Video: Yuka Takaoka: The Real Life Yandere 2023, Märts
Sisenemise navigeerimine
Sissesõidu sisu
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Sõprade PDF-i eelvaade
Teave autori ja tsitaadi kohta
Tagasi üles
Modaalloogika kaasaegsed alged
Esmakordselt avaldatud teisipäeval 16. novembril 2010; sisuline läbivaatamine esmaspäeval 8. mail 2017
Modaalloogikat võib üldjoontes vaadelda erinevat tüüpi modaalsuste või tõdemoodide loogikana: aletiline („tingimata”), episteemiline („on teada, et”), deontiline („see peaks nii olema”), või ajaline (“on olnud nii”) muu hulgas. Nende operaatorite ühised loogilised omadused õigustavad ühist silti. Kuid otseses tähenduses on termin „modaalloogika” reserveeritud aletiliste modaalsuste loogikale, erinevalt näiteks ajalisest või deontilisest loogikast. Pelgalt tehnilisest aspektist vaadatuna võib igasugust tõe funktsionaalsusega operaatoritega seotud loogikat, sealhulgas esimese järgu loogikat, pidada modaalloogikaks: ka selles mõttes võib kvantifitseerijaid pidada modaaloperaatoriteks (nagu Montague 1960). Sellegipoolest järgime traditsioonilist modaaloogika mõistmist, mis ei hõlma täieõiguslikku esimese järgu loogikat. Selles perspektiivis võib transpordiliikide operaatoreid pidada piiratud kvantifikaatoriteks, ulatudes eriüksuste, nagu võimalikud maailmad või ajalised elemendid, piiridesse. Arthur Prior oli üks esimesi filosoofe / loogikuid, kes rõhutas seda modaalsüsteemi S5 võib tõlkida esimese astme loogika fragmendiks, mida ta nimetas „ühtlaseks monaadseks esimese astme predikaadi kalkulatsiooniks” (Prior and Fine 1977: 56). Monaadik, kuna S5 jaoks ei ole vaja seostada maailmade vahelisi suhteid; ja ühtlane, kuna maailmade (olendite) kvantifitseerimiseks, kui need on seotud, on vaja ainult ühte muutujat ja vabastuses viitamiseks privilegeeritud olekule (tegelik maailm või praegune aeg) (vt. Prior ja Fine 1977). Tehnilise küsimuse kohta, millised mudelteoreetilised tunnused iseloomustavad modaalloogikat, mida mõistetakse kui esimese astme loogika hästi käituvaid fragmente, vaadake Blackburn ja van Benthemi teost „Modaalloogika: semantiline perspektiiv” (2007a).
Selle sissekande ulatus on modaaloogika loogika hiljutine areng, mida mõistetakse rangelt vajaduse ja võimalikkuse loogikana, ja eriti modaaloogika loogikasüsteemide ajalooline areng, nii süntaktiliselt kui semantiliselt, CI Lewise teerajaja tööst, mis algas 1912. aastal koos esimesed süsteemid, mis töötati välja 1918. aastal, S. Kripke loomingule 1960. aastate alguses. Selle lühikese aja jooksul, vähem kui viiskümmend aastat, õitses modaalne loogika nii filosoofiliselt kui ka matemaatiliselt. Matemaatiliselt töötati välja erinevad modaalsüsteemid ja edusammud algebras aitasid edendada selliste süsteemide mudelateooriat. See kulmineerus formaalse semantika arendamisega, mis laienes eduka esimese järgu mudeli teoreetiliste meetodite modaalsele loogikale, pakkudes seeläbi paljude, kuid mitte kõigi süsteemide täielikkuse ja otsustatavuse tulemusi. Filosoofiliselt kaasnes erinevate süsteemide kättesaadavuse ja võimaliku maailmamudelise teoreetilise semantika kasutuselevõtuga loomulikult mõtisklemine võimalikkuse ja vajaduse olemuse, eri liiki vajalikkuse, formaalse semantika rolli ja võimalikke maailmu, kui mainida vaid mõnda. Eelkõige toob erinevate süsteemide kättesaadavus esiplaanile filosoofilise küsimuse, milline modaalloogika on õige, vastavalt modaaloperaatorite kavandatud tõlgendusele, näiteks kui loogiline või metafüüsiline vajadus. Quine tõstatas tungivalt küsimused modaaloogika loogika, eriti kvantitatiivse modaaloogika tõlgendatavuse kohta. Kõigi selliste küsimustega ei tegeleta selles sissekandes, mis on peamiselt pühendatud teema formaalsele arendamisele.erinevate süsteemide kättesaadavuse ja võimaliku maailmamudelise teoreetilise semantika kasutuselevõtuga kaasnesid loomulikult ka mõtted võimalikkuse ja vajaduse olemusest, eri tüüpi vajadustest, formaalse semantika rollist ja võimaliku olemuse olemusest maailmad, kui mainida vaid mõnda. Eelkõige toob erinevate süsteemide kättesaadavus esiplaanile filosoofilise küsimuse, milline modaalloogika on õige, vastavalt modaaloperaatorite kavandatud tõlgendusele, näiteks kui loogiline või metafüüsiline vajadus. Quine tõstatas tungivalt küsimused modaaloogika loogika, eriti kvantitatiivse modaaloogika tõlgendatavuse kohta. Kõiki selliseid küsimusi ei käsitleta selles sissekandes, mis on peamiselt pühendatud teema formaalsele arendamisele.erinevate süsteemide kättesaadavuse ja võimaliku maailmamudelise teoreetilise semantika kasutuselevõtuga kaasnesid loomulikult ka mõtted võimalikkuse ja vajaduse olemusest, eri tüüpi vajadustest, formaalse semantika rollist ja võimaliku olemuse olemusest maailmad, kui mainida vaid mõnda. Eelkõige toob erinevate süsteemide kättesaadavus esiplaanile filosoofilise küsimuse, milline modaalloogika on õige, vastavalt modaaloperaatorite kavandatud tõlgendusele, näiteks kui loogiline või metafüüsiline vajadus. Quine tõstatas tungivalt küsimused modaaloogika loogika, eriti kvantitatiivse modaaloogika tõlgendatavuse kohta. Kõiki selliseid küsimusi ei käsitleta selles sissekandes, mis on peamiselt pühendatud teema formaalsele arendamisele.
Modaalloogika on rikas ja keeruline teema. See sissekanne ei sisalda kõigi väljatöötatud süsteemide täielikku ülevaadet ja kõigi vaadeldud aja jooksul tõestatud mudelateoreetiliste tulemuste ülevaadet. See pakub siiski põhisüsteemide sisulist ülevaadet ja selle eesmärk on olla kasulik neile, kes otsivad teema ajaloolist ülevaadet, mis isegi kui mitte kõikehõlmav, kirjeldab kõige huvitavamaid mudeli teoreetilisi tulemusi ja osutab edasistele uurimisliinidele. Vastu on võetud Bull ja Segerbergi (1984: 3) modaaloogika loogika lähteallikate kasulik jaotus kolmeks eraldiseisvaks traditsiooniks - süntaktiliseks, algebraliseks ja mudelateoreetiliseks -. Muude vähem mõjukate traditsioonide kohta vaata Bull ja Segerberg (1984: 16). Vaata ka Lindströmi ja Segerbergi “Modaalset loogikat ja filosoofiat” (2007). Selle sissekande põhirõhk on propositsioonilisel modaalsel loogikal, samal ajal kui arutatakse ainult kvantifitseeritud modaalloogika semantika mõningaid konkreetseid aspekte. Kvantifitseeritud modaalloogika üksikasjalikumaks käsitlemiseks vaadake SEP-i sissekannet modaalloogika kohta. Kande märkuse osas pange tähele, et ranges tähenduses on Lewise kalasaba asemel (Rightarrow) ja range samaväärsuse tagamiseks (Leftrightarrow).
1. Süntaktiline traditsioon
1.1 Lewise süsteemid
1.2 Muud süsteemid ja Lewise süsteemide alternatiivsed aksiomatizations
2. Maatriksmeetod ja mõned algebralised tulemused
3. Mudeliteoreetiline traditsioon
3.1 Carnap
3.2 Kripke võimalike maailmade semantika
Bibliograafia
Sissejuhatavad tekstid
Esmane kirjandus
Teisene kirjandus
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed
1. Süntaktiline traditsioon
CI Lewis asus 1912. aastal teedrajavas artiklis mõttesse „Implikatsioon ja loogika algebra”, väljendades CI Lewis muret nn materiaalse implikatsiooni paradokside üle. Lewis juhib tähelepanu sellele, et Russelli ja Whiteheadi väljaandes Principia Mathematica leiame kaks „jahmatavat teooriat: (1) vale väide vihjab mis tahes väitele ja (2) tõeline väide vihjab igale väitele” (1912: 522). Sümbolites:
) silt {1} neg p \ parempoolne nool (p \ parempoolne q))
ja
) silt {2} p \ parempoolne nool (q \ paremnool p))
Lewis ei ole nende teoreemide suhtes iseenesest vastuväiteid:
Iseenesest pole need ei salapärased ütlemised, suured avastused ega suured absurdid. Neil on ainult teravas kontuuris tähendus „vihjab”, mis on lisatud algebrasse. (1912: 522)
Teoreemid on aga „implikatsiooni” kavandatud tähenduse ja meie tegelike järeldusviiside suhtes ebapiisavad, mida kavandatud tähendus püüab tabada. Niisiis peab Lewis silmas tingliku ühendühenduse (parempoolne) või (supset) kavandatud tähendust ja see on ingliskeelse sõna "implies" tähendus. Mõiste "vihjab" tähendus on "tavaline järeldus ja tõestusmaterjal" (1912: 531), mille kohaselt väide eeldab teist väidet, kui teist saab loogiliselt tuletada esimesest. Sellise tõlgenduse korral ei peaks (1) ja (2) olema teoreemid ning propositsioonilist loogikat võib pidada (parempoolse noole] kui loogilise implikatsiooni lugemiseks ebakorrektseks. Mõelge näiteks (2):väite ilmsest tõest (p) ei järeldu (loogiliselt), et (p) tuleneb loogiliselt igast väitest. Lisaks järeldab Lewis, et kavandatud ja ((parempoolne nool)) kui loogilise tähenduse range tõlgendus ning ((neg p \ parempoolne nool q) ja ((p \ vee q)) samaväärsus tuleneb Lewis sellest disjunktsioonist. ka sellele tuleb anda uus intensiivne tähendus, mille kohaselt ((p \ vee q)) kehtib igaks juhuks juhul, kui (p) poleks nii, siis peab olema nii, et (q).
Seda laadi kaalutlused, mis põhinesid ühenduste laiendus- ja intentsionaalsete lugemiste eristamisel, polnud Lewise jaoks originaalsed. Juba 1880. aastal väitis Hugh MacColl ajakirjas Mind avaldatud kaheksast sümboolset arutlust käsitlevast kaheksast artiklist, et ((p \ parempoolne nool q) ja ((neg p \ vee q)) ei ole samaväärsed: ((neg p \ vee q)) tuleneb ((p \ parempoolne nool q)), kuid mitte vastupidi (MacColl 1880: 54). See on nii juhul, kui MacColl tõlgendab (vee) kui tavalist laiendavat disjunktsiooni ja (parempoolne) kui intentsionaalset implikatsiooni, kuid siis tuleneb (p) eksitusest või (q) selle tõest. ei järelda, et (p) ilma (q) on loogiliselt võimatu. Sarja teises artiklis eristab MacColl kindlaid, võimalusi ja muutuvaid avaldusi,ja tutvustab kreeka tähti kui indekseid väidete klassifitseerimiseks. Nii et (alpha ^ { varepsilon}) väljendab, et (alpha) on kindlus, (alpha ^ { eta}), et (alpha) on võimatus ja (alpha ^ { theta}), et (alpha) on muutuja, st ei kindlus ega võimatus (MacColl 1897: 496–7). Seda väidete kolmekordset klassifikatsiooni kasutades astub MacColl eristama põhjuslikku ja üldist tähendust. Lausete (alfa) ja (beeta) vahel on põhjuslik seos, kui alati, kui (alfa) on tõene (beeta) on tõene ja (beeta) pole kindel. Üldine tähendus on vahemikus (alpha) ja (beeta), kui (alpha) ja mitte (- \ beeta) on võimatu, seega eriti juhul, kui (alpha) on võimatu või (beeta] kindlus (1897: 498). Indeksite kasutamine avas ukse modaalsuste kordamiseks ja seeria kolmanda töö algus (MacColl 1900: 75–6) on pühendatud itereeritud indeksitega avalduste tähenduse selgitamiseks, sealhulgas (tau). tõe ja (iota) eituse jaoks. Nii näiteks loetakse (A ^ { eta \ iota \ varepsilon}) kui “On kindel, et on vale, et A on võimatu” (pange tähele, et indekseid loetakse paremalt vasakule). Huvitav on see, et Bertrand Russelli 1906. aasta ülevaade MacColli raamatust Sümboolne loogika ja selle rakendused (1906) näitab, et Russell ei mõistnud väite variatiivsuse modaalset ideed, omistades MacCollile ekslikult lausete ja ettepanekute segiajamise, mis võimaldas omistada varieeruvust. ainult lausetele, mille tähendus, järelikult tõe väärtus, polnud fikseeritud. Samamoodikindlus ja võimatus on Russelli propositsioonifunktsioonide materiaalsete omaduste (tõsi kõige või mitte millegi suhtes) ja mitte väidete modaalsete omaduste osas. Võib öelda, et MacColli töö tuli liiga vara ja langes kurtidele kõrvadele. Tegelikult teatab Rescher Russelli väljakuulutatud raskustest MacColli sümboolika mõistmisel ja, mis veelgi tähtsam, väidab, et Russelli loogikavaade mõjutas negatiivselt modaalloogika arengut (“Bertrand Russell ja Modal Logic” ajakirjas Rescher 1974: 85–96).. Vaatamata MacColli varasemale loomingule võib Lewist pidada süntaktiliste traditsioonide isaks mitte ainult oma mõju tõttu hilisematele loogikutele, vaid eriti seetõttu, et ta on kasutusele võtnud uusi süsteeme, mis sisaldavad uusi interaktsioonilisi ühendusi.
1.1 Lewise süsteemid
Lewis pakub raamatus “Range implikatsiooni kalkulatsioon” (1914) Whiteheadi ja Russelli Principia Mathematica pikendussüsteemile kahte võimalikku alternatiivi. Üks viis, kuidas kehtestada range implikatsiooni süsteem, seisneb süsteemis nende teoreemide eemaldamises, mis sarnaselt ülaltoodud punktidega 1 ja 2 kehtivad ainult materiaalsete, kuid mitte rangete implikatsioonide osas, saades nii materiaalsete kui ka range implikatsioon, kuid mitte kummalgi juhul täielik. Teine, viljakam alternatiiv pakub sisse uue range implikatsioonisüsteemi, mis on endiselt modelleeritud Whiteheadi ja Russelli materiaalse implikatsiooni süsteemiga ning mis sisaldab (tervikuna või osaliselt) laiendavat ettepanekuloogikat kui õiget osa, kuid püüdleb täielikkuse poole. vähemalt range implikatsiooni jaoks. Seda teist võimalust arendatakse edasi sümboolse loogika uuringus (1918). Seal tutvustab Lewis esimest süsteemi, mis on mõeldud tavalise ja range implikatsiooni mõistmiseks, juhindudes ideest, et:
Kui sõna "kaudne" ei oma mingit "õiget" tähendust, pole olemas kehtivuse kriteeriumi ega võimalust isegi vaielda küsimuse üle, kas see on olemas või mitte. Ja ikkagi küsimus, mis on "tähendab" "õige" tähendus? jääb eriliselt raskeks. (1918: 325)
1918. aasta süsteem võtab primitiivsena võimatuse kontseptsiooni ((neg \ Diamond)), määratleb selle tähenduses range implikatsiooni operaatori ja töötab endiselt tahtliku disjunktsiooni operaatori. Post tõestab siiski, et see süsteem viib tõe vajaduse või alternatiivi ja võltsuse võimatuse kokkuvarisemiseni, kuna ühest selle teoreemist ((((p \ parempoolne nool q) vasakääris (neg \ Diamond q \ Rightarrow \ neg \ Teemant p))) saab tõestada, et ((neg p \ Leftrightarrow \ neg \ Teemant p)). Aastal 1920, "Range implication-an Emendation", fikseerib Lewis süsteemi, mis asendab vana aksioomi nõrgemaga: ((((p \ parempoolne nool q) parempoolne nool (neg \ Diamond q \ Rightarrow \ neg \ Diamond p))). Lõpuks, Lewise ja Langfordi köite Sümboolne loogika (1932:492–502) „Range implikatsioonisüsteemi struktuur” antakse 1918. aasta süsteemile uus aksiaalne alus.
1932. aasta lisas tutvustab CI Lewis viit erinevat süsteemi. Moodiline primitiivne sümbol on nüüd võimaluse operaator (Teemant), range implikatsioon ((p \ parempoolne nool q)) on määratletud kui (neg \ Teemant (p \ kiil \ neg q)) ja (vee) on tavaline pikendusdjunktsioon. Vajadusoperaatori (Box) saab ka kasutusele võtta ja määratleda, ehkki Lewis seda ei tee, tavalisel viisil nagu (neg \ Diamond \ neg).
Kui (p, q) ja (r) on pakutavad muutujad, on süsteemil S1 järgmised aksioomid:
McKinsey (1934) tunnistas aksiomi B5 üleliigseks ja seetõttu võib seda ignoreerida.
Reeglid on (1932: 125–6):
S1 reeglid
Ühtne asendamine
Kehtiv valem jääb kehtima, kui valem on selles ühtlaselt asendatud pakkumismuutujaga.
Rangete ekvivalentide asendamine
Mõlemad kaks rangelt ekvivalentset valemit võivad üksteist asendada.
Lisamine
Kui järeldatakse, et (Phi) ja (Psi), võib järeldada (Phi \ kiil \ Psi).
Range järeldused
Kui järeldatakse (Phi) ja (Phi \ Rightarrow \ Psi), võib järeldada (Psi).
Süsteem S2 saadakse süsteemist S1, lisades sellele, mida Lewis nimetab järjepidevuse postulaadiks, kuna see kehtib ilmselgelt järjepidevuse tõlgendamisel (Diamond):
Süsteem S3 saadakse süsteemist S1 aksioomi lisamisega:
) silt {A8} ((p \ parempoolne q) parem nool (neg \ Diamond q \ Rightarrow \ neg \ Diamond p)))
Süsteem S3 vastab A-uuringu 1918. aasta süsteemile, mida Lewis pidas algselt õigeks rangeks implikatsiooniks. 1932. aastaks on Lewis hakanud eelistama süsteemi S2. Põhjus, nagu on avaldatud Lewis 1932: 496, on see, et nii Wajsberg kui ka Parry tuletasid süsteemist S3 - oma 1918. aasta aksiomatiziseerimisel - järgmise teoreemi:
[(p \ parempoolne nool q) parempoolne nool ((q \ parempoolne r) parempoolne nool (p \ parempoolne r)),)
mida Lewise sõnul ei tohiks pidada kehtivaks mahaarvamise põhimõtteks. Aastal 1932 pole Lewis kindel, kas küsitav teoreem pole S2-s tuletatav. Kui see peaks nii olema, peaks ta otsustama, et S1 on õige süsteem rangeks implikatsiooniks. Parry (1934) tõestab hiljem siiski, et ei A8 ega
[(p \ parempoolne nool q) parempoolne nool ((q \ parempoolne r) parem nool (p \ parempoolne r)))
saab tuletada S2-s.
Kõigile neile süsteemidele saab lisada veel eksisteerimise aksioomi:
B9 lisamine muudab võimatuks tõlgendada (Rightarrow) materiaalse implikatsioonina, kuna materiaalse implikatsiooni korral on võimalik tõestada, et mis tahes väite korral (p) ja (q, ((p \ rightarrow q) vee (p \ parempoolne \ neg q))) (1932: 179). B9 põhjal järeldab Lewis vähemalt nelja loogiliselt eristuva väite olemasolu: üks tõene ja vajalik, üks tõeline, kuid mitte vajalik, üks vale ja võimatu, üks vale, kuid mitte võimatu (1932: 184–9).
Pärast Beckerit (1930) peab Lewis veel kolme aksioomi:
Kolm täiendavat aksioomi
) alusta {joonda} silt {C10} neg \ Teemant \ neg p & \ Rightarrow \ neg \ Diamond \ neg \ neg \ Diamond \ neg p \\ \ tag {C11} Diamond p & \ Rightarrow \ neg \ Teemant \ neg \ Teemant p \\ \ silt {C12} p & \ Parempoolne nool \ neg \ Teemant \ neg \ Teemant p \\ \ lõpp {joonda})
Süsteem S4 lisab S1 alusele aksioomi C10. Süsteem S5 lisab S1 alusele aksioomi C11 või alternatiivselt C10 ja C12. Lewis lõpetab II lisa, märkides, et loogika uurimisel on kõige parem keskenduda S5-st nõrgematele süsteemidele ja mitte ainult S5-le.
Tekivad ka materiaalse implikatsiooni sarnased ranged implikatsioonid. Arvestades, et ranget implikatsiooni ((p \ parempoolne nool q)) määratletakse kui (neg \ Diamond (p \ wedge \ neg q)), järeldub, et võimatu pakkumine tähendab midagi ja vajalik kaudsus ükskõik millega. Lewis väidab, et nii peabki olema. Kuna võimatust peetakse loogiliseks võimatuseks, st lõppkokkuvõttes vastuoluks, väidab Lewis, et alates võimatust väidetest, nagu ((p \ kiil \ neg p)), on nii (p) kui ka ((neg p) järgige. (P) -st saame tuletada ((p \ vee q)) mis tahes väite (q) korral. Alates (neg p) ja ((p \ vee q)) saame tuletada (q) (1932: 250). Argument on vastuoluline, kuna võiks arvata, et põhimõte ((p \ parempoolne nool (p \ vee q))) ei tohiks olla teoreem süsteemist, mille eesmärk on väljendada tavalist implikatsiooni (vt nt Nelson 1930: 447). Mis iganes selle argumendi eeliseid õigustaks, hakkasid Lewisega eriarvamusel tekkima kaasamise loogika, tuginedes eeldusele, et kaasamine nõuab enamat kui Lewise range implikatsioon. Vt näiteks Nelson 1930, Strawson 1948 ja Bennett 1954. Vt ka SEP-i kannet asjakohasuse loogika kohta.
Pange tähele, et just Lewise otsitud süsteem, mis oleks võimeline väljendama ranget implikatsiooni, pani Quine'i tagasi lükkama modaalsüsteemid kasutamise-mainimise segiajamise põhjal, kuivõrd sellised süsteemid olid sõnastatud eesmärgi väljendamiseks objekti tasemel tõenditeoreetiliste või semantiliste mõistete, näiteks järjepidevuse, implikatsiooni kaudu., tuletatavus ja teoreemilisus (tegelikult siis, kui (p \ parempoolne nool q) on juhuslik teoreem, süsteem S1, ja nii suudavad tõestada ka kõik teised tugevamad Lewise süsteemid (p \ parempoolne nool q) (Parry 1939: 143)).
1.2 Muud süsteemid ja Lewise süsteemide alternatiivsed aksiomatizations
Gödel raamatus “Intuitionistliku propositsioonilise kalkulatsiooni tõlgendus” (1933) on esimene, kes pakub välja Lewise süsteemi S4 alternatiivse aksiomatizationi, mis eraldab süsteemi ettepaneku aluse modaalsetest aksioomidest ja reeglitest. Gödel lisab algsesse arvutusse järgmised reeglid ja aksioomid.
Algselt võtab Gödel Heytingi primitiivsete intuitiivsete ühenduste tõlkimiseks kasutusele tõendusvõimalusega operaatori (B), ja seejärel täheldab, et kui asendame (B) vajaduse korral operaatoriga, saame süsteemi S4. Gödel väidab ka, et valem (Box p \ vee \ Box q) pole S4-s tõestatav, välja arvatud juhul, kui (Box p) või (Box q) on tõestatav, analoogselt intuitsioonilise disjunktsiooniga. Gödeli väidet tõestavad algebraliselt McKinsey ja Tarski (1948). Gödeli lühike noot on oluline aksioomatiseerivate modaalsüsteemide viljaka harjutamise alustamiseks, eraldades algselt arvutatud kalkulatsiooni rangelt modaalsest osast, aga ka ühendamaks intuitiivset ja modaalset loogikat.
Feys (1937) pakub esimesena välja süsteemi T, lahutades Gödeli süsteemist S4 aksioomi 4 (vt ka Feys 1965: 123–124). Essees modaalses loogikas (1951) käsitleb von Wright aletilisi, episteemilisi ja deontilisi modaalsusi ja tutvustab süsteemi M, mida Sobociński (1953) osutub Feysi süsteemi T-ga võrdseks. Von Wright (1951: 84–90) tõestab, et süsteem M sisaldab Lewise S2, mis sisaldab S1 - kui süsteem S peaks sisaldama süsteemi S ', kui kõiki S-is tõestatavaid valemeid saab tõestada ka S-ga. Süsteem S3, laiendus S2, ei sisaldu M-s. Samuti ei sisaldu M S3-s. Von Wright leiab, et S3 pole iseseisvalt huvipakkuv ega näe põhjust S3 kasutusele võtta tugevama S4 asemel. Üldiselt on Lewise süsteemid nummerdatud tugevuse järjekorras: kõige nõrgemad on S1 ja tugevaimad S5, nõrgemad S5.
Lemmon (1957) jälgib ka Gödelit aksiomatiziseerivates modaalsüsteemides propositsioonilisel arvutuslikul alusel ja esitab Lewise süsteemide alternatiivse aksiomatizeerimise. Kui PC on Lauseloogika baas, PC võib iseloomustada kui järgmised kolm eeskirjad (1957: 177):
Algsõnalise arvutusliku arvuti iseloomustus
PCa Kui (alpha) on tautoloogia, siis (mvdash \ alpha)
PCb-asendamine pakutavate muutujate jaoks
PCc materjali irdumine / Modus Ponens: kui (alpha) ja (alpha \ rightarrow \ beeta) on tautoloogiad, siis nii on ka (beeta)
Muud reeglid Lemmoni süsteemis on:
a) Kui (mvdash \ alpha), siis (mvdash \ Box \ alpha) (vajalik)
(a ') Kui (alpha) on tautoloogia või aksioom, siis (mvdash \ Box \ alpha)
) alusta {joonda} silt {1} Box (p \ parempoolne q) & \ rightarrow \ Box (Box p \ rightarrow \ Box q) \ \ silt {1 '} Box (p \ paremnool q) & \ parempoolne nool (Box p \ rightarrow \ Box q) & \ textrm {(Axiom K)} \ \ silt {2} Box p & \ rightarrow p & \ textrm {(Axiom T)} \ \ tag { 3} (Box (parempoolne nool q) kiil \ Box (q \ parempoolne r)) & \ paremnool \ Box (p \ parempoolne r) \ \ lõpp {joondus})
Ülaltoodud reegleid ja aksioome kasutades määratleb Lemmon neli süsteemi. Süsteem P1, mis on osutunud Lewise süsteemiga S1 ekvivalentseks, kasutab algset alust (PC), reegleid (a ') - tautoloogiate ja aksioomide vajalikkust ja (b') ning aksioome (2) ja (3). S2-ga samaväärne süsteem P2 kasutab (PC), reegleid (a ') ja (b) ning aksioome (2) ja (1'). S3-ga samaväärne süsteem P3 kasutab (PC), reeglit (a ') ning aksioome (2) ja (1). S4-ga samaväärne süsteem P4 töötab (PC), reegel a ja aksioomid (2) ja (1). Lemmoni aksioomatiseerimisel on lihtne näha, et S3 ja von Wright süsteemi M (Feys ' T) ei kuulu teineteisesse, arvestades M- i rangemat vajalikkuse reeglit ja S3- i tugevamat aksioomi (1) (1' asemel)) = K. Üldiselt teeb Lemmoni aksiomatization silmapaistvamaks erinevate Lewise süsteemide loogilised erinevused.
Samuti peab Lemmon mõnda süsteemi S1-st nõrgemaks. Eriti huvitav on süsteem S0.5, mis nõrgestab S1, asendades reegli (a ') nõrgema reegliga (a ″):
(a ″) Kui (alpha) on tautoloogia, siis (mvdash \ Box \ alpha)
Lemmon tõlgendab süsteemi S0.5 kui propositsioonilise kalkulatsiooni formaliseeritud metaloogikat, kus (Box \ alpha) tõlgendatakse nii, et (alpha) on tautoloogia.
Kutsume “normaalseks” süsteemi, mis sisaldab personaalarvutit, aksioomi K ja vajaduse reeglit. Süsteem K on väikseim normaalne süsteem. Süsteem T lisab aksioom T süsteemi K. Süsteem B (Brouwersche süsteem) lisab aksioomi B
) mvdash p \ Rightarrow \ Box \ Diamond p \ quad \ textrm {(vastab Beckeri C12-le)})
süsteemi T. S4 lisab süsteemile T aksioomi 4 (vastab Beckeri C10-le). S5 lisab aksioomid B ja 4 või alternatiivselt aksioomi E
) mvdash \ Diamond p \ Rightarrow \ Box \ Diamond p \ quad \ textrm {(samaväärne Beckeri C11-ga)})
süsteemi T. Lewise süsteemid S1, S2 ja S3 ei ole normaalsed, kuna need ei sisalda vajalikkuse reeglit. Nende (ja muude) süsteemide omavaheliste suhete ja aksioomide poolt raamidele esitatavate tingimuste kohta saate teavet SEP-i sissekande kohta modaalloogika kohta.
Kirjanduses käsitletud paljudest Lewise süsteemide pikendustest on mainitud vaid mõnda. Alban (1943) tutvustas süsteemi S6, lisades S2-le aksioomi (mvdash \ Diamond \ Diamond p). Halldén (1950) nimetab S7- ks süsteemi, mis lisab S3-le aksioomi (mvdash \ Diamond \ Diamond p), ja S8 - süsteemi, mis laiendab S3 aksioomi (mvdash \ neg \ Diamond \ neg \ Teemant \ Teemant p). Ehkki universaalse võimaluse aksioomi (mvdash \ Diamond p) lisamine oleks vastuolus kõigi Lewise süsteemidega, kuna need kõik sisaldavad vormi teoreeme (mvdash \ Box p), süsteemid S6, S7 ja S8 on järjepidevad. Mõlema aksioomi lisamine S4-le ja nii ka S5- le annab selle asemel ebajärjekindla süsteemi, arvestades S4-s (mvdash \ Diamond \ Diamond p \ Rightarrow \ Diamond p). Halldén tõestas ka, et valem on S3 teoreem S4 ja S7 S3 kaks alternatiivset laiendit.siis ja ainult siis, kui see on nii S4 kui ka S7 teoreem (1950: 231–232), seega
2. Maatriksmeetod ja mõned algebralised tulemused
„Filosoofilistes märkustes propositsioonilise loogika mitme väärtusega süsteemide kohta” (1930. Kuid Łukasiewicz 1920 on selle töö peamiste ideede esialgne poolakeelne versioon) ütleb Łukasiewicz:
Kui 1920. aastal tõdesin traditsiooniliste teoreemide kokkusobimatust modaalpakkumiste osas, tegelesin maatriksmeetodi abil tavalise „kahe väärtusega” propositsioonilise kalkulatsiooni süsteemi loomisega. Olin sel ajal veendunud, et tavalise propositsioonilise arvutuse kõiki teese saab tõestada eeldusel, et nende propositsioonimuutujatel võib olla ainult kaks väärtust: „0” või „vale” ja „1” või „tõeline”. (1970: 164)
See lõik illustreerib hästi, kuidas Łukasiewicz kahekümnendate aastate alguses loogikale mõtles. Esiteks, ta mõtles pigem süžeetilise kui algebralise tähendusega, keskendudes mitte niivõrd uute süsteemide ehitamisele, kuivõrd süsteemide hindamisele väärtuste kogumi suhtes. Teiseks tutvustas ta kolme väärtusega maatriksit, et luua loogiline ruum ettepanekutele (eriti tulevaste kontingentide kohta), mis ei ole tõesed ega valed ning mis saavad uue määramatu väärtuse ½. Irooniline on see, et hilisem tema algset maatriksmeetodit rakendav töö näitab, et lootust käsitleda modaalset loogikat kolme väärtusega süsteemina ei saa teoks saada. Vaadake ka SEP-i kirjet paljude väärtustega loogika kohta.
Pakkumisloogika L maatriks saadakse (i) elementide komplektiga K, tõe väärtustega, (ii) määratud tõeväärtuste mittetühjaga alamhulgaga (D \ subseteq K) ja (iii) toimingud komplektiga K, see tähendab funktsioone alates (n) - tõe väärtuste ja tõe väärtuste vahekaartidest, mis vastavad L ühendusele. Maatriks vastab valemile A, mille kohaselt K elemendid omistatakse (sigma) muutujatele A, kui A väärtus (sigma) all on D liige, st määratud väärtus. Maatriks vastab valemile, kui see vastab igale ülesandele (sigma). Modaalloogika maatriks M laiendab propositsioonilise loogika maatriksit, lisades unikaalse funktsiooni, mis vastab ühendusele (Diamond).
Maatriksit kasutatakse tavaliselt süsteemi aksioomide sõltumatuse ja järjepidevuse näitamiseks. Kahe valemi A ja B järjepidevus saadakse maatriksi abil, mis määrab ülesande (sigma) mõlemale valemile määratud väärtused. Valemi B sõltumatus valemist A saadakse maatriksi abil, mis (i) säilitab süsteemi reeglite kehtivuse ja (ii) tõlgenduse kohaselt ((sigma)) annab A-le, kuid mitte B-le määratud väärtuse. Parry (1939) kasutab maatriksmeetodit, et näidata Lewise süsteemi S3 ja S4 modaalsuste arvuon piiratud. Modaalsus on ühe muutuja modaalfunktsioon, mis sisaldab ainult operaatoreid (neg) ja (Diamond). Modaalsuse aste on antud operaatorite (Diamond) arv. Nõuetekohane modaalsus on nullist kõrgem. Nõuetekohased moodused võivad olla neljas erinevas vormis:
) alusta {joonda} silt {1} neg \ ldots \ Diamond p \\ \ tag {2} Diamond \ ldots \ Diamond p \\ \ tag {3} neg \ ldots \ Diamond \ neg p \ \ \ tag {4} Diamond \ ldots \ neg p. \\ \ lõpp {joonda})
Vale moodus on (p) ja (neg p) (1939: 144). Parry tõestab, et S3-l on 42 erinevat modaalsust ja S4-l on 14 selget modaalsust. Juba oli teada, et süsteemil S5 on ainult 6 erinevat modaalsust, kuna see redutseerib kõik modaalsused nulli või ühe astme modaalsusteks. Parry tutvustab süsteemi S4.5, lisades sellele S4-le järgmise aksioomi:
Süsteem vähendab S4 modaalsuste arvu 14-lt 12-le (ehk 10 korralisele). Sama aksioomi lisamine Lewise süsteemile S3 annab tulemuseks süsteemi, millel on 26 selget viisi. Pealegi, kui lisame
et S3 saame selge süsteem 26 korra ka vahepeale S3 ja S4. Seetõttu ei määra modaalsuste arv süsteemi üheselt. Süsteemidel S1 ja S2 ning T ja B on lõpmatu arv modaalsusi (Burgess 2009, 3. peatükk Modaalloogikast, käsitletakse lisasüsteeme S4.2 ja S4.3 ning selgitatakse hästi modaalsuste vähendamist erinevates süsteemides)..
Süsteemi L iseloomulik maatriks on maatriks, mis rahuldab kõiki ja ainult L teoreeme. Maatriks on piiratud, kui selle tõeväärtuste K on piiratud. Piiratud omadusega maatriks annab otsustusprotseduuri, kus süsteem on otsustatav, kui süsteemi kõiki valemeid, mis pole teoreemid, võltsib mõni piiratud maatriks (see on piiratud mudeli omadus). Kuid Dugundji (1940) näitab, et ühelgi skeemil S1 - S5 pole piiratud iseloomulikku maatriksit. Seega ei saa ühtegi neist süsteemidest vaadelda lõpliku (n) väärtusega l (l) loogikana. Hiljem tõestab Scroggs (1951), et S5 igal korralikul pikendusel, mis säilitab materjali jaoks eraldumise ja on asenduse teel suletud, on piiratud iseloomulik maatriks.
Vaatamata sellele, et neil puudub piiratud iseloomulik maatriks, näitab McKinsey (1941), et süsteemid S2 ja S4 on otsustatavad. Nende tulemuste tõestamiseks tutvustab McKinsey modaalmaatrikseid ((K, D, -, *, \ korda)), kusjuures (-), (*) ja (korda) vastavad eitamisele, võimalusele ja konjunktsioon vastavalt. Maatriks on normaalne, kui see vastab järgmistele tingimustele:
kui (x \ D-s) ja ((x \ Parempoolne nool y) D-s) ja (y \ K-s), siis (y \ D-s),
kui (x \ D-s) ja (y \ D-s), siis (x \ korda y \ D-s),
kui (x \ K-s) ja (y \ K-s) ja (x \ Leftrightarrow y \ D-s), siis (x = y).
Need tingimused vastavad Lewise reeglitele rangete järelduste tegemise, nende täiendamise ja asendamise kohta. McKinsey tõendusmaterjalide struktuur on järgmine. Tõendis kasutatakse kolme sammu. Esiteks näitab McKinsey, kasutades Tarski poolt talle seletamata Lindenbaumi meetodit, mis kehtib selliste süsteemide jaoks, mille puhul kehtib asendusreeglite pakkumine muutujatele, ja McKinsey näitab, et on olemas S2-iseloomulik maatriks (M = (K, D, -, *, \ korda)), mis ei vasta tingimusele (iii) ja on seetõttu mitte normaalne. M on triviaalne maatriks, mille domeen on süsteemi valemite kogum, mille määratud elemendid on süsteemi teoreemid ja mille toimingud on ise ühendused. Triviaalne maatriks M ei vasta punktile iii, arvestades, et mõne erineva valemi A ja B korral on (A \ Leftrightarrow B) S2- teoreem. Teiseks näitab McKinsey, kuidas luua M-st tavaline, kuid siiski lõpmatu S2-iseloomulik maatriks (M_1 = (K_1, D_1, -_1, * ^ 1, \ korda_1)), mille elemendid on väidetavalt ekvivalentsed klassid S2 valemid, st valemid A ja B nii, et (A \ Leftrightarrow B) on S2 teoreem, ja kelle toiminguid muudetakse vastavalt. Näiteks kui (E (A)) on valemite kogum, mis on samaväärsed A ja (E (A) K_1-is), siis (-_ 1 E (A) = E (-A) = E (neg A). M_1) vastab täpselt valemitele, mida M rahuldab, tingimust (iii) rikkumata, seega on see S2-le iseloomulik normaalmaatriks ((M_1) on Lindenbaumi algebral S2). Lõpuks näidatakse, et iga valemi A jaoks, mis pole S2 teoreem, on piiratud ja normaalne maatriks ((M_1) alamgebra), mis seda võltsib. Sarnane tõend on antud ka S4 kohta.
Maatriks on spetsiaalne algebraniik. Algebra on maatriks, millel pole määratud elementide kogumit D. Boole'i algebrad vastavad propositsioonilise loogika maatriksitele. Bulli ja Segerbergi (1984: 10) sõnul võis üldistamine maatriksitest algebrateks soodustada nende struktuuride uurimist sõltumata nende seostest loogika- ja modaalsüsteemidega. Määratud elementide komplekt D hõlbustab tegelikult kehtivuse määratlemist, mille alusel saab süsteemi teoreeme hinnata. Ilma sellise komplektita on loogika kõige ilmsem lüli lahti. Aine matemaatilise arengu jaoks oli ülioluline ka teine üldistus algebrate klasside, mitte ainult üksikute algebrate jaoks. Tarski on sellise arengu kandev tegelane.
Jónsson ja Tarski (1951 ja 1952) tutvustavad operaatoritega Boole'i algebrate üldist ideed, st Boole'i algebrate laiendusi operaatorite lisamisega, mis vastavad modaalsele ühendusele. Need tõestavad operaatoritega tõeväärtuse algebrate üldise esituse teoreemi, mis laiendab Stone'i tõeväärtuse algebrate tulemust (igat Boole'i algebrat saab esitada komplekti algebraks). See Jónssoni ja Tarski töö arenes Tarski puhtalt matemaatilisest seoste algebra uuringust ega sisalda viiteid modaalloogikale ega isegi loogikale üldiselt. Jónssoni ja Tarski teoreem on (üldisem) algebraline analoog Kripke hilisematele semantilise terviklikkuse tulemustele, kuid seda ei oldud juba mõnda aega realiseeritud. Tarski ei teadnud ühendusest mitte ainult,kuid näib, et nii Kripke kui ka Lemmon ei olnud Jónssoni ja Tarski pabereid lugenud ajal, mil nad tegid oma modaaltööd viiekümnendate lõpus ja kuuekümnendatel, ning Kripke väitis, et nad on iseseisvalt sama tulemuseni jõudnud.
Lemmon (1966a ja 1966b) kohandab McKinsey algebralist meetodit, et tõestada erinevate modaalsüsteemide, sealhulgas T(kuigi ilmselt Jónssoni ja Tarski loomingu teadmatuses). Eelkõige laiendab ta McKinsey meetodit, tutvustades uut meetodit Kripke mudeli struktuuri alamhulkade piiratud algebrate konstrueerimiseks (seda käsitletakse käesoleva sissekande järgmises osas). Lemmon (1966b: 191) omistab Dana Scottile tema teise 1966. aasta töö peamise tulemuse. See on üldise esituse teoreem, mis tõestab, et modaalsüsteemide algebrasid saab esitada algebratena, mis põhinevad komplekti K võimsushulgal vastavates Kripke struktuurides. Sellest tulenevalt tähendab algebraline terviklikkus Kripke mudeli teoreetilist täielikkust. Niisiis, Lemmon selgitab väga selgelt Kripke mudelite, mille elemendid on maailmad, ja vastavate algebrate vahelist seost, mille elemendid on maailmade kogumid, mida võib pidada väideteks,näidates seeläbi, et algebralised ja mudelteoreetilised tulemused on omavahel tihedalt seotud. Kripke (1963a) väljendab seda seost juba otsesõnu. Koostöös Dana Scottiga kirjutatud ja Segerbergi toimetatud raamatus The Lemmon Notes (1977) on 1966. aasta tehnika muudetud puhtalt mudelteoreetiliseks meetodiks, mis annab paljude modaalloogika süsteemide täielikkuse ja otsustatavuse võimalikult üldisel kujul (1977: 29).
Vt ka SEP-i sisestust loogikatraditsiooni algebras. Modaalloogika algebrani põhitutvustuse leiate Hughes and Cresswell 1968, peatükk 17 teemal „Boolean algebra ja modaalloogika“. Põhjalikuma käsitluse leiate peatükist 5 Blackburn, de Rijke ja Venema 2001. 5. peatükk. Vt ka Goldblatt 2003.
3. Mudeliteoreetiline traditsioon
3.1 Carnap
1940. aastate alguses viis loogilise tõe mõiste semantilise olemuse äratundmine Rudolf Carnapi selle mõiste mitteametliku selgitamiseni Leibnitsia võimalike maailmade osas. Samal ajal tunnistas ta, et modaaloogika paljudest süntaktilistest edusammudest alates 1918. aastast ei olnud ikka veel piisavalt semantilisi kaalutlusi. Üks tähelepanuväärne erand oli Gödeli tõlgendus vajalikkusest kui tõestatavus ja sellest tulenev S4 eelistamine. Selle asemel pidas Carnap vajalikuks kui loogiliseks tõeks või analüütiliseks. Kaalutlused loogiliselt tõeste lausete omaduste osas ajendasid teda mõtlema S5-lekui õige süsteem selle „mitteametliku” mõiste vormistamiseks. Carnapi töö neljakümnendate alguses keskendus siis (1) L-tõe formaalse semantilise mõiste määratlemisele, mis sobib esindama mitteformaalseid semantilisi mõisteid loogilisest tõest, vajalikkusest ja analüütilisusest, see tähendab tõest ainuüksi tähenduse tõttu (algselt), ta ei teinud vahet nende mõistete vahel, vaid pidas selgelt analüüsitavust kui juhtivat ideed); ja (2) kvantifitseeritud S5 formaalse semantika pakkumine L-tõe formaalse mõiste osas eesmärgiga saada täpsuse ja täielikkuse tulemusi, see tähendab, et tõestada, et kõik kvantifitseeritud S5 teoreemid on L-tõesed ja et kõik L-tõed (süsteemi keeles väljendusrikkad) on süsteemi teoreemid.
Kvantitatiivsete modaalsüsteemide idee tekkis ka Ruth Barcanil. Raamatus „Esimese astme funktsionaalne kalkulatsioon, mis põhineb rangetel implikatsioonidel” (1946a) lisas ta kvantifitseerimise Lewise ettepanekusüsteemile S2; Carnap (1946) lisas selle S5-le. Kuigi kaalutakse kvantifitseeritud modaalloogika osas mõnda konkreetset semantilist punkti, ei keskendu see sissekanne kvantifitseeritud modaalloogika väljatöötamisele, vaid pigem modaaloogika loogika mudeli teoreetilise formaalse semantika tekkimisele, mis on ettepanekuline või kvantitatiivne. Kvantifitseeritud modaalloogika laiemat käsitlemist leiate SEP-i kandest modaalloogika kohta.
Raamatutes “Modaalsused ja kvantifitseerimine” (1946) ja tähenduses ja vajalikkuses (1947) tõlgendab Carnap vajaduse objektikeele operaatorit nii, et see väljendaks objekti tasandil loogilise tõe semantilist mõistet:
Meie moodi loogika süsteemide konstruktsioonide juhtmõte on järgmine: lause (p) on loogiliselt vajalik siis ja ainult siis, kui lause, mis väljendab (p), on loogiliselt tõene. See tähendab, et väite loogilise vajalikkuse modaalne kontseptsioon ja lause loogilise tõe või analüütilise semantiline kontseptsioon vastavad üksteisele. (1946: 34)
Carnap tutvustab olekukirjelduste seadet L-tõe formaalse semantilise mõiste määratlemiseks. Seda ametlikku mõistet kasutatakse siis S5 formaalse semantika pakkumiseks.
Keele L olekukirjeldus on L lauseklass, nii et iga L aatomilause (p) korral on (p) või (neg p), kuid mitte mõlemad, klassis sisalduv. Aatomilause on olekukirjelduses R ainult siis, kui see kuulub R-i. Lause (neg A) (kus A ei pea olema aatomiline) on R-s siis ja ainult siis, kui A ei hoia R-s; ((A \ kiil B)) hoiab R-is nii ja ainult siis, kui nii A kui ka B hoiavad R-s ja nii edasi, teiste ühenduste jaoks tavalisel induktiivsel viisil; ((forall x) Fx) hoiab R-is siis ja ainult siis, kui kõik (Fx) asendusjuhtumid on R-s. Lause vahemik on olekukirjelduste klass, milles see on. Carnapi kehtivuse mõiste või L-tõde on maksimaalne mõiste, st. Määratleb Carnap lause kehtivaks või L-tõeks, kui ja ainult siis, kui see kehtib kõigis olekukirjeldustes. Hilisemas töös võtab Carnap riigikirjelduste asemel kasutusele mudelid. Mudelid on väärtuste määramine keele primitiivsetele mitteloogilistele konstantidele. Carnapi juhtumil on predikatiivsed konstandid ainsad primitiivsed konstandid, millele mudelid määravad väärtused, kuna üksikutele konstantidele antakse fikseeritud mudeli eelne tõlgendus ja muutujate väärtuste määramine toimub mudelitest sõltumatult (1963a).
Oluline on tähele panna, et L-tõe määratluses ei kasutata tõe mõistet, vaid ainult kirjelduse hoidmist olekus. Tõde tutvustatakse hiljem sellena, mis kehtib reaalse oleku kirjelduses. Analüütilisuse adekvaatseks formaalseks esitamiseks peab L-tõde austama analüütilisuse taga olevat põhiideed: tõde üksnes tähenduse mõttes. Tegelikult on süsteemi S L-tõed sellised, et nende tõe tuvastamiseks piisab S semantilistest reeglitest. Mitteametlikult tähistavad riigikirjeldused Leibnizi võimalikke maailmu või Wittgensteini võimalikke asjaolusid, ning teatud keele olekukirjeldused peaksid ammendama selles keeles kirjeldatavate alternatiivsete võimaluste ulatust.
Modaallausete osas võtab Carnap vastu järgmised konventsioonid (loogiliseks vajalikkuseks kasutame (Box) Carnapi operaatori N asemel). Olgu S süsteem:
Lause (Box A) on tõene S-s ainult siis, kui (A) on L-tõene S-s (nii et lause (Box A) on tõene S-s siis ja ainult siis, kui (A) omab kõiki S) olekukirjeldusi;
Lause (Box A) on L-tõene S-s ainult siis, kui (Box A) vastab tõele S (nii et kõik olekukirjeldused on modaalsete lausete hindamisel nõus).
Sellest järeldub, et:
(Kast A) on L-tõde S-s ainult siis, kui (A) on L-tõene S-s
Carnapi konventsioonid kehtivad ka siis, kui asendame “tõde S oleku kirjelduses” sõnaga “tõde S-is”.
Carnap eeldab oma kvantitatiivse süsteemi jaoks fikseeritud domeeni, funktsionaalse kalkulatsiooni identiteediga FC ja järelikult modaalse funktsionaalse kalkuleerimisega identsusega MFC, mis on S5 kvantifitseeritud vorm. FC keel sisaldab märkimisväärselt palju individuaalseid konstante, diskursuse universum sisaldab märkimisväärselt palju indiviide, igale konstandile omistatakse domeeni indiviid ja kahele konstandile ei omistata sama isikut. See muudab laused nagu (a = a) L-tõesed ja laused nagu (a = b) L-vale (1946: 49). MFC osas on nii Barcani valem kui ka selle vastand mõlemad L-tõesed, see tähendab,) mvDash (forall x) Box Fx \ leftrightarrow \ Box (forall x) Fx.)
Selle tulemuse tagab kvantifitseerimise fikseeritud domeen. Carnap tõestab, et MFC on usaldusväärne, see tähendab, et kõik selle teoreemid on L-tõesed, ning tõstatab nii FC kui ka MFC täielikkuse küsimuse. Gödel tõestas, et esimese astme predikaatkivi on identiteediga täielik, kuid kasutatud kehtivuse mõiste oli tõde kõigis kvantitatiivsuse mittetühjades domeenides, sealhulgas piiritletud domeenides. Selle asemel võtab Carnap kasutusele ühe ainulaadse kvantifitseeritava domeeni. Fikseeritud eristatava domeeni kasutuselevõtt tekitab juba mooduseelsel tasemel täiendavaid kehtivusi, mis seab ohtu terviklikkuse, näiteks „Seal on vähemalt kaks isikut”, ((eksisteerib x) (eksisteerib y) (x \ ne y)), osutub kehtivaks (1946: 53).
Keele ja L-tõe olekukirjelduste määratluste tagajärg on, et iga aatomi lause ja selle eitus osutuvad tõesteks mõnes, kuid mitte kõigis olekukirjeldustes. Seega, kui (p) on aatomiaatom, on nii (Diamond p) kui ka (Diamond \ neg p) L-tõesed. Järelikult ebaõnnestub Lewise ühtne asendamise reegel (kui (p) asendatakse tuletatud (Teemant p) tuletatud (Teemant (p \ kiil \ neg p) asemel (p \ kiil \ neg p)), mis on L-vale, mitte L-tõene). Seda on märganud Makinson (1966a), kes väidab, et tuleb teha asendatavuse taastamine ja Carnapi naiivse kehtivuse (kui loogilise vajalikkuse) ettekujutuse muutmine Quineani skemaatilise idee kasuks (“Loogiline tõde… on määratletav lause, millest saame lihtsaid lauseid asendades ainult tõed.”Quine 1970:50), mis ei muuda lauseid nagu (Diamond p) kehtivaks. Sellegipoolest tõestab Carnap, et ettepanek on põhjendatud ja terviklik S5, mida ta nimetab MPC- ks modaalse algsõnalise arvutuse jaoks, järgides Wajsbergi. Tõend kasutab siiski tõhususe skeemi.
On tõestatud, et Carnapi maksimaalse kehtivuse mõiste muudab kvantitatiivse S5 jaoks täielikkuse võimatuks, st et on olemas L-tõdesid, mis pole Carnapi MFC teoreemid. Olgu (A) MFC mittemodaalne lause. Kokkuleppe (1) kohaselt on (kast A) MFC-s tõene ja ainult siis, kui (A) on MFC-s L- tõeline. Kuid (A) on ka FC lause, seega kui L-tõde MFC-s on see ka L-tõde FC-s, kuna modaalse funktsionaalse loogika olekukirjeldused (mudelid) on samad, mis funktsionaaloogikal (1946): 54). See tähendab, et olekukirjeldused omavad (i) FC esimese astme mudelite kolmekordset rollimääratledes seeläbi esimest järku kehtivuse, (ii) maailmad MFC määratledes seeläbi tõde (Box-A) lauset MFC ja (iii) mudelite MFC määratledes seeläbi kehtivust MFC. Mittetäielikkuse argumendi tuum seisneb selles, et esimese astme lause (A) kehtetust saab esitada modaalkeeles, nagu (neg \ Box A), kuid kõik mudelid on ühel meelel modaalsete lausete hindamine, muutes (neg \ kasti A) kehtivaks. Ligikaudu ja kõrvale jättes komplikatsioonid, mis on tingitud asjaolust, et Carnapi semantikal on ainult tajutavad domeenid, kui (A) on FC esimese järgu kehtetu lause, (A) vastab tõele mõnes, kuid mitte kõigis mudelites või olekukirjeldustes. Carnapi kokkuleppeid arvestades järeldub, et (neg \ Box A) kehtib MFC-s. Siis on (neg \ Box A) L-tõeline MFC-s, st MFC-s (mvDash \ neg \ Box A). Arvestades, et kehtetud esimese astme laused ei ole rekursiivselt loendatud, pole ka modaalsüsteemi MFC kehtivus. Kuid MFC teoreemide klass on rekursiivselt loendatav. Seega on MFC Carnapi maksimaalse kehtivuse osas puudulik. Cocchiarella (1975b) omistab tulemuse Richard Montague'ile ja Donald Kalishile. Vt ka Lindström 2001: 209 ja Kaplan 1986: 275–276.
3.2 Kripke võimalike maailmade semantika
Carnapi semantika on tõepoolest võimaliku maailma semantika (PWS) eelkäija. Mõned olulised koostisosad puuduvad endiselt. Esiteks tuleb maksimaalne kehtivuse mõte asendada uue universaalse mõistega. Teiseks peavad olekukirjeldused võimaldama ruumi võimalike maailmade jaoks, mida saab mõista indeksite või hindamispunktidena. Viimaseks tuleb sisse seada ligipääsetavus maailmade vahel. Ehkki Kripke pole kaugeltki ainus viiekümnendate ja kuuekümnendate aastate alguse loogik, kes nende ideede kallal töötab, on Kripke PWS-i versioonis olemas kõik need uuendused. Kanger (1957), Montague (1960, kuid algselt esitletud 1955), Hintikka (1961) ja Prior (1957) mõtlesid kõik maailmade omavahelistele suhetele ja Hintikka (1961) nagu Kripke (1959a) võttis uue idee kehtivus, mis nõudis tõde kõigis suvalistes maailmakomplektides. Kuid Kripke iseloomustas ainsana maailmu kui lihtsaid hindamispunkte (1963a). Teised loogikud mõtlesid maailmad endiselt põhimõtteliselt esimese astme loogika mudelitena, ehkki võib-olla oli ka Prior oma ajaliku loogika arendamisel liikunud ajaolude abstraktsema iseloomustamise poole. Kripke maailmade abstraktsem iseloomustamine on ülioluline mudeli teoreetilise semantika ja modaalloogika algebralise seose loomisel. Kripke nägi väga selgelt seda seost algebrani ja semantika vahel ning see võimaldas tal süstemaatiliselt saada erinevate modaalsüsteemide mudeli teoreetilise terviklikkuse ja otsustatavuse tulemusi. Goldblatt (2003: 4. jagu.8) väidab veenvalt, et Kripke hindamispunktide vastuvõtmine mudelistruktuurides on eriti oluline uuendus. Selline üldistus avab ukse mudelateooria erinevatesse arengusuundadesse ja võimaldab üldiselt pakkuda interaktsiooniloogika mudelateooriaid. Nendel põhjustel pühendame selles sissekandes rohkem tähelepanu Kripke PWS-i versioonile. PWS-i esialgse arengu, sealhulgas viiekümnendate aastate lõpupoole töö põhjalikumaks käsitlemisekssealhulgas viiekümnendate aastate lõpus töösealhulgas viiekümnendate aastate lõpus tööPrantsuse loogiku Bayarti S5 lugejale viidatakse lugejale Goldblatt 2003. Kangeri ja tavalise PWS-semantika erinevuste kohta vt Lindström 1996 ja 1998.
Kripke 1959.a „Moodulloogika täielikkuse teoreem” sisaldab identiteediga S5 kvantifitseeritud versiooni teoreetilise täielikkuse mudeli tulemust. Kripke kvantifitseeritud S5 semantilises käsitluses, mida ta nimetab S5 * (^ =), väärtuste määramine valemile (A) üksikisikute domeenis (D), määrates (D) liikme igale vabale individuaalsele muutujale (A), tõeväärtusele (T) või (F) igale pakkumismuutujale (A) ja järjestatud (n) komplektile - (D) liikmete nimisid igale (n) - asetage predikaatmuutuja of (A) (süsteemi keel ei sisalda mitteloogilisi konstante). Kripke määratleb üksikisikute mittetühja domeeni (D) mudeli tellitud paarina ((G, K)) selliselt, et (G \ K, K) on suvaline alamhulk väärtused valemitele S5 * (^ =), ja kõik (H = K-s) lepivad kokku üksikute muutujate määramises. Iga (H = K-s) väärtus, mis (H) valemiga (B) omistatakse, määratakse induktiivselt. Propositsionaalsed muutujad omistatakse hüpoteesi teel (T) või (F). Kui (B) on (P (x_1, \ ldots, x_n)), omistatakse (B) (T) siis ja ainult siis, kui (n) - elementide kogum, mis on määratud (x_1),…, (x_n) kuulub (n) - indiviidide nippide hulka, mis (H) määravad (P. H) määravad (T) (neg B) ainult siis, kui ta määrab (F) (B. H), määrab (T) (B \ kiil C) siis ja ainult siis, kui see määrab (T) asukohtadesse (B) ja (C). Kui (B) on (x = y), omistatakse (T) siis ja ainult siis, kui (x) ja (y) on sama väärtus väärtuses (D). Kui (B) on ((forall x) Fx), omistatakse (T) siis ja ainult siis, kui (Fx) on määratud igale ülesandele (x) (T) (T)..(Box B) omistatakse (T) ainult siis, kui (B) on iga (H) K-is määratud.
Kõige olulisem asi, mida 1959. aasta mudeliteoorias märgatakse, on kehtivuse määratlemine. Valem (A) kehtib mudelis ((G, K)) rakenduses (D) kehtivana ainult siis, kui see on määratud (T) (G), kehtivad domeenis (D) ainult siis, kui see kehtib kõigis (D) mudelis, ja kehtivad universaalselt ainult siis, kui see kehtib igas mittetühjas domeenis. Kripke ütleb:
Püüdes konstrueerida universaalse loogilise kehtivuse definitsiooni, tundub usutav eeldada mitte ainult seda, et diskursuse universum võib sisaldada suvalist arvu elemente ja et prediktsioonidele võib tegelikus maailmas omistada mis tahes antud tõlgendusi, vaid ka seda, et võimalikke maailmu võib seostada mõne predikaatide rühmaga reaalse maailmaga. Teisisõnu on usutav eeldada, et (D, G) ja (K) -le ei pea lisapiiranguid seadma, välja arvatud standardpiirang, mis (D) ei tohi olla tühi. See eeldus viib otseselt meie universaalse kehtivuse määratluseni. (1959a: 3)
See uus universaalne kehtivuse mõiste on palju üldisem kui Carnapi maksimaalne kehtivus. (K) elemendid (H) vastavad endiselt esimese järgu mudelitele, nagu Carnapi olekukirjeldused, ja igas Kripke-mudelis omistatakse (K) elementidele (H) sama domeen (D) üksikisikute ja üksikute muutujate jaoks on fikseeritud mudeliülesed ülesanded. Siiani on Carnapist ainus oluline erinevus see, et erinevatel Kripke mudelitel võivad olla erineva kardinaalsusega domeenid. See on juba iseenesest piisav süsteemi mittemodaalse osa täielikkuse taastamiseks. Kuid kõige olulisem areng ja see, mis võimaldab tõestada modaalsüsteemi täielikkust, on kehtivuse määratlemine mitte tõena maailmade maksimaalse ülesehituse kõigis maailmades, vaid tõena kõigis maksimaalse struktuuri alamhulkades. Võimalike maailmade meelevaldsete alamhulkade arvestamine võimaldab Kripke mudelateoorial lahutada kehtivuse vajalikkusest. Ehkki vajadused on seotud mudeli, seega ka maailmade komplektiga, peavad kehtivused kehtima kõigis sellistes komplektides. See võimaldab taaskehtestada ühtse asendamise reegli. Selle nägemiseks lihtsal juhul mõelge aatomilausele (p). Klassikaline tõestustabel tabelis (p) sisaldab kahte rida: üks, kus (p) on tõene ja teine, kus (p) on vale. Iga rida on nagu võimalik maailm või (K) element (H). Kui me võtame arvesse ainult seda täielikku tõestabelit, siis kaalume ainult maksimaalseid mudeleid, mis sisaldavad kahte maailma (pole vahet, milline maailm on tegelik). Valemi tõe määratluse järgi on (Box B, \ Box p) vale kõigis maksimummudeli maailmades,ja (Diamond p) kehtib kõigis nendes. Kui kehtivus on tõesus selle maksimaalse mudeli kõigis maailmades, nagu näiteks Carnapi puhul, siis järeldub sellest, et (mvDash \ Diamond p), kuid S5(nmvdash \ Teemant p). Kui selle asemel määratleme kehtivuse nii, nagu Kripke seda teeb, peame arvestama ka mittemaksiimsete mudelitega, mis sisaldavad ainult ühte maailma, st mittetäielikke tõestabelit, mis tühistab mõned read. Seega tuleb arvestada veel kahe mudeliga: üks, mis sisaldab ainult ühte maailma (H = G), kus (p) on tõsi, seega ka (Box p), ja üks, mis sisaldab ainult üks maailm (H = G), kus (p) on vale ja nii on ka (Box p), samuti (Diamond p). Tänu sellele viimasele mudelile (nmvDash \ Diamond p). Pange tähele, et ülioluline uuendus on kehtivuse määratlemine tõena kõigis maailmade alarühmades, mitte ainult maksimaalses alamhulgas. Täiendav asjaolu, et mudelis kehtivust määratletakse tõena mudeli tegelikus maailmas - erinevalt tõest mudeli kõigis maailmades - paljastades asjaolu, et Kripke ei seostanud vajalikkuse mõistet kehtivuse mõistega, pole selle tehnilise tulemuse jaoks oluline.
Kripke täielikkuse tõendusmaterjal kasutab Bethi semantilise tabelite meetodit. Semantilist tabelit kasutatakse testimiseks, kas valem (B) on mõne valemi (A_1, \ ldots, A_n) semantiline tagajärg. Tabelis eeldatakse, et valemid (A_1, \ ldots, A_n) on tõesed ja (B) on valed ning on üles ehitatud reeglite järgi, mis järgivad loogiliste ühenduste määratlusi. Näiteks kui valem (neg A) asub tabeli vasakus veerus (kus on kirjas tõelised valemid), pannakse (A) paremasse veergu (kus on valed valemid). Modaalvalemite käsitlemiseks tuleb arvestada tabelikomplektide komplektiga, kuna kui (kast A) asub tabeli paremas veerus, tuleb lisada uus lisatabel, mille paremas veerus on (A). Peamine laud ja selle täiendav laud moodustab laugude komplekti. Kui valem (A \ kiil B) asub põhitabeli paremas veerus, jaguneb tableaux komplekt kaheks uueks tableau komplektiks: selliseks, mille põhitabelite loendid (A) asuvad paremas veerus, ja milleks paremas veerus peamised tabeliloendid (B). Seega peame kaaluma alternatiivseid tabelikomplekte. Semantiline tabel on suletud siis ja ainult siis, kui kõik selle alternatiivsed komplektid on suletud. Tabeli komplekt on suletud, kui see sisaldab tabelit (peamist või lisa), mis saavutab vastuolu kujul (i) ühes ja samas valemis (A), mis ilmub mõlemas selle veerus, või (ii) identsusvalemiga paremal pool olev vorm (a = a) (see on suletud tabeli määratluse lihtsustatud vorm, kuid pole meie jaoks kahjulik). Veel kord lihtsustades,Kripke terviklikkuse tõendi struktuur seisneb selle tõestamises, et semantiline tabel, mille abil kontrollitakse, kas valem (B) on valemite semantiline tagajärg (A_1, \ ldots, A_n) on suletud siis ja ainult (i) S5 * (^ =) (A_1, \ ldots, A_n \ vdash B) ja (ii) (A_1, \ ldots, A_n \ vDash B). See viimane tulemus saavutatakse, näidates, kuidas mudeleid semantilisest tabelist üles ehitada. Punktide (i) ja (ii) tagajärjel on S5 * (^ =) kindel ja terviklik, see tähendab: (A_1, \ ldots, A_n \ vdash B) siis ja ainult siis, kui (A_1, \ ldots, A_n \ vDash B).
1959. aasta paberdokument sisaldab ka tõendit Löwenhein-Skolemi teoreemi esimese astme loogika modaalse vaste kohta, mille kohaselt kui valem on rahul mittetühja domeeni korral, siis on see ka rahuldav ja seega kehtiv (vastab tõele (G)), mudelis ((G, K)) domeenis (D), kus nii (K) kui (D) on kas piiratud või dedmeeritavad; ja kui valem kehtib igas piiratud või dedmeeritavas domeenis, kehtib see igas domeenis.
Kripke 1962. aasta teoses “Monadilise moodi kvantitatiivsuse teooria otsustamatus” arendatakse paralleeli esimese diktaadi predikaadiga esimese järgu loogika ja kõigest kahe predikaaditähega esimese järgu loogika vahel, et tõestada, et see esimese astme modaalloogika fragment on juba määramatu.
Suur tähtsus on paberil “Modaalloogika semantiline analüüs I” (Kripke 1963a), kus käsitletakse normaalseid süsteeme. Just siin arendab Kripke täielikult analoogiat Jónssoni ja Tarski algebraliste tulemustega ning tõestab ettepanekusüsteemide T, S4, S5 ja B täielikkust ja otsustatavust.(Brouwersche süsteem), mida siin tutvustatakse. Kripke väitis, et ta on tuvastanud oma põhiteoreemi „Boolei operatsioonid operaatoritega“tema enda semantiliste meetodite algebralise analoogi abil (69, fn. 2). Just selles artiklis tutvustatakse mudelateooria kahte olulist üldistust. Esimene on (K) elementide (H) kui lihtsate indeksite, mitte väärtuste määramise uus mõistmine. Kui see muudatus on sisse viidud, tuleb mudeleid täiendada abifunktsiooniga (Phi), mida on vaja maailmataseme pakkumismuutujatele väärtuste määramiseks. Seega, kuigi 1959. aasta mudeliteoorias
ei saa olla kahte maailma, milles igale aatomivalemele omistatakse sama tõeväärtus [mis] osutub S5 jaoks võib-olla sobivaks, kuid tavaliste MPC-de käsitlemisel üldiselt on see ebamugav (1963a: 69)
nüüd võib meil olla maailma duplikaate. (K) elementide hindamisfunktsioonist eraldamise juures on kõige olulisem see, et see avab ukse modaalraamide, maailmakomplektide ja nende vahelise binaarse suhte üldiseks arvestamiseks ning selliste kaadrite vastavusse viimiseks. modaalsüsteemidele. Niisiis, paberi teine uus element, (R) elementide vahelise seose juurutamine, on loomulikult esimene. Olgu veel kord rõhutatud, et mõte maailmade vahelistest suhetest pole Kripke jaoks uus. Näiteks on see alternatiivse suhtena olemas juba Montague 1960, Hintikka 1961 ja Prior 1962, kus idee omistati Peter Geachile.
Aastal 1963a Kripke “küsib mitmesuguseid suhteid puudutavaid küsimusi” (1963a: 70). Esiteks näitab ta, et igal rahuldataval valemil on ühendatud mudel, st mudel, mis põhineb mudelistruktuuril ((G, K, R)), kus kõigi jaoks (H \ K-s), (G \ matemaatika {R *} H), kus (R *) on (R) -le vastav esivanemate suhe. Seetõttu tuleb kaaluda ainult ühendatud mudeleid. Seejärel näitab Kripke tänapäeval üldtuntud tulemusi, et aksioom 4 vastab seose (R) transitiivsusele, aksioom (B) vastab sümmeetriale ja et süsteemile T lisatud S5 iseloomulik aksioom vastab (R) on ekvivalentsusside. Tabellahenduse meetodi abil täielikkus modaalsüsteemide T, S4, S5 jaoksja B on tõestatud vastava mudeliklassi (T reflektoorsed struktuurid) suhtes. Samuti on tõestatud nende süsteemide, sealhulgas keerukama S4 juhtumi otsustatavus. (Raamide üksikasjalikumaks töötlemiseks lugege SEP-i sissekannet modaalloogika kohta.)
1965. aasta artiklis “Modaalloogika semantiline analüüs II” laiendab Kripke mudelateooriat mitte-normaalsete modaalsüsteemide, sealhulgas Lewise S2 ja S3, käsitlemiseks. Kuigi neid süsteeme peetakse mõnevõrra ebaloomulikeks, peetakse nende mudelateooriat elegantseks. Täielikkuse ja decidability tulemused osutusid vis-à-vis õige klassi struktuurid, sealhulgas täielikuks S2 ja S3 ja decidability kohta S3. Nende tulemuste saavutamiseks laiendatakse mudeliteooriat uue elemendi (N \ subseteq K) lisamisega mudelistruktuuridesse ((G, K, R, N). N) on normaalmaailmade alamhulk, st maailmad (H) sellised, et (H \ matemaatika {R} H). Normaalsete süsteemide veel üks huvitav aspekt on see, et nendega seotud mudeli teoreetilistes tulemustes mängib olulist rolli (G) (tegelik maailm), eriti S2 ja S3 mudelistruktuurides, mida tegelik maailm peab tegema. ole normaalne. Selle asemel muudab normaalsüsteemide suhtes kohaldatav vajalikkuse reegel (G) mudeli valiku teoreetiliselt ebaoluliseks.
Vaatamata Kripkeani mudelateooria suurele edule tasub rõhutada, et mitte kõik modaalloogikad pole täielikud. Mittetäielike tulemuste kohta vt Makinson 1969, süsteemist nõrgem kui S4; ja Fine 1974, S. Thomason 1974, Goldblatt 1975 ja van Benthem 1978 süsteemide S4 ja S5 vahel. Mõned modaalvalemid seavad raamidele tingimusi, mida ei saa esimese astme keeles väljendada, seega on isegi propositsiooniline modaaloogika põhimõtteliselt teisejärguline. Kuivõrd kaadri kehtivuse mõiste kahandab tõlgendusfunktsiooni, hõlmab see kaudselt ka kõrgema järgu kvantifitseerimist ettepanekute suhtes. Raami kehtivuse ja teise järgu loogika vastavuse kohta ning mudelteoreetilistest kriteeriumidest, mis eristavad esimese astme väljendatavaid modaalseid lauseid sisuliselt teise järgu lausetest, vaadake Blackburn ja van Benthemi teost „Modaalloogika: semantiline perspektiiv”. (2007a).
Aastal 1963b “Semitaalsed kaalutlused modaalloogikast” tutvustas Kripke kvantifitseeritud modaalsüsteemide mudelitele uut üldistust. Aastal 1959 määratleti mudel domeenis (D). Selle tulemusel olid kõik ühe mudeli maailmad ühesuguse kardinaalsusega. Aastal 1963b ei antud mudeleid domeenis, seega saab sama mudeli maailmadele erinevaid domeene määrata funktsiooni (Psi) abil, mis omistab domeenid (K) elementidele (H). Arvestades domeenide varieeruvust maailmade vahel, saab Kripke nüüd luua vastunäiteid nii Barcani valemi jaoks
Barcani valemit saab kasvavate domeenidega struktuurides võltsida. Näiteks mudel, millel on kaks maailma, (G) ja veel üks võimalik maailm (H), mis seda laiendab. (G) domeen on ({a }) ja (Fa) on tõene rakenduses (G). Domeeni (H) domeeniks on komplekt ({a, b }) ja (Fa), kuid mitte (Fb), kehtib tões, kui (H). Selles mudelis on ((forall x) Box Fx), kuid mitte (Box (forall x) Fx) on tõsi dokumendis (G). Barcani valemi vastupidise ümberlükkamiseks vajame kahanevate domeenidega mudeleid. Näiteks mudel, millel on kaks maailma (G) ja (H), kus domeeni (G) domeen on ({a, b }) ja domeeni (H) on ({a }), kusjuures (Fa) ja (Fb) on tõesed ((G, Fa) tõesed ((H)), kuid (Fb) on valed (H). Selle mudeli järgi tuleb valemiga (Fb) määrata tõe väärtus maailmas (H), kus indiviidi (b) ei eksisteeri (pole domeeni (H)). Kripke juhib tähelepanu, et teoreetilise mudeli seisukohast on see lihtsalt tehniline valik.
Kripke rekonstrueerib kvantifitseeritud T-ga vastupidise Barcani valemi tõestuse ja näitab, et tõend läheb läbi ainult siis, kui lubatakse vajada vaba muutujat sisaldavat lauset. Kuid kui vabu muutujaid peetakse selle asemel üldiselt seotuteks, on see samm ebaseaduslik. Avatud valemi otsene asendamine ilma seda kõigepealt sulgemata tähendab eeldamist, mida tuleb tõestada. Enne 1956. aastat on tõestatud Barcani valem
Kripke Priori tõendusmaterjali üksikasju ei aruta. Privaatsõit Barcani valemi kohta võtab vastu Łukasiewiczi eksistentsiaalse kvantandi kehtestamise reeglid. Nendest reeglitest teine ütleb, et kui (mvdash A \ parempoolne nool B), siis (mvdash A \ parempoolne nool (eksisteerib x) B). Eelmine kasutab reegli tuletamiseks
Pärast seda näib see olevat "ebaseaduslik" samm tõendis
) Diamond Fx \ paremnool (eksisteerib x) Diamond Fx)
ei kehti mudelis, millel on kaks maailma (G) ja (H), kus (G) domeen on ({a }) ja (H) domeen on ({a, b }) ja kus (Fa) on valesti nii (G) kui ka ((H)), kuid (Fb) on tõene dokumendis (H). Selles mudelis on (Diamond Fx) tõene, kuid ((eksisteerib x) Diamond Fx) on (G) vale. Selles vastupidises mudelis muudab (Diamond Fx) tõesteks rakenduses (G) inimese (b), kes ei kuulu domeeni (G). Üldiselt ei säilitata reegli, et kui (mvdash A \ parempoolne nool B), siis (mvdash A \ parempoolne nool (eksisteerib x) B) kehtivust, kui lubame, et (Fx) inimese poolt maailmas, mida seal pole olemas. Me järeldame, et reegel tuleb tagasi lükata, et säilitada S5 usaldusväärsus selle mudeli teoreetilise eelduse suhtes.
Bibliograafia
Pange tähele, et sissejuhatavate tekstide, esmase ja teisese kirjanduse eristamine bibliograafias on osaliselt kunstlik.
Sissejuhatavad tekstid
Blackburn, Patrick, Maarten de Rijke ja Yde Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9781107050884
Chellas, Brian F., 1980, Modal Logic: an Introduction, Cambridge: Cambridge University Press.
Fitting, M. ja Richard L. Mendelsohn, 1998, Esimese järgu modaaloogika, Dordrecht: Kluveri akadeemiline kirjastaja.
Garson, James W., 2013, Modaalloogika filosoofidele, Cambridge: Cambridge University Press.
Hughes, GE ja MJ Cresswell, 1968, Sissejuhatus modaalsesse loogikasse, London: Methuen.
–––, 1984, Modal Logic kaaslane, London: Methuen.
–––, 1996, Uus sissejuhatus modaalsesse loogikasse, London: Routledge.
Anderson, Alan Ross, 1957, “Sõltumatu aksiomi skeem Von Wrighti M jaoks”, Journal of Symbolic Logic, 22 (3): 241–244. doi: 10.2307 / 2963591
Barcan (Marcus), Ruth C., 1946a, “Esimese järgu funktsionaalne kalkulatsioon, mis põhineb rangel implikatsioonil”, Journal of Symbolic Logic, 11 (1): 1–16. doi: 10.2307 / 2269159
–––, 1946b, „Dedutsiooniteoreem esimese järgu funktsionaalsest kalkulatsioonist, mis põhineb rangetel implikatsioonidel”, Journal of Symbolic Logic, 11 (4): 115–118. doi: 10.2307 / 2268309
–––, 1947, „Üksikisikute identiteet teise järgu ranges funktsionaalses kalkulatsioonis“, ajakiri Symbolic Logic, 12 (1): 12–15. doi: 10.2307 / 2267171
Bayart, Arnould, 1958, “Parandus Logique'i modaalsest premjerist ja teisest korrast S5”, Logique et Analyze, 1: 28–45.
––– 1959, „Kvaasi-adéquation de la Logique Modal du Ordre S5 and Adéquation de la Logique Modal du Premier Ordre S5“, Logique et Analyze, 2: 99–121.
Becker, Oskar, 1930, “Zur Logik der Modalitäten”, Jahrbuch für Philosophie und Phänomenologische Forschung, 11: 497–548.
Bennett, Jonathan, 1954, “Tähendus ja tähendus”, Mind, 63 (252): 451–463.
Bernays, Paul, 1926, “Axiomatische Untersuchung des Aussagenkalküls der Principia Mathematica”, Mathematische Zeitschrift, 25: 305–320.
–––, 1948, „Ülevaade Rudolf Carnapi teosest“Moodused ja kvantifitseerimine”(1946)”, Journal of Symbolic Logic, 13 (4): 218–219. doi: 10.2307 / 2267149
–––, 1950, “Ülevaade Rudolf Carnapi tähendusest ja vajalikkusest”, Journal of Symbolic Logic, 14 (4): 237–241. doi: 10.2307 / 2269233
Bull, RA, 1964, “Märkus moodulkalkulite S4.2 ja S4.3 kohta”, Zeitschrift für Mathematische Logik ja Grundlagen der Mathematik, 10 (4): 53–55. doi: 10.1002 / malq.19640100403
––– 1966, “Kui S4.3-l on kõigil tavalistel laienditel täielik mudelomadus”, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 12: 341–344. doi: 10.1002 / malq.19660120129
–––, 1968, “Lineaarse ajaga pingelise loogika algebraline uurimus”, ajakiri Symbolic Logic, 33 (1): 27–38. doi: 10.2307 / 2270049
Carnap, Rudolf, 1946, “Moodused ja kvantifitseerimine”, Journal of Symbolic Logic, 11 (2): 33–64. doi: 10.2307 / 2268610
--- 1947, tähendus ja vajalikkus, Chicago: University of Chicago Press, 2 nd väljaanne toidulisandeid, 1956.
Dugundji, James, 1940, “Märkus maatriksite omaduste kohta Lewise ja Langfordi emissioonikivi jaoks”, Journal of Symbolic Logic, 5 (4): 150–151. doi: 10.2307 / 2268175
Dummett, MAE ja EJ Lemmon, 1959, “Modaalloogika S4 ja S5 vahel”, Zeitschrift für Mathematische Logik ja Grundlagen der Mathematik, 5 (5): 250–264. doi: 10.1002 / malq.19590051405
Feys, Robert, 1937, “Les Logiques Nouvelles des Modalités”, Revue Néoscolastique de Philosophie, 40 (56): 517–553.
–––, 1963, “Carnap on Modalities”, Schlipp 1963: 283–297.
–––, 1965, Modaalne loogika, kogumikus Logi Logi Mathématique (4. köide), J. Dopp (toim), Louvain: E. Nauwelaerts.
Fine, Kit, 1974, “Mittetäielik loogika, mis sisaldab S4”, Theoria, 40 (1): 23–29. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1974.tb00076.x
Gödel, K., 1933, “Eine Interpretation des Intuitionistischen Aussagenkalküls”, Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums, 4: lk 39–40. Ingliskeelne tõlge “Intuitionistic Propositional Calculus Interpretation of intuitionistic Propositional Calculus” koos sissejuhatava märkusega, mille autor on AS Troelstra, Kurt Gödel. Kogutud teosed, kd. 1: publikatsioonid 1929–1936, S. Feferman, JW Dawson, SC Kleene, GH Moore, RM Solovay ja J. van Heijenoort (toim), Oxford: Oxford University Press, 1986, lk 296–303.
Goldblatt, RI, 1975, “Esimese astme määratlus modaalloogikas”, Journal of Symbolic Logic, 40 (1): 35–40. doi: 10.2307 / 2272267
Halldén, Sören, 1948, “Märkus range implikatsiooni paradokside ja Lewise süsteemi S1 kohta”, Journal of Symbolic Logic, 13 (1): 138–139. doi: 10.2307 / 2267814
–––, 1950, „Lewise kaltsiumi S3 ja S6 otsustusprobleemide tulemused“, Journal of Symbolic Logic, 14 (4): 230–236. doi: 10.2307 / 2269232
–––, 1969, Modaalsuste mudelid, Dordrecht: D. Reidel.
Jónsson, Bjarni ja Alfred Tarski, 1951, “Boolei algebrad operaatoritega. I osa”, American Journal of Mathematics, 73 (4): 891–939. doi: 10.2307 / 2372123
–––, 1952, “Boolei algebrad operaatoritega. II osa”, American Journal of Mathematics, 74 (1): 127–162. doi: 10.2307 / 2372074
Kanger, Stig, 1957, Provability in Logic, (Acta Universitatis Stockholmiensis, Stockholmi õpingud filosoofias, 1. köide), Stockholm: Almqvist ja Wiksell.
Kripke, Saul A., 1959a, “Moodusloogika täielikkuse teoreem”, ajakiri Symbolic Logic, 24 (1): 1–14. doi: 10.2307 / 2964568
–––, 1959b, „Modaalloogika semantiline analüüs” (sümbolilise loogika assotsiatsiooni kahekümne neljanda aastakoosoleku kokkuvõte), ajakiri Symbolic Logic, 24 (4): 323–324. doi: 10.1017 / S0022481200123321
–––, 1962, „Monaadilise mooduli kvantitatiivse teooria otsustamatus“, Zeitschrift für Mathematische Logik ja Grundlagen der Mathematik, 8 (2): 113–116. doi: 10.1002 / malq.19620080204
–––, 1963a, „Modaalloogika semantiline analüüs I. Modaalloogika normaalsed kalkulatsioonid“, Zeitschrift für Mathematische Logik ja Grundlagen der Mathematik, 9 (5–6): 67–96. doi: 10.1002 / malq.19630090502
–––, 1965, “Modaalloogika semantiline analüüs II. Ebatavaline modaalpropositsiooniline kalkulatsioon”, mudelite teooria sümpoosionis, JW Addison, L. Henkin ja A. Tarski (toim), Amsterdam: Põhja-Holland, lk 206–220.
–––, 1967a, “Ülevaade EJ Lemmonist“Algebraline semantika I modaalloogika jaoks”(1966a)”, Mathematical Reviews, 34: 1021–1022.
–––, 1918, sümboolse loogika ülevaade, Berkeley: California University Press.
––– 1920, “Range implication-an enmendition”, ajakiri Filosoofia, psühholoogia ja teaduslikud meetodid, 17 (11): 300–302. doi: 10.2307 / 2940598
Lewis, CI ja CH Langford, 1932, Symbolic Logic, London: Century. 2 nd väljaanne 1959 New York: Dover.
Łukasiewicz, jaanuar 1920, “O Logice Trójwartościowej”, Ruch Filozoficzny, 5: 170–171.
–––, 1930, “Philosophische Bemerkungen zu Mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls”, Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et Lettres de Varsovie, 23: 51–77. Tõlgitud ja kordustrükitud Łukasiewicz 1970: 153–178.
––– 1970, valitud teosed, L. Borkowski (toim), Amsterdam: Põhja-Holland.
Łukasiewicz, Jan ja Alfred Tarski, 1931, „Uuringud sententaalsesse arvutusse”, Alfred Tarski, 1956, loogika, semantika, metamaatika, Oxford: Clarendon Press, lk 38–59.
–––, 1906, Sümboolne loogika ja selle rakendused, London: Longmans, Green ja Co.
Makinson, David C., 1966a, “Kui tähenduslikud on ümbersuunamisoperaatorid?”, Australasian Journal of Philosophy, 44 (3): 331–337. doi: 10.1080 / 00048406612341161
–––, 1966b, “Mõningatest terviklikkuse teoreemidest modaalloogikas”, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 12: 379–384. doi: 10.1002 / malq.19660120131
–––, 1969, “Tavaline modaalkalkulatsioon T ja S4 vahel ilma lõpliku mudeli omaduseta”, Journal of Symbolic Logic, 34 (1): 35–38. doi: 10.2307 / 2270978
McKinsey, JCC, 1934, “CI Lewise range rakendussüsteemi postulaatide arvu vähendamine”, Ameerika Matemaatika Seltsi bülletään (uus seeria), 40 (6): 425–427. doi: 10.1090 / S0002-9904-1934-05881-6
–––, 1941, „Lewis-süsteemide S2 ja S4 otsustusprobleemi lahendus koos topoloogiaga”, Journal of Symbolic Logic, 6 (4): 117–134. doi: 10.2307 / 2267105
–––, 1947b, „Rut C. Barcani (1946b) rangel rakendamisel põhineva esimese järgu funktsionaalse kalkulatsiooni esimese astme funktsionaalse kalkulatsiooni ülevaade“, ajakiri Symbolic Logic, 12 (3): 95–96. doi: 10.2307 / 2267230
––– 1970, loogikafilosoofia, Cambridge, MA: Harvard University Press.
Russell, Bertrand, 1906, “Hugh MacColli sümboliloogika ja selle rakenduste ülevaade (1906)”, Mind, 15 (58): 255–260. doi: 10.1093 / mind / XV.58.255
Schlipp, Paul Arthur (toim), 1963, Rudolf Carnapi filosoofia (Elavate filosoofide raamatukogu: 11. köide), La Salle: avatud kohus.
Scroggs, Schiller Joe, 1951, “Lewise süsteemi S5 laiendused”, ajakiri Symbolic Logic, 16 (2): 112–120. doi: 10.2307 / 2266683
–––, 1984, “Võimalikud maailmade semantika: teadusprogramm, mis ei suuda läbi kukkuda?”, Studia Logica, 43: 379–393.
von Wright, GH, 1951, Essee modaalses loogikas (uurimused loogikast ja matemaatika alused: V köide), LEJ Brouwer, EW Beth ja A. Heyting (toim), Amsterdam: Põhja-Holland.
Whitehead, Alfred North ja Bertrand Russell, 1910, Principia Mathematica (I köide), Cambridge: Cambridge University Press.
Teisene kirjandus
Ballarin, Roberta, 2005, “Kehtivus ja vajalikkus”, Journal of Philosophical Logic, 34 (3): 275–303. doi: 10.1007 / s10992-004-7800-2
Belnap, Nuel D., Jr, 1981, “Modal and Relevance Logics: 1977”, in Modern Logic: A Survey, Evandro Agazzi (toim), Dordrecht: D. Reidel, lk 131–151. doi: 10.1007 / 978-94-009-9056-2_8
Blackburn, Patrick ja Johan van Benthem, 2007a, “Modaalne loogika: semantiline perspektiiv”, Blackburn, van Benthem ja Wolter 2007b: 1. peatükk.
Blackburn, Patrick, Johan van Benthem ja Frank Wolter, (toim), 2007b, Modaalloogika käsiraamat (loogika ja praktiliste põhjenduste uurimine: 3. köide), Amsterdam: Elsevier.
Bull, Robert ja Krister Segerberg, 1984, “Põhiline modaaloogika”, klassikalise loogika laiendites (Filosoofilise loogika käsiraamat: 2. köide), DM Gabbay ja F. Guenthner (toim), Dordrecht: Kluwer, lk 1–88. doi: 10.1007 / 978-94-009-6259-0_1
Burgess, John P., 2009, Philosophical Logic, Princeton: Princeton University Press.
Goldblatt, Robert, 2003, “Matemaatiline modaaloogika: vaade selle evolutsioonile”, loogikas ja modaalsustes kahekümnendal sajandil (loogikaajaloo käsiraamat: 7. köide), DM Gabbay ja J. Woods (toim), Amsterdam: Elsevier, lk 1–98. [2003, Journal of Applied Logic, 1 (5–6): 309–392. doi: 10.1016 / S1570-8683 (03) 00008-9]
Kaplan, David, 1966, „Saul A. Kripke ülevaade, modaaloogika semantiline analüüs I. Modaalloogika normaalsed arvutused (1963a)”, Journal of Symbolic logic, 31 (1): 120–122. doi: 10.2307 / 2270649
––– 1986, “Läbipaistmatus”, Lewis Edwin Hahn ja Paul Arthur Schlipp (toim), WV Quine filosoofia (Elavate filosoofide raamatukogu, 18. köide), La Salle: Open Court, lk 229–289.
Lindström, Sten, 1996, “Modaalsus ilma maailmadeta: Kangeri varasem semantika modaalloogikale", koefitsiendid ja lõpp. Filosoofilised esseed, mis on pühendatud Wlodek Rabinowiczile tema viiekümnenda sünnipäeva puhul, S. Lindström, R. Sliwinski ja J. Österberg (toim), Uppsala, Rootsi, lk 266–284.
––– 1998, „Kangeri varase semantika ekspositsioon ja areng modaalloogika jaoks” uues viiteteoorias: Kripke, Marcus ja selle päritolu, PW Humphreys ja JH Fetzer (toim), Dordrecht: Kluwer, lk 203–233.
–––, 2001, “Quine'i tõlgendusprobleem ja võimalike maailmade semantika varane areng”, Uppsala filosoofilised uurimused, 50: 187–213.
Lindström, Sten ja Krister Segerberg, 2007, “Modaalloogika ja filosoofia”, Blackburn, van Benthem ja Wolter 2007b: 1. peatükk.
Linsky, Leonard (toim.), 1971, Reference and Modality, Oxford: Oxford University Press.
Zakharyaschev, Michael, Krister Segerberg, Maarten de Rijke ja Heinrich Wansing, 2001, “Moodsa modaalloogika alged”, ettekandes Modal Logic 2, M. Zakharyaschev, K. Segerberg, M. de Rijke ja H. Wansing (toim), Stanford: CSLI Publications, lk 11–38.
Akadeemilised tööriistad
sep mehe ikoon
Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon
Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon
Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon
Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.
Muud Interneti-ressursid
Põhilised kontseptsioonid modaalloogikas, autor Edward N. Zalta (kursuse märkused)
Modaalloogika käsiraamat, autorid Blackburn, van Benthem ja Wolter
