Asendamatuse Argumendid Matemaatika Filosoofias

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-11-26 16:07

Sisenemise navigeerimine

• Sissesõidu sisu
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Sõprade PDF-i eelvaade
• Teave autori ja tsitaadi kohta
• Tagasi üles

Asendamatuse argumendid matemaatika filosoofias

Esmakordselt avaldatud esmaspäeval 21. detsembril 1998; sisuline redaktsioon teisipäev, 28. veebruar 2019

Matemaatika üks intrigeerivamaid jooni on selle rakendamine empiirilises teaduses. Iga teaduse haru tugineb matemaatika suurtele ja sageli mitmekesistele osadele, alates Hilberti ruumide kasutamisest kvantmehaanikas kuni diferentsiaalgeomeetria kasutamiseni üldrelatiivsuses. Matemaatika teenuseid ei kasuta ka ainult füüsilised teadused. Näiteks kasutab bioloogia laialdaselt erinevuste võrrandeid ja statistikat. Nendes teooriates mängivad ka matemaatika rollid. Matemaatika aitab mitte ainult empiirilisi ennustusi, vaid võimaldab ka paljude teooriate elegantset ja ökonoomset kirjeldamist. Tõepoolest, matemaatika keel on teaduse jaoks nii oluline,et on raske ette kujutada, kuidas saaks öelda isegi selliseid teooriaid nagu kvantmehaanika ja üldrelatiivsus ilma matemaatikat märkimisväärselt kasutamata.

Üsna tähelepanuväärse, kuid näiliselt vaieldamatu tõsiasjast, et matemaatika on teadusele hädavajalik, on mõned filosoofid teinud tõsiseid metafüüsilisi järeldusi. Eelkõige on Quine (1976; 1980a; 1980b; 1981a; 1981c) ja Putnam (1979a; 1979b) väitnud, et matemaatika hädavajalikkus empiirilise teaduse jaoks annab meile hea põhjuse uskuda matemaatiliste üksuste olemasolusse. Selle väite kohaselt on meie parimate teadusteooriate jaoks hädavajalik viitamine matemaatilistele üksustele, näiteks komplektidele, numbritele, funktsioonidele (või kvantifitseerimine nende üle), ja seetõttu peaksime olema pühendunud nende matemaatiliste üksuste olemasolule. Muidu toimides on süüdi selles, mida Putnam on nimetanud “intellektuaalseks ebaaususeks” (Putnam 1979b, lk 347). Enamgi veel,matemaatilisi entiteete peetakse teaduse teiste teoreetiliste üksustega episteemiliseks, kuna usku endise olemasolusse õigustatakse samade tõenditega, mis kinnitavad kogu teooriat tervikuna (ja seega ka usku viimasesse). Seda argumenti tuntakse Quine-Putnam asendamatuse argumendina matemaatilise realismi jaoks. Asendamatuse argumente on ka teisi, kuid see on kaugelt kõige mõjukam ja seetõttu keskendume järgnevas peamiselt sellele.ja nii et järgnevas keskendume peamiselt sellele.ja nii et järgnevas keskendume peamiselt sellele.

Üldiselt on hädavajalikkuse argument argument, mille eesmärk on kindlaks teha mõne väite tõesus, mis põhineb kõnealuse nõude asendamatusel teatud eesmärkidel (täpsustatakse konkreetse argumendiga). Näiteks kui eesmärgina täpsustatakse seletus, siis on meil olemas selgitav hädavajalikkuse argument. Seega näeme, et parima selgituse järeldamine on hädavajalikkuse argumendi erijuhtum. Kena arutelu möödapääsmatuse argumentide ja parima seletuse kohta leiate Fieldi sissejuhatusest (1989, lk 14–20). Vt ka Maddy (1992) ja Resnik (1995a) argumentide Quine-Putnam versiooni variatsioonide kohta. Peaksime lisama, et kuigi siin esitatud argumendi versiooni omistatakse üldiselt Quine'ile ja Putnamile,see erineb mitmel moel argumentidest, mille esitas Quine või Putnam.^[1]

• 1. Quine-Putnam asendamatuse argumendi õigekiri
• 2. Mis see on hädavajalik?
• 3. Naturalism ja holism
• 4. Vastuväited
• 5. Argumendi selgitavad versioonid
• 6. Järeldus
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. Quine-Putnam asendamatuse argumendi õigekiri

Quine-Putnami asendamatuse argument on pälvinud suurt tähelepanu, osalt seetõttu, et paljud peavad seda matemaatilise realismi (või platonismi) parimaks argumendiks. Seega peavad matemaatikaüksuste (või nominalistide) antirealistid tuvastama, kus Quine-Putnam argument valesti läheb. Paljud platonistid seevastu tuginevad sellele argumendile väga suuresti, et õigustada oma usku matemaatilistesse üksustesse. Argument asetab nominendid, kes soovivad realistlikud olla teiste teaduse teoreetiliste üksuste (kvargid, elektronid, mustad augud ja muu) suhtes, eriti raskesse olukorda. Tavaliselt aktsepteerivad nad midagi üsna sarnast nagu Quine-Putnam argument ^[2]) kvarkide ja mustade aukude realismi õigustusena. (Seda nimetab Quine (1980b, lk 45) ontoloogia osas “topeltstandardi” hoidmiseks.)

Edaspidiseks tutvustamiseks esitame Quine-Putnam'i asendamatuse argumendi järgmises selgesõnalises vormis:

(P1) Meil peaks olema ontoloogiline pühendumus kõigile ja ainult nendele üksustele, mis on meie parimate teaduslike teooriate jaoks hädavajalikud.

(P2) Matemaatilised üksused on meie parimate teaduslike teooriate jaoks asendamatud.

(C) Meil peaks olema ontoloogiline pühendumus matemaatilistele üksustele.

Selliselt sõnastatud argument on õige. See sunnib keskenduma kahele ruumile. Eelkõige tekivad loomulikult paar olulist küsimust. Esimene puudutab seda, kuidas mõistame väidet, et matemaatika on hädavajalik. Me käsitleme seda järgmises jaotises. Teine küsimus puudutab esimest eeldust. See pole kaugeltki nii enesestmõistetav kui teine ja vajab kindlasti kaitset. Selle kaitsmist käsitleme järgmises osas. Seejärel esitame argumendile mõned olulisemad vastuväited, enne kui kaalume Quine-Putnami argumendi rolli laiemas asjade skeemis - kui see seisneb teiste mõjukate argumentide vastu matemaatilise realismi poolt ja vastu.

2. Mis see on hädavajalik?

Küsimus, kuidas me peaksime "asendamatust" praeguses kontekstis mõistma, on Quine-Putnami argumendi jaoks ülioluline ja sellele on siiski üllatavalt vähe tähelepanu pööratud. Quine räägib tegelikult nende üksuste osas, mis on kvantitatiivselt väljendatud meie parimate teaduslike teooriate kanoonilises vormis, mitte hädavajalikkuses. Sellegipoolest jätkub arutelu hädavajalikkuse üle, nii et meile oleks selle mõiste täpsustamiseks hea abi.

Esimene asi, mida tuleb märkida, on see, et "asendamatus" ei ole sama, mis "kõrvaldatavus". Kui see poleks nii, oleks iga üksus asendamatu (Craigi teoreemi tõttu). ^[3]See, mida me nõuame, et üksus oleks „hädavajalik”, on see, et see oleks elimineeritav ja et üksuse elimineerimisel tekkiv teooria oleks atraktiivne teooria. (Võib-olla, veelgi tugevam, nõuame, et saadud teooria oleks originaalsest atraktiivsem.) Peame täpsustama, mis loeb atraktiivseks teooriaks, kuid selleks võime heade teaduslike teooriate jaoks tugineda standardsele desideratale: empiiriline edu; unikatiivne jõud; lihtsus; selgitav jõud; viljakus ja nii edasi. Muidugi arutatakse selle üle, millised soovimatused on sobivad ja nende suhtelise osakaalu üle, kuid selliseid küsimusi tuleb käsitleda ja lahendada sõltumatult hädavajalikest probleemidest. (Vt nende küsimuste kohta lähemalt Burgess (1983) ja Colyvan (1999).)

Need küsimused tõstatavad loomulikult küsimuse, kui palju on matemaatika hädavajalik (ja seega ka seda, kui palju matemaatika on ontoloogilise kohustusega). Näib, et asendamatu argument õigustab ainult usku piisavalt matemaatikasse, et teenida teaduse vajadusi. Nii leiame, et Putnam räägib „füüsika seatud teoreetilistest vajadustest” (Putnam 1979b, lk 346) ja Quine, kes väidavad, et seatud teooria kõrgemad piirkonnad on „matemaatiline puhkus… ilma ontoloogiliste õigusteta” (Quine 1986, lk 400).), kuna nad ei leia füüsilisi rakendusi. Võib võtta vähem piirava joone ja väita, et püstitatud teooria kõrgem ulatus, ehkki ilma füüsiliste rakendusteta, kannab ontoloogilist pühendumust, kuna neil on rakendusi ka teistes matemaatika osades. Niikaua kui rakenduste ahel lõpuks füüsilise teaduse põhja paneb, võiksime õigusega väita, et kogu ahel kannab ontoloogilist pühendumust. Quine ise õigustab mingit piiritletud kogumiteooriat nende joonte järgi (Quine 1984, lk 788), kuid ta ei näe põhjust ületada konstruktiivseid kogumeid (Quine 1986, lk 400). Tema selle piirangu põhjused on aga vähe seotud hädavajalikkuse argumendiga ja seetõttu ei pea selle argumendi toetajad Quine selles küsimuses pooldama.on hädavajaliku argumendiga vähe pistmist ja seetõttu ei pea selle argumendi toetajad Quine selles küsimuses pooldama.on hädavajaliku argumendiga vähe pistmist ja seetõttu ei pea selle argumendi toetajad Quine selles küsimuses pooldama.

3. Naturalism ja holism

Ehkki Quine-Putnami asendamatuse argumendi mõlemad eeldused on seatud kahtluse alla, vajab see ilmselgelt esimest toetust. See toetus pärineb naturalismi ja holismi doktriinidest.

Quine'i järel peetakse naturalismiks tavaliselt filosoofilist õpetust, et esimest filosoofiat pole olemas ja et filosoofiline ettevõtmine on teaduse ettevõtmisega pidev (Quine 1981b). See Quine tähendab, et filosoofia ei ole teadusele eelnenud ega eelistatud. Veelgi enam, selliselt tõlgendatud teadust (st filosoofiat kui pidevat osa) käsitletakse kogu maailma tervikloona. See õpetus tuleneb teadusliku metoodika sügavast austamisest ja selle metoodika vaieldamatu edu tunnistamisest, mis on viis, kuidas vastata fundamentaalsetele küsimustele asjade olemuse kohta. Nagu Quine soovitab, peitub selle allikas „regenereerimata realism, loodusteadlase jõuline meeleseisund, kes pole kunagi tundnud mingit tunnet, mis ületaks teaduse sisemise vaieldava ebakindluse“(Quine 1981b, lk 72). Metafüüsiku jaoks tähendab see meie parimate teaduslike teooriate otsimist, et teha kindlaks, mis on olemas või, täpsemalt, mida me peaksime eksisteerima. Lühidalt, naturalism välistab ebateaduslikud viisid eksisteerimise kindlakstegemiseks. Näiteks välistab naturalism müstilistel põhjustel usu hinge rändesse. Naturalism ei välistaks siiski hingede ümberasumist, kui meie parimad teaduslikud teooriad nõuaksid selle õpetuse tõde.välistada hingede rändamine, kui meie parimad teaduslikud teooriad nõuaksid selle õpetuse tõde.välistada hingede rändamine, kui meie parimad teaduslikud teooriad nõuaksid selle õpetuse tõde.^[4]

Naturalism annab meile põhjuse uskuda oma parimate teaduslike teooriate üksustesse ja mitte teistesse üksustesse. Sõltuvalt sellest, kuidas te naturalismi ette mõtlete, võib see teile öelda, kas uskuda kõigi oma parimate teaduslike teooriate üksustesse või mitte. Me arvame, et naturalism annab meile põhjuse uskuda sellistesse üksustesse, kuid see on teostamatu. Siin tuleb esiplaanile holism: eriti kinnitav holism.

Kinnitav holism on seisukoht, et teooriaid kinnitatakse või ei kiideta tervikuna (Quine 1980b, lk 41). Niisiis, kui teooriat kinnitavad empiirilised leiud, kinnitatakse kogu teooria. Eelkõige kinnitatakse ka seda, mida matemaatikas teoorias kasutatakse (Quine 1976, lk 120–122). Lisaks sellele tuginetakse samadele tõenditele, millega õigustatakse usku teooria matemaatilistesse komponentidesse, teooria empiirilise osa õigustamisel (kui tõepoolest saab empiiriat matemaatilisest üldse lahutada). Naturalism ja holism koos õigustavad P1. Ligikaudu annab naturalism meile „ainsa” ja holism annab meile P1-s kõik.

Väärib märkimist, et Quine'i kirjutistes on vähemalt kaks terviklikku teemat. Esimene neist on eespool käsitletud kinnitav holism (mida sageli nimetatakse Quine-Duhemi väitekirjaks). Teine on semantiline holism, mille kohaselt tähendusühik pole mitte üksik lause, vaid lausete süsteem (ja mõnel äärmisel juhul kogu keel). Viimane holism on tihedalt seotud Quine'i üldtuntud analüütilis-sünteetilise eristamise eitamisega (Quine 1980b) ja tema sama kuulsa tõlketeose määramatusega (Quine 1960). Ehkki Quine'i jaoks on semantiline holism ja kinnitav holism tihedalt seotud, on põhjust neid eristada, kuna esimest peetakse üldiselt väga vaieldavaks, samas kui viimast peetakse suhteliselt vaieldamatuks.

Miks on see praeguse arutelu jaoks oluline, on see, et Quine viitab hädavajalikkuse argumendi toetuseks otsesõnu vastuolulisele semantilisele holismile (Quine 1980b, lk 45–46). Enamik kommenteerijaid on aga seisukohal, et asendamatu argumendi lendamiseks on vaja ainult kinnitavat terviklikkust (vt näiteks Colyvan (1998a); Field (1989, lk 14–20); Hellman (1999); Resnik (1995a; 1997); Maddy (1992)) ja minu siinne ettekanne järgib seda aktsepteeritud tarkust. Tuleb siiski meeles pidada, et kuigi selliselt tõlgendatud argument on maitses Quineanist, ei ole see rangelt öeldes Quine'i argument.

4. Vastuväited

Asendamatuse argumendile on olnud palju vastuväiteid, sealhulgas Charles Parsonsi (1980) mure, et matemaatiliste põhiväidete ilmsust ei jäeta Quineani pildil arvesse ning Philip Kitcheri (1984, lk 104–105) murettekitav asjaolu, et asendamatu argument ei selgita, miks on matemaatika loodusteaduste jaoks hädavajalik. Enim tähelepanu pälvinud vastuväited on aga Hartry Fieldi, Penelope Maddy ja Elliott Soberi tõttu. Eriti hiljuti on matemaatika ontoloogia aruteludes domineerinud Fieldi nominatsiooniprogramm.

Field (1980) kirjeldab juhtumit Quine-Putnam-argumendi teise eelduse eitamiseks. See tähendab, et ta soovitab, et vaatamata esinemistele pole matemaatika loodusteaduste jaoks hädavajalik. Väli projektil on kaks osa. Esimene on väide, et matemaatilised teooriad ei pea olema tõesed, et rakendustest kasu saada, vaid peavad olema lihtsalt konservatiivsed. (See on laias laastus see, et kui matemaatiline teooria lisatakse nominaalsele teadusteooriale, siis ei tulene mingeid nominaalseid tagajärgi, mis ei järelduks ainult nominalistlikust teadusteooriast.) See seletab, miks saab matemaatikat kasutada teaduses, kuid see ei selgita miks seda kasutatakse. Viimane on tingitud asjaolust, et matemaatika muudab erinevate teooriate arvutamise ja avaldamise palju lihtsamaks. Seega, Väli jaoksmatemaatika kasulikkus on lihtsalt pragmaatiline - matemaatika pole ju möödapääsmatu.

Väli programmi teine osa on näidata, et meie parimaid teaduslikke teooriaid saab sobivalt nomineerida. See tähendab, et ta püüab näidata, et me saaksime hakkama ilma matemaatiliste üksuste kvantifitseerimiseta ja et see, mis meile jääb, oleks mõistlikult atraktiivsed teooriad. Sel eesmärgil on ta nõus nimetama suure osa Newtoni gravitatsiooniteooriast. Kuigi see näitab kaugelt, et kõiki meie praeguseid parimaid teaduslikke teooriaid saab nomineerida, pole see kindlasti triviaalne. Lootus on, et kui näete, kuidas tüüpilise füüsikalise teooria korral on võimalik viiteid matemaatilistele üksustele kaotada, näib usutav, et projekti võiks ülejäänud teaduse jaoks lõpule viia. ^[5]

Fieldi programmi õnnestumise tõenäosuse üle on olnud palju arutelusid, kuid vähesed on kahelnud selle olulisuses. Hiljuti juhtis Penelope Maddy tähelepanu sellele, et kui P1 on vale, võib Fieldi projekt osutuda matemaatika realismi / antirealismi teemal ebaoluliseks.

Maddy esitab hädavajalikkuse argumendi esimese eelduse suhtes tõsiseid vastuväiteid (Maddy 1992; 1995; 1997). Eelkõige soovitab ta, et meil ei peaks olema ontoloogilist pühendumist kõigile üksustele, mis on meie parimate teaduslike teooriate jaoks hädavajalikud. Tema vastuväited juhivad tähelepanu probleemidele, mis on seotud naturalismi kinnitava holismiga. Eriti toob ta välja, kuidas teaduslike teooriate terviklikul käsitlusel on probleeme teaduse ja matemaatika tavade teatud aspektide õiguspärasuse selgitamisega. Tavad, mis eeldatavasti peaksid olema seaduslikud, arvestades naturalismi soovitatud teaduspraktika suurt tähelepanu. Oluline on mõista, et tema vastuväited,on seotud metodoloogiliste tagajärgedega, mis tulenevad Quineani naturalismi ja holismi õpetuste aktsepteerimisest - esimese eelduse toetuseks kasutatud õpetused. Seega seatakse esimene eeldus kahtluse alla, õõnestades selle tuge.

Maddy esimene vastuväide asendamatule argumendile on see, et töötavate teadlaste tegelik hoiak hästi kinnitatud teooriate komponentide suhtes varieerub veendumustest sallivuse kaudu otsese tagasilükkamiseni (Maddy 1992, lk 280). Asi on selles, et naturalism soovitab meil austada töötavate teadlaste meetodeid ja ometi räägib holism meile ilmselt sellest, et töötavatel teadlastel ei tohiks olla oma teooriate üksustele sellist diferentseeritud tuge. Maddy soovitab, et me peaksime siin pooldama naturalismi ja mitte holismi. Seega peaksime toetama töötavate teadlaste hoiakuid, kes ilmselt ei usu kõigisse üksustesse, mida meie parimad teooriad esindavad. Seega peaksime P1 tagasi lükkama.

Järgmine probleem tuleneb esimesest. Kui teaduslike teooriate pilt homogeensete ühikutena tagasi lükatakse, tekib küsimus, kas teooriate matemaatilised osad jäävad kinnitatud teooriate tegelike elementide või idealiseeritud elementide alla. Maddy soovitab viimast. Tema põhjus on see, et teadlased ise ei näi matemaatilise teooria hädavajalikku rakendamist olevat kõnealuse matemaatika tõesuse näit. Näiteks tuginetakse veelainete analüüsimisel sageli vale oletusele, et vesi on lõpmata sügav, või eeldatakse, et mateeria on pidev, vedeliku dünaamikas (Maddy 1992, lk 281–282). Sellised juhtumid viitavad sellele, et teadlased kutsuvad tööle kõik vajalikud matemaatikad,arvestamata kõnealuse matemaatilise teooria tõesust (Maddy 1995, lk 255). Jällegi näib, et kinnitav holism on vastuolus tegeliku teadusliku praktikaga ja seega naturalismiga. Ja jälle Maddy pooldab naturalismi. (Vt ka Parsons (1983) mõnede seotud probleemide kohta Quineani holismi osas.) Siinkohal on küsimus selles, et kui naturalism soovitab meil töötavate teadlaste hoiakutel sellistes küsimustes kõrvale kalduda, siis tundub, et me ei peaks võtma mõne matemaatilise matemaatika asendamatust. teooria füüsilises rakenduses matemaatilise teooria tõesuse näitena. Lisaks, kuna meil pole põhjust arvata, et kõnealune matemaatiline teooria on tõene, pole meil ka põhjust arvata, et (matemaatilise) teooria poolt esitatud üksused on reaalsed. Seega peaksime jällegi P1 tagasi lükkama.lk. 255). Jällegi näib, et kinnitav holism on vastuolus tegeliku teadusliku praktikaga ja seega ka naturalismiga. Ja jälle Maddy pooldab naturalismi. (Vt ka Parsons (1983) mõnede seotud probleemide kohta Quineani holismi osas.) Siinkohal on küsimus selles, et kui naturalism soovitab meil töötavate teadlaste hoiakutel sellistes küsimustes kõrvale kalduda, siis tundub, et me ei peaks võtma mõne matemaatilise matemaatika asendamatust. teooria füüsilises rakenduses matemaatilise teooria tõesuse näitena. Lisaks, kuna meil pole põhjust arvata, et kõnealune matemaatiline teooria on tõene, pole meil ka põhjust arvata, et (matemaatilise) teooria poolt esitatud üksused on reaalsed. Seega peaksime jällegi P1 tagasi lükkama.lk. 255). Jällegi näib, et kinnitav holism on vastuolus tegeliku teadusliku praktikaga ja seega naturalismiga. Ja jälle Maddy pooldab naturalismi. (Vt ka Parsons (1983) mõnede seotud probleemide kohta Quineani holismi osas.) Siinkohal on küsimus selles, et kui naturalism soovitab meil töötavate teadlaste hoiakutel sellistes küsimustes kõrvale kalduda, siis tundub, et me ei peaks võtma mõne matemaatilise matemaatika asendamatust. teooria füüsilises rakenduses matemaatilise teooria tõesuse näitena. Lisaks, kuna meil pole põhjust arvata, et kõnealune matemaatiline teooria on tõene, pole meil ka põhjust arvata, et (matemaatilise) teooria poolt esitatud üksused on reaalsed. Seega peaksime jällegi P1 tagasi lükkama.ja seega naturalismiga. Ja jälle Maddy pooldab naturalismi. (Vt ka Parsons (1983) mõnede seotud probleemide kohta Quineani holismi osas.) Siinkohal on küsimus selles, et kui naturalism soovitab meil töötavate teadlaste hoiakutel sellistes küsimustes kõrvale kalduda, siis tundub, et me ei peaks võtma mõne matemaatilise matemaatika asendamatust. teooria füüsilises rakenduses matemaatilise teooria tõesuse näitena. Lisaks, kuna meil pole põhjust arvata, et kõnealune matemaatiline teooria on tõene, pole meil ka põhjust arvata, et (matemaatilise) teooria poolt esitatud üksused on reaalsed. Seega peaksime jällegi P1 tagasi lükkama.ja seega naturalismiga. Ja jälle Maddy pooldab naturalismi. (Vt ka Parsons (1983) mõnede seotud probleemide kohta Quineani holismi osas.) Siinkohal on küsimus selles, et kui naturalism soovitab meil töötavate teadlaste hoiakutel sellistes küsimustes kõrvale kalduda, siis tundub, et me ei peaks võtma mõne matemaatilise matemaatika asendamatust. teooria füüsilises rakenduses matemaatilise teooria tõesuse näitena. Lisaks, kuna meil pole põhjust arvata, et kõnealune matemaatiline teooria on tõene, pole meil ka põhjust arvata, et (matemaatilise) teooria poolt esitatud üksused on reaalsed. Seega peaksime jällegi P1 tagasi lükkama.) Siinkohal on küsimus selles, et kui naturalism soovitab meil töötavate teadlaste hoiakutel sellistes küsimustes kõrvale kalduda, siis tundub, et me ei peaks võtma matemaatilise teooria asendamatust füüsilises rakenduses matemaatikateooria tõesuse näitena.. Lisaks, kuna meil pole põhjust arvata, et kõnealune matemaatiline teooria on tõene, pole meil ka põhjust arvata, et (matemaatilise) teooria poolt esitatud üksused on reaalsed. Seega peaksime jällegi P1 tagasi lükkama.) Siinkohal on küsimus selles, et kui naturalism soovitab meil töötavate teadlaste hoiakutel sellistes küsimustes kõrvale kalduda, siis tundub, et me ei peaks võtma matemaatilise teooria asendamatust füüsilises rakenduses matemaatikateooria tõesuse näitena.. Lisaks, kuna meil pole põhjust arvata, et kõnealune matemaatiline teooria on tõene, pole meil ka põhjust arvata, et (matemaatilise) teooria poolt esitatud üksused on reaalsed. Seega peaksime jällegi P1 tagasi lükkama.meil pole põhjust arvata, et (matemaatilise) teooria poolt esitatud üksused on reaalsed. Seega peaksime jällegi P1 tagasi lükkama.meil pole põhjust arvata, et (matemaatilise) teooria poolt esitatud üksused on reaalsed. Seega peaksime jällegi P1 tagasi lükkama.

Maddy kolmas vastuväide on see, et iseseisvate küsimuste lahendamisel on raske aru saada, mida töötavad matemaatikud teevad. Need on küsimused, mis ei sõltu komplekti teooria standardsest aksioomist - ZFC aksioomidest. ^[6]Mõne nende küsimuste lahendamiseks on ZFC täiendamiseks tehtud ettepanek uute aksioomikandidaatide kohta ja nende kandidaatide toetuseks on esitatud argumendid. Probleem on selles, et esitatud argumentidel pole füüsilise teaduse rakendustega mingit pistmist: need on tavaliselt matemaatikavälised argumendid. Asendamatuse teooria kohaselt tuleks aga uute aksioomide hindamisel lähtuda sellest, kui hästi need vastavad meie praegustele parimatele teadusteooriatele. See tähendab, et komplekteeritud teoreetikud peaksid uusi aksioomikandidaate hindama füüsika uusimate arengutega ühe silmaga. Arvestades, et komplekteeritud teoreetikud seda ei tee, näib kinnitav holism taas toetavat tavapärase matemaatikapraktika revideerimist ja ka Maddy sõnul on see naturalismiga vastuolus (Maddy 1992, lk 286–289).

Ehkki Maddy ei sõnasta seda vastuväidet otseselt P1-ga vastuolus oleval viisil, illustreerib see kindlasti pinget naturalismi ja kinnitava holismi vahel. ^[7] Ja kuna mõlemad on vajalikud P1 toetuseks, seab vastuväide kaudselt punkti P1. Maddy toetab naturalismi ja võtab vastuväite, et näidata, et kinnitav holism on väär. Jätame arutelu selle kohta, millist mõju avaldaks kinnitava holismi tagasilükkamine hädavajalikkuse argumendile, kuni pärast Soberi vastuväite visandamist, sest Sober jõuab üldjoontes samale järeldusele.

Elliott Soberi vastuväide on tihedalt seotud Maddy teise ja kolmanda vastuväitega. Sober (1993) vaidlustab väite, et matemaatilistel teooriatel on empiiriline tugi, mille on kogunud meie parimad teaduslikud teooriad. Sisuliselt väidab ta, et matemaatilisi teooriaid ei testita samal viisil kui teaduse selgelt empiirilisi teooriaid. Ta juhib tähelepanu sellele, et hüpoteesid kinnitatakse konkureerivate hüpoteeside suhtes. Seega, kui matemaatikat kinnitatakse koos meie parimate empiiriliste hüpoteesidega (nagu väidab hädavajalikkuse teooria), peavad olema matemaatikavabad konkurendid. Kuid Sober juhib tähelepanu sellele, et kõik teaduslikud teooriad kasutavad ühist matemaatilist tuuma. Seega, kuna konkureerivaid hüpoteese pole, on ekslik arvata, et matemaatika saab empiiriliste tõendite kaudu kinnitavat tuge viisil, nagu teised teaduslikud hüpoteesid teevad.

See ei tähenda iseenesest asendamatuse argumendi P1 vastuväidet, nagu Sober kiiresti osutab (Sober 1993, lk 53), ehkki see kujutab endast vastuväidet Quine'i üldisele seisukohale, et matemaatika on osa empiirilisest teadusest. Nagu Maddy kolmas vastuväide, annab see meile põhjust kinnitava holismi tagasilükkamiseks. Nende vastuväidete mõju P1-le sõltub sellest, kui oluliseks peate selle eelduse kinnitavat terviklikkust. Kindlasti kaob suur osa P1 intuitiivsest veetlusest, kui kinnitav holism lükatakse tagasi. Igal juhul peab Soberi või Maddy vastuväidetega nõustuma möödapääsmatu argumendi järgimine seisukohal, et vähemalt ontoloogiline pühendumine üksustele, kes ei saa empiirilist tuge, on lubatav. See, kui mitte otse ületamatu,ei ole kindlasti Quine-Putnami algses argumendis vaimus.

5. Argumendi selgitavad versioonid

Maddy ja Soberi argumendid holismi vastu viisid asendamatuse argumendi ümberhindamiseni. Kui, võtke ühendust Quine'iga, ei aktsepteeri teadlased kõiki meie parimate teaduslike teooriate üksusi, kuhu see meid jätab? Vajame kriteeriume, millal positsioone realistlikult käsitleda. Siin sai huvitava pöörde asendamatu argumendi üle peetav arutelu. Teaduslikud realistid aktsepteerivad vähemalt meie parimate teadusteooriate neid seisukohti, mis aitavad teaduslikele selgitustele kaasa. Selle mõtteviisi kohaselt peaksime elektronidesse uskuma, näiteks mitte sellepärast, et need on meie parimate teadusteooriate jaoks hädavajalikud, vaid seetõttu, et nad on hädavajalikud väga konkreetsel viisil: nad on seletamatult asendamatud. Kui saaks näidata, et matemaatika aitab sel viisil kaasa teaduslikele selgitustele,matemaatiline realism oleks jälle võrdsustatud teadusliku realismiga. Tõepoolest, see on enamiku kaasaegse arutelu keskpunkt hädavajalikkuse argumendil. Keskne küsimus on: kas matemaatika aitab kaasa teaduslikele selgitustele ja kui jah, siis kas ta teeb seda õigesti?

Üks näide sellest, kuidas võiks matemaatikat pidada selgitavaks, on perioodiliste tsikaadide juhtum (Yoshimura 1997 ja Baker 2005). Põhja-Ameerika Magicicadade elutsüklid on 13 või 17 aastat. Mõned bioloogid väidavad, et selliste algselt nummerdatud elutsüklite olemasolu on evolutsiooniline eelis. Algnumbritega elutsüklid tähendavad, et Magicicadad väldivad konkurentsi, potentsiaalseid kiskjaid ja hübridisatsiooni. Idee on üsna lihtne: kuna algarvetel puuduvad mittetriviaalsed tegurid, on väga vähe muid elutsüklit, mida saab sünkroniseerida algarvutatud elutsükliga. Seega on Magicicadas efektiivne vältimisstrateegia, milleks teatud tingimustel valitakse. Kuigi arenev seletus hõlmab bioloogiat (nt evolutsiooniteooria, konkurentsiteooriad ja röövellikud),ülioluline osa selgitusest pärineb arvuteooriast, nimelt fundamentaalsest faktist algarvude kohta. Baker (2005) väidab, et see on bioloogilise fakti tõeliselt matemaatiline selgitus. Kirjanduses on ka muid näiteid väidetavate matemaatiliste seletuste kohta, kuid see on endiselt kõige laiemalt käsitletud teema ja see on matemaatiliste seletuste jaoks mõeldud postitaja laps.

Selle juhtumi kohta käivad küsimused keskenduvad sellele, kas matemaatika aitab tõepoolest selgitada (või seisab lihtsalt seletus bioloogiliste faktide eest ja just need selgitavad tõepoolest), kas väidetav seletus on üldse seletus ja kas kõnealune matemaatika osaleb selgitamisel õigel viisil. Lõpuks väärib märkimist, et kuigi hiljutine huvi matemaatilise seletuse vastu tekkis aruteludest möödapääsmatuse argumendi üle, on matemaatiliste seletuste staatus empiiriliste teaduste alal äratanud huvi ka omaette. Enamgi veel,sellised seletused (mida mõnikord nimetatakse ka "matemaatikavälisteks seletusteks") panevad väga loomulikult mõtlema matemaatiliste faktide seletustele, pöördudes edasiste matemaatiliste faktide poole (mõnikord nimetatakse neid ka "matemaatikasiseseks seletuseks"). Need kaks matemaatilist seletust on muidugi seotud. Kui näiteks mõne matemaatika teoreemi seletus põhineb selgitaval tõendil, siis selle teoreemi mis tahes rakendamine empiirilises valdkonnas annaks alust prima facie juhuks, kui kõnealuse empiirilise nähtuse täielik selgitamine hõlmab sisemist teoreemi matemaatiline seletus. Nendel ja muudel põhjustel on mõlemat tüüpi matemaatilised seletused viimastel aastatel pälvinud suurt huvi matemaatikafilosoofide ja loodusteaduste filosoofide vastu. Need kaks matemaatilist seletust on muidugi seotud. Kui näiteks mõne matemaatika teoreemi seletus põhineb selgitaval tõendil, siis selle teoreemi mis tahes rakendamine empiirilises valdkonnas annaks alust prima facie juhuks, kui kõnealuse empiirilise nähtuse täielik selgitamine hõlmab sisemist teoreemi matemaatiline seletus. Nendel ja muudel põhjustel on mõlemat tüüpi matemaatilised seletused viimastel aastatel pälvinud suurt huvi matemaatikafilosoofide ja loodusteaduste filosoofide vastu. Need kaks matemaatilist seletust on muidugi seotud. Kui näiteks mõne matemaatika teoreemi seletus põhineb selgitaval tõendil, siis selle teoreemi mis tahes rakendamine empiirilises valdkonnas annaks alust prima facie juhuks, kui kõnealuse empiirilise nähtuse täielik selgitamine hõlmab sisemist teoreemi matemaatiline seletus. Nendel ja muudel põhjustel on mõlemat tüüpi matemaatilised seletused viimastel aastatel pälvinud suurt huvi matemaatikafilosoofide ja loodusteaduste filosoofide vastu.siis tekitaksid selle teoreemi mis tahes rakendused empiirilises ruumis prima facie aluse, et vaadeldava empiirilise nähtuse täielik selgitamine hõlmab teoreemi matemaatilist seletust. Nendel ja muudel põhjustel on mõlemat tüüpi matemaatilised seletused viimastel aastatel pälvinud suurt huvi matemaatikafilosoofide ja loodusteaduste filosoofide vastu.siis tekitaksid selle teoreemi mis tahes rakendused empiirilises ruumis prima facie aluse, et vaadeldava empiirilise nähtuse täielik selgitamine hõlmab teoreemi matemaatilist seletust. Nendel ja muudel põhjustel on mõlemat tüüpi matemaatilised seletused viimastel aastatel pälvinud suurt huvi matemaatikafilosoofide ja loodusteaduste filosoofide vastu.

6. Järeldus

Pole selge, kui kahjulik on ülaltoodud kriitika hädavajalikkuse argumendile ja kas argumendi selgitav versioon jääb püsima. Arutelu on tõepoolest väga elav, selle teema jaoks on pühendatud palju hiljutisi artikleid. (Vt allpool toodud bibliograafilisi märkusi.) Selle aruteluga tihedalt seotud küsimus on, kas platonismi jaoks on veel muid korralikke argumente. Kui, nagu mõned usuvad, on asendamatu argument ainus kaalutlemist väärt platonismi argument, siis kui see ebaõnnestub, tundub platonism matemaatikafilosoofias pankrotti. Tähtis on siis matemaatilise realismi poolt ja vastu olevate muude argumentide staatus. Igal juhul väärib märkimist, et asendamatu argument on üks vähestest argumentidest, mis on domineerinud matemaatika ontoloogia aruteludes. Seetõttu on oluline, et seda argumenti ei käsitletaks eraldi.

Kaks kõige olulisemat matemaatilise realismi vastast argumenti on platonismi epistemoloogiline probleem - kuidas jõuda teadmiseni põhjuslikult inertsete matemaatiliste üksuste kohta? (Benacerraf 1983b) - ja määramatuse probleem numbrite taandamisel komplektideks - kui numbrid on komplektid, siis millised komplektid need on (Benacerraf 1983a)? Lisaks asendamatuse argumendile apelleerib matemaatilise realismi teine peamine argument soovile kogu diskursuse ühtse semantika järele: nii matemaatiline kui ka mittematemaatiline (Benacerraf 1983b). Matemaatiline realism vastab muidugi sellele väljakutsele kergesti, kuna see selgitab matemaatiliste väidete tõesust täpselt samamoodi nagu teistes valdkondades. ^[8] Siiski pole nii selge, kuidas nominalism suudab pakkuda ühtlast semantikat.

Lõpuks tasub rõhutada, et isegi kui asendamatuse argument on platonismi ainus hea argument, ei anna selle argumendi ebaõnnestumine tingimata nominaalsust, sest ka viimane võib olla ilma toetuseta. Tundub siiski õiglane öelda, et kui vastuväited hädavajalikkuse argumendile püsivad, õõnestatakse platoonismi ühte kõige olulisemat argumenti. See jätaks platonismi üsna loksutavaks.

Bibliograafia

Ehkki asendamatuse argumenti võib Quine'i kirjutistes leida paljudes kohtades (sealhulgas 1976; 1980a; 1980b; 1981a; 1981c), on locus classicus Putnami lühimonograafia „Loogikafilosoofia“(lisatud kolmanda köite teise väljaande peatükina). tema kogutud paberitest (Putnam, 1979b)). Vt ka Putnam (1979a) ja Fieldi sissejuhatus (1989), millel on argumendi suurepärane ülevaade. Colyvan (2001) on argumendi püsiv kaitse.

Vt Chihara (1973) ja Field (1980; 1989) rünnakute vastu teisele eeldusele ning Colyvan (1999; 2001), Lyon and Colyvan (2008), Maddy (1990), Malament (1982), Resnik (1985), Shapiro (1983) ja Urquhart (1990) Fieldi programmi kriitika eest. Nominalistlike strateegiate matemaatikafilosoofias (sh Fieldi programmi hea arutelu) üsna põhjaliku ülevaate saamiseks vaadake Burgess ja Rosen (1997), samal ajal kui Feferman (1993) seab kahtluse alla empiirilise teaduse jaoks vajaliku matemaatika koguse. Vt Azzouni (1997; 2004; 2012), Balaguer (1996b; 1998), Bueno (2012), Leng (2002; 2010; 2012), Liggins (2012), Maddy (1992; 1995; 1997), Melia (2000; 2002).), Peressini (1997), Pincock (2004), Sober (1993), Vineberg (1996) ja Yablo (1998; 2005; 2012) rünnakuid esimese eelduse vastu. Baker (2001; 2005; 2012), Bangu (2012), Colyvan (1998a; 2001; 2002;2007; 2010; 2012), Hellman (1999) ja Resnik (1995a; 1997) vastavad mõnele neist vastuväidetest.

Quineani asendamatuse argumendi variantide kohta vaata Maddy (1992) ja Resnik (1995a).

Asendamatuse argumendi selgitava versiooni kohta on viimasel ajal olnud palju kirjandust. Sellise argumendi varaseid esitlusi võib leida Colyvanist (1998b; 2002) ja kõige selgemalt Bakerist (2005), kuigi Steiner (1978a; 1978b) nägi seda tööd ette matemaatiliste seletuste osas ja Smart geomeetriliste seletuste kohta (1990). Mõningad argumendi selgitavat versiooni käsitlevad põhiartiklid hõlmavad Bakerit (2005; 2009; 2012; 2017), Bangu (2008; 2013), parunit (2014), Battermanit (2010), Buenot ja prantslast (2012), Colyvanit (2012). 2002; 2010; 2012; 2018), Lyon (2012), Rizza (2011), Saatsi (2011; 2016) ja Yablo (2012).

Arutelu käigus matemaatilise seletuse rolli üle asendamatutes argumentides on taas ilmnenud huvi matemaatilise seletuse järele enda huvides. See hõlmab teaduse matemaatiliste seletuste ühildamist teiste teaduslike seletuste vormidega ning seletuste uurimist matemaatikas endas. Osa sellest tööst sisaldab: Parun (2016) Baron jt. (2017), Colyvan jt. (2018), Lange (2017), Mancosu (2008) ja Pincock (2011).

• Azzouni, J., 1997, “Rakendusmatemaatika, eksistentsiaalne pühendumus ja Quine-Putnam asendamatuse tees”, Philosophia Mathematica, 5 (3): 193–209.
• ––– 2004, eksistentsiaalse tagajärje deflateerimine, New York: Oxford University Press.
• –––, 2012, “Kerge tee Dodgest välja võtmine”, Mind, 121 (484): 951–965.
• Baker, A., 2001, “Matemaatika, asendamatus ja teaduse areng”, Erkenntnis, 55 (1): 85–116.
• –––, 2005, “Kas on olemas füüsikaliste nähtuste ehtsaid matemaatilisi seletusi?”, Mind, 114 (454): 223–238.
• –––, 2009, „Matemaatiline seletus teaduses“, Briti ajakiri teaduse filosoofia kohta, 60 (3): 611–633.
• –––, 2012, „Teadusest juhitud matemaatiline seletus“, Mind, 121 (482): 243–267.
• –––, 2017, “Mathematical Spandrels”, Australasian Journal of Philosophy, 95 (4): 779–793.
• Balaguer, M., 1996a, “Kvantmehaanika nimetamise poole”, Mind, 105 (418): 209–226.
• –––, 1996b, “Matemaatika hädavajalike rakenduste väljamõeldiste ülevaade”, filosoofilised uuringud, 83 (3): 291–314.
• –––, 1998, Platonism ja antiplatonism matemaatikas, New York: Oxford University Press.
• Bangu, SI, 2008, “Parima seletuse ja matemaatilise realismi järeldused”, Synthese, 160 (1): 13–20.
• –––, 2012, Matemaatika rakendatavus loodusteadustes: asendamatus ja ontoloogia, London: Palmgrave, MacMillan.
• –––, 2013, „Asendamatus ja seletus”, Briti ajakiri teaduse filosoofiale, 64 (2): 225–277.
• Baron, S., 2014, “Optimeerimine ja matemaatiline seletus: teeme Lévy jalutuskäigu”, Synthese, 191 (3): 459–479.
• –––, 2016, “Matemaatilise seletuse selgitamine”, Filosoofiline kvartal, 66 (264): 458–480.
• Baron, S., Colyvan, M. ja Ripley, D., 2017, “Kuidas matemaatika saab midagi muuta”, Filosoofide väljaanne, 17 (3): 1–29.
• Batterman, R., 2010, “Matemaatika seletava rolli kohta empiirilises teaduses”, British Journal for Science Philosophy, 61 (1): 1–25.
• Benacerraf, P., 1983a, “Mis numbreid ei saanud olla”, kordustrükk trükistes Benacerraf ja Putnam (1983), lk 272–294.
• –––, 1983b, “Matemaatiline tõde”, kordustrükk Benacerrafis ja Putnamis (1983), lk 403–420 ja Hart (1996), lk 14–30.
• Benacerraf, P. ja Putnam, H. (toim.), 1983, Matemaatika filosoofia: valitud lugemised, 2. trükk, Cambridge: Cambridge University Press.
• Bueno, O., 2003, “Kas kvantmehaanikat on võimalik nimetada?”, Teaduse filosoofia, 70 (5): 1424–1436.
• –––, 2012, “Lihtne tee nominalismi juurde”, Mind, 121 (484): 967–982.
• Bueno, O. ja French, S., 2012, “Kas matemaatika võib seletada füüsikalisi nähtusi?”, Briti ajakiri teaduse filosoofiale, 63 (1): 85–113.
• Burgess, J., 1983, “Miks ma pole nominalist”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 24 (1): 93–105.
• Burgess, J. ja Rosen, G., 1997, Objektita objekt: Matemaatika nominalistliku tõlgendamise strateegiad, Oxford: Clarendon.
• Chihara, C., 1973, Ontoloogia ja nõiaringi põhimõte, Ithaca, NY: Cornell University Press.
• Colyvan, M., 1998a, “Asendamatuse kaitsmisel”, Philosophia Mathematica, 6 (1): 39–62.
• –––, 1998b, „Kas ühemeelset põhimõtet saab õigustada?“, Kanada ajakiri filosoofiast, 28 (3): 313–336.
• –––, 1999, “Kinnitusteooria ja asendamatus”, filosoofilised uurimused, 96 (1): 1–19.
• –––, 2001, Matemaatika hädavajalikkus, New York: Oxford University Press.
• –––, 2002, “Matemaatika ja esteetilised kaalutlused looduses”, Mind, 111 (441): 69–74.
• –––, 2007, „Matemaatiline puhkus versus matemaatilised teadmised“, M. Leng, A. Paseau ja M. Potter (toim), Mathematical Knowledge, Oxford: Oxford University Press, lk 109–122.
• –––, 2010, “Nominalismi juurde pole kerget teed”, Mind, 119 (474): 285–306.
• –––, 2012, „Teetööd ees: rasketehnika kergel teel“, Mind, 121 (484): 1031–1046.
• –––, 2018, “Matemaatilise seletuse sisemised küljed”, Mathematical Intelligencer, 40 (4): 26–9.
• Colyvan, M., Cusbert, J. ja McQueen, K., 2018, “Matemaatilise seletuse kaks maitset”, A. Reutlinger ja J. Saatsi (toim.), Selgitus põhjuslikest seostest, Oxford: Oxford University Press, lk 231–249.
• Feferman, S., 1993, “Miks natuke läheb kaugele: teaduslikult rakendatava matemaatika loogilised alused”, Teaduste Filosoofia Assotsiatsiooni Toimetised, 2: 442–455.
• Field, HH, 1980, Teadus ilma numbriteta: nominaalsuse kaitse, Oxford: Blackwell.
• –––, 1989, realism, matemaatika ja moodus, Oxford: Blackwell.
• Hart, WD (toim.), 1996, Matemaatika filosoofia, Oxford: Oxford University Press.
• Hellman, G., 1999, “Mõned hädavajadused ja väljapääsud: modaalstruktuuriline perspektiiv”, A. Cantini, E. Casari ja P. Minari (toim.), Matemaatika loogika ja alused, Dordrecht: Kluwer, lk 25–39.
• Irvine, AD (toim.), 1990, Füsikalism matemaatikas, Dordrecht: Kluwer.
• Kitcher, P., 1984, The Mathematical Knowledge, New York: Oxford University Press.
• Lange, M., 2017, sest ilma põhjuseta: mittepõhjused seletused teaduses ja matemaatikas, Oxford: Oxford University Press.
• Leng, M., 2002, “Mis on asendamatusega viga? (Või puhkusmatemaatika juhtum)”, Synthese, 131 (3): 395–417.
• –––, 2010, matemaatika ja reaalsus, Oxford: Oxford University Press.
• –––, 2012, “Astuge kergelt: vastus Colyvanile”, Mind, 121 (484): 983–995.
• Liggins, D., 2012, “Weaseling and Science of Science”, Mind, 121 (484): 997–1005.
• Lyon, A., 2012, “Empiiriliste faktide matemaatilised seletused ja matemaatiline realism”, Australasian Journal of Philosophy, 90 (3): 559–578.
• Lyon, A. ja Colyvan, M., 2008, “Faasiruumide seletav jõud”, Philosophia Mathematica, 16 (2): 227–243.
• Maddy, P., 1990, “Physicalistic Platonism”, AD Irvine (toim), Physicalism in Mathematics, Dordrecht: Kluwer, lk 259–289.
• ––– 1992, “Asendamatus ja praktika”, ajakiri Philosophy, 89 (6): 275–289.
• –––, 1995, “Naturalism ja ontoloogia”, Philosophia Mathematica, 3 (3): 248–270.
• –––, 1997, Naturalism matemaatikas, Oxford: Clarendon Press.
• ––– 1998, „Kuidas olla matemaatika loodusteadlane”, HG Dales ja G. Oliveri (toim.), „Tõde matemaatikas”, Oxford: Clarendon, lk 161–180.
• Malament, D., 1982, “Ülevaade väljade teadusest numbriteta”, Journal of Philosophy, 79 (9): 523–534 ja kordustrükis Resnik (1995b), lk 75–86.
• Mancosu, P., 2008, “Matemaatiline seletus: miks see on oluline”, P. Mancosu (toim), Matemaatilise praktika filosoofia, Oxford: Oxford University Press, 134–150.
• Melia, J., 2000, “Hädavajalikkuse argumendi kaotamine”, Mind, 109 (435): 455–479
• –––, 2002, “Vastus Colyvanile”, Mind, 111 (441): 75–80.
• Parsons, C., 1980, “Matemaatiline intuitsioon”, Aristotelian Society Proceedings of Aristotelian Society, 80: 145–168; kordustrükk Resnikis (1995b), lk 589–612 ja Hartis (1996), lk 95–113.
• –––, 1983, „Quine on the matemaatika filosoofia”, matemaatika filosoofias: valitud esseed, Ithaca, NY: Cornell University Press, lk 176–205.
• Peressini, A., 1997, “Hädavajalikkusega seotud probleemid: puhta matemaatika rakendamine füüsikalises teoorias”, Philosophia Mathematica, 5 (3): 210–227.
• Pincock, C., 2004, „Paljastav viga Colyvani asendamatuse argumendis”, teadusfilosoofia, 71 (1): 61–79.
• –––, 2011, „Vikerkaare matemaatilised seletused“, moodsa füüsika ajaloo ja filosoofia uuringud, 42 (1): 13–22.
• Putnam, H., 1979a, “Mis on matemaatiline tõde”, matemaatika küsimuses ja meetodis: Philosophical Papers, 1. köide, 2. trükk, Cambridge: Cambridge University Press, lk 60–78.
• –––, 1979b, „Loogikafilosoofia”, kordustrükis „Matemaatika ja matemaatika: Philosophical Papers”, 1. köide, 2. trükk, Cambridge: Cambridge University Press, lk 323–357.
• –––, 2012, „Asendamatuse argumendid matemaatika filosoofias”, H. Putnam, Filosoofia teaduse ajastul: füüsika, matemaatika ja skeptitsism, Cambridge, MA: Harvard University Press, ptk. 9
• Quine, WV, 1960, Word and Object, Cambridge, MA: MIT Press.
• –––, 1976, „Carnap ja loogiline tõde” kordustrükk väljaandes „Paradoksi viisid ja muud esseed”, muudetud väljaanne, Cambridge, MA: Harvard University Press, lk 107–132 ja Benacerraf ja Putnam (1983), lk 355. –376.
• –––, 1980a, „Mis on olemas”, kordustrükk ajakirjas Logical View View, 2. väljaanne, Cambridge, MA: Harvard University Press, lk 1–19.
• ––– 1980b, „Empiirika kaks dogmat”, kordustrükk ajakirjas Logical View View, 2. väljaanne, Cambridge, MA: Harvard University Press, lk 20–46; kordustrükk Hart (1996), lk 31–51 (lehel on viited esimesele kordustrükile).
• –––, 1981a, “Asjad ja nende koht teooriates”, teooriates ja asjades, Cambridge, MA: Harvard University Press, lk 1–23.
• –––, 1981b, “Empiirika viis verstaposti”, teooriates ja asjades, Cambridge, MA: Harvard University Press, lk 67–72.
• –––, 1981c, “Mathematiseerimise edu ja piirid”, teooriates ja asjades, Cambridge, MA: Harvard University Press, lk 148–155.
• –––, 1984, “Parsons Parsons”, matemaatika filosoofias,”Journal of Philosophy, 81 (12): 783–794.
• ––– 1986, “Vastus Charles Parsonsile”, artiklites L. Hahn ja P. Schilpp (toim.), WV Quine'i filosoofia, La Salle, ILL: Open Court, lk 396–403.
• Resnik, MD, 1985, “Kuidas nominalist on Hartry Fieldi nominalism”, Philosophical Studies, 47: 163–181.
• –––, 1995a, „Teaduslik matemaatiline realism: asendamatu argument”, Philosophia Mathematica, 3 (2): 166–174.
• –––, 1997, Matemaatika kui mustriteadus, Oxford: Clarendon Press.
• Resnik, MD (toim.), 1995b, Matemaatilised objektid ja matemaatilised teadmised, Aldershot (Suurbritannia): Dartmouth.
• Rizza, D., 2011, “Magicicada, matemaatiline seletus ja matemaatiline realism”, Erkenntnis, 74 (1): 101–114.
• Saatsi, J., 2011, “Tõhustatud asendamatuse argument: Matemaatika esinduslik versus seletav roll teaduses”, British Journal for Science Philosophy, 63 (1): 143–154.
• –––, 2016, “Matemaatika hädavajaliku seletava rolli kohta”, Mind, 125 (500): 1045–1070.
• Shapiro, S., 1983, “Konservatiivsus ja mittetäielikkus”, Journal of Philosophy, 80 (9): 521–531; kordustrükk Resnikis (1995b), lk 87–97 ja Hartis (1996), lk 225–234
• Smart, JJC, 1990, “Selection-Opening Address”, D. Knowles (toim.), “Selgitus ja selle piirid”, Cambridge: Cambridge University Press, 1–19.
• Sober, E., 1993, “Matemaatika ja asendamatus”, Philosophical Review, 102 (1): 35–57.
• Steiner, M., 1978a, “Matemaatiline seletus”, filosoofilised uuringud, 34 (2): 135–151.
• –––, 1978b, “Matemaatika, seletused ja teaduslikud teadmised”, Noûs, 12 (1): 17–28.
• Urquhart, A., 1990, “Füüsikalise teooria loogika”, AD Irvine (toim), Füsikalism matemaatikas, Dordrecht: Kluwer, lk 145–154.
• Vineberg, S., 1996, “Matemaatika kinnitamine ja hädavajalikkus loodusteadustele”, PSA 1996 (teaduse filosoofia, 63. lisa täiendus), lk 256–263.
• Yablo, S., 1998, “Kas ontoloogia toetub veale?”, Aristotelian Society (täiendav köide), 72: 229–261.
• –––, 2005, „Seitsmeste müüt“, ME Kalderon (toim), Fiktsionalism metafüüsikas, Oxford: Oxford University Press, lk 90–115.
• –––, 2012, “Selgitamine, ekstrapoleerimine ja olemasolu”, Mind, 121 (484): 1007–1029.
• Yoshimura, J., 1997, “Perioodiliste tsikaadide evolutsiooniline päritolu jääajal”, Ameerika loodusteadlane, 149 (1): 112–124.

Akadeemilised tööriistad

	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

[Palun võtke soovitustega ühendust autoriga.]