Russelli Paradoks

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-05-24 11:17

Sisenemise navigeerimine

Sissesõidu sisu
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Sõprade PDF-i eelvaade
Teave autori ja tsitaadi kohta
Tagasi üles

Esmakordselt avaldatud reedel 8. detsembril 1995; sisuline redaktsioon 9. oktoober 2016, pühapäev

Russelli paradoks on loogilistest või setteoreetilistest paradoksidest kuulsaim. Tuntud ka kui Russell-Zermelo paradoks, tekib paradoks naiivse kogumiteooria sees, kui arvestada kõigi komplektide komplektiga, mis ise ei kuulu. Selline komplekt näib olevat iseenda liige siis ja ainult siis, kui ta pole iseenda liige. Siit paradoks.

Mõned komplektid, näiteks kõigi õppekomplektide komplekt, ei ole ise liikmed. Muud komplektid, näiteks kõigi mitteteekomplektide komplekt, on iseenda liikmed. Kõigi nende komplektide komplekt, mis ise ei kuulu, helistage numbrile R. Kui R on iseenda liige, siis ei tohi definitsiooni järgi olla iseenda liige. Samamoodi, kui R ei ole iseenda liige, siis definitsiooni järgi peab ta olema iseenda liige.

Ehkki seda märkas ka Ernst Zermelo, ei peetud vastuolu oluliseks enne, kui Bertrand Russell selle iseseisvalt avastas 1901. aasta kevadel. Sellest ajast peale on paradoks õhutanud palju tööd loogika, seadusteooria ja filosoofia ning matemaatika alused.

1. Paradoks
2. Paradoksi ajalugu
3. Varased vastused paradoksile
4. Russelli paradoks kaasaegses loogikas
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed

1. Paradoks

Mis tahes komplektide teooria keskmes on komplektide moodustamise tingimuste kirjeldus. Lisaks lihtsalt komplekti liikmete loetlemisele eeldati algselt, et komplekti määramiseks võib kasutada mis tahes täpselt määratletud tingimust (või täpselt määratletud omadust). Näiteks kui T on teekoguna olemise omadus, siis võib kõigi teekomplektide komplekti S määratleda kui S = {x: T (x)}, kõigi indiviidide komplekt x, nii et x-l on T olemise omadus. Komplekti määramiseks võib kasutada isegi vastuolulist omadust. Näiteks määraks nii T kui ka mitte T omadus tühja komplekti, kuna sellel komplektil ei oleks liikmeid.

Täpsemalt eeldab naiivse komplekti teooria nn naiivse või piiramatu mõistmise aksioomi, aksioomina, et valemi φ (x) korral, mis sisaldab x vaba muutujana, eksisteerib komplekt {x: φ (x)}, mille liikmed on täpselt need objektid, mis vastavad φ (x). Seega, kui valem φ (x) tähistab “x on algarv”, siis {x: φ (x)} on algarvude kogum. Kui φ (x) tähistab “~ (x = x)”, on {x: φ (x)} tühi komplekt.

Kuid selle aksioomi oletusest järeldub Russelli vastuolu. Näiteks kui laseme φ (x) seista x ∈ x ja anname R = {x: ~ φ (x)}, siis R on hulk, mille liikmed on täpselt need objektid, mis ise ei kuulu.

Kas R on iseenda liige? Kui on, siis peab see vastama tingimusele, et ta ei saa ise olla liige, ja nii see pole. Kui seda pole, siis ei tohi see täita tingimust, et ta ei tohi ise olla, seega peab ta olema iseenda liige. Kuna klassikalise loogika järgi peab juhtum olema üks või teine - kas R on ise liige või ei ole -, järeldab see, et teooria viitab vastuolule.

Nagu Russell meile ütleb, viis ta vastuollu pärast seda, kui ta kohaldas samalaadi arutluskäiku Cantori diagonaalide kohta "kõigi ettekujutatavate objektide oletatavale klassile":

Üldhariduskool, mida me kaalume, milleks on kõike omaks võtta, peab omaks võtma end ühe oma liikmena. Teisisõnu, kui on olemas selline asi nagu "kõik", siis on "kõik" midagi ja kuulub klassi "kõik". Kuid tavaliselt ei ole klass iseenda liige. Inimkond näiteks pole inimene. Moodustage nüüd kõigi klasside kogum, mis ise ei kuulu. See on klass: kas ta on iseenda liige või mitte? Kui on, on see üks neist klassidest, mis ei kuulu iseendasse, st ta ei ole iseenda liige. Kui ei, siis pole see üks neist klassidest, mis ei kuulu iseendasse, st ta on iseenda liige. Niisiis viitab kahest hüpoteesist - et ta on ja ei ole iseenda liige - kumbki oma vastuolulisus. See on vastuolu. (1919, 136)

Tavalised vastused paradoksi katsele mingil viisil piirata tingimusi, mille alusel komplektid moodustuvad. Eesmärk on tavaliselt nii R (ja sarnaste vastuoluliste komplektide) likvideerimine kui ka samal ajal kõigi muude matemaatikaks vajalike komplektide säilitamine. Sageli asendatakse piiramatu mõistmise aksioom piiravama eraldamisaksioomiga, nimelt aksioomiga, mis annab mis tahes (järjekindla) komplekti S ja suvalise valemi φ (x) x-ga vabaks, tekib komplekt {x ∈ S: φ (x)}, mille liikmed on täpselt need S liikmed, kes vastavad φ (x). Kui nüüd laseme φ (x) tähistada valemit x ∉ x, siis selgub, et vastav komplekt {x ∈ S: x ∉ x} ei ole vastuoluline, kuna see koosneb ainult S-st leitud liikmetest, mis pole enda liikmed. Seega komplekt ei hõlma ennast.

Erinevaid seotud paradokse käsitletakse Whiteheadi ja Russelli sissejuhatuse teises peatükis (1910, 2. edn 60-65), samuti selle entsüklopeedia sissekandes paradokside ja tänapäevase loogika kohta.

2. Paradoksi ajalugu

Näib, et Russell avastas oma paradoksi 1901. aasta hiliskevadel, töötades samal ajal oma matemaatika põhimõtete kallal (1903). Täpselt, millal avastus aset leidis, pole veel selge. Russell väidab algselt, et sattus paradoksiga “juunis 1901” (1944, 13). Hiljem teatab ta, et avastus leidis aset “1901. aasta kevadel” (1959, 75). Veel hiljem teatab ta, et sattus paradoksiga mitte juunis, vaid sama aasta mais (1969, 221). Giuseppe Peano assistent Cesare Burali-Forti avastas sarnase antinoomi 1897. aastal, kui märkas, et kuna seaduste komplekt on hästi korraldatud, peab ka sellel olema ordinal. Kuid see ordinal peab olema kõigi ordinaalide kogumi element ja siiski suurem kui iga selline element.

Erinevalt Burali-Forti paradoksist ei hõlma Russelli paradoks ordinaale ega kardinali, tuginedes selle asemel ainult primitiivsetele ideedele komplekti ja komplekti kaasamise osas. Zermelo märkas sarnast vastuolu millalgi aastatel 1897–1902, oodates Russelli võib-olla juba mõne aasta pärast (Ebbinghaus ja Peckhaus 2007, 43–48; Tappenden 2013, 336), ehkki Kanamori järeldab, et avastus võis hõlpsasti olla hiline juba 1902. aastal (Kanamori 2009, 411). Igal juhul arvati, et paradoksil pole tähtsust, kuni saadi aru, kui kahjulik see oli Gottlob Frege matemaatika alustele.

Russell kirjutas Frege'ile uudistega oma paradoksist 16. juunil 1902. (Vastava kirjavahetuse kohta vt Russell (1902) ja Frege (1902) van Heijenoortis (1967).) Paradoksil oli Frege loogilises töös tähendus, kuna, tegelikult näitas see, et aksioomid, mida Frege kasutas oma loogika vormistamiseks, olid vastuolulised. Täpsemalt, Frege'i aksioom V nõuab, et sellist avaldist nagu φ (x) käsitletaks nii argumendi x funktsioonina kui ka argumendi φ funktsioonina. (Täpsemalt, Frege'i seaduses öeldakse, et mõiste f väärtuste käik on identne mõiste g väärtuste käiguga ainult siis, kui f ja g lepivad kokku iga argumendi väärtuses, st kas ja ainult siis, kui iga objekti x korral on f (x) = g (x). Lisateavet leiate selle entsüklopeedia kirje Gottlob Frege jaotisest 2.4.1.) Tegelikultjust see ebamäärasus võimaldas Russellil R konstrueerida nii, et see võis olla nii ise kui ka mitte ise liige.

Russelli kiri saabus just siis, kui ajakirjanduses ilmus Frege raamatu "Grundgesetze der Arithmetik" (Aritmeetika põhiseadused, 1893, 1903) teine köide. Mõistes kohe paradoksi tekitatud raskusi, lisas Frege Grundgesetzele kiirustades koostatud lisa, milles arutati Russelli avastust. Frege märgib lisas, et Russelli paradoksi tagajärjed pole kohe selged. Näiteks: “Kas on alati lubatud rääkida mõiste, klassi laiendamisest? Ja kui ei, siis kuidas erijuhte ära tunda? Kas me võime ühe kontseptsiooni laienemisest teisega samal viisil järeldada, et iga esimese kontseptsiooni alla kuuluv objekt kuulub ka teise alla? Need on küsimused, "tõstatas Frege tähelepanu," tõstatatud hr Russelli teatises "(1903, 127). Nende murede pärastLõpuks tundis Frege, et on sunnitud loobuma paljudest oma loogika ja matemaatika vaadetest.

Isegi nagu Russell märgib, kohtas Frege paradoksi uudiseid tähelepanuväärselt:

Mõeldes terviklikkuse ja armu tegudele, mõistan, et minu teadmistes pole midagi võrrelda Frege tõele pühendumisega. Kogu tema elutöö oli valmimise äärel, suurt osa tema tööst oli ignoreeritud lõputult vähem võimekate inimeste kasuks, tema teine köide oli plaanis avaldada ja kui ta leidis, et tema põhieelduses oli eksimus, vastas ta intellektuaalne nauding, mis paneb selgelt alla isiklikud pettumused. See oli peaaegu üliinimlik ja kõnekas märk sellest, milleks mehed on võimelised, kui nende pühendumus on loominguline töö ja teadmised, selle asemel et julgemalt pingutada, et domineerida ja olla tuntud. (Tsiteeritud van Heijenoortis (1967), 127)

Muidugi oli ka Russell mures vastuolu tagajärgede pärast. Saanud teada, et Frege nõustus temaga tulemuse olulisuse osas, hakkas ta kohe lisa kirjutama oma varsti ilmuvatele matemaatikapõhimõtetele. Pealkiri pealkirjaga „B lisa: tüüpide õpetus” kujutab liites Russelli esimest katset pakkuda põhimõttelist meetodit, et vältida seda, mis peagi sai „Russelli paradoksiks”.

3. Varased vastused paradoksile

Russelli paradoksi olulisust saab näha siis, kui on aru saadud, et klassikalist loogikat kasutades järgnevad kõik laused vastuolule. Näiteks eeldades nii P kui ka ~ P, suvalist väidet Q saab tõestada järgmiselt: P-st saame P ∨ Q liitmise reegli abil; siis P ∨ Q ja ~ P hulgast saame Q disjunktiivseyllogismi reegli järgi. Kuna komplektteooria on kõigi matemaatikaharude alus, hakkasid paljud inimesed muretsema, et setteooria ebajärjekindlus tähendaks, et ükski matemaatiline tõestusmaterjal ei saa olla täiesti usaldusväärne. Ainult Russelli paradoksi kõrvaldamisega saaks matemaatika tervikuna oma järjepidevuse taastada.

Russelli paradoks tuleneb lõpuks ideest, et komplekti määramiseks võib kasutada mis tahes tingimusi või omadusi. Näiteks omadus olla ühtlaselt jagatav ainult iseendaga ja number üks eristab algarvude kogumit täisarvude hulgast. Piimanäärmete omadus eristab imetajaid roomajatest, lindudest ja muudest elusorganismidest. Olek, mis on nii ruudukujuline kui ka ruudukujuline (või mis tahes muu vastuoluliste omaduste kooslus), määrab tühja komplekti jne.

Üks varajane skeptik piiramatu mõistmise (või abstraktsiooni) aksioomi suhtes oli tänapäevase kogumiteooria algataja Georg Cantor. Juba enne Russelli avastust oli Cantor tagasi lükanud piiramatu mõistmise selle kasuks, mis tegelikult eristas komplekte ja klasse, tunnistades, et mõned omadused (näiteks ordinaalse olemise omadus) tekitasid kollektsioone, mis olid lihtsalt liiga suured, et olla ja et igasugune vastupidine oletus tooks kaasa ebajärjekindluse. (Üksikasjad leiate artiklitest Moore (1982), Hallett (1984) ja Menzel (1984).)

Russelli enda vastus paradoksile tuli tema tabavalt nimetatud tüüpi teooriaga. Uskudes, et eneserakendus on paradoksi keskmes, oli Russelli põhiidee, et me saame kõigi lausete (või täpsemini kõigi ettepanekufunktsioonide) korraldamisega vältida pühendumist R-le (kõigi nende komplektide komplektile, mis ise ei kuulu), funktsioonid, mis annavad väärtustena ettepanekuid) hierarhiasse. Seejärel on võimalik viidata kõigile objektidele, mille jaoks antud tingimus (või predikaat) kehtib, ainult siis, kui need kõik on samal tasemel või sama tüüpi.

Sellist lahendust Russelli paradoksile motiveerib suures osas nn nõiaringi põhimõtte kasutuselevõtt. Selle põhimõtte kohaselt ei saa ühtegi funktsiooni määratleda enne funktsiooni rakendusala täpsustamist. Teisisõnu, enne funktsiooni määratlemist tuleb esmalt täpsustada täpselt need objektid, millele funktsioon rakendub (funktsiooni domeen). Näiteks enne predikaadi „algarvu” määratlemist tuleb kõigepealt määratleda objektide kogum, mis võib seda predikaati rahuldada, nimelt naturaalarvude hulga N.

Nagu Whitehead ja Russell selgitavad,

Välditavate paradokside analüüs näitab, et need kõik tulenevad omamoodi nõiaringist. Kõnealused nõiaringid tekivad eeldusel, et esemete kollektsioon võib sisaldada liikmeid, mida saab määratleda ainult kogu abil. Nii peaks näiteks väidete kogum sisaldama väidet, mis ütleb, et “kõik väited on kas tõesed või valed”. Näib, et selline väide ei saa siiski olla legitiimne, kui „kõik väited” ei viita mingile juba kindlale kogumikule, mida aga ei saa teha, kui uued väited luuakse väidetega „kõigi väidete” kohta. Seetõttu peame ütlema, et väited „kõigi väidete” kohta on mõttetud. […] Põhimõtte, mis võimaldab meil vältida ebaseaduslikku koguarvu, võib öelda järgmiselt:"See, mis hõlmab kogu kollektsiooni, ei tohi kuuluda kollektsiooni"; või vastupidi: "Kui juhul, kui teatud kollektsioonil on kogusumma, siis on selle liikmeid ainult selle koguarvu alusel määratletav, siis pole sellel kollektsioonil kogu." Kutsume seda "nõiaringi põhimõtteks", kuna see võimaldab meil vältida nõiaringkondi, mis on seotud ebaseadusliku totaalsuse eeldamisega. (1910, 2. toim. 37)

Kui Whiteheadil ja Russellil on õigus, järeldub sellest, et ühegi funktsiooni rakendusala ei suuda kunagi sisaldada ühtegi funktsiooni enda eeldatavat objekti. Selle tulemusel paigutuvad propositsioonifunktsioonid (koos vastavate väidetega) hierarhiasse, nagu Russell soovitab.

Kuigi Russell tutvustas oma tüüptõde esmakordselt oma 1903. aasta matemaatikapõhimõtetes, tunnistas ta kohe, et teha on vaja veel palju tööd, kuna tema esialgne konto näis lahendavat mõned, kuid mitte kõik paradoksid. Tema poolt kaalutud alternatiivide hulgas oli nn asendusteooria (Galaugher 2013). See omakorda viis tüübiteooria küpsema väljenduseni viis aastat hiljem Russelli 1908. aasta artiklis “Matemaatiline loogika kui tüüpide teooriast lähtuv” ja monumentaalteoses kaasautor Alfred North Whiteheadiga, Principia Mathematica (1910, 1912)., 1913). Russelli tüüpi teooria on seega kahes versioonis: 1903. aasta „lihtne teooria” ja 1908. aasta „rammutatud teooria”. Mõlemat versiooni on kritiseeritud selle eest, et see on liiga ad hoc paradoksi edukaks kõrvaldamiseks.

Vastuseks Russelli paradoksile laiendas David Hilbert ka oma programmi matemaatika järjekindla aksioomaatilise aluse ehitamiseks, nii et see sisaldaks loogika ja komplektiteooria aksiomaatilist alust (Peckhaus 2004). Selle formalistliku lähenemisviisi aluseks oli idee lubada kasutada ainult piiratud, täpselt määratletud ja konstruktiivseid objekte koos täiesti kindlateks peetavate järelduste reeglitega.

Lõpuks arendas Luitzen Brouwer välja intuitsiooni, mille põhitees oli, et matemaatikaobjekti olemasolu ei saa kinnitada, kui pole võimalik määratleda selle konstrueerimise protseduuri.

Kõik need vastused aitasid koos suunata tähelepanu loogika, keele ja matemaatika vahelistele seostele. Samuti aitasid nad loogikutel kujundada selget teadlikkust formaalsete süsteemide olemusest ning metalloloogiliste ja metamatemaatiliste tulemuste liikidest, mis on viimase saja aasta jooksul loogika ja matemaatika aluste uurimisel keskseks osutunud.

4. Russelli paradoks kaasaegses loogikas

Russelli paradoksi peetakse mõnikord negatiivseks arenguks - Frege Grundgesetze taandamiseks ja ühe originaalse kontseptuaalse patuna, mis viib meie väljasaatmiseni Cantori paradiisist. WV Quine kirjeldab paradoksi kui “antinomiat”, mis “pakub üllatust, mida saab vastu võtta vaid meie kontseptuaalse pärandi ümberlükkamine” (1966, 11). Quine viitab varem mainitud naiivse mõistmise põhimõttele. Sümbolites ütleb põhimõte, et

(NC) ∃ A ∀ x (x ∈ A ≡ φ),

kus A pole valemis free vaba. See ütleb: "On olemas komplekt A, mis tahes objekti x korral on x A element siis ja ainult siis, kui tingimus, mida väljendab φ, kehtib." Russelli paradoks tekib, kui võtta valemiks φ: x ∉ x.

Vaatamata Quine'i kommentaarile on võimalik näha Russelli paradoksi positiivsemas valguses. Esiteks, ehkki küsimus on endiselt vaieldav, näitasid hilisemad uuringud, et paradoks ei pea tingimata lühistama Frege aritmeetika tuletamist ainuüksi loogikast. Frege versioonist NC (tema Axiom V) võib lihtsalt loobuda. (Üksikasju leiate Frege teoreemi sissekandest.) Teiseks annab kirik elegantse sõnastuse tüüpide lihtsast teooriast, mis on osutunud viljakaks isegi matemaatika alustest eemaldatud aladel. (Üksikasju leiate peatükist Tüüpide teooria.) Lõpuksaksiomaatiliste (erinevalt naiivsetest) seatud teooriate arendamine, mis näitavad mitmesuguseid leidlikke ja matemaatiliselt ning filosoofiliselt olulisi viise Russelli paradoksi käsitlemiseks, sillutas teed hämmastavatele tulemustele lavateooria metamaatikas. Need tulemused on hõlmanud Gödeli ja Coheni teoreeme valitud aksioomi sõltumatuse kohta ja Cantori pideva hüpoteesi kohta. Vaatame siis umbkaudselt, kuidas mõned neist meetoditest - täpsemalt niinimetatud „kirjutamata” meetodid - käsitlevad Russelli paradoksi.

Zermelo asendab NC järgmise eraldamise (või Aussonderungsaksia) aksioomiskeemiga:

(ZA) ∀ A ∃ B ∀ x (x ∈ B ≡ (x ∈ A ∧ φ)).

Ümmarguse vältimiseks ei saa jälle B olla in-s vaba. See eeldab, et B-sse pääsemiseks peab x olema olemasoleva komplekti A liige. Nagu võib arvata, nõuab see hulgaliselt täiendavaid komplekti olemasolu aksioome, millest ükski poleks vajalik, kui NC oleks vastu pidanud.

Kuidas väldib ZA Russelli paradoksi? Võib alguses arvata, et nii see pole. Lõppude lõpuks, kui laseme A-l olla V - kogu komplektide universumil - ja φ olla x ∉ x, ilmneb jälle vastuolu. Kuid sel juhul näitab kogu vastuolu, et V ei ole komplekt. Kõik vastuolud näitavad, et “V” on tühi nimi (st et tal pole viidet, et V puudub), kuna Zermelo süsteemi ontoloogia koosneb ainult kogumitest.

Sama punkti võib tuua veel ühel viisil, hõlmates Russelli argumendi relativiseeritud vormi. Olgu B suvaline komplekt. ZA järgi on komplekt R _B = {x ∈ B: x ∉ x}, kuid see ei saa olla elemendi B osa. Kui see on B element, siis võime küsida, kas see on R _B element või mitte; ja ainult siis, kui see pole nii. Seega midagi, nimelt R _B, on "puudu" igast komplekt B. Nii et jällegi ei ole V komplekt, kuna V-st ei saa midagi puudu jääda. Kuid pange tähele järgmist peensust: erinevalt eelnevast argumendist, mis hõlmas Aussonderungi otsest rakendamist V-le, vihjab käesolev argument mõttele, et kuigi V ei ole seatud, “V” ei ole tühi nimi. Järgmine strateegia Russelli paradoksi käsitlemiseks võtab selle vihje ära.

John von Neumanni (1925) kirjeldamata meetod paradokside ja eriti Russelli paradoksi käsitlemiseks on lihtne ja leidlik. Von Neumann tutvustab vahet liikmesuse ja mittekuulumise vahel ning teeb selle põhjal vahet komplektide ja klasside vahel. Objekt on liige (lihtsustaja), kui see on mõne klassi liige; ja see pole mitteliige, kui ta pole ühegi klassi liige. (Tegelikult töötab von Neumann välja funktsioonide teooria, mida võetakse pigem primitiivsete kui klassidena), kusjuures liikmelisuse ja mitteliikmelisuse eristamisel on vahet objekti vahel, mis võib olla mingi funktsiooni argument, ja objekti, mis seda ei saa. selle tänapäevane vorm on Bernaysi ja Gödeli tõttu klasside ühemõtteline teooria.)

Seejärel määratletakse komplektid liikmeteks ja mitteliikmed märgistatakse kui “õiged klassid”. Nii ei saa näiteks Russelli klass R kuuluda ühtegi klassi ja järelikult peab see olema korralik klass. Kui eeldatakse, et R on klassi A element, siis ühe von Neumanni aksioomi põhjal järeldub, et R ei ole V-ga samaväärne. Kuid R on samaväärne V-ga ja seega mitte A element. Seega von Neumann meetod on tihedalt seotud tulemus eespool öeldud komplekti kohta R _B, meelevaldseid B. Ehkki Von Neumanni meetodit imetletakse sarnaselt Gödeli ja Bernaysiga, on see viimastel aastatel alahinnatud.

Quine (1937) ja (1967) pakuvad samamoodi veel ühte kirjutamata meetodit (kirjaga kui mitte vaimus) Russelli paradoksi tõkestamiseks ning meetodit, mis on rikas huvitavate kõrvalekalletega. Quine'i põhiidee on tutvustada kihistunud arusaamise aksioomi. Tegelikult blokeerib aksioom tsirkulaarsuse, viies sisse hierarhia (või kihistumise), mis on mõnes mõttes tüübiteooriaga sarnane ja teistes erinev. (Üksikasjad leiate Quine'i uute sihtasutuste kandest.)

Vastupidiselt Zermelo, von Neumanni ja Quine'i strateegiatele, mis on teatud mõttes puhtteoreetilised, on üritatud ka Russelli paradoksi vältida, muutes selle aluseks olevat loogikat. Selliseid katseid on olnud palju ja me ei vaata neid kõiki üle, kuid üks paistab praegu olevat nii radikaalne kui ka mõnevõrra populaarne (ehkki mitte teoreetikutega iseenesest): see on parakonsistentne lähenemisviis, mis piirab üldist isoleeritud vastuolu mõju kogu teooriale. Klassikaline loogika nõuab, et igasugune vastuolu triviaalsuseks teooriasse, tehes teooria iga lause tõestatavaks. Seda seetõttu, et klassikalises loogikas on järgmine teoreem:

(Ex Falso Quadlibet) A ⊃ (~ A ⊃ B).

Nüüd on praktiliselt ainus viis EFQ vältimiseks loobuda disjunktiivsest sülogismist, see tähendab, arvestades ühenduste tavapäraseid määratlusi, modus ponens! Niisiis on põhilise sentensionaalse loogika muutmine radikaalne - kuid võimalik. Kahjuks ei piisa isegi EFQ-st loobumisest NC-i sarnasuse säilitamiseks. Samuti tuleb loobuda põhilisest senentsiaalse loogika järgmisest täiendavast teoreemist:

(Kokkutõmbumine) (A ⊃ (A ⊃ B)) ⊃ (A ⊃ B).

Seejärel võib väita, et NC viib otseselt mitte ainult isoleeritud vastuoluni, vaid triviaalsuseni. (Argumendi kohta, miks see nii on, vt kirjet Curry paradoksi kohta, punkt 2.2. Pange tähele ka seda, et pelgalt nime “modus ponens” säilitamiseks ei piisa; see on reegliks ise, mis muutub mittetraditsioonilise loogika raames.) Seega näib, et NC hädad ei piirdu ainult Russelli paradoksiga, vaid hõlmavad ka Curry tõttu eituseta paradoksi.

Teine soovitus võiks olla järeldus, et paradoks sõltub eksisteeritud keskpunkti põhimõttest, et kas R on R liige või ei ole. See on põhimõte, mille lükkavad tagasi mõned mitteklassikalised loogikakäsitlused, sealhulgas intuitsioonism. Paradoksi on siiski võimalik sõnastada väljaarvamata Lähis poole pöördudes, tuginedes selle asemel vastuolu seadusele. Teeme seda järgmiselt: Arvestades R määratlust, järeldub, et R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R). Seega R ∈ R ⊃ ~ (R ∈ R). Kuid me teame ka, et R ∈ R ⊃ R ∈ R. Seega R R R ⊃ (R ∈ R ∈ ~ (R ∈ R)). Kuid vastuolulisuse seaduse järgi teame, et ~ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Niisiis järeldame modus tollens abil, et ~ (R ∈ R). Samal ajal teame ka, et kuna R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R), järeldub sellest, et ~ (R ∈ R) ⊃ R ∈ R ja seega R ∈ R. Seega saame tuletada nii R ∈ R kui ka selle eituse, kasutades ainult intutionistlikult vastuvõetavaid meetodeid.

Seetõttu näib, et mitteklassikalise loogika pooldajad ei saa väita, et nad on NC-d mingis olulises tähenduses säilitanud, välja arvatud põhimõtte puhtalt süntaktilise vormi säilitamine, ning ei intuitsioonism ega parakonsistentsus koos kontraktsiooni loobumisega ei paku eelist võrreldes Zermelo, von Neumanni või Quine'i tüüpilised lahused. (Täpsemat arutelu võib leida Meyerist, Routley ja Dunnist (1979), Irvineist (1992), Priestist (2006, ptk 18), Weberist (2010), Weberist (2012) ja Curry paradoksi käsitlevatest sissekannetest (sec. 2.2) ja parakonsistentset loogikat (punkt 2.3).)

Samuti väärib märkimist, et Russelli paradoks polnud ainus Russelli vaevav paradoks ja seega ka ainus motiiv tüübipiiranguteks, mida Principia Mathematica leiab. Varasemas teoses "Matemaatika põhimõtted" pühendab Russell peatüki "Vastuolule" (Russelli paradoks), tutvustades seda mitmel kujul ja lükates tagasi mitmed alustamata vastused. Seejärel annab ta märku, et arutab tüübiõpetust varsti. Seda ei juhtu mitusada lehekülge, kuni jõuame raamatu päris lõppu, lisas B! Seal tutvustab Russell algavat, lihtsat tüüpi teooriat, mitte aga tüüpide teooriat, mille leiame põhimõttest Principia Mathematica. Miks oli hilisemat teooriat vaja? Põhjus on see, et B lisas esitab Russell ka teise paradoksi, mida tema arvates ei saa tüüpide lihtsa teooria abil lahendada. See uus paradoks puudutab väiteid, mitte klasse ja see viis koos semantiliste paradoksidega Russelli sõnastama oma tüübiteooria ramifitseeritud versiooni.

Paradoksi uus, väidetav versioon ei ole loogika ja seadusteooria hilisemas arengus silmapaistvalt silma paistnud, kuid tekitas Russellile hämmingut. Esiteks näib see olevat Cantori teoreemiga vastuolus. Russell kirjutab: “Me ei saa tunnistada, et vahemikke [väidete klassid] on rohkem kui väiteid” (1903, 527). Põhjus on see, et väidete ja väidete klasside vahel näib olevat lihtne üks-ühele korrelatsioon. Näiteks saab väite klassi m seostada väitega, et m-is olevad kõik väited on tõesed. See koos väidete peeneteralise individualiseerimise põhimõttega (kinnitades ühelt poolt, et kui propositsioonide klassid m ja n erinevad, siis erinevad m-ga seotud väited kõigist n-ö väidetest) põhjustab vastuolu.

Sellest paradoksist on suhteliselt vähe räägitud, ehkki sellel oli Kiriku mõistuse ja denotiseerimise loogika kujundamisel võtmeroll. Ehkki meil on mitu valitud teooriat, mille vahel valida, pole meil midagi hästi välja töötatud Russelli väidete teooria sarnast, ehkki sellistel väidetel on miljonite ja otsese viite teoreetikute seisukoht. Võib arvata, et sellist teooriat vajatakse semantika aluste, kui mitte matemaatika aluste jaoks. Ehkki üks Russelli paradoksidest on viinud matemaatika aluste viljaka väljaarendamiseni, peab tema “teine” paradoks veel viima millegi eemalt sarnase semantika aluse juurde. Et olla kindel,Church (1974a) ja Anderson (1989) on püüdnud välja töötada venelaste intentsionaalset loogikat, tuginedes tüüpide rambitud teooriale, kuid võib väita, et ragendatud teooria on liiga piirav, et olla aluseks looduskeele semantikale. Viimasel ajal on tehtud ka katseid saada venekeelse intentsionaalse loogika algus, mis põhineb kirjutamata komplekti teooriatel (Cantini 2004; Deutsch 2014). On üsna irooniline, et kuigi keelefilosoofias eelistatakse peenekoelisi russellistlikke väiteid, domineerib intentsionaalse loogika formaalses arengus Montague'i grammatika koos oma kursustel põhineva väidete teooriaga. Viimasel ajal on tehtud ka katseid saada venekeelse intentsionaalse loogika algus, mis põhineb kirjutamata komplekti teooriatel (Cantini 2004; Deutsch 2014). On üsna irooniline, et kuigi keelefilosoofias eelistatakse peenekoelisi russellistlikke väiteid, domineerib intentsionaalse loogika formaalses arengus Montague'i grammatika koos oma kursustel põhineva väidete teooriaga. Viimasel ajal on tehtud ka katseid saada venekeelse intentsionaalse loogika algus, mis põhineb kirjutamata komplekti teooriatel (Cantini 2004; Deutsch 2014). On üsna irooniline, et kuigi keelefilosoofias eelistatakse peenekoelisi russellistlikke väiteid, domineerib intentsionaalse loogika formaalses arengus Montague'i grammatika koos oma kursustel põhineva väidete teooriaga.

Samuti väärib märkimist, et mitmed näiliselt puhtalt teoreetilised põhimõtted on tegelikult puhta loogika teoreemide (st esimese identiteediga kvantifitseerimise teooria identiteediga) (rakendatud) näited! Nende kohta on olemas (osaline) loetelu Kalishis, Montague'is ja Maris (2000). Russelli paradoks on näide T269 selles loendis:

(T269) ~ ∃ y ∀ x (Fxy ≡ ~ Fxx).

Düadist predikaattähte „F” lugedes kui „on liikme liige” tähendab see, et ei ole nii, et mis tahes x korral on x y liige, kui ja ainult siis, kui x ei kuulu x. Kas see tähendab, et Russelli paradoks taandub T269-le?

Kindlasti destilleerib T269 tõend Russelli argumendi olemust, selle mõttekäiku. Kuid see muster on ka lõputu loetelu näiliselt kergemeelsetest "paradoksidest", nagu näiteks kuulsa juuksuri paradoks, kes raseerib kõiki ja ainult neid, kes ise ei raseeri, või samamoodi heatahtliku, kuid tõhusa Jumala paradoks, kes aitab kõiki ja ainult need, kes ise ei aita.

Kuidas erinevad need nn pseudoparadoksid, nagu neid mõnikord nimetatakse, Russelli paradoksist, kui üldse? Põhjendusmuster on sama ja järeldus - et pole sellist Barberit, pole nii tõhusat Jumalat ega sellist iseendata liikmete komplekti - on sama: selliseid asju lihtsalt ei eksisteeri. (Kuid nagu näitas von Neumann, pole vaja nii kaugele minna. Von Neumanni meetod ei juhenda meid mitte selles, et selliseid asju nagu R ei eksisteeri, vaid lihtsalt selles, et me ei saa nende kohta palju öelda, kuivõrd R jms ei saa) kuuluvad klassi kuuluva predikaadi laiendisse.)

Tavaline vastus sellele küsimusele on, et erinevus seisneb sisus. Quine küsib: “miks seda [Russelli paradoksi] peetakse antinomiaks ja juuksuri paradoksi mitte?”; ja ta vastab: "Põhjus on see, et meie mõtteharjumustes on olnud ülekaalukas eeldus, et selline klass eksisteerib, kuid ei ole eeldatud, et selline juuksur oleks" (1966, 14). Isegi siis pole psühholoogiline jutt mõtteharjumustest eriti valgustav. Täpsemalt: Russelli paradoks tekitab mõistlikult küsimuse, mis komplektid need on; aga jama on imestada, näiteks T269, mis juuksurid või jumalad seal on!

See kohtuotsus ei ole siiski Barberi või T269 fännide suhtes päris õiglane. Nad rõhutavad, et T269 tõstatatud küsimus ei seisne selles, millised on juuksurid või jumalad, vaid selles, millised on mitteparadoksaalsed objektid. See küsimus on praktiliselt sama, mille tõstatas Russelli paradoks ise. Seega on sellest vaatenurgast Barberi ja Russelli paradoksi vaheline seos palju lähedasem, kui paljud (Quine'i järgides) on nõus lubama (Salmon 2013).

Märgime, et on esimest järku loogiline valem, mis kannab sama seoses põhimõtte kohta R _B 's, et T269 karud Russelli paradoks. See on järgmine:

(T273) ∀ z ∀ y (∀ x [Fxy ≡ (Fxz ∧ ~ Fxx)] ⊃ ~ Fyz).

(Oleme võtnud vabaduse laiendada Kalishis, Montague'is ja Maris (2000) kasutatud numeratsiooni T273-le.) Kuid mitte kõik setteoreetilised paradoksid ei ole sarnaselt esimese astme loogiliste teoreemidega. Burali-Forti paradoks on näide, kuna korraliku korra mõiste ei ole elementaarne; see tähendab, et see pole esmajärjekorras määratletav.

Russelli paradoks pole kunagi olnud möödas, kuid viimasel ajal on matemaatika loogika uurimise ning tänapäevase loogika filosoofiliste ja ajalooliste uuringutega seotud teadlaste huvi selle vastu plahvatuslikult kasvanud. Pilk 2004. aasta Russell'i paradoksi saja-aastase mahu sisule näitab silmapaistvaid matemaatilisi ja filosoofilisi loogikuid ja loogikaajaloolasi, kes valasid paradoksi üle, pakkudes välja uusi teid Cantori paradiisi tagasi või muid võimalusi selle probleemi lahendamiseks. Nende uurimised hõlmavad radikaalselt uusi võimalusi paradoksi tekitatud dilemmast välja tulemiseks, uut tüüpi tüübiteooriate uurimist (lihtsad ja keerulised ning nende laiendid), Russelli paradoksi ja konstruktiivsete teooriate uusi tõlgendusi, Russelli väidete paradoksi ja tema enda katse sisestamata teooria (asendusteooria) jms.

Kõik see tuletab meile meelde, et viljakas töö võib tuleneda vaatluste kõige ebatõenäolisemast. Nagu Dana Scott on öelnud: “Algusest peale tuleb mõista, et Russelli paradoksi ei tule pidada katastroofiks. See ja sellega seotud paradoksid näitavad, et kõikehõlmavate kogude naiivne arusaam ei ole vastuvõetav. See on huvitav tulemus, selles pole mingit kahtlust”(1974, 207).

Bibliograafia

Anderson, C. Anthony, 1989. “Russelliantensionaloogika”, Joseph Almog, John Perry ja Howard Wettstein (toim), Teemad Kaplanist, Oxford: Oxford University Press, 67–103.
Barwise, Jon, 1975. Lubatud komplektid ja konstruktsioonid, Berliin: Springer-Verlag.
––– ja John Etchemendy, 1987. Valetaja: essee tõe ja ringluse kohta, Oxford: Oxford University Press.
––– ja Lawrence Moss, 1996. Vicious Circles, Stanford: CSLI Publications.
Bealer, George, 1982. Kvaliteet ja kontseptsioon, New York: Oxford University Press.
Beaney, Michael, 2003. “Russell ja Frege” Nicholas Griffinis (toim), Cambridge'i kaaslane Bertrand Russellile, Cambridge: Cambridge University Press, 128–170.
Cantini, Andrea, 2004. “Russelli paradoksil ettepanekute ja tõe kohta”, Godehard Link (toim) (2004) Saja-aastane Russelli paradoks Berliinis ja New Yorgis: Walter de Gruyter, 259–284.
–––, 2009. “Paradoksid, eneseviited ja tõde 20. sajandil”, Dov M. Gabbay ja John Woods (toim) (2009) Loogikaajaloo käsiraamat: 5. köide - loogika Russellist kirikusse, Amsterdam: Elsevier / Põhja-Holland, 875–1013.
Kirik, Alonzo, 1974a. „Russelli lihtsa tüübi teooria”, Ameerika Filosoofiliste Ühingute Toimetised ja aadressid, 47: 21–33.
–––, 1974b. “Set Theory with Universal Set”, Tarski sümpoosioni toimetised, 297–308; repr. ajakirjas International Logic Review, 15: 11–23.
–––, 1978. “Semantiliste antinoomide Russelli resolutsiooni võrdlus Tarski omaga,” Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760; repr. aastal AD Irvine, Bertrand Russell: Kriitilised hinnangud, vol. 2, New York ja London: Routledge, 1999, 96–112.
Coffa, Alberto, 1979. “Russelli paradoksi alandlikud alged”, Russell, 33–34: 31–7.
Copi, Irving, 1971. Loogiliste tüüpide teooria, London: Routledge ja Kegan Paul.
Demopoulos, William ja Peter Clark, 2005. “Frege, Dedekindi ja Russelli logika”, Stewart Shapiro (toim), Oxfordi matemaatika ja loogika filosoofia käsiraamat, Oxford: Oxford University Press, 129–165.
Deutsch, Harry, 2014. “Mõnede paradokside lahendamine”, analüüs, 74: 26-34.
Ebbinghaus, Heinz-Dieter ja Volker Peckhaus, 2007. Ernst Zermelo: lähenemisviis tema elule ja tööle, Berliin: Springer-Verlag.
Forster, TE, 1995. Komplekti teooria universaalse komplektiga, 2. edn, Oxford: Clarendon Press.
Frege, Gottlob, 1902. “Kiri Russellile”, Jean van Heijenoort (toim), Frege'st Gödelini, Cambridge, Mass: Harvard University Press, 1967, 126–128.
–––, 1903. “Russelli paradoks”, Gottlob Frege, Aritmeetika põhiseadused, Berkeley: University of California Press, 1964, 127–143; lühendatud ja repr. aastal AD Irvine, Bertrand Russell: Kriitilised hinnangud, vol. 2, New York ja London: Routledge, 1999, 1–3.
Gabbay, Dov M. ja John Woods (toim.), 2009. Loogika ajaloo käsiraamat: 5. köide - loogika Russellist kirikusse Amsterdamis: Elsevier / Põhja-Holland.
Galaugher, JB, 2013. “Asenduse lahendamata 'Insolubilia' ', Russell, 33: 5–30.
Garciadiego, A., 1992. Bertrand Russell ja set-teoreetiliste “paradokside” lähtekohad, Boston: Birkhäuser.
Grattan-Guinness, I., 1978. “Kuidas Bertrand Russell avastas oma paradoksi,” Historia Mathematica, 5: 127–37.
–––, 2000. Matemaatiliste juurte otsing: 1870–1940, Princeton ja Oxford: Princeton University Press.
Griffin, Nicholas (toim), 2003. Cambridge'i kaaslane Bertrand Russellile, Cambridge: Cambridge University Press.
––– 2004. “Russelli paradoksi eelajalugu”, Godehard Link (toim), sada aastat Russelli paradoksi, Berliin ja New York: Walter de Gruyter, 349–371.
––– Bernard Linsky ja Kenneth Blackwell (toim), 2011. Principia Mathematica 100, Hamilton, ON: Bertrand Russelli uurimiskeskus; avaldatud ka eriväljaande Russell, 31. köide, number 1.
Hallett, Michael, 1984. Kantori komplektiteooria ja suuruse piiramine, Oxford: Clarendon.
Halmos, Paul R., 1960. Naiivse teooria, Princeton: D. van Nostrand.
Irvine, AD, 1992. “Lüngad, tõrked ja paradoksid”, Canadian Journal of Philosophy (täiendav köide), 18: 273–299.
––– (toim.), 2009. Matemaatikafilosoofia, Amsterdam: Elsevier / Põhja-Holland.
Kanamori, Akihiro, 2004. “Zermelo ja komplektiteooria”, Sümboolse loogika bülletään, 10: 487–553.
–––, 2009. „Set Theory from Cantor to Cohen“, AD Irvine (toim), matemaatikafilosoofia, Amsterdam: Elsevier / Põhja-Holland, 395–459.
Kalish, Donald, Richard Montague ja Gary Mar, 2000. Loogika: Ametliku arutluse tehnikad, 2. edn, New York: Oxford University Press.
Klement, Kevin, 2005. “Russelli paradoksi propositsiooniliste funktsioonide versiooni lähtekohad”, Russell, 24: 101–132.
––– 2014, “Paradoksid ja Russelli mittetäielike sümbolite teooria”, Philosophical Studies, 169: 183–207.
Landini, Gregory, 2006. “Frege väljapääsu plussid ja küljed”, Philosophia Mathematica, 14: 1–25.
–––, 2013. “Zermelo” ja “Russelli paradoks: kas on olemas universaalne komplekt?” Philosophia Mathematica, 21: 180–199.
Levy, A., 1979. Põhikomplekti teooria, Berliin: Springer-Verlag; New York: Heidelberg.
Link, Godehard (toim), 2004. Sada aastat Russelli paradoksi, Berliin ja New York: Walter de Gruyter.
Linsky, Bernard, 1990. “Kas redutseeritavuse aksioom oli loogika põhimõte?” Russell, 10: 125–140; repr. väljaandes AD Irvine (toim) (1999) Bertrand Russell: Kriitilised hinnangud, 4 volt, London: Routledge, vol. 2, 150–264.
–––, 2002. „Russelli paradoksi lahendamine Principia Mathematical”, Philosophical Perspectives, 16: 395–417.
Mares, Edwin, 2007. “Faktiline semantika rambitüüpide teooriast ja redutseeritavuse aksioomist”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 48: 237–251.
Menzel, Christopher, 1984. “Kantor ja Burali-Forti paradoks”, Monist, 67: 92–107.
Meyer, Robert K., Richard Routley ja Michael Dunn, 1979. “Curry paradoks”, analüüs, 39: 124–128.
Moore, Gregory H., 1982. Zermelo valiku aksioom, New York: Springer.
––– 1988. “Russelli paradoksi juured”, Russell, 8: 46–56.
Murawski, Roman, 2011. “On Chwisteki matemaatikafilosoofia”, Nicholas Griffin, Bernard Linsky ja Kenneth Blackwell (toim) (2011) Principia Mathematica 100, Russell (eriväljaanne), 31 (1): 121–130.
Peckhaus, Volker, 2004. “Paradoksid Göttingenis”, Godehard Link (toim), sada aastat Russelli paradoksi, Berliin ja New York: Walter de Gruyter, 501–515.
Priest, Graham, 2006. Vastupidiselt, 2. toim, New York: Oxford University Press.
Quine, WVO, 1937. “Matemaatilise loogika uued alused”, American Mathematical Monthly, 44: 70–80; repr. WVO Quine'is, loogilisest vaatenurgast, London: Harper & Row, 1953.
–––, 1966. Paradoksi viisid ja muud esseed, New York: Juhuslik maja.
–––, 1967. Lavastusteooria ja selle loogika, Harvard: Belknap Press.
Russell, Bertrand, 1902. “Kiri Frege'ile” Jean van Heijenoortis (toim), Frege'st Gödelini, Cambridge, Mass: Harvard University Press, 1967, 124–125.
–––, 1903. “B lisa: tüüpide õpetus”, Bertrand Russell, Cambridge'i matemaatika põhimõtted: Cambridge University Press, 1903, 523–528.
–––, 1908. “Matemaatiline loogika tüüpide teooria põhjal”, American Journal of Mathematics, 30: 222–262; repr. Bertrand Russell, loogika ja teadmised, London: Allen ja Unwin, 1956, 59–102; ja repr. aastal Jean van Heijenoort (toim) Fregest Gödelini, Cambridge, Mass: Harvard University Press, 1967, 152–182.
–––, 1919. Matemaatilise filosoofia sissejuhatus, London: George Allen ja Unwin Ltd ning New York: The Macmillan Co.
–––, 1944. “Minu vaimne areng”, Paul Arthur Schilpp (toim), Bertrand Russelli filosoofia, 3. toim, New York: Tudor, 1951, 3–20.
–––, 1959. Minu filosoofiline areng, London: George Allen ja Unwin ning New York: Simon & Schuster.
–––, 1967, 1968, 1969. Bertrand Russelli autobiograafia, 3 vaha, London: George Allen ja Unwin; Boston: Little Brown ja Company (1. ja 2. köide), New York: Simon ja Schuster (3. köide).
Salmon, N., 2013. “Märkus Kripke paradoksi kohta ajast ja mõttest”, Journal of Philosophy, 110: 213–220.
Scott, Dana, 1974. “Axiomatizing Set Theory”, TJ Jech (toim), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (13. köide, 2. osa), American Mathematical Society, 207–214.
Shapiro, Stewart (toim), 2005. Oxfordi matemaatika ja loogika filosoofia käsiraamat, Oxford: Oxford University Press.
Simmons, Keith, 2000. “Komplektid, klassid ja laiendid: Singulaarsuse lähenemisviis Russelli paradoksile”, Philosophical Studies, 100: 109–149.
–––, 2005. „Berry and Russell enesekindluseta”, Philosophical Studies, 126: 253–261.
Sorensen, Roy A., 2002. “Loogiliste paradokside filosoofilised mõjud”, Dale Jacquette (toim.), Filosoofilise loogika kaaslane, New York: Oxford University Press, 131–142.
––– 2003. “Russelli komplekt” paradoksi lühikeses ajaloos, New York: Oxford University Press, 316–332.
Stevens, Graham, 2004. “Russelli paradoksist kohtuotsuste teooria juurde: Wittgenstein ja Russell ettepaneku ühtsusest”, Theoria, 70: 28–61.
–––, 2005. Analüütilise filosoofia Russellian Origins, London ja New York: Routlege.
Tappenden, Jamie, 2013. “Analüütilise filosoofia matemaatiline ja loogiline taust”, Michael Beaney (toim.) Oxfordi analüütilise filosoofia ajaloo käsiraamat Oxford: Oxford University Press, 318–354.
Urquhart, Alasdair, 1988. “Russelli siksakiline tee tüüpide rafineeritud teooria juurde”, Russell, 8: 82–91.
–––, 2003. “Tüüpide teooria”, Nicholas Griffin (toim), Cambridge'i kaaslane Bertrand Russellile, Cambridge: Cambridge University Press, 286–309.
van Heijenoort, Jean (toim.), 1967. Fregest Gödelini: matemaatikaloogika lähteteos, 1879–1931, Cambridge ja London: Harvard University Press.
von Neumann, John, 1925. „Set set Theory Axiomatization of Set Theory”, Jean van Heijenoort (toim), Fregest Gödelini, Cambridge'i ja Londonisse: Harvard University Press, 1967, 393–413.
Wahl, Russell, 2011. “Redutseeritavuse aksioom”, Nicholas Griffin, Bernard Linsky ja Kenneth Blackwell (toim) (2011) Principia Mathematica 100, Russell (eriväljaanne), 31 (1): 45–62.
Weber, Z., 2010. “Transfinite Numbers in Paraconsistent Set Theory”, Symbolic Logic ülevaade, 3: 71–92.
–––, 2012. “Transfinite kardinalid parakonsistentses kogumiteoorias”, Symbolic Logic ülevaade, 5: 269–293.
Whitehead, Alfred North ja Bertrand Russell, 1910, 1912, 1913. Principia Mathematica, 3 volt, Cambridge: Cambridge University Press; teine toim, 1925 (1. köide), 1927 (Vols 2, 3); lühendatud kui Principia Mathematica kuni * 56, Cambridge: Cambridge University Press, 1962.

Akadeemilised tööriistad

sep mehe ikoon	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.