Loogika Ja Tõenäosus

Sisukord:

Loogika Ja Tõenäosus
Loogika Ja Tõenäosus

Video: Loogika Ja Tõenäosus

Video: Loogika Ja Tõenäosus
Video: Programmeerimine täiesti algajatele 3: andmetüübid ja loogika 2024, Märts
Anonim

Sisenemise navigeerimine

  • Sissesõidu sisu
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Sõprade PDF-i eelvaade
  • Teave autori ja tsitaadi kohta
  • Tagasi üles

Loogika ja tõenäosus

Esmakordselt avaldatud teisipäeval 7. märtsil 2013; sisuline läbivaatamine teisipäeval, 26. märtsil 2019

Loogika ja tõenäosusteooria on mõistmise formaalse uurimise kaks peamist vahendit ning neid on viljakalt rakendatud nii mitmekesistes valdkondades nagu filosoofia, tehisintellekt, kognitiivne teadus ja matemaatika. Selles sissejuhatuses käsitletakse peamisi ettepanekuid loogika ja tõenäosusteooria ühendamiseks ning püütakse klassifitseerida erinevad lähenemisviisid selles kiiresti arenevas valdkonnas.

  • 1. Loogika ja tõenäosusteooria ühendamine
  • 2. Propositsionaalse tõenäosuse loogika

    • 2.1 Tõenäoline semantika
    • 2.2 Adamsi tõenäosusloogika
    • 2.3 Edasised üldistused
  • 3. Põhilised tõenäosusoperaatorid

    • 3.1 Ebakindluse kvalitatiivsed esitused
    • 3.2 Tõenäosustingimuste summad ja tooted
  • 4. Modaalse tõenäosuse loogika

    • 4.1 Peamised piiratud transpordiliikide tõenäosuse mudelid
    • 4.2 Indekseerimine ja tõlgendamine
    • 4.3 Tõenäosusruumid
    • 4.4 Kvantitatiivse ja kvalitatiivse ebakindluse ühendamine
    • 4.5 Dünaamika
  • 5. Esimese astme tõenäosusloogika

    • 5.1 Esimese astme tõenäosusloogika näide

      • 5.1.1 Rohkem kui ühe muutuja kvantifitseerimine
      • 5.1.2 Tingimuslik tõenäosus
      • 5.1.3 Tõenäosused terminitena
    • 5.2 Võimalik esimese astme tõenäosusloogika maailmas
    • 5.3 Metalogika
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Muud Interneti-ressursid
  • Seotud kirjed

1. Loogika ja tõenäosusteooria ühendamine

Loogika ja tõenäosuse ühendamise idee võib esmapilgul tunduda kummaline (Hájek 2001). Lõppude lõpuks on loogika seotud absoluutselt teatud tõdede ja järeldustega, samas kui tõenäosusteooria käsitleb ebakindlust. Lisaks pakub loogika järelduste osas kvalitatiivset (struktuurilist) vaatenurka (argumendi deduktiivne kehtivus põhineb argumendi formaalsel struktuuril), samas kui tõenäosused on olemuselt kvantitatiivsed (numbrilised). Kuid nagu järgmises osas näidatakse, on olemas looduslikke meeli, milles tõenäosusteooria eeldab ja laiendab klassikalist loogikat. Lisaks sellele on ajalooliselt mitu väljapaistvat teoreetikut nagu De Morgan (1847), Boole (1854), Ramsey (1926), de Finetti (1937), Carnap (1950), Jeffrey (1992) ja Howson (2003, 2007,2009) on rõhutanud loogika ja tõenäosuse tihedaid seoseid või isegi pidanud tõenäosust käsitlevat tööd loogika enda osaks.

Integreerides kvalitatiivse loogika ja numbrilise tõenäosusteooria komplementaarsed vaatenurgad, suudavad tõenäosusloogikad pakkuda järeldusi väga ekspressiivselt. Seetõttu ei tohiks olla üllatav, et neid on rakendatud kõigis valdkondades, kus uuritakse põhjendusmehhanisme, näiteks filosoofia, tehisintellekt, kognitiivne teadus ja matemaatika. Selle valdkondadeülese populaarsuse negatiivne külg on see, et selliseid teadlasi nagu tõenäosusloogika kasutavad erinevad uurijad erinevatel, mitte ekvivalentsetel viisidel. Seetõttu tutvustame enne erinevate lähenemisviiside tegeliku arutelu jätkamist selle sissekande teemat.

Kõige olulisem erinevus on tõenäosusloogika ja induktiivloogika vahel. Klassikaliselt väidetakse väidet (deduktiivselt) paikapidavaks siis ja ainult siis, kui on võimatu, et (A) ruumid on tõesed, samas kui selle järeldus on vale. Teisisõnu, deduktiivne kehtivus võrdub tõe säilimisega: kehtivas argumendis tagab ruumide tõde järelduse tõesuse. Mõne argumendi kohaselt ei taga ruumide tõesus siiski järelduse tõesust, kuid muudab selle siiski suure tõenäosusega. Tüüpiline näide on argument ruumidega: “Esimene luik, mida ma nägin, oli valge”,…, “1000. luik, mida ma nägin, oli valge” ja järeldus “Kõik luiged on valged”. Selliseid argumente uuritakse induktiivses loogikas, mis kasutab ulatuslikult tõenäosusmõisteid,ja seetõttu peavad mõned autorid tõenäosusloogikaga seotuks. Induktiivse loogika ja tõenäosusloogika täpse seose kohta on arutletud, mis on kokku võetud Kyburgi (1994) sissejuhatuses. Turgu valitsev seisund (mida on muu hulgas kaitsnud Adams ja Levine (1975)), mida võetakse ka siin vastu, on see, et tõenäosusloogika kuulub täielikult deduktiivloogikasse ja seetõttu ei tohiks see olla seotud induktiivsete mõttekäikudega. Suurem osa induktiivse loogikaga seotud tööst kuulub siiski tõenäosuse säilitamise lähenemisviisi alla ja on seega tihedalt seotud punktis 2 käsitletud süsteemidega. Induktiivse loogika kohta saate lugejalt Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn. (2011) ning selle entsüklopeedia induktsiooni ja induktiivse loogika probleemi käsitlevad kirjed. Induktiivse loogika ja tõenäosusloogika täpse seose üle on arutletud, mille võtab kokku Kyburgi (1994) sissejuhatus. Turgu valitsev seisund (mida on muu hulgas kaitsnud Adams ja Levine (1975)), mida võetakse ka siin vastu, on see, et tõenäosusloogika kuulub täielikult deduktiivloogikasse ja seetõttu ei tohiks see olla seotud induktiivsete mõttekäikudega. Suurem osa induktiivse loogikaga seotud tööst kuulub siiski tõenäosuse säilitamise lähenemisviisi alla ja on seega tihedalt seotud punktis 2 käsitletud süsteemidega. Induktiivse loogika kohta saate lugejalt Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn. (2011) ja selle entsüklopeedia induktsiooni ja induktiivse loogika probleemi käsitlevad kirjed. Induktiivse loogika ja tõenäosusloogika täpse seose kohta on arutletud, mis on kokku võetud Kyburgi (1994) sissejuhatuses. Turgu valitsev seisund (mida on muu hulgas kaitsnud Adams ja Levine (1975)), mida võetakse ka siin vastu, on see, et tõenäosusloogika kuulub täielikult deduktiivloogikasse ja seetõttu ei tohiks see olla seotud induktiivsete mõttekäikudega. Suurem osa induktiivse loogikaga seotud tööst kuulub siiski tõenäosuse säilitamise lähenemisviisi alla ja on seega tihedalt seotud punktis 2 käsitletud süsteemidega. Induktiivse loogika kohta saate lugejalt Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn. (2011) ning selle entsüklopeedia induktsiooni ja induktiivse loogika probleemi käsitlevad kirjed. Turgu valitsev seisund (mida on muu hulgas kaitsnud Adams ja Levine (1975)), mida võetakse ka siin vastu, on see, et tõenäosusloogika kuulub täielikult deduktiivloogikasse ja seetõttu ei tohiks see olla seotud induktiivsete mõttekäikudega. Suurem osa induktiivse loogikaga seotud tööst kuulub siiski tõenäosuse säilitamise lähenemisviisi alla ja on seega tihedalt seotud punktis 2 käsitletud süsteemidega. Induktiivse loogika kohta saate lugejalt Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn. (2011) ning selle entsüklopeedia induktsiooni ja induktiivse loogika probleemi käsitlevad kirjed. Turgu valitsev seisund (mida on muu hulgas kaitsnud Adams ja Levine (1975)), mida võetakse ka siin vastu, on see, et tõenäosusloogika kuulub täielikult deduktiivloogikasse ja seetõttu ei tohiks see olla seotud induktiivsete mõttekäikudega. Suurem osa induktiivse loogikaga seotud tööst kuulub siiski tõenäosuse säilitamise lähenemisviisi alla ja on seega tihedalt seotud punktis 2 käsitletud süsteemidega. Induktiivse loogika kohta saate lugejalt Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn. (2011) ning selle entsüklopeedia induktsiooni ja induktiivse loogika probleemi käsitlevad kirjed. Enamik induktiivse loogikaga seotud töid kuulub „tõenäosuse säilitamise” lähenemisviisi alla ja on seega tihedalt seotud 2. jaos käsitletud süsteemidega. Induktiivse loogika kohta saab lugeja lugeda Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011).) ning selle entsüklopeedia induktsiooni ja induktiivse loogika probleemi käsitlevad kirjed. Enamik induktiivse loogikaga seotud töid kuulub „tõenäosuse säilitamise” lähenemisviisi alla ja on seega tihedalt seotud 2. jaos käsitletud süsteemidega. Induktiivse loogika kohta saab lugeja lugeda Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011).) ning selle entsüklopeedia induktsiooni ja induktiivse loogika probleemi käsitlevad kirjed.

Samuti hoiame eemale filosoofilisest arutelust tõenäosuse täpse olemuse üle. Siin käsitletud formaalsed süsteemid sobivad kokku tõenäosuse kõigi levinud tõlgendustega, kuid ilmselgelt sobivad konkreetsed rakendused tõenäosuse teatud tõlgendused loomulikumalt kui teised. Näiteks 4. jaos käsitletud modaalse tõenäosuse loogika on iseenesest neutraalne tõenäosuse olemuse suhtes, kuid kui neid kasutatakse üleminekusüsteemi käitumise kirjeldamiseks, tõlgendatakse nende tõenäosust tavaliselt objektiivselt, samas kui mitme mudeli modelleerimine -agentstsenaariumidega kaasneb kõige loomulikumalt tõenäosuste subjektiivne tõlgendamine (agentide uskumuse astetena). Seda teemat on üksikasjalikult käsitletud Gillies (2000), Eagle (2010) ja selle entsüklopeedia tõenäosuse tõlgendamise sissekandes.

Kirjanduse viimase aja trend on olnud keskenduda vähem loogika ja tõenäosusteooria integreerimisele või ühendamisele ühtseks, ühtseks raamistikuks, vaid pigem luua sildu kahe eriala vahel. Tavaliselt hõlmab see loogika kvalitatiivsete mõistete püüdmist tõenäosusteooria kvantitatiivses mõttes või vastupidi. Me ei saa selles õitsvas piirkonnas mitmesuguste lähenemisviiside üle õiglust teha, kuid huvitatud lugejad võivad pöörduda Leitgeb (2013, 2014), Lin ja Kelly (2012a, 2012b), Douven ja Rott (2018) ning Harrison- Trainor, Holliday ja Icard (2016, 2018). Selle valdkonna 'kaasaegne klassika' on Leitgeb (2017), van Benthem (2017) aga kasulik ülevaade ja mõned huvitavad programmilised märkused.

Lõpuks, ehkki tõenäosusloogika edu on suuresti tingitud selle erinevatest rakendustest, ei käsitle me neid üksikasju. Näiteks ei hinda me tõenäosuse kasutamist filosoofia (Bayesi epistemoloogia) või tehisintellekti (teadmiste esitamine) usu formaalse esitusena ning selle eeliseid ja puudusi seoses alternatiivsete esitustega, näiteks üldistatud tõenäosusteooriaga (kvantumi jaoks) teooria), (p) - adic tõenäosus ja hägune loogika. Nende teemade kohta lisateabe saamiseks lugeja leiab Gerla (1994), Vennekens jt. (2009), Hájek ja Hartmann (2010), Hartmann ja Sprenger (2010), Ilić-Stepić jt. (2012) ning kanded usu formaalsetest esitustest, Bayes'i epistemoloogiast, ebapiisavatest põhjendustest, kvantloogikast ja tõenäosusteooriast,ja selle entsüklopeedia hägus loogika.

Kui need täpsustused on paigas, oleme nüüd valmis vaatama, mida selles sissekandes arutatakse. Kõige tavalisem strateegia tõenäosusloogika konkreetse süsteemi saamiseks on alustuseks klassikalise loogika süsteemiga (propositsiooniline / modaalne jne) ja selle ühel või teisel viisil tõenäosuseks lisamine, lisades sellele tõenäosusjooni. Seda tõenäosust saab rakendada erinevatel viisidel. Võib uurida klassikaliste keelte (millel puuduvad selged tõenäosusoperaatorid) tõenäosuslikku semantikat. Sel juhul saab tagajärgseos ise tõenäosusliku maitse: deduktiivne kehtivus muutub pigem „tõenäosuse säilitamiseks”, mitte „tõe säilitamiseks“. Seda suunda käsitletakse 2. osas. Alternatiivina võib loogika süntaksile lisada mitmesuguseid tõenäosusoperaate.3. jaos käsitleme mõningaid tõenäoliste operaatorite esialgseid, üsna põhilisi näiteid. Modaalsete tõenäosusoperaatorite täielikku ekspressiivsust uuritakse 4. jaos. Lõpuks käsitletakse 5. jaos esimese astme tõenäosusoperaatoritega keeli.

2. Propositsionaalse tõenäosuse loogika

Selles jaotises tutvustame esimest tõenäosusloogikaperekonda, mida kasutatakse „tõenäosuse säilimise” (või kahesuunalise „määramatuse levimise”) küsimuste uurimiseks. Need süsteemid ei laienda keelt ühegi tõenäosusliku operaatoriga, vaid käsitlevad pigem "klassikalist" propositsioonilist keelt (matemaatiline {L}), millel on loendatav hulk aatomi ettepanekuid ja tavaline tõe-funktsionaalne (Boolean). ühendused.

Peamine mõte on see, et kehtiva argumendi eeldused võivad olla ebakindlad, sel juhul (deduktiivne) kehtivus ei sea järeldusi järelduse (eba) kindluse kohta. Näiteks argumendid ruumidega „kui homme sajab vihma, ma saan märjaks” ja „homme sajab vihma” ja järeldus „ma saan märjaks” on kehtiv, kuid kui selle teine eeldus on ebakindel, saab selle järeldus tavaliselt ole ka ebakindel. Esialgsed tõenäosusloogikad esindavad selliseid määramatusi nagu tõenäosused ja uurivad, kuidas need ruumidest järeldusteni voolavad; teisisõnu, nad ei uuri tõe säilimist, vaid tõenäosuse säilimist. Kolmes järgmises alajaotuses käsitletakse süsteeme, mis käsitlevad selle teema üha üldisemaid versioone.

2.1 Tõenäoline semantika

Alustuseks tuletame meelde eeldatava keele (matemaatiline {L}) tõenäosusfunktsiooni mõistet. (Matemaatikas määratletakse tõenäosusfunktsioonid tavaliselt antud komplekti (Omega) alamhulkade (sigma) - algebrani ja need peavad vastama loendatavale lisatavusele; vrd punkt 4.3. Loogilises kontekstis aga sageli on loomulikum, et tõenäosusfunktsioonid määratletakse loogika objektikeele jaoks kohe (Williamson 2002). Kuna see keel on finitaarne - kõik selle valemid on piiratud pikkusega - siis piisab ka nõudmisest piiritletud liitmise järele.) Tõenäosusfunktsioon ((matemaatiline {L})) on funktsioon (P: / matemaatiline {L} kuni / mathbb {R}), mis vastab järgmistele piirangutele:

Mittenegatiivsus. (P (phi) geq 0) kõigi (phi / in / matemaatika {L}.)

Tautoloogiad. Kui (mudelid / phi), siis (P (phi) = 1.)

Piiratud additiivsus. Kui (mudelid / neg (phi / kiil / psi)), siis (P (phi / vee / psi) = P (phi) + P (psi).)

Teises ja kolmandas kitsenduses tähistab (mudelid) - sümbol (semantilist) kehtivust klassikalises ettepanekuloogikas. Tõenäosusfunktsioonide määratlemiseks on seega vaja mõisteid klassikalisest loogikast ja selles mõttes võib eeldada, et tõenäosusteooria eeldab klassikalist loogikat (Adams 1998, 22). Võib hõlpsasti näidata, et kui (P) vastab nendele piirangutele, siis (P (phi) in [0,1]) kõigi valemite jaoks (phi / in mathcal {L}), ja (P (phi) = P (psi)) kõigi valemite (phi, / psi / in / mathcal {L}) korral, mis on loogiliselt samaväärsed (st et (mudelid / phi / vasakpoolne nool / psi)).

Nüüd pöördume tõenäosusliku semantika juurde, nagu on määratletud Leblancis (1983). Argument ruumidega (Gamma) ja järeldusega (phi) - mida edaspidi tähistatakse kui ((Gamma, / phi)) - väidetakse olevat tõenäoselt kehtiv, kirjutatud (Gamma / models_p / phi), kui ja ainult kui:

kõigi tõenäosusfunktsioonide jaoks (P: / matemaatiline {L} kuni / mathbb {R}):

kui (P (gamma) = 1) kõigi (gamma / in / Gamma) korral, siis ka (P (phi) = 1).

Tõenäoline semantika asendab seega klassikalise propositsioonilise loogika väärtused (v: / matemaatiline {L} kuni {0,1 }) tõenäosusfunktsioonidega (P: / matemaatiline {L} kuni / mathbb {R}), mis võtavad väärtused reaalühiku intervallis ([0,1]). Klassikalisi tõeväärtusi tõesed (1) ja valesid (0) saab seega pidada ühiku intervalli ([0,1]) lõpp-punktideks ja samamoodi ka väärtuste (v: / matemaatiline {L} {0,1 }) võib pidada degeneratiivseteks tõenäosusfunktsioonideks (P: / matemaatiline {L} kuni [0,1]). Selles mõttes on klassikaline loogika tõenäosusloogika erijuhtum või samaväärselt tõenäosusloogika on klassikalise loogika laiendus.

Võib näidata, et klassikaline propositsiooniline loogika on tõenäosusliku semantika osas (tugevalt) kindel ja täielik:

) Gamma / mudelid_p / phi / tekst {ainult siis, kui} Gamma / vdash / phi.)

Mõned autorid tõlgendavad tõenäosusi üldistatud tõeväärtustena (Reichenbach 1949, Leblanc 1983). Selle arvamuse kohaselt on tõenäosusloogika just teatud tüüpi paljuväärtuslikku loogikat ja tõenäosusliku kehtivuse taga on tõe säilimine: tõde (st tõenäosus 1) viib ruumidest järeldusele. Teised loogikud, näiteks Tarski (1936) ja Adams (1998, 15), on märkinud, et tõenäosusi ei saa vaadelda üldistatud tõeväärtustena, kuna tõenäosusfunktsioonid ei ole „laiendatavad”; näiteks (P (phi / kiilu / psi)) ei saa avaldada funktsioonidena (P (phi)) ja (P (psi)). Selleteemalisemat arutelu võib leida artiklist Hailperin (1984).

Teine võimalus on tõlgendada lause tõenäosust selle (eba) kindluse mõõdupuuna. Näiteks lausel „Jones on praegu Hispaanias” võib olla igasugune kindlus, ulatudes 0-st (maksimaalne mõõtemääramatus) kuni 1-ni (maksimaalne kindlus). tõenäosusliku semantika tugev usaldusväärsus ja täielikkus:

Teoreem 1. Vaatleme deduktiivselt kehtivat argumenti ((Gamma, / phi)). Kui kõigil (Gamma) ruumidel on tõenäosus 1, siis on ka järeldusel (phi) tõenäosus 1.

Seda teoreemi võib käsitleda tõenäosuse säilimise (või määramatuse leviku) küsimuse esimese, väga osalise selgitusena. Selles öeldakse, et kui ruumide suhtes puudub igasugune ebakindlus, ei saa ka järelduse osas olla mingit ebakindlust. Kahes järgmises alajaotuses käsitleme huvitavamaid juhtumeid, kui ruumide osas valitseb ebakindel ebakindlus, ja küsime, kuidas see viib järeldusele.

Lõpuks tuleb märkida, et kuigi selles jaotises käsitleti ainult klassikalise propositsioonilise loogika tõenäosuslikku semantikat, leidub tõenäosuslikku semantikat ka paljude muude loogikate jaoks, näiteks intuitiivne propositsiooniline loogika (van Fraassen 1981b, Morgan ja Leblanc 1983), modaalloogika (Morgan 1982a, 1982b, 1983, Cross 1993), klassikaline esimese astme loogika (Leblanc 1979, 1984, van Fraassen 1981b), asjakohane loogika (van Fraassen 1983) ja mittemonotooniline loogika (Pearl 1991). Kõigil neil süsteemidel on oluline tunnusjoon: loogika semantika on olemuselt tõenäoline, kuid tõenäosused pole objektiivkeeles selgesõnaliselt esindatud; seega on nad oma olemuselt palju lähedasemad siin käsitletud väidetava tõenäosuse loogikale kui hilisemates osades esitatud süsteemidele.

Enamik neist süsteemidest ei põhine ühetaolistel tõenäosustel (P (phi)), vaid pigem tingimuslikel tõenäosustel (P (phi, / psi)). Tingimuslikku tõenäosust (P (phi, / psi)) võetakse primitiivsena (selle asemel, et defineerida kui (P (phi / kiil / psi) / P (psi)), nagu tavaliselt tehakse) probleemide vältimiseks, kui (P (psi) = 0). Goosens (1979) annab ülevaate tõenäosusteooria erinevatest aksiomatiseerimistest tingimusliku tõenäosuse primitiivsete mõistete osas.

2.2 Adamsi tõenäosusloogika

Eelmises lõigus arutasime tõenäosuse säilitamise esimest põhimõtet, mis ütleb, et kui kõigil ruumidel on tõenäosus 1, siis järeldusel on ka tõenäosus 1. Muidugi tekivad huvitavamad juhtumid, kui ruumid on vähem kui täiesti kindlad. Vaatleme kehtivat argumenti ruumidega (p / vee q) ja (p / kuni q) ja kokkuvõttega (q) (sümbol '(kuni) tähistab tõepõhist materiaalset tingimisi). Seda saab hõlpsalt näidata

[P (q) = P (p / vee q) + P (p / kuni q) - 1.)

Teisisõnu, kui me teame argumendi ruumide tõenäosusi, siis saame arvutada selle järelduse täpse tõenäosuse ja anda seega täieliku vastuse tõenäosuse säilimise küsimusele selle konkreetse argumendi jaoks (näiteks kui (P (p / vee q) = 6/7) ja (P (p / kuni q) = 5/7), siis (P (q) = 4/7)). Üldiselt ei ole aga ruumide tõenäosusi arvestades võimalik järelduse täpset tõenäosust arvutada; pigem on parim, mida võime loota, järelduse tõenäosuse (kitsas) ülemine ja / või alumine piir. Nüüd käsitleme Adamsi (1998) meetodeid selliste piiride arvutamiseks.

Adams'i tulemusi saab kergemini öelda pigem ebakindluse kui kindluse (tõenäosuse) osas. Arvestades tõenäosusfunktsiooni (P: / matemaatiline {L} kuni [0,1]), määratletakse vastav mõõtemääramatusfunktsioon (U_P) kui

[U_P: / matemaatiline {L} kuni [0,1]: / phi / mapsto U_P (phi): = 1-P (phi).)

Kui tõenäosusfunktsioon (P) on kontekstist selge, kirjutame sageli (U_P) asemel lihtsalt (U). Selle lõigu ülejäänud osas (ja ka järgmises) eeldame, et kõigil argumentidel on ainult lõplikult palju ruume (mis pole klassikalise propositsioonilise loogika kompaktsusomadusi arvestades oluline piirang). Adamsi esimese põhitulemuse, mille algselt kehtestas Suppes (1966), saab nüüd öelda järgmiselt:

Teoreem 2. Vaatleme kehtivat argumenti ((Gamma, / phi)) ja tõenäosusfunktsiooni (P). Siis ei või järelduse (phi) määramatus ületada ruumide (gamma / in / Gamma) määramatuste summat. Ametlikult:

[U (phi) leq / summa _ { gamma / gammas} U (gamma).)

Kõigepealt pange tähele, et see teoreem võtab teoreemi 1 erijuhuks: kui (P (gamma) = 1) kõigi (gamma / in / Gamma) korral, siis (U (gamma) = 0) kõigi (gamma / in / Gamma) korral, nii (U (phi) leq / summa U (gamma) = 0) ja seega (P (phi) = 1). Lisaks pange tähele, et järelduse määramatuse ülemine piir sõltub (| / Gamma |), st ruumide arvust. Kui mõjuval argumendil on väike arv ruume, millest kõigis on vaid väike mõõtemääramatus (st suur kindlus), siis on ka selle järelduses mõistlikult väike määramatus (st mõistlikult kõrge täpsus). Ja kui vastupidisel argumendil on väikese määramatusega ruumid, võib selle järeldus olla väga ebamäärane vaid juhul, kui argumendil on palju ruume (selle vastupidise põhimõtte kuulus näide on Kyburgi (1965) loterii paradoks,mida käsitletakse selle entsüklopeedia episteemiliste paradokside sissekandes). Kui konkreetsemalt rääkida, siis pange tähele, et kui kehtival argumendil on kolm eeldust, mille mõlemal on määramatus 1/11, siis eelduse lisamine, millel on ka määramatus 1/11, ei mõjuta argumendi paikapidavust, kuid tõstab selle ülemist piiri järelduse määramatus vahemikus 3/11 kuni 4/11 - võimaldades seega järeldusel olla ebakindlam, kui algselt oli. Lõpuks on teoreemi 2 pakutav ülemine piir optimaalne selles mõttes, et (õigetes tingimustes) võib järelduse määramatus langeda kokku selle ülemise piiriga (summa U (gamma)):siis eelduse lisamine, millel on ka määramatus 1/11, ei mõjuta argumendi paikapidavust, kuid tõstab järelduse määramatuse ülemise piiri 3/11-st 4/11-ni, võimaldades seega järeldusel olla ebakindlam, kui algselt oli juhtum. Lõpuks on teoreemi 2 pakutav ülemine piir optimaalne selles mõttes, et (õigetes tingimustes) võib järelduse määramatus langeda kokku selle ülemise piiriga (summa U (gamma)):siis eelduse lisamine, millel on ka määramatus 1/11, ei mõjuta argumendi paikapidavust, kuid tõstab järelduse määramatuse ülemise piiri 3/11-st 4/11-ni, võimaldades seega järeldusel olla ebakindlam, kui algselt oli juhtum. Lõpuks on teoreemi 2 pakutav ülemine piir optimaalne selles mõttes, et (õigetes tingimustes) võib järelduse määramatus langeda kokku selle ülemise piiriga (summa U (gamma)):selles mõttes, et (õigetes tingimustes) võib järelduse ebakindlus langeda kokku selle ülemise piiriga (summa U (gamma)):selles mõttes, et (õigetes tingimustes) võib järelduse ebakindlus langeda kokku selle ülemise piiriga (summa U (gamma)):

Teoreem 3. Mõelge kehtivale argumendile ((Gamma, / phi)) ja eeldage, et eelduste komplekt (Gamma) on järjepidev ja et iga eeldus (gamma / rakenduses / Gamma) on asjakohane (st (gamma - { gamma } ei / mudelid / phi)). Siis eksisteerib tõenäosusfunktsioon (P: / matemaatiline {L} kuni [0,1]) nii, et

[U_P (phi) = / summa _ { gamma / mängus / Gamma} U_P (gamma).)

Teoreemi 2 ülemist piiri saab kasutada ka kehtivuse tõenäosusmõiste määratlemiseks. Argument ((Gamma, / phi)) on väidetavalt Adams-i tõenäosuslikult kehtiv, kirjutatud (Gamma / mudelid_a / phi) siis ja ainult siis, kui

kõigi tõenäosusfunktsioonide jaoks (P: / matemaatiline {L} kuni / mathbb {R}): (U_P (phi) leq / summa _ { gamma / in / Gamma} U_P (gamma)).

Adams-tõenäosuslikul valiidsusel on alternatiiv, samaväärne iseloomustus tõenäosuste, mitte määramatuste osas. See iseloomustus ütleb, et ((Gamma, / phi)) on Adams-tõenäosuslikult kehtiv ainult siis, kui järelduse tõenäosus võib suvaliselt läheneda 1-le, kui ruumide tõenäosused on piisavalt kõrged. Ametlikult: (Gamma / mudelid_a / phi) ainult siis, kui

kõigi (epsilon> 0) jaoks on olemas selline (delta> 0), et kõigi tõenäosusfunktsioonide jaoks (P):

kui (P (gamma)> 1- / delta) kõigi jaoks (gamma / rakenduses / Gamma), seejärel (P (phi)> 1- / epsilon).

Võib näidata, et klassikaline propositsiooniline loogika on Adamsi tõenäosusliku semantika osas (tugevalt) mõistlik ja täielik:

) Gamma / mudelid_a / phi / tekst {ainult siis, kui} Gamma / vdash / phi.)

Adams (1998, 154) määratleb ka teise loogika, mille jaoks tema tõenäosuslik semantika on kindel ja täielik. See süsteem hõlmab tõepõhist funktsionaalset ühenduvust (tõenäosus tingimuslik) ja jääb seetõttu selle jaotise reguleerimisalast välja. (Lisateavet tingmõtete tõenäosuslike tõlgenduste kohta leiate lugejalt selle entsüklopeedia tingimisi käsitlevatest kirjetest ja tingimuste loogikast.)

Vaatleme järgmist näidet. Argument (A) ruumidega (p, q, r, s) ja järeldus (p / kiil (q / vee r)) on kehtiv. Oletame, et (P (p) = 10/11, P (q) = P (r) = 9/11) ja (P (s) = 7/11). Siis ütleb teoreem 2 seda

) alusta {joonda} ja U (p / kiil (q / vee r)) leq \& / quad / frac {1} {11} + / frac {2} {11} + / frac {2} { 11} + / frac {4} {11} = / frac {9} {11}. / lõpeta {joondus})

See järelduse ebakindluse ülemine piir on üsna pettumust valmistav ja paljastab teoreemi 2 peamise nõrkuse. Üks põhjusi, miks ülemine piir on nii kõrge, on see, et selle arvutamiseks võtsime arvesse eeldust (s), millel on üsna suur ebakindlus ((4/11)). See eeldus pole aga asjakohane selles mõttes, et järeldus tuleneb juba kolmest teisest eeldusest. Seega võime vaadelda (p / kiilu (q / vee r)) mitte ainult kehtiva argumendi (A) järeldusena, vaid ka (samavõrd kehtiva) argumendi (A ') järeldusena, millel on ruumid (p, q, r). Viimasel juhul annab teoreem 2 ülemise piiri (1/11 + 2/11 + 2/11 = 5/11), mis on juba palju madalam.

Teoreemi 2 nõrkuseks on see, et selles võetakse arvesse ebaolulisi või ebaolulisi ruume (ebakindlust). Selle teoreemi täiustatud versiooni saamiseks on vajalik täpsem mõiste "olulisus". Ülaltoodud näite argumendis (A) eeldus (s) on absoluutselt ebaoluline. Samamoodi on eeldus (p) absoluutselt asjakohane selles mõttes, et ilma selle eelduseta pole järeldus (p / kiil (q / vee r)) enam tuletatav. Lõpuks on eeldus, et alamhulk ({q, r }) on "vahepeal": koos (q) ja (r) on asjakohased (kui mõlemad ruumid jätta välja, pole järeldus enam tuletatav), kuid igaühte neist eraldi võib jätta (jättes järelduse tuletatavaks).

Olulisuse mõiste vormistatakse järgmiselt:

Olulise eelduse komplekt. Kehtiva argumendi ((Gamma, / phi)) korral on oluline komplekt (Gamma '\ subseteq / Gamma), kui see on (Gamma - / Gamma' / mitte / mudelid / phi).

Olulisuse aste. Arvestades kehtivat argumenti ((gamma, / phi)) ja eeldust (gamma / in / Gamma), on (gamma) olulisuse aste kirjutatud (E (gamma)), on (1 / | S_ / gamma |), kus (| S_ / gamma |) on väikseima olulise eelduskomplekti, mis sisaldab (gamma), kardinaalsus. Kui (gamma) ei kuulu ühegi minimaalse oluliste eelduste hulka, siis on (gamma) olulisuse aste 0.

Nende määratluste abil saab luua teoreemi 2 täpsustatud versiooni:

Teoreem 4. Vaatleme kehtivat argumenti ((Gamma, / phi)). Siis ei või järelduse (phi) määramatus ületada ruumide (gamma / in / Gamma) määramatuste kaalutud summat, kusjuures olulisuse astmed on kaalud. Ametlikult:

[U (phi) leq / summa _ { gamma / gammas} E (gamma) U (gamma).)

Teoreemi 4 tõestamine on oluliselt keerulisem kui teoreemi 2 puhul: Teoreem 2 nõuab ainult põhilist tõenäosusteooriat, seevastu teoreemi 4 tõestamiseks kasutatakse lineaarse programmeerimise meetodeid (Adams ja Levine 1975; Goldman ja Tucker 1956). Teoreem 4 sisaldab teoreemi 2 erijuhuna: kui kõik ruumid on olulised (st. Olulisuse aste on 1), siis annab teoreem 4 sama ülemise piiri nagu teoreem 2. Teoreem 4 ei võta arvesse ebaolulisi ruume (st ruume) olulisuse astmega 0) selle ülemise piiri arvutamiseks; seega, kui eeldus ei ole argumendi paikapidavuses oluline, siis selle ebakindlus järeldusele ei kandu. Lõpuks pange tähele, et kuna (E (gamma) in [0,1]) kõigi (gamma / in / Gamma) korral, leiab ta, et

) summa _ { gamma / gammas} E (gamma) U (gamma) leq / summa _ { gamma / mängus / Gamma} U (gamma),)

st Teoreem 4 annab üldiselt teoreemist 2 rangema ülemise piiri. Selle illustreerimiseks kaaluge uuesti argumenti ruumidega (p, q, r, s) ja järeldusega (p / kiil (q / vee r)). Tuletame meelde, et (P (p) = 10/11, P (q) = P (r) = 9/11) ja (P (s) = 7/11). Võib arvutada ruumide olulisuse astmed: (E (p) = 1, E (q) = E (r) = 1/2) ja (E (s) = 0). Seega annab teoreem 4 selle

) alusta {joonda} ja U (p / kiil (q / vee r)) leq \& / quad / vasak (1 / korda / frac {1} {11} right) + / left (frac { 1} {2} korda / frac {2} {11} parem) + / vasak (frac {1} {2} times / frac {2} {11} right) + / vasak (0 / korda / frac {4} {11} paremal) = / frac {3} {11}, / end {joondada})

mis on (p / kiilu (q / vee r)) mõõtemääramatuse jaoks rangem ülemine piir kui mis tahes ülalpool teoreemi 2 (nimelt (9/11) ja (5/11) kaudu saadud piire)).

2.3 Edasised üldistused

Arvestades kehtiva argumendi eelduste määramatust (ja olulisuse astet), võimaldavad Adamsi teoreemid arvutada järelduse määramatuse ülemise piiri. Muidugi võib neid tulemusi väljendada ka tõenäosuste, mitte määramatuste kujul; seejärel annavad nad järelduse tõenäosuse jaoks alumise piiri. Näiteks, kui teoreem 4 on väljendatud pigem tõenäosuste kui määramatuste kujul, näeb see välja järgmine:

[P (phi) geq 1 - / summa _ { gamma / in / Gamma} E (gamma) (1 - P (gamma)).)

Adams'i tulemusi piiratakse vähemalt kahel viisil:

  • Need annavad järelduse tõenäosuse jaoks ainult alumise piiri (arvestades ruumide tõenäosust). Mõnes mõttes on see kõige olulisem seos: see tähistab järelduse tõenäosust halvima stsenaariumi korral, mis võib olla kasulik teave praktilistes rakendustes. Mõnes rakenduses võib siiski olla informatiivne ka järelduse tõenäosuse ülemine piir. Näiteks kui keegi teab, et selle tõenäosuse ülemine piir on 0,4, siis võib otsustada hoiduda teatud toimingutest (see oleks tehtud, kui see ülemine piir oleks (teadaolevalt) 0,9).
  • Nad eeldavad, et ruumide täpsed tõenäosused on teada. Praktilistes rakendustes võib eelduse (gamma) tõenäosuse kohta olla siiski vaid osalist teavet: selle täpset väärtust ei teata, kuid teadaolevalt on alumine piir () ja ülemine piir (b) (Walley 1991). Selliste rakenduste jaoks oleks kasulik omada meetodit (optimaalse) alumise ja ülemise piiri arvutamiseks järelduse tõenäosuse kohta ruumide tõenäosuste ülemise ja alumise piiri osas.

Hailperin (1965, 1984, 1986, 1996) ja Nilsson (1986) kasutavad lineaarse programmeerimise meetodeid, mis näitavad, et neist kahest piirangust saab üle. Nende kõige olulisem tulemus on järgmine:

Teoreem 5. Vaatleme argumenti ((Gamma, / phi)), kasutades (| / Gamma | = n). On olemas funktsioonid (L _ { Gamma, / phi}: / mathbb {R} ^ {2n} kuni / mathbb {R}) ja (U _ { Gamma, / phi}: / mathbb {R} ^ {2n} kuni / mathbb {R}) nii, et mis tahes tõenäosusfunktsiooni (P) korral kehtib järgmine: if (a_i / leq P (gamma_i) leq b_i) jaoks (1 / leq i / leq n), siis:

  1. (L _ { gamma, / phi} (a_1, / punktid, a_n, b_1, / punktid, b_n) leq P (phi): / leq) (U _ { gamma, / phi} (a_1, / dots, a_n, b_1, / dots, b_n)).
  2. Üksuse 1 piirid on optimaalsed selles mõttes, et on olemas tõenäosusfunktsioonid (P_L) ja (P_U), mis võimaldavad (a_i / leq P_L (gamma_i),) (P_U (gamma_i) leq b_i) jaoks (1 / leq i / leq n) ja (L _ { gamma, / phi} (a_1, / punktid, a_n, b_1, / punktid, b_n) = P_L (phi)) ja (P_U (phi) = U _ { Gamma, / phi} (a_1, / punktid, a_n, b_1, / punktid, b_n)).
  3. Funktsioonid (L _ { Gamma, / phi}) ja (U _ { Gamma, / phi}) on tõhusalt määratavad (Gamma / cup { phi } lausete Boole'i struktuurist.).

Selle tulemuse abil saab määratleda veel ühe tõenäosusliku kehtivuse mõiste, mida me nimetame Hailperini tõenäosuslikuks kehtivuseks või lihtsalt h-kehtivuseks. Seda mõistet ei määratleta valemite, vaid pigem paaride vahel, mis koosnevad valemist ja ([0,1]) alamintervallist. Kui (X_i) on eeldusega seotud intervall (gamma_i / rakenduses / Gamma) ja (Y) on järeldusega seotud intervall (phi), siis argument ((Gamma, / phi)) öeldakse olevat h-kehtiv, kirjutatud (Gamma / mudelid_h / phi), ja ainult siis, kui kõigi tõenäosusfunktsioonide jaoks (P):

) tekst {kui} P (gamma_i) X_i / tekstis {jaoks} 1 / leq i / leq n, / tekst {siis} P (phi) Y-s]

Haenni jt. (2011) on see kirjutatud nii

) gamma_1 ^ {X_1}, / dots, / gamma_n ^ {X_n} | \! \! \! / approx / phi ^ Y)

ja mida nimetatakse tavaliseks tõenäosusliku semantikaks.

Nilssoni teos tõenäosusliku loogika kohta (1986, 1993) on käivitanud palju uurimusi tehisintellekti tõenäosusliku põhjendamise kohta (Hansen ja Jaumard 2000; Haenni jt 2011 peatükk 2). Siiski tuleb märkida, et kuigi teoreem 5 väidab, et funktsioonid (L _ { Gamma, / phi}) ja (U _ { Gamma, / phi}) on tõhusalt määratavad lausetes, mis asuvad (Gamma / cup { phi }), on selle probleemi arvutuslik keerukus üsna suur (Georgakopoulos jt 1988, Kavvadias ja Papadimitriou 1990) ning seega muutub nende funktsioonide kiire leidmine arvutuslikult teostamatuks reaalmaailma rakendustes. Kaasaegsed lähenemisviisid, mis põhinevad tõenäosuslikel argumentatsioonisüsteemidel ja tõenäosusvõrkudel, on nende arvutuslike väljakutsetega paremini toime tulemas. Lisakstõenäosuslikud argumentatsioonisüsteemid on tihedalt seotud Dempster-Shaferi teooriaga (Dempster 1968; Shafer 1976; Haenni ja Lehmann 2003). Nende lähenemisviiside laiendatud arutelu väljub aga selle sissekande (praeguse versiooni) ulatusest; vt hiljutist uuringut (Haenni jt 2011).

3. Põhilised tõenäosusoperaatorid

Selles osas uurime tõenäosusloogikat, mis laiendab pakkumiskeelt (matemaatiline {L}) üsna põhiliste tõenäosusoperaatoritega. Need erinevad 2. jaotise loogikast selle poolest, et siin hõlmab loogika objekti keeles tõenäosusoperaatoreid. Punktis 3.1 käsitletakse kvalitatiivseid tõenäosusoperaatoreid; Jaotis 3.2 kirjeldab kvantitatiivseid tõenäosusoperaatoreid.

3.1 Ebakindluse kvalitatiivsed esitused

On mitmeid rakendusi, kus tõenäosuse kvalitatiivsed teooriad võivad olla kasulikud või isegi vajalikud. Mõnes olukorras pole sagedusi, mida saaks kasutada tõenäosuste hinnanguteks, või võib nende sageduste saamine olla praktiliselt võimatu. Lisaks on inimesed sageli nõus kahe väite tõenäosust võrdlema ('(phi) on tõenäolisem kui (psi)'), ilma et nad saaksid igale väitele eraldada selgesõnalisi tõenäosusi eraldi (Szolovits ja Pauker 1978, Halpern ja Rabin 1987). Sellistes olukordades on kasulik kvalitatiivne tõenäosusloogika.

Üks varasemaid kvalitatiivseid tõenäosusloogikaid on Hamblini (1959). Keelt laiendatakse ühetaolise operaatoriga (Box), mida tuleb lugeda kui „tõenäoliselt”. Seetõttu tuleb sellist valemit nagu (Box / phi) lugeda kui "tõenäoliselt (phi)". Selle tõenäolise mõiste võib vormistada piisavalt kõrge (numbrilise) tõenäosusena (st (P (phi) geq t) mõne läviväärtuse (1/2 <t / leq 1)) jaoks või alternatiivina usutavuse osas, mis on tõenäosuse mittemeetriline üldistus. Burgess (1969) arendab neid süsteeme edasi, keskendudes kõrge numbrilise tõenäosuse tõlgendusele. Nii Hamblin kui ka Burgess tutvustavad oma süsteemidesse täiendavaid operaatoreid (väljendades näiteks metafüüsilist vajalikkust ja / või teadmisi) ning uurivad tõenäolise operaatori ja nende teiste modaaloperaatorite vahelist suhtlust. Kuid,'arvatavasti' operaatoril on juba omaette huvitavaid funktsioone (sõltumata teistest operaatoritest). Kui seda tõlgendada kui 'piisavalt suurt tõenäosust', siis ei vasta see põhimõttele ((Box / phi / kiil / Box / psi) kuni / Box (phi / kiil / psi)). See tähendab, et see pole tavaline modaaloperaator ja talle ei saa anda Kripke (relatsioonilist) semantikat. Herzig ja Longin (2003) ja Arló Costa (2005) pakuvad naabruskonna semantikas nõrgemaid süsteeme sellistele “ilmselt” operaatoritele, samas kui Yalcin (2010) arutab nende käitumist keeleliselt orienteeritud vaatenurgast. See tähendab, et see pole tavaline modaaloperaator ja talle ei saa anda Kripke (relatsioonilist) semantikat. Herzig ja Longin (2003) ja Arló Costa (2005) pakuvad naabruskonna semantikas nõrgemaid süsteeme sellistele “ilmselt” operaatoritele, samas kui Yalcin (2010) arutab nende käitumist keeleliselt orienteeritud vaatenurgast. See tähendab, et see pole tavaline modaaloperaator ja talle ei saa anda Kripke (relatsioonilist) semantikat. Herzig ja Longin (2003) ja Arló Costa (2005) pakuvad naabruskonna semantikas nõrgemaid süsteeme sellistele “ilmselt” operaatoritele, samas kui Yalcin (2010) arutab nende käitumist keeleliselt orienteeritud vaatenurgast.

Veel ühe marsruudi valivad Segerberg (1971) ja Gärdenfors (1975a, 1975b), kes tuginevad de Finetti (1937), Krafti, Prati ja Seidenbergi (1959) ning Scotti (1964) varasematele töödele. Nad tutvustavad binaarset operaatorit (geq); valemit (phi / geq / psi) tuleb lugeda nii, et '(phi) on vähemalt sama tõenäoline kui (psi)' (formaalselt: (P (phi) geq P (psi))). Põhiidee on see, et (geq) käitumist saab täielikult aksiomeerida, ilma et oleks vaja kasutada üksikute valemite “aluseks olevaid” tõenäosusi. Tuleb märkida, et võrdleva tõenäosusega (binaarne operaator) saab väljendada ka mõnda absoluutset tõenäosusomadust (ühepoolsed operaatorid). Näiteks väljendab (phi / geq / top), et (phi) on tõenäosus 1, ja (phi / geq / neg / phi) väljendab, et (phi) on tõenäosus vähemalt 1/2. Viimases töösDelgrande ja Renne (2015) laiendavad veelgi kvalitatiivset lähenemist, lubades (geq) argumentideks olla valemite (potentsiaalselt erineva pikkusega) lõplikud jadad. Valemit ((phi_1, / dots, / phi_n) geq (psi_1, / dots, / psi_m)) loetakse mitteametlikult kui (phi_i) tõenäosuste summat. on vähemalt sama kõrge kui (psi_j) 'tõenäosuste summa. Saadud loogikat saab täielikult aksiomatiziseerida ja see on nii väljendusrikas, et suudab tabada isegi kvantitatiivset tõenäosusloogikat, mille poole me nüüd pöördume.\ psi_m)) tuleb mitteametlikult lugeda nii, et (phi_i) tõenäosuste summa on vähemalt sama suur kui (psi_j) 'tõenäosuste summa. Saadud loogikat saab täielikult aksiomatiziseerida ja see on nii väljendusrikas, et suudab tabada isegi kvantitatiivset tõenäosusloogikat, mille poole me nüüd pöördume.\ psi_m)) tuleb mitteametlikult lugeda nii, et (phi_i) tõenäosuste summa on vähemalt sama suur kui (psi_j) 'tõenäosuste summa. Saadud loogikat saab täielikult aksiomatiziseerida ja see on nii väljendusrikas, et suudab tabada isegi kvantitatiivset tõenäosusloogikat, mille poole me nüüd pöördume.

3.2 Tõenäosustingimuste summad ja tooted

Propositsionaalne tõenäosusloogika on juhendloogika laiendid, mis väljendavad tõenäosusterminite (P (varphi)) arvulisi seoseid. Lihtne pakutav tõenäosusloogika lisab pakkumise loogika valemitele vormi (P (varphi) ge q), kus (varphi) on pakkumisvalem ja (q) on arv; selline valem kinnitab, et (varphi) tõenäosus on vähemalt (q). Semantika vormistatakse mudelite abil, mis koosnevad tõenäosusfunktsioonist (matemaatiline {P}) üle hulga (Omega), mille igale elemendile antakse tõestusviis ajendi loogika aatomis. Seega on pakkumisvalem tõene elemendil (Omega), kui selle elemendi tõest määramine muudab väitevalemi tõeseks. Valem (P (varphi) ge q) on mudelis tõene ainult siis, kui tõenäosus (matemaatiline {P}) elementide kogumi (Omega) jaoks, mille jaoks (varphi) on tõsi, vähemalt (q). Vt Ognjanović jt 3. peatükki. (2016) ülevaate saamiseks sellisest väidetavast tõenäosusloogikast.

Mõned eeldatavad tõenäosusloogikad hõlmavad teist tüüpi vormeleid objektkeeles, näiteks neid, mis hõlmavad tõenäosusterminaalide summasid ja korrutisid. Summade kaasamise atraktiivsust saab selgitada tõenäosusfunktsioonide liitumistingimusega (vt punkt 2.1), mida saab väljendada järgmiselt: (P (phi / vee / psi) = P (phi) + P (psi)), kui (neg (phi / kiil / psi)) on tautoloogia, või samamoodi kui (P (phi / kiil / psi) + P (phi / kiil / neg / psi) = P (phi)). Tõenäosusloogika, mis hõlmab selgesõnaliselt tõenäosussummasid, sisaldab tavaliselt tõenäosusterminite lineaarseid kombinatsioone, nagu näiteks Fagin jt. (1990). Siin laiendatakse pakkumisloogikat järgmise valemiga: (a_1P (phi_1) + / cdots + a_n P (phi_n) ge b), kus (n) on positiivne täisarv, mis võib valemist erineda valem ja (a_1, / ldots, a_n),ja (b) on kõik ratsionaalsed numbrid. Siin on mõned näited selle kohta, mida saab väljendada.

  • (P (phi) le q) poolt (- P (phi) ge -q),
  • (P (phi) <q) autor (neg (P (phi) ge q)),
  • (P (phi) = q) poolt (P (phi) ge q / kiil P (phi) le q).
  • (P (phi) ge P (psi)) poolt (P (phi) -P (psi) ge 0).

Ekspressiivne jõud koos lineaarsete kombinatsioonidega ja ilma: Ehkki lineaarsed kombinatsioonid pakuvad mugavat viisi tõenäosusterminite arvukate seoste väljendamiseks, on tõenäosusterminite summadeta keel siiski väga võimas. Mõeldava keele valemi (phi) ja ratsionaalse (q) puhul kaaluge keelt, mis piirdub vormi (P (phi) ge q) valemitega. Me saame määratleda

[P (phi) le q / text {by} P (neg / phi) ge 1-q,)

mis on mõistlik arvestades seda, et väite komplementeerimise tõenäosus on võrdne 1-ga miinus väite tõenäosus. Valemid (P (phi)[P (phi / kiil / psi) = a / kiil P (phi / kiil / neg / psi) = b] kuni P (phi) = a + b)

öeldakse, et kui (phi / kiil / psi) tõenäosus on (a) ja (phi / kiil / neg / psi) tõenäosus on (b), siis on valemite lahutamine (mis võrdub (phi)) on (a + b). Ehkki lineaarsete kombinatsioonide kasutamine võimaldab meil väita, et (varphi / kiil / psi) ja (varphi / kiil / neg / psi) tõenäosused on valemi (P (varphi / kiil / psi) + P (varphi / kiil / neg / psi) = P (varphi)), ilma ülaltoodud lineaarsete kombinatsioonideta valem teeb seda ainult juhul, kui valime õiged numbrid (a) ja (b). Proportsionaalse tõenäosusloogika ekspressiivsuse ametlik võrdlus lineaarsete kombinatsioonidega ja ilma on esitatud Demey ja Sack (2015). Ehkki kõik kaks mudelit lepivad kõigi lineaarsete kombinatsioonidega valemite osas kokku ja ainult siis, kui nad lepivad kokku kõigi ilma valemiteta (Lemma 4.1 (Demey and Sack (2015)), ei ole nii, et ükskõik millist klassimudelit, mis on defineeritav ühe valemi abil koos lineaarsete kombinatsioonidega, saab määratleda ühe valemiga ilma (Lemma 4.2, Demey and Sack (2015)). Täpsemalt, valemiga (P (p) - P (q) ge 0) määratletud mudeliklassi ei saa ühegi valemi abil määratleda ilma lineaarsete kombinatsioonide võimsuseta.

Teatud alamhulka kuuluvad tõenäosused: Ognjanović ja Rašković (1999) laiendavad tõenäosusloogika keelt uut tüüpi operaatori abil: (Q_F). Intuitiivselt tähendab valem (Q_F / phi), et (phi) tõenäosus kuulub (F), mõne antud komplekti jaoks (F / subseteq [0,1]). Seda (Q_F) - operaatorit ei saa määratleda vormi (P (phi) ge a) valemite järgi. Ognjanović ja Rašković (1999) pakuvad seda tüüpi loogilise süsteemi põhjalikku ja täielikku aksioomatiseerimist. Peamised sillapõhimõtted, mis ühendavad operaatori (Q_F) tavapärasema (P) operaatoriga, on kõigi aksioomid (P (phi) = a / Q_F / phi) kõigi jaoks (a / in F), nagu ka infinäärmereegel, mis täpsustab, et alates (P (phi) = a / kuni / psi) kõigi (a / in F) korral saab järeldada (Q_F / phi / to / psi).

Polünoomkaalude valemid: Polünoomsete kaalude valemitega loogika (mis hõlmab nii kaalutud summasid kui ka tõenäosusterminite korrutisi) võimaldab valemeid kujul (P (phi) P (psi) -P (phi / kiil / psi) = 0), see tähendab, et nii (phi) kui ka (psi) tõenäosus võrdub (phi) ja (psi) tõenäosuste korrutisega. See valem kajastab, mida tähendab (phi) ja (psi) statistiliselt sõltumatus. Sellist loogikat uuriti Fagin et al. (1990), kuid enamasti koos esimese järgu loogikafunktsioonidega ja seejärel jälle lihtsamas kontekstis (ilma kvantitaatoriteta) Perović jt. (2008).

Kompaktsus ja täielikkus: Kompaktsus on loogika omadus, kus valemite komplekt on rahuldatav, kui iga piiratud alamhulk on rahuldav. Propositsionaalsel tõenäosuseloogikal puudub kompaktsus, kuna ({P (p)> 0 } cup {P (p) leq a \, | \, a> 0 }) piiratud alamhulk on rahuldatav, kuid kogu komplekti see pole.

Ilma kompaktsuseta võib loogika olla nõrgalt täielik (iga kehtiv valem on aksiomaatilises süsteemis tõestatav), kuid mitte tugevalt täielik (valemi iga komplekti (Gamma) korral on iga (Gamma) loogiline tagajärg tõestatav alates (Gamma) aksiomaatilises süsteemis). Fagin jt. (1990), anti tõestussüsteem, mis hõlmas lineaarseid kombinatsioone, ning näidati, et loogika on nii usaldusväärne kui ka nõrgalt täielik. Ognjanovići ja Raškovići (1999) töödes pakutakse tõenäoloogikale lineaarsete kombinatsioonideta usaldusväärse ja tugevalt tervikliku tõestussüsteemi olemasolu. Heifetzis ja Monginis (2001),anti tõestussüsteem loogika varieerumiseks ilma lineaarsete kombinatsioonideta, mis kasutab tüübisüsteemi, et võimaldada tõenäosusvalemite kordamist (näeme 4. jaos, kuidas sellist iteratsiooni saab saavutada võimalike maailmade abil) ja loogika näidati olema terve ja nõrgalt täielik. Samuti märgivad nad, et ükski sellise loogika lõplik tõestamissüsteem ei saa olla täielikult täielik. Ognjanović jt. (2008) esitavad mõned kvalitatiivsed tõenäosusloogikad infinitaarsete tuletusreeglitega (mis nõuavad arvestamatult lõpmatut arvu ruume) ja tõestavad tugevat täielikkust. Goldblatt (2010) tutvustab tugevalt täielikku tõestussüsteemi seotud söebraaniloogika jaoks. Perović jt. (2008) annavad polünoomi kaalvalemite abil tõestussüsteemi ja väidetava tõenäosusloogika tugeva täielikkuse. Lõpuksveel üks strateegia täieliku täielikkuse saavutamiseks hõlmab tõenäosusfunktsioonide vahemiku piiramist kindla, lõpliku numbrikomplektiga; näiteks Ognjanović jt. (2008) käsitlevad kvalitatiivset tõenäosusloogikat, kus tõenäosusfunktsioonide vahemik ei ole tegelik ühikvahemik ([0,1]), vaid pigem 'diskreetne' versioon ({0, / frac {1 } {n}, / frac {2} {n}, / dots, / frac {n-1} {n}, 1 }) (mõne kindla numbri jaoks (n / in / mathbb {N})). Vt Ognjanović et al. (2016) täielikkuse tulemuste ülevaate saamiseks.vaid pigem 'diskreetne' versioon ({0, / frac {1} {n}, / frac {2} {n}, / dots, / frac {n-1} {n}, 1 }) (mõne kindla numbri jaoks (n / in / mathbb {N})). Vt Ognjanović et al. (2016) täielikkuse tulemuste ülevaate saamiseks.vaid pigem 'diskreetne' versioon ({0, / frac {1} {n}, / frac {2} {n}, / dots, / frac {n-1} {n}, 1 }) (mõne kindla numbri jaoks (n / in / mathbb {N})). Vt Ognjanović et al. (2016) täielikkuse tulemuste ülevaate saamiseks.

4. Modaalse tõenäosuse loogika

Paljusid tõenäosusloogikaid tõlgendatakse ühe, kuid suvalise tõenäosusruumi kaudu. Modaalse tõenäosuse loogika kasutab paljusid tõenäosusruume, millest igaüks on seotud võimaliku maailma või olekuga. Seda võib vaadelda moodulloogika relatiivse semantika väikese kohandusena: selle asemel, et seostada iga võimaliku maailmaga juurdepääsetavate maailmade komplekt, nagu seda tehakse modaalloogikas, seob modaalne tõenäosusloogika iga võimaliku maailmaga tõenäosusjaotuse, tõenäosusruumi. või tõenäosusjaotuste komplekt. Modaalse tõenäosusloogika keel lubab kinnistada tõenäosusi tõenäosuste hulka, see tähendab, et see võib näiteks põhjendada tõenäosust, et (võimalik, et erinev) tõenäosus on (1/2). Sellele mitme tõenäosusega hõlmatud modaalseadistusele on üldiselt antud (1) stohhastiline tõlgendus,Järgmiste olekute erinevate tõenäosuste osas võib süsteem üle minna (Larsen ja Skou 1991) ning (2) subjektiivseks tõlgenduseks, mis käsitleb erinevaid tõenäosusi, mis erinevatel agentidel võivad olla olukorra või üksteise tõenäosuste osas (Fagin ja Halpern 1988). Mõlemad tõlgendused võivad kasutada täpselt sama ametlikku raamistikku.

Modaalse tõenäosuse põhiloogika lisab ettepaneku (P (phi) ge q) pakutavaid loogikavalemeid, kus (q) on tavaliselt ratsionaalne arv ja (phi) on mis tahes valemi valem keel, võimalik, et tõenäosuse valem. Sellise valemi lugemisel on (phi) tõenäosus vähemalt (q). See valemi üldine lugemine ei kajasta erinevust modaalse tõenäosuse loogika ja sama valemiga muude tõenäosusloogikate vahel; kus erinevus seisneb võimes kinnistada tõenäosusi tõenäosusterminite argumentidesse ja semantilistesse külgedesse. Järgmised alajaotused annavad ülevaate modaalse tõenäosuse loogika modelleerimise variatsioonidest. Ühel juhul muudetakse keelt pisut (punkt 4.2), teisel juhulloogikat laiendatakse kvalitatiivse ja kvantitatiivse määramatuse (punkt 4.4) või dünaamika (punkt 4.5) vastastikmõjude käsitlemisele.

4.1 Peamised piiratud transpordiliikide tõenäosuse mudelid

Formaalselt on piiratud lõpliku moodi tõenäosusmudel tüübis (M = (W, / matemaatiline {P}, V)), kus (W) on võimalike maailmade või olekute lõplik kogum, (mathcal { P}) on funktsioon, mis seob jaotuse (matemaatilise {P} _w) jaotusega (W) iga maailmaga (w / W) ja (V) on 'hindamisfunktsioon' aatomielementide määramine hulgast (Phi) igale maailmale. Jaotust laiendatakse täiendavalt üksikutest maailmadest maailmade komplektidesse: (matemaatiline {P} _w (S) = / summa_ {s / in S} matemaatiline {P} _w (s)). Põhilise modaalse tõenäosusmudeli kaks esimest komponenti on tegelikult samad kui Kripke raami korral, mille seost kaunistavad numbrid (tõenäosusväärtused). Sellisel struktuuril on erinevad nimed, näiteks matemaatikas märgistatud servadega suunatud graaf või arvutiteaduses tõenäosuslik üleminekusüsteem. Hindamisfunktsioon,nagu Kripke mudelis, võimaldab meil omistada maailmidele omadusi.

Valemite semantika on esitatud paaridena ((M, w)), kus (M) on mudel ja (w) on mudeli element. Valem (P (phi) ge q) on tõene paaris ((M, w)), kirjutatud ((M, w) mudelid P (phi) ge q), siis ja ainult siis, kui (matemaatiline {P} _w ({w '\ keskel (M, w') mudelid / phi }) ge q).

4.2 Indekseerimine ja tõlgendamine

Esimene üldistus, mis on modaalse tõenäosusloogika rakendustes kõige tavalisem, on see, et jaotusi saab indekseerida ühe, mitte kahe komplektiga. Esimene komplekt on maailmade komplekt (W) (mudeli põhikomplekt), kuid teine on indeksikomplekt (A), mida tuleb sageli võtta mõne toimingu, agendi või mängija komplektina mängu. Ametlikult seob (matemaatiline {P}) jaotuse (matemaatiline {P} _ {a, w}) iga (w / sisse W) ja (a / sees). Keele asemel, mis hõlmavad vormi (P (phi) ge q) valemeid, on meil ka (P_a (phi) ge q) ja ((M, w) mudelid P_a (phi) ge q) ainult siis, kui (matemaatiline {P} _ {a, w} ({w '\ keskel (M, w') mudelid / phi }) ge q).

Näide: Oletame, et meil on indeksikomplekt (A = {a, b }) ja aatomipakkumiste komplekt (Phi = {p, q }). Mõelge ((W, / matemaatiline {P}, V)), kus

  • (W = {w, x, y, z })
  • (matemaatiline {P} _ {a, w}) ja (matemaatiline {P} _ {a, x}) kaart (w) kuni (1/2), (x) kuni (1/2), (y) kuni (0) ja (z) kuni (0).

    (matemaatiline {P} _ {a, y}) ja (matemaatiline {P} _ {a, z}) kaart (y) kaardile (1/3), (z) kuni (2/3), (w) kuni (0) ja (x) kuni (0).

    (matemaatiline {P} _ {b, w}) ja (matemaatiline {P} _ {b, y}) kaart (w) kuni (1/2), (y) kuni (1/2), (x) kuni (0) ja (z) kuni (0).

    (matemaatiline {P} _ {b, x}) ja (matemaatiline {P} _ {b, z}) kaart (x) kaardile (1/4), (z) kuni (3/4), (w) kuni (0) ja (y) kuni (0).

  • (V (p) = {w, x })

    (V (q) = {w, y }).

Me kujutame seda näidet järgmise skeemiga. Igas ringis on silt, mis tähistab iga pakkumistähe tõesust maailmale, mille nimi on märgistatud otse ringjoonest väljapoole. Nooled näitavad tõenäosusi. Näiteks nool maailmast (x) maailma (z) tähisega ((b, 3/4)) näitab, et alates (x) on tõenäoliselt (z) all silt (b) on (3/4). 0 tõenäosust ei ole märgistatud.

Neli ringi, igaüks võimaliku olekuga p, q ja tõenäosusnoolega
Neli ringi, igaüks võimaliku olekuga p, q ja tõenäosusnoolega

Joonis

Stohhastiline tõlgendus: käsitage (A) elemente (a) ja (b) toimingutena, näiteks masina nuppude vajutamine. Sel juhul ei ole nupu vajutamisel teatud tulemust. Näiteks kui masin on olekus (x), on (1/2) tõenäosus, et pärast (a) vajutamist jääb see samaks, kuid (1/4) pärast (b) vajutamist samas olekus püsimise tõenäosus. See on, [(M, x) mudelid P_a (p / kiil / neg q) = 1/2 / kiil P_b (p / kiil / neg q) = 1/4.)

Modaalloogika oluline tunnusjoon üldiselt (ja see hõlmab ka modaalset tõenäosusloogikat) on võime toetada kõrgema järgu arutluskäiku, see tähendab tõenäosuste tõenäosuste mõttekäiku. Kõrgema järgu tõenäosuste tähtsus selgub nende rollist näiteks Milleri põhimõttes, mis ütleb, et (P_1 (phi / keskel P_2 (phi) = b) = b). Siin on (P_1) ja (P_2) tõenäosusfunktsioonid, millel võib olla erinevaid tõlgendusi, näiteks kahe agensi tõenäosused, loogiline ja statistiline tõenäosus või ühe agendi tõenäosused erinevatel ajahetkedel (Miller 1966; Lewis 1980; van Fraassen 1984; Halpern 1991). Kõrgema astme tõenäosus ilmneb ka näiteks Judy Benjamini probleemis (van Fraassen 1981a), kus üks sõltub tõenäosuslikust teabest. Ükskõik, kas nõustutakse kirjanduses pakutud põhimõtetega kõrgema järgu tõenäosuste kohta või mitte, sunnib neid esindama võimalus uurida neid reguleerivaid põhimõtteid.

Kõrgema järgu arutluskäigu konkreetsemaks illustreerimiseks pöördume tagasi oma näite juurde ja näeme, et (x) korral on (1/2) tõenäosus, et pärast (a) vajutamist on olemas (1 / 2) tõenäosus, et pärast (b) vajutamist on (neg p) tõsi, st

[(M, x) mudelid P_a (P_b (neg p) = 1/2) = 1/2.)

Subjektiivne tõlgendamine: Oletame, et (A) elemendid (a) ja (b) on mängu mängijad. (p) ja (neg p) on mängija strateegiad (a) ja (q) ja (neg q) on mõlemad mängija (b) strateegiad. Mudelis on iga mängija kindel oma strateegias; näiteks kell (x), mängija (a) on kindel, et ta mängib (p) ja mängija (b) on kindel, et ta mängib (neg q), see tähendab

[(M, x) mudelid P_a (p) = 1 / kiil P_b (neg q) = 1.)

Kuid mängijad randomiseerivad oma vastased. Näiteks punktis (x) on tõenäosus, et (b) (a) (neg q) olemise (1/2) tõenäosus on (1/4), see on

[(M, x) mudelid P_b (P_a (q) = 1/2) = 1/4.)

4.3 Tõenäosusruumid

Tõenäosusi määratletakse tavaliselt mõõduruumi mõõtmetena. Mõõteruum on hulk (Omega) (näidisruum) koos (sigma) - algebriga (nimetatakse ka (sigma) - väljaks) (matemaatiline {A}) (Omega), mis on tühi (Omega) alamhulkade komplekt, nii et (A / matemaatikas {A}) tähendab, et (Omega-A / matemaatikas { A}) ja (A_i / in / mathcal {A}) kõigi naturaalarvude korral (i) tähendab, et (bigcup_i A_i / in / mathcal {A}). Mõõde on funktsioonis (mu), mis on määratletud lehel (sigma) - algebras (matemaatiline {A}), nii et (mu (A) ge 0) iga komplekti jaoks (A / matemaatikas {A}) ja (mu (bigcup_i A_i) = / sum_i / mu (A_i)) alati (A_i / cap A_j = / emptyset) iga (i, j).

Algebrani (sigma) eesmärk on domeeni piirata, nii et mitte igal (Omega) alamhulgal pole tõenäosust. See on ülioluline, et määratleda mõned tõenäosused loendamatult lõpmatutes komplektides; näiteks ei saa intervalli kõigis alamhulkades määratleda ühtlast jaotust üksikintervalli kohta, säilitades samal ajal ka tõenäosusmõõtmiste loendatava lisanduse tingimuse.

Sama põhikeel, mida kasutati piiratud tõenäosuse põhiloogika jaoks, ei pea muutuma, kuid semantika on pisut erinev: iga oleku (w / W) korral on komponendi (matemaatiline {P} _w) a modaalne tõenäosusmudel asendatakse terve tõenäosusruumiga ((Omega_w, / matemaatiline {A} _w, / mu_w)), nii et (Omega_w / subseteq W) ja (matemaatiline {A} _w) on (sigma) - algebral üle (Omega_w). Põhjus, miks me tahame, et terved ruumid erineksid maailmast, on peegeldada ebakindlust selle osas, milline tõenäosusruum on õige. Tõenäosusvalemi semantika jaoks on ((M, w) mudelid P (phi) ge q) ainult siis, kui (mu_w ({w '\ keskel (M, w') mudelid / phi }) ge q). Sellist määratlust ei ole täpselt määratletud juhul, kui ({w '\ keskel (M, w') mudelid / phi } ei / matemaatikas {A} _w). Seetõttu seatakse mudelitele sageli piirangud tagamaks, et sellised komplektid on alati (sigma) - algebras.

4.4 Kvantitatiivse ja kvalitatiivse ebakindluse ühendamine

Ehkki tõenäosused kajastavad kvantitatiivset ebakindlust ühel tasandil, võib tõenäosuste osas esineda ka kvalitatiivset ebakindlust. Võib-olla tahaksime kvalitatiivset ja kvantitatiivset ebakindlust, kuna võime olla mõne situatsiooni suhtes nii ebakindlad, et me ei taha neile sündmuste tõenäosusele numbreid omistada, samas kui on teisigi olukordi, kus me tunneme nende sündmuste tõenäosust; ja need olukorrad saavad omavahel suhelda.

On palju olukordi, kus me võib-olla ei tahaks määramatustele määrata arvulisi väärtusi. Üks näide on see, kui arvuti valib bitti 0 või 1 ja me ei tea midagi selle bitti valimise kohta. Seevastu mündivoldikute tulemusi kasutatakse sageli näidetena, kus me eraldaksime tõenäosused üksikutele tulemustele.

Näide, kuidas need võivad omavahel suhelda, on juhul, kui bitti tulemus määrab, kas mündi klapiks kasutatakse õiglast või kaalutud mündi (näiteks tõenäosusega pead (2/3)). Seega on kvalitatiivne ebakindlus selle suhtes, kas mündi libisemise tulemusel on päid tõenäosusega (1/2) või (2/3).

Üks võimalus tõenäosuse ja kvalitatiivse määramatuse vastastikuse mõju vormistamiseks on keelele uue seose lisamine mudeli ja modaalse operaatori vahel, nagu seda tehakse Fagini ja Halperni (1988, 1994) poolt. Formaalselt lisame piiratud tõenäosuse põhimudelile seose (R / subseteq W ^ 2). Seejärel lisame keelele modaaloperaatori (Box), nii et ((M, w) mudelid / Box / phi) ainult siis ja ((M, w ') mudelid / phi) igal ajal (w R w ').

Vaatleme järgmist näidet:

  • (W = {(0, H), (0, T), (1, H), (1, T) }),
  • (Phi = {h, t }) on aatomisavalduste kogum,
  • (R = W ^ 2),
  • (P) seostub ((0, H)) ja ((0, T)) jaotuse kaardistamisega ((0, H)) ja ((0, T)) kumbki (1/2) ja seostub ((1, H)) ja ((1, T)) jaotusega, mis kaardistab ((1, H)) kuni (2/3) ja ((1, T)) kuni (1/3),
  • (V) kaardistab (h) komplekti ({(0, H), (1, H) }) ja (t) komplekti ({(0, T), (1, T) }).

Siis on valemis ((0, H)) õige järgmine valem: (neg / Box h / kiil (neg / Box P (h) = 1/2) kiil (Diamond P (h) = 1/2)). Seda saab lugeda, kuna ei ole teada, et (h) on tõsi, ja ei ole teada, et (h) tõenäosus on (1/2), kuid on võimalik, et (h) on (1/2).

4.5 Dünaamika

Oleme arutanud modaalse tõenäosuse loogika kahte vaadet. Üks on ajaline või stohhastiline, kus iga olekuga seotud tõenäosusjaotus määrab teistesse olekutesse ülemineku tõenäosuse; teine on seotud agentide subjektiivsete vaatenurkadega, kes võivad põhjendada teiste agentide tõenäosust. Stohhastiline süsteem on dünaamiline selle poolest, et see tähistab erinevate üleminekute tõenäosusi ja seda saab edastada modaalsete tõenäosuslike mudelitega ise. Kuid subjektiivsest vaatenurgast lähtudes on modaalsed tõenäosusmudelid staatilised: tõenäosused on seotud sellega, mis praegu on. Ehkki nende tõlgendamine on staatiline, saab tõenäosusliku ümbersuunamise seadistada dünaamilisse konteksti.

Modaalse tõenäosuskeskkonna dünaamika on üldiselt seotud tõenäosuste üheaegsete muutustega potentsiaalselt kõigis võimalikes maailmades. Intuitiivselt võib sellise muutuse põhjustada uus teave, mis kutsub esile võimaliku maailma tõenäosusliku muutuse. Subjektiivsete tõenäosuste dünaamikat modelleeritakse sageli tingimuslike tõenäosuste abil, nagu näiteks Kooi (2003), Baltag ja Smets (2008) ning van Benthem jt. (2009). (E) tingimus, et (F) on kirjutatud (P (E / keskel F)), on (P (E / kork F) / P (F)). Kui värskendatakse komplektiga (F), asendatakse tõenäosusjaotus (P) tõenäosusjaotusega (P ') selliselt, et (P' (E) = P (E / keskel F)), kui (P (F) neq 0). Eeldame selle dünaamika alajao ülejäänud osas, et igal vaatlusalusel asjakohasel komplektil on positiivne tõenäosus.

Kasutades tõenäosusloogikat koos lineaarsete kombinatsioonidega, saame tingliku tõenäosuse (P (phi / mid / psi) ge q) lühendada (P (phi / kiil / psi) - qP (psi) ge abil 0). Modaalses seadistuses saab keelt lisada operaatori ([! / Psi]) nii, et (M, w / mudelid [! / Psi] phi) ainult siis, kui (M ', w / mudelid / phi), kus (M ') on mudel, mis saadakse ettevõttelt (M), vaadates iga maailma tõenäosusi üle väärtuse (psi). Pange tähele, et ([! / Psi] (P (phi) ge q)) erineb (P (phi / keskel / psi) ge q) sellest, et ([! / Psi] (P (phi) ge q)) mõjutavad tõenäosusterminite tõlgendamist (phi) sees muutmine (psi), samas kui (P (phi / mid / psi)) ge q), nad ei ole, mistõttu (P (phi / mid / psi) ge q) ulatub kenasti teise tõenäosuse valemisse. Kuid ka ([! / Psi] phi) ilmub välja, kuid järgmiste sammudena:

[! / psi] (P (phi) ge q) vasakpoolne nool (psi / kuni P ([! / psi] phi / keset / psi) ge q).)

Modaalse tõenäosusloogika ja selle dünaamika muude ülevaadete kohta vt Demey ja Kooi (2014), Demey ja Sack (2015) ning lisa L dünaamilise episteemilise loogika sissekande dünaamilise episteemilise loogika tõenäosusliku värskendamise kohta.

5. Esimese astme tõenäosusloogika

Selles osas käsitleme esimese astme tõenäosusloogikat. Nagu selgitati selle sissekande 1. jaotises, on loogikal tõenäosuslikke tunnuseid mitmel viisil. Loogika mudelitel võivad olla tõenäosuslikud aspektid, tagajärje mõistel võib olla tõenäosuslik maitse või loogika keel võib sisaldada tõenäosuslikke operaatoreid. Selles jaotises keskendume neile loogilistele operaatoritele, kellel on esimese astme maitse. Esimese astme maitse eristab neid operaatoreid eelmise jaotise tõenäosuslikest modaaloperaatoritest.

Vaatleme järgmist näidet Bacchusest (1990):

Üle 75% kõigist lindudest lendab.

Selle lause kohta on olemas sirgjooneline tõenäosuslik tõlgendus, nimelt kui mõni linn valib juhuslikult juhuslikult, siis on tõenäosus, et valitud lind lendab üle 3/4. Selliste väidete väljendamiseks on vaja esimese astme tõenäosusoperaate.

On veel teist tüüpi lauseid, näiteks järgmine lause, mida käsitleti Halpernis (1990):

Tweety lendamise tõenäosus on suurem kui (0,9).

Selles lauses kaalutakse tõenäosust, et Tweety (konkreetne lind) võib lennata. Neid kahte tüüpi lauseid käsitlevad kaks erinevat tüüpi semantikat, kus esimene hõlmab tõenäosusi domeeni kohal, teine aga tõenäosusi võimalike maailmade komplekti osas, mis on domeenist eraldatud.

5.1 Esimese astme tõenäosusloogika näide

Selles alajaotuses käsitleme lähemalt konkreetset esimese järgu tõenäosusloogikat, mille keel on võimalikult lihtne, et keskenduda tõenäosuslike kvantitaatoritele. Keel sarnaneb väga klassikalise esimese järgu loogika keelega, kuid tuttava universaalse ja eksistentsiaalse kvantandi asemel sisaldab keel tõenäosuslikku kvantorit.

Keel on üles ehitatud üksikute muutujate kogumile (tähisega (x, y, z, x_1, x_2, / ldots)), funktsioonisümbolite kogumile (tähisega (f, g, h, f_1, / ldots)), kus iga sümboliga on seotud ariteet (nullfunktsiooni sümboleid nimetatakse ka üksikuteks konstantideks), ja predikaattähtede komplekt (tähistatud tähega (R, P_1, / ldots)), kus arity on seotud iga sümbol. Keel sisaldab kahte tüüpi süntaktilisi objekte, nimelt termineid ja valemeid. Mõisted on määratletud induktiivselt järgmiselt:

  • Iga üksik muutuja (x) on termin.
  • Iga funktsionaalsümbol (f), mis on arity (n), millele järgneb (n) - mõistete paar ((t_1, / ldots, t_n)) on termin.

Mõistete seda määratlust arvestades määratletakse valemid induktiivselt järgmiselt:

  • Iga predikaatlause täht (R) arity (n), millele järgneb (n) - mõistete paar ((t_1, / ldots, t_n)) on valem.
  • Kui (phi) on valem, siis nii on ka (neg / phi).
  • Kui (phi) ja (psi) on valemid, siis nii on ka ((phi / kiil / psi)).
  • Kui (phi) on valem ja (q) on ratsionaalne arv intervallis ([0,1]), siis nii on ka (Px (phi) geq q).

Vormi (Px (phi) geq q) valemeid tuleks lugeda järgmiselt: “(x) sellise valimise tõenäosus, et (x) vastab (phi), on vähemalt (q)”. Valem (Px (phi) leq q) on lühend (Px (neg / phi) geq 1-q) ja (Px (phi) = q) on lühend (Px (phi) geq q / kiil Px (phi) leq q). Kõiki (x) vabu esinemisi rakenduses (phi) seob operaator.

Seda keelt tõlgendatakse väga lihtsate esimese astme mudelite korral, mis on kolmikud (M = (D, I, P)), kus diskursuse domeeniks (D) on piiratud objektide hulk, mis ei ole tühine, tõlgendus (I) seostab (n) - ary-funktsiooni saidil (D) iga keeles esineva (n) - ary-funktsiooni sümboliga ja (D / - ary-funktsiooniga (D)) iga (n) - predikaattähega. (P) on tõenäosusfunktsioon, mis omistab tõenäosuse (P (d)) igale elemendile (d) (D) selliselt, et (summa_ {d / D-is} P (d)) = 1).

Vabasid muutujaid sisaldavate valemite tõlgendamiseks on vaja ka omistamist (g), mis omistaks elemendi (D) igale muutujale. Mõiste (t) tõlgendamine ()! [T] !] _ {M, g}) andis mudeli (M = (D, I, P)) ja ülesande (g) määratletakse induktiivselt järgmiselt:

  • ()! [x] !] _ {M, g} = g (x))
  • ()! [f (t_1, / ldots, t_n)] !] _ {M, g} = I (f) ()! [t_1] !], / ldots,)! [t_n] !]))

Tõde on defineeritud kui seos (mudelid) mudelite vahel, millel on ülesanded ja valemid:

  • (M, g / mudelid R (t_1, / ldots, t_n)) iff (()! [T_1] !], / Ldots,)! [T_n] !]) In I (R))
  • (M, g / mudelid / neg / phi) iff (M, g / ei / mudelid / phi)
  • (M, g / mudelid (phi / kiil / psi)) iff (M, g / mudelid / phi) ja (M, g / mudelid / psi)
  • (M, g / mudelid Px (phi) geq q) iff (summa_ {d: M, g, [x / mapsto d] mudelid / phi} P (d) geq q)

Näitena kaaluge üheksa marmorit sisaldava vaasi mudelit: viis on mustad ja neli on valged. Oletagem, et (P) seab igale marmorile tõenäosuse 1/9, mis kajastab mõtet, et sama marmori valib tõenäoliselt ka inimene. Oletame, et keel sisaldab ühetaolist predikaati (B), mille tõlgendus on mustade marmoride kogum. Lause (Px (B (x)) = 5/9) on selle mudeli puhul tõene, olenemata ülesandest.

Loogika, mille me just esitasime, on liiga lihtne, et hõlmata mitmesuguseid tõenäosuste mõttekäike. Arutame siin kolme pikendust.

5.1.1 Rohkem kui ühe muutuja kvantifitseerimine

Esiteks tahaksin põhjendada juhtumeid, kui domeenist valitakse mitu objekti. Mõelge näiteks tõenäosusele, et kõigepealt korjatakse must marmor, pannakse see tagasi ja seejärel valitakse vaasist valge marmor. See tõenäosus on 5/9 (korda) 4/9 = 20/81, kuid me ei saa seda ülaltoodud keeles väljendada. Selleks vajame ühte operaatorit, kes tegeleb korraga mitme muutujaga, kirjutades kujul (Px_1, / täpikesed x_n (phi) geq q). Selliste operaatorite semantika peab seejärel pakkuma tõenäosuse mõõtme (D ^ n) alamhulkades. Lihtsaim viis selleks on lihtsalt võtta funktsiooni (P) tõenäosusfunktsiooni korrutis väärtusel (D), mida saab võtta kui (P) laiendamist loenditele, kus (P (d_1), / ldots d_n) = P (d_1) times / cdots / times P (d_n)), mis annab järgmise semantika:

(M, g / mudelid Px_1 / ldots x_n (phi) geq q) iff (summa _ {(d_1, / ldots, d_n): M, g [x_1 / mapsto d_1, / dot, x_n / mapsto d_n] mudelid / phi} P (d_1, / ldots, d_n) geq q)

Seda lähenemisviisi kasutavad Bacchus (1990) ja Halpern (1990), mis vastavad ideele, et valikud on sõltumatud ja asendatavad. Selle semantika abil saab ülaltoodud näite vormistada järgmiselt: (Px, y (B (x) kiil / neg B (y)) = 20/81). Samuti on olemas üldisemad lähenemisviisid domeeni meetme laiendamiseks domeeni tunnustele, näiteks Hoover (1978) ja Keisler (1985).

5.1.2 Tingimuslik tõenäosus

Kui vaadata algset näidet, mille kohaselt lendab enam kui 75% kõigist lindudest, siis ei saa seda piisavalt mudelisse haarata, kui domeen sisaldab objekte, mis pole linnud. Nendel objektidel ei tohiks olla tähtsust selles, mida keegi soovib väljendada, vaid tõenäosuse kvantitaatorid määravad kogu domeeni. Kvantifitseerimise piiramiseks tuleb lisada tingimusliku tõenäosusega operaatorid (Px (phi | / psi) geq q) järgmise semantikaga:

  • (M, g / mudelid Px (phi | / psi) geq q) juhul, kui leidub (d / in D), siis (M, g [x / mapsto d] mudelid / psi) siis

    ) frac { sum_ {d: M, g [x / mapsto d] mudelid / phi / kiil / psi} P (d)} { summa_ {d: M, g [x / mapsto d] mudelid / psi} P (d)} geq q.)

Nende operaatorite puhul väljendab valem (Px (F (x) keskosas B (x))> 3/4), et enam kui 75% kõigist lindudest lendab.

5.1.3 Tõenäosused terminitena

Kui soovitakse võrrelda erinevate sündmuste tõenäosust, näiteks valida must pall ja valida valge pall, võib olla mugavam käsitada tõenäosusi omaette terminitena. See tähendab, et avaldis (Px (phi)) tõlgendatakse viitavat mingile ratsionaalsele arvule. Seejärel saab keelt laiendada aritmeetiliste toimingutega, nagu liitmine ja korrutamine, ning selliste operaatoritega nagu võrdsus ja ebavõrdsus, et tõenäosustermineid võrrelda. Seejärel võib öelda, et musta palli valimisel on valge palliga võrreldes kaks korda suurem tõenäosus kui (Px (B (x)) = 2 / korda Px (W (x))). Selline laiendus nõuab, et keel sisaldaks kahte eraldiseisvat terminiklassi: üks tõenäosuste, arvude ja selliste tingimuste aritmeetiliste operatsioonide tulemuste jaoks,ja üks diskursuse valdkonna jaoks, mida tõenäosuslikud operaatorid kvantifitseerivad. Me ei esita siin sellist keelt ja semantikat üksikasjalikult. Sellise süsteemi võib leida Bacchusest (1990).

5.2 Võimalik esimese astme tõenäosusloogika maailmas

Selles alajaotuses käsitleme võimaliku maailma semantikaga esimese astme tõenäosusloogikat (mida lühendame FOPL-na). FOPL-i keel sarnaneb näitega, mille esitasime jaotises 5.1, mis on seotud Bacchuse keelega, välja arvatud siin, et meil on täielikud kvantitatiivvalemid vormiga ((forall x) phi) mis tahes valemi (phi) jaoks, ja vormi (Px (phi) ge q) tõenäosusvalemite asemel on meil vormi (P (phi) ge q) tõenäosuse valemid (sarnaselt pakkumise tõenäosuse valemite valemitele) loogika).

FOPL-i mudelid on kujul (M = (W, D, I, P)), kus (W) on võimalike maailmade kogum, (D) on diskursuse domeen, (I) on lokaliseeritud tõlgendusfunktsioon, mis kaardistab kõik (w / W) tõlgendusfunktsiooniks (I (w)), mis seostub iga funktsiooniga ja ennustab sümbolit, funktsiooni või predikaati vastava ariteediga ja (P) on tõenäosusfunktsioon, mis omistab tõenäosuse (P (w)) igale (w) sisendis (W).

Sarnaselt eelneva lihtsa näitega hõlmame me ka määramisfunktsiooni (g), mis kaardistab iga muutuja domeeni elemendiga (D). Mõistete tõlgendamiseks kaardistame iga mõiste (t) iga mudeli (t) domeenielementide jaoks iga mudeli (M), maailma (W / W) ja määramisfunktsiooni (g):

  • ()! [x] !] _ {M, w, g} = g (x))
  • ()! [f (t_1, / ldots, t_n)] !] _ {M, w, g} = I (w) (f) ()! [t_1] !], / ldots, [! [t_n] !]))

Tõde määratletakse vastavalt seosele (mudelid) teravate mudelite (määratud maailmadega mudelid) vahel koos ülesannete ja valemitega järgmiselt:

  • (M, w, g / mudelid R (t_1, / ldots, t_n)) iff (()! [T_1] !], / Ldots,)! [T_n] !]) In I (w) (R))
  • (M, w, g / mudelid / neg / phi) iff (M, w, g / ei / mudelid / phi)
  • (M, w, g / mudelid (phi / kiil / psi)) iff (M, w, g / mudelid / phi) ja (M, w, g / mudelid / psi)
  • (M, w, g / mudelid (forall x) varphi) iff (M, w, g [x / d] mudelid / varphi) kõigile (d / in D), kus (g [x / d]) on sama mis (g), välja arvatud see, et see kaardistab (x) väärtuseks (d).
  • (M, w, g / mudelid P (varphi) ge q) iff (P ({w '\ keskel (M, w', g) mudelid / varphi }) ge q).

Näitena kaaluge mudelit, kus on võimalikud kaks vaasi: mõlemasse võimalikesse vaasi pandi 4 valget ja 4 musta marmorit. Seejärel asetati vaasi veel üks marmor, nn., Kuid ühes võimalikus vaasis oli valge ja teises see oli must. Nii on lõpuks kaks võimalikku vaasi: üks, millel on 5 musta ja 4 valget marmorit ning teine - 4 musta ja 5 valget. Oletame, et (P) määrab (1/2) tõenäosuse kahele võimalikule vaasile. Siis (P (B (mathsf {viimane})) = 1/2) kehtib selle muutuja omistamise korral ja kui valiti mõni muu muutuja omistamine, siis valem ((eksisteerib x) P (B (x)) = 1/2) oleks ikka tõsi.

5.3 Metalogika

Üldiselt on esimese astme tõenäosusloogika jaoks tõesüsteeme keeruline pakkuda, kuna nende loogikate kehtivuse probleem on üldiselt otsustamatu. Isegi kui see on klassikalise esimese järgu loogika puhul, pole nii, et kui järeldused kehtivad, saab sellest teada piiratud aja jooksul (vt Abadi ja Halpern (1994)).

Sellegipoolest on esimese astme tõenäosusloogika osas palju tulemusi. Näiteks Hooveri (1978) ja Keisleri (1985) uuringu täielikkuse tulemused. Bacchus (1990) ja Halpern (1990) pakuvad ka täielikke aksiomatizatsioone, samuti vastavalt esimese järgu tõenäosusloogika ja võimaliku maailma esimese astme tõenäosusloogika kombinatsioone. Ognjanovićis ja Raškovićis (2000) antakse siin esitatud võimaliku maailma esimese järgu tõenäosusloogika üldisema versiooni jaoks infinitaarne täielik aksiomatization.

Bibliograafia

  • Abadi, M. ja Halpern, JY, 1994, “Otsustatavus ja väljendusvõime tõenäosuse esmajärgulise loogika jaoks”, teave ja arvutus, 112: 1–36.
  • Adams, EW ja Levine, HP, 1975, “Ebaselguste kohta, mis on üle kantud eeldustest järelduste tegemisele deduktiivsetes järeldustes”, Synthese, 30: 429–460.
  • Adams, EW, 1998, Tõenäosusloogika alge, Stanford, CA: CSLI publikatsioonid.
  • Arló Costa, H., 2005, “Mitteadjunktiivsed järeldused ja klassikalised viisid”, Journal of Philosophical Logic, 34: 581–605.
  • Bacchus, F., 1990, Võimalike teadmiste esindamine ja põhjendamine, Cambridge, MA: The MIT Press.
  • Baltag, A. ja Smets, S., 2008, “Probabilistic Dynamic Belief Revision”, Synthese, 165: 179–202.
  • van Benthem, J., 2017, “Kõigi koefitsientide korral: kui loogika vastab tõenäosusele”, ModelEd, TestEd, TrustEd. Ed Brinksmale tema 60. sünniaastapäevaks pühendatud esseed, JP Katoen, R. Langerak ja A. Rensink (toim), Cham: Springer, lk 239–253.
  • van Benthem, J., Gerbrandy, J. ja Kooi, B., 2009, “Dünaamiline värskendus tõenäosustega”, Studia Logica, 93: 67–96.
  • Boole, G., 1854, Mõte seaduste uurimine, millele rajatakse loogika ja tõenäosuste matemaatilised teooriad, London: Walton ja Maberly.
  • Burgess, J., 1969, “Tõenäosusloogika”, Journal of Symbolic Logic, 34: 264–274.
  • Carnap, R., 1950, Tõenäosuse loogilised alused, Chicago, IL: Chicago Chicago Press.
  • Cross, C., 1993, “Maailmadest tõenäosuste juurde: tõenäosuslik semantika modaalloogikale”, Journal of Philosophical Logic, 22: 169–192.
  • Delgrande, J. ja Renne, B., 2015, “Kvalitatiivse tõenäosuse loogika” kunstliku intelligentsuse kahekümne neljanda rahvusvahelise ühiskonverentsi (IJCAI 2015), Q. Yang ja M. Wooldridge (toim) toimetustes, Palo Alto, CA: AAAI Press, lk 2904–2910.
  • Demey, L. ja Kooi, B., 2014, “Logic and Probabilistic Update”, A. Baltag ja S. Smets (toim), Johan van Benthem on Logic and Information Dynamics, lk 381–404.
  • Demey, L. ja Sack, J., 2015, “Epistemic Probabilistic Logic”, Epistemic Logic Handbook. H. van Ditmarsch, J. Halpern, W. van der Hoek ja B. Kooi (toim.), London: College Publications, lk 147–202.
  • Dempster, A., 1968, “Üldistamine Bayesi järeldustest”, ajakiri Royal Statistics Society, 30: 205–247.
  • De Morgan, A., 1847, Formal Logic, London: Taylor ja Walton.
  • de Finetti, B., 1937, “La Prévision: Ses Lois Logiques, Sesi allikate subjektiivid”, Annales de l'Institut Henri Poincaré, 7: 1–68; tõlgitud kui “ettenägelikkus. Selle loogilised seadused, selle subjektiivsed allikad”subjektiivse tõenäosuse uuringutes, HE Kyburg, Jr ja HE Smokler (toim), Malabar, FL: RE Krieger Publishing Company, 1980, lk 53–118.
  • Douven, I. ja Rott, H., 2018, “Tõenäosustest kategooriliste tõekspidamisteni: mänguasjamudelitest kaugemale jõudmine”, Journal of Logic and Computation, 28: 1099–1124.
  • Eagle, A., 2010, tõenäosuse filosoofia: kaasaegsed lugemised, London: Routledge.
  • Fagin, R. ja Halpern, JY, 1988, “Teadmiste ja tõenäosuse mõttekäik”, 2. konverentsi artiklites teadmiste põhjendamise teoreetiliste aspektide teemal, MY Vardi (toim), Pacific Grove, CA: Morgan Kaufmann, lk. 277–293.
  • –––, 1994, “Teadmiste ja tõenäosuse põhjendamine”, ACM, 41: 340–367.
  • Fagin, R., Halpern, JY, ja Megiddo, N., 1990, “Tõenäosuste põhjendamise loogika”, teave ja arvutus, 87: 78–128.
  • Fitelson, B., 2006, “Induktiivne loogika”, teaduse filosoofias: Entsüklopeedia, J. Pfeifer ja S. Sarkar (toim.), New York, NY: Routledge, lk 384–394.
  • van Fraassen, B., 1981a, “Tõenäosuse kinemaatika suhtelise teabe minimeerijate probleem”, Briti ajakiri teaduse filosoofiale, 32: 375–379.
  • –––, 1981b, „Objektiivselt sõnastatud tõenäoline semantika: I. Postulaadid ja loogika”, Journal of Philosophical Logic, 10: 371–391.
  • –––, 1983, “Härraste palgad: asjakohane loogika ja tõenäosus”, Philosophical Studies, 43: 47–61.
  • –––, 1984, “Usk ja tahe”, ajakiri Filosoofia, 81: 235–256.
  • Gärdenfors, P., 1975a, “Kvalitatiivne tõenäosus kui intensiivne loogika”, Journal of Philosophical Logic, 4: 171–185.
  • –––, 1975b, “Mõned kvalitatiivse tõenäosuse põhiteoreemid”, Studia Logica, 34: 257–264.
  • Georgakopoulos, G., Kavvadias, D. ja Papadimitriou, CH, 1988, “Tõenäoline rahulolu”, Journal of Complexity, 4: 1–11.
  • Gerla, G., 1994, “Järeldused tõenäosusloogikas”, kriitiline intelligentsus, 70: 33–52.
  • Gillies, D., 2000, Tõenäosuse filosoofilised teooriad, London: Routledge.
  • Goldblatt, R. (2010) “Mõõdetavate ruumide kohal asuvate kivisöe kivide deduktsioonisüsteemid.” Journal of Logic and Computation 20 (5): 1069–1100
  • Goldman, AJ ja Tucker, AW, 1956, “Lineaarse programmeerimise teooria” lineaarses ebavõrdsuses ja sellega seotud süsteemides. Annals of Mathematics Studies 38, HW Kuhn ja AW Tucker (toim), Princeton: Princeton University Press, lk 53–98.
  • Goosens, WK, 1979, “Elementaarse tõenäosusteooria alternatiivsed aksiomatizations”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 20: 227–239.
  • Hájek, A., 2001, “Tõenäosus, loogika ja tõenäosusloogika”, filmis Blackwell Guide to Philosophical Logic, L. Goble (toim.), Oxford: Blackwell, lk 362–384.
  • Hájek, A. ja Hartmann, S., 2010, “Bayesian Epistemology, in A Companion to Epistemology”, J. Dancy, E. Sosa ja M. Steup (toim), Oxford: Blackwell, lk 93–106.
  • Haenni, R. ja Lehmann, N., 2003, “Probabilistlikud argumentatsioonisüsteemid: uus perspektiiv Dempsteri-Shaferi teooriale”, International Journal of Intelligent Systems, 18: 93–106.
  • Haenni, R., Romeijn, J.-W., Wheeler, G. ja Williamson, J., 2011, Probabilistic Logics and Probabilistic Networks, Dordrecht: Springer.
  • Hailperin, T., 1965, “Sündmuste loogilise funktsiooni tõenäosuse parim võimalik ebavõrdsus”, American Mathematical Monthly, 72: 343–359.
  • –––, 1984, “Tõenäosusloogika”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 25: 198–212.
  • –––, 1986, Boole loogika ja tõenäosus, Amsterdam: Põhja-Holland.
  • –––, 1996, Senentsiaalse tõenäosusloogika: päritolu, areng, hetkeseis ja tehnilised rakendused, Bethlehem, PA: Lehigh University Press.
  • Halpern, JY ja Rabin, MO, 1987, “Loogika mõistmise tõenäosuse mõistmiseks”, tehisintellekt, 32: 379–405.
  • Halpern, JY, 1990, “Tõenäosuse esimese järgu loogika analüüs”, tehisintellekt, 46: 311–350.
  • ––– 1991, „Teadmiste, usu ja kindluse seos”, Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 4: 301–322. Errata ilmus ajakirjas Matemaatika ja tehisintellekt, 26 (1999): 59–61.
  • –––, 2003, Mõistatus ebakindluse kohta, Cambridge, MA: The MIT Press.
  • Hamblin, CL, 1959, “Modaal” tõenäoliselt”, Mind, 68: 234–240.
  • Hansen, P. ja Jaumard, B., 2000, “Tõenäoline rahulolu”, võimalike põhjendamis- ja määramatuse juhtimissüsteemide käsiraamatus. 5. köide: Ebaselguse ja põhjendamatuse algoritmid, J. Kohlas ja S. Moral (toim), Dordrecht: Kluwer, lk 321–367.
  • Harrison-Trainor M., Holliday, WH, ja Icard, T., 2016, “Märkus tühistamise aksioomide kohta võrdleva tõenäosuse jaoks”, Teooria ja otsus, 80: 159–166.
  • –––, 2018, “Järeldused tõenäoliste võrdluste kohta”, Matemaatilised sotsiaalteadused, 91: 62–70.
  • Hartmann, S. ja Sprenger J., 2010, “Bayesian Epistemology” in Routledge Companion to Epistemology, S. Bernecker and D. Pritchard (toim.), London: Routledge, lk 609–620.
  • Heifetz, A. ja Mongin, P., 2001, “Tüüpiliste ruumide tõenäosusloogika”, Mängud ja majanduslik käitumine, 35: 31–53.
  • Herzig, A. ja Longin, D., 2003, „Modaalse tõenäosuse ja usu teemal”, ebakindlusega põhjendamise sümboolseid ja kvantitatiivseid lähenemisviise käsitleva 7. Euroopa konverentsi toimingutes (ECSQARU 2003), TD Nielsen ja NL Zhang (toim)., Loengumärkused arvutiteaduses 2711, Berliin: Springer, lk 62–73.
  • Hoover, DN, 1978, “Tõenäosusloogika”, Annals of Mathematical Logic, 14: 287–313.
  • Howson, C., 2003, “Tõenäosus ja loogika”, Journal of Applied Logic, 1: 151–165.
  • –––, 2007, “Loogika numbritega”, Synthese, 156: 491–512.
  • ––– 2009, “Kas loogikat saab kombineerida tõenäosusega? Tõenäoliselt,”Journal of Applied Logic, 7: 177–187.
  • Ilić-Stepić, Ognjanović, Z., Ikodinović, N., Perović, A., (2012), “A (p) - adic tõenäosuse loogika,” Matemaatiline loogika kvartaalselt 58 (4–5): 63–280.
  • Jaynes, ET, 2003, tõenäosusteooria: teaduse loogika, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Jeffrey, R., 1992, Tõenäosus ja kohtuotsuse kunst, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Jonsson, B., Larsen, K. ja Yi, W., 2001 “Protsessi algebrate tõenäolised laiendused”, protsessi algebra käsiraamatus, JA Bergstra, A. Ponse ja SA Smolka (toim), Amsterdam: Elsevier, lk 685–710.
  • Kavvadias, D. ja Papadimitriou, CH, 1990, “Lineaarne programmeerimismeetod tõenäosuste põhjendamiseks”, Matemaatika ja tehisintellekti ajakirjad, 1: 189–205.
  • Keisler, HJ, 1985, “Tõenäosuse kvantifikaatorid”, Model-Theoretic Logics, J. Barwise ja S. Feferman (toim.), New York, NY: Springer, lk 509–556.
  • Kooi BP, 2003, “Tõenäoline dünaamiline episteemiline loogika”, ajakiri Logic, Language and Information, 12: 381–408.
  • Kraft, CH, Pratt, JW ja Seidenberg, A., 1959, “Intuitiivne tõenäosus piiratud komplektides”, Annals of Mathematical Statistics, 30: 408–419.
  • Kyburg, HE, 1965, “Tõenäosus, ratsionaalsus ja eraldatuse reegel” 1964. aasta rahvusvahelise loogika-, metodoloogia- ja teadusfilosoofia kongressi ettekannetes, Y. Bar-Hillel (toim), Amsterdam: Põhja-Holland, lk 301–310.
  • –––, 1994, “Ebakindluse loogika”, tehisintellekti ja loogikaprogrammeerimise loogika käsiraamat, DM Gabbay, CJ Hogger ja JA Robinson (toim), Oxford: Oxford University Press, lk 397–438.
  • Larsen, K. ja Skou, A., 1991, “Bisimulatsioon tõenäolise testimise kaudu”, teave ja arvutus, 94: 1–28.
  • Leblanc, H., 1979, “Esimese astme loogika tõenäosuslik semantika”, Zeitschrift fürhematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 25: 497–509.
  • –––, 1983, „Alternatiivid esimese astme semantikale”, Filosoofilise loogika käsiraamat, I köide, D. Gabbay ja F. Guenthner (toim), Dordrecht: Reidel, lk 189–274.
  • Leitgeb, H., 2013, “Uskumuse lihtsustaja taandamine uskumuse astmeteni”, Annals of Pure and Applied Logic, 164: 1338–1389.
  • ––– 2014, “Uskumuse stabiilsusteooria”, Filosoofiline ülevaade, 123: 131–171.
  • –––, 2017, usu stabiilsus. Kuidas sobib ratsionaalne usk tõenäosusega, Oxford: Oxford University Press.
  • Lewis, D., 1980, “Subjektivistlik juhend objektiivse võimaluse tekkimiseks” induktiivse loogika ja tõenäosuse uurimisel. 2. köide, RC Jeffrey (toim), Berkeley, CA: California University Press, lk 263–293; kordustrüklis Philosophical Papers. II köide, Oxford: Oxford University Press, 1987, lk 83–113.
  • Lin, H. ja Kelly, KT, 2012a, “Loterii paradoksi geograafiline loogiline lahendus koos tingimusliku loogika rakendustega”, Synthese, 186: 531–575.
  • –––, 2012b, „Propositsiooniline mõttekäik, mis jälgib tõenäosuslikku mõttekäiku”, Journal of Philosophical Logic, 41: 957–981.
  • Miller, D., 1966, “Teabe paradoks”, Briti ajakiri teaduse filosoofiale, 17: 59–61.
  • Morgan, C., 1982a, “Klassikalise lauseloogika iga pikendamise jaoks on olemas tõenäosuslik semantika”, Journal of Philosophical Logic, 11: 431–442.
  • –––, 1982b, “Probatsionaalsete K, T, B, S4 ja S5 lihtsate tõenäosustega semantika”, Journal of Philosophical Logic, 11: 443–458.
  • –––, 1983, “Probatsionaalse modaalloogika tõenäosuslik semantika”. essees epistemoloogias ja semantikas, H. Leblanc, R. Gumb ja R. Stern (toim.), New York, NY: Haven Publications, lk 97–116.
  • Morgan, C. ja Leblanc, H., 1983, “Intuitionistliku loogika tõenäosuslik semantika”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 24: 161–180.
  • Nilsson, N., 1986, “Tõenäoline loogika”, tehisintellekt, 28: 71–87.
  • –––, 1993, “Tõenäoline loogika vaadati läbi”, tehisintellekt, 59: 39–42.
  • Ognjanović, Z. ja Rašković, M., 1999, “Mõned tõenäosusloogikad uut tüüpi tõenäosusoperaatoritega”, Journal of Logic and Computation 9 (2): 181–195.
  • Ognjanović, Z. ja Rašković, M., 2000, “Mõned esimese järgu tõenäosusloogikad”, Teoreetiline arvutiteadus 247 (1–2): 191–212.
  • Ognjanović, Z., Rašković, M. ja Marković, Z., 2016, Tõenäosusloogika: ebakindlate põhjenduste tõenäosuspõhine vormistamine, Springer International Publishing AG.
  • Ognjanović, Z., Perović, A. ja Rašković, M., 2008, “Loogika koos kvalitatiivse tõenäosuse operaatoriga”, IGPLi loogikaajakiri 16 (2): 105–120.
  • Pariis, JB, 1994, Ebakindla mõtleja kaaslane, matemaatiline perspektiiv, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Parma, A. ja Segala, R., 2007, “Diskreetsete tõenäosussüsteemide bisimulatsioonide loogilised karakteristikud”, 10. rahvusvahelise tarkvarateaduse ja arvutusstruktuuride aluste konverentsi (FOSSACS) ettekannetes, H. Seidl (toim), Loengumärkused arvutiteaduses 4423, Berliin: Springer, lk 287–301.
  • Pearl, J., 1991, “Tõenäoline semantika mittemonotooniliste mõttekäikude jaoks”, filosoofias ja AI-s: Esseed liideses, R. Cummins ja J. Pollock (toim), Cambridge, MA: The MIT Press, lk 157–188.
  • Perović, A., Ognjanović, Z., Rašković, M., Marković, Z., 2008, “Polünoomsete kaalude valemitega tõenäosusloogika”. Hartmann, S., Kern-Isberner, G. (toim.) Information and teadmiste süsteemide viienda rahvusvahelise sümpoosioni aluste ettekanded, FoIKS 2008, Pisa, Itaalia, 11. – 15. Veebruar 2008. Loengumärkused arvutiteaduses, kd. 4932, lk 239–252. Springer.
  • Ramsey, FP, 1926, “Tõde ja tõenäosus”, Matemaatika ja muude esseede alused, RB Braithwaite (toim), London: Routledge ja Kegan Paul, 1931, lk 156–198; kordustrükk subjektiivse tõenäosuse uuringutes, HE Kyburg, Jr ja HE Smokler (toim.), 2. trükk, Malabar, FL: RE Kriegeri kirjastus, 1980, lk 23–52; kordustrükk ajakirjas Philosophical Papers, DH Mellor (toim) Cambridge: Cambridge University Press, 1990, lk 52–94.
  • Reichenbach, H., 1949, Tõenäosusteooria, Berkeley, CA: California University Press.
  • Romeijn, J.-W., 2011, „Statistika kui induktiivne loogika“, teadusfilosoofia käsiraamatus. Vol. 7: statistikafilosoofia, P. Bandyopadhyay ja M. Forster (toim), Amsterdam: Elsevier, lk 751–774.
  • Scott, D., 1964, “Mõõtmisstruktuurid ja lineaarsed ebavõrdsused”, Journal of Mathematical Psychology, 1: 233–247.
  • Segerberg, K., 1971, “Kvalitatiivne tõenäosus modaalses seadistuses”, Proceedings 2nd Scandinavian Logic Symposium, E. Fenstad (toim), Amsterdam: Põhja-Holland, lk 341–352.
  • Shafer, G., 1976, Tõendite matemaatiline teooria, Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Suppes, P., 1966, „Tõenäolised järeldused ja totaalsete tõendite kontseptsioon” induktiivse loogika aspektides, J. Hintikka ja P. Suppes (toim.), Amsterdam: Elsevier, lk 49–65.
  • Szolovits, P. ja Pauker, SG, 1978, “Klassikaline ja tõenäoline mõttekäik meditsiinilises diagnostikas”, tehisintellekt, 11: 115–144.
  • Tarski, A., 1936, “Wahrscheinlichkeitslehre und mehrwertige Logik”, Erkenntnis, 5: 174–175.
  • Vennekens, J., Denecker, M. ja Bruynooghe, M., 2009, “CP-loogika: põhjuslike tõenäosuste sündmuste keel ja selle seos loogikaprogrammeerimisega”, loogikaprogrammeerimise teooria ja praktika, 9: 245–308.
  • Walley, P., 1991, Statistiline mõttekäik ebatäpse tõenäosusega, London: Chapman ja Hall.
  • Williamson, J., 2002, “Tõenäosusloogika”, argumendi ja järelduse loogika käsiraamatus: Pööre praktilise poole, D. Gabbay, R. Johnson, HJ Ohlbach ja J. Woods (toim), Amsterdam: Elsevier, lk 397–424.
  • Yalcin, S., 2010, “Tõenäosusoperaatorid”, Filosoofiakompass, 5: 916–937.

Akadeemilised tööriistad

sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon
info ikoon
Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon
phil paberite ikoon
Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

[Palun võtke soovitustega ühendust autoriga.]

Soovitatav: