Parakonsistentne Loogika

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-11-26 16:07

Sisenemise navigeerimine

• Sissesõidu sisu
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Sõprade PDF-i eelvaade
• Teave autori ja tsitaadi kohta
• Tagasi üles

Parakonsistentne loogika

Esmakordselt avaldatud teisipäeval 24. septembril 1996; sisuline redaktsioon reedel 18. mail 2018

Kaasaegses loogilises ortodoksias on nii, et vastuolulistest väidetest järeldub midagi. Loogiline tagajärg on plahvatusohtlik, kui selle kohaselt põhjustab suvaline järeldus (B) suvalise vastuolu (A), (neg A) (eks. Vasturääkivuse kood (ECQ)). Klassikaline loogika ja ka enamik tavalisi mitteklassikalisi loogikaid, näiteks intuitsiooniloogika, on plahvatusohtlikud. Vastuolu ei saa saadud tarkuse kohaselt järjekindlalt põhjendada.

Parakonsistentsed loogikad seavad selle õigeusu kahtluse alla. Loogilise tagajärje seost peetakse parakonsistentseks, kui see pole plahvatusohtlik. Seega, kui tagajärjesuhe on parakonsistentsed, siis isegi olukorras, kus olemasolev teave on vastuoluline, ei plahvata tagajärgsuhet triviaalsuseks. Seega mahutab parakonsistentne loogika ebakõlasid kontrollitud viisil, mis käsitleb ebajärjekindlat teavet potentsiaalselt informatiivsena.

Prefiksil „para” on inglise keeles kaks tähendust: „kvaas” (või „sarnane, modelleeritud”) või „kaugemale”. Kui Miró Quesada lõi 1976. aastal Ladina-Ameerika kolmandal matemaatilise loogika konverentsil mõiste "parakonsistentsed", näib, et tal oli see esimene mõte meeles. Paljud parakonsistentsed loogikud on selle all siiski mõelnud teist, mis esitas parakonsistentse loogika arendamiseks erinevad põhjused, nagu allpool näeme.

Parakonsistentset loogikat määratletakse negatiivselt: igasugune loogika on parakonsistentiline, kui see pole plahvatusohtlik. See tähendab, et parakonsistentses loogikas pole ühtegi avatud probleemide või programmide komplekti. Iseenesest pole see kanne parakonsistentse loogika täielik ülevaade. Selle eesmärk on kirjeldada mitmekesise valdkonna filosoofiliselt silmapaistvaid jooni.

• 1. Parakonsistentsus

  • 1.1 Dialeteism
  • 1.2 Lühike ajalugu vasturääkivuse kohta
  • 1.3 Parakonsistentse loogika kaasaegne ajalugu

• 2. Motivatsioonid

  • 2.1 Vastuolulisus ilma triviaalsuseta

    • 2.1.1 Mittetriviaalsed teooriad
    • 2.1.2 Tõelised vastuolud
    • 2.1.3 Keeleteadus

  • 2.2 Tehisintellekt

    • 2.2.1 Automatiseeritud põhjendamine
    • 2.2.2 Uskumuste läbivaatamine

  • 2.3 Formaalne semantika ja setteooria

    • 2.3.1 Tõeteooria
    • 2.3.2 Set Theory
    • 2.3.3 Matemaatika üldiselt
  • 2.4 Aritmeetika ja Gödeli teoreem
  • 2.5 ebamäärasus

• 3. Parakonsistentse loogika süsteemid

  • 3.1 Aruteluloogika
  • 3.2 Mittelisatud süsteemid
  • 3.3 Konservatiivsus
  • 3.4 Adaptiivne loogika
  • 3.5 Ametliku ebakõla loogika
  • 3.6 Mitmekordne loogika
  • 3.7 Asjakohane loogika
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. Parakonsistentsus

Loogika on parakonsistentne, kui selle loogiline tagajärg seos ((vDash), kas semantiline või tõenditeoreetiline) ei ole plahvatusohtlik. Parakonsistentsus on tagajärgsuhte omadus. Argument, mis sisaldab vasturääkivuse kvoodilõiku (ECQ), on parakonsistentselt kehtetu: üldiselt ei kehti see juhul, kui (A), (neg A / vDash B).

Järjepidevuse mõiste ortodoksses loogikas sageli mängitav roll, nimelt kõige elementaarsem nõue, millele ükski teooria peab vastama, on leevendatud sidususe mõistega: ükski teooria ei saa sisaldada kõiki lauseid, kui seda pidada kõlblikuks. Teooria lihtne järjekindlus (vastuoludeta) on absoluutse järjepidevuse või mittetriviaalsuse erijuhtum (mitte iga lause ei ole teooria osa). Nagu näeme allpool, valideerivad paljud parakonsistentsed loogikad vastuolude puudumise seadust (vDash / neg (A / kiil / neg A)), isegi kui need muudavad ECQ kehtetuks.

Lisaks põhinõudele, mille kohaselt parakonsistentsed tagajärjesuhted peavad olema plahvatusohtlikud, on parakonsistentsed loogikad tohutult erinevad. Selles arengujärgus, ka 21. sajandisse, näib õiglane öelda, et „parakonsistentsus” ei erista ühte konkreetset lähenemist loogikale, vaid on pigem omadus, mis mõnel loogikal on ja teine mitte (nt, kompaktsus või mitu järeldust).

1.1 Dialeteism

Kirjanduses, eriti selles osas, mis sisaldab vastuolusid parakonsistentse loogika suhtes, on olnud teatav kalduvus segi ajada parakonsistentsus dialeteismiga, seisukoht, et on olemas tõelised vastuolud (vt dialeteismi käsitlevat sissekannet). Arvamus, et tagajärgsuhe peaks olema parakonsistentne, ei tähenda, et oleks olemas tõelised vastuolud. Parakonsistentsus on tagajärgsuhte omadus, dialeheism aga vaade tõele. See, et saab määratleda plahvatusohtliku tagajärgseose, ei tähenda, et mõned laused oleksid tõesed. See, et saab konstrueerida mudeli, kus on vastuolu, kuid mitte kõigis keele lausetes (või kus see mõnes maailmas nii on), ei tähenda, et vastuolu oleks tõene iseenesest. Seetõttu tuleb parakonsistentsi eristada dialeteismist (ehkki vt Asmus 2012).

Nüüd, kui dialeheism peab olema sidus, peab dialeheti eelistatud loogika olema parakonsistents. Dialetheism on seisukoht, et teatud vastuolud on tõesed, mis on "trivialismist" eraldiseisev tees, seisukoht, et kõik mis iganes (ka iga vastuolu) on tõene. Parakonsistentsed loogikud võivad tunda dialeteismi poole tõmbamist, kuid enamik parakonsistentsest loogikast ei ole dialeteetiline loogika. Parakonsistentse loogika arutelul ei keskenduta esmalt vastanduste saadavusele, vaid tagajärgseose plahvatuslikule olemusele.

1.2 Lühike ajalugu vasturääkivuse kohta

Nüüd on tavapärane, et ex-vastuolulist quodlibeti peetakse kehtivaks. See tänapäevane vaade tuleks aga asetada ajaloolisse perspektiivi. Plahvatuslik loogiline teooria sai standardiks XIX sajandi lõpupoole, kui loogika uurimisega saavutati matemaatiline liigendus. Loogikute nagu Boole, Frege, Russell ja Hilbert tööga sai klassikalisest loogikast ortodoksne loogiline konto.

Antiikajal ei näi aga keegi olevat ECQ kehtivust kinnitanud. Aristoteles esitas seda, mida mõnikord nimetatakse ühenduvpõhimõtteks: “on võimatu, et sama asja tingib vajalik olemine ja mitte olemine” (Prior Analytic II 4 57b3). (Lühendatud loogikat on Wansing viimasel ajal taaselustanud; vt selle põhimõtte alusel välja töötatud ühenduvat loogikat käsitlevat sissekannet.) Sellest põhimõttest sai keskaja või keskaja arutelude teema. Ehkki keskaegsed arutelud näivad toimuvat tingimuslike tingimuste kontekstis, võime seda käsitleda ka tagajärgede aruteluna. Selle põhimõtte kasutasid Boethius (480–524 või 525) ja Abelard (1079–1142), kes vaatlesid kahte tagajärgede kirjeldust. Esimene neist on tuttav:ruumidel on võimatu olla tõene, kuid järeldus vale. Esimene kokkuvõte sarnaneb seega tõe säilitamise tänapäevase mõttega. Teist on viimasel ajal vähem aktsepteeritud: ruumide mõte sisaldab järelduse mõtet. See konto, nagu asjakohase loogika puhul, ei võimalda järeldusi, mille järeldus on meelevaldne. Abelard leidis, et esimene konto ei vasta sidumispõhimõttele ja et teine konto (isoleerimise konto) kinnistas Aristotelese põhimõtet. Abelard leidis, et esimene konto ei vasta sidumispõhimõttele ja et teine konto (isoleerimise konto) kinnistas Aristotelese põhimõtet. Abelard leidis, et esimene konto ei vasta sidumispõhimõttele ja et teine konto (isoleerimise konto) kinnistas Aristotelese põhimõtet.

Pariisi Alberic näitas, et Abelardi positsioon oli 1130. aastatel raskustes. Enamik keskaja logistikuid ei loobunud kehtivuse arvestamisest, mis põhineb isoleerimisel või muul sarnasel viisil (vt näiteks Martin 1987). Kuid üks viis raskustega toimetulemiseks on ühenduspõhimõtte tagasilükkamine. See lähenemine, mis on muutunud kõige mõjukam, kiitis järgijad Adam Balsham või Parvipontanus (või mõnel juhul tuntud Adam The Little Bridge [12 ^th sajandi]). Parvipontanlased võtsid omaks tõdede säilitamise ülevaate tagajärgedest ja sellega seotud „paradoksidest”. Tegelikult oli see parvipontanlaste liige William of Soissons, kes avastas kaheteistkümnendal sajandil selle, mida me nüüd nimetame CI Lewise (sõltumatu) argumendiks ECQ jaoks (vt Martin 1986).

Tõkestamiskonto aga ei kadunud. John Duns Scotus (1266–1308) ja tema järgijad võtsid vastu isoleerimiskonto (vt Martin 1996). Viieteistkümnenda sajandi lõpu Kölni kool vaidles ECQ-le vastu, lükates tagasi disjunktiivse sülogismi (vt Sylvan 2000).

Aasia loogika ajaloos on kalduvus (näiteks Jaina ja budistlikes traditsioonides) kaaluda väidete võimalust olla tõesed ja valed. Lisaks loogika poolt välja töötatud suur budistlik logicians, Dignāga (5 ^th sajandil) ja Dharmakirti (7 ^th sajandil) ei omaks ECQ. Nende loogiline kirjeldus põhineb tegelikult argumendi elementide vahelisel seosel "läbitungimine" (Skt: vyāpti, Tib: khyab pa). Nii nagu Abelardi isoleerimiskontol, peab ka ruumide ja järelduste vahel olema tihedam seos, kui tõe säilitamise konto võimaldab. Dharmakīrti loogika ja selle edasise arengu kohta vaata näiteks Dunne 2004 ja Tillemans 1999.

1.3 Parakonsistentse loogika kaasaegne ajalugu

Kahekümnendal sajandil leidsid erinevad inimesed erinevatel aegadel ja kohtades üksteisest sõltumatult loogilise tagajärje plahvatusliku kirjelduse alternatiive. Neid motiveerisid sageli erinevad kaalutlused. Tundub, et tänapäevase varaseima parakonsistentse loogika on andnud kaks venelast. Umbes 1910. aastast esitas Vasil'év muudetud aristoteeli sõnaloogika, mis sisaldab avaldusi kujul: (S) on nii (P) kui ka (P). 1929. aastal andis Orlov vastava parakonsistentsuse loogika (R) esimese aksiomatiseerimise. (Vasil'évi kohta vaata Arruda 1977 ja Arruda 1989: 102f; Orlovi kohta vaata Anderson, Belnap, & Dunn 1992: xvii.)

Vassiljevi või Orlovi tööd ei avaldanud omal ajal mingit mõju. Esimene (formaalne) loogik, kes arendas parakonsistentset loogikat, oli Poolas Jaśkowski, kes oli Łukasiewiczi õpilane, kes ise oli ette näinud parakonsistentset loogikat Aristotelese kriitikaga LNC-l (Łukasiewicz 1951). Peaaegu samal ajal esitas Halldén (1949) mõttetuse loogika teose, kuid jällegi jäi see enamasti märkamata.

Parakonsistentset loogikat töötasid Lõuna-Ameerikas iseseisvalt välja Florencio Asenjo ja eriti Newton da Costa oma doktoritöödes vastavalt 1954. ja 1963. aastal, rõhuasetusega matemaatilistele rakendustele (vt Asenjo 1966, da Costa 1974). Aktiivne loogikute rühm on sellest ajast peale pidevalt uurinud parakonsistentset loogikat, eriti Brasiilias Campinas ja São Paulos, keskendudes formaalse vastuolu loogikale. Carnielli ja Coniglio (2016) annavad sellest tööst põhjaliku ülevaate.

Parakonsistentsed loogikad asjakohase loogika vormis pakkusid Inglismaal Smiley poolt 1959. aastal ja samal ajal ka palju arenenumal kujul USA-s Andersoni ja Belnapi poolt. Pittsburghis kasvas üles aktiivne rühm asjakohaseid loogikuid, sealhulgas Dunn ja Meyer. Parakonsistentse loogika arendamine (asjakohase loogika kujul) veeti Austraaliasse. R. Routley (hiljem Sylvan) ja V. Routley (hiljem Plumwood) avastasid mõne Andersoni / Belnapi asjakohase loogika jaoks tahtliku semantika. Nende ümber asus Canberras kool, kuhu kuulusid Brady ja Mortensen ning hilisem preester, kes koos R. Routleyga ühendas arengu dialeteismi.

Alates 1970. aastatest on parakonsistentse loogika arendamine olnud rahvusvaheline. Mõned peamised mõttekoolid on toodud allpool, sealhulgas adaptiivne loogika (nagu Batens 2001) ja konservatsionism (nagu Schotch, Brown ja Jennings 2009). Tööd tehakse Argentiinas, Austraalias, Belgias, Brasiilias, Kanadas, Tšehhi Vabariigis, Inglismaal, Saksamaal, Indias, Iisraelis, Jaapanis, Mehhikos, Uus-Meremaal, Poolas, Šotimaal, Hispaanias, Ameerika Ühendriikides ja mujal. Parakonsistentse loogika teemal on olnud rida suuri rahvusvahelisi konverentse. 1997. aastal toimus Belgias Genti ülikoolis esimene parakonsistentsuse ülemaailmne kongress. Teine maailmakongress toimus São Sebastião (São Paulo, Brasiilia) 2000. aastal, kolmas Toulous'is (Prantsusmaa) 2003. aastal ja neljas Melbournes (Austraalia) 2008. aastal. Viies maailmakongress toimus 2013. aastal Indias Kolkata osariigis. Veel üks suurem parakonsistentsuse konverents 2014. aastal toimus Münchenis (Andreas & Verdée 2016). Vaadake bibliograafia sektsiooni maailmakongressi toimingute kohta.

2. Motivatsioonid

Esitatud parakonsistentsuse põhjused on spetsiifilised parakonsistentse loogika konkreetsete formaalsete süsteemide arendamisel. Siiski on mitu üldist põhjust, miks arvata, et loogika peaks olema parakonsistentne. Enne parakonsistentse loogika süsteemide kokkuvõtmist pakume välja mõned parakonsisentliku loogika motivatsioonid.

2.1 Vastuolulisus ilma triviaalsuseta

Parakonsistentse loogika kõige kõnekam põhjus on esmapilgul tõsiasi, et leidub teooriaid, mis on vastuolulised, kuid mitte triviaalsed. Kui tunnistame selliste teooriate olemasolu, peavad nende aluseks olevad loogikad olema parakonsistentsed (ehkki vt Michael 2016).

2.1.1 Mittetriviaalsed teooriad

Järjekindlate, kuid mitte triviaalsete teooriate näiteid on lihtne toota. Ühe näite võib tuletada teaduse ajaloost. Vaatleme Bohri aatomi teooriat. Selle järgi tiirleb elektron aatomi tuuma ilma energiat kiirgamata. Maxwelli võrrandite järgi, mis moodustasid teooria lahutamatu osa, peab orbiidil kiirenev elektron kiirgama energiat. Seetõttu oli Bohri ülevaade aatomi käitumisest ebajärjekindel. Kuid ilmselgelt ei järeldatud sellest kõike elektronide käitumist puudutavat ega pidanudki nii olema. Seega, olenemata sellest, mille põhjal järeldati, mis selle aluseks oli, pidi see olema parakonsistentne (Brown & Priest 2015).

2.1.2 Tõelised vastuolud

Vaatamata asjaolule, et dialeteismi ja parakonsistentsi tuleb eristada, võib dialeteism olla parakonsistentse loogika motivatsioon. Üks dialetheia kandidaat (tõeline vastuolu) on valelik paradoks. Mõelge lausele: “See lause pole tõene”. On kaks võimalust: kas lause on tõene või ei ole. Oletame, et see on tõsi. Siis see on nii. Seetõttu pole lause tõene. Oletame seevastu, et see pole tõsi. See on see, mida ta ütleb. Seega on lause tõene. Mõlemal juhul on see tõsi ja mitte tõsi. (Vaata dialeteismi käsitlevat kirjet.)

2.1.3 Keeleteadus

Looduslikud keeled on veel üks võimalik triviaalse ebakõla koht. Lingvistikas on täheldatud, et normaalsed leksikaalsed tunnused säilivad isegi ebajärjekindlas kontekstis. Näiteks sellistel sõnadel nagu 'lähedal' on ruumiline varjund, mida ei segata isegi võimatute objektide käsitlemisel (McGinnis 2013):

Kui ma ütlen teile, et ma värvisin sfäärilise kuubi pruuniks, siis võtate selle välispinna pruuniks … ja kui ma olen selle sees, siis teate, et ma pole selle lähedal. (Chomsky 1995: 20)

Seega, kui võib öelda, et looduskeelel on loogika, võiks selle vormistamiseks kasutada parakonsistentset loogikat.

2.2 Tehisintellekt

Parakonsistentset loogikat ei motiveeri mitte ainult filosoofilised kaalutlused, vaid ka selle rakendused ja tagajärjed.

2.2.1 Automatiseeritud põhjendamine

Üks rakendusi on automatiseeritud arutluskäik (teabe töötlemine). Mõelge arvutile, mis salvestab suurt hulka teavet, nagu näiteks Belnap 1992. Kuigi arvuti salvestab teavet, kasutatakse seda ka selle tööks ja, mis kõige olulisem, sellest järeldamiseks. Nüüd on üsna tavaline, et arvuti sisaldab ebajärjekindlat teavet andmesisestusoperaatorite vigade või mitme hankimise tõttu. See on kindlasti probleem andmebaaside toimingutes teoreemiproversioonidega ja see on arvutiteadlaste tähelepanu juhtinud. Järgneva teabe eemaldamise tehnikaid on uuritud. Kuid kõigil on piiratud kohaldatavus ja igal juhul ei tagata, et need tagavad järjepidevuse. (Loogilise valetuse algoritmi pole.) Isegi kui astutakse samme vasturääkivustest vabanemiseks, kui need leitakse,aluseks olev parakonsistentne loogika on soovitav, kui varjatud vastuolud ei tekita päringutele valesid vastuseid.

Nelsoni parakonsistentset (nelja väärtusega) loogikat N4 on uuritud spetsiaalselt arvutiteaduse rakenduste jaoks (Kamide & Wansing 2012). Annoteeritud loogika pakkusid välja Subrahmanian (1987) ning seejärel da Costa, Subrahmanian ja Vago (1991); neid tööriistu on nüüd laiendatud robootikale, meditsiinilise diagnoosimise ekspertsüsteemidele ja inseneriteadustele. Hiljutised tööd on kogutud väljaannetes Abe, Akama, Nakamatsu (2015) ja Akama (2016).

2.2.2 Uskumuste läbivaatamine

Uskumuste revideerimine on veendumuste ratsionaalse läbivaatamise uurimine uute tõendite valguses. Kurb on see, et inimestel on ebajärjekindlad veendumused. Nad võivad seda tehes isegi mõistlikud olla. Näiteks võib olemas olla ülekaalukaid tõendeid nii millegi kui ka selle eituse kohta. Võib esineda isegi juhtumeid, kus sellist ebakõla on põhimõtteliselt võimatu kõrvaldada. Vaatleme näiteks eessõna paradoksi. Mõistlik inimene kirjutab pärast põhjalikku uurimistööd raamatu, milles nad väidavad: (A_1),…, (A_n). Kuid nad on ka teadlikud, et ükski keerukama raamatuga raamat ei sisalda ainult tõdesid. Nii et nad usuvad mõistlikult ka (neg (A_1 / kiil / ldots / kiil A_n)). Seetõttu peavad veendumuste ratsionaalse muutmise põhimõtted töötama ebajärjekindlate veendumuste komplektide alusel. Veendumuste muutmise standardkontod, nt AGM-i teooria (vt veendumuste muutmise loogikat),kõik ei suuda seda teha, kuna nad põhinevad klassikalisel loogikal (Tanaka 2005). Sobivam konto võib põhineda parakonsistentsel loogikal; vaata Girard ja Tanaka 2016.

2.3 Formaalne semantika ja setteooria

Parakonsistentsi võib võtta kui vastust loogilistele paradoksidele formaalses semantikas ja komplektiteoorias.

2.3.1 Tõeteooria

Semantika on uurimus, mille eesmärk on selgitada teoreetiline arusaam tähendusest. Enamik semantikat käsitlevaid seisukohti nõuab lause tähenduse täpsustamiseks mõnes mõttes selle tõetingimuste täpsustamist. Vähemalt prima facie on tõde predikaat, mida iseloomustab Tarski T-skeem:

[T (boldsymbol {A}) vasakpoolne nool A)

kus (A) on lause ja (boldsymbol {A}) on selle nimi. Kuid arvestades mis tahes standardset eneseviitamise viisi, näiteks aritmetisiseerimist, võib konstrueerida lause (B), mis ütleb, et (neg T (boldsymbol {B})). T-skeem annab selle (T (boldsymbol {B}) leftrightarrow / neg T (boldsymbol {B})). Sellest järeldub, et (T (boldsymbol {B}) kiil / neg T (boldsymbol {B})). (See on muidugi lihtsalt valelik paradoks.) Parakonsistentses loogikas sisalduva tõeteooria täieliku arendamise annab Beall (2009).

2.3.2 Set Theory

Püstitatud teoorias on olukord sarnane. Koguteooria naiivsed ja intuitiivselt korrektsed aksioomid on mõistmisskeem ja laiendatavuse põhimõte:

) alusta {joonda *} ja / eksisteerib y / forall x (x / y y vasakpoolses nooles A) & / forall x (x / y-s / leftrightarrow x / z-s) paremnool y = z / end { joonda *})

kus (x) ei esine vabalt asukohas (A). Nagu Russell avastas, on igasugune mõistmisskeemi sisaldav teooria vastuoluline. Selle jaoks, et lisada (A) arusaadavasse skeemi '(y / not / in y)' ja eksistentsiaalne kvantifitseerida suvalisele objektile '(r)', saab:

) jätkub y (y / r / leftrightarrow y / not / in y))

Niisiis, universaalse kvantifikaatori muutmine väärtuseks '(r)' annab:

[r / r / leftrightarrow r / not / in r)

Sellest järeldub, et (r / in r / kiil r / not / in r).

Nendele ebajärjekindluse probleemidele on üldised lähenemisviisid otstarbekus. Parakonsistentne lähenemisviis võimaldab omada tõe ja seaduse teooriaid, milles austatakse nende mõistete matemaatiliselt põhimõttelisi intuitsioone. Näiteks nagu Brady (1989; 2006) on näidanud, võib parakonsistentses kogumiteoorias tekkida vastuolusid, kuid need ei pea kogu teooriat nakatama.

Parakonsistentse loogika kaudu naiivse mõistmisega teooria seadmiseks on mitu lähenemisviisi. Järjestikuste ja kardinaalsete numbrite teooriad töötatakse välja aksiomaatiliselt, kasutades asjakohast loogikat, väljaandes Weber 2010b, 2012. Võimalus lisada järjepidevuse operaator teooria mitteparadoksaalsete fragmentide jälgimiseks on Omori 2015 kavas, võttes näpunäite da Costa traditsioonist. Naiivset teooriat, mis kasutab adaptiivset loogikat, on esitanud Verdée (2013). Parakonsistentse kogumiteooria mudeleid kirjeldab Libert (2005).

2.3.3 Matemaatika üldiselt

Da Costa (1974: 498) järgi

Sama huvitav oleks uurida ebajärjekindlaid süsteeme kui näiteks mitte-eukleidilisi geomeetriaid: saaksime parema ettekujutuse paradokside olemusest, võiksime paremini mõista seoseid erinevate loogiliste põhimõtete vahel, mis on vajalikud määramiseks tulemused jne … Meie eesmärk pole mittevastavusi kõrvaldada, vaid neid analüüsida ja uurida.

Parakonsistentse loogika matemaatika edasiarenduste kohta vaata sissekannet ebajärjekindla matemaatika kohta.

2.4 Aritmeetika ja Gödeli teoreem

Erinevalt formaalsest semantikast ja seatud teooriast ei pruugi olla ilmseid aritmeetilisi põhimõtteid, mis tekitaksid vastuolu. Sellegipoolest, nagu ka aritmeetika klassikalised mittestandardsed mudelid, on olemas ka aritmeetika ebajärjekindlate mudelite klass (või õigemini ebajärjekindla aritmeetika mudelid), millel on huvitav ja oluline matemaatiline ülesehitus.

Aritmeetika ebajärjekindlate mudelite olemasolu huvitavaks põhjuseks on see, et mõned neist on piiratud (erinevalt klassikalistest mittestandardsetest mudelitest). See tähendab, et metamatemaatilistes teoreemides on mõned olulised rakendused. Näiteks väidab klassikaline Löwenheim-Skolemi teoreem, et (Q) (Robinsoni aritmeetika, mis on fragment Peano aritmeetikast) omab iga lõpmatu kardinaalsuse mudeleid, kuid sellel pole lõplikke mudeleid. Kuid ka (Q) võib olla piiratud suurusega mudeleid, viidates aritmeetika ebajärjekindlatele mudelitele.

Parakonsistentset ravi ei saa ainult Löwenheim-Skolemi teoreemiga, vaid ka teiste metamaatikute teoreemidega. Teiste teoreemide puhul ei pruugi aga negatiivsed tulemused, mida sageli näitavad metamaatika limiteerivad teoreemid, enam kehtida. Üks oluline selline teoreem on Gödeli teoreem.

Gödeli esimese mittetäielikkuse teoreemi ühes versioonis öeldakse, et iga aritmeetika aksomaatilise aksomaatilise teooria puhul, mida võib pidada usaldusväärseks, on olemas aritmeetiline tõde, nimelt selle Gödeli lause - selles tõestamata, kuid mida saab tuvastada tõsi intuitiivselt õigete põhjenduste abil. Gödeli teoreemi keskmes on paradoks, mis puudutab lauset (G): "See lause pole tõestatav". Kui (G) on tõestatav, siis on see tõsi ja seega mitte tõestatav. Seega (G) on tõestatud. Seega on (G) tõene ja nii tõestamatu. Kui aritmeetika vormistamiseks kasutatakse aluseks olevat parakonsistentset loogikat ja teooria lubab seetõttu olla ebajärjekindel, võib Gödeli lause olla teoorias tõestatav (peamiselt ülaltoodud arutluskäigu abil). Nii ületab aritmeetika parakonsistentne lähenemine aritmeetika piiranguid, mis väidetavalt (paljude arvates) tulenevad Gödeli teoreemist. (Metamaatika muude "piiravate" teooriate kohta vt Priest 2002.)

2.5 ebamäärasus

Algusest peale oli parakonsistentsed loogikad mõeldud osaliselt ebamäärasuse ja soriidide paradoksi probleemide lahendamiseks (Jaśkowski 1948 [1969]). Mõned empiirilised tõendid viitavad sellele, et looduskeele ebamäärasus on hea kandidaat parakonsistentse ravi jaoks (Ripley 2011).

On pakutud välja paar erinevat parakonsistentset lähenemisviisi ebamäärasusele. Subvaluationism on loogiline duaalne supervaluationism: kui väide on ebamäärase predikaadi mõne vastuvõetava teritamise osas tõene, siis see on tõsi. Kui supervaluationist näeb määramatust või tõe-väärtuse lünki, näeb subvaluationist ülemäärane määratlus, tõe-väärtuse tõrge. Subvalvatsiooniloogika säilitab sarnaselt oma superväärtusliku duaalsusega kõiki klassikalisi tautoloogiaid, kui kehtivuse määratlus piirdub üksnes mittesisaldavate juhtumitega. Kuna see sarnaneb struktuurilt supervaluationismiga, on subvaluationism ka enamiku ja sama kriitika all (Hyde 1997).

Laiemas plaanis on (dialeetilist) parakonsistentsi kasutatud sirgjoonelises kolme väärtusega tõe-funktsionaalsuse lähenemises ebamäärasusele. Selle eesmärk on säilitada mõlemad järgmised intuitiivsed väited:

1. Sallivus: ebamäärase (F) puhul ei ole nii, et (x) on (F), vaid mõni väga (F) - sarnane (x) pole (F)
2. Läbilõiked: kõigi (F) korral, kui mõni (x) on (F) ja mõni (y) pole ning on tellitud (F) - järkjärguline versioon alates (x) kuni (y), siis on veel viimane (F) ja mõni esimene mitte - (F)

Jällegi on analüüsi võti võtta läbilõiked ebajärjekindluse kohta nii objektidele F kui ka mitte F. Seejärel võetakse kõik sallivusväited (ebamäärase F kohta) tõeseks; kuid kuna parakonsistentselt ei ole disjunktiivse sülogismi järeldused üldiselt kehtivad, ei tähenda need väited absurdsust, nagu "kõik on kiilakad". Parakonsistentsed mudelid panevad suurt rõhku ebamääraste predikaatide läbilõigetele, omistades suure osa sortide paradoksiga seotud probleemidest ebamääraste predikaatide ebajärjekindlusele (Weber 2010a).

Arutletakse selle üle, kas sorties paradoks sarnaneb teiste tuntud semantiliste ja püstitatud teoreetiliste paradoksidega, nagu Russelli ja valetaja. Kui see on nii, siis parakonsistentselt lähenemine ühele oleks sama loomulik kui teine.

3. Parakonsistentse loogika süsteemid

ECQ kehtetuks tunnistamiseks on välja töötatud mitmeid ametlikke tehnikaid. Enamik tehnikaid on kokku võetud mujal (Brown 2002, Priest 2002). Kuna huvi parakonsistentse loogika vastu kasvas, arenesid maailma eri paigus erinevad tehnikad. Selle tulemusel on tehnika arendamisel mõnevõrra piirkondlik maitse (kuigi on muidugi ka erandeid ja piirkondlikud erinevused võivad olla liialdatud; vt Tanaka 2003).

Enamik parakonsistentseid loogikuid ei tee ettepanekut klassikalise loogika hulgimüügi tagasilükkamiseks. Tavaliselt aktsepteerivad nad klassikaliste järelduste paikapidavust järjepidevates kontekstides. ECQ tagasilükkamist motiveerib vajadus eraldada vastuolu, levimata kõikjale. Sõltuvalt sellest, kui palju revisioone on vaja, on meil olemas parakonsistentsi tehnika. Siin esitatud taksonoomia põhineb klassikalise loogika revideerimise astmel. Kuna loogilist uudsust saab näha ettepanekutasandil, keskendume ettepanekulisele parakonsistentsele loogikale.

3.1 Aruteluloogika

Esimene välja töötatud parakonsistentsed loogikad olid Poola loogiku Jaśkowski (1948) diskursiivne (või diskursiivne) loogika. Diskursiivse loogika mõte on see, et diskursuses esitab iga osaleja mingi teabe, uskumused või arvamused. Iga väide on tõene vastavalt osalejale, kes selle diskursuses esitas. Kuid see, mis on tõsi kogu diskursuses, on osalejate esitatud väidete summa. Iga osaleja arvamused võivad olla enesekindlad, kuid võivad olla vastuolus teiste arvamustega. Jaśkowski vormistas selle idee diskursiivse loogika vormis.

Diskursiivse loogika vormistamine toimub diskursuse modelleerimise abil modaalses loogikas. Lihtsuse huvides valis Jaśkowski väärtuse S 5. Me arvame, et iga osaleja veendumused on S 5 mudelis (M) maailmas õige lausete kogumina. Seega tõlgendatakse diskussioonis osaleja väidetud lauset (A) nii, et see on võimalik, et (A) või lause S (Diamond A) S 5-st. Siis (A) hoiab diskursuses, kui (M) on mõnes maailmas (M) tõene. Kuna (A) võib ühes maailmas olla, teises aga mitte, võivad nii (A) kui ka (neg A) diskursuses olla. Tõepoolest, tuleks eeldada, et osalejad ei jõua mõnes küsimuses ratsionaalses diskursuses kokkuleppele. Idee on see, et (B) on (A_1, / ldots, A_n) diskussiooniline tagajärg, kui (Diamond B) on (Diamond A_ {1} täpid / Teemant A_ {n}).

Et näha, et diskussiooniloogika on parakonsistentsed, kaaluge mudelit S 5, (M), nii et (A) on (w_1), (neg A) hoiab teises maailmas (w_2), kuid (B) ei hoia mõne maailma jaoks (B). Siis hoiavad nii (A) kui ka (neg A), kuid (B) ei hoia (M). Seetõttu muudab diskursiivne loogika ECQ kehtetuks.

Siiski pole ühtegi S 5 mudelit, kus (A / kiil / neg A) mingis maailmas valitseks. Niisiis kehtib vormi ({A / kiil / neg A } vDash B) järeldus diskursiivses loogikas. See tähendab, et diskussiooniloogikas ebaõnnestub lisamine (({A, / neg A } vDash A / kiil / neg A)). Kuid diskussioonilist konjunktsiooni, (kiilu_d), võib defineerida kui (A / kiil / Teemant B) (või (Teemant A / kiil B)). Siis kehtib täiendus (kiilu_d) jaoks (Jaśkowski 1949).

Üks raskus on tingimusliku sõnastamine. S 5-s ebaõnnestuvad järeldused (Teemant p) ja (Teemant (p / supset q)) kuni (Teemant q). Jaśkowski otsustas tutvustada ühendust, mida ta nimetas diskussiooniliseks implikatsiooniks ((supset_d), mida määratleti kui (Diamond A / supset B). Seda sideühendust võib mõista nii, et "kui mõni osaleja väidab, et (A), siis (B)". Kuna järeldused väärtustest (Teemant A / supset B) ja (Teemant A) versioonile (Teemant B) kehtivad S 5-s, kehtivad modus ponens for (supset_d) diskussiooniloogikas. Arutlevat bi-implikatsiooni, (equiv_d), võib määratleda ka kui ((Teemant A / alamhulk B) kiil / Teemant (Teemant B / alamhulk A)) (või (Teemant (Teemant A / alakomplekt B) kiil (Teemant B / alakomplekt A))). Mõne Jaśkowski loogika ja selle aksiomaatikaga seotud töö ajaloo kohta vt Omori ja Alama (tulemas).

3.2 Mittelisatud süsteemid

Mittelisandlik süsteem on süsteem, mis ei valideeri adjunktsiooni (st ({A, B } not / vDash A / kiil B)). Nagu eespool nägime, pole diskursiivne loogika ilma diskursiivse konjunktsioonita adjunktiiv. Teise mittetäiendava strateegia pakkusid välja Rescher ja Manor (1970). Tegelikult võime ruumid ühendada, kuid ainult maksimaalse järjepidevuse saavutamiseks. Täpsemalt, kui (Sigma) on ruumide kogum, on maksimaalselt ühtlane alamhulk järjepidev alamhulk (Sigma ') nii, et kui (A / sisse / Sigma - / Sigma'), siis (Sigma / \ cup {A }) on vastuoluline. Siis ütleme, et (A) on (Sigma) tagajärg, kui (A) on (Sigma ') klassikaline tagajärg mõne maksimaalselt ühtlase alamhulga (Sigma') jaoks. Siis ({p, q } vDash p / kiil q), kuid ({p, / neg p } not / vDash p / kiil / neg p).

3.3 Konservatiivsus

Rescheri ja mõisa mittetäiendavas süsteemis määratletakse tagajärgede seos ruumide maksimaalselt ühtlase alamhulgaga. Seda võib pidada mooduseks püstitatud eelduste järjepidevuse taseme mõõtmiseks. ({P, q }) tase on 1, kuna maksimaalselt ühtlane alamhulk on komplekt ise. ({P, / neg p }) tase on siiski 2: ({p }) ja ({ neg p }).

Kui määratleme tagajärgede seose mõne maksimaalselt ühtlase alamhulga kaudu, võib selle seose all mõelda järjepidevate fragmentide taseme säilitamist. Seda lähenemist on hakatud nimetama konservatsionismiks. Selle töötasid esmakordselt välja Kanada loogikud Ray Jennings ja Peter Schotch.

Täpsemalt öeldes võib (piiratud) valemi komplekti (Sigma) jaotada klassikaliselt järjepidevateks fragmentideks, mille liit on (Sigma). Olgu (vdash) klassikaline tagajärg. (Sigma) katteks on komplekt ({ Sigma_i: i / sisse I }), kus iga liige on järjekindel, ja (Sigma = / bigcup_ {i / I} Sigma_i). (Sigma, l (Sigma)) tase on madalaim (n), nii et (Sigma) saab jaotada (n) komplektidesse, kui selline on () või (infty), kui sellist pole (n). Tagajärgsuhet, mida nimetatakse sundimiseks, (Vdash) määratletakse järgmiselt. (Sigma / Vdash A) iff (l (Sigma) = / infty) või (l (Sigma) = n) ja iga katte jaoks, mille suurus on (n), on (j / in I) selliselt, et (Sigma_j / vdash A). Kui (l (Sigma) = 1) või (infty), siis langeb sundseos klassikalise tagajärjesuhtega. Juhul kui (l (Sigma) = / infty) peab olema lause lause kujul (A / kiil / neg A) ja nii plahvatab sundseos.

Mõnede teaduse ja matemaatika teooriate aluseks oleva järeldusmehhanismi hõivamiseks on rakendatud ka tükeldamisstrateegiat. Matemaatikas oli lõpmatuimimite kohta parim võimalik teooria ebajärjekindel. Leibnizi ja Newtoni lõpmatus arvutamisel pidid tuletise arvutamisel lõpmatud miinimumid olema nii null kui ka null. Leibnizi ja Newtoni (ja Bohri aatomi teooria) lõpmatu väikseima kalkulatsiooni aluseks olevate järelduste mehhanismi tabamiseks peame tükeldamisse lisama mehhanismi, mis võimaldab piiratud kogusel teavet voolata nende ebajärjekindlate, kuid kuid järjepidevate fragmentide vahel. mittetriviaalsed teooriad. See tähendab, et teatud osa ühest tükist võib tungida teistesse tükkidesse. Teooriate aluseks olev järeldamisprotseduur peab olema tükk ja permeaat.

Olgu (C = { Sigma_i: i / I }) ja (varrho) läbilaskvussuhe (C) selliselt, et (varrho) on kaart kaardilt (I / korda I) keele valemite alamhulkadesse. Kui (i_0 / in I), siis nimetatakse mis tahes struktuuri (langle C, / varrho, i_0 / rangle) C- ja P-struktuuriks saidil (Sigma). Kui (matemaatiline {B}) on (Sigma) C&P struktuur, määratleme (Sigma) C&P tagajärjed (matemaatilise {B}) suhtes järgmiselt. Iga (i / in I) korral on lausekomplekt (Sigma_i ^ n) defineeritud rekursiooniga (n):

) alusta {joonda *} Sigma_i ^ {0} & = / Sigma_i ^ { vdash} / \ Sigma_i ^ {n + 1} & = / vasakul (Sigma_i ^ n / cup / bigcup_ {j / in I} vasakul (Sigma_j ^ n / cap / rho (j, i) right) right) ^ { vdash} / \ end {joondada *})

See tähendab, et (Sigma_i ^ {n + 1}) sisaldab tagajärgi, mis tulenevad (Sigma_i ^ n), koos teabega, mis tungib tükk (i) teisest killustikust tasemel (n). Seejärel kogume kokku kõik lõplikud etapid:

) Sigma_i ^ { omega} = / bigcup_ {n / lt / omega} Sigma_i ^ n)

(Sigma) C&P tagajärgi saab määratleda nende lausete alusel, mida saab tuletada määratud tüki (i_0), kui kogu asjakohane teave on lastud voolata mööda läbilaskvussuhteid (vt Brown ja Priest 2004, 2015.)

3.4 Adaptiivne loogika

Võib arvata, et mittevastavus tuleb isoleerida, vaid ka harvaesinev tõsine vajadus ebakõlade arvestamiseks. Võib mõelda, et järjepidevus on norm, kuni pole tõestatud teisiti: me peaksime lauset või teooriat käsitlema võimalikult järjekindlalt. See on sisuliselt adaptiivse loogika motivatsioon, mille pioneeriks oli Diderik Batens Belgias.

Adaptiivne loogika on loogika, mis kohandub järelduste reeglite kohaldamise ajal valitseva olukorraga. See modelleerib meie arutluskäigu dünaamikat. On kaks taju, milles arutluskäik on dünaamiline: väline ja sisemine. Põhjendamine on väliselt dünaamiline, kui uue teabe kättesaadavaks muutudes laiendatud eeldust võib tekkida vajadus eelnevatest tagajärgedest loobuda. Väline dünaamika on seega mõne tagajärje seose: (Gamma / vdash A) ja (Gamma / cup / Delta / not / vdash A) mittemonotoonne iseloom mõnede (Gamma, / Delta) ja (A). Isegi kui eeldus püsib muutumatuna, võidakse mõnda varem järeldatud järeldust hiljem mitte tuletada. Kuna meie mõttekäik lähtub seatud eeldusest, võime kokku puutuda olukorraga, kus järeldame tagajärjest, kui ei esine kõrvalekaldeid,eriti vastuolu, saavutatakse mõtestamise protsessis mingil etapil. Kui oleme sunnitud tuletama vastuolu hilisemas etapis, peab meie mõttekäik ennast kohandama nii, et varem kasutatud järelduse reegli kohaldamine tühistatakse. Sellisel juhul on arutluskäik sisemiselt dünaamiline. Meie arutluskäik võib olla sisemiselt dünaamiline, kui kehtivate järelduste komplekt ei ole rekursiivselt loendatav (st kui pole otsustusprotseduuri, mis viiks jah-vastuseni pärast paljude sammude lõppu, kui järeldused on tõepoolest kehtivad). See on sisemine dünaamika, mille jaoks jäädvustamine on välja töötatud.arutluskäik on sisemiselt dünaamiline. Meie arutluskäik võib olla sisemiselt dünaamiline, kui kehtivate järelduste komplekt ei ole rekursiivselt loendatav (st kui pole otsustusprotseduuri, mis viiks jah-vastuseni pärast paljude sammude lõppu, kui järeldused on tõepoolest kehtivad). See on sisemine dünaamika, mille jaoks jäädvustamine on välja töötatud.arutluskäik on sisemiselt dünaamiline. Meie arutluskäik võib olla sisemiselt dünaamiline, kui kehtivate järelduste komplekt ei ole rekursiivselt loendatav (st kui pole otsustusprotseduuri, mis viiks jah-vastuseni pärast paljude sammude lõppu, kui järeldused on tõepoolest kehtivad). See on sisemine dünaamika, mille jaoks jäädvustamine on välja töötatud.

Adaptiivse loogika idee illustreerimiseks kaaluge eelduste komplekti (Gamma = {p, / neg p / vee r, / neg r / vee s, / neg s, s / vee t }). Põhjendada võib sõnadega (neg s) ja (s / vee t), kasutades disjunktiivset sillogismi (DS) järelduste tegemiseks (t), arvestades, et (s / kiil / neg s) mitte saada. Seejärel otsustame koos (p) ja (neg p / vee r) järeldada (r) DS-iga, arvestades, et (p / wedge / neg p) ei saa. Nüüd saame DS-i kasutada (neg r / vee s) ja (r) tuletamaks (s), eeldusel, et (r / wedge / neg r) seda ei saada. Kuid ühendades (s) ja (neg s), saame (s / kiilu / neg s). Seetõttu peame DS-i esimese taotluse tagasi võtma ja seega (t) tõend kaotab kehtivuse. Selle mõttekäigu tagajärg on see, mida ei saa protsessi üheski etapis alistada.

Adaptiivse loogika süsteemi võib üldiselt iseloomustada kui kolme elementi:

1. Alumise piiri loogika (LLL)
2. Komplekt kõrvalekaldeid
3. Adaptiivne strateegia

LLL on adaptiivse loogika osa, mida ei kohandata. See koosneb põhiliselt paljudest järeldusreeglitest (ja / või aksioomidest), mida on hea meel aktsepteerida, olenemata põhjendusprotsessi olukorrast. Ebanormaalsuste kogum on valemite kogum, mille kohta eeldatakse, et nad ei pea põhjenduse alguses (või absurdsena), kuni näidatakse, et need on teisiti. Paljude adaptiivsete loogikate jaoks on selle komplekti valem kujul (A / kiil / neg A). Adaptiivne strateegia määratleb järelduse reeglite rakenduste käsitlemise strateegia, mis põhineb kõrvalekallete kogumil. Kui LLL-d laiendatakse nõudega, et kõrvalekalded pole loogiliselt võimalikud, saadakse ülemise piiri loogika (ULL). ULL sisaldab sisuliselt mitte ainult LLL-i järeldusreegleid (ja / või aksioome), vaid ka lisareegleid (ja / või aksioome), mida saab rakendada kõrvalekallete puudumisel, näiteks DS. Neid kolme elementi täpsustades saadakse adaptiivse loogika süsteem.

3.5 Ametliku ebakõla loogika

Parakonsistentse loogika süsteemide motiveerimiseks kasutatud lähenemisviisid, mida me seni nägime, eraldavad vastuolu antud teooria järjepidevatest osadest. Eesmärk on säilitada võimalikult palju klassikalisi masinaid parakonsistentse loogika süsteemi väljatöötamisel, mis väldib vastuolude korral plahvatust. Üks viis selle eesmärgi selgeks tegemiseks on laiendada meie keele väljendusjõudu, kodeerides objektkeele järjepidevuse (ja ebajärjekindluse) metateoreetilisi mõisteid. Formaalse ebajärjekindluse loogika (LFI) on parakonsistentse loogika perekond, mis moodustab klassikalise loogika järjepidevad killud, kuid lükkab ümber plahvatuspõhimõtte, kui vastuolu on olemas. Selle loogikaperekonna uurimise algatas Brasiilias Newton da Costa.

Kodeerimise järjepidevuse (ja ebajärjekindluse) kodeerimise eesmärk objekti keeles on see, et suudame ebakõla selgesõnaliselt eraldada triviaalsusest. Kuna keel on piisavalt rikas, et väljendada ebajärjekindlust (ja järjepidevust), võime uurida ebajärjekindlaid teooriaid, eeldamata, et need on tingimata tühised. See teeb selgeks, et vastuolu olemasolu on parakonsistentsete järelduste mittetriviaalsest olemusest eraldi küsimus.

LFIde mõte on see, et me peaksime võimalikult palju austama klassikalist loogikat. Loogika peaks sellest kõrvale kalduma alles siis, kui on vastuolu. See tähendab, et vastuolude puudumisel võime tunnistada ECQ kehtivust. Selleks kodeerime (ringi) oma objekti keelde järjepidevuse. Siis (vdash) on LFI iff tagajärg

1. (eksisteerib / Gamma / eksisteerib A / eksisteerib B (Gamma, A, / neg A / not / vdash B)) ja
2. (forall / gamma / forall A / forall B (gamma, / ringi A, A, / neg A / vdash B)).

Olgu (vdash_C) klassikaline tagajärje (või tuletatavuse) seos ja (ring (gamma)) väljendaks valemite kogumi ((Gamma)) järjepidevust selliselt, et kui (ring A) ja (ring B), siis (ring (A * B)), kus (*) on mis tahes kahes kohas asuv loogiline ühendus. Siis saame tuletatavuse lüüa järjepidevas kontekstis ekvivalentsuse mõttes: (forall / Gamma / Forall B / on olemas / Delta (Gamma / vdash_C B) iff (Circ (Delta), / Gamma / vdash B)).

Võtke nüüd klassikalise loogika positiivne fragment modus ponensiga koos kahekordse eituse kõrvaldamisega ((neg / neg A / parempoolne nool A)) aksioomina ja mõned aksioomid, mis reguleerivad (ringi):

) alusta {joonda *} ring A ja / paremäär (A / paremäär (neg A / paremääris B)) (ring A / kiil / ring B) & / paremääris / ring (A / kiil B) (ring A / parempoolne nool B ring) ja / paremnool / ring (A / paremnool B) lõpp {joonduma *})

Siis pakub (vdash) da Costa süsteemi (C_1). Kui laseme (A ^ 1) valemit lühendada (neg (A / kiil / neg A)) ja (A ^ {n + 1}) valemit ((neg (A ^ n) kiil / neg A ^ n)) ^ 1), saame (C_i) iga naturaalarvu (i) kohta, mis on suurem kui 1.

Da Costa süsteemi (C _ { omega}) saamiseks alustame klassikalise loogika positiivse fragmendi asemel positiivse intuitsiooniloogikaga. (C_i) süsteemid piiritletud (i) jaoks ei välista, et ((A ^ n / kiil / neg A ^ n / kiil A ^ {n + 1})) teoorias hoidmist. Hierarhias ülespoole liikudes (omega), (C _ { omega}) välistab selle võimaluse. Pange siiski tähele, et (C _ { omega}) ei ole LFC, kuna see ei sisalda klassikalist positiivset loogikat.

Da Costa (C) - süsteemide semantika kohta vaata näiteks da Costa ja Alves 1977 ja Loparic 1977. Tehnika taseme kohta vaata Carnielli ja Coniglio 2016.

3.6 Mitmekordne loogika

Ehk kõige lihtsam viis parakonsistentse loogika genereerimiseks, mille Asenjo esmakordselt oma doktoritöös välja pakkus, on kasutada palju väärtustatud loogikat. Klassikaliselt on täpselt kaks tõeväärtust. Paljuski hinnatud lähenemisviis on see klassikaline eeldus loobuda ja lubada rohkem kui kahte tõeväärtust. Lihtsaim strateegia on valemite hindamisel kasutada kolme tõeväärtust: tõene (ainult), vale (ainult) ja mõlemad (tõene ja vale). Loogiliste ühenduste tõestabelid, välja arvatud tingimuslikud, võib esitada järgmiselt:

(neg)
(t)	(f)
(b)	(b)
(f)	(t)

(kiil)	(t)	(b)	(f)
(t)	(t)	(b)	(f)
(b)	(b)	(b)	(f)
(f)	(f)	(f)	(f)

(vee)	(t)	(b)	(f)
(t)	(t)	(t)	(t)
(b)	(t)	(b)	(b)
(f)	(t)	(b)	(f)

Need tabelid on sisuliselt Kleene ja Łukasiewiczi kolme väärtustatud loogika tabelid, kus keskmist väärtust peetakse määramatuks või mitte (õige ega vale).

Tingimusliku (supset) puhul võiksime Kleene kolme väärtustatud loogikat järgides täpsustabelit täpsustada järgmiselt:

(supset)	(t)	(b)	(f)
(t)	(t)	(b)	(f)
(b)	(t)	(b)	(b)
(f)	(t)	(t)	(t)

Olgu määratud väärtused (t) ja (b). Need on väärtused, mida säilitatakse kehtivates järeldustes. Kui määratleme tagajärgede seose nende määratud väärtuste säilimise osas, on meil parakonsistentsed loogikad LP (Priest 1979). LP-s on ECQ vale. Selle nägemiseks määrame (b) väärtusele (p) ja (f) väärtusele (q). Siis hinnatakse ka (neg p) kui (b) ja seega on määratud nii (p) kui ka (neg p). Ometi ei hinnata (q) määratud väärtusega. Seega on ECQ LP-s kehtetu.

Nagu näeme, muudab LP kehtetuks ECQ, määrates vastuolule määratud väärtuse, nii õige kui ka vale. Seega erineb LP klassikalisest loogikast rohkem kui süsteemid, mida oleme varem näinud. Kuid vastuolulisemalt on see ka loomulikult joondatud dialeteismiga. Tõeväärtusi võime tõlgendada aga mitte ateleetilises, vaid episteemilises mõttes: tõeväärtused (või määratud väärtused) väljendavad episteemilisi või doksastilisi kohustusi (vt näiteks Belnap 1992). Või võime arvata, et mõlemat väärtust on vaja semantilisel põhjusel: meilt võidakse nõuda mõne oma uskumuse, väite ja nii edasi vastuolulise olemuse väljendamist (vt Dunn 1976: 157). Kui see tõlgendusstrateegia on edukas, saame LP-d eraldada tingimata dialeteismi alla sattumisest.

Üks LP-i eripära, mis nõuab teatud tähelepanu, on see, et LP-s muutuvad ponensid kehtetuks. Kui (p) on nii tõene kui ka vale, kuid (q) vale (ainult), siis (p / supset q) on nii tõene kui ka vale ja seega on see tähistatud. Nii et (p) ja (p / supset q) on määratud, kuid järeldus (q) pole. Seega on versiooni (supset) modus ponens LP-s kehtetu. (Üks viis probleemi lahendamiseks on asjakohase tingimusliku ühenduvuse lisamine, nagu näeme asjakohase loogika jaotises.)

Teine viis mitmekülgse parakonsistentse loogika väljatöötamiseks on mõelda tõe väärtuse määramisele mitte funktsioonina, vaid suhtena. Olgu (P) pakkumisparameetrite kogum. Siis on (eta) alamhulk (P / times {0, 1 }). Pakkumine võib olla seotud ainult 1-ga (tõene), see võib olla seotud ainult 0-ga (vale), see võib olla seotud nii 1-ga kui ka 0-ga või võib puudutada ei 1 ega 0-d. Hindamist laiendatakse kõigi valemite seosele järgmised rekursiivsed klauslid:

) alusta {joonda *} neg A / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 0 \\ / neg A / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 1 \[1ex] A / kiil B / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 1 / textrm {ja} B / eta 1 \\ A / kiil B / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 0 / textrm {või} B / eta 0 \[1ex] A / vee B / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 1 / textrm {või} B / eta 1 \\ A / vee B / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 0 / textrm {and} B / eta 0 \\ / lõpp {joonduma *})

Kui määratleme paikapidavuse tõe säilimise kaudu kõigi relatsiooniliste hinnangute korral, saame esimese astme järelduse (FDE), mis on asjakohase loogika fragment. See FDE relatsiooniline semantika tuleneb Dunnist 1976.

Teist lähenemisviisi uuritakse mittedeterministlike maatriksite idee kaudu, mida on uurinud Avron ja tema kaastöötajad (näiteks Avron & Lev 2005).

3.7 Asjakohane loogika

Parakonsistentsuse lähenemisviisid, mida oleme uurinud, keskenduvad ennekõike mõne vastuolu vältimatule olemasolule või tõele. ECQ tagasilükkamine nendes lähenemisviisides sõltub vastuolu sisaldavate ruumide analüüsist. Võib arvata, et ECQ tõeline probleem ei ole seotud vastuoluliste ruumidega, vaid ruumide vahelise seose ja järelduse puudumisega. Arvatakse, et järeldus peab olema ruumide suhtes kehtivas järelduses asjakohane.

Pittsburghis Andersoni ja Belnapi (1975) järelduste olulisuse uurimiseks pandi alus asjakohasele loogikale. Anderson ja Belnap motiveerisid asjakohase loogika väljatöötamist looduslike deduktsioonisüsteemide abil; ometi arendasid nad välja aksiomaatiliste süsteemide asjakohase loogikaperekonna. Kuna arendustöö toimus ja seda viidi läbi ka Austraalias, pöörati semantikale rohkem tähelepanu.

Vastava loogika semantika töötasid välja Fine (1974), Routley ja Routley (1972), Routley ja Meyer (1993) ning Urquhart (1972). (Samuti on algebralist semantikat; vt näiteks Dunn & Restall 2002: 48ff.) Routley-Meyeri semantika põhineb võimaliku maailma semantikal, mis on asjakohase loogika jaoks enim uuritud semantika, eriti Austraalias. Selles semantikas käituvad konjunktsioon ja disjunktsioon tavapärasel viisil. Kuid igal maailmal, (w), on seotud maailm, (w ^ *), ja eitust hinnatakse vastavalt sellele, kas (w ^ *: / neg A) vastab tõele, kui (w) (A) on väär, mitte asukohas (w), vaid asukohas (w ^ *). Seega, kui (A) on tõene aadressil (w), kuid vale väärtusel (w ^ *), siis (A / kiil / neg A) on tõene aadressil (w). Vastava standardse loogika saamiseks tuleb lisada piirang, mis (w ^ {**} = w). Nagu on selge,eitamine nendes semantikates on intentsionaalne operaator.

Peamine mure asjakohase loogika pärast pole mitte niivõrd eitamine, kui tingimusliku ühenduvühenduse (parempoolne nool) rahuldamine (modus ponensi rahuldamine). Kui (A / parempoolne nool B) on loogiline tõde, on (A) asjakohane loogika osas, kui (A) ja (B) jagavad vähemalt üks pakutav muutuja.

Vastava tingliku semantika saamiseks tuleb iga Routley-Meyeri mudel varustada ternaarsuhtega. Priest ja Sylvan (1992) ja Restall (1993, 1995) lihtsustatud semantikas jagunevad maailmad normaalseks ja mitte-normaalseks. Kui (w) on normaalne maailm, on (A parempoolne nool B) tõene, kui (w) kui kõigis maailmades, kus (A) on tõsi, (B) on tõsi. Kui (w) ei ole normaalne, on (A parempoolne nool B) tõene, kui (w) iff kõigi (x, y) korral, nii et (Rwxy), kui (A) vastab tõele (x, B) vastab tõele (y). Kui (B) on tõene asukohas (x), kuid mitte asukohas (y), kus (Rwxy), siis (B / parempoolne nool B) pole tõene aadressil (w). Siis saab näidata, et (paremäär (B / paremäär B)) pole loogiline tõde. (Kehtivust määratletakse kui tõelisuse säilimist tavalistes maailmades.) See annab põhilise asjakohase loogika (B). Tugevam loogika, näiteks loogika (R),saadakse kolmepoolse suhte piirangute lisamisega.

Samuti on asjakohase loogika jaoks olemas maailmasemantika versioonid, mis põhinevad Dunni FDE relatsioonilise semantikal. Siis on eitus laiend. Tingimuslik ühenduslüli, nüüd tuleb anda nii tõe kui ka võltsimise tingimused. Nii et meil on: (parempoolne nool B / on tõene, kui (w) iff kehtib kõigi (x, y) puhul, näiteks (Rwxy), kui (A) vastab tõele aadressil (x, y) x, B) vastab tõele (y); ja (A parempoolne nool B) on vale (w) juhul, kui mõni (x, y) on vale, näiteks et (Rwxy), kui (A) on tõene aadressil (x, B) on vale asukohas (y). Kolmeastmelisele suhtele mitmesuguste piirangute lisamine tagab tugevama loogika. Need loogikad ei ole aga Andersoni ja Belnapi väljatöötatud standardne asjakohane loogika. Vastava loogika standardperekonna saamiseks on vaja naabrusraamid (vt Mares 2004). Lisateavet leiate asjakohase loogika sissekandest.

Bibliograafia

Bibliograafia teema järgi sorteeritud

Viited

• Abe, Jair Minoro, Seiki Akama ja Kazumi Nakamatsu (toim.), 2015, Sissejuhatus annoteeritud loogikasse: alused parakomplektsele ja parakonsistentsele mõttele (Intelligent Systems Reference Library 88), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-3-319-17912-4
• Akama, Seiki (toim), 2016, Towards Paraconsistent Engineering (Intelligent Systems Reference Library 110), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-3-319-40418-9
• Anderson, Alan Ross ja Nuel D. Belnap, 1975, Entailment: asjakohasuse ja vajalikkuse loogika, 1. köide, Princeton: Princeton University Press.
• Anderson, Alan Ross, Nuel D. Belnap ja J. Michael Dunn, 1992, Entailment: The Logic of Relevance and Vajalikkus, 2. köide, Princeton: Princeton University Press.
• Andreas, Holger ja Peter Verdée, 2016, Parakonsistentse mõtlemise loogilised uuringud looduses ja matemaatikas (Trends in Logic 45), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-3-319-40220-8
• Arruda, Ayda I., 1977, “NA Vasil'évi kujuteldavast loogikast”, Arruda jt. 1977: 3–24. doi: 10.1016 / S0049-237X (08) 70642-6
• ––– 1989, “Parakonsistentse loogika ajaloolise arengu aspektid”, Priest jt. 1989: 99–130.
• Arruda, Ayda I., Newton da Costa ja R. Chuaqui (toim.), 1977, mitteklassikaline loogika, mudeliteooria ja arvutatavus (uuringud loogika ja matemaatika alused 89), Amsterdam: Põhja-Holland.
• Asenjo, FG, 1966, “A Calincus of Antinomies”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 7 (1): 103–105. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093958482
• Asmus, Conrad, 2012, “Parakonsistents dialeteismi kaljudel”, Logique et Analyze, 55 (217): 3–21. [Asmus 2012]
• Avron, Arnon ja Iddo Lev, 2005, “Mittedeterministlikud mitme väärtusega struktuurid”, ajakiri Logic and Computation, 15 (3): 241–261.
• Batens, Diderik, 2001, “Adaptiivse loogika üldine iseloomustus”, Logique et Analyze, 44 (173–175): 45–68. [Batens 2001 saadaval veebis]
• ––– 2007, „Universaalne loogiline lähenemisviis adaptiivsele loogikale”, Logica Universalis, 1 (1): 221–242. doi: 10.1007 / s11787-006-0012-5
• Batens, Diderik, Chris Mortensen, Graham Priest ja Jean-Paul van Bendegem (toim), 2000, Paraconsistent Logic Frontiers (Studies in Logic and Computation 8), Baldock, Inglismaa: Research Studies Press. [Esimese maailmakongressi toimingud]; vt ka Logique & Analyse, 41. köide, numbrid 161–163.
• Beall, Jc, 2009, Spandrels of Truth, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199268733.001.0001
• Belnap, Nuel D., Jr, 1992, “Kasulik neljaväärtuslik loogika: kuidas arvuti peaks mõtlema”, Entailment: Asjakohasuse ja vajalikkuse loogika, II köide, Alan Ross Anderson, Nuel D. Belnap, Jr ja J. Michael Dunn, Princeton: Princeton University Press; ilmusid esmakordselt kui „Kasuliku nelja väärtusega loogika”, Mitme väärtusega loogika tänapäevane kasutamine, J. Michael Dunn ja George Epstein (toim), Dordrecht: D. Reidel, 1977: 5–37 ja „Kuidas arvuti peaks Mõelge”, filosoofia kaasaegsed aspektid, Gilbert Ryle (toim), Oriel Press, 1977: 30–. doi: 10.1007 / 978-94-010-1161-7_2
• Besnard, Philippe ja Anthony Hunter (toim.), 1998, Põhjendus tegelike ja võimalike vastuoludega (Võimalike põhjendamis- ja määramatuse juhtimissüsteemide käsiraamat, 2. köide), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. doi: 10.1007 / 978-94-017-1739-7
• Beziau, Jean-Yves, Walter A. Carnielli ja Dov M. Gabbay (toim), 2007, Parakonsistentsuse käsiraamat (Studies in Logic 9), London: College Publications. [Kolmanda maailmakongressi töö]
• Beziau, Jean-Yves, Mihir Chakraborty ja Soma Dutta (toim.), 2015, New Directions in Paraconsistent Logic, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-81-322-2719-9 [viienda maailmakongressi menetlus]
• Brady, Ross T., 1989, “Dialektiliste kogumiteooria mittetriviaalsus”, Priest jt. 1989: 437–471.
• ––– (toim.), 2003, Asjakohane loogika ja nende konkurendid, 2. köide, Aldershot: Ashgate.
• –––, 2006, Universal Logic, Stanford, CA: CSLI väljaanded.
• Brown, Bryson, 2002, “Parakonsistentsuse kohta” filosoofilise loogika kaaslases, Dale Jacquette (toim), Oxford: Blackwell, lk 628–650. doI: 10.1002 / 9780470996751.ch40
• Brown, Bryson ja Graham Priest, 2004, “Tükk ja permeaat: parakonsistentsed järeldamisstrateegiad. 1. osa: lõpmatu arvutus”, Journal of Philosophical Logic, 33 (4): 379–388. doi: 10.1023 / B: LOGI.0000036831.48866.12
• –––, 2015, “Tükk ja permeaat II: Bohri vesinikuaatom”, Euroopa teaduse filosoofiaajakiri, 5 (3): 297–314.
• Chomsky, Noam, 1995, Minimalistlik programm, Cambridge, MA: MIT Press.
• Carnielli, Walter A. ja Marcelo Esteban Coniglio, 2016, Parakonsistentne loogika: järjepidevus, vastuolu ja eitus, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-3-319-33205-5
• Carnielli, Walter A., Marcelo E. Coniglio ja João Marcos, 2007, “Formaalse ebakõla loogika”, filosoofilise loogika käsiraamatus, 14. köide (teine trükk), Dov M. Gabbay ja Franz Guenthner (toim), Berliin: Springer, lk 15–107. doi: 10.1007 / 978-1-4020-6324-4_1
• Carnielli, Walter A., M. Coniglio ja Itala Maria Lof D'ottaviano (toim.), 2002, Parakonsistentsus: loogiline tee vastuollu (loengu märkused puhtast ja rakendusmatemaatikast: 228. köide), Boca Raton: CRC Press. [Teise maailmakongressi töö]
• da Costa, Newton, CA, 1974, “Vastuoluliste formaalsete süsteemide teooria kohta”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 15 (4): 497–510. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093891487
• da Costa, Newton, CA ja EH Alves, 1977, “Kalkulatsioonide semantiline analüüs ({ bf C} _ {n})“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 18 (4): 621–630. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093888132
• da Costa, Newton CA ja L. Dubikajtis, 1977, “On Jaśkowski arutlusloogika”, Arruda jt. 1977: 37–56. doi: 10.1016 / S0049-237X (08) 70644-X
• da Costa, Newton CA, VS Subrahmanian ja Carlo Vago, 1991, “Parakonsistentne loogika (mathrm {P} mathcal {T})”, Zeitschrift für Mathematische Logic und Grundlangen der Mathematik, 37 (9–12).: 139–148. doi: 10.1002 / malq.19910370903
• Dunn, J. Michael, 1976, “Intuitiivne semantika esimese astme omandamiseks ja“seotud puud””, Philosophicl Studies, 29 (3): 149–68. doi: 10.1007 / BF00373152
• Dunn, J. Michael ja Greg Restall, 2002, “Asjakohasusloogika”, Filosoofilise loogika käsiraamat, 6. köide, teine trükk, Dov M. Gabbay ja Franz Guenthner (toim), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, lk 1–136.
• Dunne, John D., 2004, Dharmakīrti filosoofia alused, Boston: Tarkuse väljaanded.
• Fine, Kit, 1974, “Kogumise mudelid”, Journal of Philosophical Logic, 3 (4): 347–372. doi: 10.1007 / BF00257480
• Girard, Patrick ja Koji Tanaka, 2016, “Paraconsistent Dynamics”, Synthese, 193 (1): 1–14. doi: 10.1007 / s11229-015-0740-2
• Halldén, Sören, 1949, Mõttetu loogika, Uppsala: A.-B. Lundequistska Bokhandeln.
• Hyde, Dominic, 1997, “Hunnikutest ja lünkadest kuni hõõrude hunnikuni”, Mind, 106 (424): 641–660. doi: 10.1093 / mind / 106.424.641
• Jaśkowski, Stanisław, 1948 [1969], “Rachunek zdań dla systemów dedukcyjnych sprzecznych”, Studia Societatis Scientiarum Torunensi (Sectio A), 1 (5): 55–77; ingliskeelne tõlge ilmus kui “Propositional Calculus for vastuoluliste deduktiivsete süsteemide jaoks”, Studia Logica, 24 (1969): 143–157. (J. Perzanowski ajakohastatud tõlge ilmus 1999. aastal kui „Propositsiooniline kalkulatsioon ebajärjekindlatele deduktiivsetele süsteemidele”, loogika ja loogiline filosoofia, 7: 35–56.
• –––, 1949, 1949, “O koniunkcji dyskusyjnej w rachunku zdań dla systemów dedukcyjnych sprzecznych”, Studia Societatis Scientiarum Torunensis (Sectio A), 1 (8): 171–172; ingliskeelne tõlge ilmus kui “On discussive conjunction in the Propositional Calculus for ebajärjekindlad deduktiivsed süsteemid”, Logic and Logical Philosophy, 7 (1999): 57–59.
• Kamide, Norihiro ja Heinrich Wansing, 2012, “Nelsoni parakonsistentse loogika tõestusteooria: ühtne vaatenurk”, arvutiteoreetiline teooria, 415: 1–38. doi: 10.1016 / j.tcs.2011.11.001
• Libert, Thiery, 2005, “Parakonsistentse komplekti teooria mudelid”, Journal of Applied Logic, 3 (1): 15–41. doi: 10.1016 / j.jal.2004.07.010
• Loparic, A., 1977, “Une étude semantique de quelques calculs propositionnels”, Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Academie des Sciences, 284: 835–838.
• Łukasiewicz, jaanuar 1951, Aristotelese siloogistika: moodsa formaalse loogika seisukohast, Oxford: Oxford University Press.
• Mares, Edwin D., 2004, “Nelja väärtusega” semantika asjakohase loogika jaoks R”, Journal of Philosophical Logic, 33 (3): 327–341. doi: 10.1023 / B: LOGI.0000031375.18295.30
• Martin, Christopher J., 1986, “William's Machine”, Journal of Philosophy, 83 (10): 564–572. doi: 10.2307 / 2026432
• ––– 1987, „Piinlikud argumendid ja üllatavad järeldused tingimuste arenguteooriate osas kaheteistkümnendal sajandil”, Gilbert De Poitiers et Ses Contemporains, J. Jolivet, A. De Libera (toim), Napoli: Bibliopolis, lk 377–401.
• –––, 1996, “Võimatu positio metafüüsika alusena või, kas loogika on skoti plaanil?”, Vestigia, Kujutage ette, Verba: Semiootika ja loogika keskaja teoloogilistes tekstides, C. Marmo (toim), Turnhout: Brepols, lk 255–276.
• McGinnis, Nicholas D., 2013, “Parakonsistentse loogika ootamatu rakendatavus: Chomskyani tee dialeteismile”, Science Foundations, 18 (4): 625–640. doi: 10.1007 / s10699-012-9294-7
• McKubre-Jordens, Maarten ja Zach Weber, 2011, “Tegelik analüüs parakonsistentses loogikas”, Journal of Philosophical Logic, 41 (5): 901–922. doi: 10.1007 / s10992-011-9210-6
• Michael, Michaelis, 2016, “Parakonsistentse loogika kõige kõnekamal argumendil”, Synthese, 193 (10): 3347–3362. doi: 10.1007 / s11229-015-0935-6
• Mortensen, Chris, 1995, ebajärjekindel matemaatika, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
• Omori, Hitoshi, 2015, “Märkused LP-l põhineva naiivse komplekti teooria kohta”, ülevaade sümboliloogikast, 8 (2): 279–295. doi: 10.1017 / S1755020314000525
• Omori, Hitoshi ja Jesse Alama, peatselt ilmuvad teemad “Jaśkowski diskussiooniloogika D2 aksiomatiziseerimine”, Studia Logica, esmakordselt veebis 10. veebruaril 2018. doi: 10.1007 / s1122.
• Priest, Graham, 1979, “Paradoksi loogika”, ajakiri Philosophical Logic, 8 (1): 219–241. doi: 10.1007 / BF00258428
• –––, 1987, Vastupidiselt: uurimus transkonsistentsist, Dordrecht: Martinus Nijhoff; teine trükk, Oxford: Oxford University Press, 2006.
• –––, 2001, “Parakonsistentse uskumuse revideerimine”, Theoria, 67 (3): 214–228. doi: 10.1111 / j.1755-2567.2001.tb00204.x
• –––, 2002, “Parakonsistentne loogika”, filosoofilise loogika käsiraamatus, teine trükk, köide 6, Dov M. Gabbay ja Franz Guenthner (toim), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, lk 287–393.
• –––, 2003, „Vastuoluline aritmeetika: tehnilised ja filosoofilised küsimused”, loogika suundumuses: Studia Logica 50 aastat (Studia Logica raamatukogu, 21. köide), VF Hendricks ja J. Malinowski (toim), Dordrecht: Kluwer Academic Kirjastus, lk 273–99.
• –––, 2007, “Parakonsistentsus ja dialeheism”, loogikaajaloo käsiraamatus, 8. köide, D. Gabbay ja J. Woods (toim), Amsterdam: Põhja-Holland, lk 129–204.
• Priest, Graham, JC Beall ja Bradley Armor-Garb (toim.), 2004, vastuolude puudumise seadus, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199265176.001.0001
• Priest, Graham, Richard Routley ja Jean Norman (toim.), 1989, Parakonsistentne loogika: Esseed ebakõladest, München: Philosophia Verlag.
• Priest, Graham ja Richard Sylvan, 1992, “Lihtsustatud semantika asjakohase põhiloogika jaoks”, Journal of Philosophical Logic, 21 (2): 217–232. doi: 10.1007 / BF00248640
• Rescher, Nicholas and Ruth Manor, 1970, “Vastuoludest ebajärjekindlatest ruumidest”, teooria ja otsus, 1 (2): 179–217. doi: 10.1007 / BF00154005
• Restall, Greg, 1993, “Asjakohase loogika (ja nende konkurentide) lihtsustatud semantika”, Journal of Philosophical Logic, 22 (5): 481–511. doi: 10.1007 / BF01349561
• –––, 1995, „Nelja väärtusega semantika asjakohasele loogikale (ja mõnele nende konkurendile)”, Journal of Philosophical Logic, 24 (2): 139–160. doi: 10.1007 / BF01048529
• Restall, Greg ja John Slaney, 1995, “Realistic Belief Revision”, Teise intelligentsuse aluste teise maailmakonverentsi toimetised, M. De Glas ja Z. Pawlak (toim), Pariis: Angkor, lk 367–378.
• Ripley, David, 2011, “Vastuolud piiridel”, artiklites R. Nouwen, R. van Rooij, U. Sauerland & H.-C. Schmitz (toim.), Ebamäärane suhtlus, Dordrecht: Springer, lk 169–188. doi: 10.1007 / 978-3-642-18446-8_10
• Routley, Richard ja Robert K. Meyer, 1993, “Entailment’ i semantika”, tõde, süntaks ja modaalsus, H. Leblanc (toim), Amsterdam: Põhja-Holland, lk 194–243.
• Routley, Richard, Val Plumwood, Robert K. Meyer ja Ross T. Brady, 1982, Asjakohane loogika ja nende konkurendid, 1. köide, Ridgeview: Atascadero.
• Routley, Richard ja Val Routley, 1972, “Esimese astme tagajärgede semantika”, Noûs, 6 (4): 335–359. doi: 10.2307 / 2214309
• Schotch, PK ja RE Jennings, 1980, “Järeldus ja vajalikkus”, Journal of Philosophical Logic, 9 (3): 327–340. doi: 10.1007 / BF00248398
• Schotch, Peter, Bryson Brown ja Raymond Jennings (toim), 2009, On Preserving: Esseed on Preservationism and Paraconsistent Logic, Toronto: University of Toronto Press.
• Smiley TJ, 1959, “Võltsimine ja omavastutus”, Aristotelian Society ühing, 59: 233–254.
• Subrahmanian, VS, 1987, “Kvalitatiivsete loogikaprogrammide semantika kohta”, Proc. 4. IEEE sümp. Loogikaprogrammeerimine, San Francisco, CA: IEEE Computer Society Press, 178–182.
• Sylvan, Richard, 2000, „Sociatiivse loogika eelnev lääne ajalugu”, sotsiiaalses loogika ja nende rakendused: hilise Richard Sylvani, Dominic Hyde ja Graham Priest (eds.) Esseed, Aldershot: Ashgate Publishers.
• Tanaka, Koji, 2003, “Parakonsistentsuse kolm kooli”, Austraalia ajakiri Logic, 1: 28–42.
• –––, 2005, „AGM-teooria ja ebajärjekindel uskumuste muutus”, Logique et Analyze, 48 (189–192): 113–150. [Tanaka 2005 on veebis saadaval]
• Tanaka, Koji, Francesco Berto, Edwin Mares ja Francesco Paoli (toim.), 2013, Parakonsistentsus: loogika ja rakendused (loogika, epistemoloogia ja teaduse ühtsus 26), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-94-007-4438-7 [neljanda maailmakongressi menetlus]
• Tillemans, Tom JF, 1999, Pühakiri, loogika, keel: esseed Dharmakīrti ja tema Tiibeti järglaste kohta, Boston: Tarkuse väljaanded.
• Urquhart, Alasdair, 1972, “Asjakohase loogika semantika”, ajakiri Symbolic Logic, 37 (1): 159–169. doi: 10.2307 / 2272559
• Verdée, Peter, 2013, “Tugev, universaalne ja tõenäoliselt mittetriviaalne komplektiteooria adaptiivse loogika abil”, IGPLi loogikaajakiri, 21 (1): 108–125. doi: 10.1093 / jigpal / jzs025
• Weber, Zach, 2010a, “Ebamäärasuse parakonsistentne mudel”, Mind, 119 (476): 1025–1045. doi: 10.1093 / mind / fzq071
• –––, 2010b, “Transfinite numbrid parakonsistentses komplektiteoorias”, sümboolse loogika ülevaade, 3 (1): 71–92. doi: 10.1017 / S1755020309990281
• ––– 2012, “Transfinite kardinalid parakonsistentses kogumiteoorias”, sümboolse loogika ülevaade, 5 (2): 269–293. doi: 10.1017 / S1755020312000019

Parakonsistentsuse köidete maailmakongress

• [Esimene kongress] Batens, Diderik, Graham Priest Chris Mortensen ja Jean-Paul van Bendegem (toim.), 2000, Parakonsistentse loogika piirid (Studies in Logic and Computation 8), Baldock, Inglismaa: Research Studies Press.
• [Teine kongress] Carnielli, Walter A., M. Coniglio ja Itala Maria Lof D'ottaviano (toim.), 2002, Parakonsistentsus: loogiline tee ebakõlani (loengu märkused puhtas ja rakendusmatemaatikas: köide 228), Boca Raton: CRC Press.
• [Kolmas kongress] Beziau, Jean-Yves, Walter A. Carnielli ja Dov M. Gabbay (toim), 2007, Parakonsistentsuse käsiraamat (Studies in Logic 9), London: College Publications.
• [Neljas kongress] Tanaka, Koji, Francesco Berto, Edwin Mares ja Francesco Paoli (toim.), 2013, Parakonsistentsus: loogika ja rakendused (loogika, epistemoloogia ja teaduse ühtsus 26), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-94-007-4438-7
• [Viies kongress] Beziau, Jean-Yves, Mihir Chakraborty ja Soma Dutta (toim.), 2015, Uued juhised parakonsistentses loogikas, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-81-322-2719-9

Akadeemilised tööriistad

	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

• Esimene parakonsistentsuse ülemaailmne kongress
• Parakonsistentsuse teine maailmakongress
• Parakonsistentsuse kolmas maailmakongress
• Parakonsistentsuse neljas maailmakongress
• Parakonsistentsuse viies maailmakongress