Hägune Loogika

Sisenemise navigeerimine

• Sissesõidu sisu
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Sõprade PDF-i eelvaade
• Teave autori ja tsitaadi kohta
• Tagasi üles

Hägune loogika

Esmakordselt avaldatud teisipäeval 15. novembril 2016; sisuline redaktsioon teisipäev, 18. juuli 2017

Hägune loogika on mõeldud loogiliste mõttekäikude modelleerimiseks selliste ebamääraste või ebatäpsete väidetega nagu “Petr on noor (rikas, pikk, näljane jne)”. See viitab paljuväärtusliku loogikaperekonnale (vt sissekannet mitmeväärtuselise loogika kohta) ja seeläbi sätestatakse, et loogiliselt liitlause, näiteks „Carles on pikk, tõeväärtus (mis antud juhul vastab teatud tõele) ja Chris on rikas”, määrab selle komponentide tõeline väärtus. Teisisõnu, nagu klassikalises loogikas, kehtestab inimene tõe funktsionaalsuse.

Hägune loogika tekkis häguste komplektide teooria kontekstis, mille tutvustas Zadeh (1965). Hägune komplekt määrab universumi elementidele kuulumisastme, tavaliselt reaalarvu vahemikust ([0,1]). Hägune loogika tekib väidetele tõdede määramisel. Tõeväärtuste (kraadide) standardkomplekt on ([0,1]), kus (0) tähistab “täiesti vale”, (1) tähistab “täiesti õiget” ja teised numbrid osutavad osalisele tõde, st tõe vaheastmed. ^[1]

“Hägusat loogikat” mõistetakse sageli väga laias tähenduses, mis hõlmab igasuguseid vorminõudeid ja tehnikaid, mis viitavad mingite kraadide süsteemsele käsitlemisele (vt nt Nguyen & Walker 2000). Eelkõige insenerikontekstides (hägune juhtimine, hägune klassifitseerimine, pehme arvutamine) on see suunatud tõhusatele arvutusmeetoditele, mis taluvad suboptimaalsust ja ebatäpsust (vt nt Ross 2010). See sissejuhatus keskendub kitsas mõttes hägusele loogikale, mis on loodud matemaatilise loogika distsipliinina pärast Petr Hájeki (1998) tuummonograafiat ja mida tänapäeval nimetatakse tavaliselt “matemaatiliseks häguseks loogikaks” (vt Cintula, Fermüller, Hájek ja Noguera 2011 ja 2015). See keskendub loogikale, mis põhineb osalise tõe tõest funktsionaalsel kirjeldamisel, ja uurib neid klassikalise matemaatilise loogika (süntaks,mudeli teoreetiline semantika, tõestussüsteemid, terviklikkus jne; nii juhend- kui ka predikaaditasandil).

• 1. Hägused ühendused, mis põhinevad t-normidel
• 2. MTL: põhimõtteline hägune loogika
• 3. Łukasiewiczi loogika
• 4. Gödeli – Dummeti loogika
• 5. Muud märkimisväärsed hägused loogikad
• 6. Ennusta loogikat
• 7. Algebraline semantika
• 8. Tõestusteooria
• 9. Tõe funktsionaalsust õigustav semantika
• 10. Hägune loogika ja ebamäärasus
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. Hägused ühendused, mis põhinevad t-normidel

Häguse loogika tõestusastmete standardkomplekt on tegelik ühikvahemik ([0,1]) koos loomuliku järjestamisega (leq), ulatudes täielikust valetusest (mida tähistab (0)) täieliku tõeni (mida tähistab (1)) tõepõhja keskmiste astmete kaudu. (Peavoolu) matemaatilise häguse loogika kõige põhilisem eeldus on see, et ühendusi tuleb tõlgendada tõe-funktsionaalselt tõeastmete komplekti kaudu. Eeldatakse, et sellised tõefunktsioonid käituvad klassikaliselt äärmuslike väärtuste (0) ja (1) korral. Konjunktsiooni ja disjunktsiooni väga loomulik käitumine saavutatakse, kui kehtestatakse (x \ maa y = \ min {x, y }) ja (x \ lor y = \ max {x, y }) iga (x, y [0,1] -s).

Teine, mitte-idempotentne konjunktsioon (&) lisatakse tavaliselt selleks, et arvestada intuitsiooniga, et osaliselt tõese hüpoteesi rakendamine kaks korda võib põhjustada teistsuguse tõesuse, kui ainult ühe korra kasutamine. Sellist konjunktsiooni tõlgendatakse tavaliselt binaarse toiminguna ([0,1]), mis ei ole tingimata idempotentne, kuid siiski assotsiatiivne, kommutatiivne, ei vähene mõlemas argumendis ja millel on (1) neutraalse elemendina. Neid toiminguid nimetatakse t-normideks (kolmnurkseteks normideks) ja nende matemaatilisi omadusi on põhjalikult uuritud (nt Klement, Mesiar ja Pap 2000). T-normide silmapaistvateks näideteks on juba mainitud funktsioon (min), reaalarvu standardkorrutis ja Łukasiewiczi t-norm: (x * _ {Ł} y = \ max {x + y- 1,0 }). Need kolm t-normi on tegelikult pidevad funktsioonid ja mis tahes muud pidevat t-normi võib kirjeldada nende kolme põhinormide korralise summana (vt Ling 1965; Mostert & Shields 1957).

Negatsiooni tõlgendatakse mitte-suureneva funktsiooniga, määrates (0) väärtusele (1) ja vastupidi; Tavalised valikud on Łukasiewiczi eitus (neg_ {Ł} x = 1 - x) ja Gödeli eitus: (neg_ \ mathrm {G} 0 = 1) ja (neg_ \ mathrm {G} x = 0) iga (x> 0) kohta. Tavaline on täieliku valetuse korral ka konstantse sümboli (ülejoone {0}) kasutuselevõtmine, seda tõlgendatakse kui (0). Lõpuks on sobiv valik implikatsiooniks t-normi (ast) jääk, see tähendab unikaalset funktsiooni (Rightarrow), mis vastab niinimetatud jäägitingimusele: (x \ ast y \ leq z), siis ja ainult siis, kui (x \ leq y \ Rightarrow z). Selline funktsioon on olemas (ja see on defineeritud kui (x \ parempoolne nool y = \ max {z \ keskel x \ as z \ leq y }))) ainult siis, kui t-norm on pidev.

2. MTL: põhimõtteline hägune loogika

Kõige nõrgem loogika ülalkirjeldatud tüüpi tõefunktsioonide tõlgendatud ühendustega on MTL (Monoidal T-normil põhinev loogika, Esteva & Godo 2001). See on loogika koos primitiivsete ühenduste (mathbin { &}, \ to, \ kiil,) ja (ülekülgne {0}) ning tuletatavate ühendustega, mis on määratletud järgmiselt:) algavad {joondama} varphi \ lor \ psi & = ((varphi \ to \ psi) to \ psi) land ((psi \ to \ varphi) to \ varphi), \\ \ neg \ varphi & = \ varphi \ to \ üleküllastatud {0}, \\ \ varphi \ leftrightarrow \ psi & = (varphi \ kuni \ psi) maa (psi \ kuni \ varphi) ja \\ \ ületreening {1} & = \ neg \ ülejoonistamine { 0}. \ end {joonda}) MTL määratletakse kõigi vasakpoolsete pidevate t-normide antud semantiliste tagajärgede seosena. Nimelt, arvestades konkreetset vasakpoolse pideva t-normi (ast), on hinnang (e_ \ ast) kaardistamine pakutavate muutujate hulgast ([0,1]),laiendatud kõigile valemitele, tõlgendades (&) kui (ast), implikatsiooni (kuni) kui selle jääki (parempoolne nool) ja (land) ja (ülejoonistatud {0}) vastavalt vastavalt kui (min) ja (0).

Valem (varphi) on MTL-is sisalduvate valemite komplekti ((Gamma)) tagajärg, tähistatud (Gamma \ mudelid_ \ mathrm {MTL} varphi), kui iga vasakpoolse pideva t- norm (ast) ja iga hinnang (e_ \ ast) nii, et (e (psi) = 1) iga (psi \ in Gamma) meil (e (varphi) = 1); see tähendab: iga hinnang, mis muudab eeldused täiesti tõeseks, peab tegema järelduse ka tõeseks. Valemid (varphi), mis annavad alati hinnangu (1) ((mudelid_ \ mathrm {MTL} varphi)), nimetatakse MTL tautoloogiateks. Pange tähele, et valem ((varphi \ mathbin { &} psi) kuni (varphi \ land \ psi)) on MTL-is tautoloogia, st konjunktsioon (&) on tugevam kui (maa).

MTL-i saab esitada ka Hilberti stiilis tõestussüsteemiga, millel on järgmised aksioomid:

) alustage {joondamine} (varphi \ to \ psi) & \ to ((psi) to \ chi) kuni (varphi \ to chi)) \ \ varphi \ mathbin { &} psi & \ varphi \\ \ varphi \ mathbin { &} psi & \ to psi / mathbin { &} varphi \\ \ varphi \ land \ psi & \ to \ varphi \\ \ varphi \ land \ psi & \ to \ psi \ land \ varphi \(chi \ to \ varphi) & \ to ((chi \ to \ psi) to (chi \ to \ varphi \ kiil \ psi))) (varphi \ mathbin { &} psi \ to \ chi) & \ to (varphi \ to (psi \ to \ chi)) (varphi \ to (psi \ to \ chi)) & to (varphi \ mathbin { &} psi \ to \ chi) ((varphi \ to \ psi) to \ chi) & (((psi \ to \ varphi) to \ chi) to \ chi) \ \ ümarda {0} ja \ varphi \\ \ lõpeta {joonda})

ja modus ponens on ainus järelduse reegel: (varphi) ja (varphi \ kuni \ psi), järeldada (psi). See süsteem on loogika MTL täielik aksiomatization: (Gamma \ models_ \ mathrm {MTL} varphi) iff (Gamma \ vdash_ \ mathrm {MTL} varphi), kus viimane seos tähistab tuletatavust ülaltoodud aksioomide ja valemite eksemplare kaustas (Gamma). (Mathrm {MTL}) kehtivuse probleem on teadaolevalt otsustatav, kuid selle arvutuslikku keerukust pole veel kindlaks tehtud.

3. Łukasiewiczi loogika

Łukasiewiczi loogikat saab määratleda, lisades MTL-i jaoks Hilberti-stiilis süsteemile [[((varphi \ kuni \ psi) kuni psi]) ((psi \ et \ varphi) kuni \ varphi)). See vastab Łukasiewiczi t-normil põhinevate hinnangute põhjal määratletud tagajärgede seose lõplikule versioonile (sümbolites: iga valemi lõpliku komplekti (Gamma) ja iga valemi (varphi) jaoks on meil olemas (Gamma \ mudelid_ {Ł} varphi) iff (Gamma \ vdash_ {Ł} varphi)). ^[2]

See loogika oli varajane näide paljuväärtuslikust loogikast, mille tutvustasid Łukasiewicz & Tarski (1930) palju enne fuzzy-komplektide teooria algust samaväärse aksioomaatilise süsteemi abil (ainsa järeldusreeglina modus ponens).:

) alustage {joondamine} varphi & \ et (psi \ to \ varphi) (varphi \ to \ psi) & \ kuni ((psi) to \ chi) kuni (varphi \ to \ chi)) ((varphi \ kuni \ psi) kuni \ psi) & \ kuni ((psi \ to \ varphi) to \ varphi) (neg \ psi \ kuni \ neg \ varphi) & \ to (varphi \ to \ psi) ((varphi \ to \ psi) & \ to (psi \ to \ varphi)) to (psi \ to \ varphi) \ \ end {joonda })

Łukasiewiczi loogika on ainus t-normidel põhinev hägune loogika, kus kõiki ühendusi tõlgendatakse pidevate funktsioonide abil, kaasa arvatud implikatsioon, mille kui (_ {Ł}) jäägina annab funktsioon (x \ kuni_ {Ł } y = \ min {1,1-x + y }). McNaughtoni teoreem (1951) väidab, et reaalväärtusega funktsioonid [0,1] kohal, mis tõlgendavad Łukasiewiczi loogika valemeid, on täpselt pidevad tükkhaaval lineaarsed funktsioonid täisarvu koefitsientidega. Arvestusliku keerukuse osas pole selle loogika kehtivuse probleem asümptootiliselt halvem kui klassikalises loogikas: see jääb coNP-täielikuks.

4. Gödeli – Dummeti loogika

Gödeli – Dummeti loogika, tuntud ka kui Dummeti LC või lihtsalt Gödeli loogika, on veel üks varajane näide paljuväärtuslikust loogikast, mille tõeväärtused on ([0,1]). Selle tutvustas Michael Dummett (1959) kui intuitionistliku loogika pikendust (vt intuitionistliku loogika sissekannet) aksioomi [(varphi \ to \ psi) lor (psi \ to \ varphi) kaudu.] See valem rakendab lineaarset järjestust aluseks olevas (Kripke-stiilis kui ka algebralises) semantikas. Samuti ilmneb Gödeli vaatluse kontekstis, et intuitiivset loogikat pole võimatu iseloomustada piiritletud tõestabelite abil (Gödel 1932). Gödeli – Dummeti loogikat võib alternatiivina saada MTL-i aksomaatilise pikendusena, lisades aksioomi (varphi \ et \ varphi \ mathbin { &} varphi), mis tähendab (&) idempotentsuse nõudmist.,ja seega mõlema konjunktsiooni tõlgenduse kokkulangemine. Hägusa loogika seadistamisel võib Gödeli – Dummeti loogikat vaadelda kui minimaalse t-normi antud tagajärjesuhet. Seda eristatakse ainsa t-normil põhineva loogikana, kus valemi tõesus antud hinnangus ei sõltu konkreetsele väärtusele, mis omistatakse pakkumismuutujatele, vaid ainult nende väärtuste suhtelisest järjekorrast. Selles mõttes võib Gödeli – Dummeti loogikat vaadelda võrdleva tõe loogikana. Nagu Łukasiewiczi loogika puhul, jääb ka testimise kehtivuse arvutuslik keerukus coNP-täielikuks. Seda eristatakse ainsa t-normil põhineva loogikana, kus valemi tõesus antud hinnangus ei sõltu konkreetsele väärtusele, mis omistatakse pakkumismuutujatele, vaid ainult nende väärtuste suhtelisest järjekorrast. Selles mõttes võib Gödeli – Dummeti loogikat vaadelda võrdleva tõe loogikana. Nagu Łukasiewiczi loogika puhul, jääb ka testimise kehtivuse arvutuslik keerukus coNP-täielikuks. Seda eristatakse ainsa t-normil põhineva loogikana, kus valemi tõesus antud hinnangus ei sõltu konkreetsele väärtusele, mis omistatakse pakkumismuutujatele, vaid ainult nende väärtuste suhtelisest järjekorrast. Selles mõttes võib Gödeli – Dummeti loogikat vaadelda võrdleva tõe loogikana. Nagu Łukasiewiczi loogika puhul, jääb ka testimise kehtivuse arvutuslik keerukus coNP-täielikuks.

5. Muud märkimisväärsed hägused loogikad

Lisaks MTL-le (kõigi vasakpidevate t-normide loogika) ning Łukasiewiczi ja Gödel-Dummeti loogikale (mõlemat tingib üks konkreetne t-norm), võib vaadelda loogikat, mille on esile kutsunud muud t-normide komplektid või üldiselt meelevaldne MTL aksomaatilised pikendused. Eelkõige saadakse kõigi pidevate t-normide (Hájeki põhiline hägusloogika) loogika, lisades aksioomi [(varphi \ mathbin { &} (varphi \ kuni {{ psi}})) kuni (psi \ mathbin { &} (psi \ to \ varphi))) MTL-i omadele. Tegelikult on mis tahes pidevate t-normide komplekti jaoks vastava loogika lõplik aksiomatization (Esteva, Godo, & Montagna 2003; Haniková 2014). Eelkõige viimase silmapaistva pideva t-normi (algebraline toode) loogika, tuntud kui tooteloogika, on Hájeki põhilise häguse loogika laiendus aksioomi abil:) neg \ varphi \ vee ((varphi \ to \ varphi) mathbin { &} {{ psi}}) kuni {{ psi}})) Teisest küljest ei saa kõigile MTL-i aksomaatilistele pikendustele anda t-normide semantikat. Näiteks võib klassikalise loogika aksiomatizida kui MTL (+) (varphi \ vee \ neg \ varphi), kuid välistatud keskpunkti aksioom ei ole tautoloogia ühegi t-normil põhineva tõlgenduse kohaselt.

Samuti on põhjust arvestada nõrgema häguse loogikaga. Näiteks võib väita, et eeldused, mis sunnivad konjunktsiooni tõlgendama t-normiks, on liiga tugevad. Eeldus, et (1) on konjunktsiooni neutraalne element, rakendab tautoloogia määratlust kui valemit, mida alati hinnatakse vastavalt (1), ja tagajärgede seost kui väärtuse säilimist - see tähendab, (1) on semantikas ainus määratud väärtus. ^[3]Loomulik viis loogika tutvustamiseks, millel on rohkem kui üks tõesusaste, on eeldada, et (ast) neutraalne element on arv (t <1). (Võib näidata, et antud olukorras on määratud tõeastmed täpselt need, mis on suuremad või võrdsed (t) -ga.) Selliseid konjunktsioonide tõlgendusi nimetatakse desordideks. Saadud loogikat aksiomatizeris Metcalfe & Montagna (2007).

Samamoodi võib vaielda kommutatiivsuse või isegi konjunktsiooni assotsiatiivsuse vastu. Saadud loogika aksiomatizations on kirjeldatud kirjanduses (vt Cintula, Horčík, & Noguera 2013; Jenei & Montagna 2003); erandiks on mittekommutatiivsete alamvormide loogika, mille jaoks loomulik aksomaatiline süsteem pole teada.

Lõpuks, võttes arvesse, et hägusad loogikad, erinevalt klassikalisest loogikast, pole tavaliselt funktsionaalselt täielikud, saab uute ühenduste lisamisega nende väljendusjõudu suurendada. Kõige sagedamini käsitletakse ühendusi: tõestuskonstandid (bar r) iga ratsionaalarvu jaoks (r \ in (0,1)); uniaarsed ühendused (sim) ja (kolmnurk) tõlgendatuna kui ({ sim} x = 1-x) ja (kolmnurk x = 1), kui (x = 1) ja (0) vastasel korral; binaarne ühendühend (odot), mida tõlgendatakse tavalise algebralise tootena jne (Baaz 1996; Esteva, Gispert, Godo, & Noguera 2007; Esteva, Godo, & Montagna 2001; Esteva, Godo, Hájek ja Navara 2000).

Põhjaliku ülevaate kõigist selles jaotises mainitud väidetavatest sumekatest loogikatest (ja nende üldisest teooriast) leiate Mathematical Fuzzy Logic käsiraamatust (3 köidet, Cintula jt 2011a, b, 2015).

6. Ennusta loogikat

Arvestades mis tahes pakutavat hägusat loogikat L, on ühtne viis selle esimese astme vaste L (forall) juurutamiseks predikaatkeeles (matemaatiline {P \! L}) (määratletud nagu klassikalisel juhul). Selles jaotises lihtsuse huvides esitame selle t-normil põhineva loogika jaoks.

Semantilisuse annavad struktuurid, milles predikaatlikke sümboleid tõlgendatakse kui funktsioone, mis kaardistavad domeenielementide kogumid tõeväärtusteks. Täpsemalt, struktuur ({ mathbf M}) koosneb mittetühjast domeenist elementidest (M), funktsioonist (f _ { mathbf M} koolon M ^ n \ kuni M) iga (n) - funktsiooni sümbol (f \ \ matemaatikas {P \! L}) ja funktsioon (P _ { mathbf M} koolon M ^ n \ kuni [0,1]) iga (n) kohta - sisesta predikaat sümbol (P \ \ matemaatikas {P \! L}). Objekti muutujate hinnangu ({ mathrm v}) fikseerimine dokumendis (M) määratleb terminite väärtused ((| f (t_1, \ punktid, t_n) | _ { mathrm v} = f _ { mathbf M} (| t_1 \ | _ { mathrm v}, \ dots, \ | t_n \ | _ { mathrm v}))) ja aatomvalemite tõeväärtused ((| P (t_1, \ punktid, t_n) | _ { mathrm v} = P _ { mathbf M} (| t_1 \ | _ { mathrm v}, \ punktid, \ | t_n \ | _ { mathrm v}))). Universaalselt / eksistentsiaalselt kvantifitseeritud valemi tõeväärtused arvutatakse valemi juhtumite tõesuse väärtuste alammäärana / supremumina, kus kvantifitseeritav muutuja ületab kõiki domeeni (M) elemente. Ametlikult:) alusta {joonda} | (forall x) varphi \ | _ { mathrm v} & = \ inf { | \ varphi \ | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} keskel a \ M } \ \ | (eksisteerib x) varphi \ | _ { mathrm v} & = \ sup { | \ varphi \ | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} keskel a \ M }, \\ \ lõpp {joonda}) kus ({ mathrm v} [x {:} a]) on hindamist saadav (x) kuni (a) ja muude muutujate väärtuste muutmine muutumatuna. Teiste valemite väärtused arvutatakse tõefunktsioonide abil L propositsiooniliste ühenduste jaoks.) alusta {joondus} | (forall x) varphi \ | _ { mathrm v} & = \ inf { | \ varphi \ | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } keskel a \ M } \ \ | (eksisteerib x) varphi \ | _ { mathrm v} & = \ sup { | \ varphi \ | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} keskel a \ M }, \\ \ end {joonda}), kus ({ mathrm v} [x {:} a]) on hindamise saatmine (x) (a) ja muude muutujate väärtuste muutmine muutumatuna. Teiste valemite väärtused arvutatakse tõefunktsioonide abil L propositsiooniliste ühenduste jaoks.) alusta {joondus} | (forall x) varphi \ | _ { mathrm v} & = \ inf { | \ varphi \ | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } keskel a \ M } \ \ | (eksisteerib x) varphi \ | _ { mathrm v} & = \ sup { | \ varphi \ | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} keskel a \ M }, \\ \ end {joonda}), kus ({ mathrm v} [x {:} a]) on hindamise saatmine (x) (a) ja muude muutujate väärtuste muutmine muutumatuna. Teiste valemite väärtused arvutatakse tõefunktsioonide abil L propositsiooniliste ühenduste jaoks. Teiste valemite väärtused arvutatakse tõefunktsioonide abil L propositsiooniliste ühenduste jaoks. Teiste valemite väärtused arvutatakse tõefunktsioonide abil L propositsiooniliste ühenduste jaoks.

Esimese astme loogika L (forall) määratletakse siis tagajärgede seosena, mille annab täieliku tõe (väärtus (1)) säilitamine, nagu juhtlause puhul. Täpsemalt öeldes ütleme, et esimese astme valem (varphi) on valemi komplekti (Gamma) tagajärg (sümbolites: (Gamma \ mudelid _ { mathrm {L} forall} varphi)) kui (| \ varphi \ | _ { mathrm v} = 1) iga hindamise jaoks v, kui (| \ psi \ | _ { mathrm v} = 1) iga hindamine v ja iga (psi \ in \ Gamma).

L (forall) võib anda Hilberti-tüüpi arvutuse järgmiste aksioomidega:

• (P) Jaotusloogika L aksioomide (esimese järgu) eksemplarid
• ((forall1)) ((forall x) varphi (x) kuni \ varphi (t)), kus termin (t) on asendatav terminiga (x)
• ((eksisteerib1)) (varphi (t) kuni (eksisteerib x) varphi (x)), kus mõiste (t) on asendatav terminiga (x)
• ((forall2)) ((forall x) (chi \ to \ varphi) to (chi \ to (forall (x) varphi)), kus (x) pole tasuta (chi)
• ((on2)) ((forall x) (varphi \ to \ chi) kuni ((eksisteerib x) varphi \ to chi)), kus (x) pole vaba asukohas (chi)
• ((forall3)) ((forall x) (chi \ vee \ varphi) to \ chi \ vee (forall x) varphi), kus (x) pole rakenduses (chi).

L (forall) mahaarvamisreeglid on L reeglid ja üldistusreegel: from (varphi) järeldada ((forall x) varphi).

Paljude tähelepanuväärse häguse loogika (sealhulgas MTL ja Gödeli loogika) korral on ülaltoodud aksioomaatne süsteem semantilisuse osas kindel ja täielik (st. (Gamma \ mudelid _ { mathrm {L} forall} varphi) iff (Gamma \ vdash _ { mathrm {L} forall} varphi) iga (Gamma) ja iga (varphi) jaoks; Cintula, Horčík ja Noguera 2014).

Esmajärgulise Łukasiewiczi loogika ei ole aga rekursiivselt aksiomeeritav, nagu näitas Scarpellini (1962; Ragaz (1981), et tautoloogiate kogum on tegelikult (Sigma_2 \ - täielik aritmeetilise hierarhia mõttes). Täielikkuse võib saavutada kas infinitaarse järelduse reegli lisamisega (Hay 1963) või tõeväärtuste kogumi üldistamisega (vt järgmine osa). Olukord on veelgi keerulisem Hájeki põhilise hägusloogika puhul, kus pidevate t-normidega antud kõigi struktuuride esimese järgu tautoloogiate komplekt on sama keeruline kui tõeline aritmeetika (Montagna 2001).

7. Algebraline semantika

Üks peamisi vahendeid fuzzy loogika uurimisel on algebraline semantika (vt algebralise semantika kirjeldust). Ligikaudu öeldes on idee asendada reaalühiku intervall suvalise kogumiga ja tõlgendada ühendusi selle komplekti vastavate arityide operatsioonidena.

MTL-algebra (kasutusele võtnud Esteva & Godo (2001)) on nimisõna ({ mathbf A} = \ langle A, &, \ to, \ kiil, \ vee, \ ülejooneline {0}, \ ülejooneline { 1} rangle) kus

• (langle A, \ kiil, \ vee, \ ülejooneline {0}, \ ülejooneline {1} rangle) on piiratud võre
• (langle A, &, \ overline {1} rangle) on kommutatiivne monoid
• ((x \ kuni y) vee (y \ kuni x) = \ ümarda {1})
• (x \ mathbin { &} y \ leq z) iff (x \ leq y \ kuni z) (kus (leq) on (kiil) või (vee)).

MTL-algebrad on ülalpool selgitatud t-normil põhineva semantika üldistus ja pakuvad MTL-i jaoks põhjalikku ja täielikku semantikat. ^[4]

MTL-ahelad on need, mille võrejärjestus on täielik ja need on kogu algebrate klassi põhiosad, selles mõttes, et iga MTL-algebrat saab lagundada kui ahelate alamkaudset produkti. See tähendab, et loogika on täielik ka MTL-ahelate semantika osas, mida seejärel kasutatakse esimese sammuna selle täielikkuse tõestamisel t-normil põhineva semantika suhtes (Jenei & Montagna 2002).

Algebraline semantika on universaalne tööriist, mida saab kasutada mis tahes loogika jaoks. Eelkõige võib kirjanduses uuritud suvalise häguse loogika jaoks (isegi nende puhul, mis ei toeta t-normidel põhinevat semantikat, nagu näiteks piiratud väärtusega hägune loogika või mittekommutatiivsete inormide loogika) leida vastav algebrate klass, mis võib olla lagunevad ahelate alamotsendi produktidena. See asjaolu on pannud Běhounek & Cintula (2006) välja pakkuma häguse loogika määratluse kui loogika, mis on täielik vastavalt järjestatud algebralistele struktuuridele.

Algebralise semantika kasutamine esimese astme loogikas annab tavaliselt valiidsuse või rahuldatavuse kontrollimiseks väiksema keerukuse kui tavaline semantika (Montagna & Noguera 2010).

8. Tõestusteooria

Häguse loogika analüütiliste tõendussüsteemide väljatöötamine on olnud märkimisväärne väljakutse. Need on süsteemid, millel on Gentzeni järgemööda klassikalise ja intuitiivse loogika jaoks arvutatud oluliste tunnustega, nagu jaotustükkide eemaldatavus ja alamvormi omadus (vt tõestusteooria väljatöötamise sissekannet). Suur läbimurre on saavutatud Arnon Avroni (1991) poolt kasutusele võetud Gödeli – Dummeti loogika niinimetatud hüpersekventse arvutuse abil. Hüpersekventsed kalkulaadid tekivad järjestikustest kalkulaatoritest, kui pidada järelduse peamiseks objektiks lõplikke multisetseid või jadade jadasid, mida tõlgendatakse jadade disjunktsioonidena. Gödeli – Dummeti loogika korral tõstetakse Gentzeni intuitiivse jadaarvutuse reegleid, lisades lihtsalt ülemisele ja alumisele jadale külgmised hüpersektandid. Näiteks,järkjärguline reegel parema külje disjunktsiooni juurutamiseks) frac { Gamma_1 \ Rightarrow \ phi \ hspace {3ex} Gamma_2 \ Rightarrow \ psi} { Gamma_1, \ Gamma_2 \ Rightarrow \ phi \ vee \ psi}], kus (Gamma_1) ja (Gamma_2) on valemite piiratud järjestused, muudetakse järgmiseks hüpersekventseks reegliks:) frac {H \ mid \ Gamma_1 \ Rightarrow \ phi \ hspace {3ex} H ' \ mid \ Gamma_2 \ Rightarrow \ psi} {H \ mid H '\ mid \ Gamma_1, \ Gamma_2 \ Rightarrow \ phi \ vee \ psi}), kus (H) ja (H') tähistavad külg- hüpersekventsid, st lõplikud jadad või jadade multisetsid. See iseenesest ei muuda vastavat loogikat (antud juhul intuitsiooniline loogika). Oluline täiendav struktuurireegel on niinimetatud suhtlusreegel:) frac {H \ mid \ Gamma_1, \ Pi_1 \ Rightarrow \ Delta_1 \ hspace {3ex} H '\ mid \ Gamma_2,\ Pi_2 \ Rightarrow \ Delta_2} {H \ keskel H '\ keskel \ Gamma_1, \ Gamma_2 \ Rightarrow \ Delta_1 \ keskel \ Pi_2, \ Pi_2 \ Rightarrow \ Delta_2}) Siin (Gamma_1, \ Gamma_2, \ Pi_1, \ Pi_2) on valemite lõplikud loendid; (Delta_1) ja (Delta_2) on kas üksikud valemid või jäävad tühjaks; (H) ja (H ') tähistavad ülaltoodud külgmisi hüpersentseente.

Põhilise häguse loogika MTL hüpersekventse arvutuse saamiseks tuleb kommunikatsioonieeskiri lisada järjestikusele süsteemile, mis võimaldab intuitiivse loogika kontraktsioonivaba versiooni. Muude hägusate loogikate, eriti Łukasiewiczi loogika, analüütilised tõestussüsteemid nõuavad radikaalsemat lahkumist traditsioonilistest kalkulitest, kus hüpersekventide järjestikuseid komponente tõlgendatakse erinevalt kui intuitionistlikke või klassikalisi järjendeid. Samuti on pakutud niinimetatud märgistusega tõestussüsteeme ja erinevaid tabelikuvasid. Vastava tehnika taseme üksikasjaliku ülevaate leiate artiklitest Metcalfe, Olivetti, & Gabbay 2008 ja Metcalfe 2011.

9. Tõe funktsionaalsust õigustav semantika

Soovitav on mitte ainult filosoofilisest vaatepunktist, vaid ka paremini mõista häguse loogika potentsiaalseid rakendusi, et seostada vahepealsete tõeväärtuste ja vastavate loogiliste ühenduste tähendused ebamääraste ja ebatäpsete mõistetega põhjendamise põhimudelitega. Kasutusele on võetud rida selliseid semantikat, mille eesmärk on õigustada funktsionaalsete ühenduste tõepäraseid valikuid. Siin kirjeldatakse lühidalt vaid kahte neist.

Hääletamise semantika põhineb ideel, et erinevad esindajad (valijad) võivad ühte ja sama seisukohta erinevalt hinnata. Nende esindajate osakaalu, kes nõustuvad väitega (varphi) kui tõesed, võib pidada tõeväärtuseks. Ilma täiendavate piiranguteta ei vii see tõest funktsionaalse semantikani, vaid tõenäosuste määramiseni väidetele. Kui aga omistatakse igale agendile kindel skeptitsismi tase ja kehtestatakse mõned looduslikud tingimused, mis hoiavad loogiliselt keerukate avalduste kohta tehtud otsused kooskõlas nende tasemetega, siis saab (min), (max) ja (1-x) kui tõe funktsioonid vastavalt konjunktsiooni, disjunktsiooni ja eituse jaoks. Üksikasjad leiate Lawry 1998-st.

Giles (1974) on võtnud kasutusele veel ühe intrigeeriva mõttekäigumudeli, mis õigustab kõiki Łukasiewiczi standardse loogika pakutavaid ühendusi. See koosneb mängust, kus kaks mängijat, mina ja teie, taandame süstemaatiliselt loogiliselt keerulised väited (valemid) lihtsamateks, vastavalt järgmistele reeglitele:

• Kui ma väidan, et (varphi \ lor \ psi), siis pean kinnitama kas (varphi) või (psi).
• Kui ma väidan, et (varphi \ maa \ psi), siis valite ühe konjunktuuri ja pean vastavalt kinnitama kas (varphi) või (psi).
• Kui ma väidan (varphi \ kuni \ psi), siis pean kinnitama (psi), kui te väidate (varphi).

Kvantifitseeritud avalduste reeglid viitavad fikseeritud domeenile, eeldades, et iga domeenielemendi jaoks on püsiv sümbol, milles üks näeb ette:

• Kui kinnitan, et ((forall x) varphi (x)), siis pean kinnitama (varphi (c)) teie valitud konstandi (c) jaoks.
• Kui kinnitan, et ((eksisteerib x) varphi (x)), pean ma enda valitud konstandi (c) jaoks kinnitama (varphi (c)).

Teie väidete reeglid on kahesugused. Igas mänguseisundis valitakse mitte-aatomi valemi esinemine kas minu või teie poolt praeguste väidete mitmetes osades ja see asendatakse alamvormidega, nagu on näidatud nendes reeglites, kuni järele jäävad ainult aatomiväited. Seejärel hinnatakse mängu lõplikku olekut vastavalt järgmisele panustamisskeemile.

Iga aatomivalemi jaoks on olemas vastav katse, mis võib kas ebaõnnestuda või õnnestuda, kuid võib näidata dispersiooni, st kordudes võib see anda erinevaid tulemusi. Fikseeritud tõrke tõenäosus, mida nimetatakse riskiväärtuseks, omistatakse igale katsele ja seega igale aatomivalemile. Kui seotud katsed ebaõnnestuvad, peavad mängijad maksma ($) 1 teisele mängijale iga aatomiväite eest. Iga mängu puhul, mis algab minu väitega (varphi), võib minu eeldatav kogukaotus, kui me mõlemad mängime ratsionaalselt, näidata, et see vastab pöördvõrdeliselt (varphi) tõeväärtusele, mida hinnatakse Łukasiewiczi loogika tõlgenduses, mis määrab aatomivalemitele riskiväärtuste pöördväärtuse tõeväärtustena. Valem kehtib Łukasiewiczi loogikas eriti siis ja ainult siis, kui iga riskiväärtuse määramise korralMul on strateegia, mis tagab, et minu eeldatav kogukaotus mängu lõpus on (0) või negatiivne.

Fermüller & Metcalfe (2009) on välja toonud vastavuse Giles'i mängu optimaalsete strateegiate ja Łukasiewiczi loogika hüpersekventses süsteemis lõikamata tõendite vahel. Mängu on laiendanud ka Fermüller & Roschger (2014), et iseloomustada erinevat tüüpi (pool-) hägusaid kvantifikaatoreid, mis on mõeldud looduslike keeleväljendite, näiteks „umbes pool” või „peaaegu kõik”, modelleerimiseks.

Paris (2000) annab ülevaate muude semantide kohta, mis toetavad mitmesuguseid tõefunktsioonide valikuid; eriti semantika renatsionaliseerimine (Hisdal 1988), sarnasuse semantika (nt Ruspini 1991), aktsepteeritavuse semantika (Pariis 1997) ja lähendamissemantika (Paris 2000). Mainigem ka Běhouneki (2009) ressursipõhist semantikat. Lisaks ülaltoodud Giles Łukasiewiczi loogikale on mitmesuguste hägusate loogikate jaoks olemas erinevaid hindamismängude vorme. Ülevaade nendest semantilistest mängudest on lehel Fermüller 2015.

10. Hägune loogika ja ebamäärasus

Mõtete modelleerimine ebamääraste predikaatide ja väidetega on sageli häguse loogika tutvustamise peamiseks motivatsiooniks. Ebamäärasuse teooriaid on palju (vt sissejuhatust ebamäärasuse kohta), kuid üldiselt ollakse nõus, et vastuvõtlikkus soriidide paradoksi suhtes (vt kirjet soriitide paradoksi kohta) on ebamäärasuse peamine omadus. Mõelge järgmisele paradoksi versioonile:

• (1) (10 ^ {100}) on tohutu arv.
• (2) Kui (n) on tohutu arv, siis on ka (n-1) tohutu.

Kõige selle taustal ei näi mõistlik olla nende kahe eelduse aktsepteerimine. Kiirustades (n) funktsiooniga (10 ^ {100}) lõigus 2 ja rakendades modus ponensi teisega eeldusena (1), järeldame, et (10 ^ {100} -1) on tohutu. Lihtsalt seda tüüpi järelduste kordamisega jõuame põhjendamatule avaldusele

(3) (0) on tohutu arv

Hägune loogika soovitab analüüsida soriidide paradoksi, mis austab intuitsiooni, et väide (2), ehkki väidetavalt mitte täiesti tõene, on peaaegu tõene.

Paradoksi lahustavas t-normil põhinevas hägusas loogikas on selle mõttekäigu modelleerimiseks erinevaid võimalusi. Näiteks võib kuulutada, et mis tahes modus ponensi juhtum on mõistlik, kui järelduse tõesuse aste ei ole madalam kui tema ruumide tugevas koosmõjus. ^[5]Nagu märgitud, on ühes sätestatud, et iga punkti 2 eksemplar vastab tõele kraadi ((1 - epsilon)), väga väikese arvu (epsilon) korral. Isegi kui kuulutame, et (1) on täiesti tõesed, võib ka väide, et (10 ^ {100} -1) tohutu, olla vähem kui täiesti tõene, ohverdamata seejuures silmapilgust ja modus ponensi. Kui peale selle on kahe mitte täiesti tõese (või mitte täiesti vale) väite tõesuse aste väiksem kui kummagi konjunktsiooni oma, siis võime julgelt kuulutada, et see väide (3) on täiesti vale ja nõuame siiski selle väite õigsust. iga samm viidatud järelduste ahelas. Mitteametlikult öeldes kaob paradoks eeldusel, et mõne täiuslikult tohutu arvu korduv vähendamine väikese summa võrra põhjustab numbreid, mille puhul on vähem ja vähem tõsi, et ka need on tohutud.

Sorjede paradoksi alternatiivse tõeastmel põhineva lahenduse on pakkunud välja Hájek & Novák (2003). Nad tutvustavad uut tõe funktsionaalset ühenduvust, modelleerides väljendit „see on peaaegu tõsi”. Sel viisil vormistavad nad soriitide-stiili mõttekäigu a -omaatilise teooria raames sobiva t-normil põhineva häguse loogikaga.

Smith (2008; vt ka 2005) on väitnud, et niinimetatud läheduse põhimõte haarab ebamäärasuse olemuse. Selles väljendatakse, et samasugused väited eristamatute objektide kohta peaksid jääma tõe lähedaseks. See on paljude lähenemisviiside paradoksile, mis kasutavad hägust loogikat, tunnus, et need on selle põhimõttega ühilduvad. ^[6]

Bibliograafia

Lisadokument:

Bibliograafia teema järgi sorteeritud

• Aguzzoli, S., Bova, S. ja Gerla, B., 2011, “Vabade algebrate ja funktsionaalse esindatuse jaoks häguse loogika jaoks”, P. Cintula, P. Hájek ja C. Noguera (toimetajad), Mathematical Handbook Fuzzy Logic, 2. köide (matemaatiline loogika ja alused, köide 38), London: College Publications, lk 713–719.
• Avron, Arnon, 1991, “Hüperjärjestused, loogilised tagajärjed ja vaheloogika samaaegsusele”, Matemaatika ja tehisintellekti ajakirjad, 4 (3–4): 225–248. doi: 10.1007 / BF01531058
• Baaz, Matthias, 1996, “Lõpmatu väärtusega Gödeli loogika 0–1-projektsioonide ja relativisatsioonidega”, Petr Hájekis (toim.), Gödel'96: Matemaatika, arvutiteaduse ja füüsika loogilised alused (loengu märkused loogikas, vol. 6), Brno: Springer, 23–33
• Baaz, M., Hájek, P., Montagna, F. ja Veith, H., 2002, “T-tautoloogiate keerukus”, Annals of Pure and Applied Logic, 113 (1–3): 3–11.
• Baaz, Matthias ja Preining, Norbert, 2011, “Gödel-Dummett Logics”, Cintula, Petr, Petr Hájek ja Carles Noguera (toim.), Mathematical Fuzzy Logic käsiraamat, 2. köide (Matemaatiline loogika ja alused, köide 38), London: College Publications, lk 585–625.
• Běhounek, Libor, 2009, “Hägust loogikat tõlgendatakse ressursside loogikana”, Michal Peliš (toim), Logica aastaraamat 2008, London: College Publications, lk 9–21.
• ––– 2014, „Mis mõttes on hägune loogika ebamäärasuse loogika?“, Lukasiewicz, Thomas, Peñaloza, Rafael ja Turhan, Anni-Yasmin, (toimetajad), PRUV 2014: Loogika eelistuste põhjendamiseks, ebakindlus ja Vagueness (CEURi töötoa kogumik, köide 1205), Dresden: CEUR.
• Běhounek, Libor ja Cintula, Petr, 2005, “Fuzzy klassi teooria”, Fuzzy komplektid ja süsteemid, 154 (1): 34–55.
• –––, 2006, “Hägune loogika kui ahelate loogika”, hägused komplektid ja süsteemid, 157 (5): 604–610.
• Běhounek, Libor, ja Haniková, Zuzana, 2014, “Set Theory and Aritmetic in Fuzzy Logic”, Montagna, Franco, (toimetaja), Petr Hájek on Mathematical Fuzzy Logic, (silmapaistvad kaastööd loogikale, 6. köide), Cham: Springer, lk 63–89.
• Bělohlávek, R., ja Vychodil, V., 2005, Fuzzy Equational Logic, (Uuringud hägususes ja pehmes arvutamises, köide 186), Berliin ja Heidelberg: Springer.
• Bobillo, F., Cerami, M., Esteva, F., García-Cerdaña,,., Peñaloza, R. ja Straccia, U., 2015, “Fuzzy Description Logics”, Cintula, P., Fermüller, CG ja Noguera, C., (toimetajad), Mathematical Fuzzy Logic käsiraamat, 3. köide (Mathematical Logic and Foundations, Volume 58), London: College Publications, lk 1105–1181.
• Bou, F., Esteva, F., Godo, L. ja Rodríguez, RO, 2011, “Minimaalselt paljuväärtustatud modaalloogika üle piiratud jääkvõre”, ajakiri Logic and Computation, 21 (5): 739 –790.
• Busaniche, Manuela ja Montagna, Franco, 2011, “Hájeki loogika BL ja BL-Algebrad”, Cintulas, Petr, Petr Hájek ja Carles Noguera (toim.), Mathematical Fuzzy Logic Handbook, 1. köide (Matemaatiline loogika ja Sihtasutused, köide 37), London: College Publications, lk 355–447.
• Ciabattoni, A., Galatos, N., ja Terui, K., 2012, “Algebraline tõestusteooria alamstrukturaalse loogika jaoks: lõikamine-kõrvaldamine ja lõpuleviimine”, Annals of Pure and Applied Logic, 163 (3): 266–290.
• Caicedo, X., ja Rodríguez, RO, 2010, “Standard Gödel Modal Logics”, Studia Logica, 94 (2): 189–214.
• Cicalese, F. ja Montagna, F., 2015, “Ulam-Rényi mängupõhine semantika häguse loogika jaoks”, P. Cintula, CG Fermüller ja C. Noguera, (toimetajad), Mathematical Fuzzy Logic Handbook, 3. köide, (Matemaatiline loogika ja alused, köide 58), London: College Publications, lk 1029–1062.
• Cignoli, R., D'Ottaviano, IM, ja Mundici, D., 1999, Algebralised alused paljude väärtustega mõttest (7. köide), Dordrecht: Kluwer.
• Cintula, Petr, 2006, “Nõrgalt ebamäärane (hägune) loogika I: põhilised omadused”, matemaatilise loogika arhiiv, 45 (6): 673–704.
• Cintula, P., Esteva, F., Gispert, J., Godo, L., Montagna, F. ja Noguera, C., 2009, “Eristatud algebraline semantika T-normaalil põhinevale hägusale loogikale: meetodid ja algebralised samaväärsused”., Annals of Pure and Applied Logic, 160 (1): 53–81.
• Cintula, Petr, Christian Fermüller ja Carles Noguera (toim.), 2015, Mathematical Fuzzy Logic käsiraamat, 3. köide (Studies in Logic, vol. 58), London: College Publications.
• Cintula, Petr, Petr Hájek ja Carles Noguera (toim.), 2011a, Mathematical Fuzzy Logic käsiraamat, 1. köide (Studies in Logic, vol. 37), London: College Publications.
• ––– (toim.), 2011b, Mathematical Fuzzy Logic käsiraamat, köide 2 (Studies in Logic, kd 38), London: College Publications.
• Cintula, Petr, Rostislav Horčík ja Carles Noguera, 2013, “Mitte-assotsiatiivne alamstrukturaalne loogika ja nende semilineaarsed laiendid: aksiomatizeerimise ja täielikkuse omadused”, sümbolilise loogika ülevaade, 6 (3): 394–423. doi: 10.1017 / S1755020313000099
• ––– 2014, „Quest for basic fuzzy logic“, Franco Montagna (toim), Petr Hájek teemal Mathematical Fuzzy Logic (silmapaistvad kaastööd loogikale, 6. osa), Cham: Springer, lk 245–290. doi: 10.1007 / 978-3-319-06233-4_12
• Cintula, Petr ja Noguera, Carles, 2011, “Matemaatilise hägusa loogika üldine raamistik”, Cintula, Petr, Petr Hájek ja Carles Noguera (toim.), Mathematical Fuzzy Logic Handbook, 1. köide (Matemaatiline loogika ja Sihtasutused, 37. köide), London: College Publications, lk 103–207.
• Cintula, P. ja Metcalfe, G., 2009, “Struktuuriline terviklikkus hägusas loogikas”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 50 (2): 153–183.
• Dellunde, P., 2012, “Kaardistuste säilitamine häguses ennustavas loogikas”, ajakiri Logic and Computation, 22 (6): 1367–1389.
• Di Nola, A., ja Gerla, G., 1986, “Esimese astme keelte hägusad mudelid”, Zeitschrift für Mathematische Logik ja Grundlagen der Mathematik, 32 (19–24): 331–340.
• Dummett, Michael, 1959, “Propositsionaalne kalkulatsioon detekteeritava maatriksiga”, Journal of Symbolic Logic, 24 (2): 97–106. doi: 10.2307 / 2964753
• Esteva, Francesc, Joan Gispert, Lluís Godo ja Carles Noguera, 2007, “Tõekonstantide lisamine pidevate T-normide loogikale: aksiomatizeerimise ja täielikkuse tulemused”, hägusad komplektid ja süsteemid, 158 (6): 597–618. doi: 10.1016 / j.fss.2006.11.010
• Esteva, Francesc ja Lluís Godo, 2001, “Monoidne T-normil põhinev loogika: vasaku pideva T-normi loogika poole”, hägusad komplektid ja süsteemid, 124 (3): 271–288. doi: 10.1016 / S0165-0114 (01) 00098-7
• Esteva, Francesc, Godo, Lluís ja García-Cerdaña, Àngel, 2003, “T-normil põhineva jäägilise häguse loogika hierarhiast”, Fiting, Melvin ja Orłowska, Ewa (toimetajad), Beyond Two: Theory and Theory and theory Mitme väärtusega loogika rakendused (uurimused hägususest ja pehmest arvutist, köide 114), Heidelberg: Springer, lk 251–272.
• Esteva, Francesc, Lluís Godo, Petr Hájek ja Mirko Navara, 2000, “Lõplikud hägusad loogikad koos kaasneva eitusega”, Matemaatilise loogika arhiiv, 39 (2): 103–124. doi: 10.1007 / s001530050006
• Esteva, Francesc, Godo, Lluís ja Marchioni, Enrico, 2011, “Fuzzy logics with rikastatud keelega”, Cintula, Petr, Petr Hájek ja Carles Noguera (toim.), Mathematical Fuzzy Logic käsiraamat, 2. köide, (Mathematical Loogika ja alused, 38. köide), London: College Publications, lk 627–711.
• Esteva, Francesc, Lluís Godo ja Franco Montagna, 2001, “(L \ Pi) ja (L \ Pi \ frac12) loogika: kaks täielikku udust süsteemi ühendavad Łukasiewiczi ja tooteloogika”, matemaatilise loogika arhiiv, 40 (1): 39–67. doi: 10.1007 / s001530050173
• ––– 2003, „Pideva T-normi poolt määratletud mis tahes jäägilise häguse loogika aksiomatization“, Taner Bilgiç, Bernard De Baets ja Okyay Kaynak (toim), Fuzzy Komplektid ja süsteemid: IFSA 2003 (loengu märkused arvutis Science, köide 2715), Berliin / Heidelberg: Springer, lk 172–179. doi: 10.1007 / 3-540-44967-1_20
• Fedel, M., Hosni, H. ja Montagna, F., 2011, “Ebatäpsete tõenäosuste sidususe loogiline iseloomustus”, International Journal of Approximate Reasoning, 52 (8): 1147–1170, doi: 10.1016 / j. ijar.2011.06.004.
• Fermüller, Christian G., 2015, “Semantilised mängud hägusele loogikale”, Cintula, Fermüller ja Noguera 2015: 969–1028.
• Fermüller, Christian G. ja George Metcalfe, 2009, “Giles'i mängu ja tõestusteooria Łukasiewicz Logic jaoks”, Studia Logica, 92 (1): 27–61. doi: 10.1007 / s11225-009-9185-2
• Fermüller, Christian G. & Christoph Roschger, 2014, “Randomiseeritud mängude semantika poolhägusatele kvantifikaatoritele”, Puhta ja rakendatud loogika huvigrupi loogikaajakiri, 22 (3): 413–439. doi: 10.1093 / jigpal / jzt049
• Flaminio, T., Godo, L. ja Marchioni, E., 2011, “Argumenteerimine hägusate sündmuste ebakindluse kohta: ülevaade”, Cintula, Petr, Fermuller, Christian G., Godo, Lluis ja Hájek, Petr, (toimetajad), Ebaselguse mõistmine: loogiline, filosoofiline ja keeleline vaatenurk, (Studies in Logic, köide 36), London: College Publications, lk 367–400.
• Flaminio, T. ja Kroupa, T., 2015, “MV-Algebrase osariigid”, Cintula, Petr, Christian Fermüller ja Carles Noguera (toim.), Mathematical Fuzzy Logic Handbook, 3. köide (Matemaatiline loogika ja Sihtasutused, köide 58), London: College Publications, lk 1183–1236.
• Font, Josep Maria, 2016, Abstract Algebraic Logic: sissejuhatav õpik, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 60), London: College Publications.
• Galatos, Nikolaos, Jipsen, Peter, Kowalski, Tomasz ja Ono, Hiroakira, (toimetajad), 2007, Residuated Lattices: Algebraic Glimpse at Substructural Logics, (Studies in Logic and the Mathematics, Volume 151), Amsterdam: Elsevier.
• García-Cerdaña,,., Armengol, E., ja Esteva, F., 2010, “Hägune kirjeldusloogika ja T-normil põhinev hägune loogika”, rahvusvaheline ajakiri Approximate Reasoning, 51 (6): 632–655.
• Gerla, G., 2001, Fuzzy loogika-matemaatiline tööriist ligikaudseks mõttekäiguks (Trends in Logic, Volume 11), New York: Kluwer and Plenum Press.
• Giles, Robin, 1974, “Füüsika mitteklassikaline loogika”, Studia Logica, 33 (4): 397–415. doi: 10.1007 / BF02123379
• Gödel, Kurt, 1932, “Zum intuitionistischen Aussagenkalkül”, Anzeiger Akademie Der Wissenschaften Wien, 69: 65–66.
• Godo, L., Esteva, F. ja Hájek, P., 2000, “Tõenäosuse põhjendamine häguse loogika abil”, Neural Network World, 10 (5): 811–823, (SOFSEM 2000 eriväljaanne).
• Goguen, Joseph A., 1969, “Ebatäpsete kontseptsioonide loogika”, Synthese, 19 (3–4): 325–373.
• Gottwald, Siegfried, 2001, traktaat paljude väärtustega loogikast, (loogika ja arvutuse uuringud, 9. köide), Baldock: Research Studies Press Ltd.
• Hájek, Petr, 1998, Häguse loogika metamaatika (Trends in Logic, kd 4), Dordrecht: Kluwer.
• –––, 2001, “On väga tõene”, hägusad komplektid ja süsteemid, 124 (3): 329–333.
• –––, 2005, “Häguse kirjeldusloogika üldisemaks muutmine”, hägused komplektid ja süsteemid, 154 (1): 1–15.
• Hájek, P. ja Cintula, P., 2006, “Teooriate ja mudelite kohta hägusas ennustavas loogikas”, Journal of Symbolic Logic, 71 (3): 863–880.
• Hájek, P. ja Haniková, Z., 2003, “Lavastusteooria arendamine häguses loogikas”, Fiting, Melvin ja Orłowska, Ewa (toimetajad), Beyond Two: Theory and Multi-Valued Logic, (Uurimused hägususest ja pehmest arvutist, köide 114), Heidelberg: Springer, lk 273–285.
• Hájek, P., Montagna, F., ja Noguera, C., 2011, „Esimese astme häguse loogika aritmeetiline keerukus”, Cintula, Petr, Hájek, Petr ja Noguera, Carles, (toimetajad), Matemaatika käsiraamat Fuzzy Logic, 2. köide (Matemaatiline loogika ja alused, 38. köide), London: College Publications, lk 853–908.
• Hájek, Petr ja Vilém Novák, 2003, “Sorite paradoks ja hägune loogika”, International Journal of General Systems, 32 (4): 373–383. doi: 10.1080 / 0308107031000152522
• Háajek, P., Pariis, J., ja Shepherdson, JC, 2000, “Valetaja paradoks ja hägune loogika”, Journal of Symbolic Logic, 65 (1): 339–346.
• Haniková, Zuzana, 2011, „Propositsioonilise häguse loogika arvutuslik keerukus”, Cintula, Petr, Hájek, Petr ja Noguera, Carles (toimetajad), Mathematical Fuzzy Logic käsiraamat, 2. köide (Matemaatiline loogika ja alused, 38. köide)), London: College Publications, lk 793–851.
• –––, 2014, „Sordid, mis on genereeritud standardse BL-Algebrase järgi”, korraldus, 31 (1): 15–33. doi: 10.1007 / s11083-013-9285-5
• Hansoul, G. ja Teheux, B., 2013, “řukasiewiczi loogika laiendamine modaalsusega: algebraline lähenemine relatsioonilisele semantikale”, Studia Logica, 101 (3): 505–545, doi: 10.1007 / s11225-012-9396- 9
• Hay, Louise Schmir, 1963, “Lõpmatult hinnatud eeldatava kalkulatsiooni aksiomatization”, Journal of Symbolic Logic, 28 (1): 77–86. doi: 10.2307 / 2271339
• Hisdal, Ellen, 1988, "Kas liikmesuse tõenäosuse astmed on?" Hägusad komplektid ja süsteemid, 25 (3): 325–348. doi: 10.1016 / 0165-0114 (88) 90018-8
• Horčík, Rostislav, 2011, “Algebraline semantika: Semilineaarsed FL-algebrad”, P. Cintula, P. Hájek ja C. Noguera, (toimetajad), Mathematical Fuzzy Logic käsiraamat, 1. köide (Matemaatiline loogika ja alused, köide) 37), London: College Publications, lk 283–353.
• Horn, Alfred, 1969, “Loogika tõeväärtustega lineaarselt järjestatud heütitsevas algebras”, ajakiri Symbolic Logic, 34 (3): 395–408.
• Jenei, Sándor ja Franco Montagna, 2002, “Esteva ja Godo loogika MTL standardse täielikkuse tõend”, Studia Logica, 70 (2): 183–192. doi: 10.1023 / A: 1015122331293
• Jeřábek, E., 2010, “Łukasiewicz Logic lubatavate reeglite alused”, Journal of Logic and Computation, 20 (6): 1149–1163.
• ––– 2003, „Mittekommutatiivse monoidse T-normi loogika standardse täielikkuse tõestamine”, Neural Network World, 13 (5): 481–489.
• Klement, Erich Peter, Radkos Mesiar ja Endre Pap, 2000, Kolmnurksed normid (Trends in Logic, 8. köide), Dordrecht: Kluwer.
• Lawry, J., 1998, “Hääletusmehhanism häguse loogika jaoks”, rahvusvaheline ajakiri Ligikaudne Põhjendus, 19 (3–4): 315–333. doi: 10.1016 / S0888-613X (98) 10013-0
• Leştean, I. ja DiNola, A., 2011, “Łukasiewicz Logic and MV-Algebras”, P. Cintula, P. Hájek ja C. Noguera, (toimetajad), Mathematical Fuzzy Logic käsiraamat, 2. köide, (Matemaatiline loogika ja alused, 38. köide), London: College Publications, lk 469–583.
• Ling, Cho-Hsin, 1965, “Assotsiatiivsete funktsioonide esindamine”, Publicationes Mathematicae Debrecen, 12: 189–212.
• Łukasiewicz, jaanuar 1920, “O Logice Trójwartościowej”, Ruch Filozoficzny, 5: 170–171. Ingliskeelne tõlge “On Three-Valued Logic”, Storrs McCall, (toimetaja), 1967, poola loogika 1920–1939, Oxford: Clarendon Press, lk 16–18 ja Jan Łukasiewicz, 1970, Selected Works, L. Borkowski, (toimetaja), Amsterdam: Põhja-Holland, lk 87–88.
• Łukasiewicz, J. & A. Tarski, 1930, “Untersuchungen über den Aussagenkalkül”, Comptes Rendus Des Séances de La Société Des Sciences ja Des Lettres de Varsovie, Cl. III, 23 (iii): 30–50.
• Marra, V., ja Spada, L., 2013, “Duaalsus, projektilisus ja ühendamine řukasiewiczi loogikas ja MV-algebras”, Annals of Pure and Applied Logic, 164 (3): 192–210.
• McNaughton, Robert, 1951, “Teoreem lõpmatu väärtusega senentsiaalse loogika kohta”, Journal of Symbolic Logic, 16 (1): 1–13. doi: 10.2307 / 2268660
• Metcalfe, George, 2011, “Matemaatilise häguse loogika tõestusteooria”, Cintula, Hájek ja Noguera 2011a: 209–282.
• Metcalfe, George & Franco Montagna, 2007, “Substructural Fuzzy Logics”, Journal of Symbolic Logic, 72 (3): 834–864. doi: 10,2178 / jsl / 1191333844
• Metcalfe, George, Nicola Olivetti ja Dov M. Gabbay, 2008, Proof Theory for Fuzzy Logics (Applied Logic Series, vol. 36), Dordrecht: Springer Holland.
• Montagna, Franco, 2001, “Kolm keerukusprobleemi kvantifitseeritud hägusas loogikas”, Studia Logica, 68 (1): 143–152. doi: 10.1023 / A: 1011958407631
• Montagna, Franco ja Carles Noguera, 2010, “Esimese astme ennustatava hägusa loogika aritmeetiline keerukus silmapaistva semantika kohal”, Journal of Logic and Computation, 20 (2): 399–424. doi: 10.1093 / logcom / exp052
• Montagna, Franco, Noguera, Carles ja Horčík, Rostislav, 2006, “On Weakly Cancellative Fuzzy Logics”, Journal of Logic and Computation, 16 (4): 423–450.
• Montagna, Franco ja Ono, Hiroakira, „Kripke semantika, seletatavus ja standardne terviklikkus Esteva ja Godo loogika MTL (forall)” jaoks, Studia Logica, 71 (2): 227–245.
• Mostert, Paul S. & Allen L. Shields, 1957, “Poolrühmade struktuurist kompaktsel kollektoril ja piiril”, Matemaatika Annals, teine seeria, 65 (1): 117–143. doi: 10.2307 / 1969668
• Mundici, D., 1987, & ldauo; Rahulolu paljuväärtuslikus sententaalses loogikas on NP-täielik”, Teoreetiline arvutiteadus, 52 (1–2): 145–153.
• ––– 1992, „Ulami mänguga koos valetamise loogika”, autorid C. Bicchieri ja M. Dalla Chiara (toimetajad), teadmised, usk ja strateegiline interaktsioon (Castiglioncello, 1989), Cambridge: Cambridge University Press, 275–284.
• –––, 2011, Advanced Łukasiewicz Calculus ja MV-Algebras, (Trends in Logic, 35. köide), New York: Springer.
• Novák, V., 2004, “On häguse tüübi teooria”, hägused komplektid ja süsteemid, 149 (2): 235–273.
• –––, 2015, „Hägune loogika koos hinnatud süntaksiga“, Cintula, Petr, Christian Fermüller ja Carles Noguera (toim.), Mathematical Fuzzy Logic käsiraamat, 3. köide (Matemaatiline loogika ja alused, köide 58), London: Kolledži väljaanded, lk 1063–1104.
• Novák, V., Perfilieva, I. ja Močkoř, J., 2000, Hägusa loogika matemaatilised põhimõtted, Dordrecht: Kluwer.
• Nguyen, Hung T. ja Elbert A. Walker, 2005, fuzzy logicu esimene kursus (kolmas väljaanne), Chapman ja Hall / CRC.
• Pariis, Jeff B., 1997, “Semantika hägusele loogikale”, pehme arvuti, 1 (3): 143–147. doi: 10.1007 / s005000050015
• ––– 2000, „Tõe funktsionaalsust toetava hägusa loogika semantika”, Vilém Novák ja Irina Perfilieva (toim), maailma avastamine häguse loogika abil (uurimused hägususest ja pehmest arvutist, vol. 57). Heidelberg: Springer, lk 82–104.
• Pavelka, J., 1979, “On fuzzy Logic I, II ja III”, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 25: 45–52, 119–134 ja 447–464.
• Ragaz, Matthias Emil, 1981, Arithmetische Klassifikation von Formelmengen der unendlichwertigen Logik (doktoritöö). Šveitsi föderaalne tehnoloogiainstituut, Zürich. doi: 10.3929 / ethz-a-000226207
• Ross, Timothy J., 2016, Fuzzy Logic with Engineering Applications (neljas väljaanne), Hoboken, NJ: Wiley.
• Ruspini, Enrique H., 1991, “Häguse loogika semantikast”, rahvusvaheline ajakiri Ligikaudne Põhjendus, 5 (1): 45–88. doi: 10.1016 / 0888-613X (91) 90006-8
• Scarpellini, Bruno, 1962, “Die Nichtaxiomatisierbarkeit des unendlichwertigen Prädikatenkalküls von Łukasiewicz”, Journal of Symbolic Logic, 27 (2): 159–170. doi: 10.2307 / 2964111
• Smith, Nicholas JJ, 2005, “Ebamäärasus kui lähedus”, Australasian Journal of Philosophy, 83 (2): 157–183. doi: 10.1080 / 00048400500110826
• –––, 2008, ebamäärasus ja tõde, Oxford: Oxford University Press.
• ––– 2015, „Hägune loogika ebamäärasuse teooriates“, Cintula, Petr, Christian Fermüller ja Carles Noguera (toim.), Mathematical Fuzzy Logic käsiraamat, 3. köide (Matemaatiline loogika ja alused, köide 58), London: College Publications, lk 1237–1281.
• Straccia, U., 1998, “A Fuzzy Description Logic”, Mostow, J. ja Rich, C., (toimetajad), tehisintellekti 15. riikliku konverentsi (AAAI 1998) toimetused, Menlo Park: AAAI Press, lk 594–599.
• Takeuti, G. ja Titani, S., 1984, “Intuitionistlik sume loogika ja intuitsiooniline fuzzy komplekti teooria”, Journal of Symbolic Logic, 49 (3): 851–866.
• Takeuti, G. ja Titani, S., 1992, “Fuzzy Logic and Fuzzy Set Theory”, matemaatilise loogika arhiiv, 32 (1): 1–32.
• Vetterlein, T., 2015, “Algebraline semantika: jääkkettide struktuur”, P. Cintula, CG Fermüller ja C. Noguera, (toimetajad), Mathematical Fuzzy Logic käsiraamat, 3. köide (Matemaatiline loogika ja alused, 58. köide), London: College Publications, lk 929–967.
• Zadeh, Lotfi A., 1965, “Hägusad komplektid”, teave ja kontroll, 8 (3): 338–353. doi: 10.1016 / S0019-9958 (65) 90241-X

Akadeemilised tööriistad

	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

Hajek, Petr, “Fuzzy Logic”, Stanfordi filosoofia entsüklopeedia (2016. aasta sügisel väljaanne), Edward N. Zalta (toim), URL = . [See oli eelmine häguse loogika sissekanne Stanfordi filosoofia entsüklopeedias - vaadake versiooniajalugu.]