Video: Korrutamine | numbrid | Matemaatika | lapsed | Hosy Akadeemia 2023, Märts
Sisenemise navigeerimine
Sissesõidu sisu
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Sõprade PDF-i eelvaade
Teave autori ja tsitaadi kohta
Tagasi üles
Mittededuktiivsed meetodid matemaatikas
Esmakordselt avaldatud esmaspäeval 17. augustil 2009; sisuline läbivaatamine teisipäev, 21. aprill 2020
Praegusel kujul ei ole matemaatikas mitte deduktiivsete meetodite uurimiseks pühendatud ühte täpselt määratletud filosoofilist alamvälja. Nagu siin terminit kasutatakse, hõlmab see klastri erinevaid filosoofilisi seisukohti, lähenemisviise ja uurimisprogramme, mille ühiseks motivatsiooniks on seisukoht, et i) matemaatilises metoodikas on mitte deduktiivseid aspekte ja ii) tuvastamine ja analüüs neist aspektidest võib olla filosoofiliselt viljakas.
1. Sissejuhatus
1.1 Avastus versus õigustus
1.2 Mahaarvamine ja vormistamine
1.3 Deductivism ja alused
2. Deduktiivmeetodi mitte deduktiivsed aspektid
2.1 Mitteametlikkuse aspektid
2.1.1 Poolformaalsed tõendid
2.1.2 Lüngad tõendites
2.1.3 skeemid
2.2 Mahaarvamise õigustamine
2.2.1 Reeglite põhjendus
2.2.2 Aksioomide olek
2.3 Gödeli tulemused
3. Alternatiivsed mitte deduktiivsed meetodid
3.1 Eksperimentaalne matemaatika
3.2 Loenduv induktsioon
3.3 Arvutikinnitused
3.4 Tõenäosused
4. Kokkuvõte / järeldused
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed
1. Sissejuhatus
Filosoofilised vaated matemaatika ontoloogia kohta juhivad ulatust platonismist (matemaatika on abstraktsete objektide valdkonnast), fiktsionalismist (matemaatika on väljamõeldis, mille ainet ei eksisteeri), formalismile (matemaatikaväited on mõttetud jaod, mida kasutatakse vastavalt formaalsele reeglid), ilma üksmeeleta, milline on õige. Seevastu tundub õiglane öelda, et matemaatika põhimetoodika kohta on olemas filosoofiliselt väljakujunenud vaade. Ligikaudu on nii, et matemaatikute eesmärk on tõestada mitmesuguseid matemaatilisi väiteid ja see tõendus koosneb antud väite loogilisest tuletamisest aksioomidest. Sellel vaatel on pikk ajalugu;seega kirjutab Descartes oma töös Mõistuse suund (1627–28), et matemaatiline väide tuleb „tuletada tõelistest ja teadaolevatest põhimõtetest mõistuse pideva ja katkematu toimimise teel, millel on selge ülevaade igast protsessi etapist”(47). Selle arvamuse oluline tähendus on see, et matemaatikas ei ole ruumi vähemalt vähemalt ideaalis mitte deduktiivsete meetodite jaoks. Näiteks Frege väidab, et “matemaatika olemus on alati eelistada tõestamist, kui see on võimalik, igale kinnitamisele induktsiooni abil” (1884, 2). Berry (2016) pakub uuemat tõendusmaterjali kaitset, kuna see edendab matemaatilises kogukonnas ühise uurimise põhivooge.vähemalt ideaalis mitte deduktiivsete meetodite matemaatikas. Näiteks Frege väidab, et “matemaatika olemus on alati eelistada tõestamist, kui see on võimalik, igale kinnitamisele induktsiooni abil” (1884, 2). Berry (2016) pakub uuemat tõendusmaterjali kaitset, kuna see edendab matemaatilises kogukonnas ühise uurimise põhivooge.vähemalt ideaalis mitte deduktiivsete meetodite matemaatikas. Näiteks Frege väidab, et “matemaatika olemus on alati eelistada tõestamist, kui see on võimalik, igale kinnitamisele induktsiooni abil” (1884, 2). Berry (2016) pakub uuemat tõendusmaterjali kaitset, kuna see edendab matemaatilises kogukonnas ühise uurimise põhivooge.
Filosoofilises kirjanduses on ehk kõige kuulsam väljakutse sellele vastuvõetud vaatele tulnud Imre Lakatose poolt tema mõjukas (postuumselt avaldatud) 1976. aasta raamatus Proofs and Refutations:
Eukleidese metoodika on välja töötanud teatava kohustusliku esitusstiili. Ma nimetan seda „deductivistlikuks stiiliks”. See stiil algab aksioomide, leemide ja / või määratluste vaevaliselt esitatud loendist. Aksioomid ja määratlused tunduvad sageli kunstlikud ja müstiliselt keerulised. Kunagi ei öelda, kuidas need tüsistused tekkisid. Aksioomide ja definitsioonide loetelule järgnevad hoolikalt sõnastatud teoreemid. Need on koormatud rasketes oludes; tundub võimatu, et keegi oleks neid kunagi osanud arvata. Teoreemile järgneb tõestus.
Deduktivistlikus stiilis on kõik väited tõesed ja kõik järeldused kehtivad. Matemaatikat esitletakse kui igavese, muutumatu tõe üha suurenevat kogumit.
Deductivistlik stiil peidab võitlust, peidab seiklust. Kogu lugu kaob, korduvad teoreemi järjestikused esialgsed sõnastused tõendusprotseduuri käigus on unustatud, lõpptulemus ülendatakse aga pühaks eksimatuks (Lakatos 1976, 142).
Enne jätkamist tasub teha mõned erinevused, et keskenduda järgneva arutelu teemadele.
1.1 Avastus versus õigustus
Laialdane väide, et matemaatilises tegevuses on mõned mitte deduktiivsed aspektid, näib olevat suhteliselt vaieldamatu. See tähendab ainult väidet, et mitte kõik, mida matemaatikud matemaatikat tehes teevad, ei seisne väidete tuletamises teistest väidetest. Nagu James Franklin ütleb:
Matemaatika ei saa koosneda ainult oletustest, ümberlükkamistest ja tõestustest. Igaüks võib tekitada oletusi, kuid milliseid neist tasub uurida? … Mida võiks matemaatiku repertuaaris mõne meetodiga tõestada? … Millele tõenäoliselt ei leita vastust enne järgmise ametiaja läbivaatamist? Matemaatik peab neile küsimustele vastama, et oma aega ja vaeva eraldada. (Franklin 1987, 2)
Üks viis üldise väite kitsendamiseks, et muuta see sisukamaks, on tuttava (ehkki mitte täiesti ebaproblemaatilise) eristamine „avastuse konteksti” ja „õigustamise konteksti” vahel. Ühest küljest võib see eristamine võimaldada traditsioonilise deductivistliku vaate säilitamist Lakatose kriitika taustal, väites, et see, millele Lakatos osutab, puudutab avastuse konteksti matemaatikas. Põhjendamise kontekstis võib tulemuste tuletamine aksioomidest olla ikka õige ja täielik lugu. Mõnel matemaatiku reaktsioonil Lakatose vaadetele on see iseloom, näiteks Morris Klinei järgmine märkus Lakatosele kirjutatud kirjas:
Usun, et vajame palju rohkem kirjandust, rõhutades matemaatika avastuskülge. Nagu te teate ja mõistate, on kogu rõhk matemaatika deduktiivsel struktuuril ja õpilastele jäetakse mulje, et neist järeldatakse vanade põhjal uusi järeldusi. [1]
Lakatosele suurt mõju avaldanud Pólya loomingust on võimalik leida ka sarnaseid lõike:
Uurides probleemide lahendamise meetodeid, tajume matemaatika teist nägu. Jah, matemaatikal on kaks nägu; see on Eukleidi range teadus, kuid see on ka midagi muud. Eukleidilisel moel esitatud matemaatika näib süstemaatilise, deduktiivse teadusena, kuid matemaatika selle koostamisel näib olevat eksperimentaalne, induktiivne teadus. (Pólya 1945, vii) [originaalis kaldkiri]
Ja vastupidi, selleks, et esitada tuttavale deductivistlikule positsioonile tõeline väljakutse, peab vastuhagi seisma selles, et mitte deduktiivsed meetodid mängivad rolli matemaatiliste tulemuste õigustamisel (Paseau 2015). Seetõttu keskendutakse ülejäänud uuringus peamiselt õigustavatele kontekstidele. [2]
1.2 Mahaarvamine ja vormistamine
See ei ole koht deduktsiooni üksikasjalikuks analüüsimiseks. Praegusel juhul eeldatakse, et see mõiste on vähemalt põhimõtteliselt üsna sirgjooneline. Mahaarvamine on avalduste mis tahes jada, millest igaüks tuleneb mingist algsest avalduste komplektist (ruumid) või jada eelmisest avaldusest. Üks probleem, millega tuleb tegeleda, on aga mahaarvamise ja vormistamise suhe (vt nt Azzouni 2013).
Argument võib olla deduktiivne, ilma et see oleks formaalne. Ehkki deduktsiooni paradigmajuhtumid kipuvad esinema kõrgelt vormistatud süsteemides, pole see vajalik. “Kõik paarisarvud, mis on suuremad kui 2, on liit; 1058 on suurem kui 2; 1058 on ühtlane; seega 1058 on liit”on täiesti hea järeldus, hoolimata sellest, et seda pole vormistatud. Seega ei ole tõsi, et vastupidiselt sellele, mida nende teemade aruteludes mõnikord arvatakse, on kõik matemaatilise praktika mitteametlikud aspektid deduktiivsed.
Teisest küljest on formaalse loogika arendamine tihedalt seotud selge keele pakkumisega deduktiivsete matemaatiliste põhjenduste esitamiseks (ja hindamiseks). Tõepoolest, nagu John Burgess väitis oma (1992), arenes moodne klassikaline loogika suures osas matemaatiliste mõttekäikude, eriti tõendusmaterjalide alusena. Suurenemine ranguse jooksul matemaatika ajal 19 th Century on korralikult vaadelda kui põhjus, ei mõju, on loogiline revolutsiooni maha Frege töö. Loogika on Burgessi arvates kirjeldav: selle eesmärk on konstrueerida matemaatilisi arutlusmudeleid. Klassikaline loogika kujutab endast klassikalise matemaatilise tõestuse idealiseeritud kirjeldust.
Samuti võib olla oluline eristada antud matemaatilise tõendi mitteametlikke elemente mittevormitatavatest elementidest (kui selliseid on). [3] Jaos 4 käsitletakse seda küsimust seoses diagrammide kasutamisega matemaatilistes põhjendustes.
1.3 Deductivism ja alused
Lisaks formaalse loogika arendamisele on deductivismi teine aspekt rõhuasetus „alustele“. Põhjus on see, et üleminek aksioomidest teoreemile on põhimõtteliselt sirgjooneline, kuna tegemist on loogilise tuletuse küsimusega. Selles üleminekus pole tegelikult midagi matemaatiliselt kaasatud. Seetõttu on tähelepanu nihutatud deduktiivse protsessi alguspunkti, nimelt aksioomidele. Ja kui need aksioomid on iseenesest mõne põhiteooria teoreemid, siis saab seda turvalise lähtepunkti poole püüdlemist läbi viia aina põhjalikumate matemaatiliste teooriate hierarhia kaudu.
On selge, et küsimusi sihtasutuste matemaatika on olnud keskne mure filosoofide matemaatika kaudu kõige 20 th Century. Seda muidugi mitte sellepärast, et sellised vundamendivaldkonnad nagu komplektteooria on matemaatika ainsad valdkonnad, kus filosoofid arvavad, et deduktsioon toimub, vaid pigem seetõttu, et - nagu eespool öeldud - keskendub deduktsioonile keskendumine eriti tõendite lähtepunktidele. Isegi need, kes mõistvad seda keskendumist põhiküsimustele, mõistavad tõenäoliselt, et matemaatikapraktika paljusid valdkondi eiratakse. Küsimus on selles, mis - kui midagi - kaotab protsess filosoofilise huvi.
2. Deduktiivmeetodi mitte deduktiivsed aspektid
2.1 Mitteametlikkuse aspektid
2.1.1 Poolformaalsed tõendid
Nagu eespool punktis 1.2 mainitud, on deduktivistliku stiili üheks tunnuseks see, et paradigmaatilisi matemaatilisi tõestusi väljendatakse täielikult mingis sobivas formaalses keeles (näiteks identiteediga esimese astme predikaatloogika). See võimaldab antud tõendite kehtivust hõlpsalt, tõepoolest mehaaniliselt kindlaks teha. Kuid muidugi on vähestel matemaatikute ringluses ja avaldatud tõenditest see olemas. Töötavate matemaatikute tõendusmaterjalina varieerub täiesti mitteametlikust detailideni ja täpseteni, täites iga (või peaaegu iga) lünga. Kuid isegi detailsed ja täpsed tõendid on harva väljendatud puhtalt loogikakeeles; pigem on need segu tavalistest keelelistest, matemaatilistest ja loogilistest sümbolitest ning terminoloogiast.
Mõnikord panevad deductivistlikus traditsioonis kirjutavad filosoofid kõlama, justkui oleks see üsna triviaalne punkt; see on lihtsalt matemaatikute asi, kellel on "tõlkeskeem" käes, kuid ei kirjuta tõendit puhta loogika järgi välja, et see oleks juurdepääsetavam ja hõlpsamini loetav. Tegelikult pole sageli kaugeltki selge, kuidas antud tõendit formaalseks loogikaks tõlkida. Lisaks ei ole selge, kas mitteametliku tõendi ametlikku keelde tõlkimise mõiste on tingimata õige viis olukorra vaatamiseks. Stewart Shapiro tutvustab sisuliselt seda vaadet oma 1991. aasta raamatu „Sihtasutused ilma fundamentaalsuseta” alguses, kirjutades järgmist:
Täisloogika keeled on vähemalt osaliselt tavaliste looduskeelte fragmentide, näiteks inglise keele, matemaatilised mudelid või võib-olla tavalised keeled, mida on täiendatud matemaatikas kasutatavate väljenditega. Viimaseid võib nimetada “matemaatika loomulikeks keelteks”. Rõhuasetuseks või segaduste vältimiseks nimetatakse täieliku loogika keelt mõnikord “ametlikuks keeleks”.
Matemaatilise mudelina on loogika keele ja selle loomuliku keele vaste vahel alati vahe. Sobivus mudeli ja modelleeritud vahel võib olla hea või halb, kasulik või eksitav ükskõik millisel otstarbel. (Shapiro 1991, 3)
Alternatiivne pilt on see, et formaalsed ja mitteametlikud keeled pakuvad erinevaid võimalusi matemaatiliste teoreemide ja tõendite väljendamiseks. Ametlikku keelt ei kasutata tõlkimiseks ja seetõttu ei pea seda mõõtma mitteametliku tõendusmaterjali väljendusega. Pigem pakub see oma, väidetavalt paremaid, ressursse matemaatiliste avalduste sisu väljendamiseks täpses ja täpses keskkonnas, mis on spetsiaalselt selleks otstarbeks loodud. Ükskõik, milline on matemaatika formaalsete ja mitteametlike esitluste vaheliste suhete pilt, jääb kaks punkti. Esiteks, deduktiivsed matemaatilised argumendid - argumendid, mida matemaatikud loovad, edastavad ja üles ehitavad - võivad olla kas formaalsed või mitteametlikud. Teiseksselliseid argumente, mis on deduktiivselt kehtivad või valed, on mingisuguse formaalse süsteemi kontekstis lihtsam lõplikult läbi viia.
Samuti väärib märkimist, et Lakatos pooldab lisaks ametlikele ja mitteametlikele ka kolmanda kategooria tõendeid, mida ta nimetab kvaasformaalseks. Lakatos kirjutab, et:
oletada, et mitteametlik tõestus on vaid puudulik formaalne tõend, tundub mulle, et see tegi sama vea, mida tegid varajased haridusteadlased, kui oletades, et laps oli vaid miniatuurne täiskasvanu, jätsid nad tähelepanuta lapse käitumise otsese uurimise kasuks teoreerimine täiskasvanute käitumise lihtsate analoogiate põhjal. (Lakatos 1980, 63)
2.1.2 Lüngad tõendites
Ülaltoodud jutt „iga tühimiku täitumisest” üleminekul ideaalsele tõendile toob läikima asjaolu, et tõendi „lünga” mõiste vajab juba täiendavat selgitamist. Esiteks on kõige arusaadavam viis tõestuslünga määratlemiseks - nagu allpool toodud - kohaldatav ainult täielikult formaalsete süsteemide puhul.
Lüngaks on mis tahes punkt tõendis, kus kirjutatud rida ei tulene eelnevate ridade mõnest alamhulgast (koos aksioomidega), rakendades süsteemile ametlikult kehtivat ja selgesõnaliselt välja toodud järelduse reeglit.
Tingimus, et iga reegel peab olema süsteemi jaoks selgesõnaliselt määratletud järeldusreeglina, on selle põhjuseks, et tahame jätta ruumi mängulistele, kuid kehtivatele tõenditele. Näiteks “2 + 2 = 4, järelikult on lõpmata palju aluseid” on õigustatud argument, kuid selle eelduse ja järelduse vahel on selgelt suur vahe. Teisest küljest, vaatamata ülaltoodud määratlusele, mis töötab ainult formaalsete tõendite jaoks, ei käi ebakorrektsus ja formaalsus alati koos. Seega on traditsiooniline sülogism nagu: „Kõik mehed on surelikud; Sokrates on mees; seega on Sokrates surelik”on näide ebaausast mitteametlikust tõestusest. Üks viis laiendada õnne (ja õnnetuse) mõistet mitteametlikele tõenditele on matemaatilise põhitõe mõiste,teisisõnu - järeldused, mida "matemaatiline kogukond aktsepteerib kui tõendusmaterjali ilma täiendavate argumentide vajaduseta" (Fallis 2003, 49).
Lõpuks iseloomustame lünki, kuid on vaieldamatu, et enamikul matemaatikute esitatud tõenditel on lünki. Don Fallis pakub välja oma (2003) tõenduslünkade taksonoomia:
Sissejuhatavad lüngad
„Matemaatik on jätnud järeldatava lõhe, kui konkreetne ettepanekute jada, mida matemaatik peab silmas (tõendina), ei ole tõestusmaterjal“(Fallis 2003, 53).
Entümemaatilised lüngad
“Matemaatik on jätnud entümemaatilise lõhe, kui ta ei ütle sõnaselgelt välja konkreetset jada, mida ta silmas peab” (Fallis 2003, 54). [4]
Lühendamata lüngad
"Matemaatik on jätnud ületamata lünga, kui ta ei ole üritanud otseselt kontrollida, kas iga väide, mida ta meeles peab (nagu tõendusmaterjal), peab seda järgnevas järjestuses varasemate väidete põhjal matemaatilise põhitõestusega". (Fallis 2003, 56–7).
Selle taksonoomilise töö kõrval väidab Fallis ka filosoofilise väitekirja jaoks, et lüngad tõendusmaterjalides pole tingimata halvad asjad. Tuginedes ülaltoodud punktile iii, tutvustab ta mõistet universaalselt ületamata lüngast, teisisõnu lüngast, mida ükski matemaatilise kogukonna liige pole üledanud. Fallis väidab, et sellised lüngad pole ebaharilikud ja et matemaatikud aktsepteerivad õigustavas kontekstis vähemalt osa neid sisaldavatest ajatõenditest. Seda seisukohta kinnitavad Anderseni uuemad tööd (2018).
Üks praegu aktiivne töövaldkond, mis on viinud seni tundmatute mitmesuguste lünkade avastamiseni, on automatiseeritud tõenduskontroll. Spetsiaalselt loodud arvutiprogramme kasutatakse selleks, et kontrollida tõendite kehtivust, mis on esitatud sobivas ametlikus keeles. Siiani pole põhirõhk olnud uute tulemuste avastamisel, vaid juba loodud tulemuste tõendite staatuse kontrollimisel. George Gonthier on seda lähenemisviisi kasutanud nelja värviteoreemi tõestuse (Gonthier 2008) ja paaritu järjekordteoreemi tõestuse kontrollimiseks rühmateoorias (Gonthier jt 2013) ning Thomas Hales on kontrollinud Jordani kõvera teoreemi tõestust. (Hales 2007). Mõlemal juhul leiti mitmeid lünki ja seejärel need ületati. Seda laadi ametlik kontroll võib paljastada ka muud teavet, mis on peidetud tavaliste matemaatiliste argumentide sisusse. Georg Kreisel on seda üldist protsessi kirjeldanud kui "tõendite lahtiütlemist", samal ajal kui Ulrich Kohlenbach on hiljuti kehtestanud mõiste "tõendite kaevandamine". Seoses ülalkirjeldatud meetoditega kirjutab Avigad sellest
… tõenditeoreetilisi meetodeid ja teadmisi saab kasutada automatiseeritud põhjendamise ja ametliku kontrollimise valdkonnas. Alates kahekümnenda sajandi algusest on mõistetud, et tavalisi matemaatilisi argumente saab vähemalt põhimõtteliselt esitada formaalsetes aksiomaatilistes teooriates. Isegi kõige elementaarsemate matemaatiliste argumentide keerukus muutis enamiku vormistamise praktikas teostamatuks. Arvutuslike tõendusassistentide tulek on seda muutma hakanud, võimaldades vormistada üha keerukamaid matemaatilisi tõestusi. … [T] -meetodeid saab kasutada ka tavapäraste matemaatiliste tõendite kontrollimise traditsioonilisemaks ülesandeks ja need on eriti olulised juhtudel, kui tõendid tuginevad arvutamisele, mis on käsitsi kontrollimiseks liiga ulatuslik. (Avigad 2007, 7)
Delariviere ja Van Kerkhove (2017) osutavad siiski, et kuigi arvutimeetodid võivad tõendusmaterjali kontrollimisel üha olulisemat reeglit mängida, on palju vähem selge, et sellistel meetoditel võib olla matemaatilise mõistmise edendamisel vastavalt keskne roll.
2.1.3 skeemid
Teine mitteametliku tõestuse aspekt, millele viimases filosoofilises kirjanduses on uuesti tähelepanu pööratud, on diagrammide roll (Giaquinto 2007; Shin & Lemon 2008). Pole vaidlust selle üle, et tõenditele - eriti geomeetrias, aga ka muudes valdkondades alates analüüsist kuni rühmateooriani - on sageli lisatud diagrammid. Üks küsimus on see, kas sellised diagrammid mängivad vältimatut rolli arutluskäigu ahelas, mis viib antud tõendite juurest järeldusele. Esmapilgul tundub, et on kolm olukorda:
Skeemidel ei ole tõendusmaterjalides sisulist rolli ja need on üksnes illustratsioonid selle käsitletava objekti aspektidele.
Praktiliselt on raske (või isegi võimatu) tõenditest aru saada ilma diagramme kasutamata, kuid see hädavajalikkus on pigem psühholoogiline kui loogiline.
Skeemidel on oluline roll tõestuse loogilises ülesehituses.
Skemaatilistel mõttekäikudel tehtud filosoofilise töö alglaine keskendus Euclidi elementidele osaliselt selle töö kesksuse ja ajaloolise tähtsuse tõttu ning osalt seetõttu, et seda peetakse nii sageli deduktiivse meetodi kanooniliseks näiteks (vt nt Mumma 2010). Kui osa või kõik elementide skeemid kuuluvad ülaltoodud valiku iii alla, siis muudab kõigi diagrammide kustutamine paljud tõendid kehtetuks. See tõstatab lisaküsimuse, kas põhjenduste eristatavalt skemaatilist vormi on võimalik tuvastada ja analüüsida ning kui jah, siis kas seda saab ka puhtalt deduktiivses süsteemis kajastada. Üks raskus mis tahes kavandatud täpsustamisel on nn üldistusprobleem: kuidas saab konkreetse diagrammiga seotud tõendit üldistada muudele juhtumitele? See on omavahel seotud küsimusega, kas ametlikult eristadaantud diagrammi oluliste ja juhuslike tunnuste vahel.
Hilisemad tööd diagrammide rolli kohta tõestustes on hõlmanud seisukoha kaitsmist, mille kohaselt skemaatilised tõestused võivad mõnikord olla täiesti ranged (Azzouni, 2013), ja diagrammipõhiste arutluste uurimist matemaatiliste praktikate muudel aladel kui geomeetria (de Toffoli ja Giardino, 2014; de Toffoli, 2017).
2.2 Mahaarvamise õigustamine
Isegi kui piirduda tähelepanu õigustamise kontekstiga, annab deduktiivne tõend kategoorilisi teadmisi ainult siis, kui see lähtub kindlast lähtepunktist ja kui järelduste reeglid on tõde säilitavad. Kas meie kindlustunnet nende kahe tingimuse saavutamise osas saab ka puhtalt deduktiivselt põhjendada? Neid tingimusi võetakse omakorda arvesse.
2.2.1 Reeglite põhjendus
Ühes mõttes tundub mõnele eelistatud järelduste reeglile deduktiivse põhjenduse andmine põhjendamatult. Näiteks võib näidata, et kui Modus Ponensi rakenduse eeldused on tõesed, peab ka järeldus olema tõene. Probleem on vähemalt potentsiaalselt selles, et sellised õigustused kasutavad tavaliselt just seda reeglit, mida nad püüavad õigustada. Ülaltoodud juhul: kui MP-d rakendatakse tõelistele ruumidele, on järeldus tõene; MP rakendatakse tõelistele ruumidele; järeldus on tõene. Haack (1976) ja teised on arutanud, kas ringikujulisus on siin õel või mitte. Üks oluline kaalutlus on see, kas kehtetutele reeglitele, näiteks Priori sissejuhatamis- ja kõrvaldamisreeglitele „tonki” kohta saab anda analoogseid „põhjendusi”, millel on ka see omadus, et reeglit kasutatakse enda õigustamiseks.[5] (Lähedalt seotud teema võib leida Lewis Carrolli ja tema klassikalise (1895) paberi järgi.)
2.2.2 Aksioomide olek
Eeldame siis, et idealiseeritud deduktiivne tõend pakub üht tüüpi turvalisust: iga sammu läbipaistvus tagab kogu argumendi paikapidavuse ja garanteerib seega, et kui kõik eeldused on tõesed, peab järeldus olema tõene. Mis saab aga aksioomidest, mis tuuakse sisse tõendusprotsessi alguses? Traditsiooniline vastus sellele küsimusele on väide, et aksioomide tõesus on kindel, kuna aksioomid on iseenesestmõistetavad. See näib kindlasti olevat olnud näiteks eukleidilise geomeetria aksioomide üldiselt aktsepteeritud vaade. Erinevatel põhjustel on selline suhtumine tänapäeva matemaatikas palju vähem levinud. Esiteks avastati 19. sajandi alguses mitteeuklidiline geomeetriaSajand näitas, et näiline enesetõendusmaterjal, vähemalt Parallel Postulaadi puhul, ei taga vajaliku tõe olemasolu. Teiseks muutis matemaatiliste teooriate suurenev ulatus ja keerukus ning nende aksiomaatika palju vähem usutavaks väita, et iga üksik aksioom oli läbipaistvalt tõene. Kolmandaks, paljud matemaatika alamvaldkonnad on märkimisväärselt abstraheeritud ükskõik millistest konkreetsetest mudelitest ja see on käinud käsikäes vähemalt mõne matemaatiku kalduvusega oma väljatöötatud teooriatesse suhtuda formalistlikult. Selle asemel, et põhitõdesid avaldada, on aksioomide eesmärk lihtsalt ametliku mängu lähtepunkt.
Sellise formalistliku suhtumise aksioomidesse on võimalik jälgida ka Frege loogika kaudu. Loogikaprogramm püüdis näidata, et matemaatika on taandatav loogikale, teisisõnu võib näidata, et matemaatilised tõendid koosnevad loogilistest järeldustest loogiliselt tõestest ruumidest. Frege jaoks on need loogiliselt tõesed ruumid nendes esinevate mõistete määratlused. Kuid see tõstatab taas küsimuse, mis eristab vastuvõetavat määratlust vastuvõetamatust. Siin pole mureks mitte ainult see, kas meie aksioomid on tõesed, vaid ka see, kas nad on isegi järjepidevad (lõks, mis kuulsalt tabas Frege'i enda süsteemi). Ja see on probleem, kui enesetõenditest loobutakse aksioomide nn kuldstandardina, olenemata sellest, kas liigume siit formalistliku või loogikavaate juurde. Mõlemal juhulkandidaatide aksioomide vastuvõetavuse osas tuleb sätestada veel mõned piirid.
Kas on siis keskpunkti ühelt poolt kõrge enesetõendamise taseme ja teiselt poolt suhtumise „kõik läheb” vahel? Üks idee, mille versiooni võib leida Bertrand Russellist, on parimale selgitusele tugineda järeldatavale versioonile. Russeli arvates on täiesti usutav, et elementaarse aritmeetika - „2 + 2 = 4”, „7 on peaminister” jne - laused on palju enesestmõistetavamad kui mis tahes loogilise või setteoreetilise süsteemi aksioomid. tulla välja, et neid maandada. Nii et aksioomide kui maksimaalselt enesestmõistetava nägemise asemel peaksime selle asemel mõtlema neile kui valitutele nende (kollektiivse) võime põhjal aritmeetiliste põhifaktide süstematiseerimiseks, tuletamiseks ja selgitamiseks. Teisisõnu, loogilise implikatsiooni suund jääb aksioomidest aritmeetiliste faktideni,kuid õigustamise suund võib minna teistpidi, vähemalt väga lihtsate, ilmsete aritmeetiliste faktide puhul. Meie set-teoreetilistest aksioomidest tuletatud „2 + 2 = 4” ei suurenda meie usaldust „2 + 2 = 4” tõesuse vastu, vaid asjaolu, et suudame tuletada selle varem teadaoleva fakti (ja mitte tuletada muid ettepanekuid, mida me tea, et see on vale) suurendab meie usaldust aksioomide tõesuse suhtes.
Põhjendamise suund peegeldab siin õigustamise suunda parimale seletusele tuginedes. Kui oleme kindlate aksioomide valiku osas kindluse määranud, võib õigustamise suund liikuda ka tavapärasemas suunas, tõestuse deduktiivsete järeldustega. See juhtub siis, kui tõestatud teoreem polnud see, kelle tõde oli eelnevalt ilmne. Easwaran (2005), Mancosu (2008) ja Schlimm (2013) on selle aksioomi valiku põhikonto välja töötanud erineval viisil. Näiteks väidab Mancosu, et analoogne protsess võib olla aluseks uute matemaatiliste teooriate väljatöötamisele, mis laiendavad rakendusvaldkonda või varasemate teooriate ontoloogiat. Selle protsessi analüüsimisel edasise arengu saavutamine sõltub piisava ülevaate saamisest matemaatilisest seletusest,ja see on saanud hiljuti matemaatikafilosoofiat käsitlevas kirjanduses märkimisväärset huvi pakkuvat valdkonda.
Teine lähenemisviis, mida Maddy (1988, 1997, 2001, 2011) järgib, on üksikasjalikum uurimine matemaatikute tegelikust praktikast ja nende esitatud põhjustest erinevate kandidaatide aksioomide aktsepteerimiseks või tagasilükkamiseks. Maddy keskendub põhiliselt teooria aksioomidele ja ta väidab, et on olemas mitmesuguseid teoreetilisi voorusi, millel puudub otsene seos „enesetõenditega”, mida aksioomidel võib olla. Mis need voorused on ja kuidas neid üksteisega kaalutakse, võib matemaatika erinevates valdkondades väga erinev. Kaks peamist voorust, mille Maddy tuvastab setteoreetiliste aksioomide jaoks, on UNIFY (st et nad pakuvad ühtset alusteooriat setteoreetiliste küsimuste otsustamiseks) ja MAXIMISE (st et nad ei piira suvaliselt isomorfismitüüpide ulatust). Aksioomivaliku küsimus komplekti teoorias on võetud ka Lingamneni (2017) ja Fontanella (2019) hiljutises töös.
2.3 Gödeli tulemused
Matemaatika deduktiivse meetodi piirangutest on kahtlemata kõige kurikuulsamad need, mis tulenevad Gödeli mittetäielikkuse tulemustest. Ehkki need tulemused kehtivad ainult matemaatiliste teooriate kohta, mis on piisavalt tugevad, et kinnistada aritmeetikat, tähendab naturaalarvude (ja nende pikenduste lisamine ratsionaalidesse, reaalidesse, kompleksidesse jne) tsentraalsus matemaatilise tegevuse keskpunktis seda, et implikatsioonid on laialt levinud.
Samuti ei tohiks üle tähtsustada Gödeli töö täpset mõju. Kvantifikaatorite järjekord on oluline. Gödel näitas, et mis tahes järjekindla, rekursiivselt aksioomiseeritud formaalse süsteemi F korral, mis on piisavalt tugev aritmeetika jaoks, on puhtalt aritmeetilises keeles väljendatavaid tõdesid, mida ei saa F-s tõestada. Ta ei näidanud, et on aritmeetilisi tõdesid, mis pole tõestatavad mis tahes formaalne süsteem. Sellest hoolimata lõid Gödeli tulemused mõned olulised naelad matemaatika deduktiivse ideaali ühe versiooni kirstu. Kogu matemaatika jaoks ei saa olla ühte, rekursiivselt aksioomiseeritavat formaalset süsteemi, mis oleks (a) järjekindel, b) puhtalt deduktiivne ja (c) täielik. Üks vastus sellele olukorrale on uurida matemaatikas mitte deduktiivsete õigustusmeetodite võimalusi.
3. Alternatiivsed mitte deduktiivsed meetodid
3.1 Eksperimentaalne matemaatika
Mitte deduktiivsete meetodite roll empiirilises teaduses on selgelt nähtav ja suhteliselt vaieldamatu (tempo Karl Popper). Tõepoolest, teaduse õigustamise kanooniline muster on tagantjärele ja induktiivne. See, mis muudab empiirilise teaduse empiiriliseks, on vaatluse ja eriti eksperimendi oluline roll. Matemaatika mitte deduktiivsete meetodite uuringus on loomulik lähtepunkt vaadelda žanri, mida tuntakse kui “eksperimentaalset matemaatikat”. Umbes viimase 15 aasta jooksul on ilmunud ajakirju (nt The Journal of Experimental Mathematics), instituute (nt Esseni ülikooli eksperimentaalmatemaatika instituut), kollokviume (nt Rutgersi ülikooli eksperimentaalmatemaatika kollokvium) ja sellele teemale pühendatud raamatud (nt Borwein ja Bailey 2003 ja 2004). Need viimased autorid väidavad ka Borweini ja Bailey (2015) eksperimentaalse matemaatika olulisust matemaatikapraktikas üldisemalt, samas kui Sorensen (2016) pakub eksperimentaalse matemaatika laiemat ajaloolist ja sotsioloogilist analüüsi.
Matemaatilise ja empiirilise teadmiste vahelise traditsioonilise dihhotoomia taustal näib mõiste "eksperimentaalne matemaatika" parimal juhul oksümorooniline ja halvimal juhul lausa paradoksaalne. Üks loomulik soovitus on, et eksperimentaalne matemaatika hõlmab matemaatiliste eksperimentide tegemist, kus mõistet „eksperiment“tõlgendatakse siin võimalikult sõna-sõnalt. Sellise lähenemisviisi on valinud van Bendegem (1998). Van Bendegemi sõnul hõlmab eksperiment „esemetega manipuleerimist,“protsesside seadmist “reaalses” maailmas ja nende protsesside võimalike tulemuste vaatlemist”(Van Bendegem 1998, 172). Tema soovitus on, et loomulik viis matemaatilise eksperimendi esialgseks saamiseks on kaaluda, kuidas eksperimendil selles paradigmaatilises mõttes võivad olla matemaatilised tagajärjed.
Üks näide, mida van Bendegem mainib, pärineb 19. sajandi Belgia füüsiku Plateau tehtud tööst minimaalsete pindalaprobleemidega. Ehitades traadist erinevad geomeetrilised kujundid ja kastes need traatraamid seebilahusesse, suutis Plateau vastata konkreetsetele küsimustele mitmesuguseid konkreetseid kujundeid ühendava minimaalse pinna kohta ja lõpuks sõnastada mõned üldised põhimõtted, mis reguleerivad selliste pindade konfiguratsiooni. [6]Üks viis selles näites toimuva mõistmiseks on see, et füüsiline eksperiment - traadiraami kastmine seebilahuseks - annab tulemusi, mis on otseselt seotud teatud matemaatiliste probleemide klassiga. Selle eksperimentaalse matemaatika iseloomustamise viisi peamiseks puuduseks on see, et see on liiga piirav. Van Bendegemi tsiteerimise näited on äärmiselt haruldased, seetõttu saab sedalaadi matemaatiliste katsete mõju tegelikule matemaatilisele praktikale parimal juhul olla väga piiratud. Pealegi ei saa matemaatikud mõelda ainult eksperimentaalsest matemaatikast rääkides seda sõna otseses mõttes eksperimentaalselt.
Nii palju “matemaatilise eksperimendi” kõige sõnasõnalisema lugemise jaoks. Võimalikult viljakam lähenemisviis on mõelda analoogselt või funktsionaalselt. Teisisõnu, võib-olla kasutatakse eksperimentaalset matemaatikat tegevuste märgistamiseks, mis toimivad matemaatikas sarnaselt eksperimendi rolliga empiirilises teaduses. Seega võivad matemaatilised katsed jagada mõnda funktsiooni sõnasõnaliste katsetega, kuid mitte muid tunnuseid (Baker 2008; McEvoy 2008, 2013; Sorensen 2010; van Kerkhove 2008). Enne selle analüüsiga jätkamist võib olla kasulik tutvuda lühidalt juhtumianalüüsiga.
Tore näide praegusest eksperimentaalmatemaatika tööst ilmub ühes kahest Borweini ja Bailey hiljutisest raamatust (1995b, ptk 4). Reaalarvu peetakse aluse n korral normaalseks, kui iga aluse n (mis tahes pikkusega) numbrijada toimub sama baas-n laienemisel võrdselt sageli. Number on täiesti normaalne, kui see on normaalne igas aluses. Mõelge järgmisele hüpoteesile:
Arvamus: iga mitteratsionaalne algebraline arv on täiesti normaalne.
Borwein ja Bailey kasutasid arvutit, et arvutada 10 000 kümnendkoha täpsuseni väiksemate positiivsete täisarvude ruutjuured ja kuubijuured kui 1000, ja seejärel viisid nad need andmed teatud statistiliste testide alla.
Selles näites on paar silmatorkavat joont, mis võivad osutada eksperimentaalse matemaatika üldisemale iseloomustusele. Esiteks kulgeb tõenditest hüpoteesini loendusliku induktsiooni kaudu. Teiseks hõlmab see arvutite kasutamist. Järgnevalt uuritakse neid kahte tunnust järjest.
3.2 Loenduv induktsioon
Christian Goldbach väitis 1742. aastal kirjutatud kirjas Eulerile, et kõik paarisarvud, mis on suuremad kui 2, on väljendatavad kahe PRIMA summana. [7] Järgneva kahe ja poole sajandi jooksul pole matemaatikud suutnud Goldbachi oletust tõestada. Siiski on seda tõestatud paljude miljardite näidete osas ja näib, et matemaatikud on üksmeelel selles, et oletused vastavad tõele. Allpool on osaline loetelu (seisuga 2007. aasta oktoober), mis näitab suurusjärku, milleni kõik paarisarvud on kontrollitud ja näidatud, et need vastavad GC-le.
Seotud
Kuupäev
Autor
1 × 10 3
1742
Euler
1 × 10 4
1885
Desboves
1 × 10 5
1938
Pipping
1 × 10 8
1965
Stein ja Stein
2 × 10 10
1989
Granville
1 × 10 14
1998
Desuillerid
1 × 10 18
2007
Oliveira ja Silva
Vaatamata sellele, et GC üksikute positiivsete juhtumite tohutu hulk on kogunenud, millele on alates 1960. aastate algusest kaasa aidanud digitaalse arvuti kasutuselevõtt ja sellele järgnenud kiire kasv, pole GC kohta veel tõendeid leitud. Mitte ainult see, vaid ka mõned numbriteoreetikud on optimistlikud, et alustõend on tõestatud. Väljakute medalimees Alan Baker väitis 2000. aasta intervjuus: „On ebatõenäoline, et me ilma suure läbimurdeta kaugemale jõuame [GC tõestamisel]. Kahjuks pole silmapiiril nii suurt ideed.” Ka 2000. aastal pakkusid kirjastajad Faber ja Faber 1 000 000 dollari suurust auhinda kõigile, kes tõestasid GC-d ajavahemikus 20. märts 2000 - 20. märts 2002, olles kindlad, et nende raha oli suhteliselt ohutu.
Selle olukorra teeb eriti huvitavaks see, et matemaatikud on juba ammu kindlad GC tões. Hardy & Littlewood kinnitasid juba 1922. aastal, et “teoreemi õigsuses pole vähimatki kahtlust” ja Echeverria kirjutas hiljutises uuringuartiklis, et “matemaatikute kindel GC tõde on täielik” (Echeverria 1996, 42). Pealegi on see usaldus GC tõesuse vastu tavaliselt otseses seoses induktiivsete tõenditega: näiteks kirjeldas GH Hardy GC tõde toetavaid arvulisi tõendeid „ülekaalukatena”. Seega näib mõistlik järeldada, et matemaatikute usk GC-sse on induktiivsed loendusmaterjalid.
Matemaatilise juhtumi üks eripära, mis võib muuta loendava induktsiooni õigustavat jõudu, on korra tähtsus. Juhud, mis kuuluvad antud matemaatilise hüpoteesi alla (vähemalt numbriteoorias), on sisemiselt järjestatud ja lisaks võib positsioon selles järjekorras olulisi erinevusi kaasnevate matemaatiliste omaduste osas. Nagu Frege kirjutab, seoses matemaatikaga:
Maapind [on] induktsiooniks ebasoodne; kuna siin pole ühtlust, mis teistes valdkondades annaks meetodile kõrge usaldusväärsuse. (Frege, aritmeetika alused)
Seejärel tsiteerib Frege Leibnizit, kes väidab, et suurusjärkude erinevus põhjustab arvude vahel igasuguseid muid olulisi erinevusi:
Paarisarvu saab jagada kaheks võrdseks osaks, paaritut arvu ei saa; kolm ja kuus on kolmnurksed numbrid, neli ja üheksa on ruudud, kaheksa on kuup jne. (Frege, aritmeetika alused)
Frege võrdleb ka induktsiooni matemaatilisi ja mittematemaatilisi kontekste:
Tavalistes sissejuhatustes kasutame sageli hästi ära väite, et kõik ruumis olevad positsioonid ja ajahetked on iseenesest sama head kui kõik teised. … Asend numbriseerias ei ole ükskõiksuse küsimus, nagu asukoht ruumis. (Frege, aritmeetika alused)
Nagu Frege märkused viitavad, on üks võimalus matemaatikas loenduva induktsiooni kasutamise vastu väite toetamiseks mingisuguse ebaühtluse põhimõttega: tõendite puudumise korral ei tohiks me eeldada, et numbrid (üldiselt) jagavad huvitavaid omadusi. Seega ei anna kinnitus, et vara kuulub teatud arvule, alust arvata, et ka teisel suvaliselt valitud numbril on see vara. [8] Selle asemel, et Hume arvates ühetaolisuse põhimõtet kasutada, on ainus viis induktsiooni maandamiseks, on meil peaaegu täpselt vastupidine põhimõte! Näib, et sellest põhimõttest järeldub, et loenduv induktsioon ei ole õigustatud, kuna me ei tohiks eeldada, et looduslike arvude (lõplikud) valimid näitavad universaalseid omadusi.
Võimalik, et veelgi tõsisem probleem GC ja kõigil muudel induktsiooni juhtudel matemaatikas on see, et meie poolt vaadeldav valim on erapoolik. Esiteks pange tähele, et kõik teadaolevad GC esinemisjuhud (ja tõepoolest kõik juhtumid, mida on võimalik teada) on olulises mõttes väikesed.
Tõelises mõttes ei ole suuri numbreid: ükskõik millist selget täisarvu võib öelda väikeseks. Tõepoolest, ükskõik kui palju eksponentide numbreid või torne te üles kirjutate, on teie kandidaadist ainult lõpmata palju naturaalarvu ja lõpmata palju suuremaid (Crandall ja Pomerance 2001, 2).
Muidugi oleks vale lihtsalt kaevata, et kõik GC juhtumid on piiratud. Lõppude lõpuks on iga arv piiratud, nii et kui GC omab kõiki piiratud numbreid, siis kui GC hoiab lihtsustajat. [9] Kuid me võime eraldada ekstreemsema väikeste tunnete, mida võib nimetada väikesteks.
Definitsioon: positiivne täisarv n on minut, kui n jääb numbrite vahemikku, mida saame tavalise kümnendarvu abil üles kirjutada, sealhulgas (mitte iteratiivse) eksponentseerimisega.
Siiani kinnitatud GC esinemisjuhud pole mitte ainult väikesed, vaid ka minimaalsed. Ja minutilisus, ehkki küll üsna ebamääraselt määratletud, on teada, et see muudab. Mõelge näiteks algtiheduse logaritmilisele hinnangule (st. Kui n-s on väiksemate arvude arv, mis on peaministrid), mis on teada, et alahinnatakse piisavalt suure n korral. Olgu n * esimene arv, mille logaritmiline hinnang on liiga väike. Kui Riemann'i hüpotees on tõene, saab tõestada, et n * (esimene Skewesi arv) ülemine piir on 8 × 10 370. Ehkki muljetavaldavalt suur arv, on see ülaltoodud määratluse kohaselt siiski minutiline. Kui Riemann'i hüpotees on vale, on meie tuntuim n *(teine Skewes arv) on 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 3. [10] Vajadus siin numbri esitamiseks leiutada noolega märge ütleb meile, et see pole sugugi väike. Selle tulemuse teine osa, ehkki tingimata tingimus, et tulemust peetakse ebatõenäoliseks (nimelt RH vale), tähendab, et on olemas omadus, millel on kõik minutinumbrid, kuid mis ei kehti kõigi numbrite puhul. Minutentsus võib midagi muuta.
Aga näiline usaldus, mis numbriteoreetikutel on GC tõesuses? Echeverria (1996) käsitleb olulist rolli, mida etendas Cantori 1894. aastal avaldatud Goldbachi jaotusfunktsiooni väärtuste tabel G (n), kui n = 2 kuni 1000 (Echeverria 1996, 29–30). Eraldusfunktsioon mõõdab erinevate viiside arvu, mille abil saab antud (paaris) arvu väljendada kahe alge summana. Seega G (4) = 1, G (6) = 1, G (8) = 1, G (10) = 2 jne. See fookuse nihkumine eraldusfunktsioonile langes kokku matemaatikute usalduse GC-ga dramaatilise suurenemisega. Cantori tööst selgus, et G (n) kipub n suurenedes suurenema. Pange tähele, et GC selles kontekstis on see, et G (n) ei võta kunagi väärtust 0 (iga isegi n puhul, mis on suurem kui 2). Andmed partitsioonifunktsiooni kohta jätavad mulje, et GC ebaõnnestumine mõne suure n korral on äärmiselt ebatõenäoline. Näiteks 100 000 suurusjärgus olevate numbrite jaoks on alati vähemalt 500 erinevat viisi, kuidas väljendada iga paarisarvu kahe PRIMA summana!
Praegusel kujul on need tulemused siiski puhtalt heuristilised. Kolmekümne aasta jooksul pärast Cantor avaldamist tema väärtuste tabelit (kirjeldanud Echeverria kui "2 nd perioodi" uurimise GC) oli mitmeid katseid leida analüütilist ekspressiooni G (n). Kui seda saaks teha, siis oleks ilmselt suhteliselt lihtne tõestada, et see analüütiline funktsioon ei võta kunagi väärtust 0 (Echeverria 1996, 31). Umbes 1921. aasta paiku pessimism sellise väljendi leidmise võimaluste osas muutis rõhuasetusi ja matemaatikud hakkasid oma tähelepanu suunama G (n) madalamate piiride leidmisele. Ka see on osutunud ebaõnnestunuks, vähemalt praeguseks.
Seega pole partitsioonifunktsiooni kaalumine GC tõendit lähemale viinud. Kuid see lubab meil anda huvitava pöörde eelmise jaotise argumendile. Graafik näitab, et kõige raskemad GC testijuhtumid esinevad tõenäoliselt väikseima arvu hulgas; seetõttu on GC induktiivproov kallutatud, kuid see on kallutatud GC võimaluste suhtes. Matemaatikute usaldus GC tõdede üle ei põhine üksnes loendatud induktsioonil. Jaotusfunktsiooni võetud väärtused näitavad, et GC positiivsete juhtumite valim on tõepoolest kallutatud ja erapoolikud valimid ei toeta üldreeglina hüpoteesi palju. Kuid sel juhul muudab erapoolikuse olemus tõendid tugevamaks, mitte nõrgemaks. Seega on võimalik väita, et loendamine pole õigustatud, nõustudes samal ajal, et matemaatikud on mõistlikud uskuma GC-d olemasolevate tõendite põhjal. (Pange tähele, et siin on vaja säilitada delikaatset tasakaalu, kuna tõendid partitsioonifunktsiooni käitumise kohta ei ole iseenesest deduktiivsed. Siiski ei põhine mulje, et G (n) piirneks allpool tõenäoliselt mõne suureneva analüütilise funktsiooniga. induktsioon iseenesest, seega pole põhjendus - kuigi mitte deduktiivne - ringikujuline.)Kuid mulje, et G (n) on tõenäoliselt allpool piiratud mõne kasvava analüütilise funktsiooniga, ei põhine siiski iseenesest numeratiivsel induktsioonil, seega pole õigustus - ehkki mitte deduktiivne - ringikujuline.)Kuid mulje, et G (n) on tõenäoliselt allpool piiratud mõne kasvava analüütilise funktsiooniga, ei põhine siiski iseenesest numeratsioonilisel induktsioonil, seega pole õigustus - ehkki mitte deduktiivne - ringikujuline.)
Ülaltoodud arutelu tulemus, ehkki üksiku juhtumiuuringu põhjal, on see, et matemaatikud ei tohiks matemaatiliste väidete põhjendamisel arvestada ja üldiselt ei tohiks nad kaaluda loenduvat induktsiooni iseenesest. (Mil määral mängib nummerdav induktsioon rolli uute hüpoteeside avastamisel või matemaatikute otsustatud lahtiste probleemide valimisel - see on eraldi teema, mida siin ei käsitletud.) Täpsemalt on lõputöö kahes osas osad:
Loenduslik induktsioon ei tohiks suurendada usaldust üldiste matemaatiliste üldistuste suhtes (lõpmatu domeeni kohal).
Enumeratiivne sissejuhatus ei vii (üldiselt) matemaatikutel enesekindlamaks selliste üldistuste järelduste tõesuses.
3.3 Arvutikinnitused
Kaasaegse eksperimentaalse matemaatika töö silmatorkav omadus on see, et seda tehakse arvutite abil. Kas see, et tugineb keerukatele elektroonikatükkidele, muudab välja eksperimentaalseks? Kui vaadata seda, mis avaldatakse tänapäevastes ajakirjades, raamatutes ja eksperimentaalsele matemaatikale pühendatud konverentsidel, jääb mulje, et kõik teemad on tihedalt arvutitega seotud. Näiteks ei paista olevat ühtegi enam kui kümmekond aastat kestnud eksperimentaalmatemaatika väljaandes avaldatud artiklit, mis ei hõlmaks arvutite kasutamist. Kuidas on lood näidetega, mida matemaatikud pakuvad tavaliselt eksperimentaalse matemaatika paradigmadena? Siin on andmed vähem selged. Ühelt poolt viitab mitteametlik uuring sellele, et enamus selliseid näiteid on seotud arvutite otsese kasutamisega. Teisest küljest pole haruldane, kui ka matemaatikud osutavad ühele või mitmele ajaloolisele näitele,juba enne arvutiajastut, et illustreerida aladistsipliini väidetavat sugupuud.
Suurim praktikapõhine väljakutse eksperimentaalse matemaatika võrdsustamiseks arvutipõhise matemaatikaga tuleneb sellest, mida isehakanud eksperimentaalmatemaatikud oma tärkava distsipliini kohta ütlevad. Kui matemaatikud mõtisklevad teadlikult eksperimentaalse matemaatika mõiste üle, kipuvad nad ümber lükkama väite, et arvuti kasutamine on vajalik omadus. Näiteks ajakirja Experimental Mathematics toimetajad teevad oma “filosoofiaalase avalduse” osas ajakirja ulatuse ja olemuse kohta järgmised märkused:
Sõna „eksperimentaalne“on ette nähtud laias laastus: tänapäeval tehakse palju matemaatilisi katseid arvutitega, kuid teised on ikkagi pliiatsi ja paberi töö tulemus ning on ka teisi eksperimentaalvõtteid, näiteks füüsikaliste mudelite loomine. („Eesmärgid ja ulatus”, eksperimentaalne matemaatika - vaadake muid Interneti-ressursse)
Ja siin on veel üks matemaatiku Doron Zeilbergeri sarnase maitsega lõik:
[T] traditsioonilist eksperimentaalset matemaatikat on kõik sajandite jooksul harjutanud nii suured kui ka vähem suured matemaatikud, kasutades pliiatsit ja paberit. (Gallian ja Pearson 2007, 14)
Näib õiglane öelda, et eksperimentaalse matemaatika sidumine arvutikasutusega sobib hästi kaasaegsete eksperimentaalmatemaatikutega, kuid mitte nii hästi öelduga. [11]
Teine probleem pakutud iseloomustamisel on rohkem filosoofilist laadi. Vaatleme veel ühte eksperimentaalse matemaatika laialt tsiteeritud näidet, mis ilmneb seoses Goldbachi oletusega. Alates 2007. aasta aprillist olid kõik paarisarvud kuni 10 18 kinnitatud GC-le vastavaks ja see projekt (Oliveira e Silva juhtimisel) kestab. Seda massiivset arvutusülesannet peetakse üldiselt eksperimentaalse matemaatika paradigmanäiteks. Ja näib olevat selge, et arvutid mängivad siin olulist rolli: ükski matemaatik ega ükski matemaatikute rühm ei saaks loota 10 18 arvutuse käsitsi kopeerimist.
Praeguses olukorras ei ole kesksel kohal küsimus, kas arvutipõhine matemaatika on eksperimentaalne, vaid see, kas see on vähemalt vahel mitte deduktiivne. Ühes mõttes on kõik arvuti tehtud individuaalsed arvutused muidugi deduktiivsed või vähemalt isomorfsed puhtalt deduktiivse formaalse süsteemi toimingute suhtes. Kui arvuti kontrollib GC eksemplari, on see kontroll täielikult deduktiivne. Seejärel võime eraldada kaks erinevat küsimust. Esiteks, kas need arvutused mängivad mõnes suuremas matemaatilises argumendis mitte deduktiivset rolli? Ja teiseks, kas uskumused, mis me moodustame otse arvutiarvestuse tulemustest, on deduktiivselt põhjendatud? Neist esimene ei lülita sisse midagi konkreetset arvutitele,ning langeb tagasi teema 3 (B) osas, mida käsitleti loenduvat induktsiooni käsitledes. Teist küsimust käsitletakse allpool.
Arvutikinnituste staatuse filosoofilist arutelu ajendas suuresti Appeli ja Hakeni arvutipõhine tõend nelja värvi teoreemi kohta 1976. aastal. Oma (1979) Tymoczko väidab vastuoluliselt, et arvutitõenditel põhinevad matemaatilised teadmised on sisuliselt empiirilised. iseloomus. Selle põhjuseks on asjaolu, et sellised tõestused ei ole a priori kindlad, kindlad, uuritavad ega ole inimeste matemaatikute poolt kontrollitavad. Kõigist neist aspektidest erineb Tymoczko sõnul arvutitõendusmaterjal traditsioonilistest pliiatsi- ja paberitõenditest. Uuritavuse osas kirjutab Tymoczko:
Tõend on konstruktsioon, mille mõistlik esindaja saab üle vaadata, üle vaadata ja kontrollida. Me ütleme sageli, et tõend peab olema silmapaistev või seda peab olema võimalik käsitsi kontrollida. See on näitus, järelduse järeldus ja see ei vaja veenmiseks midagi endast väljaspool olevat. Matemaatik uurib kogu tõendit ja saab seeläbi järelduse teada. (Tymoczko 1979, 59)
Argumendi huvides eeldatakse, et kõnealune arvutitõend on deduktiivselt õige, kuid ka ülaltoodud tähenduses mittetäidetav. Kas meie otsus tugineda arvuti väljundile kujutab endast mitte deduktiivset meetodit? Üks viis sedalaadi näite vaatamiseks on kiilu juhtimine deduktiivse meetodi ja meie mitte deduktiivse juurdepääsu vahel selle meetodi tulemustele. Võrrelge näiteks seda, kas asjatundja matemaatik on öelnud konkreetse matemaatilise tulemuse (heade tulemustega). Kas see on mitte deduktiivne meetod? [12]
3.4 Tõenäosused
On olemas väike, kuid kasvav matemaatiliste meetodite alamhulk, millel on olemuselt tõenäosus. Põhjendamise kontekstis ei tähenda need meetodid järeldust deduktiivselt, vaid pigem kinnitavad, et järelduse tõepärasus on (sageli täpselt täpsustatav) suur tõenäosus. Nende meetodite filosoofiline arutelu algas Fallis (1997, 2002), samal ajal kui Berry (2019) on hiljutine kasulik panus arutellu.
Üks tõenäosusmeetodi tüüp on seotud eksperimentaalse matemaatika varasema aruteluga, kuna see hõlmab katsete tegemist otseses mõttes. Idee on kasutada DNA töötlemisvõimet, et luua tõhusalt massiliselt paralleelne arvuti teatud muidu keerukate kombinatoorsete probleemide lahendamiseks. Neist kuulsaim on probleem „Reisimüüja”, mille eesmärk on kindlaks teha, kas ühesuunaliste nooltega ühendatud graafi sõlmede kaudu on mõni võimalik marsruut, mis külastab iga sõlme täpselt üks kord. Adleman (1994) näitab, kuidas probleemi saab kodeerida, kasutades DNA ahelaid, mida saab seejärel splaissida ja rekombineerida, kasutades erinevaid keemilisi reaktsioone. Teatud pikemate DNA ahelate ilmumine protsessi lõpus vastab lahenduse leidmisele graafiku kaudu. Tõenäosused tuleb kõige selgemalt ilmsiks juhul, kui enam DNA ahelaid ei leita. See näitab, et graafikut ei ole võimalik läbida, kuid isegi kui katse viiakse läbi õigesti, jääb siinne toetus täieliku kindluse alla. Sest on olemas väike võimalus, et lahendus on olemas, kuid seda ei suuda katse alguses kodeerida ükski DNA ahel.
Matemaatikas on ka tõenäosusmeetodeid, mis ei ole ülaltoodud mõttes eksperimentaalsed. Näiteks on olemas komposiitnumbrite (st mitte-algarvude) omadused, mida saab näidata umbes poole väiksema arvu numbrite korral, kui antud liitnumber. Kui juhuslikult valitakse mitu arvu, mis on väiksemad kui N, ja ükski neist ei kanna seda seost N-ga, siis järeldub, et N on peaaegu kindlasti peamine. Selle tõenäosuse taset saab siin täpselt arvutada ja selle saab vajadusel teha nii suureks, kui valitakse testimiseks rohkem "tunnistajate" numbreid.
Pange tähele, et sellised tõenäosusmeetodid sisaldavad palju puhtalt deduktiivseid põhjendusi. Tõepoolest, teises näites tõestatakse tõsiasi, et N tõenäosus peaministriks on 0,99, puhtalt deduktiivselt. Sellegipoolest valitseb matemaatikakogukonnas üldine üksmeel selles, et sellised meetodid ei ole järelduse deduktiivse tõestuse aktsepteeritavad asendajad. Fallis (1997, 2002) väidab, et see tagasilükkamine pole mõistlik, kuna tõenäosuslike meetodite kõiki omadusi, mida võib probleemseks nimetada, jagavad mõned tõendid, mida matemaatiline kogukond aktsepteerib. Fallis keskendub tõe kui matemaatika peamise episteemilise eesmärgi seadmisele. Siiski näib usutav, et matemaatikute rahulolematuse tõenäosuslike meetoditega peamine põhjus on see, et nad ei selgita, miks nende järeldused vastavad tõele. Lisaks väidab Easwaran Fallissi vastu, et on olemas omadus, mida ta nimetab „ülekantavuseks”, millel puuduvad tõenäosuslikud tõendid ja vastuvõetavatel tõenditel (Easwaran 2009; Jackson 2009). Fallis (2011) on vastus mõnele neist vastuväidetest.
Teisest küljest võib esineda juhtumeid, kus nõude tühine tõde või vale on oluline isegi kaasneva selgituse puudumisel. Näiteks võiks ette kujutada olukorra, kus kaalutakse olulist ja huvitavat oletust - ütleme Riemanni hüpoteesi - ning kasutatakse tõenäosusmeetodit, mis näitab, et mõni arv on sellele tõenäoliselt vastanäidis. Huvitav on spekuleerida, milline võib olla matemaatilise kogukonna reaktsioon sellisele olukorrale. Kas prooviks tõestada, et RH lakkab? Kas see jätkuks seni, kuni vastanäidise kohta on koostatud range deduktiivne tõend?
4. Kokkuvõte / järeldused
Pole selge, miks peaks eeldama, et matemaatikas kasutatavad erinevad mitte deduktiivsed meetodid jagavad muid sisulisi jooni peale nende mitteinduktiivsuse. Filmistid, kes vaatlevad mitte deduktiivsete mõttekäikude rolli avastuse kontekstis, on sageli rääkinud, justkui leiduks mingi ühtsus (näiteks Lakatose tõendite ja ümberlükkamiste alapealkiri on „Matemaatilise avastuse loogika”.) et mitte deduktiivsete meetodite valik on mitmekesine ja heterogeenne. (Võrdle Stanislaw Ulami märkust, et “mittelineaarse füüsika uurimine on nagu mitte-elevantide bioloogia uurimine.”)
Kaasaegsete matemaatikafilosoofide tööd suunavad mitte deduktiivsete matemaatiliste meetodite uurimist uutesse suundadesse. Üks huvipakkuv valdkond on „matemaatilised looduslikud tüübid” ja kas sellist mõistet saab kasutada analoogia kasutamise põhjendamiseks matemaatilistes põhjendustes (Corfield 2004 [Other Internet Resources]). Veel üks uuritav valdkond on heuristiliste põhimõtete oletatav roll matemaatikas. (Suur osa sellest teosest pärineb Pólyast (1945).)
Kõigi nende arutelude taustprobleem puudutab seda, mil määral mängib iga konkreetne mitte deduktiivne meetod matemaatika õigustavas praktikas olulist rolli. See küsimus kerkib üles nii kohalikul kui ka globaalsel tasandil. Kohalikul tasandil võib konkreetne arutluskäik antud tulemuse õigustamiseks olla vältimatult deduktiivne, kuid tulemuse võib kindlaks teha ka mõni muu, puhtalt deduktiivne mõttekäik. Globaalsel tasandil võib juhtuda, et meie teatud matemaatiliste väidete ainus õigustus on mitte deduktiivne. Edasise uurimise küsimus on see, mil määral mitte deduktiivsete meetodite kasutamine tuleneb pigem piirangutest kui põhimõttelistest piirangutest.
Avigad, J., 2006, “Matemaatiline meetod ja tõestusmaterjal”, Synthese, 153: 105–159.
–––, 2007, “5 küsimust”, matemaatikafilosoofias: 5 küsimust, V. Hendricks ja H. Leitgeb (toim), Kopenhaagen: Automaatne press, lk 1–10.
Azzouni, J., 2013, “Kunstlike keelte tuletuste seos tavalise range matemaatilise tõestusega”, Philosophia Mathematica, 21: 247–254.
––– 2013, „Et näeme, et mõned diagrammilised tõendid on täiesti ranged“, Philosophia Mathematica, 21: 323–338.
Baker, A., 2007, “Kas matemaatikas on mingi induktsiooni probleem?”, Mathematical Knowledge, M. Leng, A. Paseau ja M. Potter (toim), Oxford: Oxford University Press, lk 59– 73
–––, 2015, „Eksperimentaalne matemaatika kui ontoloogiline mängumuundur: tänapäevaste matemaatiliste arvutusriistade mõju matemaatika ontoloogiale“, matemaatika, aine ja lähtematerjal, E. Davis ja P. Davis (toim), Springer, lk 25–68.
Brown, J., 2008, filosoofia, matemaatika: Kaasaegse Sissejuhatus Maailma õigsuse ja Pildid, 2 nd Edition, New York: Routledge.
Burgess, J., 1992, “Tõendid tõestuste kohta: klassikalise loogika kaitse. 1. osa: klassikalise loogika eesmärgid”, tõendusmaterjal, loogika ja vormindamine, M. Detlefsen (toim), London ja New York: Routledge, lk 8–23.
Carroll, L. [CL Dodgson], 1895, “Mida ütles kilpkonn Achilleusele”, Mind, 4: 278–280.
Corfield, D., 2003, reaalainete matemaatika filosoofia poole, Cambridge: Cambridge University Press.
Courant, R., ja H. Robbins, 1941, Mis on matemaatika?, Oxford: Oxford University Press.
Crandall, R., ja C. Pomerance, 2001, Peamised numbrid: arvutuslik perspektiiv, New York: Springer-Verlag.
De Toffoli, S., ja V. Giardino, 2014, “Diagrammide vormid ja rollid sõlme teoorias”, Erkenntnis, 79 (4): 829–842.
De Toffoli, S., 2017, “Diagrammi“tagaajamine”: Visuaalide kasutamine algebralise mõtlemise juures”, sümboliloogika ülevaade, 10: 158–186.
Delariviere, S., ja Van Kerkhove, B., 2017, “Kunstlik matemaatiku objekt: uurida matemaatilise mõistmise automatiseerimise (im) võimalust”, matemaatika ja selle filosoofia humaniseerimisel, B. Sriraman (toim), Springer International Publishing, lk 173–198.
Descartes, R., 1627–28, Meele suunamise reeglid, artiklis Descartes: Selections, R. Eaton (tr.), New York: Charles Scribneri pojad, 1927, lk 38–83.
Detlefsen, M. (toim.), 1992, Proof, Logic and Formalization, London and New York: Routledge.
Dummett, M., 1978, “Wangi paradoks”, Truth and Other Enigmas, London: Duckworth, lk 248–268.
Easwaran, K., 2005, “Aksioomide roll matemaatikas”, Erkenntnis, 68: 381–391.
–––, 2009, “Tõenäolised tõendid ja ülekantavus”, Philosophia Mathematica, 17: 341–362.
Echeverria, J., 1996, “Empiirilised meetodid matemaatikas. Juhtumianalüüs: Goldbachi oletused”, hispaania uuringutes teaduse filosoofias, G. Munévar (toim), Dordrecht: Kluwer, lk 19–55.
Fallis, D., 1997, “Tõenäolise tõestuse episteemiline staatus”, ajakiri Filosoofia, 94 (4): 165–186.
–––, 2002, “Mida matemaatikud tahavad? Tõenäolised tõendid ja matemaatikute episteemilised eesmärgid”, Logique et Analyze, 45: 373–388.
–––, 2011, „Tõenäolised tõendid ja matemaatikute kollektiivsed episteemilised eesmärgid”, kollektiivses epistemoloogias, HB Schmid, D. Sirtes ja M. Weber (toim), Ontos Verlag, lk 157–176.
Fontanella, L., 2019, “Kuidas valida komplekti teooria jaoks uusi aksioome?”, Mõtestades matemaatika aluseid, D. Sarikaya, D. Kant & S. Centrone (toim), Springer Verlag.
Franklin, J., 1987, “Mittededuktiivne loogika matemaatikas”, Briti ajakiri teaduse filosoofiale, 38: 1–18.
Frege, G., 1884, Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch -hematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau: W. Koebner. Aritmeetika alused: numbri mõiste loogikalis-matemaatiline uurimine, autor JL Austin, Oxford: Blackwell, teine muudetud väljaanne, 1974. Kordustrükk 1980.
Gallian, J., ja M. Pearson, 2007, “Intervjuu Doron Zeilbergeriga”, FOCUS (Ameerika Matemaatika Assotsiatsiooni infoleht), 27 (5): 14–17.
Giaquinto, M., 2007, Visuaalne mõtlemine matemaatikas: epistemoloogiline uuring, Oxford: Oxford University Press.
Gonthier, G. jt, 2008, “Formaalne tõestus - neljavärviline teoreem”, American Mathematical Society teated, 55 (11): 1382–1393.
Gonthier, G., 2013, “Paaritud korra teoreemi masinkontrollitud tõend”, interaktiivses teemas, mis tõestab: 4. rahvusvahelise konverentsi materjalid, S. Blazy, C. Paulin-Mohring ja D. Pichardie (toim), Berliin / Heidelberg: Springer-Verlag, lk 163–179.
–––, 2011, Aksioomide kaitsmine: Set Theory filosoofilistel alustel, Oxford: Oxford University Press.
Mancosu, P., 2008, “Matemaatiline seletus: miks see on oluline”, matemaatikapraktika filosoofias, P. Mancosu (toim.), Oxford: Oxford University Press, lk 134–149.
McEvoy, M., 2008, “Arvutitõendite epistemoloogiline seisund”, Philosophia Mathematica, 16: 374–387.
–––, 2013, „Eksperimentaalne matemaatika, arvutid ja a priori”, Synthese, 190: 397–412.
Mumma, J., 2010, “Tõendid, pildid ja Euklid”, Synthese, 175: 255–287.
Paseau, A., 2015, “Matemaatika tundmine ilma tõendita”, British Journal for Science Philosophy, 66: 775–799.
Pólya, G., 1945, Kuidas seda lahendada, Princeton: Princeton University Press.
Schlimm, D., 2013, “Aksioomid matemaatilises praktikas”, Philosophia Mathematica, 21: 37–92.
Shin, S., ja O. Lemon, 2008, “Diagrammid”, Stanfordi filosoofia entsüklopeedia (2008. aasta talve väljaanne), Edward N. Zalta (toim.), URL = .
Sorensen, HK, 2010, „Uuritav eksperiment eksperimentaalses matemaatikas: pilguheit PSLQ algoritmi”, matemaatika filosoofias: sotsioloogilised aspektid ja matemaatiline praktika, B. Lowe ja T. Muller (toim), London: College Publications, lk 341–360.
–––, 2016, “Tõestuse lõpp”? Erinevate matemaatiliste kultuuride integreerimine kui vanuse eksperimentaalne matemaatika”, ajakirjas Mathematical Cultures, B. Larvor (toim), Cham: Birkhauser, lk 139–160.
Steiner, M., 1993, “Tõestuse, loogika ja vormistamise ülevaade”, Journal of Symbolic Logic, 58 (4): 1459–1462.
te Riele, H., 1987, “Erinevuse märgil p (x) –Li (x)”, arvutuste matemaatika, 48: 323–328.
Tymoczko, T., 1979, “Neljavärviline probleem ja selle filosoofiline tähtsus”, ajakiri Filosoofia, 76 (2): 57–83.
van Bendegem, J., 1998, "Mis, kui üldse midagi on, on matemaatika eksperiment?", filosoofias ja loodusteaduste paljususes, D. Anapolitanos jt. (toim), London: Rowman & Littlefield, lk 172–182.
van Kerkhove, B., ja J. van Bendegem, 2008, “Pi maa peal”, Erkenntnis, 68: 421–435.
Akadeemilised tööriistad
sep mehe ikoon
Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon
Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon
Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon
Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.
Muud Interneti-ressursid
Ajakirja Experimental Mathematics, mille asutas David Epstein 1992. aastal, eesmärgid ja ulatus.
Matemaatika filosoofia: sotsioloogilised aspektid ja matemaatiline praktika, Benedikt Löwe ja Thomas Müller (koordineerimine).
Corfield, D., 2004, “Matemaatilised tüübid ehk olemine matemaatika suhtes”, Pittsburghi ülikooli PhilSci arhiivis.
