Video: Пять Занимательных Загадок / Five Nice Riddles 2023, Märts
Sisenemise navigeerimine
Sissesõidu sisu
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Sõprade PDF-i eelvaade
Teave autori ja tsitaadi kohta
Tagasi üles
Matemaatiline stiil
Esmakordselt avaldatud teisipäeval, 2. juulil 2009; sisuline redaktsioon K 9. august 2017
Essee algab peamiste kontekstide taksonoomiaga, milles matemaatikas kasutatakse stiili mõistet alates kahekümnenda sajandi algusest. Nende hulka kuulub stiili mõiste kasutamine matemaatika võrdlevates kultuuriloos, rahvuslike stiilide iseloomustamisel ja matemaatilise praktika kirjeldamisel. Need arengud on seotud stiili tuttavama käsitlusega loodusteaduste ajaloos ja filosoofias, kus eristatakse „kohalikku” ja „metoodilist” stiili. Väidetakse, et matemaatika "stiili" loomulik lookus jääb ajaloolaste ja teadusfilosoofide kirjeldatud "kohaliku" ja "metoodilise" stiili vahele. Lõpuks, essee viimases osas antakse ülevaade häkkimise ja Grangeri mõjul matemaatika peamistest stiilimuutustest,ning uurib nende epistemoloogilisi ja ontoloogilisi mõjusid.
1. Sissejuhatus
2. Stiil kui võrdleva kultuuriajaloo keskne mõiste
3. Riiklikud stiilid matemaatikas
4. Matemaatikud stiili üle
5. Stiili koht
6. Stiili epistemoloogia poole
7. Järeldus
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed
1. Sissejuhatus
Selle essee eesmärk on uurida ja analüüsida stiili käsitlevat kirjandust ajaloos ja matemaatikafilosoofiat. Eelkõige käsitletakse lõpupoole probleemi, kuidas saab matemaatikas stiili mõistele filosoofiliselt läheneda. Ehkki see ei ole üks matemaatikafilosoofia kanoonilisi teemasid, kasutab esitlus asjakohaseid arutelusid stiili üle teaduse ajaloos ja filosoofias.
Matemaatikast rääkimine stiili osas on piisavalt tavaline nähtus. Matemaatika stiililiste tunnuste poole pöördutakse juba seitsmeteistkümnenda sajandi alguses. Näiteks Bonaventura Cavalieri vastandab juba 1635. aastal oma isikupärased võtted Archimedese stiilile:
Ma tean tegelikult, et kõik ülalnimetatud asjad [Cavalieri enda teoreemid, mis on saadud indivisibilistlike tõendite abil] võib taandada Archimedeani stiilile. (Algses ladina keeles: “Scio autem praefata omnia ad stylum Archimedeum reduci posse.” (Cavalieri 1635, 235)).
Sajandi lõpus on näiteid lihtsam leida. Näiteks Leibniz (1701, 270–71) kirjutab: “Analüüs ei erine Archimedese stiilist, välja arvatud väljendite osas, mis on otsesemad ja avastuskunstile kohasemad” (prantsuse keeles: “L'analyse ne diffère du style d „Archimède que dans les expressions, qui sont plus directes et pluss conformes à l'art d'inventer”). On huvitav fakt, et sellised sündmused eelnevad maalikunsti mõiste üldisele kasutamisele, mis pärineb alles 1660. aastatest (juhuslikke juhtumeid, nagu on rõhutatud Sauerländeris 1983, leidub ka kuueteistkümnendal sajandil). Varem, seitsmeteistkümnendal sajandil, oli maalikunstiks valitud sõna „manière” (vt Panofsky 1924; ingliskeelne tõlge (1968, 240)). Siin on paar täiendavat näidet XIX ja XX sajandist. Chasles oma Aperçu historique'is (1837) räägib Monge'ist:
Ta algatas uue viisi selle teaduse kirjutamiseks ja rääkimiseks. Tegelikult on stiil nii tihedalt keevitatud metoodika vaimus, et sellega tuleb edasi liikuda; samamoodi, kui stiil on seda ette näinud, peab stiil tingimata mõjutama tugevalt seda ja teaduse üldist arengut. (Chasles, 1837, §18, 207)
Veel üks näide pärineb Edwardi hinnangust Dedekindi lähenemisele matemaatikale:
Kroneckeri särades ei saa kahelda. Kui tal oleks olnud kümnendik Dedekindi võimest oma ideid selgelt sõnastada ja väljendada, oleks tema panus matemaatikasse võinud olla isegi suurem kui Dedekindi oma. Kuid nagu ta on, suri tema sära enamasti koos temaga. Dedekindi pärand seevastu koosnes mitte ainult olulistest teoreemidest, näidetest ja kontseptsioonidest, vaid kogu matemaatika stiilist, mis on olnud inspiratsiooniks igale järgnevale põlvkonnale. (Edwards 1980, 20)
Ilmselt võiks samasuguseid tsitaate kuhjata (vt muu hulgas Cohen 1992, de Gandt 1986, Dhombres 1993, Epple 1997, Fleckenstein 1955, Granger 2003, Høyrup 2005, Laugwitz 1993, Novy 1981, Reck 2009, Tappenden 2005)., Weiss 1939, Wisan 1981), kuid see poleks eriti huvitav. Isegi matemaatikas ulatub stiil muu hulgas individuaalsetest stiilidest rahvuslike stiilideni episteemiliste stiilideni. Kõigepealt on vaja mõista peamisi kontekste, milles matemaatikas eelistatakse stiili, ehkki see essee ei käsitle palju üksikute stiilide teemalist arutelu (selliste näidete hulka kuulub ka Enrico soovituse järgimine). Bombieri, Euler, Ramanujan, Riemann, Serre ja A. Weil “väga isiklikud” stiilid).
Paljudel juhtudel mõeldakse stiili kontseptsiooni laenatud kujutavast kunstist ja mõnel juhul arutatakse seda kohe. Harwood 1993 väidab, et “stiili kontseptsioon töötati välja kaunite kunstide uurimisel täheldatud kultuurimustrite klassifitseerimiseks”. Wessely 1991 räägib selle stiili mõiste kandumisest teaduse ajalukku (265). Ehkki see võib olla tõsi XX sajandi kohta (vt ka Kwa 2012), tuleks meeles pidada, nagu eespool viidati, et seda väidet tuleb kvalifitseerida seitsmeteistkümnendaks sajandiks.
2. Stiil kui võrdleva kultuuriajaloo keskne mõiste
Vaatamata varasematele hoiatustele on tõsiasi, et mõned suuremad XX sajandi pöördumised matemaatika stiilikategooriasse on seda teinud kunstide osas. See kehtib eriti nende autorite kohta, keda motiveeris inimkonna kultuuritootmise ühtne arvestamine ja kes nägid seega ühtlust teadusliku ja kunstilise tootmise protsessides. Oswald Spengler proovis filmis The West of Decline (1919, 1921) maailmaajaloo morfoloogiat ja väitis, et matemaatika ajalugu iseloomustasid erinevad stiiliajalood, mis sõltusid seda tootnud kultuurist:
Mis tahes loodava matemaatika stiil sõltub täielikult kultuurist, milles see on juurdunud, millist inimkonda see mõtiskleb. Hing võib tuua oma loomupärased võimalused teadusarendusse, oskab neid praktiliselt juhtida, suudab nende käsitlemisel saavutada kõrgeima taseme, kuid on nende muutmiseks üsna võimetu. Eukleidese geomeetria idee realiseerub klassikalise ornamendi kõige varasemates vormides ja lõpmatu kalkulatsiooni idee gooti arhitektuuri kõige varasemates vormides, sajandeid enne vastavate kultuuride esimeste õpitud matemaatikute sündi. (Spengler 1919, 59)
Paralleele pole mitte ainult matemaatika ja kultuuri teiste kunstiliste lavastuste vahel. Tuginedes Goethe ütlusele, et täielik matemaatik „tunneb enda sees tõelise ilu“ja Weierstrassi ütlusele, et „kes pole samal ajal ka natuke luuletaja, ei saa kunagi olema tõeline matemaatik“, iseloomustas Spengler matemaatikat iseenesest kui kunst:
Matemaatika on siis kunst. Sellisena on sellel oma stiilid ja stiiliperioodid. Nagu võhik ja filosoof (kes on ka selles küsimuses võhik), pole see põhimõtteliselt muutumatu, vaid allub nagu iga kunst märkamatutele muutustele igast ajastust teise. (Spengler 1919, 62)
Kõige ulatuslikum käsitlus, mis põhineb paralleelil kunsti ja matemaatika vahel ning kasutab stiili mõistet kui matemaatika ajaloo analüüsi keskset kategooriat, on Max Bense käsitlus. Bense pühendas raamatus, mille pealkiri on Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik (1946), terve peatüki (ptk 2), et selgitada, kuidas stiili mõiste matemaatikas kehtib. Bense jaoks on stiil järgmine:
Sest stiil on vorm, oluline vorm ja me nimetame seda vormi "esteetiliseks", kui see kontrollib kategooriliselt mõistlikku materjali. (Bense 1946, 118)
Bense nägi meeleajaloo aspektidena kunstiajalugu ja matemaatika ajalugu [Geistesgeschichte]. Tegelikult antakse stiil pigem seal, kus inimese kujutlusvõime ja väljendusvõime loomisse jõuavad. Bense oli kindlasti valmis kunstiajaloo stiilide ja matemaatika stiilide vahel paralleele tõmbama (eriti käsitles ta oma raamatus barokki ja romantilisi stiile), kuid hoidis Spengleriga vastandades kunsti ja matemaatika olemust eraldi. Tõepoolest, ta tunnistas, et matemaatika stiililist ajalugu ei saa taandada „teatud matemaatiliste formaalsete kalduvuste ja üksikute ajastute, nagu näiteks renessanss, klassitsism, barokk või romantism, suurte kunstiliste maailmavaadete ja vaimsete stiilide kokkusattumusele” (lk 132);Vt Fleckensteini 1955 ja Wisan 1981 värskemat paralleeli baroki ja kunstis seitsmeteistkümnenda sajandi matemaatika vahel). Ta viitas Felix Kleini teosele „Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus”, osutades, et Kleini iseloomustatud teatavaid arengusuundi võib vaadelda stiilide osutamisena matemaatika arengu ajaloos (vt Klein 1924, 91).
Sellised katsed nagu Spengleri ja Bense'i üleskutse kindlasti neile teoreetikutele, kes sooviksid kasutada stiilikategooriat abivahendina kultuurimustrite kirjeldamiseks ja võib-olla ka nende arvestamiseks. Matemaatikat ja / või kunstiajalugu tundva lugeja jätavad nad siiski skeptilisteks, pidades silmas tavaliselt kaugeleulatuvaid paralleele, mis väidetavalt pakuvad tõendusmaterjali konto jaoks. Muidugi ei tähenda see stiilikategooria sobivuse lähenemisviisi või kasulikkuse tagasilükkamist matemaatikas, vaid sooviks, et selle kasutamine oleks otsesemalt seotud matemaatikapraktika aspektidega.
Üldiselt saab eristada kahte teoretiseerimistüüpi, mida saab selliste katsetega seostada. Esimene neist on puhtalt kirjeldav ehk taksonoomiline ja rahuldab teatud mõttevaldkonna, näiteks matemaatika, ja teatud ühiskonna muude kultuuritoodete vahel teatud ühiste mustrite näitamist. Teine lähenemisviis eeldab esimest, kuid uuritakse ka põhjuseid, mis põhjustavad teatud mõtte- või tootmisstiili olemasolu, ja püütakse seda tavaliselt seostada psühholoogiliste või sotsioloogiliste teguritega. Spengleri ja Bense kohtuasjades on mõlemat elementi, ehkki rõhk on pigem paralleelidel kui paralleelide põhjustavatel või seletavatel põhjustel.
Kahekümnenda sajandi alguses üritati laiendada stiilimõiste kasutamist kunstis ka teistele inimpüüdluste valdkondadele. Tuntud juhtum on Mannheimi sotsioloogiline katse iseloomustada mõttelaadi erinevates sotsiaalsetes gruppides (Mannheim 1928). Kuigi Mannheim polnud teaduslikke mõtteid teadmiste sotsioloogilise analüüsi valdkonnast välja jätnud, ei tegelenud ta aktiivselt sellise analüüsiga. Seevastu Ludwik Fleck praktiseeris teaduse sotsioloogilist analüüsi, milles keskne roll oli mõttelaadil. Fleck keskendus siiski meditsiinile (Fleck 1935).
Siinkohal on oluline rõhutada, et mõttestiili mõiste on kaasaegses uurimistöös saanud üldiselt kaks erinevat arengut, mis mõjutavad ka matemaatikat. Esiteks on tegemist Flecki kohtuasjaga. Sõltuvalt sellest, kui heldena tahetakse ühenduste loomisel olla, võis näha seda lähenemist mõttestiilidele, mis on seotud Kuhni, Foucault 'ja Hackingi hilisema tööga (vt altpoolt Hackingi arutelu). Mõtmisstiilide osas on siiski erinev mõtlemisviis, mis tavaliselt toimub kognitiivsete stiilide nime all. See on kognitiivsete psühholoogide ja matemaatikaõpetajate huvipakkuv valdkond (selle piirkonna psühholoogiliste uuringute ülevaate leiate Riding 2000 ning Stenberg ja Grigorenko 2001). Siin keskendutakse indiviidi psühholoogilisele koosseisule, kes eelistab teatud kognitiivset stiili kas matemaatika õppimisel, mõistmisel või mõtestamisel (st matemaatilise teabe töötlemisel ja korraldamisel). Poincaré rõhutatud vana erinevus visuaalsete ja analüütiliste matemaatikute vahel (vt Poincaré 1905) on endiselt osa pildist, ehkki mudeleid ja klassifikatsioone on väga palju. Ajaloolise ülevaate ja matemaatikale keskendunud teoreetilise ettepaneku leiate artiklist Borromeo Ferri 2005. Poincaré rõhutatud vana erinevus visuaalsete ja analüütiliste matemaatikute vahel (vt Poincaré 1905) on endiselt osa pildist, ehkki mudeleid ja klassifikatsioone on väga palju. Ajaloolise ülevaate ja matemaatikale keskendunud teoreetilise ettepaneku leiate artiklist Borromeo Ferri 2005. Poincaré rõhutatud vana erinevus visuaalsete ja analüütiliste matemaatikute vahel (vt Poincaré 1905) on endiselt osa pildist, ehkki mudeleid ja klassifikatsioone on väga palju. Ajaloolise ülevaate ja matemaatikale keskendunud teoreetilise ettepaneku leiate artiklist Borromeo Ferri 2005.
Matemaatika ajaloo ja filosoofia valdkonnas ei ole matemaatiliste stiilide kohta raamatupikkust, mis selgitaks teatud stiili tekkimist sotsioloogiliste või psühholoogiliste kategooriatega (ehkki Netz 1999 on stiili teoreetikutele pakkunud huvi kui tunnetusliku ajaloo katset) Kreeka matemaatika oluline segment). See on vastupidiselt loodusteaduste ajaloo raamatutele nagu Harwood 1993, mille eesmärk on selgitada sotsioloogiliste argumentide abil Saksa geneetikakogukonna mõttelise stiili tekkimist. Kõige lähemal on selline järeldus Bieberbachi ettekujutus stiilist matemaatikas psühholoogilistest ja rassilistest teguritest sõltuvana. Teda arutatakse järgmises rahvuslike stiilide osas.
3. Riiklikud stiilid matemaatikas
Midagi vähem ambitsioonikat kui varasemad katsed inimkultuuriliste lavastuste üldises ajaloos või kaugeleulatuvad paralleelid kunsti ja matemaatika vahel seisnevad stiili mõiste kasutamises matemaatika ajaloos historiograafilise kategooriana, ilma et oleks konkreetselt viidatud kunstile või muule inimesele kultuuritegevused. Kui minna tagasi kahekümnenda sajandi algusesse, siis võib järeldada, et sageli viidati rahvuslikele stiilidele matemaatilist lavastust iseloomustavate tunnuste kategoriseerimiseks, mis tundusid olevat täiesti rahvuslikud jooned. Teadusajaloos on selliseid „rahvusliku stiili“juhtumeid sageli uuritud. Siinkohal tuleks meenutada J. Harwoodi raamatut "Teadliku mõtte stiilid" (1993) ja kaastöid Nye 1986, Maienschein 1991 ja Elwick 2007. Matemaatika vastu huvi pakub prantsuse ja saksa keele vastandumine matemaatikas, mida on uurinud Herbert Mehrtens.
Mehrtens (1990a, 1990b, 1996) kirjeldab stiilidena ühelt poolt “formalistide” ja “loogikute” ja teiselt poolt “intuitsioonistide” vahelist konflikti matemaatikas kui võitlust kahe matemaatikakontseptsiooni vahel (vt ka Hall 2008 Mehrtensi lähenemisviisi kriitilise omaksvõtu eest, rõhutades samal ajal matemaatika “modernistlikku” ümberkujundamist). Hilbertit ja Poincarét kasutatakse opositsiooni allikate paradigmadena, mis viisid hiljem 1920. aastatel Hilbert-Brouweri aluseta aruteluni (Brouwer-Hilbert'i arutelu ajaloost vt Mancosu 1998). Mehrtens juhib tähelepanu ka sellele, et see opositsioon ei kulgenud tingimata riigipiire, kuna näiteks Kleini võis pidada Poincaré lähedaseks. Tõepoolest,teatav rahvusvahelisus matemaatikas oli domineeriv 19. sajandi lõpus ja kahekümnenda sajandi alguses. I maailmasõda pidi olukorda siiski muutma ja tekitas tugevaid natsionalistlikke konflikte. Opositsiooni "riigistamisel" oli kesksel kohal Pierre Duhem, kes oli prantslaste esprit de finesse ja sakslaste esprit de géométrie vastu:
Alustades selgetest põhimõtetest … ja seejärel liikudes samm-sammult, kannatlikult, vaeva nägema ja tempos, mis järgib deduktiivse loogika reegleid äärmise raskusastmega: see on Saksamaa saksa geenius, kellele see silma paistab; saksa esprit on sisuliselt esprit de géométrie… Sakslased on geomeetrid, nad ei ole peened [fin]; sakslastel puudub esprit de finesse. (Duhem 1915, 31–32)
Duhem kavatses oma mudeli rakendada nii loodusteadustes kui ka matemaatikas. Kleinert 1978 näitas, et Duhemi raamat oli vaid osa Prantsuse teadlaste reageeringust 1914. aasta deklaratsioonile “Aufruf an die Kulturwelt”, millele kirjutasid alla 93 silmapaistvat saksa haritlast. See viis nn Krieg der Geisterini, kus Saksamaa ja Prantsusmaa vaheline polariseerumine jõudis selleni, et kritiseeriti mitte ainult teaduse kasutamise konkreetseid viise (öeldes, et teaduse praktiseerimine sõjaliste eesmärkidega), vaid ka teaduse iseloomustamiseks teadmised, mis on peamiselt kindlaks määratud rahvuslike iseärasustega. Tegelikult kasutasid seda strateegiat põhimõtteliselt prantslased „La Science Allemande” kritiseerimisel, kuid kakskümmend aastat hiljem kasutavad sakslased seda, asendades sõna „rahvus” sõnaga „rassisch”. Tuntuim juhtum on “Deutsche Physik”, kuid siin keskendutakse “Deutsche Mathematikile” (vt ka Segal 2003 ja Peckhaus 2005).
Selle ideoloogilise vastasseisu kõige äärmuslikum vorm, mis Duhemi kasutatud võrdluses raudselt ümber pööras sakslaste ja prantslaste rolli, on nn Deutsche Mathematiku asutaja Ludwig Bieberbachi kirjutistes. Alustades Landau vallandamisest Göttingeni matemaatikateaduskonnast, üritas Bieberbach ratsionaliseerida seda, miks tudengid olid Landau vallandamise sundinud. Oma vestluse Kurzreferatis võttis ta oma eesmärgid kokku järgmiselt:
Minu kaalutluste eesmärk on mitmete näidete abil kirjeldada oma teaduse, matemaatika, inimeste [vere ja rassi] mõju verele ja rassile loomisstiilile. Natsionaalsotsialisti jaoks ei vaja see muidugi tõendusmaterjali. See on pigem suure ilmselguse ülevaade. Sest kõik meie tegevused ja mõtted on juurdunud verest ja rassist ning saavad neilt oma eripära. See, et sellised stiilid on olemas, on tuttav ka igale matemaatikule. (Bieberbach, 1934a, 235)
Oma kahes dokumendis 1934b ja 1934c väitis ta, et Landau praktiseeritav matemaatika oli saksa vaimule võõras. Ta võrdles Erhard Schmidti ja Landau ning väitis, et esimesel juhul
Süsteem on suunatud objektide poole, ehitus on orgaaniline. Seevastu Landau stiil on tegelikkusele võõras, elule antagonistlik, anorgaaniline. Erhard Schmidti stiil on konkreetne, intuitiivne ja samal ajal vastab kõigile loogilistele nõudmistele. (Bieberbach 1934b, 237)
Muud olulised vastulaused, mille Bieberbach esitas oma väidete "tõendusmaterjalina", olid Gauss vs Cauchy-Goursat keerukatel numbritel; Poincaré vs. Maxwell matemaatikafüüsikas; Landau vs Schmidt; ja Jacobi vs Klein.
Tuginedes kurikuulsa Marburgi psühholoogi Jaenschi tüüpide psühholoogiale, asus ta seejärel vastu juudi / ladina ja saksa psühholoogilistele tüüpidele. Tõrkejoon, niiöelda, oli intuitsioonist juhitud matemaatika, mis on tüüpiline saksa matemaatikale, ja juudi / ladina matemaatikute väidetavalt pooldatava formalismi vahel. Ilmselt oli Bieberbach sunnitud tegema palju germeerimist, veendumaks, et olulised saksa matemaatikud ei satuks valemi valele küljele (vaata, mida ta räägib Weierstrassist, Eulerist ja Hilbertist). Nende matemaatiliste erinevuste alus pidi olema rassilised omadused:
Olen oma kaalutlustel püüdnud näidata, et matemaatilises tegevuses on stiiliga seotud probleeme ja seetõttu mõjutavad veri ja rass matemaatilise loomise viisi. (Bieberbach 1934c, 358–359)
Bieberbachi selles kontekstis arutamise põhjuseks on asjaolu, et tema juhtum näitab stiili mõiste juurdumist mingisse põhimõttelisemasse, näiteks psühholoogia ja rassiliste tunnuste kaudu tõlgendatavad rahvuslikud eripärad. Pealegi pakub tema juhtum huvi, kuna tema stiilikäsitlus näitab, kuidas sellist teoretiseerimist saab kasutada keerutatud poliitilise programmi teenistusse.
Õnneks ei pea rahvuslike stiilide rääkimine matemaatikas sisaldama kõiki tagajärgi, mis Bieberbachil leiti. Tõepoolest, kui ajaloolased viitavad tänapäeval rahvuslikule stiilile, teevad nad seda ilma natsionalismita, mis ajendas vanemaid panuseid. Pigem tegelevad nad kirjeldusega, kuidas “kohalikud” kultuurid mängivad rolli teadmiste loomisel (vt ka Larvor 2016). Suurenenud liikuvus ja e-posti teel suhtlemine raskendavad rahvuslike stiilide edukust, kuid poliitilised eritingimused võivad samuti soodustada sellise stiili püsimist. See kehtib näiteks vene stiili kohta algebralise geomeetria ja esindusteooria kohta. Nagu Robert MacPherson autorile on märkinud,see rahvusliku stiili juhtum vääriks põhjalikumat uurimist ja oleks huvitav uurida, kuidas Nõukogude Liidu langemine seda stiili mõjutas. Seevastu ulatuslikult uuritud rahvusliku stiili näide on itaalia stiilis algebraline geomeetria. Seda juhtumit on hoolikalt uurinud paljud matemaatika ajaloolased ja eriti Aldo Brigaglia (vt ka Casnati jt 2016). Näiteks kirjutas Brigaglia hiljutises artiklis:
Lisaks ei olnud Itaalia kool rangelt riiklik kool, vaid pigem tööstiil ja metoodika, mis põhiliselt asus Itaalias, kuid esindajaid leidus mujal maailmas. (Brigaglia 2001, 189)
Hirmutatavad tsitaadid tõstavad esile probleemi, mis on seotud arusaamisega koolide, stiilide, metoodikate jms erinevusest (vt Rowe 2003). Rahvusliku stiili mõistet ei ole ajaloo jooksul üritatud analüütiliselt arutada. matemaatika - igal juhul pole midagi võrreldavat sellega, mida Harwood 1993 oma raamatu esimeses peatükis teeb. Olukorra teeb keeruliseks ka asjaolu, et erinevad autorid kasutavad erinevaid terminoloogiaid, viidates võib-olla ühele ja samale küsimusele. Näiteks on viimasel ajal palju räägitud matemaatikapiltidest (Corry 2004a, 2004b, Bottazzini ja Dahan Dalmedico, 2001). Viimases osas jõuame tagasi mõtisklemisele nende erinevate stiilikasutuste kohta historiograafilises matemaatikakirjanduses ja kuidas neid võrrelda loodusteaduste omadega.
4. Matemaatikud stiili üle
Siiani on arutelu keskendunud stiilile kui tööriistale kultuurifilosoofide ja matemaatika ajaloolaste jaoks. Kuid kas matemaatikud tunnistavad stiilide olemasolu matemaatikas? Veelkord: poleks keeruline anda isoleeritud tsitaate, kus matemaatikud võiksid rääkida muistsete stiilide või abstraktse algebralise või kategoorilise stiili kohta. Loogilises töös võib leida stiili esinemisi sellistes nimiväärtustes nagu 'piiskopi stiilis konstruktiivne matemaatika'. Raske on leida matemaatikute süstemaatilist arutelu stiili mõiste üle. Bieberbachi juhtumit mainiti eespool, kuid stiilinäidete kohta, mida ta esitas, ei esitatud üksikasjalikku arutelu,osaliselt seetõttu, et neid on nii keerutatud tema sooviga toetada tema ideoloogilist vaatenurka, et on põhjust kahelda, kas tema juhtumianalüüside analüüsimisel oleks inimesele palju kasu.
Huvitav kaastöö on Claude Chevalley 1935. aasta artikkel pealkirjaga „Variatsioonid du style mathématique”. Chevalley peab stiili olemasolu enesestmõistetavaks. Ta alustab järgmiselt:
Matemaatiline stiil, nagu ka kirjanduslik stiil, mõjutab olulisi kõikumisi ajaloolisel ajastul teisele üleminekul. Kahtlemata omab iga autor individuaalset stiili; kuid võib märgata ka igas ajaloolises vanuses üldist kalduvust, mis on üsna hästi äratuntav. Seda stiili mõjutavad võimsate matemaatiliste isiksuste mõjul aeg-ajalt pöörded, mis tõmbavad kirjutamist ja on seega mõelnud järgmistele perioodidele. (Chevalley 1935, 375)
Chevalley ei üritanud aga kajastada siinse stiili mõistet. Pigem tahtis ta näidata olulise näite abil kahe matemaatika tegemise stiili vahelise ülemineku tunnuseid, mis olid iseloomustanud üleminekut XIX sajandi matemaatikast kahekümnenda sajandi lähenemistele. Esimene stiil, mida Chevalley kirjeldas, on Weierstrassian stiil, 'ε stiil'. Ta leiab, et selle „raison d'être” on vajalik täpsustada kalkuleid, eemaldudes sellistest mõistetest nagu „lõpmata väike kogus” jne. pindade teooriad, Lagrangia võrrandid mehaanikas jne) viisid kriitilise analüüsini
algebralise-analüütilise raamistiku kohta, mille ees nad leidsid; ja just selle kriitilise uurimise tulemusel tekkis täiesti uus matemaatiline stiil. (Chevalley 1935, 377)
Chevalley jätkas Weierstrassi tõttu pideva mitte kuskil eristatava funktsiooni avastamist kui selle revolutsiooni kõige olulisemat elementi. Kuna Weierstrassi funktsiooni võib anda üsna normaalse välimusega Fourier-laiendusena, ilmnes, et paljud matemaatika meeleavaldused eeldasid sulgemistingimusi, mis tuli rangelt paika panna. Weierstrassi määratletud piiri mõiste oli võimas vahend, mis sellist uurimist võimaldas. Weierstrassi ja tema järgijate teostatud analüüsi rekonstrueerimine osutus mitte ainult põhimõtteliselt edukaks, vaid ka matemaatiliselt viljakaks. Chevalley jõuab selle stiili iseloomustamiseni järgmiselt:
Selle kooli matemaatikute poolt Weierstrassist tingitud piiride määratluse kasutamist on märgata nende kirjutiste välisilmes. Esiteks, mitmesuguste indeksitega varustatud “ε” intensiivsel ja kohati ebavajalikul kasutamisel (see on põhjus, miks me eespool rääkisime “ε” stiilist). Teiseks, võrdsuse järkjärgulisel asendamisel ebavõrdsusega nii demonstratsioonides kui ka tulemustes (lähendusteoreemid; ülemise piiri teoreemid; suurendamise teooria jne). Viimane aspekt hõivab meid, sest see paneb meid mõistma põhjuseid, mis sundisid Weierstrassi mõtteviisist üle saama. Tõepoolest, kui võrdsus on matemaatiliste olendite jaoks tähenduslik seos, saab ebavõrdsust rakendada ainult nende objektide suhtes, mis on varustatud järjekorra suhtega,praktiliselt ainult reaalarvudel. Sel viisil juhiti üks kogu, et kogu analüüs hõlmata, rekonstrueerida see täielikult reaalarvudest ja reaalarvu funktsioonidest. (Chevalley 1935, 378–379)
Sellest lähenemisviisist võiks välja ehitada ka keeruliste numbrite süsteemi kui reaalarvu ja tühikute punktid n-mõõtmetes n-kordustena. Jäi mulje, et matemaatikat saab ühendada reaalarvudest lähtuvate konstruktiivsete määratluste abil. Kuid asjad läksid teisiti ja Chevalley üritab aru saada põhjustest, mis viisid sellest “konstruktiivsest” lähenemisest loobuma aksiomaatilise lähenemise kasuks. Erinevad algebralised teooriad, näiteks rühmateooria, tekitasid seoseid, mida ei olnud võimalik reaalarvudest lähtudes üles ehitada. Veelgi enam, keeruliste arvude konstruktiivne määratlus oli samaväärne suvalise referentssüsteemi fikseerimisega ja sellega anti neile objektidele omadused, mis varjasid nende tegelikku olemust. Teisalt oli tuttav Hilberti geomeetria aksiomatization, mis,kuigi range, ei omanud see konstruktiivsete teooriate kunstlikkust. Sel juhul üksusi ei konstrueerita, vaid määratletakse pigem aksioomide kaudu. See lähenemisviis arenes selleks, et mõjutada analüüsi ennast. Chevalley mainis Lebesgue'i integraali teooriat, mis saadi esmalt määratledes, milliseid omadusi integraal peab vastama, ja näidates seejärel, et eksisteerib domeen objekte, mis neid omadusi rahuldavad. Sama ideed kasutas ka Frechet, pannes paika omadused, mis pidid iseloomustama piiri toimimist, jõudes seega topoloogiliste ruumide üldteooriani. Teine näide, mida Chevalley mainis, on Steinitzi poolt 1910. aastal antud väljateooria aksiomatization. Chevalley järeldas, etSel juhul üksusi ei konstrueerita, vaid määratletakse pigem aksioomide kaudu. See lähenemisviis arenes selleks, et mõjutada analüüsi ennast. Chevalley mainis Lebesgue'i integraali teooriat, mis saadi esmalt määratledes, milliseid omadusi integraal peab vastama, ja näidates seejärel, et eksisteerib domeen objekte, mis neid omadusi rahuldavad. Sama ideed kasutas ka Frechet, pannes paika omadused, mis pidid iseloomustama piiri toimimist, jõudes seega topoloogiliste ruumide üldteooriani. Teine näide, mida Chevalley mainis, on Steinitzi poolt 1910. aastal antud väljateooria aksiomatization. Chevalley järeldas, etSel juhul üksusi ei konstrueerita, vaid määratletakse pigem aksioomide kaudu. See lähenemisviis arenes selleks, et mõjutada analüüsi ennast. Chevalley mainis Lebesgue'i integraali teooriat, mis saadi esmalt määratledes, milliseid omadusi integraal peab vastama, ja näidates seejärel, et eksisteerib domeen objekte, mis neid omadusi rahuldavad. Sama ideed kasutas ka Frechet, pannes paika omadused, mis pidid iseloomustama piiri toimimist, jõudes seega topoloogiliste ruumide üldteooriani. Teine näide, mida Chevalley mainis, on Steinitzi poolt 1910. aastal antud väljateooria aksiomatization. Chevalley järeldas, etChevalley mainis Lebesgue'i integraali teooriat, mis saadi esmalt määratledes, milliseid omadusi integraal peab vastama, ja näidates seejärel, et eksisteerib domeen objekte, mis neid omadusi rahuldavad. Sama ideed kasutas ka Frechet, pannes paika omadused, mis pidid iseloomustama piiri toimimist, jõudes seega topoloogiliste ruumide üldteooriani. Teine näide, mida Chevalley mainis, on Steinitzi poolt 1910. aastal antud väljateooria aksiomatization. Chevalley järeldas, etChevalley mainis Lebesgue'i integraali teooriat, mis saadi esmalt määratledes, milliseid omadusi integraal peab vastama, ja näidates seejärel, et eksisteerib domeen objekte, mis neid omadusi rahuldavad. Sama ideed kasutas ka Frechet, pannes paika omadused, mis pidid iseloomustama piiri toimimist, jõudes seega topoloogiliste ruumide üldteooriani. Teine näide, mida Chevalley mainis, on Steinitzi poolt 1910. aastal antud väljateooria aksiomatization. Chevalley järeldas, etTeine näide, mida Chevalley mainis, on Steinitzi poolt 1910. aastal antud väljateooria aksiomatization. Chevalley järeldas, etTeine näide, mida Chevalley mainis, on Steinitzi poolt 1910. aastal antud väljateooria aksiomatization. Chevalley järeldas, et
Teooriate aksiomatization on tänapäevaste matemaatiliste kirjutiste stiili väga sügavalt muutnud. Esiteks tuleb iga saadud tulemuse kohta alati välja selgitada, millised on selle kindlakstegemiseks hädavajalikud omadused. Sellega saab tõsiselt tegeleda sellise tulemuse minimaalse demonstreerimise probleemiga ja selleks tuleb täpselt määratleda, millises matemaatikavaldkonnas see töötab, nii et lükataks tagasi sellele valdkonnale võõrad meetodid, kuna viimased on toob tõenäoliselt kasutusele kasutud hüpoteesid. (Chevalley 1935, 382)
Veelgi enam, teatud toimingute jaoks ideaalselt sobivate domeenide moodustamine võimaldab vaadeldavatel objektidel kehtestada üldisi teoreeme. Nii saab lõpmatuseta analüüsi toiminguid iseloomustada küll algebraliselt, kuid ilma ühegi naiivsuseta, mis oli iseloomustanud eelnevaid algebralisi lähenemisviise.
Chevalley artikkel on kaasaegse matemaatiku väärtuslik allikas stiili teemal. Ta näitab jõuliselt erinevust XIX sajandi lõpu analüüsi aritmeerimise ja XX sajandi alguse aksiomaatilis-algebralise lähenemise vahel. Sellel on siiski oma piirangud. Stiili mõiste iseenesest pole temaatiline ja pole selge, kas konkreetsete ajaloosündmuste selgitamiseks esitatud omadused võivad pakkuda üldisi vahendeid muude matemaatilises stiilis üleminekute analüüsimiseks. Kuid võib-olla peaks see, kui üldse, olema matemaatikafilosoofi ülesanne (Chevalley stiilikäsitluse üksikasjalikku analüüsi leiate Rabouin 2017).
5. Stiili koht
Hispaania filosoof Javier de Lorenzo üritas oma raamatus pealkirjaga „Introducción al estilo matematico” (1971) kirjutada matemaatika ajalugu (mis on küll osaliselt) stiili osas. Ehkki 1971. aastaks oli Grangeri teos, mida arutatakse 5. osas, juba ilmunud, polnud de Lorenzo sellest teadlik ja ainus allikas tema kasutatud stiili kohta on Chevalley artikkel. Tõepoolest, see raamat on lihtsalt Chevalley uurimuse laiendus, et hõlmata veel mitmeid matemaatika ajaloos ilmunud stiile. De Lorenzo uuritud matemaatiliste stiilide loetelu on järgmine:
Geomeetriline stiil;
Poeetiline stiil;
Cossic stiil;
Descartes-algebraline stiil;
Jagamatute stiil;
Tööstiil;
Epsiloni stiil;
Sünteetilised vs analüütilised stiilid geomeetrias;
Aksiomaatiline stiil;
Ametlik stiil.
Üldine ülesehitus tuletab meelde palju Chevalley lähenemisviisi ja de Lorenzo raamatus võiks asjata vaadata, kas stiil on rahuldav. On tõsi, et keele rolli kohta stiili määramisel on huvitavaid tähelepanekuid, kuid puudub üldine filosoofiline analüüs. Chevalley ja de Lorenzo kohtlemise osas tuleb siiski rõhutada olulist punkti, mis näib osutavat „stiili” kasutamise olulisele tunnusele matemaatikas.
Jean Gayon kirjeldab oma artiklis “De la catégorie de style en histoire des sciences” (Gayon 1996) ja hilisemas Gayon 1999 erinevaid stiili tavasid teaduse historiograafias kahe leeri vahel (teatud viisil) ta järgib siin 1992. aasta häkkimist). Esiteks kasutatakse „teaduslikku stiili” nende jaoks, kes järgivad „teaduse kohalikku ajalugu”. Tavaliselt keskendub seda tüüpi analüüs kohalikele rühmadele või koolidele või rahvastele. Näiteks vähendab seda tüüpi ajalugu teadmiste universaalset komponenti ja rõhutab raskusi, mis on seotud katsete teisaldamisega ühest keskkonnast teise. Näib, et sellised raskused sõltuvad „kohalikest” traditsioonidest, mis hõlmavad spetsiifilist tehnilist ja teoreetilist oskusteavet, mis on „põhiline rajamisel, realiseerimisel,ning nende katsete tulemuste analüüsimine”(Corry 2004b) Teiseks on kasutatud„ teaduslikku stiili”, mida on näitlikustatud sellistes teostes nagu Crombie 1994. aasta„ Teadusliku mõtlemise stiilid Euroopa traditsioonis”. Crombie loetleb järgmised teadusstiilid:
keerukate tuvastatavate suhete eksperimentaalne uurimine ja mõõtmine
hüpoteetiline modelleerimine
sordi tellimine võrdluse ja taksonoomia järgi
- populatsioonide statistiline analüüs ja -
geneetilise arengu ajaloolised tuletised (tsiteeritud väljaandest Hacking 1996, 65)
Gayon märgib, et viimati nimetatud mõiste "stiil" võib asendada meetodiga ja "siin käsitletud stiilidel pole midagi pistmist kohalike stiilidega". Ta märgib ka, et kui rääkida kohalikest stiilidest, on selliste analüüside sotsioloogiliseks toeks rühmad, mis on kas uurimisrühmad või rahvad. Eksperimentaalteaduste lähiajaloos on sellistele kohalikele teguritele suurt rõhku pandud (vt näiteks Gavroglu 1990 kahe madala temperatuuri laboratooriumi, Dewari (London) ja Kamerlingh Onnesi (Leiden) põhjendusstiilide kohta.)).
Matemaatika ajaloolased üritavad nüüd selliseid historiograafilisi lähenemisviise rakendada ka puhta matemaatika suhtes. Hiljutine katse selles suunas on Epple 'episteemiliste koosseisude' töö, näiteks tema hiljutine artikkel Aleksandri ja Reidemeistri varasema töö kohta sõlmeteoorias (Epple 2004; vt ka Rowe 2003 ja 2004 ning Epple 2011). Selliste uurimiste tugirühmi ei nimetata koolideks, vaid pigem matemaatiliste traditsioonide või matemaatiliste kultuurideks.
Kuidas on lood à la Crombie 'metoodilise' stiilimõistega? Kas matemaatika ajaloolased on seda palju kasutanud? Peale arvukate esimese stiili töötluste (aksiomaatiline meetod) pole selles valdkonnas palju, kuid huvitavaks ajalooliseks panuseks on Goldsteini teos Frenicle de Bessy (2001) kohta. Ta väidab, et puhtal matemaatikal, mida praktiseeris Frenicle de Bessy, oli palju ühist eksperimentaalteaduse bakoonia stiiliga. Võib-olla tuleks siinkohal mainida, et eksperimentaalne matemaatika on nüüd õitsev väli, mis võib varsti leida oma ajaloolase (vt Baker 2008 eksperimentaalse matemaatika filosoofilise ülevaate kohta ja Sørensen 2016 matemaatiliste kultuuride analüüsi kohta). See kipub olema filosoofide jaoks väga huvipakkuv teema, kuna see puudutab matemaatilise meetodi küsimusi. Probleemi saab lihtsalt sõnastada järgmiselt: lisaks sellele, mida Crombie nimetab metoodiliseks stiiliks (a) [aksiomaatiline], milliseid muid stiile matemaatikapraktikas rakendatakse? Corfield 2003 puudutab seda probleemi oma raamatu “Päris matemaatika filosoofia poole” sissejuhatuses, kui ta, viidates ülaltoodud Crombie loendile:
Häkkimine kiidab Crombie lisamist punkti a kui matemaatika taastamist teadustele (häkkimine 1996) pärast loogiliste positivistide eraldamist ja laiendab selle stiilide arvu kahele, lubades India ja Araabia matemaatika algoritmilist stiili. Olen selle argumendiga rahul, eriti kui see takistab matemaatikat kui tegevust, mis on täiesti erinev kõigist teistest. Tõepoolest, matemaatikud tegelevad ka stiilidega (b) (vt 3. peatükk), c) ja d) [7] ning sarnaselt e) analüüsivad matemaatikud praegu Riemann zeta funktsiooni nullide statistikat. (Corfield 2003, 19)
Lisas 7 mainib Corfield John Thompsoni kommentaari, et piiratud lihtsate rühmade klassifitseerimine on harjutus taksonoomias.
Selle essee eesmärk ei ole käsitleda laias laastus küsimusi, mis tulenevad eelmistest tsitaatidest. Kuid tuleb rõhutada, et need küsimused kujutavad endast värsket ja stimuleerivat territooriumi matemaatika kirjeldava epistemoloogia jaoks ja et selles suunas on juba mõnda tööd tehtud (vt Etcheverría 1996; van Bendegem 1998; Baker 2008).
Lõpuks, kuidas kokku panna “kohalik” ja “metoodiline” stiil koos sellega, mida leidub Chevalley ja de Lorenzo? Matemaatika osas on kindlaid tõendeid selle kohta, et kõige loomulikum „stiilide” koht langeb nende kahe kategooria vahele. Laialdaselt lähevad matemaatilised stiilid kaugemale igast kohalikust kogukonnast, mis on määratletud sotsioloogiliselt lihtsamalt (rahvus), otsene kuulumine kooli jne) ja on sellised, et tugirühma saab iseloomustada ainult konkreetse uurimismeetodi abil. Teisest küljest ei ole meetod nii universaalne, et oleks tuvastatav ühena kuuest meetodist, mida kirjeldas Crombie või Hackingi esitatud laiendatud loend. Siin on mõned võimalikud näited, kus igale positsioonile lisatud nimed ei tohiks lugejat eksitada mõeldes, et tegemist on üksnes “individuaalsete” stiilidega.
Otsene vs kaudne tehnika geomeetrias (Cavalieri ja Torricelli vs. Archimedes)
Algebraline ja geomeetriline lähenemine analüüsimisel XVII ja XVIII sajandil (Euler vs. McLaurin)
Geomeetriline vs analüütiline lähenemisviis kompleksanalüüsis XIX sajandil (Riemann vs Weierstrass)
Kontseptuaalsed vs arvutuslikud lähenemised algebralises arvuteoorias (Dedekind vs. Kronecker)
struktuursed vs intuitiivsed stiilid algebralises geomeetrias (saksa kool vs itaalia kool)
Muidugi võib lihtsalt juhtuda, et ka ajaloos ja teadusfilosoofias on stiili “keskmised” tasemed, mida siin kirjeldatakse (üks näide, mis meelde tuleb, on “Newtoni stiil” matemaatilises füüsikas), kuid asjaolu, et Jean Gayon ei tuvastanud neid keskseks, näib osutavat tõsiasjale, et olukord ajaloos ja matemaatikafilosoofias on üsna erinevad, kuna need „vahepealsed” stiilid on need, mida on põhjalikumalt käsitletud ja mis vastavad analüüsitud stiilidele autorid Chevalley ja de Lorenzo. Lisaks kipuvad kohalike matemaatiliste kultuuride arutelud toimuma ilma stiili mõisteta.
6. Stiili epistemoloogia poole
Stiili epistemoloogia probleemi võib ehk laias laastus kokku panna järgmiselt. Kas matemaatilises diskursuses esinevatel stiililistel elementidel puudub tunnetuslik väärtus ja seega on matemaatilise diskursuse värvimisest vaid osa või saab neid vaadelda kui selle kognitiivse sisuga tihedamalt seotud? Värvimise idee pärineb Frege'ilt, kes eristas jaotises "Mõte" väite tõesuse tingimust nende väite aspektide vahel, mis võivad anda teavet kõneleja või kuulaja meeleseisundi kohta, kuid mis ei aita kaasa selle tõesuse tingimustele. Looduslikus keeles on tüüpilised värvinguelemendid kahetsusvormid, näiteks “kahjuks”. “Kahjuks sajab lund” on samad tõetingimused kui “lund sajab” ja esimeses lauses on “kahjuks” vaid osa värvimisest. Jacques ja Monique Dubucs on selle eristamise üldistanud tõenditele raamatus “La couleur des preuves” (Dubucs ja Dubucs 1994), kus nad käsitlevad “matemaatika retoorika” probleemi, mis on üsna sarnane stiilianalüüsi probleemiga. Kui dubleerida traditsioonilist retoorikat kui „resitualisti”, kuna see võtab arvesse ainult matemaatilise teksti mittekognitiivse tähendusega nähtusi, nagu näiteks ornamentika jne, kuid jätab objekti (näiteks meeleavalduse sisu) puutumata, uurisid nad võimalusi ambitsioonikam “matemaatika retoorika”.kuna see võtab arvesse ainult matemaatilise teksti mittekognitiivse tähendusega nähtusi, nagu näiteks ornamentika jne, kuid jätab objekti (näiteks meeleavalduse sisu) puutumata, uurisid nad võimalusi ambitsioonikamaks “matemaatika retoorikaks”.kuna see võtab arvesse ainult matemaatilise teksti mittekognitiivse tähendusega nähtusi, nagu näiteks ornamentika jne, kuid jätab objekti (näiteks meeleavalduse sisu) puutumata, uurisid nad võimalusi ambitsioonikamaks “matemaatika retoorikaks”.
Nii saab hakata sõnastama esimest seisukohta, mida saab kaitsta stiili epistemoloogilise tähtsuse osas. See on seisukoht, mis eitab stiili mis tahes olulist tunnetuslikku rolli ja taandab selle subjektiivse värvimise nähtuseks. Selle seisukoha kohaselt paljastaks stiililised variatsioonid üksnes pealiskaudsed väljenduserinevused, mis jätavad diskursuse sisu puutumata.
Stiili tunnetusliku sisu osas on kirjanduses kaitstud veel kaks ambitsioonikat seisukohta. Esimene näib olevat ühilduv matemaatika platonismi või realismiga, teine on sellele kindlasti vastu. Peetakse silmas kahte peamist kirjanduses pakutavat ettepanekut, nimelt Grangeri 1968 ja Hackingi 1992 ettepanekut, mida nüüd lühidalt kirjeldatakse.
Grangeri stiilifilosoofia essee (Essai d'une philosophie du style 1968) on kõige süstemaatilisem ja põhjalikum töö matemaatika stiiliteooria väljatöötamiseks. Grangeri programm on nii ambitsioonikas ja rikkalik, et tema raamatu struktuuri ja üksikasjalike analüüside põhjalikuks arutamiseks oleks vaja juba iseenesest paberit. Ruumi piiratuse tõttu on siin eesmärk anda vaid umbkaudne ettekujutus projektist ja näidata, et Gangeri kaitstud stiili epistemoloogiline roll on kooskõlas matemaatiliste olemite või struktuuride realismiga.
Grangeri eesmärk on analüüsida „teaduspraktikat”. Ta määratleb praktika kui „tegevust, mida vaadeldakse selle keeruka konteksti ja eriti sotsiaalsete tingimuste kaudu, mis annavad sellele tähenduse tõhusalt kogetud maailmas (vécu)“(1968, 6). Teadus, mida ta määratleb kui „nähtuste abstraktsete, järjepidevate ja tõhusate mudelite konstrueerimist” (13). Seega on teaduslikul praktikal nii “universaalne” või “üldine” kui ka “individuaalne” komponent. Teadusliku praktika analüüs nõuab vähemalt kolme tüüpi uuringuid:
Teatud nähtuse struktureerimiseks mudelite abil on palju võimalusi; ja samu mudeleid saab rakendada erinevate nähtuste jaoks. Veelgi enam, teaduslikud konstruktsioonid, sealhulgas ka matemaatilised, näitavad teatud „struktuurilist ühtsust”. Mõlemad aspektid on stiilianalüüsi teema.
Teine uurimine on seotud „teadusliku iseloomuga”, mille eesmärk on uurida psühholoogilisi komponente, mis on olulised teadusliku praktika individualiseerimisel;
Kolmas uurimine on seotud teaduse loomise "situatsiooni" uurimisega, mis paikneb alati ruumis ja ajas.
Kõik kolm aspekti on vajalikud teadusliku praktika analüüsimiseks, kuid Granger keskendub oma raamatus ainult 1. Kust tulevad stiil ja matemaatika? Matemaatika on üks uurimisalasid, mida saab uurida loodusteaduste stilistilise analüüsiga (Grangeri raamat pakub rakendusi mitte ainult matemaatikale, vaid ka keeleteaduse ja sotsiaalteadustele). Aga stiil? Grangeri sõnul saab iga sotsiaalset praktikat uurida stiili seisukohast. See hõlmab poliitilist tegevust, kunstilist loomingut ja teaduslikku tegevust. Seega eksisteerib üldine stilistika, mis püüab tabada selliste tegevuste kõige üldisemaid stiililisi tunnuseid ja seejärel rohkem “kohalikke” stilistilisi analüüse, näiteks seda, mille Granger pakkus teaduslikuks tegevuseks. Ilmseltsiinkohal viidatud stiilimõiste peab olema palju ulatuslikum kui see, mida tavaliselt selle terminiga seostatakse, ja tõepoolest selline, mis rakenduks sellistele valdkondadele nagu poliitiline tegevus või teaduslik tegevus mitte ainult metafooriline, vaid pigem "sümpaatne" sellisele tegevusele.
Grangeri matemaatilise stiili analüüs võtab arvesse tema raamatu 2., 3. ja 4. peatükki. 2. peatükis käsitletakse eukleidilist stiili ja ulatuse mõistet; 3. peatükk, vastuseis 'Cartesiuse stiili ja Desarguiani stiili' vahel (kartesiuse stiilis vt ka Rabouin 2017); 4. peatükk käsitleb „vektoriaalse stiili sündi”. Kõigi nende analüüside keskmes on mõiste „geomeetriline suurus”.
Grangeril on hea tunne, kui vaadata lihtsalt näidet, mida ta eessõnas kirjeldab. See on näide keerukate arvude kohta.
Stiil on Grangeri sõnul viis elamuse ülesehitamiseks. Siinkohal tuleb võtta kogemus, et minna kaugemale empiirilisest kogemusest. Üldiselt pole selline kogemus, millele matemaatik apelleerib, empiirilisi. Sellest kogemusest pärinevad “intuitiivsed” komponendid, mis on üles ehitatud matemaatilises tegevuses. Kuid ei tohiks arvata, et eksisteerib „intuitsioon”, millele, nii nagu see oli väliselt, kehtib vorm. Matemaatiline tegevus loob teatud kogemuse taustal samal ajal vormi ja sisu.
Stiil näib meile siin ühelt poolt moodusena teooria mõistete tutvustamiseks, nende ühendamiseks, ühendamiseks; ja teiselt poolt viisina piiritleda seda, milline intuitsioon aitab nende mõistete määratlemisele kaasa. (Granger 1968, 20)
Näitena toob Granger kolm numbrit kompleksarvude tutvustamiseks; kõigil kolmel viisil võetakse arvesse struktuurseid omadusi, mis iseloomustavad kõnealust algebralist struktuuri. Esimene viis tutvustab keerulisi numbreid trigonomeetrilise kujutamise abil nurkade ja suundade abil. Teine tutvustab neid kui vektoritele rakendatavaid operaatoreid. Esimesel juhul määratletakse kompleksarv arvuga reaalarvudena ja aditiivsed omadused on sel juhul kohesed. Seevastu teisel juhul võetakse kohe kasutusele multiplikatiivsed omadused. Kuid ja see on kolmas võimalus. Keerulisi numbreid saab tavaliste ruutmaatriksite abil ka sisestada. See viib keerukate numbrite nägemiseni polünoomide süsteemina x modulo x 2 +1.
Need erinevad viisid mõiste mõistmiseks, selle integreerimiseks operatiivsesse süsteemi ja selle seostamiseks mõne intuitiivse tähendusega - millest üks peab täpselt piiritlema - moodustavad need, mida me nimetame stiili aspektideks. On ilmne, et siin ei mõjutata mõiste struktuurset sisu, vaid mõiste qua-matemaatiline objekt eksisteerib identselt nende stiili mõjude kaudu. Kuid see pole alati nii ja me puutume kokku stiililiste seisukohtadega, mis nõuavad tõelisi kontseptuaalseid variatsioone. Alati muutub igal juhul kontseptsiooni orientatsioon selle või selle kasutuse, selle või selle laienduse suunas. Seega mängib stiil rolli, mis on võib-olla hädavajalik nii matemaatika sisemise arengu murrete kui ka selle seose osas konkreetsemate objektide maailmadega. (Granger 1968, 21).
Seega on Grangeri teoorias matemaatilised stiilid esitusviisid või matemaatiliste struktuuride haaramise viisid. Vähemalt mõnel juhul ei mõjuta need stiili mõjud matemaatilisi objekte ega struktuure, ehkki need mõjutavad kognitiivset režiimi, milles neid hoitakse, mõjutades seega seda, kuidas neid võidakse laiendada, rakendada erinevates valdkondades jne. Ehkki Granger võib-olla tunneb kantiismi ilma transtsendentaalse subjektita ja mõtleb seega stiilile kui konstitutiivsele, kuid tundub, et tema seisukoht on vähemalt matemaatiliste üksuste realismi vormiga kooskõlas. Ian Hackingi põhjustatud kolmanda ja viimase epistemoloogilise seisukoha arutamiseks ei näi see nii olevat.
Nagu varem märgitud, on Hacking teinud Crombie järel ettepaneku uurida stiili mõistet kui "uut analüütilist tööriista" ajaloo ja teadusfilosoofia jaoks. Tema eelistus on rääkida mõtlemisstiilidest (vt ka Mancosu 2005), mitte Flecki mõtteviisidest või Crombie mõtlemisstiilidest (tema viimase aja eelistuseks on rääkida „teadusliku mõtlemise ja tegemise stiilid”; Hackingi programmi kirjutamise ajal esitatud programmi kohta vaata Kusch 2010 ning ajaloo ja teadusfilosoofia uuringute erinumbrit (väljaanne 43, 2012), sealhulgas Hacking 2012 ja mitut muud kaastööd. Põhjus on see, et häkkimine soovib eemale liikuda mõttekäikude psühholoogilisest tasemest ja töötada argumentide 'objektiivsema' tasemega. Ta määratleb oma projekti otsesõnu Kanti projekti jätkuna, mille eesmärk on selgitada, kuidas objektiivsus on võimalik. Ja tõepoolest, Hackingi seisukoht lükkab ümber realismi ja omab stiili tugevalt moodustavat rolli. Hackingi sõnul määratletakse stiilid vajalike tingimuste kogumiga (ta ei ürita targalt piisavalt tingimusi luua):
Enne mõttekäigu kujundamist ei ole ühtegi lauset, mis oleks tõe kandidaat, ega iseseisvalt tuvastatud objekte, mille kohta oleks õige olla. Igal arutlusstiilil tuuakse sisse palju uusi uuendusi, sealhulgas uut tüüpi: objektid; tõendid; laused, uued tõe või vale kandidaatideks kandmise viisid; seadused või vähemalt kord; võimalusi. Vahel tuleks tähele panna ka uut tüüpi klassifikatsiooni ja uut tüüpi seletusi. (Häkkimine 1992, 11)
Peaks olema selge, et see stiilimõiste, nagu ka Grangeri mõiste, omistab stiilile kogu teadusliku tegevuse objektiivsuse alusena väga olulist rolli, kuid erinevalt Grangerist on see ontoloogiliselt pühendunud realismi tagasilükkamisele. Stiilid on olulised matemaatiliste objektide moodustamisel ja viimastel puudub neist sõltumatu eksisteerimise vorm. Hacking ei ole põhjalikult arutanud matemaatika ajaloo juhtumianalüüse, ehkki ühes tema artiklites (Hacking 1995) käsitletakse nelja matemaatika konstruktoristlikku pilti (sõna “constructionalism” on laenatud Nelson Goodmanilt) ja see näitab, kui hästi need sobivad tema pildiga 'mõtlemisstiilid'. Kaudselt on ka selge, et jõulisemalt pühendunud realistlikud seisukohad ei sobi hästi Hackingi arutluskäiguga.
Seega on vaadeldud kolme võimalikku mudelit „stiilide” epistemoloogilise rolli selgitamiseks matemaatikas. Kindlasti on veel palju võimalikke seisukohti, mis ootavad liigendamist, kuid siiani on see kõik, mida kirjandusest leida võib.
7. Järeldus
Nagu alguses viidatud, ei ole matemaatilise stiili teema matemaatikafilosoofia üks kanoonilisi uurimisvaldkondi. Tõepoolest, see sissekanne on esimene katse koondada sellesse teemasse mitmekülgsed kaastööd ühte dokumenti. Sellegipoolest peaks nüüdseks olema selge, et matemaatilise stiili kajastamine on kaasaegses filosoofilises tegevuses olemas ja väärib seda tõsiselt. Kuid töö alles algab. Vaja on veel palju matemaatiliste stiilide juhtumianalüüse ning stiili erinevate kontseptualiseerimiste põhjustatud epistemoloogiliste ja ontoloogiliste tagajärgede selgemat sõnastamist. Lisaks sooviksime näha kogu selle töö paremat integreerimist kognitiivseid stiile käsitleva tööga, mida leidub kognitiivses psühholoogias ja matemaatilises hariduses. Lõpuks, tavalised filosoofilised kastanid,samuti tuleks käsitleda vormi ja sisu suhet stiili ning stiili seost normatiivsuse ja tahtlikkusega (selliste teemade väga hea käsitluse kohta esteetikas vt Meskin 2005).
Bibliograafia
Baker, A., 2008, “Eksperimentaalne matemaatika”, Erkenntnis, 68: 331–344.
Bense, M., 1946, Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. Die Mathematik und die Wissenschaften, Hamburg: Claassen & Goverts. Nüüd Max Bense'is, Ausgewählte Schriften, Band 2, Philosophie der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik, Weimar: Verlag JB Metzler, Stuttgart, 1998 (vt ptk 2 “Stilgeschichte in der Mathematik”).
–––, 1949, Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. II. Die Mathematik in der Kunst, Hamburg: Claassen & Goverts. Nüüd Max Bense'is, Ausgewählte Schriften, Band 2, Philosophie der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik, Weimar: Verlag JB Metzler, Stuttgart, 1998 (vt ptk 1 “Zum Begriff des Stils”).
Bieberbach, L., 1934a, Kurzreferat, Forschungen und Fortschritte, 10: 235–237.
–––, 1934b, “Persönlichkeitsstruktur und Mathematics Schaffen”, Unterrichtblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, 40: 236–243.
–––, 1934c, “Stilarten mateischen Schaffens”, Sitzungsbericht der preußischen Akademie der Wissenschaften, 351–360.
Borromeo Ferri, R., 2005, Mathematische Denkstile. Ergebnisse einer empirische Studie, Hildesheim: Verlag Franzbecker.
Bottazzini, U., 2001, “Pariisist Berliinini: 19. sajandi matemaatika vastandatud pildid”, U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, (toim), 2001, lk 31–47.
Bottazzini, U., ja Dahan Dalmedico, A., (toim), 2001, Changing Images of Mathematics, London: Routledge.
Brigaglia, A., 2001, “Riiklike koolide loomine ja püsivus: Itaalia algebralise geomeetria juhtum”, U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, (toim), 2001, lk 187–206.
Casnati, G., et al. (toim), 2016, klassikast moodsa algebralise geomeetriani. Corrado Segre meistrikursus ja pärand, Cham: Birkhäuser.
Cavalieri, B., 1635, Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota, Bologna: Clemente Ferroni.
Chasles, M., 1837, Aperçu Historique sur l'Origine ja Le Méhodesment des Méthodes en Géométrie, Bruxelles: M. Hayez.
Chevalley, C., 1935, “Varianti du style mathématique”, Revue de Metaphysique et de Morale, 3: 375–384.
Corfield, D., 2003, tõelise matemaatika filosoofia poole, Cambridge: Cambridge University Press.
Corry, L., 2004a, Kaasaegne algebra ja matemaatilise struktuuri tõus, Basel: Birkhäuser; 2. väljaanne.
Corry, L., 2004b, “Sissejuhatus”, Teadus kontekstis, 17: 1–22.
Crombie, A., 1994, Teadusliku mõtlemise stiilid Euroopa traditsioonis, London: Duckworth.
de Gandt, F., 1986, “Leete mathématique des“Principia”de Newton”, Revue d'Histoire des Sciences, 39 (3): 195–222.
de Lorenzo, J., 1971, Introducción al estilo matematico, Madrid: Tecnos Editorial.
Dhombres, J., 1993, La figuur on diskomeetriline: stiilis fassaadid, Nantes: Nantes.
Dubucs, J. ja Dubucs, M., 1994, “La couleur des preuves”, artiklis V. de Coorebyter, (toim), Structures rhétorique en science, Pariis: PUF, lk 231–249.
Duhem, P., 1915, La Science Allemande, Pariis: Hermann. Ingliskeelne tõlge: German Science, Chicago: Carus Publishing, 2000.
Edwards, HM, 1987, “Dedekind's of ideaals” (Dedekind's találmány of ideaals), Phillips, E., Uuringud matemaatika ajaloos, Washington: Ameerika matemaatika assotsiatsioon, lk 8–20.
Elwick, J., 2007, Mõistmisstiilid Briti bioteaduses: Jagatud eeldused, 1820–1858, London: Pickering & Chatto.
Epple, M., 1997, “Argumentatsiooni stiilid 19. sajandi lõpu geomeetrias ja matemaatilise modernsuse struktuur”, M. Otte ja M. Panza (toim.), Analysis and Synthesis in Mathematics, Dordrecht: Kluwer, pp 177–198.
––– 2004, “Sõlmevariandid Viinis ja Princetonis 1920. aastatel: matemaatilise uurimistöö episteemilised koosseisud”, Science in Context, 17: 131–164.
–––, 2011, „Ajatu ja ajaloolisuse vahel: matemaatika episteemiliste objektide dünaamikast”, Isis, 102: 481–493.
Etcheverría, J., 1996, “Empiirilised meetodid matemaatikas. Juhtumianalüüs: Goldbachi oletused”, G. Munévar (toim), Hispaania uurimused teaduse filosoofias, Dordrecht: Kluwer, lk 19–55.
Fleck, L., 1935, Entstehung und Entwicklung einer wissenschaftlichen Tatsache. Einführung in die Lehre vom Denkstil ja Denkkollektiv, Basel: Schwabe. Ingliskeelne tõlge: Genesis and of a Scientific Fact (inglise keelde tõlkinud Frederick Bradley), Chicago: University of Chicago Press, 1979.
Fleckenstein, JO, 1955, “Stilprobleme des Barock bei der Entdeckung der Infinitesimalrechnung”, Studium Generale, 8: 159–166.
Freudenthal, H., 1975, Matemaatika kui õppeülesanne, Dordrecht: Reidel.
Gavroglu, K., 1990, “Stiilierinevused kui avastuskonteksti proovimise viis”, Philosophia, 45: 53–75.
Gayon, J., 1996, “De la catégorie de style en histoire des sciences”, Alliage, 26: 13–25.
––– 1998, J. Gayoni jt, „De l'usage'i mõiste, mis puudutab teaduse stiili ja ajaloo teadust“. (toim), La Rhétorique: Enjeux de ses Résurgences, Bruxelles: OUSIA, lk 162–181.
Goldstein, C., 2001, “L'expérience des nombres de Bernard Frenicle de Bessy”, Revue de Synthèse, 122: 425–454.
Granger, GG, 1968, Essai d'une philosophie du style, Pariis: Armand Colin, kordustrükk Pariisi parandustega: Odile Jacob.
––– 2003, „Le style mathématique de l'Académie platonicienne“, GG Granger, Philosophie, Langage, Science, Les Ulis: EDP Science, lk 267–294.
Gray, J., 2008, Platoni kummitus: Matemaatika modernistlik transformatsioon, Princeton: Princeton University Press.
Hacking, I., 1992, “Ajaloolaste ja filosoofide stiil”, Uuringud ajaloos ja teadusfilosoofias, 23: 1–20.
–––, 1995, „Immagini radikaliselt ajakohastatud lähenemisviis”, artiklis A. Pagnini, Realismo / Antirealismo, Firenze: La Nuova Italia, lk 59–92.
–––, 1996, “Teaduse erimeelsused”, P. Galison ja D. Stump, Teaduse disunity: piirid, kontekst ja jõud, Stanford: Stanford University Press, lk 37–74.
–––, 2002, ajalooline ontoloogia, Cambridge, MA: Harvard University Press.
–––, 2012, „Keel, tõde ja põhjus” 30 aastat hiljem”, ajaloo ja teaduse filosoofia uuringud, 43: 599–609.
Harwood, J., 1993, Teadusliku mõtte stiilid - Saksa geneetika kogukond, 1900–1933, Chicago: The University of Chicago Press.
Høyrup, J., 2005, “Tertium non datur: arutlusstiilide kohta varajases matemaatikas”, P. Mancosu jt. (toim.), visualiseerimine, selgitamine ja põhjendamine stiilides, Dordrecht: Springer, lk 91–121.
Katz, S., 2004, “Berliini juured-sionistlik kehastus: puhta matemaatika eetos ja Jeruusalemma Heebrea ülikooli Einsteini matemaatika instituudi algus”, Science in Context, 17: 199–234.
Klein, F., 1924, Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Ersteri bänd. Arithmetik, Algebra, analüüs, 3 rd väljaanne, Berlin: Julius Springer.
Kleinert, A., 1978, “Von der Science Allemande zur Deutschen Physik”, Forschungen zur westeuropäischer Geschichte, 6: 509–525.
Kusch, M., 2010, “Häkkimise ajalooline epistemoloogia: mõttekäikude kriitika”, uurimused ajaloos ja teadusfilosoofias, 41: 158–173.
Kwa, C., 2012, “Teadus- ja kunstistiilide“ökoloogiline”vaade: Alois Riegli stiilimõiste uurimine”, Studies in History and Science Philosophy, 43: 610–618.
Larvor, B. (toim.), 2016, Mathematical Cultures. Londoni kohtumised 2012–2014, Cham: Birkhäuser.
Laugwitz, D., 1993, Zur Genese des Denkens matemaatikas Begriffen: Bernhard Riemanns neuler Stil in der Analysis, Darmstadt.
Leibniz, GW, 1701, “Mémoire de hr Leibnizi puudutatud poja sentiment sur le calcul différentiel”, Journal de Trévoux, 270–272. Kordustrükis GW Leibniz, Mathematische Schriften (toimetanud CI Gerhardt), Hildesheim: Georg Olms, 1962, kd. IV, lk 95–96.
Maienschein, J., 1991, “Episteemilised stiilid Saksa ja Ameerika embrüoloogias”, Science Context, 4: 407–427.
Mancosu, P. (toim), 1998, Brouwerist Hilbertini, New Yorki ja Oxfordi: Oxford University Press.
Mancosu, P., et al. (toim), 2005, Matemaatika visualiseerimine, selgitamine ja põhjendamine, Dordrecht: Springer.
Mannheim, K., 1929, Ideologie und Utopie, Bonn: F. Cohen. Ingliskeelne tõlge: Ideoloogia ja utoopia: sissejuhatus teadmiste sotsioloogiasse, New York: Harcourt, Brace ja World, 1968.
Mehrtens, H., 1987, “Ludwig Bieberbach ja“Deutsche Mathematik””, ER Philipps, Matemaatika ajaloo uuringud, Washington: Ameerika matemaatika assotsiatsioon, lk 195–241.
–––, 1990a, “Der französische Stil und der deutsche Stil. Nationalismus, Nationalsozialismus und Mathematik, 1900–1940”, Y. Cohen ja K. Manfrass (toim), Frankreich ja Deutschland: Forschung, Technologie und industrielle Entwicklung im 19. und 20. Jahrhundert, München: CH Beck.
–––, 1996, “Modernism vs kontramodernism, natsionalism vs internatsionalism: stiil ja poliitika matemaatikas, 1900–1950”, C. Goldstein jt. (toim), L'Europe Mathématique. Histoires, Mythes, Identités, Éditions de la Maison de Sciences de l'Homme, Pariis, lk 519–530.
Meskin, A., 2005, "Stiil", B. podagra ja DM Lopes (toim.) The Routledge kaaslane esteetika, 2 nd trükk, London: Routledge, pp. 489-500.
Netz, R., 1999, Mahaarvamise kujundamine Kreeka matemaatikas, Cambridge: Cambridge University Press.
Novy, L., 1981, “Märkused Bolzano matemaatilise mõtlemise stiili kohta”, Acta Historiae Rerum Naturalium, mujal klassifitseerimata, mitte Technicarum, 16: 9–28.
Nye, MJ, 1993, “Rahvuslikud stiilid? Prantsuse ja inglise keemia üheksateistkümnendal ja varasel kahekümnendal sajandil”, Osiris, 8: 30–49.
Panofsky, E., 1924, idee, Berliin: Erwin Panofsky ja Bruno Hessling Verlag. Ingliskeelne tõlge: Idea, New York: Harper and Row, 1968.
Peckhaus, V., 2007, “Stilarten mateischen Schaffens”, K. Robering (toim), “Stil” den Wissenschaftenis, Münster: Nodus-Verlag, lk 39–49.
JH Poincaré, 1905, La Valeur de la Science, Pariis: Flammarion. Ingliskeelne tõlge: The Science of Science, New York: Dover Publications, 1958.
Rabouin, D., 2017, “Styles in the matemaatikapraktika”, K. Chemla ja E. Fox-Keller (toim.), Kultuurid ilma kultuurilisuseta teaduslike teadmiste loomisel, Durham: Duke University Press, lk 262–306.
Reck, E., 2009, “Dedekindlus, struktuursed mõttekäigud ja matemaatika mõistmine”, B. van Kerkhove (toim.), New Mathematical Practice of Practice, Singapore: WSPC Press, lk 150–173
Rowe, D., 2003, “Matemaatilised koolid, kogukonnad ja võrgustikud”, Cambridge Science of Science, kd. 5, Kaasaegsed füüsikalised ja matemaatikateadused, Mary Jo Nye (toim), Cambridge: Cambridge University Press, lk 113–132.
––– 2004, „Matemaatika tegemine suulises kultuuris: Göttingen Kleini ja Hilberti ajastul“, Science in Context, 17: 85–129.
Segal, S., 2003, Matemaatikud natside all, Princeton: Princeton University Press.
Sørensen, HK, 2016, “Tõenduse lõpp”? Erinevate matemaatiliste kultuuride integreerimine eksperimentaalse matemaatikana saab kätte vanuse saabudes”, B. Larvor (toim.), Mathematical Cultures. Londoni kohtumised 2012-2014, Cham: Birkhäuser, 2016, lk 139–160.
Spengler, O., 1918 (1921) Der Untergang des Abenlandes, Viin: Verlag Braumüller. Eestikeelne tõlge: Läände langus: vorm ja tegelikkus, 2 v., London: Allen ja Unwin.
Sternberg, RJ ja Grigorenko, EL, 2001, “Kapslite ajalugu teooriate ja stiiliuuringute kohta”, Sternberg ja Zhang 2001, lk 1–22.
Sternberg, RJ ja Zhang, LF (toim.), 2001, Mõtlemis-, õppimis- ja kognitiivsete stiilide perspektiivid, Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
Tappenden, J., 2005, “Tõestusstiil ja mõistmine matemaatikas I: visualiseerimine, ühendamine ja aksioomivalik”, Mancosu 2005, lk 147–214.
van Bendegem, JP, 1998, “Mis, kui üldse, on eksperiment matemaatikas?”, Anapolitanos, D. jt. (toim), filosoofia ja teaduse paljud näod, Lanham: Rowman ja Littlefeld, lk 172–182.
Weiss, EA, 1939, “Über den mateischen Stil von Poncelet”, Deutsche Mathematik, 4: 126–127.
Wessely, A., 1991, “stiili” ülekandmine kunstiajaloost teaduse ajaloole”, Science in Context, 4: 265–278.
Wisan, W., 1981, “Galileo ja uue teadusliku stiili teke”, Theory Change, Ancient Axiomatics and Galileo's Methodology, vol. 1, J. Hintikka, D. Gruender ja E. Agazzi (toim.), Dordrecht: Reidel, lk 311–339
Akadeemilised tööriistad
sep mehe ikoon
Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon
Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon
Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon
Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.
