Esmakordselt avaldatud teisipäeval 30. mail 2006; sisuline redaktsioon teisipäev, 6. september 2018
Tavaliste vaadete puhul on loogika üks eesmärke iseloomustada (ja anda meile praktilisi vahendeid eraldada) omapärast tõde, loogilisi tõdesid, mille paradigmaatilised näited on järgmised ingliskeelsed laused:
(1) Kui surm on halb ainult siis, kui elu on hea, ja surm on halb, siis on elu ka hea.
(2) Kui ükski soov pole vabatahtlik ja mõned veendumused on soovid, siis pole mõned veendumused vabatahtlikud.
(3) Kui Drasha on kass ja kõik kassid on salapärased, siis Drasha on salapärane.
Nagu selgub, on väga raske mõelda üldiselt aktsepteeritud ideedele, millised on või peaksid olema loogiliste tõdede üldised omadused. Laialt levinud, võib-olla üldtunnustatud idee on see, et loogilisi tõdesid muudest tõdedest eristama peaks see, et loogilistel tõdedel peaks olema veel täielikult mõistetav modaaljõud. Tüüpiline on seisukoht, et loogiline tõde ei saa mõnes mõttes või "võiks" mõttes olla vale või teise võimalusena peab loogiline tõde olema tõene. Kuid asjassepuutuva modaalsuse mõistmise osas on vähe või üldse mitte mingit kokkulepet.
Veel üks laialt levinud idee on see, et osa loogiliste tõdede eristamisest on see, et need peaksid olema mingis mõttes veel arusaadavad „formaalseks”. See, et loogiline tõde on formaalne, tähendab vähemalt seda, et ka kõik laused, mis sobivad selle loogilise vormi asendamiseks, on loogilised tõed. Selles kontekstis peaks lause (S) loogiline vorm olema kindel skeem, mille määrab kordumatult (S), skeem, mille (S) on asenduseksemplar ja millest laused koos (sama vorm nagu (S) on ka asendusjuhud. Vormil on vähemalt see omadus, et selles sisalduvad väljendid, mis ei ole skemaatilised tähed („loogilised avaldised”), on laialt kasutatavad diskursuse eri valdkondades. Formaalsuse ideega nõustuvate inimeste seas ollakse üksmeelel selles, et (1)(2) ja (3) oleksid vastavalt ((1 ')), ((2')) ja ((3 ')):
((1 ')) Kui (a) on (P) ainult siis, kui (b) on (Q) ja (a) on (P), siis (a) b) on (Q).
((2 ')) Kui no (Q) pole (R) ja mõni (P) on (Q) s, siis mõni (P) pole (R).
((3 ')) Kui (a) on (P) ja kõik (P) on (Q), siis (a) on (Q).
((1 ')), ((2')) ja ((3 ')) näivad põhjustavat loogilisi tõdesid tähtede „(a ()”, „ (b)”,“(P)”,“(Q)”ja“(R)”. Ja sellised väljendid nagu “kui”, “ja”, “mõned”, “kõik” jne, mis on paradigmaatilised loogilised väljendid, näivad olevat diskursuse eri valdkondades laialdaselt kasutatavad. Kuid ideed, et loogilised tõed on või peaksid olema formaalsed, ei aktsepteerita kindlasti üldiselt. Ja isegi nende seas, kes seda aktsepteerivad, on vähe kokkulepet selle osas, millised üldised kriteeriumid määravad suvalise lause vormi. [1]
Loogilise tõe tähelepanuväärne fakt on see, et paljud on pidanud usutavaks, et teatud rikaste vormindatud keelte loogiliste tõdede kogum on iseloomulik standardmatemaatika mõistete osas. Eelkõige on mõnes vaates seda tüüpi keele loogiliste tõdede komplekt alati keele lausetest, mis on tuletatav teatud arvutusest. Teiste, levinumate vaadete korral saab seda tüüpi keele loogiliste tõdede komplekti tuvastada lausete komplektiga, mis kehtivad teatud matemaatiliste tõlgenduste vahemikus (kus kehtivus on seotud, kuid erineb tingimusest, et kõik vastavad ka laused, mis on selle vormi asendavad esinemisjuhud; vt allpool, punkt 2.3). Varase matemaatilise loogika üks peamisi saavutusi oli just see, kuidas näidata tuletatavuse ja valiidsuse mõisteid standardse matemaatika mõistete osas. (Jaotised 2.2 ja 2.3 kirjeldavad tuletatavuse ja kehtivuse matemaatiliselt iseloomustatud mõisteid koos muude kannetega.)
Selle sissekande 1. osas kirjeldame väga laias laastus peamisi olemasolevaid seisukohti, kuidas mõista loogilise tõe jaoks olulisi modaalsuse ja formaalsuse ideid. (Nende vaadete üksikasjalikum käsitlus on esitatud teistes allpool nimetatud kirjetes, eriti analüütiliste / sünteetiliste eristuste ja loogiliste konstantide kirjetes.) 2. osas kirjeldame ka lühidalt konkreetset filosoofiliste probleemide kogumit, mis tekivad siis, kui mõelda loogilise tõe proovitud matemaatilistele iseloomustustele. Küsimus, kas need iseloomustused on õiged või mis mõttes, on seotud küsimusega, mis on või peaks olema meie konkreetne arusaam modaalsuse ja formaalsuse ideedest. [2]
1. Loogilise tõe olemus
1.1 Modaalsus
1.2 Formaalsus
2. Loogilise tõe matemaatiline iseloomustus
2.1 Vormistamine
2.2 Tuletisväärtus
2.3 Mudeliteoreetiline kehtivus
2.4 Adekvaatsuse probleem
2.4.1 Analüüs ja modaalsus
2.4.2 Laiendus: üldine argument
2.4.3 Laiendus: kõrgema astme keeled
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed
1. Loogilise tõe olemus
1.1 Modaalsus
Nagu me eespool ütlesime, näib olevat üldiselt aktsepteeritud, et kui loogilisi tõdesid üldse on, peaks loogiline tõde olema selline, et see ei saa olla vale või samaväärselt peaks see olema selline, et see peab olema tõene. Kuid nagu me ka ütlesime, puudub praktiliselt üksmeel asjakohase modaalsuse eripära osas.
Kui välja arvata need, kes lükkavad loogilise tõe mõiste täielikult tagasi, või need, kes selle aktsepteerimisega lükkavad loogilise vormi mõiste tagasi, on laialt levinud seisukoht, et vähemalt osa loogilise tõe modaalsest jõust on tingitud sellest, et see on konkreetne skemaatiliste tähtede võimalike väärtuste universaalse üldistuse juhtum „formaalsetes” skeemides nagu ((1 ') - (3 ’)). (Need väärtused võivad olla, kuid ei pea neid väljendama.) Mis on loogilise modaalsuse mõistmiseks ilmselt vanim viis, siis see modaaljõud tuleneb täielikult sellest omadusest: seega näiteks selle vaate kohta öelda, et (1) peab olema tõene võib tähendada ainult seda, et (1) on tõelise üldise üldistuse erijuhtum “Kõigile sobivatele (P), (Q), (a) ja (b), kui (a) on (P) ainult siis, kui (b) on (Q) ja (a) on (P), siis (b) on (Q)”. Ühest traditsioonilisest (kuid mitte vaieldamatust) tõlgendusest tuleb sel moel aru saada Aristotelese väitest, mille kohaselt peab sülogismose järeldus olema tõene, kui ruumid on tõesed. Kuupäevases Prior Analyticsi lõigus ütleb ta: „Sillogismos on kõne (logod), kus teatud asjad oletatavalt tingivad midagi muud kui asjad, mis tingivad vajaduse (ex anankes), sest nad on sellised“(24b18–20). Mõelge (2) kui sülogismose, milles "oletatavad asjad" on (2a) ja (2b) ja milles asi, mis "tingib vajaduse" (2c):teatud asjad oletatakse, et midagi muud peale asjade oletatavad tingivad vajaduse (ex anankes), sest nad on nii”(24b18–20). Mõelge (2) kui sülogismose, milles "oletatavad asjad" on (2a) ja (2b) ja milles asi, mis "tingib vajaduse" (2c):teatud asjad oletatakse, et midagi muud peale asjade oletatavad tingivad vajaduse (ex anankes), sest nad on nii”(24b18–20). Mõelge (2) kui sülogismose, milles “oletatavad asjad” on (2a) ja (2b) ja milles asi, mis “tingib vajaduse”, on (2c):
(2 a) Ükski soov pole vabatahtlik.
(2b) Mõned uskumused on soovid.
(2c) Mõned veendumused pole vabatahtlikud.
Kirjeldatud tõlgenduse kohaselt on Aristotelese seisukoht, et öelda, et (2c) tuletab vajaduse (2a) ja (2b) vajaduse tulemuseks öelda, et (2) on tõelise universaalse üldistuse "Kõigile sobivateks" (P), (Q) ja (R), kui (Q) pole (R) ja mõni (P) s on (Q) s, siis mõni (P) pole (R)”. Selle tõlgenduse kohta vt nt Aphrodisias Alexander, 208.16 (tsiteerinud Łukasiewicz 1957, §41), Bolzano (1837, §155) ja Łukasiewicz (1957, §5).
Paljudes muistsetes ja keskaegsetes loogikutes mõistetakse “kohustuslikke” väiteid üldiste üldistustena tegelike esemete kohta (isegi kui neid ei mõisteta alati “ametlike” skeemide universaalsete üldistustena). Eriti silmapaistev on Diodoruse seisukoht, et väide on vajalik igaks juhuks, kui see alati tõene on (vt Mates 1961, III, §3). Pange tähele, et see on mõttekas mõte, et (2) peab olema tõene, kuid ütleme näiteks, et inimesed vaatavad televiisorit. See võib olla vale, sest see lause ei olnud Diodoruse ajal tõsi. Diodoruse seisukoht näib olevat olnud väga levinud keskajal, kui autorid nagu William Sherwoodist ja Walter Burley näisid olevat alati mõistnud tingimuslike tingimuste (2) kui tõe tajutavat vajalikkust (vt Knuuttila 1982, lk 348–4). 9). Arusaam vajalikkusest kui igavik on sageli ka hilisemates autorites; vaata e.g., Kant, Puhta mõistuse kriitika, B 184. Aristotelese ja Diodorea mõtte mainitud tõlgenduse kasuks tuleks välja tuua, et sageli kasutame modaalseid positsioone, et rõhutada tinglike tagajärgi, mis tulenevad pelgalt universaalsetest üldistustest tegelik maailm, nagu näiteks osas "Kui gaasihinnad tõusevad, aeglustub tingimata majandus".
Paljud autorid on arvanud, et sellised vaated ei anna loogiliste tõdede modaalse impordi täielikku tuge. Tänapäeval on filosoofia ajaloos väga levinud, kuid (ilmselt) hilinenud seisukoht, et loogilise tõe vajalikkus ei tähenda üksnes seda, et mingid üldistused tegelike asjade kohta kehtivad, vaid ka seda, et tõde oleks olnud tõsi tervikuna mitmesugused vastuolulised asjaolud. Leibniz määras selle omaduse vajalikele tõdedele, nagu loogika ja geomeetria, ning näib, et ta oli üks esimesi, kes rääkis kontrafaktuaalsetest asjaoludest kui „võimalikest universumitest“või maailmadest (vt kiri Bourguet'ile, lk 572–3). oma seisukohtade karge avalduse jaoks, mis vastandub neile eelmise lõigu seisukohtadele; Knuuttila 1982, lk 353 jj.tuvastab Duns Scotose ja Buridani puhul kõige varasema läbipaistva kõne kontrafaktuaalsetest asjaoludest ja vajalikkusest, mida peetakse vähemalt tõde vihjavaks; vt ka sissekannet keskaja modaalsuse teooriate kohta). Kaasaegsetes kirjutistes on laialt levinud arusaam vajalikkusest kui tõest kõigis kontrafaktuaalsetes olukordades ja seisukoht, et loogilised tõed on selles mõttes vajalikud, ehkki paljud, võib-olla enamik autoreid, suhtuvad modaalsusesse “reduktivistlikult”, nähes, et kontrafaktuaalsetest asjaoludest räägitakse kui ainult varjatud jutt teatavatest aktuaalsetest (võib-olla abstraktsetest) üksustest, näiteks keelelised kirjeldused. Näib, et isegi Leibniz on mõelnud oma “võimalikest universumitest” jumala mõtetes. (Vaata selle ala tänapäevase poleemika sissejuhatust Lewis 1986.)))Kaasaegsetes kirjutistes on laialt levinud arusaam vajalikkusest kui tõest kõigis kontrafaktuaalsetes olukordades ja seisukoht, et loogilised tõed on selles mõttes vajalikud, ehkki paljud, võib-olla enamik autoreid, suhtuvad modaalsusesse “reduktivistlikult”, nähes, et kontrafaktuaalsetest asjaoludest räägitakse kui ainult varjatud jutt teatavatest aktuaalsetest (võib-olla abstraktsetest) üksustest, näiteks keelelised kirjeldused. Näib, et isegi Leibniz on mõelnud oma “võimalikest universumitest” jumala mõtetes. (Vaata selle ala tänapäevase poleemika sissejuhatust Lewis 1986.)Kaasaegsetes kirjutistes on laialt levinud arusaam vajalikkusest kui tõest kõigis kontrafaktuaalsetes olukordades ja seisukoht, et loogilised tõed on selles mõttes vajalikud, ehkki paljud, võib-olla enamik autoreid, suhtuvad modaalsusesse “reduktivistlikult”, nähes, et kontrafaktuaalsetest asjaoludest räägitakse kui ainult varjatud jutt teatavatest aktuaalsetest (võib-olla abstraktsetest) üksustest, näiteks keelelised kirjeldused. Näib, et isegi Leibniz on mõelnud oma “võimalikest universumitest” jumala mõtetes. (Vaata selle ala tänapäevase poleemika sissejuhatust Lewis 1986.)autorid võtavad kasutusele „reductivistlikud” modaalsuse vaated, mis näevad kontrafaktuaalsetest asjaoludest rääkimist vaid kui varjatud juttu teatavatest aktuaalsetest (võimalik, et abstraktsetest) elementidest, näiteks keelelised kirjeldused. Näib, et isegi Leibniz on mõelnud oma “võimalikest universumitest” jumala mõtetes. (Vaata selle ala tänapäevase poleemika sissejuhatust Lewis 1986.)autorid võtavad modaalsuse osas vastu “reductivistlikud” vaated, mis näevad kontrafaktuaalsetest asjaoludest rääkimist vaid kui varjatud juttu teatavatest aktuaalsetest (võimalik, et abstraktsetest) üksustest, näiteks keelelised kirjeldused. Näib, et isegi Leibniz on mõelnud oma “võimalikest universumitest” jumala mõtetes. (Vaata selle ala tänapäevase poleemika sissejuhatust Lewis 1986.)
Kuid näib, et isegi pärast Leibnizit ja kuni tänapäevani on paljud logistid vältinud pühendumist tugevale arusaamisele vajalikkusest kui tõest kõigis (tegelikes ja) vastuolulistes olukordades. Nii iseloomustab Bolzano kooskõlas oma eelpool mainitud Aristotelese tõlgendusega vajalikke väiteid kui neid, mille eitamine ei ühildu puhtalt üldiste tõdedega (vt Bolzano 1837, §119). Frege sõnul eristub apodiktlik kohtuotsus [st laias laastus see otsus, mille sisu algab ülejäänud sisu reguleeriva tekstiga „tingimata”], kuna see viitab universaalsete kohtuotsuste olemasolule, millest võib järeldada väite., kuigi väite korral puudub selline ettepanek”(Frege 1879, §4). Tarski on veelgi lähemal vaatele, mida tavaliselt omistatakse Aristotelesele,Sest on täiesti selge, et tema ütlus, et nt (2c) peab olema tõene, kui (2a) ja (2b) on tõsi, tähendab, et (2) on "ametliku" üldistuse "kõigi jaoks" erijuhtum sobivad (P), (Q) ja (R), kui (Q) pole (R) ja mõni (P) on (Q), siis mõni (P) ei ole (R)”(vt Tarski 1936a, lk 411, 415, 417 või vastavaid lõike Tarski 1936b; vt ka Ray 1996). Quine on tuntud oma modaalsuse selgesõnalise tagasilükkamise tõttu, mida ei saa mõista tegeliku maailma universaalsete üldistustega (vt eriti Quine 1963). Mõnel juhul seletatakse seda suhtumist usaldamatusega arusaamade suhtes, mis arvatakse olevat saavutanud täiesti auväärse teadusliku staatuse, nagu näiteks tugevad ümbersuunamised; sageli saadavad need autorid, kes on sageli praktiseerivad logistid,ettepanekuga iseloomustada loogilist tõde kehtivusliigina (allpool punkti 2.3 tähenduses).
Bealli ja Restalli (2000, 2006) hiljuti välja töötatud vaate põhjal, mida nad on nimetanud “loogiliseks pluralismiks”, seob loogilise tõe kontseptsioon idee, et loogiline tõde vastab tõele kõigis punktides või juhtumites.”Ja selle vajalikkus seisneb sellise üldise väite tõesuses (vt Beall ja Restall 2006, lk 24). Loogilise tõe kontseptsioon ei erista siiski ainulaadset „juhtumite” ringi, mis on mõiste laiendamise määramisel privilegeeritud; selle asemel on palju selliseid võrdselt vastuvõetavaid vahemikke ja vastavaid laiendusi, mille võib valida kontekstihuvide funktsioonina. See tähendab, et loogilise pluralisti jaoks on paljudel komplektidel õigus nimetada neid “loogiliste tõdede kogumiks” (ja “loogiliste vajaduste kogumiks”), igaüks sobivas kontekstis. [3](Vt loogilise pluralismi sissejuhatust.) Rumfitti (2015) pakutud loogilise vajaduse üldisuse liigi veel ühe hiljutise mõistmise kohaselt seisneb loogilise tõe vajalikkus selles, et see on kasutatav kõigis subjektipõhistes viisides. implikatsioonide joonistamine (tingimusel et need komplektid vastavad teatud struktuurieeskirjadele); või laiemalt öeldes lihtsalt selle rakendatavuses, olenemata sellest, mis laadi arutluskäik kaalul on. Sellel seisukohal pole jällegi vaja loogilise tõe modaalsuse sisulisemat mõistmist. Võib märkida, et ehkki ta postuleerib mitmesuguseid subjektispetsiifilisi implikatsioonisuhteid, lükkab Rumfitt tagasi loogilise tõe pluralismi Bealli ja Restalli tähenduses (vt tema 2015, lk 56, n. 23.), ja arvab tegelikult et loogiliste tõdede kogumit iseloomustab standardne klassikaline loogika.
Veel üks mõte, milles arvatakse, et tõed nagu (1) - (3) ja loogilised tõed, mis üldiselt ei saa olla valed või peavad olema tõesed, on episteemilised. See on vana tähelepanek, ulatudes vähemalt Platonini, et mõned tõed loevad meile intuitiivselt teada isegi juhul, kui meil ei näi nende jaoks olevat empiirilisi aluseid. Mitte-empiirilistel alustel teada olevaid tõdesid nimetatakse a priori (väljend, mida hakatakse selle tähendusega kasutama umbes Leibnizi ajal; vt nt tema „Primæ Veritates”, lk 518). Näidetena on toodud matemaatika aksioomid ja teoreemid, leksikograafilised ja tinglikud definitsioonid ning ka paradigmaatilised loogilised tõed. Kui aktsepteeritakse, et loogilised tõed on a priori,on loomulik arvata, et need peavad olema tõesed või ei tohiks olla vähemalt osaliselt valed, kuna nende negatiivsused ei ühildu sellega, mida me suudame mitte empiiriliselt teada.
Eeldades, et sellised a priori teadmised on mingil või teisel viisil olemas, on palju hiljutisi filosoofiaid kasutanud küsimuses, kuidas see võimalik on. Üks traditsiooniline (ratsionalistlik) seisukoht on, et mõistus on varustatud erilise võimega tajuda tõdesid läbi puhaste ideede või kontseptsioonide seoste uurimise ning et selle võime korrektse toimimise kaudu jõutud tõed loetakse a priori teada. (Vt nt Leibnizi „Discours de Métaphysique”, §§ 23 jj; Russell 1912, lk 105; BonJour 1998 on väga hiljutine näide sellisest vaatepildist.) Vastupidine traditsiooniline („empiiriline”) vaade on et selle võime postuleerimiseks pole põhjust ega isegi põhjust seda mitte postuleerida, näiteks et see on “salapärane”. (Vt sissekannet ratsionalismi ja empirismi kohta.) Mõned filosoofid, empiristid ja muudon proovinud selgitada a priori teadmisi, mis tulenevad mingist konventsioonist või vaikivast kokkuleppest, et anda nõusolek teatud lausetega (näiteks (1)) ja kasutada teatud reegleid. Hobbes esitas oma vastuväidetes Descartesi meditatsioonidele (“Kolmandad vastuväited”, IV, lk 608) laiaulatusliku konventsionalistliku vaate. Hilisemad Wittgenstein (ühel tõlgendusel) ja Carnap on „vaikiva kokkuleppe” ja konventsionistlike vaadete eristatavad pooldajad (vt mitteametliku teabe saamiseks nt Wittgenstein 1978, I.9, I.142; Carnap 1939, §12 ja 1963, lk 916). Carnapi vaadete ekspositsioon; vt ka Coffa 1991, ptk 14 ja 17). Rangelt öeldes arvavad Wittgenstein ja Carnap, et loogilised tõed ei väljenda üldse ettepanekuid, vaid on lihtsalt vabad laused, mida meil on mõnel või teisel põhjusel kasulik manipuleerida;seega saame nende (a priori) tundmisest rääkida vaid pisut vähenenud tähenduses. Tüüpilistes hiljutistes vaikiva kokkuleppe eksponentide ja konventsionistlike vaadete puhul, nagu Boghossian (1997), lükatakse aga tagasi väide, et loogilised tõed ei väljenda ettepanekuid, ja on nõus, et lepingu olemasolu pakub a priori täielikku mõju. nende ettepanekute tundmine.
Vaade „ratsionaalne võimekus“ja „konventsionalistlik“on ühel meelel selles, et loogiliste tõdede episteemiline alus seisneb laias tähenduses meie võimes analüüsida nende väljendite tähendusi, olgu neid mõistetud konventsioonide või objektiivsete ideedena. Sel põhjusel võib öelda, et nad selgitavad loogiliste tõdede ülimuslikkust oma analüütilisuse mõttes. (Vt sissekannet analüütilise / sünteetilise eristamise kohta.) Kanti selgitus loogiliste tõdede ülimuslikkuse kohta on tundunud raskem. [4]Pikk Kanti kommentaatorite rühm on märkinud, et kui Kanti seisukoht on, et kõik loogilised tõed on analüütilised, siis näib see olevat pinges tema analüütiliste tõdede iseloomustamisega. Kant iseloomustab analüütilisi tõdesid tõdedena, kus predikaadi mõiste sisaldub subjekti mõistes või on sellega identne, ja mis põhimõtteliselt - nendena, mille eitamine on vastuoluline. Kuid neile kommentaatoritele on ilmnenud, et kuigi need iseloomustused kehtivad selliste rangete tautoloogiate suhtes nagu "Mehed on mehed" või "Habemega mehed on mehed", siis näib, et need jätavad välja palju sellest, mida Kant ise loogiliselt tõeseks peab, sealhulgas sellised sülogismid nagu (2) (vt nt Mill 1843, bk. II, ptk vi, §5; Husserl 1901, II kd, pt 2, §66; Kneale ja Kneale 1962, lk 357–8; Parsons 1967; Maddy 1999). See ja Kanti selgete avalduste ilmselge puudumine selles küsimuses on pannud vähemalt Maddy (1999) ja Hanna (2001) kaaluma (ehkki mitte aktsepteerima) hüpoteesi, et Kant pidas mõnda loogilist tõde sünteetiliseks a priori. Sellise tõlgenduse korral seletataks paljude loogiliste tõdede ülimuslikkust asjaoluga, et neid nõuab transtsendentaalse subjekti kognitiivne struktuur ja konkreetselt kohtuotsuse vormid.[5]Kuid standardtõlgendus on omistada Kantile seisukoht, et kõik loogilised tõed on analüütilised (vt nt Capozzi ja Roncaglia 2009). Sellise tõlgenduse korral võib Kanti otsustusvormid identifitseerida loogiliste mõistetega, mida on võimalik analüüsida (vt nt Allison 1983, lk 126 jj). Laiendatud tõlgenduse, mille kohaselt Kant pidas kõiki loogilisi tõdesid analüütilisteks, sealhulgas Kanti õigustamist ülalnimetatud kommentaatorite rea vastuväidetega, võib leida Hanna (2001), punkt 3.1. Hanna (2006) on välja töötanud sisuliselt kanti loogika epistemoloogia tänapäevase teooria ja selle juured tunnetuses; see teooria ei püüa selgitada loogika prioriteetsust selle analüütilisuse poolest ja apelleerib selle asemel konkreetsele loogilise intuitsiooni ja kognitiivse loogika teaduskonnale.(Võrdle ka allpool nimetatud anti-aprioristlikku ja antianalüütilist, kuid laias laastus kanti vaadet Maddy 2007-le.)
Varane Wittgenstein jagab Kantiga ideed, et loogilised avaldised ei väljenda tähendusi viisil, mida teevad mitteloogilised avaldised (vt 1921, 4.0312). Selle arvamuse kohaselt väidab ta, et loogilised tõed ei ütle midagi (1921, 6.11). Kuid näib, et ta lükkab ümber konventsionalistlikud ja vaikiva kokkuleppe vaated (1921, 6.124, 6.1223). Ei ole nii, et loogilised tõed ei ütle midagi, sest need on lihtsalt mingid väliselt kasulikud manipuleerimise vahendid; pigem näitavad need "loogilisi omadusi", mis maailmal on meie otsustest sõltumatult (1921, 6.12, 6.13). On ebaselge, kuidas esmatähtsus on selles raamistikus seletatav. Wittgenstein nimetab loogilisi tõdesid analüütilisteks (1921, 6.11) ja ütleb, et „ainuüksi sümbolist saab aru, et need on tõesed” (1921, 6.113). Ta näib pidavat meeles asjaolu, et on võimalik "näha", et tõe-funktsionaalse loogika loogiline tõde peab kehtima, kontrollides selle tõe-funktsionaalse sisu sobivat esitust (1921, 6.1203, 6.122). Kuid idee laiendamine kvantitatiivsele loogikale on problemaatiline, hoolimata Wittgensteini püüdlustest taandada kvantitatiivne loogika tõe funktsionaalseks loogikaks; nagu me nüüd teame, puudub kvantitatiivse lause kehtivuse otsustamiseks algoritm. Mis on võib-olla veelgi olulisem: Wittgenstein ei anna selget selgitust selle kohta, miks põhimõtteliselt peaksid kõik maailma „loogilised omadused” tundma, et need kajastuksid piisavas märkuses. Kuid idee laiendamine kvantitatiivsele loogikale on problemaatiline, hoolimata Wittgensteini püüdlustest taandada kvantitatiivne loogika tõe funktsionaalseks loogikaks; nagu me nüüd teame, puudub kvantitatiivse lause kehtivuse otsustamiseks algoritm. Mis on võib-olla veelgi olulisem: Wittgenstein ei anna selget selgitust selle kohta, miks põhimõtteliselt peaksid kõik maailma „loogilised omadused” tundma, et need kajastuksid piisavas märkuses. Kuid idee laiendamine kvantitatiivsele loogikale on problemaatiline, hoolimata Wittgensteini püüdlustest taandada kvantitatiivne loogika tõe funktsionaalseks loogikaks; nagu me nüüd teame, puudub kvantitatiivse lause kehtivuse otsustamiseks algoritm. Mis on võib-olla veelgi olulisem: Wittgenstein ei anna selget selgitust selle kohta, miks põhimõtteliselt peaksid kõik maailma „loogilised omadused” tundma, et need kajastuksid piisavas märkuses. Wittgenstein ei anna selget selgitust selle kohta, miks põhimõtteliselt peaksid kõik maailma „loogilised omadused” tunduma peegeldumisest piisavas märkuses. Wittgenstein ei anna selget selgitust selle kohta, miks põhimõtteliselt peaksid kõik maailma „loogilised omadused” tunduma peegeldumisest piisavas märkuses.
Vastupidiselt „ratsionaalsele võimele”, „konventsionalistlikule”, kanti ja varase Wittgensteini vaadetele on teised filosoofid, eriti radikaalsed empiirikud ja looduseuurijad (rääkimata epistemoloogilistest skeptikutest), tagasi lükanud väite, et a priori teadmised on olemas (seega kaudselt ka väide et analüütilised väited on olemas) ja nad on selle asemel väitnud, et on olemas ainult illusioon prioriteedist. Sageli on selle tagasilükkamisega kaasnenud kriitika teiste vaadete suhtes. JS Mill arvas, et sellised väited nagu (2) tunduvad a priori ainuüksi seetõttu, et tegemist on varajaste ja väga tuttavate üldistuste konkreetsete juhtumitega, mis tulenevad kogemusest, nagu näiteks “Kõigile sobivateks (P), (Q) ja (R), kui ükski (Q) pole (R) ja mõni (P) s on (Q) s, siis mõni (P) pole (R) "(vt Veski 1843, bk. II, ptk viii). Bolzano oli sarnasel seisukohal (vt Bolzano 1837, §315). Quine (1936, §III) kritiseeris kuulsalt Hobbesi seisukohta, märkides, et kuna loogilised tõed on potentsiaalselt lõpmatud, ei tohi meie alus nende jaoks olla piiratud arvul selgesõnalises konventsioonis, kuna loogilisi reegleid on arvatavasti vaja lõpmatu arvu tuletamiseks. loogilised tõed piiratud hulgast konventsioonidest (punkt tuletatud Carrollist 1895). Hiljem kritiseeris Quine (eriti 1954) Carnapi konventsionistlikku seisukohta, peamiselt põhjusel, et tavapäraste tõdede ja tõdede vahel, mis vaikimisi on ümber lükatud, pole mingit ebamäärast vahet, ja sel määral, kui mõned tõed on toode konventsioon või vaikiv kokkulepe,selline kokkulepe on iseloomulik paljudele teaduslikele hüpoteesidele ja muudele postulatsioonidele, mis tunduvad olevat paradigmaatiliselt mitteanalüütilised. (Vt Grice ja Strawson 1956 ja Carnap 1963, vastuseid nendele kriitikatele.) Quine (eriti 1951) väitis ka, et üldiselt aktsepteeritud lauseid, sealhulgas paradigmaatilisi loogilisi tõdesid, võib kõige paremini käsitleda nagu hüpoteese, mida kasutatakse kogemuste käsitlemiseks, millest ühe saab tagasi lükata, kui see aitab empiirilist maailma mõistda (sarnase vaate ja väidetava näite kohta vt Putnam 1968). Sellel seisukohal ei saa tõele olla rangelt a priori alust. Kolm hiljutist peent anti-aprioristlikku seisukohta on Maddy (2002, 2007), Azzouni (2006, 2008) ja Sher (2013). Maddy jaoks on loogilised tõed tagantjärele, kuid neid ei saa vaid vaatluse ja katse abil kinnitada,kuna need moodustavad osa meie väga põhilistest mõtteviisidest, on sügavalt põimitud meie kontseptuaalsesse masinasse (kontseptuaalne masin, mis on struktuurilt sarnane Kanti arusaamise postuleeritud transtsendentaalse korraldusega). Samamoodi on Azzouni jaoks loogilised tõed võrdselt tagantjärele, kuigi meie arusaam, et need peavad olema tõesed, tuleneb nende psühholoogiliselt sügavast juurdumisest; erinevalt Maddyst arvab Azzouni aga, et loogilised reeglid, mille alusel me mõtleme, on introspektsiooniks läbipaistmatud. Sher proovib ühendada Quineani loogika epistemoloogia pühendumisega metafüüsiliselt realistlikule loogilise tõe modaalse aluse vaatele.s arusaamise postuleeritud transtsendentaalne korraldus). Samamoodi on Azzouni jaoks loogilised tõed võrdselt tagantjärele, kuigi meie arusaam, et need peavad olema tõesed, tuleneb nende psühholoogiliselt sügavast juurdumisest; erinevalt Maddyst arvab Azzouni aga, et loogilised reeglid, mille alusel me mõtleme, on introspektsiooniks läbipaistmatud. Sher proovib ühendada Quineani loogika epistemoloogia pühendumisega metafüüsiliselt realistlikule loogilise tõe modaalse aluse vaatele.s arusaamise postuleeritud transtsendentaalne korraldus). Samamoodi on Azzouni jaoks loogilised tõed võrdselt tagantjärele, kuigi meie arusaam, et need peavad olema tõesed, tuleneb nende psühholoogiliselt sügavast juurdumisest; erinevalt Maddyst arvab Azzouni aga, et loogilised reeglid, mille alusel me mõtleme, on introspektsiooniks läbipaistmatud. Sher proovib ühendada Quineani loogika epistemoloogia pühendumisega metafüüsiliselt realistlikule loogilise tõe modaalse aluse vaatele. Sher proovib ühendada Quineani loogika epistemoloogia pühendumisega metafüüsiliselt realistlikule loogilise tõe modaalse aluse vaatele. Sher proovib ühendada Quineani loogika epistemoloogia pühendumisega metafüüsiliselt realistlikule loogilise tõe modaalse aluse vaatele.
Üks viis, kuidas loogilise tõe (1) a priori tundmine oleks võimalik, oleks a priori teadmine tõsiasjast, et (1) on loogiline tõde, või universaalne üldistus „Kõigile sobivaks” (a), (P), (b) ja (Q), kui (a) on (P) ainult siis, kui (b) on (Q) ja (a) on (P), siis (b) on (Q)”olid võimalikud. Loogika epistemoloogias on eriti tähelepanuväärne skeptiline kaalutlus see, et nende faktide järeldatava a priori teadmise võimalus näib seisvat ringluse või lõpmatu taandarengu probleem. Kui tahame nendest faktidest järeldavaid teadmisi saada, järgime eeldatavasti mingil hetkel loogilisi reegleid,sealhulgas võib-olla ka modus ponensi reegel, mille väga korrektsus võib osaliselt sõltuda tõsiasjast, et (1) on loogiline tõde või universaalse üldistuse tõesusest „Kõigile sobivatele (a), (P), (b) ja (Q), kui (a) on (P) ainult siis, kui (b) on (Q) ja (a) on (P), siis (b) on (Q)”. Igal juhul näib olevat selge, et mitte kõigile seda tüüpi väidetele, mis väljendavad seda, et teatud tõde on loogiline tõde või et teatud loogiline skeem on tõde säilitav, võiks olla a priori järeldatav põhjendus, ilma et oleks kasutatud mõnda samad loogilised reeglid, mille õigsust võidakse arvata kodifitseerida. Selle punkti võib taas mõistlikult tuletada Carrolli (1895) põhjal. Mõned hiljutised kirjandused selle küsimuse kohta ja skeptitsistlike vasturepliikide kohta hõlmavad Dummettit (1973, 1991) ja Boghossianit (2000).
1.2 Formaalsus
Enamiku seisukohtade kohta, isegi kui oleks tõsi, et loogilised tõed on tõesed kõigis vastuolulistes olukordades, nii a priori kui ka analüütiliselt, ei annaks see piisavaid tingimusi tõe loogiliseks tõeks. Enamiku seisukohtade kohaselt peab loogiline tõde olema ka mingis mõttes „formaalne” ja see tähendab vähemalt seda, et ka kõik tõed, mis on selle vormi asendavad eksemplarid, on ka loogilised tõed (ja järelikult eelneva lause eeldusel on tõene kõigis vastuolulistes olukordades, a priori ja analüütiliselt). Saksimaa Alberti (tsiteeritud Bocheński 1956, punkt 30.07) näite "Kui lesk jookseb, siis naine jookseb," kerge modifikatsiooni kasutamisel peaks see olema tõsi kõigis vastuolulistes olukordades, a priori ja analüütiline, kui tõde on olemas.. Siiski, kui lesk jookseb, siis logi jookseb) on selle vormi asendav eksemplar,ja tegelikult on sellel isegi sama vorm kõigil loogilise vormi vaadetel (näiteks „Kui (P) (Q) s, siis (R) (Q) s“), kuid see pole isegi tõsi lihtsustaja. Nii et enamiku vaadete puhul pole "kui lesk jookseb, siis emane jookseb" loogiline tõde.
Filosoofide jaoks, kes aktsepteerivad formaalsuse ideed, nagu me juba ütlesime, on lause loogiliseks vormiks teatud skeem, milles väljendid, mis pole skemaatilised tähed, on laialdaselt rakendatavad diskursuse eri valdkondades. [6]Kui skeem on loogilise tõe vorm, on kõik selle asendavad esinemisjuhud loogilised tõed. Idee, et loogika on eriti seotud skeemide (asendusjuhtumitega), on loomulikult ilmne Aristotelese ja stoikute poolt, kõigis sõnades, mida tavaliselt tähistab “joonis”, on täpselt skeem. Aristotelese puhul on figuur tegelikult veelgi abstraktsem vorm rühmast, mida me nimetaksime nüüd skeemideks, näiteks (2 '). Meie skeemid on lähedasemad meeleoludele Aristoteeli sülogistikas; kuid näib, et Aristoteles ei sisalda sõna “tuju” (välja arvatud ptoseon 42b30-s või tropon 43a10-s; vt Smith 1989, lk 148–9) ja seega puudub ametliku skeemi mõiste osas üldine peegeldus. Aphrodisias Alexanderis (53,28 jj., Tsiteeritud Bocheński 1956, §24.06) on selge vormilise skeemi või tuju ja sillogismoi mateeria (hyle) vastandamine selgesõnaliselt olemas ja sellest ajast alates. Asi on skemaatiliste tähtede väärtustes.
Idee, et mitteskemaatilised väljendid loogilistes vormides, st loogilised avaldised, on laialdaselt rakendatavad diskursuse eri valdkondades, on olemas ka loogika algusest peale ja kordub kõigis suurtes loogikutes. See ilmneb kaudselt paljudes Aristotelese lõikudes, näiteks järgmistes: „Kõik teadused on omavahel seotud ühiste asjadega (ma nimetan ühiseks neid, mida nad kasutavad nende põhjal demonstreerimiseks, kuid mitte neid, mida neis demonstreeritakse, või neid, mis on seotud) mida midagi demonstreeritakse); ja loogika on seotud nende kõigi omaga, kuna see on teadus, mis üritab üldkehtivaid asju demonstreerida”(Posterior Analytics, 77a26–9); „Me ei pea võtma kinni kõigist ümberlükkamistest, vaid ainult loogikale iseloomulikest asjadest;sest need on ühised kõigis tehnikates ja võimetes”(Sophistical Refutations, 170a34–5). (Nendes tekstides on „loogika” sobiv dialektikee tõlge; vt Kneale ja Kneale 1962, I, punkt 3), kes teatavad meile, et logikut kasutatakse esimest korda selle praeguse tähendusega Aphrodisias Aleksanderis.) Frege ütleb, et „ kindlaim tõestusmaterjal on ilmselgelt puhtalt loogiline, mis lähtuvalt asjade eripärast lähtub üksnes seadustest, millel toetub kogu teadmine”(1879, lk 48; vt ka 1885, kus aritmeetiliste mõistete universaalne rakendatavus on nende loogilisuse märgiks). Sama mõte on silmatorkav ka Tarskis (1941, ptk II, §6).kes teatavad meile, et logikut kasutatakse esimest korda selle praeguse tähendusega Aphrodisiase Aleksanderis.) Frege ütleb, et „kõige kindlam tõestusmaterjal on ilmselgelt puhtalt loogiline, mis lähtuvalt asjade eripärast lähtub ainult seadustest millele kõik teadmised toetuvad”(1879, lk 48; vt ka 1885, kus nende loogilisuse märgiks peetakse aritmeetiliste mõistete universaalset rakendatavust). Sama mõte on silmatorkav ka Tarskis (1941, ptk II, §6).kes teatavad meile, et logikut kasutatakse esimest korda selle praeguse tähendusega Aphrodisiase Aleksanderis.) Frege ütleb, et „kõige kindlam tõestusmaterjal on ilmselgelt puhtalt loogiline, mis lähtuvalt asjade eripärast lähtub ainult seadustest millele kõik teadmised toetuvad”(1879, lk 48; vt ka 1885, kus nende loogilisuse märgiks peetakse aritmeetiliste mõistete universaalset rakendatavust). Sama mõte on silmatorkav ka Tarskis (1941, ptk II, §6).kus aritmeetiliste mõistete universaalset rakendatavust võetakse nende loogilisuse märgiks). Sama mõte on silmatorkav ka Tarskis (1941, ptk II, §6).kus aritmeetiliste mõistete universaalset rakendatavust võetakse nende loogilisuse märgiks). Sama mõte on silmatorkav ka Tarskis (1941, ptk II, §6).
Need loogilised väljendid hõlmavad selliseid paradigmaatilisi juhtumeid nagu “kui”, “ja”, “mõned”, “kõik” jne ja et need peavad olema laialdaselt rakendatavad erinevates diskursuse valdkondades, mida võiksime nimetada loogika kohta minimaalseks teesiks väljendeid. Kuid peale selle on vähe, kui üldse, kokku lepitud, milline üldine omadus muudab avalduse loogiliseks ja järelikult ka selle kohta, mis määrab lause loogilise vormi. Enamik autoreid suhtub mõistmisse, et loogika on formaalne, on püüdnud minna minimaalsest lõputööst kaugemale. Üldiselt ollakse nõus, et laialdane rakendamine erinevates diskursuse valdkondades on ainult loogiliste avaldiste vajalik, mitte piisav omadus; näiteks arvatakse, et enamik eessõnu on laialdaselt rakendatavad, kuid need ei ole loogiliste väljendite loogilise väljendi kaudse üldise mõiste korral loogilised väljendid. Loogilise avalduse mõiste rikastamise katsed on tavaliselt püüdnud pakkuda täiendavaid omadusi, mis kokku moodustavad vajalikud ja piisavad tingimused, et avaldis oleks loogiline.
Üks idee, mida sellistes iseloomustustes on kasutatud ja mis on ka Aristotelesel, on see, et loogilised väljendid ei tähista rangelt öeldes midagi; või et nad ei tähista midagi viisil, nagu substantiivid, omadussõnad ja tegusõnad tähistavad midagi. „Loogika [dialektike] ei ole teadusuuring kindlatest asjadest või ühest perekonnast” (Posterior Analytics, 77a32–3). Nägime, et idee oli Kantil ja varakult Wittgensteinil endiselt olemas. See tuli uuesti keskajal. Sõna „süncategorematic” peamine tähendus väljendites oli laias laastus see semantiline tähendus (vt Kretzmann 1982, lk 212 jj). Buridan ja teised hiliskeskaja logistid tegid ettepaneku, et kategoorilised väljendid moodustaksid lausete "sisu", samas kui sünkotoremaatilised väljendid moodustaksid nende "vormi" (vt Bocheński 1956 tsiteeritud teksti,§26.11). (Sõna mõnevõrra teises, varasemas grammatilises tähenduses öeldi, et sünkategoremaatilised väljendid on need, mida ei saa kasutada subjektidena ega predikaadina kategoorilistes väidetes; vt Kretzmann 1982, lk 211–2.) Sünkrokatemaatika idee on mõneti ebatäpne, kuid on tõsiseid kahtlusi, kas see võib loogilise väljendi ideed iseloomustada, mis iganes see ka poleks. Enamik eessõnu ja määrsõnu on oletatavasti sünkro-teoreetilised, kuid need on ka oletatavasti loogilised väljendid. Vastupidiselt on predikaadid nagu “identsed”, “on iseendaga identsed”, “on mõlemad identsed ja pole iseendaga identsed” jne, mida viimases loogikas käsitletakse resoluutselt loogilistena, oletatavasti kategoorilistena. (Need on grammatilises mõttes muidugi kategoorilised,milles eessõnad ja määrsõnad on võrdselt selgelt sünkoodilised.)
Enamik teisi ettepanekuid on püüdnud muul viisil piiritleda Aristoteli ideed, mille kohaselt loogilistel väljenditel on mingisugune “ebaoluline” tähendus, et kasutada seda loogika vajalikuks ja piisavaks tingimuseks. Üks hiljutine soovitus on, et loogilised väljendid on need, mis ei võimalda meil eristada erinevaid isikuid. Üks viis, kuidas seda täpseks muuta, on loogiliste avaldiste iseloomustamine sellistena, mille laiendamine või märkimine indiviidide konkreetse domeeni suhtes on selle domeeni permutatsioonide korral muutumatu. (Vt Tarski ja Givant 1987, lk 57 ja Tarski 1966; seotud ettepanekute kohta vt teiste hulgas ka McCarthy 1981, Sher 1991, ptk 3, McGee 1996, Feferman 1999, Bonnay 2008 ja Woods 2016.) Permutatsioon domeen on üks-ühele vastavus domeeni ja tema enda vahel. Näiteks kui (D) on domeen {Aristoteles, Caesar, Napoleon, Kripke}, on üks permutatsioon kirjavahetus, mis määrab iga inimese enda jaoks; teine on kirjavahetus (P), mis määrab Caesari Aristotelesele (matemaatilises märkuses (P (tekst {Aristoteles}) = \ tekst {Caesar})), Napoleon keisriga, Kripke Napoleoniga ja Aristoteles Kripke. Et avaldise laiendamine domeenis on selle domeeni permutatsiooni korral muutumatu, tähendab seda, et permutatsiooni all selle laiendi indutseeritud kujutis on laiend ise (permutatsiooni all oleva laienduse "indutseeritud pilt" (Q) on mis laiend saab, kui iga objekti asemele (o) pannakse objekt (Q (o))). “Filosoofi” laiendus üle (D) ei ole ülaltoodud permutatsiooni (P) korral muutumatu, kuna see laiendus on ({ tekst {Aristoteles}, \ tekst {Kripke} }),kelle esilekutsutud pilt jaotises (P) on ({ text {Caesar}, \ text {Aristotle} }). See on ettepaneku jaoks soosiv, sest „filosoof” pole kindlasti laialdaselt kasutatav ja seega enamiku seisukohtade puhul mitte-loogiline. Teisest küljest on predikaadil "identsed" laiendusena (D) paarikomplekt
({ langle \ text {Aristoteles, Aristoteles} Rngle, \ langle \ text {Caesar, Caesar} Rngle, \ langle \ text {Napoleon, Napoleon} Rngle, \ langle \ text {Kripke, Kripke} Rangle };)
selle indutseeritud kujutis (P) ja (D) muude permutatsioonide all on sama paarikomplekt (mida lugeja võib kontrollida); nii et see on jällegi ettepaneku jaoks soosiv. (Teised paradigmaatilised loogilised avaldised saavad domeenidelt keerukamaid laiendusi, kuid nende saadavad laiendid on permutatsioonide korral muutumatud. Näiteks ühe tavapärase viisi abil domeeni „ja” laiendamise mõistmiseks on see funktsioon, mis igale pair (langle S_1, S_2 \ rangle), kus (S_1) ja (S_2) on lõpmatute jadade kogumid, mis on tõmmatud (D), (S_1) ja (S_2) ja see funktsioon on permutatsiooni muutumatu.) Ettepaneku üheks probleemiks on see, et paljud väljendid, mis tunduvad selgelt mitteloogilised, kuna need pole laialdaselt kasutatavad, on permutatsioonide korral siiski muutumatud,ega suuda seega eristada erinevaid isikuid. Kõige lihtsamad näited on võib-olla mitteloogilised predikaadid, millel on tühi laiend ükskõik millise domeeni kohal ja millel on ka tühjad indutseeritud pildid. Üks meessoost lesk on üks näide; selle versioone saab kasutada loogilisuse idee permutatsioonivariandina erinevate näidete vastunäidetena (vt Gómez-Torrente 2002) ning on ebaselge, kas idee pooldaja suudab probleemi muul mitte ad hoc viisil vältida. On ebaselge, kas idee pooldaja suudab probleemi muul viisil mitte ad hoc viisil vältida. On ebaselge, kas idee pooldaja suudab probleemi muul viisil mitte ad hoc viisil vältida.
Teine hiljutine populaarne viis loogiliste väljendite semantilise „ebaolulisuse” aristoteelse intuitsiooni piiritlemiseks viitab mõistele „puhas järelduslikkus”. Idee on see, et loogilised väljendid on need, mille tähendus on mingis mõttes antud „puhtalt järeldavate” reeglite järgi. (Vt muu hulgas Kneale 1956, häkkimine 1979, Peacocke 1987, Hodes 2004.) Puhtalt järelduslike reeglite vajalik omadus on see, et need reguleerivad ainult järelduslikke üleminekuid verbaalsete üksuste vahel, mitte verbaalsete kinnitatavusolude ja verbaalsete üksuste vahel või verbaalsete üksuste vahel nende toodete litsentsitud üksused ja toimingud. Teatud järeldusreegel lubab teil öelda, et vihma sajab, kuid vihma korral ei ole see "puhtalt järeldatav". Reegel, mis lubab teil öelda „A on naine, kelle mees suri enne teda”, kui keegi ütleb, et „A on lesk”,ei ole kohe diskvalifitseeritud puhtalt järeldusena. Arvatavasti annab mõnes mõttes sõna "lesk" see viimane reegel koos võib-olla ka vastupidise reegliga, mis lubab teil öelda "A on lesk", kui keegi ütleb: "A on naine, kelle mees suri enne teda". Kuid “lesk” ei ole loogiline väljend, kuna see pole laialt kasutatav; nii et tuleb postuleerida rohkem vajalikke omadusi, mida “puhtalt järelduslikud” reeglid peaksid täitma. Mitmed sellised tingimused on vastavas kirjanduses postuleeritud (vt nt Belnap 1962 (vastus eelmisele 1960), Hacking 1979 ja Hodes 2004). Isegi siis, kui puhta järelduslikkuse mõistet sellisel viisil tugevdatakse, jäävad probleemid siiski alles. Enamasti tehakse ettepanek, et väljend on loogiline igaks juhuks, kui teatud puhtalt järelduslikud reeglid annavad selle kogu tähenduse, sealhulgas selle mõtte,või selle kasutamise aspektide kogum, mida tuleb selle mõistmiseks omandada (nagu Kneale 1956, Peacocke 1987 ja Hodes 2004). Siiski näib olevat selge, et mõnedel paradigmaatilistel loogilistel väljenditel on nende külge lisamõistmine, mida ei saa puhtalt järelduslikult kodeerida. Näiteks näib, et induktiivne mõttekäik, mis hõlmab „kõiki”, on selle väljendi mõte, kuid on raske mõista, kuidas seda saaks kodifitseerida puhtalt järelduslike reeglite abil (nagu on märkinud Sainsbury 1991, lk 316–7; vt ka Dummett) 1991, ptk 12). Ettepaneku erinev versioon seisneb selles, et väljend on loogiline igaks juhuks, kui selle laiendamise kindlaksmääramiseks piisab teatavatest puhtalt järeldatavatest reeglitest, mis on selle mõtte osa (nagu Hacking 1979). Kuid näib olevat selge, et kui laiendada näiteks"On identsed" määratakse kindlaks teatud puhtalt järeldavate reeglite kogumiga, mis on osa selle tähendusest, siis laiendamine "on identsed ja ei ole meessoost lesed" on võrdselt määratud samade reeglitega, mis vaieldamatult moodustavad osa selle mõttest; ometi pole "identsed ega ole isased lesed" loogiline väljend (vt Gómez-Torrente 2002).
Neid ja muid probleeme silmas pidades on mõned filosoofid teinud ettepaneku, et loogilise väljendi kontseptsiooni ei seostataks vajalike ja piisavate tingimustega, vaid ainult mõne vajaliku tingimusega, mis on seotud laia kohaldatavuse tingimusega, näiteks tingimusega „ olles teaduslike põhjenduste süstematiseerimisel väga olulised”(seda tüüpi seisukohta vt Warmbrōd 1999). Teised (Gómez-Torrente 2002) on pakkunud välja, et võib olla vajalikke ja piisavaid tingimusi, kui need pole semantilise „ebaolulisuse” ideega palju seotud ja on pigem pragmaatilised ja sobivalt ebamäärased; näiteks paljud avaldised on laia kohaldatavuse tõttu otse välistatud;ja eessõnad on arvatavasti mõne sellise kaudse tingimusega välistatud, nagu “loogiline avaldis peab olema selline, mille uurimus on kasulik oluliste probleemide ja põhjendusvigade lahendamiseks”. Kindel on see, et need ettepanekud loobuvad semantilise „ebaolulisuse” laiendatud intuitsioonist ja võivad sel põhjusel olla mõnevõrra ebarahuldavad.
Mõned filosoofid on tavapäraste iseloomustuste probleemidele reageerinud veelgi radikaalsemalt, väites, et loogiliste ja mitteloogiliste väljendite eristamine peab olema tühi, ning lükanud loogilise vormi mõiste seega täielikult tagasi. (Vt nt Orayen 1989, ptk 4, punkt 2.2; Etchemendy 1990, ptk 9; loe 1994; Priest 2001.) Need filosoofid mõtlevad loogilisele tõele tüüpiliselt mõistena, mis on umbes samaväärne analüütilise tõe lihtsustajaga. Kuid nad vastutavad veelgi laiendatud intuitsioonist loobumise eest kui eelmise lõigu ettepanekud.
Formaalsuse ja loogilise väljenduse ideede põhjalikumaks käsitlemiseks vaata sisestusloogilisi konstante ja MacFarlane 2000.
2. Loogilise tõe matemaatiline iseloomustus
2.1 Vormistamine
Kaasaegse loogika edu üheks oluliseks põhjuseks on nn vormistamise kasutamine. Seda terminit kasutatakse tavaliselt mitme eraldiseisva (ehkki seotud) nähtuse katmiseks, mis kõik esinevad Frege'is (1879). Üks neist on täiesti määratletud kunstlike sümbolite komplekti kasutamine, millele logistik annab üheselt tähendused, mis on seotud vastavate looduslike keeleväljendite tähendustega, kuid on selgemalt piiritletud ja eemaldatud märkmetest, et loomuliku keele väljendid tunduvad olevat ebaolulised. tõe-tingimusliku sisuni; see kehtib eriti sümbolite kohta, mis on mõeldud loomuliku keele loogiliste väljenduste esitamiseks. Teine nähtus on kunstlikest sümbolitest valmistatud valemite jaoks täiesti täpse grammatika kehtestamine,valemid, mis eemaldatakse looduskeeles korrelatiivsete lausete versioonidest; see grammatika moodustab põhisümbolitest lähtuvate valemite valmistamise algoritmi. Kolmas nähtus on deduktiivse kalkulatsiooni postuleerimine väga selge aksioomide ja tehisvalemite järeldamisreeglitega (vt järgmine osa); selline arvutus on ette nähtud mingil moel deduktiivse põhjenduse esitamiseks valemite korrelaatidega, kuid erinevalt tavalistest deduktsioonidest ei sisalda arvutustulemused samme, mis ei oleks määratletud järelduse reeglite kindlad rakendused. Kolmas nähtus on deduktiivse kalkulatsiooni postuleerimine väga selge aksioomide ja tehisvalemite järeldamisreeglitega (vt järgmine osa); selline arvutus on ette nähtud mingil moel deduktiivse põhjenduse esitamiseks valemite korrelaatidega, kuid erinevalt tavalistest deduktsioonidest ei sisalda arvutustulemused samme, mis ei oleks määratletud järelduse reeglite kindlad rakendused. Kolmas nähtus on deduktiivse kalkulatsiooni postuleerimine väga selge aksioomide ja tehisvalemite järeldamisreeglitega (vt järgmine osa); selline arvutus on ette nähtud mingil moel deduktiivse põhjenduse esitamiseks valemite korrelaatidega, kuid erinevalt tavalistest deduktsioonidest ei sisalda arvutustulemused samme, mis ei oleks määratletud järelduse reeglite kindlad rakendused.
Selle asemel, et katsetada iseloomustada looduskeele loogilisi tõdesid nagu inglise keel, proovib Fregeani loogik iseloomustada ka kunstlikke vormeleid, mis on nende loogiliste tõdede freeside vormistatud keeles „eemaldatud” korrelatsioonidest lahti võetud. Esimese astme Fregeani vormistatud keeltes leitakse nende valemite hulgast kunstlikke korrelaate punktidele 1, 2 ja 3, näiteks
(((tekst {Halb} (textit {surm}) parempoolne \ tekst {Hea} (textit {elu})) & \ \ tekst {Halb} (textit {surm})) paremnool \ tekst {hea} (textit {elu}).)
() {Soov} (x))))
(paremnool \ eksisteerib x (tekst {Usk} (x) & \ \ neg \ tekst {Vabatahtlik} (x)).)
((tekst {Kass} (textit {drasha}) & \ \ jätkake x (tekst {Kass} (x) paremnool \ tekst {Saladuslik (x))))
(paremnool \ tekst {Saladuslik} (textit {drasha}).)
(Vt klassikalist loogikakirjet.) Fregeani ametlikud keeled hõlmavad ka klassikalisi kõrgema astme keeli. (Vt loogika-, teise- ja kõrgemajärgulist kirjet.) Loogilisi väljendeid nendes keeltes peetakse tavaliselt tõefunktsioonide sümboliteks, kvantifikaatoriteks, identiteediks ja muudeks nende järgi määratletavateks sümboliteks (kuid seal on eriarvamusel kõrgema järgu kvantifikaatorite oleku kohta; vt allpool punkti 2.4.3).
Piirang kunstlikele valemitele tekitab mitmeid küsimusi Fregeani ettevõtte täpse väärtuse kohta loogiliste tõdede piiritlemiseks looduskeeles; suur osa sellest väärtusest sõltub sellest, kui palju ja kui oluliseks peetakse looduslikest keeleväljenditest eemaldatud märkmeid, mis korreleeruvad vormindatud keelte tavapäraste loogiliste avaldistega. Kuid ükskõik milline on vormistamise täpse väärtuse vaade, pole kahtlust, et see on loogilistel eesmärkidel väga valgustav olnud. Üks põhjus on see, et sageli on selge, et eemaldatud noodid on tõepõhise sisu suhtes tõepoolest ebaolulised (see kehtib eriti looduslike keelte loogiliste väljendite kasutamise kohta matemaatika tegemisel). Teine põhjus on asjaolu, et kunstlike valemite grammatika ja tähendus on nii hästi piiritletud, võimaldanud välja töötada loogilise tõe karakteristikud, mis kasutavad ainult standardse matemaatika mõisteid. See on omakorda võimaldanud iseloomustatud mõistete uurimist standardsete matemaatiliste meetodite abil. Järgmises kahes osas kirjeldatakse laias laastus kahte peamist lähenemisviisi iseloomustamiseks.[7]
2.2 Tuletisväärtus
Märkisime just, et Fregeani loogiku vormistatud grammatika tähendab algoritmi valemite tootmiseks põhilistest tehissümbolitest. Seda mõeldakse väga sõna-sõnalt. Nagu matemaatilistele loogikutele oli juba väga varakult selge, võib põhisümbolit pidada naturaalarvudeks (või kodifitseerida seda) ja kunstliku grammatika moodustamise reegleid võib vaadelda kui (või kodifitseerida) lihtsaid arvutatavaid aritmeetilisi operatsioone. Seejärel võib grammatilisi valemeid vaadelda kui (või kodifitseeritud) numbreid, mis saadakse põhinumbritest pärast operatsioonide mõnda piiratud rakenduste seeriat, ja seega on nende kogum iseloomulik aritmeetilise ja komplektiteooria mõistetele (tegelikult piisab aritmeetikast), mõne triki abil).
Täpselt sama kehtib ka valemite komplekti kohta, mis on tuletatavad vormistatud deduktiivses arvestuses. Valem (F) on tuletatav Fregean'i kalkulatsioonis (C) igaks juhuks, kui (F) on saadaval (C) aksioomidest pärast seda, kui mõned järeldusereeglite lõplikud rakendused on (C). Kuid aksioomid on teatud valemid, mis on üles ehitatud grammatiliste moodustumisprotsesside käigus, nii et neid võib vaadelda kui teatud numbritega (või kodifitseeritud); ja järelduse reegleid võib jälle vaadelda kui (või kodifitseeritud) teatavaid arvutatavaid aritmeetilisi operatsioone. Seega võib tuletatavaid valemeid vaadelda numbritena (või kodifitseerituna), mida saab aksioominumbritest pärast järeldamisoperatsioonide mõnda piiratud rakenduste seeriat ja seega on nende kogum iseloomustatav jällegi tavalise matemaatika mõistete osas (piisab jällegi aritmeetikast)..
Frege'i revolutsioonile järgnenud aja jooksul näib olevat levinud arvamus, et mis tahes Fregei keele loogiliste tõdede kogumit võib iseloomustada valemitena, mis on tuletatavad sobivalt valitud arvutuskriteeriumides (seega sisuliselt saadavate arvude kogumina) teatud aritmeetiliste operatsioonide abil). Frege ise ütleb oma “Begriffsschriftis” kõrgema astme keelest rääkides, et vormistamise kaudu (ülaltoodud kolmandas tähenduses) “jõuame väikese arvuni seadusi, mille korral, kui lisada reeglites sisalduv, on sisu kõik seadused on lisatud, ehkki väljaarendamata olekus”(Frege 1879, §13). Idee tuleneb sirgjooneliselt Russelli arusaamast, et matemaatika ja loogika on identsed (vt Russell 1903, ptk I, §10; Russell 1920, lk.194–5) ja tema väite, et „kümne deduktsiooni põhimõtte ja kümne muu üldise loogilise olemuse (…) abil saab kogu matemaatikat rangelt ja formaalselt tuletada“(Russell 1903, ptk I, §4). Vt ka Bernays (1930, lk 239): „[vormistamise kaudu] saab ilmsiks, et kõiki loogilisi järeldusi (…) saab taandada piiratud hulgale loogilistele elementaarsetele protsessidele, mida saab täpselt ja täielikult loetleda“. Oma loogilisi tagajärgi käsitleva raamatu sissejuhatavates lõikudes ütleb Tarski (1936a, 1936b), et usk oli levinud enne Gödeli puudulikkuse teoreemide ilmumist (nende teooriate kandmist selles küsimuses vt allpool punktist 2.4.3). Viimastel aegadel, ilmselt selliste Tarskian argumentide mõjul, nagu mainitud alajao 2.4.3 lõpus,usk tuletatavuse karakteristikute adekvaatsusesse näib olevat kahanenud (vt nt Prawitz 1985 sarnast hinnangut).
2.3 Mudeliteoreetiline kehtivus
Isegi kõige loogilisemates viisides loogilistes tõdedes esineva modaalsuse mõistmiseks on lause loogiline tõde ainult siis, kui ükski lause, mis on selle loogilise vormi asendaja, pole vale. (Selle idee lükkavad tagasi ainult need, kes lükkavad tagasi loogilise vormi mõiste.) On tavaline tähelepanek, et isegi kui see on vajalik, pole see omadus selgelt piisav, et lause oleks loogiline tõde. Võib-olla on lause, millel on see omadus, kuid mis pole tegelikult loogiliselt tõene, sest muutujatele ja skemaatilistele tähtedele võiks loogilisel kujul omistada mõned väljendamata tähendused ja nende tähenduste korral oleks vorm vale lause. [8]Teisest küljest pole selgelt vale arvata, et lause on loogiline tõde, kui ükski tähenduste kollektiivne määramine muutujatele ja skemaatilised tähed selle loogilisel kujul ei muudaks seda vormi valelauseks. Ütle, et lause kehtib üldiselt, kui sellel on see omadus. Loogilise tõe matemaatilise iseloomustamise standardmeetod, mis on alternatiiviks tuletatavuse lähenemisele, kasutab alati universaalse kehtivuse omaduse mõnda versiooni, pakkudes seda mõlemal juhul nii loogilise tõe jaoks vajalikuks kui ka piisavaks. Pange tähele, et kui lause on üldiselt kehtiv, siis isegi kui see pole loogiliselt tõene, on see tõene. Nii et kõik üldiselt kehtivad laused on vähemalt selles mõttes õiged.
Ilmselt oli Bolzano esimene, kes kasutas universaalse kehtivuse versiooni ja pakkus seda sõnaselgelt nii loogilise tõe jaoks vajalikuks kui ka piisavaks, Bolzano (prioriteedinõude kohta vt Bolzano 1837, §148; ja Coffa 1991, lk 33–4). Idee on kohal ka teistes XIX sajandi matemaatikutes (vt nt Jané 2006) ja see oli Hilberti koolis tavaline. Tarski (1936a, 1936b) näitas esimesena täiesti selgesõnaliselt, kuidas matemaatikute kasutatavale universaalse kehtivuse versioonile saaks ise iseloomustada standardse matemaatika mõisteid, algoritmilise vorminguga Fregeani vormistatud keelte puhul grammatika. Põhimõtteliselt kasutatakse Tarski iseloomustust tänapäeval laialdaselt nn teoreetilise kehtivuse mõistena,ja tundub õiglane öelda, et tavaliselt aktsepteeritakse seda, et see mõiste kirjeldab fregei keelte loogiliste tõdede kogumit mõistlikult hästi.
Mudeliteoreetilise kehtivuse mõiste jäljendab universaalse kehtivuse mõistet, kuid määratletakse just Tarski (1935) poolt välja töötatud setteoreetilise aparaadi abil selliste semantiliste mõistete iseloomustamiseks nagu rahulolu, määratletavus ja tõde. (Vt kirjet Tarski tõdemääratluste kohta.) Fregeani keele puhul on keele struktuur komplektteoreetiline objekt, mis koosneb komplektdomeenist koos sellele alale tõmmatud laiendite määramisega selle mitteloogilistele konstantidele. Enamiku loogikute arvates on struktuur mõeldud tähenduste jaotuse esitamiseks: selle domeen annab esimese järgu muutujate vahemiku või "tähenduse" (ja indutseerib kõrgema järgu muutujate vahemikud) ja laiendid, mille struktuur omistab mitteloogilised konstandid on tähendused, mida need avaldised võivad võtta. Kasutades Tarskian aparaati, määratletakse fregei keele valemites tõe mõiste (või sellega rahulolu) komplektteoreetilises struktuuris (seoses lõpmatu jadaga, mis määrab domeeni objekti igale muutujale). Ja lõpuks määratletakse valem, mis peab olema mudelteoreetiliselt kehtiv igaks juhuks, kui see vastab tõele kõigis selle keele struktuurides (kõigi lõpmatute jadade suhtes). Lühendame “(F \ on tõsi kõigis struktuurides” kui “MTValid ((F))”. Mudeeteoreetiline iseloomustus teeb selgeks, et “MTValid ((F))” on määratletav puhtalt kogumiteooria mõistete mõttes. (Fregeani keelte mudelateoreetilise kehtivuse mõistet on põhjalikult selgitatud klassikalise loogika, teise järgu ja kõrgema järgu loogika sissekannetes; vt ka sissejuhatust mudeliteooria kohta.)üks määratleb fregei keele valemite jaoks tõe mõiste (või sellega rahuldamise) komplekti teoreetilises struktuuris (seoses lõpmatu jadaga, mis määrab domeeni objekti igale muutujale). Ja lõpuks määratletakse valem, mis peab olema mudelteoreetiliselt kehtiv igaks juhuks, kui see vastab tõele kõigis selle keele struktuurides (kõigi lõpmatute jadade suhtes). Lühendame “(F \ on tõsi kõigis struktuurides” kui “MTValid ((F))”. Mudeeteoreetiline iseloomustus teeb selgeks, et “MTValid ((F))” on määratletav puhtalt kogumiteooria mõistete mõttes. (Fregeani keelte mudelateoreetilise kehtivuse mõistet on põhjalikult selgitatud klassikalise loogika, teise järgu ja kõrgema järgu loogika sissekannetes; vt ka sissejuhatust mudeliteooria kohta.)üks määratleb fregei keele valemite jaoks tõe mõiste (või sellega rahuldamise) komplekti teoreetilises struktuuris (seoses lõpmatu jadaga, mis määrab domeeni objekti igale muutujale). Ja lõpuks määratletakse valem, mis peab olema mudelteoreetiliselt kehtiv igaks juhuks, kui see vastab tõele kõigis selle keele struktuurides (kõigi lõpmatute jadade suhtes). Lühendame “(F \ on tõsi kõigis struktuurides” kui “MTValid ((F))”. Mudeeteoreetiline iseloomustus teeb selgeks, et “MTValid ((F))” on defineeritav puhtalt kogumiteooria mõistete mõttes. (Fregeani keelte mudelateoreetilise kehtivuse mõistet on põhjalikult selgitatud klassikalise loogika, teise järgu ja kõrgema järgu loogika sissekannetes; vt ka sissejuhatust mudeliteooria kohta.)))))üks määratleb valemi, mis peab olema mudelteoreetiliselt kehtiv igaks juhuks, kui see vastab tõele kõigis selle keele struktuurides (kõigi lõpmatute jadade suhtes). Lühendame “(F \ on tõsi kõigis struktuurides” kui “MTValid ((F))”. Mudeeteoreetiline iseloomustus teeb selgeks, et “MTValid ((F))” on määratletav puhtalt kogumiteooria mõistete mõttes. (Fregeani keelte mudelateoreetilise kehtivuse mõistet on põhjalikult selgitatud klassikalise loogika, teise järgu ja kõrgema järgu loogika sissekannetes; vt ka sissejuhatust mudeliteooria kohta.)üks määratleb valemi, mis peab olema mudelteoreetiliselt kehtiv igaks juhuks, kui see vastab tõele kõigis selle keele struktuurides (kõigi lõpmatute jadade suhtes). Lühendame “(F \ on tõsi kõigis struktuurides” kui “MTValid ((F))”. Mudeeteoreetiline iseloomustus teeb selgeks, et “MTValid ((F))” on määratletav puhtalt kogumiteooria mõistete mõttes. (Fregeani keelte mudelateoreetilise kehtivuse mõistet on põhjalikult selgitatud klassikalise loogika, teise järgu ja kõrgema järgu loogika sissekannetes; vt ka sissejuhatust mudeliteooria kohta.)(Fregeani keelte mudelateoreetilise kehtivuse mõistet on põhjalikult selgitatud klassikalise loogika, teise järgu ja kõrgema järgu loogika sissekannetes; vt ka sissejuhatust mudeliteooria kohta.)(Fregeani keelte mudelateoreetilise kehtivuse mõistet on põhjalikult selgitatud klassikalise loogika, teise järgu ja kõrgema järgu loogika sissekannetes; vt ka sissejuhatust mudeliteooria kohta.)[9]
(Kui (F) on esimese astme keele valem ilma identiteedita, siis kui ükski (F) vormi asendav eksemplar pole vale, on see piisav tingimus (F) olemiseks Nagu selgub, kui (F) ei ole mudeli-teoreetiliselt kehtiv, siis on mõni selle vormi asendav eksemplar, mille muutujad ulatuvad naturaalarvudest ja mille mitteloogilised konstandid on aritmeetilised avaldised. Seda saab õigustada Löwenheim-Skolemi teoreemi täpsustamisega. Arutelu ja viiteid leiate loogilise, klassikalise ja Quine 1970, ptk 4 kohta. Sarnaseid tulemusi pole kõrgema astme keelte puhul.)
“MT” väärtuses “MTValid ((F))” rõhutab tõsiasja, et mudeli teoreetiline kehtivus erineb universaalsest kehtivusest. Mõisteülesande mõiste, mis ilmneb universaalse kehtivuse kirjelduses, on väga ebatäpne ja intuitiivne mõiste, samal ajal kui mudeli-teoreetilise kehtivuse iseloomustamisel esinev konstruktsiooni mõiste on üsna täpne ja tehniline. Näib olevat selge, et Fregeani vormistatud keelte mõiste struktuur on minimaalselt mõistlik selles mõttes, et struktuur modelleerib ühe või mitme tähendusülesande võimet muuta mõni lause valeks (loogiline vorm). Nagu hiljem mainime, on vastupidine omadus, mille kohaselt iga tähendusülesande kehtivuse ümberlükkamise jõud modelleeritakse mingi struktuuri abil, samuti loomulik, kuid nõudlikum struktuurikäsituse nõue.
2.4 Adekvaatsuse probleem
Tõsiasi, et tuletatavuse ja mudelteoreetilise kehtivuse mõisted on tavalises matemaatikas määratletavad, näib neile praktiseerinud loogikute seas olnud väga atraktiivne omadus. Kuid loomulikult ei õigusta see atraktiivne omadus kumbagi mõistet loogilise tõe adekvaatse iseloomustamisena. Enamikul vaadetest püüame loogilise tõe matemaatilise iseloomustamisega piiritleda valemit, millel on palju mittematemaatilisi omadusi. Millised omadused need on, varieerub sõltuvalt meie eelteoreetilisest arusaamast näiteks modaalsuse ja formaalsuse tunnustest. ("Eelteoreetiline" ei tähenda see "enne mis tahes teoreetilist tegevust"; vaevalt võiks selles mõttes olla loogilise tõe ettekujutust "antieoreetilisest". Selles kontekstis võiks öelda, mida "See tähendab "enne matemaatilise iseloomustamise teoreetilist tegevust".) Kuid iga sellise kontseptsiooni jaoks on olemas välised mittematemaatilised kriteeriumid, mida saab kasutada, et hinnata küsimust, kas matemaatiline iseloomustus on piisav. Selles viimases osas toome välja mõned põhiküsimused ja tulemused küsimuses, kas tuletatavus ja mudelteoreetiline kehtivus on selles mõttes piisavad.
2.4.1 Analüüs ja modaalsus
Üks sagedasi vastuväiteid mudelteoreetilise kehtivuse adekvaatsusele on see, et see ei paku loogilise tõe mõiste kontseptuaalset analüüsi isegi Fregeani vormistatud keelte lausete puhul (vt nt Pap 1958, lk 159; Kneale ja Kneale 1962, lk 1). 642; Field 1989, lk 33–4; Etchemendy 1990, ptk 7). See etteheide on eriti levinud autorite seas, kes tunnevad kalduvust tuvastada loogilist tõde ja analüütilist lihtsustajat (vt nt Kneale ja Kneale, ibid., Etchemendy 1990, lk 126). Kui mõelda loogilise tõe kontseptsioonile lihtsalt kui analüütilise tõe kontseptsioonile, siis on eriti mõistlik leppida sellega, et loogilise tõe kontseptsioonil pole palju pistmist mudelteoreetilise kehtivuse mõistega, sest eeldatavasti see mõiste on analüütilise mõistega palju pistmist. Öelda, et valem on mudelteoreetiliselt kehtiv, tähendab, et puuduvad setteoreetilised struktuurid, milles see oleks vale; see tähendab, et öelda, et valem ei ole mudeli-teoreetiliselt kehtiv, tähendab, et on olemas setteoreetilised struktuurid, milles see on vale. Kuid see, et öeldakse lause analüütiliselt või mitte, ei tähenda eeldatavasti midagi setteoreetiliste struktuuride olemasolu ega olematust. Pange tähele, et samadel alustel võiksime tuletatavuse vastu olla, sest väide, et lause on analüütiline või mitte, ei tähenda arvatavasti midagi selle olemasolu kohta või selle kohta, et see pole teatud algoritmi tulemus (võrrelge Etchemendy 1990, lk 3). (Veel üks omapärane,Etchemendy 1990. aastal palju vaieldud väide on, et tõesed väited vormist “(F) on loogiliselt tõesed” või “(F) ei ole loogiliselt tõesed” peaksid ise olema loogilised tõed (samas kui vastavad väited “MTValid ((F))”ja„ Not MTValid ((F))”pole loogilised tõed). Etchemendy väide on ehk loogilise tõe kui analüütilise lihtsustaja kontseptsiooni kohaselt õigustatav, kuid kindlasti kaheldav loogilise tõe traditsiooniliste kontseptsioonide osas, mille puhul predikaat „on loogiline tõde“pole isegi loogiline väljendus. Vt Gómez-Torrente 1998/9 ja Soames 1999, ch. 4 arutamiseks.)mille kohta predikaat „on loogiline tõde“pole isegi loogiline väljend. Vt Gómez-Torrente 1998/9 ja Soames 1999, ch. 4 arutamiseks.)mille kohta predikaat „on loogiline tõde“pole isegi loogiline väljend. Vt Gómez-Torrente 1998/9 ja Soames 1999, ch. 4 arutamiseks.)
Analoogilisi „kontseptuaalse analüüsi puudumise” vastuväiteid saab esitada, kui nõustuda, et loogilise tõe kontseptsioonil on mõni muu analüütilise seosega tugev modaalne noot; näiteks kui aktsepteerime, et loogilise tõe kontseptsiooni osa on see, et loogilised tõed on tõesed kõigis vastuolulistes olukordades või vajalikud mõnes muus tugevas tähenduses. Sher (1996) aktsepteerib midagi sellist, nagu nõue, et loogilist tõde tuleks iseloomustada modaalselt rikkaliku mõistena. Ta väidab siiski, et mudelteoreetilise valiidsuse mõiste on tugevalt modaalne ja seega on kontseptuaalse analüüsi puudumise vastuväide tegelikult vale: öelda, et valem on mudeli teoreetiliselt kehtiv või mitte, on matemaatiline olemasolu või mitte. - olemasolu nõue,ning Sheri sõnul loetakse neid nõudeid kõige paremini väidetena struktuuride võimalikkuse ja vajalikkuse kohta. (Shalkowski 2004 väidab, et Sheri mudelteoreetilise paikapidavuse kaitsmine on loogilise vajaduse teatud metafüüsilise kontseptsiooni põhjal ebapiisav. Etchemendy 2008 väidab sarnaselt, et Sheri kaitse põhineb loogilise tõe modaalsuse ebapiisavatel piirangutel. Vt ka Sheri kriitiline arutelu Hansonis 1997.) García-Carpintero (1993) pakub Sheriga seotud vaate: mudelteoreetiline paikapidavus pakub Fregeani keelte jaoks loogilise tõe (korrektset) kontseptuaalset analüüsi, kuna mõiste teoreetiline struktuur on tegelikult võimaliku tähenduse omistamise moodi mõiste peen täpsustamine. Azzouni (2006), ch. 9,kaitseb ka seisukohta, et mudelteoreetiline paikapidavus pakub loogilise tõe korrektset kontseptuaalset analüüsi (ehkki piiratud esimese astme keeltega), tuginedes loogilises tões osaleva (tugeva) modaalsuse teatud deflatsionistlikule ettekujutusele.
Set-teoreetiliste väidete tavavaade ei näe neid siiski tugevate modaalsete väidetena - parimal juhul on mõned neist modaalsed minimaalses mõttes, et need on universaalsed üldistused või nende erijuhud. Kuid igal juhul on ebaselge, kas see on mudeliteoreetilise kehtivuse või tuletatavuse võimsate vastuväidete alus, sest isegi kui me nõustume loogilise tõe kontseptsiooni tugevalt modaalsega, on ebaselge, kas loogika hea iseloomustus tõde peaks olema kontseptuaalne analüüs. Võib aidata analoogia. On laialt levinud seisukoht, et standardmatemaatikas on võrreldavuse iseloomustus, näiteks kui rekursiivsus, mingis mõttes head iseloomustus. Pange tähele, et arvutusvõime mõiste on mõõdukalt tugevas mõttes modaalne;tundub olevat umbes see, mida meie taoline olend võiks teatud sümbolitega teha, kui ta oleks vaba teatud piirangutest - mitte näiteks selle kohta, mida olemasolevad olendid on teinud või teevad. Kui aga öelda, et teatud funktsioon on rekursiivne, ei tähenda see modaalset väidet, vaid teatud puhtalt aritmeetilist väidet. Nii et rekursiivsus on arvutatavuse hea iseloomustamise jaoks laialdaselt kokku lepitud, kuid see ei anna selgelt kontseptuaalset analüüsi. Võib-olla võiks väita, et mudelteoreetilise kehtivuse või tuletatavuse või mõlemaga olukord on sama. Nii et rekursiivsus on arvutatavuse hea iseloomustamise jaoks laialdaselt kokku lepitud, kuid see ei anna selgelt kontseptuaalset analüüsi. Võib-olla võiks väita, et mudelteoreetilise kehtivuse või tuletatavuse või mõlemaga olukord on sama. Nii et rekursiivsus on arvutatavuse hea iseloomustamise jaoks laialdaselt kokku lepitud, kuid see ei anna selgelt kontseptuaalset analüüsi. Võib-olla võiks väita, et mudelteoreetilise kehtivuse või tuletatavuse või mõlemaga olukord on sama.
Mitu filosoofi lükkab selgesõnaliselt tagasi nõude, et loogilise tõe hea iseloomustus peaks pakkuma kontseptuaalset analüüsi ega sea (vähemalt argumendi huvides) kahtluse alla setteoreetiliste väidete tavapärast vaadet mittemodaalsetena, vaid on väitnud et setteoreetiliste struktuuride universum modelleerib kuidagi võimalike struktuuride universumit (või vähemalt võimalike setteoreetiliste struktuuride universumit; vt McGee 1992, Shapiro 1998, Sagi 2014). Selles kaudses mõttes haaraks iseloomustamine mudelteoreetilise kehtivuse osas osa tugevast modaalsest jõust, mida loogiliste tõdede puhul sageli tajutakse. McGee (1992) esitab selle idee jaoks elegantse argumendi: on mõistlik arvata, et mis tahes komplektteoreetilise struktuuri korral, isegi kui see on välja mõeldud mittematemaatilistest isikutest, on see realiseeritud või mitte,seal on set-teoreetiline struktuur, mis on isomorfne, kuid mis on konstrueeritud eranditult puhaste kogumite põhjal; kuid iga selline puhas setteoreetiline struktuur on tavavaatel realiseeritud; seega modelleeritakse iga võimalik komplektteoreetiline struktuur vastavalt soovile set-teoreetiline struktuur. (Selle olulisus sõltub asjaolust, et Fregeani keeltes vastab valem struktuurile tõepoolest siis ja ainult siis, kui see vastab tõele kõigis isomorfsetes struktuurides.)(Selle olulisus sõltub asjaolust, et Fregeani keeltes vastab valem struktuurile tõepoolest siis ja ainult siis, kui see vastab tõele kõigis isomorfsetes struktuurides.)(Selle olulisus sõltub asjaolust, et Fregeani keeltes vastab valem struktuurile tõepoolest siis ja ainult siis, kui see vastab tõele kõigis selle isomorfsetes struktuurides.)
Kuid mudelateoreetiline paikapidavus (või tuletatavus) võib olla teoreetiliselt mingil moel piisav isegi siis, kui mõnda võimalikku tähenduse määramist ei modelleeri otse (tegelikud) teoreetilised struktuurid. Selleks, et mudelateoreetiline paikapidavus oleks teoreetiliselt piisav, võidakse seda pidada, piisab, kui meil on muid põhjuseid arvata, et see on laiendavalt piisav, st et see langeb kokku meie eelistatud loogilise tõe eelteoreetilise ettekujutusega. Punktides 2.4.2 ja 2.4.3 uurime mõnda olemasolevat argumenti Fregeani keelte tuletatavuse ja mudelteoreetilise paikapidavuse lihtsa laienduse piisavuse poolt ja vastu.
2.4.2 Laiendus: üldine argument
Kui arvutatakse oma deduktiivne kalkulaat ettevaatlikult, suudab ta end veenda, et kõik kalkulatsioonis tuletatavad valemid on loogilised tõed. Põhjus on see, et selle veendumuse saamiseks võis intuitsiooni kasutada väga süstemaatiliselt: arvutusse võisid kuuluda ainult aksioomid, mille puhul on kindel, et need on loogilised tõed; ja järelduse reeglite hulka võis lisada reegleid, millest üks on veendunud, et loogiliste tõdede rakendamisel tekitavad need loogilisi tõdesid. Teist terminoloogiat kasutades tähendab see, et kui arvutatakse hoolega, siis ollakse veendunud, et loogilise tõe tuletatavuse kirjeldus vormindatud keele valemi korral on loogilise tõe suhtes usaldusväärne.
Sama ilmne on see, et kui kellelgi on käes formaliseeritud keele mudeli-teoreetilise kehtivuse ettekujutus, mis põhineb minimaalselt mõistlikul struktuurimõistel, siis on kõik (selle keele) loogilised tõed mudelteoreetiliselt kehtivad. Põhjus on lihtne: kui valem ei ole mudelteoreetiliselt kehtiv, on olemas struktuur, milles see on vale; kuid see struktuur peab siis modelleerima tähendusülesande (või ülesandeid), mille korral valem (või selle loogiline vorm) on vale; seega on võimalik konstrueerida sama loogilise vormiga valem, mille mitteloogilistel avaldistel on täpsustusega konkreetsed tähendused, mis tulenevad sellest kollektiivsest tähenduse omistamisest, ja mis seetõttu on vale. Kuid siis formaalsuse idee ja loogiliste tõdede modaalse jõu nõrgim kontseptsioon viitavad vaieldamatult sellele, et algne valem pole loogiliselt tõene. Teist terminoloogiat kasutades võime järeldada, et mudelteoreetiline paikapidavus on loogilise tõe osas täielik.
Lühendame „(F) on tuletatav arvutamisel (C)“sõnadega „DC ((F))“ja „(F) on loogiline tõde (meie eelistatud eelteoreetilises mõttes)“sõnadega „ LT ((F))”. Siis, kui (C) on arvutusmeetod, mis sobib meie preteoreetilise loogilise tõe kontseptsiooniga, saab olukorra kokku võtta järgmiselt:
(4) (tekst {DC} (F) paremnool \ tekst {LT} (F) paremnool \ tekst {MTValid} (F).)
Esimene vihje on tuletatavuse õigsus; teine on mudelteoreetilise kehtivuse täielikkus.
Et veenda end selles, et loogilise tõe iseloomustused DC ((F)) ja MTValid ((F)) osas on täiendavalt piisavad, peaksime end veenma, et ka vastupidised mõjud kehtivad:
(5) (text {MTValid} (F) Rightarrow \ text {LT} (F) Rightarrow \ text {DC} (F).)
Selle veendumuse saamine või veendumus, et need tagajärjed tegelikult ei kehti, osutub üldiselt keeruliseks. Kuid Kreiseli (1967) märkus kinnitab, et mõnikord võib nende veendumuse saavutada. Mõnel juhul on võimalik esitada matemaatiline tõend selle kohta, et tuletatavus (mõnes täpsustatud kalkuleeritud olekus (C)) on mudeliteoreetilise kehtivuse osas täielik, st.
(6) (tekst {MTValid} (F) paremnool \ tekst {DC} (F).)
Kreisel juhtis tähelepanu asjaolule, et (6) koos (4) -ga viitab sellele, et mudelteoreetiline paikapidavus on loogilise tõe suhtes kindel, st et (5) esimene vihje kehtib. (Rangelt võttes on see Kreiseli märkuse tugev üldistus, mis sõna „(text {LT} (F))” asemel sisaldas midagi sellist, nagu „(F) kehtib kõigis klassistruktuurides” (struktuurid koos klass, mis võib olla õige üksikute muutujate domeenina).) See tähendab, et kui (6) omab mudelteoreetilise kehtivuse mõistet, pakub see loogilise tõe laiendavalt õiget iseloomustust. (Vaata selle vaatluse versioone Etchemendy 1990, p 11, Hanson 1997, Gómez-Torrente 1998/9 ja Field 2008, ptk 2, vastuväidete kohta aga Smith 2011 ja Griffiths 2014.) Ka (6), koos koos (4),tähendab, et tuletatavuse mõiste on loogilise tõe suhtes täielik (teine implikatsioon punktis 5), ning pakub selle mõiste laiendavalt õiget kirjeldust. Pange tähele, et see arutluskäik on väga üldine ja sõltumatu sellest, milline on meie konkreetne preteoreetiline ettekujutus loogilisest tõest.
Eriti oluline juhtum, kus seda arutluskäiku saab rakendada, on esimese astme kvantitatiivsed keeled, mis hõlmavad paljusid loogilise tõe eelteoreetilisi kontseptsioone. Tüüpiline on aktsepteerida, et kõik valemid, mis on tuletatavad tüüpilise esimese astme arvutustes, on universaalselt kehtivad, tõsi kõigis vastassuunalistes olukordades, a priori ja analüütiliste valemite olemasolu korral. [10]Niisiis (4) kuulub antud juhul lai valik eelteoreetilisi kontseptsioone. (6) kehtib ka tüüpiliste kõnesolevate arvutuste jaoks, tulenevalt Gödeli täielikkuse teoreemist, nii et (5) kehtib. See tähendab, et saab veenda iseennast, et nii tuletatavus kui ka mudeliteoreetiline paikapidavus on laias laastus õige iseloomustus meie eelistusteoreetilisele loogilise tõe ettekujutusele esimese astme keeltes, kui meie eelteoreetiline kontseptsioon pole liiga ekstsentriline. Teistes Fregeani traditsiooni jaoks eriti olulistes keeltes, kõrgema järgu kvantifitseerimiskeeltes, pole olukord nii selge.
2.4.3 Laiendus: kõrgema astme keeled
Gödeli esimesest mittetäielikkuse teoreemist järeldub, et juba teise astme keele jaoks pole arvutuslikku väärtust (C), kus tuletatavus oleks mudeli-teoreetilise kehtivuse suhtes kindel ja mis vastaks tõele (6) (mudelateoreetilise mõiste jaoks) kehtivus, nagu sellise keele puhul tavaliselt määratletakse). Seda tulemust võime nimetada teise järgu arvutuste mittetäielikkuseks mudelateoreetilise kehtivuse suhtes. Teisiti öeldes: iga teisese järgu kalkulatsiooni (C) heli kohta mudeliteoreetilise kehtivuse korral on valem (F) selline, et (tekst {MTValid} (F)), kuid see on mitte siis, kui (tekst {DC} (F)).
Selles olukorras pole Kreiseli argumenti (5) võimalik rakendada. Tegelikult näitab teise järgu kalkulatsioonide ebatäpsus, et arvestades mis tahes arvulist (C), mis rahuldab (4), on punkti 5 üks tähendus vale (või on mõlemad): kas tuletatavus väärtuses (C) on loogilise tõe osas puudulik või mudelteoreetiline paikapidavus on loogilise tõe suhtes ebatäpne.
Erinevad autorid on välja lõpetanud vastupidised õppetunnid. Üldine reaktsioon on arvamus, et mudelteoreetiline paikapidavus peab olema loogilise tõe suhtes valesti. See on eriti sagedane filosoofide puhul, kelle kontseptsiooni loogilised tõed peavad olema a priori või analüütilised. Üks idee on see, et a priori mõttekäigu või analüütilise mõtlemise tulemused peaksid olema arvutatavas vormis kodifitseeritavad. (Vt nt Wagner 1987, lk 8.) Kuid isegi kui me selle idee heaks kiidame, on kahtlane, kas soovitud järeldus järgneb. Oletame, et i) iga a priori või analüütiline arutluskäik peab olema reprodutseeritav. Muidugi aktsepteerime ka seda, et (ii) iga arvutuskõla (C) heli kohta mudeliteoreetilise kehtivuse korral on olemas mudeli teoreetiliselt kehtiv valem, mis ei ole tuletatav väärtuses (C). Sellest kõigest ei piisat järgida seda, et (iii) on olemas mudeli teoreetiliselt kehtiv valem (F), nii et mudeli teoreetilise kehtivuse kõnekvaliteedi (C) heli ei ole C-s tuletatav. Punktidest iii ja i järeldub muidugi, et on olemas mudelteoreetiliselt kehtivad valemid, mida ei saa a priori ega analüütiliselt põhjendada. Kuid samm (ii) kuni (iii) on tüüpiline kvantitatiivne eksitus. Punktidest i ja ii ei järeldu, et oleks olemas mingit mudeli teoreetiliselt kehtivat valemit, mida ei saa a priori ega analüütiliselt põhjendada. Ainuke asi, mis järeldub (ainuüksi punktist ii) eeldustel, et mudelteoreetiline paikapidavus on loogilise tõe suhtes kindel ja loogilised tõed on a priori ja analüütilised) on see, et ükski mudeli-teoreetilise paikapidavuse arvutamise kõla ei saa ise modelleerib kõiki a priori või analüütilisi põhjendusi, mida inimesed on võimelised tegema. Kuid pole piisavalt selge, kas see peaks olema sisemiselt problemaatiline. Lõppude lõpuks peavad a priori ja analüütilised mõttekäigud algama põhiaksioomidest ja reeglitest ning kõigi jaoks on reflektiivsel meelel ammendamatu võime leida uusi tõdesid ja tõe säilitamise reegleid a priori või analüütilise kaalutlusega isegi vähese koguse mõisted. Väide, et kõik analüütilised tõed peaksid olema tuletatavad ühest arvutusest, on võib-olla usutav, kuna analüütilisust tuleb selgitada konventsioonide või vaikivate kokkulepetega, kuna nende lepingute arv on eeldatavalt piiratud ja nende mõju on eeldatavalt kõige suurem tegelikult loendatav. Kuid see vaade on vaid üks problemaatiline idee selle kohta, kuidas tuleks lahti seletada prioriteetsust ja analüütilisust. (Vt ka Etchemendy (1990), ptk 8, 9, argumenti kõrgema järgu mudeliteoreetilise kehtivuse põhjendamatuse kohta, mis põhineb loogilise tõe kontseptsioonil analüütilise lihtsustajana, ja Gómez-Torrente (1998/9), Soames (1999), ptk 4 ja Paseau (2014) kriitiliste reaktsioonide jaoks.)Kuid see vaade on vaid üks problemaatiline idee selle kohta, kuidas tuleks lahti seletada prioriteetsust ja analüütilisust. (Vt ka Etchemendy (1990), ptk 8, 9, argumenti kõrgema järgu mudeliteoreetilise kehtivuse põhjendamatuse kohta, mis põhineb loogilise tõe kontseptsioonil analüütilise lihtsustajana, ja Gómez-Torrente (1998/9), Soames (1999), ptk 4 ja Paseau (2014) kriitiliste reaktsioonide jaoks.)Kuid see vaade on vaid üks problemaatiline idee selle kohta, kuidas tuleks lahti seletada prioriteetsust ja analüütilisust. (Vt ka Etchemendy (1990), ptk 8, 9, argumenti kõrgema järgu mudeliteoreetilise kehtivuse põhjendamatuse kohta, mis põhineb loogilise tõe kontseptsioonil analüütilise lihtsustajana, ja Gómez-Torrente (1998/9), Soames (1999), ptk 4 ja Paseau (2014) kriitiliste reaktsioonide jaoks.)
Teist tüüpi valed argumendid üritavad näidata, et on olemas mõni kõrgema astme valem, mis on mudelteoreetiliselt kehtiv, kuid on intuitiivselt vale struktuuris, mille domeen on õige klass. (Komplekti teooria kavandatud tõlgendus, kui see üldse eksisteerib, võib olla üks selline struktuur, sest see pole kindlasti komplekt; vt sissekannet set teooria kohta.) Need argumendid seavad kahtluse alla väite, et iga tähenduse ülesande kehtivus - võimsuse ümberlükkamine on modelleeritud mingi set-teoreetilise struktuuri abil, see väide on kindlasti tagajärg esimesest implikatsioonist punktis (5). (McGee 1992 on hea näide; Gómez-Torrente 1998/9-s on kriitiline arutelu.) Kõige levinum vaade valitud teoreetikute seas näib olevat see, et Fregeani keeltes pole selle omadusega valemeid, kuid see pole kindlasti nende täiesti kindel usk. Pange tähele, et need argumendid pakuvad väljakutset ainult mõttele, et universaalset kehtivust (nagu on määratletud jaotises 2.3) modelleeritakse adekvaatselt setteoreetilise kehtivusega, mitte loogilise tõe iseloomustamise õigsust universaalse kehtivuse enda või terminite osas. kehtivusliigi kohta, mis põhineb mõnel „tähenduse omistamine”, mis erineb tavalisest setteoreetilise struktuuri mõistest. (Eelmises lõigus ja punktis 2.4.1 nimetatud argumentidel oleks õige, kui need oleksid õigemad, sügavamad tagajärjed, kuna need tähendavad hõlpsalt väljakutseid kõigi karakteristikute osas ka kehtivusliikide osas). Tegelikult on sedalaadi mured ajendanud pakkuma teistsuguseid kehtivusmõisteid (fregei keelte jaoks).milles set-teoreetilised struktuurid asendatakse kõrgemate astmete muutujate sobivate väärtustega kõrgemat järku keeles setteooria jaoks, nt „mitmustõlgendustega” (vt Boolos 1985, Rayo ja Uzquiano 1999, Williamson 2003; vt ka sissekannet mitmuse kvantifitseerimine). Nii set-teoreetiline kui ka õige klassistruktuur on selliste väärtuste abil modelleeritud, seega need konkreetsed põhjendamatuse mured sedalaadi ettepanekuid ei mõjuta.
Üldiselt puuduvad lõputöö jaoks täiesti rahuldavad filosoofilised argumendid selle kohta, et mudelteoreetiline paikapidavus on kõrgema järgu keeltes loogilise tõe suhtes alusetu. Kas on siis mõjuvaid põhjuseid arvata, et tuletatavus (mis tahes mudeli-teoreetilise kehtivuse arvutuskõlas) peab loogilise tõe osas olema puudulik? Tundub, et ka sellel seisukohal pole absoluutselt veenvaid põhjuseid. Peamine argument (mille esimene versioon tehti ehk esmakordselt selgesõnaliseks Tarski 1936a, 1936b) näib olevat see. Nagu eespool märgitud, tähendab Gödeli esimene mittetäielikkuse teoreem, et kõrgema järku keele jaoks kõigi arvutuste jaoks on olemas mudelateoreetiliselt kehtiv valem, mida arvutamisel ei saa tuletada. Nagu selgub,Gödeli konstruktsiooni abil saadud valem on samuti intuitiivselt tõene kõigis valdkondades (kas teoreetiline või mitte) ja on mõistlik arvata, et see on üldiselt kehtiv. (See ei ole kindlasti vale vale korralikus klassistruktuuris.) Argumendist järeldatakse, et mis tahes arvutuse jaoks on loogiliselt õiged valemid, mis pole selles tuletatavad.
Sellest järeldati, et tuletatavus (mis tahes arvutustes) peab loogilise tõe suhtes olema puudulik. Kuid põhiprobleem on see, et see järeldus põhineb kahel eeldusel, mida tuletatavuse eestkõneleja tingimata ei luba: esiteks eeldus, et kõrgema astme keeltes kataloogitavad väljendid on tavaliselt loogilised ja eriti kvantitatiivid kvantifitseerimisel vorm (forall X) (kus (X) on kõrgema järgu muutuja) on tegelikult loogilised avaldised; ja teiseks, eeldus, et universaalne kehtivus on loogilise tõe piisav tingimus. Nendel eeldustel on kindlasti mõistlik arvata, et tuletatavus, mis vastab mis tahes nõuetele vastavasse arvutusse (4), peab olema loogilise tõe osas puudulik. Kuid täiendavate kaalutluste puudumiselkriitik võib eeldused kahtluse alla seada ja argumendi olulisust eitada. Teist eeldust seatakse tõenäoliselt kahtluse alla, näiteks seisukohast, et loogilised tõed peavad olema analüütilised, sest pole kindlat põhjust arvata, et universaalselt kehtivad valemid peavad olema analüütilised. Esimene eeldus tugineb tegelikult mis tahes veendumusele, mis võib olla olemas (4) ühe kindla kõrgema järgu kalkulatsiooni puhul. (Pange tähele, et kui me eitaksime kõrgema järgu kvantifikaatorite loogilisi väljendeid, võiksime samamoodi eitada, et eespool esitatud argumendid mudelateoreetilise paikapidavuse õigsuse kohta loogilise tõe suhtes on üldse asjakohased.) Et kõrgema järgu kvantifikaatorid on loogilist on sageli eitatud põhjusel, et need on semantiliselt liiga sisulised. Sellega seoses tuuakse sageli välja, et kõrgema järgu kvantifikatsioone saab kasutada keerukate set-teoreetiliste omaduste määratlemiseks, mida ei saa määratleda ainult esimese järgu kvantifikaatorite abil. (Kõrgema järgu kvantifikatsioonide loogilise staatuse kaitsjad osutavad seevastu kõrgema järgu kvantifikaatorite laiale kohaldatavusele, tõsiasjale, et need on analoogsed esimese järgu kvantifikaatoritega, tõsiasjale, et tavaliselt mis on vajalikud matemaatiliste struktuuride kategooriliste aksiomaatiseerimiste pakkumiseks jne. Piirava vaate standardeksponendi jaoks vaadake Quine (1970), p 5 ja liberaalse vaate standardsete eksponentide kohta Boolos (1975) ja Shapiro (1991).)(Kõrgema järgu kvantifikatsioonide loogilise staatuse kaitsjad osutavad seevastu kõrgema järgu kvantifikaatorite laiale kohaldatavusele, tõsiasjale, et need on analoogsed esimese järgu kvantifikaatoritega, tõsiasjale, et tavaliselt mis on vajalikud matemaatiliste struktuuride kategooriliste aksiomaatiseerimiste pakkumiseks jne. Piirava vaate standardeksponendi jaoks vaadake Quine (1970), p 5 ja liberaalse vaate standardsete eksponentide kohta Boolos (1975) ja Shapiro (1991).)(Kõrgema järgu kvantifikaatorite loogilise staatuse kaitsjad osutavad seevastu kõrgema järgu kvantifikaatorite laiale kohaldatavusele, tõsiasjale, et need on analoogsed esimese järgu kvantifikaatoritega, tõsiasjale, et tavaliselt mis on vajalikud matemaatiliste struktuuride kategooriliste aksiomaatiseerimiste pakkumiseks jne. Piirava vaate standardeksponendi jaoks vaadake Quine (1970), p 5 ja liberaalse vaate standardsete eksponentide kohta Boolos (1975) ja Shapiro (1991).)piirava vaate standardeksponendi jaoks ning Boolos (1975) ja Shapiro (1991) liberaalse vaate standardeksponentide jaoks.)piirava vaate standardeksponendi jaoks ning Boolos (1975) ja Shapiro (1991) liberaalse vaate standardeksponentide jaoks.)
Bibliograafia
Aphrodisiase Aleksander, väljaandes Aristotelis Analyticorum Priorum Librum I Commentarium, M. Wallies (toim), Berliin: Reimer, 1883.
Allison, H., 1983, Kanti transtsendentaalne idealism. Tõlgendamine ja kaitsmine, New Haven: Yale University Press.
Aristoteles, Analytica Priora ja Posteriora, WD Ross (toim), Oxford: Clarendon Press, 1964.
–––, Topica ja Sophistici Elenchi, WD Ross (toim), Oxford: Clarendon Press, 1974.
Azzouni, J., 2006, jälgimise põhjus: tõestus, tagajärg ja tõde. Oxford: Oxford University Press.
Belnap, ND, 1962, “Tonk, Plonk and Plink”, analüüs, 22: 130–4.
Bernays, P., 1930, “Matemaatika filosoofia ja Hilberti tõestusteooria”, tõlkinud P. Mancosu, Mancosus (toim) Brouwerist Hilbertini, Oxford: Oxford University Press, 1998.
Boghossian, P., 1997, “Analyticity”, osades B. Hale ja C. Wright (toim), keeleoskuse filosoofia kaaslane, Oxford: Blackwell, lk 331–68.
––– 2000, „Loogika tundmine“, P. Boghossian ja C. Peacocke (toim), New Essays on A Priori, Oxford: Clarendon Press, lk 229–54.
Bolzano, B., 1837, Teooria teooria, osaline tõlge R. George'ilt, Oxford: Blackwell, 1972.
BonJour, L., 1998, Puhas mõistuse kaitsmine, New York: Cambridge University Press.
Bonnay, D., 2008, “Loogilisus ja muutumatus”, Sümboolse loogika bülletään, 14: 29–68.
Boolos, G., 1975, “Teise astme loogikast”, Journal of Philosophy, 72: lk 509–27.
––– 1985, “Nominalistlik platonism”, tema loogika, loogika ja loogika, Cambridge, MA: Harvard University Press, lk 73–87.
Capozzi, M. ja G. Roncaglia, 2009, “Loogika ja loogikafilosoofia humanismist Kanti”, L. Haaparanta (toim), The Modern Logic Development, Oxford: Oxford University Press, lk 78–158.
Carnap, R., 1939, loogika ja matemaatika alused (Rahvusvahelise Ühendatud Teaduse Entsüklopeedia, Vols. I-II), Chicago: University of Chicago Press.
–––, 1963, “Vastused ja süstemaatilised ekspositsioonid”, PA Schilpp (toim), Rudolf Carnapi filosoofia, La Salle, IL: avatud kohus, lk 859–1013.
Carroll, L., 1895, “Mida ütles kilpkonn Achilleusele”, Mind, 4: 278–80.
Chihara, C., 1998, “Tarski väitekiri ja matemaatika ontoloogia”, M. Schirnis (toim), Matemaatika filosoofia tänapäeval, Oxford: Oxford University Press, lk 157–72.
–––, 2008, “Reflections on tagajärg”, D. Patterson (toim), New Essays on Tarski and Philosophy, Oxford: Oxford University Press, lk 263–99.
Feferman, S., 1999, “Loogika, loogika ja loogika”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40: 31–54.
Field, H., 1989, Realism, matemaatika ja moodus, Oxford: Blackwell.
––– 2008, tõe päästmine Paradoxist, Oxford: Oxford University Press.
–––, 2015, “Mis on loogiline kehtivus?”, CR Caret ja OT Hjortland (toim.), Loogiliste tagajärgede alused, Oxford: Oxford University Press, lk 33–70.
Franks, C., 2014, “Loogiline nihilism”, P. Rushis (toim), Loogika metafüüsika, Cambridge: Cambridge University Press, lk 109–27.
Frege, G., 1879, “Begriffsschrift, valemikeel, mis on modelleeritud aritmeetikaga puhta mõtte jaoks”, tõlkinud S. Bauer-Mengelberg, ajakirjas J. van Heijenoort (toim.) Frege'st Gödelini, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967, lk 1–82.
–––, 1885, „Aritmeetika ametlikest teooriatest”, tema kogutud materjalides matemaatika, loogika ja filosoofia kohta, B. McGuinness (toim), Oxford: Blackwell, 1984, lk 112–21.
García-Carpintero, M., 1993, “Loogiliste omaduste mudelteoreetilise kirjelduse alused”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 107–31.
Gómez-Torrente, M., 1998/9, “Loogiline tõde ja Tarski loogiline tõde”, Synthese, 117: 375–408.
–––, 2002, “Loogiliste konstantide probleem”, Sümboolse loogika bülletään, 8: 1–37.
––– 2008, „Kas leidub mudelateoreetilisi loogilisi tõdesid, mis pole loogiliselt tõesed?“, D. Patterson (toim.), New Essees on Tarski and Philosophy, Oxford: Oxford University Press, lk 340–68.
Grice, P. ja PF Strawson, 1956, “Kaitsmaks dogmat”, Grice, Studies in the Way of Words, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1989, lk 196–212.
Griffiths, O., 2014, “Formaalne ja mitteametlik tagajärg”, mõte, 3: 9–20.
Hacking, I., 1979, “Mis on loogika?”, Ajakiri Filosoofia, 76: 285–319.
Hanna, R., 2001, Kant ja analüütilise filosoofia alused, Oxford: Clarendon Press.
–––, 2006, Ratsionaalsus ja loogika, Cambridge, MA: MIT Press.
Hanson, W., 1997, “Loogilise tagajärje mõiste”, Filosoofiline ülevaade, 106: 365–409.
Husserl, E., 1901, Logical Investigations, Vol. II, London: Routledge, 2001.
Iacona, A., 2018, loogiline vorm. Loogika ja looduskeele vahel, Cham: Springer.
Jané, I., 2006, “Mis on Tarski üldine tagajärje kontseptsioon?”, Sümboolse loogika bülletään, 12: 1–42.
Kant, I., Puhta põhjuse kriitika, tõlkivad P. Guyer ja AW Wood, Cambridge: Cambridge University Press, 1998.
Kneale, W., 1956, “Loogika provints”, HD Lewis (toim), Briti kaasaegne filosoofia, 3. seeria, London: Allen & Unwin.
Kneale, W. ja M. Kneale, 1962, The Logic Development, Oxford: Clarendon Press.
Knuuttila, S., 1982, “Modal Logic”, artiklites N. Kretzmann, A. Kenny ja J. Pinborg (toim.), Cambridge History of vēlāk Medieval Philosophy, Cambridge: Cambridge University Press, lk 342–57.
Kreisel, G., 1967, “Mitteametlik ranguse ja täielikkuse tõestamine”, I. Lakatos (toim), Matemaatika filosoofia probleemid, Amsterdam: Põhja-Holland, lk 138–71.
Kretzmann, N., 1982, “Syncategoremata, Sophismata, Exponibilia”, artiklites N. Kretzmann, A. Kenny ja J. Pinborg (toim.), Cambridge History of Hie Medieval Philosophy, Cambridge: Cambridge University Press, lk 211–. 45
Leibniz, GW, kiri Bourguet'ile (XII), CI Gerhardtis (toim), Die philosophische Schriften von GW Leibniz, Hildesheim: Olms, 1965, vol. III, lk 572–6.
–––, „Primæ Veritates”, L. Couturat (toim), Opuscules et Fragments Inédits de Leibniz, Hildesheim: Olms, 1961, lk 518–23.
–––, „Discours de Métaphysique”, CI Gerhardt (toim), Die philosophische Schriften von GW Leibniz, Hildesheim: Olms, 1965, vol. IV, lk 427–63.
–––, „Analysis Linguarum”, publikatsioonides L. Couturat (toim), Opuscules et Fragments Inédits de Leibniz, Hildesheim: Olms, 1961, lk 351–4.
Peacocke, C., 1987, “Loogiliste konstantide mõistmine: realisti konto”, Briti Akadeemia Toimetised, 73: 153–200.
Prawitz, D., 1985, “Märkused mõne lähenemisviisi kohta loogilise tagajärje kontseptsioonile”, Synthese, 62: 153–71.
Priest, G., 2001, “Loogika: üks või palju?”, J. Woods ja B. Brown (toim.), Loogiline tagajärg: Rival Approaches, Oxford: Hermes Science Publishing, lk 23–38.
Enne AN, 1960, “Runabout Inference-Ticket”, analüüs, 21: 38–9.
Putnam, H., 1968, “Kvantmehaanika loogika” oma matemaatikas, matemaatikas ja meetodis. Philosophical Papers, 1. köide, Cambridge: Cambridge University Press, 1975, lk 174–197.
Quine, WV, 1936, “Tõde konventsiooni järgi”, paradoksi ja teiste esseede viisides, muudetud väljaanne, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1976, lk 77–106.
––– 1951, „Empiirika kaks dogmat” oma loogilisest vaatenurgast, teine väljaanne, muudetud, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1980, lk 20–46.
–––, 1954, „Carnap ja loogiline tõde” oma paradoksi ja teiste esseede viisides, muudetud väljaanne, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1976, lk 107–32.
–––, 1963, „Vajalik tõde“oma paradoksi viisides ja teistes esseedes, muudetud väljaanne, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1976, lk 68–76.
Rayo, A. ja G. Uzquiano, 1999, “Teise astme tagajärgede teooria poole”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40: 315–25.
Loe S., 1994, “Formaalne ja materiaalne tagajärg”, Journal of Philosophical Logic, 23: 247–65.
Rumfitt, I., 2015, Mõtte piirikivid. Essee loogikafilosoofias, Oxford: Clarendon Press.
Russell, B., 1903, Matemaatika põhimõtted, New York: Norton, 1938.
–––, 1912, Filosoofia probleemid, Oxford: Oxford University Press, 1976.
–––, 1920, Matemaatilise filosoofia sissejuhatus, teine trükk. New York: Macmillan.
Sagi, G., 2014, “Mudelid ja loogiline tagajärg”, Journal of Philosophical Logic, 43: 943–964.
Sainsbury, M., 1991, Logical Forms, Oxford: Blackwell.
Shalkowski, S., 2004, “Loogika ja absoluutne vajadus”, ajakiri Filosoofia, 101: 55–82.
Shapiro, S., 1991, Sihtasutused ilma fundamentaalsuseta: teise astme loogika juhtum, Oxford: Clarendon Press.
–––, 1998, “Loogiline tagajärg: mudelid ja modaalsus”, M. Schirnis (toim), Oxfordi matemaatikafilosoofia tänapäeval, Oxford University Press, lk 131–56.
Sher, G., 1991, The Bounds of Logic, Cambridge, MA: MIT Press.
––– 1996, „Kas Tarski pani toime“Tarski eksituse”?”, Journal of Symbolic Logic, 61: 653–86.
–––, 2013, „Loogika põhiprobleem“, Sümboolse loogika bülletään, 19: 145–98.
Warmbrōd, K., 1999, “Loogilised konstandid”, Mind, 108: 503–38.
Williamson, T., 2003, „Kõik”, D. Zimmerman ja J. Hawthorne (toim.), Philosophical Perspectives 17: Keel ja filosoofiline lingvistika, Oxford: Blackwell, lk 415–65.
Wittgenstein, L., 1921, Tractatus Logico-Philosophicus, tõlkinud CK Ogden, London: Routledge, 1990.
–––, 1978, Märkused matemaatika aluste kohta, muudetud väljaanne, GH Von Wright, R. Rhees ja GEM Anscombe (toim), Cambridge, MA: MIT Press.
