Esimese Järgu Loogika Teke

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-11-26 16:07

Sisenemise navigeerimine

• Sissesõidu sisu
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Sõprade PDF-i eelvaade
• Teave autori ja tsitaadi kohta
• Tagasi üles

Esimese järgu loogika teke

Esmakordselt avaldatud laupäeval, 17. novembril 2018

Kõigi moodsa loogikaga koolitatud inimeste jaoks võib esimese astme loogika tunduda täiesti loomulik uurimisobjekt ja selle avastamine paratamatu. See on semantiliselt täielik; see on piisav kõigi tavaliste matemaatika aksiomatizationi jaoks; ja Lindströmi teoreem näitab, et see on kompaktsuse ja Löwenheim-Skolemi omadusi rahuldav maksimaalne loogika. Seega pole üllatav, et esmajärgulist loogikat on juba pikka aega peetud matemaatika aluste uurimisel „õigeks” loogikaks. See võtab kaasaegse matemaatilise loogika õpikute keskpunkti, teiste süsteemidega on kõrvale jäetud. Ajalugu on aga kõike muud kui sirgjooneline ja see pole kindlasti ühe uurija äkilise avastuse küsimus. Tekkimine on seotud tehniliste avastustega, millel on erinevad arusaamad loogikast,erinevate matemaatiliste uuringute programmidega ning filosoofilise ja kontseptuaalse refleksiooniga. Nii et kui esimese astme loogika on “loomulik”, on see loomulik ainult tagantjärele vaadates. Lugu on keeruline ja punktides vaidlustatud; järgmine kirje võib anda ainult ülevaate. Arengu eri aspektide arutelusid pakuvad Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, märkused Hilbertile [LFL] ja entsüklopeediline käsiraamat Gabbay & Woods 2009. Arengu eri aspektide arutelusid pakuvad Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, märkused Hilbertile [LFL] ja entsüklopeediline käsiraamat Gabbay & Woods 2009. Arengu eri aspektide arutelusid pakuvad Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, märkused Hilbertile [LFL] ja entsüklopeediline käsiraamat Gabbay & Woods 2009.

• 1. George Boole
• 2. Charles S. Peirce
• 3. Gottlob Frege
• 4. Ernst Schröder
• 5. Giuseppe Peano
• 6. Alfred North Whitehead ja Bertrand Russell
• 7. Leopold Löwenheim
• 8. David Hilbert ja Paul Bernays
• 9. Thoralf Skolem
• 10. Kurt Gödel
• 11. Järeldused
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. George Boole

Kaasaegne loogikaõpe on tavaliselt dateeritud 1847. aastasse, ilmub Boole loogika matemaatiline analüüs. See töö tegi kindlaks, et Aristotelese siloloogilist loogikat saab tõlkida algebraliseks arvutamiseks, mille sümboleid Boole tõlgendas nii, et need viitavad kas klassidele või väidetele. Tema süsteem hõlmab seda, mida tänapäeval nimetatakse senentsiaalseks (ehk Boolean) loogikaks, kuid see on võimeline väljendama ka algelisi kvantifitseerimisi. Näiteks väidet "Kõik X on Ys" esindab tema süsteem võrrandis (xy = x), kusjuures korrutamist peetakse kas komplektide ristumiskohaks või loogiliseks ühenduseks. “Mõni X on Y” on keerulisem ja selle väljendus kunstlikum. Boole tutvustab (vaikivalt: mitte-tühja) komplekti V, mis sisaldab elemente, mis on ühised X-i ja Y-ga;siis kirjutatakse pakkumine (xy = V) (1847: 21). Boole süsteemi saab tänapäevases mõttes vaadelda kui monaadilise esimese järgu loogika fragmenti. See on esmajärjekordne, kuna selle tinglikud ressursid ei suuda väljendada kvantifitseerimist, mis ulatub üle predikaatide. See on monaadiline, kuna sellel pole märkmeid n -ariliste suhete jaoks. Ja see on fragment, kuna see ei suuda väljendada pesastatud kvantifikatsioone (“iga tüdruku kohta on olemas poiss, kes teda armastab”). Kuid need on meie kategooriad: mitte Boole kategooriad. Tema loogilisel süsteemil pole kvantifikaatoritele vastavaid sümboleid; nii et isegi selle nimetamine piiratud kvantitatiivse loogika süsteemiks on anakronistlik. See on monaadiline, kuna sellel pole märkmeid n -ariliste suhete jaoks. Ja see on fragment, kuna see ei suuda väljendada pesastatud kvantifikatsioone (“iga tüdruku kohta on olemas poiss, kes teda armastab”). Kuid need on meie kategooriad: mitte Boole kategooriad. Tema loogilisel süsteemil pole kvantifikaatoritele vastavaid sümboleid; nii et isegi selle nimetamine piiratud kvantitatiivse loogika süsteemiks on anakronistlik. See on monaadiline, kuna sellel pole märkmeid n -ariliste suhete jaoks. Ja see on fragment, kuna see ei suuda väljendada pesastatud kvantifikatsioone (“iga tüdruku kohta on olemas poiss, kes teda armastab”). Kuid need on meie kategooriad: mitte Boole kategooriad. Tema loogilisel süsteemil pole kvantifikaatoritele vastavaid sümboleid; nii et isegi selle nimetamine piiratud kvantitatiivse loogika süsteemiks on anakronistlik.

Kaks Boole süsteemi peamist täiendust, mis tekitasid äratuntavalt tänapäevase loogika, olid: (a) lisaks ühe paigutusega predikaatidele (“x on surelik”) ka mitme asetusega suhete tutvustamine (“x on y vend”; „X jääb y ja z vahele”); ja (b) universaalse ja eksistentsiaalse kvantifitseerimise märkuse juurutamine.

Kaks Loogika traditsiooni järgi töötavat loogikut viisid need toimingud läbi. Esimese sammu viis osaliselt läbi Augustus De Morgan (De Morganis 1864). Teise viis läbi CS Peirce (Peirce'is 1885). Töötades täiesti iseseisvalt, viis Gottlob Frege oma 1879. aasta Begriffsschriftis mõlemad sammud läbi. Järgnev mitme aastakümne pikkune ajalugu on hargnev struktuur, kus arvukad teadlased töötavad erinevates traditsioonides ja on üksteise saavutustest teadlikud vaid osaliselt.

2. Charles S. Peirce

Peirce töötas Boole algebralise traditsiooni järgi. Tema esimesed loogikapaberid ilmusid 1867. aastal; nad lihtsustavad Boole süsteemi, tõlgendavad uuesti liitmist või loogilist liitmist (A + B) nii, et see rakendub ka siis, kui A ja B pole lahutatud, parandavad mitu viga ja uurivad seoseid loogika, aritmeetika ja algebra vahel.

Kolm aastat hiljem esitas Peirce oma "Sugulaste loogika märkimise kirjelduses" (1870) Boole süsteemi olulise laienemise. De Morgan oli märkinud (De Morgan 1864), et aristotelliks kasutatav sümbolistika ei olnud võimeline käsitlema selliseid järeldusi nagu: “Kui iga mees on loom, siis on inimese iga pea looma pea”. De Morgan oli kehtestanud suhete loogika, määratlenud suhte vastupidise ja vastupidise ning selliste suhete jaoks, nagu “X on Y armuke” ja “Z on W sulane”, uurinud selliseid suhete koostisi nagu “X on y teenija väljavalitu”. See töö laiendas edukalt aristotelese siloogilist loogikat, kuid oli ka mitmel viisil piiratud. Esiteks tegutses De Morgan ainult binaarsete suhetega. Teiseks oli tema märkus kohmakas. (Näiteks:kui (X / pdot / pdot LY) tähistab, et X on Y väljavalitu, siis (X / pdot LY) tähendab, et X ei ole Y väljavalitu. De Morganil pole eraldi eitusmärki eitus- ega Boole-tüüpi liitühenduste jaoks.)

Peirce märkas neid puudusi ja näitas 1870. aastal, kuidas laiendada Boole loogikat, et see hõlmaks

kogu formaalse loogika valdkond, selle asemel, et piirduda subjekti selle kõige lihtsama ja vähem kasuliku osaga, oli absoluutterminite loogika, mis [Boole] kirjutades oli ainus teadaolev formaalne loogika.

Ta uuris omavahel ja klassitingimustega suhete koostist ja töötas välja abstraktse algebralise süsteemi peamised seadused, näidates lõpuks, et tema isa (Benjamin Peirce, Harvardi matemaatik) uuritud lineaarsed assotsiatiivsed algebrad võivad kõik olla defineeritud selle järgi, mida ta nimetas “elementaarseteks sugulasteks”. Tema 1870. aasta süsteem, ehkki suur edasiminek nii Boole kui ka De Morgani suhtes, on siiski tinglikult kohmakas ja tagantjärele mõeldes on selge, et see vajas kvantifitseerimise teooriat. Kuid see oli esimene edukas katse laiendada Boole süsteemi suhete loogikasse.

Aastal 1880 kirjeldas Peirce sententaalse kivi valemite konjunktiivseks ja disjunktiivseks normaalvormiks redutseerimise protseduuri ning näitas ka avaldamata töös, et sentensiivse kulduse võib saada liigese eituse ühest ühendusest (“ei p ega q”). Tema 1881. aasta raamatus “Arvu loogikal” uuriti aritmeetika aluseid ja analüüsiti naturaalarvude eraldiseisvaid, lineaarselt järjestatud kogumeid, millel puudub maksimaalne element. Ta andis mitteametlikud rekursiivsed liitmise ja korrutamise definitsioonid ning tõestas, et mõlemad toimingud olid assotsiatiivsed ja kommutatiivsed.

Kahes tähelepanuväärses artiklis, lühikeses märkuses 1883 ja pikemas, 1885. aasta loogika algebras, tutvustas ta tänapäevast märget selle kohta, mida ta esimesena nimetas “kvantiksiks”. Ta pidas oma kvantifikaatoreid (mille jaoks ta kasutas sümboleid (Pi) ja (Sigma)) Boole ühenduste üldistusena, kusjuures universaalset kvantifikaatorit ((Pi)) tõlgendati kui (võib-olla lõpmatut)) konjunktsiooni, nii et (Pi_x P (x)) mõistetakse kui „a on P ja b on P ja c on P ja…”. Sarnaselt mõistetakse eksistentsiaalset kvantifikaatorit (Sigma) (võimalik, et lõpmatu) summana: “a on P või b on P või c on P või…”. See paindlik (Pi) ja (Sigma) märge võimaldas tal hõlpsasti väljendada pesastatud kvantifikatsioone mis tahes soovitud sügavusele. Seega, kui (l_ {ij}) tähistab tema märkuses „i on j väljavalitu”,(Sigma_i / Sigma_j) (l_ {ij}) ütleb meile, et keegi armastab kedagi, samas kui (Pi_i / Sigma_j) (l_ {ij}) ütleb meile, et kõik armastavad kedagi. (Märge (Sigma) ja (Pi) on muidugi Loogilises vaimus mõeldud rõhutama analoogiat aritmeetiliste summade ja korrutistega.)

„Loogika algebras” on tähelepanuväärne ka muudel põhjustel. See algab olulise lõiguga (§2) väidetest, mis sisaldab kahe tõeväärtuse esimest selgesõnalist kasutamist. Peirce kirjeldab seejärel arvutusmeetodi otsustamismenetlust:

[T] o uurige, kas valem on tingimata õige, asendades tähti (mathbf {f}) ja (mathbf {v}), ja uurige, kas sellise väärtuse määramise korral võib seda valeks pidada. (1885: 191)

Ta kaitseb materiaalset implikatsiooni ja näitab, kuidas määratleda eitus implikatsiooni mõttes ja spetsiaalne absurdi sümbol. Järgmises osas (§3) käsitleb ta seda, mida ta koolimeeste järgi nimetab “suhete esimeseks tahtlikuks loogikaks”. Just siin mündib ta mõistet “kvantifikaator”; kvantifitseeritud valemi pakkumismaatriks, mida ta nimetab selle „booliks”. Selles jaotises on kvantifitseerijad ainult universumi üksikisikute vahel; seega on „esimese tahtliku loogika” esmatasand. Ka siin arutas ta esimesena kvantifitseeritud valemi prenexi normaalvormiks muutmise reegleid. Järgmine jaotis (§4) kannab pealkirja “teine tahtlik loogika”. Paragrahvi 3 esimene tahtlik loogika on selgelt piiritletud. Siin lubatakse kvantifikaatoritel ulatuda predikaatide hulka;ja ta kasutab oma uut märget identiteedi tänapäevase teise järgu määratluse määratlemiseks: kaks objekti on identsed igaks juhuks, kui nad vastavad samadele predikaatidele.

Peirce'i paber oli mitmes mõttes oma ajast ees. Tema teravat vahet pakkuva, esimese ja teise tahtliku loogilise süsteemi vahel ei tohtinud selgitada kuni Hilbert oma loengutes 1917/18. Peirce oli ka kvantifikaatorite kui (võib-olla lõpmatute) summade ja toodete vaatlemisel enneaegne - märge, mida Löwenheim pidi arvestama Löwenheim-Skolemi teoreemi avastamise võimaldamisega ja millel pidi olema oluline roll Hilberti tõendi sõnastamisel. -teoreetiline programm 1920ndatel. (Peirce'i loogilised ideed olid Mandri-Euroopas hästi tuntud, neid võttis Ernst Schröder ja need olid laialt levinud Algebra der Logiku (1890–95) kolmes köites.)

Kuni Hilberti loenguteni 1917. aastal tegi Peirce neid erinevaid erinevusi - eriti esimese ja teise järgu loogika eristamist - suurema selgusega kui ükski loogik. Ja erinevalt Hilbertist oli Peirce keskaegsete loogikute kirjutistes levinud.. Ta hindas täielikult universaalide tegelikkust puudutavate argumentide filosoofilist tähtsust: see on selgelt põhjus, miks ta eristas nii järsult § 2 loogika ja § 3 loogikat. Seega oli tal võimalus esitada (või vähemalt kaaluda) nominaalse argumendi esitamine esimese astme loogika nimel ja teise astme loogika vastu. Kuid peale mõne juhusliku märkuse ei arendanud ta ise oma vaatlusi teise tahtliku loogika kohta edasi,ja tundub tõenäoline, et tänapäevane eristamine esimese ja kõrgema järgu loogikast oli hilbert 1917/18 iseseisvalt taasavastatud avastus, mitte Peirce'i inspireeritud.

3. Gottlob Frege

Frege loogiline panus kasvas välja teisest pinnast ja tehti (niivõrd kui seda on võimalik kindlaks teha) täiesti sõltumatult Boole, De Morgani ja Peirce'i angloameerika algebralistest traditsioonidest. Selle asemel on nende juured töös selliste saksa matemaatikute nagu Dirichlet, Riemann, Weierstrass ja Heine tegeliku analüüsi alustel. Sellest traditsioonist lähtus Frege esiteks ideest luua matemaatikale range alus (projekt, mis tema käest sai projekti näitamiseks, et aritmeetika võib olla loogikaseaduste aluseks); ja teiseks, kesksed matemaatilised funktsiooni ja muutuja mõisted, mida ta kasutas predikaadi ja subjekti aristoteeli mõistete asemel. See viimane samm viis ta loomulikult suhete loogikani (kuna matemaatikas käsitletavad funktsioonid olid mitme variandiga);ja matemaatiliste järelduste analüüs viis ta ka kvantitatiivse loogika märkimise kasutuselevõtuks. (Matemaatikud, nagu Weierstrass, olid piirikontseptsiooni analüüsimisel tundlikud juba kvantifikaatorite "pesades" ja nende järjestamise olulisuses: näiteks erinevuse vahel öeldes "iga (varepsilon ") on olemas (delta)”ja“on olemas ka selline (delta), et iga (varepsilon).”Nüüd nõuti ja seda, mida Frege esitas, oli ametlik keel väljendamiseks ja teha selgeks kvantitatiivsed järeldused, mis Saksa analüütikute töös juba olemas olid.) Nii astus Frege 1879. aasta Begriffsschriftis ühe sammuga kaks algset traditsiooni loogilisest suhtest ja kvantitatiividest kaugemale ulatuvat suurt sammu - algebralise traditsiooni. eraldi ja aastakümnete kaupa.

Frege loogilisel süsteemil oli Peirce'iga võrreldes mitmeid eeliseid. Tema puhtalt süntaktilise arvutuse aksiomaatiline esitusviis oli märkimisväärselt täpsem ja arvumõiste analüüs läks sügavamale. Tema süsteem võimaldas kvantifitseerida nii muutujaid kui ka funktsioone. See oli tema aritmeetika loogilise aluse loomise keskne komponent, kuna tema loogilises süsteemis määratleti identiteet, kardinalarv ja matemaatiline induktsioon kõrgema järgu kvantifikatsioonide abil. Oma Grundlagenis (1884) eristab ta erineva järgu mõisteid, nii et kui mõiste A kuulub mõiste B alla, siis B on teise astme mõiste (§53). Oma Grundgesetze (1893) tehnilisemas käsitluses kaalus ta kolmanda järgu kvantifitseerimist, ehkki tema tegelik aritmeetika tuletamine kulges täielikult teise astme loogika piires.

Frege oli seega üks esimesi loogikuid, kes mõistis loogiliste tasandite hierarhia olulisust. Tema avastus oli praktiliselt samaaegne Peirce'iga ja jõudis erinevate eesmärkide saavutamiseni täiesti iseseisvalt. Frege avastusel pidi olema suurem mõju. See oli aluseks Russelli tüüpi teooriale (ja mõjutas aastakümneid hiljem ka Frenapi loogikat õppinud Carnapit).

Kuid kuigi Frege eristas loogilisi tasandeid, ei eraldanud ta eraldiseisva loogikasüsteemina seda kvantitatiivse süsteemi osa, mis ulatub ainult esimese astme muutujatest: ega oleks olnud loomulik, kui ta seda oleks teinud. Selles suhtes on Peirce'iga oluline kontrast. Frege projekti eesmärk oli näidata, et aritmeetika võib olla loogika seaduste aluseks: tema jaoks oli ainult üks loogika ja loogika sisaldas tingimata kõrgema järgu mõistete loogikat. Seevastu Peirce lükkas ümber ühe tervikliku loogika idee, mõeldes selle asemel loogikale, mis varieerub vastavalt „diskursuse universumile”. Suuresti sel põhjusel jõudis ta oma 1885. aasta artiklis lähemale isendite arvutamise, „esimese kavatsuse loogika” ja „teise kavatsuse loogika” eraldiseisvate süsteemidena,igaüks omaette uurimist väärt: selles osas oli ta lähedasem kaasaegsetele kontseptsioonidele kui Frege. Erinevus on veel üks ja peenem. Peirce'i (Sigma) ja (Pi) märgend kvantifikaatorite jaoks oli selgesõnaliselt ette nähtud indiviidide kohta käivate väidete (võib-olla lõpmatu) konjunktsioonide ja lahjendustena. See on ülimalt sugestiivne kontseptsioon, mida on Frege noodisüsteemis raske esindada. Löwenheim pidi seda kasutama oma varases mudelateooria töös, viies tehniliste avastusteni, mis lõppkokkuvõttes pöörasid tähelepanu esimese astme loogikale. Kuid kogu see töö seisab tulevikus aastakümneid ning Frege'ile ega Peirce'ile ei saa anda esmajärgulise ja kõrgema järgu loogika erinevuse tänapäevast mõistmist.ta oli lähemal tänapäevastele kontseptsioonidele kui Frege. Erinevus on veel üks ja peenem. Peirce'i (Sigma) ja (Pi) märgend kvantifikaatorite jaoks oli selgesõnaliselt ette nähtud indiviidide kohta käivate väidete (võib-olla lõpmatu) konjunktsioonide ja lahjendustena. See on ülimalt sugestiivne kontseptsioon, mida on Frege noodisüsteemis raske esindada. Löwenheim pidi seda kasutama oma varases mudelateooria töös, viies tehniliste avastusteni, mis lõppkokkuvõttes pöörasid tähelepanu esimese astme loogikale. Kuid kogu see töö seisab tulevikus aastakümneid ning Frege'ile ega Peirce'ile ei saa anda esmajärgulise ja kõrgema järgu loogika erinevuse tänapäevast mõistmist.ta oli lähemal tänapäevastele kontseptsioonidele kui Frege. Erinevus on veel üks ja peenem. Peirce'i (Sigma) ja (Pi) märgend kvantifikaatorite jaoks oli selgesõnaliselt ette nähtud indiviidide kohta käivate väidete (võib-olla lõpmatu) konjunktsioonide ja lahjendustena. See on ülimalt sugestiivne kontseptsioon, mida on Frege noodisüsteemis raske esindada. Löwenheim pidi seda kasutama oma varases mudelateooria töös, viies tehniliste avastusteni, mis lõppkokkuvõttes pöörasid tähelepanu esimese astme loogikale. Kuid kogu see töö seisab tulevikus aastakümneid ning Frege'ile ega Peirce'ile ei saa anda esmajärgulise ja kõrgema järgu loogika erinevuse tänapäevast mõistmist. Peirce'i (Sigma) ja (Pi) märgend kvantifikaatorite jaoks oli selgesõnaliselt ette nähtud indiviidide kohta käivate väidete (võib-olla lõpmatu) konjunktsioonide ja lahjendustena. See on ülimalt sugestiivne kontseptsioon, mida on Frege noodisüsteemis raske esindada. Löwenheim pidi seda kasutama oma varases mudelateooria töös, viies tehniliste avastusteni, mis lõppkokkuvõttes pöörasid tähelepanu esimese astme loogikale. Kuid kogu see töö seisab tulevikus aastakümneid ning Frege'ile ega Peirce'ile ei saa anda esmajärgulise ja kõrgema järgu loogika erinevuse tänapäevast mõistmist. Peirce'i (Sigma) ja (Pi) märgend kvantifikaatorite jaoks oli selgesõnaliselt ette nähtud indiviidide kohta käivate väidete (võib-olla lõpmatu) konjunktsioonide ja lahjendustena. See on väga sugestiivne kontseptsioon, mida on Frege noodisüsteemis raske esindada. Löwenheim pidi seda kasutama oma varases mudelateooria töös, viies tehniliste avastusteni, mis lõppkokkuvõttes pöörasid tähelepanu esimese astme loogikale. Kuid kogu see töö seisab tulevikus aastakümneid ning Frege'ile ega Peirce'ile ei saa anda esmajärgulise ja kõrgema järgu loogika erinevuse tänapäevast mõistmist. Löwenheim pidi seda kasutama oma varases mudelateooria töös, viies tehniliste avastusteni, mis lõppkokkuvõttes pöörasid tähelepanu esimese astme loogikale. Kuid kogu see töö seisab tulevikus aastakümneid ning Frege'ile ega Peirce'ile ei saa anda esmajärgulise ja kõrgema järgu loogika erinevuse tänapäevast mõistmist. Löwenheim pidi seda kasutama oma varases mudelateooria töös, viies tehniliste avastusteni, mis lõppkokkuvõttes pöörasid tähelepanu esimese astme loogikale. Kuid kogu see töö seisab tulevikus aastakümneid ning Frege'ile ega Peirce'ile ei saa anda esmajärgulise ja kõrgema järgu loogika erinevuse tänapäevast mõistmist.

4. Ernst Schröder

Frege kaastööd ei mõistetud ega hinnatud kohe ning sajandi lõpukümnendil domineeris loogika Ernst Schröderi teose Vorlesungen über die Algebra der Logik (1890–95) kolmes köites. Schröder esitas Boole ja Peirce'i loogilise töö entsüklopeedilise käsitluse, süstematiseerides ja laiendades nende tulemusi. Peirce'i kvantifikaatorid ilmuvad teises osas, kuid esimese ja teise järgu kvantifitseerimise vahel pole vahet võrreldava selgusega. Nagu Frege oma ülevaates (1895) osutas, ei eristanud Schröderi märge komplekti kuulumist alamhulga suhtest ja seetõttu võib olla keeruline öelda, kas ta kavatseb antud kvantifitseerimise hõlmata domeeni alamhulkadest (st olema teise järgu) või selle elementide kohal (st olema esmajärgulised). Schröder kasutab nii teise kui ka esimese astme kvantifitseerimist; ja oma kolmandas köites kasutas ta teise astme kvantifitseerimise laiendamise tehnikat esimese astme kvantifitseerimise lõpmatuks tooteks - meetodiks, mis oli Peiriani toote märke edasiarendus ja mis pidi andma lähtekoha uurimiseks Löwenheim. Kuid Schröder ei eralda oma laiemast süsteemist esimese järgu loogika alamsüsteemi ega käsitle käskude eristamist sellisena, nagu sellel oleks matemaatiliselt või filosoofiliselt oluline tähendus. Selles mõttes on ta vähem selge kui Peirce'i 1885. aasta paber. (Kasulik analüüs Schröderi loogilise töö kohta on Brady 2000.)ja oma kolmandas köites kasutas ta teise astme kvantifitseerimise laiendamise tehnikat esimese astme kvantifitseerimise lõpmatuks tooteks - meetodiks, mis oli Peiriani toote märke edasiarendus ja mis pidi andma lähtekoha uurimiseks Löwenheim. Kuid Schröder ei eralda oma laiemast süsteemist esimese järgu loogika alamsüsteemi ega käsitle käskude eristamist sellisena, nagu sellel oleks matemaatiliselt või filosoofiliselt oluline tähendus. Selles mõttes on ta vähem selge kui Peirce'i 1885. aasta paber. (Kasulik analüüs Schröderi loogilise töö kohta on Brady 2000.)ja oma kolmandas köites kasutas ta teise astme kvantifitseerimise laiendamise tehnikat esimese astme kvantifitseerimise lõpmatuks tooteks - meetodiks, mis oli Peiriani toote märke edasiarendus ja mis pidi andma lähtekoha uurimiseks Löwenheim. Kuid Schröder ei eralda oma laiemast süsteemist esimese järgu loogika alamsüsteemi ega käsitle käskude eristamist sellisena, nagu sellel oleks matemaatiliselt või filosoofiliselt oluline tähendus. Selles mõttes on ta vähem selge kui Peirce'i 1885. aasta paber. (Kasulik analüüs Schröderi loogilise töö kohta on Brady 2000.)Kuid Schröder ei eralda oma laiemast süsteemist esimese järgu loogika alamsüsteemi ega käsitle käskude eristamist sellisena, nagu sellel oleks matemaatiliselt või filosoofiliselt oluline tähendus. Selles mõttes on ta vähem selge kui Peirce'i 1885. aasta paber. (Kasulik analüüs Schröderi loogilise töö kohta on Brady 2000.)Kuid Schröder ei eralda oma laiemast süsteemist esimese järgu loogika alamsüsteemi ega käsitle käskude eristamist sellisena, nagu sellel oleks matemaatiliselt või filosoofiliselt oluline tähendus. Selles mõttes on ta vähem selge kui Peirce'i 1885. aasta paber. (Kasulik analüüs Schröderi loogilise töö kohta on Brady 2000.)

5. Giuseppe Peano

Giuseppe Peano tutvustas oma 1889. aastal Peircest ja Fregest sõltumatult märget universaalse kvantifitseerimise kohta. Kui a ja b on vabad muutujad (x, y, / ldots), siis sümboliseerib (a / mathbin { revc_ {x, y, / ldots}} b): mis iganes (x, y, / ldots), võib järeldada, et üks tuletab b. Võib kõhklemata nimetada seda universaalse kvantifikaatori märkimiseks, kuna kvantifitseerimine ei ole tähisest materiaalse tähenduse korral lahutatav: märkuse järgi on see Peirce'ist arvestatav samm tagasi. Pealegi ei erista Peano esimese astme ja teise järgu kvantifitseerimist. Tema essee mõte oli esitada aritmeetika põhimõtteid loogilises sümboolikas ja tema sõnastust matemaatilise induktsiooni põhimõttest võib meie tulede järgi näha teisest järjekorrast: kuid ainult vaikides. See oli eristus, millele (jällegi erinevalt Peirce'ist) ta näib olevat mingit tähtsust omamata. Ta lisas aga matemaatilisele loogikale hulga uusi sümboleid, mis pidid mõjutama Whiteheadi ja Russelli tööd Principia Mathematica's; ja üks sümbolitest oli eksistentsiaalse kvantifikaatori märge (eksisteerib). (Kummalisel kombel ei võtnud Peano universaalse kvantifikaatori paralleelsümbolit sisse. Näib, et põhimõtteliselt tutvustas ((x)) märget Valgehead ja Hilbert sümboli (forall).(Kummalisel kombel ei võtnud Peano universaalse kvantifikaatori paralleelsümbolit sisse. Näib, et põhimõtteliselt tutvustas ((x)) märget Valgehead ja Hilbert, kes sümboli (forall).(Kummalisel kombel ei võtnud Peano universaalse kvantifikaatori paralleelsümbolit sisse. Näib, et põhimõtteliselt tutvustas ((x)) märget Valgehead ja Hilbert, kes sümboli (forall).

6. Alfred North Whitehead ja Bertrand Russell

Russelli avastus 1901. aastal Russell Paradoxis viis ta mõne kuu jooksul Frege'ile saadetud kirjas (Frege [PMC]: 144), et pakkuda tüübiteooria esialgset versiooni. Keskne idee, mille ta võttis Frege esimese, teise ja kõrgema järgu funktsioonide teooriast. Russell esitas oma teooria versiooni matemaatika põhimõtete lisas (1903) ja seejärel küpses vormis teoses „Matemaatiline loogika tüüpide teooriale tuginedes” (1908), mis pakkus Principia Mathematica kontseptuaalseid aluseid. Russell peab universumit tasanditeks või tüüpideks jaotatuks. Esimene tüüp koosneb indiviididest; teine tüüp sisaldab esimese astme väiteid, mille kvantifikaatorid ulatuvad esimese tüübi üksikisikute suhtes; üldiselt,n + 1. tüüpi vahemike kvantifikaatorid n-nda tüübi ettepanekute suhtes. Russelli süsteem koosneb tegelikult kahest eraldiseisvast hierarhiast: üks käsitleda komplekti teooria paradokse (täpsemalt keelata, et komplektid oleksid iseenesest elemendid); teine tegelema semantiliste paradoksidega (näiteks valetaja paradoksiga). See kahesuunaline struktuur, hargnedes kahes suunas, annab tema teooriale nimetuse “tüüpide rambitud teooria”. Klassikalise analüüsi koostamiseks oli ta sunnitud rakendama redutseeritavuse aksioomi, mis näeb ette, et mis tahes taseme (n + 1) funktsioon on samaaegne madalama taseme funktsiooni predikaadiga. Süsteem oli tohutult keeruline; õigel ajal Chwisteki, Ramsey, Carnapi, Tarski ja kiriku kätes,tunnistati, et semantiliste paradoksidega seotud hierarhiat saab kärpida, jättes „tüüpide lihtsa teooria”. (Selle arengu ülevaate võib leida kirikust 1974 ja Russelli teooria üksikasjalikest uurimistest Landini 1998 ja Linsky 2011.)

Russellil ja Whiteheadil oli seega märk kahe kvantitaatori kohta, samuti eristus esimese ja kõrgema tüübi kvantitatiivide vahel. Kuid see ei ole sama, mis omab esimese astme loogika kontseptsiooni, mis on mõeldud iseseisvalt loogiliseks süsteemiks, mida tuleks uurida omaette. Sisuliselt takistasid teed kaks asja. Esiteks (erinevalt Peirce'ist) polnud nende uurimisobjekt mitte mitu loogilist süsteemi, vaid loogiline tout kohus: nad ei tunne huvi lõhe eraldamiseks eraldi uurimiseks, rääkimata väitest, et esimese järgu fragmendil on privilegeeritud õigus staatus. Vastupidi: nagu Frege puhul, oli ka Principia eesmärk näidata, et matemaatikat saab taandada loogikale,ning Whiteheadi ja Russelli jaoks hõlmas loogika ramifitseeritud tüüpi teooria täielikku aparaati (koos lõpmatuse, valiku ja redutseeritavuse aksioomidega). Teiseks, kuigi Principia esitas tüübiteooria aksiomatizeerimise (ja seega võib seda vaadelda kui deduktiivse tagajärje kontseptsiooni täpsustavat), arvasid Whitehead ja Russell oma süsteemi tõlgendatud süsteemina, tuues välja loogika tõed, mitte aga formaalse arvutuse Hilberti tunne. Hilbert pidi kasutama nende aksiomatizationi loogika erinevate süsteemide enda aksiomatizationide lähtepunktina; kuid seni, kuni loogika ja metaloogika eristamine oli sõnastatud, ei tulnud kellelgi loomulikult ette täielikkuse, järjepidevuse ja otsustatavuse metaloogilisi küsimusi,või uurida selliseid tegureid nagu deduktiivse ja semantilise täielikkuse suhe või kategoorilisuse ebaõnnestumised; ja alles siis, kui sellised arusaamad said tähelepanu keskpunkti, ilmnes esimese astme loogika olulisus.

7. Leopold Löwenheim

1915. aastal avaldas Löwenheim maamärgi “Über Möglichkeiten im Relativkalkül”. See paber, mis on kirjutatud sugulaste Peirce-Schroederi kalkulatsiooni traditsiooni järgi, kehtestas esimese olulise metaloloogilise teoreemi; teatud vaatenurkadest tähistab see mudeliteooria algust. Löwenheim pidas klassi, mida ta nimetas “avaldiste loendamiseks” (Zählausdrücke) ja mille kvantitaatorid ulatuvad ainult universumi objektide valdkonda, kuid mitte sugulaste hulka; Seejärel tõestas ta, et iga sellise loendatava avalduse korral, kui see on rahuldatav, on see mõnes tajutavas domeenis rahuldav. Kaasaegses terminoloogias on tema “loendatavad avaldised” esimese astme loogika valemid; kuid tema terminoloogia ei näita mingit mõju ei Peirce'i „esimese kavatsuse” loogikast ega Russelli tüüpi teooriast. Löwenheim, nagu kõik selle ajastu loogikud,ei teinud vahet objekti keele ja metakeele vahel. Tema tõendit on keeruline jälgida ning tema teoreemi täpsed üksikasjad - selle kohta, mida ta uskus olevat tõestanud ja mida ta tegelikult tõestas - on olnud ulatusliku teadusliku arutelu objektiks. (Erinevate tõlgenduste ülevaade on esitatud Mancosu, Zach ja Badesa 2009 poolt ning Badesa 2004. aasta tõendusmaterjali üksikasjalik rekonstrueerimine.) Paistab, et paberil polnud mingit mõju, kuni Skolem oma 1920. aastal oma tulemusi teretas ja laiendas. Löwenheim, nagu Peirce ja Russell, ei isoleerinud esimese astme loogikat hõlmavat aksioomaatilist süsteemi ega teinud vahet süntaksi ja semantika vahel. Veel vähem väidab ta, et tema väljendite loendamise klass on mingil moel loogiliselt privilegeeritud ja loob matemaatikale soositud aluse. Löwenheimi teoreemi pidi õigel ajal tunnistama esimese astme loogika põhilise omaduse eraldamiseks. Kuid tema tulemuse täielik tähendus ei saanud selgeks alles hiljem, pärast seda, kui Hilbert oli sisse viinud loogiliste süsteemide metamaatilise uurimise. (Muide, Löwenheim tunnustas Peirce'i elegantset (Sigma) ja (Pi) sümboolikat tema tõestuseks vajalike infinitaarsete laienduste pakkumise eest; ja on raske mõista, kuidas ta oleks võinud oma teoreemi hankida ükskõik millise teosega. Ta kaitses endiselt jõuliselt Peirce-Schroederi märkuse eeliseid Principia märkimise vastu juba Löwenheim 1940. aastal.)Kuid tema tulemuse täielik tähendus ei saanud selgeks alles hiljem, pärast seda, kui Hilbert oli sisse viinud loogiliste süsteemide metamaatilise uurimise. (Muide, Löwenheim tunnustas Peirce'i elegantset (Sigma) ja (Pi) sümboolikat tema tõestuseks vajalike infinitaarsete laienduste pakkumise eest; ja on raske mõista, kuidas ta oleks võinud oma teoreemi hankida ükskõik millise teosega. Ta kaitses endiselt jõuliselt Peirce-Schroederi märkuse eeliseid Principia märkimise vastu juba Löwenheim 1940. aastal.)Kuid tema tulemuse täielik tähendus ei saanud selgeks alles hiljem, pärast seda, kui Hilbert oli sisse viinud loogiliste süsteemide metamaatilise uurimise. (Muide, Löwenheim tunnustas Peirce'i elegantset (Sigma) ja (Pi) sümboolikat tema tõestuseks vajalike infinitaarsete laienduste pakkumise eest; ja on raske mõista, kuidas ta oleks võinud oma teoreemi hankida ükskõik millise teosega. Ta kaitses endiselt jõuliselt Peirce-Schroederi märkuse eeliseid Principia märkimise vastu juba Löwenheim 1940. aastal.)ja on raske aru saada, kuidas ta oleks võinud saada oma teoreemi mõne muu pakutava kvantitatiivse märkusega. Ta kaitses endiselt jõuliselt Peirce-Schroederi märkuse eeliseid Principia märkuse vastu juba Löwenheim 1940. aastal.)ja on raske aru saada, kuidas ta oleks võinud saada oma teoreemi mõne muu pakutava kvantitatiivse märkusega. Ta kaitses endiselt jõuliselt Peirce-Schroederi märkuse eeliseid Principia märkuse vastu juba Löwenheim 1940. aastal.)

8. David Hilbert ja Paul Bernays

Vaatame lühidalt 1915. aastal valitsenud olukorrast. Peirce eristas esimese ja teise järgu loogikat, kuid ei teinud vahet matemaatiliseks kasutuseks ja see vajus silmist. Nii Frege kui ka Russell olid sõnastanud mitmetasandilise tüübi teooria versioonid, kuid kumbki polnud uurimist väärivast objektist välja toonud esimese järgu fragmenti. Ameerika postulaaditeoreetikud Edward Huntington ja Oswald Veblen olid sõnastanud mitmesugused arusaamad täielikkusest ja kategoorilisusest ning Veblen oli märkinud, et aksiomaatiline deduktiivsus võib erineda semantilisest implikatsioonist (Awodey & Reck 2002: 15–19). Kuid Veblen ei omanud ametliku deduktsiooni täpset kirjeldust ja tema tähelepanek jäi inertseks. Löwenheim oli tõestanud sügavat teoreemi selle kohta, mida tagantjärele võib iseloomustada kui esimese astme valemeid,kuid polnud eraldanud esimese järgu loogika süsteemi. Sarnane seisukoht kehtib ka Hermann Weyli kohta, kes tegi 1910. aastal ettepaneku (tegelikult) kasutada esimese järgu loogikat, et täpsustada Zermelo eraldumise aksioomis „kindla vara” mõistet. Kuid ka see on tagasiulatuv iseloomustus ja Weyli huvi oli seatud teoorias, mitte esimese järgu loogika süsteemi uurimisel.

Järgmise suure sammu astus David Hilbert oma loengukursusel Prinzipien der Mathematik, mis toimus Göttingenis 1917/18 talvesemestril. Hilbert oli lugenud ja avaldanud alusteemadel aastatel 1899–1905; vahepeal, kui ta keskendus muudele küsimustele, olid publikatsioonid peatunud, kuigi ulatuslik klassiruumi loeng jätkus. Ta pidas end kursis praeguste arengutega ja oli eriti kursis Whiteheadi ja Russelli loogilise tööga, peamiselt oma õpilase Heinrich Behmanni kaudu. Septembris 1917 pidas ta Zürichis oma programmilise loengu “Axiomatisches Denken”, milles kutsus üles rakendama loogika aksiomaatilist käsitlust vastavalt joonistele, mida ta oli varem uurinud geomeetria aksiomatizeerimisel, ning tegi selgesõnaliselt ettepanekuid metaloloogiliste uurimuste kohta:

Asja lähemalt uurides tõdeme peagi, et täisarvude ja hulkade järjepidevuse küsimus ei ole üksi, vaid et see kuulub raskete epistemoloogiliste küsimuste laiaulatuslikku valdkonda, millel on konkreetselt matemaatiline varjund: näiteks (lühidalt selle küsimuste valdkonna iseloomustamiseks), iga matemaatilise küsimuse põhimõttelise lahendatavuse probleem, matemaatilise uurimise tulemuste hilisema kontrollitavuse probleem, matemaatiliste tõendite lihtsuse kriteeriumi küsimus, sisu ja formalismi seos matemaatikas ja loogikas ning lõpuks matemaatilise küsimuse otsustatavuse arv piiratud arvu toimingute korral. (Hilbert 1917: 412–413)

Just sellel Zürichi-reisil kutsus ta Paul Bernaysse naasma Göttingeni oma assistendina põhiküsimustes. Ehkki Bernaysel oli sihtasutuste loomise osas vähe kogemusi, osutus see mõistlikuks valikuks ja tiheda ning viljaka teaduspartnerluse alguseks.

Göttingeni loengud, mis järgnesid varsti Zürichi aadressile (ja mille Bernays registreeris ametlikus protokollis), on tähelepanuväärne dokument ja tähistavad tänapäevase matemaatilise loogika sündi. Need on põhimõtteliselt samad kui avaldatud monograafia, mida tuntakse nimega „Hilbert ja Ackermann” (1928) ning isegi tagasihoidlike täiendustega võiks see tänapäeval olla sissejuhatavaks loogikaõpikuks. Hilbert eristab esimest korda selgelt metakeelt objektide keelest ja samm-sammult esitab järk-järgult kasvava tugevuse formaalsete loogiliste kalkulatsioonide jada. Igasugust kivimit uuritakse hoolikalt; selle tugevused ja nõrkused on välja selgitatud ja tasakaalustatud ning nõrkade külgede analüüsi abil valmistatakse ette järgmisele kalkuleerimisele üleminek. Ta alustab arvutusliku kalkulatsiooniga,Seejärel liigutakse monaadilise kvantitatiivse loogika juurde (koos klasside ja aristoteeli sillogismi laiendatud arutlusega) ja seejärel funktsiooni arvutusteni.

Funktsiooni arvutus on (paljusid sorteeritud) esimese järgu loogika süsteem, mis sisaldab muutujaid nii lausete kui ka suhete jaoks. Just siin puutume esimest korda kokku täpse ja moodsa esimese astme loogika sõnastusega, mis on teistest kalkulatsioonidest selgelt eristatud, aksiomaatiline alus on ja millel on selgesõnaliselt sõnastatud metalloloogilised küsimused. Hilbert lõpetab esimese astme loogika arutelu märkusega:

Loogilise arvutuse põhiarutelud võiksid siin lõppeda, kui meil poleks selle arvutuse jaoks muud eesmärki kui loogiliste järelduste vormistamine. Kuid me ei saa selle sümboolse loogika rakendusega rahule jääda. Me mitte ainult ei taha, et oleks võimalik arendada üksikuid teooriaid nende põhimõtetest puhtalt formaalsel viisil, vaid tahame ka uurida matemaatiliste teooriate aluseid ja uurida, kuidas need on loogikaga seotud ning kui kaugele neid üles ehitada saab. puhtalt loogilistest toimingutest ja kontseptsioonide moodustistest; ja selleks on loogiline arvutus meile abivahend. (1917/18: 188)

See viib ta kõrgendatud järjekorra loogika juurutamiseni ja sealt edasi loogiliste paradokside kaalumiseni ja nende lahendamiseni Russelli rammitud tüübiteooria kaudu; lühidalt arutatakse redutseerituse aksioomi ja võetakse see vastu matemaatika alusena. Loengu protokoll lõpeb lausega:

Seega on selge, et redutseeritavuse aksioomi kasutuselevõtt on sobiv viis taseme arvutamiseks süsteemiks, millest saaks välja töötada alused kõrgemale matemaatikale.

See lause ilmus sisuliselt muutumatuna, kui 1917. aasta loengud monograafiaks muudeti (Hilbert & Ackermann 1928).

Hilbert käsitleb oma loengute käigus metaloloogilisi küsimusi, mille ta oli esitanud teoses “Axiomatisches Denken”, ja näitab (vähemalt vaikimisi), kuidas tuleb komplekteerituse, järjepidevuse ja otsustatavuse küsimustele vastata juhtumi puhul, mille juhtum on ettepanek. Esmajärgulise loogika täielikkuse küsimust ei tõstata Bernays loengute protokollis selgesõnaliselt, kuigi tähelepanelik lugeja oleks selle hõlpsalt tunnistanud avatud probleemina. Järgmisel suvel koostas Bernays habilitatsiooniväitekirja, milles töötas täie ettekujutusega välja ettepanekuloogika loogika Hilberti stiilis aksioomaatilise analüüsi. Ta kirjeldab aksioomaatilist süsteemi tõlgendamata formaalse arvutusena; pakub sellele semantikat; ja siis tõestab täielikkuse teoreem, mis seob süntaksi semantikaga kujul “Iga tõestatav valem on universaalselt kehtiv ja vastupidi”. Seejärel uurib ta aksioomide erinevate kombinatsioonide otsustatavuse, järjepidevuse ja vastastikuse sõltumatuse küsimusi.

Hilberti 1917. aasta loengud ja 1918. aasta Bernaysi harjutamine on verstapost esimese astme loogika arendamisel. Loengutes tutvustatakse esmajärjekorras esmajärgulist loogikat kui aksiomaatilist loogilist süsteemi, mis sobib õppimiseks, kasutades uusi metaloogilisi võtteid. Need metaloogilised tehnikad esindasid otsustavat edusamme Peirce'i, Frege'i ja Russelli ees ning olid õige aja esimese astme loogika fookusesse viimiseks. Kuid seda ei juhtunud korraga ja suur töö seisis veel ees. 1917/18. Aasta loengutes esitati Hilberti loogiliste kalkulatsioonide jadad sammudena täieliku kõrgema järgu rafineeritud tüüpi teooria poole, mida ta pidas jätkuvalt "õigeks" loogiliseks raamistikuks matemaatika aluste uurimisel. Hilbertile oli iseloomulik keerukate matemaatiliste nähtuste jaotamine nende elementideks: kaltsiumi jada võib vaadelda kõrgema järgu loogika lagunemisena selle lihtsamateks komponentideks, paljastades tema õpilastele täpselt need sammud, mis läksid täisversiooni hoonesse. süsteem. Ehkki ta arutleb funktsionaalse kalkulatsiooni üle, ei erista ta seda erilise tähelepanu saamiseks. Teisisõnu (ja nagu Peirce'i puhul kolm aastakümmet varem) tutvustatakse esmajärgulist loogikat ennekõike andmebaasina: selle tähtsus polnud veel selge.ta ei erista seda erilise tähelepanu saamiseks. Teisisõnu (ja nagu Peirce'i puhul kolm aastakümmet varem) tutvustatakse esmajärgulist loogikat ennekõike andmebaasina: selle tähtsus polnud veel selge.ta ei erista seda erilise tähelepanu saamiseks. Teisisõnu (ja nagu Peirce'i puhul kolm aastakümmet varem) tutvustatakse esmajärgulist loogikat ennekõike andmebaasina: selle tähtsus polnud veel selge.

Pealegi on Hilberti enda käsitlus metaloogilistes küsimustes pisut kiirustav ja informaalne. Ta katsetab mõiste „terviklikkus” mitme versiooniga: on tunne, et ta murdis kiiresti uue tee ja polnud veel kindel, millised kontseptsioonid osutuvad kõige viljakamaks. Tema tõestus väite arvutuse täielikkuse kohta on vaid joonis ja viidatud joonealusele märkusele; esimese astme loogika paralleelset probleemi ei tõstatata isegi oletusena. Veelgi silmatorkavam oli see, et kui Bernays 1926. aastal avaldas oma habilitatsiooni, jättis ta oma täielikkuse teoreemi tõestuse tegemata, kuna (nagu ta hiljem õigustatult ütles) näis tulemus sel ajal otsekohene ja ebaoluline. (Selle punkti arutamiseks vt Hilbert [LFL]: 229. Kättesaadavate üldiste arutelude kohta vt Sieg 1999, Zach 1999,ja Sieg 2013 kogutud esseesid; originaaldokumentide ja üksikasjaliku analüüsi kohta vaata Hilbertit [LFL.]

Teisisõnu, isegi 1920. aastatel Göttingenis puudus täielik arusaam Hilbert 1917. aastal esitatud ideede olulisusest. 1920-ndate aastate Hilberti kool pidas esimese astme loogikat tüübiteooria fragmendiks ega põhjendanud seda kui ainulaadset eelistust omavat süsteemi. Alles monograafias Hilbert & Ackermann 1928 (ja kaasaegses “Bologna loengus”, Hilbert 1928) kutsus Hilbert sõnaselgelt tähelepanu esimese astme loogika täielikkusele kui avatud küsimusele. See seadis aluse Gödeli tööle: kuid enne selle juurde jõudmist peame astuma kronoloogilise sammu tagasi.

9. Thoralf Skolem

Skolem külastas talvel 1915–16 Göttingeni, kus arutas Felix Bernsteiniga lavateooriat; pole ühtegi märki, et ta kohtus Hilbertiga. Ta oli juba sel ajal tuttav Löwenheimi teoreemiga ja teadis selle paradoksaalseid mõjusid Zermelo komplektiteooria aksiomatiziseerimisele: nimelt sellele, et mittedementeeritavate kogumite teooria esmajärgulisel aksioomatiseerimisel oleks dementeeritav mudel. Tol ajal ei avaldanud ta neil teemadel, sest nagu ta hiljem ütles:

Ma uskusin, et see on nii selge, et komplektteooria aksiomatization ei ole matemaatika lõpliku alusena rahuldav, et matemaatikud üldjoontes end sellest väga ei häiriks. Oma üllatuseks nägin hiljuti, et paljud matemaatikud peavad neid komplektiteooria aksioome ideaalseks aluseks matemaatikale. Sel põhjusel tundus mulle, et on saabunud aeg avaldada kriitika. (Skolem 1922: lisa.)

Skolemi esimesed suuremad paberid olid tema 1920. ja eriti tema 1922. Esimeses tõestas (või tõestas uuesti) Löwenheimi-Skolemi teoreemi allapoole suunatud kujul. Teises esitas ta selle tulemuse kohta uue tõendi. Ta kritiseeris ka Zermelo eraldumise aksioomi, mis oli vormis: Arvestades komplekti S ja kindlat väidet (phi (x)), eksisteerib S kõigi elementide s nii, et (phi (s)). Siinkohal jäeti „kindla ettepaneku” mõiste pisut ebatäpseks. Skolemi ettepanek oli määratleda “kindlad väited” esimese järgu loogika (identiteediga) valemitega. Ehkki Skolem kuulutas selle samastumise „loomulikuks” ja „täiesti selgeks”, ei väitnud ta selgesõnaliselt kvantitatiivide piiramist esimesele tasemele. Seejärel esitas ta Zermelo seatud teooria võimalikult rahuldava esimese astme sõnastuse ja rakendas siis Skolemi paradoksi saamiseks Löwenheim-Skolemi tulemuse.

Nendel tehnilistel tulemustel oli suur tähtsus järgnevas esimese astme loogika üle peetavas arutelus. Kuid on oluline mitte lugeda Skolemi 1922. aastast hilisemat arusaamist probleemidest. Skolemil polnud sel hetkel vahet objekti keele ja metakeele vahel. Ja kuigi tagantjärele võib tema setteooria aksiomatizationi tõlgendada esmajärjekorras, ei rõhuta ta seda asjaolu kuskil. (Tõepoolest, Eklund (1996) esitab kaaluka argumendi, mille kohaselt Skolem ei mõistnud veel selgelt esimese astme ja teise järgu loogika eristamise olulisust ja et eraldamise aksioomi ümbersõnastamine pole tegelikult nii ühemõtteliselt esimene - et sellisena, nagu seda tavaliselt peetakse.)

Skolemi märkused esimese astme loogika kohta vajavad hoolikat tõlgendamist (vt nt Ferreirós 2001: 470–74), kuid neid tuleb selgelt vaadelda 1920. aastate Grundlagenkrise ning Hilberti, Brouweri ja Weyli vaheliste arutelude taustal. Loogikal on nende aastate jooksul kaks laia suundumust ja need tõmbuvad vastupidises suunas. Üks tendents on loogiliste ja matemaatiliste süsteemide pügamine, et võtta arvesse Brouweri ja tema järgijate kriitikat. Selle eesmärk oli vältida paradokse, piiritleda “seadusliku” matemaatika territoorium ja asetada see kindlatele alustele. Set-teooria oli vaieldav ja Skolem esitas oma 1922. aasta tulemused sõnaselgelt kui püstitatud teoreetiliste aluste kriitika. Weyl oli juba 1910. aastal juhtinud Zermelo süsteemi uurimist, et sõnastada loogiliste põhimõtete kogum, mida tagantjärele vaadates (ja vaatamata idiosünkraatilisele märkusele) võib pidada esimese astme loogika vormiks. Üldiselt kaldusid nii Weyl kui ka Skolem metoodilistel kaalutlustel paradokside vältimise vahendiks mingisugusele konstruktivismile; ja see tähendas, et nad pidasid vältimatuks näiteks lõpmatu kogumi alamhulkade kogumi kvantitatiivsust: ükskõik, mis haaraks mõistet "kõik täisarvud", oli mõiste "täisarvude kõik omadused" palju vähem kindel. Asja pisut teisiti öeldes: aksiomatiziseeriva kogumiteooria mõte oli sõnastada selle filosoofiliselt probleemsed eeldused nii, et oleks selgelt näha, milleni nad jõudsid. Kuid see eesmärk oleks ohustatud, kui taustaloogikas eeldataks juba „kõigi alamhulkade” problemaatilist mõistet, mida üks üritas selgitada. Üks võimalus oli piirduda esimese astme loogikaga; teine, et võtta kasutusele mingi ettekujutuslik kõrgema astme süsteem.

Sarnaseid üldjoontes konstruktivistlikke suundumusi oli väga palju ka 1920. aastate Hilberti ja Bernaysi ning nende järgijate tõestatud teoreetilises töös. Juba Hilberti 1921/22 loengute ajaks oli Hilbert pidanud (klassikaliste) kvantifikaatorite kasutuselevõttu otsustavaks sammuks, kus transfiniit sisenes loogikasse. Hilbert, nagu ka CS Peirce, mõtles Hilbert kvantitatiividena lõpmatute konjunktsioonide ja disjunktsioonidena ning alates 1920. aastate algusest oli Göttingenis hästi aru saada, et Hilberti järjepidevusprogrammi programmiliste eesmärkide elluviimiseks on vaja kvantifikaatorid olid vajalikud. Selle tulemuse saavutamiseks tutvustas Hilbert peamist seadet epsilon-asendusmeetod.(Selle uurimistöö ülevaate pakub Sieg 2009 ja sissejuhatuses Hilbertile [LFL].)

Kuid hoolimata nendest konstruktiivsetest suundumustest, pidasid paljud 1920. aastate loogikud (sealhulgas Hilbert) endiselt matemaatika aluste uurimisel sobivaks loogikaks kõrgema järgu tüüpi teooriat, mitte selle esimese järgu fragmenti. Ülim lootus oli tagada järjepidevuse tõestus kogu klassikalise matemaatika (sealhulgas komplektiteooria) kohta. Kuid vahepeal olid teadlased teatud põhieristuste osas siiski pisut ebaselged. Hilbert ei suuda mõnikord täheldada vahet esimese astme aksioomiskeemi ja teise järgu aksioomi vahel; Brouweri intuitsiooni on samastatud finitismiga; täielikkuse (mitmes mõttes), kategoorilisuse (ka mitmes mõttes) ning esimese ja kõrgema järgu loogika vahelisi seoseid polnud veel aru saada. Gregory Moore juhib tähelepanu sellele, et isegi Gödel,ei mõistnud oma 1929. aasta esimese astme loogika täielikkuse tõendis kategoorilisuse mõistet ja selle seost teise järgu loogikaga täielikult (Moore 1988: 125).

10. Kurt Gödel

Nii jäid asjad 1920ndatel ebaselgeks. Kuid Hilberti kooli konstruktivistlikud ambitsioonid, kvantifikaatorite analüüsile keskendumine ja metaloogiliste küsimuste selgesõnaline püstitamine olid muutnud esimese astme loogika kui süsteemi, mida tasub uurida juba iseenesest, vältimatuks. Olulised tehnilised läbimurded tulid 1929. ja 1931. aastal, kui Gödel avaldas esiteks esimese astme loogika täielikkuse teoreemi ja seejärel puudulikkuse teoreemid. Nende tulemustega (ja teistega, mis varsti järgnesid) selgus lõpuks, et esimese järgu loogika ja kõrgema järgu loogika vahel on olulisi metaloogilisi erinevusi. Võib-olla kõige olulisem on, et esimese astme loogika on täielik ja selle saab täielikult vormistada (selles mõttes, et lause on tuletatav aksioomidest igaks juhuks, kui see kehtib kõigis mudelites). Esimese astme loogika rahuldab lisaks nii kompaktsust kui ka Löwenheim-Skolemi allapoole jäävat omadust; seega on sellel jälgitav mudelateooria. Teise astme loogika seda ei tee. 1930. aastate keskpaigaks hakati neid eristusi laialdaselt mõistma, nagu ka tõsiasja, et kategoorilisust saab üldiselt saavutada ainult kõrgema astme süsteemides. Hiljem näitas Lindström (1969), et ühelgi loogilisel süsteemil, mis rahuldaks nii kompaktsust kui ka Löwenheim-Skolemi omadust, ei võiks olla suuremat väljendusjõudu kui esimese järgu loogikal: seega on esimese astme loogika tõepoolest „loomulik” üksus.nagu ka tõsiasi, et kategoorilisust saab üldiselt saavutada ainult kõrgema astme süsteemides. Hiljem näitas Lindström (1969), et ühelgi loogilisel süsteemil, mis rahuldaks nii kompaktsust kui ka Löwenheim-Skolemi omadust, ei võiks olla suuremat väljendusjõudu kui esimese järgu loogikal: seega on esimese astme loogika tõepoolest „loomulik” üksus.nagu ka tõsiasi, et kategoorilisust saab üldiselt saavutada ainult kõrgema astme süsteemides. Hiljem näitas Lindström (1969), et ühelgi loogilisel süsteemil, mis rahuldaks nii kompaktsust kui ka Löwenheim-Skolemi omadust, ei võiks olla suuremat väljendusjõudu kui esimese järgu loogikal: seega on esimese astme loogika tõepoolest „loomulik” üksus.

Kuid ainuüksi tehnilised tulemused ei lahendanud küsimust esimese järjekorra loogika kasuks. Nagu Schiemer & Reck (2013) osutavad, kasutasid logistikud nagu Gödel, Carnap, Tarski, Church ja Hilbert & Bernays juba 1930ndatel aastatel isegi pärast peamiste metaloogiliste tulemuste saavutamist kõrgema järgu süsteeme (üldiselt mõned tüüpide lihtsa teooria versioonid). Teisisõnu, isegi pärast metaloogilisi tulemusi tuli teha valik ja valik esimese astme loogika kasuks polnud vältimatu. Lõppude lõpuks võib metaloogiliste tulemuste põhjal näidata esimese astme loogika tõsist piirangut: see ei ole võimeline määrama ainulaadset mudelit isegi naturaalarvude jaoks. Hilbert käsitles aastatel 1917/18 esimese astme loogikat kui lihtsalt sammu,ja tema lähenemisviisi tarkuse kinnitamiseks võib kasutada metaloogilisi tulemusi: Kui soovite kategoorilisust, olete sunnitud liikuma kõrgema astme süsteemi.

1930. aastate sel hetkel ühendasid aga mitmed teised loogika mõtlemise suunad. Intellektuaalne olukord oli väga keeruline. Carnapi, von Neumanni ja Heytingi kuulsad ettekanded 1931. aasta Königsbergi kongressil olid tuvastanud logistide, formalistide ja intuitionistide koolid: nende arutelude eesmärk oli kujundada mõtlemine matemaatika alustaladele järgmiseks mitmeks aastakümneks. Turvaliste aluste otsimine ja eriti komplektteoreetiliste paradokside vältimine oli midagi, mida nad jagasid, ja see aitas suunata tasakaalu esimese astme loogika kasuks. Esiteks (nagu Weyl ja Skolem olid juba märkinud ja nagu see oli vähemalt kaudselt ette nähtud Hilberti programmis) olid head konstruktivistlikud ja filosoofilised põhjused kõrgema järgu kvantifitseerimise vältimiseks igal võimalusel,ja loogika piiramiseks esimesse järjekorda. Teiseks anti nüüd Zermelo-Fraenkeli komplekti teooriast ja ka von-Neumann-Bernays-Gödeli komplektiteooriast mitu ühemõtteliselt esimese astme formulatsiooni (mis võimaldab piiratud aksiomatizeerumist). Nende teooriate esmajärgulist olemust rõhutati paljudes 1930. aastate väljaannetes: autorid Tarski (1935), Quine (1936), Bernays (1937) ja Gödel (1940). Praktilise asjana piisas neist esimese astme teooriatest kogu olemasoleva matemaatilise praktika sõnastamiseks; nii et matemaatiliste tõendite kodifitseerimiseks ei olnud vaja kasutada kõrgema astme loogikat. (See kinnitas tähelepanekut, mille Hilbert oli juba 1917. aastal esitanud, ehkki ise seda täielikult välja arendanud.) Kolmandaks, suurenenud kalduvus eristada loogikat ja püstitatud teooriat,ja vaadata komplektteooriat kui matemaatika haru. Fakt, et kõrgema järgu loogikat võib tõlgendada nii (Quine'i hilisemas fraasis) „lavateooria lambarõivastes”, tugevdas teisi kalduvusi: „tõeline” loogika oli esimese järgu; kõrgema järgu loogika oli “tõesti” seatud teooria. Kümnendi lõpuks oli jõutud üksmeelele, et matemaatika aluste uurimiseks tuleks matemaatilised teooriad sõnastada esmajärjekorras. Klassikaline esimese astme loogika oli muutunud standardseks.matemaatika aluste uurimiseks tuleks matemaatilised teooriad sõnastada esmajärjekorras. Klassikaline esimese astme loogika oli muutunud standardseks.matemaatika aluste uurimiseks tuleks matemaatilised teooriad sõnastada esmajärjekorras. Klassikaline esimese astme loogika oli muutunud standardseks.

11. Järeldused

Proovime nüüd mõne õppetunni teha ja eriti küsida, kas esimese astme loogika tekkimine oli vältimatu. Alustan vaatlusega. Selle keeruka ajaloo iga etappi mõjutavad kahesugused muutuvad taustkaalud. Üks on üldjoontes matemaatiline: loodud teoreemid. Teine on üldjoontes filosoofiline: eeldused, mis tehti (selgesõnaliselt või vaikimisi) loogika ja matemaatika aluste kohta. Need kaks asja suhtlesid omavahel. Iga jada mõtleja alustab loogika kohta mõne enam-vähem intuitiivse ideega. Need ideed tekitavad matemaatilisi küsimusi: tehakse vahet: tõestatakse teoreemid, märgitakse tagajärjed ja suurendatakse filosoofilist mõistmist. Igas etapis on küsimus “Mis on loogika?” (või:“Milline on õige loogika?”) Tuleb hinnata nii matemaatilise kui ka filosoofilise taustal: küsimuse abstraktset esitamist pole mõtet.

Mõelgem nüüd küsimusele: millal avastati esimese astme loogika? See küsimus on liiga üldine. See tuleb jagada kolmeks lisaküsimuseks:

• ((alfa)) millal esmajärjekorra loogika esmakordselt selgelt eristatava loogilise süsteemina tuvastati? Sellele küsimusele on suhteliselt sirgjooneline vastus. Esimese astme loogika tuvastas Peirce 1885. aastal, kuid unustas selle siis. See avastati iseseisvalt Hilberti 1917/18 loengutel ja anti 1928. aasta monograafias Hilbert & Ackermann laialdast valuutat. Peirce tegi selle esimesena kindlaks: aga just Hilbert pani süsteemi kaardile.
• ((beeta)) Millal tunnistati esimese astme loogikat oluliseks kõrgema järgu süsteemidest? See on keerulisem küsimus. Ehkki Hilbert isoleeris esimese astme loogika, ei käsitlenud ta seda eriti olulisena ja ta jätkas tööd tüübiteooria alal. Teadlikkus esimese ja kõrgema järgu loogika põhilistest metaloogilistest erinevustest hakkas ilmnema alles 1930. aastate alguses, enamasti, kuid mitte ainult, Gödeli käes.
• ((gamma)) Kuidas sai esimese astme loogikat pidada privilegeeritud loogiliseks süsteemiks - st (mingis mõttes) "õigeks" loogikaks matemaatika aluste uurimisel? Ka see küsimus on väga keeruline. Isegi pärast seda, kui Gödeli tulemused olid laialdaselt mõistetavad, jätkasid loogikud tööd tüübiteoorias ja kulus aastaid, enne kui esimese järgu loogika saavutas kanoonilise staatuse. Üleminek toimus järk-järgult ja sellele ei saa konkreetset kuupäeva anda.

Nendele eristustele vastates küsigem nüüd: miks ei leitud esimese järgu loogikat varem?

On silmatorkav, et Peirce tegi juba 1885. aastal selgelt vahet ettepanekuloogika, esimese järgu loogika ja teise järgu loogika vahel. Ta oli teadlik, et propositsiooniline loogika on kvantitatiivsest loogikast oluliselt nõrgem ja eriti ebapiisav aritmeetika aluste analüüsimiseks. Seejärel oleks ta võinud täheldada, et teise astme loogika on teatud aspektides filosoofiliselt problemaatiline ja et üldiselt on meie hoiak objektide kvantifitseerimise osas kindlam kui meie haare omaduste kvantifitseerimise osas. Probleem tekib isegi siis, kui diskursuse universum on piiratud. Näiteks on meil mõistlik mõista, mida tähendab rääkida kõigist planeetidest (esmajärjekorras) või öelda, et on olemas teatud omadusega planeet. Kuid mida tähendab rääkida (teise järjekorra mõttes) kõigi planeetide omadustest? Milline on selliste omaduste individuaalsuse kriteerium? Kas äärepoolseima planeedi olemise omadus on sama, mis väikseima planeedi olemine? Mida öelda negatiivsete omaduste kohta? Kas see on Saturni omadus, et see pole võrdne täisarvuga 17? Ehkki sel juhul on planeete ainult piiratud arv, peavad meie teise järgu kvantifikaatorid ulatuma lõpmata paljude omaduste vahel. Ja nii edasi. Quineani vastuväited on tuttavad.

Seda laadi argumente oli esitatud realistide ja noministide vahelistes õpetlikes vaidlustes: ja Peirce'i levitati keskaegses kirjanduses nendel teemadel. Ta ei pea olema jõudnud nii kaugele, et osutada punkti ((gamma)), st väita, et esimese astme loogika on spetsiaalselt privilegeeritud. See oleks igal juhul olnud vastuolus tema loogilise pluralismiga. Kuid tal oli vahendeid punkti ((beeta)) märkimiseks ja rõhutamiseks, et teise järgu loogikat esimese järgu loogikast eraldab oluline lõhe, nagu ka oluline järjekord, mis eraldab esimese järgu loogikat Boole'i arvutuslik arvutus. Miks ta neid märkusi juba 1885. aastal ei teinud?

Iga vastus võib olla ainult spekulatiivne. Üks väheoluline tegur on see, et Peirce polnud ise nominalist. Teine on see, et ta tegutses mitmesuguste loogiliste süsteemide piires: ta oli temperamentselt eklektiline ega tahtnud otsida „ühte tõelist loogikat”. Seal on ka tehnilisi kaalutlusi. Erinevalt Hilbertist ei esita Peirce esimese tahtlusega loogikat kui aksiomatiseeritud süsteemi ega soovita seda matemaatika aluste uurimise vahendina. Tal pole vahet tõlgendamata, formaalse, aksioomaatilise kalkulaadi ja selle metakeele vahel. Seetõttu ei küsi ta otsustusõiguse, täielikkuse ega kategoorilisuse kohta; ja ilma metamaatiliste tulemusteta polnud tal täielikku arusaamist esimese ja teise järgu loogika ekspressiivse jõu erinevustest. Üks tugevamaid argumente teise järgu loogika vastu - et kvantifitseerimine kõigi detemmeeritava kogumi alamhulkade osas tähendab kvantitatiivset määratlematut kogu -, ei oleks seda võinud isegi sõnastada enne, kui Cantori teoreem oli teada. Loogilisi ja seadusteoreetilisi paradokse ei olnud veel avastatud ja Zermelo polnud veel aksioomiseerinud komplektide teooriat: seega puudus Peirce'il terav motivatsioonitunne avastada “matemaatika kindel alus”. Ja muidugi polnud Peirce'il Löwenheim-Skolemi teoreemide ega Skolemi paradoksi sisestust ega metaloogiliste teoreemide jada, mis pidid esimese astme loogika teravale fookusele viima. Ta esitas paindliku ja sugestiivse märkuse, mis osutus tohutult viljakaks, ja ta oli esimene, kes eristas selgelt esimese ja teise järgu loogikat:kuid vahendeid eristuse matemaatilise olulisuse mõistmiseks polnud veel olemas. (Nagu Henri Pirenne kunagi märkis, avastasid viikingid Ameerika, kuid nad unustasid selle, sest neil polnud seda veel vaja.)

Sellega seotud küsimus kehtib Frege ja Russelli kohta. Neil oli ettekujutus loogiliste tasandite hierarhiast ja põhimõtteliselt võisid ka nemad esimese astme loogikat isoleerida ja seega teha etapi ((alfa)). Kuid nad ei kaalunud kunagi hierarhia madalaima taseme eraldamist iseseisva süsteemina. Sellel on nii filosoofilisi kui ka matemaatilisi põhjuseid. Filosoofilise küsimusena oli loogikuprojekti eesmärk näidata, et “matemaatikat saab taandada loogikale”: ja nad kujutasid kogu tüüpide hierarhiat loogikana. Ja siis matemaatilise küsimusena oli nende täisarvude konstrueerimiseks vajalik teise järgu loogika. Nii et neil ei olnud ei filosoofilisi ega matemaatilisi kaalukaid põhjuseid, mis oleks viinud nad keskenduma esimese astme fragmendile.

Peirce'iga on siin õpetlik kontrast. 19. ^sajandi algebraistide vaimus uuris Peirce rõõmsalt loogiliste struktuuride lopsakat rohkust: tema suhtumine oli põhimõtteliselt pluralistlik. Analüütilises traditsioonis töötavatel loogikutel oli rohkem huvi teada saada, millised on täisarvud: nende suhtumine oli põhimõtteliselt monistlik ja reduktsionistlik. Kuid esimese astme loogika eristamiseks, nagu seda tehti 1930ndatel, oli vaja kahte asja: teadlikkust, et on olemas erinevad loogilised süsteemid, ja argumenti ühe eelistamiseks teisele. Peirce'il oli pluralism: loogikutel oli tung tungida üles leidma “õige” süsteem: kuid kummalgi polnud mõlemat.

Pöördugem nüüd küsimuse juurde, kas esimese astme loogika tekkimine oli möödapääsmatu? Vastuolulisi kaalutlusi on võimatu vältida ja vastus peab olema spekulatiivsem. Ja ka siin tuleb eristada tehniliste tulemuste ((beeta)) ja punkti ((gamma)) vältimatust.

Alustame punktiga ((beeta)). 1928. aastaks võib metaloogiliste tulemuste kohta öelda, et need on vältimatud. Hilbert & Ackermann olid eraldanud ja kirjeldanud esimese järgu loogikat; vahe matemaatika ja meta-matemaatika vahel oli selleks ajaks hästi mõistetav; nad olid näidanud, kuidas tõestada väite arvutuse täielikkust; ja nad tõstsid sõnaselgelt esimese järgu loogika täielikkuse oluliseks avatud probleemiks. Oli kindel, et lähiaastatel annab mõni ettevõtlik loogik vastuse: nagu juhtus, pääses Gödel sinna esimesena. Seejärel oleks olnud ilmne järgmine samm uurida kõrgema järgu süsteemide täielikkust. Nii et mõne aasta jooksul pärast Hilbert & Ackermanni oleks saanud paika peamised metaloogilised teoreemid.

Kui see on õige, siis polnud Hilberti otsustav samm 1917/18 loengutes esimese järgu loogika isoleerimine, st mitte samm ((alfa)). See oli suhteliselt tühine küsimus. Selle sammu olid Peirce selgesõnaliselt juba astunud ning vaikivalt Weyl ja Löwenheim. Hilbert ei pidanud seda oluliseks ja näib, et ta on seda vaadanud peamiselt kui juhtseadist, mis on Principia Mathematica loogika esitamise lihtsustamise vahend. 1917. aasta oluliseks sammuks oli pigem metamaatika tehnika kasutuselevõtt ning täielikkuse, järjepidevuse ja otsustatavuse küsimuste selge esitamine. Nende küsimuste esitamine loogikasüsteemidele oli tohutu kontseptuaalne hüpe ja Hilbert mõistis seda sellisena. Tema enda esimesed katsed, mis tehti tema 1905. aasta Heidelbergi aadressil,oli Poincaré kriitika all kokku kukkunud ja ta oli näinud vaeva, et leida rahuldav sõnastus. Ja isegi pärast seda, kui ta oli oma 1920. aastate paberitesse sisse viinud metalloogilised eristused, oli Russelli ja Brouweri ning Ramsey kaliibriga loogikutel keeruline aru saada, mida ta üritab teha. See areng oli 1917. aastal kõike muud kui vältimatu: ja ilma metaloogiliste võtete tutvustamiseta oleks loogika ja tõestusteooria ajalugu 1920. ja 1930. aastatel olnud väga erinev. Kas Gödeli teoreemid oleks kunagi välja mõeldud? Kas Löwenheimi, Skolemi või Zermelo tööd oleksid iseseisvalt viinud esimese astme loogika metaloogiliste omaduste uurimiseni? Tagantjärele võib ette kujutada alternatiivse tee tehniliste tulemuste saavutamiseks ((beeta)),kuid pole põhjust arvata, et nad olid tekkinud siis, kui nad seda tegid või nagu nad tegid.

Peenem küsimus tekib siis, kui pöördume nüüd punkti ((gamma)) poole ja küsime: kas oli vältimatu, et esimese astme loogikat hakatakse pidama „privilegeeritud” loogiliseks süsteemiks? Nagu nägime, ei lahenda 1930ndate metalloloogilised tulemused esimese järgu loogika ülimuslikkust. “Priviligeerimine” tuli hiljem ja näib, et see sõltus pigem filosoofilistest kaalutlustest: vajadusest hoiduda püstitatud teoreetilistest paradoksidest, matemaatikale turvaliste aluste otsimisest, soovist kohandada Brouweri ja Weyli vastuväiteid - tundest, et kõrgem - tellimisloogika oli metodoloogiliselt kahtlane ja välditav. Kõik need asjad näitavad 1920. aastate Grundlagenkrise jätkuvat mõju, mis tegi nii palju, et panna paika matemaatika aluste hilisem filosoofiline mõistmine.

Seetõttu on oluline rõhutada, et alternatiivne ajalugu oli võimalik ja Grundlagenkrise puudus täielikult Hilberti loogilistest kirjutistest aastatel 1917/18. Brouweri ja Weyli nimesid pole kuskil mainitud. Hilbert on muidugi paradoksidest teadlik (mida ta oli teadnud juba aastast 1897), kuid oli juba ammu uskunud, et Zermelo aksiomatization näitas, kuidas neid vältida. Samuti ei leia tema kirjutistes ühtki tõest loogikat. Vastupidi. Nii 1917/18 kui ka 1920. aastate alguse avaldamata loenguväljaannetes on rõhk uute metalloloogiliste võtete kasutamisel loogiliste süsteemide mitmekesisuse tugevate ja nõrkade külgede uurimiseks. Töö on otseselt võetud tema geomeetria aksioomide uurimise vaimus. Ta võtab süsteemi üles, uurib seda mõnda aega, seejärel loobub selle alt, et midagi muud uurida. Oma pluralismis ja pragmaatilises, eksperimentaalses suhtumises on ta lähedasem Peirce'ile kui loogikutele.

Grundlagenkrise ja tema avalikud poleemilised vahetused Brouweriga tulid hiljem ja nad andsid moonutatud pildi tema loogiliste uurimiste motiividest. Milline oli nende filosoofiliste arutelude mõju tema programmi tehnilistele aspektidele? Esmajärgulise loogika sõnastamiseks ja metaloogiliste küsimuste esitamiseks on vastus lihtne: mingit mõju polnud. Hilbert & Ackermann 1928 sisu oli kohal juba 1917/18 loengutel. Mis puutub 1920. aastate Hilberti tõenditeoreetilisse uurimistöösse, siis ilmnesid peamised arengusuunad Brouwerist ja Weylist üsna sõltumatult. Poleemika oleks võinud lisada kiireloomulisuse, kuid tegelikku matemaatikat on raske tuvastada.

Isegi kui kujutleme filosoofilise Grundlagenkrise pildi küljest täielikult eemaldatuna, poleks Hilberti kooli tehnilised tulemused seda märkimisväärselt mõjutanud. Tulemused täielikkuse ja puudulikkuse osas oleksid suure tõenäosusega saabunud enam-vähem ajakavas. (Väärib märkimist, et Bernays ja Hilbert olid juba 1928. aastal kaalunud mitmesuguse puudulikkuse võimalust: vt Wilfried Sieg'i arutelu Hilbertis [LFL]: 792–796.) Kuid need tulemused oleksid ilmnenud väga erinev filosoofiline kliima. Mittetäielikkuse teoreeme oleks tõenäoliselt tervitatud kui olulist tehnilist panust laiemas Hilberti programmis, mitte aga selle dramaatilise ümberlükkamisena. Võib-olla (nagu Angus Macintyre 2011 on soovitanud) oleks neid vaadeldud pigem iseseisvuse tulemustena teoorias, kus vähem räägitaks matemaatilise loovuse piiridest.

Teisisõnu, kaugeltki mitte möödapääsmatu, sõltus esimese astme loogika kui privilegeeritud loogikasüsteemi tekkimine 1930ndate aastate lõpust kahest, teineteisest sõltumatu, asjast. Matemaatilisest küljest sõltus see Hilberti sissejuhatusest metalloloogiliste tehnikate juurde; filosoofilisest küljest sõltus see Grundlagenkrise'i argumentidest. Kumbki neist asjadest ei olnud vältimatu ja ka asjaolu, et need juhtusid umbes samal ajal. Erineva ajalooga oleks võinud domineerida Hilberti paindlik suhtumine ja seal võinuks rohkem rõhku pöörata kõrgema järgu süsteemidele või algebralise loogika, infinitaarse loogika, kategooriateoreetiliste süsteemide jms uurimisele: lühidalt öeldes loogilisele pluralism.

Tasub tähele panna, et kuna Grundlagenkrise filosoofilised mured on taandunud ja kui väljale on jõudnud uued lähenemised arvutiteaduse ja homotoopia teooria suundadest, on esimese astme loogika ülimuslikkus võimalik uuesti läbi vaadata.

Bibliograafia

• Awodey, Steve & Erich H. Reck, 2002, “Täielikkus ja kategoorilisus, I osa: XIX sajandi aksiomaatikast kahekümnenda sajandi metaloogikani”, loogika ajalugu ja filosoofia, 23 (1): 1–30. doi: 10.1080 / 01445340210146889
• Badesa, Calixto, 2004, Mudeliteooria sünd: Löwenheimi teooria sugulaste teooria raames, Princeton: Princeton University Press.
• Bernays, Paul, 1918, “Beiträge zur axiomatischen Behandlung des Aussagen-Kalküls”, habilitatsiooniväitekiri, Göttingeni ülikool; esmakordselt avaldatud Hilbertis [LFL], lk 231–268.
• –––, 1926, “Axiomatische Untersuchung des Aussagen-Kalküls der Principia Mathematica”, Mathematische Zeitschrift, 25: 305–320.
• –––, 1937, “Aksiomaatilise komplekti teooria süsteem”, ajakiri Symbolic Logic, 2 (1): 65–77. doi: 10.2307 / 2268862
• Boole, George, 1847, Loogika matemaatiline analüüs: Olles essee deduktiivsete mõttekäikude kalkulatsiooni väljatöötamiseks, Cambridge: Macmillan. Kordustrükk Ewaldis 1996: vol. 1, lk 451–509. [Boole 1847 on veebis saadaval]
• Brady, Geraldine, 2000, Peirce'ist Skolemi: Loogikaajaloo tähelepanuta jäetud peatükk (Matemaatika ajaloo ja filosoofia uuringud, 4), Amsterdam: Elsevier.
• Carnap, Rudolf, “Die logizistische Grundlegung der Mathematik”, Erkenntnis, 2 (1): 91–105. (Viited Paul Benacerrafi ja Hilary Putnami tõlkele, matemaatikafilosoofia: valitud lugemised, Cambridge: Cambridge University Press, 1983, 41–52.) Doi: 10.1007 / BF02028142 (de) doi: 10.1017 / CBO9781139171519.003 (en)
• Kirik, Alonzo, 1956, Sissejuhatus matemaatilisse loogikasse, Princeton: Princeton University Press.
• –––, 1974, “Russellian Simple Type Theory”, Ameerika Filosoofiliste Ühingute Toimetised ja aadressid, 47: 21–33. doi: 10.2307 / 3129899
• De Morgan, Augustus, 1864, “Syllogismist nr IV ja suhete loogikast”, Cambridge'i filosoofilise seltsi tehingud, 10: 173–230. (Loe 8. veebruaril 1858.) [De Morgan 1864 on veebis saadaval]
• Dutilh Novaes, Catarina, tulemas, “Aritmeetika ja esimese astme / teise järgu jagamise aksiomatizations”, Synthese, esmakordselt veebis: 30. detsember 2014. doi: 10.1007 / s11229-014-0636-6
• Eklund, Matti, 1996, “Kuidas loogika sai esmajärjekorras”, Põhjamaade ajakiri Philosophical Logic, 1 (2): 147–167. [Eklund 1996 on veebis saadaval]
• Ewald, William Bragg (toim), 1996, Kantist Hilbertini: Allikaraamat matemaatika aluses, 2 osa, Oxford: Clarendon Press.
• Ferreirós, José, 2001, “Tee tänapäevase loogika juurde - tõlgendus”, sümboolse loogika bülletään, 7 (4): 441–484. doi: 10.2307 / 2687794
• Fraenkel, Abraham A., 1927, “Skolemi ülevaade 1922”, Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, 49: 138–139.
• Frege, Gottlob, 1879, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle: Nebert. Tõlkinud Stefan Bauer-Mengelberg ajakirjas van Heijenoort 1967: 1–82.
• ––– 1884, Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch -hematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau: Koebner. Tõlkinud JL Austin kui aritmeetika alused, logiko-matemaatiline uurimus arvu kontseptsioonile, Oxford: Blackwell, 1950.
• –––, 1893, Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, vol. 1, Jena: Pohl.
• ––– 1895, „Kritische Beleuchtung einiger Punkte raamatus E. Schröders Vorlesungen über die Algebra der Logik”, Archiv für systematische Philosophie, 1: 433–456. [Frege 1895 on veebis saadaval]
• –––, [ PMC], filosoofiline ja matemaatiline kirjavahetus, Gottfried Gabriel, Hans Hermes, Friedrich Kambartel, Christian Thiel, Albert Veraart, Brian McGuinness ja Hans Kaal (toim), Chicago: University of Chicago Press, 1980.
• Gabbay, Dov M. & John Woods (toim.), 2009, loogika ajaloo käsiraamat, kd. 5: loogika Russellist Amsterdami kirikuni: Elsevier-Põhja-Holland.
• Gödel, Kurt, 1929, Über die Vollständigkeit des Logikkalküls, Viini ülikooli doktoritöö. Trükitud tõlkega Sol Feferman et al. (toim), Kurt Gödel: Kogutud teosed, kd. 1: Väljaanded 1929–1936, Oxford: Clarendon Press, lk 60–101.
• –––, 1931, „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“, Monatshefte für Mathematik und Physik, 38: 173–198; tõlkinud S. Bauer-Mengelberg väljaandes van Heijenoort 1967: 596–616.
• –––, 1940, Valiku aksioomi ja üldistatud pideva hüpoteesi kooskõla komplekti teooria aksioomidega, Princeton: Princeton University Press.
• Goldfarb, Warren D., 1979, “Loogika kahekümnendatel aastatel: kvantifikaatori olemus”, Journal of Symbolic Logic, 44 (3): 351–368. doi: 10.2307 / 2273128
• Hilbert, David, 1905, “Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik”, Verhandlungen des Dritten Internationalen Mathematiker-Congress in Heidelberg vom 8. bis 13. august 1904, Leipzig: Teubner, lk 174–185; tõlkinud S. Bauer-Mengelberg väljaandes van Heijenoort 1967: 130–138.
• –––, 1917, “Axiomatisches Denken”, Mathematische Annalen 78 (1–4): 405–415; tõlkinud W. Ewald ajakirjas Ewald 1996 (2. köide), lk 1105–1115. doi: 10.1007 / BF01457115 (de)
• –––, 1917/18, Prinzipien der Mathematik, avaldamata loengud, mis peeti Göttingenis, talvine poolaasta, 1917/18 (loengu märkused salvestanud Paul Bernays). Kordustrükis Hilbert 2013: 31–221.)
• –––, 1928, „Probleme der Grundlegung der Mathematik” („Bologna loeng”), kordustrükk Hilbert 2013: 954–966.
• –––, [ LFL], David Hilbert, Loengud loogika, matemaatika ja loodusteaduste alustest (III köide: Loogika ja aritmeetika alused, 1917–1933), William Ewald ja Wilfried Sieg (toim), Berliin: Springer Verlag, 2013. doi: 10.1007 / 978-3-540-69444-1
• Hilbert, David & Wilhelm Ackermann, 1928, Grundzüge der theoretischen Logik, Berliin: Springer Verlag.
• Hilbert, David ja Paul Bernays, 1939, Prinzipien der Mathematik II, Berliin: Springer Verlag.
• Landini, Gregory, 1998, Russelli varjatud asendusteooria, Oxford: Oxford University Press.
• Lindström, Per, 1969, “Elementaarse loogika laiendamise kohta”, Theoria, 35 (1): 1–11. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1969.tb00356.x
• Linsky, Bernard, 2011, „Principia Mathematica” evolutsioon: Bertrand Russelli käsikirjad ja märkused teiseks väljaandeks, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9780511760181
• Löwenheim, Leopold, 1915, “Über Möglichkeiten im Relativkalkül”, Mathematische Annalen, 76 (4): 447–470. Tõlge van Heijenoorti 1967: 228–251. doi: 10.1007 / BF01458217 (de)
• –––, 1940, “Einkleidung der Mathematik im Schröderschen Relativkalkül”, ajakiri Symbolic Logic, 5 (1): 1–15. doi: 10.2307 / 2269177
• Macintyre, Angus, 2011, “Gödeli mittetäielikkuse teooriate mõju matemaatikale”, Kurt Gödel ja matemaatika alused: tõe horisondid, Matthias Baaz, Christos H. Papadimitriou, Dana S. Scott, Hilary Putnam ja Charles L. Harper (toim), Cambridge: Cambridge University Press, lk 3–26. doi: 10.1017 / CBO9780511974236.004
• Mancosu, Paolo (toim), 1998, Brouwerist Hilbertini: Arutelu matemaatika aluste üle 1920. aastatel, Oxford: Oxford University Press.
• Mancosu, Paolo, Richard Zach ja Calixto Badesa, 2009, “Matemaatilise loogika arendamine Russellist Tarski, 1900–1935”, L. Haaparanta (toim.), The Modern Logic Development, Oxford: Oxford University Press, lk 318–470; kordustrükk Paolo Mancosus (toim), Mõistuse seiklus: matemaatika filosoofia ja matemaatilise loogika vaheline seos, 1900–1940, Oxford: Oxford University Press, lk 5–120.
• Moore, Gregory S., 1988, “Esimese järgu loogika tekkimine”, William Aspray ja Philip Kitcher (toim), Kaasaegse matemaatika ajalugu ja filosoofia (Minnesota Studies in the Philosophy of Science, 11), lk 95 –135, Minneapolis: Minnesota Pressi ülikool.
• Peano, Giuseppe, 1889, Arithmetices Principia, nova metodopositita, Torino: Bocca. Tõlgitud van Heijenoort 1967: 20–55. [Peano 1889 (see) on veebis saadaval]
• Peirce, Charles S., 1867, Ameerika akadeemiale esitati viis paberit loogikast; kordustrükk Charles S. Peirce'i kirjutistes: Kronoloogiline väljaanne (2. köide), Edward C. Moore (toim), Bloomington: Indiana University Press, 1984, lk 12–86.
• –––, 1870, [1873], „Sugulaste loogika märke kirjeldus, mis tuleneb Boole loogikakalkulatsiooni kontseptsioonide lihtsustamisest”, Ameerika Kunstiteaduste ja teaduste akadeemia memuaarid, 9 (2): 317 –378, edastatud 26. jaanuaril 1870, avaldatud 1873. doi: 10.2307 / 25058006
• ––– 1881, „Arvu loogikal”, American Journal of Mathematics, 4 (1): 85–95. Kordustrükk Ewaldis 1996: vol. 1, lk 598–608. doi: 10.2307 / 2369151
• ––– 1883, „Tõenäoliste järelduste teooria”, CS Peirce (toim), Bostoni Johns Hopkinsi ülikooli liikmete loogikauuringud: Little Brown, lk 126–181. [Peirce 1883 on veebis saadaval]
• ––– 1885, „Loogika algebras: panus märkuste filosoofiasse”, American Journal of Mathematics, 7 (2): 180–202. Kordustrükk Ewaldis 1996: vol. 1, lk 608–632. doi: 10.2307 / 2369451
• Quine, Willard V., 1936, “Loogika setteoreetilised alused”, Journal of Symbolic Logic, 1 (2): 45–57. doi: 10.2307 / 2268548
• Reck, Erich H., 2013, “Arengud loogikas: Carnap, Gödel ja Tarski”, Oxfordi analüütilise filosoofia ajaloo käsiraamatus, Michael Beaney (toim), Oxford: Oxford University Press, lk 546–571.
• Russell, Bertrand, 1903, Matemaatika põhimõtted, Cambridge: Cambridge University Press. [Russell 1903 on veebis saadaval]
• –––, 1908, “Matemaatiline loogika kui tüüpide teooriast lähtuv”, American Journal of Mathematics, 30 (3): 222–262. Kordustrükk van Heijenoort 1967: 150–182. doi: 10.2307 / 2369948
• Schiemer, Georg & Erich H. Reck, 2013, “Loogika 1930-ndatel aastatel: tüübiteooria ja mudelteooria”, sümboolse loogika bülletään, 19 (4): 433–472. doi: 10.1017 / S1079898600010568
• Schröder, Ernst, 1890–95, Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte Logik), 3 köidet, Leipzig: Teubner.
• Sieg, Wilfried, 1999, “Hilberti programmid: 1917–1922”, sümboolse loogika bülletään, 5 (1): 1–44. doi: 10.2307 / 421139
• –––, 2009, „Hilberti tõestusteooria“, Gabbay & Woods 2009: 321–384. doi: 10.1016 / S1874-5857 (09) 70012-3
• ––– 2013, Hilbert's Programs and Beyond, Oxford: Oxford University Press.
• Skolem, Thoralf, 1920, “Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit matematcher Sätze nebst einem theoreme über dichte Mengen”, Kristiania. Osaliselt tõlkinud S. Bauer Mengelberg ajakirjas van Heijenoort 1967: 252–263.
• ––– 1922, “Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre”, tõlkinud S. Bauer Mengelberg van Heijenoortis 1967: 217–232.
• ––– 1923, “Begründung der elementaren Arithmetik durch die rekurrierende Denkweise ohne Anwendung scheinbarer Veränderlichen mit unendlichem Ausdehnungsbereich”, Kristiania. Tõlkinud S. Bauer Mengelberg ajakirjas van Heijenoort 1967: 302–333. [Skolem 1923 (de) on veebis saadaval]
• Tarski, Alfred, 1935, “Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen”, Studia Philosophica, 1: 261–405. Tõlgitud loogikas, semantikas, metamaatikas: paberid 1923–1938, Oxford: Oxford University Press, 1956.
• van Heijenoort, Jean, (toim), 1967, Fregest Gödelini: matemaatikaloogika lähteteos, 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press
• von Neumann, John, 1927, “Zur Hilbertschen Beweistheorie”, Mathematische Zeitschrift, 26: 1–46.
• Weyl, Hermann, 1910, “Über die Definitionen derhematischen Grundbegriffe”, Mathematisch-Wissenschaftliche Blätter, 7: 93–95, 109–113.
• –––, 1918, Das Kontinuum, Berliin: de Gruyter.
• Whitehead, Alfred N. & Bertrand Russell, 1910–1913, Principia Mathematica, 3 köidet, Cambridge: Cambridge University Press.
• Zach, Richard, 1999, “Täielikkus enne postitust: Bernays, Hilbert ja propositsioonilise loogika areng”, Sümboolse loogika bülletään, 5: 331–366.
• Zermelo, Ernst, 1908, “Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I”, Mathematische Annalen, 65 (2): 261–281. Tõlkinud S. Bauer Mengelberg ajakirjas van Heijenoort 1967: 199–215. doi: 10.1007 / BF01449999 (de)
• –––, 1929, “Über den Begriff der Definitheit in der Axiomatik”, Fundamenta Mathematicae, 14: 339–344. doi: 10.4064 / fm-14-1-339-344

Akadeemilised tööriistad

	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

[Palun võtke soovitustega ühendust autoriga.]