Hilberti Programm

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-11-26 16:07

Sisenemise navigeerimine

• Sissesõidu sisu
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Sõprade PDF-i eelvaade
• Teave autori ja tsitaadi kohta
• Tagasi üles

Hilberti programm

Esmakordselt avaldatud teisipäeval, 31. juulil 2003; sisuline redaktsioon reedel 24. mail 2019

1920. aastate alguses esitas saksa matemaatik David Hilbert (1862–1943) uue ettepaneku klassikalise matemaatika aluse loomiseks, mida on hakatud nimetama Hilberti programmiks. See kutsub üles vormistama kogu matemaatika aksiomaatiliselt ja tõestama, et see matemaatika aksiomatization on järjekindel. Järjepidevuse tõendus ise pidi toimuma ainult siis, mida Hilbert nimetas „peeneks” meetodiks. Lõpliku mõttekäigu eriline epistemoloogiline iseloom annab siis klassikalisele matemaatikale vajaliku põhjenduse. Ehkki Hilbert pakkus oma programmi sellisel kujul välja alles 1921. aastal, on selle erinevad tahud juurdunud põhitegevuses, milleks oli tema tagasipöördumine umbes aastani 1900, mil ta esmakordselt juhtis tähelepanu analüüside otsese järjepidevuse tõestuse vajalikkusele. Töö programmiga edenes 1920. aastatel märkimisväärselt selliste logistikute nagu Paul Bernays, Wilhelm Ackermann, John von Neumann ja Jacques Herbrand kaastööna. See avaldas suurt mõju ka Kurt Gödelile, kelle töö ebatäpsuse teoreemide osas ajendas Hilbert'i programmi. Gödeli töö näitab üldiselt, et Hilberti programmi ei saa ellu viia. Sellegipoolest on see jätkuvalt mõjutanud oma positsiooni matemaatikafilosoofias ja alustades Gerhard Gentzeni tööd 1930ndatel, on nn relativiseeritud Hilberti programmide töö olnud tõestusteooria arendamisel kesksel kohal.kelle töö puudulikkuse teooriate osas oli ajendatud Hilberti programmist. Gödeli töö näitab üldiselt, et Hilberti programmi ei saa ellu viia. Sellegipoolest on see jätkuvalt mõjutanud oma positsiooni matemaatikafilosoofias ja alustades Gerhard Gentzeni tööd 1930ndatel, on nn relativiseeritud Hilberti programmide töö olnud tõestusteooria arendamisel kesksel kohal.kelle töö puudulikkuse teooriate osas oli ajendatud Hilberti programmist. Gödeli töö näitab üldiselt, et Hilberti programmi ei saa ellu viia. Sellegipoolest on see jätkuvalt mõjutanud oma positsiooni matemaatikafilosoofias ja alustades Gerhard Gentzeni tööd 1930ndatel, on nn uuendatud Hilberti programmide töö olnud tõestusteooria väljatöötamisel kesksel kohal.

• 1. Hilberti programmi ajalooline areng

  • 1.1 Varane töö vundamentidega
  • 1.2 Principia Mathematica mõju
  • 1.3 Finitism ja järjekindluse tõendite otsimine
  • 1.4 Gödeli mittetäielikkuse teooriate mõju

• 2. Finantslik vaatepunkt

  • 2.1 Finantsobjektid ja finitistlik epistemoloogia
  • 2.2 Finantsiliselt tähenduslikud ettepanekud ja finitatsiooniline arutluskäik
  • 2.3. Finantstoimingud ja tõendid
• 3. Formalism, reduktsionism ja instrumentalism
• 4. Hilberti programm ja Gödeli puudulikkuse teoreemid
• 5. Muudetud Hilberti programmid
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. Hilberti programmi ajalooline areng

1.1 Varane töö vundamentidega

Hilberti töö matemaatika aluste osas sai alguse 1890. aastate geomeetria tööst, mille kulminatsiooniks oli tema mõjuvõimas õpik Geomeetria alused (1899) (vt 19. sajandi geomeetria). Hilbert arvas, et mis tahes teadusliku subjekti range arendamise õige viis nõuab aksiomaatilist lähenemisviisi. Aksioomaatilise ravi korral arendatakse teooriat sõltumata vajadusest intuitsiooni järele ning see hõlbustaks põhimõistete ja aksioomide loogiliste seoste analüüsi. Nii on aksioomaatilise ravi jaoks põhilise tähtsusega aksioomide sõltumatuse ja ennekõike järjepidevuse uurimine. Geomeetria aksioomide puhul saab järjepidevust tõestada süsteemi reaaltasapinnalise tõlgenduse abil ja seegageomeetria järjepidevus taandatakse analüüsi järjepidevusele. Analüüsi alus nõuab muidugi ise aksiomatizeerimist ja järjepidevuse tõendit. Hilbert esitas sellise aksiomatizationi (1900b), kuid selgus väga kiiresti, et analüüsi järjepidevus seisab silmitsi oluliste raskustega, eriti seetõttu, et Dedekindi töö eelistatud meetod analüüsi aluse loomiseks tugines kahtlastele eeldustele, mis on sarnased neile, mis viivad püstitatud teooria paradokside ja Russelli paradoksi suhtes Frege aritmeetika aluses.eriti seetõttu, et Dedekindi töös analüüsi jaoks aluse loomise eelistatud viis tugines kahtlastele eeldustele, mis on sarnased nendega, mis viivad Frege'i aritmeetika aluse püstitatud teooria ja Russelli paradoksideni.eriti seetõttu, et Dedekindi töös analüüsi jaoks aluse loomise eelistatud viis tugines kahtlastele eeldustele, mis on sarnased nendega, mis viivad Frege'i aritmeetika aluse püstitatud teooria ja Russelli paradoksideni.

Hilbert taipas, et vaja on otsest järjepidevust tõestavat analüüsi, st seda, mis ei põhine taandamisel teooriale. Ta esitas 1900. aastal (1900a) oma pöördumises rahvusvahelisele matemaatikute kongressile 23-st oma 23 matemaatilisest probleemist teise tõestuse leidmise probleemi ja esitas oma Heidelbergi kõnes (1905) sellise tõendi visandi. Hilberti põhiprogrammi edasiarendamisega viivitasid mitmed tegurid. Üks oli võib-olla Poincaré (1906) kriitika selle vastu, mida ta pidas Hilberti visandatud konsistentsikõnes induktsiooni õelikult ümmarguseks kasutamiseks (vt Steiner 1975, lisa). Hilbert taipas ka, et aksiomaatilised uurimised nõuavad hästi läbi mõeldud loogilist formalismi. Sel ajal tugines ta loogika kontseptsioonile, mis põhines algebralisel traditsioonil, eriti Schröderi tööl,mis ei sobinud eriti matemaatika aksiomatizationi formalismiks. (Hilberti programmi varajase väljatöötamise kohta vt Peckhaus 1990.)

1.2 Principia Mathematica mõju

Russelli ja Whiteheadi väljaande Principia Mathematica avaldamine andis vajaliku loogilise aluse uueks rünnakuks põhiküsimuste vastu. Alates 1914. aastast uurisid Hilberti õpilane Heinrich Behmann ja teised Principia süsteemi (vt Mancosu 1999 Behmanni rolli kohta Hilberti koolis). Hilbert ise naasis aluseküsimuste kallale 1917. aastal. Septembris 1917 edastas ta Šveitsi matemaatikaühingule pöördumise pealkirjaga “Aksiomaatiline mõte” (1918a). See on tema esimene avaldatud panus matemaatilistesse alustesse alates aastast 1905. Selles rõhutab ta veel kord aksioomaatiliste süsteemide järjepidevuse tõendite nõuet: „Aksioomide teooria peamine nõue peab minema kaugemale [kui pelgalt teadaolevate paradokside vältimine], nimelt:näidata, et igas teadmisvaldkonnas on aksioomisüsteemil põhinevad vastuolud täiesti võimatud.” Ta esitab peamiste avatud probleemidena tõestuse aritmeetika (ja kogumiteooria) järjepidevusest. Mõlemal juhul ei näi olevat midagi põhimõttelisemat, mille järjepidevust saaks vähendada, peale loogika enda. Ja Hilbert arvas siis, et selle probleemi lahendasid põhimõtteliselt Russelli tööd Principias. Sellegipoolest jäid lahendamata muud aksiomaatika põhiprobleemid, sealhulgas "iga matemaatilise küsimuse otsustatavuse" probleem, mis on pärit ka Hilberti 1900. aasta aadressist.tundub, et pole midagi muud põhimõttelisemat, mille järjepidevust saaks vähendada, peale loogika ise. Ja Hilbert arvas siis, et selle probleemi lahendasid põhimõtteliselt Russelli tööd Principias. Sellegipoolest jäid lahendamata muud aksiomaatika põhiprobleemid, sealhulgas "iga matemaatilise küsimuse otsustatavuse" probleem, mis on pärit ka Hilberti 1900. aasta aadressist.tundub, et pole midagi muud põhimõttelisemat, mille järjepidevust saaks vähendada, peale loogika ise. Ja Hilbert arvas siis, et selle probleemi lahendasid põhimõtteliselt Russelli tööd Principias. Sellegipoolest jäid lahendamata muud aksiomaatika põhiprobleemid, sealhulgas "iga matemaatilise küsimuse otsustatavuse" probleem, mis on pärit ka Hilberti 1900. aasta aadressist.

Need aksiomaatika lahendamata probleemid sundisid Hilbertit järgmistel aastatel loogika kallal pingutama. 1917. aastal liitus Paul Bernays tema abiga Göttingenis. Mitmetel kursustel aastatel 1917–1921 tegi Hilbert Bernaysi ja Behmanni abiga olulise uue formaalse loogika juurde. 1917. aastast pärinev kursus (Hilbert, 1918b) sisaldab eriti esmajärgulise loogika keerukat arengut ja on aluseks Hilberti ja Ackermanni õpikule Teoreetilise loogika põhimõtted (1928) (vt Ewald ja Sieg 2013, Sieg 1999, ja Zach 1999, 2003).

1.3 Finitism ja järjekindluse tõendite otsimine

Järgneva paari aasta jooksul tuli Hilbert siiski tagasi lükata Russelli logistiline lahendus aritmeetika järjepidevuse probleemile. Samal ajal omandas valuuta Brouweri intuitiivne matemaatika. Eelkõige pöördus intuitsiooni poole Hilberti endine õpilane Hermann Weyl. Weyli paberile “Uus matemaatika aluskriis” (1921) vastas Hilbert kolmel kõnelusel Hamburgis 1921. aasta suvel (1922b). Hilbert esitas siin oma ettepaneku lahenduse leidmiseks matemaatika aluse probleemile. See ettepanek hõlmas Hilberti ideid aastast 1904, mis käsitlesid otseseid järjepidevuse tõestusi, tema aksiomaatiliste süsteemide kontseptsiooni ja ka matemaatika aksiomatiziseerimise tehnilisi arenguid Russelli töös, samuti tema ja tema kaastöötajate edasisi arenguid. Uus oli see, kuidas Hilbert soovis oma konsistentsiprojekti tasandada filosoofilise tähtsusega, mis on vajalik Brouweri ja Weyli kriitikale vastamiseks: lõplikust vaatepunktist.

Hilberti sõnul on olemas matemaatika privilegeeritud osa, sisuline põhiline arvuteooria, mis tugineb ainult „konkreetsete märkide puhtalt intuitiivsele alusele”. Kui abstraktsete kontseptsioonidega opereerimist peeti „ebapiisavaks ja ebakindlaks“, siis on olemas valdkond

ekstra-loogilised diskreetsed objektid, mis eksisteerivad intuitiivselt vahetu kogemusena enne kui kõik läbi mõelda. Kui loogilised järeldused peavad olema kindlad, siis peab neid objekte olema võimalik nende kõigis osades täielikult uurida ning nende esitusviis, erinevus, üksteisele järgnevus (nagu ka objektid ise) peavad meie jaoks eksisteerima kohe, intuitiivselt, kui midagi, mida ei saa taandatakse millekski muuks. (Hilbert 1922b, 202; lõiku korratakse peaaegu sõna-sõnalt Hilbert 1926, 376, Hilbert 1928, 464 ja Hilbert 1931b, 267)

Need objektid olid Hilberti jaoks märgid. Kontentuaalse arvu teooria valdkond koosneb lõplikest numbritest, st löögijärjestustest. Neil pole tähendust, st nad ei tähista abstraktseid objekte, vaid neid saab kasutada (nt kinnistada) ja võrrelda. Nende omaduste ja suhete tundmine on intuitiivne ja loogiliste järelduste abil vahendamata. Sel viisil välja töötatud sisuline arvuteooria on Hilberti sõnul kindel: vastuolusid ei saa tekkida lihtsalt seetõttu, et sisulise arvu teooria ettepanekutel puudub loogiline struktuur.

Hilberti metamatmaatika aluseks on märkidega intuitiiv-sisulised toimingud. Nii nagu sisuline numbriteooria töötab löökide jadadega, toimib ka metamatmaatika sümbolite jadadega (valemid, tõestused). Valemite ja tõenditega saab süntaktiliselt manipuleerida ning valemite ja tõendite omadused ja seosed põhinevad sarnaselt loogikavabal intuitiivsel suutlikkusel, mis tagab kindluse teadmistes selliste süntaktiliste toimingutega saadud valemite ja tõendite kohta. Matemaatika ise aga töötab abstraktsete mõistetega, nt kvantifikaatorite, komplektide, funktsioonide abil ja kasutab loogilisi järeldusi, mis põhinevad sellistel põhimõtetel nagu matemaatiline induktsioon või välistatud keskpunkti printsiip. Brouwer ja teised kritiseerisid neid mõistekujundusi ja arutlusviise põhjusel, et need eeldavad antud lõpmatut totaalsust või hõlmavad ebatäpsed määratlusi (mida kriitikud pidasid õeluseta ümmarguseks). Hilberti eesmärk oli õigustada nende kasutamist. Sel eesmärgil tõi ta välja, et neid saab vormistada aksiomaatilistes süsteemides (näiteks Principia oma või Hilbert enda välja töötatud süsteemid) ning matemaatilised ettepanekud ja tõestused muutuvad seega valemitena ja tuletistena aksioomidest vastavalt rangelt piiritletud tuletusreeglitele. Matemaatika, seega Hilbert, saab tõestatavate valemite loendiks. Sel viisil uuritakse matemaatika tõendusmaterjale metamatemaatiliselt ja sisuliselt. Hilberti programmi eesmärk on siis anda sisu,metamatemaatiline tõestus selle kohta, et vastuolu tuletada ei saa, st valemi (A) ja selle eituse (neg A) formaalseid tuletusi ei saa olla.

Selle visandi programmi eesmärkidest koostasid Hilbert ja tema kaastöötajad järgneva 10 aasta jooksul. Kontseptuaalsest küljest töötas lõpliku seisukoha ja järjepidevuse tõestamise strateegia välja Hilbert (1928); Hilbert (1923); Hilbert (1926) ja Bernays (1928b); Bernays (1922); Bernays (1930), millest Hilberti artikkel “Lõpmatul” (1926) pakub kõige detailsemalt sõjaväe seisukohta. Lisaks Hilbertile ja Bernays'ile osales programmi tehnilises töös veel hulk inimesi. Göttingenis peetud loengutes (Hilbert ja Bernays, 1923; Hilbert, 1922a) töötasid Hilbert ja Bernays välja arhiivika ja analüüsi aksioomisüsteemide lõpliku formalismina ((varepsilon)) kalkulatsiooni. Sealsamas tutvustas Hilbert ka lähenemisviisi järjepidevuse tõestamisele, kasutades niinimetatud (varepsilon) - asendusmeetodit. Ackermann (1924) püüdis laiendada Hilberti ideed analüüsisüsteemile. Tõendid olid siiski ekslikud (vt Zach 2003). Seejärel Göttingeni külastanud John von Neumann esitas parandatud konsistentsi tõendusmaterjali (varepsilon) - formalismi (mis aga ei sisaldanud induktsiooni aksioomi) süsteemi jaoks 1925. aastal (avaldatud 1927). Tuginedes von Neumanni tööle, töötas Ackermann välja uue asendamise korra (varepsilon), mille ta edastas Bernays'ele (vt Bernays 1928b). Oma pöördumises “Matemaatika alustamise probleemid” Bolognas 1928. aastal (1929) rahvusvahelisele matemaatikute kongressileHilbert väitis optimistlikult, et Ackermanni ja von Neumanni töö on loonud numbriteooria järjepidevuse ning Ackermann on juba analüüsimiseks tõendusmaterjali koostanud „niivõrd, kuivõrd ainus järelejäänud ülesanne seisneb elementaarse lõplikkuse teoreemi tõestamises, mis on puhtalt aritmeetiline.”

1.4 Gödeli mittetäielikkuse teooriate mõju

Gödeli puudulikkuse teoreemid näitasid, et Hilberti optimism oli liigne. Septembris 1930 kuulutas Kurt Gödel Königsbergi konverentsil oma esimese mittetäielikkuse teoreemi. Publikus olnud Von Neumann tunnistas kohe Gödeli tulemuse olulisust Hilberti programmi jaoks. Vahetult pärast konverentsi kirjutas ta Gödelile, öeldes talle, et leidis Gödeli tulemuse. Gödel oli sama tulemuse leidnud juba iseseisvalt: teine mittetäielikkuse teoreem, kinnitades, et Principia süsteem ei tõesta, et formaliseeritakse väide, et Principia süsteem on järjepidev (eeldusel, et see on olemas). Kõiki siiani konsistentsikinnitustes kasutatud finitaalse arutluse meetodeid usuti aga Principias vormistatavat. Seegakui Principia järjepidevus oleks Ackermanni tõendites kasutatud meetoditega tõendatav, peaks olema võimalik see tõendada Principial; kuid just seda on ebatäpsuse teoreemi teine olek võimatu. Bernays taipas ka Gödeli tulemuste olulisust kohe pärast seda, kui ta 1931. aasta jaanuaris Gödeli paberit uuris, kirjutades Gödelile, et (eeldusel, et finiisilised mõttekäigud saab Principias vormistada) näitab ebatäpsuse teoreem, et Principia lõplik järjepidevuse tõend on võimatu. Vahetult pärast seda näitas von Neumann, et Ackermanni konsistentsi tõendusmaterjal on puudulik, ja esitas vastupidise näite kavandatud asendamismenetlusele (varepsilon) (vt Zach 2003).kuid just seda on ebatäpsuse teoreemi teine olek võimatu. Bernays taipas ka Gödeli tulemuste olulisust kohe pärast seda, kui ta 1931. aasta jaanuaris Gödeli paberit uuris, kirjutades Gödelile, et (eeldusel, et finiisilised mõttekäigud saab Principias vormistada) näitab ebatäpsuse teoreem, et Principia lõplik järjepidevuse tõend on võimatu. Vahetult pärast seda näitas von Neumann, et Ackermanni konsistentsi tõendusmaterjal on puudulik, ja esitas vastupidise näite kavandatud asendamismenetlusele (varepsilon) (vt Zach 2003).kuid just seda on ebatäpsuse teoreemi teine olek võimatu. Bernays taipas ka Gödeli tulemuste olulisust kohe pärast seda, kui ta 1931. aasta jaanuaris Gödeli paberit uuris, kirjutades Gödelile, et (eeldusel, et finiisilised mõttekäigud saab Principias vormistada) näitab ebatäpsuse teoreem, et Principia lõplik järjepidevuse tõend on võimatu. Vahetult pärast seda näitas von Neumann, et Ackermanni konsistentsi tõendusmaterjal on puudulik, ja esitas vastupidise näite kavandatud asendamismenetlusele (varepsilon) (vt Zach 2003).kirjutades Gödelile, et (eeldusel, et põhimõttelise põhimõtte saab vormistada Principias), näitab ebatäpsuse teoreem, et Principia lõplik järjepidevuse tõend on võimatu. Vahetult pärast seda näitas von Neumann, et Ackermanni konsistentsi tõendusmaterjal on puudulik, ja esitas vastupidise näite kavandatud asendamismenetlusele (varepsilon) (vt Zach 2003).kirjutades Gödelile, et (eeldusel, et põhimõttelise põhimõtte saab vormistada Principias), näitab ebatäpsuse teoreem, et Principia lõplik järjepidevuse tõend on võimatu. Vahetult pärast seda näitas von Neumann, et Ackermanni konsistentsi tõendusmaterjal on puudulik, ning esitas vastupidise näite kavandatud asendamismenetlusele (varepsilon) (vt Zach 2003).

Aastal (1936) avaldas Gentzen järjekindluse esimese järgu Peano aritmeetika ((PA)) kohta. Nagu Gödel oli osutunud vajalikuks, kasutas Gentzeni tõendusmaterjal meetodeid, mida ei olnud võimalik vormistada ka ((PA)) endas, nimelt transfinite induktsiooni piki ordinaalset (varepsilon_0). Gentzeni töö tähistab Gödelijärgse tõestusteooria algust ja tööd uuendatud Hilberti programmide kallal. Gentzeni traditsiooni tõestusteooria on aksiomaatilisi süsteeme analüüsinud vastavalt sellele, millised finitaarse vaatepunkti laiendid on vajalikud nende järjepidevuse tõestamiseks. Tavaliselt on süsteemide konsistentsi tugevust mõõdetud süsteemi tõestusteoreetilise ordinaali kaudu, st ordinaalse transfinite induktsiooni abil, mida mööda järjepidevuse tõestamiseks piisab. (PA) korral on see ordinaal (varepsilon_0). (Edasiseks aruteluksvaata sissekannet tõestusteooria arendamise kohta.)

2. Finantslik vaatepunkt

Hilberti matemaatikafilosoofia nurgakivi ja tema põhialuste mõtte uus külg alates aastast 1922b koosnes sellest, mida ta nimetas lõplikuks seisukohaks. See metoodiline seisukoht seisneb matemaatilise mõtte piiramises objektidega, mis “esinevad intuitiivselt vahetuna kogemusena enne kogu mõtlemist”, ning selliste objektide toimingute ja põhjendamismeetoditega, mis ei nõua abstraktsete mõistete kasutuselevõttu. eriti ilma lõpliku lõpmatuse järele kaebuseta.

Hilberti lõpliku seisukoha mõistmisel on mitu põhilist ja omavahel seotud küsimust:

1. Millised on lõpliku arutluse objektid?
2. Millised on lõplikult tähenduslikud ettepanekud?
3. Millised on lõplikult vastuvõetavad konstrueerimis- ja arutlusmeetodid?

2.1 Finantsobjektid ja finitistlik epistemoloogia

Hilbert iseloomustas lõpliku arutluse valdkonda üldtuntud lõigus, mis on enam-vähem ühesuguses sõnastuses kõigis 1920. aastate Hilberti filosoofilistes dokumentides (1931b; 1922b; 1928; 1926):

Loogiliste järelduste kasutamise ja loogiliste toimingute tegemise tingimuseks tuleb juba midagi anda meie esindusteaduskonnale, teatud ebaloogilised konkreetsed objektid, mis intuitiivselt esinevad vahetu kogemusena enne kogu mõtlemist. Loogiliste järelduste usaldusväärsuse tagamiseks peab olema võimalik neid objekte täielikult uurida nende kõigis osades ja antakse kohe teada, et need esinevad, et nad erinevad üksteisest ja et nad järgnevad üksteisele või on ühendatud. intuitiivselt koos objektidega kui midagi, mida ei saa taandada millekski muuks ega vaja taandamist. See on põhiline filosoofiline seisukoht, mida pean vajalikuks nii matemaatika kui ka üldiselt kogu teadusliku mõtlemise, mõistmise ja suhtluse jaoks. (Hilbert, 1926, 376)

Need objektid on Hilberti jaoks märgid. Vaidlustatud numbriteooria valdkonnas on kõnealused tähised sellised numbrid nagu

1, 11, 111, 11111

Küsimusele, kuidas Hilbert numbritest täpselt aru sai, on raske vastata. Need ei ole füüsilised objektid (näiteks tegelikud löögid paberil), kuna alati peab olema võimalik numbrit laiendada, lisades veel ühe löögi (ja nagu Hilbert väidab ka raamatus “Lõpmatule” (1926), on kaheldav, kas füüsiline universum on lõpmatu). Hilbert (1922b, 202) väidab, et nende kuju saab meid üldiselt ja kindlasti ära tunda, sõltumata ruumist ja ajast, märgi valmistamise eritingimustest ja valmistoote olulistest erinevustest. Need ei ole vaimsed konstruktsioonid, kuna nende omadused on objektiivsed, kuid nende olemasolu sõltub nende intuitiivsest konstruktsioonist (vt Bernays 1923, 226). Igal juhul on selge, et nad on loogiliselt primitiivsed, stneed ei ole mõisted (nagu Frege numbrid on) ega kogumid. Oluline pole siin mitte nende metafüüsiline staatus (abstraktne versus konkreetne nende mõistete praeguses tähenduses), vaid see, et nad ei astu loogilistesse suhetesse, nt ei saa neile midagi ette ennustada. Bernaysi kõige küpsemates finitismi esitlustes (Hilbert ja Bernays, 1939; Bernays, 1930) kirjeldatakse finitismiobjekte kui formaalseid objekte, mis on rekursiivselt genereeritud kordusprotsessi abil; löögisümbolid on siis nende formaalsete objektide konkreetsed kujutised. Bernaysi kõige küpsemates finitismi esitlustes (Hilbert ja Bernays, 1939; Bernays, 1930) kirjeldatakse finitismiobjekte kui formaalseid objekte, mis on rekursiivselt genereeritud kordusprotsessi abil; löögisümbolid on siis nende formaalsete objektide konkreetsed kujutised. Bernaysi kõige küpsemates finitismi esitlustes (Hilbert ja Bernays, 1939; Bernays, 1930) kirjeldatakse finitismiobjekte kui formaalseid objekte, mis on rekursiivselt genereeritud kordusprotsessi abil; löögisümbolid on siis nende formaalsete objektide konkreetsed kujutised.

Sama raske on küsimus, mida Hilbert pidas finitismiobjektide epistemoloogiliseks staatuseks. Infinitistlikule matemaatikale kindla aluse loomise ülesande täitmiseks peab ligipääs sõjaväe objektidele olema viivitamatu ja kindel. Hilberti filosoofiline taust oli laias laastus kanti keel, nagu ka Bernays, kes oli tihedalt seotud uuskantiliku filosoofiakooliga Leonard Nelsoni ümbruses Göttingenis. Hilberti iseloomustatud finitism viitab sageli Kanti intuitsioonile ja finitismi objektidele kui intuitiivselt antud objektidele. Kanti epistemoloogias on vahetult intuitiivsete teadmiste iseloomulik tunnus. Küsimus on selles, millist intuitsiooni mängitakse? Mancosu (1998b) tuvastab nihe selles osas. Ta väidab, et kui Hilberti varasemates dokumentides kasutatud intuitsioon oli omamoodi tajutav intuitsioon, siis hilisemates kirjutistes (nt Bernays 1928a) on see Kanti mõistes puhta intuitsiooni vorm. Ligikaudu samal ajal nimetab Hilbert (1928, 469) siiski tajutavaks mängu ajal kasutatavat intuitsiooni. (1931b, 266–267) peab Hilbert lõplikku mõtteviisi lisaks puhtale intuitsioonile (nt ruum) ja mõistusele lisaks a priori teadmiste eraldi allikale, väites, et ta on „ära tundnud ja iseloomustanud kolmandat allikat kogemuste ja loogikaga kaasas olevad teadmised.” Nii Bernays kui ka Hilbert õigustavad finantsteadmisi laias laastus Kantia keeles (minemata siiski nii kaugele, et pakkuda transtsendentaalset deduktsiooni), iseloomustades finitaarset arutluskäiku kui sellist matemaatikat, mis on kõigi matemaatiliste aluste aluseks.ja tõepoolest, teaduslik, mõtlemine, ja ilma milleta oleks selline mõte võimatu. (Vt Kitcher 1976 ja Parsons 1998 finitismi epistemoloogia kohta ja Patton 2014 Hilberti märkide teooria ajaloolise ja filosoofilise konteksti kohta.)

2.2 Finantsiliselt tähenduslikud ettepanekud ja finitatsiooniline arutluskäik

Peamised otsused lõppenud numbrite kohta on võrdsuse ja ebavõrdsuse kohta. Lisaks võimaldab piiratud seisukoht toiminguid sõjalistel objektidel. Siin on kõige elementaarsem liitumine. Numbrite 11 ja 111 liitmine edastatakse kujul "(2 + 3)" ja väide, et 11-ga liitunud 11 annab sama numbri kui 111, mis on ühendatud 11-ga numbriga "(2 + 3 = 3 + 2).).” Tõelises teoreetilises praktikas, nagu ka otsesõnu (Hilbert ja Bernays, 1934; Bernays, 1930), on need põhitoimingud üldistatud toiminguteks, mis on määratletud rekursiooniga, paradigmaatiliselt, primitiivse rekursiooniga, nt korrutamine ja eksponentsiatsioon (vt Parsons 1998 filosoofilised raskused seoses eksponentseerumisega ja 2007. aastal intuitiivse matemaatika ja finitismi laiendatud aruteluks). Samamoodisõjalised otsused võivad hõlmata mitte ainult võrdsust või ebavõrdsust, vaid ka põhilisi otsustatavaid omadusi, näiteks „on peamine”. See on lõplikult vastuvõetav, kui sellise omaduse iseloomulik funktsioon on iseenesest finitaarne: näiteks toimingu, mis teisendab arvu 1-ks, kui see on algarv ja 11, saab teisiti määratleda primitiivse rekursiooniga ja on seega finitaarne. Selliseid finitaalseid väiteid võib ühendada tavaliste loogiliste toimingutega konjunktsioon, disjunktsioon, eitus, aga ka piiritletud kvantifitseerimine. (Hilbert, 1926) toob näite väitest, et “algarv on vahemikus (p + 1) ja (p! + 1)”, kus (p) on teatav suur arv. See väide on lõppkokkuvõttes aktsepteeritav, kuna see „üksnes lühendab väidet”, et kas (p + 1) või (p + 2) või (p + 3) või… või (p! + 1) on peaminister.

Probleemsed lõpplaused on sellised, mis väljendavad üldiseid fakte numbrite kohta, näiteks iga numbri (n, 1 + n = n + 1) kohta. See on problemaatiline, kuna, nagu Hilbert ütleb, on see "finitistlikust vaatepunktist võimatu eitada" (1926, 378). Selle all peab ta silmas vastuolulist väidet, et on olemas arv (n), mille jaoks (1 + n / ne n + 1) pole lõplikult tähenduslik. “Lõppude lõpuks ei saa kõiki numbreid proovida” (1928, 470). Samal põhjusel ei tule lõplikku üldmõistet mõista lõpmatu koosseisuna, vaid „üksnes hüpoteetilise otsustusena, mis tuleb numbri esitamisel midagi väita” (ibid.). Ehkki need on selles mõttes probleemsed, on üldised finitaarsed avaldused Hilberti tõestusteooria jaoks eriti olulised,kuna formaalse süsteemi järjepidevuse avaldus (S) on sellises üldises vormis: ühegi valemi järgnevuse korral ei tähenda (P, P) vastuolu tuletamist dokumendis (S).

2.3. Finantstoimingud ja tõendid

Nii finitismi kui ka Hilberti tõestusteooria mõistmise jaoks on ülioluline küsimus, milliseid toiminguid ja milliseid tõenduspõhimõtteid tuleks finitisti seisukohast lubada. See, et üldine vastus on vajalik, selgub Hilberti tõestusteooria nõudmistest, st ei maksa eeldada, et ametliku matemaatikasüsteemi (või isegi ühe valemi jada) korral on võimalik näha, et see on järjepidev (või et see ei saa olla ebajärjekindluse tõeline tuletus), näiteks kuidas näeme, et (11 + 111 = 111 + 11). Järjepidevuse tõestamiseks on vaja toimingut, mis ametliku tuletuse korral muudab selle tuletise erivormi, millele lisanduvad tõendid, et toiminguga seda tegelikult tehakse ja et eriliigid ei saa olla vastuolu tõendid.. Finantsilise järjekindluse tõendina käsitsemiseks peab toiming ise olema finitistlikust seisukohast vastuvõetav ja nõutavad tõendid peavad kasutama ainult finitaalselt vastuvõetavaid põhimõtteid.

Hilbert ei andnud kunagi üldist ülevaadet selle kohta, millised toimingud ja tõestamismeetodid on finitistlikust seisukohast vastuvõetavad, vaid ainult näidetest toimingutest ja järeldamismeetoditest sisulises lõpliku numbriteooria teoorias, mille ta tunnistas lõplikuks. Sisulist induktsiooni aktsepteeriti selle rakenduses hüpoteetilise, üldise iseloomuga finitaarsete väidete suhtes sõnaselgelt dokumendis Hilbert (1922b). Ta (1923, 1139) ütles, et intuitiivne mõte „hõlmab rekursiooni ja intuitiivset esilekutsumist piiratud olemasolevate totaalsuste jaoks“ja kasutas eksponentsiatsiooni näites 1928. Bernays (1930) selgitas, kuidas eksponentsiatsiooni võib mõista kui numbrite finaalset operatsiooni. Hilbert ja Bernays (1934) annavad ainsa üldise ülevaate sõjaväelise sisulise arvu teooriast; vastavalt selleleprimitiivse rekursiooni ja induktsiooni abil tõestatud toimingud on lõplikult vastuvõetavad. Kõiki neid meetodeid saab vormistada süsteemis, mida tuntakse kui primitiivset rekursiivset aritmeetikat ((PRA)), mis võimaldab funktsioone määratleda primitiivse rekursiooni ja induktsiooni abil kvantitatiivsetes valemites (ibid.). Kuid ei Hilbert ega Bernays väitnud kunagi, et ainult primitiivsed rekursiivsed toimingud loetakse lõplikuks ja tegelikult kasutasid nad näiliselt finitaalse konsistentsi tõendusmaterjalides juba mõnda 1923. aastat mõned mitte-primitiivseid rekursiivseid meetodeid (vt Tait 2002 ja Zach 2003).ei Hilbert ega Bernays väitnud kunagi, et ainult primitiivsed rekursiivsed toimingud loetakse lõplikuks ja tegelikult kasutasid nad näiliselt finitaalse konsistentsi tõendusmaterjalides juba mõnda 1923. aastal mõnda mitte-primitiivset rekursiivset meetodit (vt Tait 2002 ja Zach 2003).ei Hilbert ega Bernays väitnud kunagi, et ainult primitiivsed rekursiivsed toimingud loetakse lõplikuks ja tegelikult kasutasid nad näiliselt finitaalse konsistentsi tõendusmaterjalides juba mõnda 1923. aastal mõnda mitte-primitiivset rekursiivset meetodit (vt Tait 2002 ja Zach 2003).

Huvitavam kontseptuaalne küsimus on see, milliseid operatsioone tuleks pidada lõplikuks. Kuna Hilbert oli vähem kui täielikult aru saanud, milles see sõjaline seisukoht koosneb, on epistemoloogilistel ja muudel põhjustel piirangute seadmisel teatav tegutsemisruum, finitistliku operatsiooni ja tõendusmaterjali analüüs peab olema täidetud. Hilbert iseloomustas (vt eespool) numbrite teooria objekte kui „intuitiivselt antud” kui „kõigis nende osades jälgitavaid” ja ütles, et nende põhiomadused peavad meie jaoks „intuitiivselt eksisteerima”. Bernays (1922, 216) viitab sellele, et lõplikus matemaatikas tulevad mängu ainult „primitiivsed intuitiivsed tunnetused” ja kasutab seoses finitismiga 1930, 250 terminit „intuitiivsete tõendite vaatepunkt”. Seda finitismi iseloomustamist, mis on peamiselt seotud intuitsiooni ja intuitiivsete teadmistega, on rõhutanud eriti (Parsons, 1998), kes väidab, et selle mõistmise puhul võib finitatsiooniks lugeda ainult neid aritmeetilisi operatsioone, mida saab määratleda liitmise ja korrutamise teel. kasutades piiratud rekursiooni. Eriti ei ole tema sõnul eksponentsiatsioon ja üldine primitiivne rekursioon lõplikult vastuvõetavad.

Tees, et finitism langeb kokku primitiivsete rekursiivsete mõttekäikudega, on jõuliselt kaitsnud (Tait 1981; vt ka 2002 ja 2005b). Tait lükkab vastupidiselt Parsonsile tagasi intuitsiooni kui esindatuse aspekti kui sõjaväe tunnust; selle asemel võtab ta finitaarset arutluskäiku kui "minimaalset laadi mõttekäiku, mida eeldavad kõik numbrite mittetriviaalsed matemaatilised põhjendused". ning analüüsib sõjalisi operatsioone ja tõestamismeetodeid kui neid, mis kaudselt tähendavad arvu kui piiratud jada vormi. Seda finitismianalüüsi toetab Hilberti väide, et finitaarne arutluskäik on eeltingimus loogilisele ja matemaatilisele, tegelikult igasugusele teaduslikule mõtlemisele, mida Hilbert (1931b, 267). Kuna lõplik mõttekäik on matemaatika see osa, mida eeldavad kõik numbrite mittetriviaalsed mõttekäigud, siisnii Tait, "kahtlematu" Cartesiuse mõistes, ja see kahtimatus kui kõik, mida oleks vaja finitaarselt põhjendada, et pakkuda matemaatika epistemoloogilist alust, mille Hilbert seda kavatses.

Kreisel (1960) pakkus välja veel ühe huvitava sõjalise tõendusmaterjali analüüsi, mis ei paku siiski nii detailset filosoofilist põhjendust. See annab tulemuseks, et täpselt need funktsioonid on finitaarsed, mida saab esimese astme aritmeetikas (PA) kokku tõestada. See põhineb refleksipõhimõtte tõenditeoreetilisel kontseptsioonil; üksikasju vt Zach (2006) ja analüüsi jaoks Dean (2015). Kreisel (1970, punkt 3.5) pakub veel ühe analüüsi, keskendudes sellele, mis on “visualiseeritav”. Tulemus on sama: finitaalne tõestatavus osutub ulatuslikuks tõestatavusega programmis (PA).

Taiti tehniline analüüs annab tulemuse, et finitistlikud funktsioonid on täpselt primitiivsed rekursiivsed ja finitistlikud arvuteoreetilised tõed on täpselt sellised, mis on tõestatavad primitiivse rekursiivse aritmeetilise teooria (PRA) teoorias. Oluline on rõhutada, et seda analüüsi ei tehta läbi finitistliku vaatepunkti. Kuna üldised mõisted "funktsioon" ja "tõestamine" ei ole iseenesest finitaarsed, ei suuda finitist mõista Taiti teesi, et (PRA) kõik tõestatav on finitistiliselt tõene. Taiti sõnul ei tohi finitistliku tõestatavuse nõuetekohane analüüs eeldada, et finitismil endal on juurdepääs sellistele mittefinitistlikele arusaamadele. Kreiseli lähenemisviis ja mõned Taiti kriitikad, mis tuginevad refleksioonipõhimõtetele või (omega) - reeglitele, järgivad seda nõuet (vt Tait 2002, 2005b). Teiselt poolt,võiks väita, et (PRA) on liiga tugev teooria, et seda saaks formaliseerida sellena, mida “eeldavad numbrite kõik mittetriviaalsed matemaatilised põhjendused”: on nõrgemaid, kuid mitte triviaalseid teooriaid, mis on seotud väiksemate klassidega funktsioone kui primitiivsed rekursiivsed funktsioonid, näiteks (PV) ja (EA), mis on seotud vastavalt polünoomi aja ja Kalmari elementaarsete funktsioonidega (vt Avigad 2003, kui palju matemaatikat saab läbi viia (EA)). Kasutades sama analüüsi nagu Tait, on Ganea (2010) jõudnud Kalmari elementaarsete funktsioonide klassi, mis on finitistlik.leidub nõrgemaid, kuid mitte triviaalseid teooriaid, mis on seotud väiksemate funktsioonide klassidega kui primitiivsed rekursiivsed, näiteks (PV) ja (EA), mis on seotud vastavalt polünoomi-aja ja Kalmari elementaarsete funktsioonidega (vaadake Avigad 2003, kui palju matemaatikat saab läbi viia (EA)). Kasutades sama analüüsi nagu Tait, on Ganea (2010) jõudnud Kalmari elementaarsete funktsioonide klassi, mis on finitistlik.leidub nõrgemaid, kuid mitte triviaalseid teooriaid, mis on seotud väiksemate funktsioonide klassidega kui primitiivsed rekursiivsed, näiteks (PV) ja (EA), mis on seotud vastavalt polünoomi-aja ja Kalmari elementaarsete funktsioonidega (vaadake Avigad 2003, kui palju matemaatikat saab läbi viia (EA)). Kasutades sama analüüsi nagu Tait, on Ganea (2010) jõudnud Kalmari elementaarsete funktsioonide klassi, mis on finitistlik. Ganea (2010) on jõudnud finaristlike Kalmari elementaarsete funktsioonide klassi. Ganea (2010) on jõudnud finaristlike Kalmari elementaarsete funktsioonide klassi.

3. Formalism, reduktsionism ja instrumentalism

Weyl (1925) oli lepitav reaktsioon Hilberti ettepanekule aastatel 1922b ja 1923, mis sisaldas siiski olulist kriitikat. Weyl kirjeldas Hilberti projekti kui sisulise matemaatika asendamist mõttetute valemitemängudega. Ta märkis, et Hilbert soovis kindlustada mitte tõde, vaid analüüsi järjepidevust ja soovitas Frege kriitikat, mis kordab varasemat: Miks peaksime võtma matemaatika formaalse süsteemi järjepidevust põhjuseks uskuda eelformaalset matemaatikat see kodifitseerib? Kas Hilberti mõttetu valemite inventuur pole lihtsalt „veretu analüüsi kummitus”? Weyl pakkus välja lahenduse:

[I] Kui matemaatika peab jääma tõsiseks kultuuriprobleemiks, tuleb Hilberti valemimängule omistada teatav mõte ja ma näen ainult ühte võimalust sellele (ka selle piiritletud komponentidele) omistada sõltumatu intellektuaalne tähendus. Teoreetilises füüsikas on meie ees suurepärane näide [omamoodi] teadmistest, mis on täiesti teistsugused kui tavalised või fenomenaalsed teadmised, mis väljendavad puhtalt seda, mida antakse intuitsioonis. Kui sel juhul on igal otsusel oma mõistus, mis on intuitsioonis täielikult realiseeritav, siis see ei kehti mingil juhul teoreetilise füüsika väidete kohta. Sel juhul on kogemustega silmitsi seistes pigem süsteem tervikuna. (Weyl, 1925, 140)

Analoogia füüsikaga on silmatorkav ja samasuguseid ideid võib leida ka Hilberti enda kirjutatud kirjandusest - võib-olla mõjutas seda Hilbert Weyl. Ehkki Hilberti esimesed ettepanekud keskendusid eranditult järjepidevusele, on Hilberti mõtlemises märgatav areng üldise reductivistliku projekti suunas, mis oli omamoodi teadusfilosoofias tol ajal üsna tavaline (nagu juhtis tähelepanu Giaquinto 1983). 1920. aastate teisel poolel asendas Hilbert konsistentsiprogrammi konservatiivsuse programmiga: Formaliseeritud matemaatikat tuli vaadelda analoogselt teoreetilise füüsikaga. Teoreetilise osa lõplik õigustus peitub selle konservatiivsuses „päris” matemaatika suhtes: kui teoreetiline „ideaalne” matemaatika osutub „tõeliseks” väideteks, on see väide ka intuitiivselt tõene. See õigustab transfinite matemaatika kasutamist: see pole mitte ainult sisemiselt järjekindel, vaid tõestab ainult tõelisi intuitiivseid ettepanekuid (ja tõepoolest kõiki, kuna intuitiivse matemaatika vormistamine on osa kogu matemaatika vormistamisest).

1926. aastal tutvustas Hilbert vahet reaalse ja ideaalse valemi vahel. Sellist eristust 1922b ei olnud ja vihjati sellele alles 1923. Viimases tutvustab Hilbert esmalt kvantifikaatorivaba numbriteooria ametlikku süsteemi, mille kohta ta ütleb, et „Sel viisil omandatavad tõestatavad valemid on kõik piiratud”(1139). Seejärel lisatakse teooria lihtsustamiseks ja täiendamiseks transfinite aksioomid (st kvantifikaatorid) (1144). Siin tõmbab ta esimest korda analoogiat ideaalelementide meetodiga: „Minu tõestusteoorias on piiritletud aksioomidega külgnevad transfinite aksioomid ja valemid, nii nagu keerukate muutujate teoorias, on kujutletavad elemendid seotud reaalsega, ja nagu ka geomeetrias, on ideaalsed konstruktsioonid ühendatud tegelikuga”(ibid). Kui Hilbert,tutvustab 1926. aastal selgesõnaliselt ideaalpakkumise mõistet ja 1928. aastal, kui ta esmakordselt lisaks ideaalile räägib ka reaalsetest väidetest, on ta üsna selge, et teooria tegelik osa koosneb ainult otsustatavatest, muutujavabadest valemitest. Need peaksid olema “otseselt võimelised kontrollima” sarnaselt väidetega, mis tulenevad loodusseadustest, mida saab katse abil kontrollida (1928, 475). Programmi uus pilt oli järgmine: Klassikaline matemaatika tuleb vormistada süsteemis, mis sisaldab kõigi otseselt arvutatavate (arvutuste järgi) sisuliste lõplike arvude teooria väidete vormistamist. Järjepidevuse tõend peaks näitama, et kõik tõelised väited, mida saab ideaalmeetoditega tõestada, on tõesed, st et neid saab otseselt kontrollida lõplike arvutuste abil.(Tegelikud tõendid nagu (varepsilon) - asendamine oli alati olnud sellist laadi: pakkuge välja sõjalised protseduurid, mis kõrvaldavad piiritletud elemendid reaalsete avalduste, eriti (0 = 1) tõenditest.) Tõepoolest, Hilbert nägi, et midagi tugevamat on tõsi: mitte ainult järjepidevuse tõend ei tõesta ideaalmeetoditega tõeste valemite tõesust, vaid annab ka lõplike tõendite üldiste finilaažide kohta, kui vastav vaba muutuja valem on tuletatav ideaalmeetoditega (1928, 474)..kuid see annab lõplike tõendite üldiste väidete kohta, kui vastav vaba muutuja valem on tuletatav ideaalmeetoditega (1928, 474).kuid see annab lõplike tõendite üldiste väidete kohta, kui vastav vaba muutuja valem on tuletatav ideaalmeetoditega (1928, 474).

Hilbert soovitas lisaks konservatiivsusele teooriale kehtestada täiendavaid piiranguid: lihtsus, tõendite lühidus, „mõtte ökonoomsus“ja matemaatiline tootlikkus. Transfinite loogika formaalne süsteem pole meelevaldne: “See vormelimäng viiakse läbi vastavalt kindlatele reeglitele, milles väljendatakse meie mõtlemise tehnikat. […] Minu tõestusteooria põhiidee pole keegi muu kui kirjeldada meie arusaamise tegevust, koostada reeglite protokoll, mille järgi meie mõtlemine tegelikult kulgeb”(Hilbert, 1928, 475). Kui Weyl (1928) lõpuks intuitsiooni poole pöördus (põhjustel vt Mancosu ja Ryckman, 2002), rõhutas ta Hilberti tõestusteooria motiivi: mitte muuta matemaatikat mõttetuteks sümbolimängudeks,kuid muuta see teoreetiliseks teaduseks, mis kodifitseerib teadusliku (matemaatilise) praktika.

Hilberti formalism oli seega üsna keerukas: sellega hoiti ära kaks üliolulist vastuväidet: (1) Kui süsteemi valemid on mõttetud, kuidas saab süsteemis tuletatavus tekitada igasugust usku? (2) Miks aktsepteerida süsteemi (PA), mitte mõnda muud ühtset süsteemi? Mõlemad vastuväited on Frege'ilt tuttavad; mõlemale küsimusele vastab (osaliselt) tõeliste väidete konservatiivsuse tõend. Punkti (2) jaoks on Hilbertil lisaks naturalistlik aktsepteerimiskriteerium: süsteemide valikul piiravad meid lihtsus, viljakus, ühtlus ja see, mida matemaatikud tegelikult teevad; Weyl lisab, et teooria ülim proov on selle kasulikkus füüsikas.

Enamik matemaatikafilosoofeid, kes Hilbertist kirjutavad, on lugenud teda instrumentalistiks (sealhulgas Kitcher 1976, Resnik 1980, Giaquinto 1983, Sieg 1990 ja eriti Detlefsen 1986), kuna nad lugesid Hilberti selgitust, et ideaalsetel väidetel "pole iseenesest tähendust". (Hilbert, 1926, 381), väites, et klassikaline matemaatika on pelk instrument ja et piiritletud matemaatika väidetel pole tõeväärtust. Kui see on täpne, tuleb seda mõista kui metoodilist instrumentalismi: Tõestusteoreetilise programmi edukas täitmine näitaks, et võiks teeselda, nagu oleks matemaatika mõttetu. Seetõttu pole analoogiat füüsikaga: lõplikel väidetel pole tähendust, kuna teoreetilisi termineid sisaldavatel väidetel pole tähendust, vaid:piiritletud ettepanekud ei vaja otsest intuitiivset tähendust, samamoodi nagu inimene ei pea elektronide otsimiseks nägema, et nende kohta teoretiseerida. Hallett (1990), võttes arvesse 19. sajandi matemaatilist tausta, kust Hilbert tuli, samuti avaldatud ja avaldamata allikaid kogu Hilberti karjääri kohta (eriti Hilbert 1992, ideaalielementide meetodi kõige ulatuslikum arutelu) jõuab järgmisele järeldusele:

[Hilberti käsitlus filosoofilistest küsimustest] ei ole mõeldud omamoodi instrumentalisti agnostitsismina olemasolu ja tõe kohta jne. Vastupidi, selle eesmärk on pakkuda sellistele probleemidele mitteskeptiline ja positiivne lahendus, lahendus kognitiivselt juurdepääsetavas vormis. Ja näib, et sama lahendus kehtib nii matemaatiliste kui ka füüsiliste teooriate kohta. Kui uued kontseptsioonid või “ideaalsed elemendid” või uued teoreetilised mõisted on aktsepteeritud, eksisteerivad nad teoreetiliste üksuste olemasolu mõttes. (Hallett, 1990, 239)

4. Hilberti programm ja Gödeli puudulikkuse teoreemid

Gödeli puudulikkuse teoreemide mõju kohta Hilberti programmile ja selle üle, kas see oli esimene või teine ebatäpsuse teoreem, andis riigipööre laiemat arutelu. Kahtlemata olid arendustega kõige otsesemalt seotud inimeste arvamused veendunud, et teoreemidel oli otsustav mõju. Gödel kuulutas 1930. aasta oktoobris avaldatud kokkuvõttes välja teise puudulikkuse teoreemi: selliste süsteemide nagu Principia, Zermelo-Fraenkeli komplekti teooria ega Ackermanni ja von Neumanni uuritud süsteemide järjepidevuse tõestamine pole meetodites, mida saab nendes süsteemides formuleerida, võimalik. Oma paberi täisversioonis jättis Gödel (1931) võimaluse, et võidakse leida finitaalseid meetodeid, mida nendes süsteemides ei saa vormistada ja mis tagaksid nõutavad järjepidevuse tõendid. Bernaysi esimene reaktsioon 1931. aasta jaanuaris Gödelile saadetud kirjas oli samuti, et „kui nagu von Neumann seda teeb, on kindel, et kõik finisantsed kaalutlused võidakse süsteemis vormistada (P) - nagu sina, siis ma arvan et mingil juhul ei jõuta järeldusele, et (P) järjepidevuse lõplik demonstreerimine on võimatu”(Gödel, 2003a, 87).

Kuidas mõjutavad Gödeli teoreemid Hilberti programmi? Sümbolijadade (valemid, tõestused) hoolika (“Gödel”) kodeerimise abil näitas Gödel, et piisava aritmeetikat sisaldava teooria korral (T) on võimalik koostada valem (Pr (x), y)), mis "ütleb", et (x) on (kood) tõend (koodiga valem) (y). Täpsemalt, kui (ulcorner 0 = 1 / urcorner) on valemi kood (0 = 1), siis (Con_T = / forall x / neg Pr (x, / Ulcorner 0 = 1 / urcorner)) võib öelda, et (T) on järjekindel (arv ei ole (T) (0 = 1) tuletise kood). Teine mittetäielikkuse teoreem (G2) ütleb, et teatud eelduste korral (T) ja kodeerimisseadme kohta ei tõesta (T) (Con_T). Oletame nüüd, et leidus (T) lõplik järjepidevuse tõend. Eeldatakse, et sellises tõendis kasutatavad meetodid on vormistatavad dokumendis (T). („Vormindatav” tähendab seda, et kui tõendis kasutatakse tuletiste puhul finaalset operatsiooni (f), mis muudab iga tuletuse (D) lihtvormi tuletuseks (f (D)); siis on valem (F (x, y)) nii, et kõigi derivaatide (D, T / vdash F (ulcorner D / urcorner, / ulcorner f (D) urcorner)).) (T) väljendatakse lõplikult üldise hüpoteetilise oletusena, et kui (D) on mingi sümbolite jada, pole (D) valemi (0 =) tuletis valemis (T =) 1). Selle väite vormindamine on valem (neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)), milles muutuja (x) on vaba. Kui oleks olemas tõestusmaterjal dokumendi (T) järjepidevuse kohta, annaks selle vormistamine tuletuse väärtuses (T) väärtusest (neg Pr_T (x,\ ulcorner 0 = 1 / urnerner)), millest (Con_T) saab tuletada rakenduses (T) lihtsa universaalse üldistamisega saidil (x). G2 välistab aga (Con_T) tuletamise (T) -s.

Nagu eespool mainitud, arvasid Gödel ja Bernays algselt, et (PA) järjepidevuse tõestamise raskustest võiks üle saada meetodite abil, mis ehkki pole ((PA)) ametlikud, kuid on siiski lõplikud. Kas selliseid meetodeid peetakse finitismi algsest kontseptsioonist lähtudes lõplikuks või kujutavad need endast algset finitistlikku seisukohta, on arutelu küsimus. Uute kaalutud meetodite hulka kuulus Hilberti (1931b; 1931a) väljapakutud reegli (omega) finitaarne versioon. On siiski õiglane öelda, et pärast umbes 1934. aastat on peaaegu üldiselt aktsepteeritud, et enne Gödeli tulemusi peensusteni heaks kiidetud tõestusmeetodid on kõik vormistatud ((PA)). Esialgse finitistliku vaatepunkti laiendamisi on pakutud ja kaitstud laias laastus sõjalistel põhjustel, ntGentzen (1936) kaitses transfinite induktsiooni kasutamist kuni (varepsilon_0) oma järjepidevuse tõendis, et (PA) on “vaieldamatu”, Takeuti (1987) andis uue kaitse. Gödel (1958) esitas veel ühe finitistliku vaatepunkti laienduse; ülalnimetatud Kreiseli loomingut võib vaadelda kui järjekordset katset laiendada finitismi, säilitades samas Hilberti originaalse kontseptsiooni vaimu.

Detlefsen (1986; 2001; 1979) pakkus välja teistsuguse katse leida tee Gödeli Hilberti programmi teoreemi ümber. Detlefsen esitab mitu kaitseliini, millest üks sarnaneb äsja kirjeldatuga: väites, et reegli (omega) versioon on lõppkokkuvõttes vastuvõetav, kuigi pole võimeline seda vormistama (vt Ignjatovic 1994). Detlefseni teine argument Gödeli teise teoreemi üldise tõlgendamise vastu keskendub vormistamise kontseptsioonile: See, et Gödeli valemi (Con_T) konkreetne vormistamine „(T) on järjekindel”, ei ole tõestatav, ei tähenda, et seda ei saaks teha. t ei tohi olla muud valemid, mis on tõestatavad dokumendis (T) ja millel on sama palju õigust nimetada (T) järjepidevuse vormistamiseks. Need põhinevad tõestatavuse predikaadi (Pr_T) erinevatel vormistustel kui standardsed. On teada, et vormistatud järjepidevuse väited on tõestamatud alati, kui tõestatavuse predikaat vastab teatavatele üldistele tuletatavuse tingimustele. Detlefsen väidab, et need tingimused ei ole vajalikud selleks, et predikaati saaks pidada tõeliseks tõestatavuse predikaadiks, ja tõepoolest on olemas ka tõestatavuse predikaate, mis rikuvad tõestatavuse tingimusi ja millest tulenevad järjepidevuse valemid, mis on tõestatavad vastavates teooriates. Need sõltuvad aga mittestandardsetest tõestatavuse kontseptsioonidest, mida Hilbert tõenäoliselt ei aktsepteeriks (vt ka Resnik 1974, Auerbach 1992 ja Steiner 1991). On teada, et vormistatud järjepidevuse väited on tõestamatud alati, kui tõestatavuse predikaat vastab teatavatele üldistele tuletatavuse tingimustele. Detlefsen väidab, et need tingimused ei ole vajalikud selleks, et predikaati saaks pidada tõeliseks tõestatavuse predikaadiks, ja tõepoolest on olemas ka tõestatavuse predikaate, mis rikuvad tõestatavuse tingimusi ja millest tulenevad järjepidevuse valemid, mis on tõestatavad vastavates teooriates. Need sõltuvad aga mittestandardsetest tõestatavuse kontseptsioonidest, mida Hilbert tõenäoliselt ei aktsepteeriks (vt ka Resnik 1974, Auerbach 1992 ja Steiner 1991). On teada, et vormistatud järjepidevuse väited on tõestamatud alati, kui tõestatavuse predikaat vastab teatavatele üldistele tuletatavuse tingimustele. Detlefsen väidab, et need tingimused ei ole vajalikud selleks, et predikaati saaks pidada tõeliseks tõestatavuse predikaadiks, ja tõepoolest on olemas ka tõestatavuse predikaate, mis rikuvad tõestatavuse tingimusi ja millest tulenevad järjepidevuse valemid, mis on tõestatavad vastavates teooriates. Need sõltuvad aga mittestandardsetest tõestatavuse kontseptsioonidest, mida Hilbert tõenäoliselt ei aktsepteeriks (vt ka Resnik 1974, Auerbach 1992 ja Steiner 1991).ja tõepoolest, on olemas tõestatavuse predikaate, mis rikuvad tõestatavuse tingimusi ja millest tulenevad järjepidevuse valemid, mis on tõestatavad vastavates teooriates. Need sõltuvad aga mittestandardsetest tõestatavuse kontseptsioonidest, mida Hilbert tõenäoliselt ei aktsepteeriks (vt ka Resnik 1974, Auerbach 1992 ja Steiner 1991).ja tõepoolest, on olemas tõestatavuse predikaate, mis rikuvad tõestatavuse tingimusi ja millest tulenevad järjepidevuse valemid, mis on tõestatavad vastavates teooriates. Need sõltuvad aga mittestandardsetest tõestatavuse kontseptsioonidest, mida Hilbert tõenäoliselt ei aktsepteeriks (vt ka Resnik 1974, Auerbach 1992 ja Steiner 1991).

Smorynski (1977) on väitnud, et juba esimene puudulikkuse teoreem lükkab Hilberti programmi ümber. Hilberti eesmärk ei olnud üksnes näidata, et ametlik matemaatika on järjepidev, vaid seda teha ka konkreetsel viisil, näidates, et ideaalne matemaatika ei saa kunagi viia järelduste juurde, mis pole kooskõlas reaalse matemaatikaga. Seega, edu saavutamiseks peab ideaalmatemaatika olema konservatiivne reaalse osa suhtes: alati, kui formaliseeritud ideaalne matemaatika tõestab reaalset valemit (P, P) ise (või selle väljendatud finitaarset väidet), peab see olema lõplikult tõestatav. Smorynski jaoks ei hõlma tegelikud valemid lisaks arvulistele võrranditele ja nende kombinatsioonidele ka üldvalemid koos vabade muutujatega, kuid ilma piiritlemata kvantifikaatoriteta.

Nüüd väidab Gödeli esimene mittetäielikkuse teoreem (G1), et iga piisavalt tugeva ja järjekindla formaalse teooria jaoks on olemas lause (G_S), mis on tõene, kuid ei ole tuletatav programmist (S). (G_S) on Smorynski määratluse järgi päris lause. Mõelge nüüd teooriale (T), mis vormistab ideaalse matemaatika, ja selle alateooriale (S), mis vormistab reaalse matemaatika. (S) vastab punkti G1 tingimustele ja seega (S) ei tule (G_S). Kuid see, et (T) on kogu matemaatika vormistamine (kaasa arvatud see, mida on vaja, et näha, et (G_S) on tõene), tuletab (T_). Seega on meil tõeline väide, mis on tõestatav ideaalmatemaatikas ja mitte päris matemaatikas.

Detlefsen (1986, lisa; vt ka 1990) on selle argumendi vastu kaitsnud ka Hilberti programmi. Detlefsen väidab, et “Hilbertian” instrumentalism pääseb argumendist G1, eitades seda, et ideaalne matemaatika peab olema konservatiivne reaalse osa suhtes; on vaja ainult tõelist usaldusväärsust. Hilbertian instrumentalism nõuab ainult seda, et ideaalne teooria ei tõestaks midagi, mis on vastuolus reaalse teooriaga; pole vaja, et see tõestaks ainult tegelikke väiteid, mida tõestab ka reaalne teooria. (Konservatiivsuse ja järjepidevuse teema kohta leiate lisateavet Zach 2006, Gödelit käsitleva sissekande asjaomane jaotis edasiseks aruteluks, Franks 2009 Hilberti projekti sellega seotud kaitse ja ümberhindamise kohta ning McCarthy 2016 alternatiivsuse kohta tõestatavuse osas) konsistents ja G2 tänu Gödelile endale.)

5. Muudetud Hilberti programmid

Isegi kui aritmeetika lõplikku järjepidevust ei saa tõestada, on järjekindluse tõendite leidmise küsimus siiski väärtuslik: sellistes tõendites kasutatavad meetodid, ehkki need peavad ületama Hilberti algset finitismitunnet, võivad pakkuda tõelist ülevaadet toote konstruktiivsest sisust. aritmeetilised ja tugevamad teooriad. Mida näitas Gödeli tulemus, oli see, et kogu matemaatika kohta ei saa olla absoluutset järjepidevuse tõendit; järelikult töötavad tõestamisteoorias pärast seda, kui Gödel keskendus suhtelistele tulemustele, nii süsteemi suhtes, mille jaoks anti järjepidevuse tõend, kui ka kasutatud tõendusmeetodite suhtes.

Selles mõttes on reduktiivse tõestuse teooria järginud kahte traditsiooni: esimene, mille viisid peamiselt Gentzenit ja Schütte'i järgivad tõestusteoreetikud, on järginud programmi, mida nimetatakse ordinaalanalüüsiks, ja seda illustreerib Gentzen'i esimene järjepidevuse tõend (PA) induktsiooni teel kuni (varepsilon_0. / varepsilon_0) on teatav transfinite (ehkki loendatav) ordinaalne, aga “induktsioon kuni (varepsilon_0)” siinses tähenduses ei ole tõeliselt piiritletud protseduur. Ordinaalne analüüs ei tööta lõpmatute järjenumbritega, vaid pigem ordinaalsete märkimissüsteemidega, mida saab ise vormistada väga nõrkades (peamiselt finitaarsetes) süsteemides. Süsteemi (T) korraline analüüs antakse juhul, kui:(a) saab luua ordinaalse märkussüsteemi, mis jäljendab käske vähem kui mõnda ordinaalset (alpha_T), nii et (b) on lõplikult tõestatav, et põhimõtte vormistamine (TI (alpha_T)) sissejuhatus kuni (alpha_T) tähendab (T) järjepidevust (st. (S / vdash TI (alpha_T) parempoolne nool Con_T) ja (c) (T) tõestab (TI) (beeta)) kõigi jaoks (beeta / lt / alfa_T) ((S) on teooria, mis vormistab finitaalse metamaatika ja on üldiselt nõrk alateooria (T)). Mistahes alusetu olulisuse jaoks on vaja, et oleks võimalik esitada konstruktiivne argument transfinite induktsiooni jaoks kuni (alpha_T). Nagu eespool mainitud, tegid seda Gentzen ja Takeuti (varepsilon_0) jaoks, mis on (PA) tõenditeoreetiline ordinaat,kuid muutub raskemate ja järk-järgult küsitava filosoofilise tähtsusega tugevamate teooriate jaoks.

Hilberti programmi filosoofiliselt rahuldavamaks jätkamiseks tõestatud teoreetiliselt on soovitanud Kreisel (1983; 1968) ja Feferman (Feferman, 1988; Feferman, 1993a). See töö lähtub Hilberti programmi laiemast käsitlusest kui katset õigustada ideaalset matemaatikat piiratud vahenditega. Selles kontseptsioonis oli Hilberti tõestusteooria eesmärk näidata, et vähemalt teatud reaalsete väidete klassi osas ei lähe ideaalne matemaatika reaalsest matemaatikast kaugemale. Hilberti kavandatav finitaarne järjepidevuse tõend oleks selle saavutanud: kui ideaalne matemaatika tõestab tõelist väidet, siis on see väide juba reaalsete (st finitaarsete) meetoditega tõestatav. Teatud mõttes taandab see ideaalse matemaatika tegelikuks matemaatikaks. Teooria (T) tõestatud teoreetiline taandamine teooriaks (S) näitab, et kui öelda, et mingi väide on teatud klassi kohta, kui (T) osutab väitele, siis (S) tõestab seda ka ja selle fakti tõend on iseenesest lõplik. Hilberti tõestusteoreetilist programmi saab siis lugeda kogu matemaatika tõenditeoreetilise taandamise otseseks matemaatikaks; relativiseeritud programmis otsitakse kõigist klassikalistest matemaatikatest nõrgemate teooriate taandamist teooriateks, mis on sageli tugevamad kui lõpliku matemaatika teooriad. Tõestusteoreetikud on saavutanud hulga selliseid tulemusi, sealhulgas teooriate redutseerimise, mis nende nägemuses nõuavad märkimisväärset hulka ideaalset matemaatikat (nt analüüsi alamsüsteemid) finiidsüsteemide õigustamiseks. (Feferman,1993b) on kasutanud selliseid tulemusi koos teiste tulemustega, mis näitavad, et enamikku, kui mitte kõiki, teaduslikult rakendatavast matemaatikast saab läbi viia süsteemides, mille jaoks sellised redutseerimised on olemas, et vaielda vastu matemaatikafilosoofia hädavajalikkusele. Selliste tõestatud teoreetiliste reduktsioonide filosoofiline tähtsus on praegu arutluse all (Hofweber, 2000; Feferman, 2000).

Eriti Friedmani ja Simpsoni välja töötatud niinimetatud pöördmatemaatika programm on Hilberti programmi järjekordne jätk. Gödeli tulemuste põhjal, mis näitavad, et mitte kõiki klassikalisi matemaatikaid ei saa taandada lõplikule, püüavad nad vastata küsimusele: kui palju saab klassikalist matemaatikat nii redutseerida? Pöördmatemaatika eesmärk on sellele küsimusele täpne vastus anda, uurides, millised klassikalise matemaatika teoreemid on tõestatavad nõrkade analüüsi alamsüsteemide puhul, mis on taandatavad lõplikuks matemaatikaks (eelmises lõigus käsitletud tähenduses). Tüüpiline tulemus on see, et funktsionaalse analüüsi Hahni-Banachi teoreem on tõestatav teooria nimega (WKL_0) (“nõrga Königi lemma” jaoks); (WKL_0) on konservatiivne (PRA) suhtes (Pi ^ {0} _2) lausete puhul (st.vormi laused (forall x / eksisteerib yA (x, y)). (Ülevaade leiate Simpson 1988 ja tehnilise töötlemise kohta Simpson 1999).

Bibliograafia

Selle kirje esimese redaktsiooni laiendatud versiooni leiate Zachist (2006).

• Ackermann, Wilhelm, 1924, “Begründung des” tertium non datur “mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit”, Mathematische Annalen, 93: 1–36.
• Auerbach, David, 1992, “Kuidas öelda asju formalismidega”, proofis, loogikas ja vormistamises, Michael Detlefsen, toim., London: Routledge, 77–93.
• Avigad, Jeremy, 2003, “Arvu teooria ja elementaarne aritmeetika”, Philosophia Mathematica, 11: 257–284. [Eeltrükk on veebis saadaval]
• Bernays, Paul, 1922, “Über Hilberts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 31: 10–19. Ingliskeelne tõlge Mancosus (1998a, 215–222).
• ––– 1923, “Erwiderung auf die Note von Herrn Aloys Müller: Über Zahlen als Zeichen”, Mathematische Annalen, 90: 159–63. Ingliskeelne tõlge Mancosus (1998a, 223–226).
• –––, 1928a, “Über Nelsons Stellungnahme in der Philosophie der Mathematik”, Die Naturwissenschaften, 16: 142–45.
• –––, 1928b, “Zusatz zu Hilberts Vortrag über“Die Grundlagen der Mathematik””, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 6: 88–92. Ingliskeelne tõlge: van Heijenoort (1967, 485–489).
• –––, 1930, “Die Philosophie der Mathematik und die Hilbertsche Beweistheorie”, Blätter für deutsche Philosophie, 4: 326–67. Kordustrükk Bernays (1976, 17–61). Ingliskeelne tõlge Mancosus (1998a, 234–265).
• –––, 1976, Abhandlungen zur Philosophie der Mathematik, Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.
• Dekaan, Walter, 2015, “Aritmeetiline peegeldus ja usaldusväärsuse tõestatavus”, Philosophia Mathematica, 23: 31–64, doi: 10.1093 / philmat / nku026
• Detlefsen, Michael, 1979, “Gödeli teise teoreemi tõlgendamise kohta”, Journal of Philosophical Logic, 8: 297–313. Shankeri kordustrükk ajakirjaga (1988, 131–154).
• –––, 1986, Hilberti programm, Dordrecht: Reidel.
• ––– 1990, “Hilberti programmi väidetava ümberlükkamise kohta, kasutades Gödeli esimest mittetäielikkuse teoreemi”, Journal of Philosophial Logic, 19: 343–377.
• –––, 2001, “Mida ütleb Gödeli teine lause?”, Philosophia Mathematica, 9: 37–71.
• Ewald, William Bragg (toim), 1996, Kantist Hilbertini. Lähteraamat matemaatika alustest, vol. 2, Oxford: Oxford University Press.
• Ewald, William Bragg ja Wilfried Sieg (toim.), 2013, David Hilberti loengud aritmeetika ja loogika alustel 1917–1933, Berliin ja Heidelberg: Springer.
• Feferman, Solomon, 1988, “Hilberti programm relativiseeritud: tõestatud teoreetilised ja fondoossed taandamised”, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 364–284.
• –––, 1993a, „Mis kõigel toetub? Matemaatika tõenditeoreetiline analüüs”matemaatika filosoofias. Viieteistkümnenda rahvusvahelise Wittgensteini sümpoosioni 1. osa, Johannes Czermak, toim, Viin: Hölder-Pichler-Tempsky, 147–171. Trükitud väljaandes Feferman (1998, ptk 10, 187–208). [Eeltrükk on veebis saadaval].
• –––, 1993b, “Miks läheb natuke kaugele: teaduslikult rakendatava matemaatika loogilised alused”, PSA 1992, 2: 442–455. Trükitud väljaandes Feferman (1998, ptk 14, 284–298). [Eeltrükk on veebis saadaval].
• ––– 1998, loogika valguses, Oxford: Oxford University Press.
• ––– 2000, “Kas taandaval tõenditeoorial on mõistlik alus?”, Erkenntnis, 53: 63–96. [Eeltrükk on veebis saadaval].
• Franks, Curtis, 2009, Matemaatiliste teadmiste autonoomia: Hilberti programm vaadati uuesti läbi, Cambridge: Cambridge University Press.
• Ganea, Mihai, 2010, “Kaks (või kolme) mõistet finitismist”, Ülevaade sümbolilisest loogikast, 3: 119–144.
• Gentzen, Gerhard, 1936, “Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie”, Mathematische Annalen, 112: 493–565. Ingliskeelne tõlge Gentzenis (1969, 132–213).
• ––– 1969, Gerhard Gentzeni kogutud paberid, Amsterdam: Põhja-Holland.
• Giaquinto, Marcus, 1983, “Hilberti matemaatikafilosoofia”, British Journal for Science Philosophy, 34: 119–132.
• Gödel, Kurt, 1931, “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”, Monatshefte für Mathematik und Physik, 38: 173–198. Kordustrükk ja tõlge Gödelis (1986, 144–195).
• –––, 1958, “Über eine bisher noch nicht benütze Erweiterung des finiten standpunktes”, Dialectica, 280–287. Kordustrükk ja tõlge Gödelis (1990, 217–251).
• –––, 1986, Collected Works, vol. 1, Oxford: Oxford University Press.
• –––, 1990, Collected Works, vol. 2, Oxford: Oxford University Press.
• –––, 2003, Kogutud teosed, kd. 4, Oxford: Oxford University Press.
• Hallett, Michael, 1990, “Füsikalism, reduktsionism ja Hilbert”, Physicalism in Mathemtics, Andrew D. Irvine, toim., Dordrecht: Reidel, 183–257.
• Hilbert, David, 1899, “Grundlagen der Geometrie”, Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmalsis Göttingenis, Leipzigis: Teubner, 1–92, 1. toim.
• –––, 1900a, “Mathematische Problem”, Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, matemaatikafüüs. Klasse, 253–297. Loeng rahvusvahelisel matemaatikute kongressil, Pariis, 1900. Osaline ingliskeelne tõlge Ewaldis (1996, 1096–1105).
• –––, 1900b, “Über den Zahlbegriff”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 8: 180–184. Ingliskeelne tõlge Ewaldis (1996, 1089–1096).
• –––, 1905, “Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik”, Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Kongress Heidelbergis 8. 8. august 1904, A. Krazer, toim., Leipzig: Teubner, 174–85. Ingliskeelne tõlge van Heijenoortis (1967, 129–138).
• –––, 1918a, “Axiomatisches Denken”, Mathematische Annalen, 78: 405–15. Loeng Šveitsi matemaatikute seltsis 11. septembril 1917. Kordustrükk Hilbertis (1935, 146–156). Ingliskeelne tõlge Ewaldis (1996, 1105–1115).
• –––, 1918b, “Prinzipien der Mathematik”, loengu märkused Paul Bernays. Talvine poolaasta 1917/18. Masinakiri. Bibliothek, Mathematisches Institut, Göttingeni ülikool. Toimetanud Ewald ja Sieg (2013, 59–221)..
• –––, 1922a, “Grundlagen der Mathematik”, Vorlesung, Talvine-poolaasta 1921/22. Paul Bernaysi loengute märkused. Masinakiri. Bibliothek, Mathematisches Institut, Göttingeni ülikool. Toimetanud Ewald ja Sieg (2013, 431–527).
• –––, 1922b, “Neubegründung der Mathematik: Erste Mitteilung”, Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 1: 157–177. Kõneluste sari Hamburgi ülikoolis 25. – 27. Juulil 1921. Kordustrükk koos Bernaysi märkustega Hilbertis (1935, 157–177). Ingliskeelne tõlge Mancosus (1998a, 198–214) ja Ewaldis (1996, 1115–1134).
• –––, 1923, “Die logischen Grundlagen der Mathematik”, Mathematische Annalen, 88: 151–165. Loeng Deutsche Naturforscher-Gesellschaftis septembris 1922. Kordustrükk Hilbertis (1935, 178–191). Ingliskeelne tõlge Ewaldis (1996, 1134–1148).
• –––, 1926, “Über das Unendliche”, Mathematische Annalen, 95: 161–190. Loeng Münsteris, 4. juunil 1925. Ingliskeelne tõlge van Heijenoortis (1967, 367–392).
• ––– 1928, “Die Grundlagen der Mathematik”, Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 6: 65–85. Kordustrükis Ewald ja Sieg (2013, 917–942). Ingliskeelne tõlge van Heijenoortis (1967, 464–479).
• –––, 1929, “Probleme der Grundlegung der Mathematik”, Mathematische Annalen, 102: 1–9. Loeng rahvusvahelisel matemaatikute kongressil 3. septembril 1928. Kordustrükk Ewaldis ja Siegis (2013, 954–966). Ingliskeelne tõlge Mancosus (1998a, 227–233).
• –––, 1931a, “Beweis des Tertium non datur”, Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Matemaatika-füüsik. Klasse, 120–125. Kordustrükis Ewald ja Sieg (2013, 967–982).
• –––, 1931b, “Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre”, Mathematische Annalen, 104: 485–494. Kordustrükk Hilbertis (1935, 192–195) ja Ewald ja Sieg (2013, 983–990). Ingliskeelne tõlge Ewaldis (1996, 1148–1157).
• –––, 1935, Gesammelte Abhandlungen, vol. 3, Berliin: Springer.
• ––– 1992, Natur und Mathematicsches Erkennen, Basel: Birkhäuser. Vorlesungen, 1919–20.
• Hilbert, David ja Ackermann, Wilhelm, 1928, Grundzüge der theoretischen Logik, Berliin: Springer.
• Hilbert, David ja Bernays, Paul, 1923, “Logische Grundlagen der Mathematik”, Vorlesung, Talvine poolaasta 1922–23. Loengu märkmed kirjutas Paul Bernays, käsikirjaliste märkmetega Hilbert. Hilbert-Nachlaß, Niedersächsische Staats- ja Universitätsbibliothek, Cod. Pr Hilbert 567.
• –––, 1934, Grundlagen der Mathematik, vol. 1, Berliin: Springer.
• –––, 1939, Grundlagen der Mathematik, vol. 2, Berliin: Springer.
• Hofweber, Thomas, 2000, “Tõestatud teoreetiline reduktsioon kui filosoofi tööriist”, Erkenntnis, 53: 127–146.
• Ignjatovic, Aleksandar, 1994, “Hilberti programm ja oomegareegel”, Journal of Symbolic Logic, 59: 322–343.
• Kitcher, Philip, 1976, “Hilberti epistemoloogia”, teaduse filosoofia, 43: 99–115.
• Kreisel, Georg, 1960, “Ordinaalne loogika ja mitteametlike tõendusmaterjalide kirjeldamine” rahvusvahelise matemaatikute kongressi ettekannetes. Edinburgh, 14. – 21. August 1958, JA Todd, toim., Cambridge: Cambridge University Press, 289–299.
• –––, 1968, “Tõenditeooria ülevaade”, Journal of Symbolic Logic, 33: 321–388.
• ––– 1970, „Intuitsionismi ja tõestusteooria kaudsed tõenduspõhimõtted ja käskkirjad, mis kaudsed antud mõistetes”, A. Kino, J. Myhill ja RE Veseley, toim., Amsterdam: Põhja-Holland.
• ––– 1983, „Hilberti programm“, matemaatikafilosoofia, Paul Benacerraf ja Hilary Putnam, toim., Cambridge: Cambridge University Press, 207–238, 2. trükk.
• Mancosu, Paolo (toim), 1998a, Brouwerist Hilbertini. Arutelu matemaatika aluste üle 1920. aastatel, Oxford: Oxford University Press.
• Mancosu, Paolo, 1998b, “Hilbert and Bernays on Metamathematics”, (Mancosu, 1998a), 149–188. Kordustrükk Mancosus (2010).
• –––, 1999, „Russelli ja Hilbert: Behmann matemaatika alustel”, Sümboolse loogika bülletään, 5 (3): 303–330. Kordustrükk Mancosus (2010).
• –––, 2010, Mõistuse seiklus: matemaatika filosoofia ja matemaatilise loogika omavaheline seos, 1900–1940, Oxford: Oxford University Press.
• Mancosu, Paolo ja Ryckman, Thomas, 2002, “Matemaatika ja fenomenoloogia: O. Beckeri ja H. Weyli kirjavahetus”, Philosophia Mathematica, 10: 130–202. Kordustrükk Mancosus (2010).
• McCarthy, T., 2016, “Gödeli kolmas mittetäielikkuse teoreem”, Dialectica 70: 87–112.
• Parsons, Charles, 1998, “Finitism ja intuitiivsed teadmised”, ajakirjas The Philosophy of Mathematics Today, Matthias Schirn, toim., Oxford: Oxford University Press, 249–270.
• –––, 2007, Matemaatiline mõte ja selle objektid, Cambridge: Cambridge University Press.
• Patton, Lydia, 2014, “Hilberti objektiivsus”, Historia Mathematica, 41 (2): 188–203.
• Peckhaus, Volker, 1990, Hilbertprogramm und Kritische Philosophie, Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht.
• Poincaré, Henri, 1906, “Les mathématiques et la logique”, Revue de métaphysique et de morale, 14: 294–317. Ingliskeelne tõlge Ewaldis (1996, 1038–1052).
• Resnik, Michael D., 1974, “Järjepidevuse tõendite filosoofilise tähtsuse kohta”, Journal of Philosophical Logic, 3: 133–47.
• ––– 1980, Frege ja matemaatikafilosoofia, Ithaca: Cornell University Press.
• Shanker, Stuart G., 1988, Gödeli teos Londoni fookuses: Routledge.
• Sieg, Wilfried, 1990, “Mõtisklused Hilberti programmist”, näitlemises ja kajastamises, Wilfried Sieg, toim., Dordrecht: Kluwer, 171–82. Kordustrükk Siegis (2013).
• –––, 1999, “Hilberti programmid: 1917–1922”, Sümboolse loogika bülletään, 5 (1): 1–44. Kordustrükk Siegis (2013).
• ––– 2013, Hilbert's Programs and Beyond, New York: Oxford University Press.
• Simpson, Stephen G., 1988, “Hilberti programmi osalised realiseerimised”, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 349–363.
• –––, 1999, Teise järgu aritmeetika alamsüsteemid, Berliin: Springer.
• Smorynski, Craig, 1977, “Mittetäielikkuse teoreemid”, Mathematical Logic Handbook, Jon Barwise, toim, Amsterdam: Põhja-Holland, 821–865.
• Steiner, Mark, 1975, Mathematical Knowledge, Ithaca: Cornell University Press.
• ––– 1991, “Hilberti programmi ülevaade: essee matemaatilisest instrumentalismist (Detlefsen, 1986)”, ajakiri Philosophy, 88 (6): 331–336.
• Tait, WW, 1981, “Finitism”, Journal of Philosophy, 78: 524–546. Kordustrükis Tait (2005a, 21–42).
• –––, 2002, “Märkused finitismi kohta”, mõtisklustes matemaatika alustele. Esseed Solomon Fefermani, Wilfried Siegi, Richard Sommeri ja Carolyn Talcotti auks, sümboolse loogika assotsiatsioon, LNL 15. Kordustrükk Tait (2005a, 43–53). [Eeltrükk on veebis saadaval]
• –––, 2005a, Puhta mõistuse tõestamine: Esseed matemaatika filosoofias ja selle ajaloos, New York: Oxford University Press.
• –––, 2005b, „1. ja 2. peatüki lisa“, Tait (2005a, 54–60)
• Takeuti, Gaisi, 1987, tõestusteooria (uuringud loogikas: 81), Amsterdam: Põhja-Holland, 2. trükk
• van Heijenoort, Jean (toim), 1967, Fregest Gödelini. Lähteraamat matemaatilises loogikas, 1897–1931, Cambridge, Mass: Harvard University Press.
• von Neumann, Johann, 1927, “Zur Hilbertschen Beweistheorie”, Mathematische Zeitschrift, 26: 1–46.
• Weyl, Hermann, 1921, “Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik”, Mathematische Zeitschrift, 10: 37–79. Kordustrükk Weyl (1968, 143–180). Ingliskeelne tõlge Mancosus (1998a, 86–118).
• –––, 1925, “Die heutige Erkenntnislage in der Mathematik”, Symposion, 1: 1–23. Kordustrükk: Weyl (1968, 511–42). Ingliskeelne tõlge: Mancosu (1998a, 123–42).
• ––– 1928, “Diskussionsbemerkungen zu dem zweiten Hilbertschen Vortrag über die Grundlagen der Mathematik”, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 6: 86–88. Ingliskeelne tõlge van Heijenoortis (1967, 480–484).
• –––, 1968, Gesammelte Abhandlungen, vol. 1, Berliin: Springer Verlag.
• Zach, Richard, 1999, “Terviklikkus postituse ees: Bernays, Hilbert ja propositsioonilise loogika areng”, Sümboolse loogika bülletään, 5 (3): 331–366. [Eeltrükk on veebis saadaval]
• –––, 2003, “Finitism. Epsiloni arvutus- ja konsistentsikinnitused Hilberti programmis”, Synthese, 137: 211–259. [Eeltrükk on veebis saadaval]
• ––– 2004, “Hilberti“Verunglückter Beweis”, esimene epsiloni teoreem ja järjepidevuse tõestusmaterjal”, loogika ajalugu ja filosoofia, 25: 79–94. [Eeltrükk on veebis saadaval]
• ––– 2006, “Hilberti programm siis ja praegu”, autor: Dale Jacquette, toim., Loogikafilosoofia. Teadusfilosoofia käsiraamat, kd. 5. Amsterdam: Elsevier, 411–447. [Eeltrükk on veebis saadaval]

Akadeemilised tööriistad

	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

[Palun võtke soovitustega ühendust autoriga.]