Asjakohasuse Loogika

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-05-24 11:17

Sisenemise navigeerimine

Sissesõidu sisu
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Sõprade PDF-i eelvaade
Teave autori ja tsitaadi kohta
Tagasi üles

Esmakordselt avaldatud Wed 17. juuni 1998; sisuline redaktsioon esmaspäeval 26. märtsil 2012

Asjakohasuse loogika on mitteklassikaline loogika. Suurbritannias ja Australaasias nn asjakohaseks loogikaks arendatud süsteemid arenesid katsena vältida materiaalseid paradokse ja ranget implikatsiooni. Need niinimetatud paradoksid on õiged järeldused, mis tulenevad materjali ja range implikatsiooni määratlustest, kuid on mõnede arvates problemaatilised.

Näiteks on materiaalne tähendus (p → q) tõene, kui p on vale või q on tõene, st (¬ p ∨ q). Nii et kui p on tõene, siis on ka materiaalne tähendus tõene, kui q on tõene. Materiaalse implikatsiooni paradokside hulgas on järgmised:

p → (q → p).
¬ p → (p → q).
(p → q) ∨ (q → r).

Esimene väidab, et iga väide vihjab tõele; teine, et vale väide vihjab igale väitele, ja kolmas, et mis tahes kolme väite korral tähendab esimene kas teist või teine kolmandat.

Samamoodi kehtib ka range implikatsioon (p → q), kui pole võimalik, et p on tõene ja q vale, st ¬ ◇ (p & q). Range implikatsiooni paradokside hulgas on järgmised:

(p & ¬ p) → q.
p → (q → q).
p → (q ∨ ¬ q).

Esimene väidab, et vastuolu tähendab rangelt iga väidet; teine ja kolmas tähendavad, et iga väide vihjab rangelt tautoloogiale.

Paljud filosoofid, alustades Hugh MacCollist (1908), on väitnud, et need teesid on vastupidised. Nad väidavad, et need valemid ei kehti, kui tõlgendame → kui esindavat implikatsiooni mõistet, mis meil on enne klassikalise loogika õppimist. Asjakohasusloogikud väidavad, et nende niinimetatud paradokside osas on vapustav see, et kõigis neist näib eelkäija järeldamatut.

Lisaks on olulisuse loogikutel olnud teadmisi teatud järelduste kohta, mida klassikaline loogika õigustab. Näiteks kaaluge klassikaliselt kehtivat järeldust

Kuu on valmistatud rohelisest juustust. Seetõttu kas Ecuadoris sajab praegu vihma või ei ole.

Taas näib siin olevat olulisuse tõrge. Näib, et järeldusel pole eeldusega mingit pistmist. Asjakohasusloogikud on püüdnud konstrueerida loogikat, mis lükkab ümber teesid ja argumendid, mis panevad toime „olulisi eksitusi“.

Vastavad loogikud märgivad, et mõne paradoksi (ja eksituse) puhul on viga selles, et eelkäijad ja järeldus (või eeldus ja järeldused) on täiesti erinevatel teemadel. Teema mõiste ei tundu aga midagi sellist, millest loogik peaks huvitatud olema - see on seotud lause või järelduse sisuga, mitte vormiga. Kuid on olemas ametlik põhimõte, et asjassepuutuvad loogikud kohaldavad sunniviisilisi teoreeme ja järeldusi, et "püsida teemal". See on muutujate jagamise põhimõte. Muutuja jagamispõhimõte ütleb, et vormi A → B valemit ei saa asjakohasusloogikas tõestada, kui A-l ja B-l pole vähemalt ühte ühist pakkemuutujat (mõnikord nimetatakse pakkumistäheks) ja kui järeldusi ei saa kehtivaks muuta kui ruumid ja järeldus ei jaga vähemalt ühte algset muutujat.

Praegu on loomulik segadus selles osas, mida asjassepuutuvad loogikud üritavad teha. Muutujate jagamise põhimõte on ainult vajalik tingimus, et loogikat tuleb arvestada olulisuse loogikana. See ei ole piisav. Pealegi ei anna see põhimõte meile kriteeriumi, mis kõrvaldaks kõik paradoksid ja eksimused. Mõni jääb paradoksaalseks või ekslikuks, ehkki rahuldab muutuvat jagamist. Nagu näeme, pakub asjaomane loogika meile siiski asjakohast tõendusmaterjali ruumide tegeliku kasutamise osas (vt allpool jaotist “Tõestusteooria”), kuid see iseenesest ei ütle meile, mida loetakse tõeliseks (ja asjakohane) mõju. Alles siis, kui formaalne teooria on koondatud filosoofilise tõlgendusega, saab ta seda teha (vt allpool jaotist „Asjakohase implantatsiooni semantika”).

Selles artiklis anname lühikese ja suhteliselt mittetehnilise ülevaate olulisuse loogika valdkonnast.

1. Semantika asjakohase implikatsiooni jaoks
2. Eitav semantika
3. Tõestusteooria
4. Asjakohasuse loogika süsteemid
5. Asjakohasusloogika rakendused
Bibliograafia
- Raamatud olulisuse loogika ja valdkonna tutvustamise kohta:
- Muud viidatud teosed:
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed

1. Semantika asjakohase implikatsiooni jaoks

Meie asjakohase loogika kirjeldus on tagasi kõige kirjanduses leiduva kohta. Me alustame, mitte lõpetame semantikaga, kuna enamik filosoofe on praegu semantiliselt kaldu.

Semantika, mida ma siin esitan, on Richard Routley ja Robert K. Meyeri tõttu kolmesuunaline semantika. See semantika on Alasdair Urquharti „poolvõresemantika” (Urquhart 1972) edasiarendus. Sarnane semantika (mis põhineb ka Urquharti ideedel) on tingitud Kit Fine'ist, mis töötati välja samal ajal Routley-Meyeri teooriaga (Fine 1974). Ja seal on J. Michael Dunnist tingitud algebraline semantika. Urquharti, Fine ja Dunn mudelid on iseenesest väga huvitavad, kuid meil pole ruumi siin neid arutada.

Kolmeastmelise semantika idee on üsna lihtne. Mõelge CI Lewise katsele vältida materiaalse mõju paradokse. Ta lisas klassikalisele loogikale uue, range kaudse loogika. Kripkeani-järgse semantilise tähenduse järgi on A ⊰ B tõene maailmas w ainult siis, kui kõigi w 'korral, nii et w' on w-le kättesaadav, kas A ebaõnnestub w-s või B on seal olemas. Nüüd on Kripke modaalloogika semantikas ligipääsetavuse suhe binaarne suhe. See mahub maailmapaaride vahel. Kahjuks ei ole range implikatsiooni teooria asjakohasest aspektist endiselt asjakohane. See tähendab, et me teeme endiselt kehtivaid valemeid nagu p ⊰ (q ⊰ q). Näeme üsna hõlpsalt, et Kripke tõetingimus sunnib seda valemit meie peale.

Sarnaselt modaalse loogika semantikaga seob relevantsuse loogika semantilisi valemite tõesusi ka maailmadega. Kuid Routley ja Meyer lähevad modaalloogikast paremaks ja kasutavad maailmades kolmekohalisi suhteid. See võimaldab eksisteerida maailmu, kus q → q ebaõnnestub ja mis omakorda võimaldab maailmu, kus p → (q → q) ebaõnnestub. Nende tõeline seisund selle semantika jaoks → on järgmine:

A → B vastab tõele maailmas a ja ainult siis, kui kõigi maailmade b ja c korral on Rabc (R on ligipääsetavussuhe) kas A on väär valemiga b või B on tõene punktis c.

Põllu jaoks uute inimeste jaoks võtab selle tõesuse tingimusega harjumine veidi aega. Kuid väikese tööga võib seda pidada vaid Kripke tõe tingimuse üldistamiseks range implikatsiooni jaoks (lihtsalt määrake b = c).

Kolmeastmeliste suhete semantikat saab kohandada laia loogika semantikaks. Seosele erinevate piirangute seadmine muudab kehtivad erinevad valemid ja järeldused. Näiteks kui me seostame suhte nii, et Raaa kehtib kõigi maailmade a kohta, siis teeme tõeks, et kui (A → B) & A on tõesed maailmas, siis on B ka seal tõene. Arvestades Routley-Meyeri semantika muid omadusi, muudab see lõputöö ((A → B) & A) → B kehtivaks. Kui muudame kolmesuunalise seose sümmeetriliseks kahes esimeses kohas, st piirame seda nii, et kõigi maailmade a, b ja c korral, kui Rabc, siis Rbac, siis teeme lõputöö A → (((A → B)) kehtivaks) → B).

Kolmepoolne juurdepääsetavussuhe vajab filosoofilist tõlgendust, et anda asjassepuutuvale implikatsioonile selle semantika jaoks tõeline tähendus. Hiljuti on välja töötatud kolm teabe olemuse teooriatel põhinevat tõlgendust. Kolmeastmelise seose üks tõlgendus arendab Dunnist tulenevalt Urquharti poolvõresemantika ideed. Urquharti semantikas käsitletakse indekseid kui võimalikke (või võimatuid) maailmu selle asemel, et neid käsitleda teabeühikutena. Poolvõre semantikas ühendab operaator ° kahe oleku teabe - a ° b on a ja b teabe kombinatsioon. Routley-Meyeri semantika ei sisalda maailmades kombinatsiooni või „sulandumise“operaatorit, kuid selle saame ligikaudse tulemuse kasutades kolmekomponendilist suhet. Dunnil lugedes„Rabc” ütleb, et „infoseisundite a ja b kombinatsioon sisaldub teabe olekus c” (Dunn 1986).

Teist tõlgendust pakutakse ajakirjas Jon Barwise (1993) ja välja töötatud Restall (1996). Selles vaates käsitletakse maailmu infoteoreetiliste saitide ja kanalitena. Sait on kontekst, milles teavet võetakse vastu ja kanal on kanal, mille kaudu teavet edastatakse. Näiteks kui BBC uudised ilmuvad minu elutoa televiisorisse, võime elutoaks pidada saiti ning juhtmeid, satelliite jms, mis ühendavad minu televiisori Londoni stuudioga kanal. Kasutades Routley-Meyeri semantika tõlgendamisel kanaliteooriat, võtame Rabci all silmas seda, et a on infoteoreetiline kanal saitide b ja c vahel. Seega võtame A → B tõeseks juhul, kui ja ainult siis, kui a ühendab saidi b, kus A saab koha c, saab B punkti c.

Samamoodi kasutab Mares (1997) teabeteooriat tänu David Israelile ja John Perryle (1990). Lisaks muule teabele sisaldab maailm ka teabelinke, näiteks loodusseadusi, konventsioone jne. Näiteks sisaldab Newtoni maailm teavet, et kogu mateeria köidab kõiki teisi aineid. Infoteoreetiliselt sisaldab see maailm teavet, et kaks asja, mis on materiaalsed, kannavad endas teavet, mis neid üksteisega köidab. Selles vaates Rabc siis ja ainult siis, kui vastavalt a-lingidele sisaldab kogu teave, mida b-ga saadakse, c-s. Seega, näiteks kui a on newtoni maailm ja teave, mis x ja y on olulised, sisaldub b-s, siis teave, mis x ja y üksteist köidavad, sisaldub c-s.

Veel üks tõlgendus on välja töötatud Mares (2004). Selle tõlgenduse kohaselt on Routley-Meyeri semantika mõiste "paiknev implikatsioon" vormistamine. See tõlgendus võtab Routley-Meyeri semantika “maailmad” situatsioonideks. Olukord on võib-olla osaline universumi kujutis. Kahes olukorras a ja b sisalduv teave võib võimaldada meil tuletada lisateavet universumi kohta, mis pole kummaski olukorras. Näiteks oletagem näiteks meie praeguses olukorras, et meil on üldise relatiivsusteooria teooria seadustes sisalduvat teavet (see on Einsteini gravitatsiooniteooria). Seejärel hüpoteesime olukorda, kus võime näha tähte ellipsis liikumas. Seejärel, tuginedes olemasolevale teabele ja oletatavale olukorrale,võime järeldada, et on olemas olukord, kus sellel tähel on väga raske keha.

Saame modelleerida asukoha järeldusi, kasutades relatsiooni I („implikatsiooni” jaoks). Siis on meil IabP, kus P on väide, siis ja ainult siis, kui punktides a ja b sisalduv teave lubab üheskoos järeldada, et on olemas olukord, kus P kehtib. Saame mõelda pakkumisest endast kui situatsioonide kogumist. Seadsime A → B hoidma a ja ainult siis, kui kõigis olukordades b, milles A on, Iab | B |, kus | B | on situatsioonide kogum, milles B on tõene. Seadsime Rabci hoidma ainult siis, kui c kuulub iga lause P juurde, näiteks IabP. Kui lisada postulaat, et mis tahes P-lause, mis vastab IabP-le, komplekti X ristumiskoht on selline, et IabX, leiame, et mõjud, mis tehakse igas olukorras tõeseks, kasutades seda tingimust, mis mulle meeldib, on sama mis need, mis Routley-Meyeri tõetingimuse järgi tõeks teeb. Seega annab asukoha määramise viis mõista Routley-Meyeri semantikat. (See on Mares'i (2004) peatükkides 2 ja 3 sisalduva järelduse arutelu väga lühike versioon.)

Kolmiksuhte kasutamine üksi ei ole kõigi implikatsiooni paradokside vältimiseks piisav. Arvestades seni öeldut, pole selge, kuidas semantikaga saab vältida selliseid paradokse nagu (p & ¬ p) → q ja p → (q ∨¬ q). Neid paradokse välditakse ebajärjekindlate ja mitte kahevalentsete maailmade kaasamisega semantikasse. Sest kui poleks maailmu, kus p & ¬ p paikneb, siis vastavalt meie tõe tingimusele noole suhtes (p & ¬ p) → q ka kõikjal. Samuti, kui q ∨¬ q hoitakse igas maailmas, oleks p → (q ∨¬ q) üldiselt tõene.

Routley ja Loparic (1978) ning Priest (1992) ja (2008) on käsitlenud olulisust, mis ei vaja kolmepoolset suhet. See semantika kasutab maailmade komplekti ja binaarset seost S. Maailmad jagunevad kahte kategooriasse: normaalsed maailmad ja mitte-normaalsed maailmad. Implikatsioon A → B on normaalses maailmas tõene a ja siis ainult siis, kui kõigi maailmade b korral, kui A on tõene punktis b, siis B on tõene ka punktis b. Normaalsetes maailmades on implikatsioonide tõeväärtused juhuslikud. Mõned võivad olla tõesed ja teised valed. Valem kehtib ainult siis, kui see vastab tõele kõigil sellistel mudelitel normaalses maailmas. See maailmade jaotus normaalseks ja mitte normaalseks ning juhuslike tõepõhiste väärtuste kasutamine tagajärgedele mitte normaalsetes maailmades võimaldab meil leida vastupidiseid mudeleid valemitele nagu p → (q → q).

Preester tõlgendab mitte-normaalseid maailmu maailmadena, mis vastavad “loogikafiktsioonidele”. Teaduslikus ulmes võivad loodusseadused olla teistsugused kui meie universumis. Samuti võivad loogika väljamõeldises loogika seadused erineda meie seadustest. Näiteks võib A → A osutuda mõne loogika väljamõeldise tõesuseks. Maailmad, mida sellised väljamõeldised kirjeldavad, on mitte normaalsed maailmad.

Üks ilma ternaarse relatsioonita semantika probleem on see, et seda on keeruline kasutada nii paljude loogiliste süsteemide iseloomustamiseks, mida saab teha ternaarse relatsiooni korral. Lisaks on selle semantikaga määratud loogika üsna nõrk. Näiteks puudub neil teoreemina implikatsiooni transitiivsus - ((A → B) & (B → C)) → (A → C).

Sarnaselt kolmese suhte semantikaga nõuab ka see semantika, et mõned maailmad oleksid ebajärjekindlad ja mõned mittebivalentsed.

2. Eitav semantika

Mittebivalentsete ja ebajärjekindlate maailmade kasutamine eeldab eitamiseks mitteklassikalist tõetingimust. 1970. aastate alguses leiutasid Richard ja Val Routley eituse käsitlemiseks oma “täheoperaatori”. Operaator on maailmade operaator. Iga maailma a jaoks on olemas maailm a *. Ja

¬ A on tõene siis ja ainult siis, kui A on vale * korral.

Taas on meil raskusi formaalse semantika osa tõlgendamisega. Routley tähe üheks tõlgenduseks on Dunn (1993). Dunn kasutab maailmades binaarset seost C. Kabiin tähendab, et b ühildub a-ga. a * on siis maksimaalne maailm (maailm, mis sisaldab kõige rohkem teavet), mis ühildub a-ga.

Negatsiooni jaoks on ka teisi semantikat. Üks, tänu Dunnile ja mille on välja töötanud Routley, on nelja väärtusega semantika. Seda semantikat käsitletakse parakonsistentset loogikat käsitlevas sissekandes. Muid eituse ravimeetodeid, millest mõnda on kasutatud asjakohase loogika jaoks, võib leida Wansing (2001).

3. Tõestusteooria

Nüüd on asjakohase loogika tõenditeooria jaoks suures valikus lähenemisviise. Gregory Mintsi (1972) ja JM Dunni (1973) loogika R eitusevaba fragmendi jaoks on olemas järjestikune arvutus ning Nuel Belnapi (1982) välja töötatud elegantne ja väga üldine lähenemisviis nimega “Display Logic”. Esimeste kohta vaata lisadokumenti:

Loogika R

Kuid siin käsitlen ma ainult Andersoni ja Belnapi tõttu vastava loogika R loomuliku deduktsioonisüsteemi.

Andersoni ja Belnapi loomuliku deduktsioonisüsteemi aluseks on Fitchi looduslikud deduktiivsüsteemid klassikalise ja intuitionistliku loogika jaoks. Lihtsaim viis selle tehnika mõistmiseks on näite vaatamine.

1. _{1}	Hüp
2. (A → B) _{2}	Hüp
3. B _{1,2}	1,2, → E

See on lihtne modus ponensi juhtum. Sulgudes olevad numbrid tähistavad valemi tõestamiseks kasutatud hüpoteese. Me nimetame neid indeksiteks. Järelduse indeksid näitavad, milliseid hüpoteese järelduse tegemisel tegelikult kasutatakse. Järgmises tõendis teist eeldust tegelikult ei kasutata:

1. _{1}	Hüp
2. B _{2}	Hüp
3. (A → B) _{3}	Hüp
4. B _{1,3}	1,3, → E

See “tõend” näitab lihtsalt, et järeldused punktidest A ja A → B punktile B on asjakohaselt kehtivad. Kuna numbrit 2 ei kuvata järelduses alaindeksis, ei loeta teist “eeldust” eeldusena.

Samuti, kui kaudne mõju on asjakohaselt tõestatud, tuleb järelduse tõestamiseks tõesti kasutada eelneva eeldust. Siin on näide implikatsiooni tõestusest:

1. _{1}	Hüp
2. (A → B) _{2}	Hüp
3. B _{1,2}	1,2, → E
4. ((A → B) → B) _{1}	2,3, → I
5. A → ((A → B) → B)	1,4, → I

Hüpoteesi lõpetamisel, nagu selle tõendi ridadel 4 ja 5, peab hüpoteesi arv tõesti ilmnema valemi alaindeksis, millest peab saama implikatsiooni tagajärg.

Nüüd võib tunduda, et indeksite süsteem võimaldab ebaolulistel ruumidel sisse hiilida. Üks viis, kuidas võib ilmneda, et ebareeglipärasused võivad tungida, on konjunktsioonieeskirja kasutamine. See tähendab, et võib tunduda, et võime alati lisada ebaolulise eelduse, tehes näiteks järgmist:

1. _{1}	Hüp
2. B _{2}	Hüp
3. (A & B) _{1,2}	1,2, & I
4. B _{1,2}	3 ja E
5. (B → B) _{1}	2,4, → I
6. A → (B → B)	1,5, → I

Olulisuse loogiku jaoks on esimene eeldus siin täiesti paigast ära. Niisuguste käikude blokeerimiseks annavad Anderson ja Belnap järgmise konjunktsiooni tutvustamise reegli:

Alates A _i ja B _i järeldada (A & B) _i.

See reegel ütleb, et kahel ühendataval valemil peab olema sama indeks, enne kui konjunktsiooni sissejuhatuse reeglit saab kasutada.

Loomuliku mahaarvamise süsteemis on muidugi palju enamat (vt Anderson ja Belnap 1975 ning Anderson, Belnap ja Dunn 1992), kuid sellest piisab meie eesmärkidel. Asjakohasuse teooriat, mis on haaratud vähemalt mõne asjakohase loogika abil, saab mõista selles osas, kuidas vastav looduslik deduktsioonisüsteem registreerib ruumide tegeliku kasutamise.

4. Asjakohasuse loogika süsteemid

Andersoni ja Belnapi töös olid olulisuse loogika kesksüsteemid asjakohase kaasamise loogika E ja asjakohase implikatsiooni süsteem R. Kahe süsteemi seos on selline, et E tulenev ühenduvus pidi olema range (st vajalik) asjakohane tähendus. Nende kahe võrdlemiseks lisas Meyer R-le vajalikkuse operaatori (loogika NR loomiseks). Larisa Maksimova avastas aga, et NR ja E on olulisel määral erinevad - et on olemas NR teoreeme (loomuliku tõlke korral), mis pole E teoreemid. See on jätnud mõnele asjassepuutuvale logistikule tüli. Nad peavad otsustama, kas võtta NR-st range asjakohase implikatsiooni süsteem või väita, et NR oli kuidagi puudulik ja et E on range asjakohase implikatsiooni süsteem. (Muidugi võivad nad aktsepteerida mõlemat süsteemi ja väita, et E ja R seostuvad üksteisega erinevalt.)

Teiselt poolt on need tekst logicians lükkavad nii R ja E. On neid, nagu Arnon Avron, kes aktsepteerivad tugevamat loogikat kui R (Avron 1990). Ja on neid, nagu Ross Brady, John Slaney, Steve Giambrone, Richard Sylvan, Graham Priest, Greg Restall ja teised, kes on pooldanud R või E nõrgemate süsteemide aktsepteerimist. Üks äärmiselt nõrk süsteem on Robert Meyeri ja Errol Martini loogika S. Nagu Martin on tõestanud, ei sisalda see loogika vormi A → A teoreeme. Teisisõnu, vastavalt S, ei tähenda ükski väide iseenesest ja ükski vormi "A, seega A" argument pole kehtiv. Seega ei muuda see loogika ühtegi ümmargust argumenti.

Lisateavet nende loogikate kohta leiate loogika E, loogika R, loogika NR ja loogika S täiendustest.

Nõrgemate süsteemide kasuks räägib see, et erinevalt R-st või E-st on paljud neist otsustatavad. Mõne nõrgema loogika eripära, mis muudab nad atraktiivseks, on see, et neid saab kasutada naivistliku teooria konstrueerimiseks. Naiivne teooria on kogumite teooria, mis sisaldab teoreemina naiivse mõistmise aksioomi, nimelt kõigi valemite A (y) korral,

∃ x ∀ y (y ∈ x ↔ A (y)).

Tugevatel asjakohastel loogikatel põhinevatel komplektiteooriatel, nagu E ja R, ning ka klassikalisel komplektiteoorial, kui lisada naiivse mõistmise aksioom, suudame tuletada üldse ükskõik millise valemi. Seega väidetakse, et naiivsed teooriad, mis põhinevad sellistel süsteemidel nagu E ja R, on triviaalsed. Siin on intuitiivne visand naiivse kogumiteooria triviaalsuse tõestusest, kasutades loogikast R tuletatud põhimõtteid. Olgu p meelevaldne väide:

1. ∃ x ∀ y (y ∈ x ↔ (y ∈ y → p))	Naiivne mõistmine
2. ∀ y (y ∈ z ↔ (y ∈ y → p))	1, eksistentsiaalne intuitsioon
3. z ∈ z ↔ (z ∈ z → p)	2, universaalne intuitsioon
4. z ∈ z → (z ∈ z → p)	3, df of ↔, ja -Eliminatsioon
5. (z ∈ z → (z ∈ z → p)) → (z ∈ z → p)	Kontraktsiooni aksioom
6. z ∈ z → lk	4,5, Modus Ponens
7. (z ∈ z → p)) → z ∈ z	3, df of ↔, ja -Eliminatsioon
8. z ∈ z	6,7, Modus Ponens
9. lk	6,8, Modus Ponens

Seega näitame, et igasugune meelevaldne väide on sellest naiivses teoorias tuletatav. See on kurikuulus Curry paradoks. Selle paradoksi olemasolu on pannud Grisheni, Brady, Restalli, Priest'i ja teised loobuma kokkutõmbumise aksioomist ((A → (A → B)) → (A → B)). Brady on näidanud, et kokkutõmbumise ja veel mõne võtmetähtsusega teesi eemaldamisel saadakse R- st loogika, mis suudab nõustuda naiivse mõistmisega, muutumata triviaalseks (Brady 2005).

Loodusliku mahaarvamissüsteemi osas tähendab kokkutõmbumine olemasolu luba kasutada ruume mitu korda. Mõelge järgmisele tõendile:

1. A → (A → B) _{1}	Hüp
2. A _{2}	Hüp
3. A → B _{1,2}	1,2, → E
4. B _{1,2}	2,3, → E
5. A → B _{1}	2–4, → I
6. (A → (A → B)) → (A → B)	1–5, → I

See, mis võimaldab tuletada kokkutõmbumist, on asjaolu, et meie abonendid on komplektid. Me ei jälgi, mitu korda (rohkem kui üks kord) hüpoteesi selle tuletamisel kasutatakse. Kontraktsiooni tagasilükkamiseks vajame viisi hüpoteeside kasutamise arvu loendamiseks. Seega kasutavad kokkutõmbumisvabade süsteemide looduslikud deduktsioonisüsteemid komplektide asemel vastavusnumbrite „multisetseid” - need on struktuurid, milles konkreetse numbri esinemiste arv loeb, kuid nende esinemise järjekord seda ei tee. Võib luua veelgi nõrgemaid süsteeme, mis jälgivad ka hüpoteeside kasutamise järjekorda (vt Loe 1986 ja Restall 2000).

5. Asjakohasusloogika rakendused

Lisaks motiveerivatele rakendustele pakkuda meie eelvormilistest mõistetest ja kaasamisest paremaid vorminõudeid ning luua alus naiivsele seatud teooriale, on olulisuse loogikat kasutatud ka erinevatel viisidel filosoofias ja arvutiteaduses. Siin loetlen vaid mõned.

Dunn on välja töötanud sisemiste ja oluliste omaduste teooria, mis põhineb asjakohasel loogikal. See on tema asjakohase ennustamise teooria. Lühidalt öeldes on asjal i omadus F vastavalt Iff i x (x = i → F (x)). Mitteametlikult on objektil asjaomane vara, kui see tähendab, et sellel on asja omamine. Kuna asjakohase implikatsiooni tagajärje tõesus ei ole iseenesest selle implikatsiooni tõesuse jaoks piisav, võivad asjad omada omadusi nii ebaoluliselt kui ka asjakohaselt. Dunni sõnastus näib haaravat vähemalt ühte mõtet, milles me kasutame sisemise omaduse mõistet. Keelele modaalsuse lisamine võimaldab vormistada olulise omaduse mõiste omadusena, millel on nii tingimata kui ka sisemisi omadusi (vt Anderson, Belnap ja Dunn 1992, §74).

Muude matemaatiliste teooriate kui setteooria aluseks on võetud asjaomane loogika. Meyer on tootnud variatsiooniks Peano aritmeetika põhineb loogika R. Meyer esitas lõpliku tõendi, et tema aritmeetikal pole teoreemina 0 = 1. Nii lahendas Meyer ühe Hilberti keskse probleemi asjakohase aritmeetika kontekstis; ta näitas finitaarsete vahenditega, et asjaomane aritmeetika on absoluutselt ühtlane. See muudab asjakohase Peano aritmeetika äärmiselt huvitavaks teooriaks. Kahjuks, nagu Meyer ja Friedman on näidanud, ei sisalda asjaomane aritmeetika kõiki klassikalise Peano aritmeetika teoreeme. Seetõttu ei saa me sellest järeldada, et klassikaline Peano aritmeetika on absoluutselt järjepidev (vt Meyer ja Friedman 1992).

Anderson (1967) sõnastas deontilise loogika süsteemi, mis põhineb R-lning hiljuti on Mares (1992) ja Lou Goble (1999) kasutanud relevantsusloogikat deontilise loogika alusena. Need süsteemid väldivad mõnda tavapärase deontilise loogikaga seotud tavalist probleemi. Üks probleem, millega tavapärane deontiline loogika silmitsi seisab, on see, et need muudavad kehtivaks järelduse A'-st teoreemist OA 's-i teoreemiks, kus' OA 'tähendab' see peaks olema A '. Selle probleemi tekkimise põhjuseks on see, et nüüd on tavapärane käsitleda deontilist loogikat tavalise modaalloogikana. Modaalloogika standardses semantikas, kui A on kehtiv, vastab see tõele kõigis võimalikes maailmades. Veelgi enam, OA on tõene maailmas a ja ainult siis, kui A on tõene igas a-le juurdepääsetavas maailmas. Seega, kui A on kehtiv valem, siis nii on ka OA. Kuid tundub tobe öelda, et iga kehtiv valem peaks nii olema. Miks peaks nii olema, et kas Ecuadoris sajab praegu vihma või ei ole? Asjakohase loogika semantikas ei tee iga maailm paika iga kehtiva valemi abil. Kehtivatest valemitest saab tõeks ainult spetsiaalne maailmaklass (mõnikord nimetatakse seda “baasmaailmadeks” ja mõnikord “normaalseteks maailmadeks”). Iga kehtiv valem võib maailmas ebaõnnestuda. Lubades meie mudelis neid "mitte normaalseid maailmu", muudame selle problemaatilise reegli kehtetuks.

Asjakohasele loogikale on lisatud ka muud tüüpi transpordiliikide operaatorid. Vastava modaaloogika üldist käsitlust vaata Fuhrmann (1990) ja asjakohase episteemilise loogika arendamiseks ja rakendamiseks Wansing (2002).

Routley ja Val Plumwood (1989) ning Mares ja André Fuhrmann (1995) esitavad vastaval loogikal põhinevad kontrafaktuaalsete tingimuste teooriad. Nende semantika lisab Routley-Meyeri semantikale juurdepääsetavuse seose, mis säilib valemi ja kahe maailma vahel. Routley ja Plumwoodi semantikas hoiab A> B maailmas a ja ainult siis, kui kõigi maailmade b korral on selline, et SAab, B hoiab punktis b. Mares ja Fuhrmanni semantika on pisut keerukam: A> B hoiab maailmas a ja ainult siis, kui kõigi maailmade korral b on nii, et SAab, A → B püsiks punktis b (vt Brady (toim.) 2002, §10, et saada üksikasju mõlemad semantika). Mares (2004) esitab asjakohaste tingimuste keerukama teooria, mis hõlmab ka kontrafaktuaalseid tingimusi. Kõik need teooriad väldivad implikatsiooni paradokside analooge, mis ilmnevad kontrafaktuaalide tavaloogikas.

Vastavaid loogikaid on kasutatud nii arvutiteaduses kui ka filosoofias. Lineaarne loogika - Jean-Yves Girardi algatatud loogikaharu - on arvutusressursside loogika. Lineaarsed loogikud loevad implikatsiooni A → B, öeldes, et A-tüüpi ressursi omamine võimaldab meil saada midagi B-tüüpi. Kui meil on A → (A → B), siis teame, et B saame kahest A-tüüpi ressursist. Kuid see ei tähenda, et B-tüüpi ressursi saaksime ühest A-tüüpi ressursist, st me ei tea, kas saame A → B-d. Seega kontraktsioon ebaõnnestub lineaarses loogikas. Lineaarne loogika on tegelikult asjakohane loogika, millel puudub kontraktsioon ja konjunktsiooni jaotumine disjunktsiooni kohal ((A & (B ∨ C)) → ((A & B) ∨ (A & C))). Nende hulka kuulub ka kaks operaatorit (! Ja?), Mida nimetatakse eksponentsiaalideks. Plahvatuse lisamine valemi ette annab sellele valemile võimaluse klassikaliselt tegutseda. Näiteks nagu tavalises asjakohasuse loogikas, ei saa me tavaliselt ka lihtsalt lisada kehtivale järeldusele täiendavat eeldust ja lasta sellel kehtida. Kuid me võime alati lisada vormi eelduse! A kehtivale järeldusele ja kas see jääb kehtima. Lineaarsel loogikal on ka vormi valemite kokkutõmbed! A, st see on nende loogikate teoreem, et (! A → (! A → B)) → (! A → B) (vt Troelstra 1992). Kasutamine! võimaldab käsitleda ressursse, mida saab "soovi korral dubleerida või ignoreerida" (Restall 2000, lk 56). Lineaarse loogika kohta leiate lisateavet alamstruktuurilise loogika kohta.me ei saa tavaliselt lihtsalt lisada kehtivale järeldusele täiendavat eeldust ja lasta sellel jääda jõusse. Kuid me võime alati lisada vormi eelduse! A kehtivale järeldusele ja kas see jääb kehtima. Lineaarsel loogikal on ka vormi valemite kokkutõmbed! A, st see on nende loogikate teoreem, et (! A → (! A → B)) → (! A → B) (vt Troelstra 1992). Kasutamine! võimaldab käsitleda ressursse, mida saab "soovi korral dubleerida või ignoreerida" (Restall 2000, lk 56). Lineaarse loogika kohta leiate lisateavet alamstruktuurilise loogika kohta.me ei saa tavaliselt lihtsalt lisada kehtivale järeldusele täiendavat eeldust ja lasta sellel jääda jõusse. Kuid me võime alati lisada vormi eelduse! A kehtivale järeldusele ja kas see jääb kehtima. Lineaarsel loogikal on ka vormi valemite kokkutõmbed! A, st see on nende loogikate teoreem, et (! A → (! A → B)) → (! A → B) (vt Troelstra 1992). Kasutamine! võimaldab käsitleda ressursse, mida saab "soovi korral dubleerida või ignoreerida" (Restall 2000, lk 56). Lineaarse loogika kohta leiate lisateavet alamstruktuurilise loogika kohta.võimaldab käsitleda ressursse, mida saab "soovi korral dubleerida või ignoreerida" (Restall 2000, lk 56). Lineaarse loogika kohta leiate lisateavet alamstruktuurilise loogika kohta.võimaldab käsitleda ressursse, mida saab "soovi korral dubleerida või ignoreerida" (Restall 2000, lk 56). Lineaarse loogika kohta leiate lisateavet alamstruktuurilise loogika kohta.

Bibliograafia

Äärmiselt hea, ehkki pisut aegunud, asjakohasuse loogika bibliograafia on kokku pannud Robert Wolff ja see on Andersonis, Belnapis ja Dunnis (1992). Järgnev on lühike loetelu sissejuhatustest ja raamatutest asjakohase loogika ja teoste kohta, millele on viidatud eespool.

Raamatud olulisuse loogika ja valdkonna tutvustamise kohta:

Anderson, AR ja ND Belnap, Jr, 1975, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity, Princeton, Princeton University Press, köide I. Anderson, ARND Belnap, Jr ja JM Dunn (1992) Entailment, II köide. [Need on mõlemad olulisuse loogikat veidi muudetud artiklite kogumid koos paljude nende köidetega ainulaadse materjaliga. Suurepärane töö ja ikkagi selleteemalised tavalised raamatud. Kuid need on väga tehnilised ja üsna rasked.]
Brady, RT, 2005, Universal Logic, Stanford: CSLI Publications, 2005. [Raske, kuid äärmiselt oluline raamat, mis annab üksikasju Brady semantika kohta ja tema tõendid selle kohta, et naiivse teooria ja kõrgema järgu loogika põhineb tema nõrgal asjakohasel loogikal..]
Dunn, JM, 1986, “Asjakohasusloogika ja kaasatus” F. Guenthneris ja D. Gabbay (toim.), Filosoofilise loogika käsiraamat, 3. köide, Dordrecht: Reidel, lk 117–24. [Dunn kirjutas selle teose koos Greg Restalliga ümber ja uus versioon on ilmunud Filosoofilise loogika käsiraamatu uue väljaande 6. köites, Dordrecht: Kluwer, 2002, lk 1–128.]
Mares, ED, 2004, asjakohane loogika: filosoofiline tõlgendus, Cambridge: Cambridge University Press.
Mares, ED ja RK Meyer, 2001, “Relevant Logics”, L. Goble (toim), Blackwelli juhend filosoofilise loogika juurde, Oxford: Blackwell.
Paoli, F., 2002, Substructural Logics: Primer, Dordrecht: Kluwer. [Suurepärane ja selge sissejuhatus loogikavälja, mis sisaldab olulisuse loogikat.]
Priest, G., 2008, Sissejuhatus mitteklassikalisse loogikasse: From If to Is, Cambridge: University of Cambridge Press. [Väga hea ja äärmiselt selge esitus asjakohase ja muu mitteklassikalise loogika kohta, milles kasutatakse tõenditeooria jaoks tabelipõhist lähenemisviisi.]
Loe, S., 1988, Relevant Logic, Oxford: Blackwell. [Väga huvitav ja lõbus raamat. Idiosünkraatiline, kuid filosoofiliselt vilunud ja suurepärase tähtsusega loogika eelloo ja varajase ajaloo osas.]
Restall, G., 2000, Sissejuhatus substrukturaalsesse loogikasse, London: Routledge. [Suurepärane ja selge sissejuhatus loogikavälja, mis sisaldab olulisuse loogikat.]
Rivenc, François, 2005, sissejuhatus à la logique pertinente, Pariis: Presses Universitaires de France. [Prantsuse keeles. Annab asjakohase loogika "struktuurilise" tõlgenduse, mis on suures osas tõestusteoreetiline. Kaasatud struktuurid on järjestikuses arvutusruumis olevad ruumid.]
Routley, R., RK Meyer, V. Plumwood ja R. Brady, 1983, asjakohane logika ja selle konkurendid (I köide), Atascardero, CA: Ridgeview. [Väga kasulik raamat ametlike tulemuste saamiseks, eriti olulisuse loogika semantika kohta. Sissejuhatuses ja filosoofilistes märkustes on täis “Richard Routleyisms”. Need on pigem Routley kui teiste autorite vaated ja on isegi radikaalsete loogikute jaoks üsna radikaalsed. II köide värskendab I köidet ja hõlmab muid teemasid nagu tingimuslikud tingimused, kvantifitseerimine ja otsustusprotseduurid: R. Brady (toim), asjakohane loogika ja nende konkurendid (II köide), Aldershot: Ashgate, 2003.]
Goldblatt, R., 2011, Kvantifikaatorid, ettepanekud ja identiteet: Kvantifitseeritud modaalse ja alamstrukturaalse loogika lubatav semantika, Cambridge: Cambridge University Press. [Kvantitatiivse loogika aktsepteeritava semantika üksikasjalik kirjeldus, mida rakendatakse nii modaalse kui ka relevantsuse loogika jaoks, ning kvantitatiivse asjakohasuse loogika jaoks uut tüüpi semantika, kattesemantika.]

Muud viidatud teosed:

Anderson, AR, 1967, “Mõned vastikud probleemid eetika formaalses loogikas”, Noûs, 1: 354–360.
Avron, Arnon, 1990, “Asjakohasus ja parakonsistentsus - uus lähenemisviis”, The Journal of Symbolic Logic, 55: 707–732.
Barwise, J., 1993, “Piirangud, kanalid ja teabevoog”, P. Aczel et al. (toim), situatsiooniteooria ja selle rakendused (3. köide), Stanford: CSLI Publications, lk 3–27.
Belnap, ND, 1982, “Display Logic”, Journal of Philosophical Logic, 11: 375–417.
Brady, RT, 1989, “Dialektiliste kogumiteooria mittetriviaalsus”, G. Priest, R. Routley ja J. Norman (toim), Paraconsistent Logic, München: Philosophia Verlag, lk 437–470.
Dunn, JM, 1973, (kokkuvõte) „Gentzeni süsteem” positiivse asjakohase tähenduse saavutamiseks,”The Journal of Symbolic Logic, 38: 356–357.
Dunn, JM, 1993, “Täht ja Perp”, Philosophical Perspectives, 7: 331–357.
Fine, K., 1974, “Entalisatsiooni mudelid”, Journal of Philosophical Logic, 3: 347–372.
Fuhrmann, A., 1990, “Asjakohase modaalloogika mudelid”, Studia Logica, 49: 501–514.
Goble, L., 1999, “Asjakohane deontiline loogika”, P. McNamara ja H. Prakken (toim), Normid, logid ja infosüsteemid, Amsterdam: ISO Press, lk 331–346.
Grishin, VN, 1974, “Mittestandardne loogika ja selle rakendamine teooria seadmiseks”, “Formaliseeritud keelte ja mitteklassikalise loogika uuringud” (vene keeles), Moskva: Nauka.
Israel, D. ja J. Perry, 1990, “Mis on teave?”, PP Hanson (toim), Information, Language and Cognition, Vancouver: University of British Columbia Press, lk 1–19.
MacColl, H., 1908, „Kui” ja „eeldavad”,”Mind, 17: 151–152, 453–455.
Mares, ED, 1992, “Andersonian Deontic Logic”, Theoria, 58: 3–20.
Mares, ED, 1997, “Asjakohane loogika ja teabe teooria”, Synthese, 109: 345–360.
Mares, ED ja A. Fuhrmann, 1995, “Tingimuste asjakohane teooria”, Journal of Philosophical Logic, 24: 645–665.
Meyer, RK ja H. Friedman, 1992, “Kus asjaomane aritmeetika?”, The Journal of Symbolic Logic, 57: 824–831.
Rantala, V., 1982, “Kvantifitseeritud modaalloogika: mitte-normaalsed maailmad ja propositsioonilised hoiakud”, Studia Logica, 41: 41–65.
Restall, G., 1996, “Infovoog ja asjakohane loogika”, J. Seligman ja D. Westerstahl (toim), loogika, keel ja arvutus (1. köide), Stanford: CSLI Publications, lk 463–478.
Routley, R. ja A. Loparic, 1978, “Arruda-da Costa P süsteemide ja külgnevate mitteasendatavate oluliste süsteemide semantiline analüüs”, Studia Logica, 37: 301–322.
Troelstra, AS, 1992, Loengud lineaarsest loogikast, Stanford: CSLI publikatsioonid.
Urquhart, A., 1972, “Asjakohase loogika semantika” The Journal of Symbolic Logic, 37: 159–169.
Wansing, H., 2001, “Negatsioon”, L. Goble (toim), Blackwelli juhend filosoofilise loogika juurde, Oxford: Blackwell, lk 415–436.
Wansing, H., 2002, “Teemandid on filosoofi parimad sõbrad”, Journal of Philosophical Logic, 31: 591–612.

Akadeemilised tööriistad

sep mehe ikoon	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.