Modaalne Loogika

Sisenemise navigeerimine

• Sissesõidu sisu
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Sõprade PDF-i eelvaade
• Teave autori ja tsitaadi kohta
• Tagasi üles

Modaalne loogika

Esmakordselt avaldatud teisipäeval, 29. veebruaril 2000; sisuline redaktsioon laup 8. september 2018

Modaal on väljend (nagu 'tingimata' või 'võimalik'), mida kasutatakse kohtuotsuse tõe kvalifitseerimiseks. Modaalne loogika on rangelt öeldes väljendite "vajalik, et" ja "on võimalik, et" deduktiivse käitumise uurimine. Mõistet „ümbersuunatav loogika” võib aga laiemalt kasutada seotud süsteemide perekonna kohta. Nende hulka kuuluvad uskumuse, pingeliste ja muude ajaliste väljendite, deontiliste (moraalsete) väljendite, nagu näiteks "see on kohustuslik" ja "see on lubatud", ja paljude teiste loogika. Modaalloogika mõistmine on eriti väärtuslik filosoofiliste argumentide formaalses analüüsis, kus modaalsest perekonnast pärit väljendid on ühtaegu levinud ja segased. Modaalsel loogikal on olulised rakendused ka arvutiteaduses.

• 1. Mis on modaalloogika?
• 2. Modaalne loogika
• 3. Deontiline loogika
• 4. Ajaline loogika
• 5. Tingimuslik loogika
• 6. Võimalikud maailmade semantika
• 7. Radali moodi aksia ja tingimused
• 8. Modaalloogika seoste kaart
• 9. Üldine aksioom
• 10. Kahemõõtmeline semantika
• 11. Tõenäosusloogika
• 12. Täiustatud modaalloogika
• 13. Bisimulatsioon
• 14. Modaalloogika ja mängud
• 15. Modaalloogika kvantifikaatorid
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. Mis on modaalloogika?

Kitsalt tõlgendatud modaalse loogika uurimise mõttekäik, mis hõlmab väljendite „tingimata” ja „võimalik” kasutamist. Mõistet "modaalne loogika" kasutatakse laiemalt, et hõlmata loogikaperekonda, millel on sarnased reeglid ja mitmesugused erinevad sümbolid.

Järgneb loetelu, mis kirjeldab neist loogikatest kõige tuntumaid.

Loogika	Sümbolid	Laused sümboliseeritud
Modaalne loogika	(Kast)	On vaja, et…
	(Teemant)	Võimalik, et…
Deontiline loogika	(O)	Kohustuslik on, et…
	(P)	Lubatud on, et…
	(F)	Keelatud on see, et…
Ajaline loogika	(G)	Alati on nii, et…
	(F)	Juhtub nii, et…
	(H)	Alati on olnud nii, et…
	(P)	Oli nii, et…
Doksastiline loogika	(Bx)	(x) usub, et…

2. Modaalne loogika

Modaalperekonna kõige tuttavamad loogikad on konstrueeritud nõrgast loogikast nimega (bK) (pärast Saul Kripke). Kitsas tõlgenduses puudutab modaalne loogika vajalikkust ja võimalust. Sellise loogika jaoks võib välja töötada mitmesuguseid erinevaid süsteeme, kasutades alusena (bK). Sümbolid (bK) hõlmavad '({ sim})' mitte ',' '(parempoolne nool)' 'kui … siis' ja '' (Box) ' modaalkäitaja "on vajalik, et". (Ühendusi '(amp)', '(vee)' ja '(leftrightarrow)' võib määratleda järgmistest: '({{sim})' ja '' (parempoolne nool) ', nagu seda tehakse ettepanekuloogikas.) (bK) tuleneb järgneva lisamisest pakkumisloogika põhimõtetele.

Vajadusreegel: Kui (A) on (bK) teoreem, siis kehtib ka (Box A).

Leviku aksioom: (kast (A \ paremäär B) parem nool (kast A \ parem nool \ boks B)).

(Nendes printsiipides kasutame metavormidena keele valemitest erineva suurusega '(A) ja' (B) '. Vajadusreegli kohaselt on vajalik loogika mis tahes teoreem. Distribution Axiom ütleb, et kui on vaja, et kui (A), siis (B), siis kui tingimata (A), siis tingimata (B).

Operaatorit (Diamond) (võimaliku jaoks) saab määratleda saidist (Box), lastes (Diamond A = { sim} Box { sim} A). (BK) -s käituvad operaatorid (Box) ja (Diamond) sarnaselt kvantifikaatoritega (forall) (kõik) ja (eksisteerib) (mõned). Näiteks (Teemant) määratlus loendist (Box) peegeldab predikaatloogikas (forall xA) ja ({ sim} eksisteerib x { sim} A) ekvivalenti.. Lisaks tähendab (Box (A \ amp B)) (Box A \ amp \ Box B) ja vastupidi; samas kui (Box A \ vee \ Box B) tähendab (Box (A \ vee B)), kuid mitte vastupidi. See peegeldab universaalse kvantifikaatori mustreid: (forall x (A \ amp B)) tähendab (forall xA \ amp \ forall xB) ja vastupidi, samas kui (forall xA \ vee \ forall xB) tähendab (forall x (A \ vee B)), kuid mitte vastupidi. Sarnaseid paralleele saab tõmmata ka (Teemant) ja (olemas) vahel. Mooduloperaatorite ja kvantitaatorite vahelise kirjavahetuse alus selgub täpsemalt võimalike maailmade semantikat käsitlevas jaotises.

Süsteem (bK) on liiga nõrk, et vajalikkust piisavalt arvestada. Järgmine aksioom pole (bK) puhul tõestatav, kuid see on selgelt soovitav.

) silt {(M)} kast A \ paremnool A)

((M)) väidab, et kõik, mis vajalik, on olemas. Pange tähele, et ((M)) oleks vale, kui (Box) loetaks "see peaks olema see" või "see oli nii". Niisiis eristab aksioomi olemasolu ((M)) vajalikkuse loogikat teistest modaalperekonna loogikatest. Põhiline modaalne loogika (M) tuleneb ((M)) lisamisest (bK). (Mõned autorid nimetavad seda süsteemi (mathbf {T}).)

Paljud logistikud usuvad, et (M) on endiselt liiga nõrk, et vajalikkuse ja võimaluse loogikat õigesti vormistada. Nad soovitavad modaaloperaatorite iteratsiooni või kordamise reguleerimiseks täiendavaid aksioome. Siin on kaks kõige kuulsamat iteratsiooni aksioomi:

) silt {4} kast A \ parempoolne \ Box \ Box A)) silt {5} Teemant A \ parempoolne \ Box \ Diamond A)

(mathbf {S4}) on süsteem, mis tuleneb punkti 4 lisamisest (M). Samamoodi on (mathbf {S5}) (M) pluss (5). Lauses (mathbf {S4}) on lause (Box \ Box A) samaväärne lausega (Box A). Selle tulemusel võib ükskõik millise kasti stringi asendada ühe kastiga ja sama kehtib teemantide stringide kohta. See vastab mõttele, et transpordiliikide operaatorite kordamine on üleliigne. Ütlemist, et (A) on tingimata vajalik, peetakse mõttetu pika otsusega viisiks öelda, et (A) on vajalik. Süsteemil (mathbf {S5}) on veelgi kindlamad põhimõtted modaaloperaatorite stringi lihtsustamiseks. Rakenduses (mathbf {S4}) saab sama operaatori stringi selle operaatori jaoks asendada; rakenduses (mathbf {S5}) on nii kastid kui ka teemandid sisaldavad stringid sama kui stringi viimane operaator. Nii näiteksöelda, et on võimalik, et (A) on vajalik, on sama, mis öelda, et (A) on vajalik. Järgnev on nende (mathbf {S4}) ja (mathbf {S5}) omaduste kokkuvõte.

) tag {(mathbf {S4})} Box \ Box \ ldots \ Box = \ Box \ text {and} Diamond \ Diamond \ ldots \ Diamond = \ Diamond)) alusta {joondamine *} silt {(mathbf {S5})} 00 \ ldots \ Box & = \ Box \ text {and} 00 \ ldots \ Diamond = \ Diamond, \& \ text {kus igaüks} 0 \ tekst {on kas} Box \ text {või} Diamond \ end {joondada *})

Nende ja muude iteratsiooniprintsiipide õigsuse või ebakorrektsuse osas (Box) ja (Diamond) õigsuse või ebakorrektsuse üle võiks arutleda lõputult. Vaidlust saab osaliselt lahendada, tunnistades, et sõnadel „tingimata” ja „võimalik” on palju erinevaid kasutusvõimalusi. Niisiis sõltub aksioomide vastuvõetavus modaalloogika jaoks sellest, millist neist kasutusviisidest me silmas peame. Sel põhjusel pole olemas ühte modaalset loogikat, vaid tegemist on terve süsteemi süsteemiga, mis on üles ehitatud (M) ümber. Nende süsteemide omavahelisi suhteid on diagrammitud 8. jaos ning nende rakendamist „tingimata” ja „võib-olla” erinevatel kasutusaladel saab sügavamalt mõista, uurides nende võimalikku maailmasemantikat 6. jaos.

Süsteem (mathbf {B}) (logik Brouweri jaoks) moodustatakse aksioomi ((B)) lisamisega (M).

) silt {(B)} parempoolne nool \ kast \ teemant A)

Huvitav on fakt, et (mathbf {S5}) saab samamoodi sõnastada, lisades ((B)) (mathbf {S4}). Aksioom ((B)) tõstatab modaalvalemite tõlgendamise olulise punkti. ((B)) ütleb, et kui on juhtum (A), on (A) tingimata võimalik. Võib väita, et ((B)) tuleks alati vastu võtta mis tahes modaalses loogikas, kindlasti juhul, kui see on (A), siis on vajalik, et ((A)) oleks võimalik. Selle väitega on siiski probleeme, mille saab lahendada, märkides, et (Teemant \ Kasti A \ paremnool A) on tõestatav saidist ((B)). Seega (Diamond \ Box A \ paremnool A) peaks olema aktsepteeritav, kui ((B)) on. Kuid (Diamond \ Box A \ parempoolne nool A) ütleb, et kui (A) on vajadusel vajalik, siis on tegemist juhul, kui (A), ja see pole kaugeltki ilmne. Miks tundub ((B)) ilmne,kuigi üks asjadest, mis sellega kaasneb, ei tundu üldse ilmne? Vastus on, et (A \ rightarrow \ Box \ Diamond A) ingliskeelses tõlgenduses on ohtlik ebaselgus. Me kasutame sageli väljendit „Kui (A), siis tingimata (B)“, et väljendada tinglikku „kui (A) siis (B)“. See tõlgendus vastab (kast (A \ paremäär B)). Muudel juhtudel peame silmas, et kui (A), siis (B) on vajalik: (A \ paremnool \ Box B). Inglise keeles on 'tingimata' määrsõna ja kuna määrsõnad paigutatakse tavaliselt tegusõnade lähedusse, pole meil mingit loomulikku viisi, kuidas näidata, kas modaalioperaator kehtib kogu tingimusliku või sellest tuleneva kohta. Nendel põhjustel on kalduvus segi ajada ((B): A parempoolne \ Box \ Teemant A) ja (Box (A \ paremääris \ Teemant A)). Kuid (Box (A \ parempoolne \ Diamond A)) ei ole sama mis ((B)), sest (Box (A \ rightarrow \ Diamond A)) on juba teoreem ((M) ja ((B)) pole. Erilist tähelepanu tuleb pöörata sellele, et meie positiivne reaktsioon (Box (A \ parempoolne \ Diamond A)) ei nakata meie hinnangut ((B)). Üks lihtne viis enda kaitsmiseks on sõnastada (B) samamoodi aksioomi abil: (Teemant \ Kast A \ parempoolne nool A), kus neid ulatuse ebaselgusi ei teki.kus neid ulatuse ebamäärasusi ei teki.kus neid ulatuse ebamäärasusi ei teki.

3. Deontiline loogika

Deontiline loogika tutvustab primitiivset sümbolit ((O)) sõnadele „see on kohustuslik”, millest alates on lubatud sümbolid (P) „lubatud, et” ja (F) „keelatud”: (PA = { sim} O { sim} A) ja (FA = O { sim} A). Modaalse aksioomi deontiline analoog ((M): OA \ parempoolne nool A) pole selgelt deontilise loogika jaoks sobiv. (Kahjuks ei tohiks see alati nii olla.) Deontilise loogika põhisüsteemi (mathbf {D}) saab konstrueerida, lisades nõrgema aksioomi ((D)) (bK).

) silt {(D)} OA \ paremnool PA)

Aksioom ((D)) tagab kohustuste süsteemi järjepidevuse, nõudes, et kui (A) on kohustuslik, siis (A) on lubatud. Süsteem, mis kohustab meid looma (A), kuid ei luba meil seda teha, paneb meid vältimatuks köiteks. Ehkki mõned väidavad, et sellised kohustuste konfliktid on vähemalt võimalikud, aktsepteerib enamik deontilisi loogikuid ((D)).

(O (OA \ parempoolne nool A)) on veel üks deontiline aksioom, mis tundub soovitav. Ehkki on vale öelda, et kui (A) on kohustuslik, siis on juhtum (A) ((OA \ parempoolne nool A)), peaks see tingimus siiski olema. Nii usuvad mõned deontilised loogikud, et (D) tuleb täiendada ka (O (OA \ parempoolne nool A)).

Poleemiline loogika tekitab jälle poleemikat operaatorite iteratsiooni (kordamise) üle. Mõnes kohustuse kontseptsioonis on (OOA) lihtsalt (OA). “Peaks olema, et nii peaks olema”, käsitletakse omamoodi kokkamisena; ekstra ei peaks midagi uut lisama. Niisiis lisatakse aksioomid, et tagada (OOA) ja (OA) samaväärsus. Samuti võib vastu võtta (mathbf {S5}) kehastatud üldisema iteratsioonipoliitika. Siiski on olemas kohustuse kontseptsioonid, kus säilitatakse erinevus (OA) ja (OOA) vahel. Mõte on selles, et tegelikult ja meie poolt võetavate kohustuste vahel on tõelised erinevused. Nii näiteks: "peaks olema nii, et peaks olema nii, et (A)" käsib võtta mingi kohustus, mis tegelikult ei pruugi paika jääda, mille tulemusel võib (OOA) olla tõsi ka siis, kui (OA) on vale.

4. Ajaline loogika

Ajalises loogikas (mida nimetatakse ka pingeliseks loogikaks) on kaks põhioperaatorit: (G) tuleviku jaoks ja (H) mineviku jaoks. (G) loetakse "see on alati nii" ja määratletud operaatori (F) (loe "nii see on") saab sisestada (FA = { sim} G { sim } A). Samamoodi loetakse (H): 'see oli alati nii' ja (P) (sest see oli nii) 'määratleb (PA = { sim} H { sim} A). Ajalise loogika põhisüsteem nimega (mathbf {Kt}) tuleneb (bK) põhimõtete vastuvõtmisest nii (G) kui ka ((H)) jaoks koos kahe aksioomiga interaktsiooni juhtimiseks. mineviku ja tulevaste ettevõtjate vahel:

Vajadusreeglid:

Kui (A) on teoreem, siis kehtivad ka (GA) ja (HA).

Jaotuse aksioomid:

(G (A \ paremääris B) paremääris (GA \ paremääris GB)) ja (H (A \ paremääris B) paremääris (HA \ paremääris HB))

Koostoime aksioomid:

(parempoolse noolega GPA) ja (parempoolse noolega HFA)

Koostoime aksioomid tõstatavad küsimusi mineviku ja tuleviku asümmeetria kohta. Tavaline intuitsioon on see, et minevik on fikseeritud, samas kui tulevik on endiselt avatud. Esimene interaktsiooni aksioom ((A \ parempoolse noolega GPA)) vastab sellele intuitsioonile, teatades, et ((A)) on tulevikus igal ajal minevikus ((GPA)). Siiski võib tunduda, et (parempoolse nooltega HFA) on lubamatult deterministlikke ületusi, sest ta väidab ilmselt, et see, mis praegu tõsi on ((A)), on alati olnud selline, et see ilmneb ka tulevikus ((HFA)). Ajaloogika võimalik maailmasemantika näitab aga, et see mure tuleneb lihtsast segadusest ja et kaks interaktsiooni aksioomi on võrdselt vastuvõetavad.

Pange tähele, et modaalloogika iseloomulik aksioom, ((M): \ Box A \ paremnool A), ei ole vastuvõetav ei (H) ega (G), kuna (A) ei järgne alates „alati oli nii, et (A)“ega „alati juhtub, et (A)“. See on siiski vastuvõetav tihedalt seotud ajalises loogikas, kus (G) loetakse „see on ja jääb alati olema” ja (H) loetakse “see on ja alati oli”.

Sõltuvalt sellest, milliseid eeldusi ajastruktuuri kohta tehakse, tuleb ajaloogikale lisada täiendavad aksioomid. Järgneb ajalises loogikas üldiselt kasutatavate aksioomide loetelu. Aruande selle kohta, kuidas need sõltuvad aja struktuurist, leiate jaotisest Võimalikud maailmade semantika.

) alustage {joondage *} GA \ parempoolne nool GGA ja \ tekst {ja} HA \ parempoolne nool HHA \\ GGA \ parempoolne nool GA & \ tekst {ja} HHA \ parempoolne nool HA \\ GA \ parempoolne nool FA & \ tekst {ja} HA \ paremnool PA \ lõpp {joonduma *})

Huvitav on märkida, et keerukate ajavahemike inglise keeles väljendamiseks võib kasutada mineviku ja tuleviku pingeliste operaatorite teatavaid kombinatsioone. Näiteks (FPA) vastab lausele (A) tulevikus täiuslikuna (nagu '20 sekundi pärast on tuli muutunud'). Samamoodi väljendab (PPA) mineviku täiuslikku pinget.

Üksikasjalikuma arutelu leiate ajaliku loogika sissekandest.

5. Tingimus- ja asjakohasusloogika

Modaalloogika asutaja CI Lewis määratles modaalloogika seeria, millel polnud (Box) kui primitiivset sümbolit. Lewis oli mures sellise tingliku loogika väljatöötamise järele, mis oleks vaba nn materiaalse rakendamise paradoksidest, nimelt klassikalistest teoreemidest (A \ parempoolne ({ sim} A \ parempoolne B)) ja (B \ parempoolne (A \ paremnool B)). Ta tutvustas sümbolit (fishhook) "range implikatsiooni" jaoks ja töötas välja loogika, kus ei (A \ fishhook ({ sim} A \ fishhook B)) ega (B \ fishhook (A \ fishhook B)) on tõestatav. Kaasaegne tava on defineerida (A \ fishhook B) (Box (A \ paremäär B)) abil ja sarnaste tulemuste saamiseks kasutada modaalset loogikat, mis reguleerib (Box). Kuid selliste valemite nagu ((A \ amp { sim} A) fishhook B) tõestatavus sellises loogikas tundub paradokside muret tundvat. Anderson ja Belnap (1975) on välja töötanud süsteemid (mathbf {R}) (olulisuse loogika jaoks) ja (mathbf {E}) (Entailmenti jaoks), mis on loodud selliste raskuste ületamiseks. Need süsteemid nõuavad väidetava loogika standardsüsteemide ülevaatamist. (Vt Mares (2004) ja asjakohasusloogikat käsitlevat kannet.)

David Lewis (1973) ja teised on välja töötanud tingimusliku loogika, et käsitleda kontrafaktuaalseid avaldisi, see tähendab vormi avaldisi "kui (A) juhtuks, siis (B) juhtuks". (Kvart (1980) on veel üks hea allikas antud teemal.) Konfaktuaalne loogika erineb range implikatsiooni põhjal logistikast, kuna esimesed lükkavad ümber, teised aga aktsepteerivad kontratseptsiooni.

6. Võimalikud maailmade semantika

Loogika eesmärk on iseloomustada kehtivate ja kehtetute argumentide erinevust. Keele loogiline süsteem on aksioomide ja reeglite kogum, mille eesmärk on tõestada keeles õigustatud argumentide täpsus. Sellise loogika loomine võib olla keeruline ülesanne. Loogik peab veenduma, et süsteem on tõene, st et kõik reeglite ja aksioomide abil tõestatud argumendid on tõepoolest õiged. Lisaks peaks süsteem olema täielik, mis tähendab, et igal kehtival argumendil on süsteemis tõestus. Ametlike süsteemide õigsuse ja täielikkuse demonstreerimine on loogiku keskne mure.

Sellist demonstratsiooni ei saa alustada enne, kui kehtivuse mõiste on täpselt määratletud. Loogika ametlik semantika annab kehtivuse määratluse, iseloomustades süsteemi lausete tõesust. Jaotusloogikas saab kehtivust määratleda tõestabelite abil. Kehtiv argument on lihtsalt selline, kus ka iga tõetabeli rida, mis muudab oma eeldused tõeseks, teeb järelduse tõeseks. Tõetabelit ei saa siiski kasutada modaalse loogika kehtivuse kontrollimiseks, kuna puuduvad tõestabelid selliste väljendite jaoks nagu „vajalik on”, „see on kohustuslik” jms. (Probleem on selles, et (A) tõeväärtus ei määra (Box A) tõeväärtust. Näiteks kui (A) on 'Koerad on koerad', (A-lahter) on tõsi, kuid kui (A) on „Koerad on lemmikloomad”, on (kast A) vale.) Sellegipoolest,modaalloogika semantikat saab määratleda võimalike maailmade tutvustamise kaudu. Illustreerime võimalikku maailma semantikat vajaliku loogika jaoks, mis sisaldab sümboleid ({ sim}, \ paremnool) ja (Box). Seejärel selgitame, kuidas sama strateegiat saab kohandada teiste moodiperekonna loogikatega.

Jaotusloogikas määrab aatomilausete (või tõestabeli rea) väärtus tõestusväärtuse ((T) või (F)) igale propositsioonimuutujale (p). Siis arvutatakse tõesustabelitega keeruliste lausete tõeväärtused. Modaalses semantikas võetakse kasutusele võimalike maailmade kogum (W). Hindamine annab siis iga pakkumismuutujale tõeväärtuse kõigi võimalike maailmade korral ((W)). See tähendab, et (p) jaoks maailma (w) jaoks määratud väärtus võib erineda väärtusest, mis on määratud teise maailma (w ') jaoks (p).

Hinnangu abil antud aatomilause (p) tõeline väärtus maailmas (w) võib olla kirjutatud (v (p, w)). Seda märkust arvestades on antud väärtuse (v) (ja liikme (w) komplekti modaaloogika loogiliste lausete tõeväärtused ((T \ true, true (F)) false]) maailmade (W)) võib määratleda järgmiste tõesätetega. ('iff' lühendab sõna 'ainult siis ja ainult siis'.)

) silt {({ sim})} v ({ sim} A, w) = T \ tekst {iff} v (A, w) = F.)) tag {(rightarrow)} v (A \ rightarrow B, w) = T \ text {iff} v (A, w) = F \ text {or} v (B, w) = T.)) tag {5} v (Box A, w) = T \ text {iff iga maailma jaoks} w '\ text {in} W, v (A, w') = T.)

Laused (({ sim})) ja ((parempoolne nool)) kirjeldavad lihtsalt tõese tabeli käitumist vastavalt eituse ja materiaalse tähenduse korral. Punkti 5 kohaselt on (kast A) tõene (maailmas (w)) täpselt siis, kui (A) on tõene kõigis võimalikes maailmades. Arvestades mõiste (Teemant), nimelt (Teemant A = { sim} Kast { sim} A)) tõepäraga (5) kindlustatakse, et (Teemant A) on tõsi, igaks juhuks (A) tõene mõnes võimalikes maailmas. Kuna (Box) ja (Diamond) tõeklauslid hõlmavad kvantifikaatoreid vastavalt „kõik” ja „mõned”, on paralleelid loogilises käitumises ka (Box) ja (forall x) ning jaotises 2 märgitud (Teemant) ja (eksisteerib x) vahel on oodata.

Klauslid (({ sim}), (paremnool)) ja (5) võimaldavad meil arvutada mis tahes lause tõesuse väärtuse mis tahes maailmas antud hinnangu alusel. Kehtivuse määratlus on nüüd nurga taga. Argument kehtib antud kogumi W (võimalike maailmade) kohta viies juhul ja ainult siis, kui aatomlausete iga hinnang, mis määrab ruumid (T) maailmas maailmas ((W)), annab ka järelduse (T) samas maailmas. Argumenti peetakse 5-korrektseks, kui see kehtib iga võimaliku maailma mittetühja komplekti (W) korral.

On tõestatud, et (mathbf {S5}) on 5-kehtivuse korral terve ja täielik (seega kasutame sümbolit '5'). Viis kehtivat argumenti on täpselt argumendid, mida saab tõestada kataloogis (mathbf {S5}). See tulemus viitab sellele, et (mathbf {S5}) on õige viis vajalikkuse loogika sõnastamiseks.

Kuid (mathbf {S5}) ei ole mõistlik loogika kõigi moodiperekonna liikmete jaoks. Deontilise loogika, ajalise loogika jt puhul pole tõetingimuse (5) analoog ilmselgelt sobiv; lisaks on olemas isegi vajalikkuse kontseptsioonid, kus ka (5) tuleks tagasi lükata. Ajalise loogika puhul on seda kõige lihtsam mõista. Siin on (W) liikmed hetked või maailmad, nagu nad oleks hetkega “külmunud”. Mõelgem lihtsuse huvides tuleviku ajalisele loogikale, loogikale, kus (Box A) on järgmine: "alati on nii". (Me sõnastame süsteemi kasutades traditsioonilist (G), mitte (Box), nii et seoseid teiste modaalloogikatega on lihtsam hinnata.) (Box) õige lause peaks ütlema, et (Box A) on tõene ajal (w) iff (A) on tõsi kogu aeg tulevikus (w). Tuleviku tähelepanu piiramiseks tuleb kasutusele võtta seos (R) („varem kui”). Seejärel saab õige klausli sõnastada järgmiselt.

) silt {(K)} v (kast A, w) = T \ tekst {iff iga} w ', \ text {if} wRw', \ text {then} v (A, w ') = T.)

See ütleb, et (kast A) on tõene aadressil (w) igaks juhuks, kui (A) on tõsi kogu aeg pärast (w).

Selle kaubamärgi ajalise loogika kehtivust saab nüüd määratleda. Raam (langle W, R \ rangle) on paar, mis koosneb mittetühjast hulgast (W) (maailmadest) ja binaarsest seosest (R) saidil (W). Mudel (langle F, v \ rangle) koosneb raamist (F) ja hindamisest (v), mis määravad tõe väärtused igale aatomilausele igas maailmas asukohas (W). Mudeli korral saab kõigi keerukate lausete väärtusi määrata kasutades (({ sim}), (paremnool)) ja ((K)). Argument on (bK) - kehtiv igaks juhuks, kui iga mudel, mille hindamine määrab ruumid (T) maailmas, määrab ka järelduse (T) samas maailmas. Nagu lugeja võis arvata '' (bK) '' kasutamisest, on näidatud, et lihtsaim modaalloogika (bK) on nii (kui ka (bk)) kehtivuse jaoks mõistlik ja täielik.

7. Radali moodi aksia ja tingimused

Sellest arutelust võib eeldada, et (bK) on õige loogika, kui loetakse (Box) "see on alati nii". Siiski on põhjust arvata, et (bK) on liiga nõrk. Seose (R) (varem kui) üks ilmne loogiline omadus on transitiivsus. Kui (wRv (w) on varasem kui (v)) ja (vRu (v) on varasem kui (u)), siis järeldub, et (wRu (w) on varasem kui (u)). Määratlegem siis uut tüüpi kehtivus, mis vastab sellele tingimusele (R). Las 4-mudeliks võib olla mis tahes mudel, mille raam (langle W, R \ rangle) on selline, et (R) on transitiivne seos saidil (W). Siis on argument 4-kehtiv, kui ükskõik milline 4-mudel, mille väärtuse määramine (T) määravad ruumid maailmas, määrab ka ((T)) järelduse samas maailmas. Sellise transitiivse mudeli kirjeldamiseks kasutame numbrit 4, kuna loogika, mis on 4 kehtivuse jaoks piisav (nii heli kui ka täielik), on (mathbf {K4}), loogika, mis tuleneb aksioomi (4) lisamisest: (Box A \ paremnool \ Box \ Box A) kuni (bK).

Transitiivsus pole ainus omadus, mida võiksime kaadrilt (langle W, R \ rangle) nõuda, kui (R) loetakse 'varem kui' ja (W) on hetked. Üks tingimus (mis on vaid kergelt vaieldav) on see, et pole viimast ajahetki, st et iga maailma (w) jaoks on olemas mõni maailm (v), näiteks (wRv). Seda kaadrite seisundit nimetatakse seeriaviisiks. Järjestikused vastavad aksioomile ((D): \ Box A \ parempoolne nool> Diamond A), samal viisil, kui transitiivsus vastab (4). A (mathbf {D}) - mudel on (bK) - mudel jadaraamiga. Kontseptsiooni (mathbf {D}) - mudeli järgi saab vastava mõiste (mathbf {D}) - kehtivuse määratleda täpselt nii, nagu me tegime 4-kehtivuse korral. Nagu arvata oskasite, on süsteemi (mathbf {D}) - kehtivuse osas piisav (mathbf {KD}),või (bK) pluss ((D)). Mitte ainult see, vaid süsteem (mathbf {KD4}) (see tähendab (bK) pluss (4) ja ((D))) on (mathbf {D4} suhtes piisav) - kehtivus, kus (mathbf {D4}) - mudel on selline, kus (langle W, R \ rangle) on nii seeriaviisiline kui ka transitiivne.

Veel üks omadus, mida võiksime suhte jaoks „varem kui“soovida, on tihedus, tingimusel, et mis tahes kahe korra vahel võime alati leida teise. Tihedus oleks vale, kui aeg oleks aatomiline, st kui esineksid ajavahemikud, mida ei saaks jagada väiksemateks osadeks. Tihedus vastab aksioomile ((C4): \ Box \ Box A \ rightarrow \ Box A), mis on punkti 4 vastaskülg, nii näiteks süsteem (mathbf {KC4}), mis on (bK) pluss ((C4)) on piisav nende mudelite puhul, kus raam (langle W, R \ rangle) on tihe ja (mathbf {KDC4}), piisav mudelitele, mille raamid on jada- ja tihedad jne.

Kõik modaalloogika aksioomid, mida me arutasime, vastavad kaadrite tingimusele samal viisil. Raamidel olevate tingimuste ja vastavate aksioomide suhe on modaalloogika uurimisel üks keskseid teemasid. Kui intensiivse operaatori (Box) tõlgendamine on otsustatud, saab määrata (R) sobivad tingimused, et kinnitada vastav kehtivuse mõiste. See omakorda võimaldab meil valida selle loogika jaoks õige aksioomide komplekti.

Näiteks kaaluge deontilist loogikat, kus (Box) loetakse “see on kohustuslik”. Siin ei nõua (Box A) tõde (A) tõde igas võimalikus maailmas, vaid ainult nende maailmade alamhulgas, kus inimesed teevad seda, mida nad peaksid. Niisiis tahame kehtestada ka seose (R) sedasorti loogika jaoks ja kasutada tõeklauslit ((K)), et hinnata maailma (kasti A). Kuid sel juhul ei ole (R) varem kui. Selle asemel kehtib (wRw ') igaks juhuks, kui maailm (w') on (w) moraalselt vastuvõetav variant, st maailm, mille meie tegevus võib põhjustada ja mis vastab moraalselt korrektsele või õigele, või lihtsalt. Sellise lugemise all peaks olema selge, et vastavad kaadrid peaksid järgima seerialisust - tingimust, mis nõuab, et igal võimalikul maailmal oleks moraalselt vastuvõetav variant.(R) jaoks soovitud omaduste analüüs annab mõista, et põhilise deontilise loogika saab formuleerida, lisades aksioomi ((D)) ja (bK).

Isegi modaalses loogikas võib soovida piirata võimalike maailmade ulatust, mis on olulised, kui otsustatakse, kas (Box A) vastab antud maailmas tõele. Näiteks võiksin öelda, et mul on vaja arveid maksta, kuigi tean väga hästi, et on olemas maailm, kus ma ei suuda neid tasuda. Tavakõnes ei eelda väide, et (A) on vajalik, et (A) oleks tõene kõigis võimalikes maailmades, vaid ainult teatud maailmaklassides, mida ma silmas pean (näiteks maailmad, kus Väldin trahve maksmata jätmise eest). Vajalikkuse üldise käsitluse tagamiseks peame ütlema, et (Box A) on tõene rakenduses (w) iff (A) on tõene kõigis maailmades, mis on seotud (w) õige tee. Nii et operaatori (Box) jaoks, mida tõlgendatakse kui vajalikkust,tutvustame võimalike maailmade (W) kogumile vastavat seost (R), mida tavaliselt nimetatakse juurdepääsetavuse seoseks. Juurdepääsetavuse seos (R) on maailmade (w) ja (w ') vahel, kui (w) on võimalik, arvestades (w) fakte. Selle (R) lugemise korral peaks olema selge, et modaaloogika loogikad peaksid olema refleksiivsed. Sellest järeldub, et modaalne loogika peaks põhinema (M) - süsteemil, mis tuleneb ((M)) lisamisest (bK). Sõltuvalt sellest, kuidas juurdepääsetavuse seost mõistetakse, võib olla vajalik ka sümmeetria ja transitiivsus.peaks olema selge, et modaaloogika loogikad peaksid olema refleksiivsed. Sellest järeldub, et modaalne loogika peaks põhinema (M) - süsteemil, mis tuleneb ((M)) lisamisest (bK). Sõltuvalt sellest, kuidas juurdepääsetavuse seost mõistetakse, võib olla vajalik ka sümmeetria ja transitiivsus.peaks olema selge, et modaaloogika loogikad peaksid olema refleksiivsed. Sellest järeldub, et modaalne loogika peaks põhinema (M) - süsteemil, mis tuleneb ((M)) lisamisest (bK). Sõltuvalt sellest, kuidas juurdepääsetavuse seost mõistetakse, võib olla vajalik ka sümmeetria ja transitiivsus.

Järgmises jaotises võib leida loetelu mõnedest raamidel sagedamini käsitletavatest tingimustest ja nende vastavatest aksioomidest koos kaardiga, mis näitab erinevate modaalloogikate omavahelisi seoseid.

8. Modaalloogika seoste kaart

Järgmine diagramm näitab seoseid kõige tuntumate modaalsete loogikate vahel, nimelt loogika vahel, mida saab moodustada, lisades valiku aksioomidest ((D), (M)), (4), ((B)) ja (5) kuni (bK). Nende (ja muude) aksioomide loetelu koos nende vastavate raamitingimustega on toodud diagrammi all.

Modaalloogika skeem

Selles tabelis on süsteemid esitatud nende aksioomide loeteluga. Nii näiteks, (mathbf {M4B}) on ((M)), (4) ja ((B)) lisamise tulemuseks (bK). Paksus kirjas oleme osutanud mõne süsteemi traditsioonilised nimed. Kui süsteem (mathbf {S}) ilmub joonega ühendatud (mathbf {S} ') all ja / või vasakul, siis on (mathbf {S}') laiendus (mathbf {S}). See tähendab, et kõik dokumendis (mathbf {S}) tõestatavad argumendid on tõestatavad dokumendis (mathbf {S} '), kuid (mathbf {S}) on nõrgem kui (mathbf {S} '), st mitte kõik dokumendis (mathbf {S}') tõestatavad argumendid pole tõestatavad kataloogis (mathbf {S}).

Järgmises loendis on toodud selles entsüklopeediakirjes seni käsitletud aksioomide aksioomid, nende nimed ja vastavad tingimused ligipääsetavuse seosele (R).

Nimi	Aksioom	Seisukord raamidel	R on…
((D))	(Kasti A \ paremnool \ teemant A)	(eksisteerib u wRu)	Seriaal
((M))	(Kast A \ paremnool A)	(wRw)	Refleksiivne
(4)	(Kast A \ paremnool \ box \ kast A)	((wRv \ amp vRu) paremnool wRu)	Transitiivne
((B))	(Paremääris \ kast \ teemant A)	(wRv \ parempoolne nool vRw)	Sümmeetriline
(5)	(Teemant A \ paremnool \ Box \ Teemant A)	((wRv \ amp wRu) paremnool vRu)	Eukleidiline
((CD))	(Teemant A \ paremnool \ kast A)	((wRv \ amp wRu) paremnool v = u)	Funktsionaalne
((Kast M))	(Kast (kast A \ paremnool A))	(wRv \ parempoolne nool vRv)	Shift refleksiivne
((C4))	(Box \ Box A \ paremnool \ Box A)	(wRv \ Rightarrow \ eksisteerib u (wRu \ amp uRv))	Tihe
((C))	(Teemant \ Kasti A \ paremnool \ Kasti \ Teemant A)	(wRv \ amp wRx \ Rightarrow \ eksisteerib u (vRu \ amp xRu))	Ühinevad

Raamide tingimuste loendis ja ülejäänud selles artiklis on muutujad '(w)', '(v)', '(u)', '(x)' ja kvantifikaator '(eksisteerib u)' tähendab, et see ulatub üle (W). '&' lühendab 'ja' ja '(Rightarrow)' lühendab 'kui … siis'.

Eelmises jaotises selgitati siin käsitletavat aksioomide ja raamitingimuste vastavuse mõistet. Kui S on aksioomide loend ja F (S) on vastav kaadritingimuste komplekt, siis vastab S F (S) -le täpselt siis, kui süsteem K + S on F (S) -kehtivuse jaoks piisav (heli ja täielik), see tähendab, et argument on K + S-s tõestatav, kui see on F (S) -kehtiv. Modaalloogika uurimisel on tekkinud mitu tugevamat arusaama aksioomide ja raamtingimuste vastavusest.

9. Üldine aksioom

Aksioomide ja tingimuste vastavus raamidele võib tunduda müstika. Lemmoni ja Scotti (1977) ilus tulemus on nende suhete selgitamiseks pikk tee. Nende teoreem käsitles järgmises vormis aksioome:

) silt {(G)} Teemant ^ h \ Kast ^ i A \ parempoolne \ Kast ^ j \ Teemant ^ k A)

Kasutame märget '(Teemant ^ n)', et tähistada (n) teemante reas, nii et näiteks '(Teemant ^ 3)' lühendab kolme teemandi stringi: '(Teemant \ Teemant \ Teemant) ". Sarnaselt tähistab '(Box ^ n)' kasti stringi. Kui väärtused (h, i, j) ja (k) on kõik 1, on meil aksioom ((C)):

) silt {(C)} Teemant \ Kast A \ parempoolne \ Kast \ Teemant A = \ Teemant ^ 1 \ Kast ^ 1 A \ Parempoolne \ Kast ^ 1 \ Teemant ^ 1 A)

Aksioom ((B)) tuleneb väärtuse (h) ja (i) väärtusest 0 ja lastes (j) ja (k) olla 1:

) silt {(B)} A parempoolne \ Box \ Teemant A = \ Teemant ^ 0 \ Kast ^ 0 A \ parempoolne \ Kast ^ 1 \ Teemant ^ 1 A)

Punkti 4 saamiseks võime seada (h) ja (k) väärtuseks 0, (i) väärtuseks 1 ja (j) väärtuseks 2:

) silt {4} kast A \ parempoolne \ Box \ Box A = \ Teemant ^ 0 \ Box ^ 1 A \ parempoolne \ Box ^ 2 \ Diamond ^ 0 A)

Paljud (kuid mitte kõik) modaalloogika aksioomid saadakse, seadistades parameetrite õiged väärtused väärtuses ((G))

Järgmine ülesanne on anda raamidele tingimus, mis vastab ((G)) antud väärtuste valiku korral väärtustele (h, i, j) ja (k). Selleks vajame määratlust. Kahe suhte (R) ja (R ') koostis on uus seos (R \ ring R'), mis on määratletud järgmiselt:

[wR \ circ R'v \ text {iff mõne jaoks} u, wRu \ text {and} uR'v.)

Näiteks kui (R) on suhe vennaks ja (R ') on suhe lapsevanemaks olemisega, siis (R \ ring R') on onu olemise suhe, (kuna (w) on mõne inimese jaoks (v) onu (v), on mõlemad (w) (u) vend ja (u) on lapsevanem (v)). Suhe võib olla loodud iseendaga. Näiteks kui (R) on lapsevanemaks olemise suhe, siis (R \ ring R) on vanavanemaks saamise suhe ja (R \ ring R \ ring R) on suhte olles vanavanem. (R) iseendaga (n) korda komponeerimise tulemuseks on kasulik kirjutada '(R ^ n)'. Nii et (R ^ 2) on (R \ ring R) ja (R ^ 4) on (R \ ring R \ ring R \ ring R). Lasime (R ^ 1) olla (R) ja (R ^ 0) on identiteedisuhe, st (wR ^ 0 v) iff (w = v).

Võime nüüd öelda Scott-Lemmoni tulemuse. Kuju ((G)) mis tahes aksioomile täpselt vastav tingimus raamidel on järgmine.

) silt {(hijk) - lähenemine} wR ^ hv \ amp wR ^ ju \ Rightarrow \ eksisteerib x (vR ^ ix \ amp uR ^ kx))

Huvitav on näha, kuidas (R) tuttavad tingimused tulenevad (h), (i), (j) ja (k) väärtuste seadistamisest vastavalt vastav aksioom. Näiteks kaaluge (5). Sel juhul (i = 0) ja (h = j = k = 1). Seega on vastav tingimus

[wRv \ amp wRu \ Rightarrow \ eksisteerib x (vR ^ 0 x \ amp uRx).)

Oleme selgitanud, et (R ^ 0) on identiteedisuhe. Kui (vR ^ 0 x), siis (v = x). Kuid (eksisteerib x (v = x \ amp uRx)), võrdub (uRv) ja seega saadakse Eukleidese tingimus:

[(wRv \ amp wRu) Parempoolne nool uRv.)

Aksioomi (4) korral on (h = 0, i = 1, j = 2) ja (k = 0). Seega on vastav tingimus kaadritel

[(w = v \ amp wR ^ 2 u) paremnool \ eksisteerib x (vRx \ amp u = x).)

Identiteetide lahendamine tähendab:

[vR ^ 2 u \ parempoolne nool vRu.)

(R ^ 2, vR ^ 2 u) iff (eksisteerib x (vRx \ amp xRu)) määratluse järgi, nii et:

) eksisteerib x (vRx \ amp xRu) paremnool vRu,)

mis predikaatloogika järgi võrdub transitiivsusega.

[vRx \ amp xRu \ parempoolne nool vRu.)

Lugejal võib olla meeldiv harjutus näha, kuidas vastavad tingimused langeb hijk-lähenemisest välja parameetrite (h), (i), (j) ja (k) väärtuste korral on seatud teiste aksioomidega.

Scott-Lemmoni tulemused pakuvad kiiret meetodit tulemuste saamiseks aksioomide ja nende vastavate kaadritingimuste vahelise seose kohta. Kuna nad näitasid mis tahes loogika adekvaatsust, mis laiendab (bK) vormi aksioomide valikuga ((G)) mudelite suhtes, mis vastavad vastavatele kaadritingimustele, andsid nad piisava hulgimüügi tõendid enamiku moodiperekonna süsteemide kohta. Sahlqvist (1975) on avastanud Scott-Lemmoni tulemuse olulised üldistused, hõlmates palju suuremat valikut aksioomitüüpe.

Lugejat tuleks siiski hoiatada, et aksioomide ja raamide tingimuste korrektne vastavus on ebatüüpiline. Raamidel on tingimused, mis ei vasta aksioomidele, ja raamidel on isegi tingimused, mille jaoks ükski süsteem pole piisav. (Näide: Boolos, 1993, lk 148 jj.)

10. Kahemõõtmeline semantika

Kahemõõtmeline semantika on võimaliku maailma semantika variant, mis kasutab tõe hindamisel kahte (või enamat) parameetri tüüpi, mitte ainult võimalikke maailmu. Näiteks peab indekseerivate väljendite, näiteks „mina”, „siin”, „nüüd” jms loogika viima keelelisse konteksti (või lühidalt konteksti). Arvestades konteksti (c = \ langle s, p, t \ rangle) kus (s) on esineja, (p) koht ja (t) lausumise aeg, siis 'I 'viitab (s),' siin '(p) ja' nüüd '(t). Nii et kontekstis (c = \ langle) Jim Garson, Houston, kell 3:00 CST, 4/3 / (2014 \ rangle) "Ma olen siin nüüd" on T, kui Jim Garson on Houstonis, kell 15:00 CST 4/4/2014.

Võimaliku maailmade semantikas sõltus lause tõepärasus maailmast, kus seda hinnatakse. Indeksid annavad aga teise mõõtme - seega peame uuesti üldistama. Kaplan (1989) määratleb lause B iseloomu funktsioonina alates (keelelistest) kontekstide kogumist kuni B sisuni (või intensiivsuseni), kus sisu omakorda on lihtsalt B intentsioon, st funktsioon võimalikest maailmadest tõe väärtusteni. Tõe hindamine sõltub siin kahekordselt - nii keelelistest kontekstidest kui ka võimalikest maailmadest.

Üks Kaplani kõige huvitavamaid tähelepanekuid on see, et mõned indekseerivad laused on tinglikud, kuid samal ajal analüütiliselt tõesed. Näide on (1).

(1) Olen nüüd siin

Ainult sõnade tähendusest näete, et (1) peab olema tõene igas kontekstis (c = \ langle s, p, t \ rangle). Lõppude lõpuks loetakse (c) keeleliseks kontekstiks igaks juhuks, kui (s) on kõneleja, kes on kohal ajal, kus on (p) (t). Seetõttu (1) vastab tõele punktis (c) ja see tähendab, et tõeväärtuste muster (1) peab kontekstimõõtmes olema kogu Ts (arvestades, et võimalik maailm hoitakse fikseerituna). See viitab sellele, et kontekstimõõt sobib meie keele valdamisega saadud analüütiliste teadmiste jälgimiseks. Teisest küljest jälgib võimalike maailmade mõõde seda, mis on vajalik. Konteksti fikseerituna on võimalikke maailmu, kus (1) on vale. Näiteks kui (c = \ langle) Jim Garson, Houston, kell 3:00 CST 4/3 / (2014 \ rangle), (1) ebaõnnestub (c) võimalikus maailmas, kus Jim Garson on Bostonis kell 3:00:00 CST 4/4/2014. Sellest järeldub, et „Olen praegu siin“on tingimuslik analüütiline tõde. Seetõttu saab kahemõõtmeline semantika hakkama olukordadega, kus vajadus ja analüütilisus lahku lähevad.

Veel üks näide, kus kahemõõtmelise lähenemine on kasulik, on avatud tuleviku loogika (Thomason, 1984; Belnap, et al., 2001). Siin kasutatakse ajalist ülesehitust, kus paljud võimalikud tulevased ajalood ulatuvad antud ajahetkest. Mõelge (2).

(2) Joe tellib homme merelahingu

Kui (2) on tingimuslik, siis on võimalik ajalugu, kus lahing toimub päev pärast hindamist, ja teine, kus seda ei toimu. Nii et hindamiseks (2) peate teadma kahte asja: mis on hindamise aeg t ja millist ajaloost t, mis jookseb läbi t, tuleb arvestada. Niisiis hinnatakse sellise loogika lauset paaris (langle t, h \ rangle).

Teine probleem, mille lahendab kahemõõtmeline semantika, on „nüüd“ja teiste ajaliste väljendite vastastikune mõju, näiteks tulevikuplaan „nii see on“. Siis on usutav arvata, et „nüüd” viitab hindamise ajale. Nii et meil oleks järgmine tõetera tingimus:

) silt {Nüüd} v (tekst {Nüüd} B, t) = \ matemaatika {T} tekst {iff} v (B, t) = \ matemaatika {T}.)

Kuid see ei tööta selliste lausete korral nagu (3).

(3) Mingil tulevikus on kõik praegu elavad tundmatud

Kui tulevase pingelise operaatorina on (mathrm {F}), võib tõlkida: (3):

) tag {(3 ')} mathrm {F} forall x (text {Now} Lx \ rightarrow Ux).)

(Õiget tõlget ei saa olla (forall x (text {Now} Lx \ rightarrow \ mathrm {F} Ux)), kusjuures (mathrm {F}) on kitsa ulatusega, kuna (3) ütleb seal on tulevane aeg, kui kõik praegu elavad asjad pole koos teada, mitte et iga elusolend oleks mingil omaenda tulevasel ajal tundmatu). Kui punkti (3) (') tõetingimused arvutatakse, kasutades (Nüüd) ja tõetingimust ((mathrm {F})) väärtusele (mathrm {F}), selgub, et (3) (') vastab tõele ajal (u) kui on aeg (t) pärast (u), nii et kõik, mis elab (t) (mitte (u)!) pole asukohas (t) teada.

) tag {F} v (mathrm {F} B, t) = \ mathrm {T} text {kui mõnda aega} u \ text {hiljem kui} t, v (B, u) = \ mathrm {T}.)

Punkti (3) (') õigesti hindamiseks, nii et see vastaks sellele, mida mõtleme punktiga (3), peame veenduma, et „nüüd” viitab alati algsele ütluse ajale, kui „nüüd” on muu ajalised operaatorid nagu F. Seetõttu peame jälgima, mis aeg on lausumise aeg ((u)) ja milline aeg on hindamise aeg ((t)). Seega on meie indeksid paaris (langle u, e \ rangle), kus (u) on lausumise aeg ja (e) on hindamise aeg. Siis muudetakse tõetingimus (nüüd) väärtuseks (2DNow).

) tag {2DNow} v (tekst {nüüd} B, \ langle u, e \ rangle) = \ mathrm {T} text {iff} v (B, \ langle u, u \ rangle) = \ mathrm {T}.)

See tähendab, et Now (B) vastab tõele lausumise ajal ja ajal e, eeldusel, et B vastab tõele, kui hindamisajaks loetakse u. Kui F, (forall) ja (rightarrow) tõetingimused on ilmselgelt läbi vaadatud (ignoreerige lihtsalt paari u), (3) (') on tõsi aadressil (langle u, e \ rangle) eeldusel, et on aeg (e ') hilisem kui e, nii et kõik, mis elab asukohas (u), pole asukohas (e') teada. Kandes kaasa tõe arvutamise ajal toimuva kohta (u), saame alati väärtuse „nüüd” fikseerida esialgse lausumise ajaga, isegi kui „praegu” on sügavalt põimitud teistesse ajalistesse operaatoritesse.

Sarnane nähtus ilmneb ka modaalses loogikas aktuaalsusoperaatori A korral (loe „tegelikult on nii”). Nõuetekohaseks hindamiseks (4) peame jälgima, milline maailm loetakse tegelikuks (või reaalseks) maailmaks ja milline neist võetakse hindamismaailmaks.

(4) Võimalik, et tundmata on kõik tegelikult elavad inimesed

Idee eristada erinevaid võimalikke maailmatasemeid semantikas on olnud filosoofias kasulikke rakendusi. Näiteks on Chalmers (1996) esitanud argumente alates (ütleme) zombide kujutlusvõimest kuni dualistlike järeldusteni meelefilosoofias. Chalmers (2006) on kasutusele võtnud kahemõõtmelise semantika, mis aitab tuvastada tähenduse a priori aspekti, mis toetaks selliseid järeldusi.

Ideed on kasutatud ka keelefilosoofias. Kripke (1980) väitis kuulsalt, et „Vesi on H2O” on küll tagantjärele, kuid siiski vajalik tõde, kuna arvestades, et vesi on lihtsalt H20, pole olemas maailma, kus see kraam oleks (ütleme) põhielement, nagu kreeklased arvasid. Teisest küljest on olemas tugev intuitsioon, mis oleks kui reaalne maailm oleks olnud mõnevõrra erinev sellest, mis see on, lõhnatu vedelik, mis langeb taevast vihmana, täidab meie järvi ja jõgesid jne, võis suurepäraselt olla element. Nii et mõnes mõttes on mõeldav, et vesi pole H20. Kahemõõtmeline semantika annab neile intuitsioonidele ruumi, pakkudes eraldi dimensiooni, mis jälgib vee kontseptsiooni, jättes kõrvale selle, mis vesi tegelikult on. Niisugune "vee" tähenduse "kitsa sisuga" kirjeldus võib selgitada, kuidas selle termini kasutamisel võib esineda semantiline kompetents ja olla ikkagi veekeemia suhtes võhiklik (Chalmers, 2002).

11. Tõenäosusloogika

Modaalsest loogikast on kasu olnud, et selgitada meie arusaama matemaatika aluste tõestatavuse kesksetest tulemustest (Boolos, 1993). Tõestatavuse loogika on süsteem, kus algsed muutujad (p, q, r) jne ulatuvad mõne matemaatilise süsteemi valemitest, näiteks aritmeetika jaoks Peano süsteem (mathbf {PA}). (Matemaatika jaoks valitud süsteem võib varieeruda, kuid eeldame, et see on (mathbf {PA}) selle arutelu jaoks.) Gödel näitas, et aritmeetikal on tugevad väljendusjõud. Kasutades aritmeetiliste lausete koodinumbreid, suutis ta näidata matemaatika lausete ja faktide vastavust faktidele, mis laused on ja mis pole (mathbf {PA}) tõestatavad. Näiteks,ta näitas, et on lause (C), mis vastab tõele juhul, kui (mathbf {PA}) pole vastuolusid tõestatud, ja on lause (G) (kuulus Gödeli lause), mis on tõsi igaks juhuks, kui see pole (mathbf {PA}) tõestatav.

Tõendatavuse loogikas tõlgendatakse (Box p) valemit (aritmeetilist), mis väljendab, et see, mida (p) tähistab, on tõestatav dokumendis (mathbf {PA}). Seda märkust kasutades väljendavad tõestatavuse loogika laused tõestatavuse kohta fakte. Oletame, et (bot) on tõestatavuse loogika konstant, mis tähistab vastuolu. Siis ütleb ({ sim} Box \ bot), et (mathbf {PA}) on järjepidev ja (Box A \ parempoolne nool) ütleb, et (mathbf {PA}) on veatu selles mõttes, et kui see osutub (A, A) tõepoolest tõeseks. Lisaks võib kasti korrata. Näiteks esitab (Box { sim} Box \ bot) kahtlase väite, et (mathbf {PA}) suudab tõestada oma järjepidevust, ja ({ sim} Box \ bot \ paremnool { sim} Box { sim} Box \ bot) väidab (õigesti nagu Gödel tõestas), et kui (mathbf {PA}) on järjepidev, siis (mathbf {PA}) ei suuda enda järjekindlust tõestada.

Ehkki tõestatavuse loogika moodustab seotud süsteemide perekonna, on süsteem (mathbf {GL}) kõige tuntum. See tuleneb järgmise aksioomi lisamisest (bK):

) silt {(GL)} Box (Box A \ paremnool A) rightarrow \ Box A)

Aksioom (4): (Box A \ parempoolne \ Box \ Box A) on tõestatav dokumendis (mathbf {GL}), seega on (mathbf {GL}) tegelikult (mathbf {K4}). Kuid sellised aksioomid nagu ((M): \ Box A \ paremnool A) ja isegi nõrgemad ((D): \ Box A \ rightarrow \ Diamond A) pole rakenduses ((ega soovitatavad) mathbf {GL}). Tõendatavuse loogikas ei tohi tõestatavust käsitleda kui vajalikkuse brändi. Põhjus on see, et kui (p) on matemaatika suvalises süsteemis (mathbf {S}) tõestatav, ei järelda see, et (p) oleks tõene, kuna (mathbf {S}) võib olla vale. Lisaks, kui (p) on tõestatav kausta (mathbf {S} (Box p)), ei pea see isegi lähtuma sellest, et ({ sim} p) puudub tõend (({ sim} Box { sim} p = \ Diamond p). \ Mathbf {S}) võivad olla vastuolulised ja seega tõestada nii (p) kui ka ({ sim} p).

Aksioom ((GL)) kajastab Loebi teoreemi sisu, mis on oluline tulemus aritmeetika alustes. (Kast A \ parempoolne nool) ütleb, et (mathbf {PA}) on (A) kindel, st kui (A) tõestatakse, oleks A tõene. (Selline väide ei pruugi olla suvaliselt valitud süsteemi (mathbf {S}) jaoks turvaline, kuna A võib olla tõestatav (mathbf {S}) ja vale.) ((GL)) nõuetes et kui (mathbf {PA}) õnnestub tõestada lauset, mis väidab antud lause õigsust (A), siis (A) on juba tõestatav kataloogis (mathbf {PA}). Loebi teoreem väidab (mathbf {PA}) osa omamoodi tagasihoidlikkust (Boolos, 1993, lk 55). (mathbf {PA}) ei väida (tõestab), et (A) tõendus hõlmab ka ((A)) tõde, välja arvatud juhul, kui sellel väitel on juba tõend selle kohta, et ta ((A)) varundab.

On tõestatud, et (mathbf {GL}) on piisav tõestatavuse tagamiseks järgmises tähenduses. Olgu (mathbf {GL}) lause alati täpselt tõestatav, kui aritmeetika lause, mida see tähistab, on tõestatav, olenemata sellest, kuidas selle muutujatele väärtused määratakse lause (mathbf {PA}) korral. Siis on (mathbf {GL}) tõestatavad laused täpselt need laused, mis on alati tõestatavad. See adekvaatsuse tulemus on olnud äärmiselt kasulik, kuna (mathbf {PA}) tõenduslikkust käsitlevaid üldküsimusi saab muuta lihtsamaks küsimuseks selle kohta, mida saab näidata programmis (mathbf {GL}).

(mathbf {GL}) saab varustada ka võimaliku maailma semantikaga, mille jaoks see on mõistlik ja terviklik. Vastav tingimus kaadrite jaoks (mathbf {GL}) - kehtivuse jaoks on see, et kaadrid oleksid transitiivsed, piiratud ja ebareflektiivsed.

12. Täiustatud modaalloogika

Modaalloogika rakendused matemaatikas ja arvutiteaduses on muutunud üha olulisemaks. Tõenäosusloogika on ainult üks näide sellest suundumusest. Mõiste „arenenud modaaloogika” viitab modaaloogika uurimise traditsioonile, mis on eriti hästi esindatud matemaatika ja arvutiteaduse osakondades. See traditsioon on juba algusest peale kootud modaalloogika ajalukku (Goldblatt, 2006). Uuringud topoloogia ja algebratega seoste kohta on osa esimesest modaalloogika tehnilisest tööst. Mõiste „arenenud transpordiloogika” viitab üldiselt teisele töölainele, mis on tehtud alates 1970. aastate keskpaigast. Mõned näited paljudest huvitavatest teemadest hõlmavad tulemusi otsustatavuse (kas on võimalik välja arvutada, kas antud modaalloogika valem on teoreem) ja keerukuse (modaaloogikaga seotud faktide arvutamiseks vajalikud aja- ja mälukulud).

13. Bisimulatsioon

Bisimulatsioon on hea näide viljakatest koosmõjudest, mis on välja töötatud modaalloogika ja arvutiteaduse vahel. Infotehnoloogias kasutatakse programmi täitmise ajal võimalike arvutamisradade tähistamiseks tavaliselt märgistatud üleminekusüsteeme (LTS). LTS-id on Kripke kaadrite üldistused, mis koosnevad olekute hulgast (W) ja (i) - juurdepääsetavussuhete (R_i) kogumist, üks iga arvutiprotsesside jaoks (i). Intuitiivselt kehtib (wR_i w ') täpselt siis, kui (w') on olek, mis tuleneb protsessi (i) rakendamisest olekule (w).

Polümodaalse või dünaamilise loogika keel tutvustab modaaloperaatorite kogumit (Box_i), üks iga programmi jaoks (i) (Harel, 1984). Siis (Box_i) A väidab, et lause (A) kehtib kõigis (i) kohaldamise tulemustes. Nii et ideid, näiteks programmide õigsust ja edukat lõpetamist, saab selles keeles väljendada. Sellise keele mudelid on nagu Kripke mudelid, välja arvatud juhul, kui kaadrite asemel kasutatakse LTS-e. Bisimulatsioon on kahe sellise mudeli olekute vastassuhe, nii et vastas olekutes kehtivad täpselt samad pakkumismuutujad ja alati, kui maailm (v) on (i) - juurdepääsetav kahest vastasest olekust, siis teine vastaspool kannab (i) - juurdepääsetavuse seost mõne (v) vastaspoolega. Lühidalt,(i) - juurdepääsetavuse struktuur, mida antud olekust saab „näha“, jäljendab seda, mida näeb vastaspoolelt. Bisimulatsioon on nõrgem mõiste kui isomorfism (bisimulatsiooni suhe ei pea olema 1-1), kuid see on piisav töötlemise samaväärsuse tagamiseks.

1970ndatel olid modaalloogikud juba välja töötanud bisimulatsiooni versiooni, mis aitaksid paremini mõista modaalse loogika aksioomide ja nende vastavate tingimuste suhet Kripke raamides. Kripke semantika loob aluse modaalaksioomide tõlkimiseks teise järgu keele lauseteks, kus kvantifitseerimine on lubatud ühekohaliste predikaattähtede (P) kohal. Asendage metamuutujad (A) avatud lausetega (Px), tõlkige (Box Px) (forall y (Rxy \ rightarrow Py)) ja sulgege vabad muutujad (x) ja predikaat tähed (P) universaalsete kvantifikaatoritega. Näiteks aksioomiskeemi (kast A \ parempoolne nool) predikaat loogiline tõlge tuleb kausta (forall P \ forall x) forall y (Rxy \ rightarrow Py) rightarrow Px)]. Selle tõlke korral võib muutuja (P) muutuda suvalise ühe koha predikaadiks,näiteks predikaadile (Rx), mille laiend on kõigi maailmade kogum w selliselt, et (Rxw) antud väärtuse (x) korral. Siis saadakse (forall x) forall y (Rxy \ rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], mis taandatakse väärtuseks (forall xRxx), kuna (forall y (Rxy \ rightarrow Rxy)) on tautoloogia. See valgustab (kast A \ paremnool A) ja kaadrite refleksivuse ((forall xRxx)) vastavust. Sarnased tulemused kehtivad ka paljude teiste aksioomide ja raami tingimuste kohta. Teise astme aksioomitingimuste "kokkuvarisemine" esimese järgu kaadritingimustega on modaalloogika täielikkuse tulemuste saamiseks väga kasulik. Näiteks on see Sahlqvisti (1975) elegantsete tulemuste põhiline idee. Siis saadakse (forall x) forall y (Rxy \ rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], mis taandatakse väärtuseks (forall xRxx), kuna (forall y (Rxy \ rightarrow Rxy)) on tautoloogia. See valgustab (kast A \ paremnool A) ja kaadrite refleksivuse ((forall xRxx)) vastavust. Sarnased tulemused kehtivad ka paljude teiste aksioomide ja raami tingimuste kohta. Teise astme aksioomitingimuste "kokkuvarisemine" esimese järgu kaadritingimustega on modaalloogika täielikkuse tulemuste saamiseks väga kasulik. Näiteks on see Sahlqvisti (1975) elegantsete tulemuste põhiline idee. Siis saadakse (forall x) forall y (Rxy \ rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], mis taandatakse väärtuseks (forall xRxx), kuna (forall y (Rxy \ rightarrow Rxy)) on tautoloogia. See valgustab (kast A \ paremnool A) ja kaadrite refleksivuse ((forall xRxx)) vastavust. Sarnased tulemused kehtivad ka paljude teiste aksioomide ja raami tingimuste kohta. Teise astme aksioomitingimuste "kokkuvarisemine" esimese järgu kaadritingimustega on modaalloogika täielikkuse tulemuste saamiseks väga kasulik. Näiteks on see Sahlqvisti (1975) elegantsete tulemuste põhiline idee. Sarnased tulemused kehtivad ka paljude teiste aksioomide ja raami tingimuste kohta. Teise astme aksioomitingimuste "kokkuvarisemine" esimese järgu kaadritingimustega on modaalloogika täielikkuse tulemuste saamiseks väga kasulik. Näiteks on see Sahlqvisti (1975) elegantsete tulemuste põhiline idee. Sarnased tulemused kehtivad ka paljude teiste aksioomide ja raami tingimuste kohta. Teise astme aksioomitingimuste "kokkuvarisemine" esimese järgu kaadritingimustega on modaalloogika täielikkuse tulemuste saamiseks väga kasulik. Näiteks on see Sahlqvisti (1975) elegantsete tulemuste põhiline idee.

Kuid millal aksioomi teise astme tõlge sellisel viisil redutseerub esimese astme tingimuseks (R)? Van Benthem näitas 1970. aastatel, et see juhtub juhul, kui tõlke osalus mudelis eeldab tema osalust mis tahes bisimulaarses mudelis, kus kaks mudelit on bisimulaarsed, kui eristatav on juhul, kui on olemas üks juurdepääsetavuse seos, nende vahel bisimulatsioon. See tulemus üldistatakse hõlpsalt polümodaalse juhtumiga (Blackburn jt, 2001, lk 103). See viitab sellele, et mitmeliigiline loogika on täpselt abstraktsiooni tasemel, et kirjeldada ja põhjendada arvutamist ja muid protsesse. (Lõppude lõpuks on kõige tähtsam valemite tõeväärtuste säilitamine mudelites, mitte raamstruktuuride peenemate detailide säilitamine.) Lisaks pakub nende loogikate kaudne tõlge predikaatloogika hästi mõistetavateks fragmentideks arvukalt arvutiteadlasi huvitavat teavet. Selle tulemusel on arenenud infotehnoloogia viljakas uurimisvaldkond, mille põhiideeks on bisimulatsioon (Ponse jt 1995).

14. Modaalloogika ja mängud

Mängude teooria ja modaalloogika vastastikmõju on õitsev uus uurimisvaldkond (van der Hoek ja Pauly, 2007; van Benthem, 2011, ptk 10 ja 2014). Sellel tööl on huvitavaid rakendusi agentide koostöö ja konkurentsi mõistmiseks, kuna neile kättesaadav teave areneb.

Kinnipeetava dilemma illustreerib mõnd mängude teooria mõistet, mida saab modaalse loogika abil analüüsida. Kujutage ette kahte mängijat, kes valivad kas koostöö või petta. Kui mõlemad teevad koostööd, saavutavad mõlemad 3-punktilise preemia, kui mõlemad petavad, siis ei saa mõlemad midagi, ja kui üks teeb koostööd ja teine petab, siis petab 5 punkti ja kooperaator ei saa midagi. Kui mõlemad mängijad on altruistlikud ja motiveeritud oma hüvede summat maksimeerima, teevad nad mõlemad koostööd, kuna see on parim, mida nad saavad koos teha. Ent mõlemal on kiusatus petta, et omaenda tasu suurendada 3-lt 5-le. Teisalt, kui nad on ratsionaalsed, võivad nad tõdeda, et vastase petmise korral ähvardab nende vastane petta ega jäta neile midagi. Seega on koostöö seda ohtu arvestades parim. Ja kui kumbki arvab, et teine saab sellest aru, võib ta olla motiveeritud koostööks. Selle mängu laiendatud (või itereeritud) versioon annab mängijatele mitu käiku, see tähendab korduvaid võimalusi mängida ja preemiaid koguda. Kui mängijatel on teavet käikude ajaloo ja nende tulemuste kohta, tulevad mängu uued mured, kuna mängu edukus sõltub vastase strateegia tundmisest ja näiteks selle kindlaksmääramisest, millal teda võib uskuda, et ta ei petta. Mängu mitme mängijaga versioonides, kus mängijad loositakse iga käigu järel paarist suuremast basseinist, võib inimese parim strateegia sõltuda sellest, kas suudetakse vastaseid ära tunda ja milliseid strateegiaid nad on kasutusele võtnud. (Vangide integreeritud dilemmade põnevate uurimuste kohta vt Grim jt, 1998). Selle mängu laiendatud (või itereeritud) versioon annab mängijatele mitu käiku, see tähendab korduvaid võimalusi mängida ja preemiaid koguda. Kui mängijatel on teavet käikude ajaloo ja nende tulemuste kohta, tulevad mängu uued mured, kuna mängu edukus sõltub vastase strateegia tundmisest ja näiteks selle kindlaksmääramisest, millal teda võib uskuda, et ta ei petta. Mängu mitme mängijaga versioonides, kus mängijad loositakse iga käigu järel paarist suuremast basseinist, võib inimese parim strateegia sõltuda sellest, kas suudetakse vastaseid ära tunda ja milliseid strateegiaid nad on kasutusele võtnud. (Vangide integreeritud dilemmade põnevate uurimuste kohta vt Grim jt, 1998). Selle mängu laiendatud (või itereeritud) versioon annab mängijatele mitu käiku, see tähendab korduvaid võimalusi mängida ja preemiaid koguda. Kui mängijatel on teavet käikude ajaloo ja nende tulemuste kohta, tulevad mängu uued mured, kuna mängu edukus sõltub vastase strateegia tundmisest ja näiteks selle kindlaksmääramisest, millal teda võib uskuda, et ta ei petta. Mängu mitme mängijaga versioonides, kus mängijad loositakse iga käigu järel paarist suuremast basseinist, võib inimese parim strateegia sõltuda sellest, kas suudetakse vastaseid ära tunda ja milliseid strateegiaid nad on kasutusele võtnud. (Vangide integreeritud dilemmade põnevate uurimuste kohta vt Grim jt, 1998). Kui mängijatel on teavet käikude ajaloo ja nende tulemuste kohta, tulevad mängu uued mured, kuna mängu edukus sõltub vastase strateegia tundmisest ja näiteks selle kindlaksmääramisest, millal teda võib uskuda, et ta ei petta. Mängu mitme mängijaga versioonides, kus mängijad loositakse iga käigu järel paarist suuremast basseinist, võib inimese parim strateegia sõltuda sellest, kas suudetakse vastaseid ära tunda ja milliseid strateegiaid nad on kasutusele võtnud. (Vangide integreeritud dilemmade põnevate uurimuste kohta vt Grim jt, 1998). Kui mängijatel on teavet käikude ajaloo ja nende tulemuste kohta, tulevad mängu uued mured, kuna mängu edukus sõltub vastase strateegia tundmisest ja näiteks selle kindlaksmääramisest, millal teda võib uskuda, et ta ei petta. Mängu mitme mängijaga versioonides, kus mängijad loositakse iga käigu järel paarist suuremast basseinist, võib inimese parim strateegia sõltuda sellest, kas suudetakse vastaseid ära tunda ja milliseid strateegiaid nad on kasutusele võtnud. (Vangide integreeritud dilemmade põnevate uurimuste kohta vt Grim jt, 1998). Enda parim strateegia võib sõltuda sellest, kas suudetakse ära tunda vastaseid ja strateegiaid, mille nad on vastu võtnud. (Vangide integreeritud dilemmade põnevate uurimuste kohta vt Grim jt, 1998). Enda parim strateegia võib sõltuda sellest, kas suudetakse ära tunda vastaseid ja strateegiaid, mille nad on vastu võtnud. (Vangide integreeritud dilemmade põnevate uurimuste kohta vt Grim jt, 1998).

Mängudes nagu Male, mängijad teevad kordamööda oma käike ja vastased näevad tehtud käike. Kui võtame kasutusele tava, mille kohaselt mängu mängijad vaheldumisi käike teevad, siis on vangide jäljendatud dilemma mäng, kus puudub teave hetkeseisukorra kohta - teise pöördega mängijal puudub teave selle kohta, milline oli teise mängija viimane käik.. See näitab ebatäiusliku teabega mängude huvi.

Mängude rakendamisel loogikale on pikk ajalugu. Üks mõjuvõimeline rakendus, millel on oluline lingvistika, on mänguteoreetiline semantika (GTS) (Hintikka jt 1983), kus kehtivust määratletakse kahe mängija vahelise mängu tulemusega - üks proovib verifitseerida ja teine proovida valemit võltsida.. GTS-l on märkimisväärselt tugevamad ressursid kui Tarski-stiilis semantikal, kuna seda saab näiteks kasutada selgitamaks, kuidas tähendus diskursuses areneb (lausete jada).

Siin kirjeldatav mäng mängude ja modaalse loogikaga on aga mõnevõrra erinev. Selle asemel, et kasutada mänge loogika semantika analüüsimisel, kasutatakse mängude analüüsimisel kõne all olevat modaaloogikat. Mängude ja nende mängu ülesehitus on väga rikas, kuna see hõlmab mängu enda olemust (lubatud käigud ja tulemuste eest saadav kasu), strateegiaid (mis on aja jooksul toimuvate käikude järjed) ja teabe voogu saadaval mängijatele mängu edenedes. Seetõttu tugineb mängude moodsa loogika arendamine loogikas leiduvatele funktsioonidele, mis hõlmavad selliseid mõisteid nagu aeg, amet, eelistus, eesmärgid, teadmised, veendumused ja koostöö.

Selle variatsiooni kohta vihje saamiseks kirjeldame siin piiratud osa mängude analüüsimisel osalevatest modaaloperaatoritest ja mõningaid asju, mida nendega saab väljendada. Semantika põhiidee on see, et mäng koosneb mängijatest 1, 2, 3,… ja W olekute komplektist. Iga mängija i jaoks on juurdepääsetavuse seos (R_i), mida saab mõista nii, et (sR_i t) kehtib olekute (s) ja (t) korral, kui mäng on jõudnud olekusse (s) mängija (i) saab teha käigu, mille tulemuseks on (t). See suhete kogum määratleb puu, mille oksad määratlevad mängu kõik võimalikud liigutused. Semantika seab aatomitele tõeväärtused, mis jälitavad väljamakseid. Nii et näiteks malemängus võiks olla selline aatom (win_i), et (v (win_i,s) = T) kui olek s on mängija (i) võit. Seejärel võib iga mängija i näidisoperaatorid (Box_i) ja (Diamond_i) määratleda järgmiselt.

) alusta {joonda *} v (Box_i A, s) & = T \ tekst {kui kõik} t \ text {in} W, \ text {if} sR_i t, \ text {then} v (A, t) = T. \\ v (Diamond_i A, s) & = T \ text {iff mõnede jaoks} t \ text {in} W, sR_i t \ text {ja} v (A, t) = T. \ lõpeta {joonda *})

Nii et (Box_i A) ((Diamond_i A)) on tões s, eeldusel, et lause (A) kehtib ka igas (mõnes) olekus, mida (i) saab valida oleku (s) seast). Arvestades, et (bot) on vastuolu (seega ({ sim} bot) on tautoloogia), on (Diamond_i { sim} bot) tõene sellises olekus, kus see on (i) on kord liikuda. Kahe mängijaga mängu puhul on (Box_1 \ bot) ja (Box_2 \ bot) tõsi mängu lõpetava oleku kohta, kuna ei 1 ega 2 ei saa liikuda. (Box_1 \ Diamond_2) win (_ 2) väidab, et mängijal 1 on kaotus, sest olenemata sellest, mida üks praegusest olukorrast teeb, võib 2 võita järgmise käigu korral.

Mängija väljamaksete üldisema ülevaate jaoks saab tellimussuhted (leq_i) olekute kaudu defineerida nii, et (s \ leq_i t) tähendab, et (i) väljamakse (t) eest on vähemalt sama hea kui (s) puhul. Teine üldistus on faktide väljendamine käikude (q) jadade kohta, tutvustades suhteid (sR_q t) tõlgendavaid operaatoreid, mis näitab, et s-st algav jada (q) jõuab lõpuks (t) -ni. Nende ja nendega seotud ressursside abil on võimalik väljendada (näiteks), et q on praeguses olukorras parim strateegia (i).

Mängude analüüsimisel on ülioluline, kuidas oleks võimalik mängijatele kättesaadavat teavet väljendada. Üks viis selle saavutamiseks on ideede laenamine episteemilisest loogikast. Siin võime iga mängija jaoks kehtestada juurdepääsetavuse seose ({ sim} _i) nii, et (s { sim} _i t) hoiaks iff (i) ei suuda eristada olekuid (s) ja (t). Siis saab mängijate teadmiste operaatorid (rK_i) määratleda nii, et (rK_i A) ütleb asukohas (s), et (A) on kõigis maailmades, mida (i) eristab (s); see tähendab, et hoolimata (i) teadmatusest olukorra kohta, võib ta sellegipoolest kindel olla. (rK) operaatoreid võidakse kasutada selleks, et öelda, et mängijal 1 on võimalus tagasi astuda, sest ta teab, et 2 näeb, et tal on võit: (rK_1 \ rK_2 \ Box_1 \ Diamond_2 \ win_2).

Kuna mängija teave varieerub mängu edenedes, on kasulik mõelda mängu liikumistele, mida on aegade kaupa indekseeritud, ja tutvustada operaatoritele (O) ja (U) pingelisest loogikast 'järgmine' ja 'kuni'. Siis (K_i OA \ parempoolne nool OK_i A) väljendab, et mängijal (i) on "täiuslik tagasikutsumine", see tähendab, et kui (i) teab, et (A) juhtub järgmisena, siis järgmisel hetkel (i) pole unustanud, et (A) on juhtunud. See illustreerib, kuidas mängude modaalne loogika võib kajastada kognitiivseid idealiseerimisi ja mängija õnnestumist (või ebaõnnestumist) nende täitmisel.

Mängude modaalloogika tehniline külg on keeruline. Suurt operaatorikogumit sisaldava keele jaoks usaldusväärsete ja terviklike reeglisüsteemide väljaselgitamise projekti võib juhinduda varasematest uuringutest, kuid mitmesuguste juurdepääsetavussuhete omavahelised seosed põhjustavad uusi probleeme. Lisaks on erinevate süsteemide ja nende fragmentide arvutuslik keerukus suur maastik, mida on suuresti uurimata.

Mänguteoreetilisi kontseptsioone saab rakendada üllatavalt erinevatel viisidel - kehtivuse argumendi kontrollimisest poliitilisel areenil õnnestumiseni. Seega on mängude käsitlemiseks vajaliku loogika sõnastamiseks tugevad motivatsioonid. Selle uurimistöö puhul on silmatorkav jõud, mille annab üks, ühendades aja, agentuuri, teadmiste, usu ja eelistuste loogika ühtses keskkonnas. Selle integreerimise õppetundidel on väärtus, mis ületab palju seda, mis mängude mõistmisel kaasa aitab.

15. Modaalloogika kvantifikaatorid

Tundub, et moodi loogika ülekandmine kvantitaatoritega (forall) (kõik) ja (eksisteerib) (mõned) on lihtne. Kummati valimisel pakutavate ettepanekuliste modaalloogika põhimõtete jaoks tuleks lihtsalt lisada kvantitatiivide standardsed (või klassikalised) reeglid. Kvantifikaatorite lisamine modaalloogikale sisaldab aga mitmeid raskusi. Mõned neist on filosoofilised. Näiteks Quine (1953) on kuulsalt väitnud, et modaalsetesse kontekstidesse kvantifitseerimine on lihtsalt ebajärjekindel - selline vaade on tekitanud hiiglasliku kirjanduse. Quine'i kaebused ei kanna seda raskust, mida nad kunagi tegid. Hea kokkuvõtte leiate Barcanilt (1990) ja pange tähele Kripke (2017) (kirjutatud 60-ndatel klassidega Quine'i kohta), mis pakub tugevat ametlikku argumenti, et kvantitatiivsuse määramisel ei saa olla midagi halba.

Teine komplikatsiooni liik on tehniline. Kvantitatiivse modaalloogika semantilistes valikutes on palju erinevaid võimalusi ja tõestamine, et reeglisüsteem on antud valiku puhul õige, võib olla keeruline. Corsi (2002) ja Garsoni (2005) tööd lähevad mingil viisil ühtsuse loomisele sellele maastikule ja Johannesson (2018) tutvustab piiranguid, mis aitavad vähendada võimaluste arvu; sellest hoolimata on olukord endiselt väljakutsuv.

Veel üks komplikatsioon on see, et mõnede loogikute arvates eeldab modaalsus klassikalistest kvantitatiivreeglitest loobumist vaba loogika nõrgemate reeglite kasuks (Garson 2001). Kvantitatiivreeglitega seotud lahkarvamuste peamised punktid on kvantifitseerimise valdkonna haldamise otsused. Lihtsaim alternatiiv, fikseeritud domeeni (mõnikord nimetatakse ka võimaluseks) lähenemine eeldab kvantifitseerimise ühte domeeni, mis sisaldab kõiki võimalikke objekte. Teisest küljest eeldab maailma suhteline (või aktualistlik) tõlgendus, et kvantifitseerimise valdkond muutub maailmast teise ja sisaldab ainult neid objekte, mis antud maailmas tegelikult eksisteerivad.

Fikseeritud domeeni lähenemisviis ei vaja kvantitaatorite klassikalises masinas suuri muudatusi. Fikseeritud domeeni semantika jaoks sobivaid modaaloogikaid saab tavaliselt aksiomatizida, lisades klassikalise kvantifikaatori reeglitele koos Barcani valemiga ((BF)) juhendmodaalse loogika põhimõtted (Barcan 1946). (Mõne huvitava erandi kohta vt Cresswell (1995)).

) tag {(BF)} forall x \ Box A \ rightarrow \ Box \ forall xA.)

Fikseeritud domeeni tõlgendusel on lihtsuse ja tuttavuse eelised, kuid see ei anna otsest selgitust loodusliku keele teatavate kvantitatiivsete väljendite semantika kohta. Me ei arva, et "mõni inimene on olemas, kes on alla kirjutanud iseseisvusdeklaratsioonile", on tõsi, vähemalt mitte siis, kui loeme praeguses olukorras sõna "olemas". Sellegipoolest oli see lause tõene 1777. aastal, mis näitab, et loomuliku keele väljendi „mõni inimene on olemas, kes muutub” domeen muutub vastavalt sellele, millised mehed eksisteerivad erinevatel aegadel. Seotud probleem on see, et fikseeritud domeeni tõlgendamisel kehtib lause (forall y \ Box \ eksisteerib x (x = y)). Kui eeldatakse, et (eksisteerib x (x = y)) loetakse: (y) eksisteerib, siis (forall y \ Box \ eksisteeriv x (x = y)) ütleb, et kõik eksisteerib tingimata. Kuid,modaalsust käsitlevate ühiste ideede põhiline tunnusjoon näib, et paljude asjade olemasolu on tinglik ja et erinevad objektid eksisteerivad erinevates võimalikes maailmades.

Fikseeritud domeeni tõlgenduse kaitsja võib neile vastuväidetele reageerida, nõudes, et kvantifikaatorite lugemisel sisaldab kvantifitseerimise valdkond kõiki võimalikke objekte, mitte ainult objekte, mis antud maailmas eksisteerivad. Nii et teoreem (forall y \ Box \ eksisteerib x (x = y)) tekitab kahjutu väite, et iga võimalik objekt leitakse tingimata kõigi võimalike objektide domeenist. Lisaks saab loodusliku keele kvantitatiivseid väljendeid, mille domeen on maailmast (või ajast) sõltuv, väljendada fikseeritud domeeni kvantifikaatori (eksisteeriva x) ja predikaattähe (E) abil, mille tekst on "tegelikult olemas". Näiteks selle asemel, et tõlkida "mõni (M) on olemas eksisteeriv inimene, kes (S) ignoreeris iseseisvusdeklaratsiooni"

) eksisteerib x (Mx \ amp Sx),)

fikseeritud domeenide kaitsja võib kirjutada:

) eksisteerib x (Ex \ amp Mx \ amp Sx),)

tagades seega, et tõlget loetakse praegu vääraks. Cresswell (1991) teeb huvitava tähelepaneku, et maailma suhtelisel kvantifitseerimisel on piiratud ekspressioonivõime fikseeritud domeeni kvantifitseerimisega võrreldes piiratud. Maailma suhtelisi kvantifitseerimisi saab määratleda fikseeritud domeeni kvantifikaatorite ja (E) abil, kuid puudub võimalus fikseeritud domeeni kvantifikaatoreid täielikult väljendada maailma suhteliste kvantifikaatoritega. Ehkki see toetab klassikalise lähenemisviisi toetamist kvantitatiivse modaaloogika loogikale, tähendab tõlketaktika ka vabaduse loogika kasuks tehtavat järeleandmist, sest selliselt määratletud maailm-suhtelised kvantitaatorid järgivad täpselt vaba loogika reegleid.

Fikseeritud domeeni kvantifitseerimise kaitsjate kasutatud tõlkestrateegia probleem on see, et inglise keele muutmine loogikaks on vähem otsene, kuna (E) tuleb lisada kõigi nende lausete tõlgetesse, mille kvantifikaatorlausetel on domeenid, mis sõltuvad kontekstist. Tõsisem vastuväide fikseeritud domeeni kvantifitseerimisele on see, et see võtab kvantitaatori rolli, mida Quine talle soovitas, nimelt kindla ontoloogilise pühendumise registreerimiseks. Selles vaates peab domeen (eksisteerima x) sisaldama ainult ontoloogiliselt austatavaid olemeid ja võimalikud objektid on kvalifitseerimiseks liiga abstraktsed. Selle riba realistid tahavad välja töötada kvantitaatori (eksisteeriva x) loogika, mis kajastaks pühendumist sellele, mis on antud maailmas tegelik, mitte sellele, mis on lihtsalt võimalik.

Mõni aktuaalsusega seotud töö (Menzel, 1990) kipub seda vastuväidet siiski õõnestama. Näiteks Linsky ja Zalta (1994) ja Williamson (2013) väidavad, et fikseeritud domeeni kvantifikaatorile saab anda realistidele täiesti vastuvõetava tõlgenduse. Pavone (2018) väidab isegi, et haketsitistliku tõlgenduse puhul, mis kvantifitseerib üksikute essentside olemasolu, on vaja fikseeritud domeene. Võimalikke maailmade semantikat rakendavad tegelased määravad oma semantilises keeleteoorias regulaarselt võimalike maailmade kvantifitseerimise. Seega näib, et võimalikud maailmad on nende aktualistide tulede järgi aktuaalsed. Täiendades domeeni abstraktsete üksustega, mis pole võimalike maailmadega enam ebasoodsad, võivad realistid õigustada Barcani valemit ja klassikalisi põhimõtteid.

Pange siiski tähele, et mõned realistid võivad reageerida sellele, et nad ei pea pühenduma võimalike maailmade tegelikkusele, kui mõistetakse, et nende keeleteoorias kasutatavatel kvantitaatoritel puudub tugev ontoloogiline tähtsus. Lisaks väidab Hayaki (2006), et abstraktsete olemite kvantifitseerimine on tegelikult kokkusobimatu mis tahes tõsiseltvõetava aktualismi vormiga. Igal juhul on aktualistidel (ja ka mitteaktualistidel) võimalus uurida kindlamate domeenidega kvantifikaatorite loogikat, näiteks domeene, mis välistavad võimalikud maailmad ja muud sellised abstraktsed entiteedid ning mis sisaldavad ainult ajalistest ajalistest üksikasjadest antud maailm. Seda tüüpi kvantifikaatorite jaoks on sobivad maailma suhtelised domeenid.

Sellised kaalutlused motiveerivad tundma huvi süsteemide vastu, mis tunnistavad kvantifitseerimise kontekstisõltuvust, tutvustades maailmas suhtelisi domeene. Siin on igal võimalikul maailmal oma kvantitatiivne määramise valdkond (objektide kogum, mis selles maailmas tegelikult eksisteerib) ja domeenid varieeruvad maailmast teise. Selle otsuse vastuvõtmisel tekib raskusi klassikalise kvantifitseerimise teooriaga. Pange tähele, et lause (eksisteerib x (x = t)) on klassikalise loogika teoreem ja seega (Box \ eksisteerib x (x = t)) on (bK) teoreem vajalikkuse reegel. Mõiste (t) tähistab Saul Kripke. Siis see teoreem ütleb, et on vaja, et Saul Kripke eksisteeriks, et ta oleks iga võimaliku maailma valduses. Maailma suhtelise lähenemise kogu motivatsioon oli kajastada mõtet, et ühes maailmas olevad objektid võivad teises eksisteerida. Kui kasutatakse kvantitatiivseid joonlaudu, peab iga termin (t) viitama millelegi, mis eksisteerib kõigis võimalikes maailmades. See näib olevat vastuolus meie tavapärase praktikaga, mille kohaselt kasutatakse termineid ainult tingimuslikult eksisteerivatele asjadele viitamiseks.

Üks vastus sellele raskusele on lihtsalt terminite kaotamine. Kripke (1963) toob näite süsteemist, mis kasutab maailma suhtelisi tõlgendusi ja säilitab klassikalised reeglid. Kulud on aga suured. Esiteks on tema keel kunstlikult vaesunud ja teiseks tuleb nõrgendada propositsioonilise modaaloogika reegleid.

Eeldades, et sooviksime keelt, mis sisaldaks termineid, ja et klassikalise reegli lisamiseks juhendmodaalse loogika standardsüsteemidele, tekib uus probleem. Sellises süsteemis on võimalik tõestada ((CBF)), et Barcani valem on vastupidine.

) silt {(CBF)} Box \ forall xA \ rightarrow \ forall x \ Box A.)

Sellel asjaolul on süsteemi semantikale tõsised tagajärjed. Ei ole keeruline näidata, et ((CBF)) iga maailma suhteline mudel peab vastama tingimusele ((ND)) ('pesastatud domeenide' jaoks).

((ND)) Kui (wRv), siis on (w) domeen (v) domeeni alamhulk

Kuid ((ND)) on vastuolus maailma suhteliste domeenide tutvustamisega. Kogu idee oli, et objektide olemasolu on tingimuslik, nii et oleks olemas juurdepääsetavad maailmad, kus ühte meie maailma asjadest ei eksisteeri.

Nende probleemide otsene lahendus on loobuda kvantitaatorite klassikalistest reeglitest ja võtta vastu vaba loogika reeglid ((mathbf {FL})). Reeglid (mathbf {FL}) on samad, mis klassikalistel reeglitel, välja arvatud see, et järeldused alates (forall xRx) (kõik on reaalne) kuni (Rp) (Pegasus on reaalne) on blokeeritud. Selleks sisestatakse predikaat '(E)' (sest 'tegelikult on olemas') ja muudetakse universaalse hetkeseisu reeglit. Alates (forall xRx) on lubatud hankida (Rp) ainult juhul, kui üks on ka hankinud (Ep). Eeldades, et universaalne kvantifikaator (forall x) on primitiivne ja eksistentsiaalne kvantifikaator (eksisteerib x) on defineeritud valemiga (eksisteerib xA = _ {df} { sim} forall x { sim} A), siis võib (mathbf {FL}) konstrueerida, lisades pakkumisloogika reeglitele järgmised kaks põhimõtet:

Universaalne üldistus.

Kui (B \ parempoolne nool (Ey \ parem nool A (y))) on teoreem, siis on ka see (B \ parempoolne nool xA (x)).

Universaalne intuitsioon.

(forall xA (x) rightarrow (En \ rightarrow A (n)))

(Siinkohal eeldatakse, et (A (x)) on predikaatloogika mis tahes hästi formuleeritud valem ja (A (y)) ja (A (n)) tulenevad (y) ja (n) iga (x) esinemise korral korrektselt (A (x)) -is.) Pange tähele, et kiirenduse aksioomi piirab (En) mainimine eelnevas. Universaalse üldistamise reeglit muudetakse samamoodi. Rakenduses (mathbf {FL}) on valemite tõestused nagu (eksisteerib x \ Box (x = t)), (forall y \ Box \ eksisteerib x (x = y)), ((CBF)) ja ((BF)), mis tunduvad olevat maailma suhtelise tõlgendusega vastuolus, on blokeeritud.

Üks filosoofiline vastuväide (mathbf {FL}) vastu on see, et (E) näib olevat olemasolu predikaat ja paljud väidavad, et eksisteerimine pole seaduslik vara, näiteks roheline olemine või kaaluga üle nelja naela. Nii võivad filosoofid, kes lükkavad ümber idee, et olemasolu on predikaat, vaidlustada (mathbf {FL}). Kuid enamikus (kuid mitte kõigis) identiteeti sisaldava kvantifitseeritud modaalloogika puhul ((=)) võib neid muresid määratleda järgmiselt.

[Et = _ {df} eksisteerib x (x = t).)

Kõige üldisem viis kvantifitseeritud modaalloogika sõnastamiseks on luua (mathbf {FS}), lisades (mathbf {FL}) reeglid antud juhendmodaalloogikale (mathbf {S}).. Olukordades, kus soovitakse kvantitatiivselt kvantifitseerida, võib lihtsalt lisada (Et) aksioomina (mathbf {FS}), nii et klassikalised põhimõtted muutuvad tuletatavateks reegliteks. Selliste süsteemide adekvaatsuse tulemusi saab enamiku modaaloogika (mathbf {S}) valikute korral, kuid on ka erandeid.

Mainimist väärib kvantifitseeritud modaalloogika semantika viimane komplikatsioon. See tekib siis, kui keelele tutvustatakse selliseid jäikaid väljendeid nagu "bifokaalide leiutaja". Mõiste ei ole jäik, kui ta valib erinevatest võimalikest maailmadest välja erinevad objektid. Sellise termini semantilist väärtust võib anda see, mida Carnap (1947) nimetas individuaalseks kontseptsiooniks - funktsiooniks, mis valib välja termini tähistamise iga võimaliku maailma jaoks. Üks lähenemisviis mittejäikade terminite käsitlemisele on Russelli kirjeldusteooria kasutamine. Kuid keeles, kus käsitletakse mittejäikaid väljendeid ehtsate terminitena, selgub, et kvantifikaatorite klassikaline ega vaba loogikareeglid pole vastuvõetavad. (Probleemi ei saa lahendada identiteedi asendamise reegli nõrgendamisega.) Selle probleemi lahendus on kvantifikaatorite üldisem käsitlus, kus kvantifitseerimise valdkond sisaldab objekte, mitte üksikmõisteid. See üldisem tõlgendus tagab parema vaste terminite käsitlemise ja kvantifikaatorite käsitlemise vahel ning tulemuseks on süsteemid, mis sobivad klassikaliste või vabade loogikareeglitega (sõltuvalt sellest, kas valitud on fikseeritud domeenid või maailma suhtelised domeenid). Samuti pakub see keelt, millel on tugevad ja väga vajalikud väljendusjõud (Bressan, 1973, Belnap ja Müller, 2013a, 2013b). See üldisem tõlgendus tagab parema vaste terminite käsitlemise ja kvantifikaatorite käsitlemise vahel ning tulemuseks on süsteemid, mis sobivad klassikaliste või vabade loogikareeglitega (sõltuvalt sellest, kas valitud on fikseeritud domeenid või maailma suhtelised domeenid). Samuti pakub see keelt, millel on tugevad ja väga vajalikud väljendusjõud (Bressan, 1973, Belnap ja Müller, 2013a, 2013b). See üldisem tõlgendus tagab parema vaste terminite käsitlemise ja kvantifikaatorite käsitlemise vahel ning tulemuseks on süsteemid, mis sobivad klassikaliste või vabade loogikareeglitega (sõltuvalt sellest, kas valitud on fikseeritud domeenid või maailma suhtelised domeenid). Samuti pakub see keelt, millel on tugevad ja väga vajalikud väljendusjõud (Bressan, 1973, Belnap ja Müller, 2013a, 2013b).

Bibliograafia

Modaalloogikat käsitlevad tekstid, pidades silmas filosoofe, hõlmavad Hughes ja Cresswell (1968, 1984, 1996), Chellas (1980), Fitting ja Mendelsohn (1998), Garson (2013), Girle (2009) ja Humberstone (2015).

Humberstone (2015) pakub suurepärast juhendit modaalse loogika kirjanduse ja nende rakenduste kohta filosoofias. Bibliograafia (üle tuhande sissekande) pakub hindamatut ressurssi kõigi peamiste teemade jaoks, sealhulgas aja loogika, kohustuste, uskumuste, teadmiste, agentuuri ja nominaalse vajaduse kohta.

Gabbay ja Guenthner (2001) pakuvad kasulikke kokkuvõtlikke artikleid olulistel teemadel, samas kui Blackburn jt. al. (2007) on edasijõudnute vaatenurgast hindamatu ressurss.

Suurepärase ajalooliste allikate bibliograafia võib leida Hughes ja Cresswell (1968).

• Anderson, A. ja N. Belnap, 1975, 1992, Entailment: asjakohasuse ja vajalikkuse logika, vol. 1 (1975), kd. 2 (1992), Princeton: Princeton University Press.
• Barcan (Marcus), R., 1947, “Esimese järgu funktsionaalne kalkulatsioon, mis põhineb rangel rakendamisel”, Journal of Symbolic Logic, 11: 1–16.
• –––, 1967, “Essentsialism modaalses loogikas”, Noûs, 1: 91–96.
• –––, 1990, „Tagasivaade Quine'i animadversioonidele modaalsuste kohta”, R. Bartrett ja R. Gibson (toim.), Perspectives on Quine, Cambridge: Blackwell.
• Belnap, N., M. Perloff ja M. Xu, 2001, Facing the Future, New York: Oxford University Press.
• Belnap, N. ja T. Müller, 2013a, “CIFOL: Intensiivne esimese astme loogika (I): omamoodi loogika poole”, ajakiri Philosophical Logic, doi: 10.1007 / s10992-012-9267-x
• –––, 2013b, „BH-CIFOL: Intensiivne esimese astme loogika (II): hargnevad lood“, ajakiri Philosophical Logic, doi: 10.1007 / s10992-013-9292-4
• Bencivenga, E., 1986, “Vaba loogika”, D. Gabbay ja F. Guenthner (toim), Filosoofilise loogika käsiraamat, III.6, Dordrecht: D. Reidel, 373–426.
• Benthem, JF van, 1982, Aja loogika, Dordrecht: D. Reidel.
• –––, 1983, ümbersuunamine ja klassikaline loogika, Napoli: Bibliopolis.
• –––, 2010, Modal Logic for Open Minds, Stanford: CSLI publikatsioonid.
• –––, 2011, teabe ja interaktsiooni loogiline dünaamika, Cambridge: Cambridge University Press.
• ––– 2014, Logic in Games, Cambridge, Mass: MIT Press.
• Blackburn, P., koos M. de Rijke ja Y. Venemaga, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press.
• Blackburn, P. koos J. van Benthami ja F. Wolteriga, 2007, Modal Logic käsiraamat, Amsterdam: Elsevier.
• Bonevac, D., 1987, Deduction, II osa, Palo Alto: kirjastus Mayfield.
• Boolos, G., 1993, The Logic of Provability, Cambridge: Cambridge University Press.
• Bressan, A., 1973, New Haven: üldine tõlgendus ümbersuunamise kohta: Yale University Press.
• Bull, R. ja K. Segerberg, 1984, “Põhiline modaaloogika”, D. Gabbay ja F. Guenthner (toim), Filosoofilise loogika käsiraamat, II.1, Dordrecht: D. Reidel, 1–88.
• Carnap, R., 1947, tähendus ja vajalikkus, Chicago: U. Chicago Press.
• Carnielli, W. ja C. Pizzi, 2008, Modalities and Multimodalities, Heidelberg: Springer-Verlag.
• Chagrov, A. ja M. Zakharyaschev, 1997, Modal Logic, Oxford: Oxford University Press.
• Chalmers, D., 1996, The Conscious Mind, New York: Oxford University Press.
• –––, 2002, “Sisu komponendid”, D. Chalmers (toim), Meelefilosoofia: klassikalised ja kaasaegsed lugemised, Oxford: Oxford University Press, 608–633.
• ––– 2006, „Kahemõõtmelise semantika alused”, M. Garcia-Carpintero ja J. Macia, Kahemõõtmeline semantika: alused ja rakendused, Oxford: Oxford University Press, 55–140.
• Chellas, B., 1980, Modal Logic: An Introduction, Cambridge: Cambridge University Press.
• Cresswell, MJ, 2001, “Modal Logic”, L. Goble (toim), Blackwelli juhend filosoofilise loogika juurde, Oxford: Blackwell, 136–158.
• ––– 1991, „Barcani valemi kaitsmisel”, Logique et Analyze, 135–136: 271–282.
• –––, 1995, “Mittetäielikkus ja Barcani valem”, Journal of Philosophical Logic, 24: 379–403.
• Cocchiarella, N. ja M. Freund, 2008, Modal Logic Sissejuhatus selle süntaksi ja semantikasse, New York: Oxford.
• Corsi, G., 2002, “Ühtse terviklikkuse teoreem kvantitatiivse moodusloogika jaoks”, Journal of Symbolic Logic, 67: 1483–1510.
• Crossley, J ja L. Humberstone, 1977, “Aktuaalsuse loogika”, Aruanded matemaatilisest loogikast, 8: 11–29.
• Fitting, M. ja R. Mendelsohn, 1998, Esimese järgu modaaloogika, Dordrecht: Kluwer.
• Gabbay, D., 1976, Uurimised modaalses ja tihedas logistikas, Dordrecht: D. Reidel.
• ––– 1994, ajaline loogika: matemaatilised alused ja arvutuslikud aspektid, New York: Oxford University Press.
• Gabbay, D. ja F. Guenthner, F. (toim.), 2001, Filosoofilise loogika käsiraamat, teine trükk, 3. köide, Dordrecht: D. Reidel,
• Garson, J., 2001, “Kvantifitseerimine modaalses loogikas”, Gabbay ja Guenthner (2001), 267–323.
• –––, 2005, „Ühendav kvantifitseeritud modaalloogika”, Journal of Philosophical Logic, 34: 621–649.
• –––, 2013, Modaalloogika filosoofidele, teine trükk, Cambridge: Cambridge University Press.
• Girle, R., 2009, modaalne loogika ja filosoofia (2. trükk), Routledge, New York, New York.
• Grim, P., Mar, G ja St. Denis, P., 1998, The Philosophical Computer, Cambridge, Mass: MIT Press.
• Goldblatt, R., 1993, Modaalsuse matemaatika, CSLI loengu märkused # 43, Chicago: University of Chicago Press.
• –––, 2006, „Matemaatiline modaalloogika: vaade selle evolutsioonile”, D. Gabbay ja J. Woods (toim.), Loogika ajaloo käsiraamat, kd. 6, Amsterdam: Elsevier.
• Harel, D., 1984, “Dünaamiline loogika”, D. Gabbay ja F. Guenthner (toim), Filosoofilise loogika käsiraamat, II.10, Dordrecht: D. Reidel, 497–604.
• Hayaki, R., 2006, “Tingimuslikud objektid ja Barcani valem”, Erkenntnis, 64: 75–83.
• Hintikka, J., 1962, Teadmised ja uskumused: sissejuhatus kahe mõiste loogikasse, Ithaca, NY: Cornell University Press.
• –––, 1983, Keelumäng, Dordrecht: D. Reidel.
• Hilpinen, R., 1971, Deontiline loogika: sissejuhatavad ja süstemaatilised lugemised, Dordrecht: D. Reidel.
• van der Hoek, W. ja Pauly, M., 2007, “Mängude ja teabe mudelloogika”, peatükk 20 Blackburn et. al., 2007.
• Hughes, G. ja M. Cresswell, 1968, Sissejuhatus modaalsesse loogikasse, London: Methuen.
• –––, 1984, Modal Logic kaaslane, London: Methuen.
• –––, 1996, Uus sissejuhatus modaalsesse loogikasse, London: Routledge.
• Humberstone, L. 2015, Modal Logic Philosophical Applications, College Publications, London.
• Johannesson, E., 2018, “Osaline semantika kvantitatiivse modaaloogika jaoks”, Journal of Philosophical Logic, 1–12.
• Kaplan, D., 1989, “Demonstratives”, teemades Kaplan, Oxford: Oxford University Press.
• Kripke, S., 1963, „Semitaalsed kaalutlused modaalloogika kohta”, Acta Philosophica Fennica, 16: 83–94.
• ––– 1980, nimetamine ja vajalikkus, Cambridge, Mass: Harvard University Press.
• –––, 2017, „Kvantifitseeritud modaalsus ja essentsialism“, Nous, 51, nr 2: 221–234.
• Konyndik, K., 1986, sissejuhatav modaalloogika, Notre Dame: Notre Dame Pressi ülikool.
• Kvart, I., 1986, kontrafaktuuride teooria, Indianapolis: Hackett Publishing Company.
• Lemmon, E. ja D. Scott, 1977, Sissejuhatus modaalsesse loogikasse, Oxford: Blackwell.
• Lewis, CI ja CH Langford, 1959 (1932), Symbolic Logic, New York: Dover Publications.
• Lewis, D., 1973, Counterfactuals, Cambridge, Mass: Harvard University Press.
• Linsky, B. ja E. Zalta, 1994, “Lihtsaima kvantifitseeritud modaalloogika kaitsmisel”, Philosophical Perspectives, (Logic and Language), 8: 431–458.
• Mares, E., 2004, asjakohane loogika: filosoofiline tõlgendus, Cambridge: Cambridge University Press.
• Menzel, C., 1990, “Aktualism, ontoloogiline pühendumus ja võimalike maailmade semantika”, Synthese, 85: 355–389.
• Mints, G. 1992, Lühike sissejuhatus modaalsesse loogikasse, Chicago: University of Chicago Press.
• Ponse, A. koos M. de Rijke ja Y. Venemaga, 1995, Modal Logic and Process Algebra, A Bisimulation Perspective, Stanford: CSLI Publications.
• Pavone, L., 2018, “Plantinga Haecceitism ja kõige lihtsamini kvantifitseeritud modaalloogika”, Loogika ja loogiline filosoofia, 27: 151–160.
• Popkorn, S., 1995, Esimesed sammud modaalloogikas, Cambridge: Cambridge University Press.
• Enne AN, 1957, aeg ja viis, Oxford: Clarendon Press.
• –––, 1967, minevik, olevik ja tulevik, Oxford: Clarendon Press.
• Quine, WVO, 1953, “Viide ja modaalsus”, loogilisest vaatenurgast, Cambridge, Mass.: Harvard University Press. 139–159.
• Rescher, N, ja A. Urquhart, 1971, Temporal Logic, New York: Springer Verlag.
• Sahlqvist, H., 1975, “Täiuslikkus ja vastavus esimese ja teise järgu semantilisusele modaalloogika jaoks”, S. Kanger (toim), Kolmanda Skandinaavia loogikasümpoosioni toimikud, Amsterdam: Põhja-Holland. 110–143.
• Thomason, R., 1984, “Pinge ja modaalsuse kombinatsioonid”, D. Gabbay ja F. Guenthner (toim.), Filosoofilise loogika käsiraamat, II.3, Dordrecht: D. Reidel, 135–165.
• Williamson, T., 2013, Modal Logic as Metaphysics, Oxford: Oxford University Press.
• Zeman, J., 1973, Modal Logic, The Lewis-Modal Systems, Oxford: Oxford University Press.

Akadeemilised tööriistad

	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

• Modaalse loogika edusammud
• Vikipeedia ressursside loetelu
• Modaalloogika käsiraamat, autorid Blackburn, Bentham ja Wolter
• John McCarthy modaalloogika leht