Intuitionistlik Tüüpi Teooria

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-05-24 11:17

Sisenemise navigeerimine

• Sissesõidu sisu
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Sõprade PDF-i eelvaade
• Teave autori ja tsitaadi kohta
• Tagasi üles

Intuitionistlik tüüpi teooria

Esmakordselt avaldatud reedel 12. veebruaril 2016; sisuline läbivaatamine esmaspäeval 8. juunil 2020

Intuitionistlik tüüpi teooria (ka konstruktiivse tüübi teooria või Martin-Löfi tüüpi teooria) on formaalne loogiline süsteem ja filosoofiline alus konstruktiivsele matemaatikale. See on täisskaala süsteem, mille eesmärk on mängida konstruktiivse matemaatika jaoks sarnast rolli nagu Zermelo-Fraenkeli teooria puhul klassikalise matemaatika puhul. See põhineb ettepanekute-tüüpide põhimõttel ja selgitab intuitiivse loogika Brouwer-Heyting-Kolmogorovi tõlgendust. See laiendab seda tõlgendust intuitionistliku tüüpi teooria üldisemale seadmisele ja annab seega üldise ettekujutuse mitte ainult sellest, mis on konstruktiivne tõestus, vaid ka sellest, mis on konstruktiivne matemaatiline objekt. Põhiidee on see, et matemaatilisi mõisteid, nagu elemendid, kogumid ja funktsioonid, selgitatakse programmeerimisest tulenevate mõistete kaudu nagu andmestruktuurid,andmetüübid ja programmid. See artikkel kirjeldab intuitionistliku tüüpi teooria formaalset süsteemi ja selle semantilisi aluseid.

Selles sissekandes anname esmalt ülevaate intuitionistliku tüüpi teooria olulistest aspektidest - omamoodi „laiendatud abstraktsusest”. See on mõeldud lugejale, kes on teooriaga juba mõnevõrra tuttav. Teisest küljest on 2. osa mõeldud lugejale, kes on uus intuitsioonistliku tüüpi teooria, kuid on tuttav traditsioonilise loogikaga, sealhulgas propositsioonilise ja predikaatloogika, aritmeetika ja komplektiteooriaga. Tutvustame siin mitteametlikult mitmeid aspekte, mis eristavad intuitionistlikku tüüpi teooriat nendest traditsioonilistest teooriatest. 3. jaotises tutvustame teooria põhiversiooni, mis on lähedal Martin-Löfi esimesele avaldatud versioonile aastast 1972. 2. jao mitteametlikkusest vaimustatud lugeja näeb nüüd üksikasjalikult, kuidas teooria üles ehitatakse. Seejärel tutvustatakse 4. osas põhiteooria olulisi laiendusi. Eriti,see rõhutab induktiivsete (ja induktiiv-rekursiivsete) määratluste keskset rolli. 5. jaos tutvustatakse filosoofilisi ideid, sealhulgas Martin-Löfi väljatöötatud tähendusteooriat. Kui 5. jaos käsitletakse filosoofiat ja aluseid, siis 6. jaos antakse ülevaade teooria matemaatilistest mudelitest. Lõpuks kirjeldame 7. jaos mitmeid olulisi variatsioone tuuma Martin-Löfi „intensiivsuse” põhiteooriast, mida on kirjeldatud 3. ja 4. osas.kirjeldame peatükkides 3 ja 4 kirjeldatud Martin-Löfi “intensiivse” tuumteooria mitmeid olulisi variatsioone.kirjeldame peatükkides 3 ja 4 kirjeldatud Martin-Löfi “intensiivse” tuumteooria mitmeid olulisi variatsioone.

• 1. Ülevaade

• 2. Ettepanekud tüüpidena

  • 2.1 Intuitionistlik tüüpi teooria: uus viis loogika vaatlemiseks?
  • 2.2 Curry-Howardi kirjavahetus
  • 2.3 Tõendusobjektide komplektid
  • 2.4 Sõltuvad tüübid
  • 2.5 Ettepanekud tüüpidena intuitsioonilisest tüübiteooriast

• 3. Intuitsioonilise tüüptaseme põhiteooria

  • 3.1 Kohtuotsused
  • 3.2 Kohtuotsuse vormid
  • 3.3 Järeldusreeglid
  • 3.4 Intuitionistlik ennustamisloogika
  • 3.5 Looduslikud arvud
  • 3.6 Väiketüüpide universum
  • 3.7 Esialgne identiteet
  • 3.8 Valiku aksioom on teoreem

• 4. Laiendused

  • 4.1 Loogiline raamistik
  • 4.2 Endine üldise isikutüübi tüüp
  • 4.3 Hästi rajatud puud
  • 4.4 Iteratiivsed komplektid ja CZF
  • 4.5 Induktiivsed määratlused
  • 4.6 Induktiiv-rekursiivsed mõisted

• 5. Tähenduse seletused

  • 5.1 Arvutamine kanoonilisse vormi
  • 5.2 Kategooriliste otsuste tähendus
  • 5.3 Hüpoteetiliste otsuste tähendus

• 6. Matemaatilised mudelid

  • 6.1 Kategoorilised mudelid
  • 6.2 Set-Theoretic Model
  • 6.3 Realiseeritavuse mudelid
  • 6.4 Tavaliste vormide ja tüübikontrolli mudel

• 7. Teooria variandid

  • 7.1 Laienditüübi teooria
  • 7.2 Universaalsed alused ja homotoopia tüüpi teooria
  • 7.3 Osaline ja mittestandardne tüüpi teooria
  • 7.4 Tüüpiline teooria
  • 7.5 Tõestatud assistendid
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. Ülevaade

Alustame linnulennult intuitiivse tüübiteooria olulistest aspektidest. Lugejad, kes pole selle teooriaga tuttavad, võiksid selle esimesel lugemisel vahele jätta.

Intuitionistliku tüübiteooria lähtekohaks on Brouweri intuitsionism ja Russelli tüüpi teooria. Nagu kiriku klassikaline lihtne lihtteooria, põhineb see tüübil põhineval lambda-arvutusel, kuid erineb sellest selle poolest, et põhineb väidete tüübina põhimõttel, mille Curry (1958) avastas väidetava loogika jaoks ja laiendas loogika ennustamiseks Howard (1980) ja de Bruijn (1970). Selle laiendamise tegi võimalikuks tüüpide (sõltuvate tüüpide) indekseeritud perekondade kasutuselevõtt predikaatloogika predikaatide esindamiseks. Sel moel saab kõiki loogilisi ühendusi ja kvantiive tõlgendada tüübimuundurite poolt. Intuitsionistlikku tüüpi teooriasse lisatakse täiendavaid tüüpe, näiteks naturaalarvude tüüp, väiketüüpide tüüp (universum) ja hästi rajatud puude tüüp. Saadud teooria sisaldab intuitionistlikku arvuteooriat (Heytingi aritmeetika) ja palju muud.

Teooria on sõnastatud loomuliku deduktsiooni teel, kus iga tüübi moodustajate reeglid klassifitseeritakse moodustamise, sissejuhatuse, kõrvaldamise ja võrdsuse reegliks. Need reeglid näitavad Gentzeni ja Prawitzi loomuliku deduktsiooni käsitlemise järgset sissejuhatuse ja kõrvaldamise reeglite vahel teatavat sümmeetriat, nagu on selgitatud tõenditeoreetilise semantika sissekandes.

Pakkumiste elemente, kui neid tõlgendada tüüpidena, nimetatakse tõendusobjektideks. Kui naturaalsele deduktiivsusele lisatakse tõendusobjekte, muutub see sõltuvate tüüpidega trükitud lambda-kalkuniks, mis laiendab kiriku algselt trükitud lambda-kalkule. Võrdõiguslikkuse reeglid on selle arvutuse tingimuste arvutamisreeglid. Iga teoorias määratletav funktsioon on totaalne ja arvutatav. Intuitionistlik tüüpi teooria on seega tipitud funktsionaalne programmeerimiskeel, mille ebahariliku omadusega kõik programmid lõpevad.

Intuitionistlik tüüpi teooria pole üksnes formaalne loogiline süsteem, vaid pakub ka intuitsioonismi terviklikku filosoofilist raamistikku. See on tõlgendatud keel, kus kohtuotsuse demonstreerimise ja ettepaneku tõestamise eristamine mängib olulist rolli (Sundholm 2012). Raamistik selgitab intuitiivistliku loogika Brouwer-Heyting-Kolmogorovi tõlgendust ja laiendab seda intuitionistliku tüüpi teooria üldisemale sättele. Seejuures annab see üldise ettekujutuse mitte ainult konstruktiivsest tõestusest, vaid ka sellest, mis on konstruktiivne matemaatiline objekt. Intuitionistliku tüübiteooria otsuste tähendust selgitatakse tüüpide ja terminite kanooniliste vormide arvutamisel. Need mitteametlikud,intuitiivsed tähenduse seletused on matemaatika-eelne ja neid tuleks vastandada formaalsetele matemaatilistele mudelitele, mis on välja töötatud standardses matemaatilises raamistikus, näiteks hulgateooria.

See tähendusteooria õigustab ka mitmesuguseid induktiivseid, rekursiivseid ja induktiiv-rekursiivseid määratlusi. Ehkki tõestatud-teoreetiliselt tugevad arusaamad võivad olla õigustatud, näiteks teatud suurte kardinalide analoogid, peetakse süsteemi predikatiivseks. Kõrgema järgu loogikas, intuitionistlikus kogumiteoorias ja topos-teoorias leiduvad sellised implikatiivsed määratlused ei kuulu teooria hulka. Samuti pole Markovi põhimõte ja seega eristub teooria vene konstruktivismist.

Alternatiivne formaalne loogiline süsteem predikatiivse konstruktiivse matemaatika jaoks on Myhilli ja Aczeli konstruktiivne Zermelo-Fraenkeli komplektiteooria (CZF). Sellel intuitsioonilisel esimese astme predikaatloogikal põhineval teoorial, mis nõrgestab klassikalise Zermelo-Fraenkeli komplekti teooria mõnda aksioomi, on intuitsioonistliku tüüptiteooria loomulik tõlgendus. Seega moodustavad Martin-Löfi tähenduse seletused kaudselt CZF-i aluse.

Intuitsionistliku tüübi teooria variandid on mitmete laialdaselt kasutatavate tõestusassistentide, sealhulgas NuPRL, Coq ja Agda aluseks. Need tõestusassistendid on arvutisüsteemid, mida on kasutatud matemaatiliste teoreemide suurte ja keerukate tõendite vormistamiseks, näiteks Neli värvi teoreem graafiteoorias ja Feit-Thompsoni teoreem lõplikus rühmateoorias. Neid on kasutatud ka realistliku C-kompilaatori (Leroy 2009) ja muu arvutitarkvara õigsuse tõestamiseks.

Filosoofiliselt ja praktiliselt on intuitionistlik tüüpi teooria alusraamistik, kus konstruktiivne matemaatika ja arvutiprogrammeerimine on sügavas mõttes samad. Seda punkti on rõhutanud (Gonthier 2008) artiklis, milles ta kirjeldab oma tõestust nelja värvi teoreemi kohta:

Selle tõestuse jaoks edukaks osutunud lähenemisviis oli muuta peaaegu iga matemaatiline kontseptsioon Coq-süsteemi andmestruktuuriks või programmiks, muutes seeläbi kogu ettevõtte üheks programmi kontrollimiseks.

2. Ettepanekud tüüpidena

2.1 Intuitionistlik tüüpi teooria: uus viis loogika vaatlemiseks?

Intuitionistlik tüüpi teooria pakub uut viisi loogika analüüsimiseks, peamiselt selgesõnaliste tõendusobjektide kasutuselevõtu kaudu. See pakub loogika otsest arvutuslikku tõlgendust, kuna tõendusobjektide jaoks on olemas arvutusreeglid. Ekspressiivse jõu osas võib intuitionistlikku tüüpi teooriat käsitleda esimese järgu loogika laiendusena, sama palju kui kõrgema järgu loogikat, kuid predikatiivset.

2.1.1 Tüüpide teooria

Russell töötas välja tüübiteooria vastusena naiivse komplektiteooria paradoksi avastamisele. Tema ramifitseeritud tüübi teoorias klassifitseeritakse matemaatilised objektid nende tüüpide järgi: väidete tüübid, objektide tüübid, objektide omaduste tüübid jne. Kui kirik töötas välja oma lihtsa tüüpide teooria oma tüpiseeritud versiooni alusel lambda calculus lisas ta reegli, et mis tahes kahe teooria tüübi vahel on teatud tüüpi funktsioonid. Intuitionistlik tüüpi teooria laiendab veelgi lihtsalt tipitud lambda-arvutust sõltuvate tüüpidega, see tähendab indekseeritud tüüpi peredega. Näitena võib tuua (n) tüüpide perekonna, mida indekseerib (n).

Tüüpe on programmeerimisel pikka aega kasutatud. Varased kõrgetasemelised programmeerimiskeeled tutvustasid täisarvude ja ujukoma numbrite tüüpe. Kaasaegsetes programmeerimiskeeltes on sageli rikas tüüpi süsteemid, millel on palju konstruktsioone uute tüüpide moodustamiseks. Intuitionistlik tüüpi teooria on funktsionaalne programmeerimiskeel, kus tüübisüsteem on nii rikas, et tüübina saab väljendada programmi mis tahes mõeldavat omadust. Tüüpe saab seega kasutada programmi ülesande spetsifikatsioonidena.

2.1.2 Intuitsiooniline loogika koos tõendusobjektidega

Brouweri loogikaanalüüs viis ta intuitsioonistliku loogikani, mis lükkab tagasi välistatud keskmise seaduse ja kahekordse eituse seaduse. Need seadused ei kehti intuitionistlikus tüüptükis. Seega ei sisalda see klassikalist (Peano) aritmeetikat, vaid ainult intuitionistlikku (Heyting) aritmeetikat. (Veel üks asi on see, et Peano aritmeetikat saab Heytingi aritmeetikas tõlgendada kahekordse eituse tõlgendamise teel, vt intuitionistliku loogika sissekannet.)

Vaatleme intuitiivse aritmeetika teoreemi, näiteks jagamisteoreemi

) kogu aeg m, n. m> 0 \ supset \ eksisteerib q, r. mq + r = n \ kiil m> r)

Selle teoreemi ametlikuks tõestuseks (tavamõistes) on valemite jada (või puu), kus viimane (juur) valem on teoreem ja jada iga valem on kas aksioom (leht) või tulem järeldamisreegli rakendamine mõne varasema (kõrgema) valemi suhtes.

Kui jagamist käsitlev teoreem on tõestatud intuitsioonistlikus teoorias, ei ehita me mitte ainult formaalset tõestust tavalises tähenduses, vaid ka konstruktsiooni (või tõendusobjekti) “(divi)”, mis on tunnistajaks teoreemi tõele. Me kirjutame

) divi: \ kogu aeg m, n {:} N. \, m> 0 \ supset \ eksisteerib q, r {:} N. \, mq + r = n \ kiil m> r)

väljendada, et (divi) on jagunemisteooria tõestusobjekt, see on tübisegmendi tüüpi esindav element. Kui ettepanekud on esitatud tüüpidena, identifitseeritakse (forall) - kvantifikaator sõltuva funktsiooniruumi endise (või üldise kartesi tootega) (Pi), (olemas) - kvantifikaator sõltuvate paaridega tüüp endine (või üldine lahusumma) (Sigma), koosmõju (kiil) koos kartesi tootega ((korda)), identiteedisuhe = tõendusobjektide endise tüübiga (I) identiteedid ja suurem kui suhe (>) tüübi endise (GT) tõestusobjektidega, mis on suuremad kui avaldused. Nii kirjutame "tüübimärgistust" kasutades

) divi: \ Pi m, n {:} N. \, \ GT (m, 0) parempoolne nool \ Sigma q, r {:} N. \, \ I (N, mq + r, n) kord \ GT (m, r))

väljendada, et tõendusobjekt “(divi)” on funktsioon, mis kaardistab kaks numbrit (m) ja (n) ning tõendusobjekt (p), mis on selle tunnistajaks (m> 0) neljakordseks ((q, (r, (s, t)))), kus (q) on jagatis ja (r) on ülejäänud summa, mis saadakse jagades (n) (m). Kolmas komponent (s) on tõendusobjekt, mis annab tunnistust asjaolust, et (mq + r = n) ja neljas komponent (t) on tõendusobjekt, mis on tunnistajaks (m> r).

Oluline on, et (divi) ei ole ainult funktsioon klassikalises tähenduses; see on ka funktsioon intuitionistlikus mõttes, see tähendab programm, mis arvutab väljundi ((q, (r, (s, t)))), kui see antakse (m), (n), (p) sisenditena. See programm on termin spetsiaalsete konstantidega lambda kalkulatsioonis, st funktsionaalses programmeerimiskeeles.

2.1.3 Esimese astme predikaatloogika laiendus

Intuitionistlikku tüüpi teooriat võib käsitada esimese järgu loogika laiendusena, kuivõrd kõrgema järgu loogika on esimese järgu loogika laiendus. Kõrgema järgu loogikas leiame mõned üksikud domeenid, mida saab tõlgendada kui mis tahes komplekti, mis meile meeldib. Kui allkirjas on relatsioonilised konstandid, saab neid tõlgendada kui suhet üksikute domeenide tõlgendamiseks mõeldud komplektide vahel. Lisaks saame kvantifitseerida suhteid ja suhete suhteid jne. Võib mõelda kõrgema astme loogikast kui esimese järgu loogikast, mis on varustatud uute kvantitatiivsete domeenide juurutamise võimalusega: if (S_1, \ ldots, S_n) on kvantifitseerimise valdkonnad, siis ((S_1, \ ldots, S_n)) on uus kvantifitseerimise domeen, mis koosneb kõigist n-o-suhetest domeenide (S_1, \ ldots, S_n) vahel. Kõrgema järgu loogikal on sirgjooneline set-teoreetiline tõlgendus, kus ((S_1, \ ldots, S_n)) tõlgendatakse võimsuskomplektina (P (A_1 \ korda \ cdots \ korda A_n)) kus (A_i) on (S_i) tõlgendus jaoks (i = 1, \ ldots, n). See on selline kõrgema astme loogika või lihtne tüüpteooria, mida Ramsey, kirik ja teised tutvustasid.

Intuitionistlikku tüüpi teooriat saab vaadelda sarnaselt, ainult siin on kvantitatiivsete domeenide tutvustamise võimalused rikkalikumad, vanadest uute ehitamiseks saab kasutada (Sigma, \ Pi, +, \ I). (Punkt 3.1; Martin-Löf 1998 [1972]). Intuitionistlikul teoorial on ka sirgjooneline set-teoreetiline tõlgendus, kus (Sigma), (Pi) jne tõlgendatakse vastavate setteoreetiliste konstruktsioonidena; vaata allpool. Saame lisada intuitionistlikule teooriale määratlemata üksikuid domeene nagu HOL-is. Neid tõlgendatakse komplektidena nagu HOLi puhul. Nüüd ilmneb erinevus HOL-ist erinevalt: intuitsioonistlikus tüüptükis saame tutvustada määratlemata peresümbolit. Saame tutvustada (T) kui tüüpi domeeni perekonna üle üksiku domeeni (S):

[T (x); { rm type}; (x {:} S).)

Kui (S) tõlgendatakse kui (A), saab (T) tõlgendada kui suvalist komplektiperekonda, mida indekseerib (A). Mittematemaatilise näitena võime binaarsed suhted armastada inimeste individuaalse domeeni liikmete vahel järgmiselt. Tutvustage domeeni Inimesed binaarset pere Loves

[{ rm armastab} (x, y); { rm tüüp}; (x {:} { rm People}, y {:} { rm People}).)

Tõlgendus võib olla mis tahes hulga komplekt (B_ {x, y}) ((x {:} A), (y {:} A). Kuidas see hõlmab suhte standardset mõistet? Oletame, et meil on binaarsuhe (R) peal ((A)) tuttavas setteoreetilises tähenduses. Sellele vastava binaarpere saame teha järgmiselt

[B_ {x, y} = \ alusta {juhtumeid} {0 } & \ teksti {kui} R (x, y) tekst {hoiab} \ \ lakkimata & \ teksti {if} R (x, y) tekst {on vale.} lõpp {juhtumid})

Nüüd on (B_ {x, y}) tühine ainult siis ja ainult siis, kui (R (x, y)) kehtib. (Tõe näitamiseks oleksime võinud oma valitud teoreetilise universumi hulgast valida mõne muu elemendi kui 0.) Seega võime suvalistest seostest luua perekonna, mille (x, y) tõde võrdub (B_ {x, y}) olema tühi. Pange tähele, et see tõlgendus ei huvita (R (x, y)) tõestust, vaid seda, et see kehtib. Tuletame meelde, et intuitsiooniline tüüptõlgendus tõlgendab väiteid tüüpidena, nii et (p {:} { rm armastab} ({rm John}, {rm Mary})) tähendab, et ({ rm armastab} ({ rm John}, {Mary Mary})) on tõsi.

Suhete tõlgendamine perekonnana võimaldab jälgida tõendusmaterjali või tõendusmaterjali, mida (R (x, y)) omab, kuid võime ka seda ignoreerida.

Montague semantikas kasutatakse looduskeele semantika saamiseks kõrgema järgu loogikat (ja ülaltoodud näiteid). Ranta (1994) tutvustas ideed selle asemel, et kasutada sõltuvalt tüüpi tüüpide abil lauseehituse paremaks hõivamiseks intuitiivist tüüpi teooriat.

Kuidas käsitletaks seevastu naturaalarvude matemaatilist suhet (>) intuitionistlikus tüüpi teoorias? Kõigepealt vajame teatud tüüpi numbreid (N). Põhimõtteliselt võiksime kehtestada määratlemata individuaalse domeeni (N) ja lisada aksioomid samamoodi nagu esimese astme loogikas Peano aritmeetika aksioomisüsteemi seadistamisel. Kuid see ei annaks meile soovitavat arvutuslikku tõlgendust. Nagu allpool selgitatud, kehtestame sissejuhatuse reeglid uute naturaalarvude konstrueerimiseks jaotises (N) ning elimineerimis- ja arvutamisreeglid funktsioonide määratlemiseks saidil (N) (rekursiooni teel). Tavaline tellimussuhe (>) peaks vastama

) mbox {(x> y) kui on olemas (z {:} N) nii, et (y + z + 1 = x)}.)

Parempoolne käsi on esitatud intuitiivistliku tüüptiteooria järgi kujul (Sigma z {:} N. \, \ I (N, y + z + 1, x)) ja me võtame seda seose määratlusena (>). ((+) on määratletud rekursiivsete võrranditega, (I) on identiteedi tüübi konstruktsioon). Nüüd määravad kõik (>) atribuudid nimetatud sissejuhatuse ning (N) eemaldamise ja arvutamise reeglitega.

2.1.4 Mitme otsustusvormiga loogika

Intuitsionistliku tüüpi teooria tüüpsüsteem on väga väljendusrikas. Selle tagajärjel ei ole tüübi hästi kujundatud vorm enam lihtne parsimine, vaid see on midagi, mida tuleb tõestada. Tüübi hästi kujundatud vorm on intuitsioonistliku tüübiteooria üks otsustusvorme. Termini hästi tüüpilisus tüübi suhtes on teine. Lisaks sellele on olemas võrdsusotsused tüüpide ja terminite osas. See on järjekordne viis, kuidas intuitionistlik teooria erineb tavalisest esimese astme loogikast, keskendudes ainsale hinnangule, mis väljendab väite tõesust.

2.1.5 Semantika

Kui esimese astme loogika tavapärane esitus järgiks Tarski mudeli mõiste määratlemisel, siis intuitionistlik teooria järgib Heytingi ja Kolmogorovi poolt edasi arendatud Brouwerian tähendusteooria traditsiooni, loogika niinimetatud BHK-tõlgendust. Peamine on see, et implikatsiooni tõestamine (A \ supset B) on meetod, mis muudab (A) tõestuse (B) tõestuseks. Intuitsionistlikus tüüptükis esindab seda meetodit ametlikult programm (f {:} A \ supset B) või (f {:} A \ parempoolne nool B): implikatsiooni tõendite tüüp (A \ supset B) on funktsioonide tüüp, mis kaardistab (A) tõestused (B) tõestuseks.

Pealegi, kui Tarski semantikat esitatakse tavaliselt meta-matemaatiliselt ja see eeldab komplektteooriat, tuleks Martin-Löfi intuitiivist tüüpi teooria tähendusteooriat mõista vahetult ja “matemaatika-eelselt”, see tähendab, eeldamata metakeelt, näiteks setteooriat.

2.1.6 Funktsionaalne programmeerimiskeel

Lambdaarvutuse ja funktsionaalse programmeerimisega taustal olevad lugejad saavad intuitiivistliku teooria teoreetilise esimese lähenemise, mõeldes sellele kui tipitud funktsionaalsele programmeerimiskeelele Haskelli või ühe ML-i murrete stiilis. Kuid see erineb nendest kahes olulises aspektis: (i) sellel on sõltuvad tüübid (vt allpool) ja ii) kõik kirjutatavad programmid lõpevad. (Pange tähele, et intuitionistlik teooria on mõjutanud Haskelli hiljutisi laiendusi üldistatud algebraliste andmetüüpidega, mis mõnikord võivad mängida sarnast rolli induktiivselt määratletud sõltuvate tüüpidega.)

2.2 Curry-Howardi kirjavahetus

Nagu juba mainitud, põhimõte, et

pakkumine on selle tõendite tüüp.

on intuitionistliku tüüpi teooria alus. Seda põhimõtet tuntakse ka kui Curry-Howardi kirjavahetust või isegi Curry-Howardi isomorfismi. Curry avastas intuitiivse loogika implikatiivse fragmendi ja lihtsalt trükitud lambda-calculuse vastavuse. Howard laiendas seda kirjavahetust esimese järgu predikaatloogikale. Intuitsionistlikus tüüptükis saab see vastavus väidete ja tüüpide identifitseerimiseks, mida on laiendatud nii, et see hõlmab kõrgemate tüüpide ja muu kvantitatiivsust.

2.3 Tõendusobjektide komplektid

Millised need tõendusobjektid on? Neid ei tohiks pidada loogilisteks tuletisteks, vaid pigem mingiteks (struktureeritud) sümboolseteks tõenditeks selle kohta, et midagi on tõsi. Veel üks mõiste selliste tõendite kohta on tõdede looja.

On pisut õpetlik, nagu mõnevõrra töötlematu esimene lähend, asendada tüübid selles kirjavahetuses tavaliste komplektidega. Määrake komplekt (E_ {m, n}) sõltuvalt (m, n {{ mathbb N}}):

) E_ {m, n} = \ vasakul { algab {array} {ll} {0 } & \ mbox {if (m = n)} \ \ lakkimata & \ mbox {if (m \ ne n).} lõpp {massiiv} paremal.)

Siis on (E_ {m, n}) täpselt siis, kui (m = n). Komplekt (E_ {m, n}) vastab väitele (m = n) ja arv (0) on tõendusobjekt (tõdemuusutaja), mis asub komplektides (E_ {m, m}).

Mõelge väitele, et (m) on paarisarv, mis on väljendatud valemiga (eksisteerib n {{ mathbb N}} -is. M = 2n). Sellele valemile vastava tõendusobjektide komplekti saame ehitada üldise set-teoreetilise summa toimingu abil. Oletame, et (A_n) ((n {{ mathbb N}})) on komplektide komplekt. Siis annab selle eraldunud summa paaride komplekt

[(Sigma n \ sisse {{ mathbb N}}) A_n = {(n, a): n \ sisse {{ mathbb N}}, a \ sisse A_n }.)

Kui rakendame seda konstruktsiooni perekonnale (A_n = \ E_ {m, 2n}), näeme, et ((Sigma n {{ mathbb N}}) E_ {m, 2n}) on nonempty täpselt siis, kui on (n {{ mathbb N}}) koos (m = 2n). Kasutades üldist set-teoreetilist tooteoperatsiooni ((Pi n {{ mathbb N}}) A_n), saame samamoodi komplekti, mis vastab universaalselt kvantitatiivsele väitele.

2.4 Sõltuvad tüübid

Intuitsionistlikus tüüpi teoorias on üldsummade ja -toodete jaoks primitiivseid tüüpi moodustajaid (Sigma) ja (Pi) ning identiteeditüüpide jaoks (I) analoogselt ülalkirjeldatud setteoreetilistele konstruktsioonidele. Komplektile vastav identiteedi tüüp (I (N, m, n)) (E_ {m, n}) on näide sõltuvast tüübist, kuna see sõltub (m) ja (n). Seda nimetatakse ka indekseeritud tüüpide perekonnaks, kuna see on tüüpide perekond, mida indekseerivad (m) ja (n). Sarnaselt saame moodustada sellise tüübiperekonna üldise lahutamatu summa (Sigma x {:} A., B) ja üldise kartesi toote (Pi x {:} A., B). (B) indekseeritakse numbriga (x {:} A), mis vastab ülaltoodud määratud teoreetilisele summale ja toote toimingutele.

Sõltuvaid tüüpe saab määratleda ka primitiivse rekursiooni abil. Näitena võib nimetada (n) - tüüpide (A ^ n) tüüpi (A) elemente, mida indekseeritakse (n {:} N) elementidega, mis on määratletud võrranditega

) alusta {joonda *} A ^ 0 & = 1 \\ A ^ {n + 1} & = A \ korda A ^ n \ lõpeta {joonda *})

kus (1) on ühe elemendi tüüp ja (korda) tähistab kahte tüüpi kartesi tüüpi toodet. Märgime, et sõltuvad tüübid tutvustavad tüüpides arvutamist: ülaltoodud määratlevad reeglid on arvutamisreeglid. Näiteks arvutamise (A ^ 3) tulemus on (A \ korda (A \ korda (A \ korda 1))).

2.5 Ettepanekud tüüpidena intuitsioonilisest tüübiteooriast

Kui väited on tüübid, saavad predikaadid sõltuvateks tüüpideks. Näiteks predikaat (mathrm {peaminister} (x)) saab tõenditüübiks, et (x) on peamine. See tüüp sõltub (x). Samamoodi on (x <y) seda tüüpi tõestusi, et (x) on väiksem kui (y).

Ettepaneku tüüpide Curry-Howardi tõlgenduse kohaselt tõlgendatakse loogilisi konstante tüübi moodustajatena:

) alusta {joonda *} bot & = \ varjamata \\ \ ülemine & = 1 \\ A \ vee B & = A + B \\ A \ kiil B & = A \ kord B \\ A \ supset B & = Parempoolne nool B \\ \ eksisteerib x {:} A. \, B & = \ Sigma x {:} A. \, B \\ \ jätkake x {:} A., B & = \ Pi x {:} A., B \ end {joondama *})

kus (Sigma x {:} A. \, B) on (A) - indekseeritud tüüpi perekondade (B) ja (Pix {:} A. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 313019ET.doc PE 353.545v03-00 ET lahusumma B) on selle Cartesiuse toode. (Sigma x {:} A. \, B) kanoonilised elemendid on paarid ((a, b)) selliselt, et (a {:} A) ja (b {:} B [x: = a]) (tüüp, mis saadakse, asendades (B) kõik (x) vabad esinemised (a)). (Pi x {:} A. \, B) elemendid on (arvutatavad) funktsioonid (f) sellised, et (f \, a {:} B [x: = a]) igal ajal (a {:} A).

Näiteks kaaluge väidet

) alusta {võrrand} forall m {:} N. \, \ eksisteerib n {:} N. \, m \ lt n \ wedge \ mathrm {Prime} (n) tag {1} label {prop1} end {võrrand})

väljendades, et tegemist on meelevaldselt suurte preemiatega. Curry-Howardi tõlgenduse kohaselt saab see tüübiks (Pi m {:} N. \, \ Sigma n {:} N. \, m \ lt n \ times \ mathrm {Prime} (n)) funktsioonidest, mis kaardistavad arvu (m) kolmekordseks ((n, (p, q))), kus (n) on arv, (p) on tõend, et (m \ lt n) ja (q) on tõend, et (n) on ülitähtis. See on tõestus kui programmide põhimõte: konstruktiivseks tõestuseks, et on olemas meelevaldselt suured algupildid, saab programm, mis suvalise arvu korral annab suurema primaadi koos tõenditega, et see tõepoolest on suurem ja tõepoolest peamine.

Pange tähele, et tõend, mis tuletab vastuollu eeldusel, et tegemist on suurima algväärtusega, ei ole konstruktiivne, kuna see ei anna sõnaselgelt võimalust arvutada veelgi suuremat algväärtust. Selle tõendi muutmiseks konstruktiivseks tuleb näidata selgesõnaliselt, kuidas ehitada suurem algarv. (Kuna ülaltoodud väide (ref {prop1}) on (Pi ^ 0_2) - valem, saame näiteks kasutada Friedmani A-tõlget, et muuta selline tõestus klassikalises aritmeetikas tõestuseks intuitionistlikus aritmeetikas ja seega tõestus intuitionistlikust teooriast.)

3. Intuitsioonilise tüüptaseme põhiteooria

Esitame nüüd intuitionistliku tüüpi teooria põhiversiooni, mis on tihedalt seotud teooria esimese versiooniga, mille Martin-Löf esitas 1972. aastal (Martin-Löf 1998 [1972]). Lisaks ülaltoodud tipitud intuitionistliku predikaatloogika Curry-Howardi tõlgendamiseks vajalikele tüübimoodustajatele on ka kahte tüüpi: naturaalarvude tüüp (N) ja väiketüüpide (U) tüüp.

Saadud teooria võib sisaldada intuitiivset numbriteooriat (HA) (heiteeriv aritmeetika), Gödeli süsteemi ((T)) kõrgemat tüüpi primitiivsete rekursiivsete funktsioonidega ja teooriat (HA ^ \ omega). kõrgema tüübi Heytingi aritmeetikat.

See põhiline intuitionistlik teooria pole mitte ainult algupärane, vaid võib-olla ka minimaalne versioon, millel on teooria olulised tunnused. Hilisemad primitiivsete identiteeditüüpide, põhjendatud puutüüpide, universumi hierarhiate ning induktiivsete ja induktiiv-rekursiivsete definitsioonide üldised mõisted on suurendanud teooria tõenditeoreetilist tugevust ning muutnud selle ka mugavamaks matemaatika programmeerimisel ja vormistamisel. Näiteks saab hästi põhjendatud puude lisamisega tõlgendada Aczeli (1978 [1977]) konstruktiivset Zermelo-Fraenkeli komplekti teooriat (CZF). Nende pikenduste kirjeldamiseks ootame aga järgmist jaotist.

3.1 Kohtuotsused

Martin-Löfis (1996) on esitatud loogika üldfilosoofia, kus traditsioonilist kohtuotsuse mõistet laiendatakse ja antakse keskne koht. Kohtuotsus ei ole enam lihtsalt väite kinnitamine või eitamine, vaid üldine teadmistepagas. Matemaatiliselt põhjendades teeme hinnanguid matemaatiliste objektide kohta. Üks otsustusvorme on öelda, et mõni matemaatiline väide on tõene. Teine otsustusvorm on öelda, et miski on matemaatiline objekt, näiteks komplekt. Loogilised reeglid pakuvad meetodeid varasemate kohtuotsuste õigete otsuste tegemiseks. Selliste reeglite abil saadud otsuseid saab esitada puu kujul

) järeldada [r_4] {J_8} { järeldada [r_1] {J_3} {J_1 ja J_2} & \ järeldada [r_3] {J_7} { järeldada [r_5] {J_5} {J_4} ja J_6}}]

või järjestikulisel kujul

• (1) (J_1 \ quad \ tekst {aksioom})
• (2) (J_2 \ quad \ tekst {aksioom})
• (3) (J_3 \ quad \ tekst {reegli järgi (r_1) punktidest 1 ja 2))
• (4) (J_4 \ quad \ tekst {aksioom})
• (5) (J_5 \ quad \ tekst {reegli järgi (r_2) saidilt (4)})
• (6) (J_6 \ quad \ tekst {aksioom})
• (7) (J_7 \ quad \ tekst {reegli järgi (r_3) lõigetest 5 ja 6)})
• (8) (J_8 \ quad \ tekst {reegli järgi (r_4) lõigetest 3 ja 7)})

Viimane vorm on matemaatilistes argumentides tavaline. Selline aksioomidest loogiliste reeglite järgi moodustatud jada või puu on kohtuotsuse tuletamine või demonstreerimine.

Esimese astme põhjendused võib esitada üheainsa otsuse põhjal:

väide (B) on tõene hüpoteesi kohaselt, et väited (A_1, \ ldots, A_n) on kõik tõesed.

Me kirjutame selle hüpoteetilise hinnangu nn Gentzeni järjena

[A_1, \ punktid, A_n { vdash} B.)

Pange tähele, et see on üksainus kohtuotsus, mida ei tohiks segamini ajada kohtuotsuse ({ vdash} B) tuletamisega kohtuotsustest ({ vdash} A_1, \ ldots, { vdash} A_n). Kui (n = 0), siis kategooriline hinnang ({ vdash} B) väidab, et (B) on tõene ilma eeldusteta. Järjestikuse märkimisega saab tuttav konjunktiivse sissejuhatuse reegel

) järeldada [(I maa)] {A_1, \ ldots, A_n { vdash} B \ land C} {A_1, \ ldots, A_n { vdash} B & A_1, \ ldots, A_n { vdash} C}.)

3.2 Kohtuotsuse vormid

Martin-Löfi tüüpi teoorial on neli põhilist kohtuotsuse vormi ja see on oluliselt keerukam süsteem kui esimese järgu loogika. Üks põhjus on asjaolu, et tuletustes leidub rohkem teavet, kuna leidub ettepanekuid ja tüüpe. Teine põhjus on see, et süntaks on rohkem seotud. Näiteks tuleb hästi vormistatud valemid (tüübid) genereerida samaaegselt tõestatavate valemitega (asustatud tüübid).

Kategoorilise otsuse neli vormi on

• (vdash A \; { rm tüüp}), mis tähendab, et (A) on hästi vormistatud tüüp,
• (vdash a {:} A), mis tähendab, et (a) on tüüp (A),
• (vdash A = A '), mis tähendab, et (A) ja (A') on võrdsed tüübid,
• (vdash a = a '{:} A), mis tähendab, et (a) ja (a') on tüübi (A) võrdsed elemendid.

Üldiselt on kohtuotsus hüpoteetiline, st see tehakse kontekstis (Gamma), see tähendab loendis (x_1 {:} A_1, \ täpikesed, x_n {:} A_n) muutujad, mis võivad kohtuotsuses esineda vabalt koos nende vastavate tüüpidega. Pange tähele, et tüübid võivad kontekstis sõltuda varasemate tüüpide muutujatest. Näiteks võib (A_n) sõltuda (x_1 {:} A_1, \ täppidest, x_ {n-1} {:} A_ {n-1}). Hüpoteetiliste hinnangute neli vormi on

• (Gamma \ vdash A \; { rm tüüp}), mis tähendab, et (A) on kontekstis hästi vormitud tüüp (Gamma),
• (Gamma \ vdash a {:} A), mis tähendab, et (a) on kontekstis (A) tüüpi (Gamma),
• (Gamma \ vdash A = A '), mis tähendab, et (A) ja (A') on kontekstis võrdsed tüübid (Gamma),
• (Gamma \ vdash a = a '{:} A), mis tähendab, et (a) ja (a') on kontekstis (A) võrdsed elemendid (Gamma).

Ettepaneku tüüpide tõlgendus

) silt {2} silt {analytic} v {{}}

võib mõista otsustusena, et (a) on väite (A) tõestusobjekt. Selle objekti allasurumisel saame kohtuotsuse, mis vastab tavalise esimese järgu loogikaga otsusele (vt eespool):

) silt {3} silt {sünteetiline} vdash A \; { rm true}.)

Märkus 3.1. Martin-Löf (1994) väidab, et Kanti a priori analüütilist otsust ja a priori sünteetilist hinnangut võib loogika valdkonnas näitlikustada vastavalt ([analüütiline]) ja ([sünteetiline]). Analüütilises otsuses ([analüütiline]) on kõik, mis on vajalik kohtuotsuse ilmsemaks tegemiseks, selge. Sünteetilise versiooni ([sünteetiline]) jaoks tuleb võimalusel pakkuda keerulist korrektset konstruktsiooni (a), et see oleks ilmne. Sellel analüütilisuse ja sünteetilisuse mõistmisel on üllatav tagajärg, et "loogilised seadused nende tavapärases sõnastuses on kõik sünteetilised". Martin-Löf (1994: 95). Tema analüüs annab lisaks:

"[…] Analüütiliste otsuste loogika, see tähendab kahe analüütilise vormi otsuste tuletamise loogika, on täielik ja otsustatav, samas kui sünteetiliste otsuste loogika on puudulik ja otsustamatu, nagu näitas Gödel." Martin-Löf (1994: 97).

Kahe analüütilise kohtuotsuse ((vdash a =: A) ja (vdash a = b {:} A) otsustatavus sõltub tüübiteooria metamatmaatilistest omadustest: tugevast normaliseerimisest ja otsustatavast tüübikontrollist.

Mõnikord peetakse teooria otsusteks ka järgmisi vorme:

• (Gamma \; { rm konteksti}), mis tähendab, et (Gamma) on hästi vormistatud kontekst.
• (Gamma = \ Gamma '), mis tähendab, et (Gamma) ja (Gamma') on võrdsed kontekstid.

Allpool lühendame otsust (Gamma \ vdash A \; { rm type}) kui (Gamma \ vdash A) ja (Gamma \; { rm konteksti}) kui (Gamma \ vdash.)

3.3 Järeldusreeglid

Reeglite sõnastamisel kasutame täht (Gamma) meta muutujana, mis ulatub kontekstides, (A, B, \ ldots) kui meta muutujad, mis varieeruvad tüüpide lõikes, ja (a, b, c, d, e, f, \ ldots) kui metamuutujad, mis varieeruvad terminite lõikes.

Esimene järeldusreeglite rühm on üldreeglid, sealhulgas eeldamise, asendamise ja konteksti moodustamise reeglid. On ka reegleid, mis väljendavad, et võrdsused on ekvivalentsussuhted. Selliseid reegleid on arvukalt ja me näitame ainult eriti olulist tüübi võrdsuse reeglit, mis on tüüpide arvutamisel ülioluline:

) frac { Gamma \ vdash a {:} A \ hspace {2em} Gamma \ vdash A = B} { Gamma \ vdash a {:} B})

Ülejäänud reeglid kehtivad tüübikinnitajate kohta. Need klassifitseeritakse moodustamise, tutvustamise, kõrvaldamise ja võrdõiguslikkuse reegliteks.

3.4 Intuitionistlik ennustamisloogika

Anname reeglid ainult (Pi) jaoks. Teist tüüpi vormingute jaoks on analoogsed reeglid, mis vastavad trükitud predikaatloogika loogilistele konstantidele.

Järgnevas (B [x: = a]) tähendab terminit, mis saadakse, asendades muutuja (x) iga vaba esinemise korral ((B)) mõiste (a) (vältides muutujate hõivamist).

(Pi) - moodustamine.) frac { Gamma \ vdash A \ hspace {2em} Gamma, x {:} A \ vdash B} { Gamma \ vdash \ Pi x {:} A. B}) (Pi) -sissejuhatus.) frac { Gamma, x {:} A \ vdash b {:} B} { Gamma \ vdash \ lambda x. b {:} Pi x {:} A. B}) (Pi) - likvideerimine.) frac { Gamma \ vdash f {:} Pi x {:} AB \ hspace {2em} Gamma \ vdash a {:} A} { Gamma \ vdash f \, a {:} B [x: = a]}) (Pi) - võrdsus.) frac { Gamma, x {:} A \ vdash b {:} B \ hspace {2em} Gamma \ vdash a {:} A} { Gamma \ vdash (lambda xb), a = b [x: = a] {:} B [x: = a]}) See on (beta) teisendamise reegel. Võime lisada ka reegli (eta) - teisendus:) frac { Gamma \ vdash f {:} Pi x {:} A. B} { Gamma \ vdash \ lambda x. f \, x = f {:} Pi x {:} A. B}.)

Lisaks on olemas ühilduvusreeglid, mis kinnitavad, et moodustamise, tutvustamise ja kõrvaldamise reeglitega sisse viidud toimingud säilitavad võrdsuse. Näiteks on (Pi) ühilduvuse reegel

) frac { Gamma \ vdash A = A '\ hspace {2em} Gamma, x {:} A \ vdash B = B'} { Gamma \ vdash \ Pi x {:} A. B = \ Pi x {:} A '. B '}.)

3.5 Looduslikud arvud

Nagu Peano aritmeetikas, genereerivad naturaalarvud 0 ja sellele järgneva operatsiooni (s). Kõrvaldusreegel väidab, et need on ainsad võimalikud viisid naturaalarvu saamiseks.

Kirjutame funktsiooni jaoks (f (c) = \ R (c, d, xy.e)), mis on määratletud loomuliku arvu primitiivse rekursiooniga (c) baasjuhtumiga (d) ja sammuga funktsioon (xy.e) (või teise võimalusena (lambda xy.e)), mis kaardistab eelmise numbri (x {:} N) väärtuse (y) väärtusega (s (x)). Pange tähele, et (R) on uus muutujatega siduv operaator: muutujad (x) ja (y) seotakse (e).

(N) - moodustamine.) Gamma \ vdash \ N) (N) - sissejuhatus.) Gamma \ vdash 0 {:} N \ hspace {2em} frac { Gamma \ vdash a {:} N} { Gamma \ vdash s (a) {:} N}) (N) - likvideerimine.) frac { Gamma, x {:} N \ vdash C \ hspace {1em} Gamma \ vdash c {:} N \ hspace {1em} Gamma \ vdash d {:} C [x: = 0] hspace {1em} gamma, y {:} N, z {:} C [x: = y] vdash e {:} C [x: = s (y)]} { gamma \ vdash \ R (c, d, yz.e) {:} C [x: = c]}) (N) - võrdsus (sobivates ruumides).) alusta {joonda *} R (0, d, yz.e) & = d {:} C [x: = 0] \ \ R (s (a), d, yz.e) & = e [y: = a, z: = \ R (a, d, yz.e)] {:} C [x: = s (a)] lõpp {joonda *})

Reegel (N) - elimineerimine väljendab samaaegselt primitiivse rekursiooniga määratletud funktsiooni tüüpi ja Curry-Howardi tõlgenduse kohaselt matemaatilise induktsiooni reeglit: tõestame naturaalarvu omaduse (C) (x) sissejuhatusega sisse lülitatud (x).

Gödeli süsteem (T) on sisuliselt intuitsioonistlik teooria, milles on ainult tüübi moodustajad (N) ja (A \ paremnool B) (funktsioonide tüüp vahemikust (A) kuni (B), mis on ((Pi x {:} A) B) erijuhtum, kus (B) ei sõltu (x {:} A)). Kuna süsteemis (T) pole sõltuvaid tüüpe, saab reegleid lihtsustada.

3.6 Väiketüüpide universum

Martin-Löfi tüübiteooria esimesel versioonil (Martin-Löf 1971a) oli aksioom, mille kohaselt on olemas igat tüüpi tüüp. Girard osutus selle vastuoluliseks ja leidis, et Burali-Forti paradoks võib olla sellesse teooriasse kodeeritud.

Sellest patoloogilisest ebamäärasusest ülesaamiseks, kuid siiski osa oma ekspressiivsuse säilitamisest, tutvustas Martin-Löf 1972. aastal väiketüüpide universumit ((U)), mis oli suletud teooria kõigi tüüpvormide poolt, välja arvatud see, et see ei sisalda iseennast (Martin- Löf 1998 [1972]). Reeglid on järgmised:

(U) - moodustamine.) Gamma \ vdash \ U) (U) - sissejuhatus.) Gamma \ vdash \ muutmata {:} U \ hspace {3em} Gamma \ vdash 1 {:} U)) frac { Gamma \ vdash A {:} U \ hspace {2em} Gamma \ vdash B {:} U} { Gamma \ vdash A + B {:} U} hspace {3em} frac { Gamma \ vdash A {:} U \ hspace {2em} Gamma \ vdash B {:} U} { Gamma \ vdash A \ korda B {:} U})) frac { Gamma \ vdash A {:} U \ hspace {2em} Gamma \ vdash B {:} U} { Gamma \ vdash A \ parempoolne nool B {:} U})) frac { Gamma \ vdash A {:} U \ hspace {2em} Gamma, x {:} A \ vdash B {:} U} { Gamma \ vdash \ Sigma x {:} A., B {:} U} hspace {3em} frac { Gamma \ vdash A {:} U \ hspace {2em} Gamma, x {:} A \ vdash B {:} U} { Gamma \ vdash \ Pi x {:} A., B {:} U})) Gamma \ vdash \ N {:} U) (U) - likvideerimine.) frac { Gamma \ vdash A {:} U} { Gamma \ vdash A})

Kuna (U) on tüüp, saame väiketüüpide defineerimiseks primitiivse rekursiooni abil kasutada rakendust (N) - elimination. Näiteks kui (A: \ U), saame (A) elementide tüübi (n) - elementide tüübi määratleda järgmiselt:

[A ^ n = \ R (n, 1, xy. A \ korda y) {:} U)

See tüüpteoreetiline universum (U) on analoogne Grothendiecki universumiga komplektiteoorias, mis on komplekt komplekt, mis on suletud kõigil viisidel, kuidas komplekte saab Zermelo-Fraenkeli komplekti teoorias konstrueerida. Grothendiecki universumi olemasolu ei saa Zermelo-Fraenkeli komplekti teooria tavaliste aksioomide abil tõestada, vaid see vajab uut aksioomi.

Martin-Löfis (1975) on universum laiendatud loendatavale universumite hierarhiale

) U_0: \ U_1: \ U_2: \ cdots.)

Sel viisil on igal tüübil tüüp, mitte ainult igal väikesel tüübil.

3.7 Esialgne identiteet

Eespool tutvustasime võrdõiguslikkuse kohtuotsust

) silt {4} silt {defeq} gamma \ vdash a = a '{:} A.)

Seda nimetatakse tavaliselt “definitsiooniliseks võrdsuseks”, kuna selle saab otsustada, normaliseerides termineid (a) ja (a”) ja kontrollides, kas normaalvormid on identsed. See võrdsus on siiski hinnang, mitte väide (tüüp) ja seetõttu ei saa me selliseid kohtuotsuse võrdsusi sissejuhatusega tõestada. Sel põhjusel peame tutvustama propositsioonilisi identiteeditüüpe. Näiteks saab naturaalarvude (I (N, m, n)) identiteedi tüübi määratleda (U) - hinnatud primitiivse rekursiooniga. Seejärel saame Peano aksioome väljendada ja tõestada. Lisaks saab toimingute laiendavat võrdsust määratleda järgmiselt:

) I (N \ parempoolne nool, N, f, f ') = \ Pi x {:} N. \ I (N, f \, x, f '\, x).)

3.8 Valiku aksioom on teoreem

Järgmine valitud aksioomi vorm on intuitiivsete kvantifikaatorite BHK-tõlgenduse otsene tagajärg ja seda saab intuitionistlikus tüüptunnis hõlpsasti tõestada:

[(Pi x {:} A. \ Sigma y {:} B. C) paremnool \ Sigma f {:} (Pi x {:} A. B). C [y: = f \, x])

Põhjus on see, et (Pi x {:} A. \ Sigma y {:} B. C) on tüüpi funktsioonid, mis kaardistavad elemendid (x {:} A) paarideks ((y, z)) koos (y {:} B) ja (z {:} C). Valikufunktsioon (f) saadakse selle paari esimese komponendi (y {:} B) tagastamisega.

Võib-olla on üllatav, et intuitionistlik teooria valideerib otseselt valitud aksioomi, kuna seda aksioomi peetakse konstruktiivsest aspektist sageli problemaatiliseks. Võimalik seletus olukorrale on see, et ülaltoodu on tüüpide jaoks valitud aksioom ja et tüübid ei ole üldiselt klassikalistes tähenduses sobivad komplektide konstruktiivsed lähendused. Näiteks võime intuitiivses tüüptükis esindada reaalarvu Cauchy jadana, kuid reaalarvude kogum ei ole Cauchy jadade tüüp, vaid Cauchy jadade tüüp kuni ekvikonvergentsini. Üldisemalt on Bishopi konstruktiivse matemaatika komplekt esindatud tüübiga (mida tavaliselt nimetatakse “eelseadistatud”) koos ekvivalentsussidemega.

Kui (A) ja (B) on varustatud ekvivalentsussuhetega, pole muidugi mingit garantiid, et ülaltoodud valikufunktsioon (f) on ekstensiivne selles mõttes, et see kaardistab samaväärsete elementide samaväärsete elementidega. See on valitud laiendatud aksioomi ebaõnnestumine, vt analüüsi Martin-Löf (2009).

4. Laiendused

4.1 Loogiline raamistik

Ülaltoodu täiendab intuitionistliku tüübi teooria põhiversiooni kirjeldust, mis on lähedane (Martin-Löf 1998 [1972]).

Aastal 1986 tegi Martin-Löf ettepaneku muuta intuitionistliku teooria ümber; ekspositsiooni leiate Nordström, Peterson ja Smith (1990). Selle eesmärk oli anda kompaktsem formuleering, kus (lambda) ja (Pi) on ainsad muutuva sidumisega toimingud. Tänapäeval peetakse seda teooria peamiseks versiooniks. See on ka Agda tõendusassistendi alus. 1986. aasta teooria koosneb kahest osast:

• tüüpide teooria (loogiline raamistik);
• komplektide teooria (väike tüüp).

Märkus 4.1. Pange tähele, et sõna „komplekt” loogilises raamistikus ei lange kokku sellega, kuidas seda kasutatakse Bishopi konstruktiivses matemaatikas. Selle segaduse vältimiseks nimetatakse tüüpe koos ekvivalentsussuhetega intuitiivist tüüpi teoorias tavaliselt “setoidideks” või “laiendikomplektideks”.

Loogilisel raamistikul on ainult kahte tüüpi vorminguid: (Pi x {:} A. B) (tavaliselt kirjutatud ((x {:} A) B) või ((x {:} A) paremnool B) loogilises raamistikus) ja (U) (tavaliselt nimetatakse (Set)). Reeglid dokumendile (Pi x {:} A. B) (((x {:} A) parempoolne nool B) on samad, mis ülalpool toodud (sealhulgas (eta) - teisendamine). Reeglid ka (U) ((Set)) jaoks on samad, välja arvatud see, et loogiline raamistik näeb ette sulgemise ainult (Pi) tüüpi moodustamisel.

Teised väiketüüpi formeerijad (“komplektvormijad”) on sisse toodud komplektide teoorias. Loogilises raamistiku formuleerimisel võib iga moodustumise, sissejuhatuse ja kõrvaldamise reegli väljendada uue konstandi tippimisega. Näiteks muutuvad naturaalarvude reeglid

) alusta {joonda *} N &: \ Määra, \\ 0 &: \ N, \\ \ s &: \ N \ paremnool \ N, \\ \ R &: (C {:} N \ parempoolne \ Komplekt) paremnool C \, 0 \ paremnool ((x {:} N) paremnool C \, x \ paremnool C \, (s \, x)) paremnool (c {:} N) paremnool C \, c. \ lõpeta {joonda *})

kus oleme jätnud ühise konteksti (Gamma), kuna nende konstantide tüübid on suletud. Pange tähele, et erinevalt algsest sõnastusest on rekursioonioperaatoril (R) esimene argument (C {:} N \ paremnool \ Set).

Lisaks saab võrdõiguslikkuse reegleid väljendada võrranditena

) alusta {joonda *} R \, C \, d \, e \, 0 & = d {:} C \, 0 \\ \ R \, C \, d \, e \, (s \, a) & = e \, a \, (R \, C \, d \, e \, a) {:} C \, (s \, a) lõpp {joonda *})

sobivate eelduste alusel.

Järgnevas osas tutvustame mitut tüüpi teooria laiendamist. Esitusviisi ühtsuse tagamiseks ei kasuta me tüübiteooria loogilist raamistiku esitust, vaid kasutame sama märkust nagu 2. osas.

4.2 Endine üldise isikutüübi tüüp

Nagu me eespool mainisime, saab naturaalarvude identiteeti määratleda primitiivse rekursiooniga. Muude tüüpide identiteedisuhteid saab määratleda ka 2. peatükis esitatud intuitionistliku tüübi teooria põhiversioonis.

Kuid Martin-Löf (1975) laiendas intuitionistlikku tüüpi teooriat kõigi tüüpide jaoks ühtse primitiivse identiteeditüübiga endine (I). Reeglid (I) kohta väljendavad, et identiteedisuhe genereeritakse induktiivselt refleksiivsuse tõestuse kaudu, kanoonilise konstandiga nimega (r). (Pange tähele, et (r) kodeeriti arvuga 2.3 tõendusobjektide sissejuhatavas esituses numbriga 0. Identiteeditüübi elimineerimisreegel on identiteedi elimineerimise predikaatloogikas üldistamine ja sellega kehtestatakse eliminatsioonikonstant (J) Näitame siin pigem Paulin-Mohringi (1993) sõnastust kui Martin-Löfi (1975) algset sõnastust. Järeldusreeglid on järgmised.

(I) - moodustamine.) frac { Gamma \ vdash A \ hspace {1em} Gamma \ vdash a {:} A \ hspace {1em} Gamma \ vdash a '{:} A} { Gamma \ vdash \ I (A, a, a ')})

(I) - sissejuhatus.) frac { Gamma \ vdash A \ hspace {1em} Gamma \ vdash a {:} A} { Gamma \ vdash \ r {:} I (A, a, a)})

(I) - likvideerimine.

) frac { gamma, x {:} A, y {:} I (A, a, x) vdash C \ hspace {1em} Gamma \ vdash b {:} A \ hspace {1em} Gamma \ vdash c {:} I (A, a, b) hspace {1em} Gamma \ vdash d {:} C [x: = a, y: = r]} { Gamma \ vdash \ J (c, d) {:} C [x: = b, y: = c]})

(I) - võrdsus (sobivate eelduste alusel).

) alusta {joonda *} J (r, d) & = d \ lõpeta {joonda *})

Pange tähele, et kui (C) sõltub ainult (x: A), mitte tõestusest (y: \ I (A, a, x)) (ja me tõkestame ka tõendusobjekte) reeglis (I) - elimineerimine taastame identiteedi elimineerimise reegli predikaatloogikas.

Tüüpide teooria mudeli konstrueerimisega, kus tüüpe tõlgendatakse grupoididena (kategooriad, kus kõik nooled on isomorfismid), näitasid Hofmann ja Streicher (1998), et intuitiivse tüüptoteooria abil ei saa tõestada, et kõik (I (A, a, b) tõendid)) on identsed. See võib tunduda teooria ebatäiuslikkusena ja Streicher soovitas uut aksioomi (K), millest järeldub, et kõik (I (A, a, b)) tõendid on identsed (r).

Tüüpi (I) nimetatakse sageli intensiivse identiteedi tüübiks, kuna see ei vasta funktsiooni laiendamise põhimõttele. Intuitionistlikku tüüpi teooriat koos intentsionaalse identiteeditüübiga nimetatakse sageli ka intentsionaalseks intuitionistlikuks teooriaks, et eristada seda ekstensiivsest intuitionistlikust teooriast, mida käsitletakse jaotises 7.1.

4.3 Hästi rajatud puud

Teatud tüüpi hästi rajatud puude tüüp (W x {:} A. B) võeti kasutusele Martin-Löf 1982 (ja piiratud kujul Scott 1970). (W x {:} A. B) elemendid on varieeruva ja meelevaldse hargnemisega puud: varieeruvad, kuna hargnevat tüüpi (B) indekseeritakse numbriga (x {:} A) ja suvalisi, kuna (B) võib olla meelevaldne. Tüüp on esitatud üldistatud induktiivsel määratlusel, kuna hästi rajatud puud võivad hargneda lõpmata. Võime mõelda (W x {:} A. B) kui vaba termini algebrat, kus iga (a {:} A) tähistab terminit konstruktor (sup \, a) koos (võimalusel lõpmatu) arity (B [x: = a]).

(W) - moodustamine.) frac { Gamma \ vdash A \ hspace {2em} Gamma, x {:} A \ vdash B} { Gamma \ vdash \ W x {:} A. B}) (W) -sissejuhatus.) frac { Gamma \ vdash a {:} A \ hspace {2em} Gamma, y {:} B [x: = a] vdash b: Wx {:} A. B} { Gamma \ vdash \ sup (a, yb): \ W x {:} A. B})

Jätame välja (W) - likvideerimise ja (W) - võrdsuse reeglid.

Põhjendatud puude lisamine intuitionistlikule teooriale suurendab selle tõendusteoreetilist tugevust märkimisväärselt (Setzer (1998)).

4.4 Iteratiivsed komplektid ja CZF

Põhjendatud puude oluline rakendus on Aczeli (1978) konstruktiivse Zermelo Fraenkeli komplekti teooria tüübiteoreetilise mudeli konstrueerimine. Sel eesmärgil määratleb ta iteratiivsete komplektide tüübi kui

) V = \ W x {:} U. x.)

Olgu (A {:} U) väiketüüp ja (x {:} A \ vdash M) on indekseeritud iteratiivsete komplektide perekond. Siis on (sup (A, xM)) või mõne sugestiivsema märkega ({M \ mid x {:} A }) iteratiivne kogum. Parafraseerides: iteratiivne kogum on iteratiivsete komplektide perekond, mida indekseeritakse väiketüübiga.

Pange tähele, et iteratiivne kogum on alt = "sep mehe ikoon" /> Kuidas seda kirjet tsiteerida.

Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.

Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojekti (InPhO) alt.

Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

• Filosoofia Interneti-entsüklopeedia: konstruktiivne matemaatika
• Scholarpedia: Computational Type Theory
• nLab: tüüpteooria