Setiteooria Varane Arendamine

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-05-24 11:17

Sisenemise navigeerimine

• Sissesõidu sisu
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Sõprade PDF-i eelvaade
• Teave autori ja tsitaadi kohta
• Tagasi üles

Setiteooria varane arendamine

Esmakordselt avaldatud teisipäeval 10. aprillil 2007; sisuline läbivaatamine teisipäeval, 18. juunil 2020

Set-teooria on tänapäevase matemaatika üks suurimaid saavutusi. Põhimõtteliselt tunnistavad kõik matemaatilised mõisted, meetodid ja tulemused esindatust aksiomaatilise kogumiteooria sees. Seega on seatud teooria mänginud üsna ainulaadset rolli, süstematiseerides tänapäevast matemaatikat ja lähenedes ühtsel kujul kõigile vastuvõetavate matemaatiliste argumentide põhiküsimustele, sealhulgas keerukale eksistentsi põhimõtte küsimusele. See sissekanne hõlmab lühidalt keerulist protsessi, mille käigus kogumiteooria tekkis, hõlmates umbes aastaid 1850–1930.

1910. aastal kirjutas Hilbert, et kogumiteooria on

see matemaatiline distsipliin, millel on täna meie teaduses silmapaistev roll ja kiirgab [ausströmti] mõjuvõimsat mõju kõigile matemaatika harudele. [Hilbert 1910, 466; kande autori tõlge]

See viitab juba sellele, et varajase ajaloo arutamiseks tuleb eristada komplektteooria kahte aspekti: selle roll põhikeelena ja moodsa matemaatika aluspõhimõtete hoidjana; ja selle roll iseseisva matemaatikaharuna, mis on klassifitseeritud (tänapäeval) matemaatilise loogika haruks. Siin käsitletakse mõlemat aspekti.

Esimeses osas vaadeldakse teoreetilise matemaatika päritolu ja tekkimist 1870. aasta paiku; sellele järgneb arutelu teooria laienemise ja konsolideerimise perioodist aastani 1900. Jaos 3 antakse ülevaade kriitilisest perioodist aastakümnetel 1897–1918 ja 4. osas käsitletakse aega Zermelost Gödelini (teooriast) metateooriasse), pöörates erilist tähelepanu sageli tähelepanuta jäetud, kuid üliolulisele kirjeldavale kogumiteooriale.

• 1. Tekkimine
• 2. Konsolideerimine
• 3. Kriitiline periood
• 4. Zermelost Gödelini

• Bibliograafia

  • Viidatud teosed
  • Lisalugemist
• Akadeemilised tööriistad
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. Tekkimine

Komplekti kontseptsioon näib vähemalt koolitatud matemaatiku jaoks eksitavalt lihtne ja sedavõrd, et teerajajate panust on keeruline hinnata ja õigesti hinnata. Mis maksis nende tootmisele palju vaeva ja mille vastuvõtmine võttis matemaatikakogukonnal palju aega, võib meile tunduda üsna iseenesest mõistetav või isegi triviaalne. Alustuseks tuleks märkida kolme kirjanduses laialt levinud ajaloolist väärarusaama:

1. Pole nii, et tegelik lõpmatus lükati enne Cantorit üldiselt tagasi.
2. Set-teoreetilised vaated ei tekkinud ainult analüüsist, vaid tekkisid ka algebras, arvuteoorias ja geomeetrias.
3. Tegelikult eelnes setteoreetilise matemaatika tõus Cantori otsustavale panusele.

Kõik need punktid saavad selgeks järgnevas.

Mõiste kogumik on sama vana kui loendamise ja loogiline ideid tunnid on olemas vähemalt alates "puu Porfüür" (3 ^rd sajandi CE). Seega on komplekti mõiste päritolu keeruline sorteerida. Komplektid pole aga kogud selle sõna igapäevases tähenduses ega "klassid" loogikute mõistes enne 19. ^sajandi keskpaika. Peamine puuduv element on objektiivsus - komplekt on matemaatiline objekt, mida tuleb kasutada täpselt samamoodi nagu kõigi teiste objektide puhul (komplekt (mathbf {N}) on sama palju "asi" kui number 3). Selle punkti selgitamiseks kasutas Russell kasulikku vahet klass-kui-palju (see on traditsiooniline idee) ja klass-kui-üks (või komplekt) vahel.

Ernst Zermelo, meie loo ülioluline tegelane, ütles, et teooria oli ajalooliselt loodud “Cantori ja Dedekindi poolt” [Zermelo 1908, 262]. See viitab heale pragmaatilisele kriteeriumile: tuleks alustada autoritest, kes on Cantori, Dedekindi ja Zermelo kontseptsioone märkimisväärselt mõjutanud. Enamasti on see siin vastu võetud kriteerium. Kuna iga reegel nõuab erandit, on Bolzano juhtum oluline ja õpetlik, ehkki Bolzano ei mõjutanud hilisemaid kirjutajaid märkimisväärselt.

19 ^th sajandi saksakeelse valdkondades, seal olid mõned intellektuaalse tendentsid mis soodustasid vastuvõtmise tegeliku lõpmatu (nt taaselustamist Leibniz mõtte). Hoolimata Gaussi hoiatusest, et lõpmatu võib olla ainult kõneviis, eelnesid mõned kõrvalnäitajad ja kolm suurt numbrit (Bolzano, Riemann, Dedekind) Cantorile matemaatikas tegeliku lõpmatu täielikuks aktsepteerimiseks. Need kolm autorit edendasid aktiivselt matemaatiliste ideede setteoreetilist sõnastamist, kusjuures Dedekindi panus paljudes klassikalistes kirjutistes (1871, 1872, 1876/77, 1888) oli keskse tähtsusega.

Kronoloogiliselt oli esimene Bernard Bolzano, kuid ta ei avaldanud peaaegu mingit mõju. Tema loogikaalase töö kõrge kvaliteet ja matemaatika alused on hästi teada. Raamat pealkirjaga Paradoxien des Unendlichen ilmus postuumselt 1851. aastal. Siin väitis Bolzano üksikasjalikult, et terve hulk lõpmatust ümbritsevaid paradokse on loogiliselt kahjutud ja paigaldas tegeliku lõpmatuse jõulise kaitse. Ta pakkus välja huvitava argumendi, millega üritatakse tõestada lõpmatute komplektide olemasolu, mida saab võrrelda Dedekindi hilisema väitega (1888). Ehkki ta kasutas erinevat tüüpi komplektide või klasside keerulist eristamist, tunnistas Bolzano selgelt võimalust panna kaks lõpmatut komplekti üks-ühele vastavusse, nagu seda on lihtne teha näiteks intervallidega ([0, 5]) ja ([0, 12]) funktsiooni (5y = 12x) abil. Kuid,Bolzano oli vastu järeldusele, et mõlemad komplektid on oma osade paljususe osas võrdsed [1851, 30–31]. Tõenäoliselt olid traditsioonilised mõõtmisideed tema mõtteviisis endiselt liiga võimsad ja seetõttu jäi ta kardinaalsuse mõiste avastusest ilma (võib siiski arvestada mitte-kantori ideedega, mille kohta vt Mancosu 2009).

Bolzano juhtum viitab sellele, et meetrilistest mõistetest vabanemisel (mis kaasnes projektiivse geomeetria ja eriti topoloogia teooriate arendamisega) pidi olema otsustav roll komplekteeritud teooria abstraktse vaate võimaldamisel. Bernhard Riemann pakkus oma tähistatavas avaloengus „Hüpoteesidest, mis asuvad geomeetria alustaladel” visioonilisi ideesid topoloogiast ja kogu matemaatika rajamisest mõiste „kogum” või klassi tähenduses (Mannigfaltigkeit). 1854 / 1868a). Samuti oli Riemannile iseloomulik suur rõhk kontseptuaalsel matemaatikal, eriti nähtav tema lähenemisviisis keerukale analüüsile (mis läks jälle sügavale topoloogiasse). Kui tuua lihtsaim näide,Riemann oli entusiastlik Dirichleti idee järgija, et funktsioon tuleb ette kujutada numbriliste väärtuste suvalise vastavusena, olgu see valemiga esindatav või mitte; see tähendas, et jäeti maha ajad, mil funktsioon määratleti analüütilise avaldisena. Selle uue matemaatikastiili ja oma nägemuse abil komplektide uuest rollist ning topoloogia arendamise täisprogrammist nägi Riemann olulist mõju nii Dedekindile kui ka Cantorile (vt Ferreirós 1999). Riemann avaldas otsustavat mõju nii Dedekindlusele kui ka Cantorile (vt Ferreirós 1999). Riemann avaldas otsustavat mõju nii Dedekindlusele kui ka Cantorile (vt Ferreirós 1999).

Viieaastase perioodi 1868–1872 ajal levis Saksamaal set-teoreetiliste ettepanekute levik, nii palju, et võiksime seda pidada setteoreetilise matemaatika sünniks. 1854. aastal pidas Riemann geomeetria loengu, mille Dedekind avaldas 1868, koos Riemann'i raamatuga trigonomeetriliste seeriate kohta (1854 / 1868b, mis esitas Riemann'i integraali). Viimane oli lähtepunktiks sügavale tööle reaalses analüüsis, alustades „tõsiselt” katkendlike funktsioonide uurimist. Sellele alale astus noor Georg Cantor, kes viis ta punkt-punktide uurimise juurde. 1872. aastal tutvustas Cantor operatsiooni punktikomplektides (vt allpool) ja varsti mõtiskles ta võimaluse üle korrata seda operatsiooni lõpmatuseni ja kaugemale: see oli esimene pilk piiritletud valdkonda.

Vahepeal oli 1871. aastal välja pannud veel ühe olulise arengu Richard Dedekind. Oma algebralise arvuteooria töö raames tutvustas Dedekind põhimõtteliselt setteoreetilist vaatenurka, määratledes algebraliste numbrite väljad ja ideaalid. Need ideed esitati väga küpsel kujul, kasutades ära seatud toiminguid ja struktuuri säilitavaid kaardistusi (vt asjakohast lõiku Ferreirós 1999: 92–93; Cantor kasutas Dedekindi terminoloogiat operatsioonide jaoks oma töös teooria kohta 1880. aasta paiku). [1999: 204]. Arvestades algebraliste numbrite välja täisarvude ringi, määratles Dedekind teatud alamhulgad, mida nimetatakse ideaalideks, ja opereerisid neid komplekte uute objektidena. See protseduur oli tema teema üldise lähenemise võti. Teistes teostes käsitles ta väga selgelt ja täpselt ekvivalentsussuhteid, partitsioonikomplekte,homomorfismid ja automorfismid (ekvivalentsussuhete ajaloost vt Asghari 2018). Nii lähevad paljud XX sajandi matemaatika tavapärased setteoreetilised protseduurid tema töö juurde tagasi. Mitu aastat hiljem (1888) avaldas Dedekind setteooria põhielementide esitluse, muutes vaid pisut selgemalt operatsioone komplektidel ja kaardistamistel, mida ta oli kasutanud alates 1871. aastast.

Järgmisel aastal avaldas Dedekind paberi [1872], milles ta esitas aksiomaatilise analüüsi reaalarvude hulga (mathbf {R}) struktuuri kohta. Ta määratles selle järjestatud väljana, mis on samuti täielik (selles mõttes, et kõik Dedekindi jaotused jaotises (mathbf {R}) vastavad elemendile (mathbf {R})); täielikkus selles mõttes on Archimedeani aksioom. Ka Cantor esitas 1872. aastal mõiste (mathbf {R}) määratluse, rakendades Cauchy ratsionaalsete arvude jadasid, mis oli Carl Weierstrassi loengutes pakutud definitsiooni elegantne lihtsustus. Täielikkuse aksioomi vorm, mida Weierstrass eelistas, oli Bolzano põhimõte, mille kohaselt pesas suletud intervallidega jaotis (mathbf {R}) (jada selline, et ([a_ {m + 1}, b_ {m + 1}] alamhulk [a_ {m}, b_ {m}])) "sisaldab" vähemalt ühte reaalarvu (või, nagu me ütleksime,ristmik on tühi).

Cantori ja Dedekindi reaalarvude definitsioonid tuginesid kaudselt komplekti teooriale ja neid võib tagantjärele vaadelda eeldusena, et eeldatakse Power Set põhimõtet. Mõlemad võtsid ratsionaalarvude komplekti, nagu ka antud, ja (mathbf {R}) määratlemisel tuginesid nad ratsionaalsete numbrite lõpmatule komplektile (tervikuna Cauchy jadade koguarv või kõik Dedekindi jaotused) teatavale kogumile.. Ka sellega hakkas ilmnema komplekti teooria konstruktivistlik kriitika, kuna Leopold Kronecker hakkas selliste infinitaarsete protseduuride suhtes vastuväiteid esitama. Samal ajal alustati (mathbf {R}) topoloogia uurimist, eriti Weierstrassi, Dedekindi ja Cantori töödes. Set-teoreetilist lähenemist kasutasid reaalanalüüsi ja kompleksanalüüsi valdkonnas ka mitmed autorid (nt Hankel, du Bois-Reymond, HJS Smith, U.). Dini) ja Dedekindi ühistöös Weberiga (1882), teedrajav algebraline geomeetria.

Cantori tuletatud komplektid pakuvad erilist huvi (selle idee konteksti kohta reaalses analüüsis vt nt Dauben 1979, Hallett 1984, Lavine 1994, Kanamori 1996, Ferreirós 1999). Cantor võttis reaalarvude kontseptuaalse sfääri, võttes arvesse meelevaldseid alamhulki (P), mida ta nimetas punktkomplektideks. Pärisarvu (r) nimetatakse (P) piirpunktiks, kui kõik (r) naabruskonnad sisaldavad (P) punkte. See võib juhtuda ainult siis, kui (P) on lõpmatu. Selle kontseptsiooni abil määratles Cantor Weierstrassist tulenevalt (P) tuletatud hulga (P ') kui (P) kõigi piirpunktide kogumit. Üldiselt võib (P ') olla lõpmatu ja omada oma piiripunkte (vt Cantori artikkel Ewaldis [1996, vol. 2, 840ff], esiteks lk 848). Nii saab operatsiooni korrata ja saada täiendavaid tuletatud komplekte (P ''), (P '' ')… (P ^ {(n)}) … Lihtne on tuua näiteid hulgast (P), millest tulenevad mittetühjad tuletatud komplektid (P ^ {(n)}) kõigi piiratud (n) jaoks. (Üsna triviaalne näide on (P = \ mathbf {Q} _ {[0,1]}), ratsionaalarvude kogum ühikuintervallis; sel juhul (P '= [0,1] = P '').) Seega saab määratleda (P ^ {(infty)}) kõigi (P ^ {(n)}) ristumiskohana lõpliku (n) jaoks. See oli Cantori esimene kohtumine piiritletud iteratsioonidega. See oli Cantori esimene kohtumine piiritletud iteratsioonidega. See oli Cantori esimene kohtumine piiritletud iteratsioonidega.

Siis, 1873. aasta lõpus, tuli üllatav avastus, mis avas täielikult piiritletud ala. Kirjavahetuses Dedekind'iga (vt Ewald 1996, kd 2) esitas Cantor küsimuse, kas naturaalarvude lõpmatu hulga (mathbf {N}) ja reaalarvude (mathbf {R}) võib olla paigutatud üks-ühele kirjavahetusse. Dedekind pakkus vastuseks üllatavat tõestust selle kohta, et kõigi algebraliste numbrite komplekt (A) on loetav (st. Üksusega ükskõiksus dokumendiga (mathbf {N}) on olemas. Mõni päev hiljem suutis Cantor tõestada, et eeldus, et (mathbf {R}) on loetav, põhjustab vastuolu. Selleks kasutas ta eespool nimetatud Bolzano-Weierstrasi täielikkuse põhimõtet. Nii näitas ta, et dokumendis (mathbf {R}) on rohkem elemente kui (mathbf {N}) või (mathbf {Q}) või (A),täpsuses, et (mathbf {R}) kardinaalsus on rangelt suurem kui (mathbf {N}).

2. Konsolideerimine

Set-teooria oli hakanud muutuma matemaatika uue “moodsa” lähenemisviisi oluliseks koostisosaks. Kuid see seisukoht vaidlustati ja selle konsolideerimine võttis üsna kaua aega. Dedekindi algebraline stiil hakkas järgijaid leidma alles 1890. aastatel; Nende seas oli ka David Hilbert. Pinnas oli tänapäevaste reaalfunktsioonide teooriate jaoks paremini ette valmistatud: 1880. aastatel aitasid kaasa itaalia, saksa, prantsuse ja briti matemaatikud. Ja uute aluspõhimõtete üle võtsid omaks Peano ja tema järgijad, mõnel määral Frege, 1890. aastatel Hilbert ja hiljem Russell.

Vahepeal veetis Cantor aastad 1878–1885 peamiste tööde avaldamisel, mis aitasid muuta teooria matemaatika autonoomseks haruks. Kirjutame (A \ equiv B), et väljendada, et kahte komplekti (A), (B) saab panna üks-ühele vastavusse (neil on sama kardinaalsus). Pärast tõestamist, et irratsionaalsed numbrid saab panna üks-ühele vastavusse (mathbf {R}), ja üllataval kombel on ka see, et (mathbf {R} ^ {n} equiv \ mathbf {R }), Arvas Cantor 1878. aastal, et (mathbf {R}) mõni alamhulk oleks kas delenteeritav ((equiv \ mathbf {N})) või (equiv \ mathbf {R}). See on tähistatud Continuumi hüpoteesi esimene ja nõrgim vorm. Järgnevate aastate jooksul uuris Cantor punktikomplektide maailma, tutvustades mitmeid olulisi topoloogilisi ideid (nt täiuslik komplekt, suletud komplekt, isoleeritud komplekt),ja jõudis selliste tulemusteni nagu Cantor-Bendixsoni teoreem.

Punktikomplekt (P) suletakse, kui selle tuletatud komplekt (P '\ subseteq P) on täiuslik, kui (P = P'). Seejärel väidab Cantor-Bendixsoni teoreem, et suletud punktide komplekti saab jagada kaheks alamhulgaks (R (R) ja (S), nii et (R) on loetav ja (S) on täiuslik (tõsi, (S) on (a) ^th tuletatakse kogum (P), võtta vastu loendatavate järgarvuline (a)). Seetõttu väidetakse, et suletud komplektidel on ideaalne komplektiomadus. Lisaks suutis Cantor tõestada, et täiuslikel komplektidel on kontinuumi jõud (1884). Mõlemad tulemused näitasid, et pidevhüpotees kehtib kõigi suletud punktide komplektide kohta. Palju aastaid hiljem, 1916. aastal, suutsid Pavel Aleksandrov ja Felix Hausdorff näidata, et ka laiemal Boreli komplekti klassil on täiuslik komplektiomadus.

Tema töö punktide komplektidega ajendas Cantorit 1882. aastal kujundama lõplikke numbreid (vt Ferreirós 1999: 267 jj). See oli pöördepunkt tema uurimistöös, sest sellest ajast alates õppis ta abstraktset kogumiteooriat sõltumatult konkreetsetest küsimustest, mis olid seotud punktikomplektide ja nende topoloogiaga (kuni 1880. aastate keskpaigani olid need küsimused tema kavas tähtsal kohal). Seejärel keskendus Cantor transfinite kardinaalsetele ja järgarvudele ning üldisele järjekorra tüübile, sõltumata (mathbf {R}) topoloogilistest omadustest.

Transfinite ordinaalid võeti uute numbritena kasutusele 1883. aasta olulises matemaatikafilosoofilises raamatus Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (pange tähele, et Cantor kasutab komplektide tähistamiseks endiselt Riemann'i terminit Mannigfaltigkeit või 'kollektorit'). Cantor määratles need kahe genereerimispõhimõtte abil: esimene (1) annab igale numbrile järgneva (a + 1) (a), samas kui teine (2) näeb ette arvu olemasolu (b), mis järgneb kohe pärast numbrijada ilma viimase elemendita. Seega, pärast kõigi piiratud arvude saabumist arvuga (2), on esimene lõplik arv (omega) (loe: omega); ja sellele järgneb (omega + 1), (omega + 2),…, (omega + \ omega = \ omega \ cdot 2),…, (omega \ cdot n), (omega \ cdot n +1),…, (omega ^ {2}), (omega ^ {2} +1),…, (omega ^ { omega }),… Ja nii edasi ja edasi. Kui ilmub ilma viimase elemendita jada, võib edasi minna ja niiöelda hüpata kõrgemale astmele (2).

Nende uute numbrite kasutuselevõtt tundus enamikule tema kaasaegsetele jõudeolekutena, kuid Cantori jaoks oli neil kaks väga olulist funktsiooni. Selleks klassifitseeris ta piiritletud ordinaadid järgmiselt: „esimene numbriklass” koosnes piiritletud ordinaalidest, naturaalarvude hulgast (mathbf {N}); teise numbriklassi moodustas ω ja kõik sellele järgnenud numbrid (sealhulgas (omega ^ { omega}) ja paljud muud), millel on vaid loetav eelkäijate komplekt. Selle olulise tingimuse pakkus välja Cantor-Bendixsoni teoreemi tõestamise probleem (vt Ferreirós 1995). Selle põhjal saaks Cantor teha kindlaks tulemused, et teise numbriklassi kardinaalsus on suurem kui (mathbf {N}); ja et mingit keskmist kardinaalsust pole olemas. Seega, kui kirjutate (textit {card} (mathbf {N}) = \ aleph_ {0}) (loe:aleph null), õigustasid tema teoreemid teise numbriklassi (aleph_ {1}) kardinaalsuse nimetamist.

Pärast teist numbriklassi saabub kolmas numbriklass (kõik piiritletud ordinad, kelle eelkäijatel on kardinaalsus (aleph_ {1})); selle uue numbriklassi kardinaalsuseks võib osutuda (aleph_ {2}). Ja nii edasi. Transfinite ordinaalide esimene ülesanne oli seega piiritletud kardinaalsuste suureneva skaala kehtestamine. (Ülaltoodud alefi märke võttis Cantor kasutusele alles 1895. aastal.) See võimaldas pidevprobleemi palju täpsemalt sõnastada; Cantori oletustest sai hüpotees, et (textit {card} (mathbf {R}) = \ aleph_ {1}). Lisaks suutis Cantor piiritletud ordinaalidele tuginedes tõestada Cantor-Bendixsoni teoreemi, ümardades tulemused punktikomplektide põhjal, mida ta oli nendel üliolulistel aastatel välja töötanud. Cantor-Bendixsoni teoreem väidab:suletud komplektidel (mathbf {R} ^ n) (üldistatav poola tühikutega) on täiuslik komplekti omadus, nii et iga suletud komplekt (S) (mathbf {R} ^ n) saab kirjutatud ainulaadselt täiusliku komplekti (P) ja loendatava komplekti (R) lahutamatu ühendina. Pealegi on (P) (S ^ α) α loendatava ordinaali jaoks.

Piiritletud ordinate uurimine suunas Cantori tähelepanu tellitud komplektidele, eriti hästi järjestatud komplektidele. Komplekti (S) seos on hästi järjestatud <iff <on kokku tellimus ja igal (S) alamhulgal on <-korralduses vähemalt elementi. (Pärisarvud ei ole tavapärases järjekorras hästi järjestatud: arvestage lihtsalt avatud intervalliga. Samal ajal on (mathbf {N}) lihtsaim lõpmatu hästi järjestatud komplekt.) Cantor väitis, et piiritletud ordinaadid väärivad tõepoolest numbrite nimi, kuna need väljendavad võimaliku hästi järjestatud komplekti “tellimuse tüüpi”. Pange tähele ka seda, et Cantoril oli lihtne näidata, kuidas naturaalarvuid ümber järjestada, et need vastaksid järjekorra tüüpidele (omega + 1), (omega + 2),…, (omega \ cdot 2),…, (omega \ cdot n),…, (omega ^ 2),…, (omega ^ { omega})… ja nii edasi.(Näiteks (mathbf {N}) ümberkorraldamine kujul: 2, 4, 6,…, 5, 15, 25, 35,…, 1, 3, 7, 9,… saame komplekti, mis on tellimuse tüüp (omega \ cdot 3).)

Pange tähele, et kui kontinuumihüpotees on tõene, siis tähendab see, et reaalarvude hulga (mathbf {R}) saab tõepoolest hästi järjestada. Cantor oli sellele seisukohale nii pühendunud, et esitas täiendava hüpoteesi, et iga komplekti saab hästi järjestada kui „fundamentaalset ja hetkeolulist mõtteseadust”. Mõni aasta hiljem juhtis Hilbert tähelepanu nii pideva hüpoteesi kui ka korrastamise probleemile kui probleemile 1 tema tähistatud nimekirjas „Mathematische Problem” (1900). See oli arukas viis rõhutada seatud teooria olulisust matemaatika tuleviku jaoks ning selle uute meetodite ja probleemide viljakust.

1895 ja 1897 avaldas Cantor oma kaks viimast artiklit. Need olid hästi korraldatud esitlus tema tulemuste kohta lõplike numbrite (kardinalid ja ordinaadid) ja nende teooria kohta, samuti tellimustüüpide ja hästi järjestatud komplektide kohta. Need ajalehed ei edendanud siiski olulisi uusi ideid. Kahjuks tekkis Cantoril kahtlus tema ettevalmistatud kolmanda osa suhtes, mis oleks arutanud väga olulisi probleeme, mis on seotud korralduse ja paradokside probleemiga (vt allpool). Üllataval kombel ei suutnud Cantor lisada 1895/97 paberitesse ka mõni aasta varem avaldatud teoreemi, mida tuntakse lihtsalt Cantori teoreemina: mis tahes hulga (S) korral on olemas veel üks komplekt, mille kardinaalsus on suurem (see on võimsuskomplekt (matemaatiline {P} (S)), nagu nüüd öeldakse - Cantor kasutas vormi (f) kõigi funktsioonide komplekti:(S \ paremäär {0, 1 }), mis on samaväärne). Samas lühikeses kirjutises (1892) esitas Cantor oma kuulsa tõendi, et (mathbf {R}) pole diagonaalimise meetodi abil taandatav - meetod, mida ta seejärel laiendas Cantori teoreemi tõestamiseks. (Vastav argumendivorm oli varem ilmnenud P. du Bois-Reymondi töös [1875], vt muu hulgas [Wang 1974, 570] ja [Borel 1898], märkus II.)

Samal ajal uurisid teised autorid võimalusi, mille matemaatika aluste jaoks pakkus välja teooria. Kõige olulisem oli Dedekindi panus (1888) looduslike arvude teooria sügava tutvustamisega. Ta sõnastas mõned komplekti (ja kaardistamise) teooria peamised põhimõtted; andis naturaalarvude süsteemi aksioomid; tõestas, et matemaatiline induktsioon on otsustav ja rekursiivsed määratlused on veatud; töötas välja aritmeetika põhiteooria; tutvustas piiratud kardinalid; ja tõestas, et tema aksioomisüsteem on kategooriline. Tema süsteemil oli neli aksioomi. Arvestades funktsiooni φ, mis on määratletud lehel (S), komplekti (N \ subseteq S) ja eristatavat elementi (1 \ sisse N), on need järgmised:

) alusta {joondus} silt {α} & \ phi (N) alamhulk N \\ \ silt {β} & N = \ phi_ {o} {1 } \ \ silt {γ} & 1 \ not \ in \ phi (N) \ \ tag {δ} & \ textrm {funktsioon} phi \ textrm {on süstitav.} end {joondama})

Tingimus (β) on ülioluline, kuna see tagab naturaalarvude komplekti minimaalsuse, mis tagab tõendite kehtivuse matemaatilise induktsiooni abil. (N = \ phi_ {o} {1 }) loetakse nii: (N) on funktsiooni φ all olev singletoni {1} ahel, see tähendab funktsiooni {1} minimaalne sulgemine φ. Üldiselt vaadeldakse hulga (A) ahelat suvalise kaardistamise γ all, mida tähistab (gamma_ {o} (A)); arendas Dedekind oma brošüüris selliste ahelate huvitava teooria, mis võimaldas tal tõestada Cantor-Bernsteini teoreemi. Teooriat üldistas hiljem Zermelo ja rakendas Skolem, Kuratowski jne.

Järgnevatel aastatel käsitles Giuseppe Peano loodusnumbreid pealiskaudsemalt (aga ka kuulsamalt), rakendades uut sümboolset loogikakeelt. Gottlob Frege töötas välja oma ideed, mis jäid paradokside saagiks. Setteteoreetilisest mõtteviisist inspireeritud oluline raamat oli Hilberti raamat „Grundlagen der Geometrie” (1899), mis viis „aksioomide matemaatika” ühe sammu Dedekindlusest kaugemale läbi rikkaliku geomeetriliste süsteemide uuringu, mille ajendiks olid tema aksioomide sõltumatust puudutavad küsimused. Hilberti raamat tegi selgeks uue aksioomaatilise metoodika, mis oli kujunemas seoses komplekti teooria uudsete meetoditega, ja ta ühendas selle projektiivsest geomeetriast lähtuvate aksiomaatiliste suundumustega.

Sellegipoolest, nagu me varem ütlesime, kritiseeriti üsna palju setteoreetilisi, infinitaarseid meetodeid. Juba 1870. aastal oli Kronecker hakanud avaldama kriitilisi märkusi konstruktivistliku painutuse kohta, mida ka aastaid hiljem kajastavad sellised tuntud mõtlejad nagu Brouwer või Wittgenstein. Kroneckeri kriitiline suund osutas reaalarvu süsteemist ja klassikalisest analüüsist loobumisele mõne rangema analüüsi vormi kasuks - 20. sajandi näited sellest oleks predikatiivne analüüs (H. Weyl tugineb Poincaré põhimõistetele, vt Feferman 1988).) ja intuitionistlik analüüs (Brouwer). Isegi Weierstrassil oli vastuväiteid (vähemalt 1874. aastal) lõpmatuse suuruste eristamise idee vastu ja see oli Cantori tõendite ees. Näiteid on palju,ja nii väljendasid paljud matemaatikud 1900. aastatel kahtlusi komplekti teooria peamiste ideede ja meetodite osas. Prototüübijuhtumiks on E. Borel, kes pärast Cantori ideede tutvustamist Prantsusmaal [1898] hakkas üha enam kahtlustama komplektiteooriat (tema ja 1905. aastal Baire, Lebesgue, Hadamardi poolt vahetatud viis kirja on saanud kuulsaks; vt Ewald [1996)., vol. 2]). Kuid on ka juhtumeid, kus esinevad Poincaré, Weyl, Skolem jne. Filosoofide seas on kõige silmatorkavam näide Wittgenstein, kes mõistis hukka komplektiteooria fiktiivse sümboolika "mõttetuse" toetamise, "valede kujundite" pakkumise jne põhjal. Hadamard 1905. aastal on kuulsaks saanud; vt Ewald [1996, vol. 2]). Kuid on ka juhtumeid, kus esinevad Poincaré, Weyl, Skolem jne. Filosoofide seas on kõige silmatorkavam näide Wittgenstein, kes mõistis hukka komplektiteooria fiktiivse sümboolika "mõttetuse" kallal, vihjates "valedele kujunditele" jne. Hadamard 1905. aastal on kuulsaks saanud; vt Ewald [1996, vol. 2]). Kuid on ka juhtumeid, kus esinevad Poincaré, Weyl, Skolem jne. Filosoofide seas on kõige silmatorkavam näide Wittgenstein, kes mõistis hukka komplektiteooria fiktiivse sümboolika "mõttetuse" kallal, vihjates "valedele kujunditele" jne.

3. Kriitiline periood

XIX sajandi lõpus oli levinud mõte, et puhas matemaatika pole midagi muud kui keerukas aritmeetika vorm. Nii oli kombeks rääkida matemaatika “aritmeerimisega” ja kuidas see oli andnud kõrgeimad rangusstandardid. Dedekindi ja Hilbertiga viis see vaade mõttele maandada kogu puhas matemaatika setteooriasse. Selle vaate väljatoomise kõige keerulisemad sammud olid tegelike arvude teooria kehtestamine ja looduslike arvude teoreetiline vähendamine. Mõlemad probleemid olid lahendatud Cantori ja Dedekindi tööga. Kuid just siis, kui matemaatikud pidid tähistama, et “täielik rangus” on lõpuks saavutatud, tekkisid tõsised probleemid seatud teooria alustaladele. Kõigepealt avastas Cantor ja seejärel Russell komplekti teooria paradoksid.

Kantor viidi paradoksideni, kui ta tutvustas transfinite arvude kontseptuaalset sfääri. Iga piiritletud ordinaalne on eelkäijate kogumi järjestustüüp; nt ω on ({0, 1, 2, 3, \ ldots }) korralduse tüüp ja (omega + 2) on ({0, 1, 2, 3, \ ldots, \ omega, \ omega +1 }). Seega vastab ordinaalide rea igale algsegmendile kohe suurem ordinal. Nüüd moodustaksid kõigi piiritletud ordinaatide “terve seeria” hästi järjestatud kogumi ja sellele vastaks uus järgarv. See on vastuvõetamatu, sest see ordinaalne ((o)) peaks olema suurem kui kõik „terve rea” liikmed, eriti aga „(o <o”). Seda nimetatakse tavaliselt Burali-Forti paradoksiks või ordinate paradoksiks (ehkki Burali-Forti ise ei suutnud seda selgelt sõnastada,vaata Moore & Garciadiego 1981).

Ehkki on mõeldav, et Cantor võis selle paradoksi leida juba 1883. aastal, kohe pärast piiritletud ordinaalide kehtestamist (selle idee pooldaja argumendid leiate Purkert & Ilgauds 1987 ja Tait 2000), näitavad tõendid selgelt, et alles 1896. / 97, et leidis selle paradoksaalse argumendi ja mõistis selle tagajärgi. Selleks ajaks oli ta võimeline kasutama ka Cantori teoreemi, et saada Cantori paradoks ehk alefide paradoks: kui oleks olemas kardinaalsete numbrite (alephide) kogum, annaks sellele rakendatud Cantori teoreem uue alephi. (aleph), nii et (aleph <\ aleph). Suur kogumiteoreetik sai suurepäraselt aru, et need paradoksid olid saatuslikuks löögiks Frege ja Dedekindi soositud komplektide loogilisele lähenemisele. Cantor rõhutas, et tema vaated olid „diametraalselt vastandlikes“Dedekindi omadele ja eriti tema „naiivsele eeldusele, et kõik täpselt määratletud kogud või süsteemid on ühtlasi ka„ järjekindlad süsteemid ““(vt 15. novembri kiri Hilbertile, 1899, Purkert & Ilgauds 1987: 154). (Vastupidiselt sellele, mida sageli on väidetud, pidi Cantori oma 1895. aasta paberi kahemõtteline määratlus olema "diametraalselt vastupidine" loogikute arusaamale komplektidest, mida sageli nimetatakse "naiivseks" kogumiteooriaks, mida võiks õigemini nimetada komplektide dihhotoomiline kontseptsioon Gödeli soovituse järgi.)(Vastupidiselt sellele, mida sageli on väidetud, pidi Cantori oma 1895. aasta paberi kahemõtteline määratlus olema "diametraalselt vastupidine" loogikute arusaamale komplektidest, mida sageli nimetatakse "naiivseks" kogumiteooriaks, mida võiks õigemini nimetada komplektide dihhotoomiline kontseptsioon Gödeli soovituse järgi.)(Vastupidiselt sellele, mida sageli on väidetud, pidi Cantori oma 1895. aasta paberi kahemõtteline määratlus olema "diametraalselt vastupidine" loogikute arusaamale komplektidest, mida sageli nimetatakse "naiivseks" kogumiteooriaks, mida võiks õigemini nimetada komplektide dihhotoomiline kontseptsioon Gödeli soovituse järgi.)

Cantor arvas, et suudab paradokside probleemi lahendada, eristades „püsivaid paljususi” või „kogumeid” ja „ebajärjekindlaid paljususi”. Kuid kuna selged eristamiskriteeriumid puudusid, oli see probleemile lihtsalt sõnaline vastus. Olles teadlik oma uute ideede puudustest, ei avaldanud Cantor kunagi viimast ettevalmistatavat ettekannet, milles ta kavatses arutada paradokse ja korraliku tellimise probleemi (me teame üsna hästi selle avaldamata paberi sisu, nagu Cantor arutas) see kirjavahetuses Dedekindi ja Hilbertiga; vt 1899. aasta kirju Dedekindile Cantoris 1932 või Ewald 1996: vol 2). Cantor esitas argumendi, mis tugines ordinate „Burali-Forti” paradoksile ja mille eesmärk oli tõestada, et iga komplekti saab hästi tellida. Selle argumendi tabas hiljem Briti matemaatik PEB Jourdain, kuid see on kriitikale avatud, kuna see töötab „ebajärjekindlate paljusustega” (Cantori termin ülalnimetatud kirjades).

Cantori paradoksid veensid Hilbertit ja Dedekindlit, et seatud teooria aluste osas on olulisi kahtlusi. Hilbert sõnastas enda paradoksi (Peckhaus & Kahle 2002) ja arutas probleemi matemaatikutega oma Göttingeni ringis. Ernst Zermelot kutsuti seega avastama kõigi nende komplektide, mis ei kuulu iseendasse, „komplekti” paradoks (Rang & Thomas 1981). Selle avastas iseseisvalt Bertrand Russell, kes viis selleni läbi Cantori teoreemi hoolika uurimise, mis oli sügavas vastuolus Russelli usuga universaalsesse komplekti. Mõni aeg hiljem, juunis 1902, edastas ta "vasturääkivuse" tuntud kirjas [van Heijenoort 1967, 124] Gottlob Fregele, kes oli lõpetanud omaenda aritmeetika loogilise aluse. Frege reaktsioon tegi väga selgeks selle vastuolu sügava mõju logistikaprogrammile. “Kas ma võin alati rääkida klassist, kontseptsiooni laiendusest? Ja kui ei, siis kuidas ma saan teada eranditest?” Sellega silmitsi seistes ei näe ma, kuidas aritmeetikale saaks anda teadusliku aluse, kuidas saaks numbreid ette kujutada loogiliste objektidena (Frege 1903: 253).

Frege'i Grundgesetze (1903) II köite ja ennekõike Russelli teose "Matemaatika põhimõtted" (1903) avaldamine tegi matemaatikakogukonnale täieliku teadlikkuse set-teoreetiliste paradokside olemasolust, nende mõjust ja olulisusest. On tõendeid, et kuni selle ajani polnud isegi Hilbert ja Zermelo kahju täielikult hinnanud. Pange tähele, et Russell-Zermelo paradoks toimib väga põhiliste mõistetega-eitamisega ja seab liikmesuse kontseptsioonid, mida peeti laialdaselt puhtalt loogilisteks. Komplekt (R = {x: x \ not \ in x }) eksisteerib arusaadavuse põhimõtte kohaselt (mis võimaldab igal lausel klassi kindlaks määrata), kuid kui jah, siis (R \ in R \ textit {iff} R \ not \ in R). See on otsene vastuolu Frege ja Russelli soositud põhimõttega.

Ilmselt oli vaja selgitada teooria aluseid, kuid üldine olukord ei teinud seda lihtsaks ülesandeks. Erinevad konkureerivad seisukohad olid väga erinevad. Cantoril oli metafüüsiline arusaam seatud teooriast ja kuigi tal oli valdkonna üks teravamaid vaateid, ei osanud ta täpset alust pakkuda. Talle (nagu see oli mõnevõrra salapäraselt olnud Ernst Schröderile oma Vorlesungen über die Algebra der Logik'is, 1891) oli selge, et tuleb tagasi lükata Frege'i ja Dedekindi soositud universaalse komplekti idee. Frege ja Russell tuginesid oma lähenemisviisis mõistmise põhimõttele, mis osutus vastuoluliseks. Dedekind vältis seda põhimõtet, kuid ta postuleeris, et Absoluutne Universum on kogum, "asi" tema tehnilises mõttes Gedankendingust;ja ta ühendas selle eelduse suvaliste alamhulkade täieliku aktsepteerimisega.

See meelevaldsete alamhulkade lubamise idee oli olnud nii Kantori kui ka Dedekindi üks sügavaid inspiratsiooni, kuid ükski neist polnud seda teemastanud. (Siinkohal mängis nende tänapäevane arusaam analüüsist olulist, kuid kaudset taustrolli, kuna nad töötasid Dirichlet-Riemann'i tavapäraste „suvaliste” funktsioonide raames.) Mis puutub nüüd kuulsasse iteratiivsesse kontseptsiooni, siis sellel olid mõned elemendid (eriti Dedekindi töös), koos numeratsioonisüsteemi iteratiivse arendamise ning vaadetega süsteemide ja asjade kohta), kuid see puudus silmnähtavalt paljudest vastavatest autoritest. Tavaliselt ei korranud näiteks Cantor kogumite moodustamise protsessi: ta kippus kaaluma homogeensete elementide komplekte, elemente, mis kuulusid „mingisse kontseptuaalsesse sfääri” (numbrid või punktid või funktsioonid)või isegi füüsikalised osakesed, kuid mitte omavahel segunenud). Iteratiivset kontseptsiooni soovitas Kurt Gödel esmakordselt [1933] seoses von Neumanni ja Zermelo tehnilise tööga mõni aasta varem; Gödel rõhutas seda ideed oma tuntud dokumendis Cantori jätkuvuse probleemi kohta. See saabus alles pärast seda, kui väga suured kogused teooriat olid välja töötatud ja täielikult süstematiseeritud.

Selline vastandlike seisukohtade mitmekesisus aitas üldisesse segadusesse kaasa, kuid neid oli veelgi. Lisaks ülalpool käsitletud paradoksidele (nagu öeldakse ka teoreetilistele paradoksidele) sisaldas “loogiliste” paradokside loend tervet hulka massiivi teisi (hiljem nimetatud “semantilisi”). Nende hulgas on Russelli, Richardi, Königi, Berry, Grellingi jt põhjustatud paradoksid ning Epimenidese tõttu tekkinud iidne valelik paradoks. Ja diagnoosid ning kahjustuste parandusmeetmed olid tohutult erinevad. Mõned autorid, nagu Russell, pidasid oluliseks leida uus loogiline süsteem, mis suudaks lahendada kõik paradoksid korraga. See viis ta rammitud tüüpi teooriasse, mis oli aluseks Principia Mathematica (3 köidet, Whitehead ja Russell 1910–1913), tema ühistöö Alfred Whiteheadiga. Teised autorid, näiteks Zermelo,uskus, et enamik neist paradoksidest lahustus kohe, kui üks töötas piiratud aksioomaatses süsteemis. Nad keskendusid „set-teoreetilistele” paradoksidele (nagu oleme teinud eespool) ja suunati otsima setteooria aksiomaatilisi süsteeme.

Veelgi olulisem on, et küsimused, mille Cantor jättis lahtiseks ja mida Hilbert rõhutas oma esimeses 1900. aasta probleemis, tekitasid tuliseid arutelusid. 1904. aastal Heidelbergis toimunud rahvusvahelisel matemaatikute kongressil esitas Gyula (Julius) König väga üksikasjaliku tõendi, et pidevuse kardinaalsus ei saa olla ükski Cantori aafirm. Tema tõendusmaterjal oli ainult vigane, kuna ta oli lootnud tulemusele, mille on varem Cantori ja Hilberti õpilase Felix Bernsteini poolt tõestatud. Felix Hausdorffil vea tuvastamiseks ja selle parandamiseks kulus mõni kuu, täpsustades õigesti eritingimused, mille alusel Bernsteini tulemus kehtis (vt Hausdorff 2001, kd 1). Pärast seda parandamist sai Königi teoreem vähestest tulemustest, mis piirasid pidevprobleemi võimalikke lahendusi, viidates nt.et (textit {card} (mathbf {R})) ei ole võrdne (aleph _ { omega}). Vahepeal suutis Zermelo esitada tõendi selle kohta, et iga komplekti saab hästi tellida, kasutades valiku Axiom of Choice [1904]. Järgmise aasta jooksul arutasid silmapaistvad matemaatikud Saksamaal, Prantsusmaal, Itaalias ja Inglismaal valiku aksioomi ja selle vastuvõetavust.

Valiku aksioom seisab: iga mittetühjade komplektide (A) jaoks on olemas komplekt, millel on täpselt üks element kõigis (A) komplektides. Sellega algas terve ajastu, mille jooksul valiti aksiioomi kõige hoolikamalt kui kahtlast hüpoteesi (vt Moore'i 1982. aasta monumentaalset uurimust). Ja see on irooniline, sest kõigi setteooria tavapäraste põhimõtete hulgas on valiku aksioom ainus, mis mõne suvalise alamhulga olemasolu selgesõnaliselt kinnistab. Oluline on aga see, et see idee oli Cantori ja Dedekindi motiveerimisel ning kuigi see on klassikalise analüüsiga takerdunud, lükkasid paljud teised autorid lõpmatu suvalise alamhulga tagasi. Järgneva perioodi mõjukaimate hulgas tuleks rõhutada Russelli, Hermann Weyli ja muidugi Brouweri nimesid.

Valik oli pikka aega vastuoluline aksioom. Ühelt poolt on see matemaatikas laialdaselt kasutatav ja tõepoolest, see on võtmeks paljudele olulistele analüüsi teoreemidele (see sai järk-järgult selgeks selliste tööde puhul nagu Sierpiński [1918]). Teisest küljest on sellel üsna intuitiivsed tagajärjed, nagu näiteks Banach-Tarski paradoks, mis ütleb, et ühikupall võib olla jagatud lõplikult paljudeks tükkideks (alamkomplektideks), mida saab seejärel ümber korraldada, moodustades kaks ühikupalli (vaata Tomkowicz & Wagon [2019]). Vastuväited aksioomile tulenevad asjaolust, et selles kinnitatakse selliste komplektide olemasolu, mida ei saa selgesõnaliselt määratleda. 1920. ja 1930. aastatel eksisteeris rituaalne tava seda selgesõnaliselt mainida, kui teoreem sõltub aksioomist. See peatus alles pärast Gödeli tõendit suhtelise järjepidevuse kohta, mida arutatakse allpool.

Tema muljetavaldav poleemika, mis ümbritses tema korraliku teoreemi, ning kõige huvitavam ja raskem probleem, mille tekitasid matemaatika alused, pani Zermelo keskenduma aksioomaatilisele komplekti teooriale. Oma tiheda analüüsi tulemusel avaldas ta 1908. aastal oma aksioomisüsteemi, näidates, kuidas see blokeeris tuntud paradoksid ja võimaldas siiski kardinalide ja ordinaalide teooria meisterlikku arendamist. See on aga järjekordse sissekande teema (Zermelo elu ja loomingu kohta vt Ebbinghaus [2015]).

4. Zermelost Gödelini

Ajavahemikul 1900–1930 mõisteti rubriigis „komplektiteooria” endiselt topoloogia ja funktsioonide teooria teemasid. Kuigi Cantor, Dedekind ja Zermelo olid selle etapi maha jätnud, et keskenduda puhtale komplektiteooriale, võtab see matemaatikute jaoks üldiselt siiski palju aega. Nii kaitsesid Hadamardi ja Hurwitzi peaesinejad esimesel rahvusvahelisel matemaatikute kongressil 1897. aastal põhiteooriat, tuginedes selle olulisusele analüüsi jaoks. Umbes 1900. aasta paiku, mis olid ajendatud analüüsitavatest teemadest, tegid olulist tööd kolm prantsuse eksperti: Borel [1898], Baire [1899] ja Lebesgue [1902] [1905]. Nende töö algatas kirjeldava kogumiteooria arendamise, laiendades Cantori uurimusi määratletavate reaalarvude komplektide kohta (milles ta oli kindlaks teinud, et kontinuumi hüpotees kehtib suletud komplektide suhtes). Nad tutvustasid Boreli komplektide hierarhiat, Baire'i funktsioonide hierarhiat ja Lebesgue'i mõõtme mõistet - moodsa analüüsi üliolulist kontseptsiooni.

Kirjeldav kogumiteooria (DST) on teatud tüüpi määratletavate reaalarvude komplektide uurimine, mis saadakse lihtsatest tüüpidest (näiteks avatud komplektid ja suletud komplektid) hästi mõistetavate toimingutega, näiteks komplementeerimine või projektsioon. Boreli komplektid olid esimene määratletavate komplektide hierarhia, mis tutvustati Émile Boreli 1898. aasta raamatus; need saadakse avatud komplektidest loendatava liidu toimingute korduva rakendamise ja täiendamise teel. Aastal 1905 uuris Lebesgue Boreli komplekte epohhaarses memuaaris, näidates, et nende hierarhias on tasemed kõigi loendatavate ordinaalide jaoks, ja analüüsides Baire funktsioone Boreli komplektide vastastena. Kirjeldava kogumiteooria peamine eesmärk on leida kõigile sellistele määratletavatele kogumitele ühised struktuuriomadused: näiteks näidati, et Boreli komplektidel on täiuslik komplekti omadus (kui need pole loendatavad,neil on täiuslik alamhulk) ja seega täita pidevuse hüpoteesi (CH). Selle tulemuse lõid 1916. aastal iseseisvalt töötavad Hausdorff ja Alexandroff. Muud olulised DST-s uuritud “regulaarsuse omadused” on Lebesgue'iga mõõdetav omadus ja Baire nn omadus (erineda avatud komplektist nn nappide komplektiga või esimese kategooria komplektiga).

Toona oli ülioluline ka analüütiliste komplektide, nimelt Boreli komplektide pidevate piltide või samaväärselt Boreli komplektide projektsioonide uurimine. Noor vene matemaatik Mihhail Suslin leidis Lebesgue'i 1905. aasta memuaaris vea, kui mõistis, et Boreli komplekti projektsioon ei ole üldiselt Borel [Suslin 1917]. Kuid ta suutis kindlaks teha, et ka analüütilistel komplektidel on täiusliku komplekti omadus ja seega kontrollida CH. 1923. aastaks olid Nikolai Lusin ja Wacław Sierpiński uurinud kaasanalüütilisi komplekte ja see pidi viima nad uude projektiivsete komplektide hierarhiasse, mis algab analüütiliste komplektidega ((Sigma ^ {1} _ {1})), nende täiendused (kaasanalüütilised, (Pi ^ {1} _ {1}) komplektid), nende viimaste ((Sigma ^ {1} _ {2}) komplektide projektsioonid, nende täiendab ((Pi ^ {1} _ {2}) komplekte) jne.1920ndatel tehti seda tüüpi uut tüüpi komplektide kallal palju tööd, peamiselt Sierpiński ümbruse poola matemaatikute ning Lusini vene kooli ja tema õpilaste poolt. Sierpiński saavutatud oluline tulemus oli see, et iga (Sigma ^ {1} _ {2}) komplekt on (aleph_ {1}) Boreli komplektide liit (sama kehtib ka (Sigma ^ { 1} _ {1}) komplektid), kuid selline traditsiooniline teemakohane uurimistöö püsiks umbes 1940. aasta paiku (vt Kanamori [1995]).

Varsti leidsid Lusin, Sierpiński ja nende kolleegid oma töös suuri raskusi. Lusin oli nii palju meeleheites, et jõudis 1925. aasta paberlehes “täiesti ootamatu” järelduseni, et “keegi ei tea ega saa kunagi teada”, kas projektiivsetel komplektidel on soovitud regulaarsuse omadused (tsiteeritud Kanamori 1995: 250). Sellised kommentaarid on hilisemate arengute valguses väga huvitavad, mis on viinud hüpoteesideni, mis lahendavad kõik olulised küsimused (eriti projektiline määravus). Nad rõhutavad keerukamaid metodoloogilisi ja filosoofilisi probleeme, mille tõstatasid need uuemad hüpoteesid, nimelt neid tõendavate tõendite probleemi.

Lusin võttis oma 1930. aasta raamatus Leçons sur les ansamblid analüütikud kokku (Pariis, Gauthier-Villars), mis pidi olema lähiaastate peamine võrdlusalus. Alates sellest tööst on saanud tavaks esitada DST-des tulemusi looduslike arvude lõpmatute jadade Baire ruumi (^ { omega}) (omega) jaoks, mille René Baire tegelikult juurutas 1909. aastal avaldatud raamat. Baire-ruum on varustatud teatud topoloogiaga, mis muudab selle irratsionaalarvude komplekti jaoks homeomorfseks ning eksperdid peavad seda komplekti kõrval “võib-olla kõige olulisemaks uurimisteemaks komplekti teooria”. naturaalarvud [Moschovakis 1994, 135].

See DST-ga seotud töö suund tuleb arvestada kõige olulisema panusega, mille komplektteooria on andnud analüüsile ja topoloogiale. Kuid see, mis oli alanud pideva hüpoteesi tõestamise katsena, ei suutnud seda eesmärki saavutada. Varsti näidati valiku Axiom abil, et on olemas mitte-Lebesgue'iga mõõdetavad reaalide komplektid (Vitali 1905) ja ka loendamatud reaalide komplektid, millel puudub täiuslik alamhulk (Bernstein 1908). Sellised tulemused tegid selgeks, et CH eesmärgi saavutamine on võimatu, keskendudes määratletavatele ja "hästi käituvatele" rearealadele.

Samuti sai Gödeli 1940. aasta paiku tehtud tööga (ja ka 1960ndatel sunniviisilise tööga) selgeks, miks 1920. ja 30ndate uuringud olid seisnud: uued põhimõttelised iseseisvuse tulemused näitasid, et Suslini loodud teoreemid (täiuslik komplekt omadus analüütiliste komplektide jaoks), Sierpinski ((Sigma ^ {1} _ {2}) seostatakse (aleph_ {1}) Boreli komplektide liitudega) ja veel mõned teised olid aksioomisüsteemi ZFC põhjal parimad võimalikud tulemused. See on oluline filosoofiliselt: juba avatud uurimistööst maailmast, mis on määratletav avatud (või suletud) komplektide vahel komplemendi, loendatava liidu ja projektsiooni abil, oli ZFC süsteemi piiridesse jõudmiseks piisanud. Siit tuleneb vajadus uute aksioomide järele, mida Gödel rõhutas pärast II maailmasõda [Gödel 1947].

Pöördugem nüüd Cantori teise peamise pärandi, piirmääratud arvude uurimise poole. Aastaks 1908 töötas Hausdorff välja loendamatute tellimustüüpide kallal ja tutvustas üldistatud pideva hüpoteesi ((2 ^ { aleph_ {a}} = \ aleph_ {a + 1})). Samuti kaalus ta esimesena “ülikalli” kardinali, nimelt nõrgalt ligipääsmatu, st tavalise kardinali, kes pole järeltulija (kardinali ((alfa)) nimetatakse regulaarseks, kui laguneb (alfa) väiksemate kardinalide summaks on (alpha) - palju selliseid numbreid). Mõni aasta hiljem, 1910. aastate alguses, uuris Paul Mahlo nii suurte kardinalide hierarhiaid töös, mis oli teerajajaks sellest, millest pidi saama seatud teooria keskne piirkond; ta sai mitu ligipääsmatut kardinali, rakendades teatud toimingut, mis hõlmab statsionaarse alamhulga mõistet; neid nimetatakse Mahlo kardinalideks. Kuid suurte kardinalide uurimine arenes aeglaselt. Vahepeal tutvustas Hausdorffi õpik Grundzüge der Mengenlehre (1914) kahte põlvkonda matemaatikuid komplektteoorias ja üldises topoloogias.

Järgmised olulised sammud „väga kõrgesse” lõpmatusse tehti 1930. aastal. Sierpiński ja Tarski ning Zermelo eraldasid tugevalt ligipääsmatute kardinalide mõiste. Tugev ligipääsmatu on tavaline kardinal (alpha), nii et (2 ^ x) on väiksem kui (alpha), kui (x <\ alpha). Kui nõrgad ligipääsmatud hõlmavad üksnes sulgemist järeltööde käigus, siis tugevad ligipääsmatud hõlmavad sulgemist palju tugevamini kui jõuvarude operatsioon. Samal aastal lõi Zermelo [1930] ZFC mudelite kohta teed tutvustavas dokumendis seose loendamatute (tugevalt) ligipääsmatute kardinalide ja ZFC teatavate „looduslike” mudelite vahel (milles ta eeldas, et jõuvarude toiming on, nii öelda, määrake täielikult).

Samal aastal viisid Stanislaw Ulami analüüsist (mõõtmisteooriast) tulenevad kaalutlused kontseptsioonini, millest pidi saama keskne: mõõdetavad kardinalid. Selgus, et sellised kardinalid, mida defineerib mõõduteoreetiline omadus, pidid olema (tugevalt) kättesaamatud. Tõepoolest, palju aastaid hiljem selgus (Hanf, töötades Tarski varasema töö kallal), et esimene ligipääsmatu kardinal pole mõõdetav, mis näitab, et need uued kardinalid olid veelgi "ülikõrgemad". Nagu näha, oli Sierpiński juhitud Poola koolil sõdade vahelise lavateooria väljatöötamisel väga keskne roll. Mõõdetavad kardinalid tõusid erilise tähelepanu alla 1960. aastate lõpus, kui sai selgeks, et mõõdetav kardinal on vastuolus Gödeli konstruktiivsuse aksioomiga ((V = L) klassimärgistuses). See kinnitas taas Gödeli veendumusi, mis väljendusid selles, mida uute aksioomide jaoks mõnikord nimetatakse "Gödeli programmiks".

Set-teoreetiline matemaatika jätkas oma arengut võimsaks aksioomaatiliseks ja struktuuriliseks lähenemiseks, mis pidi domineerima suures osas 20.sajandil. Kui tuua vaid paar näidet, oli Hilberti varajane aksiaalne töö (nt tema kuulsates geomeetria alustel) sügavalt teoreetiline; Ernst Steinitz avaldas 1910. aastal oma uurimuse abstraktse väljateooria kohta, kasutades olulisel määral valiku aksioomi; ja umbes samal ajal algas funktsiooniruumide uurimine Hilberti, Maurice Fréchet 'jt töödega. 1920ndatel ja 30ndatel pühendati esimene spetsialiseeritud matemaatikaajakiri Fundamenta Mathematicae teooriale, nagu seda mõisteti (tsentraalselt koos topoloogia ja funktsioonide teooriaga). Nendel aastakümnetel vananes struktuurne algebra, abstraktsest topoloogiast sai järk-järgult iseseisev õppeharu ja setteooria uurimine algatas selle metateoreetilise pöörde.

Sellest ajast alates on „set teooria” üldiselt samastatud matemaatilise loogika haruga, mis uurib lõpmatuid komplekte, mis pärinevad Cantori tulemusest, et (mathbf {R}) on suurem kardinaalsus kui (mathbf {N}). Kuid nagu eelnev arutelu näitab, oli komplekteeritud teooria tänapäevase matemaatika esiletõusu põhjuseks ja põhjuseks: selle päritolu jäljed on tema aksioomaatilisele struktuurile kustumatult tembeldatud.

Bibliograafia

Viidatud teosed

• Alexandroff, Pavel, 1916, “Sur la puissance des ansambles mesurables B”, Comptes Rendus Acad. Sci. Pariis, 162: 323–325.
• Asghari, Amir, 2019, “Ekvivalentsus: idee idee ajaloost”, Synthese, 196: 4657–4677.
• Baire, René, 1899, “Sur les fonctions de variables reelles”, Annali di Matematica Pura ed Applicationata, Serie IIIa, vol. 3, lk 1–122.
• –––, 1909, “Fontide üldine esindatus katkeb”, Acta Mathematica, 32: 97–176.
• Bernstein, Felix, 1908, “Zur Theorie der trigonometrischen Reihen”, Sitzungsberichte der Königlich Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Math.-Phys. Klasse, 60: 325–338.
• du Bois – Reymond, Paul, 1875, “Ueber asymptotische Werthe, infinitäre Approximationen und infinitäre Auflösung von Gleichungen”, Mathematische Annalen, 8: 363–414.
• Bolzano, Bernard, 1851, Paradoxien des Unendlichen, Leipzig, Reclam; Ingliskeelne tõlge London, Routledge, 1920.
• Borel, Émile, 1898, Leçons sur la théorie des fonctions, Pariis, Gauthier-Villars. 4 ^th edn 1950 rohkete täiendused.
• Cantor, Georg, 1872, “Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen”, Mathematische Annalen, 5: 123–132. Kantoris 1932: 92–102.
• –––, 1883, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Leipzig: BG Teubner. Kantoris 1932: 165–208. Ingliskeelne tõlge Ewaldis 1996: vol. 2
• –––, 1884, “Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten, 6”, Mathematische Annalen, 23: 453–88. Kordustrükis Kantor 1932: 210–244.
• ––– 1892, “Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, 1: 75–78. Kordustrükis Kantor 1932: 278–280. Ingliskeelne tõlge Ewaldis 1996: vol.2.
• –––, 1895/97, “Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre”, kantoris 1932: 282–351. Ingliskeelne tõlge Cantoris, Panused transfinite arvude teooria rajamisse, New York: Dover, 1955.
• –––, 1932, Gesammelte Abhandlungenhematischen und philosophischen Inhalts, E. Zermelo (toim), Berliin: Springer. Kordustrükk Hildesheim: Olms, 1966.
• Dauben, Joseph, 1979, Georg Cantor. Tema lõpmatu matemaatika ja filosoofia, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Dedekind, Richard, 1871, “Über die Komposition der binären quadratischen Formen”, GL Dirichlet X täiendus & R. Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, Braunschweig: Vieweg. [Hilisemad väljaanded XI täiendina, mille neljas kordustrükk trükitakse New Yorgis: Chelsea, 1968.] Osaline kordustrükk Dedekind'is 1930/32: vol.3, 223–261.
• –––, 1872, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig: Vieweg. Ajakirjas Dedekind 1930/32: vol.3, 315–334. Ingliskeelne tõlge Ewaldis 1996: vol. 2
• ---, 1876-1877, "Sur la Théorie des nombres entiers algébriques", EL des Sciences mathématiques et astronomiques, 1 ^silmus seeria XI (1876): 278-293; 2 ^nd seeria I (1877): 17-41, 69-92, 144-164, 207-248. Eraldi väljaanne, Pariis: Gauthier-Villars, 1977. Ingliskeelne tõlge: J. Stillwell: Algebraliste täisarvude teooria, Cambridge: Cambridge University Press, 2004.
• ––– 1888, Oli sind sind und sollen die Zahlen?, Braunschweig: Vieweg. Ajakirjas Dedekind 1930/32: vol. 3. Inglise keel Ewaldis 1996: vol. 2
• –––, 1930/32. Gesammeltehematische Werke, R. Fricke, E. Noether & Ö. Maak (toim.), Braunschweig: Vieweg, 3 volt. New York Reprint: Chelsea, 1969.
• Dedekind, R. & Heinrich Weber, 1882, “Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen”, Journal für reine und angew. Mathematik, 92: 181–290; kordustrükk trükises Dedekind 1930/32 (1. köide), lk 238–350; Ingliskeelne tõlge John Stillwellilt, Ühe muutuja algebraliste funktsioonide teooria, Providence: American Mathematical Society ja London Mathematical Society, 2012.
• Ebbinghaus, HD, 2015, Ernst Zermelo: Lähenemisviis tema elule ja tööle, teine trükk, Berliin: Springer Verlag.
• Ewald, William B., 1996, Kantist Hilbertini: Allikaraamat matemaatika alustalades, 2 köidet, Oxford: Oxford University Press.
• Feferman, Solomon, 1988, “Weyl kinnitas: Das Kontinuum 70 aastat hiljem”, kordustrükk ajakirjas Loogika valguses, Oxford: Oxford University Press, 1998, ptk. 13.
• Ferreirós, José, 1995, ““See, mis minus aastaid kääris”: Cantori avastus lõplike arvude kohta”, Historia Mathematica, 22: 33–42.
• –––, 1999, mõtte labürint. Püstitatud teooria ajalugu ja selle roll tänapäevases matemaatikas, Basel: Birkhäuser.
• Frege, Gottlob, 1903, Grundgesetze der Arithmetik, vol. 2, Jena: Pohle. Kordustrükk Hildesheim: Olms, 1966.
• Gödel, Kurt, 1933, “Praegune olukord matemaatika alustel”, S. Feferman jt. (toim), Collected Works, Vol. 3, Oxford University Press, lk 45–53.
• –––, 1947, „Mis on Cantori jätkuv probleem?”, American Mathematical Monthly, 54. Kordustrükk S. Feferman jt. (toim), Collected Works, Vol. 2, Oxford University Press, lk 176–187.
• Hallett, Michael, 1984, Kantori komplektiteooria ja suuruse piiramine, Oxford: Clarendon.
• Hausdorff, Felix, 1914, Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig: Viet. New Yorgi kordustrükk: AMS Chelsea Publishing, 1949. Kordustrükk kui Hausdorffi II köide 2001–. Kolmas väljaanne (1937) tõlgiti inglise keelde, 1957, Set teooria, New York: AMS Chelsea Publishing. veebisaidi Hausdorff 1914 skannimine.
• –––, 1916, “Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen”, Mathematische Annalen, 77 (3): 430–437. Ajakirjas Hausdorff [2001-], vol. 3. doi: 10.1007 / BF01475871
• –––, 2001–, Gesammelte Werke, 9 köidet, E. Brieskorn, W. Purkert, U. Felgner, E. Scholz jt. (toim), Berliin: Springer.
• van Heijenoort, Jean, 1967, Fregest Gödelini: matemaatikaloogika lähteteos, 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press. Kordustrükk paberkandjal, 2000.
• Kanamori, Akihiro, 1995, “Kirjeldava kogumiteooria tekkimine”, Synthese, 251: 241–262..
• ––– 1996, “Kogumiku teooria matemaatiline areng Kantorist Cohenini”, Sümboolse loogika bülletään, 2: 1–71.
• Lavine, Shaughan, 1994, Understanding the Infinite, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Lebesgue, Henri, 1902, “Intégrale, longueur, aire”, Annali di Matematica Pura ed Applicationata, 7 (1): 231–359.
• –––, 1905, “Sur les fonctions represéntables analytiquement”, Journal de Mathématiques, (6e seeria), 1: 139–216.
• Lusin, Nikolai, 1925, “Sur les ansamblid projitseerib M. Lebesgue”, Comptes Rendus Acad. Scie. Pariis, 180: 1572–74.
• –––, 1930, Leçons sur les Ensembles Analytiques et leurs Applications, eessõnaga Lebesgue ja Sierpinski märkusega, Pariis: Gauthier-Villars.
• Mancosu, Paolo, 2009, “Looduslike arvude lõpmatute kogude suuruse mõõtmine: kas Kantori lõpmatute arvude teooria oli vältimatu?”, Sümboliloogika ülevaade, 2 (04): 612 - 646.
• Moore, Gregory H., 1982, Zermelo valiku aksioom. Selle päritolu, areng ja mõju, Berliin: Springer.
• Moore, Gregory H. ja A. Garciadiego, 1981, “Burali-Forti paradoks: selle päritolu ümberhindamine”, Historia Mathematica, 8: 319–50.
• Moschovakis, Yiannis N., 1994, Set Theory Notes, New York: Springer.
• Peckhaus, Volker ja R. Kahle, 2002, “Hilberti paradoks”, Historia Mathematica, 29 (2): 157–175.
• Purkert, Walter & HJ Ilgauds, 1987, Georg Cantor 1845–1918, Basel: Birkhäuser.
• Rang, Bernhard ja W. Thomas, 1981, “Zermelo avastus“Russelli paradoksist””, Historia Mathematica, 8: 15–22.
• Riemann, Bernhard, 1854 / 1868a, “Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen” (Habilitationsvotrag), Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868): 133–152. Riemannis 1892: 272–287. Ingliskeelne tõlge Cliffordilt, kordustrükk Ewaldis 1996: vol. 2
• –––, 1854 / 1868b, „Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe“(Habilitationsschrift), Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868): 87–132. Riemannis 1892: 227–265.
• ––– 1892, Gesammelte matemaatika Werke und wissenschaftlicher Nachlass, H. Weber ja R. Dedekind (toim), Leipzig, Teubner. Kordustrükk (koos Nachträge'iga), M. Noether ja W. Wirtinger (toim), New York: Dover, 1953.
• Russell, Bertrand, 1903, Matemaatika põhimõtted, Cambridge, University Press. ^Teise väljaande kordustrükk (1937): London: Allen & Unwin, 1948.
• Sierpiński, Waclav, 1918, “L'axiome de M. Zermelo ja poeg rôle dans la théorie des ansamblid et l'analüüs”, Bulletin de l'Académie des Sciences de Cracovie (Cl. Sci. Math. A), 99–152; kordustrükk Sierpińskis, Oeuvres choisies, S. Hartman jt. (toim), 2. köide, Warszawa: Editions scientifiques de Pologne, 1974.
• Sierpiński, Waclav ja Alfred Tarski, 1930, “Juurdepääsmatuid isikuid ei kaitsta”, Fundamenta Mathematicae, 15: 292–300.
• Steinitz, Ernst, 1910, “Algebraische Theorie der Körper”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 137: 167–309.
• Suslin, Mihhail Ya., 1917, “Sur une definitsioon des ensembles mõõtmistes B sans nombres transfinis”, Comptes Rendues Acad. Sci. Pariis, 164: 88–91.
• Tomkowicz, G. ja Wagon, S., 2019, The Banach-Tarski Paradox, teine trükk, Cambridge: Cambridge University Press.
• Vitali, G., 1905, Sul problema della misura dei grupi punti di reta, Bologna: Gamberini e Parmeggiani.
• Whitehead, Alfred N. & Bertrand Russell, 1910–1913, Principia Mathematica, 3 köidet, Cambridge: Cambridge University Press.
• Tait, William W., 2000, “Cantori Grundlagen ja komplektiteooria paradoksid”, loogika ja intuitsiooni vahel: Esseed Charles Parsonsi, G. Sheri ja R. Tieszeni (toim) auks, Cambridge: Cambridge University Press, lk. 269–290. Kordustrükis väljaandes „Puhta mõistuse ilmnemine”, Oxford: Oxford University Press, 2005, lk 252–275.
• Wang, Hao, 1974, “Kogumiku kontseptsioon”, matemaatikast filosoofiani, London, Routledge; kordustrükk P. Benacerrafis ja H. Putnamis, Matemaatikafilosoofia: valitud lugemised, Cambridge Univ. Press, 1983, 530–570.
• Zermelo, Ernst, 1904, “Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann”, Mathematische Annalen, 59: 514–516; ajakirjas Zermelo [2010], kd. 1, 80–119. Ingliskeelne tõlge van Heijenoortis 1967 (“Tõestus selle kohta, et iga komplekti saab hästi tellida”).
• –––, 1908, “Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre”, Mathematische Annalen, 65: 261–281;; ajakirjas Zermelo [2010], kd. 1, 160–229. Ingliskeelne tõlge van Heijenoortis 1967 (“Uurimised setteooria I alustalades”).
• –––, 2010–2011, Kogutud teosed / Gesammelte Werke, kd. I ja II, H.-D. Ebbinghaus jt. (toim), Springer: Berlín,

Lisalugemist

• Cavaillès, Jean, 1962, Philosophie mathématique, Pariis: Hermann.
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter, 2007, Ernst Zermelo: Lähenemisviis tema elule, teosele, New York: Springer.
• Fraenkel, Abraham, 1928 Einleitung in die Mengenlehre, 3 ^rd trükk. Berliin: Springer.
• Grattan-Guinness, Ivor (toim.), 1980, teosest Calculus to Set Theory, 1630–1910, London: Duckworth.
• Kanamori, Akihiro, 2004, “Zermelo ja komplektiteooria”, Sümboolse loogika bülletään, 10 (4): 487–553.
• ––– 2007, “Gödel ja lavateooria”, Sümboolse loogika bülletään, 13 (2): 153–188.
• –––, 2008, “Cohen and set theory”, Sümboolse loogika bülletään, 14 (3): 351–378.
• –––, 2009, “Bernays ja komplektiteooria”, Sümboolse loogika bülletään, 15 (1): 43–60.
• Maddy, Penelope, 1988, “Aksioomide uskumine”, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 481–511; 53 (3): 736–764.
• Wagon, Stan, 1993, The Banach-Tarski Paradox, Cambridge: Cambridge University Press.

Akadeemilised tööriistad

	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

• JJ O'Connori ja EF Robertsoni seatud teooria ajalugu MacTutori matemaatika ajaloo arhiivis. Pange tähele, et nende rekonstrueerimine on mõnel hetkel vastuolus siin pakutavaga.
• Gudeli programm (PowerPoint), huvitav jutt John R. Steelilt (matemaatika, UC / Berkeley).
• Valiku aksioomi avaleht, haldaja Eric Schechter (matemaatika, Vanderbilti ülikool).