Kant oli kogu oma karjääri jooksul õpilane ja matemaatikaõpetaja ning matemaatika ja matemaatikapraktika mõtisklused mõjutasid tema filosoofilist mõtet sügavalt. Ta töötas välja filosoofilisi seisukohti matemaatilise otsuse staatuse, matemaatiliste määratluste olemuse, aksioomide ja tõestuse ning puhta matemaatika ja loodusmaailma vahelise seose kohta. Lisaks on tema lähenemisviis üldküsimusele „kuidas sünteetilised kohtuotsused on a priori võimalikud?” kujundas tema ettekujutus matemaatikast ja selle saavutustest hästi põhjendatud teadusena.
Kanti matemaatikafilosoofia pakub mitmesugustele teadlastele huvi mitmel põhjusel. Esiteks on tema mõtted matemaatika kohta tema kriitilise filosoofilise süsteemi ülioluline ja keskne komponent ning seega valgustavad need filosoofia ajaloolast, kes töötab Kanti korpuse mis tahes aspekti kallal. Lisaks tekivad tänapäevase huvi ja olulisusega seotud küsimused Kanti mõtisklustest kõige fundamentaalsematest ja elementaarsematest matemaatilistest distsipliinidest - teemadest, mis annavad jätkuvalt olulisi küsimusi matemaatika metafüüsika ja epistemoloogia alal. Lõpuks on erimeelsused Kanti matemaatikafilosoofia tõlgendamise osas loonud viljaka ala praeguste uurimistööde ja arutelude jaoks.
1. Kanti matemaatikakriitiline eelfilosoofia
2. Kanti matemaatika kriitiline filosoofia
2.1 Kanti teooria matemaatiliste mõistete konstrueerimise kohta artiklis “Puhta mõistuse distsipliin dogmaatilises kasutuses”
2.2 Kanti vastus küsimusele “Kuidas on puhas matemaatika võimalik?”
2.3 Kanti ettekujutus matemaatika rollist transtsendentaalses idealismis
3. Kommentaar ja tõlgendav arutelu
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed
1. Kanti matemaatikakriitiline eelfilosoofia
1763. aastal astus Kant esseevõistlusele, kus käsitleti küsimust, kas metafüüsika ja moraali esimesi põhimõtteid on võimalik tõestada ja saavutada seeläbi sama kindlusaste kui matemaatiliste tõdedega. Ehkki tema essee pälvis Berliini Kuningliku Teaduste Akadeemia teise preemia (kaotati Moses Mendelssohni „Metafüüsikaliste teaduste tõenditele”), on sellest siiski teada saanud Kanti „Auhinnaessee”. Auhinnaessee avaldas Akadeemia 1764. aastal pealkirjaga „Loodusliku teoloogia ja moraali põhimõtete erisuse uurimine“ja see on võtmetekst Kanti eelkriitilises matemaatikafilosoofias.
Auhinna essees kohustus Kant võrrelda matemaatika ja metafüüsika meetodeid (Carson 1999; Sutherland 2010). Ta väitis, et „matemaatika… eesmärk on selgete ja kindlate amplituudikontseptsioonide kombineerimine ja võrdlemine eesmärgiga teha kindlaks, mida neist järeldada võib” (2: 278). Lisaks väitis ta, et see äri on saavutatud figuuride või “nähtavate märkide” uurimisega, mis pakuvad sünteetiliselt määratletud universaalsete kontseptsioonide konkreetseid kujutisi. Näiteks määratletakse matemaatiline mõiste teiste mõistete suvalise kombineerimise teel („neli sirget joont, mis seovad tasapinna nii, et vastasküljed ei ole üksteisega paralleelsed” [1]), millele on lisatud mõistlik märk, mis näitab seoseid kõigi määratletud objektide osade vahel. Näiteks mõisteid ja põhimõttelisi matemaatilisi väiteid, et ruumis võib olla ainult kolm mõõdet, tuleb „uurida konkreetselt, et neid saaks intuitiivselt tundma õppida”, kuid selliseid väiteid ei saa kunagi tõestada, kuna need ei tulene muudest väidetest (2: 281). Teoreemid luuakse siis, kui lihtsad tunnetused kombineeritakse „sünteesi abil” (2: 282), näiteks kui näiteks näidatakse, et ringis lõikuvate kahe akordi moodustatud segmentide korrutised on võrdsed. Viimasel juhulüks tõestab teoreemi suvalise ringjoonega ristuvate sirgepaaride kohta mitte selle järgi, et “tõmmatakse kõik võimalikud sirged, mis võiksid ristis [ringi] ristuda”, vaid tõmmates vaid kaks sirget ja tuvastades seose, mis neid (2: 278). Selle tulemuseks olev universaalne reegel tuleneb kuvatavate mõistlike märkide ja sellest tulenevalt mõistete vahel, mida mõistlikud märgid illustreerivad.
Kant järeldab, et matemaatilist meetodit ei saa kasutada filosoofiliste (ja eriti metafüüsiliste) tulemuste saavutamiseks esmasel põhjusel, et „geomeetrid omandavad oma kontseptsioonid sünteesi abil, samas kui filosoofid saavad oma kontseptsioone omandada ainult analüüsi abil - ja see muudab mõtteviisi täielikult”(2: 289). Selles eelkriitilises staadiumis järeldab ta ka, et isegi ilma selle esmaste mõistete sünteetiliste definitsioonideta suudab „metafüüsika sama palju kindlustunnet, mida on vaja veendumuse tekitamiseks, kui matemaatika” (2: 296). (Hiljem, kriitilisel perioodil, laiendab Kant sünteesi mõistet, kirjeldamaks mitte ainult matemaatiliste mõistete geneesi ja kombinatsiooni, vaid ka mitmesuguste esinduste ühendamisakti. Ta loomulikult kakasutage termineid „sünteetiline” ja „analüütiline”, et eristada kahte üksteist välistavat viisi, kuidas subjekt ja predikaatmõisted seostuvad üksteisega mis tahes konkreetsetes otsustes, ja ta rõhutab selle eristuse laiendatud tähendust, mis hõlmab metoodilist kontrasti kaks argumenteerimisviisi, üks sünteetiline või progressiivne ja teine analüütiline või regressiivne. Neid analüütilise / sünteetilise eristamise erinevaid tajusid käsitletakse lühidalt allpool.)Neid analüütilise / sünteetilise eristamise erinevaid tajusid käsitletakse lühidalt allpool.)Neid analüütilise / sünteetilise eristamise erinevaid tajusid käsitletakse lühidalt allpool.)
Essees “Kosmose suundade diferentseerimise ülim alus” ja “Mõistliku ja mõistliku maailma vorm ja põhimõtted [avatavas väitekirjas]” vastavalt 1768. ja 1770. aastal algavad Kanti mõtted matemaatikast ja selle tulemustest areneda oma kriitilise filosoofia suunas, kui ta hakkab teadvustama rolli, mida matemaatilise tunnetuse kontekstis mängib selge tundlikkuse teaduskond (Carson 2004). Nendes esseedes omistab ta matemaatilise mõttekäigu õnnestumisele juurdepääsu sellele tundliku vormi põhimõtetele ja intuitsiooni esmastele andmetele, mille tulemuseks on „intuitiivse tunnetuse seadused“ja „intuitiivsed hinnangud“ulatuse ja laienduse kohta. Üks selline kohtuotsus võimaldab tuvastada objekti, mis on „täpselt võrdne ja sarnane teisega,kuid mida ei saa ümbritseda samade piiridega kui see teine, selle ebaühtlane vaste”(2: 382) (Buroker 1981; Van Cleve ja Frederick 1991; Van Cleve 1999). Kant kutsub "Suundudes ruumis" selliseid "ebakõlasid vastaseid", et määrata Newtoni stiilis absoluutse ruumi, geomeetriaobjekti, nagu ta seda siis mõistab, orienteeritavus ja aktuaalsus. Ta viitab samale näitele ka „avatavas väitekirjas“, kinnitades, et ruumilisi suhteid saab „mõista ainult teatud puhas intuitsioon“ja näitab, et „geomeetria rakendab põhimõtteid, mis pole mitte ainult vaieldamatud ja diskursiivsed, vaid kuuluvad ka pilgu alla vaimu. " Sellisena on matemaatiline tõendusmaterjal "kõigi teaduste tõendusmaterjali paradigma ja vahend" (2: 403). (Hiljem, kriitilise perioodi prolegomena,ta kutsub ruumi mittetunnustatud partnereid üles seadma ruumi transtsendentaalset ideaalsust, lükates sellega tagasi oma varasema argumendi absoluutse ruumi toetuseks.)
2. Kanti matemaatika kriitiline filosoofia
2.1 Kanti teooria matemaatiliste mõistete konstrueerimise kohta artiklis “Puhta mõistuse distsipliin dogmaatilises kasutuses”
Kanti matemaatika kriitiline filosoofia leiab täieliku väljenduse puhta mõistuse kriitika jaotises pealkirjaga „Puhta mõistuse distsipliin dogmaatilises kasutuses“, mis alustab kriitika kahest peamisest jaotusest, „Transtsendentaalne meetodiõpetus“. Kriitika eelmistes osades on Kant allutanud puhta mõistuse „transtsendentaalses kasutamises pelgalt mõistete kohaselt” kriitikale, et „piirata oma kalduvust laieneda võimaliku kogemuse kitsastest piiridest” (A711 / B739). Kuid Kant ütleb meile, et matemaatikat ei ole vaja sellisele kriitikale allutada, kuna puhta mõistuse kasutamist matemaatikas hoitakse intuitsiooni kaudu „nähtavale teele”: „[matemaatilisi] mõisteid tuleb viivitamata eksponeerida puhtas intuitsioonis, konkreetselt;mille kaudu saab ilmselgelt kõik alusetu ja meelevaldne”(A711 / B739). Sellegipoolest vajavad matemaatika praktikad ja distsipliin selgitust, et arvestada nii oma eduga sisuliste ja vajalike tõdede näitamises kui ka lubada oma kutsumist arutluskäigu mudeliks. Seega suunab Kant end, nagu ta tegutses eelkriitilisel perioodil, küsimusele, mis moodustab „õnneliku ja hästi põhjendatud” matemaatilise meetodi, ning ka selle kohta, kas see on kasulik mõnel muul erialal peale matemaatika. Sellele eitavale küsimusele eitavalt vastamiseks peab Kant selgitama matemaatilise põhjenduse ainulaadsust.selleks, et nii oma edu eest sisuliste ja vajalike tõdede demonstreerimisel aru anda kui ka selleks, et lüüa oma kutsumus kaasa mõttekäigule. Seega suunab Kant end, nagu ta tegutses eelkriitilisel perioodil, küsimusele, mis moodustab „õnneliku ja hästi põhjendatud” matemaatilise meetodi, ning ka selle kohta, kas see on kasulik mõnel muul erialal peale matemaatika. Sellele eitavale küsimusele eitavalt vastamiseks peab Kant selgitama matemaatilise põhjenduse ainulaadsust.selleks, et nii oma edu eest sisuliste ja vajalike tõdede demonstreerimisel aru anda kui ka selleks, et lüüa oma kutsumus kaasa mõttekäigule. Seega suunab Kant end, nagu ta tegutses eelkriitilisel perioodil, küsimusele, mis moodustab „õnneliku ja hästi põhjendatud” matemaatilise meetodi, ning ka selle kohta, kas see on kasulik mõnel muul erialal peale matemaatika. Sellele eitavale küsimusele eitavalt vastamiseks peab Kant selgitama matemaatilise põhjenduse ainulaadsust. Kant peab selgitama matemaatiliste mõttekäikude ainulaadsust. Kant peab selgitama matemaatiliste mõttekäikude ainulaadsust.
Kanti matemaatiliste mõttekäikude ainulaadsuse kirjelduse keskne väitekiri on tema väide, et matemaatiline tunnetus tuleneb selle mõistete „ehitamisest“: „ ehitadamõiste tähendab sellele vastava intuitsiooni a priori eksponeerimist”(A713 / B741) (Friedman 1992, Friedman 2010). Näiteks kui mõistet saab diskursiivselt määratleda sirgjoonelise kujuna, mis koosneb kolmest sirgest (nagu seda tehakse Eukleidi elementides), on kontseptsioon selle mõiste tehnilises tähenduses Kanti jaoks konstrueeritud ainult siis, kui selline määratlus on seotud vastav intuitsioon, see tähendab kolmekülgse kujundi ainsuses ja kohe ilmne esitus. Kant väidab, et kui üks moodustab geomeetriliseks tõestuseks vajalike abistavate konstruktiivsete sammude tegemiseks kolmnurga, siis seda tehakse a priori, olenemata sellest, kas kolmnurk on toodetud paberil või ainult kujutlusvõimes. Selle põhjuseks on asjaolu, et kuvatav objekt ei laseks ühelgi juhul oma mustrit ühegi kogemuse põhjal (A713 / B741). Enamgi veel,üksikute kolmnurkade sellisest ainsusest kuvatavast on võimalik tuletada kõigi kolmnurkade kohta universaalseid tõdesid, kuna kuvatava objekti konkreetsed määrangud, nt selle külgede ja nurkade suurus, on "täiesti ükskõiksed" muudetud kolmnurga võimele eksponeerida üldkontseptsioon (A714 / B742). Kanti seisukoht tuleb seega kaitsta üldtunnustatud seisukoha vastu, mille kohaselt universaalseid tõdesid ei saa tuletada põhjendustest, mis sõltuvad konkreetsetest esitustest. (Samamoodi on ka empiiriliselt muudetud kolmnurga vähem kui ideaalselt sirged küljed “ükskõiksed” ja seetõttu peetakse sellist empiirilist intuitsiooni geomeetrilise tõestuse jaoks piisavaks. See tõstatab küsimuse, kuidas olla kindel, kas intuitsioon kuvab piisavalt sisu kontseptsioon, seos puhta ja empiirilise intuitsiooni vahel ningeriti seda, milliseid intuitiivselt kuvatavaid funktsioone saab ohutult ignoreerida (Friedman 2010, Friedman 2012).)
Lõppkokkuvõttes väidab Kant, et puhtas intuitsioonis saab konstrueerida ainult "suurusjärkude kontseptsiooni" (koguseid), kuna "omadusi ei saa näidata milleski muus kui empiirilises intuitsioonis" (A714 / B742) (Sutherland 2004a; 2004b, 2005a). See viib matemaatilise ja filosoofilise tunnetuse põhimõttelise eristamiseni: kui filosoofiline tunnetus piirdub abstraktse kontseptuaalse analüüsi tulemustega, siis matemaatiline tunnetus on „järelduste ahela, mida juhib alati intuitsioon”, st selle objektide konkreetne kujutamine (Hintikka 1967, Parsons 1969, Friedman 1992). Kant tüvestab mõnevõrra selgitamaks, kuidas matemaatik konstrueerib geomeetriliste mõttekäikude objektiks olevatest ruumilistest kujunditest eristuvaid aritmeetilisi ja algebralisi suurusi. Eristades "ostensiivset" ja "sümboolset" konstruktsiooni, identifitseerib ta ostensiivse konstruktsiooni geomeetri tavapraktikaga näidata või kuvada ruumilisi figuure, samas kui sümboolne konstruktsioon korreleerub aritmeetiliste või algebraliste sümbolite ühendamisega (nagu näiteks siis, kui "üks") suurusjärk jagatakse teisega, [matemaatika] paigutab nende sümbolid vastavalt jaotuse märkimise vormile…”) (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).[matemaatika] paigutab oma sümbolid vastavalt jaotuse märkimise vormile…”) (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).[matemaatika] paigutab oma sümbolid vastavalt jaotuse märkimise vormile…”) (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).
Kant väidab veel, et puhas suurusjärgu kontseptsioon sobib ehitamiseks, kuna erinevalt teistest puhastest mõistetest ei esinda see võimalike intuitsioonide sünteesi, vaid „sisaldab juba puhast intuitsiooni iseenesest”. Kuid kuna ainsad kandidaadid sellisele “puhtale intuitsioonile” on ruum ja aeg (“pelk esinemisvorm”), järeldub, et puhtas intuitsioonis, st konstrueerituna saab eksponeerida ainult ruumilisi ja ajalisi suurusi. Selliseid ruumilisi ja ajalisi suurusi saab näidata kvalitatiivselt, kuvades asjade kuju, nt aknaklaaside ristkülikukujulisus, või saab neid näidata vaid kvantitatiivselt, kuvades asjade osade arvu, nt klaaside arvu. et aken koosneb. Mõlemal juhul loetakse seda, mida kuvatakse, puhta ja “formaalse intuitsioonina”,mille kontrollimine annab otsuseid, mis “ületavad” algse kontseptsiooni sisu, millega intuitsioon oli seotud. Sellised otsused on paradigmaatiliselt sünteetilised a priori otsused (mida käsitletakse pikemalt allpool), kuna need on ampliatiivsed tõed, mis on õigustatud kogemusest sõltumatult (Shabel 2006).
Kant väidab, et matemaatilist mõttekäiku ei saa kasutada väljaspool matemaatika valdkonda, mis on selliseks mõttekäiguks sobiv, nagu ta ise aru saab, et see on tingimata suunatud objektidele, mis on „kindlalt antud puhtalt intuitsioonis a priori ja ilma igasuguste empiiriliste andmeteta” (A724 / B752). Kuna niiviisi saab anda ainult formaalseid matemaatilisi objekte (st ruumilisi ja ajalisi suurusi), on matemaatiline arutluskäik materiaalselt antud sisu suhtes mõttetu (ehkki formaalsete matemaatiliste objektide matemaatilistest põhjendustest tulenevad tõed rakendatakse sellele materiaalsele sisule viljakalt, mis on öelda, et matemaatika on esinemiste puhul a priori tõene.) Sellest tulenevalt ei saa filosoofia ega füüsikateadused seda “põhjalikku maandamist”, mida matemaatika oma määratlustes, aksioomides ja demonstratsioonides leiab (A727 / B755).
Kuigi Kanti matemaatilise kontseptsiooni konstrueerimise teooria võib olla matemaatilise praktika seletus, kuna Kant mõistis seda [2], on teooria põimunud Kanti laiemate pühendumustega intuitsioonide ja kontseptsioonide kui esitusviiside rangele eristamisele; tundlikkuse ja mõistmise vaimsete võimete vahel; sünteetiliste ja analüütiliste otsuste vahel; ning a priori ja tagantjärele tõendite ja arutluskäikude vahel. Lõppkokkuvõttes sõltub dogmaatilise kasutuse puhta mõistuse distsipliinis välja töötatud matemaatika pilt täielikust otsusteooriast, mille Critique eesmärk on pakkuda, ja ülioluliselt sensitiivsuse teooriast, mida Kant pakub väljaandes Transtsendentaalne esteetika (Parsons 1992, Carson 1997).), samuti vastavates lõikudes Prolegomena transtsendentaalse põhiküsimuse esimeses osas, kus ta uurib matemaatika puhtalt mõistlike mõistete päritolu ja nende kehtivuse ulatust (A725 / B753).[3]
2.2 Kanti vastus küsimusele “Kuidas on puhas matemaatika võimalik?”
Kant küsib oma kriitilise filosoofia kaks seotud küsimust: (1) Kuidas on sünteetilised otsused a priori võimalikud; ja (2) Kuidas on metafüüsika võimalik teadusena (B19; B23)? Matemaatika pakub neile küsimustele vastamiseks erilist viisi, pakkudes kodifitseeritud teaduse distsipliini mudelit, mille võimalus on selge ja mida lisaks garanteerib ka tema enda saavutatud tunnetus, mis on nii sünteetiline kui ka a priori. Teisisõnu, selgitus, kuidas sünteetilisi a priori hinnanguid kinnitatakse matemaatilistes kontekstides, koos sellest tuleneva ja sellega seotud selgitusega, kuidas tõestatavate teadmiste süstemaatiline kogum koosneb sellistest otsustest, võimaldades kasutada matemaatilist tõde kui sisulist paradigmat. vajalikud ja universaalsed tõed, mida metafüüsika loodab saavutada. Kant 'Matemaatilise kontseptsiooni konstrueerimise teooriat (mida arutati eespool) saab täielikult hinnata ainult seoses tema käsitlemisega selliste laiemate küsimuste kohta, mis käsitlevad matemaatiliste ja metafüüsiliste teadmiste olemust ja võimalikkust.
Nii igasuguse tulevase metafüüsika prolegomenaali preambulis kui ka B-sissejuhatuses puhta mõistuse kriitikasse tutvustab Kant analüütilist / sünteetilist vahet, mis eristab otsuseid, mille predikaadid kuuluvad subjekti mõistesse või sisalduvad nendes, ning otsused mille predikaadid on vastavalt subjektikontseptsioonile seotud, kuid lähevad sellest kaugemale. Igas tekstis jälgib ta selle eristuse tutvustamist arutlusega oma väitest, et kõik matemaatilised hinnangud on sünteetilised ja a priori. [4]Seal väidab ta esiteks, et „korralikult matemaatilised hinnangud on alati a priori otsused” põhjusel, et need on vajalikud, ja seega ei saa neid kogemusest tuletada (B14). Ta järgib seda selgitusega, kuidas sellised mitteimüsistlikud hinnangud võivad veel olla sünteetilised, see tähendab, kuidas need saavad olla subjekti sünteesimiseks ja kontseptsiooni ennustamiseks, selle asemel, et lihtsalt subjekti mõistet selle loogilistesse osadesse selgitada või analüüsida. Ta tugineb siin kuulsalt ettepanekule "7 + 5 = 12" ja väidab eitavalt, väites, et "ükskõik kui kaua ma analüüsin oma kontseptsiooni sellisest võimalikust summast [seitse ja viis], ei leia ma sellest ikkagi 12" ja samuti positiivselt, väites, et “tuleb minna neist mõistetest [seitsmest ja viiest] kaugemale, otsides abi intuitsioonis, mis vastab ühele kahest, ühe viiest sõrmest,ütleme… ja üksteise järel lisage intuitsioonis antud viie ühiku seitsme kontseptsiooni juurde ja vaadake, kuidas arv 12 tekib”(B15). Ta järeldab, et sellise aritmeetilise väite nagu "7 + 5 = 12" vajalikku tõde ei saa kindlaks teha ühegi loogilise või kontseptuaalse analüüsi meetodiga (Anderson 2004), vaid selle saab kindlaks teha intuitiivse sünteesi abil (Parsons 1969). Ta järgib seda aritmeetilise mõttekäigu ja tõe arutelu koos vastavate väidetega Eukleidese geomeetria kohta, mille kohaselt geomeetria põhimõtted väljendavad mõistete vahelisi sünteetilisi seoseid (näiteks kahe punkti vahelise sirgjoone kontseptsiooni ja nende vahelise lühima joone kontseptsiooni vahel) samad kaks punkti), millest kumbagi ei saa teisest analüütiliselt "välja tõmmata". Geomeetria põhimõtted väljendavad seoseid geomeetriliste põhikontseptsioonide vahel niivõrd, kuivõrd neid saab “intuitsioonis eksponeerida” (Shabel 2003, Sutherland 2005a).
Mujal hõlmab Kant ka sünteetilisteks peetavate väidete liikidena (lisaks geomeetrilistele põhimõtetele) ka geomeetrilisi teoreeme (Friedman 1992, Friedman 2010). Kuid Kanti ülevaade selliste teoreemide sünteetilisusest ei ole läbipaistev. Kuna ta eitas seda, et põhimõtteid (Grundsätze) oleks võimalik analüütiliselt vastuolulisuse põhimõttest lähtuvalt tunnistada, tunnistab ta, et geomeetriliste teoreemide loomiseks vajalik matemaatiline järeldus toimub „kooskõlas vastuolu põhimõttega” ja et ka „sünteetiline pakkumine võib mõistagi mõista vastuolu põhimõtte kohaselt”, ehkki“ainult juhul, kui eeldatakse muud sünteetilist väidet, millest see järeldada saab, mitte kunagi iseenesest”(B14). Ehkki ta on selge, et kõik matemaatilised hinnangud, sealhulgas geomeetrilised teoreemid,Kuna süntees on sünteetiline, on ta vähem selge, mida see tähendab selliste väidete või järelduste jaoks, mis toetavad neid "kooskõlas" põhimõttega vastuolulisusest, tuletatavusest, millest ta lähtub, kui analüütilise analüüsi paradigma test. See põhjustab tõlgendavat eriarvamust selle osas, kas tõestatavad matemaatilised hinnangud lähtuvad sünteetilistest põhimõtetest rangelt loogiliste või kontseptuaalsete järelduste kaudu - ja seega ranges kooskõlas ainult vastuolu põhimõttega - või kas need tuletatakse järeldustest, mis ise sõltuvad intuitsioonist, kuid mis ei riku vastuolu seadust. Seega on lahkarvamus selle üle, kas Kant pühendub üksnes matemaatika aksioomide sünteetilisusele (mis edastavad sünteesi loogiliste järelduste kaudu tõestatavatele teoreemidele),või on pühendunud ka matemaatiliste järelduste enda sünteetilisusele. Varasem tõlgenduspositsioon on seotud Ernst Cassireri ja Lewis White Beckiga; viimane positsioon Bertrand Russelliga (tulemas Hogan). Gordon Brittan (Brittan 2006) mõistab mõlemat sellist seisukohta „tõendusmaterjalina”, mis on tema märgiks igale tõlgendusele, mille kohaselt intuitsioonid pakuvad matemaatika tõele asendamatuid tõendeid, olgu need tõendid aksioomide või järelduste toetuseks või mõlemad. Tema alternatiivse “objektivistliku” positsiooni kohaselt ei anna intuitsioon tõendusmaterjali, vaid on pigem ainsuse viite ja “objektiivse reaalsuse” semantilised kandjad (Brittan 2006).viimane positsioon Bertrand Russelliga (tulemas Hogan). Gordon Brittan (Brittan 2006) mõistab mõlemat sellist seisukohta „tõendusmaterjalina”, mis on tema märgiks igale tõlgendusele, mille kohaselt intuitsioonid pakuvad matemaatika tõele asendamatuid tõendeid, olgu need tõendid aksioomide või järelduste toetuseks või mõlemad. Tema alternatiivse “objektivistliku” positsiooni kohaselt ei anna intuitsioon tõendusmaterjali, vaid on pigem ainsuse viite ja “objektiivse reaalsuse” semantilised kandjad (Brittan 2006).viimane positsioon Bertrand Russelliga (tulemas Hogan). Gordon Brittan (Brittan 2006) mõistab mõlemat sellist seisukohta „tõendusmaterjalina”, mis on tema märgiks igale tõlgendusele, mille kohaselt intuitsioonid pakuvad matemaatika tõele asendamatuid tõendeid, olgu need tõendid aksioomide või järelduste toetuseks või mõlemad. Tema alternatiivse “objektivistliku” positsiooni kohaselt ei anna intuitsioon tõendusmaterjali, vaid on pigem ainsuse viite ja “objektiivse reaalsuse” semantilised kandjad (Brittan 2006). Tema alternatiivse “objektivistliku” positsiooni kohaselt ei anna intuitsioon tõendusmaterjali, vaid on pigem ainsuse viite ja “objektiivse reaalsuse” semantilised kandjad (Brittan 2006). Tema alternatiivse “objektivistliku” positsiooni kohaselt ei anna intuitsioon tõendusmaterjali, vaid on pigem ainsuse viite ja “objektiivse reaalsuse” semantilised kandjad (Brittan 2006).
Kanti matemaatikafilosoofias sellele tõlgendatavale küsimusele tähelepanu pööramine on ülioluline, kui valgustatakse üldisemat küsimust, mis võimaldab sünteetilist a priori tunnetust - Kanti puhta mõistuse kriitika keskset küsimust. Selle üldisema küsimuse osas on oluline eristada Kanti mõistete „analüütiline” ja „sünteetiline” kasutamist, et tähistada erinevat tüüpi otsuste vahel loogilis-semantilist vahet - mida Kant kasutab eristava väite kaitsmiseks, et matemaatiline tunnetus on sünteetiline a priori - samade mõistete kasutamisest analüütilise ja sünteetilise meetodi vahelise traditsioonilise matemaatilise eristamise tähistamiseks (Beaney 2012). Ta kasutab viimast eristust, et teha kindlaks kaks erinevat argumenteerimisstrateegiat, et vastata küsimusele „puhta matemaatika võimalusest”.”Analüütilist meetodit iseloomustab mõttekäik, mis võimaldab antud tunnetuskeha, näiteks matemaatika, päritolu või allikaid silmas pidada. Seevastu sünteetilise meetodi eesmärk on tõelise tunnetuse tuletamine otse sellistest originaalsetest kognitiivsetest allikatest, mille allikad või võimed ilmnevad kõigepealt sõltumata konkreetsest tunnetuskehast (sealhulgas matemaatikast), mida võimed võivad lõpuks anda. Kant võtab oma Prolegomenas kasutusele endise meetodi, väites matemaatilise otsuse sünteetilisest ja a priori olemusest väites, et ruum ja aeg on inimese tundlikkuse vormid; ta võtab puhta meetodi kriitikas kasutusele viimase meetodi, väites, et inimese tundlikkuse vormid, ruum ja aeg pakuvad alust sünteetiliste ja a priori matemaatiliste hinnangute tuletamiseks (Shabel 2004). Need argumendid,koos kõigi oma matemaatiliste hinnangute sünteetilise ja a priori olemuse kirjelduse vastusega pakuvad vastust matemaatika võimalikkuse küsimusele: paradigmaatiliselt sünteetiliste tavade ja matemaatikateaduse a priori otsuste aluseks olevad tavad põhinevad ning seda seletab inimliku tundlikkuse olemus ja eriti kõigi (ja ainult) inimkogemuse objektide ruumiline ajaline vorm (Van Cleve 1999).kõigi (ja ainult) inimkogemuse objektide ruumilise-ajaliku vormi järgi (Van Cleve 1999).kõigi (ja ainult) inimkogemuse objektide ruumilise-ajaliku vormi järgi (Van Cleve 1999).
2.3 Kanti ettekujutus matemaatika rollist transtsendentaalses idealismis
Kanti matemaatilise praktika teooria ei seostu mitte ainult tema tundlikkuse teooriaga (nagu ülalpool kirjeldatud), vaid ka teiste transtsendentaalse idealismi õpetuse aspektidega, kuna see on sõnastatud Kanti kriitiliste tööde kaudu.
Transtsendentaalses analüüsis järeldab Kant kaheteistkümne kategooria tabeli ehk arusaamise puhtad mõisted, millest esimest kuut kirjeldab ta kui “matemaatilist” (erinevalt “dünaamilisest”) kategooriat, kuna need on seotud intuitsiooni objektidega (B110). Arvu mõistet käsitletakse kui „kuuluvust“kategooriasse „terviklikkus“või totaalsust, mis arvatakse ise tulevat ühtsuse ja paljususe mõistete kombinatsioonist (Parsons 1984). Kuid lisaks väidab Kant, et raskused, mis tekivad lõpmatuste kujutamisel, kus üks väidetavalt esindab ühtsust ja paljusust, ilma et sellest järelduks arvu esinemine, näitavad, et numbri mõiste peab nõudma „erilise mõistmise akti” vahendamist (B111).(See eriakt on eeldatavalt süntees, mida Kant kirjeldab nii kujutlusvõime kui ka mõistmise funktsioonina ja mille lahti seletamine on otsuste täieliku teooria, sealhulgas Transtsendentaalse deduktsiooni ja Schematismi ülesanne (Longuenesse 1998).) Nii, kuigi ta väidab ka, et aritmeetika „moodustab oma arvude kontseptsioonid ajaühikute järjestikuse liitmise teel” (4: 283), on eksitav järeldada, et aritmeetika on aeg, kuna geomeetria on ruum, kuna aja formaalne intuitsioon on ebapiisav selgitada üldist ja abstraktset arvuteadust.kuigi ta väidab ka, et aritmeetika „moodustab arvude kontseptsioonid ajaühikute järjestikuse liitmise teel” (4: 283), on eksitav järeldada, et aritmeetika on aeg, kuna geomeetria on ruum, kuna aja formaalne intuitsioon on ebapiisav selgitada üldist ja abstraktset arvuteadust.kuigi ta väidab ka, et aritmeetika „moodustab arvude kontseptsioonid ajaühikute järjestikuse liitmise teel” (4: 283), on eksitav järeldada, et aritmeetika on aeg, kuna geomeetria on ruum, kuna aja formaalne intuitsioon on ebapiisav selgitada üldist ja abstraktset arvuteadust.[5] (Tegelikult kuulutab Kant mehaanikat matemaatika teaduseks, mis on aeg-ajalt see, mis on ruumi geomeetria.)
Skeemias kohustub Kant tuvastama konkreetse mehhanismi, mis võimaldab mõistmise puhtatel kontseptsioonidel kasutada mõistlikke intuitsioone, millega nad on heterogeensed. Kategooriad peavad olema “skeemitatud”, kuna nende mitte-empiiriline päritolu puhtalt mõistes takistab neil omada sellist mõistlikku sisu, mis ühendaks need kohe kogemuse objektidega; transtsendentaalsed skeemid on vahendavad representatsioonid, mille eesmärk on luua seos puhtalt mõistete ja esinemiste vahel reeglipäraselt. Matemaatilisi mõisteid käsitletakse selles kontekstis, kuna need on ainulaadsed nii puhtalt kui ka mõistlikult: nad on puhtad, kuna nende päritolu on rangelt a priori, ja siiski on nad mõistlikud, kuna need on konstrueeritud konkreetselt.(Kant raskendab seda küsimust veelgi, määrates arvu suurusjärgu kategooria puhtaks skeemiks (Longuenesse 1998).) Tekib tõlgendav küsimus, kas matemaatilised mõisted, mille kontseptuaalne sisu on esitatud mõistlikult, vajavad skeemimist eristatava “kolmanda asjaga”.”Ja kui jah, siis millega see kokku puutub (Young 1984). Laiemas plaanis tõstatub küsimus, kuidas toimib transtsendentaalne kujutlusvõime, skeemituse eest vastutav õppejõud, matemaatilistes kontekstides (Domski 2010).tõstatub küsimus, kuidas toimib transtsendentaalne kujutlusvõime, skematismi eest vastutav õppejõud, matemaatilistes kontekstides (Domski 2010).tõstatub küsimus, kuidas toimib transtsendentaalne kujutlusvõime, skematismi eest vastutav õppejõud, matemaatilistes kontekstides (Domski 2010).
Lõpuks tuletab Kant põhimõtete analüüsimisel sünteetilised otsused, mis “voolavad a priori puhtalt arusaamise kontseptsioonidest” ja mis põhjendavad kõiki muid, sealhulgas ka matemaatika a priori tunnetusi (A136 / B175). Puhta mõistmise põhimõtted, mis on seotud kvantiteedikategooriatega (st ühtsus, paljusus ja totaalsus), on intuitsiooni aksioomid. Kui õiged matemaatikapõhimõtted on „saadud ainult intuitsioonist” ja seega ei moodusta need puhta mõistmise põhimõtete süsteemi osa, tuleb selliste matemaatiliste põhimõtete võimalikkuse selgitamisele (eespool visandatud) lisada võimalikult suur ülevaade. transtsendentaalsed põhimõtted (A148–9 / B188–9). Seetõttu pakuvad intuitsiooni aksioomid metaprintsiipi ehk kvantitatiivsete matemaatiliste põhimõtete põhimõtet,nimelt: “Kõik intuitsioonid on ulatuslikud ulatused” (A161 / B202). Enamik kommenteerijaid tõlgendab Kanti siinkohal eesmärgiga selgitada, miks matemaatika põhimõtted, mis on seotud puhta ruumi ja ajaga, on kohalduvad esinemistele: esinemisi saab esitada vaid “sama sünteesi kaudu, mille kaudu ruum ja aeg üldiselt on määratud”(A161 / B202). Niisiis, kõik intuitsioonid, olgu need puhtad või empiirilised, on „ulatuslikud suurusjärgud”, mida juhivad matemaatika põhimõtted. Alternatiivset seisukohta väljendades näeb Daniel Sutherland intuitsiooni aksioome, mis käsitlevad „mitte ainult matemaatika rakendatavust, vaid ka igasuguse matemaatilise tunnetuse võimalust, olgu see siis puhas või rakenduslik, üldine või spetsiifiline” ning omavad laiemat tähendust kui on hinnatud (). Sutherland 2005b).
(Tähelepanuväärne on ka see, et kohtuotsuse jõu kriitika olulisemad lõigud käsitlevad matemaatikat ja „matemaatilist ülevat” (Breitenbach 2015). Vt eriti [5: 248ff].)
3. Kommentaar ja tõlgendav arutelu
Kanti matemaatika kontseptsiooni arutasid tema kaasaegsed; mõjutanud ja provotseerinud Frege, Russell ja Husserl; ja pakkus inspiratsiooni Brouweri intuitsiooniks. Tema ettekujutust matemaatikast noorendas Gottfried Martini 1938. aasta monograafia Arithmetik und Kombinatoric bei Kant (Martin 1985) põhjaliku ajaloolise uurimise väärilisena. Vaatamata väga erinevatele seisukohtadele, mis tänapäevastel kommentaatoritel Kanti mõtte mõistmiseks kõige paremini välja kujunevad, on nad üldjoontes ühinenud pika standardiga loo vastandamisele (võib-olla on seda algselt propageerinud Bertrand Russell oma matemaatikapõhimõtetes ja Rudolph Carnap oma filosoofilistes alustel) Physics), mille kohaselt arengu kaasaegse loogika 19 th ja 20 thsajandite vältel, mitte-eukleidiliste geomeetriate avastamine ja matemaatika vormistamine muudab Kanti intuitsioonipõhise matemaatika teooria ja sellega seotud filosoofilised kohustused aegunuks või ebaoluliseks. Kaasaegsed kommentaatorid soovivad rekonstrueerida Kanti matemaatikafilosoofia Kanti enda ajaloolise konteksti vaatevinklist ja tuvastada ka Kanti matemaatikafilosoofia elemendid, mis pakuvad igavest filosoofilist huvi.
Viimasel ajal on Kanti matemaatikafilosoofia teemalist stipendiumi kõige tugevamalt mõjutanud Jaakko Hintikka ja Charles Parsonsi vaheline kestev arutelu Kanti “loogiliste” ja “fenomenoloogiliste” tõlgenduste üle; Michael Friedmani seemneraamatu Kant ja täppisteadused (Friedman 1992), aga ka tema nüüd klassikaliste artiklite “Kanti geomeetriateooria” ja “Kanti ja tema järglaste geomeetria, ehitus ja intuitsioon” (Friedman 1985, 2000); ja Carl Posy köites Kanti matemaatikafilosoofia kogutud artiklid (mis hõlmavad Hintikka, Parsonsi ja Friedmani, aga ka Stephen Barkeri, Gordon Brittani, William Harperi, Philip Kitcheri, Arthur Melnicki, Carl Posy, Manley Thompsoni ja J. Michael Young,kõik need avaldati enam kui kakskümmend aastat tagasi (Posy 1992).)[6] Uued teadlaste põlvkonnad aitavad kaasa elavale, viljakale ja kestvale arutelule Kanti matemaatikafilosoofia tõlgendamise ja pärandi üle, mis pärineb sellest kirjandusest.
Kandi matemaatikafilosoofias on stipendiumi kuju kõige tugevamalt mõjutanud tõlgendav arutelu selle üle, kuidas mõista Kanti seisukohta intuitsiooni rollist matemaatilistes kaalutlustes; see arutelu on otseselt seotud küsimusega (ülalpool kirjeldatud) matemaatiliste aksioomide, teoreemide ja järelduste sünteesi kohta. Vaimse esindatuse üldises arutelus vihjab Kant, et otsekohesus ja singulaarsus on mõlemad mittekontseptuaalse, intuitiivse esituse kriteeriumid - esindusliigid, mis põhjustavad sünteetilist otsust. Charles Parsons (Parsons 1964, 1969, 1984) on mitmetes artiklites väitnud, et matemaatiliste hinnangute sünteetilisus sõltub sellest, kas matemaatilised intuitsioonid on põhimõtteliselt kohese iseloomuga, ning ta selgitab selliste esinduste vahetust tajutaval viisil otsese,fenomenoloogiline kohalolu mõistusele. Jaakko Hintikka (Hintikka 1965, 1967, 1969), arendades EW Bethi varasema loomingu ideed, väidab, et matemaatiliste hinnangute sünteetilisus sõltub selle asemel ainult nende intuitiivsete koostisosade ainulaadsusest. Hintikka assimileerib matemaatilisi intuitsioone ainsuseterminitesse või üksikasjadesse ning selgitab intuitsiooni kasutamist matemaatilises kontekstis analoogia abil eksistentsiaalse kiirenduse loogilise käiguga. Neid kahte positsiooni on hakatud nimetama vastavalt „fenomenoloogiliseks” ja „loogiliseks” tõlgenduseks. Hintikka assimileerib matemaatilisi intuitsioone ainsuseterminitesse või üksikasjadesse ning selgitab intuitsiooni kasutamist matemaatilises kontekstis analoogia abil eksistentsiaalse kiirenduse loogilise käiguga. Neid kahte positsiooni on hakatud nimetama vastavalt „fenomenoloogiliseks” ja „loogiliseks” tõlgenduseks. Hintikka assimileerib matemaatilisi intuitsioone ainsuseterminitesse või üksikasjadesse ning selgitab intuitsiooni kasutamist matemaatilises kontekstis analoogia abil eksistentsiaalse kiirenduse loogilise käiguga. Neid kahte seisukohta on hakatud nimetama vastavalt „fenomenoloogiliseks” ja „loogiliseks” tõlgenduseks.
Michael Friedmani algne seisukoht (Friedman 1985, 1992) tuleneb intuitsiooni rollist matemaatilistes mõttekäikudes Bethi ja Hintikka omadest, ehkki see erineb oluliselt nende omast ja seda on muudetud ka tema viimastes kirjutistes. Oma kantslis Kont ja täppisteadused (Friedman 1992) võtab Friedman seisukoha, et meie tänapäevast loogikakäsitlust tuleks kasutada Kandi tõlgendamise (mitte kritiseerimise) vahendina, märkides, et matemaatiliste objektide lõpmatuse selgesõnaline esitamine, mis saab genereerida kaasaegse kvantifitseerimise teooria polüaadilise loogika abil, mis on Kanti aja matemaatiku ja loogiku jaoks kontseptuaalselt kättesaamatu. Kuna monaadiline loogika ei vasta objektide lõpmatusele,kaheksateistkümnenda sajandi matemaatik tugineb intuitsioonile, et edastada matemaatilisteks põhjendusteks vajalikke representatsioone. Friedman selgitab selle ajaloolise ülevaate põhjal Kanti matemaatikafilosoofia üksikasju.
Friedman muutis oma algset seisukohta vastuseks Emily Carsoni (Carson 1997) kriitikale, kes on välja töötanud Kanti geomeetriateooria tõlgenduse, mis on Parsonsiani oma antiformaalse rõhuasetusega epistemoloogilisele ja fenomenoloogilisele rõhuasetusele intuitsiooni loogilise rolli üle matemaatikas. Värskes töös (Friedman 2000, 2010) väidab Friedman, et alusgeomeetria, mis põhjendab geomeetriat, on põhimõtteliselt kinemaatiline ja seda saab kõige paremini selgitada tõlgete ja pöörlemistega, mis kirjeldavad nii Eukleidese geomeetri konstruktiivset tegevust kui ka tavapärase tajumise vaatenurka., ruumiliselt orienteeritud vaatleja. See uus konto pakub sünteesi loogilise ja fenomenoloogilise tõlgenduskonto vahel,suures osas ühendades kujutlusvõime poolt uuritud geomeetrilise ruumi Euclidean-konstruktsioonide kaudu perspektiivaalruumiga, mis on Kanti sõnul kogu välise tundlikkuse vorm. Täpsemalt, ta ühitab loogika fenomenoloogilisega, ““kinnistades kosmoses olevate geomeetriliste konstruktsioonide (nagu Skolem funktsioneerib) puhtloogilise mõistmise meie välise mõistliku intuitsiooni puhta vormina (nagu on kirjeldatud Transtsendentaalses esteetikas)”(Friedman 2012, n.17).ta lepitab loogika fenomenoloogilisega, "[kinnistades] kosmose geomeetriliste konstruktsioonide (nagu Skolem funktsioneerib) puhtloogilise mõistmise meie välise mõistliku intuitsiooni puhta vormina (nagu on kirjeldatud Transtsendentaalses esteetikas)" (Friedman 2012, n. 17).ta lepitab loogika fenomenoloogilisega, "[kinnistades] kosmose geomeetriliste konstruktsioonide (nagu Skolem funktsioneerib) puhtloogilise mõistmise meie välise mõistliku intuitsiooni puhta vormina (nagu on kirjeldatud Transtsendentaalses esteetikas)" (Friedman 2012, n. 17).
Bibliograafia
Viited Kanti tekstidele järgivad Akadeemia väljaande lehekülgi (Gesammelte Schriften, Akademie der Wissenschaften (toim), Berliin: Reimer / DeGruyter, 1910ff.). Viidetes Puhta Põhjuse Kriitikale kasutatakse tavalist A / B konventsiooni. Tõlked on pärit Immanuel Kanti teoste Cambridge'i väljaandest.
Anderson, RL, 2004, “See lisab lõppude lõpuks: Kanti aritmeetikafilosoofia traditsioonilise loogika valguses”, filosoofia ja fenomenoloogilised uuringud, 69 (3): 501–540.
Breitenbach, A., 2015, “Beauty in Proofs: Kant on Esteetics in Mathematics”, European Journal of Philosophy, 23: 955–977; esmakordselt veebis avaldatud 2013, doi: 10.1111 / ejop.12021
Brittan, G., 1992, “Algebra ja intuitsioon” Posy 1992, lk 315–340.
Buroker, JV, 1981, Space and Incongruence: Kanti idealismi päritolu, Dordrecht: D. Reidel.
Butts, R., 1981, “Kandi matemaatika teooriad, näited ja konstruktsioonid”, Synthese, 47 (2): 257–288.
Carson, E., 1997, “Kant intuitsiooni kohta geomeetrias”, Kanada ajakiri filosoofiast, 27 (4): 489–512.
–––, 1999, “Kant matemaatika meetodi kohta”, ajakiri Ajalugu filosoofiast, 37 (4): 629–652.
––– 2002, „Locke'i ülevaade teatavatest ja õpetlikest teadmistest”, Briti ajakiri filosoofiaajaloo kohta, 10 (3): 359–378.
–––, 2004, “Metafüüsika, matemaatika ja Kanti avakirjas distsiplineerimine mõistliku ja mõistliku vahel”, Filosoofia ajaloo ajakiri, 42 (2): 165–194.
Domski, M., 2010, “Kant kujutlusvõimes ja geomeetrilises kindluses”, Perspectives on Science, 18 (4): 409–431.
––– 2012, „Kant ja Newton geomeetria eelisvajadusest“, ajaloo ja teaduse filosoofia uuringud (A osa), 44 (3): 438–447.
Domski, M. ja Dickson, M. (toim.), 2010, Diskursus uuest meetodist: ajaloo ja teadusfilosoofia abielu taaselustamine, Chicago: Open Court Publishing.
Dunlop, K., 2012, “Kant ja Strawson geomeetriliste mõistete sisust”, Noûs, 46 (1): 86–126.
Friedman, M., 1985, “Kanti geomeetriateooria”, Filosoofiline ülevaade, 94 (4): 455–506.
––– 1992, Kant ja täppisteadused, Cambridge: Harvard University Press.
–––, 2000, “Geomeetria, ehitus ja intuitsioon Kanti ja tema järglastes”, G. Scher ja R. Tieszen (toim.), Loogika ja intuitsiooni vahel: Esseed Charles Parsonsi auks, Cambridge: Cambridge University Press, lk 186–218.
–––, 2010, „Sünteetiline ajalugu uuesti läbi vaadatud“, Domski ja Dickson 2010, lk 573–813.
Guyer, P. (toim.), 1992, Cambridge'i kaaslane Kanti juurde, Cambridge: Cambridge University Press.
Guyer, P. (toim), 2006, Cambridge'i kaaslane Kanti ja kaasaegse filosoofia jaoks, Cambridge: Cambridge University Press.
Hagar, A., 2008, “Kant ja mitte-eukleidiline geomeetria”, Kant-Studien, 99 (1): 80–98.
Hanna, R., 2002, “Matemaatika inimestele: Kanti aritmeetika filosoofia uuesti läbi vaadatud”, Euroopa ajakiri filosoofiast, 10 (3): 328–352.
Harper, W., 1984, “Kant kosmosest, empiiriline realism ja geomeetria alused”, Topoi, 3 (2): 143–161. [Kordustrükk ajakirjas Posy 1992.]
Hatfield, G., 2006, “Kant ruumi (ja aja) tajumise kohta”, Guyer 2006, lk 61–93.
Tulemas on Heis, J., “Kant paralleeljoontel”, Posy ja Rechter.
Hintikka, J., 1965, “Kanti„ Uus mõttemeetod”ja tema matemaatika teooriad”, Ajatus, 27: 37–47.
–––, 1967, “Kant matemaatilisest meetodist”, The Monist, 51 (3): 352–375. [Kordustrükk ajakirjas Posy 1992]
––– 1969, „Kanti arusaamast intuitsioonist (Anschauung)”, T. Penelhumis ja JJ MacIntoshis (toim), Esimene kriitika, Belmont, CA: Wadsworth Publishing.
–––, 1984, “Kanti transtsendentaalne meetod ja tema matemaatika teooria”, Topoi, 3 (2): 99–108. [Kordustrükk ajakirjas Posy 1992]
Hogan, D., tulemas, “Kant ja matemaatiliste järelduste tegelane”, Posy ja Rechter.
Horstmann, RP, 1976, “Kosmos kui intuitsioon ja geomeetria”, suhe, 18: 17–30.
Jauernig, A., 2013, “Geomeetria sünteetiline olemus ja konstruktsiooni roll intuitsioonis”, S. Bacin, A. Ferrarin, C. La Rocca ja M. Ruffing (toim), Akten des XI. Rahvusvaheline Kant Kongress 2010, Berliin / New York: Walter de Gruyter.
Kim, J., 2006, “Kontseptsioonid ja intuitsioonid Kanti geomeetriafilosoofias”, Kant-Studien, 97 (2): 138–162.
Kitcher, P., 1975, “Kant ja matemaatika alused”, The Philosophical Review, 84 (1): 23–50. [Kordustrükk ajakirjas Posy 1992]
Laywine, A., 1993, Kanti varajane metafüüsika ja kriitilise filosoofia alged, Atascadero, CA: Ridgeview.
––– 2010, „Kant ja Lambert geomeetrilistest postulaatidest metafüüsika reformis“, Domski ja Dickson 2010, lk 113–133.
Longuenesse, B., 1998, Kant ja kohtunikuvõime. Princeton: Princeton University Press.
Martin, G., 1985, Aritmeetika ja kombinatoorika: Kant ja tema kaasaegsed, J. Wubnig, (trans.), Carbondale ja Edwardsville: Southern Illinois University Press.
Melnick, A., 1984, “Intuitsioonivormi geomeetria”, Topoi, 3 (2): 163–168. [Kordustrükk ajakirjas Posy 1992]
Parsons, C., 1964, “Lõpmatus ja Kanti ettekujutus“kogemuse võimalikkusest””, Filosoofiline ülevaade, 73 (2): 182–197. [Kordustrükis Parsons 1983]
–––, 1969, “Kanti aritmeetikafilosoofia”, S. Morgenbesser, P. Suppes ja M. White (toim.), Filosoofia, teadus ja meetod: esseed Ernest Nageli auks, New York: St. Martin's Vajutage. [Kordustrükk Parsons 1983 ja Posy 1992]
–––, 1983, matemaatika filosoofias: valitud esseed. Ithaca: Cornell University Press.
–––, 1984, “Aritmeetika ja kategooriad”, Topoi, 3 (2): 109–121. [Kordustrükk ajakirjas Posy 1992.]
–––, 2008, „Intuitsioon ja lõpmatus: kanti teema kajadega matemaatika alustel”, Kuningliku filosoofiainstituudi lisa, 63: 165–193.
Posy, C. ja Rechter, O. (toim.), Tulemas, Kanti matemaatikafilosoofia, 2 köidet, Cambridge: Cambridge University Press.
Rechter, O., 2006, “Vaade aastast 1763: Kant aritmeetilisest meetodist enne intuitsiooni”, osades E. Carson ja R. Huber (toim), “Intuitsioon ja aksiomaatiline meetod”, Dordrecht: Springer.
Risjord, M., 1990, “Matemaatika mõistlik alus: Kanti vaate kaitsmine”, loodusteaduste ajaloo ja filosoofia uuringud, 21 (1): 123–143.
Rusnock, P., 2004, “Kas Kanti matemaatikafilosoofia oli õige tema ajal?”, Kant-Studien, 95 (4): 426–442.
Schönfeld, M., 2000, Noore Kanti filosoofia: preriitiline projekt, New York: Oxford University Press.
Shabel, L., 1998, “Kant matemaatiliste mõistete sümboolse ehituse kohta”, ajaloo ja teaduse filosoofia uuringud, 29 (4): 589–621.
–––, 2003, Matemaatika Kanti kriitilises filosoofias: mõtteid matemaatilisest praktikast, New York: Routledge.
–––, 2004, “Kanti argument“Geomeetriast”, ajakiri Ajaloo filosoofiast 42 (2): 195–215.
Strawson, PF, 1966, Mõistuse piirid, London: Methuen, viies osa.
Sutherland, D., 2004a, “Kanti matemaatikafilosoofia ja kreeka matemaatiline traditsioon”, The Philosophical Review, 113 (2): 157–201.
–––, 2004b, “Suuruse roll Kanti kriitilises filosoofias”, Kanada ajakiri filosoofiast, 34 (3): 411–441.
–––, 2005a, „Kant põhiliste geomeetriliste suhete kohta”, Archiv für Geschichte der Philosophie, 87 (2): 117–158.
–––, 2005b, „Kanti intuitsiooni aksioomide punkt“, Vaikse ookeani filosoofiline kvartal, 86 (1): 135–159.
–––, 2006, „Kant aritmeetikast, algebrast ja proportsioonide teooriast“, ajakiri Ajalugu filosoofiast, 44 (4): 533–558.
–––, 2010, „Filosoofia, geomeetria ja loogika Leibnizis, Wolffis ja varajases kantris“, Domski ja Dickson 2010, lk 155–192.
Thompson, M., 1972, “Ainsuse mõisted ja intuitsioon Kanti epistemoloogias”, Review of Metaphysics, 26 (2): 314–343. [Kordustrükk ajakirjas Posy 1992]
van Cleve, J. ja Frederick, R. (toim.), 1991, Parempoolsete ja vasakpoolsete filosoofia: vastandlikud partnerid ja ruumi olemus, Dordrecht, Boston: Kluwer Academic Publishers.
van Cleve, J., 1999, Probleemid Kantilt, Oxford: Oxford University Press.
Young, JM, 1984, “Ehitus, skemaatika ja kujutlusvõime”, Topoi, 3 (2): 123–131. [Kordustrükk ajakirjas Posy 1992]
Akadeemilised tööriistad
sep mehe ikoon
Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon
Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon
Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon
Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.
Muud Interneti-ressursid
Kant: ülevaade akadeemia väljaandest, Kanti Gesammelte Schrifteni täielik kirjeldus.
