Mudeliteooria

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-05-24 11:17

Sisenemise navigeerimine

• Sissesõidu sisu
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Sõprade PDF-i eelvaade
• Teave autori ja tsitaadi kohta
• Tagasi üles

Mudeliteooria

Esmakordselt avaldatud laupäeval 10. novembril 2001; sisuline redaktsioon Wed 17. juuli 2013

Mudeliteooria algas formaalsete keelte ja nende tõlgenduste ning klassifikatsiooni liikide uurimisega, mida konkreetne ametlik keel võib teha. Peavoolumudeliteooria on nüüd keerukas matemaatikaharu (vt sissekannet esimese astme mudelateooria kohta). Kuid laiemas tähenduses on mudelteooria mis tahes formaalse või loodusliku keele tõlgendamise uurimine setteoreetiliste struktuuride abil koos Alfred Tarski tõe määratlusega kui paradigmaga. Selles laiemas tähenduses kohtub mudelteooria filosoofiaga mitmes punktis, näiteks loogiliste tagajärgede teoorias ja looduslike keelte semantikas.

• 1. Mudeliteooria põhimõisted
• 2. Mudeliteoreetiline määratlus
• 3. Mudeliteoreetiline tagajärg
• 4. Väljendusjõud
• 5. Mudelid ja modelleerimine
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. Mudeliteooria põhimõisted

Mõnikord kirjutame või räägime lauset (S), mis ei väljenda ei tõest ega valet, sest sõnade tähendusest puudub oluline teave. Kui jätkame selle teabe lisamist, nii et (S) tuleb õiget või valet väidet avaldada, tõlgendatakse väidetavalt (S) ja lisatud teavet nimetatakse (S) tõlgenduseks.. Kui tõlgendus (I) juhtub, et (S) tõestab midagi, siis ütleme, et (I) on (S) mudel või et (I) vastab (S), sümbolites '(I \ vDash S). Teine viis öelda, et (I) on (S) mudel, on öelda, et (S) vastab tõele (I) ja seega on meil olemas mudelteoreetilise tõe mõiste, mis on tõde konkreetses tõlgenduses. Kuid tuleb meeles pidada, et väide '(S) vastab tõele rakenduses (I)' on lihtsalt parafraas '(S), kui tõlgendada nii, nagu on (I), on tõene'nii et mudelteoreetiline tõde on tavalise tõe suhtes parasiitlik ja me võime seda alati parafraseerida.

Näiteks võiksin öelda

Ta tapab nad kõik,

ja pakkuda tõlgendust, et "ta" on Alfonso Arblaster 35-st Crescentist, Beetleford, ja et "nad" on tuvid tema pööningul. See tõlgendus selgitab (a) millistele objektidele mõned väljendid viitavad ja (b) millistele klassidele mõned kvantandid ulatuvad. (Selles näites on üks kvantifikaator: „nad kõik”). Punktidest a ja b koosnevad tõlgendused esinevad mudelteoorias väga sageli ja neid nimetatakse struktuurideks. Konkreetsed mudelateooriad kasutavad teatud tüüpi struktuure; näiteks kipub matemaatiline mudeliteooria kasutama nn esimese astme struktuure, modaalloogika mudelateooria kasutab Kripke struktuure jne.

Eelmises lõigus esitatud struktuur (I) hõlmab ühte fikseeritud objekti ja ühte fikseeritud klassi. Kuna me kirjeldasime täna struktuuri, on klass täna Alfonso pööningul tuvide klass, mitte need, mis tulevad homme nende asendamiseks. Kui Alfonso Arblaster tapab täna kõik oma tuletõrjes olevad tuvid, täidab (I) täna tsiteeritud lause, kuid ei rahulda seda homme, sest Alfonso ei saa samu tuvisid kaks korda tappa. Sõltuvalt sellest, mille jaoks soovite mudeliteooriat kasutada, saate täna rõõmsalt lauseid hinnata (vaikimisi aeg) või soovite üles märkida, kuidas need on rahul korraga, mitte teisel. Viimasel juhul saate mudeli mõistet relativiseerida ja kirjutada '(I \ vDash_t S)' tähendamaks, et (I) on (S) mudel ajal (t). Sama kehtib kohtade,või millelegi muule, mida lauses võivad sisaldada muud kaudsed indekseerivad tunnused. Näiteks kui usute võimalikesse maailmadesse, saate indekseerida (vDash) võimaliku maailma järgi, kus lauset hinnatakse. Lisaks setteooria kasutamisele on mudelateooria täiesti agnostika selle kohta, millised asjad eksisteerivad.

Pange tähele, et struktuuri objektidel ja klassidel on sildid, mis suunavad need lause parempoolsetesse väljenditesse. Need sildid on struktuuri oluline osa.

Kui kõigi kvantifikaatorite tõlgendamiseks kasutatakse sama klassi, nimetatakse klassi struktuuri domeeniks või universumiks. Kuid mõnikord on kvantitatoreid erinevate klasside lõikes. Näiteks kui ma ütlen

Üks neist veidratest haigustest on kõigi lindude tapmine.

otsite tõlgendust, mis omistaks haiguste klassi „nendele tüütutele haigustele” ja lindude klassi „lindudele”. Tõlgendusi, mis annavad kahe või enama klassi erinevate kvantifikaatorite ulatuse kohta, öeldakse olevat palju sorteeritud ja klasse nimetatakse mõnikord sortideks.

Ülaltoodud ideed võivad ikkagi olla kasulikud, kui alustame lausega (S), mis ütleb midagi tõest või valet, ilma et oleks vaja täiendavat tõlgendamist. (Mudeliteoreetikud väidavad, et selline lause on täielikult tõlgendatud.) Näiteks võime kaaluda täielikult tõlgendatud lause (S) vääritõlgendusi (I). (S) valetõlgendust, mis selle tõeks teeb, nimetatakse (S) ebastandardseks või tahtmatuks mudeliks. Matemaatika haru, mida nimetatakse mittestandardseks analüüsiks, põhineb mittestandardsetel matemaatiliste avalduste mudelitel reaalse või keerulise arvusüsteemi kohta; vt allpool 4. jagu.

Räägitakse ka looduslike keelte mudelteoreetilisest semantikast, mis on looduslike keelte lausete tähenduste kirjeldamise viis, mitte neile tähenduste andmise viis. Selle semantika ja mudeliteooria vaheline seos on pisut kaudne. See seisneb Tarski 1933. aasta tõdemääratluses. Lisateavet leiate Tarski tõepäratuste määratlusest.

2. Mudeliteoreetiline määratlus

Lause (S) jagab kõik selle võimalikud tõlgendused kahte klassi: need, mis on selle mudelid, ja need, mis mitte. Sel viisil määratleb see klassi, nimelt kõigi selle mudelite klassi, kirjutatud (Mod (S)). Juriidilise näite saamiseks lause

Esimene isik on vara üle andnud teisele isikule, kes valdab seda vara kolmanda isiku kasuks.

määratleb struktuuriklassi, mis võib näiteks olla märgistatud 4-kordne (näiteks sildi kirjutamine vasakul):

• esimene inimene = Alfonso Arblaster;
• kinnistu = Alfonso maja taha mahajäetud maa;
• teine inimene = John Doe;
• kolmas isik = Richard Roe.

See on tüüpiline mudelteoreetiline määratlus, mis määratleb struktuuride klassi (antud juhul klassi, mida juristid tunnevad usaldusfondina).

Saame laiendada mudelteoreetilise määratluse ideed ühe lause (S) lausete hulgale (T); (Mod (T)) on kõigi tõlgenduste klass, mis on samaaegselt kõigi lause (T) lausetega. Kui klassi sel viisil määratlemiseks kasutatakse lausekomplekti (T), ütlevad matemaatikud, et (T) on teooria või aksioomide kogum ja (T) aksioosib klassi (Mod (T)).

Võtame näiteks järgmise esimese järgu lausete komplekti:

) alustage {joondage *} ja \ jätkake x \ jätke y \ Forall z (x + (y + z) = (x + y) + z). \& \ kogu x (x + 0 = x). \& \ kogu x (x + (-x) = 0). \& \ Forall x \ Forall y (x + y = y + x). \ lõpeta {joonda *})

Siin on siltideks täiendav sümbol '+', miinus sümbol '(-)' ja pidev sümbol '0'. Tõlgenduses tuleb täpsustada ka kvantifikaatorite domeen. Ühe tingimusega on selle lausekomplekti mudelid täpselt sellised, mida matemaatikud tunnevad abeli rühmadena. Eeltingimus on, et abeli rühmas (A) peaks domeen sisaldama sümboli 0 tõlgendust ja see peaks olema suletud sümbolite + ja (-) tõlgenduste all. Matemaatilise mudeli teoorias ehitatakse see tingimus (või vastavad tingimused muudele funktsioonidele ja konstantsele sümbolile) struktuuri määratlusesse.

Iga matemaatiline struktuur on seotud kindla esimese astme keelega. Struktuur sisaldab teatud predikaadi, funktsiooni ja konstantsete sümbolite tõlgendusi; igal predikaadil või funktsioonisümbolil on fikseeritud arity. Nende sümbolite kogumit (K) nimetatakse struktuuri allkirjaks. Allkirja sümboleid nimetatakse sageli mitteloogilisteks konstantideks ja nende vanem nimi on primitiivid. Allkirja esimese astme keel (K) on esimese astme keel, mis on üles ehitatud, kasutades sümbolit (K) koos võrdusmärgiga =, et moodustada selle aatomi valemid. (Vt klassikalise loogika kirjet.) Kui (K) on allkiri, on (S) allkirjakeele lause (K) ja (A) on struktuur, mille allkiri on (K), kuna sümbolid sobivad kokku, siis teame, et (A) muudab (S) õigeks või valeks. Nii määratletakse abeli rühmade klass kõigi nende signatuuristruktuuride klassiks, mis on ülaltoodud lausete mudeliks (+), (-), (0). Peale selle, et see kasutab ametlikku esimese astme keelt, on see täpselt algebrailaste tavapärane määratlus abeli rühmade klassist; mudelateooria vormistab omamoodi määratluse, mis on matemaatikas eriti levinud.

Nüüd on abeli rühmade määratlevatel aksioomidel kolme tüüpi sümbolid (peale kirjavahemärkide). Esiteks on loogiline sümbol = kindla tähendusega. Teiseks on mitteloogilised konstandid, mis saavad oma tõlgenduse, rakendades neid konkreetsele struktuurile; tuleks kvantifikaatori sümbolid nendesse rühmitada, kuna struktuur määrab ka selle domeeni, milles kvantifikaatorid asuvad. Ja kolmandaks on muutujad (x, y) jne. See sümbolite kolmetasandiline muster võimaldab meil klasse teisel viisil määratleda. Selle asemel, et otsida lauseid tõestuseks mitteloogiliste konstantide tõlgendusi, fikseerime mitteloogiliste konstantide tõlgendused, valides konkreetse struktuuri (A), ja otsime elementide (A) omistamisi muutujad, mis muudavad antud valemi väärtuseks (A).

Näiteks olgu (mathbb {Z}) täisarvude liitrühm. Selle elemendid on täisarvud (positiivne, negatiivne ja 0) ning sümbolitel (+), (-), (0) on tavaline tähendus. Mõelge valemile

[v_1 + v_1 = v_2.)

Kui määrame arvu (- 3) väärtusele (v_1) ja arvu (- 6) väärtusele (v_2), siis töötab valem tõesena rakenduses (mathbb {Z}). Seda väljendame sellega, et paar ((- 3, -6)) vastab sellele valemile dokumendis (mathbf {Z}). Samamoodi (15,30) ja (0,0) vastavad sellele, kuid ((2, -4)) ja (3,3) mitte. Seega määratleb valem kahendatud seose täisarvudel, nimelt täisarvupaaride komplekti, mis seda rahuldab. Selliselt määratletud seost struktuuris (A) nimetatakse esimese järguga määratletavaks seoseks (A) -is. Kasulik üldistus on võimaldada määratleval valemil kasutada lisatud nimesid mõnele (A) elemendile; neid elemente nimetatakse parameetriteks ja seos on seejärel parameetritega määratletav.

See teine määratlustüüp, mis määratleb suhted pigem struktuuris kui struktuuriklassides, vormistab ka ühise matemaatilise praktika. Kuid seekord kuulub praktika pigem geomeetriasse kui algebrasse. Võite seose ära tunda valemi abil määratletud reaalarvude väljal

[v_1 ^ 2 + v_2 ^ 2 = 1.)

See on reaaltasapinnal raadiusega 1 ring ümber lähtepunkti. Algebraline geomeetria on selliseid määratlusi täis.

1940. aastatel juhtus mitme inimese (peamiselt Anatolii Mal'tsev Venemaal, Alfred Tarski USA-s ja Abraham Robinson Suurbritannias) puhul, et klassikalise loogika metateoreemide abil saab tõestada matemaatilisi teoreeme klasside kohta, mis on määratletud kahel viisil just kirjeldatud. Aastal 1950 kutsuti nii Robinson kui ka Tarski Cambridge Massachustsia rahvusvahelisel matemaatikute kongressil selle uue distsipliini teemal (millel seni nime polnud - Tarski pakkus 1954. aastal välja nime “mudelite teooria”). Tsiteerida väärib Robinsoni pöördumist Kongressile:

Käesolevas töös esitatud konkreetsed näited on näidanud, et kaasaegne sümboolika võib anda kasulikke vahendeid - ehkki mitte kõikvõimsaid - tegeliku matemaatika arendamiseks, eriti algebra arendamiseks ja, näib, ka algebraline geomeetria. See on ambitsiooni realiseerimine, mida Leibniz väljendas juba 1679. aastal kirjas Huyghensile.

Tegelikult oli Mal'tsev juba mitu aastat varem rühmitusteoorias üsna laialdaselt kasutanud mudelateooriat, kuid tolleaegsetes poliitilistes tingimustes polnud tema töö Venemaal läänes veel teada. Kahekümnenda sajandi lõpuks olid Robinsoni lootused piisavalt täidetud; vaata sissekannet esimese järgu mudeliteooria kohta.

Lisaks ülaltoodud kahele on mudelateoorias veel vähemalt kahte muud määratlust. Kolmas on tõlgendus (tõlgenduste erijuhtum, millest me alustasime). Alustame siin struktuuriga (A) ja ehitame teise struktuuri (B), mille allkiri ei pea olema seotud (A) allkirjaga, määratledes domeeni (X) (B) ning kõik (B) tähistatud seosed ja funktsioonid peavad olema seosed, mis on defineeritud (A) teatud valemitega koos parameetritega. Edasine täpsustus on leida määratletav ekvivalentsussuhe saidil (X) ja võtta domeeniks ((B)) mitte (X) ise, vaid selle seose ekvivalentsusklasside komplekt. Sel viisil üles ehitatud struktuuri (B) tõlgendatakse struktuuris (A).

Lihtne näide, jällegi tavalisest matemaatikast, on täisarvude rühma (mathbb {Z}) tõlgendamine struktuuris (mathbb {N}), mis koosneb naturaalarvudest 0, 1, 2 jne. siltidega 0, 1 ja +. (Mathbb {Z}) domeeni konstrueerimiseks võtame kõigepealt kõigi järjestatud naturaalarvude paari komplekti (X) (selgelt määratletav seos (mathbb {N})) ja see komplekt (X) määratleb ekvivalentsussuhte (sim) abil

[(a, b) sim (c, d) tekst {ainult siis, kui} a + d = b + c)

(uuesti määratletav). Domeen (mathbb {Z}) koosneb selle seose ekvivalentsusklassidest. Määratleme lisamise saidil (mathbb {Z})

[(a, b) + (c, d) = (e, f) tekst {siis ja ainult siis, kui} a + c + f = b + d + e.)

((A, b)) ekvivalentsusklassist saab täisarv (a - b).

Kui struktuuri (B) tõlgendatakse struktuuris (A), saab iga (B) esimese järgu avalduse tõlkida tagasi esimese astme avalduseks (A) kohta ja selles kuidas saame lugeda täielikku (B) teooriat (A) teooriast. Tegelikult, kui me teostame selle konstrueerimise mitte ainult ühe struktuuri (A), vaid ka teooria (T) mudelite pere jaoks, kasutades alati samu määratlevaid valemeid, siis on kõik saadavad struktuurid mudelid teooria (T '), mida saab lugeda punktist (T), ja määratlevad valemid. See annab täpse tähenduse väitele, et teooriat (T ') tõlgendatakse teoorias (T). Teadusfilosoofid on mõnikord katsetanud seda tõlgendusmõistet eesmärgiga täpsustada, mida tähendab ühe teooria taandatavus teisele. Kuid teaduslike teooriate vaheliste reduktsioonide realistlikud näited tunduvad olevat üldiselt palju peenemad, kui see lihtsameelne mudelteoreetiline idee võimaldab. Vaadake sissekannet füüsikavaheliste suhete kohta.

Neljas määratletavuse liik on teooria konkreetse seose mõistete paar, kaudne määratletavus ja selgesõnaline määratletavus. Vt esimese järgu mudeliteooria kande jaotist 3.3.

Kahjuks oli mudelteoreetiliste aksioomide kohta väga segane teooria, mis läks ka kaudse määratluse alla. XIX sajandi lõpuks oli matemaatiline geomeetria lakanud olemast enam kosmoseuuring ja sellest oli saanud teatud "geomeetriliste" aksioomidega vastavate struktuuride klasside uurimine. Geomeetrilised terminid, nagu 'punkt', 'joon' ja 'vahel', jäid ellu, kuid ainult aksioomide primitiivsete sümbolitena; neil polnud enam mingit tähendust seotud. Nii et vana küsimus, kas Euclidi paralleelne postulaat (väitena kosmose kohta) oli tuletatav Euclidi teistest eeldustest kosmose kohta, polnud geomeetrite jaoks enam huvitav. Selle asemel näitasid geomeetrid, et kui keegi kirjutab Eukleidi teiste eelduste ajakohase versiooni teooria (T) kujul,siis oli võimalik leida (T) mudeleid, mis ei rahulda paralleelset postulaati. (Lobachevski ja Kleini panuse selle saavutuse kohta vt 19. sajandi sissekannet geomeetria kohta.) David Hilbert avaldas 1899. aastal raamatu, milles ta konstrueeris sellised mudelid, kasutades täpselt äsja kirjeldatud tõlgendusmeetodit.

Probleemid tekkisid seetõttu, et Hilbert ja teised kirjeldasid, mida nad teevad. Ajalugu on keeruline, kuid juhtus laias laastus järgmist. XIX sajandi keskpaiga kestel märkasid inimesed näiteks, et abeli rühmas on miinusfunktsioon defineeritav väärtuste 0 ja + abil (nimelt: (- a) on element (b) selline, et (a + b = 0)). Kuna see miinuskirjeldus on tegelikult üks abeliumi rühmi määratlevatest aksioomidest, võime öelda (kasutades mõistet JD Gergonne, keda ei tohiks pidada vastutavaks selle hilisema kasutamise eest), et abeli rühmade aksioomid määratlevad kaudselt miinus. Tolle aja žargoonis ei öeldud, et aksioomid määratlevad funktsiooni miinus, vaid et nad määratlevad mõiste miinus. Oletame nüüd, et vahetame ümber ja proovime määratleda plussi miinus ja 0 abil. Nii ei saa seda teha, kuna ühel võib olla kaks abeli gruppi, millel on sama 0 ja miinus, kuid erinevad plussfunktsioonid. Selle asemel, et seda öelda, jõudsid üheksateistkümnenda sajandi matemaatikud järeldusele, et aksioomid määratlevad plussi ainult osaliselt miinus ja 0. Mõeldes nii palju alla, nentisid nad, et aksioomid moodustavad mõistete pluss, miinus ja 0 kaudse määratluse. koos ja et see kaudne määratlus on vaid osaline, kuid see ütleb nende mõistete kohta täpselt nii palju, kui me peame teadma.nad jätkasid, et aksioomid moodustavad koos mõistete pluss, miinus ja 0 vaikimisi määratluse ja et see kaudne määratlus on ainult osaline, kuid see ütleb nende mõistete kohta täpselt nii palju, kui me peame teadma.nad jätkasid, et aksioomid moodustavad koos mõistete pluss, miinus ja 0 vaikimisi määratluse ja et see kaudne määratlus on ainult osaline, kuid see ütleb nende mõistete kohta täpselt nii palju, kui me peame teadma.

Võib küsida, kuidas võib juhtuda, et viiskümmend aastat ei vaidlustanud keegi seda jama. Tegelikult vaidlustasid mõned inimesed selle, eriti geomeeter Moritz Pasch, kes oma Vorlesungen über Neuere Geometrie (1882) 12. jaotises rõhutas, et geomeetrilised aksioomid ei ütle meile midagi punkti, joone jne tähenduste kohta. ütlesid, aksioomid annavad meile seoseid mõistete vahel. Kui mõelda struktuurile omamoodi tellitud (n) - komplektide komplektina jne, siis saab klass (Mod (T)) (n) - ary-seose ja Paschi konto on sellega nõus meie omadega. Kuid ta ei suutnud üksikasju täpsustada ja on tõendeid selle kohta, et tema kaasaegsed (ja mõned uuemad kommentaatorid) arvasid, et ta ütles, et aksioomid ei pruugi määrata punkti ja joone tähendusi,kuid need määravad kindlaks relatsiooniterminite, näiteks "vahel" ja "vahejuhtum", tingimused! Frege kaudse määratluse õpetuse lammutamine oli meisterlik, kuid oli liiga hilja, et päästa Hilbert oma Grundlagen der Geometrie alguses öeldes, et tema aksioomid kirjeldavad suhete "valet" täpset ja matemaatiliselt sobivat kirjeldust. " 'ja' ühilduva 'vahel. Õnneks räägib Hilberti matemaatika iseenda eest ja neist filosoofilistest faux pas'dest saab lihtsalt mööda minna. Näib, et mudeli-teoreetiline konto, mida võtame nüüd selle töö liini korrektse kirjeldusena, näis olevat esmalt tõusnud 1890ndatel Giuseppe Peano ümbruse rühmas ja jõudis ingliskeelsesse maailma Bertrand Russelli matemaatikapõhimõtete kaudu 1903. aastal.kuid hilja päästis Hilbert sellest, et ütles oma Grundlagen der Geometrie alguses, et tema aksioomid kirjeldavad "valet", "vahel" ja "ühilduvat" seoseid "täpselt ja matemaatiliselt adekvaatselt". Õnneks räägib Hilberti matemaatika iseenda eest ja neist filosoofilistest faux pas'dest saab lihtsalt mööda minna. Näib, et mudeli-teoreetiline konto, mida võtame nüüd selle töö liini korrektse kirjeldusena, näis olevat esmalt tõusnud 1890ndatel Giuseppe Peano ümbruse rühmas ja jõudis ingliskeelsesse maailma Bertrand Russelli matemaatikapõhimõtete kaudu 1903. aastal.kuid hilja päästis Hilbert sellest, et ütles oma Grundlagen der Geometrie alguses, et tema aksioomid kirjeldavad "valet", "vahel" ja "ühilduvat" seoseid "täpselt ja matemaatiliselt adekvaatselt". Õnneks räägib Hilberti matemaatika iseenda eest ja neist filosoofilistest faux pas'dest saab lihtsalt mööda minna. Näib, et mudeli-teoreetiline konto, mida võtame nüüd selle töö liini korrektse kirjeldusena, näis olevat esmalt tõusnud 1890ndatel Giuseppe Peano ümbruse rühmas ja jõudis ingliskeelsesse maailma Bertrand Russelli matemaatikapõhimõtete kaudu 1903. aastal. Õnneks räägib Hilberti matemaatika iseenda eest ja neist filosoofilistest faux pas'dest saab lihtsalt mööda minna. Näib, et mudeli-teoreetiline konto, mida võtame nüüd selle töö liini korrektse kirjeldusena, näis olevat esmalt tõusnud 1890ndatel Giuseppe Peano ümbruse rühmas ja jõudis ingliskeelsesse maailma Bertrand Russelli matemaatikapõhimõtete kaudu 1903. aastal. Õnneks räägib Hilberti matemaatika iseenda eest ja neist filosoofilistest faux pas'dest saab lihtsalt mööda minna. Näib, et mudeli-teoreetiline konto, mida võtame nüüd selle töö liini korrektse kirjeldusena, näis olevat esmalt tõusnud 1890ndatel Giuseppe Peano ümbruse rühmas ja jõudis ingliskeelsesse maailma Bertrand Russelli matemaatikapõhimõtete kaudu 1903. aastal.

3. Mudeliteoreetiline tagajärg

Oletame, et (L) on allkirjakeel (K, T) on lausekomplekt, mis koosneb lausetest (L) ja (phi) on lause ((L)) lause. Siis suhe

) Mod (T) alamkood \ Mod (phi))

väljendab, et iga allkirja (K) struktuur, mis on (T) mudel, on ka (phi) mudel. Seda nimetatakse mudelateoreetiliseks tagajärgseoseks ja see on lühidalt kirjutatud

[T \ vDash \ phi)

(VDash) topelt kasutamine on ebaõnn. Kuid konkreetsel juhul, kui (L) on esimese astme, ütleb täielikkuse teoreem (vt klassikalise loogika sissekannet), et '(T \ vDash \ phi)' kehtib ainult siis, kui tõendusmaterjal on olemas. (phi) saidist (T), tavaliselt kirjutatav suhe

[T \ vdash \ phi)

Kuna (vDash) ja (vdash) väljendavad antud juhul täpselt sama seost, väldivad modelliteoreetikud sageli (vDash) topeltkasutamist, kasutades mudelateoreetilise tagajärje jaoks (vdash). Kuid kuna alljärgnev ei piirdu ainult esimese astme keeltega, soovitab ohutus järgida siin (vDash).

Enne XIX sajandi keskpaika õpetasid loogikaõpikud õpilasele tavaliselt, kuidas kontrollida argumendi paikapidavust (öelda inglise keeles), näidates, et sellel on üks paljudest tüüpvormidest, või parafraseerides selle selliseks vormiks. Standardvormid olid inglise keeles süntaktilised ja / või semantilised argumentatsioonivormid. Protsess oli ohtlik: semantilised vormid pole põhimõtteliselt peaaegu pinnal nähtavad ja puudub puhtalt süntaktiline vorm, mis tagaks argumendi paikapidavuse. Sel põhjusel oli enamikul vanadest õpikutest pikk osa eksimustest - viisidest, kuidas kehtetu argument võib paika pidada.

Aastal 1847 muutis George Boole seda korraldust. Näiteks argumendi kinnitamiseks

Kõik monarhid on inimesed. Ükski inimene pole eksimatu. Seetõttu pole ükski eksimatu olend monarh.

Boole tõlgendaks sümboleid (P, Q, R) klasside nimedena:

(P) on kõigi monarhide klass.

(Q) on kõigi inimeste klass.

(R) on kõigi eksimatute olendite klass.

Siis osutab ta, et algne argument parafraseerub setteoreetiliseks tagajärjeks:

[(P \ subseteq Q), (Q \ cap R = 0) vDash (R \ cap P = 0))

(See näide on pärit Stanley Jevonsilt, 1869. Boole enda konto on idiosünkraatiline, kuid usun, et Jevonsi näide esindab täpselt Boole kavatsusi.) Kirjutaksime täna pigem (forall x (Px \ rightarrow Qx)) kui (P \ subseteq Q), kuid see on põhimõtteliselt (P \ subseteq Q) standardmääratlus, seega on erinevus meie ja Boole vahel väike.

Kuivõrd nad järgivad Boole, kinnitavad kaasaegsed loogikaõpikud, et ingliskeelsed argumendid on õigustatud, taandades need mudelteoreetilistele tagajärgedele. Kuna mudelteoreetiliste tagajärgede klassil, vähemalt esimese astme loogikas, puudub ükski vanade argumendivormide ebamäärasus, pole selle stiili loogika õpikutes enam ammu peatükki eksimuste kohta.

Kuid on üks hoiatus, mis säilib vanadest õpikutest: Kui vormistate oma argumendi viisil, mis ei ole mudelteoreetiline tagajärg, ei tähenda see, et argument pole kehtiv. See võib tähendada ainult seda, et te ei analüüsinud argumendi mõisteid piisavalt sügavalt enne vormistamist. Vanades õpikutes arutati seda ragbag-jaotises „teemad” (st vihjeid argumentide leidmiseks, millest võisite mööda vaadata). Siin on näide Hispaania Peetri Hispaania 13. sajandi Summulae Logicales'ist:

'Seal on isa. Seetõttu on laps.” … Kust pärineb selle argumendi paikapidavus? Suhtest. Maksimum on: kui üks korreleeritud paaridest on positsioneeritud, siis on ka teine.

Hilbert ja Ackermann, tõenäoliselt õpik, mis moodsa stiili loomiseks kõige enam tegi, arutavad oma jaotises III.3 väga sarnast näidet: „Kui on poeg, siis on ka isa”. Nad märgivad, et iga katse õigustada seda sümboolika abil

) eksisteerib xSx \ paremnool \ eksisteerib xFx)

on hukule määratud. "Selle väite tõestamine on võimalik ainult siis, kui analüüsime kontseptuaalselt kahe tekkiva predikaadi tähendusi", nagu nad illustreerivad. Ja muidugi leiab analüüs täpselt seose, millele Hispaania Peeter viitas.

Teisest küljest, kui teie ingliskeelne argument osutub kehtetuks mudelateoreetiliseks tagajärjeks, võib tagajärje vastanäide anda vihjeid selle kohta, kuidas kirjeldada olukorda, mis muudaks teie väite tõeseks ja järelduse valeks. Kuid see pole tagatud.

Võib tõstatada mitmeid küsimusi selle kohta, kas tänapäevane õpikuprotseduur tõepoolest loogilise tagajärje mõistlikku mõistet kajastab. Näiteks Boole puhul on kõik set-teoreetilised tagajärjed, millele ta tugineb, hõlpsasti tõestatavad formaalse tõestusega esimese järgu loogikas, isegi ilma setteoreetiliste aksioomideta; ja terviklikkuse teoreemi järgi (vt klassikalise loogika sissekannet) kehtib sama ka esimese järgu loogika kohta. Kuid mõne muu loogika puhul pole see kindlasti tõsi. Näiteks teatud teooria loogika jaoks eeldab mudelateoreetiline tagajärgsuhe teatud fakte aja füüsilise struktuuri kohta. Samuti, nagu Boole ise märkis, nõuab tema tõlge ingliskeelsest argumendist selle setteoreetilisele vormile meid uskuma, et iga argumendis kasutatud omaduse korral tulebseal on vastav klass kõikidest asjadest, millel on vara. See jõuab ohtlikult Frege ebajärjekindla mõistmise aksioomi lähedale!

1936. aastal tegi Alfred Tarski ettepaneku määratleda argumentide loogiline tagajärg täielikult tõlgendatud ametlikus keeles. Tema ettepanek oli, et argument kehtib ainult siis ja ainult siis, kui: selle mitteloogiliste sümbolite mis tahes lubatud tõlgendamise korral, kui väited vastavad tõele, on järeldus ka selline. Tarski oletas, et lubatud tõlgenduste klassi saab keele semantikast lahti lugeda, nagu on kirjas tema tõe määratluses. Ta jättis määratlemata, millised sümbolid loetakse mitteloogilisteks; tegelikult lootis ta, et see vabadus võimaldab määratleda erinevaid vajadusi, eraldades võib-olla „loogilise” analüütilisest. Üks asi, mis muudab Tarski ettepaneku raskesti hinnatavaks, on see, et ta ignoreerib täielikult küsimust, mida me eespool arutasime, analüüsida mõisteid, et jõuda nendevaheliste loogiliste seosteni. Ainus usutav seletus, mida ma selle jaoks näen, peitub tema sulges märkuses selle kohta

vaja on kõrvaldada kõik määratletud märgid, mis võivad esineda asjaomastes lausetes, st asendada need primitiivsete märkidega.

See viitab mulle, et ta soovib, et tema ürgsed märgid oleksid sättega ühehäälsed. Kuid siis on see juhuslikult juhuslik, kui tema mõiste loogiline tagajärg hõlmab kõike, mida tavaliselt loetakse loogiliseks tagajärjeks.

Ajaloolased märgivad sarnasust Tarski ettepaneku ja 1837. aasta Bernard Bolzano Wissenschaftslehre'i jaotises 147 sisalduvaga. Nagu Tarski, määratleb ka Bolzano väite kehtivuse seoses sellega seotud perekondade tõesusega. Erinevalt Tarskist teeb Bolzano oma ettepanekud rahvakeelsete väidete, mitte aga täpselt määratletud semantikaga formaalse keele lausete jaoks.

Kogu selle jaotise kohta vaadake ka sissekannet loogiliste tagajärgede kohta.

4. Väljendusjõud

Lause (S) määratleb mudeli klassi (Mod (S)). Arvestades kahte keelt (L) ja (L '), saame neid võrrelda, küsides, kas iga klass (Mod (S)) koos (S) -lausega on (L), on ka vormi klass (Mod (S ')), kus (S') on lause (L '). Kui vastus on jah, ütleme, et (L) on taandatav väärtuseks (L ') või et (L') on vähemalt sama väljendusrikas kui (L).

Näiteks kui (L) on identiteediga esimese astme keel, mille allkiri koosneb 1-osalistest predikaat sümbolitest, ja (L ') on keel, mille laused koosnevad neljast siloloogilisest vormist (All (A) on (B), mõned (A) on (B), ei (A) on (B), mõned (A) pole (B)) kasutavad samad predikaatsümbolid, siis on (L ') taandatav väärtuseks (L), kuna siloloogilised vormid on avaldatavad esimese järgu loogikas. (On tülisid selle kohta, milline on õige viis nende väljendamiseks; vt kannet traditsioonilisel opositsiooni ruudul.) Kuid esimese astme keel (L) ei ole kindlasti taandatav keeleks (L ') sillogismidest, kuna (L) -es võime kirjutada lause, milles öeldakse, et täpselt kolm elementi rahuldavad (Px), ja seda pole võimalik öelda ainult siloloogiliste vormide abil. Või liikuge teist teed,kui moodustame kolmanda keele (L ''), lisades (L) kvantifikaatori (Qx) tähendusega „Seal on loendamatult palju elemente (x) nii, et…”, siis triviaalselt (L) on taandatav väärtuseks (L ''), kuid allapoole suunatud Loewenheim-Skolemi teoreem näitab korraga, et (L '') ei ole taandatav väärtuseks (L).

Need mõisted on kasulikud andmebaasi päringkeelte tugevuse analüüsimisel. Võime mõelda andmebaasi võimalikele olekutele kui struktuuridele ja lihtsast jah / ei päringust saab lause, mis kutsub esile vastuse jah, kui andmebaas on selle mudel ja teisiti ei. Kui ühte andmebaasi päringkeelt ei saa teisega redutseerida, võib esimene väljendada päringut, mida teises ei saa väljendada.

Seega vajame tehnikaid keelte väljendusjõudude võrdlemiseks. Üks võimsamaid saadaolevaid tehnikaid koosneb Ehrenfeuchti ja Fraïssé edasi-tagasi mängudest kahe mängija Spoileri ja paljundusaparaadi vahel; vaata üksikasju loogika ja mängude sisestusest. Kujutage näiteks ette, et me mängime tavalist esimese järjekorra edasi-tagasi mängu (G) kahe struktuuri (A) ja (B) vahel. Nende mängude teooria kehtestab, et kui mõni esimese järgu lause (phi) vastab tõele ühes järgmistes: (A) ja (B), siis on olemas arv (n), mis on arvutatav (phi) koos atribuudiga, millele Spoileril on (G) strateegia, mis tagab, et ta võidab maksimaalselt (n) etapis. Vastupidi, selleks, et näidata, et esimese astme loogika ei erista (A) ja (B), piisab, kui näidata, et iga piiratud (n)Paljundusaparaadil on strateegia, mis tagab, et ta ei kaota (G) esimeste (n) sammudega. Kui meil õnnestub seda näidata, järeldub, et ükski keel, mis eristab (A) ja (B), ei ole taandatav struktuuride (A) ja (B) esimese astme keeleks.

Need edasi-tagasi mängud on tohutult paindlikud. Alustuseks on neil piiratud struktuuridel sama palju mõtet kui lõpmatutel; paljud teised klassikalise mudelateooria tehnikad eeldavad, et struktuurid on lõpmatud. Neid saab sujuvalt kohandada ka paljude mittejärjekorras olevate keelte jaoks.

1969. aastal kasutas Per Lindström edasi-tagasi mänge, et anda mõned abinõud esimese astme loogikast selle väljendusjõu osas. Üks tema teoreemidest ütleb, et kui (L) on allkirjaga keel, (K, L) on suletud kõigi esimese järgu süntaktiliste toimingute korral ja (L) kuuletub Loewenheimi-Skolemi allapoole suunatud teoreemile üksikud laused ja kompaktsuse teoreem, siis on (L) taandatav allkirjastamise esimese astme keelde (K). Need teoreemid on väga atraktiivsed; hea ülevaate leiate Ebbinghausi, Flumi ja Thomase XII peatükist. Kuid nad pole kunagi oma lubadusi täitnud. Teiste loogikate sarnaseid iseloomustusi on olnud raske leida. Isegi esmajärgulise loogika jaoks on natuke raske aru saada, mida iseloomustused meile ütlevad. Aga väga laias laastus öeldes:nad ütlevad meile, et esimese astme loogika on ainulaadne loogika, millel on kaks omadust: (1) saame seda kasutada piiritletud mustrite kohta meelevaldselt keerukate asjade väljendamiseks ja (2) ühe lõpmatu kardinaali ja teise eristamiseks on lootusetu.

Need kaks omadust (1) ja (2) on lihtsalt esimese astme loogika omadused, mis võimaldasid Abraham Robinsonil ehitada oma ebastandardse analüüsi. Taust seisneb selles, et Leibniz kasutas diferentsiaal- ja integraalarvutuse leiutamisel lõpmatuid, st numbreid, mis on suuremad kui 0 ja väiksemad kui kõik 1/2, 1/3, 1/4 jne. Selliseid reaalarvu kahjuks pole. XIX sajandil kirjutati ümber kõik Leibnizi stiilis määratlused ja tõendid, et rääkida piiridest, mitte lõpmatutest. Olgu (mathbb {R}) struktuur, mis koosneb reaalarvude väljast koos struktuurifunktsioonidega, millele meil on nimi anda: kindlasti pluss ja kellaajad, võib-olla järjekord, täisarv, funktsioonid sin ja logi jne. Olgu (L) esimese astme keel, mille allkiri on (mathbb {R}).(L) ekspressiivse tugevuse tõttu võime kirjutada suvalise arvu teoreeme arvu ((L) lausetena). (L) väljendusliku nõrkuse tõttu ei saa mingil viisil väljendada (L), et (mathbb {R}) pole lõpmatuid tähti. Tegelikult kasutas Robinson kompaktsuse teoreemi struktuuri (mathbb {R} ') ehitamiseks, mis on täpselt sama lause {(L) lause nagu mudel (mathbb {R}), kuid millel on lõpmatuseni. Nagu Robinson näitas, saame kopeerida Leibnizi argumente, kasutades lõpmatähiseid jaotises (mathbb {R} '), ja nii tõestada, et arvutuse erinevad teoreemid on tõesed ka (mathbb {R}'). Kuid need teoreemid on väljendatavad rakenduses (L), seega peavad need olema tõesed ka tekstis (mathbb {R}).mingil viisil ei saa väljendada (L), et (mathbb {R}) pole lõpmatuid tähti. Tegelikult kasutas Robinson kompaktsuse teoreemi struktuuri (mathbb {R} ') ehitamiseks, mis on täpselt sama lause {(L) lause nagu mudel (mathbb {R}), kuid millel on lõpmatuseni. Nagu Robinson näitas, saame kopeerida Leibnizi argumente, kasutades lõpmatähiseid jaotises (mathbb {R} '), ja nii tõestada, et arvutuse erinevad teoreemid on tõesed ka (mathbb {R}'). Kuid need teoreemid on väljendatavad rakenduses (L), seega peavad need olema tõesed ka tekstis (mathbb {R}).mingil viisil ei saa väljendada (L), et (mathbb {R}) pole lõpmatuid tähti. Tegelikult kasutas Robinson kompaktsuse teoreemi struktuuri (mathbb {R} ') ehitamiseks, mis on täpselt sama lause {(L) lause nagu mudel (mathbb {R}), kuid millel on lõpmatuseni. Nagu Robinson näitas, saame kopeerida Leibnizi argumente, kasutades lõpmatähiseid jaotises (mathbb {R} '), ja nii tõestada, et arvutuse erinevad teoreemid on tõesed ka (mathbb {R}'). Kuid need teoreemid on väljendatavad rakenduses (L), nii et need peavad olema tõesed ka tekstis (mathbb {R}).saame kopeerida Leibnizi argumente, kasutades lõpmatähiseid rakenduses (mathbb {R} '), ja nii tõestada, et arvutuse erinevad teoreemid vastavad tõele ka tekstis (mathbb {R}'). Kuid need teoreemid on väljendatavad rakenduses (L), seega peavad need olema tõesed ka tekstis (mathbb {R}).saame kopeerida Leibnizi argumente, kasutades lõpmatähiseid rakenduses (mathbb {R} '), ja nii tõestada, et arvutuse erinevad teoreemid vastavad tõele ka tekstis (mathbb {R}'). Kuid need teoreemid on väljendatavad rakenduses (L), seega peavad need olema tõesed ka tekstis (mathbb {R}).

Kuna lõpmatähtsaid argumente on tavaliselt lihtsam visualiseerida kui piire kasutavaid argumente, on ebastandardne analüüs matemaatiliste analüütikute jaoks kasulik tööriist. Jacques Fleuriot oma doktorikraadiga lõputöö (2001) automatiseeris ebastandardse analüüsi tõestusteooriat ja kasutas seda mõne Newtoni Principia tõestuse mehhaniseerimiseks.

5. Mudelid ja modelleerimine

Nähtuse modelleerimine on sellise formaalse teooria konstrueerimine, mis seda kirjeldab ja selgitab. Tihedalt seotud tähenduses modelleerite süsteemi või struktuuri, mida plaanite ehitada, kirjutades selle kirjelduse. Need on mudeli teooriast väga erinevad „mudeli” tajud: nähtuse või süsteemi „mudel” ei ole struktuur, vaid teooria, sageli ametlikus keeles. Universaalne modelleerimiskeel, lühidalt UML, on ametlik keel, mis on loodud just selleks. On teatatud, et Austraalia merevägi palkas kunagi modelliteoreetiku töökohaks “hüdrodünaamiliste nähtuste modelleerimine”. (Palun ärge valgustage neid!)

Väike ajalugu näitab, kuidas sõnal „mudel” oli neid kahte erinevat kasutusotstarvet. Hilis ladina keeles oli modellus mõõteseade näiteks vee või piima mõõtmiseks. Keele ebamäärasuste järgi genereeris sõna inglise keeles kolm erinevat sõna: hallitus, moodul, mudel. Sageli surub aine kogust mõõtv seade ainele vormi. Me näeme seda juustuvormi ja ka metallitähtedega (17. sajandi alguses nimega “moduli”), mis kannavad trükivärvi paberile paberit. Nii tähendab „mudel” käes olevat objekti, mis väljendab mõne muu maailma objekti kujundust: kunstniku mudel kannab seda kuju, mida kunstnik kujutab, ja Christopher Wreni St Pauluse katedraali „moodul” juhendab ehitajaid.

Juba 17. sajandi lõpus võis sõna 'mudel' tähendada objekti, mis näitab kuju mitte reaalmaailma objektide, vaid matemaatiliste konstruktsioonide järgi. Leibniz kiitis, et ta ei vaja matemaatika tegemiseks mudeleid. Teised matemaatikud kasutasid hea meelega huvitavate pindade kipsist või metallist mudeleid. Mudeliteooria mudelid ilmusid esmakordselt sedalaadi mudeli abstraktsetena, pinna määratleva võrrandi asemel teooriatega. Teisest küljest võiks jääda reaalse maailma objektide juurde, kuid näidata nende vormi pigem teooria kui käes oleva füüsilise koopia kaudu; 'modelleerimine' ehitab sellist teooriat.

Meie poolne olukord on segane, kui teadlane kirjeldab nähtust maailmas võrrandi abil, näiteks diferentsiaalvõrrandina, mille lahenditeks on eksponentsiaalfunktsioonid. Kas mudel koosneb võrrandist koosnevast teooriast või on need eksponentsiaalfunktsioonid ise nähtuse mudelid? Sedalaadsed näited, kus teooria ja struktuurid annavad sisuliselt sama teavet, toetavad Patrick Suppese väidet, et “mudeli mõiste tähendus on matemaatikas ja empiirilistes teaduses sama” (viidatud tema 1969. aasta raamatu lk 12). allpool). Mitmed teadusfilosoofid on järginud ideed kasutada teadusliku modelleerimise jaoks mudelteoreetiliste mudelite mitteametlikku versiooni. Mõnikord kirjeldatakse mudeleid kui mittekeelelisi - see võib olla raskesti ühitatav meie ülaltoodud jaotises 1 esitatud mudelite määratlusega.

Kognitiivne teadus on üks valdkond, kus erinevus mudelite ja modelleerimise vahel kipub hägustuma. Kognitiivse teaduse keskne küsimus on see, kuidas me oma mõtetes fakte või võimalusi esindame. Kui need vaimsed esindused vormistada, muutuvad need millekski "nähtuste mudeliteks". Kuid see on tõsine hüpotees, et tegelikult on meie mentaalsetel representatsioonidel palju ühist lihtsate set-teoreetiliste struktuuridega, nii et ka nemad on teoreetilises mõttes "mudelid". 1983. aastal avaldati kaks mõjukat kognitiivteaduse teost, mõlemad pealkirjaga Mental Models. Esimene, mida toimetasid Dedre Gentner ja Albert Stevens, käsitles inimeste füüsika põhifaktide „kontseptualiseerimist”; see kuulub otse nähtuste modelleerimise maailma. Teine, mille autor on Philip Johnson-Laird, on suuresti arutluskäigu kohta,ja kutsub meie mõistes üles mitu mudelteoreetilist semantikat. Johnson-Lairdi traditsiooni uurijad kipuvad oma lähenemist nimetama „mudeliteooriaks“ja näevad seda mingis mõttes seotuna sellega, mida oleme nimetanud mudelateooriaks.

Paistab, et pildid ja diagrammid hõljuvad keskmiselt teooriate ja mudelite vahel. Praktikas joonistavad modelliteoreetikud sageli ise pilte struktuuridest ja kasutavad pilte struktuuride väljamõtlemiseks. Teisest küljest pole piltidel tavaliselt silte, mis on mudelteoreetiliste struktuuride oluline omadus. Diagrammidega arutlemiseks on kiiresti kasvav töö ja selle töö valdavaks tendentsiks on piltide ja diagrammide nägemine pigem keele kui struktuuri vormina. Näiteks Eric Hammer ja Norman Danner (Allweini ja Barwise'i toimetatud raamatus vt bibliograafiat) kirjeldavad Venni diagrammide mudelteooriat; Venni diagrammid ise on süntaks ja mudelteooria on nende tähenduse komplektteoreetiline seletus.

Mudeeteoreetik Juri Gurevitš tutvustas abstraktseid olekumasinaid (ASM) abinõuna mudeliteoreetiliste ideede kasutamiseks arvutiteaduse spetsifikatsioonides. Veebisaidi Abstract State Machine andmetel (vt allpool muid Interneti-ressursse),

suvalise algoritmi saab selle loomuliku abstraktsiooni tasemel modelleerida vastava ASM-iga. … ASM-id kasutavad arvutusseisundite kirjeldamiseks klassikalisi matemaatilisi struktuure; struktuurid on hästi mõistetavad, täpsed mudelid.

Allpool viidatud Börgeri ja Stärgi raamat on autoriteetne ülevaade ASMidest ja nende kasutamisest.

Täna saate oma nime ja varanduse leida, kui leiate hea esindussüsteemi. Pole põhjust arvata, et iga selline süsteem sobib ilusti mudelateooria süntaksi / semantika raamistikku, kuid on üllatav, kui mudeliteoreetilised ideed ei anna selles valdkonnas jätkuvalt suurt panust.

Bibliograafia

Sissejuhatavad tekstid

• Doets, K., 1996, Basic Model Theory, Stanford: CSLI Publications.
• Hodges, W., 1997, Lühema mudeli teooria, Cambridge: Cambridge University Press.
• Manzano, M., 1999, mudeliteooria, Oxford: Oxford University Press.
• Rothmaler, P., 2000, Sissejuhatus mudeliteooriasse, Amsterdam: Gordon ja rikkumine.

Mudeliteoreetiline määratlus

• Frege, G., 1906, “Grundlagen der Geometrie”, Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung, 15: 293–309, 377–403, 423–430.
• Gergonne, J., 1818, “Essai sur la théorie de la définition”, Annales de Mathématiques Pures et Appliquées, 9: 1–35.
• Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie, Leipzig: Teubner.
• Hodges, W., 2008, “Tarski määratlusteooria”, Patterson, D. Uued esseed Tarski ja filosoofia kohta, Oxford: Oxford University Press, lk 94–132.
• Lascar, D., 1998, “Perspektiivsed ajaloolised uuringud, mis käsitlevad modifikatsioonide ja etalonide kasutamist”, Revue d'histoire des mathématiques, 4: 237–260.
• Mancosu, P., Zach, R. ja Badesa, C., 2009, “Matemaatilise loogika arendamine Russellist Tarski”, L. Haaparanta (toim), The Modern Logic Development, Oxford: Oxford University Press, lk 318–470.
• Pasch, M., 1882, Vorlesungen über Neuere Geometrie, Berliin: Springer-Verlag.
• Robinson, A., 1952, “Sümboolse loogika rakendamisest algebral”, Rahvusvahelise matemaatikute kongressi materjalid (Cambridge, MA, 1950, 1. köide), Providence, RI: American Mathematical Society, lk 686–694.
• Suppes, P., 1957, “Mõisteteooria” loogika sissejuhatuses (8. peatükk), Princeton, NJ: Van Nostrand.
• Tarski, A., 1954, “Panused mudeliteooriasse, mina”, Indagationes Mathematicae, 16: 572–581.

Mudeliteoreetiline tagajärg

• Blanchette, P., 1996, “Frege ja Hilbert järjepidevusest”, The Journal of Philosophy, 93: 317–336.
• Blanchette, P., 2012, Frege kontseptsioon loogikast, New York: Oxford University Press.
• Boole, G., 1847, Loogika matemaatiline analüüs, Cambridge: Macmillan, Barclay ja Macmillan.
• Etchemendy, J., 1990, loogiliste tagajärgede kontseptsioon, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Frege, G., 1971, Geomeetria alustest ja aritmeetika formaalsetest teooriatest, E. Kluge (trans.), New Haven: Yale University Press.
• Gómez-Torrente, M., 1996, “Tarski loogilisel tagajärjel”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 37: 125–151.
• Hodges, W. 2004, “Kontseptuaalse analüüsi olulisus ja tähelepanuta jätmine: Hilbert-Ackermann iii.3”, V. Hendricks et al. (toim), esmakordne loogika vaadatud, Berliin: Logos, lk 129–153.
• Kreisel, G., 1969, “Mitteametlik ranguse ja täielikkuse tõestamine”, ajakirjas J. Hintikka (toim), Matemaatika filosoofia, London: Oxford University Press, lk 78–94.
• Tarski, A., 1983, “Loogilise tagajärje kontseptsioonist”, tõlkinud A. Tarski, Loogika, semantika, metamaatika, J. Corcoran (toim.), Indianapolis: Hackett, lk 409–420.
• Van Benthem, J., 1991, [1983], Aja loogika: Ajaline ontoloogia ja ajaliku diskursuse variatsioonide mudelateoreetiline uurimine, Dordrecht: Reidel, 1983; teine trükk, Springer, 1991.

Ekspressiivne tugevus

• Cutland, N., 2009, ebastandardne analüüs ja selle rakendused, Cambridge: Cambridge University Press.
• Ebbinghaus, H.-D. ja Flum, J., 1999, Finite Model Theory, Berliin: Springer-Verlag.
• Ebbinghaus, H.-D., Flum, J. ja Thomas, W., 1984, Mathematical Logic, New York: Springer-Verlag.
• Fleuriot, J., 2001, geomeetria teoreemi tõestamise ja mittestandardse analüüsi kombinatsioon, rakendamine Newtoni Principiale, New York: Springer-Verlag.
• Immerman, N., 1999, kirjeldav keerukus, New York: Springer-Verlag.
• Libkin, L., 2004, Piiratud mudeliteooria elemendid, Berliin: Springer-Verlag.
• Loeb, P. ja Wolff, M. (toim.), 2000, töötava matemaatiku ebastandardne analüüs, Dordrecht: Kluwer.
• Robinson, A., 1967, “Kivi metafüüsika”, Matemaatikafilosoofia probleemid, I. Lakatos (toim), Amsterdam: Põhja-Holland, lk 28–40.

Mudelid ja modelleerimine

• Allwein, G. ja Barwise, J. (toim.), 1996, Logical Reasoning with Diagrams, New York: Oxford University Press.
• Börger, E. ja Stärk, R., 2003, Abstract State Machines: kõrgetasemelise süsteemi kavandamise ja analüüsi meetod, Berliin: Springer-Verlag.
• Fowler, M., 2000, UML Distilled, Boston: Addison-Wesley.
• Garnham, A., 2001, Mental Models and Interpretation of Anaphora, Philadelphia: Taylor and Francis.
• Gentner, D. ja Stevens, A. (toim.), 1983, Mental Models, Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
• Johnson-Laird, P., 1983, Mentaalsed mudelid: keele, järelduste ja teadvuse kognitiivse teaduse poole, Cambridge: Cambridge University Press.
• Meijers, A. (toim.), 2009, tehnoloogia- ja inseneriteaduste filosoofia, Amsterdam: Elsevier; vt peatükke W. Hodges, “Funktsionaalne modelleerimine ja matemaatilised mudelid”; R. Müller, “Mudeli mõiste, mudelite teooriad ja ajalugu”; ja N. Nersessian, “Mudelipõhine arutluskäik interdistsiplinaarses tehnilises plaanis”.
• Moktefi, A. ja Shin, S.-J. (toim.), 2013, Visuaalne põhjendamine diagrammidega, Basel: Birkhäuser.
• Morgan, MS ja Morrison, M. (toim), 1999, Models as Mediators, Cambridge: Cambridge University Press.
• Pullum, GK ja Scholz, BC, 2001, “Mudeliteoreetilise ja generatiivse-enumeratiivse süntaktilise raamistiku eristamise kohta”, arvutuslingvistika loogilistes aspektides (Lecture Notes in Computer Science: köide 2099), P. De Groote jt. (toim), Berliin: Springer-Verlag, lk 17–43.
• Stenning, K., 2002, Seeing Reason, Oxford: Oxford University Press.
• Suppes, P., 1969, Uuringud teaduse metodoloogia ja aluste kohta, Dordrecht: Reidel.

Akadeemilised tööriistad

	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

• mentalmodelsblog: Psüühilised mudelid inimese mõtlemises ja mõtestamises, autor Ruth Byrne.
• Algoritmilise mudeli teooria, autorid E. Graedel, D. Berwanger ja M. Hoelzel (Mathematische Grundlagen der Informatik, RWTH Aachen)
• Abstraktne riigimasin, autor Jim Huggins