Paljuväärtuslik Loogika

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-05-24 11:17

Sisenemise navigeerimine

• Sissesõidu sisu
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Sõprade PDF-i eelvaade
• Teave autori ja tsitaadi kohta
• Tagasi üles

Paljuväärtuslik loogika

Esmakordselt avaldatud teisipäeval, 25. aprillil 2000; sisuline redaktsioon teisipäev, 5. märts 2015

Palju väärtustatud loogika on mitteklassikaline loogika. Need sarnanevad klassikalise loogikaga, kuna aktsepteerivad tõe-funktsionaalsuse põhimõtet, nimelt seda, et liitlause tõde määratakse selle komponendilausete tõeväärtustega (ja see jääb muutumatuks, kui üks selle osalausetest asendatakse teisega sama tõeväärtusega lause). Kuid need erinevad klassikalisest loogikast põhimõttelise tõsiasjaga, et nad ei piira tõe väärtuste arvu ainult kahega: need võimaldavad suuremat tõeastmete arvu (W).

Nii nagu mõistet „võimalikud maailmad” modaaloogika semantikas saab uuesti tõlgendada (nt „ajahetkedena” pingelise loogika semantikas või „olekutena” dünaamilise loogika semantikas), ei eksisteeri tõetasemete standardne tõlgendus. Kuidas neid mõista, sõltub tegelikust rakendusalast. Üldine kasutamine on aga eeldada, et eksisteerib kaks konkreetset tõetaset, mida tavaliselt tähistatakse numbritega 0 ja 1. Need konkreetsed tõeastmed toimivad vastavalt nagu traditsioonilised tõeväärtused “falsum” ja “verum”, kuid mõnikord ka nagu “absoluutselt vale” ja “absoluutselt tõene”, eriti juhtudel, kui klassikalise loogika traditsioonilised tõeväärtused “lõhestavad” tõeastmete seeriaks.

Paljud hinnatud loogikad käsitlevad oma tõepärasusi tehniliste tööriistadena ja kavatsevad need valida konkreetseks rakenduseks. Selliste “tõeastmete” või “tõeväärtuste” (võimaliku, mittetehnilise) olemuse arutamine on üsna keeruline filosoofiline probleem. Huvitatud lugeja võib tutvuda monograafia Shramko / Wansing (2011) või tõeväärtusi käsitleva sissekandega.

Mitme väärtusega loogika süsteemide (MVL) vormindatud keeled järgivad vastavalt kahend- ja predikaatloogika kahte standardmudelit:

• propositsiooniliste keelte puhul on olemas pakkumismuutujad koos ühenduste ja (võimalik, et ka) tõeastme konstantidega;
• on olemas objektimuutujad koos predikaat sümbolitega, võimalik, et ka objektikonstandid ja funktsioonisümbolid, samuti kvantitatiivid, ühendused ja (võimalik, et ka) tõe astme konstandid esimese astme keelte puhul.

Nagu loogika puhul kombeks, on need keeled nii semantiliselt kui ka süntaktiliselt rajatud loogikasüsteemide aluseks.

• 1. Semantika

  • 1.1 Tavalised loogilised maatriksid
  • 1.2 Algebraline semantika
  • 1.3 Mängusemantika

• 2. Tõestusteooria

  • 2.1 Hilberti tüüpi kalkulaadid
  • 2.2. Gentzen tüüpi järjestikused kivid
  • 2.3

• 3. Mitme väärtusega loogika süsteemid

  • 3.1 Łukasiewiczi loogika
  • 3.2 Gödeli loogika
  • 3.3 t-normaalil põhinevad süsteemid
  • 3.4 Kolme väärtusega süsteemid
  • 3.5 Dunn / Belnapi 4-väärtuseline süsteem
  • 3.6 Tootesüsteemid

• 4. Mitme väärtusega loogika rakendused

  • 4.1 Lingvistika rakendused
  • 4.2 Rakendused loogikale
  • 4.3 Rakendused filosoofiliste probleemide lahendamiseks
  • 4.4 Riistvara kujundamise rakendused
  • 4.5 Tehisintellekti rakendused
  • 4.6 Matemaatika rakendused
• 5. Mitme väärtusega loogika ajalugu

• Bibliograafia

  • Monograafiad ja ülevaated
  • Muud viidatud teosed
• Akadeemilised tööriistad
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. Semantika

Mitme väärtusega loogikaga süsteemide semantikat on kolme tüüpi.

• 1.1 Tavalised loogilised maatriksid
• 1.2 Algebraline semantika
• 1.3 Mängusemantika

Arutame neid omakorda.

1.1 Tavalised loogilised maatriksid

Sobivaim viis paljude väärtustega loogika süsteemi (bS) määratlemiseks on fikseerida selle keelele iseloomulik loogiline maatriks, st:

• tõeastmete komplekt,
• tõetaseme funktsioonid, mis tõlgendavad propositsioonilisi ühendusi,
• tõeastme konstantide tähendus,
• kvantifikaatorite semantiline tõlgendus,

ja lisaks

• määratud tõeastmed, mis moodustavad tõeastmete kogumi alamhulga ja asendavad traditsioonilist tõeväärtust „verum”;
• ja aeg-ajalt ka anti-määratud tõetasemeid, mis moodustavad tõeastmete komplekti alamhulga ja asendavad traditsioonilist tõeväärtust “falsum”.

Ettevalmistuskeele hästi vormistatud valem (A) loetakse kehtivaks mõne väärtuse korral (alpha) (mis kaardistab pakkumismuutujate kogumi tõeastmete kogumiks), kui sellel on määratud tõesusaste all (alpha). Ja (A) on loogiliselt kehtiv või tautoloogia, kui see kehtib kõigi hindamiste korral.

Esmajärgulise keele puhul loetakse selline hästi formuleeritud valem (A) kehtivaks selle keele tõlgenduse (alfa) korral, kui sellel tõlgendusel on määratud tõesusaste ja kõik objekte selle tõlgenduse diskursuse universumist objekti muutujateni. (A) loetakse loogiliselt kehtivaks, kui see kehtib kõigi tõlgenduste korral.

Nagu klassikalises loogikas, peab ka selline tõlgendus pakkuma

• (mitte tühi) diskursuse universum,
• keele objektkonstandite tähendus,
• predikaattähtede tähendus ja keele funktsioonisümbolid.

Mõningate hästi formuleeritud valemite komplekti (Sigma) mudel on väärtus (alpha) või tõlgendus (alpha) nii, et kõik (A) ∈ (Sigma) on kehtiv all (alpha). See (Sigma) tähendab (A) tähendab, et (Sigma) iga mudel on ka (A) mudel.

1.2 Algebraline semantika

Paljude väärtustega loogika süsteemide (bS) jaoks on olemas teist tüüpi semantika, mis põhineb (sarnaste) algebraliste struktuuride kogu tunnusklassil ((bk)). Iga selline algebraline struktuur peab esitama kõik andmed, mis peavad olema iseloomuliku loogilise maatriksiga keelele (bS).

Valemi (A) kehtivuse mõiste (bK) algebralise struktuuri suhtes on määratletud nii, nagu moodustaks see struktuur loogilise maatriksi. Ja loogiline kehtivus tähendab siin kõigi klassi (bK) struktuuride kehtivust.

Algebraliste struktuuride tüüp, mis moodustavad MVL-i mõne süsteemi (bS) jaoks sellise iseloomuliku klassi (bK), võib tavaliselt pärineda kahest erinevast allikast. Esimese allika võib kindlaks määrata ekstraloogiliste kaalutlustega, mis eristavad mõnda sellist algebraliste struktuuride klassi. Kui MVL-i süsteem (bS) on siiski määratud süntaktiliselt või ühe iseloomuliku maatriksi abil, määrab selline algebraliste struktuuride klass sageli (bS) Lindenbaumi algebra (süntaktilise või semantilise) algebra, ning sellisel juhul mängib see algebralise täielikkuse tõendis sageli ka otsustavat rolli. (BK) algebralistel struktuuridel on (bS) jaoks sarnane roll nagu Boole'i algebratel klassikalise loogika korral.

Teatud MVL-i süsteemide jaoks on näiteks järgmised järgmised algebraliste struktuuride iseloomulikud klassid:

• lõpmatu väärtusega Łukasiewiczi loogika jaoks MV-algebrate klass,
• lõpmatu väärtusega Gödeli loogika jaoks kõigi Heytingi algebrate klass, mis lisaks rahuldavad eeljoonelisust ((x \ parempoolne y) cup (y \ parempoolne x) = 1,)
• Hajeki põhilise t-normi loogika BL jaoks kõigi t-algebrate klass, st kõik need algebralised struktuurid, mis moodustatakse reaalse ühiku intervalli järgi koos vasaku pideva t-normiga (T) ja nende jääkfunktsiooniga (I_ {T}) defineeritud kui (I_ {T} (x, y) = \ sup {z \ keskel T (x, z) le y }.)

Neist kahest näitest kahe jaoks on ajalooliselt iseloomuliku maatriksiga määratud loogika ja hiljem kindlaks määratud vastav algebraliste struktuuride klass. Kolmanda näite puhul on olukord erinev: BL kavandati kõigi pidevate t-normide loogikaks ja sellest ekstraloogilisest lähenemisviisist leiti kõigi eelrealaarsust rahuldavate jagatavate jääkvõrede klass.

Filosoofilisest vaatepunktist eelistatakse tavaliselt MVL-i süsteemi jaoks semantilist alust, mis kasutab ühte iseloomulikku loogilist maatriksit. Kuid formaalsest küljest on mõlemad lähenemisviisid võrdselt olulised ja algebraline semantika osutub üldisemaks lähenemiseks.

1.3 Mängusemantika

Loogika ja mängude seostamiseks on erinevaid viise. Dialoogiline loogika pakub näiteks mänguteoreetilist semantikat nii klassikalisele kui ka intuitionistlikule loogikale: valem loetakse kehtivaks, kui pooldajal, kes väidab, et see valem on võidustrateegia võimalike rünnakute suhtes, mida vastane võib realiseerida.

Häguste komplektide ja paljuväärtusliku loogika vaheliste suhete kontekstis pakkus Robin Giles lähenemisviisi mängukesksele pilgule loogilise kehtivuse osas. Alates 1975. aastast tegi ta väljaandesarjades Giles (1975, 1976, 1979) ja jällegi Giles (1988) ettepaneku ebamääraste predikaatide mõttekäigu üldiseks käsitlemiseks ametliku süsteemi abil, mis põhineb mugaval dialoogi tõlgendamisel. Ta oli seda dialoogitõlgendust juba kasutanud teistes paberites, näiteks Giles 1974, mis käsitleb subjektiivset usku ja füüsika aluseid. Peamine mõte on lasta lausel „esindada usku, väljendades seda konkreetselt panuse vormis“. Kihlveod käsitlevad hajuvate katsete tegelikke tulemusi koos teadaoleva tõenäosuse erinevate võimalike tulemustega. Selles seadistuses loetakse lause "(psi) tulenevat lausetest (phi_ {1}, \ ldots, \ phi_ {n}) just siis, kui kihlvedude aktsepteerija (phi_ {1 }, \ ldots, \ phi_ {n}) saavad samal ajal panustada (psi), kartmata kaotust.

Sel viisil saadud (ametlik) keel on tihedalt seotud Łukasiewiczi lõpmatu väärtusega loogikaga (rL _ { infty}): tegelikult need kaks süsteemi langevad kokku, kui üks annab lausele (phi) tõeväärtuse (1- \ langle \ phi \ rangle) koos (langle \ phi \ rangle) kinnitamise riskiväärtusega (phi). Ja ta lisab isegi märkuse, et „selle dialoogitõlgenduse abil sobib Łukasiewiczi loogika täpselt LA Zadehi (1965) poolt esmakordselt kirjeldatud„ fuzzy set teooria”sõnastamiseks; tõepoolest, pole liiga palju väita, et (rL _ { infty}) on seotud fuzzy set teooriaga täpselt nii, nagu klassikaline loogika on seotud tavalise set teooriaga”.

Viimasel ajal on uuritud nende dialoogimängude erinevaid versioone ja üldistusi. Nende arengute erinevaid aspekte arutatakse näiteks Fermülleris (2008) ja Fermüller / Roschgeris (2014). Sellised lähenemisviisid ei võimalda pakkuda mängude semantikat ainult näiteks Gödeli ja tooteloogika jaoks. On ka sildu, mis ühendavad sellised mängud järjestikuste arvutuste abil mitme väärtusega loogika jaoks, vrd. Fermüller / Metcalfe (2009).

On olemas ka muud tüüpi (m) väärtustatud Łukasiewiczi loogikaga seotud dialoogimängud: pooldaja küsib teavet ja vastasel vastasel lubatakse valetada kuni (m) korda. Selliseid “Ulami mänge valedega” on kasutusele võtnud Mundici (1992).

2. Tõestusteooria

MVL-i süsteemides on saadaval kõik peamised loogiliste arvutuste tüübid:

• 2.1 Hilberti tüüpi kalkulaadid
• 2.2. Gentzen tüüpi järjestikused kivid
• 2.3

Mõned ülaltoodud on saadaval ainult lõplikult hinnatud süsteemide jaoks. Lõputult hinnatud loogika laia klassi praegune tehnika on esitatud raamatus Metcalfe / Olivetti / Gabbay (2009).

2.1 Hilberti tüüpi kalkulaadid

Need arvutatakse sama moodi nagu vastavad klassikalise loogika arvutused: kasutatakse mõnda aksioomide komplekti koos järelduse reeglite kogumiga. Tuletuse mõiste on tavaline.

2.2. Gentzen tüüpi järjestikused kivid

Lisaks tavalistele järjestikuste kalkulatsioonitüüpidele on teadlased viimasel ajal hakanud arutama ka MVL-i süsteemide hüpersekventseid kalkuleid. Hüpersekvendid on piiratud hulgad, st tavaliste jadade piiratud järjestamata loendid.

Lõplikult väärtustatud süsteemide, eriti (m) väärtusega süsteemide jaoks on olemas ka järjestikused arvutused, mis töötavad üldistatud jadadega. (M) hinnatud juhul on need valemi komplektide pikkuse (m) jadad.

2.3

Tabulaua puustruktuur jääb nendes arvutustes samaks nagu klassikalise loogika tabelipõhjades. Sõlmede sildid muutuvad üldisemateks objektideks, nimelt allkirjastatud valemiteks. Allkirjastatud valem on paar, mis koosneb märgist ja hästi vormitud valemist. Märk on kas tõe kraad või tõe kraadi komplekt.

Allkirjastatud valemitega tableau calculi on tavaliselt piiratud MVL-i piiratud väärtusega süsteemidega, nii et neid saab tõhusalt käsitleda.

3. Mitme väärtusega loogika süsteemid

MVL-i peamised süsteemid on sageli perekonnad, mis koosnevad ühtlaselt määratletud piiritletud ja lõpmatu väärtusega süsteemidest. Siin on nimekiri:

• 3.1 Łukasiewiczi loogika
• 3.2 Gödeli loogika
• 3.3 t-normaalil põhinevad süsteemid
• 3.4 Kolme väärtusega süsteemid
• 3.5 Dunn / Belnapi 4-väärtuseline süsteem
• 3.6 Tootesüsteemid

3.1 Łukasiewiczi loogika

Süsteemid (rL_ {m}) ja (rL _ { infty}) on määratletud loogilise maatriksiga, millel on kas mõni piiratud komplekt

[W_ {m} = { tfrac {k} {m - 1} keskel 0 \ le k \ le m - 1 })

ratsionaalide väärtus tegeliku ühiku intervalli piires või kogu ühiku intervalli piires

[W _ { infty} = [0,1] = {x \ in \ Re \ keskel 0 \ le x \ le 1 })

nagu seatud tõde. 1. aste on ainus määratud tõde.

Nende süsteemide peamised ühendused on vastavalt tugev ja nõrk konjunktsioon, vastavalt tõese astme funktsioonidega (amp) ja (kiil).

\ alusta {joonda} u \ amp v & = \ max {0, u + v-1 }, \\ u \ kiil v & = \ min {u, v }, \ lõpeta {joonda}

eitusühendus (neg) määratud

) neg u = 1-u,)

ja implikatsioonivõrku ühendav (parempoolne nool) tõetaseme funktsiooniga

[u \ paremnool v = \ min {1, 1-u + v }.)

Sageli kasutatakse ka kahte eraldusühendust. Neid määratletakse vastavalt (amp) ja (kiil) vastavalt tavalistele de Morgani seadustele, kasutades (neg). Esmajärjekorras Łukasiewiczi süsteemidele lisatakse kaks kvantifikaatorit (forall), (eksisteeriv) nii, et tõesusaste (forall xH (x)) on kõigi asjakohastega seotud alammäär. tõesusastmed (H (x)) ja see, et (eksisteerib xH (x)) tõesusaste, on kõigi asjassepuutuvate tõeastmete ülaosa (H (x)).

3.2 Gödeli loogika

Süsteemid (rG_ {m}) ja (rG _ { infty}) on määratletud loogilise maatriksiga, millel on kas mõni piiratud komplekt

[W_ {m} = { tfrac {k} {m - 1} keskel 0 \ le k \ le m - 1 })

ratsionaalide väärtus tegeliku ühiku intervalli piires või kogu ühiku intervalli piires

[W _ { infty} = [0,1] = {x \ in \ Re \ keskel 0 \ le x \ le 1 })

nagu seatud tõde. 1. aste on ainus määratud tõde.

Nende süsteemide peamised ühendused on konjunktsioon (kiil) ja disjunktsioon (vee), mille määravad tõetaseme funktsioonid

\ alusta {joonduma} u \ kiilu v & = \ min {u, v }, \\ u \ vee v & = \ max {u, v }, \ lõpeta {joonda}

implikatsioonivõrku ühendav (parempoolne nool) tõetaseme funktsiooniga

	(u \ paremnool v)
(u \ le v)	1
(u \ gt v)	(v)

ja eitusühendus (sim) koos tõeastme funktsiooniga

	({ sim} u)
(u = 0)	1
(u \ ne 0)	0

Esmajärguliste Gödeli süsteemide jaoks lisatakse kaks kvantifikaatorit (forall), (eksisteeriv) nii, et (forall xH (x)) tõesusaste on kõigi asjakohaste alammäär. tõesusastmed (H (x)) ja see, et (eksisteerib xH (x)) tõesusaste, on kõigi asjassepuutuvate tõeastmete ülaosa (H (x)).

3.3 t-normaalil põhinevad süsteemid

Lõpmatu väärtusega süsteemide jaoks, millel on tõetase

[W _ { infty} = [0,1] = {x \ in \ Re \ keskel 0 \ le x \ le 1 })

fuzzy set teooria mõju alates 1980ndate keskpaigast algatas terve klassi selliste MVL-süsteemide uurimise.

Neid süsteeme määrab põhimõtteliselt (võib-olla mitte-idempotentne) tugev konjunktiivühendus (amp _ { rT}), millel on vastava tõesuse funktsioonina t-norm (rT), st binaarne toiming (rT) ühikuintervallis, mis on assotsiatiivne, kommutatiivne, mitte vähenev ja millel aste 1 on neutraalse elemendina:

\ alusta {joonda} & \ rT (u, \ rT (v, w)) = \ rT (rT (u, v), w), \& \ rT (u, v) = \ rT (v, u), \& u \ le v \ parempoolne nool (u, w) le \ rT (v, w), \& \ r (u, 1) = u. \ end {joonduma}

Kõigi nende t-normide jaoks, millel on säilitusvõime

) rT (u, { sup} _ {i} v_ {i}) = { sup} _ {i} rT (u, v_ {i}),)

on olemas tavaline viis seotud implikatsiooniühenduse ((parempoolne nool _ { rT})) tõesuse funktsiooniga tutvustamiseks

[u \ parempoolne nool _ { rT} v = \ sup {z \ keskel (u, z) le v }.)

See implikatiivne ühendühendus on ühendatud t-normiga (r) üliolulise adjektsentsi tingimusega

) rT (u, v) le w \ Leftrightarrow u \ le (v \ paremnool _ { rT} w),)

mis määrab (paremnool _ { rT}) kordumatult iga säilitamisomadusega (rT) jaoks.

Keelt on veelgi rikastatud eitusühendusega (-_ { rT}), mis on kindlaks määratud tõesuse funktsiooni abil

[-_ { rT} u = u \ paremnool _ { rT} 0.)

See sunnib keelt olema ka tõetaseme konstant (uO), et tähistada tõe kraadi 0, sest siis saab (-_ { rT}) määratletavaks ühenduseks.

Tavaliselt lisatakse kahe täiendava ühendina (nõrk) konjunktsioon (kiil) ja disjunktsioon (vee) tõeastme funktsioonidega.

\ alusta {joonduma} u \ kiilu v & = \ min {u, v }, \\ u \ vee v & = \ max {u, v }, \ lõpeta {joonda}

T-normide jaoks, mis on pidevad funktsioonid (kahe muutuja reaalfunktsioonide järjepidevuse tavamõistes), muutuvad need lisaühendused isegi määratletavateks. Sobivad määratlused on

\ alusta {joonda} min {u, v } & = \ rT (u, (u \ parempoolne nool _ { rT} v)), \\ \ max {u, v } & = \ min { ((u \ parempoolne nool _ { rT} v) paremnool _ { rT} v), ((v \ paremnool _ { rT} u) parempoolne _ { rT} u) }. \ end {joonduma}

Selliste t-normidega seotud süsteemide erijuhtudeks on lõpmatuseni hinnatud Łukasiewiczi ja Gödeli süsteemid (rL _ { infty}), (rG _ { infty}) ning ka tooteloogika, millel on tavaline aritmeetiline korrutis kui selle põhiline t-norm.

Analüütilisest seisukohast on t-normi (r) nende üldsäilitusomadus selle binaarfunktsiooni ((r)) vasakpoolne järjepidevus, st omadus, mida iga üksikfunktsioon (rT_ {a} (x) = \ rT (a, x)) on jäetud pidevaks. Ja sellise t-normi T järjepidevust saab iseloomustada algebralise jagatavuse tingimuse kaudu

[u \ amp _ { rT} (u \ parempoolne nool _ { rT} v) = u \ kiil v.)

Kõigi t-normide klass on väga suur ja sellest pole siiani hästi aru saadud. Isegi nende säilitusomadustega t-normide osas pole struktuurne mõistmine kaugeltki täielik, kuid palju parem kui üldise juhtumi puhul: Jenei (2004) annab ülevaate hiljutise tehnika taseme kohta. Piisavalt hästi mõistetav on ainult pidevate t-normide järgmine alamklass: need koosnevad kenasti Łukasiewiczi t-normi, korrutis t-normi ja Gödeli t-normi isomorfsetest koopiatest, st min-toimingust, nagu selgitatud nt Gottwaldis (2001).

Tegelikult on võimalik t-normidel põhinevaid süsteeme aksiomeerida teatud t-normide konkreetsete klasside jaoks. Põhimõttelise tulemusena on Hájek (1998) andnud kõigi pidevate t-normide loogika BL aksiomatizationi. Lisaks eelpool mainitud algebralisele semantikale on sellel loogikal - nagu Hajeki poolt oletanud ja Cignoli / Esteva / Godo / Torrens (2000) - teise algebralise semantikuna kõigi t-normidel põhinevate struktuuride klass, mille t-norm on pidev funktsioon. Selle töö põhjal oletasid Esteva ja Godo (2001), et kõigi t-normide, millel on sup-konserveerimise omadus, loogika MTL-i aksiomatization ning Jenei / Montagna (2002) tõestasid, et see on tõepoolest piisav aksiomatization. Ja Esteva / Godo / Montagna (2004) pakuvad meetodit iga üksiku pideva t-normi loogika aksiomativeerimiseks:nad pakuvad algoritmi, mis annab iga konkreetse pideva t-normi kohta ((r)) lõpliku loetelu aksioomiskeemidest, mis, kui need lisatakse kõigi pidevate t-normide loogikale BL, annavad konkreetse t-normi piisava aksiomatizeerimise põhinev loogika (rT) jaoks.

Täiendavate t-normidel põhinevate süsteemide aksiomatization, samuti t-normidel põhinevate kvantifikaatorite küsimus on hiljutised uurimisprobleemid. Põhirõhk on seatud kahele järgmisele aspektile, mis käsitlevad nende t-normidel põhinevate süsteemide väljendusjõu muutmist: (i) selle väljendatavuse tugevdamine, moodustades süsteemid täiendavate eitusoperaatoritega või mitme t-normi põhise koostoimimisega; (ii) selle väljendatavuse modifikatsioonid, nt kustutades keelest tõesuse astme konstandi (uO), kuid lisades põhisõnavarale ühendava implikatsiooni, ja (iii) üldistused, mis muudavad põhilised t-normid mittekommutatiivseteks “Pseudo-t-normid” ja viivad seega mittekommutatiivsete konjunktiivühendustega loogikani. Selle arengu kohta on uuringud andnud Gottwald / Hájek (2005), Gottwald (2008),ja Cintula / Hájek (2010).

2011. aasta tehnika taseme peaaegu täielik esitlus on monograafia Cintula / Hájek / Noguera (2011). Ja P. Hájeki erilist panust nendesse arengutesse austatakse raamatus Montagna (2015).

3.4 Kolme väärtusega süsteemid

3-väärtuselised süsteemid näivad olevat eriti lihtsad juhtumid, mis pakuvad tõeastmete intuitiivset tõlgendamist; need süsteemid sisaldavad lisaks klassikalistele tõeväärtustele ainult ühte täiendavat kraadi.

Matemaatik ja loogik Kleene kasutas osalist rekursiivset funktsiooni silmas pidades „määratlemata” kolmanda tõe kraadi. Tema ühendusteks olid 3-väärtuselise Łukasiewiczi süsteemi eitus, nõrk konjunktsioon ja nõrk disjunktsioon koos määratletava konjunktsiooni (kiil _ {+}) ja määratletava implikatsiooniga (parempoolne _ {+}), mille määras tõeastme funktsioonid järgmiste funktsioonitabelitega (nende viimaste tõeaste on ½, kui ühel nende komponendist on tõesusaste ½):

(kiil _ {+})	0	½	1
0	0	½	0
½	½	½	½
1	0	½	1

(paremnool _ {+})	0	½	1
0	1	½	1
½	½	½	½
1	0	½	1

Siin on ½ kolmas tõe aste “määratlemata”. Selles Kleene-süsteemis on 1. aste ainus määratud tõe aste.

Blau (1978) kasutas looduskeele loomupärase loogikana teistsugust süsteemi. Blau süsteemis on tähistatud nii 1 kui ka 1 kraadi. Kolmanda tõeastme ½ muud tõlgendused, näiteks „mõttetu”, „määratlemata” või „paradoksaalne”, ajendasid uurima teisi 3-väärtuselisi süsteeme.

3.5 Dunn / Belnapi 4-väärtuseline süsteem

See eriti huvitav MVL-i süsteem oli relevantsusloogika uurimise tulemus, kuid sellel on tähendus ka arvutiteaduse rakendustes. Selle tõepärade komplekti võib võtta kui

[W ^ * = { midagi, { bot }, { top }, { bot, \ top } },)

ja tõepärasusi tõlgendatakse nii, et need osutavad (nt seoses andmebaasi päringuga konkreetse olukorra kohta)

• puudub teave selle olukorra kohta,
• teave selle kohta, et asjade seis on ebaõnnestunud,
• teave olukorra seisukorra kohta,
• vastuoluline teave, mis ütleb, et asjade seisukord nii õnnestub kui ka ebaõnnestub.

Sellel tõeastmete komplektil on kaks looduslikku (võre) järjekorda:

• tõe tellimine, millel on võrreldamatu kraadi (varjamatu), ({ bot, \ top }) peal ({ top }) ja millel on ({ bot }) põhjas; st

  

• teabe (või: teadmiste) tellimine, millel on võrreldamatu kraadi ({ bot }, { top }) kohal ({ bot, \ top }) ja millel on (lakkimine) allosas; st

  

Arvestades tõe tellimise all olevaid inf ja sup, on konjunktsioonis ja disjunktsioonis ühenduses tõe kraadi funktsioonid. Negatsiooni määrab loomulikul viisil tõetaseme funktsioon, mis vahetab kraade ({ bot }) ja ({ top }) ning jätab kraadid ({ bot, \ top }) ja (varnothing) on parandatud.

Tegelikult pole implikatiivse ühenduse jaoks standardset kandidaati ja määratud tõeastmete valik sõltub kavandatud rakendustest:

• arvutiteaduse rakenduste puhul on loomulik, et ({ top }) on ainus määratud kraad,
• asjakohaste loogika rakenduste jaoks osutus sobivaks ({ top }), ({ bot, \ top }) kui määratud kraadid.

Sobivate kaasamissuhete valik on endiselt avatud uurimisteema.

Sellel 4-väärtuselisel süsteemil on huvitav tõlgendus arvutis salvestatud teabebaaside kontekstis, mida selgitas Belnap (1977). Shramko / Wansingi (2005) hilisem üldistus arvutivõrkude teadmusbaasidele viib 16-väärtuseliste süsteemideni, mida on uurinud ka näiteks Odintsov (2009).

Need 16 väärtusega süsteemid pakuvad huvi ka filosoofilisest vaatenurgast ja on ulatuslikult esitatud monograafias Shramko / Wansing (2011).

3.6 Tootesüsteemid

Tõeastmetest intuitiivse mõistmise leidmise üldine probleem on aeg-ajalt kena lahendus: võib käsitleda neid lausete hindamise eri tahke hõlmavana. Selliste, näiteks (k) erinevate aspektide korral võib tõetasemeks valida (k) - väärtuste kogumid, mis hindavad üksikuid aspekte. (Ja need võivad näiteks olla standardsed tõeväärtused.)

Selliste (k) tõeastme funktsioonide funktsioonid - lisaks saab klahve üksikute komponentide väärtuste jaoks tõeastme (või: tõe väärtuse) funktsioonidest määratleda ka komponentide kaupa. Sel moel saab (k) loogilised süsteemid ühendada üheks mitme väärtusega tootesüsteemiks.

Sel viisil saab Dunn / Belnapi 4-väärtuselise süsteemi tõepärastena lugeda andmebaasiga seotud asjade seisukorra kahte aspekti:

1. kas selle SOA tõe kohta on positiivset teavet või mitte, ja
2. kas selle SOA vale kohta on positiivset teavet või mitte.

Mõlemad aspektid võivad selle hindamise jaoks kasutada standardseid tõeväärtusi.

Sel juhul on Dunn / Belnapi 4-väärtuselise süsteemi konjunktsioon, disjunktsioon ja eitus komponentides defineeritavad vastavalt klassikalise loogika konjunktsiooni, disjunktsiooni või eituse abil, st see 4-väärtuseline süsteem on toode klassikalisest kahes eksemplaris. kahe väärtusega loogika.

4. Mitme väärtusega loogika rakendused

Palju väärtustatud loogikat motiveerisid osaliselt filosoofilised eesmärgid, mida kunagi ei saavutatud, ja osaliselt ametlikud kaalutlused funktsionaalse täielikkuse osas. Varasematel arenguaastatel tekitas see mõningaid kahtlusi MVL-i kasulikkuses. Vahepeal leiti aga huvitavaid rakendusi erinevates valdkondades. Mõnda neist tuleb nüüd mainida.

• 4.1 Lingvistika rakendused
• 4.2 Rakendused loogikale
• 4.3 Rakendused filosoofiliste probleemide lahendamiseks
• 4.4 Riistvara kujundamise rakendused
• 4.5 Tehisintellekti rakendused
• 4.6 Matemaatika rakendused

4.1 Lingvistika rakendused

Väljakutsuvaks probleemiks on keeleteaduses eelduste, st eelduste, mis on kaudsed ainult antud lauses, käsitlemine. Nii näiteks on lauses “Kanada praegune kuningas sündinud Viinis” eksistentsiaalne eeldus, et Kanada praegune kuningas on olemas.

Selliste lausete väidetava käsitluse mõistmine pole lihtne ülesanne, nt kriteeriumide andmine nende eituse kujundamiseks või implikatsioonide tõeste tingimuste mõistmine.

Üks nende probleemide lahenduste liik viitab paljude tõeastmete kasutamisele, nt tõesuskraadidena järjestatud paaridega tootesüsteemidele: see tähendab, et nende komponendid hindavad paralleelselt seda, kas eeldus on täidetud ja kas lause on tõene või vale. Kuid arutatud on ka kolme väärtusega lähenemisviise.

Muud tüüpi ideed MVL-i tööriistade kasutamiseks keeleteaduses hõlmavad lähenemisviise looduskeele nähtuste modelleerimisele. Põhiideid ja mõnda rakendust pakutakse näiteks Novák / Perfilieva / Močkoř (1999) ja Novák (2008).

4.2 Rakendused loogikale

MVL-i süsteemide esmakordne rakendamine loogikale on nende kasutamine teiste loogikasüsteemide paremaks mõistmiseks. Sel viisil tekkisid Gödeli süsteemid lähenemisviisist testida, kas intuitionistlikku loogikat võib mõista lõplikult hinnatud loogikana. Łukasiewiczi (1920) poolt MVL-i süsteemide juurutamisel lähtus algselt (lõpuks ebaõnnestunud) ideest mõista võimalikkuse mõistet ehk modaalset loogikat 3-väärtuselisel viisil.

Teiseks loogika rakendusliigiks on eri tüüpi loogiliste süsteemide liitmine, nt astmeliste süsteemidega süsteemide formuleerimine. Melvin Fitting (1991/92) kaalub süsteeme, mis määratlevad sellised modaalsused modaalse ja paljuväärtusliku loogika liitmise teel, ning kavandatud rakendustega tehisintellekti probleemidele.

Kolmas loogika rakendusliik on osaliste predikaatide ja tõeväärtuse lünkade modelleerimine. See on aga võimalik ainult siis, kui need tõe väärtuslüngad käituvad “tões funktsionaalselt”, st niivõrd, kuivõrd liitlausetes sisalduvate tõe väärtuslünkade käitumist saab kirjeldada sobivate tõefunktsioonidega. (See ei ole alati nii, näiteks ei kehti see ravimvormide korral, mis kasutavad üliväärtusi.)

4.3 Rakendused filosoofiliste probleemide lahendamiseks

Kuidas mõista “tõe” tähendust, on vana filosoofiline probleem. Loogiline lähenemine sellele probleemile seisneb vormindatud keele (L) rikastamises tõe predikaadiga (T), mida tuleb kohaldada (L) lausete korral või, mis veelgi parem, lausete lausetes. (L) laiend (L_ {T}) predikaadiga (T).

Selle idee põhjal töötas 1930. aastate keskel välja A. Tarski mõistliku teooria selliste keelte kohta, mis sisaldavad tõeseid predikaate. Üks tulemustest oli, et selline keel (L_ {T}), mis sisaldab oma tõepredikaati (T) ja millel on teatav rikkalik väljendusjõud, on tingimata vastuoluline.

Teist lähenemist selliste keelte (L_ {T}) jaoks, millel on oma tõepõhjendus (T), pakkus välja S. Kripke (1975) ja see põhineb sisuliselt ideel pidada (T) osaliseks predikaat, st predikaadina, millel on „tõe väärtuslüngad”. Juhul, kui Kripke (1975) leiab, käituvad need tõe väärtuslüngad „tões funktsionaalselt” ja seetõttu võib neid käsitleda nagu kolmanda tõe kraadi. Seejärel saab nende levik liitlauses kirjeldada kolme väärtusega süsteemide sobivate tõeastme funktsioonide abil. Kripke (1975) lähenemisviisis oli see viide kolme väärtusega süsteemidele, mida SC Kleene (1938) oli vaadanud osaliste funktsioonide (matemaatilises) kontekstis ja prekurseerinud rekursiooniteoorias.

MVL-i teine rakendamine filosoofias on vanad paradoksid, nagu soriidid (hunnik) või falakrosid (kiilas mees). (Vt kirjet Sorites paradox.) Sorites on paradoks järgmine:

i) Üks liivatera pole hunnik liiva. Ja (ii) ühe liivatera lisamine millelegi, mis pole hunnik, ei muuda seda hunnikuks. Seega (iii) ei saa üksik liivatera kunagi muutuda liivahunnikuks, hoolimata sellest, kui palju liivaterasid sellele on lisatud.

Seega annab tõeline eeldus (i) vale järelduse (iii), kasutades järeldusi, kasutades (ii). Üsna loomulik lahendus MVL-i laiendis, mille järelduse mõiste on järkjärguline ja mida sageli nimetatakse häguseks loogikaks, on võtta hunniku mõiste ebamääraseks, st mõisteks, mis võib antud objektidest paika pidada ainult mõnedele (tõde). kraadi. Lisaks sellele on otstarbekas pidada eeldust (ii) tõeseks vaid osaliselt, kuid määral, mis on maksimaalsele kraadile 1 üsna lähedal. Siis on iga üksik järelduse samm järgmine:

• a) (k) liivaterad ei moodusta kuhjaga.
• (ii) Ühe liivatera lisamine (k) teradele ei tee ((k + 1)) teradest hunnikut.
• Seega
• (b) ((k + 1)) liivaterad ei moodusta hunnikut.

See järeldus peab aga sisaldama ruumide (a) ja (ii) tõepärasid ning andma järelduse (b) jaoks tõesuse kraadi. Seda tüüpi arutluskäigu modelleerimise oluline mõte MVL-is on veenduda, et punkti b tõesuse aste on väiksem kui a tõesuse aste juhul, kui tõe aste punkti ii jaoks on väiksem kui maksimaalne. Tegelikult kaldub lause (n) liivaterad hunnikut muutuma valeks kasvava arvu terade (n) korral.

4.4 Riistvara kujundamise rakendused

Klassikalist pakkumisloogikat kasutatakse tehniliseks vahendiks teatud tüüpi kahe ahelaga olekuga (st pingetasemega) lülititest üles ehitatud elektriskeemide analüüsimisel ja sünteesimisel. Üsna sirgjooneline üldistus võimaldab kasutada (m) väärtusega loogikat, et arutada sarnastest “lülititest” ehitatud vooluahelaid stabiilsete olekutega (m). Kogu seda mitme väärtusega loogika rakendusala nimetatakse mitme väärtusega (või isegi: häguseks) ümberlülitumiseks. Hea sissejuhatus on Epstein (1993).

4.5 Tehisintellekti rakendused

AI on tegelikult kõige paljulubavam rakendusvaldkond, mis pakub mitmeid erinevaid valdkondi, milles on kasutatud MVL-i süsteeme.

Esimene rakendusala on seotud ebamääraste mõistete ja tavamõistetega, nt ekspertsüsteemides. Mõlemad teemad on modelleeritud häguste komplektide ja häguse loogika abil ning need viitavad MVL-i sobivatele süsteemidele. Ka andmebaasides ja teadmistepõhistes süsteemides meeldib talletada ebamäärast teavet.

Teine rakendusala on kindlalt seotud esimese omaga: andmete automatiseerimine ja teadmiste kaevandamine. Siinkohal võetakse arvesse klastrimismeetodeid; need viitavad ebatervislike klastrite kaudu hägustele komplektidele ja MVL-le. Sellega seoses on huvitatud ka MVL-i süsteemide automatiseeritud teoreemide tõestamise tehnikad, samuti MVL-i süsteemide loogilise programmeerimise meetodid. Selle suundumuse üks osa on üldistatud kirjeldusloogika, nn häguse kirjeldusloogika hiljutine väljaarendamine, mis võimaldab lisada tehnilisi vahendeid (tõeastmed, ühendid, astmelised predikaadid) MVL-i valdkonda - täieliku vaatepunktist esimese järgu loogika: algeline - loogikasüsteemid, niinimetatud kirjeldusloogika, vt Straccia (2001), Hájek (2005), Stoilos jt. (2008).

4.6 Matemaatika rakendused

Matemaatikas on kolm peamist teemat, mis on seotud paljude väärtustatud loogikaga. Esimene neist on häguste komplektide matemaatiline teooria ja “häguste” matemaatiline analüüs ehk ligikaudne arutluskäik. Mõlemal juhul viitab üks MVL-i süsteemidele. Teine teema on lähenemisviisid kogumiteooria järjepidevuse tõestamisele, kasutades selleks sobivat MVL süsteemi. Ja sõltumatuse tõendusmaterjalides (nt aksioomide süsteemides) on MVL-i ideedele sageli viidatud - sageli ainult kaudne -, mis viitavad sageli loogilistele maatriksitele, millel on rohkem kui kaks tõesuskraadi. Kuid siin on MVL rohkem puhtalt tehniline tööriist, sest nendes sõltumatuse tõendites ei huvitu üldse tõeastme intuitiivsest mõistmisest.

5. Mitme väärtusega loogika ajalugu

Paljud väärtustatud loogika kui eraldi subjekt loodi poola logistiku ja filosoofi Łukasiewiczi (1920) poolt ning töötati kõigepealt välja Poolas. Tema esimene kavatsus oli kasutada kolmandat, täiendavat tõeväärtust “võimaliku” jaoks ja modelleerida sel moel mooduseid “see on vajalik” ja “on võimalik, et”. Seda modaalloogika kavandatud rakendust ei realiseeritud. Nende uurimiste tulemuseks on siiski Łukasiewiczi süsteemid ja nende süsteemide teoreetiliste tulemuste seeria.

Põhimõtteliselt paralleelselt Łukasiewiczi lähenemisviisiga tutvustas ameerika matemaatik Post (1921) täiendavate tõeastmete põhiideed ja rakendas seda funktsioonide esindavuse probleemidele.

Hiljem püüdis Gödel (1932) intuitsioonistlikku loogikat mõista paljude tõeastmete järgi. Tulemuseks oli Gödeli süsteemide perekond ja tulemus, nimelt see, et intuitsioonilisel loogikal pole iseloomulikku loogilist maatriksit, millel oleks ainult lõplikult palju tõdekraade. Mõni aasta hiljem konstrueeris Jaskowski (1936) intuitiivistliku loogika jaoks lõpmatu väärtusega maatriksi. Näib, et selle maatriksi tõeastmetel pole siiski kena ja lihtne intuitiivne tõlgendus.

3-väärtuselise loogika filosoofiliseks rakendamiseks paradokside üle arutles välja vene loogik Bochvar (1938) ning matemaatilise - osalise funktsiooni ja suhete osas ameeriklasest loogik Kleene (1938). Palju hiljem muutusid Kleene ühendused ka filosoofiliselt huvitavaks kui tehniline vahend Kripke (1975) algatatud tõe revideerimise teooria fikseeritud punktide määramiseks.

1950-ndad nägid (i) McNaughtoni (1951) poolt lõpmatus väärtuses pakutavas Łukasiewiczi süsteemis määratletavate tõeastme funktsioonide klassi analüütilist kirjeldust; ii) Changi (1958, 1959) sama süsteemi täielikkuse tõestust, tutvustades mõistet. MV-algebrast ja Rose / Rosseri (1958) traditsioonilisemast, samuti (iii) Dummett'i (1959) täielik tõestus lõpmatuseni hinnatud Gödeli süsteemi kohta. 1950ndatel nähti ka Skolemi (1957) lähenemist tõestatud teooria järjepidevuse tõestamisele lõpmatu väärtusega loogika valdkonnas.

Scarpellini (1962) tegi 1960. aastatel selgeks, et esimese astme lõpmatu väärtusega Łukasiewiczi süsteem ei ole (rekursiivselt) aksiomeeritav. Hay (1963) ja Belluce / Chang (1963) tõestasid, et ühe infinitaarse järelduse reegli lisamine põhjustab (rL _ { infty}) aksiomatiziseerumist. Ja Horn (1969) esitas täieliku tõestuse esimese järgu lõpmatu väärtustatud Gödeli loogika kohta. Lisaks nendele puhta väärtusega loogika sees toimuvatele arengutele asus Zadeh (1965) (rakendusele orienteeritud) lähenemisele ebamääraste arusaamade vormistamiseks üldistatud komplektiliste teoreetiliste vahendite abil, mida Goguen (1968/69) seostas peagi filosoofiliste rakendustega ja mida hiljem inspireeris see ka palju teoreetilisi kaalutlusi MVL-is.

1970. aastad tähistavad piiratud tegevusperioodi puhtalt paljude väärtustega loogikas. Häguste komplektidena vormistatud ebamääraste mõistete (arvutiteaduse) rakenduste (arvutiteaduse) rakendustega (nt arvutiteadus), mida on algatanud nt Zadeh (1975, 1979), oli palju tööd. Ja Pavelkas (1979) oli MVL-i oluline laiendus järelduste ja tagajärgede astmelise mõiste abil.

1980-ndatel aastatel olid udused komplektid ja nende rakendused kuum teema, mis nõudis teoreetilisi aluseid mitmekülgse loogika meetodite abil. Lisaks esinesid Ragazi (1983) esimesed keerukustulemused, nt loogiliselt kehtivate valemite komplekti kohta esimese järgu lõpmatu väärtusega Łukasiewiczi loogikas. Mundici (1986) alustas sügavamat MV-algebrate uurimist.

Need suundumused on jätkunud alates 1980ndatest. Uurimistöö on hõlmanud MVL-i rakendusi hägusate komplektide teooria jaoks ja nende rakendusi, MVL-i süsteemidega seotud algebraliste struktuuride üksikasjalikke uurimusi, kaasamise mõistete järkjärguliste mõistete uurimist ja MVL-i süsteemide erinevate probleemide keerukusküsimuste uurimist. Seda uuringut täiendasid huvitavad tööd tõestusteooria, automatiseeritud teoreemi tõestamise, erinevate rakenduste kohta tehisintellekti küsimustes ja lõpmatuseni hinnatud süsteemide, mis põhinevad t-normidel - mida nüüd sageli nimetatakse (matemaatiliseks) hägusaks loogikaks - üksikasjaliku uurimisega.

Bibliograafia

Monograafiad ja ülevaated

• Ackermann, R., 1967, Sissejuhatus paljude väärtustega loogikasse, London: Routledge ja Kegan Paul.
• Bolc, L. ja Borowik, P., 1992, Paljuväärtuslik loogika (1. teoreetilised alused), Berliin: Springer.
• –––, 2003, paljuväärtuslik loogika (2. Automatiseeritud mõttetöö ja praktilised rakendused), Berliin: Springer.
• Cignoli, R., d'Ottaviano, I. ja Mundici, D., 2000, Algebralised alused paljude väärtustega arutluskäigust, Dordrecht: Kluwer.
• Cintula, P. ja Hájek, P., 2010, kolmnurkne norm põhineb predikaadilisel hägusaloogikal, Fuzzy Sets and Systems, 161 (3): 311–346.
• Cintula, P., Hájek, P. ja Noguera Ch. (toim), 2011, Mathematical Fuzzy Logic käsiraamat (Studies in Logic, Volume 37–38), College Publications: London.
• Epstein G., 1993, mitme väärtusega loogikakujundus, Bristol: Füüsika Kirjastuse Instituut.
• Fitting, M. ja Orlowska, E. (toim.), 2003, Beyond Two, Heidelberg: Physica Verlag.
• Gottwald, S., 1999, U. Höhle, SE Rodabaugh (toim.) Hinnatud loogika ja häguse komplekti teooria, Boston: U. Höhle, Rodabaugh (toim). Kluwer, 5–89.
• –––, 2001, traktaat mitmeväärtuslikust loogikast (loogika ja arvutuse uuringud, kd 9), Baldock: Research Studies Press Ltd.
• ––– 2007, palju väärtustatud loogika, D. Jacquette'i (toim.) Loogikafilosoofias (teaduse filosoofia seeria käsiraamat), Amsterdam: Põhja-Holland, 675–722.
• –––, 2008, Matemaatiline hägus loogika, Bulletin Symbolic Logic, 14: 210–239.
• Gottwald, S. ja Hájek, P., 2005, T-normil põhinev matemaatiline hägune loogika, artiklis E.-P. Klement, R. Mesiar (toim), kolmnurksete normide loogilised, algebralised, analüütilised ja tõenäolised aspektid, Dordrecht: Elsevier, 275–299.
• Hähnle, R., 1993, Automatiseeritud mahaarvamine mitme väärtusega loogikas, Oxford: Clarendon Press.
• –––, 1999, Tableaux paljude väärtustega loogika jaoks, M. d'Agostino jt. (toim) Tableau Methods käsiraamat, Dordrecht: Kluwer, 529–580.
• –––, 2001, Mitmekesine väärtusloogika, D. Gabbay, F. Guenthner (toim.), Philosophical Logic Handbook (2. köide), 2. trükk, Dordrecht: Kluwer, 297–395.
• Hájek, P., 1998, Häguse loogika metamaatika, Dordrecht: Kluwer.
• Karpenko, AS, 1997, Mnogoznacnye Logiki (Logika i Kompjuter, vol. 4), Moskva: Nauka.
• Malinowski, G., 1993, Paljuväärtuslik loogika, Oxford: Clarendon Press.
• Metcalfe, G., Olivetti, N. ja Gabbay, D., 2009, Proof Theory for Fuzzy Logics, New York: Springer.
• Montagna, F. (toim.), 2015, Petr Hájek teemal Mathematical Fuzzy Logic (Silmapaistvad kaastööd loogikale, vol. 6), Cham jne: Springer.
• Novák, V., Perfilieva, I. ja Močkoř, J., 1999, Fuzzy Logic matemaatilised põhimõtted, Boston: Kluwer.
• Panti, G., 1998, Multi-value logics, in P. Smets (ed.) Ebaselguse ja ebatäpsuse kvantitatiivne esindatus (Defeasible Reasoning and ebakindluse juhtimissüsteemide käsiraamat, 1. osa), Dordrecht: Kluwer, 25–74.
• Rescher, N., 1969, paljude väärtustega loogika, New York: McGraw Hill.
• Rine, DC (toim.), 1977, arvutiteadus ja mitme väärtusega loogika, Amsterdam: Põhja-Holland [2. rev. toim. 1984].
• Rosser, JB ja Turquette, AR, 1952, Paljuväärtuslik loogika, Amsterdam: Põhja-Holland.
• Shramko, Y. ja Wansing H., 2011, Tõde ja vale. Uurimus üldistatud loogiliste väärtuste kohta (suundumused loogikas: köide 36), Dordrecht jne: Springer.
• Urquhart, A., 2001, Mitmekesine põhiloogika, D. Gabbay, F. Guenthner (toim), Philosophical Logic Handbook of Vol. 2 (2. väljaanne), Dordrecht: Kluwer, 249–295.
• Wojcicki, R. ja Malinowski, G. (toim.), 1977, Selected Papers on Łukasiewicz Sentential Calculi, Wroclaw: Ossolineum.
• Wolf, RG, 1977, paljude väärtustega loogika ülevaade (1966–1974), JM Dunn, G. Epstein (toim), Multi-Valued Logic Moderns Kasutusviisid, Dordrecht: Reidel, 167–323.
• Zinovev, AA, 1963, Mitmelt hinnatud loogika filosoofilised probleemid, Dordrecht: Reidel.

Muud viidatud teosed

• Belluce, LP ja Chang, CC, 1963, Lõpmatu väärtusega esimese järgu loogika nõrga täielikkuse teoreem, Journal Symbolic Logic, 28: 43–50.
• Belnap, ND, 1977, Kuidas arvuti peaks mõtlema, ajakirjas G. Ryle (toim), Filosoofia kaasaegsed aspektid, Stockfield: Oriel Press, 30–56.
• –––, 1977, Kasulik neljaväärtuslik loogika, JM Dunn, G. Epstein (toim.), Mitme väärtusega loogika tänapäevased kasutusviisid, Dordrecht: Reidel, 8–37.
• Blau, U., 1978, Die dreiwertige Logik der Sprache: inimese süntaks, Semantik ja Anwendung in der Sprachanalyse, Berliin: de Gruyter.
• Bochvar, DA, 1938, Ob odnom trechznacnom iscislenii i ego primenenii k analizu paradoksov klassiceskogo rassirennogo funkcional'nogo iscislenija, Matematiceskij Sbornik, 4 (46): 287–308. [Ingliskeelne tõlge: Bochvar, DA, Kolmeväärtuselises loogilises arvestuses ja selle kasutamisel klassikalise laiendatud funktsionaalse kalkuleerimise paradokside analüüsimisel, History and Philosophy of Logic, 2: 87–112.]
• Chang, CC, 1958, Paljude hinnatud loogikate algebraline analüüs, Transactions American Mathematical Society, 88: 476–490.
• –––, 1959, Uus tõend Łukasiewiczi aksioomide täielikkuse kohta, Transactions American Mathematical Society, 93: 74–80.
• Cignoli, R., Esteva, F., Godo, L. ja Torrens, A., 2000, Basic Fuzzy Logic on pidevate t-normide ja nende jääkide loogika, Soft Computing, 4: 106–112.
• Dummett, M., 1959, Prognoositav kalkulatsioon detekteeritava maatriksiga, Journal Symbolic Logic, 24: 97–106.
• Dunn, JM, 1976, Intuitiivne semantika esimese astme tagajärgedele ja 'seotud puudele', Philosophical Studies, 29: 149–168.
• Esteva, F. ja Godo, L., 2001, Monoidaalne t-normil põhinev loogika: vasaku pideva t-normi loogika poole, Fuzzy Sets and Systems, 124: 271–288.
• Esteva, F., Godo, L. ja Montagna, F., 2004, t-normi algebrate tekitatud BL alamvormide võrdsustamine: Studia Logica, 76: 161–200.
• Fermüller, CG, 2008, Dialoogimängud paljuväärtusliku loogika jaoks - ülevaade, Studia Logica, 90: 43–68.
• Fermüller, CG ja Metcalfe, G., 2009, Gilesi mäng ja Łukasiewiczi loogika tõestusteooria, Studia Logica, 92: 27–61.
• Fermüller, CG ja Roschger, C., 2014, Mängudest tõefunktsioonidele: Gilesi mängu üldistus, Studia Logica, 102: 389–410.
• Fitting, MC, 1991/92, Palju väärtustatud modaalloogika (I, II), Fundamenta Informaticae, 15: 235–254; 17: 55–73.
• Giles, R., 1974, Füüsika mitteklassikaline loogika, Studia Logica, 33: 397–415.
• –––, 1975. Łukasiewiczi loogika ja fuzzy set teooria. Osades: Proceedings 1975 Internat. Sümpoosioni mitme väärtusega loogika (Indiana ülikool, Bloomington / IN)}, Long Beach / CA: IEEE Computer Soc., 197–211.
• –––, 1976, Łukasiewiczi loogika ja fuzzy set teooria. Internat. Rändama. Inimese ja masina uuringud, 8: 313–327.
• –––, 1979, ametlik süsteem hägusate mõttekäikude jaoks. Hägusad komplektid ja süsteemid, 2: 233–257.
• Giles, R., 1988, Liikmelisuse mõiste. Hägusad komplektid ja süsteemid, 25: 297–323.
• Gödel, K., 1932, Zum intuitionistischen Aussagenkalkül, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien (Math.-naturwiss. Klasse), 69: 65–66; - kordustrükk: (1933), Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums, 4: 40.
• Goguen, JA, 1968–69, ebatäpsete mõistete loogika, Synthese, 19: 325–373.
• Hájek, P., 2005, Häguse kirjeldusloogika üldisemaks muutmine, Fuzzy Sets and Systems, 154: 1–15.
• Hájek, P. ja Zach, R., 1994, Ülevaade paljude väärtustatud loogikast 1: teoreetilised alused, autorid Leonard Bolc ja Piotr Borowik, ajakiri Applied Non-Classical Logics, 4 (2): 215–220.
• Hein, LS, 1963, Lõpmatu väärtusega predikaatkalkulatsiooni aksiomatization, Journal Symbolic Logic, 28: 77–86.
• Jaskowski, S., 1936, Recherches sur le système de la logique intuitioniste, Actes du Congrès Internationale de Philosophie Scientifique 1936, vol. 6, Pariis, 58–61. [Ingliskeelne tõlge: Studia Logica, 34 (1975): 117–120.]
• Jenei, S., 2004, Kuidas konstrueerida vasakpidevaid kolmnurkseid norme - tehnika tase, hägusad komplektid ja süsteemid, 143: 27–45.
• Jenei, S. ja Montagna, F., 2002, Esteva ja Godo loogika MTL standardse täielikkuse tõend, Studia Logica, 70: 183–192.
• Kleene, SC, 1938, Järjekorranumbrite märkimise kohta, Journal Symbolic Logic, 3: 150–155.
• Kripke, SA, 1975, Tõeteooria ülevaade, Journal of Philosophy, 72: 690–716.
• Łukasiewicz, J., 1920, O logice trojwartosciowej, Ruch Filozoficny, 5: 170–171. [Ingliskeelne tõlge: Łukasiewicz (1970).]
• –––, 1970, Valitud teosed, L. Borkowski (toim), Amsterdam: Põhja-Holland ja Varssavi: mälestis.
• McNaughton, R., 1951, Lõpmatu väärtusega sentensionaalse loogika teoreem, Journal Symbolic Logic, 16: 1–13.
• Mundici, D., 1986, AF C * -algebrate tõlgendamine Łukasiewiczi sentensiivses arvutustes, J. Funktsionaalne analüüs, 65: 15–63.
• ––– 1992, Ulami valede mängimise loogika: C. Bicchieri ja ML dalla Chiara (toim.) Teadmised, veendumused ja strateegiline läbikäimine, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 275–284.
• Novák, V., 2008, Vahekvantifikaatorite formaalne teooria, hägusad komplektid ja süsteemid, 159: 1229–1246.
• Odintsov, SP, 2009, Shramko-Wansingi loogika aksiomatizimise kohta, Studia Logica, 91: 407–428.
• Post, EL, 1920, Tõetabelite kõigi suletud süsteemide määramine, Bulletin American Mathematical Society, 26: 437.
• –––, 1921, sissejuhatus elementaarsete väidete üldteooriasse, American Journal Mathematics, 43: 163–185.
• Ragaz, M., 1983, Die Unentscheidbarkeit der einstelligen unendlichwertigen Prädikatenlogik, Archiv matemaatika Logik Grundlagenforschung, 23: 129–139.
• Rose, A. ja Rosser, JB, 1958, Fragments of daudzväärtuslikud avalduskulud, Transactions American Mathematical Society, 87: 1–53.
• Scarpellini, B., 1962, Die Nichtaxiomatisierbarkeit des unendlichwertigen Prädikatenkalküls von Łukasiewicz, Journal Symbolic Logic, 27: 159–170.
• Shramko, Y. ja Wansing H., 2005, Mõned kasulikud 16-väärtuselised loogikad. Kuidas peaks arvutivõrk mõtlema, Journal Philosophical Logic, 34: 121–153.
• Skolem, Th., 1957, Bemerkungen zum Komprehensionsaxiom, Zeitschrifthematische Logik Grundlagen Mathematik, 3: 1–17.
• Stoilos, G. Stamou, G., Pan, JZ, Tzouvaras, V. ja Horrocks, I., 2007, Põhjendades väga ekspressiivset udust kirjeldusloogikat, J. Artificial Intelligence Res, 30: 273–320.
• Straccia, U. (2001), Põhjendus häguses kirjeldusloogikas, J. Artificial Intelligence Res, 14: 137–166.
• White, RB, 1979, Mõistmise aksioomi järjepidevus Łukasiewiczi lõpmatu väärtusega predikaatloogikas, J. Philosophical Logic, 8: 509–534.
• Wronski, A., 1987, märkused A. Urquharti, Studia Logica, 46: 275–278, paljude väärtustatud loogika uuringuartikli kohta.
• Zadeh, LA, 1965, Hägusad komplektid, teave ja kontroll, 8: 338–353.
• –––, 1975, Hägune loogika ja ligikaudsed mõttekäigud, Synthese, 30: 407–428.
• ––– 1978, Fuzzy seab võimaluste teooria aluseks Fuzzy Sets and Systems, 1: 3–28.
• –––, 1979, Ligikaudsete mõttekäikude teooria, JE Hayes, D. Michie, LI Mikulich (toim), Machine Intelligence 9. New York: Halstead Press, 149–194.

Akadeemilised tööriistad

	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

• IEEE CS mitme väärtusega loogika tehniline komitee, Yutaka Hata, bülletäänitoimetaja.
• Ajakiri mitme väärtusega loogikast ja pehmest arvutist, toimetajad Dan A. Simovici ja Ivan Stojmenovic.