse kohta on nn Geach-Kaplani lause:

(3) Mõned kriitikud imetlevad ainult üksteist

Tõenäoliselt pole sellel lausel ainsat esimese järgu parafraasi, kasutades ainult lauses endas esinevaid predikaate. [2]

Kuidas selliseid lauseid vormistada? Traditsiooniline seisukoht, mida kaitseb näiteks Quine, on see, et kõik parafraasid tuleb esitada klassikalises esimese järgu loogikas, vajadusel täiendades neid teooriaga. Eelkõige soovitab Quine, et (3) tuleks vormistada järgmiselt:

) silt {(3 ')} silt {ex3prime} kern-5pt / eksisteerib {S} (eksisteerib {u} mstop u / S / amp / Forall {u} (u / S-is / paremnool Cu) amp / Forall {u} Forall {v} (u / S / amp / textit {Auv} rightarrow v / in S / amp u / ne v)))

(1973: 111 ja 1982: 293). [3]

Kahes 1980. aastate olulises artiklis vaidlustas George Boolos selle traditsioonilise vaate (Boolos 1984 ja 1985a). Ta väidab, et loomuliku keele mitmuse asukohtade ümber sõnastamise nõudmine on lihtsalt eelarvamus. Selle asemel soovitab ta, et ainsuse kvantifikaatorid (Forall {x}) ja (Olemas {x}) saaksid oma legitiimsuse tõsiasjast, et nad tähistavad loomulikus keeles teatavaid kvantitatiivseid seadmeid, nii nagu ka nende mitmuse vasteid (Forall {xx}) ja (Olemas {xx}). Sest pole kahtlust, et looduskeeles kasutame ja mõistame väljendeid „mis tahes asjade jaoks“ja „on olemas mõned asjad“. [4] Kuna need kvantandid seovad muutujaid, mis võtavad nime (mitte predikaadi) positsiooni, on nad esimese astme kvantifikaatorid, ehkki mitmused.

1.1 Mitmuse kvantifitseerimise rügement

Kirjeldan nüüd lihtsat ametlikku keelt, mida saab kasutada mitmuse kvantifitseerimise rügement, kuna see toimub inglise ja muudes looduskeeltes.

Ametlik keel (L _ { textrm {PFO}}). Olgu ametlik keel (L _ { textrm {PFO}}) (mitmuse esimese järgu jaoks) järgmine.

  1. (L _ { textrm {PFO}}) on järgmised terminid (iga naturaalarvu (i) kohta):

    • ainsuse muutujad (x_i)
    • mitmuse muutuja (xx_i)
    • ainsuse konstandid (a_i)
    • mitmuse konstandid (aa_i)
  2. (L _ { textrm {PFO}}) on järgmised predikaadid (nende argumendikohad on ainsuses):

    • kaks dünaadilist loogilist predikaati = ja (prec) (tuleb mõelda identiteedina ja seos on üks)
    • mitteloogilised predikaadid (R ^ {n} _i) (iga adicity (n) ja iga naturaalarvu (i) kohta)
  3. (L _ { textrm {PFO}}) on järgmised valemid:

    • (R ^ {n} _i (t_1, / ldots, t_n)) on valem, kui (R ^ {n} _i) on (n) - adic predikaat ja (t_j) on ainsus termineid
    • (t / prec T) on valem, kui (t) on ainsustermin ja (T) mitmustermin
    • (neg / phi) ja (phi / amp / psi) on valemid, kui (phi) ja (psi) on valemid
    • (Olemas {v} mstop / phi) ja (eksisteerib {vv} mstop / phi) on valemid, kui (phi) on valem ja (v) on ainsusmuutuja ja (vv) mitmus
    • teisi ühendusi peetakse tavapärasel viisil lühenditeks.

(L _ { textrm {PFO}}) saame vormistada mitmeid ingliskeelseid nõudeid, mis hõlmavad mitmuseid. Näiteks (2) võib vormistada järgmiselt:

) silt {(2 ')} silt {ex2prime} eksisteerib {xx} Forall {u} (u / prec xx / rightarrow Au / amp Tu))

Ja Geach-Kaplani lause (3) võib vormistada järgmiselt:

) silt {(3 '')} silt {ex3pprime} eksisteerib {xx}) Forall {u} (u / prec xx / rightarrow Cu) amp / Forall {u} Forall {v} (u / prec xx / amp / textit {Auv} rightarrow v / prec xx / amp u / ne v)].)

Keelel (L _ { textrm {PFO}}) on aga üks tõsine piirang. Me näeme seda eristades mitmuse mitmuse predikatsiooni kahte tüüpi. Mitmuseargumente sisaldav predikaat (P) on jaotatav juhul, kui analüütiline on, et: (() (P) hoiab mõnda asja (xx) ja ainult siis, kui (P) hoiab iga (u) selliselt, et (u / prec xx). [5] Näiteks predikaat „on laual” jagunev, kuna on analüütiline, et mõned asjad (xx) on laual igaks juhuks, kui kõik (xx) on laual. Predikaat (P), mis ei ole levitav, on väidetavalt mittelevitav või kollektiivne. [6]Näiteks predikaat „moodustavad ringi” pole jaotatav, kuna pole analüütiline, et alati, kui mõned asjad (xx) moodustavad ringi, moodustavad kõik (xx) ringi. Veel üks näide mittes Distribitiivsest mitmuse predikatsioonist on loogilise predikaadi teine argument-koht (prec): sest see pole tõsi (rääkimata analüütilisest), et alati, kui (u) on üks (xx, u) on üks kõigist (xx). Seetõttu on nii loomulik kui ka kasulik pidada pisut rikkamat keelt:

Ametlik keel (L _ { textrm {PFO} +}). Keel (L _ { textrm {PFO} +}) lubab mittejaotavaid mitmuse predikaate, välja arvatud (prec). Teeme seda, muutes (L _ { textrm {PFO}}) määratlust, et võimaldada predikaate (R ^ {n} _i), mis võtavad mitmuse argumente. Need predikaadid võivad olla loogilised või mitteloogilised. [7]

Kas peaksime lubama ka predikaate argumendikohtadega, mis võtavad nii ainsuse kui ka mitmuse argumente? Paljud ingliskeelsed predikaadid toimivad sel viisil, näiteks “… on / on laual”. Nii et kui meie peamine huvi oleks looduskeele analüüsimine, peaksime tõenäoliselt sellised predikaadid lubama. Kuid praegusel otstarbel on lihtsam selliseid predikaate mitte lubada. Igal juhul lubame varsti paljusust, mis koosneb ainult ühest asjast. [8]

Praegu tõlgendatakse ametlikke keeli (L _ { textrm {PFO}}) ja (L _ { textrm {PFO} +}) ainult nende tavalisse inglise keelde tõlkimise teel, millele on lisatud indeksid ristviitamise hõlbustamiseks (Boolos 1984: 443–5 [1998a: 67–9]; Rayo 2002: 458–9). (Tõsisemaid semantilisi probleeme käsitletakse 4. jaos, kus meie põhiküsimus on see, kas meie mitmuse kvantifitseerimise teooriad ontoloogiliselt pühenduvad mingile „komplektilaadsele” olemile.) Selle tõlke kaks sätet, mis on vahetult seotud mitmused on

(4) (Tr (x_i / prec xx_j) = / textrm {it} _i) on üks neist (_ j)

(5) (Tr (eksisteerib {xx_j} mstop / phi) =) on mõned asjad (_ j), näiteks (Tr (phi))

Muud klauslid on ilmsed, näiteks: (Tr (phi / amp / psi) = (Tr (phi)) ja (Tr (psi))). See tõlge võimaldab tõlgendada kõiki lausete {(L _ { textrm {PFO}}) ja (L _ { textrm {PFO} +}) lauseid, tuginedes intuitiivsele inglise keele mõistmisele. Kasulik on kaaluda mõnda näidet. Rakendades (Tr) näiteks (ref {ex2prime}), saadakse:

(2 ″) On mõned asjad (_ 1), nii et kõige jaoks (_ 2) (kui see (_ 2) on üks neist (_ 1), siis (_ 2) on õun ja see (_ 2) on laual)

1.2 PFO ja PFO + teooriad

Kirjeldame nüüd mitmuse esimese järgu kvantifitseerimise PFO teooriat, mis põhineb keelel (L _ { textrm {PFO}}). Alustame tavalise identiteediga esimese astme loogika aksiomatizationist. Meie praegustel eesmärkidel on mugav seda loogikat aksiomativeerida kui looduslikku deduktsioonisüsteemi, võttes kõiki tautoloogiaid aksioomidena ja tuttavaid looduslike deduktsioonide reegleid, mis reguleerivad ainsusekvantoreid ja identiteedimärki kui järelduse reegleid. Seejärel laiendame ainsuse kvantifikaatorite loomuliku deduktsiooni reegleid mitmusele loomulikul viisil. Järgmisena vajame mõnda aksioomi, mis sobivate valemite (phi (x)) korral võimaldavad meil rääkida (phi) -dest. Tavalises inglise keeles osutab mitmiklausete kasutamine tavaliselt kahe või enama objektiga seotud probleemidele. Kuid kahe või enama objekti olemasolu ei pruugi olla semantiliselt vajalik; näiteks,“Sellesse klassi registreerivad õpilased õpivad palju” tundub olevat tõsi, isegi kui ainult üks õpilane registreerub. Seetõttu on mõistlik ja mugav nõuda ainult seda, et leiduks vähemalt üks objekt, mis vastab (phi (x)). (Enamik inimesi, kes kirjutavad sellel teemal) teevad selle järeleandmise.) See põhjustab mitmuse mõistmise aksioome, mis on skeemi näited.

) silt {Comp} on olemas {u} phi (u) paremnool / olemas {xx} Forall {u} (u / prec xx / leftrightarrow / phi (u)))

kus (phi) on valem rakenduses (L _ { textrm {PFO}}), mis sisaldab "(u)" ja võib-olla muid muutujaid vaba, kuid ei sisalda "(xx)". (See tähendab, et kui midagi on (phi), siis on mõned asjad, nii et kõik on üks neist, ja ainult siis, kui see on (phi).) Selleks, et täielikult haarata idee, et kõik paljusused on mitte-tühi, võtame vastu ka aksioomi

) tag {6} Forall {xx} eksisteerib {u} (u / prec xx).)

(See tähendab, et mis tahes asja jaoks on üks neist.) Olgu PFO + teoorial, mis põhineb keelt (L_ {PFO +}), mis tekib analoogsel viisil, kuid millel on lisaks järgmine laiendamise aksioomiskeem:

) tag {7} Forall {xx} Forall {yy}) Forall {u} (u / prec xx / leftrightarrow u / prec yy) rightarrow (phi (xx) leftrightarrow / phi (yy))])

(See tähendab, et kõigi asjade (_ 1) ja kõigi asjade (_ 2) korral (kui miski on üks neist (_ 1) kui ja ainult see on üks neist (_ 2), siis nad (_ _1) on (phi) siis ja ainult siis, kui nad (_ 2) on (phi)).) See aksioomiskeem tagab, et kõik samaaegsed paljusused on vaieldamatud.

Märkused terminoloogia kohta. Suhtluse hõlbustamiseks kasutame sõna „paljusus”, võtmata seisukohta selle kohta, kas paljususena eksisteerivad üksused tõesti olemas on. Lauseid, mis hõlmavad sõna „paljusus”, saab alati pikemas mõttes ümber kirjutada ilma seda sõna kasutamata. Näiteks võib ülaltoodud väidet, et “kõik mitmused pole tühjad”, ümber kirjutada nii, et “kui on mingeid asju (xx), on midagi (u), mis on üks asjadest (xx)”. Kui ontoloogiline väide (on), antakse sellele märku, kasutades selle asemel asukohta „mitmuse olem”.

2. Mitmuse või teise astme kvantitatiivne arvutamine

„Teise järgu loogika” all mõistame loogikat, mis laiendab tavalist esimese järgu loogikat, võimaldades kvantifitseerida predikaadi positsiooni. Näiteks, kui "a (a) on õun", võime järeldada loogika teisest järjekorrast "(olemas {F} mstop Fa "). Kuid ülalkirjeldatud mitmuse loogika laiendab tavalist esimese järgu loogikat erineval viisil, nimelt võimaldades kvantifitseerida mitmuse argumendi positsiooni. Kuid predikaadid ja mitmuse nimisõnafraasid kuuluvad erinevatesse süntaktilistesse ja semantilistesse kategooriatesse. Näiteks esimene koosneb väljenditest, mis on küllastamata (Frege mõistes) - st sisaldavad lünki või argumendikohti -, samas kui viimane koosneb küllastunud väljenditest (Higginbotham 1998: sept. 7; Oliver ja Smiley 2001; Rayo) ja Yablo 2001: sekt X; Simons 1997; Williamson 2003: sekt IX; Yi 2005). Sellest tulenevaltteise järgu kvantifitseerimist ja mitmust kvantifitseerimist peetakse üldiselt kvantifitseerimise erinevateks vormideks. Selles jaotises käsitlen mõningaid erinevusi ja sarnasusi.

2.1 Mitmuse kvantifitseerimine ja monaadiline teise astme loogika

(Lugejad, kes on vähem huvitatud tehnilistest probleemidest, võiksid seda lõiku halvendada.) Boolos leidis, et teoorias PFO on võimalik tõlgendada monaadilist teise järgu loogikat. [9] Las MSO on (täielikult impredikatiivse) monaadilise teise järgu loogika standardne aksiomatization mingis sobivas keeles (L _ { textrm {MSO}}) (Shapiro 1991: ptk 3; Boolos jt 2002: ptk) 22). Boolos määratleb kõigepealt tõlke (Tr '), mis seob suvalise valemi (L _ { textrm {MSO}}) mõne valemiga: (L _ { textrm {PFO}}). Sellel määratlusel, mis lähtub valemite {(L _ { textrm {MSO}}) valemite keerukusest induktsioonist, on ainsad mittetriviaalsed klauslid järgmised kaks, mis on seotud teise järgu muutujatega:

) silt {8} Tr '(X_jx_i) = x_i / täpsed xx_j)) silt {9} Tr' (eksisteerib {X_j} mstop / phi) = / on olemas {xx_j} mstop / Tr '(phi) lor Tr' (phi *))

kus (phi *) on (x_i / ne x_i) igal pool asendamisega (X_j x_i). Nende kahe klausli mõte on asendada mõistetest rääkimine (või mis iganes üksused, mille ulatus ulatub monaadiliste teise järgu muutujateni) kõnedega objektidest, mis nende mõistete alla kuuluvad. Seega, selle asemel, et öelda, et (x_i) kuulub mõiste (X_j) alla, ütleme, et (x_i) on üks (xx_j). Ainus raskus on see, et mõnel mõistel pole juhtumeid, samas kui kõik paljusused peavad hõlmama vähemalt ühte asja. Kuid kontseptsiooni tahtmatuks muutmise võimalust arvestab punkti 9 paremal küljel asuv teine disjunktsioon.

MSO derivaatide induktsiooni abil saab hõlpsalt tõestada, et iga MSO teoreem on seotud mõne PFO teoreemiga. Lisaks on lihtne määratleda "vastupidine" tõlge, mis kaardistab (L _ { textrm {PFO}}) valemeid (L _ { textrm {MSO}}) valemiteks ja tõestada, et see tõlge kaardistab endise teoreemid viimase teoreemide juurde. See näitab, et PFO ja MSO on võrdselt tõlgendatavad. Sarnast tulemust saab tõestada PFO + ja MSO laiendatud MSO + kohta, mis võimaldab (esimese taseme) kontseptsioonide predikaate, eeldusel, et MSO + sisaldab aksioomiskeemi, mille kohaselt on ulatuslikud kontseptsioonid vaieldamatud.

Oluline on selgeks teha, mida PFO ja PFO + võrdne tõlgendatavus vastavalt MSO ja MSO + näitab ja mida ei näita. See näitab, et need kaks teooriapaari on enamiku tehniliste eesmärkide jaoks samaväärsed. Kuid iseenesest ei näita see midagi selle kohta, et need kaks teooriapaari oleksid ekvivalentsed mis tahes nõudlikumas mõttes, millest filosoofid sageli hoolivad (näiteks kui neil on sama episteemiline staatus, ontoloogilised kohustused või analüütiline aste). (Näiteks PFO on võrdselt tõlgendatav aatomi ekstensiivse mereoloogiaga, mida filosoofid kipuvad leidma palju problemaatilisemad kui PFO.) Selleks, et näidata, et kaks teooriapaari on mõnes filosoofiliselt olulises suhtes ekvivalentsed, (F) peab näitama, et ülaltoodud tõlked säilitavad (F) vajalikkuse.

2.2 Suhted

Ehkki mitmuse kvantifitseerimine annab (monadiliste) mõistete kvantifitseerimise üsna loomuliku tõlgenduse, ei anna see (polüadiliste) suhete kvantifitseerimise loomulikku tõlgendust.

Selle piirangu saab ületada (vähemalt tehnilistel eesmärkidel), kui vastavas domeenis on sidumisfunktsioon, see tähendab, kui on olemas funktsioon (pi), mis (pi (u, v) = / pi (u ', v')) igaks juhuks (u = u ') ja (v = v'). Seejärel saab dünaadiliste suhete kvantifitseerimist näidata mitmuses kvantifitseerimisega järjestatud paaride kaudu. Veelgi enam, järjestatud paarifunktsiooni korduvate rakenduste abil saame esindada (n) - tüüpe ja seega ka kvantifitseerida (n) - adic-suhteid. Küsimus on selles, kuidas seda sidumisfunktsiooni mõista. Üks võimalus on jätkata nagu matemaatikas ja postuleerida paarimisfunktsiooni olemasolu abstraktse matemaatilise objektina. Kuid sellel variandil on ilmne puudus, kui astub väljapoole seda, mida enamik inimesi on valmis nimetama puhtaks loogikaks. Nutikam variant,Lewise 1991. aasta lisas ning Hazenites 1997 ja 2000 uuritud eesmärk on simuleerida juttu tellitud paaridest, kasutades ainult ressursse, mis on väidetavalt puhtalt loogilised. Selgub, et juttu tellitud paaridest saab simuleerida monaadilise kolmanda järgu loogikas, arvestades mõningaid usutavaid lisaeeldusi. Monadilist kolmanda järgu loogikat saab omakorda tõlgendada teooriana, mis ühendab mitmuse kvantifitseerimise mereoloogiaga (Lewis 1991: ptk 3; Burgess ja Rosen 1997: II. C.1), või kõrgema tasandi mitmuse kvantifitseerimise kaudu (jagu 2.4). Monadilist kolmanda järgu loogikat saab omakorda tõlgendada teooriana, mis ühendab mitmuse kvantifitseerimise mereoloogiaga (Lewis 1991: ptk 3; Burgess ja Rosen 1997: II. C.1), või kõrgema tasandi mitmuse kvantifitseerimise kaudu (jagu 2.4). Monadilist kolmanda järgu loogikat saab omakorda tõlgendada teooriana, mis ühendab mitmuse kvantifitseerimise mereoloogiaga (Lewis 1991: ptk 3; Burgess ja Rosen 1997: II. C.1), või kõrgema tasandi mitmuse kvantifitseerimise kaudu (jagu 2.4).

2.3 Modaalne kontekst

Modaalses kontekstis kerkib veel üks viis mitmuse ja teise järgu kvantifitseerimise lahutamiseks. Sageli on tingimuslik küsimus, kas objekt kuulub mõiste alla. Ehkki kannan kingi, poleks võib-olla seda teinud. Nii et on olemas kontseptsioon (F), mille alla ma langen, kuid poleks võib-olla langenud. Vastupidiselt näib, et ühe objektina kuulumine pole kunagi tingimuslik. Mõelge inimestele, kes on kõik ja praegu ainult kingad. Siis pole ma mitte ainult üks neist inimestest, vaid ka see tundub olevat vajalik (eeldades, et vastavad objektid eksisteerivad). Kui mind sellest inimeste paljususest eemaldataks, tooks see kaasa teistsuguse paljususe. Et paljusus (aa) oleks pluraalsus, peab see sisaldama täpselt objekte, mida see tegelikult hõlmab. Nii et igas maailmas, kus objektid (aa) üldse olemas on,Ma pean olema üks neist. Tõsi, ma ei pruukinud kingaid kanda. Kuid isegi siis oleksin ma olnud üks (aa) inimestest, ainult siis (aa) poleks olnud kõik ja ainult kingad kandvad inimesed. Mitmuse nimed ja muutujad näivad seega jäigad viisil, mis on analoogne ainsuse nimede ja muutujate tuttava jäikusega: ükskõik millises maailmas, kus mitmust tähistav termin tähistab üldse, tähistab see samu objekte. Eriti tundub, et paljususe suhtes kehtivad järgmised kaks põhimõtet:see tähistab samu objekte. Eriti tundub, et paljususe suhtes kehtivad järgmised kaks põhimõtet:see tähistab samu objekte. Eriti tundub, et paljususe suhtes kehtivad järgmised kaks põhimõtet:

) silt {10} u / prec xx / rightarrow / Box (EExists xx / rightarrow u / prec xx)) [) tag {11} neg (u / prec xx) rightarrow / Box (EExists u / amp / EExists xx / rightarrow / neg (u / prec xx)))

kus (EExists xx) ja (EExists u) on sobivad vorminõuded vastavalt väidetele, et (xx) ja (u) on olemas. [10]

2.4 Mitmuse kvantifitseerimise kõrgem tase?

Üks viis PFO + -st kaugemale jõudmiseks oleks kvantifitseerimine predikaadi positsioonides, sealhulgas mitmuse argumentidega predikaatide positsioonides. Sellega kaasneks laiend, mis tähistab PFO + kui tavaline (ainsus) teise järgu loogika tavalise (ainsuse) esimese järgu loogika. Selliseid laiendusi siin ei arvestata: kui nad on õigustatud ja kui, siis milliseid aksioome nad võivad toetada, siis on see vähem seotud mitmuse ja mitmuse kvantifitseerimisega kui predikaatide semantiliste väärtuste ennustamine ja kvantifitseerimine. [11]

Praeguse eesmärgi jaoks on oluline, kas leidub mingisugust ülitähtsust mitmuses, mis tähendab tavalist mitmuse kvantifitseerimist, kuna tavaline mitmuslik kvantitatiivsus tähistab ainsuse kvantifitseerimist. Kui jah, siis nimetagem seda teise taseme mitmuse kvantifikatsiooniks. Üldisemalt võime proovida kehtestada mis tahes piiratud taseme mitmuse kvantifitseerimise. Selle tulemuseks oleks teooria, mis tehnilistel eesmärkidel on täpselt nagu lihtsa tüübi teooria (Hazen 1997: 247; Linnebo 2003: IV sekt; Rayo 2006).

Ametlike keelte ja mitmuse kõrgema kvantifitseerimise teooriate väljatöötamine on üsna lihtne (Rayo 2006). Näiteks võime tutvustada vormi xxx muutujaid, mis ulatuvad teise tasandi mitmusteni ja seost (xx / prec_2) xxx tuleb mõista analoogselt seosega (x / prec xx). (Vt Linnebo ja Rayo 2012, et saada laiendid piiritletud tasemetele ja saadud teooriaid võrrelda tavalise kogumiteooriaga.) Kuid kas neid kõrgema tasandi mitmuse kvantifitseerimise formaalseid teooriaid saab õigustada kaalutlustega, mis on sarnased teooriate PFO ja PFO + õigusega ?

Boolos ja paljud teised filosoofid eitavad, et kõrgema tasandi mitmuse kvantifitseerimine võib olla seega õigustatud. Selle vaate jaoks on esitatud kahte tüüpi argumente. Esiteks väidetakse, et paljusus on alati asjade paljusus. Kuid kuna mitmuse kvantifitseerimine on ontoloogiliselt süütu, pole selliseid asju nagu paljusus. Seega pole midagi, mida saaks koguda teise astme paljususeks (McKay 2006: 46–53 ja 137–139). Teiseks on tavaline mitmuse kvantifitseerimine õigustatud asjaoluga, et see hõlmab inglise ja muude looduslike keelte teatavaid kvantifitseerimisvahendeid. Kuid inglise ja muud looduskeeled ei sisalda kõrgema taseme mitmuse kvantifitseerimist (Lewis 1991: 70–71)

Mõlemad argumendid on vaieldavad. Esimese osas pole selge, miks ontoloogia peaks olema asjakohane kõrgema tasandi mitmuse kvantifitseerimise legitiimsuse osas. Piisab, kui baastaseme objekte saab korraldada teatavatel keerukatel viisidel. Näiteks teise taseme pluraalsus, mis põhineb cheerios, mis on organiseeritud kui oo oo oo, ei tohiks olla enam ontoloogiliselt problemaatiline kui oooooo-ga korraldatud samadel objektidel põhinev esimese astme pluraalsus, ehkki teisel on täiendav ülesehitus või liigendamine (Linnebo 2003: 87–8).

Ka kahest ülaltoodud argumendist teine on problemaatiline. Alustuseks on väide, et loomulikus keeles puuduvad kõrgema astme mitmuse käänded, peaaegu kindlasti vale. Näiteks islandi keeles on arvsõnadel mitmuse vormid, mis loendavad, mitte üksikud objektid, vaid objektide paljusus, mis moodustavad looduslikud rühmad. Siin on näide:

einn skór tähendab üks kinga
einir skór tähendab üks kingapaar
tvennir skór tähendab kaks paari kingi

See võimaldab meil rääkida kingapaaridest pigem teise astme paljususest kui esimese astme objektide paljususest, näiteks paaridest. Ingliskeelse näitena võiks kaaluda videomängu, kus iga arv võistlejaid ((n)) saab konkureerida võistlusel. Siis näib, et järgmine lause hõlmab ülimuslikku terminit:

(12) Need inimesed, need inimesed ja need teised inimesed konkureerivad omavahel. (Linnebo ja Nicolas 2008)

(Vt ka Oliver ja Smiley 2004: 654–656 ja 2005: 1063; Ben-Yami 2013; ja Simons 2016)

Pealegi on problemaatiline mõte, et kõrgema tasandi mitmuse kvantifitseerimise legitiimsus otsustatakse inglise ja muudes looduskeeltes esinevate kõrgema astme mitmuse paiknemise olemasolu või puudumise tõttu (Hazen 1993: 138 ja 1997: 247; Linnebo 2003: 87; Rayo 2006). Eeldus on see, kas me suudame korrata põhimõtteid ja kaalutlusi, millel põhineb meie arusaam tavalisest esimese astme mitmuse kvantifitseerimisest: kui suudame, siis õigustatakse kõrgema astme mitmuslikku kvantifitseerimist enam-vähem samal viisil nagu tavalist esmast taset. mitmuse kvantifitseerimine; ja kui ei, siis mitte. Seega, isegi kui naturaalsetes keeltes poleks kõrgema astme mitmuse asukohti,see annaks vähe tõendeid või puudub üldse tõendusmaterjal tugevamatele - ja filosoofiliselt huvitavamatele - väidetele, et üheski intelligentsete esindajate räägitavas keeles ei saa sammu iteratsioonist mitmusesse korrata. Veelgi enam, mis tahes sedalaadi tõendusmaterjali võib ümber lükata, osutades sõltumatutele põhjustele, miks kõrgema astme mitmuse asukohti on looduskeeltes vähe. Üks selline sõltumatu põhjus võib olla lihtsalt see, et tavakõnelejad pole oma ontoloogiliste kohustuste pärast eriti mures ja seetõttu on neil mugavam väljendada teise taseme paljusust hõlmavaid fakte, positsioneerides objekte esindama esimese astme paljusid (näiteks rääkides kahest kingapaare), selle asemel et jälgida teise astme mitmuste täiendavat grammatilist seadet (nagu ülaltoodud Islandi näites).

3. Loogilisuse tees

Sageli väidetakse, et teooriad PFO ja PFO + kvalifitseeruvad “puhta loogikana”. Viitame sellele (ilmselt ebamäärasele) väitele loogilisuse teesina. Kuna vastavaid keeli tõlgitakse tõlkega (Tr) tavalisse inglise keelde, on see väide tavalise inglise teatud aksioomide ja järelduste reeglite loogilisuse kohta. [12]

Juba enne loogilisuse lõputöö täpsustamist on võimalik hinnata selle usaldusväärsust vähemalt mõne PFO ja PFO + aksioomi ja järeldamisreeglite osas. Esiteks on identoloogiat ja ainsuse kvantitatoreid reguleerivad tautoloogiad ja järelduseeskirjad. On üksmeel, et neid võib pidada loogilisteks. Järgmisena käsitletakse arvulisi kvantiive reguleerivaid reegleid. Kuna need reeglid on täiesti analoogsed ainsusekvantoreid reguleerivate reeglitega, siis ei saa kuidagi eitada, et need kvalifitseeruvad liiga loogilisteks. Siis on ekstensiivsuse aksioomid ja aksioom, mille kohaselt kõik mitmused pole tühjad. Need aksioomid on ebaproblemaatilised, kuna neid võib usutavalt pidada analüütilisteks. Järele jäävad mitmuse mõistmise aksioomid, kus asjad on palju vähem selged. Neil aksioomidel pole selgeid ainsuse vasteid,ja nende süntaktiline vorm näitab, et nad esitavad eksistentsiaalseid väiteid. Seega pole ilmne, et neid aksioome saab pidada puhtalt loogilisteks.

See ei tähenda, et see pole inimestele silmatorkav olnud, et mitmuse mõistmise aksioomid on puhtalt loogilised. Näiteks väidab Boolos ilma argumendita, et iga mitmuse mõistmise aksioomi tõlge inglise keelde "väljendab loogilist tõde, kui mõni ingliskeelne lause seda teeb" (Boolos 1985b: 342 [1998a: 167]; tema rõhutus).

Loogilisuse väitekirja põhimõttelisemaks hindamiseks tuleb rohkem rääkida sellest, mida võiks tähendada teooria "puhtalt loogiline". Nii et ma vaatlen nüüd mõnda funktsiooni, mida tavaliselt peetakse sellises määratluses oluliseks. Ehkki inimestel on vabadus kasutada sõna "loogika", nagu nad soovivad, on oluline saada selgeks, mida erinevad tavad tähendavad; eriti eeldatakse, et teooriateks, mis kvalifitseeruvad puhtloogilisteks, on sageli mitmesugused soovitavad filosoofilised omadused, näiteks episteemiline ja ontoloogiline süütus. Järgmises osas, kus arutatakse mitmuse kvantifitseerimise erinevaid rakendusi, panen hoolikalt tähele, millistel loogilisuse mõiste tüvedel meie teooriad PFO ja PFO + peavad olema, et nende erinevad rakendused õnnestuks.

Võib-olla kõige vähem vaieldav kandidaat loogika määratlemiseks on selle absoluutne üldisus. Loogiline põhimõte kehtib igasuguse diskursuse korral, olenemata sellest, milliseid objekte see diskursus puudutab. Näiteks modus ponens kehtib mitte ainult füüsikas ja matemaatikas, vaid ka religioonis ja ilukirjandusteoste analüüsimisel. Frege lööb idee kenasti kokku, kui ta ütleb, et loogiline põhimõte kehtib “kõige laiemas valdkonnas; […] Mitte ainult tegelik, mitte ainult arusaadav, vaid ka kõik mõeldav”(Frege 1884: 21). Ehkki füüsika põhimõtted kehtivad ainult tegelikus maailmas ja sellega nomoloogiliselt sarnastes maailmades, juhivad loogika põhimõtted kõike mõeldavat. Kui ühte neist põhimõtetest eitatakse, tekib „täielik segadus” (ibid.).

Teine tunnusjoon, mis loogikat defineerib, on selle formaalsus: loogika põhimõtte tõesus on tagatud mõttevormi ja / või keelega ega sõltu mingil moel selle sisust. Milline see omadus on, sõltub ilmselt sellest, kuidas vormi ja mateeria vahet eristatakse. Vormi ja mateeria eristamise populaarseim selgitus tuleneb laialt levinud arvamusest, et kontseptuaalse vajaduse tõttu objekte ei eksisteeri (Field 1993; Yablo 2000). Sellest vaatepunktist lähtudes on loomulik, et mis tahes esemeid, mis on seotud esemete olemasolu ja nende eripäradega, kuuluma pigem mõtteküsimusele kui selle vormile. Selle tulemuseks on kaks tunnust, mida sageli peetakse loogikat määratlevaks. Esiteks peab loogika olema ontoloogiliselt süütu; see on,loogikapõhimõte ei saa kehtestada uusi ontoloogilisi kohustusi (Boolos 1997; Field 1984). Teiseks, loogika põhimõisted ei tohi eristada erinevaid objekte, vaid peavad kohtlema neid kõiki ühtemoodi. Viimast ideed sõnastatakse sageli nõudena, et loogilised mõisted peavad objektide domeeni permutatsioonide korral olema muutumatud (Tarski 1986).

Kolmas tunnus, mida sageli peetakse loogika määratlemiseks, on selle (väidetav) kognitiivne ülimuslikkus. Primitiivseid loogilisi mõisteid tuleb täielikult mõista ja meie arusaam neist peab olema otsene selles mõttes, et see ei sõltu arusaamadest, mida tuleb liigitada ekstra-loogilisteks, ega hõlma nende mõistmist. Oletame näiteks, et teatavaid komplekteeritud teoreetilisi põhimõtteid tuleb pidada ekstra-loogilisteks. Siis ei saa meie arusaam primitiivsetest loogilistest mõistetest sõltuda neist põhimõtetest ega hõlma neid.

4. Mitmuse kvantifitseerimise rakendused

Toon nüüd välja mõned teooriate PFO ja PFO + rakendused. Eelmises osas eraldati loogilisuse mõiste kolm tüve. Erilist tähelepanu pööratakse küsimusele, milline neist kolmest tüvest PFO ja PFO + peab rakenduste õnnestumiseks olema.

4.1 Monadilise teise järgu loogika loogilisuse tuvastamine

Nagu nägime jaotises 2.1, määratles Boolos mitmuse kvantifitseerimise teooria PFO monaadilise teise järgu loogika MSO teooria tõlgenduse. Ta püüdis kasutada seda tõlget MSO loogilisuse kindlakstegemiseks. See nõuab kahte sammu. Esimene samm on väita, et PFO on puhas loogika, st luua täielik loogika tees (ehkki täpselt seda tõlgendatakse). Teine samm on väita, et MSO tõlgendamine PFO-s säilitab loogilisuse.

Mõningaid esimese sammu ees seisvaid väljakutseid käsitletakse 5. osas. Ka teist sammu ei tohiks alahinnata. Kõige suuremat muret valmistab siin võib-olla see, et Boolose tõlge annab ühe kategooria (monaadiliste predikaatide) avaldised teisest kategooriast koosnevate väljendite (mitmuse nimisõnafraasid) alusel. Näiteks „… on õun” on muudetud kui „õunad”. Kuid need kategooriad on väga erinevad (2. jagu).

Kuna aga väide, et MSO on puhas loogika, on väga abstraktne, peitub suur osa selle rahalisest väärtusest just tema rakendustes. Ja arvestades MSO ja PFO võrdset tõlgendatavust, on tõenäoline, et paljude esimeste loogilisuse rakendusi saab sama hästi teenida ka viimase loogilisusega. See vähendab mõnevõrra teise sammu teostamise tähtsust.

4.2 Loogika

Nii Fregeani kui ka Fregeani järgses loogikas kasutatakse olulisel määral teise järgu kvantifitseerimist. Frege määratles puhta matemaatika erinevad objektid mõistete laienditena ja tema kuulus põhiseadus V väitis, et kahel mõistel (F) ja (G) on sama laiend igaks juhuks, kui need on ulatuslikud:

) silt {V} û / mstop Fu = û / mstop Gu / leftrightarrow / Forall {u} (Fu / leftrightarrow Gu))

Kuid nagu on hästi teada, näitab Russelli paradoks, et teise astme teooria koos (V) -ga aksioomina on ebajärjekindel.

Filosoofid on püüdnud päästa mõnda Fregeani loogika ideed, kasutades (V) -st nõrgemaid aksioome. Üks olulisemaid selliseid katseid on Bob Hale ja Crispin Wrighti uusloogika, mis loobub Frege laiendusteooriast, kuid hoiab kinni tema kardinalnumbrite määratluse kesksest ideest, nimelt, et (F) arv on identne (G) arvuga igaks juhuks, kui (F) ja (G) on omavahel korrelatsioonis. See on muutunud tuntuks Hume'i põhimõttena ja selle saab vormistada järgmiselt:

) tag {HP} Nu. Fu = Nu / mstop Gu / leftrightarrow F / approx G)

kus (F / approx G) ütleb, et on olemas seos, mis üks-ühele korreleerib (F) ja (G). Teise astme teooria, mille aksioom on (HP), on järjekindel ja võimaldab tuletada kogu tavalist (teise järgu Peano-Dedekind) aritmeetikat, kasutades mõnda väga looduslikku määratlust (vt Frege'i loogika, teoreemi ja aluste kirjet Aritmeetika).

Veelgi tagasihoidlikum on Boolose alamloogika, mis lükkab ümber loogiliste objektide olemasolu (mille on kinnitanud nii logistid kui ka uusloogikud) idee, kuid nõuab tungivalt, et Freti määratlust suhte esivanema kohta saaks kasutada Kanti vastu, et vähemalt osa mittetriviaalsest matemaatikast on analüütiline (Boolos 1985b). Tuletame meelde, et seos (R) seisab oma esivanematega (Rarel), kuna suhe on vanem, mis tähendab, et ta on. (Täpsemalt, (Rarel) mahub kahe objekti vahele (x) ja (y) igaks juhuks, kui (x) ja (y) on ühendatud piiratud objektide jada kaudu, millest igaüks kannab (R) oma järeltulijat.) Frege annab esivanemate suhte (Rarel) teise järgu määratluse, sätestades, et (x) ja (y) on (Rarel) seotud igaks juhuks (y) omab kõiki omadusi, mis on päritud (x) (R) - pärijatelt ja päritud suhte ((R)) kaudu:

) tag {Def (Rarel)} x / Rarel y / leftrightarrow / Forall {F}) Forall {u} (x / Rrel u / rightarrow Fu) amp / Forall {u} (Fu / amp u / Rrel v / rightarrow Fv) rightarrow Fy])

Seda määratlust kasutades tõestab Frege 1879 mõningaid mittetriviaalseid matemaatilisi tõdesid, näiteks seda, et esivanem (Rarel) on transitiivne ja mis tahes funktsionaalse seose korral (R) on (R) - esivanemad mis tahes objekt on (Rarel) - võrreldavad (see tähendab, ta tõestas: Funktsionaalne ((R) amp x / Rarel y / amp x / Rarel z / parempoolne nool y / Rarel z / lor z / Rarel y)).

On soovitatud kasutada PFO-d Fregeani-järgsete logistide teise astme kvantifitseerimise vajaduse rahuldamiseks. Kuna düadikaalse predikaadi esivanemaid saab määratleda ainult monaadilise teise järgu kvantifitseerimise abil, teenib PFO tõepoolest Boolose alamloogika loogilisi vajadusi. [13] Kuid kuna uuslogistilise määratluse kohaselt on (F / ligikaudne G) dünaamiline teise järgu loogika, pole PFO-l üksi piisavat väljendusjõudu uusloogilisuse vajaduste rahuldamiseks. Uusloogik võib proovida seda probleemi lahendada, pidades ekvivalentsust primitiivse loogilise kvantifikaatoriks või simuleerides düadistlikku teise järgu kvantifitseerimist mõnes sobivas PFO laiendis, nagu on käsitletud jaotises 2.2 [14] (teise valiku kohta vt Boccuni 2010).

Milliseid loogikaväite tüvesid on nende rakenduste õnnestumiseks vaja? Kuna need loogikud proovivad näidata, et matemaatika osad on analüütilised (või vähemalt a priori teada), eeldaks see, et PFO oleks analüütiline (või vähemalt a priori teadlik), mis omakorda eeldab, et PFO-l on mingisugune kognitiivne ülimuslikkus. Pealegi peaks PFO olema kas ontoloogiliselt süütu või pühendunud ainult üksustele, kelle olemasolu on põhimõtteliselt vajalik (või vähemalt a priori tuvastatav).

4.3 Määrake teooria

Loogilisuse lõputöö veel üks rakendus on seotud teooriaga. Komplektide kogumitest võib erinevatel põhjustel rääkida ja kvantifitseerida (Linnebo 2003: 80–81). Näiteks võiksite väita

(13) Mõned komplektid on kõik ja ainult iseseisetud komplektid

Kui me vormistame selle nii

) silt {(13 ')} eksisteerib {R} Forall {x} (Rx / vasakpoolne nool x / ei ole x-is),)

kuidas kvantifikaatorit (on olemas {R}) mõista? Selgelt ei saa võtta ulatust kõigi komplektide vahel, kuna see viiks otse Russelli paradoksini: (13 ') kinnitaks siis Russelli komplekti olemasolu. Kolm muud vastust on kirjanduses silmapaistvad.

Esimene vastus on, et (eksisteerib {R}) ulatub klassideni, kuid mõned klassid on komplektide jaoks liiga suured (või muul viisil sobimatud). Eelkõige kinnitab (13) Russelli klassi olemasolu, mis ei ole komplekt. See vastus on osutunud problemaatiliseks, kuna see postuleerib eri tüüpi komplektilaadsete olemite olemasolu (Boolos 1984: 442 [1998a: 66] ja 1998b: 35). Samuti on vastuväiteid sellele, et see vastus lükkab ainult tõstatatud probleemi (13). Sest see oleks ka tõsi, et

(14) Mõned klassid on kõik ja mitte ainult iseseisetud klassid

Milline üksus oleks see klassikogum? Superklass? Kui jah, oleme sunnitud postuleerima klasside kõrgemat ja kõrgemat taset. Lewis (1991: 68) väidab, et Russelli paradoks on endiselt möödapääsmatu, kuna kõiki komplektitaolisi olemeid arvesse võttes mõistame, et tõsi on järgmine:

(15) On mõned komplektilaadsed asjad, mis on kõik ja ainult iseendata liikmed

Hazen (1993: 141–2) on siiski märkinud, et Lewise vastuväide rikub olulisi tüübipiiranguid. Erinevate tasemete klassid kuuluvad erinevatesse loogilistesse tüüpidesse, nagu ka erinevate tasemete mõisted. Niisiis hõlmab Lewise katse rääkida kõigist komplektilaadsetest üksustest ühe hoobiga katset kvantifitseerida erinevate loogiliste tüüpide lõikes. Kuid see rikub tüübipiiranguid samal viisil kui katse kvantifitseerida üheaegselt kõigi eri tasandite objekte ja mõisteid. Ehkki kvantifitseerida saame klasside iga taseme kohta, ei saa me kvantitatiivselt kvantifitseerida kõigi tasemete üheaegselt.

Teine vastus on see, et (13) kinnitab komplekti (R) olemasolu, kuid see (R) ei kuulu kvantifikaatori (forall {x}) vahemikku. See takistab meil kvantitaatori (forall {x}) muutmist (R) suhtes, mis tähendab, et me ei saa teha saatuslikku järeldust, et (R) on iseenda liige igaks juhuks, kui seda pole 't. See vastus eeldab siiski, et kvanti fi t (forall {x}) ei saa valida ulatumiseks absoluutselt kõigi komplektide vahel; sest kui seda saaks nii valida, ei saa me eitada, et (R) on selles kvantifitseerimise vahemikus. See tähendab, et komplektide universumis on teatav ammendamatus: kui oleme mingil hulgal komplektidel kujundanud kvantifitseerimise kontseptsiooni, võime määratleda komplekti, mis ei kuulu sellesse vahemikku (Dummett 1981: ptk 15 ja 1991: ptk. 24; Glanzberg 2004; Parsons 1977). Kuid,seda vastust on kritiseeritud selle eest, et seda on parimal juhul raske öelda ja halvimal juhul ise ümber lükkavat (Boolos 1998b: 30; Lewis 1991: 68; Williamson 2003: sekt. V). (Vt ka Rayo ja Uzquiano 2006 mitmeid esseesid, kus arutatakse, kas absoluutselt üldine kvantifitseerimine on võimalik.)

Kahe esimese vastusega seotud raskuste tõttu on viimastel aastatel populaarseks saanud kolmas vastus (Boolos 1984 ja 1985a; Burgess 2004; Cartwright 2001; Rayo ja Uzquiano 1999; Uzquiano 2003). See tähendab, et kvantifikaator (eksisteerib {R}) on mitmuslik kvantifikaator (ja seega tuleks seda paremini kirjutada kui (eksisteeriv {rr})) ja mitmuse kvantifitseerimine on ontoloogiliselt süütu. Seetõttu (13) ei väida, et kvantifikaatori (forall {x}) vahemikus oleks lisaks komplektidele ka mingit komplektilaadset entiteeti. Kuid nagu näeme 5. jaos, on väide ontoloogilise süütuse kohta vaieldav.

4.4 Matemaatiline nominalism

Mõned mitmuse kvantifitseerimise kõige populaarsemad rakendused on seotud ontoloogilise ökonoomiaga. Idee on maksta pelgalt esimese järgu teooria ontoloogiline hind ja seejärel kasutada mitmuse kvantifitseerimist, et saada tasuta (teooria jõuga) vastav monadiline teise järgu teooria. See oleks ilmselgelt ontoloogiline tehing. Seda tüüpi rakendused jagunevad kahte põhiklassi, mida käsitletakse selles alajaos ja järgmises.

Mitmuse kvantifitseerimise ühe rakenduse klassi eesmärk on teha ontoloogilisi soodukaid matemaatikafilosoofias. Eelkõige on mitmed filosoofid püüdnud kasutada matemaatilise nominaalse tõlgenduse koostisosana mitmuse kvantifitseerimist. Tore näide on Geoffrey Hellmani modaalne nominaalsus, mille kohaselt tuleb abstraktsete objektide olemasolule pühendunud matemaatilised väited elimineerida konkreetsete objektide võimaliku olemasolu kohta käivate väidete kasuks. Näiteks selle asemel, et väita, nagu platonist väidab, et eksisteerib lõpmatu kogum abstraktseid objekte, mis vastavad Peano aritmeetika aksioomidele (nimelt naturaalarvudele), väidab Hellman, et võib eksisteerida lõpmatu kogum konkreetseid esemeid, mis on seotud rahuldada neid aksioome (Hellman 1989 ja 1996). Kuid,näib, et isegi see modaalne väide räägib konkreetsete objektide kogudest ja suhetest nendel objektidel. Vältimaks vastuväidet, et see smugeldab tagaukse kaudu abstraktseid objekte, näiteks komplekte, vajab Hellman mõnda teistsugust, nominaalselt aktsepteeritavat tõlgendust sellest jutust kollektsioonidest ja suhetest. Sellist tõlgendust võib pakkuda mitmuse kvantifitseerimine.

Selle mitmuse kvantifitseerimise rakendamiseks tööl peab PFO olema rakendatav igasuguste konkreetsete objektide suhtes ja see peab olema ontoloogiliselt süütu või vähemalt mitte pühendunud üksustele, millel on abstraktsete objektide tunnused, mis on nominaalselt taunitavad. Lisaks ei vaja me suhete kvantifitseerimise simuleerimiseks mitte ainult PFO-d, vaid teooriat, mis sarnaneb pigem monaadilise kolmanda järgu loogikaga (jaotised 2.2 ja 2.4).

4.5 Keerukate objektide elimineerimine

Teine rakendusklass püüab kõrvaldada teaduse ja terve mõistuse kohustused (mõne või kõigi) suhtes keerukate objektidega. Näiteks tavalise ainsuse kvantitatiivse määramise asemel laudade ja toolide kohal tehakse ettepanek kasutada mitmikmõõtmist laua- või toolipõhiselt paigutatud mereoloogiliste aatomite kohal (Dorr ja Rosen 2002; Hossack 2000; van Inwagen 1990). Näiteks selle asemel, et öelda, et kabinetis on tool, tuleks öelda, et tema kabinetis on mõned aatomid, mis on paigutatud toolipeale. Sel moel näib vältivat tooli olemasolule pühendumist. Pange tähele, et sellised analüüsid nõuavad mitte ainult PFO, vaid ka PFO +, kuna uued predikaadid on "paigutatud (F / - tarkuselt") jaotamata.

Pangem kõrvale puhtalt metafüüsilised mured selliste analüüside pärast, mis pole meie praeguse mure jaoks olulised. (Me) tahaksime teada, mis nõuab neid analüüse PFO + teooriale, eriti milliseid tüvesid vajatakse. Kõige ilmsemad nõudmised on, et PFO + oleks rakendatav igasuguste lihtsate objektide suhtes ja et see oleks ontoloogiliselt süütu või vähemalt mitte pühendunud kõrvaldatavatele keerukatele objektidele.

Vähem ilmne nõudmine on seotud vajadusega analüüsida näiteks keeruliste objektide tavalist mitmuse kvantifitseerimist

(16) Mõned toolid on paigutatud ringi

Tavalise mitmuse kvantifitseerimise ja ennustamise oleme juba ära kasutanud, et kõrvaldada ilmne pühendumus üksikutele toolidele (Uzquiano 2004). Nii et (16) analüüsimiseks on vaja midagi sellist nagu „ül plural” kvantifitseerimine - kvantifitseerimine, mis seisab tavalise mitmuse kvantifitseerimisel, kuna tavaline mitmuse kvantifitseerimine tähendab ainsust - ja sellele vastav jaotamatu ennustus. Selliste keeleliste ressursside õiguspärasust käsitleti jaotises 2.4.

5. Ontoloogiline süütus?

Analüütilise filosoofia traditsiooniline seisukoht on olnud, et kõik mitmuse lokatsioonid tuleks vajaduse korral parafraseerida, kvantifitseerides kogumid (punkt 1). George Boolos ja teised olid vastu sellele, et mitmuse asukohtade kaotamine on nii ebaloomulik kui ka tarbetu. See viis teooriateni PFO ja PFO +. Mitmuse kvantifitseerimise pooldajad väidavad, et need teooriad võimaldavad mitmuse asukohti vormistada viisil, mis erineb põhimõtteliselt vanadest set-teoreetilistest parafraasidest. Eriti väidavad nad, et need teooriad on ontoloogiliselt süütud selles mõttes, et nad ei kehtesta uusi ontoloogilisi kohustusi komplektidele ega muudele „komplektilaadstele” üksustele, mis asuvad lisaks üksikutele objektidele, mis moodustavad vaadeldava paljususe. Nimetagem seda viimast väidet ontoloogiliseks süütuseks.

Teised filosoofid seavad kahtluse alla ontoloogilise süütuse. Näiteks väljendab Michael Resnik kahtlust Geach-Kaplani lause mitmuse vormistamise (ref {ex3pprime}) väidetava ontoloogilise süütuse osas (3). Kui (ref {ex3pprime}) tõlgitakse vastavalt juhistele inglise keelde, on see järgmine:

((3 '' ')) On mõned kriitikud, kellest keegi imetleb teist kriitikut ainult siis, kui viimane eristub neist

Kuid ((3 '' ')), ütleb Resnik,

näib viitavat kogudele üsna selgesõnaliselt. Kuidas teisiti mõista fraasi „üks neist”, kui see, mis viitab mõnele kogumikule ja öeldakse, et „ühe” referent kuulub sellesse? (Resnik 1988: 77)

Seotud mured on avaldatud Hazenis 1993, Linnebo 2003, Parsons 1990 ja Rouilhan 2002; vt ka Shapiro 1993.

Arutlen nüüd kolme argumenti ontoloogilise süütuse kasuks.

5.1 Määratud teoreetiline argument

Esimene argument algab sellest, et palume meil nõuet kaaluda

(17) Mõned komplektid on kõik ja ainult iseseisetud komplektid

ja tunnistage, et see on tõsi. Jätkub väitega, et kui kollektsioonidele või muudele „komplektilaadsetele” objektidele seostataks mitmuseväljendeid, viiks punkti 17 tõde otse Russelli paradoksini. Mõnikord arvatakse, et see on ontoloogilise süütuse kasuks tulenev argument (Boolos 1984: 440–443 [1998a: 64–67]; Lewis 1991: 65–69; McKay 2006: 31–32). Kuid tegelikult on see vähem veenv, kui tundub. Nagu nägime jaotises 4.3, järgib Russelli paradoks ainult siis, kui kaks alternatiivset seisukohta on välistatud. Kuna neid seisukohti ei saa käest ära lükata, on veel palju tööd, enne kui selle väite saab lõplikuks pidada.

5.2 Vale ennustusargument

Teise argumendi on kenasti kapseldanud Boolose märkus: “On ju vaja mõelda, et kui teil on mõni Cheerios, siis sööte komplekti” (1984: 448–9 [1998a: 72]). Boolos soovitab siinkohal seda, et analüüsid, mis eitavad ontoloogilist süütust, võivad tõenäoliselt mitmuse ennustamise subjekti valesti ajada.

Ilmne vastus on mitmuse predikaatide tõlgendamine viisil, mis tagab, et see, mida me sööme, on komplekti elemendid, mitte komplekt ise. Mõelge lausele:

(18) George Boolos sõi 1. jaanuaril 1985 hommikusöögiks Cheerioose

Kui tegusõna "ate" otsene objekt on mitmuses, võime näiteks verbi tõlgendada y-seose x abil.

Vastuväide on selles, et see vastus muudab tegusõna "sõi" kaudselt mitmetähenduslikuks (Oliver ja Smiley 2001). Kui tegusõnal on otsene objekt, mis on ainsus, tõlgendatakse seda eeldatavalt hariliku seose x y abil. Kuid on üsna kindlaid tõendeid selle kohta, et tegusõna „sõi” pole sel moel mitmetähenduslik. Näiteks on kahemõttelisuse üks tagajärg teatud tüüpi ellipside keelamine. Näitena võib öelda, et ebamäärasus on sõnades „tee” hommikusöögil ja planeerimisel, mis välistab järgmise ellipsi:

(* 19) Boolos tegi hommikusööki, kuid tema külaline, ainult plaan

Nii et kui "sõi" oli äsja kirjeldatud viisil mitmetähenduslik, siis keelatakse ka järgmine ellips, mis see pole:

(20) Boolos sõi mõned cheeriosid, tema külaline aga ainult õuna

Siiski pole kaugeltki selge, kas ülaltoodud vastus Boolose argumendile tuleb pühendada sellistele probleemsetele ebaselgustele. Näiteks võime lubada, et kõigil predikaatidel võetakse argumentidena mitmuse üksused. Verb „ate” saab selle tõlgendusena alati y seose elemendiga-the-elementi -ga, eemaldades sellega igasuguse ebaselguse. Kas see vastus on lõpuks vastuvõetav või mitte, näitab see, et kõnealune argument on endiselt ebaselge.

5.3 Otsene argument

Võib-olla on ontoloogilise süütuse kõige populaarsem argument see, mille poole ma nüüd pöördun. Kõige lihtsamal kujul põhineb see argument meie intuitsioonil ontoloogiliste kohustuste kohta. Kui väidate (18), pole teil tunnet, et pühendute ontoloogiliselt kollektsioonile või mõnele muule „komplektilaadsele” objektile. Samuti pole teil sellist tunnet, kui kinnitate Geach-Kaplani lauset või PFO või PFO + lause mõnda muud tõlget inglise keelde. Või siis läheb argument.

Sellel lihtsal kujul on argument haavatav vastuväite suhtes, mille kohaselt inimeste intuitsioonid pakuvad kehva alust ontoloogiliste kohustuste teoreetiliste vaidluste lahendamiseks. Oleme näinud, et leidub inglise keele oskajaid, näiteks Michael Resnik, kes ei jaga neid intuitsioone. Pealegi, nagu Davidsoni populaarne tegevuslausete analüüs sündmuste osas selgub, ei saa tavainimeste intuitsiooni ontoloogiliste kohustuste kohta alati usaldada (Davidson 1967). Näiteks võib keegi siiralt väita, et Johannes kõndis aeglaselt, teadmata, et ta on pühendunud sündmuse olemasolule (nimelt jalutuskäigule, mis oli Johannese poolt ja mis oli aeglane).

Ehkki see vastuväide on jõuline, saab seda argumenti teravamaks muuta, kui uurida hoolikamalt, milliseid eksistentsiaalse üldistuse vorme on vaja mitmuseväljendeid sisaldava lause puhul (Boolos 1984: 447 [1998a: 70]; McKay 2006: ch. 2; Yi) 2002: 7–15 ja 2005: 469–472). Näiteks võime küsida, kas järeldusest (18) võib järeldada:

(21) On olemas selline eesmärk, et Boolos sõi 1. jaanuaril 1985 hommikusöögiks kõiki oma elemente (või koostisosi)

See järeldus oleks kahtlemata üsna omapärane. See annab tõendusmaterjali selle kohta, et (18) pole pühendunud mingile „komplektilaadsele” olemile.

Need tõendid pole siiski vaieldamatud. Sest on sarnaseid järeldusi, mis tunduvad üsna loomulikud. Näiteks alates

(22) Mõned õpilased ümbritsesid hoonet

enamikul inglise keele oskajatel oleks sellest hea meel järeldada

(23) Rühm õpilasi ümbritses hoonet

Ehk siis järelduste eripära (18) - (21) on pigem pragmaatiline kui semantiline nähtus. Võib-olla on see seotud tõsiasjaga, et vähem loomulik on pidada mõnda cheeriosid kogumiks (või mingiks muuks mitmuseks) kui seda, kui mõnda õpilast käsitletakse rühmana.

Oletagem siiski, et otsese argumendi kaitsjatel on õigus, mida (18) see ei tähenda (21). Mis järgneks? Sellest järeldub, et (18) ei kaasne täiendavaid ontoloogilisi kohustusi, mis võivad tuleneda ainsuse esimese järgu kvantifikaatoritest. Kuid see järeldus ei vasta argumendi soovitud järeldusele, et (18) ei kaasne mingeid täiendavaid ontoloogilisi kohustusi. Et jõuda tegelikust järeldusest soovitud tulemuseni, peame lisaks eeldama, et kõik ontoloogilised kohustused on sarnased esimese järgu kvantitaatoritega. Kuid on olemas mõjukas filosoofiline traditsioon, mis eitab seda oletust ja leiab selle asemel, et igasuguste kvantifikaatoritega kaasnevad ontoloogilised kohustused, mitte ainult ainsused esimese järguga. [15]Selle traditsiooni kuulsaim eksponent on Frege, kes väidab, et teise järgu kvantifikaatorid on pühendunud mõistetele, samamoodi nagu ainsused esimese järgu kvantifikaatorid on pühendunud objektidele. See traditsioon seob ontoloogilise pühendumise mõiste väga tihedalt semantilise väärtusega. See on järgmise ja viimase lõigu teema.

5.4 Semantilised väärtused ja ontoloogilised kohustused

Semantikas eeldatakse laialdaselt, et keerulise väljendi iga komponent annab mingi kindla panuse keerulise väljendi tähendusesse. Seda panust nimetatakse komponendi avalduse semantiliseks väärtuseks. Samuti eeldatakse, et kompleksväljendi tähenduse määravad funktsionaalselt komponentide avaldiste semantilised väärtused ja nende süntaktiline kompositsiooniviis. Seda eeldust nimetatakse kompositsiooniks.

Frege sõnul on lause semantiline väärtus lihtsalt selle tõeväärtus ja õige nime semantiline väärtus on selle referent (see on objekt, millele see viitab). Kui oleme fikseerinud lausetele ja õigetele nimedele määratud semantilised väärtused, on lihtne kindlaks teha, millist semantilist väärtust määrata muude süntaktiliste kategooriate avaldistele. Näiteks monaadse predikaadi semantiline väärtus peab olema funktsioon objektidest tõe väärtusteni. Frege nimetab selliseid funktsioone mõisteteks.

Vaatleme näitena lihtsat subjekti-predikaadi lauset

(24) Sokrates on surelik

Punkti (24) loogiline vorm on (mathbf {M} (mathbf {s})), kus (mathbf {M}) on predikaat „surelik“ja (mathbf {s}) on ainsustermin Socrates. Kirjutame avaldise semantilise väärtuse jaoks väärtuse) (mathbf {E})] (mathbf {E}). Vastavalt eelmisele lõigule on punkti 24 jaoks olulised semantilised väärtused järgmised:

(25) () mathbf {s}] = / textrm {Socrates})

(26) () mathbf {M}] =) funktsioon (f) objektidelt tõeväärtustele nii, et (f (x)) on tõene, kui (x) on surelik ja (f (x)) on vale

Seega (24) tõeväärtus määratakse järgmiselt:

(27) [(24)] (=) mathbf {M} (mathbf {s})] =) mathbf {M}] () mathbf {s}]) = f (textrm {Socrates}) =) tõene (kui Sokrates on surelik) või vale (muul viisil)

Frege pidas semantiliste väärtuste ja ontoloogiliste kohustuste vahelist seost väga tihedaks. Ülaltoodud analüüsi jaoks (24) toetab kahte tüüpi eksistentsiaalseid üldistusi: mitte ainult (eksisteerib {x} mstop / mathbf {M} (x)) (see kehtib ka juhul, kui leidub mõni objekt, mis on surelik), aga ka selleks, et (eksisteerib {F} mstop F (s)) (see kehtib ka juhul, kui on olemas mõni mõiste, mille alla Sokrates langeb). Frege sõnul näitab see, et sellised laused nagu (24) ontoloogiliselt pühenduvad mitte ainult objektile, vaid ka kontseptsioonile.

Tänapäeval pole oluline mitte Frege väite tõesus või vale, mis puudutab mõisteid, vaid see, kas sedalaadi veenvat argumenti saab välja töötada mitmuse väljendite jaoks. Selle uurimiseks vaagime lihtsat mittes Distribitiivset mitmust, näiteks

(28) Need õunad moodustavad ringi

(28) loogiline vorm näib olevat (mathbf {C} (mathbf {aa})), kus (mathbf {C}) on predikaat „moodustavad ringi” ja (mathbf {aa}) on mitmuse termin „need õunad”. (Kui arvate, et keerulisel mitmuse demonstratiivsel demonstratsioonil on sisemine semantiline struktuur, kasutage selle asemel mõnd mitmuse nime, mis on ette nähtud otseselt kõnealustele õuntele viitamiseks.) Looduslik vaade on järgmine.

(29)) (mathbf {aa}] = a_1) ja… ja (a_n) (kus (a_i) on kõik ja demonstreeritakse ainult õunu)

(30)) (mathbf {C}] =) funktsioon (g) mitmusest tõeväärtuseni selliselt, et (g (xx)) on tõene, kui (xx) moodustavad ringi ja (g (xx)) on vastasel juhul vale

(28) tõeväärtus määratakse siis järgmiselt

(31) [(28)] (=) mathbf {C} (mathbf {aa})] =) mathbf {C}] () mathbf {aa}]) = g (a_1) ja… ja (a_n)) = õige (kui (a_1) ja… ja (a_n) moodustavad ringi) või vale (muul viisil)

mida võiks eeldada, arvestades süntaktilist sarnasust (24) ja (28) vahel.

Eeldame, et see analüüs on õige ja et igal mitmuse terminil on semantilise väärtusena mõned objektid, nii nagu igal ainsuse terminil on semantilise väärtusena üks objekt. Mida see tähendab ontoloogilise süütuse küsimuses? Fregeani traditsiooni kohaselt, mis seob ontoloogilise pühendumise mõiste semantilise väärtusega, tähendab see, et mitmuses väljendid kohustuvad mitmuse olemite suhtes, sama palju kui predikaadid nõuavad pühendumist mõistetele. See, et öeldakse, et lause seob mitmuse üksuse suhtes, tähendab lihtsalt seda, et lause tõesus nõuab mitmuse väljenditele vastava semantilise väärtuse olemasolu. Sellele mõttekäigule peavad aga vastu teised filosoofid,kes usuvad, et ontoloogilise pühendumise mõiste tuleks siduda (äärmisel juhul) ainsuse esimese järgu muutujatega.

Kuidas saab seda erimeelsust lahendada? Ühelt poolt võib Fregeani traditsiooni kasuks arvestada sellega, et nende vaade on väga süstemaatiline. Mõte, et mingisugused semantilised väärtused põhjustavad ontoloogilisi kohustusi, võib juhtuda midagi ajutist, samas kui muud mitte. Teisest küljest võib arvestada alternatiivse vaatega, et see annab paljude inimeste tugevalt tuntavale intuitsioonile parema õigluse, et mitmuses olevad kohad on ontoloogiliselt süütud.

Teine võimalus on, et kogu poleemika on lõppkokkuvõttes vaid pseudo-erimeelsused (vt eriti Florio ja Linnebo 2016, aga ka Parsons 1990; Shapiro 1993; Linnebo 2003; Rayo 2007; Linnebo ja Rayo 2012). Kui mõlemad pooled nõustuvad, et mitmuses avaldistel on semantilised väärtused, ja kui mõlemad lepivad kokku, et kohustused objektide ees tekivad ainult ainsuse esimese järgu terminitest ja muutujatest, siis pole võib-olla vahet, kas muud tüüpi termineid ja muutujaid tuleks käsitada nende sissejuhatusena iseenda iseloomulikke ontoloogilisi pühendumusi. Mõned filosoofid räägivad teooria ideoloogilistest kohustustest ja mitte ainult selle ontoloogilistest kohustustest. Selle all mõeldakse loogilisi ja kontseptuaalseid ressursse, mida teooria kasutab. Võib-olla soovitaks filosoofidel keskenduda rohkem metafüüsilistele ja epistemoloogilistele küsimustele, mille tõstatasid teooria ideoloogilised kohustused, ja muretseda vähem selle pärast, kas neid ideoloogilisi kohustusi tuleks pidada ka eripärase ontoloogilise pühendumuse kehtestamiseks. Lõppude lõpuks on ontoloogilise pühendumise mõiste teoreetiline, mitte see, millel oleks väljaspool filosoofiat terav sisu. Ehk siis peaksime seda mõistet käsitlema pigem kui vahendit heade filosoofiliste selgituste andmiseks ja vähem kui eesmärki omaette.mitte ükski, millel pole filosoofiast mingit teravat sisu. Ehk siis peaksime seda mõistet käsitlema pigem kui vahendit heade filosoofiliste selgituste andmiseks ja vähem kui eesmärki omaette.mitte ükski, millel pole filosoofiast mingit teravat sisu. Ehk siis peaksime seda mõistet käsitlema pigem kui vahendit heade filosoofiliste selgituste andmiseks ja vähem kui eesmärki omaette.

Bibliograafia

  • Armstrong, David, 1978, Universals and Scientific Realism, Vol. 1, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Ben-Yami, Hanoch, 2004, loogika ja loomulik keel: mitmuse viites ning selle semantilises ja loogilises tähenduses, Hants: Ashgate.
  • –––, 2009, “Mitmuse kvantitatiivne loogika: kriitiline hinnang”, sümboolse loogika ülevaade, 2 (1): 208–232. doi: 10.1017 / S1755020309090108
  • –––, 2013, “Kõrgema taseme paljusused versus liigendatud viide ja Salva Veritate väljatöötamine”, Dialectica, 67 (1): 81–102. doi: 10.1111 / 1746-8361.12013
  • Black, Max, 1971, “Komplektide elavnemine”, Ülevaade metafüüsikast, 24 (4): 614–636.
  • Boccuni, Francesca, 2010, “Plural Grundgesetze”, Studia Logica, 96 (2): 315–330. doi: 10.1007 / s11225-010-9281-3
  • Boolos, George, 1984, “Olla peab olema muutuja väärtus (või olla mõne muutuja väärtus)”, Journal of Philosophy, 81 (8): 430–50; repr. aastal Boolos 1998a. doi: 10.2307 / 2026308
  • –––, 1985a, “Nominalistlik platonism”, filosoofiline ülevaade, 94 (3): 327–344; repr. aastal Boolos 1998a. doi: 10.2307 / 2185003
  • –––, 1985b, “Begriffsschrifti lugemine”, Mind, 94 (375): 331–344; repr. aastal Boolos 1998a. doi: 10.1093 / mind / XCIV.375.331
  • ––– 1997, “Kas Hume'i põhimõte on analüütiline?” Richard G. Heck, Jr (toim.), loogika, keel ja mõte, Oxford: Oxford University Press; repr. aastal Boolos 1998a.
  • –––, 1998a, loogika, loogika ja loogika, Richard Jeffrey (toim), Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1998b, „Vastus Charles Parsonsi“Komplektidele ja klassidele””, Boolos 1998a: lk 30–36.
  • Boolos, George, John P. Burgess ja Richard C. Jeffrey, 2007, Computability and Logic, 5. väljaanne, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Bricker, Phillip, 1989, “Quantified Modal Logic and Plural De Re”, Midwest Studies in Philosophy, 14: 372–394. doi: 10.1111 / j.1475-4975.1989.tb00198.x
  • Büchi, J. Richard, 1962, “Otsustusmeetodi kohta teise astme piiratud aritmeetikas”, E. Nagel, P. Suppes ja A. Tarski (toim.), Loogika, metoodika ja teadusfilosoofia, Stanford, CA: Stanford University Press, lk 1–11. Kordustrükk J. Richard Büchi kogutud teostes, 1990, lk 425–435. doi: 10.1007 / 978-1-4613-8928-6_23
  • Burgess, John P., 2004, “E Pluribus Unum: Mitmuse loogika ja komplektiteooria”, Philosophia Mathematica, 12 (3): 193–221. doi: 10.1093 / philmat / 12.3.193
  • Burgess, John P. ja Gideon Rosen, 1997, Objektita objekt: matemaatika nominaalse tõlgendamise strateegiad, Oxford: Clarendon Press. doi: 10.1093 / 0198250126.001.0001
  • Cartwright, Richard, 2001, “Küsimus komplektide kohta”, autorid Alex Byrne, Robert Stalnaker ja Ralph Wedgwood (toim.), Fakt ja väärtus: Eetika ja metafüüsika esseed Judith Jarvis Thomsonile, Cambridge, MA: MIT Press, lk 29–46.
  • Cocchiarella, Nino B., 2002, “Nii paljude klasside loogikast”, Studia Logica, 70 (3): 303–338. doi: 10.1023 / A: 1015190829525
  • Davidson, Donald, 1967, “Tegevuslausete loogiline vorm”, otsuse ja tegevuse loogika, Nicholas Rescher (toim), lk 81–95, Pittsburg: Pittsburg University Press. Kordustrükk oma essees tegevustes ja sündmustes, 1980 (järgnev väljaanne, 2001: 105–148), Oxford: Clarendon. doi: 10.1093 / 0199246270.003.0006
  • Dorr, Cian ja Gideon Rosen, 2002, “Kompositsioon kui väljamõeldis”, Richard M. Gale (toim), Blackwelli juhend metafüüsikale, Oxford: Blackwell, lk 151–174. doi: 10.1002 / 9780470998984.ch8
  • Dummett, Michael, 1981, Frege: keelefilosoofia, 2. trükk, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1991, Frege: matemaatikafilosoofia, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Field, Hartry, 1984, “Kas matemaatilised teadmised on lihtsalt loogilised teadmised?” Filosoofiline ülevaade, 93 (4): 509–552. doi: 10.2307 / 2184826
  • –––, 1993, “Matemaatiliste objektide kontseptuaalne situatsioon”, Mind, 102 (406): 285–299. doi: 10.1093 / mind / 102.406.285
  • Florio, Salvatore, 2014a, “Semantika ja reaalsuse pluraalne kontseptsioon” Filosoofide trükis, 14 (22): 1–20. [Florio 2014a on veebis saadaval]
  • –––, 2014b, “Untyped pluralism”, Mind, 123 (490): 317–337. doi: 10.1093 / mind / fzu069
  • Florio, Salvatore ja Øystein Linnebo, 2016, “Mitmuse kvantifitseerimise süütusest ja määravusest”, Noûs, 50 (3): 565–583. doi: 10.1111 / nous.12091
  • Florio, Salvatore ja Stewart Shapiro, 2014, “Set Theory, Type Theory and Absolute Generality”, Mind, 123 (489): 157–174. doi: 10.1093 / mind / fzu039
  • Forbes, Graeme, 1989, Võimaluste keeled, Oxford: Blackwell.
  • Frege, Gottlob, 1879, Begriffsschrift, tõlgitud Jean van Heijenoort (toim), 1967, Fregest Gödelini, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1884, aritmeetika alused, tõlk. JL Austin, Evanston, IL: Northwestern University Press.
  • –––, 1914, “Loogika matemaatikas”, oma postuumses kirjutises, H. Hermes jt. (toim), 1979, Oxford: Blackwell, lk 203–250.
  • Glanzberg, Michael, 2004, “Kvantifitseerimine ja realism”, filosoofia ja fenomenoloogilised uuringud, 69 (3): 541–572. doi: 10.1111 / j.1933-1592.2004.tb00518.x
  • Hazen, AP, 1993, “Pluralismi vastu”, Australasian Journal of Philosophy, 71 (2): 132–144. doi: 10.1080 / 00048409312345142
  • –––, 1997, “Suhted Lewise raamistikus aatomiteta”, analüüs, 57 (4): 243–248. doi: 10.1111 / 1467-8284.00082
  • ––– 2000, “Suhted Lewise raamistikus ilma aatomiteta: parandus“, analüüs, 60 (4): 351–353. doi: 10.1111 / 1467-8284.00252
  • Hellman, Geoffrey, 1989, Matemaatika numbriteta: modaalstruktuurse tõlgenduse poole, Oxford: Clarendon Press. doi: 10.1093 / 0198240341.001.0001
  • –––, 1996, “Strukturalism ilma struktuurideta”, Philosophia Mathematica, 4 (2): 100–123. doi: 10.1093 / philmat / 4.2.100
  • Hewitt, Simon Thomas, 2012a, “Modalising Plurals”, Journal of Philosophical Logic, 41 (5): 853–875. doi: 10.1007 / s10992-011-9194-2
  • –––, 2012b, „Piiratud korra loogika”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 53 (3): 297–318. doi: 10.1215 / 00294527-1716820
  • Higginbotham, James, 1998, “Kõrgema järgu loogikast ja loomulikust keelest”, Briti Akadeemia Toimetised, 95: 1–27. [Higginbotham 1998 on veebis saadaval]
  • Hossack, Keith, 2000, “Plurals and Complexes”, British Journal for Science Philosophy, 51 (3): 411–443. doi: 10.1093 / bjps / 51.3.411
  • Klement, Kevin C., 2014, “Early Russell on Types and Plurals”, Journal for The History of Analytical Philosophy, 2 (6): 1–21. doi: 10.15173 / jhap.v2i6.47
  • Landman, Fred, 2000, Sündmused ja paljusus, Dordrecht: Kluwer.
  • Lewis, David, 1991, klasside osad, Oxford: Blackwell.
  • Link, Godehard, 1998, Keele ja filosoofia algebraline semantika, Stanford, CA: CSLI Publications.
  • Linnebo, Øystein, 2003, “Mitmuse kvantitatiivne paljastamine”, Noûs, 37 (1): 71–92. doi: 10.1111 / 1468-0068.00429
  • –––, 2016, “Plurals and Modals”, Kanada ajakiri filosoofiast, 46 (4–5): 654–676. doi: 10.1080 / 00455091.2015.1132975
  • Linnebo, Øystein ja David Nicolas, 2008, “Superplurals in English”, Analysis, 68 (3): 186–197. doi: 10.1111 / j.1467-8284.2008.00737.x
  • Linnebo, Øystein ja Agustín Rayo, 2012, “Hierarhiad ontoloogilised ja ideoloogilised”, Mind, 121 (482): 269–308. doi: 10.1093 / mind / fzs050
  • Lønning, Jan Tore, 1997, “Plurals and Collektiivsus”, J. van Bentham ja A. ter Meulen (toim), loogika ja keele käsiraamat, Amsterdam: Elsevier, lk 1009–1054.
  • McKay, Thomas, 2006, Plural Predication, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199278145.001.0001
  • Morton, Adam, 1975, “Keerulised indiviidid ja mitmeastmelised suhted”, Noûs, 9 (3): 309–318. doi: 10.2307 / 2214634
  • Nicolas, David, 2008, “Massisõnade ja mitmuse loogika”, keeleteadus ja filosoofia, 31 (2): 211–244. doi: 10.1007 / s10988-008-9033-2
  • Oliver, Alex ja Timothy Smiley, 2001, “Mitmuse loogika strateegiad”, filosoofiline kvartal, 51 (204): 289–306. doi: 10.1111 / j.0031-8094.2001.00231.x
  • –––, 2004, “Mitmeastmelised ennustused”, Mind, 113 (452): 609–681. doi: 10.1093 / mind / 113.452.609
  • –––, 2005, “Mitmuse kirjeldused ja paljuväärtuslikud funktsioonid”, Mind, 114 (456): 1039–1068. doi: 10.1093 / mind / fzi1039
  • Parsons, Charles, 1977, „Mis on komplekti iteratiivne kontseptsioon?“, Loogika, matemaatika alused ja arvutatavus teooria, Robert E. Butts ja Jaakko Hintikka (toim), Dordrecht / Boston: D. Reidel, lk 335 –367. Kordustrükis Paul Benacerraf ja Hilary Putnam (toim), Matemaatikafilosoofia: valitud lugemised, 2. trükk, 1983, Cambridge: Cambridge University Press, lk 503–529. doi: 10.1007 / 978-94-010-1138-9_18 ja doi: 10.1017 / CBO9781139171519.027
  • –––, 1990, “Matemaatiliste objektide strukturalismi vaade”, Synthese, 84 (3): 303–346. doi: 10.1007 / BF00485186
  • Quine, WV, 1973, Roots of Reference, La Salle, IL: avatud kohus.
  • –––, 1982, loogikameetodid, 4. väljaanne, Cambridge, MA: Harvard University Press
  • –––, 1986, loogikafilosoofia, 2. trükk, Cambridge, MA: Harvard University Press
  • Rayo, Agustín, 2002, “Sõna ja objektid”, Noûs, 36 (3): 436–464. doi: 10.1111 / 1468-0068.00379
  • ––– 2006, „Beyond Plurals“, Rayo ja Uzquiano 2006: 220–254.
  • –––, 2007, “Mitmused”, filosoofiakompass, 2 (3): 411–427. doi: 10.1111 / j.1747-9991.2007.00060.x
  • Rayo, Agustín ja Gabriel Uzquiano, 1999, “Teise astme tagajärgede teooria poole”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40 (3): 315–325. doi: 10.1305 / ndjfl / 1022615612
  • ––– 2006 (toim.), Absolute Generality, Oxford: Oxford University Press.
  • Rayo, Agustín ja Stephen Yablo, 2001, “Nominalism de-nominaliseerimise kaudu”, Noûs, 35 (1): 74–92. doi: 10.1111 / 0029-4624.00288
  • Resnik, Michael, 1988, “Teise järgu loogika on endiselt metsik”, ajakiri Philosophy, 85 (2): 75–87. doi: 10.2307 / 2026993
  • Rouilhan, Philippe de, 2002, “Mis seal on”, Aristotelian Society toimetised, 102 (1): 183–200. doi: 10.1111 / j.0066-7372.2003.00049.x
  • Rumfitt, Ian, 2005, “Mitmuse terminid: veel üks viide?” ajakirjas José Luis Bermudez (toim), mõte, viide ja kogemus: teemad Gareth Evansi filosoofiast, Oxford: Oxford University Press, lk 84–123. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199248964.003.0004
  • Russell, Bertrand, 1903, matemaatika põhimõtted, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Schein, Barry, 1993, Plurals and Events, Cambridge, MA: MIT Press.
  • ––– 2006, “Plurals”, Ernest Lepore ja Barry C. Smith (toim.), Oxfordi keelefilosoofia käsiraamat, Oxford: Oxford University Press, lk 716–767. doi: 10.1093 / oxfordhb / 9780199552238.003.0029
  • Shapiro, Stewart, 1991, Sihtasutused ilma fundamentaalsuseta: teise astme loogika juhtum, Oxford: Clarendon. doi: 10.1093 / 0198250290.001.0001
  • –––, 1993, “Modaalsus ja ontoloogia”, Mind, 102 (407): 455–481. doi: 10.1093 / mind / 102.407.455
  • Simons, Peter, 1982, “Plural Reference and Set Theory”, Barry Smith (toim), Parts and Moments: Studies in Logic and Formal Ontology, München: Philosophia Verlag, lk 199–260. [Simons 1982 on veebis saadaval]
  • –––, 1997, „Kõrgema järgu kvantifitseerimine ja ontoloogiline kohustus”, Dialektika, 51 (4): 255–271. doi: 10.1111 / j.1746-8361.1997.tb00032.x
  • –––, 2016, “Kõrgema järgu rahvaste ontoloogia ja loogika”, Massimiliano Carrara, Alexandra Arapinis ja Friederike Moltmann (toim), Ühtsus ja paljusus: loogika, filosoofia ja lingvistika, Oxford: Oxford University Press, lk 55–69. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780198716327.003.0004
  • Stenius, Eric, 1974, “Komplektid”, Synthese, 27 (1–2): 161–188. doi: 10.1007 / BF00660894
  • Tarski, Alfred (ja John Corcoran, trans.), 1986, “Mis on loogilised mõisted?”, Loogika ajalugu ja filosoofia, 7 (2): 143–154. doi: 10.1080 / 01445348608837096
  • Taylor, Barry ja AP Hazen, 1992, “Paindlikult struktureeritud ennustamine”, Logique et Analyze, 35 (139–140): 375–393.
  • Uzquiano, Gabriel, 2003, “Mitmuse kvantifitseerimine ja klassid”, Philosophia Mathematica, 11 (1): 67–81. doi: 10.1093 / philmat / 11.1.67
  • –––, 2004, “Mitmuse ja lihtsuse”, Monist, 87 (3): 429–451. doi: 10.5840 / monist200487324
  • –––, 2011, “Mitmuse kvantitatiivsus ja modaalsus”, Aristotelian Society Proceedings of Aristotelian Society, 111 (2_pt_2): 219–250. doi: 10.1111 / j.1467-9264.2011.00307.x
  • van Inwagen, Peter, 1990, Material Beings, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • Williamson, Timothy, 2003, “Kõik”, Philosophical Perspectives, 17: 415–465. doi: 10.1111 / j.1520-8583.2003.00017.x
  • –––, 2010, “Vajalikkus, kontingents ja mitmuse kvantitatiivsus”, Mind, 119 (475): 657–748. doi: 10.1093 / mind / fzq042
  • –––, 2016, “Vastus Linnebole”, Kanada ajakiri filosoofiast, 46 (4–5): 677–682. doi: 10.1080 / 00455091.2016.1205856
  • Yablo, Stephen, 2000, “Apriority and Existing”, Paul Boghossian ja Christopher Peacocke (toim), New Essays on A Priori, Oxford: Oxford University Press, lk 197–228. doi: 10.1093 / 0199241279.003.0009
  • Yi, Byeong-Uk, 1999, “Kas kaks on vara?” Ajakiri Filosoofiast, 96 (4): 163–190. doi: 10.2307 / 2564701
  • ––– 2002, paljude mõistmine, New York, NY: Routledge.
  • –––, 2005, “Mitmuse loogika ja tähendus, I osa”, ajakiri Philosophical Logic, 34 (5): 459–506. doi: 10.1007 / s10992-005-0560-9
  • –––, 2006, “Mitmuse loogika ja tähendus, II osa”, ajakiri Philosophical Logic, 35 (3): 239–288. doi: 10.1007 / s10992-005-9015-6

Akadeemilised tööriistad

sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon
info ikoon
Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon
phil paberite ikoon
Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

PhilPapersi pluraalse kvantifitseerimise bibliograafia

[Palun võtke soovitustega ühendust autoriga.]