Esmakordselt avaldatud ke 20. november 1996; sisuline redaktsioon teisipäev, 21. mai 2019
Mõistet „loogiline konstruktsioon” kasutas Bertrand Russell sarnaste filosoofiliste teooriate sarja kirjeldamiseks, mis algasid 1901. aasta „Frege-Russelli” numbrite klassidena määratlemisega ja jätkusid ruumi, aja ja mateeria mõistete „konstrueerimise” kaudu pärast seda 1914. Alates 1920. aastatest on filosoofid arutanud “loogilise konstruktsiooni” kui meetodi olulisuse üle analüütilises filosoofias ja pakkunud välja erinevaid võimalusi Russelli mõiste tõlgendamiseks. Mõnda innustati konstruktsiooninäidetega oma projekte arendama. Russelli loogilise ehituse mõiste mõjutas nii Carnapi projekti füüsilise maailma konstrueerimiseks kogemusest kui ka Quine'i arusaama seletamisest ning oli eeskujuks seatud teoreetiliste rekonstruktsioonide kasutamisel formaalses filosoofias hiljem, XX sajandil.
Alles oma tööle tagasi vaadates, programmilises 1924. aasta essees “Loogiline atomism”, kirjeldas Russell kõigepealt erinevaid loogilisi määratlusi ja filosoofilisi analüüse kui “loogilisi konstruktsioone”. Ta tõi näidetena numbrite Frege-Russelli definitsiooni klassidena, kindlate kirjelduste teooria, mateeria konstrueerimise sensoorsest andmest ja seejärel seeriad, järgarvud ja reaalarvud. Kuna Russell kasutab klasside väljendite „kontekstuaalseid” määratlusi ja konkreetsete kirjelduste teooria eripära, nimetas ta selliste olemite väljendeid regulaarselt „ebatäielikeks sümboliteks” ja entiteetide endi „loogilisteks fiktsioonideks”.
Loogilised konstruktsioonid erinevad selle poolest, kas need hõlmavad selgesõnalisi definitsioone või kontekstuaalseid määratlusi, ning selles osas, milles nende tulemust tuleks kirjeldada nii, et see näitab, et konstrueeritud objekt on pelk „väljamõeldis“. Russelli 1901. aasta definitsioon numbrite kui võrdkujuliste klasside klasside kohta seisneb sirgjooneliselt ühe tüübi olemuse konstrueerimisel teiste selgesõnalise määratlusega klassina. Sellele järgnes kindlate kirjelduste teooria aastal 1905 ja klasside määratlemata jätmise teooria Principia Mathematica klassis 1910. aastal, mis mõlemad hõlmasid kontekstipõhise määratluse eristavat tehnikat. Kontekstuaalses määratluses elimineeritakse ilmsed ainsuseterminid (kas kindlad kirjeldused või klassiterminid) reeglite abil, mis määratlevad kogu lause, milles need esinevad. Konstruktsioone, mis on sarnased kontekstuaalseid määratlusi kasutavatele, nimetatakse tavaliselt “mittetäielikeks sümboliteks”, samasuguseid, nagu klasside teooria, nimetatakse “fiktsioonideks”. Russell lisas mateeria, ruumi ja aja konstrueerimise aistingute andmete klassidena oma 1924. aasta nimekirja lõppu. Loogilise ehituse mõiste tõlgendamise peamine probleem on mõista, mis neil erinevatel näidetel on ühist ja kuidas mateeria konstrueerimine on võrreldav numbrite kui klasside varase konstruktsiooni või kindlate kirjelduste ja „klassideta klasside teooriaga” Klasside teooria. Ükski väljenditest “väljamõeldis”, “mittetäielik sümbol” ega isegi “konstrueeritud” ei tundu sobivaks tuttava füüsilise maailma ja seda hõivavate materiaalsete objektide põhijoonte analüüsimiseks.
1. Aus Toil
2. Loogiline analüüs ja loogiline konstrueerimine
3. Looduslikud numbrid
4. Kindlad kirjeldused
5. klassid
6. Seeriad, tavalised numbrid ja pärisnumbrid
7. Matemaatilised funktsioonid
8. Ettepanekud ja nende funktsioonid
9. Materjali ehitus
10. Loogilise ehituse järeltulijad
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed
1. Aus Toil
Varaseim ehitis Russelli 1924. aasta loendis on kuulus numbrite Frege / Russelli määratlus kui võrdse arvuklassi klass alates 1901. aastast (Russell 1993, 320). Määratlus järgib eelmisel sajandil kivimite jaoks välja pakutud piiride ja järjepidevuse mõistete määratluste näidet. Russell ei rahuldanud Peano aksioomide vastuvõtmist naturaalarvude teooria alusena ja seejärel näitamist, kuidas numbrite omadusi saab nendest aksioomidest loogiliselt järeldada. Selle asemel määratles ta põhimõisted „arv“, „järeltulija“ja „0“ning tegi ettepaneku näidata nende põhimõistete hoolikalt valitud määratlustega loogiliste mõistete tähenduses, et need aksioomid võiks tuletada üksnes loogika põhimõtetest.
Russell määratles naturaalarvud võrdselt klasside klassidena. Mis tahes paari, kaheliikmelise klassi, võib pidada üks-ühele vastavaks mõne teisega, seega on kõik paarid võrdsed. Seejärel identifitseeritakse number kaks kõigi paaride klassiga. Võrdsete arvude klasside vahelist seost, kui on olemas selline ühene kaardistamine, nimetatakse sarnasuseks. Sarnasust määratletakse üksnes kvantitatiivide ja identiteedi loogiliste mõistete kaudu. Selliselt määratletud naturaalarvude abil saab Peano aksioomid tuletada ainult loogiliste vahenditega. Naturaalarvude järel lisab Russell oma konstruktsioonide loendisse “seeriad, järgarvud ja reaalarvud” (1924, 166) ja lõpetab siis mateeria ehitamisega.
Russell tunnustab AN Whiteheadit 1914. aastal lahenduse abil sensoorandmete ja füüsika suhete probleemile:
Minu sõber ja kaastöötaja Dr Whitehead on mulle selle probleemi olulisusest teadlikuks teinud, kellele tulenevad peaaegu kõik erinevused siin pooldatud ja filosoofiaprobleemides pakutud seisukohtade vahel. Ma võlgnen talle punktide määratluse ning soovituse käsitleda hetki ja “asju” ning kogu füüsikumaailma kontseptsiooni pigem konstruktsioonina kui järeldustena. (Russell 1914b, vi)
Alles hiljem, essees, milles Russell mõtiskles oma filosoofia üle, kirjeldas ta ka oma varasemaid loogilisi ettepanekuid kui „loogilisi konstruktsioone”. Selle meetodi esimene konkreetne sõnastus, mille eesmärk on asendada järeldused ehitusega kui üldise meetodiga filosoofias, on essees “Loogiline atomism”:
Üks väga oluline heuristiline maksimum, mida dr Whitehead ja mina leidsime kogemuse põhjal matemaatilises loogikas rakendatavaks ja mida hiljem on rakendatud paljudes teistes valdkondades, on Occami habemenuga. Kui mõnel oletatavate olendite komplektil on puhas loogiline omadus, selgub paljudel juhtudel, et oletatavaid olemeid saab asendada puhtalt loogiliste struktuuridega, mis koosnevad entiteetidest, millel pole nii kena omadust. Sel juhul saame senini väidetavate olemite kohta arvatava väidete kogumi tõlgendamisel loogilisi struktuure asendada, ilma et muudaksime kõne all olevate väidete kogu üksikasju. See on säästlikkus, kuna puhaste loogiliste omadustega olemitest järeldatakse alati ja kui ettepanekuid, milles need esinevad, saab tõlgendada ilma seda järeldust tegema,alus järelduste tegemiseks ebaõnnestub ja meie ettepanekute kogum on kaitstud kaheldava sammu vajaduse eest. Põhimõte võib olla esitatud järgmiselt: "Kui vähegi võimalik, asendage teadaolevate üksuste konstruktsioonid tundmatutele üksustele tehtavate järeldustega". (Russell 1924, 160)
Russell viitas oma sissejuhatuses matemaatilise filosoofia sageli tsiteeritud lõigule loogilistele konstruktsioonidele. Ta on vastu kaudsete määratlustega olemite tutvustamisele, see tähendab asjadele, mis vastavad teatud aksioomidele või “postuleerivad”:
Soovitud postuleerimise meetodil on palju eeliseid; need on samad, mis varguse eelistel ausate vaevade ees. Jätame need teiste hooleks ja jätkame oma ausa vaevaga. (Russell 1919, 71)
Ta väidab, et meil on vaja näidata, et leidub objekte, mis vastavad nendele aksioomidele. Siin tuleb vaeva näha numbrite definitsioonide sõnastamisega, nii et nende abil saaks aksioome täita ainult loogiliste järelduste abil.
Loogiliste konstruktsioonide kirjeldus „mittetäielike sümbolitena” tuleneb kontekstuaalsete definitsioonide kasutamisest, mis pakuvad analüüsi või asenda iga lause, milles määratletud sümbol võib esineda. Määratlus ei anna selget määratlust, näiteks võrrandit ühelt poolt määratletud avaldisega, mis on teiselt poolt määratletud määratlusega, ega universaalset lauset, mis annab vajalikud ja piisavad tingimused termini kasutamiseks eraldatult. Seos väljamõeldise ja väljendatud "mittetäieliku sümboli" vahel on klasside teooria abil nähtav Russelli piiratud kardinaalsete ja järgarvuliste arvude konstruktsioonides. See "klassideta" teooria muudab klassiterminite kontekstipõhiste määratluste kaudu kõik numbrid "ebatäielikeks sümboliteks" ja seega võib numbreid vaadelda kui "loogilisi fiktsioone".
Ehituse ja loogilise väljamõeldise kontseptsioonid esinevad selles kokkuvõttes Russelli „Loogilise atomismi filosoofia” loengutest:
Te leiate, et metafüüsilise üksusena seatud asja võib kas dogmaatiliselt eeldada, et see on reaalne, ja siis ei ole teil võimalikku argumenti ei selle reaalsuse ega selle vastu; või selle asemel, et seda teha, saate konstrueerida loogilise väljamõeldise, millel on samad formaalsed omadused või millel on pigem formaalselt analoogsed formaalsed omadused kui väidetava metafüüsilise olemi omadustel ja mis koosneb iseenesest empiiriliselt antud asjadest, ja loogiline väljamõeldis võib teie omaga asendada oletatav metafüüsiline olem ja täidab kõiki teaduslikke eesmärke, mida igaüks võib ihaldada. (Russell 1918, 144)
Mittetäielikud sümbolid, kirjeldused, klassid ja loogilised väljamõeldised identifitseeritakse omavahel ja seejärel „tuttavate igapäevaelu objektidega” järgmises lõigus varasematest loengutest:
Lisaks kirjeldustele on väga palju muid mittetäielikke sümboleid. Seal on klassid … ja suhteid võetakse pikemalt jne. Sellised sümbolite liitmised on tõesti samad, mida ma nimetan “loogilisteks väljamõeldisteks” ja hõlmavad praktiliselt kõiki igapäevaelu tuttavaid objekte: lauad, toolid, Piccadilly, Sokrates jne. Enamik neist on kas klassid, seeriad või klasside seeriad. Igal juhul on need kõik ebatäielikud sümbolid, st need on agregatsioonid, millel on ainult kasutusotstarve ja millel pole iseenesest mingit tähendust. (Russell 1918, 122)
Järgnevalt eraldatakse need loogiliste konstruktsioonide erinevad omadused. Tulemuseks näib olevat ühendatud analüüsiseeria, mis jagab vähemalt perekonna sarnasust. Ühine omadus on see, et mõlemal juhul võiks nüüd definitsioonide loogiliste tagajärgedena tuletada objektide formaalseid või “puhtaid” omadusi, mida enne tuli aksioomidena postuleerida. Asendatud üksused on erinevalt „väljamõeldised”, „mittetäielikud sümbolid” või lihtsalt „konstruktsioonid” sõltuvalt määratluste vormist.
2. Loogiline analüüs ja loogiline konstrueerimine
Oleks viga, kui näeksime Russelli loogilisi konstruktsioone loogilise analüüsiga algatatud meetodi vastupidise toimingu tulemusena. Analüüs oli tõepoolest Russelli realistliku ja atomistliku filosoofia eristav meetod ning ehitusmeetod ilmnes alles hiljem. Russelli uus filosoofia oli teadlikult vastandlik XIX sajandi lõpus Cambridge'is filosoofias valitsenud hegelianismile (Russell 1956, 11–13). Esmalt pidi Russell kaitsma analüüsiprotsessi ja vaidlema vastu idealistide arvamusele, et keerukad entiteedid on tegelikult “orgaanilised ühtsused” ja et nende ühenduste igasugune analüüs kaotab midagi, kuna loosung oli “analüüs on võltsimine”. (1903, §439) Meie analüüsi objektiks on tegelikkus, mitte ainult meie enda ideed:
Kogu keerukus on kontseptuaalne selles mõttes, et see tuleneb loogilist analüüsi võimaldavast tervikust, kuid on reaalne selles mõttes, et sellel ei ole sõltuvust meelest, vaid ainult objekti olemusest. Kui mõistus suudab elemente eristada, peavad eristamiseks olema erinevad elemendid; kuigi kahjuks! sageli on erinevaid elemente, mida mõistus ei erista. (1903, §439)
Kuna loogilise analüüsi abil avastatakse reaalsuse lõplikud koostisosad, ei saa loogiline konstrueerimine olla vastupidine toiming, sest analüüsi tagasivõtmine asjade kokku panemisega viib meid tagasi ainult keerukatesse olemitesse, millega me alustasime. Mis mõte on siis ehitada seda, mida on juba analüüsitud?
Siin eristatakse analüüsi ja ehitust teadlikult kõrvaliste sammude vahel ja olulist diskussiooni Frege'i ja Russelli teadlaste vahel analüüsi olemuse üle. Frege leidis oma aritmeetika alustel (1884, §64), et ka numbrite identiteedi kohta käivat väidet võiks klasside sarnasuse kohta analüüsida. Ta kirjeldab seda ühe ja sama sisu erinevatel viisidel taasloomiseks. Hiljem kinnitas Frege, et sama mõtet võib vaadelda funktsiooni erinevale argumendile kohaldamise tulemusena. Kuna mõtte loogiline vorm on kontseptsioonide argumentidele kohaldamise tulemus, tähendab see, et samale mõttele omistatakse erinevad loogilised vormid. Et lahendada näiline konflikt Frege kuulsa kompositsioonilisuse teesiga,et mõte moodustatakse selle koostisosadest viisil, mis üldiselt järgib selle süntaktilist vormi, eristab Michael Dummett (1981, 15. peatükk) Frege'is kahte analüüsi mõistet, ühte kui “õiget analüüsi” ja teist “lagunemist”.. Peter Hylton (2005, 43) väidab, et Russellis on problemaatiline analüüsi mõiste, kusjuures on väga raske öelda, et kindlaid kirjeldusi sisaldavatel lausetel on keerukas kvantifitseerimisstruktuur, mis neile on omistatud ajakirjas “On Denoting” (1905) kui nende “tegelik struktuur”. Michael Beaney toob sissejuhatuses (2007, 8) nimed „lagunev“ja „ümberkujundav“kahte tüüpi analüüsidele sissejuhatuses paberitesse, kus käsitletakse selle eristamise olulisust Russelli jaoks. James Levine väidab, et tegelikult oli analüüsi esimene vormmille eesmärk on leida ettepanekutele lõplikud koostisosad, kuulub varase „Moorean Analysis“projekti, millest Russell varakult loobus. Tõepoolest, selleks ajaks, kui numbreid võrdselt klasside klassidena arvestati, oli Russell juba vastu võtnud selle, mida Levine nimetab „Russelli post-peano analüüsiks”.
See arutelu on kindlasti asjakohane Frege filosoofia uurimisel ja selle seostel Russelli rolliga analüütilise filosoofia kui liikumise rajajana, kuid see on võib-olla väljaspool seda, mida Russell kasutab „analüüsi” terminoloogia kasutamisel. Kui Peter Strawson viitab oma teoses “Viidates” (1950) arvukalt vihjeid Russelli kindlate kirjelduste “analüüsile”, siis tegelikult seda terminit “On Denoting” ei esine. Russell viitab oma kirjelduste teooriale ja tunnistab, et see ei ole ettepanek, mida kohe tunnustatakse kui seda, mida me selliste lausetega alati oleme mõelnud, vaid ta ütleb hoopis oma kvantitatiivide ja identiteedisümbolite mõneti keeruka kasutamise kohta, mis:
See võib tunduda mõnevõrra uskumatu tõlgendus: aga ma ei ole praegu olev põhjus, mis seda põhjendab, vaid ütlen üksnes teooriat. (Russell 1905, 482)
Seejärel kaitseb ta oma teooriat, tegeledes kolme mõistatusega, sealhulgas kuulsa näitega, kas “Prantsusmaa praegune kuningas on kiilas” on tõene või vale. Ühelgi hetkel ei pöördu ta selle poole, mida kõneleja võib ühe sellise lause lausumisel silmas pidada. Nende faktide tulemusel näib, et Russelli metoodikat saab kõige paremini mõista analoogiliselt teaduslike teooriate loogilise lähenemisega. Selle mudeli jaoks on “loogilise analüüsi” tulemuseks definitsioonid ja primitiivsed väited või aksioomid, millest loogiliste järelduste abil saab formaliseeritud teadusteooria seadused tuletada. Ühe teooria taandamine teiseks seisneb sihtteooria aksioomide ümberkirjutamises redutseeriva teooria keele abil ja nende tõestamisel seejärel selle redutseeriva teooria teoreemidena. Siis ehitus,on kõige parem vaadelda definitsioonide valimise protsessina, nii et varem saaks primitiivseid avaldusi tuletada teoreemidena. (Vt Hager 1994 ja Russell 1924.)
See pilt sobib kõige paremini selle keeleliselt orienteeritud mõistega “teooria konstrueerimine”, mitte filosoofilise analüüsi projektiga. Sellest järeldub ka ehituse mõiste kasutamine matemaatika traditsioonis. Euclid eessõidab iga meeleavalduse kujuga, mis on kujutatud järgmises tõendis. Gottlob Frege alustab iga tõendit oma aritmeetika põhiseadustes (1893) “Analüüsiga”, mis mitteametlikult selgitab teoreemides kasutatud mõisteid ja tuletamisstrateegiat, millele järgneb tegelik, gapless-tõend, mida nimetatakse “Ehitamiseks”.”. Ajalooliselt pole siis mõistet konstruktsioonist kui sünteetilisest etapist, mis järgiks analüütilist etappi kui kahte võrreldava iseloomuga protsessi, kuid mis viiks vastupidises suunas.
Isegi kui neid kirjeldatakse teooria konstrueerimise etappide osas, ei ole analüüs ja loogiline konstrueerimine lihtsalt vastandtoimingud. Russell rõhutab, et analüüsimisel avastatud ja eristatud objektid on “päris”, nagu ka nende erinevused üksteisest. Seega on definitsioonide ja primitiivsete ettepanekute „valikul”, millega alustada, piirang. Deduktiivse süsteemi ja realistliku ontoloogia suhted erinevad juhtumite vahel, mida Russell loetleb loogiliste konstruktsioonide näidetena. Propositsioone ja „komplekse”, näiteks fakte, analüüsitakse, et leida reaalsed objektid ja suhted, millest need koosnevad. Loogiline konstruktsioon seevastu annab teooria, millest tõed järgnevad loogiliste järeldustega. Loogilisest konstrueerimisest tuleneva deduktiivse süsteemi osaks olevad tõed on vaid mõnede teoreetilise eelse tõe „rekonstruktsioonid”, mida tuleb analüüsida. Ehituse õnnestumiseks on olulised ainult nende deduktiivsed suhted, eriti nende lahutatavus teooria aksioomidest. Loogilised konstruktsioonid ei hõlma kõiki eelteoreetiliste üksuste tunnuseid, millega üks algab.
Suur osa tähelepanu loogilisele ehitusele on keskendunud sellele, kas tegelikult on filosoofia ühtne metoodika see, mis tutvustab „teaduslikku meetodit filosoofias”, nagu Russell ütleb alapealkirjas (Russell 1914b). Kommenteerijad ajakirjast Fritz (1952) läbi Sainsbury (1979) on eitanud, et Russelli erinevad konstruktsioonid sobivad ühtseks metoodikaks, ning seavad kahtluse alla ilukirjanduse ja mittetäieliku sümboli keele kohaldatavuse kõigi näidete suhtes. Allpool näidatakse, kuidas sellegipoolest jagunevad konstruktsioonid mitmeks loodusperekonnaks, mida mitmesugused neist terminitest kirjeldavad üsna täpselt.
3. Looduslikud numbrid
Russelli naturaalarvude määratlus sarnaste või võrdväärsete klasside klassidena, mis avaldati esmakordselt (Russell 1901), oli tema esimene loogiline konstruktsioon ja oli eeskujuks neile, mis järgnesid. Sarnased klassid on klassid, mida saab üksteisega üksteise suhtes mõne seose abil kaardistada. Mõiste „üks-ühele suhe” määratletakse loogiliste mõistetega: R on üks-üks, kui iga (x) jaoks on ainulaadne (y) selline, et (x \ rR y) ja iga sellise (y) vahemikus (rR) on ainulaadne (x). Need olemasolu ja ainulaadsuse mõisted pärinevad loogikast ja seetõttu on arvu mõiste määratletud ainult klasside ja loogiliste mõistete kaudu. Russell teatas oma matemaatika põhimõtete logistikaprogrammi eesmärgist:„Tõend selle kohta, et kogu puhas matemaatika tegeleb eranditult mõistetega, mida on võimalik määratleda väga väikese arvu loogiliste mõistete alusel, ja et kõik selle väited on tuletatavad väga väikestest arvudest loogilistest põhimõtetest …“(Russell 1903, xv). Kui klassi näidatakse ka loogilise mõistena, siis täiendaks see määratlus looduslike arvude matemaatika logistikaprogrammi.
Giuseppe Peano (Peano 1889, 94) oli öelnud elementaarse aritmeetika aksioomid, mille Russell (1919, 8) sõnastas hiljem järgmiselt:
0 on arv.
Mis tahes arvu järglane on number.
Ühelgi kahel numbril pole sama järeltulijat.
0 ei ole ühegi numbri järeltulija.
Kui vara kuulub 0-le ja kuulub (x) pärijale, kui see kuulub (x), kuulub see igale numbrile.
Peano jaoks olid need arvu aksioomid, mis koos klasside ja ettepanekute aksioomidega kirjeldavad nende olemite omadusi ja viivad teoreemide tuletamiseni, mis väljendavad nende olemite muid olulisi omadusi.
Richard Dedekind (Dedekind 1887) oli samuti loetlenud sarnaste välimustega aksioomidega numbrite omadused, kasutades ahelat, lõpmatut komplekti jada, iga järgneva alamhulga järjestust, mis on hästi järjestatud ja millel on naturaalarvude struktuur. Seejärel tõestab Dedekind, et induktsiooni põhimõte (ülalpool 5. aksiom) kehtib ahelate kohta. (Vt kannet Dedekindi kohta). Ehkki Russelli arvates on „kõige tähelepanuväärsem, et Dedekindi varasematest eeldustest piisab selle teoreemi demonstreerimiseks“(Russell 1903, §236), võrdleb ta kahte lähenemisviisi - Peano ja Dedekind - lihtsuse ja nende erineva matemaatilise induktsiooni käsitlemise viisi osas. järeldab, et:
Kuid puhtalt loogilisest seisukohast näivad kaks meetodit võrdselt mõistlikud; ja tuleb meeles pidada, et kardinalide loogilise teooriaga muutuvad tõestatavaks nii Peano kui ka Dedekindi aksioomid. (Russell 1903, §241)
See oli Peano ja Dedekind, mida Russell pidas silmas, kui ta hiljem rääkis "postuleerimise meetodist", kui võrrelda nende meetodi "eeliseid" ehituse ees kui varguste eeliseid ausate vaevade ees.
Projekti lõpuleviimiseks pidi Russell leidma definitsioonid ja mõned „väga vähesed loogilised põhimõtted” (Russell 1903, xv) ning leidma vajalikud tuletised. Klasside adekvaatse määratluse leidmine “klassideta teooria” abil ning numbrite ja klasside omaduste tuletamiseks vajalikud loogikapõhimõtted viidi lõpule vaid Principia Mathematica (Whitehead ja Russell 1910–13) abil. See numbrite konstrueerimine oli selge näide olemite määratlemisest teiste klassidena, et oleks võimalik tõestada teatud omadused loogika teoreemidena, selle asemel et puhata hüpoteeside vargusega. Kirjeldusteooria kontekstimääratluse abil kõrvaldas Russell ka klassid,võttes fundamentaalseks loogilise ettekujutuse funktsioonifunktsioonist ja näidates nii, et klasside põhimõtted, kus osa loogikast.
4. Kindlad kirjeldused
Kindlad kirjeldused on loogilised konstruktsioonid, mida Russell silmas peab, kui ta kirjeldab neid kui "mittetäielikke sümboleid". Teisest küljest kehtib mõiste “loogiline väljamõeldis” kõige selgemini klasside kohta. Muud aritmeetika arengu jaoks üliolulised konstruktsioonid, nagu näiteks domeeni ja seose ulatuse ning ühe-ühe vaste määratlused, on kaudses mõttes ainult "puudulikud", kuna neid määratletakse teatud klassi klassidena sorteerima, mis on omakorda konstruktsioonid.
Russelli kirjelduse teooriat tutvustati ajakirjas Mind avaldatud raamatus “Denoting” (Russell 1905). Russelli teooria pakub lausete loogilist vormi kujul 'The (F) on (G)', kus '(F)' nimetatakse kindlaks kirjelduseks, erinevalt 'An F', mis on määramatu kirjeldus. Analüüs pakub välja, et "(F) on (G)" on samaväärne kui "On üks ja ainus (F) ja see on (G)". Seda arvesse võttes saab kirjelduste loogilistest omadustest järeldada, kasutades lihtsalt kvantifikaatorite ja identiteedi loogikat. Principia Mathematica * * teoreemide hulgas on neid, mis näitavad, et (1) kui on ainult üks (F), siis on tõsi, et (F) on (F) ja kui seda pole, siis '(F) on (G)' on alati vale ja siis (2), kui (F = \ tekst {the} G) ja (F) on (H), siis (G) on (H). Need teoreemid näitavad, et õiged (üheselt viitavad) kirjeldused käituvad nagu õiged nimed, loogika "ainsuse terminid". Mõned neist tulemustest on olnud vaieldavad - Strawson (1950) väitis, et fraas "Praegune Prantsuse kuningas on kiilas" peaks olema tõe väärtusetu, kuna praegust Prantsusmaa kuningat pole olemas, selle asemel et "ilmselgelt" vale, nagu Russelli teooria ennustab. Russelli vastus Strawsonile (Russell 1959, 239–45) on abiks Russelli filosoofilise metoodika mõistmisel, mille loogiline ülesehitus on vaid osa. Otsustada tuleb siiski ehituse loogiliste tagajärgede hindamise kaudu ja seetõttu esitas Strawson Russellile väljakutse sobival viisil. Mõned neist tulemustest on olnud vaieldavad - Strawson (1950) väitis, et fraas "Praegune Prantsuse kuningas on kiilas" peaks olema tõe väärtusetu, kuna praegust Prantsusmaa kuningat pole olemas, selle asemel et "ilmselgelt" vale, nagu Russelli teooria ennustab. Russelli vastus Strawsonile (Russell 1959, 239–45) on abiks Russelli filosoofilise metoodika mõistmisel, mille loogiline ülesehitus on vaid osa. Otsustada tuleb siiski ehituse loogiliste tagajärgede hindamise kaudu ja seetõttu esitas Strawson Russellile väljakutse sobival viisil. Mõned neist tulemustest on olnud vaieldavad - Strawson (1950) väitis, et fraas "Praegune Prantsuse kuningas on kiilas" peaks olema tõe väärtusetu, kuna praegust Prantsusmaa kuningat pole olemas, selle asemel et "ilmselgelt" vale, nagu Russelli teooria ennustab. Russelli vastus Strawsonile (Russell 1959, 239–45) on abiks Russelli filosoofilise metoodika mõistmisel, mille loogiline ülesehitus on vaid osa. Otsustada tuleb siiski ehituse loogiliste tagajärgede hindamise kaudu ja seetõttu esitas Strawson Russellile väljakutse sobival viisil.239–45) on abiks Russelli filosoofilise metoodika mõistmisel, mille loogiline konstrueerimine on vaid osa. Otsustada tuleb siiski ehituse loogiliste tagajärgede hindamise kaudu ja seetõttu esitas Strawson Russellile väljakutse sobival viisil.239–45) on abiks Russelli filosoofilise metoodika mõistmisel, mille loogiline konstrueerimine on vaid osa. Otsustada tuleb siiski ehituse loogiliste tagajärgede hindamise kaudu ja seetõttu esitas Strawson Russellile väljakutse sobival viisil.
Kirjelduste teooria tutvustab Russelli arusaama mittetäielikust sümbolist. Selle põhjuseks on asjaolu, et kirjelduses sisalduvate lausete formaalses analüüsis ei esine 'F' definitsioonilist ekvivalenti. Lause "(F) on (H)" muutub järgmiselt:
) eksisteerib x) jätkub y (Fy \ leftrightarrow y = x) & \ Hx])
millest ühtegi alamvormi või isegi külgnevat segmenti ei saa määratleda kui 'F' analüüsi. Samamoodi räägitakse „keskmisest perest”, nagu ka „Keskmises peres on 2,2 last” muutub „Perede laste arv jagatud perede arvuga = 2,2”. Selle valemi ükski segment ei vasta „keskmisele perekonnale”. Selle asemel antakse meile protseduur selliste väljendite eemaldamiseks kontekstidest, milles need esinevad, seega on see veel üks näide "mittetäielikust sümbolist" ja keskmise määratlus on näide "kontekstuaalsest määratlusest".
On vaieldav, et Russelli määratletud kirjelduste määratlus oli pinna grammatilise vormi ja loogilise vormi vahelise filosoofilise eristamise silmapaistvaim varajane näide ja tähistab sellega lingvistilise analüüsi algust filosoofias. Keeleline analüüs algab filosoofilise analüüsi taustal varasema pealiskaudse keelelise vormi uurimisega. Frank Ramsey kirjeldas kirjelduste teooriat kui „filosoofia paradigmat“(Ramsey 1929, 1). Ehkki see pole iseenesest kindlasti kogu filosoofia mudel, oli see vähemalt paradigma teistele loogiliste konstruktsioonide näidetele, mille Russell loetles, vaadates tagasi oma filosoofia arengule 1924. aastal. Kirjelduste teooriat on kritiseerinud mõned keeleteadlased ja filosoofid, kes näevad kirjeldusi ja muid nimisõnafraase lausete täieõiguslike keeleliste koostisosadena ning näevad grammatiliste ja loogiliste vormide teravat vahet veana. (Vt kirjelduste kirjet.)
Pärast Gilbert Ryle'i (1931) mõjusat kriitikat Meinongi olematute objektide teooria kohta on kirjelduste teooriat võetud mudeliks ontoloogilisele pühendumise vältimisele objektide suhtes ja nii peetakse loogilisi konstruktsioone üldiselt enamasti kasutatavateks väidetava kõrvaldamiseks. üksused. Tegelikult on see eesmärk paljudele konstruktsioonidele äärmisel juhul perifeerne. Nende konstruktsioonide peamine eesmärk on võimaldada tõestada väiteid, mida vastasel juhul tuleks eeldada aksioomide või hüpoteesidena. Samuti ei vaja konstruktsioonide kasutuselevõtt alati probleemsete üksuste kõrvaldamist. Kuid teisi konstruktsioone tuleks käsitleda pigem ühe olemiklassi taandamisena teisele või ühe mõiste asendamiseks täpsema, matemaatilise asendajaga.
5. klassid
Russelli „klassideta“klasside teooria alates Principia Mathematica klassist * 20 pakub kontekstipõhist definitsiooni nagu kindlate kirjelduste teooria. Kõigi klasside, kes ise ei kuulu, klassi paradoksi üks Russelli varaseid diagnoose oli see, et see näitas, et klassid ei saa olla isikud. Tõepoolest, näib, et Russell on oma paradoksiga kohanud, rakendades Cantori kuulsat diagonaalide argumenti, et näidata, et isendite klasse on rohkem kui indiviide. Seetõttu järeldas ta, et klassid ei saa olla isikud ja selliste klasside väljendid nagu '({x: Fx })' ei saa olla ainsuse moodustavateks terminiteks. Kirjelduste teooriast inspireerituna tegi Russell ettepaneku öelda midagi (F) klassi (F) s, (G) ({x: Fx }),see tähendab, et on olemas mõni (predikatiivne) omadus (H), mis eksisteerib koos (kehtib samade asjade kohta nagu) (F), nii et (H) on (G). Piirang predikatiivsete omaduste suhtes või nende omaduste osas, mida ei määratleta teiste omaduste kvantifitseerimisel, tulenes tüübiteooria rambistumisest, et vältida intensiivseid või „episteemilisi“paradokse, mis ajendasid tüüpide teooriat lisaks komplektile teoreetiline “Russelli paradoks” (vt Whitehead ja Russell 1910–13, sissejuhatus, II peatükk). Need predikatiivsed omadused on aga intentsionaalsed selles mõttes, et samadel objektidel võivad olla kaks erinevat omadust. (Vt märkuse märkust väljaandes Principia Mathematica.) Nii määratletud klassidel on ekstensiivsuse tunnusjoon tuletatav, mitte postuleeritav. Kui (F) ja (H) on kõikehõlmavad, siis kehtib miski tõestest dokumentide ({x: Fx }) kohta ({x: Hx }). Klasside omadused tulenevad siis omaduste loogika tunnustest.
Kuna klassid tunduvad alguses olevat mingisugused isikud, kuid analüüside põhjal leitakse, et neid pole, räägib Russell neist kui "loogilistest väljamõeldistest", väljendist, mis kajastab Jeremy Benthami mõistet "juriidilised väljamõeldised". (Hart 1994, 84) (Vt kannet seaduse ja keele kohta). See, et ettevõte on seaduse järgi „isik”, oli Benthami jaoks lihtsalt väljamõeldis, mida sai realiseerida õigusliku seisundi mõiste ja reaalsete isikute rahalise vastutuse piiride osas. Seega võiks mis tahes keel sellistest „juriidilistest väljamõeldistest” tõlkida teisiti, nii et need puudutaksid tegelikke isikuid ja nende õigussuhteid. Kuna avaldused, mis omistavad omaduse teatud klassidele, asendatakse eksistentsiaalsete lausetega, mis ütlevad, et sellel omadusel on mingi pakkumisfunktsioon,seda konstruktsiooni võib iseloomustada ka kui seda, et klassi avaldised, näiteks '({x: Fx })', on puudulikud sümbolid. Neid ei asenda mõni pikem terminit väljendav valem. Teisest küljest ei tohiks määratlust vaadelda kui ontoloogilise pühendumise täielikku vältimist, kuna see näitab, et midagi on sõna otseses mõttes "väljamõeldis". Pigem näitab see, kuidas taandada klassid propositsioonifunktsioonidele. Klasside omadused on tegelikult propositsioonifunktsioonide omadused ja iga klassi kohta, millel väidetavalt on omadus, on tõesti mõni propositsioonifunktsioon, millel see omadus on. Pigem näitab see, kuidas taandada klassid propositsioonifunktsioonidele. Klasside omadused on tegelikult propositsioonifunktsioonide omadused ja iga klassi kohta, millel väidetavalt on omadus, on tõesti mõni propositsioonifunktsioon, millel see omadus on. Pigem näitab see, kuidas taandada klassid propositsioonifunktsioonidele. Klasside omadused on tegelikult propositsioonifunktsioonide omadused ja iga klassi kohta, millel väidetavalt on omadus, on tõesti mõni propositsioonifunktsioon, millel see omadus on.
6. Seeriad, tavalised numbrid ja pärisnumbrid
Whitehead ja Russell määratlevad Principia Mathematica II köites seeria * 204.01 seeria kõigi seeriate klassina Ser, mis on transitiivne, ühendatud ja ebarefleksne. Seos (R) on transitiivne, kui, kui (xRy) ja (yRz), siis (xRz). See on ühendatud mis tahes (x) ja (y) jaoks, mille jaoks see on määratletud, kas (xRy) või (yRx). Lõpuks, ebarefleksne seos on selline, et kõigi (x) puhul pole see nii (xRx). Iga seos, millel on need omadused, moodustab rea asju, mida see seob. Selliseid suhteid nimetatakse nüüd „lineaarseteks tellimusteks” või lihtsalt „tellimusteks”. Siinkohal koosneb "loogiline konstrueerimine" lihtsalt suhete teatud omaduse kaudsest määratlemisest. Kindlasti ei arvata, et seeriad on lihtsalt väljamõeldud väljamõeldised ja sümbol „ Ser"nende jaoks on" puudulik "ainult selles mõttes, et seda saab selgesõnaliselt määratleda kui teiste klasside (klasside klass) ristmikku ja klassid on ise" puudulikud ".
Russelli järjestatud arvude ja reaalarvude definitsioonid sarnanevad naturaalarvude määratlustega. Järjestikarvud on relatsiooninumbrite erijuhtum. Nii nagu kardinaalset arvu saab määratleda sarnaste klasside klassina, kus sarnasus on lihtsalt võrdses arvukus, kahe klassi vahelise üks-ühe olemasolu olemasolu, on relatsiooninumber sarnaste klasside klass, mille mingid seosed järjestavad. Järjestikarvud on hästi järjestatud klasside suhtearvud. „Suhe-aritmeetika” on Principia Mathematica II köite IV osa peatükkide * 150–186 teema. Järjestikuste arvude aritmeetika kõik omadused tulenevad suhtearvude üldisemast aritmeetikast. Nii näiteks ei ole järjenumbrite lisamine kommutatiivne. Esimene lõpmatu korraline (omega) on hästi järjestatud klasside suhtearv, mis sarnaneb (1, 2, 3, \ ldots) jne. Summa (1 + \ omega) on seos tellitud klasside arv, mis tuleneb tellimise alguses ühe elemendi lisamisest, näiteks (0, 1, 2, 3, \ ldots) jne, millel on sama järjenumber (omega). Seega (1 + \ omega = \ omega). Teisest küljest annab elemendi lisamine sellise hästi järjestatud klassi lõppu korralduse, mis pole sarnane: (1, 2, 3, \ ldots \ text {etc}, 0). Järelikult (1 + \ omega \ ne \ omega + 1). Teisest küljest on ordinaalide ja tegelikult ka suhtearvude lisamine assotsiatiivne, st ((alfa + \ beeta) + \ gamma = \ alfa + (beeta + \ gamma)), mis on tõestatud koos teatud piirangutega * 174. Järgnevad arvud määratletakse täpselt naturaalarvudena,sarnaste klasside klassidena selliselt, et oleks võimalik tõestada kõiki soovitud teoreeme. Järjestiklike arvude kirjeldamine „väljamõeldiste”, „mittetäielike sümbolite” ja „konstruktsioonide” all kehtib samamoodi kui naturaalarvude puhul.
Realarvude klass Θ on määratletud Principia Mathematica III köites * 310.01 nii, et need koosnevad ratsionaalarvude „Dedekindian-seeriatest”, mis on omakorda naturaalarvude „suhete” suhtearvud. Whitehead ja Russell järgivad ratsionaalarvude Dedekindi kärpimisel reaalarvude arvessevõtmist ning erinevad numbrite standardsematest arengutest tänapäevases komplektiteoorias ainult sellega, et käsitlevad ratsionaalseid numbreid teatud tüüpi suhtearvudena, mitte järjestatud paaride ja täisarvudena (“lugeja” ja “nimetaja”). Nagu relatsiooninumbrite konstrueerimine sarnaste klasside klassidena, erineb reaalarvude "loogiline konstrueerimine" kindlate kirjelduste ja klasside teooriast üldiselt sellega, et nad ei määratle "puudulikke sümboleid" või näitavad, et need numbrid on tõesti "väljamõeldised". Neid kirjeldatakse kõige paremini definitsioonidena, mis võimaldavad tõestada nende numbrite teoreeme, mida muidu tuleks aksioomidena postuleerida. Need on Russelli eelistatava "ausa vaeva" toode.
7. Matemaatilised funktsioonid
Matemaatilisi funktsioone ei maini Russell 1924. aasta „loogiliste konstruktsioonide” loendis, ehkki matemaatiliste funktsioonide analüüs on PM-is kindlate kirjelduste teooria peamine rakendus. PM põhifunktsioonid on juhendfunktsioonid. Kreeka tähed (phi, \ psi, \ teeta, \ ldots) on pakkumisfunktsioonide muutujad ja üksikute muutujatega (x, y, z, \ ldots) lähevad koos moodustamaks lauseid (phi (x), \ psi (x, y)) jne. See on tänapäevase predikaatloogika tuttav süntaks. Matemaatilisi funktsioone, nagu siinusfunktsioon ja liitmine, tähistatakse terminit moodustavate operaatoritena, näiteks (sin x) või (x + y). Kaasaegses loogikas sümboliseerivad neid funktsioonitähed, millele järgneb sobiv arv argumente, (f (x), g (x, y)) jne. Peatükis * 30 pakuvad Whitehead ja Russell matemaatiliste funktsioonide selliste avaldiste otsest tõlgendamist kindlate kirjelduste abil, mida nad nimetavad kirjeldavateks funktsioonideks. Vaatleme arvu ja selle siinuse suhet, seost, mis saadakse (x) ja (y) vahel, kui (y = \ sin x). Kutsuge seda seost kahepoolse seosena "(text {Sine} (x, y))" või lihtsamalt "(bS (x, y))". Matemaatilist funktsiooni saab seejärel väljendada kindla kirjeldusega, tõlgendades meie väljendit „((x)) siinus“mitte kui „(sin (x))“, vaid sõna otseses mõttes kui „((x) siinus“)”Koos kindla kirjeldusega või„ (y) nii, et (tekst {Sine} (x, y)) “. Kindlate kirjelduste teooria märkust kasutades on see '((iota x) bS (x, y))'. Selle analüüsi tulemusel võivad Whitehead ja Russell asendada kõik matemaatiliste funktsioonide avaldised suhetel põhinevate kindlate kirjeldustega. See määratlus hõlmab laiendatud suhteid, mis on esindatud rooma suurtähtedega ja muutujate vahelise suhte sümboliga. PM-is esitatud määratlus on: * 30.01. (R`y = (iota x) xRy), märkusega (R`y) loetakse kui (y) (R). Nagu kirjeldusteooria puhul, on ka selle määratluse tulemuseks teoreemide tõestamine, mis hõlmavad matemaatiliste funktsioonide loogilisi omadusi, mida PM edasises töös vajatakse.mis on esindatud rooma suurtähtedega ja muutujate vahelise suhte sümboliga. PM-is esitatud määratlus on: * 30.01. (R`y = (iota x) xRy), märkusega (R`y) loetakse kui (y) (R). Nagu kirjeldusteooria puhul, on ka selle määratluse tulemuseks teoreemide tõestamine, mis hõlmavad matemaatiliste funktsioonide loogilisi omadusi, mida PM edasises töös vajatakse.mis on esindatud rooma suurtähtedega ja muutujate vahelise suhte sümboliga. PM-is esitatud määratlus on: * 30.01. (R`y = (iota x) xRy), märkusega (R`y) loetakse kui (y) (R). Nagu kirjeldusteooria puhul, on ka selle määratluse tulemuseks teoreemide tõestamine, mis hõlmavad matemaatiliste funktsioonide loogilisi omadusi, mida PM edasises töös vajatakse.
PM-is sisalduvate funktsioonide avaldiste loogiline analüüs esindab neid kindla kirjelduse erijuhuna, (x) (R). * 30 kokkuvõttes leiame:
Kirjeldavatel funktsioonidel, nagu kirjeldustel üldiselt, pole tähendust eraldi, vaid ainult väidete koostisosadena. (Whitehead ja Russell 1910–13, 232)
Matemaatilised või kirjeldavad funktsioonid kuuluvad seega sõnaselgelt Principia Mathematica mittetäielike sümbolite hulka.
8. Ettepanekud ja nende funktsioonid
Principia Mathematica artiklis tutvustatakse Russelli kohtuotsuse mitme suhte seoste teooriat, esitades ontoloogilise nägemuse:
Universum koosneb objektidest, millel on erinevad omadused ja mis asuvad erinevates suhetes. (Whitehead ja Russell 1910–13, 43)
Russell jätkab otsustusvõimaluste paljusidemete teooria selgitamist, mis leiab väidetele koha suhetes olevate objektide ja omaduste maailmas. (Vt ettepanekut käsitlevat kirjet.)
Russelli mitmete suhete teooria, mida ta pidas 1910. kuni umbes 1919. aastani, väitis, et väidete koostisosad, näiteks „Desdemona armastab Cassio't”, on ühendatud viisil, mis ei võimalda järeldada, et need kujutavad endast fakti. Need valijad esinevad ainult uskumuste kontekstis, ütleme näiteks: „Othello mõistab, et Desdemona armastab Cassio't”. Tegelikult koosneb uskumuse suhe valijate Othello, Desdemona ja Cassio vahel; (B (o, d, L, c)). Kuna võis uskuda ka teiste struktuuride, näiteks (B (o, F, a)), ettepanekuid, peab olema palju selliseid seoseid (B), erineva "ariteedi" või paljude argumentidega, järelikult nimetus “mitmete suhete” teooria. Nagu numbrite moodustamine, võtab see konstruktsioon kokku ka selle, mis on ühinenud mitmel uskumuse esinemisel, nimelt:suhe uskliku ja erinevate objektide vahel kindlas järjekorras. Konto muudab ka pakkumise mittetäielikuks sümboliks, kuna '(x) usub, et (p)', mis vastab '(p)' analüüsil, pole ühtegi koostisosa. Selle tulemusel järeldab Russell, et:
Näha on, et ülaltoodud väite kohaselt ei ole kohtuotsusel ühte eesmärki, nimelt väidet, vaid sellel on mitu omavahel seotud eset. See tähendab, et suhe, mis moodustab kohtuotsuse, ei ole kahe mõiste, nimelt otsustava meele ja ettepaneku seos, vaid on mitme mõiste, nimelt mõistuse ja selle, mida me nimetame ettepaneku koostisosadeks, seos …
Ühe kohtuotsuse objektide paljususe tõttu järeldub, et see, mida me kutsume „väiteks” (milles seda tuleb eristada fraasi väljendavast fraasist), ei ole üldse üksus. See tähendab, et fraas, mis väljendab ettepanekut, on see, mida me kutsume “mittetäielikuks” sümboliks; sel pole iseenesest tähendust, kuid täieliku tähenduse saamiseks on vaja mõnda täiendamist. (Whitehead ja Russell 1910–13, 43–44)
Ehkki Principia Mathematicas ei esine peaaegu kunagi väiteid muutvaid seotud muutujaid (silmapaistva erandiga * 14.3), näib, et kogu tüüpide teooria on propositsioonifunktsioonide teooria. Järgides väidet, mille kohaselt väited pole „üldse üksikud üksused”, ütleb Russell sama ka propositsioonifunktsioonide puhul. Matemaatilise filosoofia sissejuhatuses ütleb Russell, et propositsioonifunktsioonid pole tegelikult mitte midagi, vaid selle jaoks siiski olulised (Russell 1919, 96). See kommentaar on kõige mõistlikum, kui mõtleme propositsioonifunktsioonidele, mis on millegipärast konstrueeritud, eraldades neid nende väärtustest, mis on väited. Jaotusfunktsioon „(x) on inimene” on eraldatud selle väärtustest „Sokrates on inimene“, „Platon on inimene“jne. Proportsionaalsete funktsioonide vaatlemine väidete konstruktsioonidena,mis on omakorda mitme seose teooria konstruktsioonid, aitab mõtestada Principia Mathematica pakkumisfunktsioonide tüüpide teooria teatud tunnuseid. Saame aru, kuidas väidetavad funktsioonid näivad sõltuvat nende väärtustest, nimelt väidetest, ja kuidas väited võivad omakorda olla loogilised konstruktsioonid. Selle sõltuvuse seost tüüpide teooriaga selgitatakse Principia Mathematica sissejuhatuses mõiste "eeldamine" tähenduses:Selle sõltuvuse seost tüüpide teooriaga selgitatakse Principia Mathematica sissejuhatuses mõiste "eeldamine" tähenduses:Selle sõltuvuse seost tüüpide teooriaga selgitatakse Principia Mathematica sissejuhatuses mõiste "eeldamine" tähenduses:
Näib, et funktsiooni oluline omadus on kahemõttelisus … Võime seda väljendada öeldes, et “(phi x)” tähistab mitmetähenduslikult (phi a, \ phi b, \ phi c,) jne, kus (phi a, \ phi b, \ phi c,) jne on erinevad väärtused, mis on (phi x). […] On näha, et ülaltoodud konto kohaselt eeldab funktsiooni väärtusi see funktsioon, mitte vastupidi. Igal konkreetsel juhul on piisavalt ilmne, et funktsiooni väärtus ei eelda funktsiooni olemasolu. Nii saab näiteks ettepanekut „Sokrates olla inimene” täiuslikult mõistetav, pidamata seda funktsiooni „(x) on inimene” väärtuseks. On tõsi, et vastupidi, funktsiooni saab kinni pidada, ilma et oleks vaja oma väärtusi mitu ja eraldi mõista. Kui see pole nii,ühtegi funktsiooni ei saa üldse tajuda, kuna funktsiooni väärtuste (õige ja vale) arv on tingimata määramatu ja on tingimata võimalikke argumente, millega me pole tuttavad. (Russell 1910–13, 39–40)
Mõiste "mittetäielik sümbol" tundub vähem sobiv kui "ehitamine" propositsioonifunktsioonide ja väidete puhul. Väidete ja isegi propositsiooniliste funktsioonide klassifitseerimine kindla kirjeldusega sama loogilise nähtuse näidetena nõuab mõiste märkimisväärset laiendamist.
Ettepanekute ja propositsiooniliste funktsioonide ontoloogiline staatus Russelli loogikas ja eriti Principia Mathematica osas on praegu olulise arutelu objekt. Selle tõlgenduse, mida võime nimetada realistlikuks, võtab Alonzo kirik kokku selles joonealuses märkuses oma 1976. aasta uurimuses tüüpide vägivaldse teooria kohta:
Niisiis võtame väiteid propositsiooniliste muutujate väärtustena põhjusel, et just seda nõuab Russelli loogika taust ja eesmärk, ning vaatamata sellele, mis näib olevat Whiteheadi ja Russelli sõnaselge eitus PM-is, lk. 43–44.
Tegelikult väidavad Whitehead ja Russell: "see, mida me nimetame" ettepanekuks "(selles mõttes, milles seda eristatakse seda väljendavast fraasist), pole üldse üksus. See tähendab, et fraas, mis väljendab väidet, on see, mida me kutsume "mittetäielikuks sümboliks" … Nad näivad olevat teadlikud, et see väidete killustamine nõuab väidetavate funktsioonide sarnast killustamist. Kuid kontekstimääratlust või määratlusi, mida kaudselt lubab määratlus „mittetäielik sümbol”, ei anta kunagi täielikult ja just see, kuidas nad seletaksid seostatud propositsiooniliste ja funktsionaalsete muutujate kasutamise ära. Kui mõnda asja, mida Russell ütles oma teise sissejuhatuse sissejuhatuse IV ja V osas, võib võtta kui eesmärgi eesmärki,on tõenäoline, et kontekstuaalsed määratlused ei allu kontrollile.
Paljusid lõike [(Russell 1908)] ja [(Whitehead ja Russell 1910–13)] lõikudes võib mõista nii, nagu öeldakse või mille tagajärjeks on, et propositsioonifunktsioonide väärtused on laused. Kuid vaevalt saab selle põhjal anda Russelli vormistatud keele sidusat semantikat (eriti pange tähele, et kuna laused asendavad ka propositsioonilisi muutujaid, oleks vaja võtta lauseid lausete nimedena.) Ja kuna kõnealused lõigud näib, et need hõlmavad kasutussegadusi ja mainivad segasid segusid, mis võivad olla lihtsalt hooletud, pole kindel, kas neid tuleb käsitada semantiliste täpsete väidetena. (Kirik 1976, n.4)
Gregory Landini (1998) on teinud ettepaneku, et PM-is on tõepoolest olemas sidus semantika väidetele ja propositsioonifunktsioonidele, mis käsitleb funktsioone ja väiteid keeleliste üksustena. Landini väidab, et see “nominaalne semantika” on PM-i kavandatud tõlgendus ja see on see, mis jääb Russelli varasema “asendusteooria” alla. Ta väidab, et Russell viis selle nominaalsuseni pärast seda, kui lükkas kõigepealt tagasi klasside reaalsuse, seejärel propositsioonilised funktsioonid ja lõpuks väidete reaalsuse. See ümberlükkamine jätab meile Landini sõnul ainult üksikisikute nominaalse metafüüsika ja väljendused Russelli loogika tõlgendusena. Vt ka Cocchiarella (1980), kes kirjeldab rambistunud tüüpi teooria “nominaalset semantikat”, kuid lükkab selle tagasi Russelli kavandatud tõlgendusena. Sainsbury (1979) kirjeldab kvantifikaatorite “asenduslikku” tõlgendust propositsioonifunktsioonide suhtes, kuid ühendab selle tõepõhise semantikaga, mis ei nõua tüüpide teooria rafineerimist, mis on Russelli PM-i tõlgenduses kesksel kohal.
Propositsioonid ja propositsioonifunktsioonid on erinevalt kindlatest kirjeldustest ja klassidest selles osas, et PM-is pole neid selgesõnaliselt määratletud. On ebaselge, mida tähendab öelda, et ettepaneku sümbolil, näiteks muutujal (p) või (q), pole „eraldi tähendust” ja et tähenduse saab siiski anda „ kontekstis”, kuna näib, et definitsioon pole võimalik, näib loogika, milles väide ja ettepanekufunktsioon esinevad loogika aksioomide ja definitsioonide avalduses primitiivsete mõistetena.
9. Materjali ehitus
Olenemata sellest, kas Whitehead ja Russell on neile esitanud kontekstipõhised määratlused, ei kajastu loogilised konstruktsioonid loogiliselt õigete nimede viidetena ja seega ei ole selle konto konstruktsioonid maailma fundamentaalse “mööbli” osa. Varased kriitilised arutelud konstruktsioonide üle, nagu Wisdom (1931), rõhutasid kontrasti loogiliselt õigete nimede vahel, mis viitavad, ja konstruktsioonide vahel, mida peeti ontoloogiliselt süütuks.
Alustades filosoofia probleemidest 1912. aastal, pöördus Russell korduvalt matemaatika probleemi poole. Nagu on kirjeldanud Omar Nasim (2008), oli Russell alustanud käimasolevat arutelu sensatsiooniandmete ja aine seotuse üle TP Nunnil (1910), Samuel Alexanderil (1910), GF Stoutil (1914), ja GE Moore (1914). Nasimi sõnul on sellest Edwardi-poolsest vaidlusest osavõtjad veendunud, et otsesed tajumisobjektid koos nende sensoorsete omadustega on sellegipoolest vaimuvälised. Mateeria kontseptsioon oli siis lõdvalt kirjeldatud sotsiaalse või psühholoogilise „ehituse” tulemus, mis läks kaugemale sellest, mida otseselt tajuti. Vaidluses osalejate jagatud projekt oli George Berkeley idealismi ümberlükkamise otsimine,mis näitaks, kuidas on võimalik avastada mateeria olemasolu ja tegelikku olemust. Filosoofia probleemides (Russell 1912) väidab Russell, et usk mateeria olemasolusse on hästi toetatud hüpotees, mis selgitab meie kogemusi. Ainet tuntakse vaid kaudselt, “kirjelduse järgi”, meie põhjuseandmete põhjustajana, mida me ka otseselt tunneme “tuttava kaudu”. See on näide omamoodi hüpoteesist, mille kohaselt Russell vastandub kuulsa lõigu "vargus" ja "aus töö" ehitamisele. Russell nägi analoogiat juhtumi vahel, kus lihtsalt hüpoteesiti teatud omadustega numbrite olemasolu, neid, mida kirjeldatakse aksioomide abil, ja mateeria olemasolu olemasolu hüpoteesimist. Filosoofia probleemides (Russell 1912) väidab Russell, et usk mateeria olemasolusse on hästi toetatud hüpotees, mis selgitab meie kogemusi. Ainet tuntakse vaid kaudselt, “kirjelduse järgi”, meie põhjuseandmete põhjustajana, mida me ka otseselt tunneme “tuttava kaudu”. See on näide omamoodi hüpoteesist, mille kohaselt Russell vastandub kuulsa lõigu "vargus" ja "aus töö" ehitamisele. Russell nägi analoogiat juhtumi vahel, kus lihtsalt hüpoteesiti teatud omadustega numbrite olemasolu, neid, mida kirjeldatakse aksioomide abil, ja mateeria olemasolu olemasolu hüpoteesimist. Filosoofia probleemides (Russell 1912) väidab Russell, et usk mateeria olemasolusse on hästi toetatud hüpotees, mis selgitab meie kogemusi. Ainet tuntakse vaid kaudselt, “kirjelduse järgi”, meie põhjuseandmete põhjustajana, mida me ka otseselt tunneme “tuttava kaudu”. See on näide omamoodi hüpoteesist, mille kohaselt Russell vastandub kuulsa lõigu "vargus" ja "aus töö" ehitamisele. Russell nägi analoogiat juhtumi vahel, kus lihtsalt hüpoteesiti teatud omadustega numbrite olemasolu, neid, mida kirjeldatakse aksioomide abil, ja mateeria olemasolu olemasolu hüpoteesimist. See on näide omamoodi hüpoteesist, mille kohaselt Russell vastandub kuulsa lõigu "vargus" ja "aus töö" ehitamisele. Russell nägi analoogiat juhtumi vahel, kus lihtsalt hüpoteesiti teatud omadustega numbrite olemasolu, neid, mida kirjeldatakse aksioomide järgi, ja mateeria olemasolu hüpoteesi. See on näide omamoodi hüpoteesist, mille kohaselt Russell vastandub kuulsa lõigu "vargus" ja "aus töö" ehitamisele. Russell nägi analoogiat juhtumi vahel, kus lihtsalt hüpoteesiti teatud omadustega numbrite olemasolu, neid, mida kirjeldatakse aksioomide abil, ja mateeria olemasolu olemasolu hüpoteesimist.
Vajadus mingil määral arvestada mateeria loogiliste tunnustega, mida ta nimetas „mateeria probleemiks“, oli Russell juba palju varem okupeeritud. Kuigi me eristame teatud teadmisi, mis meil matemaatiliste üksuste kohta on, tingimuslikest teadmistest materiaalsete objektide kohta, väidab Russell, et mateeria teatud "korrektsed" omadused on lihtsalt liiga korrektsed, et juhuslikult osutuda. Näited hõlmavad objektide kõige üldisemaid ruumilisi ja ajalisi omadusi: ükski neist ei saa korraga hõivata ühte ja sama kohta, mida ta nimetab "läbitungimatuseks" jne. Matemaatika põhimõtetes (Russell 1903, § 453) on loetelu nendest mateeria omadustest, sealhulgas „hävimatus”, „ingeneratiivsus” ja „läbitungimatus”, mis olid kõik iseloomulikud tänapäevasele aatomiteooriale. Russell jälgis edasijõudmist täppisteaduste kaudu loogikast aritmeetika ja tegelike arvude kaudu ning seejärel lõpmatute kardinalideni. Järgnes ruumi ja aja arutelu, raamatu lõppedes viimase osaga (VII) Matter and Motion, peatükid §53 kuni §59. Nendes arutab Russell seda, mida ta nimetab ratsionaalseks dünaamikaks puhta matemaatika haruna (Russell 1903, §437). See ratsionaalne dünaamika hõlmab paljude füüsika aluspõhimõtete õigustamist üksnes puhta matemaatikaga, määratlustest alates, mis annavad ruumi ja aja geomeetria ning selle kasutajate formaalsed omadused, aine ja energia kogused. Sellega seoses sarnaneb mateeria konstrueerimine kõige enam numbrite konstrueerimisega klassidena, püüdes asendada postuleerivate aksioomide "vargust" "ausa vaevaga" määratluste määratlemisel, mis kinnitavad neid postulaate.
Hilisemas mateeria konstrueerimise projektis, alates 1914. aastast, alustades meie teadmistest välismaailma kohta (Russell 1914b), käsitletakse materiaalseid objekte meelteandmete, seejärel „sensibilia“kogumina. Sensibilia on potentsiaalsed sensatsiooniobjektid, mis tajudes muutuvad taju jaoks „tajuandmeteks“. William Jamesi mõjul asus Russell kaitsma neutraalset monismi, mille abil nii mateeria kui ka mõistus tuli ehitada sensibiliaalsusest lähtuvalt, kuid erineval viisil. Intuitiivselt on mõistuse andmed, mis tekivad sellisena, nagu nad toimivad meeles, mõistuse konstrueerimiseks olulised, tähenduse andmed, mis tulenevad objektist eri vaatepunktidest selle objekti konstrueerimiseks. Russell nägi sellele relatiivsusteoorias teatavat tuge ja tugipunktide olulisust uues füüsikas.
10. Loogilise ehituse järeltulijad
1930ndatel asusid Susan Stebbing ja John Wisdom, asutades seda, mida on hakatud nimetama “Cambridge'i analüüsikooliks”, märkimisväärset tähelepanu loogilise ehituse mõistele (vt Beaney 2003). Stebbing (1933) tegeles ebaselgusega selles osas, kas tegemist olid avaldiste või olemitega, mis on loogilised konstruktsioonid, ja selle kohta, kuidas mõista sellist väidet nagu “see tabel on loogiline konstruktsioon” ja mida see võib tähendada isegi loogiliste konstruktsioonide vastandamiseks järeldatud üksused. Russelli ajendas logistikaprojekt leidma määratlusi ja elementaarseid ruume, millest saaks matemaatilisi väiteid tõestada. Stebbing ja Tarkus käsitlesid pigem ehituse mõiste seost tavakeele filosoofilise analüüsiga. Wisdomi (1931) seerias Mõistus tõlgendas Wittgensteini teosest Tractatus (1921) pärit ideede mõttes loogilisi konstruktsioone.
Demopoulos ja Friedman (1985) leiavad, et oodatakse teaduslike teooriate hiljutist “struktuurirealistlikku” vaadet (Russell 1927), Matter Analysis. Nad väidavad, et Russelli varasema mateeriaprobleemi käsitleva mõttega seotud loogiliste andmete loogilised konstruktsioonid asendati ajuandmete mustritest tuletatud järeldustega ruumi ja mateeria struktuurilistele omadustele. Võib-olla tunneme oma nägemisväljal üksteise kõrval värvilaike, kuid see, mis räägib nende aistingute andmete põhjustest, mateeriast, selgub alles nende suhete struktuuris. Seega ei ütle plaastri värv meie nägemisväljas meile midagi selle kogemuse põhjustava tabeli olemuslike omaduste kohta. Selle asemel on tegemist meie kogemuste struktuuriliste omadustega, näiteks nende suhtelise ajastatusega,ja mis on teiste vahel vaateväljas, mis annab meile aimduse kogemuse põhjustava aja ja ruumi struktuurilistest suhetest materiaalses maailmas. Selle konto nüüdisversioon, mida nimetatakse struktuurirealismiks, on seisukohal, et teaduslikud teooriad, mille suhtes me peaksime olema teaduslikud realistid, omistavad teaduslikule teooriale ainult struktuurseid omadusi ja suhteid. (Vt kannet struktuurilise realismi kohta.)
Selle konto kohaselt pidi Russelli esialgne loogilise ehitamisega seotud järelduste asendamise projekt leidma aistingute andmete iga mustri jaoks loogilise konstruktsiooni, mis kannab isomorfsete struktuurisuhete mustrit. Demopoulos ja Friedman väidavad, et seda projekti muudeti, asendades kogemuses antud järeldused selle kogemuse põhjustega järelduste tegemisega nende kogemuste põhjustatud üsna vaesunud, struktuursele reaalsusele. Teised tõlgendasid Russelli asjaprojekti sel viisil ja viisid 1928. aastal GH Newmani ilmselt laastava vastuväideteni. Newman (1928) juhtis tähelepanu sellele, et suvalise struktuuriga on alati suvaliselt "konstrueeritud" suhete struktuur, kui ainult põhiolemite, antud juhul mõistlike andmete arv on piisavalt suur. Demopoulose ja Friedmani sõnulNewman näitab, et teaduslikes teooriates peab olema rohkem kui triviaalseid väiteid selle kohta, et mateerial on mõned struktuurilised omadused, mis on isomorfsed meie mõistusandmetega. Matterianalüüsi projektil on tõepoolest tõsiseid raskusi seoses Newmani probleemiga, sõltumata sellest, kas need raskused tekivad varasema loogilise ehituse projekti puhul või mitte (vt Linsky 2013).
Loogilise ehituse mõiste mõjutas analüütilise filosoofia edasist kulgu. Üks mõjutusliin oli kontekstipõhise määratluse või parafraseerimise mõte, mille eesmärk oli minimeerida ontoloogilist pühendumist ja olla filosoofilise analüüsi mudeliks. Eristamist kindlate kirjelduste kui ainsuseterminite pinna välimuse ja täielikult tõlgendatud lausete vahel, millest need näivad kaduvat, peeti analüüsimisel probleemsete arusaamade kadumise mudeliks. Wisdom (1931) pakkus välja selle loogilise ehituse rakenduse Wittgensteini vaimus. Sel viisil on kirjelduste teooriat peetud selle “terapeutilise” laadi filosoofilise analüüsi paradigmaks, mis püüab lahendada loogilisi probleeme.
Analüütilise filosoofia tehnilisemat suunda mõjutas mateeria konstrueerimine. Rudolf Carnap tsiteerib (Russell 1914a, 11) motoks oma teosele “Aufbau”, maailma loogiline struktuur (1967):
Teaduslikus filosoofias on kõrgeim maksimum järgmine: kui võimalik, tuleb loogilised konstruktsioonid asendada tuletatud olemitega. (Carnap 1967, 6)
Aufbaus ehitati mateeria elementaarsetest kogemustest ja hiljem jätkas projekti Nelson Goodman (1951). Michael Friedman (1999) ja Alan Richardson (1998) on väitnud, et Carnapi ehitusprojekt võlgnes tema taustale uuskantilikes empiiriliste objektide “konstitutsiooni” käsitlevates küsimustes palju rohkem kui Russelli projekti taustal. Vt siiski Pincock (2002) vastust, mis väidab Russelli projekti tähtsust teaduslike teadmiste rekonstrueerimisel (Carnap 1967). Üldisemas plaanis sai teoreetiliste konstruktsioonide kasutamine filosoofide seas laialt levinud ja jätkub püstitatud teoreetiliste mudelite konstrueerimisel, seda nii loogika mõttes, kus nad modelleerivad formaalseid teooriaid, kui ka selleks, et pakkuda olemite lausete tõesuse tingimusi.
Willard van Orman Quine nägi oma mõistet „seletamine” loogilise konstruktsiooni arenguna. Quine tutvustab oma metoodikat ajakirjas Word and Object (1960), alustades viitega Ramsey märkusele jaotise 53 pealkirjas: „Tellitud paar kui filosoofiline paradigma”. Russelli kirjeldusteooriat motiveerivate avaldiste viitamise probleem on esitatud üldise probleemina:
Viimastes lõikudes korduvalt illustreeritud muster on puuduliku nimisõna muster, mis tõendab objektide teenimatut teenimist ja lükatakse tagasi väheste fraaside parandusliku osana. Kuid mõnikord on defektne nimisõna vastupidine: leitakse, et selle kasulikkus lülitab tähistatud objektide lubamise kvantitatiivsete muutujate väärtustena. Sel juhul on meie ülesanne välja töötada selle tõlgendused terminites, kus puuduse tõttu seda varem ei esinenud. (Quine 1960, 257)
Mõiste „puudulik nimisõna”, mis tuleb „tagasi lükata kui ebareferentset fragmenti”, kajastab konstruktsioonide kirjeldamist loogiliste fiktsioonidena ja nende väljendeid kui lihtsalt mittetäielikke sümboleid, mis kirjeldavad nii täpselt kirjelduste ja klasside kontekstilisi määratlusi. Tõlgenduste väljatöötamise ülesanne sarnaneb pigem termini „konstruktsioon” soovitatud positiivse aspektiga, mida on illustreeritud arvude ja mateeria ehitamise puhul. Pärast järeldust, et väljend „tellitud paar” oli selline „puudulik nimisõna”, ütleb Quine, et mõiste kahe olemi {(x) ja (y) korraldatud paari (langle x, y \ rangle) mõiste kohta) on "kasulikkusega" ja piirdub ainult ühe "postulaadi" täitmisega:
(1) Kui (langle x, y \ rangle = \ langle z, w \ rangle), siis (x = z) ja (y = w)
Teisisõnu, neid järjestatud paare eristab ainulaadne esimene ja teine element. Seejärel jätkub Quine:
Nende puudulike nimisõnade kasutamise asjakohase väljajätmise probleemi saab üks kord lahendada, kinnitades süstemaatiliselt igale (x) ja (y) sobivale juba tunnustatud objektile, millega (langle x, y \ rangle). Probleem on kena, sest meil on (1) ühtne selgesõnaline standard, mille järgi saab versiooni sobivust hinnata. (Quine 1960, 258)
Jällegi kordab Quine Russelli keelt, mainides “asjalikku” vara, mis kutsub tuntud asutusi üles ehitama. Quine eristab oma projekti, mida ta nimetab "seletamiseks", asjaoluga, et idee kinnitamiseks on olemas ka muid võimalikke viise. Ehkki Whitehead ja Russell annavad konto PM * 55-s, kus neid nimetatakse “ordinaarseteks paarideks”, on esimene ettepanek käsitleda tellitud paare oma liikmete klassidena Norbert Wienerilt (1914), kes identifitseerib (langle x, y \ rangle) koos ({ {x }, {y, \ Lambda } }), kus (Lambda) on tühi klass. Sellest määratlusest on lihtne paari esimene ja teine element taastada ja seega on Quine'i (1) elementaarne teoreem. Hiljem pakkus Kuratowski välja määratluse ({ {x }, {{x, y } }), millest tuleneb ka punkt 1. Quine'i puhul on valikuküsimus, millist määratlust kasutada, kuna punktid, milles need erinevad, on “ei huvita”, küsimused, mis annavad täpse vastuse küsimustele, mille kohta meie eelteoreetiline konto on vaigistatud. Selgitus erineb seega märkimisväärselt tavalise või teoreetilise eelse keele „analüüsist” nii selle väljendi täpse tähenduse osas, kus see võis olla varjatud või võib-olla lihtsalt vaikne, ja võib-olla erineb eelteoreetilisest kasutamisest, kuna soovitatud nime järgi. See sobib hästi asümmeetriatega, mida oleme märkinud analüüsi ja ehituse vahel, analüüsiga, mille eesmärk on leida meile antud väidete koostisosad ja struktuur, ning ehitamisega, mis on rohkem valik, mille eesmärk on taastada konstruktsiooni erilised “kenad” omadused formaalses teoorias. Tellitud paar on seega Quine'i jaoks “filosoofiline paradigma”, nagu ka Russelli kirjeldusteooria oli Ramsey filosoofia paradigma ja mõlemad on “loogiline konstruktsioon”.
Bibliograafia
Esmane kirjandus: Russelli teosed
1901, “Suhete loogika”, (prantsuse keeles) Rivista di Matematica, kd. VII, 115–48. Ingliskeelne tõlge Russell 1956, 3–38 ja Russell 1993, 310–49.
1903, Matemaatika põhimõtted, Cambridge: Cambridge University Press; 2 nd väljaanne 1937, London: Allen & Unwin.
1905, “Denotoneerimise kohta”, Meel 14 (oktoober), 479–93. Russellides 1956, 39–56 ja Russell 1994, 414–27.
1908, “Matemaatiline loogika tüüpide teooria põhjal”, American Journal of Mathematics 30, 222–62. In Van Heijenoort 1967, 150–82 ja Russell 2014, 585–625.
1910–13, AN Whitehead ja BA Russell, Principia Mathematica, Cambridge: Cambridge University Press; 2 nd edition, 1925-1927.
1912, Filosoofia probleemid, London: Williams ja Norgate. 1967. aasta kordustrükk Oxford: Oxford University Press.
1914a, “Mõistlike andmete seos füüsikaga”, Scientia, 16, 1–27. Müstikas ja loogikas käsitlevad Longmans, Green and Co. 1925, 145–179 ja Russell 1986, 3–26.
1914b, Meie teadmised välismaailmast: kui teadusliku meetodi valdkond filosoofias, Chicago ja London: avatud kohus.
1918, “Loogilise atomismi filosoofia” The Monistis, 28. (oktoober 1918): 495–527, 29 (jaanuar, aprill, juuli 1919): 32–63, 190–222, 345–80. Lehekülje viited loogilise atomismi filosoofiale, DF Pears (toim), La Salle: Open Court, 1985, 35–155. Samuti Russell 1986, 157–244 ja Russell 1956, 175–281.
1919, Matemaatilise filosoofia sissejuhatus, London: Routledge.
1924, “Loogiline atomism”, loogilise atomismi filosoofias, DF Pears (toim), La Salle: Avatud kohus, 1985, 157–181. Russell 2001, 160–179.
1927, Asja analüüs, London: Kegan Paul, Trench, Trubner & Co.
1956, loogika ja teadmised: esseed 1901–1950, RC Marsh (toim), London: Allen & Unwin.
1959, Minu filosoofiline areng, London: George Allen ja Unwin.
1973, Esseed analüüsis, D. Lackey (toim), London: Allen & Unwin.
1986, Bertrand Russelli kogutud paberid, vol. 8, loogilise atomismi filosoofia ja muud esseed: 1914–1919, JG Slater (toim), London: Allen & Unwin.
1993, Bertrand Russelli kogutud paberid, kd. 3, Matemaatika põhimõtete poole, Gregory H. Moore (toim), London ja New York: Routledge.
1994, Bertrand Russelli kogutud paberid, vol. 4, Loogika alused: 1903–1905, A. Urquhart (toim), London ja New York: Routledge.
2001, Bertrand Russelli kogutud paberid, kd. 9, esseed keele, mõistuse ja asja kohta: 1919–1926, JG Slater (toim), London ja New York.
2014, Bertrand Russelli kogutud paberid, vol. 5, Principia Mathematica, 1905–1908, GH Moore (toim), London ja New York: Routledge.
Teisene kirjandus
Alexander, S., 1910, “Sensatsioonidest ja piltidest”, Aristotelian Seltsi toimetised, X: 156–78.
Beaney, M., 2003, “Susan Stebbing on Cambridge and Wien Analysis”, Viini ring ja loogiline empirism, F. Stadler (toim), Dordrecht: Kluwer, 339–50.
Beaney, M. (toim.), 2007, Analüütiline pööre: analüüs varases analüütilises filosoofias ja fenomenoloogias, New York: Routledge.
Carnap, R., 1967, Maailma loogiline ülesehitus ja pseudoprobleemid filosoofias, trans. R. George, Berkeley: University of California Press. Algselt Der Logische Aufbau der Welt, Berliin: Welt-Kreis, 1928.
Church, A., 1976, “Semantiliste antinoomide Russelli resolutsiooni võrdlus Tarski omaga”, Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760.
Cocchiarella, N., 1980, “Nominalism ja kontseptualism kui ennustatavad teise astme ennustamisteooriad”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 21 (3): 481–500.
Dedekind, R., 1887. Was sind und is sollen die Zahlen?, Tõlgitud kui numbrite teooria essees numbrite teooriast ja tähendusest, New York: Dover, 1963.
Demopolous, W. ja Friedman, M., 1985, “Bertrand Russelli mateeria analüüs: selle ajalooline taust ja tänapäevane huvi”, teaduse filosoofia, 52 (4): 621–639.
Dummett, M., 1981, Frege filosoofia tõlgendus, Cambridge, Mass: Harvard University Press.
Friedman, M., 1999, Loogilise positivismi ümbervaatamine, Cambridge: Cambridge University Press.
Frege, G., 1893/1903, Aritmeetika põhiseadused, Jena: Pohle, 2 köidet, trans. P. Ebert ja M. Rossberg, Oxford: Oxford University Press, 2013.
Landini, G., 1998, Russelli varjatud asendusteooria, Oxford: Oxford University Press.
Levine, J., 2016, “Ebamäärasuse koht Russelli filosoofilises arengus”, Sorin Costreie (toim), Varajane analüütiline filosoofia - traditsiooni uued perspektiivid (Western Ontario sari teaduse filosoofias 80), Dordrecht Springer, 161–212.
–––, 2004, „Russelli märkused Frege kohta matemaatika põhimõtete A lisa jaoks”, Russell: Bertrand Russell Studies, 24: 133–72.
–––, 2007, “Loogiline analüüs ja loogiline konstrueerimine”, analüütiline pööre, M. Beaney (toim), New York: Routledge, 107–122.
––– 2013, „Russelli kindlate kirjelduste teooria ja loogilise ehituse idee”, M. Beaney (toim), Oxfordi analüütilise filosoofia ajaloo käsiraamat, Oxford: Oxford University Press, 407–429.
Nunn, TP, 1910, “Sümpoosion: kas keskhariduse omadused on tajust sõltumatud?”, Aristotelian Seltsi Toimetised, X: 191–218.
Peano, G., 1889, “Aritmeetika põhimõtted; Esitatud uue meetodi abil”, tõlkinud J. van Heijenoort, Frege'st Gödelini, Cambridge, Mass: Harvard University Press, 1967, 81–97.
Richardson, A., 1998, Carnapi maailma ehitamine: Aufbau ja loogilise empirismi tekkimine, Cambridge: Cambridge University Press.
Quine, WVO, 1960, Word and Object, Cambridge Mass: The MIT Press.
Ramsey, Frank, 1929, “Philosophy”, ajakirjas FP Ramsey, Philosophical Papers, DH Mellor (toim), Cambridge: Cambridge University Press, 1990, lk 1–7.
Ryle, G., 1931, “Süstemaatiliselt juhtiv väljend”, Aristotelian Society toimetised, 32: 139–70; kordustrükk ajakirjas The Linguistic Turn: Esseed in Philosophical Method, RM Rorty (toim), Chicago: University of Chicago Press, 1992, 85–100.
Sainsbury, M., 1979, Russell, London: Routledge & Kegan Paul.
