Vastuoluline Matemaatika

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-05-24 11:17

Sisenemise navigeerimine

• Sissesõidu sisu
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Sõprade PDF-i eelvaade
• Teave autori ja tsitaadi kohta
• Tagasi üles

Vastuoluline matemaatika

Esmakordselt avaldatud teisipäeval, 2. juulil 1996; sisuline redaktsioon reedel 18. augustil 2017

Ebajärjekindel matemaatika on matemaatiliste teooriate uurimine, mis tulenevad klassikaliste matemaatiliste aksioomide kinnitamisel (mitteklassikalise) loogikast, mis talub vastuolu olemasolu ilma, et iga lauset teoreemiks muudetaks.

• 1. Matemaatika alused
• 2. Aritmeetika
• 3. Analüüs
• 4. Geomeetriline ebakõla
• 5. Tükk ja permeaat
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. Matemaatika alused

Vastuoluline matemaatika sai ajalooliselt alguse kaalutlustest. Russelli ja teiste täheldatud setteoreetilised paradoksid viisid katseteni välja töötada järjepidev kogumiteooria matemaatika alusena. Kuid nagu on hästi teada, olid sellised teooriad nagu ZF, NBG jms erinevatel viisidel ad hoc. Seetõttu pidasid paljud inimesed, sealhulgas da Costa (1974), Brady (1971, 1989), Priest, Routley ja Norman (1989, lk 152, 498) loomuliku mõistmise põhimõtte täieliku jõu säilitamist eelistatavaks (iga predikaat määrab komplekti) ja talub teatud teooria ebajärjekindlust. Eelkõige Brady on oma raamatus (2006) neid tulemusi naiivse teooria osas laiendanud, sujuvamaks ja lihtsustanud; selge konto kohta vaata ka Restalli ülevaadet (2007).

Need konstruktsioonid nõuavad muidugi, et ükski ei peaks loobuma vähemalt loogilisest põhimõttest ex contraencee quodlibet (ECQ) (vastuolust võib tuletada iga väite, mida hiljuti nimetatakse ka plahvatuseks), aga ka mis tahes põhimõttest, mis selleni viib, nagu näiteks disjunktiivne sülogism (DS) (A-st B-st ja mitte A-st tuletatud B-st). ECQ trivialiseerib igasuguse ebajärjekindla teooria (triviaalsus = iga lause on tõestatav), mis muudab selle matemaatiliste arvutuste jaoks kasutuks. Kuid ulatuslik arutelu (Burgess 1981, Mortensen 1983) tegi selgeks, et ECQ ja DS-ist loobumine ei olnud nii vastuoluline, eriti kui ilmnes usutav lugu eritingimuste kohta, milles nad endiselt püsivad.

Samuti tuleb märkida, et Brady naiivse komplekti teooria konstrueerimine avab ukse Frege-Russelli loogika taaselustamisele, mida leidis isegi Frege ise, et Russelli paradoks on rängalt kahjustanud. Kui Russelli vasturääkivus ei levi, siis pole mingit ilmset põhjust, miks ei tohiks asuda seisukohale, et naiivne teooria pakub matemaatikale piisavat alust ja et naiivne teooria on loogikast tuletatav naiivse mõistmisskeemi kaudu. Ainus vajalik muudatus on liikumine ebajärjekindlust taluva loogika juurde. Veel radikaalsemalt on Weber seotud dokumentides (2010), (2012) ebajärjekindlust positiivseks vooruseks võtnud, kuna see võimaldab meil lahendada mitmeid küsimusi, mis Kantori poolt lahtiseks jäeti, nimelt seda, et hästi korrastav teoreem ja valitud aksioom on tõestatav,ja et pidevhüpotees on vale (2012, 284). Mõned neist tulevad välja nii tõesed kui ka valed; Weber soovib muret klassikalise taaskasutamise tõendamiseks, mille eesmärk on näidata, et traditsioonilised tulemused püsivad tõestena (2010, 72). See on kosutav uus pinnas. Weber näitas ka selles projektis midagi olulist, nimelt seda, et Cantori teoreem kehtib endiselt; see tähendab, et see ei sõltu liiga tugevatest loogilistest põhimõtetest, millele parakonsistentsistid vaidlustavad. Cantori teoreemi säilitamine on Weberi arvates oluline, kuna ebajärjekindla komplekti teooria korral on saadaval erinevad lõpmatuse astmed.mille eesmärk on näidata, et traditsioonilised tulemused jäävad tõeseks (2010, 72). See on kosutav uus pinnas. Weber näitas ka selles projektis midagi olulist, nimelt seda, et Cantori teoreem kehtib endiselt; see tähendab, et see ei sõltu liiga tugevatest loogilistest põhimõtetest, millele parakonsistentsistid vaidlustavad. Cantori teoreemi säilitamine on Weberi arvates oluline, kuna ebajärjekindla komplekti teooria korral on saadaval erinevad lõpmatuse astmed.mille eesmärk on näidata, et traditsioonilised tulemused jäävad tõeseks (2010, 72). See on kosutav uus pinnas. Weber näitas ka selles projektis midagi olulist, nimelt seda, et Cantori teoreem kehtib endiselt; see tähendab, et see ei sõltu liiga tugevatest loogilistest põhimõtetest, millele parakonsistentsistid vaidlustavad. Cantori teoreemi säilitamine on Weberi arvates oluline, kuna ebajärjekindla komplekti teooria korral on saadaval erinevad lõpmatuse astmed.kuna ebajärjekindlas kogumiteoorias jäävad kättesaadavaks erinevad lõpmatuse astmed.kuna ebajärjekindlas kogumiteoorias jäävad kättesaadavaks erinevad lõpmatuse astmed.

Lisaks on matemaatikas metakeel, mille abil saab rääkida matemaatikast endast. See hõlmab mõisteid: (i) matemaatiliste avalduste nimed ja muud süntaksi osad, (ii) eneseviited, (iii) tõestus ja (iv) tõde. Gödeli panus matemaatikafilosoofiasse näitas, et neist kolme esimest saab rangelt väljendada aritmeetilistes teooriates, ehkki teooriates, mis on kas ebajärjekindlad või puudulikud. Neist kahest alternatiivist endise hästi struktureeritud näite võimalust - vastuolu - ei võetud tõsiselt, jällegi uskudes ECQ-sse. Kuid lisaks sellele näib looduskeeltel olevat oma tõepõhjendus. Koos enesekindlusega tekitab see valelik paradoks “See lause on vale”, vastuolu. Preester (1987) ja Priest, Routley ja Norman (1989, lk.154) väitis, et valetajat tuleb pidada nii õigeks kui ka valeks väiteks, tõeliseks vastuoluks. See on järjekordne argument ebajärjekindlate teooriate uurimiseks, nimelt väide, et mõned vastuolud on tõesed, tuntud ka kui dialetheism. Kripke (1975) tegi selle asemel ettepaneku modelleerida tõe predikaat teisiti, järjepidevas mittetäielikus teoorias. Allpool näeme, et ebatäiuslikkus ja vastuolulisus on tihedalt seotud.

2. Aritmeetika

Kuid need märkused on olnud aluste kohta ja matemaatika pole selle alus. Seega on olemas veel üks sõltumatu motiiv - vaadata, milline matemaatiline struktuur jääb püsima kõikjal, kus järjepidevuse piirang leevendatakse. Kuid oleks vale seda pidada mingil moel klassikalises matemaatikas uuritud struktuuride ümberlükkamiseks: ebajärjekindlad struktuurid on teadaolevate struktuuride lisand.

Tundub, et Robert K. Meyer (1976) mõtles esimesena ebajärjekindla aritmeetilise teooria. Sel hetkel huvitas teda rohkem järjekindla teooria saatus, tema asjakohane aritmeetika R #. See vastab Peano aritmeetika aksioomidele koos vastava kvantifitseeritud loogika RQ alusega ja Meyer lootis, et asjakohase loogika nõrgem alus võimaldab rohkem mudeleid. Tal oli õigus. Selgus, et on olemas terve rida vastuolulisi aritmeetilisi teooriaid; vt näiteks Meyer ja Mortensen (1984). Paralleelselt ülaltoodud märkustega taastusloogika kohta väitis Meyer, et need aritmeetilised teooriad pakuvad alust taaselustatud Hilberti programmile. Hilberti programm oli matemaatika range vormistamise ja selle järjepidevuse tõestamise projekt lihtsate finitaalsete / induktiivsete protseduuride abil. Laialdaselt leidis, et seda on tõsiselt kahjustanud Gödeli teine ebatäiuslikkuse teoreem, mille kohaselt aritmeetika järjepidevus oli aritmeetikas endas tõestamatu. Kuid Meyeri ehituse tagajärjeks oli, et tema aritmeetilise R # piires oli sõjaliste vahenditega tõestatav, et olenemata sellest, milliseid vastuolusid seal võib esineda, ei saa need arvulisi arvutusi kahjustada. Seega osutub Hilberti eesmärk veenvalt näidata, et matemaatika on probleemideta, osutub suuresti saavutatavaks, kui kasutatakse vastuolusid taluvat loogikat. Kuid Meyeri ehituse tagajärjeks oli, et tema aritmeetilise R # piires oli sõjaliste vahenditega tõestatav, et olenemata sellest, milliseid vastuolusid seal võib esineda, ei saa need arvulisi arvutusi kahjustada. Seega osutub Hilberti eesmärk veenvalt näidata, et matemaatika on tõrgeteta, osutub suuresti saavutatavaks, kui kasutatakse vastuolusid taluvat loogikat. Kuid Meyeri ehituse tagajärjeks oli, et tema aritmeetilise R # piires oli sõjaliste vahenditega tõestatav, et olenemata sellest, milliseid vastuolusid seal võib esineda, ei saa need arvulisi arvutusi kahjustada. Seega osutub Hilberti eesmärk veenvalt näidata, et matemaatika on tõrgeteta, osutub suuresti saavutatavaks, kui kasutatakse vastuolusid taluvat loogikat.

Meyeri ja Mortenseni kasutatud aritmeetilised mudelid võimaldasid hiljem tõepredaadi ebajärjekindlat esitust. Need võimaldavad ka looduslike arvude aritmeetilistest struktuuridest, näiteks rõngastest ja väljadest koosneva struktuuri, sealhulgas nende järjekorraomaduste esitamist. Pakuti ka aksiomatiseerimisi. Viimasel ajal on Graham Priest täielikult iseloomustanud piiritletud ebajärjekindlaid aritmeetilisi kokkuvarisemismudeleid, mis on rangelt suurem klass kui need, mida on uurinud Meyer ja Mortensen. Ahenemismudelid saadakse klassikalistest mudelitest, ahendades domeeni erinevate kongruentsussuhete genereeritud kongruentsusklassideni. Kui tuvastatakse sama kongruentsiklassi liikmed, on koostatud teooriad ebajärjekindlad. Näiteks varisesid Meyeri algsed konstruktsioonid täisarvud kokku kongruentsi modulo 2 alla. See seab 0 ja 2 samasse kongruentsusklassi ja sobivas kolmeväärtuselises loogikas nii 0 = 2 kui ka mitte (0 = 2). Priest näitas, et neil mudelitel on teatav üldine vorm, vt Priest (1997) ja (2000). Rangelt öeldes läks Priest „klikkide mudelite” kaasamisega pisut liiga kaugele. Seda parandasid Pariis ja Pathmanathan (2006) ning laiendasid lõpmatuks Pariis ja Sirokfskich (2008). Veel hiljuti hankis Tedder (2015) aksiomatiseerimisi erineva taustaloogikaga Avroni A3 piiratud varisemismudelite klassile.ning laiendatud Pariisi ja Sirokfskichi (2008) poolt lõpmatuks. Veel hiljuti hankis Tedder (2015) aksiomatiseerimisi erineva taustaloogikaga Avroni A3 piiratud varisemismudelite klassile.ning laiendatud Pariisi ja Sirokfskichi (2008) poolt lõpmatuks. Veel hiljuti hankis Tedder (2015) aksiomatiseerimisi erineva taustaloogikaga Avroni A3 piiratud varisemismudelite klassile.

3. Analüüs

Vaevalt võiks ignoreerida analüüsi näiteid ja selle erijuhtumit, arvutuslikku olukorda. Neile mudelteoreetilise lähenemise kohta vaata Mortensen (1990, 1995)

Nüüd oli Meyeri looduslikele numbritele algselt lähenemisviis, see tähendab R #, pigem aksomaatiline kui mudelteoreetiline. Aksiomaatilist lähenemisviisi on analüüsis kasutatud ka McKubre-Jordens ja Weber (2012). Parakonsistentse loogika alusel aksioomatiseerides analüüsi, lükkab nende paber Meyeri lähenemise aritmeetikale R # kaudu kaugele edasi. Need samad autorid (peatselt tulevased) töötlevad integratsiooniteooriat ümber nii, nagu see oli Archimedese käes, rakendades ammendumismeetodit, kasutades parakonsistentset mõttekäiku. See annab tulemuse “kuni vastuoluni”, mis tähendab, et inimene suudab tõestada “klassikalist tulemust või vastuolu”. Klassikalise tulemuse saab siis uuesti taasesitatavaks klassikalise-vale-ebajärjekindla teise disjunktsiooni korral rakendatava klassikalise käigu disjunktiivsülogismi abil.

Kindlasti on oluline ja väärt seda suunda järgida, kuid siia kantakse kerge ettevaatusega: aksiomaatiline projekt erineb pisut ebajärjekindlast matemaatikast. Nagu varem märgitud, oli Meyer selles faasis järjekindel - ta otsis järjepidevust teooriale, millel oleks vastuolulisust talutav loogika. Sarnase motivatsiooniga püüdis ta lahendada ka seda, mida ta nimetas „gammaprobleemiks”, mis oli sisuliselt küsimus, kas aksiomaatiline teooria R # võib näidata, et see sisaldab alateooriana klassikalist Peano aritmeetikat. Kui see oleks nii, annaks tema tõend R # mittetriviaalsuse kohta kohe uue tõendi klassikalise Peano aritmeetika eitusjärjepidevuse kohta! Pange tähele, et see poleks Godeli teise teoreemiga vastuolus, kuna oletatavasti ei piirdu gammatulemuse tõendamine üksnes finitaalse tehnikaga.(Meyeri teooria puhul selgus, et see pole nii.)

Analüüsi käigus on osutunud palju kohti, kus on eristatavaid ebajärjekindlaid teadmisi. Selle jaotise ülejäänud osas toodud näited on saadud Mortensenist (1995). Näiteks: (1) Robinsoni (1974) mittestandardne analüüs põhines lõpmatutel imaalidel, tegelikest arvudest väiksematel kogustel, aga ka nende vastassuunalistel arvudel. Sellel versioonil on vastuoluline versioon, millel on arvutamisel mõned eelised, kui nad suudavad kõrgema järgu lõpmatuid näidiseid ära visata. Huvitaval kombel osutusid diferentseerumisteoorial need eelised, integratsiooniteoorial aga mitte. Sarnase tulemuse, kasutades erinevat taustaloogikat, saavutas Da Costa (2000). (2) Teine koht analüüside ebajärjekindluse rakenduste leidmiseks on topoloogia,kus jälgitakse kergesti ruumide lõikamise ja kleepimise tava, mida kirjeldatakse kui ühe piiri "samastumist" teisega. Võib näidata, et seda saab kirjeldada ebajärjekindlas teoorias, kus mõlemad piirid on mõlemad identsed ega ole identsed, ning võib veel väita, et see on praktika kõige loomulikum kirjeldus. (3) Veel üks rakendus on järjepidevate pidevate funktsioonide klass. Mitte kõiki klassikaliselt katkendlikke funktsioone ei saa ebajärjekindlalt ravida; kuid mõned on näiteks f (x) = 0 kõigi x <0 korral ja f (x) = 1 kõigi x ≥0 korral. Ebajärjekindel pikendus asendab esimest <väärtusega ≤ ja sellel on iseloomulikud struktuurilised omadused. Neid ebajärjekindlaid funktsioone saab kasutada ka dünaamilistes süsteemides, kus toimub katkendlikke hüppeid,nagu kvantmõõtmissüsteemid. Selliste funktsioonide eristamine viib deltafunktsioonideni, mida Dirac rakendab kvantmõõtmise uurimisel. (4) Järgmisena on tuntud lineaarsete võrrandite ebajärjekindlate süsteemide juhtum, näiteks süsteem (i) x + y = 1, pluss (ii) x + y = 2. Sellised süsteemid võivad tekkida automatiseeritud juhtimise kontekstis. Klassikaliselt on selliste süsteemide lahendamiseks tehtud vähe tööd, kuid võib näidata, et ebajärjekindlates vektorruumides on hästi käitunud lahendusi. (5) Lõpuks võib märkida veel ühe topoloogia ja dünaamika rakenduse. Arvestades eeldust, mis näib olevat mõeldav, nimelt seda, et mis juhtub või on tõsi, juhtub või on tõsi avatud (kosmoseaja) punktide komplektis, on üks, et dünaamiliselt võimalike radade loogika on avatud komplekti loogika, see tähendab intuitsioonist loogika,mis toetab mittetäielikke teooriaid par excellence. Selle põhjuseks on asjaolu, et sellises ruumis asuva väite eituse loomulik kirjeldus ütleb, et see hoiab kõige suuremat avatud komplekti, mis sisaldub algkoosseisu kuuluvate punktide komplekti Boole-täienduses, mis on üldiselt väiksem kui Boole'i täiendama. Kuid topoloogilise ruumi täpsustamine selle suletud komplektide järgi on sama mõistlik kui selle täpsustamine avatud komplektide järgi. Ometi on teada, et suletud komplektide loogika on parakonsistentne, st. toetab ebajärjekindlaid mittetriviaalseid teooriaid; vt näiteks Goodman (1981). Arvestades (alternatiivset) oletust, mis samuti tundub olevat mõeldav, nimelt seda, et mis iganes tõsi on, peab paika ka suletud punktide komplekt, võib ebajärjekindlate teooriate puhul ka olla. Seda seetõttu, et ettepaneku eitamise loomulik põhjussee tähendab, et see hoiab väikseimat suletud komplekti, mis sisaldab väite Boolean eitust, tähendab, et kattuval piiril hoiavad nii väidet kui ka eitust. Seega määravad dünaamilised teooriad nende endi võimalike väidete loogika ja vastavad teooriad, mis võivad olla vastuolulised ja kindlasti sama loomulikud kui nende mittetäielikud vasted.

Suletud komplekti loogikast ja piiridest kui vastuoluliste teooriate loomulikust keskkonnast leiate Mortensen (2003, 2010). Weber ja Cotnoir (2015) uurivad ka piiride ebajärjekindlust, mis tuleneb kolme põhimõtte kokkusobimatusest (i) on piirid, (ii) ruum on topoloogiliselt ühendatud ja (iii) diskreetsed üksused võivad olla kontaktis (st ei nendevaheline ruum). See on väga huvitav probleem, kuna kõik kolm on usutavad; eriti tundub, et meie maailmas on piirid. Selle konto alguses üllatav omadus on see, et piirid on tühjad; lõppude lõpuks on nullüksused vastuolus mereoloogia vaimuga. Kuid see pole nii šokeeriv, kui selgub, et nad on tühjad ainult selles mõttes, et neil on liikmeid ebajärjekindlalt.

Kategooria teooria heidab valgust paljudele matemaatilistele struktuuridele. Kindlasti on seda pakutud matemaatika alternatiivse alusena. Selline üldistus puutub paratamatult kokku probleemidega, mis sarnanevad mõistmisele komplekti teoorias; vt nt Hatcher 1982 (lk 255–260). Seetõttu on ebajärjekindlate lahenduste kohaldamine sama võimalik. Samuti on oluline kategooriliste struktuuride kogum - eesmärgid, mis toetavad avatud komplekti loogikat täpselt paralleelselt sellega, kuidas komplektid toetavad Boole'i loogikat. Paljud on seda võtnud matemaatilise intuitsioonismi aluspõhimõtte õigustamiseks. Siiski on võimalik tõestada, et see paneb suletud komplekti loogikat toetama sama hõlpsalt kui ka avatud komplekti loogikat toetades, mis on parakonsistentse loogika jaoks seni ainus kategooriateoreetiline semantika. Seda ei tohiks siiski vaadelda kui intuitsioonismi vastuväidet, niivõrd kui argumenti, et ebajärjekindlad teooriad on sama mõistlikud kui matemaatilise uurimise esemed. Vt Mortensen (1995 11. peatükk, kaasautor Lavers). Selle positsiooni on nüüd võtnud, laiendanud ja osavalt kaitsnud Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b). Sama autor (2016) kohustub esitama triviaalsete teooriate kategooriateoreetilise kirjelduse eesmärgiga näidata, et triviaalsus pole matemaatiliste teooriate jaoks nii ebahuvitav omadus. Praegune autor pole veendunud, kuna triviaalne teooria on matemaatiliste arvutuste jaoks kindlasti kasutu; kuid argumentide leidlikkusega tuleb möönata.kaasautor Lavers). Selle positsiooni on nüüd võtnud, laiendanud ja osavalt kaitsnud Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b). Sama autor (2016) kohustub esitama triviaalsete teooriate kategooriateoreetilise kirjelduse eesmärgiga näidata, et triviaalsus pole matemaatiliste teooriate jaoks nii ebahuvitav omadus. Praegune autor pole veendunud, kuna triviaalne teooria on matemaatiliste arvutuste jaoks kindlasti kasutu; kuid argumentide leidlikkusega tuleb möönata.kaasautor Lavers). Selle positsiooni on nüüd võtnud, laiendanud ja osavalt kaitsnud Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b). Sama autor (2016) kohustub esitama triviaalsete teooriate kategooriateoreetilise kirjelduse eesmärgiga näidata, et triviaalsus pole matemaatiliste teooriate jaoks nii ebahuvitav omadus. Praegune autor pole veendunud, kuna triviaalne teooria on matemaatiliste arvutuste jaoks kindlasti kasutu; kuid argumentide leidlikkusega tuleb möönata. Praegune autor pole veendunud, kuna triviaalne teooria on matemaatiliste arvutuste jaoks kindlasti kasutu; kuid argumentide leidlikkusega tuleb möönata. Praegune autor pole veendunud, kuna triviaalne teooria on matemaatiliste arvutuste jaoks kindlasti kasutu; kuid argumentide leidlikkusega tuleb möönata.

Duaalsusel mittetäielikkuse / intuitsiooni ja ebajärjekindluse / parakonsistentsuse vahel on vähemalt kaks aspekti. Esiteks on ülaltoodud topoloogiline (avatud / suletud) duaalsus. Teiseks on Routley * duaalsus. Lausekogumi S Routley Star * on defineeritud järgmiselt: S * = _df {A: ~ A pole S-s}. Routleys (1972) on vastava loogika semantilise tööriista avastanud, * operatsioon dubleerib de Morgani loogika suure loodusliku klassi ebajärjekindlate ja mittetäielike teooriate vahel. Mõlemad duaalsuse liigid on samuti interaktsioonis, kus * annab eristatavad duaalsuse ja invariantsuse teoreemid avatud ja suletud aritmeetiliste teooriate jaoks. Nende tulemuste põhjal on õiglane väita, et nii matemaatika liigid, intuitsioonist kui ka parakonsistentsist on võrdselt mõistlikud.

4. Geomeetriline ebakõla

Hiljutine areng on rakendus ebajärjekindlate piltide nähtuse selgitamiseks. Neist tuntumad on võib-olla MC Escheri meistriteosed Belvedere, juga ning tõus ja lask. Tegelikult ulatub see traditsioon aastatuhandete taha Pompeisse. Näib, et Escher on paljusid oma intuitsioonidest saanud Rootsi kunstnikult Oscar Reutersvärdilt, kes alustas oma ebajärjekindlat tööd 1934. aastal. Escher tegi aktiivset koostööd ka inglise matemaatiku Roger Penrose'iga. Teoreetikud, näiteks Cowan, Francis ja Penrose, on mitu katset kirjeldanud ebajärjekindlate piltide matemaatilist struktuuri klassikalise järjepideva matemaatika abil. Nagu väitis Mortensen (1997), ei suuda ükski järjekindel matemaatiline teooria tabada seda, et inimene näeb võimatut asja. Ainult vastuoluline teooria suudab tabada selle ettekujutuse sisu. See tähendab üleskutset parakonsistentsuse kognitiivsele õigustamisele. Seejärel saab kuvada ebajärjekindlaid teooriaid, mis on sellise ebajärjekindla sisu kandidaadid. Selles küsimuses on analoogia klassikalise matemaatikaga: projektiivne geomeetria on klassikaline järjepidev matemaatiline teooria, mis on huvitav, kuna me oleme silmaga olendid, kuna see selgitab, miks asjad näevad välja sellised, nagu nad perspektiivis näevad.projektiivne geomeetria on klassikaline järjepidev matemaatiline teooria, mis on huvitav, kuna oleme silmaga olendid, kuna see selgitab, miks asjad näevad välja sellised, nagu nad perspektiivis teevad.projektiivne geomeetria on klassikaline järjepidev matemaatiline teooria, mis on huvitav, kuna oleme silmaga olendid, kuna see selgitab, miks asjad näevad välja sellised, nagu nad perspektiivis teevad.

Ebajärjekindlaid geomeetrilisi uuringuid arendatakse edasi Mortensenis (2002a), kus kategooriateooriat rakendatakse erinevate teooriate vaheliste suhete üldiseks kirjeldamiseks ning nende järjepidevateks läbilõigeteks ja mittetäielikeks duaalideks. Mitteametliku ülevaate jaoks, mis toob esile erinevuse visuaalsete “paradokside” ja filosoofiliselt levinumate keele paradokside, näiteks valetaja vahel, vt Mortensen (2002b).

Hiljuti on mitmete ebajärjekindlate figuuride klasside kohta saadud ebajärjekindlaid matemaatilisi kirjeldusi, näiteks Escheri kuup (leitud tema trükis Belvedere), Reutersvärdi-Penrose'i kolmnurk jt. Vt Mortensen (2010).

5. Tükk ja permeaat

Viimasel ajal on tekkinud alternatiivne meetod vastuolude lahendamiseks üldiselt. Brown ja Priest (2004) on välja pakkunud meetodi, mida nad nimetavad “patakaks ja permeaadiks”, kus põhjendused ebajärjekindlatest eeldustest tulenevad eelduste jagamisel järjepidevateks teooriateks (tükkideks), tuletades sobivatest tagajärgedest, seejärel kandes need tagajärjed läbi (läbistades) erinevad tükk edasiste tagajärgede tuletamiseks. Nad viitavad sellele, et Newtoni algne arutluskäik tuletisinstrumentide arvutamisel sellises vormis oli. See on huvitav ja uudne lähenemisviis, ehkki see peab vastama väitele, et selle põhjal tehtud järelduse uskumiseks tuleks kõiki eeldusi võrdselt uskuda; ja nii peaks lõpuks ilmuma argument tavalisema vormi kohta, mis apelleerib kõigile eeldustele neid killustamata. Seega on vastuväide, et Chunk ja Permeate on pigem avastuse kui õigustamise kontekst.

Hiljuti avaldasid Benham et. al. (2014) on laiendanud neid meetodeid Diraci deltafunktsioonile. See laiendab rakenduste klassi ja tugevdab nii tehnikat. Kuid ka seal saab selgeks, et patarei- ja permeaaditaotluste (ühe suure klassi) ja (järjepideva) mittestandardse analüüsi vahel on tihe paralleel: kõikjal, kus patakas ja permeaat võtab tuletise, nihutades tükkideks üks, kus lõpmatuid on null, mittestandardne analüüs võtab tuletise, määratledes tuletisinstrumendid „ainult standardosadeks”. Muidugi ei näita nende kahe tehnika samaväärsus seda, mis on selgitavalt sügavam. Arengud tuleb huviga oodata.

6. Järeldus

Kokkuvõtteks: viimasel ajal on ilmunud üsna vähe filosoofilist materjali, mis on mõistlik ebajärjekindla matemaatika põhjustajana. Colyvan (2000) tegeleb küsimusega, et ebajärjekindlad matemaatilised teooriad tähendavad nende teemades ebajärjekindlaid matemaatilisi objekte. Samuti võtab ta tähtsaks ülesandeks anda ülevaade sellest, kuidas ebajärjekindlal matemaatikal võib olla haru, mida rakendatakse matemaatikas. Priest (2013), nagu Colyvan, märgib, et ebajärjekindel matemaatika lisab platonistide segu. Berto (2007) uurib kasulikult paradokse ja põhiküsimusi ning toob välja mõned aritmeetilised tulemused, mis puudutavad olulisi filosoofilisi küsimusi, näiteks mittetäielikkuse teoreemid. Van Bendegem (2014) taotleb huvitavat motivatsiooni, et muutus on alati anomaalia olek, nii et alati tähendab muutumine alati anomaalset. Näited hõlmavad lõpmatuid tähiseid, keerulisi numbreid ja lõpmatust. Ettevaatlik tuleks olla selle üle, et mõeldakse, et ebakõla on alati anomaalne, kui ainult seetõttu, et see on matemaatilisteks uuringuteks lihtsalt rohkem materjali.

Veelkord tuleb rõhutada, et need struktuurid ei sea mingil moel kahtluse alla ega lükka ümber olemasolevat matemaatikat, vaid laiendavad pigem meie ettekujutust sellest, mis on matemaatiliselt võimalik. See omakorda teravdab matemaatilise pluralismi küsimust; vt nt Davies (2005), Hellman ja Bell (2006) või Priest (2013). Mitmetel autoritel on erinevad versioonid matemaatilisest pluralismist, kuid just selles osas võivad ühildumatud matemaatilised teooriad sama tõesed olla. Matemaatilise pluralismi juhtum põhineb tähelepanekul, et on olemas erinevaid matemaatilisi „universumeid”, milles kehtivad erinevad, tõepoolest kokkusobimatud matemaatilised teoreemid või seadused. Tuntud näideteks on kokkusobimatus klassikalise matemaatika ja intuitionistliku matemaatika vahel ning ZF-sarnaste universumite ühildamatus vastavalt komplektidega ja ilma,valiku aksioom. Tundub absurdne öelda, et ZF koos valikuga on tõeline matemaatika ja ZF ilma valikuta on vale matemaatika, kui nad mõlemad on õigustatud näited matemaatiliselt hästi käituvatest teooriatest.

Matemaatika filosoofia esmane küsimus on kindlasti see, mis on matemaatika. Duaalsusoperatsioonid, nagu topoloogiline duaalsus või Routley *, kinnitavad, et ebatäielikud / ebajärjekindlad kaksikud on sama mõistlikud kui matemaatika näited. Sellest seisukohast näivad mõttetud vaidlused selle üle, millist intuitsionistlikku või klassikalist või vastuolulist matemaatikat aktsepteerida; nad kõik on osa matemaatika õppeainest. Selle punkti viitab tõhusalt Shapiro (2014, vastupidiselt tema 2002). Shapiro eristataval positsioonil on muid koostisosi: matemaatika kui struktuuriteadus ja matemaatiline pluralism, mis vihjab loogilisele pluralismile (loogilise pluralismi kohta vaata ka Beall ja Restall 2006); kuid me ei võta neid siin üles.

Mis see väärt on, arvab praegune kirjanik, et mõni matemaatilise pluralismi versioon on ilmselgelt tõene, kui võtta matemaatika esiteks matemaatika teooriate kohta, mis võimaldavad ebajärjekindlust, ja teiseks nende teooriate sisemiste objektide kohta. Kokkusobimatute teooriatega pole muidugi probleeme, kuna väidete struktuurid eksisteerivad koos. Teooriate ülimuslikkus sobib ka loomuliku tähelepanekuga, et matemaatika epistemoloogia on deduktiivne tõend. Ainult siis, kui võtta lähtepunktina matemaatikaobjekt kui teooriate tõekujundaja, tuleb muretseda, kuidas nende objektid suudavad koos eksisteerida.

Bibliograafia

• Beall, JC ja G. Restall, 2006, loogiline paljusus, Oxford: The Clarendon Press.
• Benham, R., C. Mortensen ja G. Priest, 2014, “Tükk ja permeaat III: Diraci deltafunktsioon”, Synthese, 191 (13): 3057-3062. doi: 10.1007 / s11229-014-0473-7
• Berto, F., 2007, Kuidas müüa vastuolu, London: College Publications.
• Brady, R., 1971, “Abstraktsiooni ja ekstensiivsuse aksioomide kooskõla kolme väärtusega loogikas”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 12: 447–453.
• ––– 1989, „Dialektiliste kogumiteooria mittetriviaalsus“, G. Priest, R. Routley ja J. Norman (toim), Paraconsistent Logic, München: Philosophia Verlag.
• –––, 2006, Universal Logic, Stanford: CSLI väljaanded.
• Brown, B. ja G. Priest, 2004, “Tükk ja permeaat: parakonsistentsed järeldamisstrateegiad. I osa: lõpmatu arvutus”, Journal of Philosophical Logic, 33: 379–388.
• Burgess, J., 1981, “Asjakohasus, eksitus?”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 22: 97–104.
• Colyvan, M., 2000, “Ebajärjekindla matemaatika rakendamine”, Matemaatika filosoofia uued lained, O. Bueno ja O. Limmbo (toim.), London: Palgrave McMillan, 160–172.
• Da Costa, Newton, CA, 1974, “Vastuoluliste formaalsete süsteemide teooria kohta”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 15: 497–510.
• –––, 2000, “Parakonsistentsed matemaatikad”, D. Batens jt. (toim), Paraconsistent Logic Frontiers, Hertfordshire: Research Studies Press, 165–180.
• Davies, EB, 2005 “Matemaatilise pluralismi kaitse”, Philosophia Mathematica, 13: 252–276.
• Estrada-Gonzales, L., 2010, “Täiendus-Topoi ja dual-intuitsiooniline loogika”, Australasian Journal of Logic, 9: 26–44.
• –––, 2015a, “Kurjast kaksikust: komplementaarsete eesmärkide põhialused”, Beziau, Chakraborty ja Dutta (toim.), Uued juhised parakonsistentses loogikas, Dordrecht: Springer: 375–425.
• –––, 2015b, „Alates (parakonsistentsest) toposi loogikast kuni universaalse (topos) loogikani“, Koslow ja Buchsbaum (toim.), Tee universaalsesse loogikasse: Jean-Yves Beziau viiekümnendal sünnipäeval toimuv Festschrift, Dordrecht: Springer, 263-295.
• ––– 2016, „Triviaalsuse väljavaated“, H. Andreas ja P. Verdee (toim.), Parakonsistentse mõtlemise loogilised uuringud looduses ja matemaatikas, Dordrecht: Springer, 81–89.
• Goodman, N., 1981, “Vastuolude loogika”, Zeitschrift fur Mathematische Logic und Grundlagen der Arithmetik, 27: 119–126.
• Hatcher, WS, 1982, Matemaatika loogilised alused, Oxford: Pergamon.
• Hellman, G. ja J. Bell, 2006, “Pluralism ja matemaatika alused”, ajakirjas CK Waters jt. (toim), teaduslik paljusus (Minnesota uuringud teaduse filosoofias, XIX köide), Minneapolis: University of Minnesota Press.
• Kripke, S., 1975, “Tõe teooria ülevaade”, ajakiri Philosophy, 72: 690–716.
• McKubre-Jordens, M. ja Zach Weber, 2012, “Tegelik analüüs ja parakonsistentsed loogikad”, Journal of Philosophical Logic, 41 (5): 901–922.
• –––, tulemas, „Ringi parakonsistentsed mõõtmised: kutse ebajärjekindlale matemaatikale“, Australasian Journal of Logic.
• Meyer, RK, 1976, “Asjakohane aritmeetika”, Poola Teaduste Akadeemia loogika sektsiooni bülletään, 5: 133–137.
• Meyer, RK ja C. Mortensen, 1984, “Vastava aritmeetika ebajärjekindlad mudelid”, The Journal of Symbolic Logic, 49: 917–929.
• Mortensen, C., 1983, “Vasta Burgessile ja lugege”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 24: 35–40.
• ––– 1990, „Ebajärjekindla ja mittetäieliku diferentsiaalkalkulatsiooni mudelid”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 31: 274–285.
• –––, 1995, ebajärjekindel matemaatika, Kluweri matemaatika ja selle rakenduste seeria, Dordrecht: Kluwer. [Errata on veebis saadaval.]
• ––– 1997, „Peekingis võimatute poole“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 38: 527–534.
• ––– 2000, “Vastuolude väljavaated”, D. Batens jt. (toim), Paraconsistent Logic Frontiers, London: Research Studies Press, 203–208.
• –––, 2002a, “Võimatute piltide matemaatika poole”, W. Carnielli, M. Coniglio ja I. D'Ottaviano (toim.), Parakonsistentsus: loogiline tee lõpmatuseni (loengu märkused puhtast ja rakenduslikust) Matemaatika, köide 228), New York: Marcel Dekker, 445–454.
• –––, 2002b, “Paradoksid keele sees ja väljaspool”, Keel ja kommunikatsioon, 22: 301–311.
• –––, 2003, “Suletud komplekti loogika”, R. Brady (toim), Asjakohane loogika ja nende konkurendid (II köide), Aldershot: Ashgate, lk 252–262 (eriti 255–6).
• ––– 2006, „Ebajärjekindlate ja mittetäielike Neckeri kuubikute analüüs”, Australasian Journal of Logic, 4: 216–225.
• –––, 2010, ebajärjekindel geomeetria (uuringud loogikas, 27. köide), London: kolledži väljaanded (Kingi kolledž).
• Paris, J., ja Pathmanathan, N., 2006, “Märkus preestri piiratud aritmeetika kohta”, The Journal of Philosophical Logic, 35: 529–537.
• Paris, J., ja Sirokofskich, A., 2008, “Aritmeetika LP-mudelitest”, The Journal of Symbolic Logic, 73 (1): 212–226.
• Priest, G., 1987, Vastupidiselt, Dordrecht: Nijhoff; teine laiendatud väljaanne, Oxford: The Clarendon Press, 2006.
• –––, 1997, „Aritmeetika ebajärjekindlad mudelid: mina, lõplikud mudelid”, The Journal of Philosophical Logic, 26: 223–235.
• ––– 2000, “Aritmeetika ebajärjekindlad mudelid: II, üldine juhtum”, The Journal of Symbolic Logic, 65: 1519–29.
• –––, 2013, “Matemaatiline pluralism”, IGPLi loogikaajakiri, 21 (1): 4–13: doi: 10.1093 / jzs018
• Priest, G., R. Routley ja J. Norman (toim.), 1989, Paraconsistent Logic, München: Philosophia Verlag.
• Restall, G., 2007, “Brady universaalse loogika ülevaade”, Sümboolse loogika bülletään, 13 (4): 544–547.
• Robinson, A., 1974, mittestandardne analüüs, Amsterdam: Põhja-Holland, muudetud väljaanne.
• Routley, R. ja V. Routley, 1972, “Esimese astme tagajärgede semantika”, Noûs, 6: 335–359.
• Shapiro, S., 2002, “Vastuolud ja ebatäiuslikkus”, Mind, 111: 817–832.
• –––, „Struktuurid ja loogika: näide a) relativismist“, Erkenntnis, 79: 309–329.
• Tedder, A., 2015, “Aksioomid aritmeetika lõplike kokkuvarisemismudelite jaoks”, sümboolse loogika ülevaade, 8 (3): 529-539.
• Van Bendegem, JP, 2014, “Vastuolud matemaatikas ja ebakõlade matemaatikas”, Synthese, 191 (13), 3063-3078.
• Weber, Z., 2010, “Transfinite Numbers in Paraconsistent Set Theory”, The Symbolic Logic Review, 3 (1): 71–92.
• –––, 2012, “Transfinite kardinalid parakonsistentses kogumiteoorias”, sümboolse loogika ülevaade, 5 (2): 269–293.
• ––– ja Cotnoir, AJ, 2015, “Vastuolulised piirid”, Synthese, 192: 1267-1294. doi: 10.1007 / 511229-014-0614-2

Akadeemilised tööriistad

	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

[Palun võtke soovitustega ühendust autoriga.]