Zeno Paradoksid

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-05-24 11:17

Sisenemise navigeerimine

• Sissesõidu sisu
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Sõprade PDF-i eelvaade
• Teave autori ja tsitaadi kohta
• Tagasi üles

Zeno paradoksid

Esmakordselt avaldatud teisipäeval 30. aprillil 2002; sisuline redaktsioon esmaspäeval 11. juunil 2018

Peaaegu kõik, mida me Elea Zeno kohta teame, leiate Platoni Parmenidese avalehtedelt. Seal saame teada, et Zeno oli peaaegu 40-aastane, kui Sokrates oli noor mees, ütleme 20. Kuna Sokrates sündis 469. aastal eKr, võime Zeno sünniajaks ennustada umbes 490 eKr. Lisaks sellele teame tegelikult ainult seda, et ta oli Parmenidesega lähedane (Platon teatas kuulujuttude kohta, et Zeno oli noor, siis nad kirjutasid Parmenidese filosoofiat kaitsvate paradokside raamatu). Kahjuks pole seda raamatut säilinud ja see, mida me tema argumentidest teame, on teine, peamiselt Aristotelese ja tema kommentaatorite kaudu (siinkohal tugineme eriti Simpliciusele, kes, ehkki kirjutas tuhat aastat pärast Zenot, valdas nähtavasti vähemalt osa oma raamat). Ilmselt oli 40 paljususe paradoksi,püüdes näidata, et ontoloogiline pluralism - usk paljude asjade olemasolusse, mitte ainult ühte - viib absurdsete järeldusteni; neist paradoksidest püsivad ainult kaks, ehkki kolmanda argumendi võib Zenole omistada. Aristoteles räägib veel neljast argumendist liikumise vastu (ja üldjoontes muutusega), mida ta kõik annab ja üritab ümber lükata. Lisaks sellele omistab Aristoteles Zenole veel kaks paradoksi. Kahjuks ei tsiteeri erinevad kommentaatorid Zeno algsõnas peaaegu ühtegi neist paradoksidest, vaid parafraseerides. Aristoteles räägib veel neljast argumendist liikumise vastu (ja üldjoontes muutusega), mida ta kõik annab ja üritab ümber lükata. Lisaks sellele omistab Aristoteles Zenole veel kaks paradoksi. Kahjuks ei tsiteeri erinevad kommentaatorid Zeno algsõnas peaaegu ühtegi neist paradoksidest, vaid parafraseerides. Aristoteles räägib veel neljast argumendist liikumise vastu (ja üldjoontes muutusega), mida ta kõik annab ja üritab ümber lükata. Lisaks sellele omistab Aristoteles Zenole veel kaks paradoksi. Kahjuks ei tsiteeri erinevad kommentaatorid Zeno algsõnas peaaegu ühtegi neist paradoksidest, vaid parafraseerides.

• 1. Taust

• 2. Mitmuse paradoksid

  • 2.1 Argument densenessist
  • 2.2 Argument piiratud suurusest
  • 2.3 Argument täieliku jagatavuse kohta

• 3. Liikumise paradoksid

  • 3.1 Dihhotoomia
  • 3.2 Achilleus ja kilpkonn
  • 3.3 Nool
  • 3.4 Staadion

• 4. Veel kaks paradoksi

  • 4.1 Koha paradoks
  • 4.2 Hirssitera
• 5. Zeno mõju filosoofiale
• Edasised lugemised
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. Taust

Enne kui vaadata ise paradokse, on kasulik visandada nende ajalooline ja loogiline tähtsus. Esiteks püüdis Zeno kaitsta Parmenidesi, rünnates oma kriitikuid. Parmenides lükkas tagasi pluralismi ja igasuguste muutuste reaalsuse: tema jaoks oli kõik üks jagamatu, muutumatu tegelikkus ja kõik vastupidised ilmingud olid illusioonid, mõistuse ja ilmutuse abil hajutatud. Pole üllatav, et see filosoofia leidis palju kriitikuid, kes naeruvääristasid soovitust; lõppude lõpuks seisneb see meie kõige põhilisemate uskumuste taustal maailmas. (Huvitav on see, et üldrelatiivsus - eriti kvantne üldrelatiivsus - pakub väidetavalt uudset - kui uudsus on võimalik) argumenti parmeniidide muutuste eitamise kohta: Belot ja Earman, 2001.) Vastusena sellele kriitikale tegi Zeno midagi, mis võib tunduda ilmne,kuid millel oli sügav mõju kreeka filosoofiale, mida on tunda tänapäevani: ta üritas näidata, et Parmenidese vaadete eitamisest tulenevad loogiliselt võrdsed absurdsused. Kas sa arvad, et on palju asju? Siis peate järeldama, et kõik on nii lõpmata väike kui ka lõpmata suur! Kas te arvate, et see liikumine on lõpmatult jagatav? Siis järeldub, et miski ei liigu! (See on nn paradoks: tõestus, et ilmselt mõistlikest eeldustest tuleneb vastuolu või absurdne tagajärg.)Kas te arvate, et see liikumine on lõpmatult jagatav? Siis järeldub, et miski ei liigu! (See on nn paradoks: tõestus, et ilmselt mõistlikest eeldustest tuleneb vastuolu või absurdne tagajärg.)Kas te arvate, et see liikumine on lõpmatult jagatav? Siis järeldub, et miski ei liigu! (See on nn paradoks: tõestus, et ilmselt mõistlikest eeldustest tuleneb vastuolu või absurdne tagajärg.)

Argumentide lugemisel on oluline seda meetodit meeles pidada. Need on alati suunatud enam-vähem spetsiifilisele eesmärgile: mõne inimese või kooli vaadetele. Peame meeles pidama, et argumendid on "ad hominem" sõna otseses ladina tähenduses, et need on suunatud "isikutele (vaadetele)", kuid mitte "ad hominem" traditsioonilises tehnilises mõttes, et rünnata (iseloomu) inimesed, kes esitavad vaateid, mitte ei ründa vaateid ise. Nad töötavad oletades ajutiselt, et väited vastavad tõele, ja väites siis, et kui need on absurdsed tagajärjed, siis näiteks ei liiguta midagi: need on argumendid reductio ad absurdum (või dialektika) perioodi). Siis, kui argument on loogiliselt tõene ja järeldus on tõesti vastuvõetamatu,väited peavad lõppude lõpuks olema valed. Seega, kui vaatame Zeno argumente, peame esitama kaks seotud küsimust: keda või millist positsiooni Zeno ründab, ja mida täpselt argumendi huvides eeldatakse? Kui leiame, et Zeno teeb varjatud eeldusi kaugemale sellest, mida rünnatav positsioon endale kohustab, siis saab absurdset järeldust vältida ühe varjatud eelduse eitamisega, säilitades samal ajal positsiooni. Kommenteerijad tõepoolest vähemalt alates Aristotelese reageerimisest Zenole sel viisil.säilitades samal ajal positsiooni. Kommenteerijad tõepoolest vähemalt alates Aristotelese reageerimisest Zenole sel viisil.säilitades samal ajal positsiooni. Kommenteerijad tõepoolest vähemalt alates Aristotelese reageerimisest Zenole sel viisil.

Kelle seisukohti ründavad Zeno argumendid? Zeno täpse ajaloolise eesmärgi üle arutleb tohutu kirjandus. Nagu allpool lühidalt arutame, väidavad mõned, et sihtmärk oli pythagoorlaste tehniline õpetus, kuid tänapäeval näevad enamik Zenot vastandlikena mõistuse paljususele ja liikumisele. Läheneme selles vaimus paradoksidele ja suuname lugeja tõlgendavat arutelu käsitlevasse kirjandusse.

Sellegipoolest on ka enamuse arvamus, et Zeno paradoksid näitavad teatud kvalifikatsioonidega mõningaid probleeme, mida ei saa lahendada ilma matemaatika kõigi ressurssideta, nagu töötati välja 19. sajandil (ja võib-olla ka kaugemal). See ei tähenda (tingimata), et kaasaegne matemaatika on vajalik kõigile probleemidele vastamiseks, mida Zeno sõnaselgelt tõstatada tahtis; Aristotelesel ja teistel iidsetel oli vaieldamatult vastuseid, mis oleks Zenole rahuldanud või oleks pidanud. (Samuti ei esita me mingeid konkreetseid väiteid Zeno mõju kohta matemaatika ajaloole.) Kuna aga matemaatika arenes ja paradoksidele hakati rohkem mõtlema, tekkisid neist uued raskused; nende raskuste lahendamiseks on vaja kaasaegset matemaatikat. Need uued raskused tekivad osaliselt vastusena arusaamale sellest, mida matemaatiline rangus nõuab: Zeno rangusstandarditele vastavad lahendused ei rahulda meie oma. Seega lükkame mitu paradoksi nende mõistuse formuleeringutest kaasaegse matemaatika resolutsioonini. (Veel üks kvalifikatsioon: pakume lahendusi „tavalise” matemaatika osas, kuid ka muud tänapäevased sõnastused on võimelised käsitlema Zenot ja väidetavalt viisil, mis paremini kajastaks tema matemaatilisi mõisteid.)kuid ka muud tänapäevased formulatsioonid on võimelised käsitlema Zenot ja väidetavalt viisil, mis kajastaks paremini tema matemaatilisi mõisteid.)kuid ka muud tänapäevased formulatsioonid on võimelised käsitlema Zenot ja väidetavalt viisil, mis kajastaks paremini tema matemaatilisi mõisteid.)

2. Mitmuse paradoksid

2.1 Argument densenessist

Kui neid on palju, peab neid olema nii palju kui neid ja mitte rohkem ega vähem. Kuid kui neid on nii palju kui neid, oleks nad piiratud. Kui neid on palju, on asju piiramatult. Sest alati on asju, mis on olemas, ja jälle on teisi, ja seega on asju, mis on piiramatud. (Simplicius (a) Aristotelese füüsikast, 140.29)

See esimene argument, mis Zeno sõnades on esitatud Simpliciuse sõnul, püüab vastuolu valul näidata, et ei saa olla rohkem kui üks asi: kui asju on palju, siis on need mõlemad "piiratud" ja "piiramatud", vastuolu. Ühelt poolt ütleb ta, et iga kollektsioon peab sisaldama kindlat arvu asju või tema sõnul "ei rohkem ega vähem". Kuid kui teil on kindel arv asju, siis järeldab ta, et teil peab olema neid piiratud arvuga; selle järelduse tegemisel eeldab ta, et lõpmata paljude asjade omamiseks on nende määramatu arv. Teisest küljest, kujutage ette mis tahes paljudest asjadest koosnevat kollektsiooni, mis on paigutatud ruumi - pilt, mille nad rivistusid ühes mõõtmes kindlalt. Ta väidab, et nende kahe vahel on kolmas; ja nende kolme elemendi vahel veel kaks;ja veel neli nende viie vahel; ja nii edasi ilma lõputa. Seetõttu on kollektsioon ka 'piiramatu'. Niisiis viib meie algne eeldus paljususest vastuoluni ja on seega vale: lõppude lõpuks pole palju asju. Vähemalt nii kulgeb Zeno mõttekäik.

Vaatleme kahte alaargumenti vastupidises järjekorras. Esiteks, kas "alati on teiste vahel asju, mis on"? (Kaasaegses terminoloogias peaks objekte alati „tihedalt” järjestama?) Oletame, et me kujutasime ette kümne õunte kollektsiooni; siis kuuenda ja kaheksanda vahel on tõepoolest teine õun, kuid seitsmenda ja kaheksanda vahel pole ühtegi! Mida ta silmas peab, kui Zenot lihtsalt ei segata? Tekstid ei ütle, kuid siin on kaks võimalust: esiteks võiks arvata, et selleks, et iga füüsiliste objektide paar (ütlevad kaks õuna) oleks kaks eraldiseisvat objekti ja mitte ainult üks ('topeltõun'), peab olema olemas ka kolmas nende vahel, eraldades need füüsiliselt, isegi kui see on lihtsalt õhk. Ja võib arvata, et nende kolme eristamiseks peab neid eraldama veel kaks objekti,ja nii edasi (see seisukoht eeldab, et nende valmistamine erinevatest ainetest ei ole nende eristamiseks piisav). Ehk siis Zeno vaidleb paljususe vastu, arvestades teatud ettekujutust füüsilisest eristatavusest. Kuid teiseks, võib ka arvata, et igal kerel on osi, mida saab tihedalt tellida. Muidugi ei ole õunte 1/2, 1/4, 1/8 ja nii edasi tihedad - sellised osad võivad olla külgnevad - kuid võib olla ka piisavalt väikeseid osi, mida nimetatakse nende "punktosadeks" - mis on. Tõepoolest, kui mis tahes kahe punktosa vahel on piiratud vahemaa ja kui punktiosad võivad olla meelevaldselt lähedal, siis on need tihedad; kolmandik asub ükskõik millise kahe poole vahepunktis. Eelkõige on sellised tuttavad geomeetrilised punktid ja seega tihedad. Ehk siis Zeno pakub välja argumendi kehade jagatavuse kohta. Igaljuhul,Zeno oletatav tihedus eeldab kõnesoleva paljususe kohta veel mõningaid eeldusi ja keskendub vastavalt tema paradoksi eesmärgile.

Kuid oletame, et mõni kollektsioon (ühe joone punktid) on tihe, seega „piiramatu” või lõpmatu. Zeno rünnaku esimene haru näitab, et kuna see sisaldab kindlat arvu elemente, on see ka "piiratud" või piiratud. Kas sellest vastuolust on võimalik pääseda? Eeldus, et mis tahes kindel arv on piiratud, näib olevat intuitiivne, kuid nüüd teame tänu Cantori 19. sajandi tööle, kuidas mõista lõpmatuid numbreid viisil, mis muudab need täpselt nii lõplikeks kui lõplikud numbrid. Selle „lõplike numbrite” teooria keskne element on täpne määratlus, millal kaks lõpmatu kogumit on ühesuurused ja millal üks on suurem kui teine. Sellise määratluse abil on võimalik lõpmatuid numbreid tellida just nii, nagu tellitakse lõplikud numbrid: näiteks on erinevaid,kindel lõpmatu arv murdarvu ja geomeetrilisi punkte reas, isegi kui mõlemad on tihedad. (Nende matemaatiliste ideede sissejuhatuste ja nende ajaloo kohta leiate viiteid allpool.) Nii et vastupidiselt Zeno oletusele on mõttekas võrrelda lõpmatuid kogusid nende elementide arvu osas, öelda, kas kahel on rohkem kui või vähem kui üksteist või "nii palju kui üksteist": näiteks on rohkem koma numbreid kui täisarvu, kuid paarisarvude arv on täisarv. Nii et matemaatiliselt on Zeno mõttekäik ebaõige, kui ta ütleb, et kuna kollektsioonil on kindel arv, peab see olema piiratud ja esimene alamdokument on ekslik. (Kuigi see muidugi näitab ainult seda, et lõpmatud kogud on matemaatiliselt järjepidevad, mitte aga see, et neid füüsiliselt olemas oleks.)))kuigi mõlemad on tihedad. (Nende matemaatiliste ideede sissejuhatuste ja nende ajaloo kohta leiate viiteid allpool.) Vastupidiselt Zeno oletusele on mõttekas võrrelda lõpmatuid kollektsioone nende elementide arvuga, öelda, kas kahel on rohkem kui või vähem kui üksteist või "nii palju kui üksteist": näiteks on rohkem koma numbreid kui täisarvu, kuid paarisarvude arv on täisarv. Nii et matemaatiliselt on Zeno mõttekäik ebaõige, kui ta ütleb, et kuna kollektsioonil on kindel arv, peab see olema piiratud ja esimene alamdokument on ekslik. (Kuigi see muidugi näitab ainult seda, et lõpmatud kogud on matemaatiliselt järjepidevad, mitte aga see, et neid füüsiliselt olemas oleks.)kuigi mõlemad on tihedad. (Nende matemaatiliste ideede sissejuhatuste ja nende ajaloo kohta leiate viiteid allpool.) Nii et vastupidiselt Zeno oletusele on mõttekas võrrelda lõpmatuid kogusid nende elementide arvu osas, öelda, kas kahel on rohkem kui või vähem kui üksteist või "nii palju kui üksteist": näiteks on rohkem koma numbreid kui täisarvu, kuid paarisarvude arv on täisarv. Nii et matemaatiliselt on Zeno mõttekäik ebaõige, kui ta ütleb, et kuna kollektsioonil on kindel arv, peab see olema piiratud ja esimene alamdokument on ekslik. (Kuigi see muidugi näitab ainult seda, et lõpmatud kogud on matemaatiliselt järjepidevad, mitte aga see, et neid füüsiliselt olemas oleks.)ja nende ajalugu.) Niisiis, vastupidiselt Zeno oletusele, on mõttekas võrrelda lõpmatuid kogusid nende elementide arvuga, öelda, kas kahel on üksteist rohkem kui või vähem või on "nii palju kui": on olemas näiteks rohkem komakohti kui täisarvu, kuid sama palju paarisarvu kui täisarvu. Nii et matemaatiliselt on Zeno mõttekäik ebaõige, kui ta ütleb, et kuna kollektsioonil on kindel arv, peab see olema piiratud ja esimene alamdokument on ekslik. (Kuigi see muidugi näitab ainult seda, et lõpmatud kogud on matemaatiliselt järjepidevad, mitte aga see, et neid füüsiliselt olemas oleks.)ja nende ajalugu.) Niisiis, vastupidiselt Zeno oletusele, on mõttekas võrrelda lõpmatuid kogusid nende elementide arvuga, öelda, kas kahel on üksteist rohkem kui või vähem või on "nii palju kui": on olemas näiteks rohkem komakohti kui täisarvu, kuid sama palju paarisarvu kui täisarvu. Nii et matemaatiliselt on Zeno mõttekäik ebaõige, kui ta ütleb, et kuna kollektsioonil on kindel arv, peab see olema piiratud ja esimene alamdokument on ekslik. (Kuigi see muidugi näitab ainult seda, et lõpmatud kogud on matemaatiliselt järjepidevad, mitte aga see, et neid füüsiliselt olemas oleks.)näiteks rohkem komakohti kui täisarvu, kuid sama palju paarisarvu kui täisarvu. Nii et matemaatiliselt on Zeno mõttekäik ebaõige, kui ta ütleb, et kuna kollektsioonil on kindel arv, peab see olema piiratud ja esimene alamdokument on ekslik. (Kuigi see muidugi näitab ainult seda, et lõpmatud kogud on matemaatiliselt järjepidevad, mitte aga see, et neid füüsiliselt olemas oleks.)näiteks rohkem komakohti kui täisarvu, kuid sama palju paarisarvu kui täisarvu. Nii et matemaatiliselt on Zeno mõttekäik ebaõige, kui ta ütleb, et kuna kollektsioonil on kindel arv, peab see olema piiratud ja esimene alamdokument on ekslik. (Kuigi see muidugi näitab ainult seda, et lõpmatud kogud on matemaatiliselt järjepidevad, mitte aga see, et neid füüsiliselt olemas oleks.)

2.2 Argument piiratud suurusest

… Kui see tuleks lisada millelegi muule, mis eksisteerib, ei muudaks see seda suuremaks. Kui selle suurus poleks ja see oleks lisatud, ei saaks see suureneda. Ja nii järeldub kohe, et see, mis lisatakse, pole midagi. Aga kui lahutada, siis pole teine asi väiksem ega suurene selle lisamisel, siis pole selgelt midagi, mida liita või lahutada, midagi. (Simplicius (a) Aristotelese füüsikast, 139.9)

Kuid kui see on olemas, peab igal asjal olema mingi suurus ja paksus ning osa sellest peab olema ülejäänud osadest lahus. Ja sama arutluskäik kehtib ka ees oleva osa kohta. Ka selle jaoks on suurus ja osa sellest on ees. Nüüd on sama asi öelda seda korra ja öelda seda igavesti. Ükski selline osa sellest pole viimane ega ka üks osa, mis pole teisega seotud. Seega, kui asju on palju, peavad need olema nii väikesed kui ka suured; nii väike, et sellel pole suurust, kuid nii suur, et see oleks piiramatu. (Simplicius (a) Aristotelese füüsikast, 141.2)

Taas on meil Zeno enda sõnad. Tema järelduse kohaselt on sellel argumendil kolm osa, kuid ainult kaks jäävad ellu. Esimesena puuduva argumendi eesmärk on näidata, et kui palju asju on olemas, ei tohi neil olla üldse suurust. Teiseks väidab Zeno, et sellest järeldub, et neid pole üldse olemas; kuna mõõtmeteta objektiga liitumise (või eemaldamise) tulemus ei muutu üldse, järeldab ta, et lisatud (või eemaldatud) asi pole sõna otseses mõttes midagi. Selle punkti argument on pluralismi iseseisev ümberlükkamine, kuid Zeno tekitab veel ühe inimese jaoks uue probleemi, kes nõuab endiselt paljususe olemasolu. See väite kolmas osa on üsna halvasti sõnastatud, kuid tundub, et see töötab umbes nii: oletame, et on olemas paljusus, seega on mõni ruumiliselt laiendatud objekt olemas (lõppude lõpuks,ta vaid väitis, et tahtmatuid asju pole olemas). Pärast laiendamist on sellel kaks ruumiliselt eristatavat osa (üks teise ees). Ja osad on olemas, nii et neil on pikendus, ja seega on neil ka kummalgi kaks ruumiliselt eristatavat osa; ja nii edasi ilma lõputa. Ja järelikult näib, et viimane argumentatsioon jõuab järeldusele, kui eesmärk on seda üldse laiendatud, siis selle ulatus on lõpmatu.

Kuid mis võiks seda viimast sammu õigustada? Ei tundu, et kuna objekt koosneb kahest osast, peab see olema lõpmata suur! Ja see ei tulene ühestki teisest jaotusest, mida Zeno siin kirjeldab; neli, kaheksa, kuusteist või mis iganes piiritletud osad moodustavad piiritletud terviku. Jällegi, kindlasti, on Zeno neist faktidest teadlik ja peab seetõttu silmas pidama midagi muud, arvatavasti järgmist: ta eeldab, et kui tema kirjeldatud lõputud jagunemisi korratakse lõpmata mitu korda, siis oleks tulemuseks kindel osade kogum. Ja pange tähele, et ta ei pea eeldama, et keegi võiks tegelikult jagunemisi teostada - selleks pole piisavalt aega ja noad pole piisavalt teravad - lihtsalt, et objekti saab geomeetriliselt sellisteks osadeks laguneda (ega arva ka, et need osad on need, mida me loomulikult liigitaksime eraldiseisvateks füüsilisteks objektideks nagu õunad, rakud, molekulid, elektronid või nii edasi, kuid ainult et need on nende objektide geomeetrilised osad). Nüüd, kui pluralist võib hästi aktsepteerida, on sellised osad olemas, tuleneb tema väite teisest osast, et need on laiendatud, ja ilmselt ta eeldab, et lõplike osade lõpmatu summa on lõpmatu.tema väite teisest osast järeldub, et neid laiendatakse ja ta ilmselt eeldab, et lõplike osade lõpmatu summa on lõpmatu.tema väite teisest osast järeldub, et neid laiendatakse ja ta ilmselt eeldab, et lõplike osade lõpmatu summa on lõpmatu.

Siinkohal peaksime märkima, et kahel viisil võib ta lõpmatu jagunemise tulemust ette kujutada.

Esiteks võiks teda lugeda nii, et objekt jagati esmalt 1/2-ks, siis üks 1/2-st - ütle teine - kaheks 1/4-ks, siis üks 1/4-st - ütle teine jälle kaheks - 1 / 8s ja nii edasi. Sel juhul annab lõpmatu jaotuse tulemuseks lõputu jada tükke suurusega 1/2 kogupikkusest, 1/4 pikkusest, 1/8 pikkusest…. Ja siis on kogupikkus (1/2 + 1/4 + 1/8 +… pikkusest, mille kohta Zeno järeldab, et see on lõpmatu kaugus, nii et pluralist on pühendunud absurdsusele, et piiritletud kehad on nii suured kui olema piiramatu”.

Vastuseks osutatakse sageli sellele, et Zeno ei anna meile põhjust arvata, et summa on pigem lõpmatu kui piiratud. Tal võis olla intuitsioon, et igasugune lõpmatute koguste lõpmatu summa, kuna see kasvab iga uue terminiga lõputult, peab olema lõpmatu, kuid võib võtta ka sedalaadi näite, mis näitab, et mõned lõpmatud summad on ju piiritletud. Seega, vastupidiselt tema arvates, ei ole Zeno tõestanud absurdset järeldust. Mida aga alati ei arvestata, on see, et pluralist ei ole nii hõlpsalt konksust eemal, kuna ei piisa ainult väitest, et summa võib olla lõplik, vaid ta peab ka näitama, et see on lõplik - vastasel juhul oleme püsivuses ebakindlad tema positsioonist. Siinkohal esinevate raskuste näitena kaaluge järgmist:paljud kommentaatorid räägivad nii, nagu oleks lihtsalt ilmne, et murdarvude lõpmatu summa on 1, et lõpmatule summeerimisele pole midagi. Kuidas oleks aga järgmise summaga: (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \ ldots). Ilmselt näib, et summa saab ümber kirjutada ((1 - 1) + (1 - 1) + \ ldots = 0 + 0 + \ ldots = 0). Kindlasti tundub see vastus sama intuitiivne kui murdosade summa. Kuid selle summa saab ka ümber kirjutada (1 - (1 - 1 + 1 - 1 + \ ldots) = 1 - 0) - kuna me just näitasime, et sulgudes olev mõiste kaob - (= 1). Tuginedes intuitsioonile, kuidas teha lõpmatuid summasid, järeldatakse, et (1 = 0). Kuni pole võimalik anda lõpmatute summade teooriat, mis suudab igale probleemile rahuldava vastuse anda, ei saa öelda, et Zeno lõpmatu summa oleks ilmselgelt piiratud. Sellist teooriat töötati Cauchy poolt kuni 19. sajandini täielikult välja.(Cauchy süsteemis (1/2 + 1/4 + \ ldots = 1), kuid (1 - 1 + 1 - \ ldots) on määratlemata.)

Teiseks võib juhtuda, et Zeno tähendab, et objekt jagatakse pooleks, siis jagatakse mõlemad 1/2 mõlemad pooleks, siis 1/4 jagatakse kõik pooleks ja nii edasi. Sel juhul on tükid mis tahes konkreetses etapis kõik ühesuurused ja seega võib järeldada, et protseduuri lõpmatu läbiviimise tulemus oleks sama suurusega tükid, mis olemasolu korral - Zeno sõnul - on suuremad kui null; kuid võrdsete laiendatud osade lõpmatus on tõepoolest lõpmata suur.

Kuid sellele mõttekäigule saab vastu panna. Esiteks, oletame, et äsja kirjeldatud protseduur jagab objekti täielikult mittekattuvateks osadeks. (Selle oletusega on probleem, mida näeme veidi allpool.) See hõlmab tükkide arvu kahekordistamist pärast igat jaotust ja seega pärast (N) jaotust on (2 ^ N) tükki. Kuid selgub, et mis tahes loodusliku või lõpmatu arvu korral on (N), (2 ^ N \ gt N) ja seega on kirjeldatud jaotuste lõpmatusest saadud (oletatavate) osade arv veelgi suurem lõpmatus. Selle tulemusega ei kaasne viivitamatuid raskusi, sest nagu me eespool mainisime, on lõpmatused erineva suurusega. Kui mitu korda kõik jagatakse kaheks, siis öeldakse "lõpmatuseni": kollektsioonis on loendamatuid asju, kui neid saab tähistada numbritega 1, 2, 3,… Ilma kummagi poole järelejäänud. Kuid tükkide arv, mida lõpmatu jagunemine valmistab, on "loendamatult lõpmatu", mis tähendab, et puudub võimalus märgistada neid 1, 2, 3, … ilma, et mõnda neist ilma jääks - tegelikult neist lõpmata palju. Cauchy määratlus lõpmatu summa kohta kehtib siiski ainult loendamatult lõpmatu numbriseeria kohta ega kehti tükkide kohta, mida me kaalume. Võiksime aga arvestada, et paljud neist, kelle pikkus Zeno sõnul on pikk, kuna tema sõnul on nad kõik võrdsed ja nullist erinevad, moodustavad lõpmatu pikkuse; kõigi tükkide pikkus ei tohiks olla lühem. Cauchy lõpmatu summa määratlus kehtib ainult loendamatult lõpmatu numbriseeria korral ja see ei kehti tükkide kohta, mida me kaalume. Võiksime aga arvestada, et paljud neist, kelle pikkus Zeno sõnul on pikk, kuna tema sõnul on nad kõik võrdsed ja nullist erinevad, moodustavad lõpmatu pikkuse; kõigi tükkide pikkus ei tohiks olla lühem. Cauchy lõpmatu summa määratlus kehtib ainult loendamatult lõpmatu numbriseeria korral ja see ei kehti tükkide kohta, mida me kaalume. Võiksime aga arvestada, et paljud neist, kelle pikkus Zeno sõnul on pikk, kuna tema sõnul on nad kõik võrdsed ja nullist erinevad, moodustavad lõpmatu pikkuse; kõigi tükkide pikkus ei tohiks olla lühem.

Siinkohal võiks pluralist, kes usub, et Zeno jaotus jagab objektid täielikult mittekattuvateks osadeks (vt järgmist lõiku), vastata, et tegelikult pole neil osadel pikendust, isegi kui need on olemas. See blokeeriks järelduse, et piiritletud objektid on lõpmatud, kuid tundub, et see surub teda tagasi Zeno argumendi teise sarve juurde, sest kuidas saavad kõik need nullpikkused tükid moodustada nullist erineva terviku? (Pange tähele, et vastavalt Cauchy (0 + 0 + 0 + \ ldots = 0), kuid see tulemus ei näita siin midagi, sest nagu nägime, on loendamatult palju tükke, mida lisada, kui seda summat lisada.) lükkab selle küsimuse edasi järgmise paradoksi arutamiseks, kus see selgesõnaliselt kerkib.

Teine probleem lõpmatu jaotuse tõlgendamisel kõigi osade korduva jagunemisena on see, et objekt ei jagune eraldiseisvateks osadeks, kui objektid on moodustatud loomulikul viisil. Selle nägemiseks küsigem, millised osad saadakse selle jagamise teel 1/2, 1/4, 1/8 ja…. Kuna jagamist korratakse ilma lõpputa, pole viimast tükki, millele vastuse anda saaksime, ja seetõttu peame küsimusele mõtlema teisiti. Kui oletame, et eset saab esindada ühiku pikkusega sirgsegmendi abil, siis jagunemisel saadakse segmentide kogumid, kus esimene on kas kogu segmendi esimene või teine pool, teine on esimene või teine kvartal või kolmas või neljas kvartal ning üldiselt on (N) divisjonide toodetav segment kas eelmise segmendi esimene või teine pool. Näiteks kirjutades segmendi lõpp-punktidega (a) ja (b) kujul ([a, b]), on mõni neist kollektsioonidest (mida nimetatakse tehniliselt „kettideks”, kuna kogu elemendid tellivad suurus) algaks ({[0,1], [0,1 / 2], [1 / 4,1 / 2], [1 / 4,3 / 8], \ ldots }). (Kui me enne väitsime, et Zeno divisjon tootis objektist loendamatult palju tükke, siis oleksime pidanud hoolikamalt ütlema, et see tekitab loendamatult palju selliseid ahelaid.)me oleksime pidanud hoolikamalt ütlema, et see tekitab loendamatult palju selliseid ahelaid.)me oleksime pidanud hoolikamalt ütlema, et see tekitab loendamatult palju selliseid ahelaid.)

Küsimus, milliseid osi divisjon valib, on siis küsimus, millise osa valib mõni kett välja; on loomulik öelda, et kett valib välja selle rea osa, mis sisaldub kõigis selle elementides. Vaatleme näiteks ahelat ({[0,1 / 2], [1 / 4,1 / 2], [3 / 8,1 / 2], \ ldots }), teisisõnu ahelat, mis algab rea vasakpoolsest küljest ja mille jaoks on iga teine element eelmise parem pool. Poolteisepunkt on selles ahela igas segmendis; see on iga parempoolne lõpp-punkt. Kuid ükski teine punkt pole kõigis selle elementides: ilmselgelt pole poolteist kaugemale jäävat punkti; ja vali ükskõik milline punkt (p) enne poolaega, kui võtad [0,1 / 2] paremast küljest piisavalt palju kordi, on segmendi vasak vasak serv paremal pool (p). Seega on joone ainus osa, mis on selle ahela kõigis elementides, poolikpunkt ja see on see osa keti poolt valitud joonest. (Tegelikult järeldub numbriteooria postulaadist, et kõigil sellise ahela liikmetel on täpselt üks punkt.) Probleem on selles, et paralleelsete mõttekäikude kaudu valib pooltee ka eraldiseisev ahel ({[1 / 2,1], [1 / 2,3 / 4], [1 / 2,5 / 8], \ ldots }), kus iga segment pärast esimest on vasakpoolne pool eelmisest. Ja nii valivad mõlemad ahelad ühe ja sama rea: poolteise. Ja nii paljude teiste ahelapaaride jaoks. Seega ei jaga Zeno väide, mida tõlgendatakse kõigi osade korduvaks jagamiseks pooleks, joont eraldatud osadeks. Seega, kui arvame, et objektid on moodustatud samamoodi nagu joon,sellest järeldub, et vaatamata esinemistele ei lõika see argumendi versioon objekte osadeks, mille kogumahtu võime korralikult arutada.

(Võite arvata, et selle probleemi saab lahendada, kui võtta ahelate elemendid parempoolseteks lõikudeks ilma segmentideta. Siis ei ole kahest ahelast esimesel, mille ühelgi segmendil, keskpunkti pole, ja seega ei vali seda punkti välja. Probleem seisneb praegu selles, et ta ei vali ühtegi joone osa välja: eelnev arutluskäik näitas, et see ei vali ühtegi punkti, mis on poolteist punktist suurem või väiksem, ja nüüd ei vali see ka seda punkti välja!)

2.3 Argument täieliku jagatavuse kohta

… kui iganes keha on olemuselt jaotatav läbi kas poolitamise või üldiselt ükskõik millise meetodi abil, siis pole võimatu, kui see tegelikult jaguneb, ehkki tegelikult keegi seda nii jagada ei saaks.

Mis siis alles jääb? Suurus? Ei: see on võimatu, sest siis toimub midagi jagamata, samas kui hüpoteesina oli keha jagatav läbi ja lõhki. Kuid kui tunnistada, et ei jää keha ega suurusjärk, siis keha koosneb kas punktidest (ja selle koostisosad jäävad ilma suurusjärgust) või pole see absoluutselt midagi. Kui viimane, siis võib see mõlemad tulla olematust ja eksisteerida mitte millegi koosseisuna; ja seega on kogu keha eeldatavalt midagi muud kui välimus. Kuid kui see koosneb punktidest, ei oma see mingisugust ulatust. (Aristoteles põlvkonna ja korruptsiooni kohta, 316a19)

Need sõnad on Aristotelese, mitte Zeno sõnad, ja Aristoteles ei omista seda väidet isegi Zenole. Kuid meil on Simpliciuse arvamus (a) Aristotelese füüsika kohta, 139.24), et see pärineb Zenost, mistõttu see on siia kaasatud. Aristoteles alustab hüpoteesiga, et mõni keha on täielikult jaotatav „läbi ja läbi”; argumendi teises etapis tehakse selgeks, et ta tähendab, et see on jagatav osadeks, millel endal puuduvad suurused, mis tahes suurusega osasid ei jagu täielikult. (Veelkord on oluline see, et keha koosneb tõepoolest sellistest osadest, mitte et kellelgi oleks aega ja vahendeid jagunemiseks; ja meenutades eelmisest osast, et keegi ei saa selliseid osi, jagades kõiki osi korduvalt pooleks.) Nii et oletame, et keha on jagatud mõõtmeteta osadeks. Need osad võiksid olla kas üldse mitte midagi - nagu Zeno väitis eespool või "punkti osi". Kui osad pole midagi, siis on ka keha: see on lihtsalt illusioon. Ja see argument jõuab järeldusele, isegi kui need on punktid, kuna need on ületamatud, siis ka keha ise jääb ületamatuks: kindlasti on ükskõik milline summa, isegi lõpmatu null, null.

Kas seda viimast oletust võiks kahtluse alla seada? See on (nagu eespool märgitud) Cauchy lõpmatu summa määratluse tagajärg; Grünbaum (1967) juhtis siiski tähelepanu sellele, et see määratlus kehtib ainult loendatavate summade kohta ja Cantor andis ilusa, hämmastava ja äärmiselt mõjuka 'diagonaali' tõestuse, et segmendi punktide arv on loendamatult lõpmatu. Kõiki reas olevaid punkte ei saa märgistada numbrite 1, 2, 3,… lõpmatusega ja nii on joonelõigul rohkem punkte kui summeeritud väärtused Cauchy summas. Lühidalt öeldes ei kehti siin lõplikult jaotatud analüüs.

Nii et oletagem, et teile antakse lihtsalt rea punktide arv ja kõik nende pikkused on null; kuidas te pikkuse määraksite? Kas meil on vaja uut määratlust, mis laiendaks Cauchy määratlematult lõpmatuid summasid? Selgub, et see ei aitaks, sest Cauchy näitas lisaks, et ükskõik millise pikkusega segmendil (ja tegelikult kogu lõpmatu joonel) on täpselt sama arv punkte kui meie ühiku segmendil. Nii et punktide arvu teadmine ei määra rea pikkust ja seega pole midagi sellist nagu tuttav lisamine - milles kogu määrab osade järgi - võimalik. Selle asemel peame mõtlema joone kauguse omadustele kui selle punkti kompositsioonile loogiliselt tagantjärele: kõigepealt on meil punktide komplekt (järjestatud teatud viisil, nii et on olemas mõni fakt, näiteksselle kohta, milline neist kolmest asub teiste vahel), siis määratleme punktide paari funktsiooni, mis täpsustab, kui kaugel nad asuvad (vastates tingimustele, nagu näiteks vahemaa (A) ja (B) vahel pluss vahemaa (B) ja (C) võrdub kaugus (A) ja (C) vahel - kui (B) jääb (A) ja (C)) vahele. Seega vastame Zenole järgmiselt: argument eeldas, et kere suurus oli punktiosade suuruste summa, kuid see pole nii; vastavalt kaasaegsele matemaatikale on geomeetriline joone segment punktide loendamatu lõpmatus pluss vahemaa funktsioon. (Pange tähele, et Grünbaum kasutas tõsiasja, et punktikoosseis ei suuda pikkust kindlaks määrata, et toetada tema 'konventsionistide' seisukohta, et joonel pole mõõtestandardist sõltumatult mingit kindlaksmääratud pikkust.)))))Seega vastame Zenole järgmiselt: argument eeldas, et kere suurus oli punktiosade suuruste summa, kuid see pole nii; vastavalt kaasaegsele matemaatikale on geomeetriline joone segment punktide loendamatu lõpmatus pluss vahemaa funktsioon. (Pange tähele, et Grünbaum kasutas tõsiasja, et punktikoosseis ei suuda pikkust kindlaks määrata, et toetada tema 'konventsionistide' seisukohta, et joonel pole mõõtestandardist sõltumatult mingit kindlaksmääratud pikkust.)Seega vastame Zenole järgmiselt: argument eeldas, et kere suurus oli punktiosade suuruste summa, kuid see pole nii; vastavalt kaasaegsele matemaatikale on geomeetriline joone segment punktide loendamatu lõpmatus pluss vahemaa funktsioon. (Pange tähele, et Grünbaum kasutas tõsiasja, et punktikoosseis ei suuda pikkust kindlaks määrata, et toetada tema 'konventsionistide' seisukohta, et joonel pole mõõtestandardist sõltumatult mingit kindlaksmääratud pikkust.)(Pange tähele, et Grünbaum kasutas tõsiasja, et punktikoosseis ei suuda pikkust kindlaks määrata, et toetada tema 'konventsionistide' seisukohta, et joonel pole mõõtestandardist sõltumatult mingit kindlaksmääratud pikkust.)(Pange tähele, et Grünbaum kasutas tõsiasja, et punktikoosseis ei suuda pikkust kindlaks määrata, et toetada tema 'konventsionistide' seisukohta, et joonel pole mõõtestandardist sõltumatult mingit kindlaksmääratud pikkust.)

Nagu Ehrlich (2014) rõhutab, võiksime isegi öelda, et nullide “loendamatu summa” on null, sest joone pikkus ei ole võrdne selles sisalduvate punktide pikkuste summaga (käsitledes Sherry's, 1988, muret, et määratluse laiendamisest keeldumine oleks ad hoc). Seega, kui sätestada, et rea pikkus on õigete osade täieliku kogumi summa, siis järeldub, et punktid ei ole joone õigesti kõnelevad osad (erinevalt joone pooltest, veeranditest ja nii edasi). Kaasaegses mõõtmisteoorias (mis Grünbaumi raamistikku üldistab) kitsas tähenduses on joone punktid sellega võrreldamatud ja Aristotelese antud ülesehitus, milles terviku pikkust analüüsitakse selle punktide järgi, on ebaseaduslik.

3. Liikumise paradoksid

3.1 Dihhotoomia

Esimene kinnitab liikumise olematust põhjusel, et liikumisvõimeline peab jõudma poole peale enne eesmärgi saabumist. (Aristotelese füüsika, 239b11)

Seda paradoksi nimetatakse dihhotoomiaks, kuna see hõlmab korduvat jagamist kaheks (nagu paljususe teine paradoks). Nagu teisedki liikumise paradoksid, on meil see ka Aristoteleselt, kes püüdis selle ümber lükata.

Oletame, et väga kiire jooksja - näiteks müütiline Atalanta - peab bussi sõitma. Nagu Aristoteles ütleb, peab ta enne bussipeatusesse jõudmist sõitma poolel teel. Seal pole mingit probleemi; kui eeldada pidevat liikumist, kulub tal pool korda sinna poole jooksmiseks ja 1/2 kogu ülejäänud aja jooksmiseks. Nüüd peab ta enne poolteekonda jõudmist jooksma ka poole teekonna poole - st 1/4 kogupikkusest -, kuid jällegi on tal joosta piiratud arv piiratud pikkusi, ja selleks on palju aega. Ja enne, kui ta jõuab 1/4 teest, peab ta jõudma (1/2) (1/4 = 1/8) teest; ja enne seda 1/16; ja nii edasi. Selles sarjas pole üheski piiritletud punktis probleemi, kuid mis saab siis, kui poolitamine toimub lõpmata mitu korda? Saadud seeria ei sisalda esimest läbitud distantsi,esimese võimaliku distantsi võiks jagada pooleks ja seega poleks see esimene. Kuid see sisaldab lõplikku vahemaad, nimelt 1/2 teest; ja eelviimane vahemaa, 1/4 teest; ja kolmandik viimase distantsini, 1/8 teest; ja nii edasi. Seega on distantside seeria, mida Atalanta läbima peab:…, siis 1/16 teest, siis 1/8 teest, siis 1/4 teest ja lõpuks 1/2 teest (praegu me ei soovita, et ta peatuks iga segmendi lõpus ja hakkaks siis järgmise järgmise alguses jooksma - mõtleme tema pidevale jooksule, mis koosneb sellistest osadest). Ja nüüd on probleem, sest tema jooksukirjelduse tõttu on ta läbinud lõpmatu hulga lõpmatuid vahemaid, mis, Zeno sõnul võiksime järeldada, peab võtma lõpmatu aja, mis tähendab, et see pole kunagi lõpule jõudnud. Ja kuna argument ei sõltu vahemaast ega sellest, kes või mis on liikuja, järeldub sellest, et kunagi ei tohi lõplikku kaugust läbida, see tähendab, et kogu liikumine on võimatu. (Pange tähele, et paradoksi saab hõlpsasti genereerida teises suunas, nii et Atalanta peab kõigepealt jooksma poolel teel, seejärel poolel järelejäänud teel, seejärel poolel sellest ja nii edasi, et ta peaks jooksma järgmise lõputu murdosade jada kogu koguarvust vahemaa: 1/2, siis 1/4, siis 1/8, siis….)nii et ta peab läbima järgmise lõputu murdosa murdosa kogupikkusest: 1/2, siis 1/4, siis 1/8, siis….)nii et ta peab läbima järgmise lõputu murdosa murdosa kogupikkusest: 1/2, siis 1/4, siis 1/8, siis….)

Paar ühist vastust ei ole piisavad. Nagu Simplicius (a) Aristotelese füüsikast, 1012.22), ütleb meile, et küünik Diogenes tegi vaikides seistes ja kõndides, osutades, et kõige tavalisema kogemuse küsimus on see, et asjad tegelikult liiguvad ja et me teame väga hea, et Atalanta ei saaks oma bussipeatusesse jõudmisega probleeme. Kuid see ei avaldaks muljet Zenole, kes makstud parmeniidlasena leidis, et paljud asjad ei ole nii nagu paistab: võib tunduda, et Diogenes kõnnib või Atalanta töötab, kuid esinemised võivad olla petlikud ja kindlasti on meil loogiline tõend et nad tegelikult ei liigu üldse. Teise võimalusena, kui keegi ei nõustu sellega, et Zeno on tõestanud, et liikumine on illusoorne - nagu me loodetavasti ei tee, siis võlgneb ta selle, mis tema väitel viga on: ta on põhjendanud, miks liikumine on võimatu,ja nii peab piisav vastus näitama, miks need põhjused ei ole piisavad. Ja see ei tähenda lihtsalt seda, et on olemas mõned viisid, kuidas lõigata Atalanta osa kaheks pooleks, öeldes, et sellega pole mingit probleemi. Kui nõustute kõigi Zeno argumendi etappidega, peate aktsepteerima tema järeldust (eeldades, et ta on loogiliselt deduktiivselt mõelnud): sellest ei piisa, et näidata ebaproblemaatilist jaotust, vaid peate ka näitama, miks antud jaotus on ebaproblemaatiline.sellest ei piisa ebaproblemaatilise jaotuse kuvamiseks, vaid peate ka näitama, miks antud jaotus on probleemne.sellest ei piisa ebaproblemaatilise jaotuse kuvamiseks, vaid peate ka näitama, miks antud jaotus on probleemne.

Teine vastus, mille on andnud Aristoteles ise, on juhtida tähelepanu sellele, et jagades läbitud vahemaid, peaksime jagama ka kogu kulutatud aja: lõppvõistluste aeg on 1/2, 1/4 ajast eelmise 1/4 jaoks 1/8 ajast 1/8 jooksu aja ja nii edasi. Seega on igal murdmaakaugusel täpselt õige murdosa Atalanta piiratud lõpuajast selle läbimiseks ja seega saab selle distantsi läbida piiratud ajaga. Aristoteles leidis, et see vastus peaks Zenot rahuldama, kuid ta taipas ka (Physics, 263a15), et see ei saa olla asja lõpp. Praegu ütleme, et aeg, mille Atalanta võtab bussipeatusesse jõudmiseks, koosneb lõpmatust arvust lõplikest tükkidest -…, 1/8, 1/4 ja 1/2 koguajast - ja see pole mitte nii, et lõpmatu aeg?

Muidugi võiks jälle väita, et mõnel lõpmatul summal on lõplikud summad ja eriti et nende tükkide summa on (1 \ kord) koguaeg, mis on muidugi piiratud (ja jällegi nõuab terviklahendus range kirjeldus lõpmatu summeerimise kohta, nagu Cauchy's). Aristoteles sellist sammu siiski ei teinud. Selle asemel tegi ta terava vahet nn pideva joone ja osadeks jagatud joone vahel. Mõelge rea lihtsale jagamisele kaheks: ühelt poolt on jagamatu joon ja teiselt poolt joon, mille keskpunkt on valitud kahe poole piiriks. Aristoteles väidab, et need on kaks eraldiseisvat asja: ja et viimane on ainult „potentsiaalselt” tuletatav esimesest. Järgmisena võtab Aristoteles mõistuse seisukoha, et aeg on nagu geomeetriline joon,ja arvestab raja läbimiseks kuluvat aega. Võime jällegi eristada kahte juhtumit: algusest lõpuni on pidev intervall ja intervall jagatakse Zeno lõpmatuseni poole jooksuga. Esimene neist on "potentsiaalselt lõpmatu" selles mõttes, et selle võiks jagada viimasteks "tegelikuks lõpmatuseks". Siin on oluline samm: Aristoteles arvab, et kuna need intervallid on geomeetriliselt erinevad, peavad nad olema füüsiliselt erinevad. Aga kuidas see saaks olla? Ta väidab, et jooksja peab iga pooljooksu lõpus midagi ette võtma, et see järgmisest eristuks: ta peab peatuma, muutes jooksu ise katkendlikuks. (Pole selge, miks mingist muust toimingust intervalli jagamiseks ei piisa.) Aristotelese täielik vastus paradoksile on see, et küsimus, kas lõpmatu jooksusari on võimalik või mitte, on mitmetähenduslik:potentsiaalselt lõpmatu poolikute seeria pideval jooksul on võimalik, samas kui katkendlike pooljooksude tegelik lõpmatus pole - Zeno tuvastab küll võimatuse, kuid see ei kirjelda tavalist radade allajooksmise viisi!

Meie tänapäevasest vaatenurgast on raske mõista, kuidas see vastus võiks olla täiesti rahuldav. Esiteks eeldab see, et potentsiaalset ja tegelikku lõpmatust saab selgelt eristada - midagi sellist, mida kunagi täielikult ei saavutatud. Teiseks, oletagem, et Zeno probleem lülitub sisse väites, et lõpmatute summade lõpmatud summad on alati lõpmatud. Siis aitab Aristotelese eristamine aidata vaid siis, kui ta suudab selgitada, miks potentsiaalselt lõpmatud summad on tegelikult piiratud (kas me ei võiks potentsiaalselt lisada (1 + 1 + 1 + \ ldots), millel pole lõplikku summat); või kui ta oskab põhjendada, miks potentsiaalselt lõpmatuid summasid lihtsalt ei eksisteeri. Või ei näinud Aristoteles probleemina lõpmatuid summasid, vaid pigem seda, kas lõplike tegevuste lõpmatus on metafüüsiliselt ning kontseptuaalselt ja füüsiliselt võimalik. Me käsitleme seda "Supertasks" küsimust lühidalt allpool, kuid pange tähele, et on olemas täpselt määratletud etapp, kus Atalanta raja etappe eraldavad piiratud tugipunktid, näidates vaieldamatult võimalust täita lõpmatu seeria lõplikke ülesandeid piiratud aeg (Huggett 2010, 21–2). Lõpuks pole potentsiaalsete ja tegelike lõpmatuste eristamine matemaatikas mingit rolli mänginud, kuna Cantor taltsutas transfinite numbreid - kindlasti pole potentsiaalne lõpmatus mänginud mingit rolli siin käsitletud tänapäevastes matemaatilistes lahendustes.potentsiaalsete ja tegelike lõpmatuste eristamine ei ole matemaatikas mingit rolli mänginud, kuna Cantor taltsutas transfinite numbreid - kindlasti pole potentsiaalne lõpmatus siin käsitletud kaasaegsetes matemaatilistes lahendustes mingit rolli mänginud.potentsiaalsete ja tegelike lõpmatuste eristamine pole matemaatikas mingit rolli mänginud, kuna Cantor taltsutas transfinite numbreid - kindlasti ei ole potentsiaalne lõpmatus mänginud mingit rolli siin käsitletud kaasaegsetes matemaatilistes lahendustes.

3.2 Achilleus ja kilpkonn

Teist argumenti nimetati "Achilleuseks" vastavalt sellest, et Achilleust võeti selles [tegelasena], ja väites öeldakse, et tal on võimatu kilpkonnat taga ajada. Tegelikult on vaja, et see, millest mööduda, enne kui sellest mööduda, jõuaks kõigepealt piirini, millest alates põgenemine on välja toodud. Selle aja jooksul, mil jälitaja jõuab selleni, liigub põgenev teatava intervalli võrra edasi, isegi kui see on lühem kui see, mis jälitab edasijõudnut. Ja aja jooksul, mil jälitatav läbib seda [intervalli], mis põgeneb kaugemale, sel ajal läbib jälle see, mis põgeneb, mingi summa…. Ja seega läbib iga aeg, mille jooksul jälitab seda intervalli, mis põgenedes, olles aeglasem, on juba edasi jõudnud,see, mis põgeneb, tasub ka mingi summa ette. (Simplicius (b) Aristotelese füüsikast, 1014.10)

See paradoks pöörab sisuliselt samu kaalutlusi kui viimane. Kujutage ette, kui Achilleus jahutab kilpkonna ja arvake, et Achilleus jookseb kiirusega 1 m / s, et kilpkonn indekseerib 0,1 m / s ja et kilpkonn algab 0,9 m enne Achilleust. Selle ees peaks Achilleus kilpkonna kinni püüdma ühe sekundi pärast, 1 m kaugusel kohast, kus ta alustab (ja nii 0,1 m kaugusel, kus algab kilpkonn). Saime jagada Achilleuse liikumise ülespoole, nagu ka Atalanta, pooleks või siis teha seda järgmiselt: enne kui Achilleus suudab kilpkonna püüda, peab ta jõudma sinna, kus kilpkonn algas. Kuid aja jooksul, mille jooksul ta selleks aega võtab, indekseerib kilpkonn pisut edasi. Nii et järgmine Achilleus peab jõudma sellesse uude punkti. Kuid aja jooksul, mis kulub Achilleuse saavutamiseks, roomab kilpkonn veel natuke edasi. Ja nii edasi lõpmatuseni:iga kord, kui Achilleus jõuab kohale, kus kilpkonn asus, on kilpkonnal olnud piisavalt aega, et natukene kaugemale jõuda, ja nii on Achilleusel veel üks samm teha ja nii on Achilleusel enne lõputut arvu lõpmatuid järelejõudmisi, mida ta teha tuleb suudab kilpkonna kinni püüda ja nii, Zeno järeldab, ei saa ta seda kilpkonda kunagi.

Paradoksi üks külg on see, et Achilleus peab enne kilpkonna püüdmist läbima järgmise lõpmatu vahemike jada: kõigepealt 0,9 m, siis veel 0,09 m, siis 0,009 m,…. Need on rida vahemaid, milleni kilpkonn jõuab Achilleuse kõigi järelejõudmiste alguses. Nii vaadates on pusle identne dihhotoomiaga, sest tuleb lihtsalt öelda, et "see, mis asub, peab jõudma [üheksa kümnendikku teest] enne eesmärgi saabumist". Ja nii kehtib ka kõik, mida me eespool ütlesime.

Kuid see, mida selle vormi paradoks kõige ilmekamalt esile toob, on probleemide seeria lõpuleviimine, millel pole lõplikku liiget - antud juhul lõpmatut järelejõudmiste seeriat, enne kui Achilleus jõuab kilpkonnani. Kuid just milles on probleem? Võib-olla järgmine: Achilleuse jooks sinna, kus ta peaks jõudma kilpkonnani, näib olevat täielikult lagunenud järelejõudmiste seeriaks, millest ükski ei vii teda kilpkonna juurde. Seetõttu ei jõua ta lõpuks kuhugi kilpkonnani. Kuid kui seda Zeno silmas pidas, ei tee see seda. Muidugi ei jõua Achilleus kilpkonnani jada üheski punktis, sest iga jada kestab enne, kui ootame, et Achilleus selleni jõuab! Kui mõelda punktidele, milleni Achilleus oma jooksus peab jõudma, siis 1m ei toimu järjestuses 0,9m, 0,99m, 0,999m,…,nii et loomulikult ei püüa ta selle jooksusarja ajal kunagi kilpkonna! (Ja sama olukord on ka dihhotoomias: sarja esimest distantsi ei tehta, nii et see ei sisalda Atalanta starti!) Seega ei lagune järelejõudmiste seeria lõppude lõpuks täielikult ära: viimane punkt, kus Achilleus teeb püüda kilpkonn - tuleb sellele lisada. Kas on siis puzzle? Väidetavalt jah.

Achilleuse jooks läbib punktide jada 0,9 m, 0,99 m, 0,999 m,…, 1 m. Kuid kas selline kummaline jada, mis koosneb liikmete lõpmatusest, millele järgneb veel üks, on matemaatiliselt mõttekas? Kui ei, siis ei saa meie jooksmise matemaatiline kirjeldus olla õige, kuid mis siis on? Õnneks kinnitab Cantori rajatud transfiniitide teooria meile, et selline sari on täiesti auväärne. Saadi aru, et lõpmatute seeriate järjekorraomadused on palju detailsemad kui lõplike seeriate korraldusomadused. Igasugune numbrite 1, 2 ja 3 paigutamise viis annab näiteks sama mustri seeria, kuid naturaalarvude järjestamiseks on palju erinevaid viise: näiteks 1, 2, 3,…. Või…, 3, 2, 1. Või…, 4, 2, 1, 3, 5,…. Või 2, 3, 4,…, 1, mis on täpselt samasugune seeria kui positsioonid, mille Achilleus peab läbima. Seega ei käsitle transfiniitide teooria mitte ainult "kardinal" numbreid - mis sõltuvad ainult sellest, kui palju asju on -, vaid ka "ordinaalseid" numbreid, mis sõltuvad veelgi asjade paigutusest. Kuna tavalisi väärtusi võetakse tavaliselt matemaatiliselt õigustatud numbriteks ja kuna Achilleuse läbitaval punktide reas on järjenumber, siis loetakse, et jada on matemaatiliselt õigustatud. (Veelkord Achilleuse jaoks tekkida võivate probleemide kohta vaadake allpool peatükki „Supertasks”.)võtame selle, et seeria on matemaatiliselt õigustatud. (Veelkord Achilleuse jaoks tekkida võivate probleemide kohta vaadake allpool peatükki „Supertasks”.)võtame selle, et seeria on matemaatiliselt õigustatud. (Veelkord Achilleuse jaoks tekkida võivate probleemide kohta vaadake allpool peatükki „Supertasks”.)

3.3 Nool

Kolmas on see, et lendav nool on puhkeasendis, mis tuleneb eeldusest, et aeg koosneb hetkedest. ta ütleb, et kui kõik, kui see võtab võrdse ruumi, on puhkeasendis ja kui liikumisvõime on alati hetkes, on lendav nool seetõttu liikumatu. (Aristotelese füüsika, 239b30)

Zeno kaotab liikumise, öeldes: "See, mis on liikumises, ei liigu ei selles, kus ta on, ega selles, kus ta pole". (Diogenes Laertius kuulsate filosoofide elust, ix.72)

See liikumisvastane argument lülitab selgesõnaliselt konkreetsuse paljususe eelduse: see aeg koosneb hetkedest (või 'nüüdistest') ja mitte millestki muust. Mõelge igal hetkel noolele, mis on ilmselt liikuv. Esiteks eeldab Zeno, et sel hetkel ei liigu ta ühtegi distantsi - see võtab kogu hetke jaoks võrdse ruumi. Kuid kogu selle liikumise periood sisaldab ainult hetki, mis kõik sisaldavad noolt puhkeasendis, ja nii, Zeno järeldab, ei saa nool liikuda.

Otsene mure on see, miks on Zenol õigustatud eeldada, et nool on hetkega puhkeasendis. See järeldub kohe, kui eeldada, et hetk kestab 0 sekundit: ükskõik kui kiire nool on, see ei jõua kuhugi, kui sellel pole üldse aega. Aga mis siis, kui leitakse, et väikseimad ajaosad on piiratud - kui pisikesed -, nii et liikuv nool võib hetkega tegelikult mõnda vahemaad nihutada? Üks viis eelduse toetamiseks, mis nõuab üsna palju teksti lugemist, algab eeldusel, et elemendid on jagamatud. Siis oletame, et nool liikus hetkega. See paikneks hetke alguses ja lõpus erinevates kohtades, mis tähendab, et hetkel on algus ja lõpp, mis omakorda tähendab, et sellel on vähemalt kaks osa ja seega on see vastupidiselt jagatav meie eeldus.(Pange tähele, et see argument tõendab ainult seda, et miski ei saa hetkega liikuda, mitte see, et elemendid ei saa olla piiratud).

Ju siis ei liigu miski hetkega midagi, kuid aeg koosneb täielikult eksistentsidest, nii et miski ei liigu kunagi. Esimene vastus on juhtida tähelepanu sellele, et noole kiiruse määramine tähendab teatud aja jooksul läbitud vahemaa jagamist selle aja pikkusega. Kuid kui nüüd eeldada, et instantside kestus on null, siis pole sellel valemil hetkeseisuga mingit mõtet: nool liigub 0-ndal sekundil, kui hetk kestab, kuid 0/0 m / s ei ole üldse number. Seega on ekslik järeldada tõsiasjast, et nool ei liigu hetkega mingit kaugust, et ta on puhkeseisundis; kas see liigub hetkega või mitte, sõltub sellest, kas see läbib mingit kaugust piiratud intervalliga, mis hõlmab kõnealust hetke.

Vastus on õige, kuid see viitab intuitiivsele vihjele, et liikumine ei ole midagi, mis juhtub igal hetkel, vaid ainult piiratud ajaperioodidel. Mõelge sellele nii: aeg, nagu me ütlesime, koosneb ainult instantsidest. Ühegi hetkega ei läbita ühtegi distantsi. Millal siis nool tegelikult liigub? Kuidas see hilisemal hetkel ühest kohast teise saab? Seal on ainult üks vastus: nool liigub punktist (X) ajal 1 punkti (Y) ajal 2 lihtsalt seetõttu, et ollakse järjestikuste vahepunktide vahel järjestikustel vaheaegadel - nool ei muuda kunagi oma positsiooni vahetu, kuid ainult vaheaegadel, mis koosnevad loodest, erinevate ametikohtade hõivamisega erinevatel aegadel. Bergsoni meeldejäävates sõnades, mis olid tema arvates absurdsed, on „liikumine koosneb liikumatusest” (1911, 308):(X) - (Y) jõudmine tähendab, et hõivatakse igal hetkel täpselt üks koht vahepeal (muidugi õiges järjekorras). Selle „at-at” ajamõiste edasiseks arutamiseks vaata Arntzenius (2000) ja Salmon (2001, 23–4).

3.4 Staadion

Neljas argument seisneb selles, et võrdsed kehad, mis liiguvad staadionil võrdsete kehadega mööda vastassuundadest - need, mis asuvad staadioni lõpust, teised keskmisest - võrdse kiirusega, kus tema arvates järeldub, et pool ajast on võrdne selle topelt…. (Aristotelese füüsika, 239b33)

Aristoteles töötab edasi ja lükkab ümber argumendi Zeno liikumise viimase paradoksi kohta. Tekst on üsna krüptiline, kuid seda tõlgendatakse tavaliselt järgmiselt: pildistage kolm liigutavat kuubikukomplekti - kõik täpselt ühesugused - suhtelises liikumises. Üks komplekt - (A) - on puhkeseisundis ja teised - (B) ja (C) - liiguvad vastavalt paremale ja vasakule, konstantse võrdse kiirusega. Ja oletame, et mingil hetkel on parempoolsed (B) ja kõige vasakpoolsemad (C) joondatud vastavalt keskele (A), nagu näidatud (lihtsuse huvides on mõlemal kujutatud kolm).

	(A)	(A)	(A)
(B)	(B)	(B)
		(C)	(C)	(C)

Kuna (B) ja (C) liiguvad sama kiirusega, joondatakse need samaaegselt (A) -ga.

	(A)	(A)	(A)
	(B)	(B)	(B)
	(C)	(C)	(C)

Praegu on parempoolne (B) möödas kõigist (C) -test, kuid ainult pooltest (()); kuna need on võrdse suurusega, on see läbinud nii mõnegi pikkuse kui ka poole sellest. Oletatavat vastuolu siin siiski ei joonistata, arvatavasti seetõttu, et on selge, et need vastupidised vahemaad on vastavalt (C) ja (A) suhtes; üldiselt ei ole erinevates suhetes erinevate asjadega seista vastuolusid. Selle asemel teisendatakse vahemaad kordadeks, jagades vahemaad (B) kiirusega; pool vahemaad etteantud kiirusel võtab pool ajast. Siis ähvardab vastuolu, kuna aeg riikide vahel on ühemõtteline, mitte suhteline - protsess võtab aega (mitte null) aega ja pool sellest.

Üldine otsus on, et Zeno oli selles paradoksis lootusetult segaduses suhteliste kiiruste osas. Kui (B) liiguvad kiirusega S m / s paremale (A) suhtes ja kui (C) liiguvad kiirusega S m / s vasakule, (A) suhtes liiguvad (C) kiirusega (S + S = 2) S m / s vasakule, (B) suhtes. Ja muidugi, kuigi (B) sõidavad (C) suhtes kaks korda nii kaugele kui (A), teevad nad seda suhtelise kiirusega kaks korda ja seega on kellaajad samamoodi. Kuid kas Zeno võis seda segamini ajada? (Sattler, 2015, vaidleb sellele ja teistele staadioni ühistele lugemistele vastu.)

Võib-olla (Davey, 2007) pidas ta selle asemel silmas järgmist (kuigi Zeno on selle lugemise järgi targem, ei sobi see Aristotelese sõnadega nii hästi): oletagem, et (A), (B) s ja (C) on väikseima ruumilise ulatusega, "punkti suurusega", kus "punktid" on nulli suurusega, kui ruum on pidev, või piiratud, kui ruum on "aatomiline". Lisaks oletame, et (A) ja (B) vahel ega (C) vahel ei ole tühikuid. Ülal asuva liikumise ajal läbib eesmine (B) kõiki (C) ja pooled (A), seega nii palju (A) kui (C). Kuna punkt liigub pidevalt mööda joont, millel puuduvad lüngad, toimub ajahetke ja joone punktide vahel 1: 1 vastavus igale punktile ja igale punktile hetkega. Seetõttu\ '(A) - hetkede arv, mis kulub (B) -de läbimiseks (A) -teni, on pool arvust' (C) - instantside 'möödumiseks (C) s - isegi kui need protsessid võtavad sama palju aega. Kui me siis eeldame, et pooled instantsid tähendavad pool aega, järeldame, et pool aega võrdub kogu ajaga, see on vastuolu.

Eespool nägime täieliku jagatavuse arutelul pideva joone suhtes sellise mõttekäigu probleemi: suvalisel joonel on sama arv punkte, seega ei saa punktide arvust sel viisil midagi järeldada - kindlasti mitte nii, et pool punktid (siinkohal elemendid) tähendavad pool pikkust (või aega). Paradoks ebaõnnestub, nagu öeldud. Kuid kas mitte väide, et intervallid sisaldavad sama arvu instante, ei lähe vastuollu argumendi sammuga, mis järeldab, et (A) - instantse on poole vähem kui (C) instantsi? See küsimus on lõpmatu komplektide puhul peen: erineva näite saamiseks on 1, 2, 3,… 1: 1 vastavustes 2, 4, 6,… ja seega on mõlemal sama arv. Selles mõttes on see 1:1 vastavus - matemaatikas kasutatav „sama arvu” täpne tähendus - et igal piirjoonel on sama arv punkte kui ühelgi teisel. Mitteametlikult võib öelda, et paarisarvu on ka "poole vähem" kui täisarvu: paarid (1, 2), (3, 4), (5, 6), … saab samuti panna 1: 1 vastavusse 2, 4, 6,…. Samamoodi on mitteametlikult rääkides nii palju (A) - instantse kui (C) - hetki: (A) - instantsid vastavad 1: 1 paarides (C) - instantsidega. Nii et punktide arv ei ole vastuolus: mitteametlik pool võrdub range tervikuga (aatomi teooria jaoks on vaja teistsugust lahendust, vastavalt käesoleva lõigu viimases lõigus esitatud joonistele).1 kirjavahetus numbritega 2, 4, 6,…. Samamoodi on mitteametlikult rääkides nii palju (A) - instantse kui (C) - hetki: (A) - instantsid vastavad 1: 1 paarides (C) - instantsidega. Nii et punktide arv ei ole vastuolus: mitteametlik pool võrdub range tervikuga (aatomi teooria jaoks on vaja teistsugust lahendust, vastavalt käesoleva lõigu viimases lõigus esitatud joonistele).1 kirjavahetus numbritega 2, 4, 6,…. Samamoodi on mitteametlikult rääkides nii palju (A) - instantse kui (C) - hetki: (A) - instantsid vastavad 1: 1 paarides (C) - instantsidega. Nii et punktide arv ei ole vastuolus: mitteametlik pool võrdub range tervikuga (aatomi teooria jaoks on vaja teistsugust lahendust, vastavalt käesoleva lõigu viimases lõigus esitatud joonistele).

(Lubage mul mainida sarnast liikumise paradoksi - nn veskikivi -, mis omistati Maimonidesele. Kujutage ette kahte ratast, millest üks on teise telje raadiuse ja ümbermõõduga kaks korda suurem, kinnitatud ühele teljele. Laske neil mööda rööbast alla tõmmata, kui üks rööp on üles tõstetud. hoida telge horisontaalselt, mõlema ratta ühe pöörde jaoks [need pöörlevad telje tõttu sama kiirusega]: iga ratta iga punkt puutub kokku oma rööpa ühe punktiga ja iga rööpa iga punkt täpselt ühe punktiga Kas agregaat läbib suure ratta ümbermõõduga võrdse vahemaa? Väikestest? Mõlemad? Midagi muud? Kuidas? Ka see probleem nõuab pidevuse mõistmist, kuid see pole Zeno paradoks, nii et me jätke see lugeja leidlikkusele.)

Zeno staadioni võimalikku lõplikku rekonstrueerimist peetakse argumendiks ruumi ja aja aatomiteooria vastu, mis on huvitav, kuna tänapäeva füüsika uurib sellist vaadet, kui ta üritab kosmoseaega kvantiseerida. Oletame, et iga kuubi küljed on võrdsed pikkuse „kvantidega” ja et kaks vaadeldavat momenti on eraldatud ühe aja kvantumiga. Siis peab juhtuma midagi kummalist, sest parempoolsed (B) ja keskmised (C) läbivad liikumise ajal üksteist ja ometi pole hetke, kus nad oleksid tasemel: kuna kahte hetke eraldavad väikseim võimalik aeg, nende vahel ei saa olla hetke - see oleks aeg, mis oleks väiksem kui kahest hetkest, mida me kaalusime, väikseim aeg. Ja vastupidi, kui keegi nõudis, et kui nad mööduvad, siis peab olema hetk, kui nad on tasemel,siis see näitab, et see ei saa olla kõige lühem piiratud intervall - ükskõik mis see ka pole, lihtsalt jookse see argument sellele vastu. Miks peaks aga seda oletust nõudma? Probleem on selles, et kvantifitseeritud ruumi kujutatakse loomulikult malelaua moodi, mille peal maletükid iga aja jooksul külmuvad. Siis imestatakse, millal näiteks punane kuninganna ühelt ruutalt teisele pääseb või kuidas ta pääseb valgest kuningannast ilma, et oleks temaga samal tasemel. Kuid analoogia on eksitav. Parem on mõelda kvantiseeritud ruumist kui hiiglaslikust tulede maatriksist, mis hoiab valgustatud tulede teatud mustrit iga aja kvantumi kohta. Selles analoogias tähistab valgustatud pirn eseme olemasolu: näiteks järjestikku süttivas reas olevad sibulad tähistavad sirgjooneliselt liikuvat keha. Sel juhul pole kiusatust küsida, millal valgus "kolib" ühest pirnist teise või analoogia põhjal, kuidas keha liigub ühest kohast teise. (Siin käsitleme ajaliste osade küsimusi ja seda, kas objektid püsivad või on rikutud).

4. Veel kaks paradoksi

Aristoteles omistas Zenole veel kaks paradoksi, kuid need on antud tema esitatud teiste punktide kontekstis, seega ei saa Zeno kavatsust kindlalt kindlaks teha: isegi kas nende eesmärk on vaielda paljususe ja liikumise vastu. Arutame neid lühidalt nende täielikkuse osas.

4.1 Koha paradoks

Zeno raskused vajavad selgitust; sest kui kõigel, mis eksisteerib, on oma koht, siis on ka koht olemas ja nii edasi ad infinitum. (Aristotelese füüsika, 209a23)

Kohateooria püstitamisel - liikumisteoorias ülioluline ruumiline mõiste - loetleb Aristoteles erinevaid teooriaid ja probleeme, mille tema eelkäijad, sealhulgas Zeno, on selle teema kohta sõnastanud. Argument tõstatab taas lõpmatu küsimuse, kuna argumendi teises etapis väidetakse kohtade lõpmatut regresseerimist. Aristoteles esitab selle aga argumendina pigem koha ideele kui pluraalsusele (viies selle tõenäoliselt kontekstist välja). Järelduse jõudu on raske tunda, sest miks ei tohiks olla lõpmatut jada kohti paikade paiku … Eeldatavasti on suurem mure kellelgi, kes (nagu Aristoteles) uskus, et asjade tegelikku lõpmatust ei saa olla, sest näib, et see argument näitab, et neid on. Kuid nagu me eespool arutlesime, pole meil täna selliseid kvalifikatsioone vaja;paikade tegeliku lõpmatusega ei tundu midagi problemaatilist.

Ainus viis, kuidas regressi muret tekitada, on see, kui arvatakse, et kehadel on „absoluutsed” kohad selles mõttes, et küsimusele „kus see on” on alati ainulaadne privilegeeritud vastus? Siis pole probleem mitte selles, et kohti on lõpmata palju, vaid lihtsalt selles, et neid on palju. Ja Aristotelesel võis see mure olla, sest tema liikumisteoorias määrab keha loomuliku liikumise selle suhe suhtega universumi keskpunktiga: konto, mis nõuab, et koht oleks kindlaks määratud, kuna loomulik liikumine on. (Vt Sorabji 1988 ja Morrison 2002, Aristotelese kohapealsete seisukohtade konkureerivad kirjeldused; viimase peatükk 3, eriti Aristotelese paradoksi käsitlemise arutelu kohta.) Kui aga eeldada, et seda kohta on mingil põhjusel absoluutne, siis näide,kus ma olen, kui ma kirjutan? Kui paradoks on õige, olen ma oma kohal ja olen ka oma koha ja oma koha koha ja minu…. Kuna olen kõikides nendes kohtades, võib iga küsimus tunduda asjakohane vastus sellele küsimusele. Mõeldav on mitmesuguseid vastuseid: eitada absoluutseid kohti (eriti kuna meie füüsika neid ei vaja), määratleda koha mõiste, mis on kõigil juhtudel ainulaadne (vaieldamatult Aristotelese lahendus), või võib-olla väita, et kohad on nende enda kohad, vähendades sellega regressi !määratlege koha mõiste, mis on kõigil juhtudel ainulaadne (vaieldamatult Aristotelese lahendus), või võib-olla väita, et kohad on oma kohad, vähendades sellega regressi!määratlege koha mõiste, mis on kõigil juhtudel ainulaadne (vaieldamatult Aristotelese lahendus), või võib-olla väita, et kohad on oma kohad, vähendades sellega regressi!

4.2 Hirssitera

… Zeno mõttekäik on vale, kui ta väidab, et hirss ei ole ühtegi osa, mis ei teeks heli; sest pole mingit põhjust, miks ükski osa ei tohiks mingil ajaperioodil õhus liikuda, mida kogu buss liigub kukkumisel. (Aristotelese füüsika, 250a19)

Aristoteles selgitab kontekstis, et murdosa jõust, millest paljud ei anna sama murdosa liikumist. Näiteks kui 100 stividorit võib praami vedada, ei pruugi keegi seda üldse liikuma panna, rääkimata kiiruse 1/100-st; nii palju aega kui soovite, ei pruugi ta seda 100-le kaugemale viia. (Me kirjeldame seda fakti hõõrdumise tagajärjena.) Samamoodi, just seetõttu, et hirssist langev hirss tekitab kukkudes vinguvat häält, teeb ärge jälgige, et iga teravili toimiks või ei: kui nii palju aega soovite, ei liigu see sama palju õhku kui buss. Selle eelduse ümberlükkamisel ei selgita Aristoteles aga, millist rolli see Zenole mängis, ja me võime vaid spekuleerida. Pole isegi selge, kas see on paradoksi osa või mõni muu vaidlus:kas väitis Zeno ka seda, et üks hirssitera ei tee häält? Üks spekulatsioon on see, et meie meeled paljastavad, et see nii ei ole, kuna me ei kuule ühe tera langemist. Siis on Aristotelese vastus tabav; ja nii on sarnane vastus, et kuulmine ise nõuab liikumist õhus teatud lävest kõrgemal.

5. Zeno mõju filosoofiale

Selles viimases osas peaksime lühidalt kaaluma Zeno mõju erinevatele filosoofidele; kirjanduse otsing näitab, et need arutelud jätkuvad.

• Pütagoralased: 20. sajandi esimesel poolel leidis Zeno enamuses lugemisel pärast parkimist (1885), et tema argumendid olid suunatud pütagoorlaste tehnilise õpetuse vastu. Selle lugemise kohaselt leidsid nad, et kõik asjad koosnevad elementidest, millel on ühikuarvu, geomeetrilise punkti ja füüsilise aatomi omadused: selline asend sobiks nende õpetusega, et tegelikkus on põhimõtteliselt matemaatiline. Sajandi keskel väitis aga rida kommenteerijaid (Vlastos, 1967, väite kokkuvõte ja viited) jõuliselt, et Zeno eesmärk oli hoopis mõistlikkuse mõistmine paljususest ja liikumisest - üks, mis põhines tuttavatel geomeetrilistel mõistetel - ja tõepoolest, õpetus ei moodustanud Pythagorase mõttest suurt osa. Oleme kaudselt eeldanud, et need argumendid on paradokside lugemisel õiged. Sellegipoolest on Tannery tõlgendusel endiselt oma kaitsjad (vt nt Matson 2001).
• Atomistid: Aristoteles (põlvkonnalt ja korruptsioonilt 316b34) väitis, et meie kolmas argument - see, mis puudutas täielikku jaotust - oli see, mis veenis atomiste, et mateeria osad peavad olema väikseimad, jagamatud. Lisateavet Zeno seotuse kohta atomistidega leiate Abrahamist (1972).
• Ajaline saamine: 20. sajandi alguses hakkasid mitmed mõjukad filosoofid panema Zeno argumendid tööle „ajalise muutumise” metafüüsika teenimiseks - praeguse oletatava (oletatava) protsessi juurde. Sellised mõtlejad nagu Bergson (1911), James (1911, Ch 10–11) ja Whitehead (1929) väitsid, et Zeno paradoksid näitavad, et ruum ja aeg pole struktureeritud matemaatilise jätkuna: nad väitsid, et viis liikumise reaalsuse säilitamiseks pidi eitama, et ruum ja aeg koosnevad punktidest ja hetkedest. Kuid oleme selgelt näinud, et tavalise moodsa matemaatika tööriistad on paradokside lahendamise ülesandeks, nii et ükski järeldus ei ole õigustatud: kui olevik tõepoolest „muutub”, pole põhjust arvata, et seda protsessi ei haarata. kontinuumi poolt.

• Matemaatilise kontinuumi rakendamine füüsilises ruumis ja ajas: järgides Russelli (1929, 182–198) juhtnööre, asusid mitmed filosoofid, eriti Grünbaum (1967), ülesandeks näidata, kuidas tänapäevane matemaatika saaks lahendada kogu Zeno paradoksid; nende töö on põhjalikult mõjutanud meie arutelu argumentide üle. Nad mõistsid, et puhtalt matemaatilisest lahendusest ei piisa: paradoksid ei sea kahtluse alla mitte ainult abstraktset matemaatikat, vaid ka füüsilise reaalsuse olemust. Nad otsisid argumendina mitte ainult seda, et Zeno ei kujutanud ohtu lõpmatuse matemaatikale, vaid ka seda, et see matemaatika kirjeldab õigesti objekte, aega ja ruumi. See ei annaks vastust Zeno paradoksidele, kui matemaatiline raamistik, millele me tuginesime, ei oleks tegeliku ruumi, aja ja liikumise hea kirjeldus!Mõte, et matemaatiline seadus, näiteks Newtoni universaalse gravitatsiooni seadus, võib või ei pruugi asju õigesti kirjeldada, on tuttav, kuid mõned lõpmatuse matemaatika aspektid - pidevuse olemus, lõpmatute summade määratlemine ja nii edasi - tunduvad nii põhilised. et alguses võib olla raske aru saada, et ka neid kohaldatakse tingimuslikult. Kuid kindlasti nad seda teevad: miski ei taga a priori seda, et kosmosel on kontinuumi struktuur või isegi, et ruumi osad liituvad Cauchy määratluse kohaselt. (Lõhe pakub kena näite, mis aitab asja mõttesse seada: kuna alkohol lahustub vees, kui segada neid kahte, siis kokku vähem kui nende mahu summa, mis näitab, et isegi tavaline lisamine ei ole igat tüüpi süsteemide puhul kohaldatav.) Meie usk, et lõpmatuse matemaatiline teooria kirjeldab ruumi ja aega, on õigustatud niivõrd, kuivõrd füüsikaseadused eeldavad, et see nii on, ja niivõrd, kuivõrd neid seadusi kinnitab ka kogemus ise. Ehkki on tõsi, et peaaegu kõik füüsikalised teooriad eeldavad, et ruumis ja ajas on tõepoolest kontinuumi struktuur, on ka tõsi, et gravitatsiooni kvantteooriad tähendavad tõenäoliselt, et nad seda ei tee. Ehkki keegi ei tea tegelikult, kuhu see uurimistöö lõpuks viib, on täiesti võimalik, et ruum ja aeg osutuvad kõige põhilisemal tasandil üsna erinevaks matemaatilisest pidevusest, milleks me siin oletame. Ehkki on tõsi, et peaaegu kõik füüsikalised teooriad eeldavad, et ruumis ja ajas on tõepoolest kontinuumi struktuur, on ka tõsi, et gravitatsiooni kvantteooriad tähendavad tõenäoliselt, et nad seda ei tee. Ehkki keegi ei tea tegelikult, kuhu see uurimistöö lõpuks viib, on täiesti võimalik, et ruum ja aeg osutuvad kõige põhilisemal tasandil üsna erinevaks matemaatilisest pidevusest, milleks me siin oletame. Ehkki on tõsi, et peaaegu kõik füüsikalised teooriad eeldavad, et ruumis ja ajas on tõepoolest kontinuumi struktuur, on ka tõsi, et gravitatsiooni kvantteooriad tähendavad tõenäoliselt, et nad seda ei tee. Ehkki keegi ei tea tegelikult, kuhu see uurimistöö lõpuks viib, on täiesti võimalik, et ruum ja aeg osutuvad kõige põhilisemal tasandil üsna erinevaks matemaatilisest pidevusest, milleks me siin oletame.

  Samuti tuleks märkida, et Grünbaum näitas, et moodne matemaatika kirjeldab ruumi ja aega, et kaasata midagi hoopis erinevat, kui väita, et seda kinnitavad kogemused. Tol ajal (kuigi mitte praegu) domineeriv seisukoht oli, et teaduslikel terminitel oli tähendus niivõrd, kuivõrd need viitasid otseselt kogemuse objektidele - näiteks '1m joonlaud' või kui nad osutasid 'teoreetilisele', mitte 'jälgitavale' olemile - näiteks „kosmosepunkt” või „1/2 1/2 võistlusraja 1/2-st”, siis said nad tähenduse loogiliste suhete kaudu - määratluste ja teoreetiliste seaduste kaudu - sellistele vaatlusterminitele. Nii korraldas Grünbaum muljetavaldava programmi, et anda tähendus kõigile tänapäevase lõpmatuse teooriaga seotud terminitele, mida tõlgendatakse ruumi ja aja kirjeldusena.

• Supertasks: Veel üks mõtteala puudutab seda, mida Black (1950–51) nimetas „lõpmatuse masinateks”. Black ja tema järgijad soovisid näidata, et kuigi Zeno paradoksid ei pakkunud matemaatikale mingit probleemi, näitasid nad, et lõppude lõpuks polnud matemaatika ruumi, aja ja liikumise suhtes kohaldatav. Kõige teravamalt eeldas meie resolutsioon dihhotoomia ja Achilleuse suhtes, et kogu jooks võib jaguneda lõpmatuks pooleks jooksuringiks, mille võib kokku võtta. Kuid kas on tõesti võimalik lõpule viia mis tahes lõpmatu jada: viia lõpule nn supertask? Kui ei, ja eeldades, et Atalanta ja Achilleus saavad oma ülesanded täita, ei saa nende täielikke sõite õigesti kirjeldada lõpmatute poolikute seeriatena, ehkki moodne matemaatika kirjeldaks neid nii. See, mida lõpmatuse masinad peaksid kehtestama, on see, et lõpmatut arvu ülesandeid ei saa täita - seega ei saa ühtegi komplekteeritavat ülesannet jagada väiksemateks ülesanneteks, vaatamata sellele, mida matemaatika soovitab.
• Lõpmatud hinded: Lõpuks oleme näinud, kuidas lahendada paradokse, kasutades selleks üheksateistkümnendal sajandil välja töötatud matemaatika ressursse. Pikka aega peeti selle süsteemi üheks suureks vooruseks, et see näitas lõpuks, et lõpmatu arv, mis on väiksem kui mis tahes lõplik arv, kuid suurem kui null, on tarbetu. (Näiteks Newtoni arvutus kasutas selliseid numbreid tõhusalt, käsitledes neid mõnikord nullina ja mõnikord piiritletud kujul; sellise lähenemisviisi probleem on selles, et numbrite käsitlemine on intuitsiooni, mitte ranguse küsimus.) Kuid XX sajandil Robinson näitas, kuidas matemaatikasse sisestada lõpmatuid numbreid: see on „mittestandardse analüüsi” süsteem (tuttav reaalarvude süsteem, millele Dedekind on andnud range aluse, on seevastu lihtsalt „analüüs”). AnaloogseltBell (1988) selgitab, kuidas lõputult minimaalseid joonelõike saab geomeetriasse sisestada, ning kommenteerib nende seost Zenoga. Lisaks näitab McLaughlin (1992, 1994), kuidas Zeno paradokse saab lahendada ebastandardse analüüsi abil; nad ei ole rohkem argument mittestandardse analüüsi vastu kui standardmatemaatika vastu, mida me siin eeldame. Siiski tuleb rõhutada, et vastupidiselt McLaughlini soovitustele pole paradokside lahendamiseks vaja mittestandardset analüüsi: mõlemad süsteemid on võrdselt edukad. (Reeder, 2015 väidab, et mittestandardne analüüs on noolega mitterahuldav, ja pakub alternatiivset kontot, kasutades lõpmatute kujutiste erinevat kontseptsiooni.) Mittestandardse analüüsi konstrueerimine tekitab siiski lisaküsimuse analüüsi rakendatavuse kohta füüsikalises olekus. ruum ja aeg:tundub usutav, et kõiki füüsikalisi teooriaid saab sõnastada mõlemas mõttes, ja niivõrd, kuivõrd meie kogemus ulatub, näivad mõlemad võrdselt kinnitatud. Kuid need ei saa nii ruumi kui ka aja kohta tõesed olla: kas ruumis on lõpmatuid osi või mitte.

Edasised lugemised

Pärast selle entsüklopeedia asjakohaseid kirjeid on edasise uurimise alustamise koht Salmon (2001), mis sisaldab mõnda kõige olulisemat artiklit Zeno kohta kuni 1970. aastani ja muljetavaldavalt põhjalikku ingliskeelsete teoste bibliograafiat XX sajandil.

Allikate lõikude ja arutelude jaoks võiks vaadata ka Huggettit (1999, ptk 3) ja Huggetti (2010, ptk 2–3). Kaasaegsete resolutsioonide taga olevate matemaatiliste ideede tutvustamiseks on hea algus Salmoni lisa (2001) või Stewart (2017); Russell (1919) ja Courant jt. (1996, Chs. 2 ja 9) on samuti suurepärased allikad. Kolm Zeno paradokside alguallikate kollektsiooni: Lee (1936 [2015]) sisaldab kõike teadaolevat, Kirk jt (1983, ptk 9) sisaldab palju materjali (inglise ja kreeka keeles) koos kasulike kommentaaridega ja Cohen et al. (1995) on ka peamised lõigud.

Bibliograafia

• Abraham, WE, 1972, „Zeno argumendi olemus paljususe kohta DK 29 B I”, Phronesis, 17: 40–52.
• Aristoteles, 'On Generation and Corruption', AA Joachim (trans), Aristotelese täielikes töödes, J. Barnes (toim), Princeton: Princeton University Press, 1984.
• Aristoteles, "Füüsika", WD Ross (trans), Aristotelese täielikes töödes, J. Barnes (toim), Princeton: Princeton University Press, 1984.
• Arntzenius, F., 2000, 'Kas on tõesti hetkelisi kiirusi?', The Monist, 83: 187–208.
• Bell, JL, 1988, 'Infinitesimals', Synthese, 75 (3): 285–315.
• Belot, G. ja Earman, J., 2001, “Sokokraatne kvantgravitatsioon”, füüsikas vastab filosoofiale Plancki skaalal: kaasaegsed teooriad kvantgravitatsioonis, C. Callender ja N. Huggett (toim), Cambridge: Cambridge University Vajutage.
• Bergson, H., 1911, Creative Evolution, A. Mitchell (trans.), New York: Holt, Reinhart ja Winston.
• Black, M., 1950, 'Achilleus ja kilpkonn', analüüs, 11: 91–101.
• Cohen, SM, Curd, P. ja Reeve, CDC (toim), 1995, Vana-Kreeka filosoofia lugemised Thalesist kuni Aristoteleseni, Indianapolis / Cambridge: Hackett Publishing Co. Inc.
• Courant, R., Robbins, H. ja Stewart, I., 1996, Mis on matemaatika? Elementaarsed lähenemisviisid ideedele ja meetoditele, 2. trükk, New York, Oxford: Oxford University Press.
• Davey, K., 2007, 'Aristoteles, Zeno ja staadioni paradoks', filosoofia ajalugu, kvartal, 24: 127–146.
• Diogenes Laertius, 1983, "Kuulsate filosoofide elud", lk 273, "Presokraatlikud filosoofid: kriitiline ajalugu valitud tekstidega", 2. trükk, GS Kirk, JE Raven ja M. Schofield (toim), Cambridge: Cambridge University Press.
• Ehrlich, P., 2014, 'Essee Adolf Grünbaumi üheksakümnenda sünniaasta auks: Zeno pikendamise paradoksi uuesti uurimine', Teadusfilosoofia, 81 (4): 654–675.
• Grünbaum, A., 1967, Moodne teadus ja Zeno paradoksid, Middletown: Connecticut Wesleyan University Press.
• Huggett, N. (toim.), 1999, Ruum Zenost Einsteinini: klassikalised lugemised kaasaegse kommentaariga, Cambridge, MA: MIT Press.
• Huggett, N., 2010, kõikjal ja igal pool: seiklused füüsikas ja filosoofias, Oxford: Oxford University Press.
• James, W., 1911, Mõned filosoofia probleemid, New York: Longmans, Green & Co.
• Kirk, GS, Raven JE ja Schofield M. (toim), 1983, Presokraatlikud filosoofid: kriitiline ajalugu valitud tekstidega, 2. trükk, Cambridge: Cambridge University Press.
• Lee, HDP (toim.), 1936 [2015], Zeno Eleast: tekst koos tõlke ja märkustega, Cambridge: Cambridge University Press, kordustrükk 2015.
• Matson, WI, 2001, 'Zeno liigub!', Vana-Kreeka filosoofia essees VI: enne Platonit, A. Preus (toim), Albany: New York State University.
• McLaughlin, WI, 1994, “Zeno paradokside lahendamine”, Scientific American, 271 (5): 84–89.
• McLaughlin, WI, ja Miller, SL, 1992, 'Ebasümmeetrilise analüüsi epistemoloogiline kasutamine Zeno esitatud vastuväidetele vastuseks liikumise vastu', Synthese, 92: 371–384.
• Morison, B, 2002, On: Aristotelese kontseptsioon kohast, Oxford: Oxford University Press.
• Newton, I., The Principia: loodusfilosoofia matemaatilised põhimõtted, IB Cohen ja AM Whitman (trans.), Berkeley: University of California Press, 1999.
• Platon, 1997, 'Parmenides', ML Gill ja P. Ryan (trans), Plato: Complete Works, JM Cooper (toim), Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc.
• Reeder, P., 2015, 'Zeno nool ja lõpmatu kalkulatsioon', Synthese, 192: 1315–1335.
• Russell, B., 1919, Matemaatilise filosoofia sissejuhatus, London: George Allen and Unwin Ltd.
• Russell, B., 1929, Meie teadmised välismaailmast, New York: WW Norton & Co. Inc.
• Lõhe, WC, 2001, Zeno paradoksid, 2. trükk, Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc.
• Sattler, B., 2015, “Aeg on kahekordne probleem: Zeno liikuvad read”, iidne filosoofia, 35: 1–22.
• Sherry, DM, 1988, 'Zeno Metrical Paradox Revisited', Teadusfilosoofia, 55: 58–73.
• Simplicius (a) “Aristotelese füüsikast” Vana-Kreeka filosoofia lugemistes Thalesist Aristoteleseni, SM Cohen, P. Curd ja CDC Reeve (toim), Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc., lk 58–59, 1995.
• Simplicius (b), Aristotelese füüsikast 6, D. Konstan (tõlge), London: Gerald Duckworth & Co. Ltd, 1989.
• Sorabji, R., 1988, Matter, Space, and Motion Theory in Antiquity and The Thquel, Ithaca: Cornell University Press.
• Stewart, I., 2017, Infinity a Very Short Introduction, Oxford: Oxford University Press.
• Tannery, P., 1885, “Le Concept Scientifique du Continue: Zenon d'Elee et Georg Cantor”, Revue Philosophique de la France et de l'Etranger, 20: 385–410.
• Vlastos, G., 1967, “Zeno of Elea”, filosoofia entsüklopeedias, P. Edwards (toim), New York: The Macmillan Co. ja The Free Press.
• Whitehead, AN, 1929, protsess ja tegelikkus, New York: Macmillan Co.

Akadeemilised tööriistad

	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid