Video: Korrutamine | numbrid | Matemaatika | lapsed | Hosy Akadeemia 2023, Märts
Sisenemise navigeerimine
Sissesõidu sisu
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Sõprade PDF-i eelvaade
Teave autori ja tsitaadi kohta
Tagasi üles
Platonism matemaatika filosoofias
Esmakordselt avaldatud laupäeval 18. juulil 2009; sisuline redaktsioon teisipäev, 18. jaanuar 2018
Platonism matemaatika (või matemaatilise platonismi) kohta on metafüüsiline seisukoht, et on abstraktseid matemaatilisi objekte, mille olemasolu on meist ja meie keelest, mõttest ja tavadest sõltumatu. Nii nagu elektronid ja planeedid eksisteerivad meist sõltumatult, toimivad ka numbrid ja komplektid. Ja nagu avaldused elektronide ja planeetide kohta muudavad tõesed või väärad objektid, millega nad on seotud, ja nende objektide täiesti objektiivsed omadused, nagu ka väited arvude ja komplektide kohta. Matemaatilisi tõdesid seetõttu avastatakse, mitte leiutatakse.
Abstraktsete matemaatiliste objektide olemasolu kõige olulisem argument tuleneb Gottlob Frege'ist ja läheb järgmiselt (Frege 1953). Matemaatikakeele eesmärk on abstraktsetele matemaatilistele objektidele viitamine ja kvantifitseerimine. Ja suur hulk matemaatilisi teoreeme on tõesed. Kuid lause ei saa olla tõene, kui selle alamväljenditel õnnestub teha seda, mida nad väidetavalt teevad. Nii on olemas abstraktsed matemaatilised objektid, millele need väljendid viitavad ja kvantifitseerivad.
Frege väitest hoolimata on filosoofid matemaatilise platonismi suhtes välja töötanud mitmesuguseid vastuväiteid. Seega väidetakse, et abstraktsed matemaatilised objektid on epistemoloogiliselt kättesaamatud ja metafüüsiliselt probleemsed. Matemaatiline platonism on viimase paarikümne aasta jooksul olnud matemaatikafilosoofias kõige tulisemalt arutatud teemade hulgas.
1. Mis on matemaatiline platonism?
1.1 Ajaloolised märkused
1.2 Matemaatilise platonismi filosoofiline tähendus
1.3 Objektide realism
1.4 Tõeväärtuse realism
1.5 Platonismi matemaatiline olulisus
2. Fregeeni eksisteerimise argument
2.1 Argumendi struktuur
2.2 Klassikalise semantika kaitsmine
2.3 Tõe kaitsmine
2.4 Ontoloogilise pühendumise mõiste
2.5 Eksistentsist matemaatilise platonismini?
3. Vastuväited matemaatilisele platonismile
3.1 Epistemoloogiline juurdepääs
3.2 Metafüüsiline vastuväide
3.3 Muud metafüüsilised vastuväited
4. Objektireaalsuse ja matemaatilise platonismi vahel
4.1 Kuidas mõista iseseisvust
4.2 Plentide platonism
4.3 Kerged semantilised väärtused
4.4 Objektide realismi kaks täiendavat kerget vormi
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed
1. Mis on matemaatiline platonism?
Matemaatilist platonismi võib defineerida kui kolme järgmise teesi koosmõju:
Olemasolu.
Seal on matemaatilisi objekte.
Abstraktsus.
Matemaatilised objektid on abstraktsed.
Iseseisvus.
Matemaatilised objektid ei sõltu intelligentsetest agentidest ning nende keelest, mõttest ja tavadest.
Mõned matemaatilise platonismi tüüpilised määratlused on loetletud täienduses
Mõned platonismi definitsioonid
ja dokumenteerige, et ülaltoodud määratlus on üsna standardne.
Platonism üldiselt (erinevalt konkreetselt matemaatika platonismist) on mis tahes seisukoht, mis tuleneb kolmest eeltoodud väitest, asendades omadussõna „matemaatiline” mõne muu omadussõnaga.
Kaks esimest nõuet on käesoleval eesmärgil talutavalt selged. Olemasolu võib vormistada kui „M x Mx”, kus „Mx” lühendab predikaati „x on matemaatiline objekt”, mis kehtib kõigi ja ainult puhaste matemaatika abil uuritud objektide kohta, nagu numbrid, komplektid ja funktsioonid. Abstraktsus ütleb, et iga matemaatiline objekt on abstraktne, kus objekti öeldakse abstraktseks igaks juhuks, kui see on mitte-spatiotemporaalne ja (seetõttu) põhjuslikult ebaefektiivne. (Lisateavet leiate abstraktsete objektide kirjest.)
Iseseisvus pole vähem selge kui ülejäänud kaks väidet. Mida tähendab omistada objektile selline iseseisvus? Kõige ilmsem läige on ilmselt vastuoluline tingimus, et kui arukaid agente poleks olnud või kui nende keel, mõte või tavad oleksid teistsugused, oleks ikka olnud matemaatilisi objekte. Siiski on kaheldav, kas see läige teeb kogu selle töö, mida Iseseisvus peaks tegema (vt punkt 4.1). Praegu jäetakse iseseisvus mõnevõrra skemaatiliseks.
1.1 Ajaloolised märkused
Platonismi tuleb eristada ajaloolise Platoni vaatenurgast. Vähesed kaasaegses platonismi käsitlevas arutelus osalejad esitavad Platoni vaate kohta tugevaid eksegeetilisi väiteid, veelgi vähem kaitsevad seda. Ehkki vaade, mida me nimetame “platonismiks”, on inspireeritud Platoni kuulsast abstraktsete ja igavikuliste vormide teooriast (vt sissekannet Platoni metafüüsika ja epistemoloogia kohta), määratletakse ja arutatakse platonismi nüüd sõltumatult selle algsest ajaloolisest inspiratsioonist.
Vaatlusalune platonism pole mitte ainult Platoni oma, vaid ka ülalkirjeldatud platonism on puhtalt metafüüsiline vaade: seda tuleks eristada teistest vaadetest, millel on sisuline epistemoloogiline sisu. Paljud vanemad platonismi iseloomustused lisavad tugevaid epistemoloogilisi väiteid selle kohta, et meil on abstraktsete objektide valdkonnast kohe aru saada või sellest ülevaade saada. (Vt nt Rees 1967.) Kuid on kasulik (ja tänapäeval üsna tavaline) reserveerida mõiste “platonism” puhtalt metafüüsilise vaate jaoks, mida on kirjeldatud eespool. Paljud filosoofid, kes kaitsevad platonismi selles puhtalt metafüüsilises mõttes, lükkaksid täiendavad epistemoloogilised väited tagasi. Näited hõlmavad Quine'i ja teisi filosoofe, keda köidab nn asendamatuse argument, mille eesmärk on matemaatilise platonismi laiaulatuslik empiiriline kaitse.(Vt matemaatikafilosoofia hädavajalikke argumente käsitlevat kirjet.)
Lõpuks välistab ülaltoodud „matemaatilise platonismi” määratlus väite, et kõik puhta matemaatika tõed on vajalikud, ehkki seda väidet on traditsiooniliselt esitanud enamik platoniste. Seda välistamist õigustab jällegi asjaolu, et mõned filosoofid, keda peetakse üldiselt platonistideks (näiteks Quine ja mõned ülalmainitud asendamatuse argumendi pooldajad), lükkavad selle täiendava modaalse väite tagasi.
1.2 Matemaatilise platonismi filosoofiline tähendus
Matemaatilisel platonismil on märkimisväärne filosoofiline tähendus. Kui vaade on tõene, avaldab see suurt survet füüsilisele ideele, et füüsika ammendab reaalsuse. Platonism tähendab, et reaalsus ulatub palju kaugemale füüsilisest maailmast ja hõlmab objekte, mis ei kuulu füüsiliste teaduste uuritud põhjuslikku ja spatiotemporaalsesse järjekorda. [1] Matemaatiline platonism, kui see on tõsi, avaldab suurt survet ka paljudele teadmiste naturalistlikele teooriatele. On vähe kahtlust, et meil on matemaatikaalaseid teadmisi. Matemaatilise platonismi tõde kinnitaks seetõttu, et meil on teadmisi abstraktsetest (ja seega põhjuslikult ebaefektiivsetest) objektidest. See oleks oluline avastus, mille kohandamiseks näeksid paljud teadmiste naturalistlikud teooriad.
Ehkki need filosoofilised tagajärjed pole ainulaadsed matemaatilisele platonismile, sobib see konkreetne platonismi vorm selliste tagajärgede toetamiseks ebaharilikult hästi. Matemaatika on märkimisväärselt edukas distsipliin, nii omaette kui ka muude teaduste jaoks abivahend. [2] Vähesed tänapäevased analüütilised filosoofid on valmis vastu astuma distsipliini, mille teaduslikud volitused on sama tugevad kui matemaatika, põhinõuetele (Lewis 1991, lk 57–9). Nii et kui filosoofilises analüüsis selgus, et matemaatikal on mõned kummalised ja üllatavad tagajärjed, oleks ebameeldiv lihtsalt matemaatika tagasi lükata. [3]Selles distsipliinil põhinev platonismi vorm, mille teaduslikud volitused on matemaatika omast vähem muljetavaldavad, poleks selles õnnetud olukorras. Näiteks kui teoloogial ilmnevad mingid kummalised ja üllatavad filosoofilised tagajärjed, ei kõhkle paljud filosoofid teoloogia asjakohaseid osasid tagasi lükkamas.
1.3 Objektide realism
Objektide realism olgu seisukoht, et eksisteerivad abstraktsed matemaatilised objektid. Objektide realism on seega lihtsalt olemasolu ja abstraktsus. [4] Objektide realism seisab nominaalsuse vastanduses, mida tänapäeva filosoofias määratletakse tavaliselt vaatena, et abstraktseid objekte pole. (Traditsioonilisemas filosoofilises kasutuses viitab sõna „nominaalsus” hoopis arvamusele, et universaale pole olemas. Vt Burgess & Rosen 1997, lk 13–25 ja sissekannet abstraktsetest objektidest.)
Kuna objektireaalsus jätab iseseisvuse välja, on see vaade loogiliselt nõrgem kui matemaatiline platonism. Objektirealismi filosoofilised tagajärjed pole seega nii tugevad kui platonismi tagajärjed. Paljud füüsikud aktsepteeriksid mittefüüsilisi objekte, kui need on füüsilistest objektidest sõltuvad või taandatavad. Nad võivad näiteks aktsepteerida selliseid objekte nagu ettevõtted, seadused ja luuletused, tingimusel et need on füüsilistest objektidest sobivalt sõltuvad või redutseeritavad. Pealegi ei näi olevat mingit saladust episteemilise juurdepääsu kohta mittefüüsilistele objektidele, mille me oleme mingil moel loonud või "moodustanud". Kui ettevõtted, seadused ja luuletused on meie tehtud või "moodustatud", saame arvatavasti nende kohta teadmisi nende koostamise või "moodustamise" käigus.
Mõned vaated matemaatikafilosoofias on objektrealistlikud, ilma et nad oleksid platonistid. Üks näide on traditsioonilised intuitsionistlikud vaated, mis kinnitavad matemaatiliste objektide olemasolu, kuid väidavad, et need objektid sõltuvad matemaatikutest või nende tegevusest või koosnevad neist. [5] Mõnda täiendavat näidet vaadetest, mis on objektrealistlikud ja pole platoonistid, käsitletakse 4. osas.
1.4 Tõeväärtuse realism
Tõeväärtuse realism on seisukoht, et igal hästi vormistatud matemaatilisel avaldusel on ainulaadne ja objektiivne tõeväärtus, mis ei sõltu sellest, kas see on meile teada ja kas see tuleneb loogiliselt meie praegustest matemaatilistest teooriatest. Samuti on seisukoht, et enamik matemaatilisi väiteid, mida peetakse tõeseks, on tõepoolest tõesed. Nii et tõeväärtuse realism on selgelt metafüüsiline vaade. Kuid erinevalt platonismist ei ole see ontoloogiline vaade. Ehkki kuigi tõeväärtuse realism väidab, et matemaatilistel väidetel on ainulaadsed ja objektiivsed tõeväärtused, ei pühenduta selgelt platonistlikule ideele, et neid tõe väärtusi tuleb selgitada matemaatiliste objektide ontoloogia abil.
Matemaatiline platonism motiveerib selgelt tõe ja väärtuse realismi, pakkudes ülevaate sellest, kuidas matemaatilised väited saavad oma tõe väärtused. Kuid kunagine vaade ei tähenda viimast, kui ei lisandu uusi ruume. Isegi kui on olemas matemaatilisi objekte, võib referent- ja kvantitatiivne määramatus jätta matemaatilistel väidetel ainulaadse ja objektiivse tõeväärtuse. Seevastu tõeväärtusrealism ei tähenda iseenesest eksistentsi ega tähenda seega ei objektrealismi ega platonismi. Sest matemaatiliste avalduste jaoks võib olla ainulaadseid ja objektiivseid tõeväärtusi, mis ei esinda matemaatiliste objektide valdkonda, ja selle kohta on palju erinevusi. [6]
Tegelikult toetavad paljud nominalistid tõe-väärtuste realismi, vähemalt umbes matemaatika põhialuseid, näiteks aritmeetikat. Seda tüüpi nominendid on pühendunud pisut kummalisele arvamusele, ehkki tavaline matemaatiline väide
(1) PRIME numbrid on vahemikus 10 kuni 20.
on tõsi, matemaatilisi objekte ja seega eriti numbreid tegelikult pole. Kuid siin pole mingit vastuolu. Me peame eristama keelt L M, milles matemaatikud väidavad, ja keelt L P, milles nominalistid ja muud filosoofid esitavad oma. Avaldus (1) on tehtud L M. L P-s esitatakse aga nominaali väide, et (1) vastab tõele, kuid et abstraktseid objekte pole. Nominalisti väide on seega täiesti sidus, kui (1) tõlgitakse mittehomofooniliselt L M -st L P- sse. Ja tõepoolest, kui nominalist väidab, et L M lausete tõeväärtusedon fikseeritud viisil, mis ei meeldi matemaatilistele objektidele, just seda peab ta silmas mittehomofoonilises tõlkes. Eelmises märkuses mainitud vaade on näide.
See näitab, et väitel eksistentsil oleks soovitud mõju, tuleb seda väljendada keeles L P, mida meie filosoofid kasutasime. Kui väide oli väljendatud matemaatikute kasutatavas keeles L M, siis võisid nominalistid väitega nõustuda, eitades siiski, et on vastupidiselt nõude eesmärgile matemaatiliste objektide olemasolu.
Filosoofide väike, kuid oluline traditsioon nõuab tungivalt, et arutelu platonismi üle tuleks asendada või vähemalt muuta aruteluks tõeväärtuse realismi üle. Selle arvamuse toetuseks pakutakse seda, et endine arutelu on lootusetult ebaselge, samas kui viimane on paremini jälgitav (Dummett 1978a, lk 228–232 ja Dummett 1991b, lk 10–15). Veel üks pakutud põhjus on see, et arutelu tõeväärtuse realismi üle on nii filosoofia kui ka matemaatika jaoks suurema tähtsusega kui see, mis puudutab platonismi. [7]
1.5 Platonismi matemaatiline olulisus
Töötav realism on metoodiline seisukoht, et matemaatikat tuleks harjutada nii, nagu platonism vastaks tõele (Bernays 1935, Shapiro 1997, lk 21–27 ja 38–44). See nõuab mõningaid selgitusi. Matemaatika aluste üle peetud aruteludes on sageli kasutatud teatud matemaatiliste meetodite kaitsmiseks platonismi, näiteks järgmist:
Klassikalised esimese astme (või tugevamad) keeled, mille ainsuse terminid ja kvantifikaatorid näivad viitavat matemaatilistele objektidele ja ulatuvad neist. (See vastandub matemaatika ajaloos domineerinud keeltega, mis tuginesid rohkem konstruktiivsele ja modaalsele sõnavarale.)
Klassikaline, mitte intuitionistlik loogika.
Mittekonstruktiivsed meetodid (näiteks mittekonstruktiivsed olemasolu tõestused) ja mittekonstruktiivsed aksioomid (näiteks valiku aksioom).
Mittetäielikud määratlused (st definitsioonid, mis kvantifitseerivad tervikut, kuhu määratletav objekt kuuluks).
'Hilbertian optimismi', see tähendab usku, et iga matemaatiline probleem on põhimõtteliselt lahendatav. [8]
Töötava realismi kohaselt on need ja muud klassikalised meetodid vastuvõetavad ja kättesaadavad kõigis matemaatilistes põhjendustes. Kuid toimiv realism ei võta seisukohta, kas need meetodid vajavad mingit filosoofilist kaitset ja kui jah, siis kas see kaitse peab põhinema platonismil. Lühidalt, kui platonism on selgelt filosoofiline vaade, on toimiv realism ennekõike vaade matemaatikale selle distsipliini õige metoodika kohta. Seetõttu on platonism ja toimiv realism erinevad vaated.
Kahe vaate vahel võivad muidugi olla loogilised seosed. Töötava realismi päritolu arvestades pole üllatav, et vaade saab tugevat tuge matemaatilisest platonismist. Oletame, et matemaatiline platonism on tõene. Siis peaks matemaatika keel selgelt vastama alapunktis i kirjeldatule. Teiseks, kui on õigustatud klassikaliselt mõtiskleda reaalsuse mis tahes iseseisvalt eksisteeriva osa üle, siis järgiks ka ii). Kolmandaks, kuna platonism tagab matemaatika avastamise, mitte leiutamise, siis poleks vaja matemaatikutel piirduda konstruktiivsete meetodite ja aksioomidega, millest tuleneb punkt iii. Neljandaks, Gödeli (1944) tõttu on mõjuv ja mõjukas argument, et ebatäpsed määratlused on õigustatud, kui määratletavad objektid eksisteerivad meie määratlustest sõltumatult.(Näiteks tundub "klassi kõrgeim poiss" vaatamata ebareaalsele probleemile.) Kui see on õige, siis järgneb punkt iv. Lõpuks, kui matemaatika on seotud mingisuguse iseseisvalt eksisteeriva reaalsusega, siis on igal matemaatilisel probleemil ainulaadne ja kindel vastus, mis pakub vähemalt mingil määral motivatsiooni Hilbertiansi optimismiks. (Vt siiski täieliku platonismi arutelu osas 4.2.)
Matemaatilise platonismi tõel oleks seetõttu olulised tagajärjed ka matemaatikas endas. See õigustaks töörealismiga seotud klassikalisi meetodeid ja julgustaks otsima uusi aksioome, et lahendada küsimused (näiteks pidevhüpotees), mis on meie praeguste matemaatiliste teooriatega lahtiseks jäetud.
Töötav realism ei tähenda aga mingil ilmselgelt platonismi. Ehkki töötav realism ütleb, et tänapäevase matemaatika platonistliku keele kasutamine on õigustatud, jääb see platonismist vähemaks vähemalt kahel viisil. Nagu näitas ülaltoodud tõeväärtusrealismi arutelu, saab matemaatika platonistlikku keelt analüüsida viisil, mis väldib viidet matemaatilistele objektidele ja nende kvantifitseerimist. Veelgi enam, isegi kui matemaatika keele näiväärtuse analüüs oleks õigustatud, toetaks see objekti realismi, kuid mitte platonismi. Platonismi kolmanda komponendi, nimelt iseseisvuse, jaoks oleks vaja täiendavat argumenti. Sellise väite väljavaateid käsitletakse jaotises 4.1.
2. Fregeeni eksisteerimise argument
Kirjeldame nüüd matemaatiliste objektide olemasolu argumendi malli. Kuna esimene filosoof, kes selle üldise vormi argumendi välja töötas, oli Frege, nimetatakse seda Fregeani argumendiks. Kuid mall on üldine ja võtab kokku Frege enda matemaatiliste objektide olemasolu kaitsmise kõige spetsiifilisemaid aspekte, näiteks tema arvamuse, et aritmeetika on taandatav loogikale. Fregeani loogika on ainult üks viis selle malli väljatöötamiseks; mõnda muud viisi mainitakse allpool.
2.1 Argumendi struktuur
Fregeani argument põhineb kahel eeldusel, millest esimene puudutab matemaatika keele semantikat:
Klassikaline semantika.
Matemaatika keele ainsusterminid tähendavad matemaatilisi objekte ja selle esimese järgu kvantifikaatorid peavad ulatuma selliste objektide suhtes.
Sõna "väide" tuleb selgitada. Kui lause S eesmärk on teatud viisil viidata või kvantifitseerida, tähendab see, et S oleks tõene, peab S-il õnnestuma sel viisil viidata või kvantifitseerida.
Teine eeldus ei vaja palju selgitust:
Tõde.
Enamik matemaatiliste teoreemidena aktsepteeritud lauseid on tõesed (sõltumata nende süntaktilisest ja semantilisest struktuurist).
Vaatleme lauseid, mida aktsepteeritakse matemaatiliste teoreemidena ja mis sisaldavad ühte või mitut matemaatilist ainsuseterminit. Autor tõde, enamik neist laused on tõsi. [9] Olgu S üks selline lause. Autor Klassikaline Semantika, tõde S nõuab, et tema ainsuses õnnestub viidates matemaatilisi objekte. Seega peavad olemas olema matemaatilised objektid, nagu väidab olemasolu. [10]
2.2 Klassikalise semantika kaitsmine
Klassikaline semantika väidab, et matemaatika keel funktsioneerib semantiliselt sarnaselt üldfunktsioonide keelega (või vähemalt on traditsiooniliselt eeldatud, et see funktsioneerib): ainsuse ja kvantifikaatori semantilised funktsioonid viitavad vastavalt objektidele ja ulatusele objektide vahel. See on üldjoontes empiiriline väide poolformaalse keele toimimise kohta, mida kasutavad professionaalsed matemaatikud. (Burgess & Rosen 1997 laialt levinud terminoloogias, lk 6–7 on klassikaline semantika hermeneutiline väide, see tähendab, see on kirjeldav väide selle kohta, kuidas teatud keelt tegelikult kasutatakse, mitte normatiivne väide selle keele kohta, kuidas seda keelt kasutatakse) tuleks kasutada.) Pange tähele ka klassikalist semantikat ühildub enamiku traditsiooniliste semantiliste vaadetega; eriti sobib see kokku kõigi tavapäraste vaadetega lausete tähenduste kohta, nimelt et need on tõeväärtused, väited või võimalike maailmade kogumid.
Klassikaline semantika naudib esmapilgul usutavust. Matemaatika keelel näib tugevalt olevat sama semantiline struktuur nagu tavalisel mittematemaatikalisel keelel. Nagu täheldab Burgess (1999), näib, et kahel järgmisel lausel on subjektile omistatud predikaadi sama semantiline struktuur (lk 288):
(4) Evelyn on ürgne.
(5) Üksteist on peaminister.
Seda välimust kinnitavad ka keeleteadlaste ja semantikute väljapakutud standardsed semantilised analüüsid.
Klassikalist semantikat on sellegipoolest vaidlustanud näiteks sellised nominalistid nagu Hellman (1989) ja Hofweber (2005 ja 2016). (Vt ka Moltmann (2013) mõne loomuliku keele aritmeetilise sõnavaraga seotud väljakutse kohta.) See pole koht selliste väljakutsete laiendatud aruteluks. Lubage mul vaid märkida, et sedalaadi väljakutse õigustamiseks on vaja palju tööd. Vaidlustaja peab väitma, et matemaatilise ja mittematemaatilise keele näilised semantilised sarnasused on petlikud. Ja need argumendid peavad olema seda laadi, mida keeleteadlased ja semantikud - kellel puudub huvi matemaatikafilosoofia vastu - võiksid tunnistada olulisteks. [11]
2.3 Tõe kaitsmine
Tõde saab kaitsta mitmel erineval viisil. Kõigi kaitsemehhanismide jaoks on ühine see, et nad tuvastavad kõigepealt mingi standardi, mille abil saab matemaatiliste avalduste tõeväärtusi hinnata, ja väidavad seejärel, et matemaatilised teoreemid vastavad sellele standardile.
Üks võimalus on apelleerida standardile, mis on põhimõttelisem kui matemaatika ise. Loogika on näide. Frege ja teised loogikud väidavad kõigepealt, et puhta loogika mis tahes teoreem on tõene. Seejärel üritavad nad näidata, et teatud matemaatikaharude teoreeme saab tõestada üksnes puhta loogika ja definitsioonide põhjal.
Teine võimalus on apelleerida empiirilise teaduse standarditele. Quine-Putnam asendamatuse argument on näide. Esiteks väidetakse, et empiirilise teaduse mis tahes hädavajalik osa peab tõenäoliselt olema tõene ja seetõttu on midagi sellist, millesse me õigustatud oleme. Siis väidetakse, et suured matemaatikakogused on empiirilise teaduse jaoks hädavajalikud. Kui mõlemad väited on õiged, järeldub, et tõde on tõenäoliselt tõsi ja seetõttu on usk tõesse õigustatud. (Vt matemaatikafilosoofia hädavajalikke argumente käsitlevat kirjet.)
Kolmas võimalus on apelleerimine matemaatika enda standarditele. Miks peaks matemaatiliste teoreemide tõesuse kaitsmiseks pöörduma mittematemaatiliste standardite, näiteks loogika või empiiriliste teaduste standardite poole? Kui me kaitseme loogika ja füüsika väidete tõesust, ei pea me pöörduma normide poole, mis asuvad väljaspool loogikat ja füüsikat. Pigem eeldame, et loogika ja füüsika pakuvad oma sui generis õigustusstandardeid. Miks peaks matemaatika erinema? See kolmas strateegia on viimastel aastatel pälvinud palju tähelepanu, sageli rubriigis „naturalism” või „matemaatiline naturalism”. (Vt Burgess & Rosen 1997, Maddy 1997, ja kriitilise arutelu jaoks lugege sissejuhatust naturalismi kohta matemaatikafilosoofias.)
Siin on näide, kuidas saab välja töötada naturalistliku strateegia. Nimetage matemaatikute suhtumist matemaatika teoreemidesse "aktsepteerimiseks". Siis näivad järgmised väited usutavad:
(6) Matemaatikutele on matemaatika teoreemide aktsepteerimine õigustatud.
(7) Matemaatilise väite S aktsepteerimine tähendab, et S võetakse tõeks.
(8) Kui matemaatik aktsepteerib matemaatilist lauset S, on selle hoiaku sisu üldiselt S sõna otseses tähenduses.
Nendest kolmest väitest järeldub, et matemaatikaekspertidel on õigustatud pidada matemaatika teoreeme sõnasõnalisteks tõdedeks. Laiemas ülejäänud meist liiga on õigustatud uskuma tõde. Pange tähele, et eksperdid, kellega (6) on seotud, ei pea ise uskuma (7) ja (8), rääkimata sellise uskumuse õigustamisest. Oluline on see, et need kolm väidet on tõesed. Lõigete 7 ja 8 tõesuse väljaselgitamise ülesanne võib langeda keeleteadlastele, psühholoogidele, sotsioloogidele või filosoofidele, kuid kindlasti mitte matemaatikute endi kanda.
2.4 Ontoloogilise pühendumise mõiste
Fregeani argumendi versioone räägitakse mõnikord ontoloogilise pühendumise mõiste osas. Oletame, et tegutseme Quineani standardse ontoloogilise pühendumuse kriteeriumiga:
Quine'i kriteerium.
Esimese astme lause (või selliste lausete kogum) ontoloogiliselt pühendatakse sellistele objektidele, mille puhul tuleb eeldada, et lause (või lausekogumiku) muutujate vahemik vastab tõele.
Siis järeldub klassikalisest semantikast, et paljud matemaatika laused on ontoloogiliselt pühendatud matemaatilistele objektidele. Selle nägemiseks kaaluge tüüpilist matemaatilist teoreemi S, mis hõlmab kas ainsuse või esimese järgu kvantifikaatorite normaalset laienemist. Autor Klassikaline Semantika need väljendid tahetud viidata või vahemik, matemaatiline objektid. Selleks, et S tõele vastaks, peavad need väljendid õnnestuma teha seda, mida nad väidetavalt teevad. Järelikult, et S oleks tõene, peavad muutujate vahemikus olema matemaatilised objektid. Autor Quine kriteerium See tähendab, et S on ontoloogiliselt pühendunud matemaatilisi objekte.
Quine ja paljud teised peavad Quine'i kriteeriumi pisut enamaks kui mõiste “ontoloogiline pühendumus” määratlust (Quine 1969 ja Burgess 2004). Kuid sellegipoolest on selle kriteeriumi vaidlustatud. Mõned filosoofid eitavad, et ainsuse ja esimese järgu kvantifikaatorid põhjustavad automaatselt ontoloogilisi kohustusi. Võib-olla hõlmab see, mida lause tõesuse saavutamiseks „maailmalt nõutakse”, hõlmama kvantifikaatorite vahemikus mõne, kuid mitte kõigi objektide olemasolu (Rayo 2008). Või ehk peaksime katkestama seose esmajärgulise eksistentsiaalse kvantitaatori ja ontoloogilise pühendumise mõiste vahel (Azzouni 2004, Hofweber 2000 ja 2016).
Üks vastus neile väljakutsetele on jälgida, et Fregeani argument töötati eespool välja ilma termini “ontoloogiline pühendumus” kasutamist. Seega näib Quine'i kriteeriumis esitatud ontoloogilise pühendumuse määratluse vaidlustamine Fregeani argumendi eespool välja töötatud versiooni jaoks ebaolulisena. See vastus ei rahulda tõenäoliselt vaidlustajaid, kes vastavad, et eespool esitatud väite järeldus on kavandatud mõju saavutamiseks liiga nõrk. Tuletame meelde, et järeldus, olemasolu on vormistatud meie filosoofilises metakeeles L Pkui '∃ x Mx'. Nii et see vormistamine ei saavuta soovitud eesmärki, kui see metakeele lause pole sellist laadi, mis nõuab ontoloogilist pühendumist. Kuid just seda vaidlevad vaidlustajad. Seda poleemikat ei saa siin edasi arendada. Praegu jälgime lihtsalt, et väljakutsed peavad esitama ülevaate, miks nende mittestandardne ettekujutus ontoloogilisest pühendumusest on parem ja teoreetiliselt huvitavam kui Quineani tavamõiste.
2.5. Eksistentsist matemaatilise platonismini?
Oletame, et aktsepteerime eksistentsi, võib-olla Fregeani argumendi põhjal. Nagu nägime, pole see veel matemaatilise platonismi aktsepteerimine, mis tuleneb kahe täiendava väite abstraktsuse ja sõltumatuse lisamisest eksistentsile. Kas need kaks täiendavat nõuet on õigustatavad?
Filosoofia standardite järgi on abstraktsus jäänud suhteliselt vaieldamatuks. Nende väheste filosoofide hulgas, kes on selle vaidlustanud, on Maddy (1990) (ebapuhtad komplektid) ja Bigelow (1988) (mis puudutab komplekte ja mitmesuguseid numbreid). Vaidluste suhteliselt vähene puudumine tähendab, et vähe on abstraktsuse selgesõnalisi kaitsevõimalusion välja töötatud. Kuid pole raske mõista, kuidas selline kaitse minna võib. Siin on üks idee. Matemaatika igasuguse filosoofilise tõlgendamise osas on usutav prima facie piirang, et see peaks vältima matemaatika omistamist tunnustele, mis muudaksid tegeliku matemaatikapraktika ekslikuks või ebapiisavaks. Selle piirangu tõttu on raske eitada, et puhta matemaatika objektid on abstraktsed. Kui nendel objektidel oleks spontaemporaalsed asukohad, oleks tegelik matemaatika tava ekslik ja ebapiisav, kuna puhtad matemaatikud peaksid siis huvi tundma oma objektide asukohtade vastu, samamoodi nagu zooloogid tunnevad huvi loomade asukohtade vastu. Fakt, et puhtad matemaatikud selle küsimuse vastu huvi ei tunne, näitab, et nende objektid on abstraktsed.
Sõltumatus ütleb, et matemaatilised objektid, kui neid on, on sõltumatud intelligentsetest agentidest ning nende keelest, mõttest ja tavadest. Arutleme 4. lõigus, mida see väitekiri võiks endast kujutada ja kuidas seda kaitsta.
3. Vastuväited matemaatilisele platonismile
On välja töötatud mitmesuguseid vastuväiteid matemaatilisele platonismile. Siin on kõige olulisemad.
3.1 Epistemoloogiline juurdepääs
Kõige mõjukam vastuväide on tõenäoliselt Benacerrafi (1973) inspireeritud vastuväide. Järgnevalt on toodud Benacerrafi vastuväite täiustatud versioon Fieldi (1989) tõttu. [12] See versioon tugineb kolmele järgmisele eeldusele.
Eeldus 1.
Matemaatikud on usaldusväärsed selles mõttes, et peaaegu iga matemaatilise lause S korral, kui matemaatikud aktsepteerivad S-d, on S tõene.
Eeldus 2.
Et usk matemaatikasse oleks õigustatud, peab vähemalt põhimõtteliselt olema võimalik selgitada eelduses 1 kirjeldatud usaldusväärsust.
Eeldus 3.
Kui matemaatiline platonism vastab tõele, ei saa seda usaldusväärsust isegi põhimõtteliselt selgitada.
Kui need kolm eeldust on õiged, järeldub sellest, et matemaatiline platonism õõnestab meie õigustust matemaatikasse uskuda.
Aga kas ruumid on õiged? Kaks esimest ruumi on suhteliselt vaieldamatud. Enamik platoniste on juba pühendunud eeldusele 1. Ja eeldus 2 näib üsna turvaline. Kui mõne uskumuse kujundamise protseduuri usaldusväärsust ei saaks isegi põhimõtteliselt lahti seletada, näib protseduur toimivat puhtalt juhuslikult, õõnestades sellega igasugust õigust, mis meil sel viisil loodud tõekspidamistele on.
Eeldus 3 on palju vaieldavam. Väli kaitseb seda eeldust, jälgides, et „meie matemaatiliste väidete tõeväärtused sõltuvad faktidest, mis hõlmavad platoonilisi üksusi, mis elavad väljaspool kosmoseaega” (Field 1989, lk 68) ja on seetõttu meist põhjuslikult eraldatud põhimõte. See kaitse eeldab siiski, et kõnesoleva usaldusväärsuse piisav selgitus peab sisaldama teatavat põhjuslikku seost. Sellele on vaidlustanud paljud filosoofid, kes on soovitanud usaldusväärsuse väite minimaalseid selgitusi. (Vt Burgess & Rosen 1997, lk 41–49 ja Lewis 1991, lk 111–112; vrd ka Clarke-Doane 2016. Kriitika leiate Linnebo 2006-st.) [13]
3.2 Metafüüsiline vastuväide
Veel üks kuulus Benacerrafi artikkel arendab metafüüsilist vastuväidet matemaatilisele platonismile (Benacerraf 1965, vrd ka Kitcher 1978). Ehkki Benacerraf keskendub aritmeetikale, üldistab vastuväide loomulikult enamiku puhaste matemaatiliste objektide kohta.
Benacerraf avaneb, kaitstes seda, mida nüüd tuntakse looduslike arvude strukturalisti vaatena, mille kohaselt naturaalsetel arvudel pole properties-järjestuses positsioonide tõttu muid omadusi peale nende, mis neil on. Näiteks ei ole arv 3 enam kui teatud infrastruktuuriliselt määratletud relatsiooniliste omaduste olemasolu, näiteks 2 järeltulek, pool 6-st ja peaminister. Ükskõik kui raske me aritmeetikat ja setteooriat uurime, ei saa me kunagi teada, kas 3 on identne neljanda von Neumanni ordinaadiga või vastava Zermelo ordinaliga või võib-olla, nagu Frege soovitas, kõigi kolmeliikmeliste klassidega (mõnes süsteemis, mis võimaldab sellistel klassidel eksisteerida).
Benacerraf teeb nüüd järgmise järelduse:
Seetõttu ei ole numbrid üldse objektid, kuna numbrite omaduste andmisel iseloomustate te lihtsalt abstraktset struktuuri - ja erinevus seisneb selles, et struktuuri "elementidel" pole muid omadusi peale nende, mis seostavad neid teistega " elemendid”. (Benacerraf 1965, lk 291)
Teisisõnu väidab Benacerraf, et ei saa olla objekte, millel pole muud kui struktuurilised omadused. Kõigil objektidel peavad olema ka mõned mittestruktuursed omadused. (Vt Benacerraf 1996, selle argumendi hilisemate mõtiskluste kohta.)
Benacerrafi argumendi mõlemad sammud on vaieldavad. Esimese sammu - et naturaalarvudel on ainult struktuurilised omadused - on hiljuti kaitsnud mitmesugused matemaatilised strukturalistid (Parsons 1990, Resnik 1997 ja Shapiro 1997). Kuid seda sammu eitavad loogikud ja uusloogikud, kes väidavad, et naturaalarvud on olemuslikult seotud nende nummerdatud kogude kardinalidega. Ja teine samm - et ei saa olla objekte, millel oleks ainult struktuursed omadused - lükkavad selgesõnaliselt tagasi kõik esimest sammu kaitsvad strukturalistid. (Mõne teise sammu jaoks mõistva hääle saamiseks vaata Hellman 2001 ja MacBride 2005. Aruteluks vt ka Linnebo 2008.)
3.3 Muud metafüüsilised vastuväited
Lisaks Benacerrafile on välja töötatud mitmesugused metafüüsilised vastuväited matemaatilisele platonismile. Üks kuulsamaid näiteid on Nelson Goodmani argument seatud teooria vastu. Goodman (1956) kaitseb nominalismi põhimõtet, milles öeldakse, et kui kahel üksusel on samad põhikomponendid, on nad identsed. Seda põhimõtet võib pidada laiendatavuse tuttava komplekteeritud teoreetilise aksioomi tugevdamiseks. Laiendatavuse aksioom väidab, et kui kahel komplektil x ja y on samad elemendid, st kui ∀ u (u ∈ x ↔ u ∈ y), siis on nad identsed. Nominalismi põhimõte saadakse liikmelisuse asendamisega selle transitiivse sulgemisega. [14]Seega öeldakse põhimõttes, et kui x ja y kannavad individuals * samad isikud, see tähendab, et kui if u (u ∈ * x ↔ u ∈ * y) - siis x ja y on identsed. Selle põhimõtte toetamisega välistab Goodman kogumite ja klasside moodustamise, lubades ainult mereoloogiliste summade moodustamist ja rakendamist tavaliste mereoloogiliste toimingute jaoks (nagu kirjeldab tema „üksikisikute arvutus”).
Goodmani kaitset nominalismi põhimõtte üle peetakse tänapäeval aga üldiselt veenmatuks, nagu näitas filosoofide ja matemaatikute laialdane aktsepteerimine seatud teooriast kui seaduspärasest ja väärtuslikust matemaatikaharust.
4. Objektireaalsuse ja matemaatilise platonismi vahel
Objektide realism ütleb, et eksisteerivad abstraktsed matemaatilised objektid, samas kui platonism lisab sõltumatuse, mis ütleb, et matemaatilised objektid on sõltumatud intelligentsetest agentidest ning nende keelest, mõttest ja tavadest. Selles viimases osas vaadeldakse objektide realismi mõnda kergekujulist vormi, mis peatub täieõiguslikust platonismist.
4.1 Kuidas mõista iseseisvust
Iseseisvuse loomulik läige on vastuoluline tingimus, kui arukaid agente poleks olnud või kui nende keel, mõte või tavad oleksid sobivalt erinevad, oleks ikka olnud matemaatilisi objekte.
Seda vastuolulist sõltumatust (nagu võime seda nimetada) aktsepteerib enamik analüütilisi filosoofe. Miks see on, kaaluge matemaatika rolli meie mõttekäikudes. Me mõtleme sageli stsenaariumide üle, mis pole tegelikud. Kas me ehitaksime selle kanjoni üle silla, ütleme näiteks, kui tugev peaks see olema, et vastu pidada võimsatele tuuleiilidele? Kahjuks varises eelmine sild kokku. Kas oleks seda teinud, kui terasest talad oleksid olnud kaks korda paksemad? Selline arutluskäik stsenaariumide kohta on möödapääsmatu nii meie igapäevaste arutelude kui ka teaduse jaoks. Sellise põhjenduse lubatavusel on oluline tagajärg. Kuna puhta matemaatika tõdedele saab vabalt tugineda kogu meie kontrafaktuaalses mõttekäigus, järeldub sellest, et need tõed on meist, inimestest, faktiliselt sõltumatud,ja kogu muu arukas elu selles küsimuses. See tähendab, et kui arukast elu poleks olnud, oleksid need tõed jäänud samaks.
Puhas matemaatika on selles osas väga erinev tavalistest empiirilistest tõdedest. Kui intelligentset elu poleks kunagi olemas olnud, poleks seda artiklit kirjutatud. Huvitaval kombel vastandub puhas matemaatika ka erinevate sotsiaalsete tavade ja konstruktsioonidega, millega seda mõnikord võrreldakse (Cole 2009, Feferman 2009, Hersh 1997). Kui arukast elu poleks olemas olnud, poleks olnud seadusi, lepinguid ega abielusid - ometi oleksid matemaatilised tõed jäänud samaks.
Seega, kui iseseisvust mõistetakse üksnes kui kontrafaktuaalset iseseisvust, peaks igaüks, kes aktsepteerib objektirealismi, aktsepteerima ka platonismi.
On kaheldav, kas see arusaam iseseisvusest on siiski piisav. Sest Sõltumatus tähendab põhjendamiseks analoogia vahel matemaatilise objekti ja tavalised füüsilised objektid. Nii nagu elektronid ja planeedid eksisteerivad meist sõltumatult, toimivad ka numbrid ja komplektid. Ja nagu avaldused elektronide ja planeetide kohta muudavad tõesed või väärad objektid, millega nad on seotud, ja nende objektide täiesti objektiivsed omadused, nagu ka väited arvude ja komplektide kohta. Lühidalt, matemaatilised objektid on sama „päris” kui tavalised füüsilised objektid (kui mitte veelgi enam, nagu Platon arvas).
Vaatleme nüüd mõningaid seisukohti, mis lükkavad ümber selle iseseisvuse tugevama arusaama mainitud analoogia osas. Need vaated on seega objektrealismi kerged vormid, mis peatuvad täieliku platonismi ees.
4.2 Plentide platonism
Objektide realismi üheks kergeks vormiks on Balagueri 1998. aasta "täisvereline platonism". Seda seisukohta iseloomustab küllastuspõhimõte, mille kohaselt kõik matemaatilised objektid, mis võiksid eksisteerida, eksisteerivad. Näiteks, kuna pidevhüpotees ei sõltu komplekti teooria standardsest aksiomatizationist, leidub hulgaliselt universumeid komplekte, milles hüpotees on tõene, ja teises, kus see on vale. Ja kumbki universum pole metafüüsiliselt privilegeeritud. Seevastu traditsiooniline platonism väidab, et eksisteerib ainulaadne komplektide universum, milles kontinuumi hüpotees on kas kindlalt tõene või kindlasti vale. [15]
Selle väidetava eelise väidetav eelis on matemaatika epistemoloogias. Kui iga järjepidev matemaatiline teooria vastab tõele mõne matemaatiliste objektide universumi kohta, on matemaatilisi teadmisi mõnes mõttes kerge saada: kui meie matemaatilised teooriad on järjekindlad, siis tagatakse, et need vastavad mõnele matemaatiliste objektide universumile.
Kuid “täisvereline platonism” on pälvinud palju kriitikat. Colyvan ja Zalta 1999 kritiseerivad seda matemaatilistele objektidele viitamise võimaluse kahjustamise eest ja Restall 2003 selle eest, et vaade põhineb täiuslikkuse põhimõtte täpsel ja sidusal formuleerimisel. Martin (2001) teeb ettepaneku ühendada erinevad komplektide universumid, et saada üks maksimaalne universum, mis saab eelise, kui sobib meie ettekujutus komplektist paremini kui ükski teine komplektide universum.
Erineva variandi täisplastilisest platonismist on välja töötatud Linsky & Zalta 1995 ja terve rida teisi artikleid. (Vt näiteks Linsky ja Zalta 2006 ja teisi selles viidatud artikleid.) Traditsiooniline platonism läheb valesti, kui "mõistab abstraktseid objekte füüsiliste objektide mudelile" (Linsky ja Zalta 1995, lk 533), sealhulgas eriti idee, et sellised objektid on pigem hõredad kui pikisuunalised. Linsky ja Zalta arendavad teise autori “objektide teooria” põhjal välja alternatiivse lähenemisviisi. Objektiteooria peamine omadus on väga üldine mõistmise printsiip, mis kinnitab abstraktsete objektide arvukuse olemasolu: iga omaduste kogu jaoks on abstraktne objekt, mis „kodeerib” just neid omadusi. Objektiteooriaskaks abstraktset objekti on identsed igaks juhuks, kui nad kodeerivad täpselt samu omadusi. Objektide teooria mõistmispõhimõte ja identiteedikriteerium väidavad, et need „tagavad seose meie kognitiivse mõistmise võime ja abstraktsete objektide vahel“(ibid., Lk 547). (Vt kriitilist arutelu Ebert & Rossberg 2007.)
4.3 Kerged semantilised väärtused
Oletame, et objekti realism on tõene. Mugavuse huvides eeldage ka klassikalist semantikat. Need eeldused tagavad, et matemaatilise keele ainsuse terminid ja kvantitaatorid viitavad abstraktsetele objektidele ja ulatuvad neist. Neid eeldusi arvestades peaks üks olema ka matemaatiline platonist? Teisisõnu, kas objektid, millele matemaatilised laused viitavad ja kvantifitseerivad, vastavad iseseisvusele või mõnele muule sarnasele tingimusele?
Kasulik on oma eeldusi neutraalsemalt korrata. Saame seda teha, viidates semantilise väärtuse ideele, millel on oluline roll semantikas ja keelefilosoofias. Nendes väljades eeldatakse laialdaselt, et iga väljend annab kindla panuse lausete tõeväärtusesse, milles väljend esineb. Seda panust tuntakse väljendi semantilise väärtusena. Laialdaselt eeldatakse, et (vähemalt laiendatud kontekstides) on ainsuse termini semantiline väärtus just selle referents.
Meie eeldusi saab nüüd öelda neutraalselt väitena, et matemaatilistel ainsuseterminitel on abstraktsed semantilised väärtused ja selle kvantifikaatorid ulatuvad semantiliste väärtustena toimivate üksuste liikide hulka. Keskendume väitele ainsuse kohta. Milline on selle väite filosoofiline tähtsus? Eelkõige, kas see toetab mõnda iseseisvuse versiooni ? Vastus sõltub sellest, mida on vaja matemaatilise ainsuse mõiste semantilise väärtuse saamiseks.
Mõned filosoofid väidavad, et väga palju ei nõuta (Frege 1953, Dummett 1981, Dummett 1991a, Wright 1983, Hale & Wright 2000, Rayo 2013 ning Linnebo 2012 ja 2018). Piisab, kui termin t annab teatud kindla panuse lausete tõeväärtustesse, milles see esineb. Kogu semantilise väärtuse mõiste eesmärk oli kajastada selliseid panuseid. Seetõttu piisab, kui ainsusel on semantiline väärtus, et see annaks sellise sobiva panuse.
See võib isegi avada tee matemaatiliste objektide suhtes mitteelimineeriva reduktsionismi jaoks (Dummett 1991a, Linnebo 2018). Ehkki on täiesti tõsi, et matemaatilisel ainsuseterminil t on semantilise väärtusena abstraktne objekt, võib see tõde saada põhiliste faktide tõttu, mis ei maini ega hõlma asjakohast abstraktset objekti. Võrrelge näiteks omandisuhet, mis tekib inimese ja tema pangakonto vahel. Ehkki on täiesti tõsi, et isik omab pangakontot, võib see tõde saada põhiliste sotsioloogiliste või psühholoogiliste faktide tõttu, kus pangakontot ei mainita ega käsitleta.
Kui mõni semantiliste väärtuste kerge ülevaade on kaitstav, võime aktsepteerida objektirealismi ja klassikalise semantika eeldusi, võtmata endale kohustusi ühegi traditsioonilise või jõulise platonismi vormiga.
4.4 Objektide realismi kaks täiendavat kerget vormi
Lõpetuseks kirjeldame veel kahte objektirealismi kergevormilist näidet, mis lükkavad ümber matemaatiliste objektide ja tavaliste füüsiliste objektide platonistliku analoogia.
Esiteks, võib-olla eksisteerivad matemaatilised objektid ainult potentsiaalsel viisil, mis on vastuolus tavaliste füüsiliste objektide tegeliku olekuga. See idee on potentsiaalse lõpmatuse iidse idee keskmes (Lear 1980, Linnebo & Shapiro 2017). Aristotelese sõnul on naturaalarvud potentsiaalselt lõpmatud selles mõttes, et ükskõik kui suurt arvu oleme ka loonud (seda füüsilises maailmas kiirendades), on võimalik toota veelgi suurem arv. Kuid Aristoteles eitab, et naturaalarvud on tegelikult lõpmatud: see eeldaks, et füüsiline maailm oleks lõpmatu, mis on tema sõnul võimatu.
Pärast Cantorit kaitseb enamik matemaatikuid ja filosoofe looduslike arvude tegelikku lõpmatust. See on osaliselt võimalik tänu Aristotelli nõude eitamisele, mille kohaselt tuleb iga number füüsilises maailmas silma peal hoida. Kui seda eitatakse, ei tähenda looduslike arvude tegelik lõpmatus enam füüsilise maailma tegelikku lõpmatust.
Teatud hulga komplektide hierarhiat puudutavat potentsiaalsust toetatakse siiski märkimisväärselt, eriti seoses komplektide iteratiivse kontseptsiooniga (Parsons 1977, Jané 2010, Linnebo 2013, Studd 2013). Pole tähtis, kui palju komplekte on moodustatud, on võimalik moodustada veelgi. Kui see on tõsi, tähendaks see, et komplektidel on potentsiaalne eksisteerimisvorm, mis eristab neid järsult tavalistest füüsilistest objektidest.
Teiseks, võib-olla on matemaatilised objektid ontoloogiliselt sõltuvad või tuletised viisil, mis eristab neid iseseisvalt eksisteerivatest füüsilistest objektidest (Rosen 2011, Donaldson 2017). Näiteks äsja mainitud Aristoteli vaate järgi sõltub looduslik arv selle olemasolust füüsilises maailmas toimuvast või muust hetkest. Vaatest on ka teisi versioone. Näiteks väidavad Kit Fine (1995) ja teised, et komplekt sõltub ontoloogiliselt selle elementidest. (See vaade on tihedalt seotud ka eespool nimetatud setteoreetilise potentsiaaliga.)
Burgess, John P., 1999, “Stewart Shapiro ülevaade, matemaatikafilosoofia: struktuur ja ontoloogia”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40 (2): 283–91.
Burgess, John P. ja Rosen, Gideon, 1997, Objekt ilma objektita, Oxford: Oxford University Press.
Cole, Julian C., 2009, “Loovus, vabadus ja autoriteet: uus vaatenurk matemaatika metafüüsikale”, Australasian Journal of Philosophy, 87: 589–608.
Clarke-Doane, Justin, 2017, “Mis on Benacerrafi probleem?”, Paul Benacerrafi filosoofia uutes perspektiivides: tõde, objektid, lõpmatus (28. köide: loogika, epistemoloogia ja teaduse ühtsus), F. Pataut (toim.), Cham: Springer, 17–43.
Colyvan, Mark ja Zalta, Edward N., 1999, “Matemaatika: tõde ja väljamõeldis?”, Philosophia Mathematica, 7 (3): 336–349.
Dummett, Michael, 1978a, “Intuitsionistliku loogika filosoofiline alus”, Truth and Other Enigmas, Cambridge, MA: Harvard University Press, 215–247; kordustrükk Benacerrafis ja Putnamis (1983).
–––, 1978b, Truth and Other Enigmas, Cambridge, MA: Harvard University Press.
–––, 1981, Frege: keelefilosoofia, Cambridge, MA: Harvard University Press, teine trükk.
–––, 1991a, Frege: matemaatikafilosoofia, Cambridge, MA: Harvard University Press.
–––, 1991b, Metafüüsika loogiline alus, Cambridge, MA: Harvard University Press.
Ebert, Philip ja Rossberg, Marcus, 2007, “Mis on uusloogika eesmärk?”, Travaux de Logique, 18: 33–61.
Gaifman, Haim, 1975, “Ontoloogia ja kontseptuaalsed raamistikud, I osa”, Erkenntnis, 9: 329–353.
Gödel, Kurt, 1944, “Russelli matemaatiline loogika”, Benacerraf ja Putnam (1983).
–––, 1964, “Mis on Cantori kontinuumi hüpotees?”, Benacerraf ja Putnam (1983).
–––, 1995, “Mõned põhiteoreemid matemaatika alustest ja nende mõjust”, kogutud sõnades, S. Feferman jt, toim., Oxford: Oxford University Press, vol. III, 304–323.
Goodman, Nelson, 1956, “Üksikisikute maailm”, kordustrükk. P. Benacerraf ja H. Putnam, toim., Matemaatika filosoofia: valitud lugemised, 1. trükk, Prentice-Hall.
Hale, Bob ja Wright, Crispin, 2000, “Implicit Definition and the Priori”, uutes essees A Priori kohta, Paul Boghossian ja Christopher Peacocke, toim., Oxford: Oxford University Press. Kordustrükk raamatus Hale ja Wright (2001).
Hersh, Reuben, 1997, Mis on tegelikult matemaatika?, Oxford: Oxford University Press.
Hilbert, David, 1996, “Matemaatilised probleemid”, Kantilt Hilbertile, William Ewald, toim., Oxford: Oxford University Press, vol. 2, 1096–1105.
Hofweber, Thomas, 2000, “Kvantifitseerimine ja olematud objektid”, Tühjad nimed, ilukirjandus ja olematuse mõistatused, Anthony Everett ja Thomas Hofweber, toim., Stanford, CA: CSLI Publications, 249–73.
–––, 2016, Ontoloogia ja metafüüsika ambitsioonid, Oxford: Oxford University Press.
Isaacson, Daniel, 1994, “Matemaatiline intuitsioon ja objektiivsus”, Mathematics and Mind, Alexander George, toim., Oxford: Oxford University Press, ptk. 5
Jané, Ignasi, 2010, “Idealistlikud ja realistlikud elemendid Cantori lähenemises teooria seadmisele”, Philosophia Mathematica, 18 (2): 193–226.
–––, 2017, matemaatikafilosoofia, Princeton: Princeton University Press.
–––, 2018, õhukesed objektid: abstraktsionistide konto, Oxford: Oxford University Press.
Linnebo, Øystein ja Shapiro, Stewart, 2017, “Tegelik ja potentsiaalne lõpmatus”, Noûs, doi: 10.1111 / nous.12208.
Linsky, Bernard ja Zalta, Edward N., 1995, “Naturaliseeritud platonism versus platoniseeritud naturalism”, Journal of Philosophy, 92 (10): 525–555.
Linsky, Bernard ja Zalta, Edward N., 2006, “Mis on neologitsism?”, Sümboolse loogika bülletään, 12 (1): 60–99.
MacBride, Fraser, 2005, “Strukturalism üle vaadatud”, Oxfordi matemaatika ja loogika filosoofia käsiraamatus, Stewart Shapiro, toim., Oxford: Clarendon, 563–589.
Parsons, Charles, 1977, “Mis on komplekti imperatiivne kontseptsioon?” loogikas, matemaatika alused ja arvutatavusteooria (Lääne-Ontario ülikooli teadusfilosoofia seeria: 9. köide), RE Butts ja J. Hintikka (toim), Dortrecht: Springer, 335–367.
–––, 1980, “Matemaatiline intuitsioon”, Aristotelian Society toimetised, 80: 145–68.
–––, 1983, matemaatika filosoofias, Ithaca, NY: Cornell University Press.
–––, 1990, “Matemaatiliste objektide strukturalismi vaade”, Synthese, 84: 303–346.
–––, 1995, “Platonism ja matemaatiline intuitsioon Kurt Gödeli mõttes”, Sümboolse loogika bülletään, 1 (1): 44–74.
Quine, WV, 1969, “olemasolu ja kvantifitseerimine”, ontoloogiline relatiivsus ja muud esseed, New York: Columbia University Press, 91–113.
