Alamstruktuuriline Loogika

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-08-25 04:38

Sisenemise navigeerimine

• Sissesõidu sisu
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Sõprade PDF-i eelvaade
• Teave autori ja tsitaadi kohta
• Tagasi üles

Alamstruktuuriline loogika

Esmakordselt avaldatud teisipäeval 4. juulil 2000; sisuline redaktsioon ke 21. veebruar 2018

Alamstruktuuriline loogika on mitteklassikaline loogika, nõrgem kui klassikaline loogika, eriti klassikalises loogikas esinevate struktuurireeglite puudumise tõttu. Neid loogikaid motiveerivad kaalutlused filosoofiast (asjakohane loogika), lingvistikast (Lambeki arvutus) ja andmetöötlusest (lineaarne loogika). Lisaks on substrukturaalsest loogikast lähtuvad tehnikad kasulikud traditsioonilise loogika, näiteks klassikalise ja intuitionistliku loogika uurimisel. See artikkel annab lühikese ülevaate alamstrukturaalse loogika valdkonnast. Täpsema sissejuhatuse saamiseks koos teoreemide, tõendite ja näidetega saab lugeja tutvuda bibliograafia raamatute ja artiklitega.

• 1. Jääk
• 2. Loogika perekonnas
• 3. Tõestussüsteemid
• 4. Semantika
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. Jääk

Loogika on seotud loogilise tagajärjega. Selle tulemusel on tinglik loogika keskne mõiste, kuna sellel on intiimne seos loogilise tagajärjega. Seda seost väljendatakse kenasti jääkide seisundis (tuntud ka kui deduktsiooni teoreem):

[p, q / vdash r / text {kui ja ainult siis} p / vdash q / rightarrow r)

Selles öeldakse, et (r) tuleneb (p) koos (q) -ga täpselt siis, kui (q / parempoolne nool r) tuleneb ainult (p) -st. (Q) - (r) (antud (p)) ülemineku kehtivust registreerib tingimuslik (q / paremnool r).

Seda tingliku ja tagajärje vahelist seost nimetatakse matemaatikas analoogia põhjal jäägiks. Mõelge liitmise ja lahutamise vahelisele seosele. (a + b = c) ainult siis, kui (a = c - b). Saadud (a) (mis on (c - b)) on jääk, mis jääb (c) alles, kui (b) ära võetakse. Selle ühenduse teine nimi on deduktsiooni teoreem.

Kuid seos tagajärje ja tingimusliku vahel sisaldab ühte lisafaktorit. Lisaks loogilistele tagajärgedele ja tinglikule, kodeerivale tagajärjele pöördlahenduskeelte sees on lisaks koma, mis näitab ruumide kombinatsiooni. Oleme lugenud “(p, q / vdash r)” nagu “(r) tuleneb (p) koos (q)”. Ruumide ühendamine on viis nende kokkuvõtmiseks. Kuid kuidas saaksime nad kokku võtta? Selgub, et selleks on erinevaid viise ja nii ka erinevaid substruktuurilisi loogikaid. Eelduse kombinatsiooni käitumine varieerub, kuna tingimusliku käitumine varieerub. Selles sissejuhatuses käsitleme selle näiteid.

1.1 Nõrgenemine

(P) tõele vastamine on üks asi. See on veel tingimuslik (q / parempoolne nool p) tõene. Kui aga '(paremnool)' on oluline tingimuslik, siis (q / paremnool p) tuleneb (p) -st. Mitmel erineval põhjusel võime soovida mõista, kuidas tingimuslik selle järelduse puudumisel toimiks. See on seotud eelduste kombinatsiooni käitumisega, nagu see demonstratsioon näitab.

) cfrac {p / vdash p} { cfrac {p, q / vdash p} {p / vdash q / rightarrow p}})

Aksioomaatilise (p / vdash p) põhjal (miski tuleneb iseenesest) järeldame, et (p) tuleneb (p) -st koos (q) -ga ja seejärel jääkide abil (p / vdash q / paremnool p). Kui tahame tagasi lükata järeldused vahemikust (p) kuni (q / parempoolne nool p), siis lükame tagasi jäägid või lükkame identiteedi aksioomi ümber tõendi alguses või lükkame ümber tõendi esimese etapi. Valgustav on kaaluda, mis on selle viimase valikuga seotud. Siinkohal tuleb eitada, et (p) tuleneb (p, q). Üldiselt peame tagasi lükkama järelduse reegli, mis on sellisel kujul:

) frac {X / vdash A} {X, Y / vdash A})

Seda nimetatakse nõrgenemise reegliks. Reegel astub tugevamast väitest, et (A) saab teisendist (X) tõenäoliselt nõrgemaks, (A) tuleneb (X) -st koos (Y) -ga.

Inimesed on nõrgenemise reegli tagasilükkamiseks pakkunud erinevaid põhjuseid, sõltuvalt tagajärje ja eelduse kombinatsiooni tõlgendamisest. Üks varaseid motiveerivaid näiteid on seotud olulisusega. Kui loogika on asjakohane (kui öelda, et (p) tähendab (q) on tõsi, siis öelda vähemalt, et (q) sõltub tõesti (p)), siis koma ei pea ei rahulda nõrgenemist. Meil võib tõepoolest olla (A), mis järgneb (X), ilma (A) ei järgne (X, Y), sest ei pea nii olema, et (A) sõltub (X) X) ja (Y) koos.

Asjakohase loogika puhul ebaõnnestub ka nõrgenemise reegel, kuna soovime, et ka see argument oleks kehtetu:

) cfrac {q / vdash q} { cfrac {p, q / vdash q} {p / vdash q / rightarrow q}})

Jällegi võib (q) tuleneda (q), kuid see ei tähenda, et see järeldub (p) koos (q) -ga, eeldusel, et “koos” on mõeldud tugevalt meel. Niisiis võib asjakohase loogika korral suvalise eelduse loogilisele tõele nagu (q / parempoolne nool q) järeldamine ebaõnnestuda.

1.2 Kommutatiivsus

Kui eelduse kombinatsiooni režiim on kommutatiivne (kui midagi, mis tuleneb punktist (X, Y) tuleneb ka (Y, X)), siis võime seda põhjendada järgmiselt, kasutades ainult identiteedi aksioomi ja jääki:

) cfrac {p / rightarrow q / vdash p / rightarrow q} { cfrac {p / rightarrow q, p / vdash q} { cfrac {p, p / rightarrow q / vdash q} {p / vdash (p / paremnool q) paremnool q}}})

Eeldusalade kombinatsiooni kommutatiivsuse puudumisel pole see tõendusmaterjal saadaval. See on veel üks lihtne näide eeldusest tuleneva kombinatsiooni käitumise ja tingimuslikku hõlmavate deduktsioonide vahelise seose kohta.

Tingimusi on mitmesuguseid, mille puhul see järeldus ebaõnnestub. Kui “(parempoolne nool]” omab modaalset jõudu (kui see väljendab teatud tüüpi tagajärge, siis on (p / parempoolne nool q) tõene, kui kõigil seotud asjaoludel, milles (p) on, (q) teeb liiga) ja kui “(vdash)” väljendab kohalikku tagajärge ((p / vdash q) siis ja ainult siis, kui mõni mudel, mis tahes olukorras, kus (p) on, kehtib siis (q)) ebaõnnestub. Võib olla tõsi, et Greg on loogik ((p)) ja on tõsi, et Gregi loogikuks olemine tähendab, et Greg on filosoof ((p / parempoolne nool q) - seotud asjaoludel, kus Greg on loogik, ta on filosoof), kuid see ei tähenda, et Greg oleks filosoof. (On palju olukordi, kus järeldus ((p / parempoolne nool q)) on tõene, kuid (q) ei ole.) Seega on tegemist asjaoluga, kus (p) vastab tõele, kuid ((p / parempoolne nool q) paremnool q) ei ole. Argument on vale.

Seda vastunäidet võib mõista ka eelduste kombinatsiooni käitumise osas. Kui me ütleme, et (X, A / vdash B) on tõsi, siis me ei ütle lihtsalt, et (B) kehtib igas olukorras, milles mõlemad (X) ja (A) omavad. Kui oleme järel tõelise kaasamise A (parempoolne) B, siis tahame, et (B) oleks tõene kõigis (seotud) olukorras, kus (A) vastab tõele. Niisiis, (X, A / vdash B) ütleb, et igal juhul, kus (A) on tõene, on ka (B). Need võimalused ei pruugi kõiki (X) rahuldada. (Klassikalistes kaasamise teooriates on võimalused sellised, kus tõesed on kõik, mida võetakse vastavalt vajadusele (X).)

Kui eeldus kombinatsioon ei ole kommutatiivne, siis võib jääkmine toimuda kahel viisil. Lisaks jääkide tingimusele, mis annab käitumise (parempoolne), võiksime määratleda uue noole (vasaku noole) järgmiselt:

[p, q / vdash r / text {ainult siis, kui} q / vdash r / vasaknool p)

Nool vasakult paremale on meil selles suunas modus ponens:

[p / paremnool q, p / vdash q)

Paremale-vasakule osutatava noole puhul on modus ponensi võimalik kasutada ruumidega vastupidises järjekorras:

[p, q / vasaknool p / vdash q)

See on alamstrukturaalse loogika tunnusjoon. Kui pöörame tähelepanu sellele, mis juhtub siis, kui meil pole struktuurieeskirju täielikult komplekteeritud, avanevad uued võimalused. Me paljastame selle, mis oli varem ühe (intuitsioonilises või klassikalises loogikas) all kaks tingimust.

Järgmises osas näeme veel ühte näidet, mis motiveerib mittekommutatiivset eelduste kombinatsiooni, ja neid kahte erinevat tingimust.

1.3 Assotsiatiivsus

Siin on veel üks viis, kuidas struktuurireeglid mõjutavad tõestamist. Eelduste kombinatsiooni assotsiatiivsus annab järgmise tõendi:

) cfrac {r / parem nool p, r / vdash p / \ / p / parem nool q, p / vdash q} { cfrac {p / parempoolne nool q, (r / parem nool p, r) vdash q} { cfrac {(p / parempoolne nool q, r / parempoolne nool p), r / vdash q} { cfrac {p / paremnool q, r / parempoolne nool p / vdash r / parempoolne q} {p / parempoolne nool q / vdash (r / parempoolne nool p) parempoolne nool (r / paremnool q)}}}})

See tõend kasutab kõige kõrgemal etapil lõikereeglit. Idee on selles, et järeldusi saab kombineerida. Kui (X / vdash A) ja (Y (A) vdash B) (kus (Y (A)) on ruumide struktuur, mis võib sisaldada (A) üks või mitu korda), siis (Y (X) vdash B) (kus (Y (X))) on ruumide struktuur, kus (A) esinemisjuhud asendatakse (X)). Selle tõestuse korral asendame (p / parempoolne nool q, p / vdash q) (p) sõnaga (r / parempoolne nool, r), lähtudes (r / parempoolse noole p kehtivusest, r / vdash p).

1.4 Kontraktsioon

Viimane oluline näide on kokkutõmbumisreegel, mis määrab, kuidas ruume saab uuesti kasutada. Kontraktsioon on ülioluline, kui järeldada, et (p / parempoolne nool q) alates (p / parempoolne nool (p / paremnool q))

) cfrac { maatriks { cfrac {p / paremnool (p / parempoolne q) vdash p / parempoolne (p / parempoolne q)} {p / parempoolne (p / parempoolne q), p / vdash p / parempoolne q } & / cfrac {p / paremnool q / vdash p / paremnool q} {p / paremnool q, p / vdash q}}} { cfrac {(p / parempoolne nool (p / parempoolne q), p), p / vdash q} { cfrac {p / parempoolne nool (p / paremnool q), p / vdash q} {p / paremnool (p / parempoolne q) vdash p / parempoolne q}}})

Need erinevad näited annavad teile ülevaate sellest, mida saab teha struktuurireeglitega. Struktuurieeskirjad mitte ainult ei mõjuta tingimisi, vaid mõjutavad ka teisi ühendusi, näiteks konjunktsiooni ja disjunktsiooni (nagu allpool näeme) ja eitust (Dunn 1993; Restall 2000).

1.5 Konstruktsioon pöördenurga paremal

Alates Gentzeni järjestikuse arvutuse kasutuselevõtust (Gentzen 1935) oleme teada, et erinevust klassikalise loogika ja intuitionistliku loogika vahel võib mõista ka struktuurireeglite erinevusena. Selle asemel, et kaaluda vormi (X / vdash A) jada, milles meil on eelkäijate kogu ja üks järeldus, on klassikalise loogika jaoks viljakas pidada vormi järge

[X / vdash Y)

kus nii (X) kui (Y) on avalduste kogumid. Kavandatud tõlgendus on selline, et kõigist (X) järeldub, et osa (Y) -st. Teisisõnu, meil ei saa olla kõiki (X) ja mitte ühtegi (Y) saada.

Lubades mitme tagajärjega järjestusi ja tõlgides reegleid sellesse laiendatud konteksti, suudame tuletada klassikalisi tautoloogiaid. Näiteks tuletus

) cfrac {p / vdash p} { cfrac {p / vdash q, p} { vdash p / rightarrow q, p}})

näitab, et kas (p / parempoolne nool q) või (p) peavad säilima. See on klassikaliselt kehtiv (kui (p) ebaõnnestub, (p) on väär ja valede eelnevate tingimustega tõesed), kuid intuitiivses loogikas kehtetu. Klassikalise ja intuitionistliku loogika erinevust saab formaalselt mõista kui erinevust lubatud struktuurireeglite ja loogiliste tagajärgede analüüsimisel sobivate struktuuride vahel.

2. Loogika perekonnas

Alamstruktuurilise loogika perekonnas on palju erinevaid formaalseid süsteeme. Neid loogikaid saab motiveerida erineval viisil.

2.1 Asjakohane loogika

Paljud inimesed on soovinud anda ülevaate loogilisest kehtivusest, pöörates tähelepanu olulisuse tingimustele. Kui (X, A / vdash B) kehtib, peab (X) kuidagi olema (A) asjakohane. Eelduskombinatsiooni piiratakse järgmisel viisil. Meil võib olla (X / vdash A), ilma et meil oleks ka (X, Y / vdash A). Uus materjal (Y) ei pruugi mahaarvamise jaoks olla asjakohane. 1950. aastatel andsid Moh (1950), Church (1951) ja Ackermann (1956) kõik ülevaate, milline võiks olla „asjakohane” loogika. Ideed on välja töötanud Andersoni ja Belnapi, nende õpilaste Dunn ja Meyeri ja paljude teiste keskmes töötav vool. Piirkonna kanoonilisteks viideteks on Andersoni, Belnapi ja Dunni kaheköiteline Entailment (1975 ja 1992). Muud sissejuhatused leiate Read'i olulisest loogikast, Dunn ja Restalli olulisuse loogikast (2002),ja Marese asjakohane loogika: filosoofiline tõlgendus (2004).

2.2 Ressursiteadlikkus

See pole ainus viis eelduste kombinatsiooni piiramiseks. Girard (1987) tutvustas protsesside ja ressursside kasutamise mudelina lineaarset loogikat. Selle mahaarvamiskonto mõte on see, et ressursse tuleb kasutada (nii et eelduste kombinatsioon vastab olulisuse kriteeriumile) ja need ei laiene määramata aja jooksul. Ruume ei saa (uuesti) kasutada. Niisiis, mul võib olla (X, X / vdash A), mis ütleb, et ma saan (X) kasutada (A) saamiseks kaks korda. Võimalik, et mul pole (X / vdash A), mis ütleb, et ma võin (X) ükskord kasutada (A) saamiseks. Kasulik sissejuhatus lineaarsesse loogikasse on toodud Troelstra loengutes lineaarsest loogikast (1992). On ka teisi formaalseid loogikaid, kus kokkutõmbumisreegel (alates (X, X / vdash A) kuni (X / vdash A)) puudub. Kõige kuulsamad neist on Łukasiewiczi paljuväärtuslik loogika. Curry paradoksi tõttu on püsinud huvi loogika vastu selle reegli puudumise tõttu (Curry 1977, Geach 1995; vt ka Restall 1994 muudes Interneti-ressurssides).

3. Telli

Mõlemast traditsioonist sõltumatult kaalus Joachim Lambek keele ja süntaksi matemaatilisi mudeleid (Lambek 1958, 1961). Idee on selles, et eelduskombinatsioon vastab keelpillide või muude keeleliste üksuste koostisele. Siin erineb (X, X) sisust (X), kuid lisaks erineb (X, Y) Y, X-st. Lisaks kasutatavate ruumide arvule loeb ka nende järjekord. Häid sissejuhatusi Lambeki arvutusse (mida nimetatakse ka kategooriliseks grammatikaks) võib leida Moortgati (1988) ja Morrilli (1994) raamatutest.

3. Tõestussüsteemid

Oleme juba näinud fragmenti ühest viisist substruktuurilise loogika esitamiseks tõendite osas. Oleme kasutanud jääkide tingimust, mida võib mõista nii, et see sisaldab kahte tingimust käsitlevat reeglit, ühte tingimuse kehtestamiseks

) cfrac {X, A / vdash B} {X / vdash A / rightarrow B})

ja teine selle kõrvaldamiseks.

) cfrac {X / vdash A / parem nool B / \ / Y / vdash A} {X, Y / vdash B})

Need reeglid moodustavad loomuliku deduktiivsüsteemi nurgakivi ja neid süsteeme saab kasutada alamstrukturaalse loogika laiaulatuslikuks muutmiseks. Kuid tõestusteooriat saab teha ka muul viisil. Gentzen-süsteemid ei tööta mitte ühenduste juurutamise ja eemaldamise kaudu, vaid neid tutvustades nii loogilise tagajärjega pöördelaua vasakul kui ka paremal. Hoiame sissejuhatuse reeglit ülalpool ja asendame kõrvaldamise reegli ühega, mis tutvustab vasakpoolset tingimust:

) cfrac {X / vdash A / \ / Y (B) vdash C} {Y (A / rightarrow B, X) vdash C})

See reegel on keerulisem, kuid sellel on sama mõju kui noole eemaldamise reeglil: Selles öeldakse, et kui (X) piisab (A) ja kui kasutate (B) (mõnes kontekstis (Y)) tõestamiseks (C), siis oleksite sama hästi võinud kasutada (A / parempoolset noolt B) koos (X) (samas kontekstis (Y)) tõestamiseks (C), kuna (A parempoolne nool B / koos (X) annab teile (B).

Gentzen süsteemidel, mille sissejuhatuseeskirjad asuvad vasakul ja paremal, on väga erilised omadused, mis on kasulikud loogika uurimisel. Kuna ühendusi tutvustatakse alati tõendina (loetakse ülalt alla), ei kaota tõendid kunagi struktuuri. Kui liitmikku ei kuvata tõendi lõpus, siis ei kuvata seda tõendis üldse, kuna seda ei saa kõrvaldada.

Teatud alamstruktuuriloogikates, nagu näiteks lineaarne loogika ja Lambeki arvutus, ning vastava loogika fragmendis (mathbf {R}) ilma disjunktsioonita saab kasutada Gentzeni süsteemi, et näidata loogika otsustatavust, võib leida algoritmi, et teha kindlaks, kas argument (X / vdash A) on kehtiv või mitte. Selleks otsitakse Gentzeni süsteemist (X / vdash A) tõestusi. Kuna selle järelduse ruumides ei tohi olla ühtegi keelt, mitte selles järelduses, ja neil pole suuremat keerukust (nendes süsteemides), on võimalikke ruume ainult piiratud arv. Algoritm võib kontrollida, kas need vastavad süsteemi reeglitele, ja otsida nende jaoks ruume või loobuda aksioomi sattumisest. Sel viisil on tagatud mõnede alamstruktuuride loogika otsustatavus.

Kuid mitte kõik alamstruktuuriloogikad pole selles mõttes otsustatavad. Kõige tuntum on see, et asjakohane loogika (mathbf {R}) ei ole otsustatav. Osaliselt on selle põhjuseks asjaolu, et selle tõestusteooria on keerukam kui teiste substruktuuriliste loogikate oma. (mathbf {R}) erineb lineaarsest loogikast ja Lambeki arvutusest konjunktsiooni ja disjunktsiooni sirgjoonelise käsitlemise poolest. Eelkõige vastavad konjunktsioon ja disjunktsioon jaotuse reeglile:

[p / amp (q / vee r) vdash (p / amp q) vee (p / amp r))

Jaotuse loomulik tõestus mis tahes tõestussüsteemis kasutab nii nõrgendamist kui ka kokkutõmbumist, seega pole see vastavas loogikas (mathbf {R}) saadaval, mis nõrgendamist ei sisalda. Selle tulemusel sisaldavad (mathbf {R}) tõestusteooriad kas jaotust primitiivse reeglina või sisaldavad eelduskombinatsiooni teist vormi (nn laienduskombinatsioon, erinevalt meie ette nähtud intentsionaalsest eelduskombinatsioonist), mis rahuldab nõrgenemist ja kokkutõmbumist.

Viimastel aastatel on tehtud palju tööd klassikalise loogika tõestusteooria kallal, mida on inspireeritud ja teadvustatud alamstrukturaalse loogika uuringutest. Klassikaline loogika täiendab täielikult struktuurireegleid ja on ajalooliselt eelnenud uuematele substruktuurilise loogika süsteemidele. Kui aga on tegemist katsetega mõista klassikaliste tõestussüsteemide sügavat ülesehitust (ja eriti siis, kui kaks tuletist, mis erinevad pealiskaudselt süntaktiliselt, on tõepoolest erinevad viisid, mis tähistavad “tõestust”), on see valgustav mõelda klassikaline loogika, mille moodustab põhiline alamstruktuurne loogika, milles täiendustena kehtestatakse täiendavad struktuurireeglid. Eriti,on selgunud, et see, mis klassikalist tõestust õdedest-vendadest eristab, on kokkutõmbumise struktuurireeglite olemasolu ja nende täieliku üldistuse nõrgenemine (vt nt Bellin jt 2006 ja selles viidatud kirjandus).

4. Mudeliteooria

Ehkki asjassepuutuval loogikal (mathbf {R}) on tõesüsteem keerukam kui alamstruktuuriloogikal, näiteks lineaarsel loogikal, millel puudub (pikendusliku) konjunktsiooni jaotus disjunktsiooni kohal, on selle mudelateooria kokkuvõtlikult lihtsam. Vastava loogika (mathbf {R}) Routley-Meyeri mudel koosneb punktide komplektist ((P)) kolme koha suhtega ((R)) peal ((P)). Tingimuslikku (parempoolset noolt B) hinnatakse maailmas järgmiselt:

(Parempoolne nool B) on tõene asukohas (x) ainult siis, kui iga (y) ja (z) kus (Rxyz), kui (A) on tõene aadressil (y, B) vastab tõele positsioonil (z).

Argument kehtib mudelis just siis, kui mis tahes punktis, kus eeldused on tõesed, kehtib ka järeldus. Argument (A / vdash B / parempoolne nool B) on kehtetu, kuna meil võib olla punkt (x), kus (A) on tõene, kuid kus (B / parempoolne nool B) pole. Võib juhtuda, et (B / parempoolne nool B) ei vasta tõele kohas (x), kui lihtsalt on (Rxyz), kus (B) vastab tõele asukohas (y), kuid mitte (z).

Kolmekoha suhe (R) jälgib tähelepanelikult eelduste kombinatsiooni režiimi käitumist alamstrukturaalse loogika tõestusteoorias. Erineva loogika jaoks saab (R) -le panna erinevaid tingimusi. Näiteks, kui eeldus kombinatsioon on kommutatiivne, asetame sümmeetriatingimus (R) -le niimoodi: (Rxyz) siis ja ainult siis, kui (Ryxz). Kolmeastmeline relatsiooniline semantika annab meile suurepärase võimaluse substruktuurilise loogika käitumise modelleerimiseks. (Substrukturaalse loogika tõestusteooria ja algebrani ning semantika vastavuse ulatus on esitatud Dunni töös Gaggle Theory (1991) ja see on kokku võetud Restalli sissejuhatuses substructural Logics (2000).)

Lisaks, kui konjunktsioon ja disjunktsioon vastavad eelmises jaotises nimetatud jaotuse aksioomile, saab neid ka otsekohe modelleerida: konjunktsioon on tõene just siis, kui mõlemad konjunktsioonid on sel hetkel tõesed ja disjunktsioon tõesed just siis, kui vähemalt üks disjunktsioon on seal tõsi. Loogika, näiteks lineaarloogika korral, ilma jaotusaksioomita, peab semantika olema keerulisem, jaotuse järelduse kehtetuks tunnistamiseks on vaja erinevat disjunktsiooni klauslit.

Loogika modelleerimiseks on formaalne seade semantika kasutamine üks asi. Teine on kasutada semantikat tõlgendusvahendina loogika rakendamiseks. Alamstruktuuriloogikat käsitlev kirjandus pakub meile mitmeid erinevaid viise, kuidas ternaarset relatsioonilist semantikat saab kasutada nende nähtuste loogilise struktuuri kirjeldamiseks, mille puhul traditsioonilised struktuurireeglid ei kehti.

Lambeki-sarnaste loogikate puhul on semantika tõlgendamine sirgjooneline. Me võime punkte pidada keelelisteks üksusteks ja kolmesidemeks liitmise ((Rxyz) seose siis ja ainult siis, kui (x), mis on ühendatud (y), annab tulemuseks (z)). Nendes mudelites kõik kontraktsiooni, nõrgenemise ja permutatsiooni struktuurireeglid ebaõnnestuvad, kuid eelduste kombinatsioon on assotsiatiivne.

Kaasaegne keelelist klassifikatsiooni käsitlev kirjandus laiendab Lambeki põhiarvestust rikkamate kombinatsioonivormidega, milles saab modelleerida süntaktilisemaid jooni (vt Moortgat 1995).

Nende mudelite teine rakendus on funktsioonide rakenduse semantika käsitlemine. Me võime mõelda mudelistruktuuri punkte nii funktsioonide kui ka andmetena ning pidada seda (Rxyz) ainult siis, kui (y) (funktsioonina käsitatavat) rakendatakse (y) (käsitatakse andmetena)) on (z). Funktsioonide tavapärased kontod ei soodusta seda kahesugust kasutamist, kuna funktsioone peetakse sisenditest või väljunditest kõrgemaks (funktsioonide traditsioonilisel teoreetilisel mudelil on funktsioon (on) selle sisendi kogum -väljundipaare ja nii ei saa see kunagi ennast sisendiks võtta, kuna komplektid ei saa end liikmetena sisaldada). Kuid näiteks funktsioonide süsteemid, mis on modelleeritud tüübita (lambda) - calculus, võimaldavad ise rakendusi. Arvestades mudeli punktepunkt on tüüpi (A / paremnool B) lihtsalt juhul, kui ta võtab tüüpi (A) sisendeid, võtab see tüübi (B) väljundeid. Selle süsteemi järeldusereeglid on siis põhimõtted, mis reguleerivad funktsioonide liike: järjestikku

[(A / parempoolne nool B) amp (A / parempoolne nool C) vdash A / parempoolne (B / amp C))

ütleb meile, et kui funktsioon võtab (A) s (B) s ja (A) s (C) s, siis võtab (A) asju, mis on mõlemad (B) ja (C).

See näide annab meile mudeli, kus sobiv substruktuuriline loogika on äärmiselt nõrk. Ükski tavalistest struktuurireeglitest (isegi mitte assotsiatiivsus) pole selles mudelis täidetud. Seda kolmeastmelise relatsioonimudeli näidet käsitletakse (Restall 2000, peatükk 11).

Asjakohase loogika (mathbf {R}) ja selle loomulike keeletingimuste tõlgendamise jaoks tuleb teha rohkem tööd selle nimel, et selgitada välja, millised reaalsuse tunnused moodustavad formaalse semantika mudelid. See on olnud mõne poleemika küsimus, kuna ternaarne suhe pole harjumatu mitte ainult neile, kelle kokkupuude on peamiselt modaaloogikaga, võimalike maailmade lihtsama binaarse juurdepääsetavuse suhtega, vaid ka seetõttu, et eituse käsitlemine uudsuses on asjakohane loogika. See pole meie koht, kus siin seda arutelu üksikasjalikult arutada. Mõne selle töö kohta on juttu selle entsüklopeedia vastavat loogikat käsitlevas artiklis ja selles valguses asjakohase loogika raamatupikkune käsitlus on Marese asjakohane loogika: filosoofiline tõlgendus (2004).

5. Kvantifikaatorid

Kvantifikaatorite töötlemine substrukturaalse loogika mudelites on osutunud üsna keerukaks, kuid edusamme on tehtud 2000. aastate alguses. Raskused tekkisid selles, mis tundus olevat kvantitatiivide tõestusteooria ja mudelateooria erinevus. Kvantifikaatorite sobivad aksioomid või reeglid on suhteliselt sirged. Universaalne kvantifikaatori elimineerimise aksioom) forall xA / rightarrow A [t / x]) väidab, et juhtum tuleneb (asjakohases tähenduses) selle universaalsest üldistusest. Sissejuhatusreegel) cfrac { vdash A / rightarrow B} { vdash A / rightarrow / forall xB}) (kus kehtib tingimus, et (A) kehtib (A) korral vabalt) ütleb meile et kui suudame loogika mõttes tõestada üldistuse (forall xB) näidet mingist eeldusest, mis ei esita selle juhtumi kohta erilist väidet,saame ka selle eelduse põhjal üldistust tõestada. See aksioom ja reegel näib olevat kenasti sobilik igasuguse alamstrukturaalse loogika esimese astme kvantifikaatorite tõlgendustega, alates kõige nõrgematest süsteemidest kuni tugevate süsteemideni, nagu (mathbf {R}).

Ehkki kvantifikaatorite tõestamise teooria tundub hästi käituvat, on osutunud keeruliseks üldistamine substrukturaalse loogika mudelateooria jaoks. Richard Routley (1980) näitas, et kvantifikaatorite reeglite lisamine väga nõrgale alamstrukturaalse loogika süsteemile (mathbf {B}) sobib sobivalt kolmepoolse relatsioonilise semantikaga, kus kvantiive tõlgendatakse nii, et need ulatuvad objektide domeenini, konstantne kõigis mudeli punktides. See asjaolu ei kehti tugevama loogika, eriti asjakohase loogika (mathbf {R}) korral. Kit Fine (1989) näitas, et on olemas keeruline valem, mis kehtib kõigis (mathbf {R}) konstantse domeeni raamimudelites, kuid mida ei saa tuletada aksioomidest. Finei argumendi üksikasjad pole meie jaoks olulised,kuid mittevastavuse algpõhjus on suhteliselt sirgjooneline. Pidevas domeeni semantikas on universaalsel üldistusel (forall x Fx) mudeli igas punktis täpselt samad tõetingimused nagu eksemplaride rühmal (Fx_1), (Fx_2), (Fx_3, / ldots), (Fx_ / lambda, ldots), kus domeenide objektid loetletakse tingimuste (x_i) väärtustega. Niisiis, kvantifitseeritud avaldis (forall x Fx) on semantiliselt eristatav (võimalik, et lõpmatu) konjunktsioonist (Fx_1 / maa Fx_2 / maa Fx_3 / maa / cdots). Ükski juhtumite koosseis (isegi lõpmatu) ei võiks siiski olla samaväärne üldtunnustatud väitega (forall x Fx),kuna juhtumid võivad mingil juhul tõesed olla (või võivad asjaoluga tõeks saada) tegemata ka üldistust - kui asju oleks olnud rohkem kui neid. Seega tunduvad pidevad domeenimudelid asjakohase kvantifitseerimise teooria projekti jaoks sobimatuna.

Goldblati ja Marese hiljutised tööd (2006) on näidanud, et on olemas alternatiiv ja see osutub elegantseks ja suhteliselt otsekoheseks. Ülioluline mõte on muuta kolmeastmelist relatsioonilist semantikat vaid pisut, nii et mitte kõiki punktide kogumeid ei pea arvestama "ettepanekuga". See tähendab, et mitte iga punktikomplekt ei ole lause võimalik semantiline väärtus. Niisiis, kuigi on olemas hulk maailmu, mis on määratud (forall xFx) esinemisjuhtude lõpmatu koosmõjul: (Fx_1 / maa Fx_2 / maa Fx_3 / maa / cdots), ei pruugi seda täpset maailmade kogumit arvestada ettepanek. (Võib-olla pole kuidagi võimalik neid konkreetseid objekte eraldada viisil, mis koondaks need kokku ühes kohtuotsuses.) Mida me võime öelda, on üldistus (forall xFx) ja see on juhend, mis hõlmab kõiki esinemisjuhte (see on universaalne kvantifikaatori kõrvaldamise aksioom), ja kui pakkumine hõlmab iga esinemisjuhtu, siis tähendab see üldistust (et on sissejuhatuse reegel), seega on (forall xFx) väljendatud väide semantiliselt kõige nõrgem väide, mis hõlmab iga esinemisjuhtu Fa. See on täpselt Goldblatt & Marese mudelite universaalse kvantifikaatori modelleerimise tingimus ja vastab täpselt aksioomidele. See on täpselt Goldblatt & Marese mudelite universaalse kvantifikaatori modelleerimise tingimus ja vastab täpselt aksioomidele. See on täpselt Goldblatt & Marese mudelite universaalse kvantifikaatori modelleerimise tingimus ja vastab täpselt aksioomidele.

Bibliograafia

Robert Wolff koostas põhjaliku asjakohase loogika bibliograafia, mille võib leida Anderson, Belnap ja Dunn 1992. Restall 2000 bibliograafia (vt muid Interneti-ressursse) pole nii põhjalik kui Wolffi, kuid see sisaldab materjale kuni tänapäev.

Raamatud alamstrukturaalsest loogikast ja põllu sissejuhatused

• Anderson, AR ja Belnap, ND, 1975, Entailment: asjakohasuse ja vajalikkuse loogika, Princeton, Princeton University Press, I köide.

• Anderson, AR, Belnap, ND Jr., ja Dunn, JM, 1992, Entailment, II köide, Princeton, Princeton University Press

  . Mõnes nende raamatute peatükis on teisi autoreid, näiteks Robert K. Meyer ja Alasdair Urquhart.]

• Dunn, JM ja Restall, G., 2000, “Asjakohasuse loogika”, F. Guenthner ja D. Gabbay (toim.), Filosoofilise loogika käsiraamat, teine trükk; 6. köide, Kluwer, lk 1–136.

  [Andersoni-Belnapi traditsiooni asjakohase loogikaga tehtud töö kokkuvõte.]

• Galatos, N., P. Jipsen, T. Kowalski ja H. Ono, 2007, Residuated Lattices: Algebraic Glimpse at Substructural Logics (Studies in Logic: Volume 151), Amsterdam: Elsevier, 2007.

• Mares, Edwin D., 2004, asjakohane loogika: filosoofiline tõlgendus Cambridge University Press.

  [Sissejuhatus asjassepuutuvasse loogikasse, kus pakutakse infoteoreetilist arusaamist kolmepoolse relatsioonilise semantika kohta.]

• Moortgat, Michael, 1988, Kategoorilised uurimised: Lambek Calculus Foris'i loogilised aspektid, Dordrecht.

  [Veel üks sissejuhatus Lambeki arvutusse.]

• Morrill, Glyn, 1994, Tüüpiline loogika grammatika: märkide kategooriline loogika Kluwer, Dordrecht [sissejuhatus Lambeki arvutusse.]

• Paoli, Francesco, 2002, Substructural Logics: Primer Kluwer, Dordrecht

  [Substrukturaalse loogika üldine sissejuhatus.]

• Loe, S., 1988, Relevant Logic, Oxford: Blackwell.

  [Sissejuhatus asjassepuutuvasse loogikasse, mis on ajendatud tähendusteooria kaalutlustest. Töötab välja vastava loogika jaoks Lemmoni stiilis tõestusteooria (mathbf {R}).]

• Restall, Greg, 2000, Sissejuhatus substrukturaalsesse loogikasse, Routledge. (veebipõhine précis)

  [Üldine sissejuhatus alamstrukturaalse loogika valdkonda.]

• Routley, R., Meyer, RK, Plumwood, V., ja Brady, R., 1983, Asjakohased logikad ja nende konkurendid, I köide, Atascardero, CA: Ridgeview.

  [Veel üks eripärane ülevaade asjakohasest loogikast, seekord Austraalia filosoofilisest vaatenurgast.]

• Schroeder-Heister, Peter ja Došen, Kosta (toim), 1993, Substructural Logics, Oxford University Press.

  [Redigeeritud esseekogumik erinevatel alamstruktuuriloogika teemadel, valdkonna erinevatest traditsioonidest.]

• Troestra, Anne, 1992, Loengud lineaarsest loogikast, CSLI publikatsioonid

  [Kiire, hõlpsasti loetav sissejuhatus Girardi lineaarsesse loogikasse.]

Muud viidatud teosed

• Ackermann, Wilhelm, 1956, “Begründung Einer Strengen Implikation”, Journal of Symbolic Logic, 21: 113–128.
• Avron, Arnon, 1988, “Lineaarse loogika semantika ja tõestamise teooria”, Teoreetiline arvutiteadus, 57 (2–3): 161–184.
• Gianluigi Bellin, Martin Hyland, Edmund Robinson ja Christian Urban, 2006, “Klassikalise propositsioonilise kalkulatsiooni kategooriline tõestusteooria”, Teoreetiline arvutiteadus, 364: 146–165.
• Kirik, Alonzo, 1951, “Nõrk teostusteooria”, Kontrolliertes Denken: Untersuchungen zum Logikkalkül und zur Logik der Einzelwissenschaften, A. Menne, A. Wilhelmy ja H. Angsil (toim), Kommissions-Verlag Karl Alber, 22 –37.
• Curry, Haskell B., 1977, Matemaatilise loogika alused, New York: Dover (algselt avaldatud 1963).
• Dunn, JM, 1991, “Gaggle'i teooria: Galoise seoste abstraktsioon ja jäägid koos eituse ja mitmesuguste loogiliste toimingute rakendustega”, AI loogika, Proceedings European Workshop JELIA 1990 (arvutiteaduse loengute märkused, köide 476), Berliin: Springer-Verlag.
• Dunn, JM, 1993, “Täht ja Perp”, Philosophical Perspectives, 7: 331–357.
• Fine, K., 1989, “Kvantitatiivse asjakohasuse loogika puudulikkus”, J. Norman ja R. Sylvan (toim), Directions in Relevant Logic, Dordrecht: Kluwer, lk 205–225.
• Geach, PT, 1955, “On Insolubilia”, analüüs, 15: 71–72.
• Gentzen, Gerhard, 1935, “Untersuchungen über das logische Schließen”, Mathematische Zeitschrift, 39: 176–210 ja 405–431. [Ingliskeelne tõlge on leitud Gentzenist 1969.]
• Gentzen, Gerhard, 1969, Gerhard Gentzeni kogutud paberid, ME Szabo (toim), Amsterdam: Põhja-Holland, 1969.
• Goldblatt, R. ja E. Mares, 2006, “Alternatiivne semantika kvantifitseeritud asjakohase loogika jaoks”, Journal of Symbolic Logic, 71 (1): 163–187.
• Girard, Jean-Yves, 1987, “Lineaarne loogika”, Teoreetiline arvutiteadus, 50: 1–101.
• Lambek, Joachim, 1958, “Lauseehituse matemaatika”, American Mathematical Monthly, 65: 154–170.
• Lambek, Joachim, 1961, “Süntaktiliste tüüpide arvutamise kohta” keele struktuuris ja selle matemaatilistes aspektides (Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, XII), R. Jakobson (toim.), Providence, RI: American Mathematical Society.
• Moh Shaw-Kwei, 1950, “Dedutsiooniteoreemid ja kaks uut loogilist süsteemi”, Methodos, 2: 56–75.
• Moortgat, Michael, 1995, “Multimodal Linguistic Inference”, IGPL Logic Journal, 3: 371–401.
• Ono, Hiroakira, 2003, “Substrukturaalne loogika ja jääkvõred - sissejuhatus”, V. Hendricks ja J. Malinowski (toim.), Loogika suundumused: Studia Logica 50 aastat, Dordrecht: Kluwer, 2003, lk 193– 228.
• Routley, R., 1980. “Semantiliste probleemide ja lahenduste määramine asjakohase loogika osas”, A. Arruda, R. Chuaqui ja NCA Da Costa (toim), Matemaatiline loogika Ladina-Ameerikas, Amsterdam: Põhja-Holland, 1980, lk 305–340.

Akadeemilised tööriistad

	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

• Restall, Greg, 1994, lepinguteta logikast, doktoritöö, Queenslandi ülikool.
• Slaney, John, 1995, MaGIC: Matrix Generator for Implication Connectives, tarkvarapakett substrukturaalse loogika piiratud mudelite genereerimiseks.