Naturalism Matemaatika Filosoofias

Sisukord:

Naturalism Matemaatika Filosoofias
Naturalism Matemaatika Filosoofias

Video: Naturalism Matemaatika Filosoofias

Video: Naturalism Matemaatika Filosoofias
Video: Locke, Berkeley, & Empiricism: Crash Course Philosophy #6 2023, Märts
Anonim

Sisenemise navigeerimine

  • Sissesõidu sisu
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Sõprade PDF-i eelvaade
  • Teave autori ja tsitaadi kohta
  • Tagasi üles

Naturalism matemaatika filosoofias

Esmakordselt avaldatud Pühapäeval 24. augustil 2008; sisuline läbivaatamine teisipäeval, 26. märtsil 2013

Kaasaegse filosoofia kolm peamist naturalismi on metoodiline, ontoloogiline ja epistemoloogiline. Metoodiline naturalism väidab, et ainsad autoriteetsed standardid on teaduse standardid. Ontoloogiline ja epistemoloogiline naturalism väidavad vastavalt, et kõik üksused ja kõik kehtivad uurimismeetodid on teatud mõttes loomulikud. Viimaste aastakümnete matemaatikafilosoofias on metoodiline naturalism pälvinud lõviosa tähelepanu, seega keskendume sellele. Ontoloogilist ja epistemoloogilist naturalismi matemaatikafilosoofias käsitletakse lühidalt 6. osas.

  • 1. Metoodiline naturalism

    1.1 Matemaatiline antirevisionism

  • 2. Metoodilise naturalismi lähiajalugu

    • 2.1 Hiljutine taust
    • 2.2 Praegune taust
  • 3. Metoodilise naturalismi korrigeerimine

    • 3.1 Autoriteetne
    • 3.2 Piiriprobleem ja teaduslik meetod
    • 3.3 Metoodiline ühtsus?
    • 3.4 Sanktsiooni aste
    • 3.5 Standardid ja praktikud
    • 3.6 Laiemad naturalismid
  • 4. Naturalismi motiveerimine

    • 4.1 Naturalism on mõnes mõttes revolutsiooniline
    • 4.2 Argumentide kuritarvitamine kirjanduses
    • 4.3 Praegune edu
    • 4.4 Leping
    • 4.5 Ajalooline edu
  • 5. Heterogeenne naturalism

    • 5.1 Kas matemaatika on metoodiliselt autonoomne?
    • 5.2 Kui matemaatika on metoodiliselt autonoomne, kas see tõestab Maddy naturalismi?
  • 6. Ontoloogiline naturalism

    • 6.1 Loodusteadus kui ontoloogia vahekohtunik
    • 6.2 Kõik üksused on spontaemporaalsed
    • 6.3 Naturalismi antiplatonism ja epistemoloogiline naturalism
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Muud Interneti-ressursid
  • Seotud kirjed

1. Metoodiline naturalism

Metoodilisel naturalismil on matemaatika filosoofias kolm peamist ja seotud meelt. Esimene on see, et matemaatika filosoofias on ainsad autoriteetsed standardid loodusõpetuse (füüsika, bioloogia jne) standardid. Teine on see, et matemaatikafilosoofias on ainsad autoriteetsed standardid matemaatika ise. Kolmas, kahe esimese ühendamine, on see, et autoriteetsed standardid vastavad loodusõpetuse ja matemaatika standarditele. Me nimetame neid kolme naturalismi teaduslikuks, matemaatiliseks ja matemaatiliseks-cum-teaduslikuks. Pange tähele, et kogu selles kirjes hõlmavad „teaduse” ja sugulusterminid ainult loodusteadusi.

1.1 Matemaatiline antirevisionism

Naturalismil - „metoodoloogilisel” ja „edaspidi matemaatikafilosoofias” - näib olevat edaspidi tõlgendatav matemaatikale. Matemaatik-filosoof LEJ Brouwer töötas välja intuitionistliku matemaatika, mille eesmärk oli standard ('klassikalise') matemaatika ümber lükata ja asendada. Brouwer üritas intuitiivset matemaatikat filosoofiliselt motiveerida matemaatilise tõe intuitsioonipõhise ülevaate abil. Intuitsionistliku matemaatika hilisem eksponent on Michael Dummett, kes on keele nimel välja töötanud argumendid keelefilosoofiast, eriti tähendusteooriast. Kuid teaduslikud standardid lubavad vaieldamatult klassikalist intuitiivse matemaatika suhtes:isegi kui tänapäeva teadust saaks intuitiivselt täielikult ümber sõnastada - suur kui -, oleks see vähem lihtne ja tülikam kui tema praegune klassikalisel põhinev versioon. Matemaatikud kipuvad intuitiivset matemaatikat pidama ka klassikalisest matemaatikast madalamaks, kui seda tõlgendada selle rivaalina. Seetõttu ei ole ei Brouweri ega Dummeti intuitsioonismi ilmselt teaduslike ega matemaatiliste normidega sanktsioneeritud, mistõttu naturalism välistab nad kohtuväliselt. Tõepoolest, paljude oma poolehoidjate jaoks on see just naturalismi mõte. Selle mõte, arvatakse sageli, on blokeerida väljamõeldud rünnakud väljakujunenud erialadele, näiteks matemaatika, vähem turvaliste metoodikate abil. Seetõttu ei ole ei Brouweri ega Dummeti intuitsioonismi ilmselt teaduslike ega matemaatiliste normidega sanktsioneeritud, mistõttu naturalism välistab nad kohtuväliselt. Tõepoolest, paljude oma poolehoidjate jaoks on see just naturalismi mõte. Selle mõte, arvatakse sageli, on blokeerida väljamõeldud rünnakud väljakujunenud erialadele, näiteks matemaatika, vähem turvaliste metoodikate abil. Seetõttu ei ole ei Brouweri ega Dummeti intuitsioonismi ilmselt teaduslike ega matemaatiliste normidega sanktsioneeritud, mistõttu naturalism välistab nad kohtuväliselt. Tõepoolest, paljude oma poolehoidjate jaoks on see just naturalismi mõte. Selle mõte, arvatakse sageli, on blokeerida väljamõeldud rünnakud väljakujunenud erialadele, näiteks matemaatika, vähem turvaliste metoodikate abil.

2. Metoodilise naturalismi lähiajalugu

2.1 Hiljutine taust

Kaasaegne huvi naturalismi vastu tuleneb Quine'ist, kelle naturalism on tema hilisemates töödes silmatorkav. Tüüpiline tsitaat on see, et naturalism on "tõdemus, et tegelikkus tuleb tuvastada ja kirjeldada teaduses endas, mitte mingis varasemas filosoofias," (Quine 1981, 21). Teine suur mõjutaja on Hilary Putnam, kes sõnastab oma teadusliku naturalismi järgmiselt:

… On rumal nõustuda põhjusega arvata, et p õigustab p-i aktsepteerimist kõigis teaduslikes olukordades, ja seejärel lisada: “aga isegi see pole piisavalt hea”. Sellist otsust saab teha ainult siis, kui aktsepteeritakse trans-teaduslikku meetodit kui teaduslikku meetodit paremat; kuid sellel filosoofil pole vähemalt mingit huvi seda teha. (Putnam 1971, 356)

Seega hinnatakse matemaatikat sellest lähtuvalt teaduslike standardite järgi, sest kõik on. Veelgi enam, Quine ja Putnam väidavad, et need standardid karistavad platonistlikku matemaatikat, kuna matemaatika ja selle platonist konstruktiivne on meie parimate teadusteooriate hädavajalik osa.

Ehkki naturalism kui matemaatikafilosoofia eneseteadlik positsioon ilmneb kõige paremini Quine'i puhul, on nagu alati eelkäijaid. Empiiriline traditsioon selle erinevates näidetes (loogiline positivism, Mill, Hume jt) on kõige ilmsem eelkäija, ehkki Kiinase-eelse empiiriku ja tänapäevaste naturalistide vahel on olulisi erinevusi. Teadusliku naturalismi tõus matemaatikafilosoofias langeb kokku ka laiema teadusliku naturalismi tõusuga, osaliselt ka omistatud Quine'ile, kes näeb, et kogu filosoofia - mitte ainult matemaatikafilosoofia - toimub loodusõpetuses. Naturalism on käsikäes ka traditsiooniliste filosoofiliste argumenteerimisviiside suhtes üldiselt levinud pessimismiga.

Naturalismi mõni versioon on tänapäeval atraktiivne peaaegu kõigile filosoofidele. See, et matemaatika ja loodusteadused on parimad, mis meil on, näib olevat lai, mida filosoofia peaks püüdma teadvustada ja millele toetuda, mitte ignoreerima. Küsimus on selles, kuidas täpselt seda teha.

2.2 Praegune taust

Viimase paarikümne aasta jooksul on naturalismi vastu tekkinud suur huvi. 1997. aasta oli hiljutise matemaatikafilosoofia jaoks oluline aasta, kuna ilmus neli raamatut, mis tutvustasid viie juhtiva matemaatikafilosoofi positsioone: John Burgess ja Gideon Rosen "Objektita objekt", Penelope Maddy naturalism matemaatikas, Michael Resniku matemaatika nagu mustriteadus ja Stewart Shapiro matemaatikafilosoofia. Kõik neli raamatut on erineval määral ja naturalistlikud: kaks esimest on naturalistlikud manifestid, kolmas propageerib Quineani teaduslikku naturalismi ja viimane, ehkki peamiselt muude küsimustega seotud, sümpatiseerib naturalismi. John Burgessi naturalism,esmakordselt oma (1983) ja viimase paari aasta jooksul koos oma kolleegi Gideon Roseniga (1997, 2005) välja töötatud teksti, võib seda kõige loomulikumalt tõlgendada kui matemaatilise-kummiteadusliku naturalismi versiooni (1997, 211). Penelope Maddy naturalism on heterogeenne naturalismi vorm, mis eristab õiget matemaatikat ja matemaatikafilosoofiat, hõlmates matemaatilist naturalismi endise kohta ja teaduslikku naturalismi viimase kohta (punkt 5). Teine Maddy (1997) soovitatud seisukoht on põhjalik matemaatiline naturalism, mis võtab matemaatilisi norme autoriteetseteks nii matemaatikas kui ka selle filosoofias. Naturalism on naturalismi heterogeenne vorm, mis eristab õiget matemaatikat ja matemaatikafilosoofiat, hõlmates matemaatilist naturalismi endise kohta ja teaduslikku naturalismi viimase kohta (punkt 5). Teine Maddy (1997) soovitatud seisukoht on põhjalik matemaatiline naturalism, mis võtab matemaatilisi norme autoriteetseteks nii matemaatikas kui ka selle filosoofias. Naturalism on naturalismi heterogeenne vorm, mis eristab õiget matemaatikat ja matemaatikafilosoofiat, hõlmates matemaatilist naturalismi endise kohta ja teaduslikku naturalismi viimase kohta (punkt 5). Teine Maddy (1997) soovitatud seisukoht on põhjalik matemaatiline naturalism, mis võtab matemaatilisi norme autoriteetseteks nii matemaatikas kui ka selle filosoofias.

Kvalifikatsioonide eiramisel võib naturalismi peamised tänapäevased versioonid koos nende esindajate pooldajatega esitada järgmiselt:

Õige matemaatika

Matemaatika filosoofia

Teaduslik

(Quine)

Teaduslik Teaduslik
Matemaatiline-cum-teaduslik

(Burgess)

Matemaatiline-cum-

teaduslik

Matemaatiline-cum-

teaduslik

Matemaatiline

(?)

Matemaatiline Matemaatiline
Heterogeenne

(Maddy 1997)

Matemaatiline Teaduslik

Matemaatika õigete väidete ja matemaatikafilosoofia erinevuse illustreerimiseks käsitlege 2004. aastal tõestatud varasema Green-Tao teoreemi näidet, milles öeldakse, et algarvude jada sisaldab meelevaldselt pikki aritmeetilisi astmeid (kuid muidugi mitte lõpmata pikk); viimaste näidetena võib võtta platonisti väite, et number kaks on olemas ja see on abstraktne, või väite, et kuna matemaatilisi entiteete luuakse, mitte avastatakse, pole ebatäpsed määratlused lubatud. Iga filosoofi jaoks tuleb Green-Tao teoreemi ja selle tõestust hinnata esimese veeru standardite järgi. Näiteks,Quine aktsepteerib teooriat siis ja ainult siis, kui see on osa teaduse parimatest süstematiseerimistest (mille puhul eeldatakse, et põhimõtted, millest see tuletatakse, ja loogika, mille alusel see nendest põhimõtetest tuletatakse) on olemas. Sarnaselt tuleb iga konkreetse filosoofi jaoks teise veeru standardite abil hinnata platonismi ja ebapraktilisuse piiratust. Näiteks aktsepteerib Quine platonismi, kuna ta peab seda matemaatika teaduslikult sanktsioneeritud tõlgenduseks: tema arvates on loodusteaduste parimal süstematiseerimisel sisalduv matemaatika platooniline. Quine aktsepteerib platonismi, kuna ta peab seda matemaatika teaduslikult sanktsioneeritud tõlgenduseks: tema arvates on loodusteaduste parimal süstematiseerimisel sisalduv matemaatika platooniline. Quine aktsepteerib platonismi, kuna ta peab seda matemaatika teaduslikult sanktsioneeritud tõlgenduseks: tema arvates on loodusteaduste parimal süstematiseerimisel sisalduv matemaatika platooniline.

Puuduvad selged näited seisukohast, et matemaatilised standardid peaksid olema matemaatikafilosoofias autoriteetsed, sellest ka küsimärk. David Lewis flirdis seda seisukohta oma monograafias teleteooria kohta (1991, viii – ix, 54), kuid oli selleks ajaks (1993) juba selle ümber lükanud. Seda seisukohta viitavad märkused Maddy (1997), kuigi nagu näeme 5. osas, tõlgendatakse Maddy (1997) loomulikumalt naturalismi heterogeense vormi edendajana. Mitmed teised matemaatikafilosoofid on samuti tunnustatud looduseuurijad, näiteks Alan Baker (2001) ja Mark Colyvan (2001).

3. Metoodilise naturalismi korrigeerimine

Nagu paljud -ismid, peetakse ka naturalismi paremini õpetliku tähendusega orientatsiooniks kui õpetuseks per se. Sellegipoolest võime proovida seda selgitada mitmes mõõtmes.

3.1 Autoriteetne

Kuidas peaksime mõistma väidet, et mõni standardikomplekt peaks olema matemaatikafilosoofias autoriteetne? Üldise võime säilitada, viidates X-standarditele, meie huvipakkuvad juhtumid on „teaduslik”, „matemaatiline” või „teaduslik-cum-matemaatiline”. Siin on mõned (mittetäielikud) asutuse nõude lugemised:

  1. Biconditional naturalism: aktsepteerige, kui p on sanktsioniseeritud X-standarditega
  2. Naturalismi trimmimine: aktsepteerige p-d, kui p-s on X-standardid sanktsioneerinud.
  3. Rõhutage naturalismi: p-i hindamisel pöörake suuremat rõhku X-standarditele.
  4. Ühilduvus Naturalism: ärge aktsepteerige p-d, kui p ei ühildu X-standarditega.

Kaheköiteline lugemine on neljast tugevaim. See väljendab arvamust, et kehtivad standardid on lihtsalt X-standardid. Vastupidiselt biconditional naturalismile lubab trompetav versioon ilmselt seda, et väide matemaatikafilosoofias võib olla vastuvõetav, isegi kui X-standardid seda ei karista. Näiteks Burgess ja Rosen väljendavad oma naturalismi järgmiselt:

Naturalistide pühendumus on… suhteliselt tagasihoidlikule väitele, et kui teadus (mille hulka kuulub ka matemaatika) räägib kindlal ja ühtsel häälel, on filosoof kohustatud kas oma järeldused aktsepteerima või pakkuma neile vastupanuvõimeks teaduslikke põhjuseid (1997), 65).

See on loomulikult sõnastatud kui teaduslik-cum-matemaatilise naturalismi trumbiv versioon. Näib lubavat, et kui matemaatika ja loodusteadus ei räägi mingis küsimuses kindla häälega, võime nõustuda mõne muu distsipliini kohtuotsusega.

Rõhuasetus Naturalism on ebamäärane õpetus. Erinevad versioonid tekivad sõltuvalt sellest, kui suurt rõhku pannakse X-standarditele. Tagasihoidlik versioon kajastab naturalistlikult kalduvate, kuid mitte otse loomulike filosoofide positsiooni. Biconditional naturalismi taastame siis, kui X-standardid on rõhutatud nii kaugele, et keegi teine ei oma tähtsust.

Naturalismi kokkusobivus pole nii tugev kui naturalismi trompeerimine. Kui p-d karistatakse X-standardite järgi, siis ühilduvusnaturalism tähendab, et p-d ei aktsepteerita, kuid see ei tähenda tingimata p-i aktsepteerimist. P-i aktsepteerimata jätmine ei vasta p-i aktsepteerimisele, kuna alati on võimalus p-ga seotud otsuse peatamine. Ühilduvusvaatega nõustuvad enamus tänapäeva filosoofe. Väljastpoolt matemaatikafilosoofiat näitena lükkaks enamik filosoofe tagasi ajafilosoofia, mis on vastuolus relatiivsusteooriaga (antud juhul X = teadus). Matemaatikafilosoofias lükkab enamik filosoofe tagasi matemaatikafilosoofia, mis eeldab näiteks, et keerukas analüüs tuleks teostada (sel juhul võib X olla teadus, matemaatika või matemaatika-kummiteadus).

Mitmeid nõrgemaid metodoloogilisi teesid nimetatakse mõnikord looduslasteks, näiteks Cartesiuse fundamentalismi tagasilükkamine, kuid siin mõistame mõistet jõulisemalt. Milline ülaltoodud variantidest on õige viis naturalismi arendamiseks, sõltub muidugi sellest, kuidas naturalism on motiveeritud (punkt 4).

3.2 Piiriprobleem ja teaduslik meetod

Naturalism seab vastuseisu X-standardite (teaduslik, matemaatiline või teaduslik-cum-matemaatiline) ja muud tüüpi standardite, näiteks astroloogiliste, teoloogiliste või terve mõistuse standardite vahel. Veel üks näide standarditest, mida loodusteadlased peavad radade valel poolel, on „fundamentaalsed” filosoofilised. Goodman ja Quine (oma naturalismi-eelses faasis) alustasid kunagi artiklit, kuulutades, et nende nominaalsuse aluseks on fundamentaalne filosoofiline intuitsioon, mida ei saa teaduslikult põhjendada (1947). Looduseuurijad lükkavad ümber selliste standardite järgimise.

Naturalismi ilmne probleem on see, et teaduse ja mitteteaduse ning matemaatika ja mittematemaatika vahel ei näi olevat teravaid piire. Näiteks näib üleminek füüsikast füüsikafilosoofiast füüsika-raske metafüüsikast tavapärase või aia metafüüsika juurde järk-järgult. Kui matemaatik kirjutab uurimisartikli, bakalaureuseõpiku, populaarse matemaatikaraamatu, raamatu, mis tutvustab tema isiklikku matemaatikafilosoofiat ja psühholoogilisi seoseid erinevate matemaatiliste teooriatega, siis mis hetkel on ta matemaatika tegemise lõpetanud? Kui uurimistööga seotud matemaatikud saavad pärast seminari kokku ja lepivad kohvi üle, et Riemann'i hüpotees on matemaatika kõige olulisem lahendamata probleem,kas see on rangelt matemaatiline väide või isiklik hinnang, mida matemaatikud tunnustavad väljaspool matemaatika provintsi?

Paljud filosoofid järgivad Quine'i, viidates teaduslikest standarditest oletatavalt koosnevale standardpõhimõtete rühmale: empiiriline adekvaatsus, ontoloogiline ökonoomsus, lihtsus, viljakus ja nii edasi (Quine 1955, 247; Quine ja Ullian 1970, 5. peatükk). Sellised loetelud on mitmel põhjusel ebarahuldavad. Esiteks on põhimõtted erinevad versioonid. Siiski on kaheldav, kas üldised versioonid on teaduslikult sanktsioneeritud. Mõni kirjanik väidab näiteks, et teaduslik pöördumine ontoloogilise parsimoni poole ei laiene abstraktsete objektide postuleerimisele (Burgess 1998). Teised väidavad, et lihtsuse teaduslikke üleskutseid ei peegelda kõige paremini täiesti üldine loosung „Eelista ükskõik millist teooriat T 1 vähem lihtsale teooriale T 2(selles suhtes)”(Paseau 2007). Pealegi ei ütle sellised nimekirjad meile, kuidas tasakaalustada meeleheidet üksteise suhtes.

Pärast teadusuuringute plahvatust 1960. aastatel on nüüd rohkem tähelepanu pööratud teadusliku praktika nüanssidele. Teadusstandardite ja nende kaalu täpsem sõnastamine on siiski raske. Üldiselt seatakse kahtluse alla teaduslikku meetodit kapseldava algoritmi olemasolu (ehkki ilmselt suudavad paljud inimesed teaduslikku meetodit rakendada, nii et kui meetod pole algoritmiline, pole ka meie mõistus). Pole aga küsitav, kas selle näitus pääseb praegu meist.

Seda öeldes ei ole selge, kui tõsine on looduseuurijate piiriprobleem. Võib-olla saavad nad väita, et on olemas üsna terav piir, kuigi seda on raske määratleda. Võib-olla teavad matemaatikud kaudselt, millal loeb midagi matemaatika tükiks ja millal on see matemaatika mittematemaatiline kommentaar. Igal juhul näib naturalism terava piiri puudumisel üle elavat. Naturalism võib ilmselt oma nõudmistele tugineda häguste piiridega standardite komplekti alusel.

3.3 Metoodiline ühtsus?

Mis saab, kui puuduvad ülemaailmsed teaduslikud standardid, vaid lihtsalt selle või selle teaduse osa standardid (nt füüsika või bioloogia või osakeste füüsika või vedeliku mehaanika) või isegi ainult selle või selle teadlaste rühma standardid? Sel juhul jaguneks teaduslik naturalism mitmeks versiooniks (nt füüsika-naturalism või bioloogia-naturalism). Kui teadusliku naturalismi motivatsioon osutab ühele neist peenema täpsusega naturalismidest teiste üle (nt füüsika-naturalism), või kui nad kõik tagastavad samad kohtuotsused matemaatikafilosoofias, pole potentsiaalne killustatus murettekitav. Kuid kui ei, siis on teaduslik loodusteadlane hädas, kuna kõik need konkureerivad naturalismid kehtivad eeldusel, et need on võrdselt kehtivad. Siiani on teaduslikud looduseuurijad kaldunud arvama, et teadus tegutseb ühtsete standardite komplektiga. Usutav, kuigi see eeldus on, soovib range loodusemees seda üksikasjalike juhtumianalüüsidega põhjalikumalt käsitleda. Samamoodi matemaatilise naturalismi ja matemaatilis-cum-teadusliku naturalismi puhul.

3.4 Sanktsiooni aste

Teaduslikud standardid määravad sanktsioonid pigem teataval määral kui otse. Värskeim hüpotees, mille vähesed eksperdid on esialgu võtnud teadusuuringute kohta, pole sama, mis pikaajaliselt juurdunud teooria. Seega must-valge arusaam teaduslikest standarditest, millega p karistatakse või karistamata jäetakse. (Seda ideed võtab Bayesise kinnitusteooria tõsiselt.) Võib ka väita, et see kehtib ka matemaatiliste standardite kohta, näiteks kui arvestada matemaatiliste väidete uskumuse mitte deduktiivsete alustega. Näib mõistlik näha Goldbachi oletust - väide, et iga paarisarv, mis on suurem kui 4, on kahe alge summa, mida toetavad suures osas praegu selle kohta saadaval olevad deduktiivsed tõendid. Kui aga ei ole tõendeid Goldbachi oletuse kohta,see aste jääb 1-st väiksemaks. Seetõttu peab loodusteadlaste usutunnistuse täpsem avaldus välja andma juhised mandaadi jaotamiseks p-s vastavalt teaduse või matemaatika standardite soovitatavale astmele ja tüübile.

3.5 Standardid ja praktikud

Oleks vale võrdsustada X-standardite sanktsioone sellega, mida X-praktikud usuvad (X = teaduse või matemaatika või üldisemalt). Esiteks ei pruukinud X-praktikud konkreetsele küsimusele mõelda. Teise puhul võivad kõik X-praktikud eksida. Veelgi enam, X-praktikud võivad iseteadlikult hoida vastupidist või igal juhul eristada midagi, mis erineb X-standardite sanktsioonidest. Näiteks võib teadlane uskuda p-d, võib-olla nn soolestiku tunde või mõne ülekaaluva usulise veendumuse või mis tahes muu kui teadusevälise põhjuse alusel, tunnistades siiski, et teaduslikud standardid toetavad mitte-p. Või võib matemaatik uskuda, et numbril 7 on müstilisi omadusi, kuid mitte uskuda, et see on matemaatik. Tihedam seos praktikute ja standardite vahel võiks olla järgmine:milline X-standardi sanktsioon on see, mida X-praktikud kavatsevad õigesti uskuda, et X-praktiseerijad on. (See ei ole mõeldud redutseerivaks analüüsiks.)

Sellegipoolest on eriti vajalik paluda X-praktikute kogukonnale laialt levinud eksimust X-standardite sanktsioonide osas. Seega see, mida X-praktikud tegelikult usuvad, on tavaliselt hea, kuigi teostamatu tõend selle kohta, mida X-standardid karistavad.

3.6 Laiemad naturalismid

Siin defineeritud teaduslik naturalism hõlmab ainult loodusteadusi (ja samamoodi ka teaduslikku-matemaatilist naturalismi). Laiemad naturalismid hõlmavad mitte ainult traditsioonilisi loodusteadusi, vaid ka mõnda muud teadust: võib-olla kogu ühiskonnaõpetust, võib-olla ainult osa sellest, võib-olla keeleteadust, võib-olla kognitiivset teadust. Pange tähele, et hilisemates kirjutistes võtab Quine ise kasutusele naturalismi laia versiooni (1995, 49). Penelope Maddy on hiljuti selgeks teinud, et tema pooldatav teaduslik naturalism - nn teine filosoofia, nagu ta seda praegu eelistab nimetada - on väga lai, hõlmates lisaks loodusteadustele ka psühholoogiat, lingvistikat, sotsioloogiat jne. (2007, 2).

Teadusliku või teaduslik-matemaatilise naturalismi laiendamisel nendele erialadele on potentsiaalselt olulised tagajärjed matemaatikafilosoofiale. Näiteks kui semantika kuulub naturalistliku katuse alla, võib see pakkuda naturalistlikku sanktsiooni matemaatilise realismi või platonismi jaoks, kuna näib, et matemaatika nimiväärtuse semantika assimileerib seda keele vaieldamatult sõnasõnaliste osadega - punktiga, mis on kuulsalt välja toodud Benacerrafis (1973)..

Kas tõlgendada naturalismi laiemalt või kitsalt, sõltub selle motivatsioonist. Naturalismi teadusliku või matemaatilise või teadusliku-matemaatilise naturalismi külgetõmbejõud peituvad teadusharude võrreldamatu edu saavutamisel (kui mõistame, kuidas see edu tuleb, vt punkt 4). Muul ajal pole loodusteadused aga vähem edukad kui loodusteadused. Mida vähem edukamaks peetakse loodusteadusi võrreldes loodusteadustega, seda vähem atraktiivsemaks muutub laiem teaduslik või teaduslik-cum-matemaatiline naturalism võrreldes rangelt loodusteadusliku teadusega.

Kõik looduseuurijad, eriti laiema looduse esindajad, peavad tasakaalustama potentsiaalselt konkureerivaid norme. Laialdane loodusteadlane võib näiteks otsustada anda loodusteadustele 2/3 ja semantikale 1/3. Või võib ta arvata, et väide matemaatikafilosoofias on aktsepteeritav, kui (või isegi siis: kui ja ainult siis) kõik loodusteadused, nii looduslikud kui ka mittelooduslikud, lubavad seda teha, st kui kõik teadused räägivad ühel häälel. Neid tasakaalustavaid küsimusi pole looduseuurijad kahjuks palju käsitlenud. Võib-olla sellepärast, et sedalaadi küsimusi tekib kõigi jaoks: olenemata sellest, milliseid õigustavaid standardeid keegi aktsepteerib, kerkib esile küsimus, kuidas nende vahel otsustada. Kuid niivõrd, kuivõrd naturalism on ettekirjutav ega saa tugineda juba loodud kaudsele protseduurile,see võlgneb meile artikulatsiooni, kuidas tasakaalustada erinevaid standardikomplekte.

Tasakaalustav küsimus on eriti pakiline matemaatika-kummiteaduslike looduseuurijate jaoks. Teadusliku loodusteadlane on põhimõtteliselt hea meel öelda, et kui matemaatilise teooria M on teaduslikult parimat, kuid matemaatiliselt halvem teist matemaatilist teooriat M * siis M tuleks eelistada M * (järgmine lõige sisaldab näiteks). Matemaatilised-teaduslikud loodusteadlased võivad sõltuvalt konkreetsete teooriate üksikasjadest kummalgi poole taanduda: kõik sõltub sellest, kas M on võrreldes M * -ga teaduslikest eelistest *on üles kaalutud selle matemaatiliste puudustega. Nüüd pole matemaatikafilosoofial väljakujunenud traditsiooni kaaluda matemaatiliste teooriate teaduslikke ja matemaatilisi plusse ja miinuseid üksteise vastu; ega mingit muud distsipliini. Niisiis on matemaatiliste ja teaduslike loodusteadlaste jaoks eriti pakiline probleem, kuidas tasakaalustada matemaatilisi ja teaduslikke standardeid.

Selle probleemi illustreerimiseks oletagem, nagu väidavad paljud filosoofid, et ontoloogilise majanduse üldpõhimõte - paigutada võimalikult vähe üksusi - on teaduslik standard. Oletagem ka, nagu väidab Penelope Maddy, et ontoloogilise profiilide komplekti-teoreetiline versioon - võimalikult paljude komplektide positsioneerimine - on matemaatiline standard (see on üks viis set-teoreetilise maksimumi kogumiseks, mida Maddy kutsub maksimeerima). Need kaks standardit lähevad vastuollu, nagu Maddy tõdeb (1997, 131). Seega, arvestades neid eeldusi, võib predikativistlik kogumiteooria, mis sisaldab suhteliselt väikest hulka komplekte, näiteks Hermann Weyli väljaandes Das Kontinuum välja töötatud komplekti, olla teaduslikult parem ZFC-st, mis paigutab rohkem komplekte. Ometi arvatakse, et ZFC on matemaatiliselt parem kui predikativistlik teooria. Võib-olla on õige diagnoos see, et kokkupõrge on vaid pealiskaudne, kuna ontoloogilise ökonoomia õige teadusliku versiooni kohaselt on positsioneeritud võimalikult vähe konkreetseid üksusi ja ontoloogilise täpsuse õige matemaatiline versioon on positsioneeritud võimalikult paljudele abstraktsetele üksustele. Kuid sellisel juhul võib matemaatika-kummiteaduslik loodusteadlane välja töötada üldise poliitika võimalike kokkupõrgete käsitlemiseks või väita, et sellised kokkupõrked pole võimalikud.matemaatika-cum-teaduslik loodusteadlane peab välja töötama üldise poliitika võimalike kokkupõrgete lahendamiseks või väitma, et sellised kokkupõrked pole võimalikud.matemaatika-cum-teaduslik loodusteadlane peab välja töötama üldise poliitika võimalike kokkupõrgete lahendamiseks või väitma, et sellised kokkupõrked pole võimalikud.

4. Naturalismi motiveerimine

Naturalismi võib lihtsalt omaks võtta, esitamata sellele argumenti ega motivatsiooni. Naturalismi motivatsioonid aga rõhutavad seda, muutes selle sisemiselt tugevamaks ja annavad sellele murrete tugevuse, suurendades selle atraktiivsust mittenaturalistide poole. Nad vastavad põhiküsimusele: miks just need standardid?

(Sama kehtib naturalismide kohta, mis on peamiselt mõeldud lähenemiste või seisukohtade, mitte doktriinidena. Penelope Maddy on oma 1997. aasta raamatu ilmumisest alates selgitanud, et tema versioon naturalismist on hoiak (Maddy 2001) või killustatud lähenemisviis / uurimismeetod (2007)., vt nt lk 19, lk 15, lk 403). Kuid seisukohad ja lähenemisviisid uurimisele on atraktiivsed niivõrd, kuivõrd need on hästi motiveeritud.)

4.1 Naturalism on mõnes mõttes revolutsiooniline

Naturalismi peetakse sageli konservatiivseks matemaatikafilosoofiaks, nagu soovitasime jaotises 1. Kuid tegelikult on asjad keerulisemad. Kõik kolm huvipakkuvat naturalismi on mõnes mõttes revolutsioonilised.

Meie vaikimisi seisukoht on, et matemaatika standardid otsustavad matemaatika küsimused, näiteks küsimused, kas Fermati viimane teoreem või valiku aksioom on tõesed. Arvatakse, et teaduslikud standardid ei mõjuta seda: kui Andrew Wiles 1990. aastate keskel tõestas Fermati viimast teoreemi, ei huvitanud ta eriti seda, kuidas tema tõendusmaterjal füüsikaosakondades väheneb või üldisemalt selle mõju empiirilisele teadusele. Samamoodi on väide, et kui mõnda suurt kardinaalset aksioomi teaduslikult ei karistata (võib-olla seetõttu, et see ei vii uutele empiirilistele tagajärgedele), siis, nagu Maddy rõhutab, pole selle aktsepteerimiseks mõjuvat põhjust, "vastuolus tegeliku praktikaga seatud teooria”(1997, 132) ja on tõepoolest paljudest filosoofiadest tegeliku praktikaga sammunud. Me ei mõista suurte kardinaalsete aksioomide üle tavaliselt teaduslikke standardeid; me hindame neid matemaatiliste standardite järgi. Quine asus teadlikult viljale vastu, kui ta teaduslikel põhjustel lükkas ümber teooria kõrgemad lennud (1986, 400).

Matemaatika teaduslik naturalism on seega filosoofiliselt revolutsiooniline vaade, kuna see pooldab matemaatika (teaduslike) hindamist erinevatest standarditest (traditsioonilistest). See võib ka matemaatika enda suhtes potentsiaalselt revolutsiooniline olla, kuna see võib viia matemaatika muutmiseni. (Pange tähele, et isegi kui teaduslik naturalism ei eelda matemaatika revideerimist, loetakse seda ikkagi filosoofiliselt revolutsiooniliseks: Y-standardite asendamine X-standarditega kui mõne valdkonna õigete vahekohtunike pooldamine on filosoofiliselt revolutsiooniline, isegi kui Y-standardid ja X-standardid kinnitavad sama domeeni samu väiteid.) Olles seda öelnud,hiljutised teaduslikud looduseuurijad on kaldunud olema oma olemuselt matemaatiliselt konservatiivsed ja propageerinud matemaatika muutmist vähe või üldse mitte.

Need moraalid kehtivad ka matemaatilis-cum-teadusliku naturalismi kohta, kuid vähemal määral, kuna viimane annab matemaatilistes põhjendustes matemaatilistele standarditele teatava kaalu.

Kolmas huvipakkuvast naturalismist kolmas, matemaatiline naturalism, on filosoofiliselt, kuid mitte matemaatiliselt revolutsiooniline. Matemaatiliselt on see nii konservatiivne kui võimalik: matemaatiliste väidete hindamisel pole olulised muud standardid peale matemaatiliste. Seega ei lükata ühtegi aktsepteeritud matemaatikat ilma. Ometi on matemaatiline naturalism matemaatikafilosoofias revolutsiooniline hoiak. Selle nägemiseks oletagem, et platonism on osa tavapärasest aktsepteeritud matemaatilisest praktikast. Sel juhul eeldab matemaatiline naturalism, et selle tõesusest pole enam küsimusi. Lõdvalt öeldes, lihtsalt kuna matemaatikud (qua matemaatikud) on platonistid, on platonism õige matemaatikafilosoofia. See on filosoofilise praktikaga selgelt kooskõlas: filosoofid vaatavad matemaatikute pooleseisukohti (qua matemaatikud) kui matemaatikafilosoofia ebaõigeid andmeid, mitte selle järeldust. Seega näeme, et matemaatilise naturalismi lihtne konservatiivseks iseloomustamine pole päris õige: ehkki matemaatiliselt konservatiivne, on see filosoofiliselt revolutsiooniline.

Kokkuvõtlikult võib öelda, et nii teaduslik, matemaatiline kui ka matemaatiliselt-teaduslik naturalism on mõnes mõttes revolutsioonilised ja vastavad tõendamiskohustused. Nüüd võime hinnata seda, milles 1. jaos väljendatud üldine väide, et naturalism on revideerimisvastane, on tõene ja mõte, milles see pole.

See näitab ka seda, et tänapäevane naturalism erineb viimase Wittgensteini pinnapealselt sarnasest metafilosoofiast. Wittgensteini antiifilosoofia, nagu naturalism, takistab filosoofiat muutmast matemaatikat: „Filosoofia ei tohi mingil juhul häirida keele tegelikku kasutamist … See jätab kõik nii nagu on. See jätab ka matemaatika selliseks, nagu see on”(1953, §163). Naturalismi revolutsiooniline tenor tähendab aga, et see ei jäta kõike nii nagu on.

4.2 Argumentide kuritarvitamine kirjanduses

Naturalismi argumente kirjanduses napib. Enamik looduseuurijaid lihtsalt positsioneerib oma naturalismi ja töötab sellest allavoolu, lootes, et selle tagajärjed osutuvad vastuvõtlikele atraktiivseks (Maddy 2007, 3). Naturalismist saab seega tegelikult isiklik kreedo, mille otsese katseta kedagi teist kaasata pole: aktsepteerin mõnes valdkonnas ainult X-standardeid, kuna pean neid usaldusväärsemaks kui teised. Nüüd võib-olla päeva lõpuks ei saa keegi paremini hakkama. Kuid me ei tohiks seda kohe alguses eeldada. See on veelgi olulisem, arvestades naturalismi revolutsioonilisi jooni, nagu varem selgitatud. Konservatiivne õigustamisteooria võib naturalismi sanktsioneerida laias laastus naturalistliku lähtekohaga; kuid meie lähtepunkt, nagu nägime, ei ole naturalismi trügimine: see on äärmisel juhul kokkusobiv naturalism. Seega oleks teretulnud argument rohkema kui naturalismi leebema versiooni kohta.

4.3 Praegune edu

Looduseuurijaid motiveerib mõte, et teaduslikud või matemaatilised standardid on meie kõige edukamad standardid. Kuid mis saab sellest edu? Ligikaudselt võib distsipliini edu märgiks pidada järgmist: (i) praktikute seas on distsipliini suunavate küsimuste ja lubatava metoodika kohta laialt levinud ettekujutus; ja (ii) distsipliinis on tehtud edusamme selle suunavate küsimuste käsitlemisel. Seejärel võib proovida väita, et füüsika on edukam kui metafüüsika, et psühholoogia on edukam kui parapsühholoogia ja et astronoomia on edukam kui astroloogia.

Seda laadi lähenemisviis seisab silmitsi kahe probleemiga. Kui metoodikaga seoses midagi juhtub, on kõikvõimalikel erialadel edu saavutatav, saavutamata seeläbi usaldusväärsust. Mõelge guru-oloogiale, distsipliinile, mis võtab suunavateks küsimusteks need, mida mõni guru on välja kuulutanud, ning kehtestab oma metoodikana, et vastuvõetavad vastused on kõik ja ainult guru väljaütlemised (eeldades võib-olla järjepidevust - nii et eeldame hea meelega, et guru on järjepidev ja üldiselt tõenäosuslikult sidus). Need vastused võivad olla nii väljamõeldud kui soovite: jätame guru esitatud võõraste väidete näited lugeja enda otsustada. Kui oletame, et guru vastab igale tema tõstatatud küsimusele,Guru-oloogia on seega progressiivne - see vastab kõigile tõstatatud küsimustele - ja seetõttu ka edukas. Kuid selle edukus ei räägi midagi selle usaldusväärsusest.

Üldiselt, kui konkreetse standardikomplekti edukust hinnatakse tema enda tingimustel, st kasutades S-standardeid, loetakse edukaks mitu isemajandavat, kuid intuitiivselt vastuvõetamatu standardikomplekti. See relativism pole muidugi see, mida loodusemees soovib. Samamoodi arvatakse, et edu määrab see, kui hästi standardid aitavad meil "tegelikkusega hakkama saada"; mitmed mitteteaduslikud ja mittematemaatilised naturalismid õigustavad seda kriteeriumi ka ise. Võib-olla tuleks edukust hoopis mõõta selle järgi, kui hästi standardid loodusnähtusi seletavad ja ennustavad, st kuidas nad loodusteaduste teemaga hakkama saavad. Kuid meie tavapärase arvamuse vastuvõtmine selles osas, kuidas edukust hinnata, oleks teaduslikule naturalismile toetuv küsimus,kuna teaduslikud standardid on täpselt need standardid, mille oleme välja töötanud selle reaalsuse osaga toimetulemiseks. Võrrelge astroloogilist naturalismi, mille ajendiks on idee, et edukust tuleks mõõta selle järgi, kui hästi standardid seletavad ja ennustavad „astroloogilisi nähtusi”, mida mõistavad astroloogid. Seega, kui edu saavutamiseks peab põhinema naturalistlik argument, peab õnnestuma leida mõni muu looduslikult vastuvõetav, kuid küsimusteta kerjav arusaam õnnestumisest.tuleb leida mõni muu looduslikult aktsepteeritav, kuid küsimusteta kerjav arusaam õnnestumisest.tuleb leida mõni muu looduslikult aktsepteeritav, kuid küsimusteta kerjav arusaam õnnestumisest.

Teine eduargumendi probleem on see, et edu ühes valdkonnas ei tähenda edu teises. Bioloogia on bioloogiliste nähtuste selgitamisel ja ennustamisel üsna edukas. Kuid miks peaks see andma talle õiguse matemaatika või matemaatikafilosoofia küsimuste üle? Samamoodi ka teiste loodusteaduste puhul. Nagu näeme, see punkt üldistab.

4.4 Leping

Traditsiooniline filosoofia, võib öelda loodusemees, põhjustab lõputuid erimeelsusi. Teadus ja matemaatika seevastu jõuavad tavaliselt oma valdkonna küsimustes laialdasele kokkuleppele - sageli konsensusele. Seetõttu tuleb teistele eelistada teaduslikke või matemaatilisi standardeid. (Sellised lahkarvamuste ja arvamuste lähendamata jätmise argumendid on esinenud silmapaistvalt ka teistes filosoofia valdkondades, eriti metaeetikas.)

Kuid moraal, mida loodusteadlane soovib kokkuleppe- ja lahkarvamuste mudelitest lähtuda, näib olevat põhjendamatu. Ühiskonnas kokkuleppimine või lahkarvamused on tingimuslik küsimus. Totalitaarne riik võiks saavutada kogukondliku kokkuleppe jahutava tõhususega, kehtestades oma subjektidele mõned eelistatud standardid. Üldiselt on kokkuleppel või mittenõustumisel lugematu arv mitte-episteemilisi põhjuseid. Seetõttu pole oluline kokkulepe, vaid pigem selgitus, miks kokkulepe saavutatakse.

Selle argumendi keerukam versioon võib seega põhineda pigem erimeelsuste tõmbamisel, mitte pelgal kohalolul. Lahkarvamusi on nii filosoofias kui ka teaduses palju, kuid ainult viimastes, võib öelda, on erimeelsused leitavad. Vähemalt on võimalik edusamme teha ja võib-olla on põhimõtteliselt alati võimalik kokkuleppele jõuda. Tegelikke kokkuleppe- ja lahkarvamuste mustreid võib siis nimetada näiteks arutelude teaduslike ja mitteteaduslike filosoofiliste standardite abil tõrjutud arutelude vastava tõmbetugevuse või lahutamatuse kohta.

Selle väite keerukamat versiooni, mis on ühel või teisel kujul pälvinud viimasel ajal märkimisväärset tähelepanu väljaspool matemaatikafilosoofiat, on selle sissekande raamest väljaspool. Pange siiski tähele paar prima facie raskust.

Meie episteemilise olukorra situatsioonidest abstraktsuse huvides lähtutakse veettavust käsitlevates argumentides tavaliselt väga idealiseeritud subjektidest, eriti subjektidest, kelle faktilised, loogilised jne teadmised ületavad meie oma. Kuid selliste idealiseerimiste probleem on see, et need tunduvad küsivad. Näiteks väidaks teoloogiline anti-naturalist, et tegelikult hästi informeeritud subjekte tutvustatakse üleloomuliku reaalsuse faktidega. Meie haare idealiseeritud subjektide üle ja see, kuidas nendevahelised lahkarvamused tõenäoliselt iseenesest lahenevad, võib seetõttu olla liiga vaba, et sellistest mõttekatsetest mingit sisulist moraali ammutada. Nii see kui ka sellised argumendid on tõenäoliselt küsivad.

Teiseks võime lubada, et tõmbetugevuse kaalutlustel selgub, et teaduslikud ja matemaatilised standardid on nende vastavates sfäärides tõesõbralikumad. Kuid näib, et see ei anna alust arvata, et neil õnnestub teistes valdkondades edu saavutada. (See on sama punkt, mille me seoses edukuse argumendiga mainisime.)

4.5 Ajalooline edu

Naturalismi kõige lootustandvam argument põhineb ajaloolisel edul. Teaduslikel ja matemaatilistel standarditel on teistest parem tulemus; seetõttu tuleks teaduslikke ja matemaatilisi standardeid pidada nii autoriteetseteks matemaatikafilosoofias kui ka mujal. Pange tähele, et nagu ka kaks eelmist argumenti, on ka see matemaatikafilosoofia naturalismi argument globaalse naturalismi argument.

Mõned looduseuurijad on sellele motiivile selgesõnaliselt tuginenud. Näiteks kasutab Lewis seda strukturalismi kui klasside osade (1991, 58–9) komplektiteooria õige filosoofia ümberlükkamiseks, isegi kui ta loobub sellest argumendina; vt ka Colyvan (2001, 33), Shapiro (1997, 30) ja Burgess (1998, 197). Argumendis on palju öelda, mida on uuritud Paseaus (2005). Siinkohal piirdume kahe kriitilise tähelepanekuga.

Kuna filosoofid rakendavad ilmselt erinevaid standardeid, pole selge, mida tähendab öelda, et kogu filosoofial on ajalooline kogemus kehv. Mõelge varasele Popperile (1935), kes leidis, et ükski tõendite hulk ei saa muuta võltsimata teooriat tõenäoliseks (või vähemalt mitte tõenäolisemaks kui mis tahes muu võltsimata teooria). Just sellist näidet soovib David Lewis filosoofia üle nalja ajada: kindlasti - selle järelduseni viinud standardid pole usaldusväärsed. Relatiivsusteooria on kahtlemata tõenäolisem kui seni veel vaidlustamata hüpotees, et maailm lõpeb aastal 2525. Kui ma ei jaga Popperi 1935. aasta standardeid, on tõsiasi, et tema tollane teadusfilosoofia on minu arvates ilmselgelt vale ei tee midagi selleks, et kõigutada minu usku minu enda filosoofilistesse standarditesse. Samamoodi võta kaasa Thomas Aquinas,kelle filosoofiliste standardite hulka kuulus ka kaastunnetus Piibli ja üldisemalt kristliku usu põhimõtetega. Kui ma pole kristlane, ei muuda see, et Aquinase filosoofiline teoloogia on minu arvates vale, midagi, mis mu usku minu filosoofilistesse standarditesse kõigutaks. See, et Sir Karl või St Thomase standardid olid, nagu ma näen, ei kiputa mitte midagi kahjustama minu usku enda omadesse.

Seetõttu võin ma naturalistiga nõustuda, et filosoofial on halvem tulemus kui loodusteadustel ja matemaatikal. Kuid sellest ei järeldu, et minu kasutatavatel (mitteteaduslikel või mittematemaatilistel) standarditel oleks kehvad tulemused. Kui filosoofid on ajaloo jooksul järjekindlalt võtnud enam-vähem ühtse standardikomplekti ja kui ka mina järgin seda traditsiooni, aktsepteerides neid minu omadeks, ja pealegi, kui nende standardite tulemused on ilmselgelt kehvemad kui teaduse või matemaatika standardid, see oleks minu jaoks põhjus pöörduda naturalistide poole. Kuid esimene eeldus on vähemalt küsitav ja pole selge, mis jääb ajaloost argumendile, kui minu standardite eellastel pole kehva kogemust.

Teine argumendi probleem on seotud selle kohaldamisega filosoofilistele küsimustele. Leppgem kokku, et teaduslike standarditega on teaduslikele küsimustele vastamisel head tulemused, et matemaatilistel standarditel on matemaatilistele küsimustele vastamisel head tulemused, ja pealegi on need tulemused paremad kui filosoofiliste standardite saavutused filosoofilistele küsimustele vastamine. Need faktid ei tundu siiski olevat asjakohased küsimuses, milliseid standardeid tuleks filosoofiliste küsimuste puhul käsitada autoriteetsetena. Hea sfääri saavutamine ühes sfääris ei ole iseenesest tõend teise tõe juhtivuse kohta.

Seda nüüd tuttavat vastuväidet võib illustreerida platoonistide ja strukturalistide vahelise matemaatikafilosoofia üle peetava arutelu kaalumisel. Platonistid tõlgendavad '1 + 2 = 3' väitel abstraktsete objektide kohta. Teisest küljest tõlgendavad strukturalistid '1 + 2 = 3' väidetena, mis juhtub mis tahes struktuuris, mis vastab aritmeetika aksioomidele. (Siinkohal mõtleme strukturalismile kui vaateliigile, mida Charles Parsons järgib sageli kui „elimineerivat strukturalismi“ja mille kõige keerukamaid raamatu pikkuse ja moodi versioone võib leida Hellmanist (1989).) Looduseuurijad väidavad, et matemaatilistel standarditel on on olnud varem edukamad ja seetõttu tuleks selles küsimuses usaldada. Kuid pole sugugi selge, kas see on küsimus, milliste matemaatiliste standardite tulemused on paremad kui filosoofiliste. Matemaatilistel standarditel on head tulemused selliste küsimuste osas nagu see, kas 1 + 2 võrdub 3-ga või mida seeria 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… lähendab või kas Poincaréi oletused (3-kollektorite klassifitseerimise kohta) on tõsi; kuid neil pole tõestatud tulemusi, kui rääkida sellistest küsimustest nagu see, kas need tõed on platonistid või strukturalistid. (Selle argumendiga seotud vastuväide on see, et teaduslikud standardid ei räägi tõlgendusküsimustest, näiteks küsimusest, millist platonismi või strukturalismi eelistada. Vrd Paseau (2007).)Matemaatilistel standarditel on head tulemused selliste küsimuste osas nagu see, kas 1 + 2 võrdub 3-ga või mida seeria 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… lähendab või kas Poincaréi oletused (3-kollektorite klassifitseerimise kohta) on tõsi; kuid neil pole tõestatud tulemusi, kui rääkida sellistest küsimustest nagu see, kas need tõed on platonistid või strukturalistid. (Selle argumendiga seotud vastuväide on see, et teaduslikud standardid ei räägi tõlgendusküsimustest, näiteks küsimusest, millist platonismi või strukturalismi eelistada. Vrd Paseau (2007).)Matemaatilistel standarditel on head tulemused selliste küsimuste osas nagu see, kas 1 + 2 võrdub 3-ga või mida seeria 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… lähendab või kas Poincaréi oletused (3-kollektorite klassifitseerimise kohta) on tõsi; kuid neil pole tõestatud tulemusi, kui rääkida sellistest küsimustest nagu see, kas need tõed on platonistid või strukturalistid. (Selle argumendiga seotud vastuväide on see, et teaduslikud standardid ei räägi tõlgendusküsimustest, näiteks küsimusest, millist platonismi või strukturalismi eelistada. Vrd Paseau (2007).)kuid neil pole tõestatud tulemusi, kui rääkida sellistest küsimustest nagu see, kas need tõed on platonistid või strukturalistid. (Selle argumendiga seotud vastuväide on see, et teaduslikud standardid ei räägi tõlgendusküsimustest, näiteks küsimusest, millist platonismi või strukturalismi eelistada. Vrd Paseau (2007).)kuid neil pole tõestatud tulemusi, kui rääkida sellistest küsimustest nagu see, kas need tõed on platonistid või strukturalistid. (Selle argumendiga seotud vastuväide on see, et teaduslikud standardid ei räägi tõlgendusküsimustest, näiteks küsimusest, millist platonismi või strukturalismi eelistada. Vrd Paseau (2007).)

Kokkuvõttes jääb naturalistide vajadus neid argumente välja töötada või paremaid välja töötada.

5. Heterogeenne naturalism

Siiani oleme kaalunud kolme ühtset matemaatikaga seotud metodoloogilise naturalismi tüüpi: teaduslik, matemaatiline ja matemaatiline-kummiteaduslik. Mõelge nüüd heterogeensele metodoloogilisele naturalismile, mis aktsepteerib matemaatika standardeid õige matemaatika osas, kuid võtab vastu teaduslikud standardid matemaatikafilosoofiale ja filosoofiale üldisemalt. Heterogeenset naturalismi on edendanud Penelope Maddy (1997), kelle rikkalikud panused on viimase kahekümne aasta jooksul elavdanud ja võrreldamatult mõjutanud matemaatikafilosoofias naturalismi teemalist arutelu. (Maddy eelistab oma naturalismi nimetada nüüd teiseks filosoofiaks, nagu tema 2007. aasta raamatu pealkiri, kuid siin säilitame sildi "naturalism" vastavalt ülejäänud kirjatükile.)

Alustuseks Maddy esindaja tsitaat:

Kui Quine leiab, et teadus ei ole „vastutav ühegi teaduseülese kohtu ees ega vaja mingit vaatlust ja hüpoteetiliselt deduktiivset meetodit täiendavat põhjendust”, lisab matemaatika loodusteadlane, et matemaatika ei vastuta ühegi matemaatikavälise kohtu ja ei vaja tõendamist ja aksiomaatilist meetodit (1997, 184).

Meie terminoloogias on Maddy heterogeenne naturalism trumbiline väitekiri. Tema sõnul "kui meie matemaatika filosoofiline ülevaade satub vastuollu matemaatilise praktika eduka praktikaga, peab andma filosoofia" (1997, 161). Ei filosoofia ega teadus ei saa ümber lükata matemaatika „metoodilisi kohtuotsuseid” (2007, 361), kuna nad on mõlemad matemaatikavälised kohtud. Maddy peab aga matemaatikafilosoofiat, mitte matemaatikat, loodusõpetuse haruks, nagu ta selgitab järgmises lõigus:

Nii et matemaatika naturalistlik filosoofia leiab aset loodusõpetuses, nagu loodusteaduslik loodusteaduste filosoofia, kuid erinevalt naturalistlikust teadusfilosoofiast võtab ta matemaatikapraktika naturaliseeritud mudeli suhtes käelise hoiaku (1997, 202).

Need ja sarnased lõigud (eriti 1997, 200–203) osutavad, et Maddy peab matemaatikafilosoofiat vastutavaks (looduslike) teaduslike standardite ees.

Heterogeense naturalismi eripäraks on see, et see soovitab matemaatika-matemaatikaga seotud küsimuste lahendamiseks ühte standardikomplekti (matemaatilist), näiteks milliseid aksioome valida, ja teist standardite komplekti (teaduslikku) muude matemaatikaga seotud küsimuste lahendamiseks. praktika ise - filosoofilised, näiteks kuidas matemaatikat tõlgendada. See on vastuolus matemaatikafilosoofia ühtlaste naturalismidega, näiteks Quineani teaduslik naturalism või Burgessiani matemaatilis-cum-teaduslik naturalism või ühtlaselt matemaatiline naturalism (soovitanud ka Maddy (1997), kuid meie arvates lõpuks ei propageerita seal).

Selgitamaks, kuidas see kahevalentne suhtumine praktikas toimida võiks, võtke Maddy lemmiknäide: komplektiteooria. Oletame, et ZFC + LCA on meie praegune aktsepteeritud komplektiteooria, kus LCA on suurte kardinaalsete aksioomide kogum. Arvestades matemaatika looduslikku naturalismi õige matemaatika osas, ei ole kahtlust, et lükatakse tagasi ZFC + LCA, eelistades näiteks ZFC + aksioomi, mille kohaselt pole ligipääsmatuid või mõnda muud teooriat, ütlevad Quine'i uued alused. Matemaatiliste standardite sanktsiooniks on ZFC + LCA, nii et see on kindel teooria, millega peame nõustuma. Kuid kuidas peaksime tõlgendama ZFC + LCA? Platonlikult, struktuurilt või mõnel muul viisil? See on filosoofiline küsimus, nii et arvestades matemaatikafilosoofia (ja üldisemalt filosoofia) teaduslikku naturalismi, on selle õige vastus teaduslike normide sanktsioneeritud. Näiteks,kui ülimuslik teaduslik lihtsuse kriteerium eelistab platonismi kõigi teiste tõlgenduste suhtes, peab see olema ZFC + LCA õige tõlgendus.

Maddy motiveerib oma naturalismi apellatsioonkaebusega „kogu naturalismi aluseks olevale põhivaimule: veendumusele, et edukat ettevõtet, olgu see siis loodusteaduste või matemaatika küsimus, tuleks mõista või hinnata selle omal tingimusel, et sellist ettevõtet ei tohiks kriitika alla seada, ja ei vaja tuge mingist välisest, väidetavalt kõrgemast vaatepunktist”(1997, 184). Selle lause üks pingeline lugemine seisneb selles, et naturalismi põhimõtteline veendumus kehtib definitsiooni järgi ainult loodusõpetuses ja matemaatikas. Loomulikum lugemine on see, et see kehtib kõigi edukate teaduste kohta. Seejärel väidab Maddy, et tegelikult pole matemaatilised põhjused matemaatikat mõjutanud. Me võime seda väljendada teesina, et matemaatika on autonoomne.

Maddy heterogeense naturalismi hindamine seisneb peamiselt matemaatika ja selle mõju autonoomia lõputöö hindamises. Üks küsimus on, kas see väitekiri on tõene. Teine küsimus on see, kas väitekiri toetab heterogeenset naturalismi, kui see on tõsi.

5.1 Kas matemaatika on metoodiliselt autonoomne?

Maddy väidab, et matemaatilise põhjenduse õige mudel kinnitab hüpoteesi, et traditsiooniliselt teaduslikud või filosoofilised argumendid ei sisene matemaatiliste väidete õigustamisse. Näiteks kritiseerisid prantsuse analüütikud Baire, Borel ja Lebesgue valiku aksioomi definabilistliku metoodika alusel, mille kohaselt objekti olemasolu sõltub selle määratletavusest: funktsioonid peaksid olema määratletavad reeglid, komplekti kuulumine tuleks anda määratletav viis jne. Kuid definabilism ei mõjutanud matemaatika praktikat ja selle mõistjad vaigistati või loobuti sellest, kui selle matemaatiliselt ebasoovitavad tunnused selgusid. Näiteks valiku aksioom võimaldab saavutada rõngastes ja muudes struktuurides maksimaalseid ideaale;see hõlmab selliseid maksimaalsuse põhimõtteid, mida isegi analüütikud juba kasutasid; see lihtsustab piirmääratud aritmeetikat; ja hoolimata kahtlasest abstraktsusest osutub see samaväärseks "konkreetsete" ja "matemaatiliste" väidetega, nagu väide, et igal vektorruumil on alus. Valiku aksioomi aktsepteerimise põhjused olid lõpuks puhtalt matemaatilised.

Maddy pakub ka imetlusväärselt detailset kirjeldust matemaatilistest põhjustest, mis on kokkusobivad konstruktiivsuse aksioomiga V = L, eriti tõsiasjaga, et selle vastuvõtmine läheb vastuollu komplekti-teoreetilise maksimumiga MAXIMISE, mis naudib komplektide universumit peaks olema võimalikult laienev (sisaldades võimalikult palju isomorfismi tüüpe).

Enamik kommenteerijaid on lasknud Maddy naturalismi kirjeldaval komponendil - autonoomia teesil - mööduda, keskendudes kriitika asemel selle normatiivsetele mõjudele. Autonoomia tees on siiski väga radikaalne. Tavaline pilt matemaatika ja filosoofia vastastikmõjust on kahesuunaline. Eriti arvatakse tavaliselt, et filosoofia mõjutab mingil määral matemaatikapraktikat. Intuitsionistid võtavad näiteks sõltuvuse sügavaks: nad arvavad, et kogu matemaatiline praktika toetub valele filosoofilisele alusele ja kui see alus on eemaldatud, on matemaatika täielik.

Maddy möönab meelsasti, et sellised filosoofilised doktriinid nagu definabilism või realism on oluliseks inspiratsiooniks matemaatilisele arengule, isegi kui need jäävad õigustamata (1997, 192). Ja ta nõustub, et „matemaatilise tõe või olemasolu või teadmiste teooriad esinevad tegelikult enamikus matemaatilistes aruteludes sobivate meetodite üle, tüüpilisemalt matemaatiliste kaalutluste kõrval” (2007, 348). Kuid ta väidab, et sellised teooriad ei ole lõppkokkuvõttes mänginud „instrumentaalset rolli” (2007, 359) ja et nad on matemaatika arendamisel kogunud „ebaolulisuse tulemusi” (2007, 366).

Kas filosoofilised (või üldisemalt mittematemaatilised) kaalutlused jäävad alati pigem inspiratsiooni kui õigustamise poole? Noh, filosoofilisi kaalutlusi pole matemaatilistes ajakirjades või raamatutes kaugele jõudnud. Ja kui nad on Maddy, näeb neid kui pinda kriimustades "matemaatikasiseseid" argumente (1997, 193), millest praktika naturaliseeritud mudel oleks nende metodoloogilise ebaolulisuse tõttu "puhastatud" (1997)., 197). Kui tal on õigus, genereerib see vastus seda konkreetset, üsna piiratud kontekstitüüpi kõigi matemaatiliste kontekstidega.

Selle arvamuse üks tagajärgi on see, et selliseid maksimeid, mida Maddy peab matemaatikas puhtalt sisemisteks, nagu MAXIMISEERIMINE või ÜHENDAMINE, ei saa kunagi ise filosoofiliste veendumuste põhjal. UNIFY on metoodiline tagajärg seatud teooria põhialuste püüdlusele luua „ühtne süsteem, milles saab modelleerida või matemaatika kõiki matemaatika objekte ja struktuure luua” (1997, 208–9). Võib-olla ÜHENDAB ja seab teooria aluspõhimõtte - fakt, et nagu Maddy õigesti märgib, on “set teooria (vähemalt osaliselt) mõeldud klassikalise matemaatika aluse loomiseks” (2007, 355) - on nad ise mingil väikesel viisil, võib-olla mingil kergel määral, mida toetab setteoreetiline realism, st seisukoht, et setiteooria on seotud üheainsa komplektide universumiga. Samamoodi nagu valiku aksioom,mis pinnal võlgneb oma koha set-teoreetilises kaanonis osaliselt - võib-olla ainult vähesel määral - juurdunud realismile setteooria osas. Mitmed teoreetikud on selle kohta väiteid esitanud, nii et Maddy peab nende märkuste lahti seletama tõendamiskoormis.

Maddy kasutab ka järgmist probleemset argumendistiili. Ta leiab, et asjaolu, et filosoofilised väitlused (nt realismi kohta) on lahtised, kuid et matemaatika on arenenud konkreetsel viisil (nt võimaldamaks imperatiivseid meetodeid), näitab, et filosoofilised väitlused ei ole mõjutanud tänapäevase matemaatika tulemusi (nt 2007, 348). Kuid see, et arutelu realismi üle on filosoofias lahtiselt avatud, ei tähenda veel, et see matemaatikas laialt avatud oleks. Võib-olla on matemaatikud kaudselt võtnud realistliku hoiaku, mis osaliselt põhineb nende aktsepteerimatuse aktsepteerimisel, isegi kui filosoofid vaidlevad jätkuvalt realismi kui matemaatikafilosoofia õigsuse üle. Matemaatika võib olla filosoofiliselt osaline pris, mistõttu on ta arenenud nii, nagu tal on.

Need autonoomia lõputöö vastused ei ole vaieldavad. Selle hindamiseks on vaja suuremat selgust, kus asub õigustamise ja inspiratsiooni vaheline piir ning mida täpselt tähendab öelda, et midagi langeb ühele või teisele poole. Ja muidugi peame siis täpsemalt tuvastama, millised matemaatika arengufaktoritest on õigustatult toimivad ja millised jõude. Isegi kui autonoomia tees ei vasta tõele, on see võib-olla peaaegu tõene. Ja võib-olla pole vaja midagi nii tugevat kui autonoomia väitekiri, et toetada trompeerimist, mitte aga botüüpilist naturalismi.

5.2 Kui matemaatika on metoodiliselt autonoomne, kas see tõestab Maddy naturalismi?

See, et avalduste väljaandmine on tegelikult iseseisev küsimus, ei tähenda, et tema avaldused oleksid sel viisil vastuvõetavad. Tavad võivad olla väliste mõjude tõttu hermeetiliselt suletud (nt astroloogia, dogmaatiline teoloogia), kuid see ei muuda iseenesest nende väiteid vastuvõetavaks. Mis teeb matemaatikast erineva?

Maddy tunnistab seda probleemi oma positsiooni pärast (1997, 203–5; 2005, 449; 2007, 346–7), milles on käsitletud tema töö ülevaateid ja arutelusid (nt Dieterle 1999, Rosen 1999, Roland 2007; ainult Tappenden (2001) on sümpaatsem). Ta tegeleb sellega, eristades puhast ja rakenduslikku distsipliini. Võttes astroloogiat fooliumina, märgib ta, et rakendatud astroloogiat võib tõlgendada nii, et see väidab empiirilist maailma. Oma tavalisi teaduslikke standardeid kasutades hindab teaduslik loodusteadlane, et rakendatud astroloogia on vale (kuna see erineb aktsepteeritud teadusloost). Seega ei vääri rakendatud astroloogia loodusteadlaste austust. Puhta astroloogiat seevastu tõlgendatakse astroloogiana kui „teatud üleloomulike vibratsioonide käsitlemist, mis ei ole põhjuslikus seoses tavaliste füüsiliste nähtustega” (1997, 204). Kuid,puhta astroloogiasse pole põhjust uskuda, kuna see pole meie maailma parimate teadusteooriate kirjeldus. Mõlemal tõlgendusel on astroloogia aga matemaatika suhtes ebakindel.

Tundub, et Maddy soovib oma kooki saada ja seda süüa. Matemaatika usaldusväärsuse põhjus peaks olema selle rakendamine loodusteadustes. Kuid miks peaks see, et matemaatika funktsioonid on meie parimate teaduste hulgas, matemaatikute ütluste uskumise põhjuseks - st nende tõekspidamiseks? Kahtlustatakse, et kui parimate teaduste esindamine on usaldusväärsuse märk, peaksid matemaatiliste teooriate vastuvõetavuse määrama lõpuks teaduslikud standardid. Maddy on tõepoolest viidanud omadusele, mis eristab matemaatikat puhtast astroloogiast, nagu ta märgib (2007, 390); kuid endiselt on ebaselge, miks peaks see funktsioon muutma matemaatika kui teaduse autoriteetseks just matemaatika küsimuste osas. Seega näib, et ta ei ole selgitanud, kuidas saab matemaatika teooriate kohta olla järjekindlalt matemaatik, vaid kõige muu, sealhulgas matemaatika tõe ja olemuse kohta loodusteadlane. Üldisemalt, arvestades, et praktika tekitab tõesust hindavaid avaldusi, näib, et ei saa propageerida X-standardeid kui nende avalduste vastuvõetavuse vahekohtunikke, propageerides samal ajal teistsugust standardite kogumit, Y-standardeid kui vahekohtunikke selles, kas mitte väiteid ei tohiks pidada tõeseks, nende tõlgendamist jne. Pange tähele, et see on probleem, millega seisavad silmitsi ainult heterogeensed, mitte ühtlane naturalism. Arvestades, et praktika tekitab tõesust hindavates avaldustes, näib, et ei saa propageerida X-standardeid kui nende avalduste aktsepteeritavuse vahekohtunikke, propageerides samal ajal teistsugust standardite kogumit, Y-standardeid kui vahekohtunikku selles, kas avaldused või mitte tuleks pidada tõeseks, kuidas neid tuleks tõlgendada jne. Pange tähele, et see on probleem, millega seisavad silmitsi ainult heterogeensed, mitte ühtlane naturalism. Arvestades, et praktika tekitab tõesust hindavates avaldustes, näib, et ei saa propageerida X-standardeid kui nende avalduste aktsepteeritavuse vahekohtunikke, propageerides samal ajal teistsugust standardite kogumit, Y-standardeid kui vahekohtunikku selles, kas avaldused või mitte tuleks pidada tõeseks, kuidas neid tuleks tõlgendada jne. Pange tähele, et see on probleem, millega seisavad silmitsi ainult heterogeensed, mitte ühtlane naturalism.

Ainus viis selle ilmse ebajärjekindluse vältimiseks on eeldada, et matemaatilise praktikaga sanktsioneeritud väite „aktsepteerimine” - väide, millele matemaatika autonoomne praktika annab pöidla üles - ei tähenda selle tõepäraseks tunnistamist. Kuigi Maddy (1997) paar lõiku soovitab seda tõlgendust, ei saa seda tema raamatusse tõsiselt panna. Pealegi on see samaväärne teadusliku naturalismiga vaid nime all. See vastab väitele, et matemaatikud, kes veedavad oma aega öeldes, tehes ja avaldades, ei tohiks sekkuda, vaid peaksime silmas pidama ainult seda, et usume neid matemaatilisi väiteid, mis on sanktsioneeritud teaduslikel põhjustel, sõltumata sellest, kas neile antakse pöialt või mitte matemaatikute keelemängus.

Seda pilti on hiljuti keeruliseks muutnud Maddy väited, et see, mida ta nimetab arealismiks - kui mitte võtta komplektiteooriat ja üldisemalt matemaatikat tõeks - võib olla sama teaduslikult auväärne kui õhuke realism - laias laastus võib seisukoht, et komplektidel on ainult neile omistatud omadused seatud teooria järgi (2007, IV.4). Sellel sissekandel pole ruumi Maddy metafilosoofia selle keerdkäigu õigustamiseks. Piisab, kui märkida järgmine. Äsja arutatud probleemid näivad kerkivat õhukese realisti jaoks samamoodi nagu iga teise realisti jaoks. Ja näib, et arealistlik konstruktor muudab Maddy positsiooni millekski erinevaks siin käsitletud heterogeensest naturalismist.

6. Ontoloogiline naturalism

Metodoloogilisest naturalismist eemale minnes kaaluge nüüd ontoloogilist naturalismi seisukohal, et kõik üksused on looduslikud. Üks viis seda lugeda on see, et eksisteerivad ainult loodusteaduste poolt nimetatud üksused. Teine ja võib-olla loomulikum lugemine on see, et eksisteerivad ainult spontaemporaalsed üksused. Selles lõpposas käsitleme lühidalt mõlemat lugemist ja võtame lühidalt kokku peatükis 6.3 epistemoloogilise naturalismi.

6.1 Loodusteadus kui ontoloogia vahekohtunik

Esimesel lugemisel on ontoloogiline naturalism matemaatikafilosoofias metoodilise teadusliku naturalismi otsene tagajärg. Selles öeldakse, et matemaatika ontoloogia on meie parima loodusõpetuse matemaatiline ontoloogia. Teaduslikud platonistid väidavad pärast Quine'i ja Putnamit, et see ontoloogia on platonist, nagu ka matemaatika-cum-teaduslikud platonistid (nt Burgess ja Rosen (1997)). Vastupanu teaduslikule platonismile ja sellega seotud asendamatuse argument on paigutatud mitmel rindel (nt Väli 1980, Sober 1993, Maddy 1997, ptk II.6, Paseau 2007). Üksikasjaliku arutelu saamiseks pöörduge Colyvani (2011) poole.

6.2 Kõik üksused on spontaemporaalsed

Ontoloogilise naturalismi teine lugemine, mille kohaselt kõik entiteedid on spontaemporaalsed, tähendab matemaatikafilosoofias platonismivastast versiooni.

Positsioon jaguneb. Reduktsioonist lähtudes võetakse matemaatika logo-grammatiliselt nimiväärtusel, kuid selle objekte (numbreid, funktsioone, komplekte jne) peetakse spontaemporaalseks. Seda seisukohta propageeritakse Armstrongi (1991) ja üldisemalt Bigelowi (1988) komplektide puhul. Reduktsioonivabad vaated on mitmekesised. Nende hulka kuulub matemaatika võtmine tähenduseta sümbolmanipulatsioonina (formalism) või kõigi aksioomidele alluvate struktuuride tõesuse uurimisel (strukturalism) või aksioomidele alluvate võimalike struktuuride tõesuse uurimine (modaalstrukturalism)). Bueno (tulemas) arutleb mitmesuguste nominalismide üle, st seisukohtade üle, mis toetavad ainult spontaemporaalseid üksusi. Kuna paljud neist nominaalsustest on ühitatavad nii naturalistide kui ka ontoloogiliselt naturalistlike motiividega, ei aruta me neid siin. Keskendume paljudele küsimustele, mis on seotud peamiselt ontoloogilise realismi reduktsionistlike versioonidega.

Reduktionistlik ontoloogiline naturalism ja mittemodaalne strukturalism komplekti teooria osas seisavad silmitsi vahetu probleemiga: kosmoseajas on nähtavasti palju vähem üksusi kui komplekte. Isegi kõige liberaalsemate eelduste korral (kosmose ajapunktid ja nende suvalised piirkonnad eksisteerivad, võib mõnes nendest punktidest või piirkondadest paikneda mõni väikseim üksuste lõpmatus) on kosmoseaja ja selles olevate objektide suurus suhteliselt madal lõpmatu kardinaalsus (kindlasti ei rohkem kui

Beth
Beth

ω- isegi see on helde). Seega pole piisavalt spontaememoraalseid üksusi, et tõlgendada setteooriat sõnasõnaliselt ega muuta setteooria struktuurset tõlgendust mittetõeselt tõeseks, tagades seeläbi, et setteoreetilised valeväited tulevad pigem valede kui tõeste asemel. Selle ja teiste set-teoreetilise reduktsionismi probleemide kohta vaata Paseau (2008).

Teine probleem on see, et isegi kui kosmoseaeg oleks piisavalt suur, et pakkuda kas komplekti teooria sõnasõnalise tõlgendamise mudelit või selle struktuurse tõlgendamise näidet, oleks see meie universumi kohta tingimuslik fakt. Hulgateooria oleks tõene, kuid tinglik. Kuna tavaliselt peame matemaatikat vajalikuks, on see matemaatikafilosoofia jaoks ebasoodne tagajärg. Mõni võib seda isegi redutseerida.

Nende probleemide versioonid mõjutavad ka Milli empiirikat (1843). Milli jaoks on matemaatika ja loogika loodusteadused ning nende põhimõtted on loodusseadused. Aritmeetika on näiteks agregaatide teooria, st konkreetsete üksuste kogumite teooria. Geomeetria on teooria konkreetsete olemite - joonte, punktide, tasapindade ja nii edasi - idealiseeritud piiride kohta, mille põhimõtted on „tõelised faktid, kus mõni nende olukord on liialdatud või jäetud tegemata” (Mill 1843, kd 1, bk. II, ptk)). Milliani matemaatikafilosoofia on vastuvõtlik just antud kardinalisuse probleemile. (Muidugi on see anakronistlik kriitika, kuna Milli ajal pidi infinitaarset komplektiteooriat veel välja töötama.) Mis puutub matemaatika situatsiooni, siis Mill hammustas kuuli ja aktsepteeris seda.

Miljani vaatega seotud probleem, mis tekib isegi Milli päeva matemaatikas, on dilemma agregaatide agregaatide, agregaatide koondnäitajate olemasolu kohta…. Kõrgema järgu agregaadid, kui need on olemas, võivad olla ainult abstraktsed - mis siis veel? Kuid kui neid ei eksisteeri - kui on ainult esimese järgu agregaadid -, siis eriti numbreid ei ole, näiteks on mõttetu või vale öelda, et kaks preemiat on vahemikus 20-30.

Kitcher (1983) on katse elustada Milli matemaatikafilosoofiat, modelleerides seda. See kajastab matemaatilist tõde võimaliku, kuid mitte tegeliku ideaalagendi toimimise osas ja kuulub seega matemaatika modalistlike filosoofiate rubriiki. (Kuigi Kitcher ise ei armasta seda silti (1983, 121–2).)

Muud reduktionistliku ontoloogilise naturalismi ilmsed probleemid hõlmavad omavoli probleemi ja asjaolu, et see läheb põhjalikult vastu matemaatilisele meetodile. Oletame, et aritmeetika on mõne konkreetse spontaemporaalse olemi uurimine. Väga hästi; aga millised neist? Kindlasti on meelevaldne, milline spatiotemporaalne üksus valitakse arvuga 0. See kriitika on versioon Benacerrafis (1965) esitatud üldisest reduktsioonivastasest argumendist. Vastus sellele on tavaliselt see, et reduktsionism ei püüa paljastada arvterminite tähendust, vaid pakub välja teoreetilise identifitseerimise (Paseau 2009). Samuti on tõsine matemaatikameetodi vasturääkivuse süüdistus. Kui matemaatilised objektid on spontaemporaalsed,miks ei tee matemaatikud oma omaduste avastamiseks katseid? Kui matemaatika oleks tõeliselt seotud ajaliselt ajaliste suhetega, oleks selle metoodika kindlasti empiirilisem.

Arutletud tüüpi ontoloogilisi naturalistlikke seisukohti peetakse neil ja sellega seotud põhjustel problemaatiliseks ning on seetõttu ebapopulaarsed.

6.3 Naturalismi antiplatonism ja epistemoloogiline naturalism

Olenemata nende motivatsioonist nõustusid ontoloogilised looduseuurijad definitsiooni kohaselt (sellel õpetuse teisel lugemisel), et platonism on vale. Mõnikord on ontoloogiline naturalism ajendatud metafüüsilistest õpetustest, näiteks põhimõttest, et kõigel, mis eksisteerib, on põhjuslikud õigused. Selle põhimõtte tellijate hulka kuulub Armstrong (1997), kes nimetab seda eleatide printsiibiks; kriitika kohta vaata Colyvan (2001 ptk 3) ja Papineau (2009).

Ontoloogilise naturalismi populaarseim argument on epistemoloogiline ning sellest tulenevalt on ontoloogiline naturalism sageli seotud epistemoloogilise naturalismiga. Kui on olemas abstraktsed entiteedid, siis tundub, et me ei saa neist teada ega usaldusväärseid uskumusi moodustada (Benacerraf 1973, Field 1989), kuna nad on põhjuslikult meist eraldatud. Enamik filosoofe peab seda peamiseks platonismi vaevavaks probleemiks. Pange tähele, et see argument viib tavaliselt agnostitsismini, mitte abstraktsete matemaatiliste objektide olemasolu eitamiseni. See pole koht, kus argumendiga tegeleda - lisateabe saamiseks vt Balaguer (2009) - visand, kuidas sellele reageerib platonist, kes on ka teaduslik või matemaatiline-cum-teaduslik loodusteadlane, nt Quine.

Naturalistide-platonistide vastus on kahesuunaline (Burgess ja Rosen 1997, 2005; kriitika kohta vt Linnebo 2006, Chihara 2006). Esimene haru on see, et kunagi pole välja töötatud ühtegi lihtsat teadmiste (või usaldusväärse veendumuse või õigustatud veendumuse) kriteeriumi, mis õnnestaks välistada abstraktsed teadmised, välistamata seeläbi teadmiste liike, mida enamik looduseuurijaid aktsepteeriks (Steiner 1975). Paar näidet: (i) tingimus, et p põhjustab usku, et p on liiga tugev, kuna see välistab teadmised tulevikust; (ii) nagu naturalist-platonist seda näeb, on abstraktne matemaatiline reaalsus seega-ja-nii - see on tegelikult osa parimast seletusest veendumusele, et p; seetõttu osutub selline seletusviis platonismiga ühilduvaks. Enamgi veel,naturalistid-platonistid kurdavad, et isegi kui leitaks kriteerium, mis tõmbaks piiri, kuhu nominaalne soovib, et see tõmmatakse, esitaks ta küsimuse platonismi vastu.

Teiseks juhivad loodusteadlased-platonistid standardset Quineani joont, tõlgendades mis tahes väljakutse uskumuste usaldusväärsusele platooniliste matemaatiliste objektide kohta kui üldine väljakutse teadusliku meetodi usaldusväärsusele. (See on teadusliku loodusteadlase vaatevinklist; teaduslik-cum-matemaatiline loodusteadlane võib vastavate kohandustega sama joont kulgeda.) Kuid meie parimate tulede järgi - vastavalt meie maailma parimale teooriale, st loodusteadusele, mis positsioneerib abstraktseid matemaatilisi objekte - usk abstraktsetesse matemaatilistesse üksustesse saadakse usaldusväärse meetodi, nimelt teadusliku meetodi abil. See ei ole lihtsalt enese õigustamine, kuna siin kasutatakse teaduslikku meetodit matemaatiliste uskumuste usaldusväärsuse selgitamiseks, ehkki terviklikult. Kuid kui kahtluse alla seada teadusliku meetodi usaldusväärsus, pole loodusteadlasel muud valikut kui kasutada teaduslik meetod iseenda usaldusväärsuse selgitamiseks. Loodusteadlane-platonist võib lisada, et me ei saa midagi paremat teha ja et kõik, kes seavad kahtluse alla teadusliku meetodi usaldusväärsuse, on sellega naturalistide leeri hüljanud. Sellest vaatenurgast pole siis platonismi epistemoloogilisi probleeme, kui on jõutud järeldusele, et platonistlik matemaatika on osa parimatest teadustest.platonismi jaoks pole epistemoloogilist probleemi, kui on jõutud järeldusele, et platonistlik matemaatika on osa parimatest teadustest.platonismi jaoks pole epistemoloogilist probleemi, kui on jõutud järeldusele, et platonistlik matemaatika on osa parimatest teadustest.

Bibliograafia

  • Armstrong, DM, 1991, “Klassid on asjade seisud”, Mind, 100 (2): 189–200.
  • –––, 1997, asjade maailm, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Baker, A., 2001, “Matemaatika, asendamatus ja teaduse areng”, Erkenntnis, 55: 85–116.
  • Balaguer, M., 2009, “Platonism metafüüsikas”, Stanfordi filosoofia entsüklopeedias (2009. aasta suve väljaanne), Edward N. Zalta (toim), URL = .
  • Bigelow, J., 1988, numbrite tegelikkus, Oxford: Clarendon Press.
  • Benacerraf, P., 1965, “Mis numbrid ei võiks olla”, filosoofiline ülevaade 74, repr. P. Benacerraf & H. Putnam (toim), Matemaatika filosoofia: valitud lugemised 1983, Cambridge University Press.
  • –––, 1973, “Matemaatiline tõde”, ajakiri Philosophy 70, repr. ajakirjas Benacerraf & Putnam (1983), Matemaatikafilosoofia: valitud lugemised, Cambridge: Cambridge University Press, lk 403–420.
  • Bigelow, J., 1988, numbrite tegelikkus, Oxford: Clarendon Press.
  • Bueno, O, tulemas, “Nominalism matemaatika filosoofias”, Stanfordi filosoofia entsüklopeedia.
  • Burgess, J., 1983, “Miks ma pole nominalist”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 24: 93–105.
  • –––, 1990, “Epistemoloogia ja nominalism”, AD Irvine (toim), Physicalism in Mathematics. Dordrecht: Kluwer, lk 1–15.
  • ––– 1998, „Occami raseerija ja teaduslik meetod”, M. Schirnis (toim), „Matemaatika filosoofia tänapäeval”, New York: Oxford University Press, lk 195–214.
  • Burgess, J. & Rosen, G., 1997, Objekt ilma objektita, New York: Oxford University Press.
  • –––, 2005, „Nominalism vaadati läbi“, S. Shapiro (toim), Oxfordi matemaatika ja loogika filosoofia käsiraamat, Oxford: Oxford University Press, lk 515–535.
  • Chihara, C., 2006, “Burgess '' teaduslikud 'argumendid matemaatiliste objektide olemasolu kohta", Philosophia Mathematica 14: 318–37.
  • Colyvan, M., 2001, Matemaatika hädavajalikkus, New York: Oxford University Press.
  • –––, 2011, „Asendamatuse argumendid matemaatikafilosoofias”, Stanfordi filosoofia entsüklopeedia (2011. aasta kevade väljaanne), Edward N. Zalta (toim), URL = .
  • Dieterle, JM, 1999, “Matemaatiline, astroloogiline ja teoloogiline naturalism”, Philosophia Mathematica, 7: 129–135.
  • Field, H., 1980, Teadus ilma numbriteta, Princeton: Princeton University Press.
  • –––, 1989, realism, matemaatika ja moodus, Oxford: Basil Blackwell.
  • Goodman, N. ja Quine. WV, 1947, “Sammud konstruktiivse nominalismi poole”, Journal of Symbolic Logic, 12: 105–122.
  • Hellman, G., 1989, Matemaatika ilma numbriteta, Oxford: Oxford University Press.
  • Kitcher, P., 1983, Matemaatiliste teadmiste olemus, Oxford: Oxford University Press.
  • Lewis, D., 1991, klasside osad, Oxford: Blackwell.
  • –––, 1993, “Matemaatika on meteoloogia”, Philosophia Mathematica, 3: 3–23.
  • Linnebo, Ø, 2006, “Matemaatilise platonismi epistemoloogilised väljakutsed”, filosoofilised uuringud, 129: 545–574.
  • Linsky, B. ja Zalta, E., 1995, “Naturalisaalne platonism vs. Platoniseeritud naturalism”, ajakiri Journal of Philosophy, 92 (10): 525–555 (oktoober).
  • Lycan, WG, 1988, kohtuotsus ja põhjendus, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Maddy, P., 1997, Naturalism matemaatikas, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2001, “Naturalism: sõbrad ja vaenlased”, Filosoofilised vaatenurgad, 15: 37–67.
  • –––, 2005, „Naturalismi kolm vormi” S. Shapiro (toim), Oxfordi matemaatika ja loogika filosoofia käsiraamat, Oxford: Oxford University Press, lk 437–459.
  • –––, 2007, teine filosoofia: naturalistlik meetod, Oxford University Press.
  • Mill, JS, 1843, loogikasüsteem. [mitu väljaannet]
  • Papineau, D., 2009, “Naturalism”, Stanfordi filosoofia entsüklopeedia (2009. aasta kevade väljaanne), Edward N. Zalta (toim), URL = .
  • Paseau, A., 2005, “Naturalism matemaatikas ja filosoofia autoriteet”, Briti ajakiri teaduse filosoofiale, 56: 399–418.
  • –––, 2007, „Teaduslik platonism”, autorid M. Leng, A. Paseau ja M. Potter (toim), Mathematical Knowledge, Oxford: Oxford University Press, lk 123–149
  • –––, 2008, „Komplektide redutseerimise motiveerimine“, Australasian Journal of Philosophy, 86: 295–307.
  • –––, 2009, “Aritmeetika redutseerimine teooria määramiseks”, Ø. Linnebo ja O. Bueno (toim), Matemaatika filosoofia uued lained, Palgrave Macmillan.
  • Popper, KR, 1935, Logik der Forschung, Viin: Springer.
  • Putnam, H., 1971, “Loogikafilosoofia”, repr. aastal oma matemaatikas, küsimuses ja meetodis: Philosophical Papers (1. köide), Cambridge: Cambridge UP, lk 323–57.
  • Roland, Jeffrey, 2009, “Matemaatika epistemoloogia naturaliseerimise kohta”, Vaikse ookeani filosoofiline kvartal, 90 (1): 63–97.
  • Quine, WV, 1955, “Posits and Reality”, repr. ajakirjas The Ways of Paradox and Other Essays, Cambridge, MA: Harvard University Press, lk 246–54.
  • –––, 1981, “Asjad ja nende kohad teooriates” tema teooriates ja asjades, Cambridge, MA: Harvard University Press, lk 1–23.
  • ––– 1986, “Vastus Charles Parsonsile”, artiklites L. Hahn ja P. Schilpp (toim.), WV Quine'i filosoofia, La Salle: avatud kohus, lk 396–403.
  • –––, 1995, stiimulist teadusele. Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Quine, WV ja Ullian, J., 1970, The Web of Belief, New York: McGraw Hill.
  • Roland, J., 2007, “Maddy and Mathematics: Naturalism or not”, British Journal for the Science Philosophy, 58: 423–450.
  • Rosen, G., 1999, Maddy ülevaade (1997), Briti ajakiri teaduse filosoofiale, 50: 467–74.
  • Shapiro, Stewart ja Patrick Reeder, 2009, “Teaduslik ettevõte ?: Penelope Maddy teine filosoofia”, Philosophia Mathematica, 17 (2): 247–271.
  • Sober, E., 1993, “Matemaatika ja asendamatus”, Philosophical Review, 102: 35–58.
  • Steiner, M., 1975, Mathematical Knowledge, Princeton: Princeton University Press.
  • Tappenden, J., 2001, “Ülevaade: Hiljutised tööd matemaatikafilosoofias”, ajakiri Philosophy, 98: 488–97.
  • Wittgenstein, L., 1953, Philosophical Investigations, Oxford: Blackwell.

Akadeemilised tööriistad

sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon
info ikoon
Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon
phil paberite ikoon
Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

[Palun võtke soovitustega ühendust autoriga.]

Populaarne teemade kaupa