Video: [27 из 33] Юрий Лотман — Искусство как форма мышления 2023, Märts
Sisenemise navigeerimine
Sissesõidu sisu
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Sõprade PDF-i eelvaade
Teave autori ja tsitaadi kohta
Tagasi üles
XIX sajandi geomeetria
Esmakordselt avaldatud esmaspäeval 26. juulil 1999; sisuline redaktsioon teisipäev, 20. oktoober 2016
XIX sajandil läbis geomeetria, nagu enamus akadeemilisi distsipliine, kataklüsmi kasvuperioodi. Sel perioodil suurenes geomeetria sisu ja selle sisemine mitmekesisus peaaegu tundmatuseni; alates antiikajast geomeetria austajate poolt vajunud aksiomaatiline meetod saavutas lõpuks tõelise loogilise piisavuse ja pandi alus füüsikaliste nähtuste kirjelduses Eukleidese standardgeomeetria asendamiseks Riemanni imeliselt painduva süsteemiga. Kõigi tendentside kaasaegsed filosoofid - Descartes ja Hobbes, Spinoza ja Locke, Hume ja Kant - olid pidanud Eukleidese geomeetriat episteemilise kindluse paradigmaks. Eukleidilise geomeetria järsk kahanemine kosmose matemaatiliste teooriate suure pere alamliigiks purustas mõned illusioonid ja kutsus esile olulisi muutusi inimteadmiste filosoofilises kontseptsioonis. Nii ei saa näiteks pärast neid 19. sajandi arenguid filosoofid, kes unistavad täiesti kindlatest teadmistest õige ja vale kohta, mille tagavad loogilised järeldused enesestmõistetavatest põhimõtetest, enam pakkuda eukleidilist geomeetriat näiteks, kus sarnane eesmärk on osutunud saavutatavaks. Käesolevas artiklis vaadeldakse 19. sajandi geomeetria aspekte, mis on filosoofia jaoks eriti huvipakkuvad, ja vihjeid nende edasiarendamiseks nende filosoofilises tähenduses.filosoofid, kes unistavad täiesti kindlatest teadmistest õige ja vale kohta, mille tagavad loogilised järeldused enesestmõistetavatest põhimõtetest, ei saa enam pakkuda Eukleidese geomeetriat kui näidet, kus sarnane eesmärk on osutunud saavutatavaks. Käesolevas artiklis vaadeldakse 19. sajandi geomeetria aspekte, mis on filosoofia jaoks eriti huvipakkuvad, ja vihjeid nende edasiarendamiseks nende filosoofilises tähenduses.filosoofid, kes unistavad täiesti kindlatest teadmistest õige ja vale kohta, mille tagavad loogilised järeldused enesestmõistetavatest põhimõtetest, ei saa enam pakkuda Eukleidese geomeetriat kui näidet, kus sarnane eesmärk on osutunud saavutatavaks. Käesolevas artiklis vaadeldakse 19. sajandi geomeetria aspekte, mis on filosoofia jaoks eriti huvipakkuvad, ja vihjeid nende edasiarendamiseks nende filosoofilises tähenduses.
1. Lobachevski geomeetria
2. Projektiivne geomeetria
3. Kleini Erlangeni programm
4. Täiustatud aksiomaatika
5. Riemann diferentsiaalgeomeetria
6. Lie rühmad
Täiendus: Riemann'i teooria kaasaegne sõnastus
Bibliograafia
Esmased allikad
Teisene kirjandus
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed
1. Lobachevski geomeetria
Euclid (umbes 300 eKr) paigutas oma elementide ette rea definitsioone (nt „A-punkt on see, millel puudub osa”) ja „levinud mõisteid” (nt „kui võrdsetele lisatakse võrdsed, summad on võrdsed”) ja viis taotlust. Väidetavalt edastasid need andmed kogu vajaliku teabe teoreemide tuletamiseks ja geomeetria probleemide lahendamiseks, kuid tegelikult nad seda ei tee. Kuid taotlused (aitemata), mida tavaliselt nimetatakse inglise keeles “postulaadid”, tuleb igal juhul rahuldada, vastasel juhul Eukleidi tõendusmaterjal ei lähe läbi. Mõned neist on selgelt praktilised:
1. Joonistage sirgjoon suvalisest punktist punkti. 3. Joonistage suvalise tsentri ja raadiusega ring.
Viies kõlab siiski rohkem kui faktiväide. Eukleidi teksti saab inglise keeles renderdada järgmiselt: “Kui kahele sirgjoonele [a ja b] langev sirge [c] muudab sisenurgad samal küljel väiksemaks kui kaks täisnurka, siis kaks sirget [a ja b] kui neid tähtajatult toodetakse, kohtuvad sellel küljel, mille nurgad on väiksemad kui kaks täisnurka”(selguse huvides sulgudes kasutatud terminid). See kõlab kaugelt. Sellegipoolest saab seda hõlpsalt ümber sõnastada kui kolmnurkade moodustamise retsepti (vt joonis 1.) Iga kolmnurk on moodustatud kolmest tasapinnalisest sirgjoonest, mis kohtuvad paaridena kolmest punktist. Mis tahes segmendi PQ korral tõmmake sirgjoon a – P ja sirge b läbi Q, nii et a ja b asuvad samal tasapinnal;kontrollige, kas nurgad, mida a ja b teevad PQ-ga ühel PQ-küljel, moodustavad vähem kui kaks täisnurka; kui see tingimus on täidetud, tuleks lubada, et a ja b kohtuvad punktis R samal PQ-l R, moodustades kolmnurga PQR. Seda taotlust tuntakse kui “Eukleidi postulaati”. Kui taotlus lükatakse tagasi, öelge, kuna usume, et maailm on piiratud ja tipu R mahutamiseks pole selles ruumi, kui vaadeldavad sisenurgad moodustavad väga vähe vähem kui kaks täisnurka -, siis suur osa Eukleidi süsteemist geomeetria ei lähe läbi.kuna me usume, et maailm on piiritletud ja selles pole ruumi tipu R mahutamiseks, kui vaadeldavad sisenurgad moodustavad kõigest pisut vähem kui kaks täisnurka, siis suur osa Euclidi geomeetriasüsteemist ei lähe läbi.kuna me usume, et maailm on piiritletud ja selles pole ruumi tipu R mahutamiseks, kui vaadeldavad sisenurgad moodustavad kõigest pisut vähem kui kaks täisnurka, siis ei lähe suurem osa Euclid'i geomeetriasüsteemist läbi.
Joonis 1
Joonis 1
Sellele järgnenud pimedamatel ajastutel kaotas Euclid matemaatilise vabaduse tunde ning filosoofid ja matemaatikud eeldasid, et geomeetria puhkab iseenesestmõistetavatel alustel. Kui a on risti ja b peaaegu PQ suhtes risti, lähenevad a ja b teineteisele PQ ühel küljel väga aeglaselt ja pole iseenesestmõistetav, et nad peavad lõpuks kuskil sellel küljel kohtuma. Lõppude lõpuks läheneb hüperbool määramata ajaks oma asümptootidele ja kohtub demonstreeritult kunagi nendega. Läbi sajandite nõudsid ja üritasid mitmed autorid Euclidi Postulaadi tõestamist. John Wallis (s. 1616, s. 1703) tuletas selle eeldusest, et on olemas erineva suurusega polügoone, millel on sama kuju. Kuid siis vajab see eeldus omakorda tõestust. Girolamo Saccheri (s. 1667, s. 1733) proovis redutseerimist. Ta järeldas Eukleidese postulaadi eitamisest pikka seeriat, kuni jõudis üheni, mille ta kuulutas „sirgjoone olemusele vastumeelseks”. Kuid Saccheri arusaam sellest “loodusest” oli juurdunud Eukleidese geomeetriasse ja tema järeldus tekitas küsimuse.
1820-ndatel käsitlesid Nikolai I. Lobachevsky (snd 1793, s. 1856) ja Janos Bolyai (s. 1802, s. 1860) seda küsimust iseseisvalt radikaalselt. Lobachevsky ehitas Eukleidese Postulaadi eitusest välja alternatiivse geomeetriasüsteemi, mida ta nimetas “kujuteldavaks” ja püüdis veenvalt testida kehtivust astronoomilises mõõtkavas, arvutades taevas tähtede moodustatud kolmnurkade sisenurkade summa. Bolyai eemaldas postulaadi Eukleidi süsteemist; järelejäänud tüvi on absoluutne geomeetria, mida saab veelgi täpsustada, lisades sellele kas Eukleidi postulaadi või eituse. Alates 1790. aastast oli Carl Friedrich Gauss (s. 1777, s. 1855) samal teemal töötanud, kuid skandaali kartuses hoidus ta avaldamisest. Kuna Lobachevsky avaldas esimesena,nimetatud absoluutsel geomeetrial põhinevat geomeetriasüsteemi pluss Eukleidi Postulaadi eitust nimetatakse õigesti Lobachevski geomeetriaks.
Eespool Eukleidese postulaadi selgitamiseks kasutusele võetud konstruktsiooni saab kasutada ka selle eituse selgitamiseks. Joonistage sirge sirgega läbi punkti P täisnurga all segmendi PQ abil. Kui Eukleidi postulaat eitatakse, on Q kaudu lugematu arv sirgjooni, mis on a-ga samalaadsed ja mis teevad PQ-ga teravaid nurki, kuid ei vasta kunagi a-le. Vaatleme reaalarvude kogumit, mis on nende teravate nurkade suurusjärk. Selle komplekti suurim alumine piir oleks μ. Ilmselt μ> 0. Q kaudu on täpselt kaks sirgjoont, mis on a-tasapinnaline ja moodustavad PQ-ga μ-suuruse nurga. (Vt joonis 2.) Helistage neile b 1 ja b 2. Ei b 1 ega b 2vastab a-le, kuid a vastab Q-le iga joonele, mis on a-ga sama tasapind ja muudab PQ-ga nurga alla μ. Gauss, Lobachevsky ja Bolyai, teadmata üksteist, langesid kokku b 1 ja b 2 paralleelide Q-ga Q nimetamiseks. μ nimetatakse segmendi PQ paralleelsuse nurgaks. Selle suurus sõltub PQ pikkusest ja väheneb viimase suurenedes.
Joonis 2
Joonis 2
Oletame, et PQ paralleelsuse nurk on pool täisnurka. Sel juhul moodustavad b 1 ja b 2 Q suhtes täisnurga ja seega on meil samal tasapinnal kaks vastastikku risti asetsevat sirget sirget, mis ei vasta a-le.
Lobachevsky geomeetria on üllatav üllatavate teoreemide osas (millest paljud olid Saccheri juba leidnud). Siin on mõned: kolmnurga kolm sisenurka moodustavad vähem kui kaks täisnurka. Erinevus või defekt on võrdeline kolmnurga pindalaga. Seega on Lobachevski geomeetrias sarnased kolmnurgad ühtlikud. Veelgi enam, kui kolmnurk jaguneb väiksemateks kolmnurkadeks, võrdub kogu defekt osade defektide summaga. Kuna defekt ei saa olla suurem kui kaks täisnurka, on kolmnurkade pindala maksimaalne. Kui nelinurgal on konstruktsiooni järgi kolm täisnurka, on neljas nurk tingimata terav. Seega puuduvad Lobachevski geomeetrias ristkülikud.
Lobachevski trigonomeetria ja standardse sfäärilise trigonomeetria võrrandite vahel on lihtne formaalne vastavus. Selle põhjal väitis Lobachevsky, et tema geomeetrias tekkivate vastuoludega kaasneb paratamatult vastuolu eukleidilise geomeetriaga. See näib olevat varaseim näide suhtelise järjepidevuse väidetavast tõestusest, mille abil osutatakse teooriale järjepidevust, et teine teooria - mille järjepidevust peetakse tavaliselt enesestmõistetavaks - oleks vastuoluline.
Lobachevski geomeetria sai vähe tähelepanu enne 1860. aastate lõppu. Kui filosoofid seda lõpuks tähele panid, jagunesid nende arvamused. Mõni pidas seda loogilise deduktsiooni formaalseks harjutamiseks, millel polnud füüsilist ega filosoofilist tähendust, ja milles kasutati tavalisi sõnu, nagu „sirge” ja „tasapind”, varjatult muudetud tähendusega. Teised tervitasid seda piisava tõendina, et vastupidiselt Kanti mõjukale teesile ei anna eukleidiline geomeetria inimkogemuse mingeid eeldusi ja et füüsilise ruumi geomeetriline struktuur on eksperimentaalseks uurimiseks avatud. Veel nõustusid teised, et mitte-eukleidilised geomeetriad olid õigustatud alternatiivid, kuid juhtisid tähelepanu sellele, et füüsiliste katsete kavandamine ja tõlgendamine eeldab üldjuhul kindlat geomeetriat ja et Euclidi süsteem on selle rolli ära hoidnud.
Olenemata sellest, mida filosoofid võiksid öelda, oleks matemaatikute jaoks Lobachevski geomeetria ilmselt olnud vaid veider uudishimu, kui selle jaoks pole nišši nii projektiivse kui ka diferentsiaalgeomeetria jaoks leidnud - 19. sajandi geomeetriliste uuringute kaks peamist voolu (§ 1) § 2 ja 5).
2. Projektiivne geomeetria
Tänapäeval ei mängi projektiivne geomeetria matemaatikas suurt rolli, kuid XIX sajandi lõpus sai see sünonüümiks moodsale geomeetriale. Projektiivseid meetodeid olid kasutanud Desargues (s. 1591, s. 1661) ja Pascal (s. 1623, s. 1662), kuid hiljem varjati neid Descartesi koordinaatide meetodiga. Nad jõudsid siiski õitsengule pärast seda, kui Jean-Victor Poncelet (snd 1788, s. 1867) näitas, et figuuride projektiivsed omadused on tõendusmaterjaliks, mis on vähemalt sama võimsad ning kindlasti intuitiivsemad ja nähtavalt veenvad kui Cartesiuse protseduur. punkte esindavate arvude võrrandite seadistamine ja lahendamine.
Projektiivsed omadused on need, mis säilivad projektsioonide abil. Võtame näiteks kaks tasapinda Γ ja H ning punkti P väljaspool neid. Olgu any mis tahes kujund Γ-l. Joonestage sirged jooned punktist P läbi iga punkti Φ. Joon, mis moodustatakse punktidest, kus need sirged kohtuvad H-ga, on ction projektsioon H-le P-st. Üldiselt erineb see arv Φ suuruse ja kuju poolest. Kuid suvalise arvu sirgjoonte projektsioon Γ, mis kohtuvad üksteisega teatud punktides, koosneb üldjuhul võrdsest arvust sirgetest H kohtumisel vastavalt nende punktide projektsioonile. Mis aga juhtub, kui sirge, mis ühendab P-ga mingi punkti Q Γ, ei vasta kunagi H-le, kuna PQ asub H-ga paralleelsel tasapinnal? (Vt joonis 3.)
Joonis 3
Joonis 3
Selliste tüütute erandite vältimiseks lisas projektiivne geomeetria igale sirgjoonele ruumis ideaalse punkti, mida jagasid kõik sellega paralleelsed jooned. Järjepidevus eeldab, et kõik ideaalsed punktid asuvad ühel ideaaltasandil, mis vastab igale paralleelsete tasapindade perekonnale piki erinevat ideaaljoont. Fundamentalistid võivad selle näiliselt hajameelse olemikorruptsiooni pärast häbeneda. Kuid seda oli aritmeetikas juba sajandeid praktiseeritud, kuna naturaalarvude algvarudele 1, 2, 3,… lisati null, negatiivsed täisarvud, mitteintegraalsed ratsionaalid, irratsionaalid ja nn kujuteldav numbrid.
Sirgjoone punktid seisavad naabruskonna ja korra vastastikustes suhetes. Et näha, kuidas ideaalpunkt nendesse suhetesse sobib, laske H pöörduda pidevalt sirgjoone m ümber, kus see lõikub Γ. (Vt joonis 4.) Kui H on paralleelne PQ-ga, siis ajal t - on Q projektsioon H-lt P-st sirge joone ideaalne punkt läbi P ja Q. Vahetult enne t on nimetatud projektsioon H tavaline punkt, m-st väga kaugel. Vahetult pärast t on projektsioon jällegi H tavaline punkt, m-st väga kaugel, kuid tasapinna vastasotsas. Uurides projektsiooni pidevat nihkumist t ümbritseva lühikese ajavahemiku jooksul, järeldatakse, et kui A ja B on H kaks punkti, mis paiknevad vastavalt mõlemal pool m, on punkti A ja B läbiva sirgjoone ideaalne punkt tuleb paigutada A ja B vahele. SeegaProjektiivses geomeetrias on sirgjoone punktid tsüklilised, st nagu ringi punktid. Seetõttu erinevad projektiivruumi ja projektiivtasandi punktide naabrussuhted drastiliselt standardse geomeetriaga tuttavatest ning on väga vastuintuitiivsed. On õiglane öelda, et projektiivne geomeetria tähendas inimmõistes palju sügavamat ja kaugeleulatuvat revolutsiooni kui pelgalt Euclidsi postulaadi eitamine. On õiglane öelda, et projektiivne geomeetria tähendas inimmõistes palju sügavamat ja kaugeleulatuvat revolutsiooni kui pelgalt Euclidsi postulaadi eitamine. On õiglane öelda, et projektiivne geomeetria tähendas inimmõistes palju sügavamat ja kaugeleulatuvat revolutsiooni kui pelgalt Euclidsi postulaadi eitamine.
Joonis 4
Joonis 4
Uues seadistuses saab arvnäitajate projektiivseid omadusi eksimatult määratleda. projektiivse ruumi üks-üks enda jaoks f foneerimine on kollinatsioon, kui see saadab kolm kollageenset punkti A, B ja C kolme punkti (A), (B) ja (C), mis on ka kolineaarsed. Projektiivsed omadused (ja seosed) on need, mis säilivad kokkumiksimiste kaudu. Siin on mõned näited projektiivsetest omadustest. Kolmest või enamast punktist: lamada samal sirgel; lamama samal lennukil. Kolmest või enamast sirgjoonest: kohtuda samas punktis; lamama samal lennukil. Kolmest või enamast tasapinnast: ristumiseks mööda sama sirget; sama punkti jagama. Kõveratest: olema koonus. Pindadest: olema kvadric.
3. Kleini Erlangeni programm
Erlangeni teaduskonnaga (1872) liitumisel välja antud brošüüris tegi Felix Klein (s. 1849, s. 1925) ülevaate geomeetria tohutust kasvust ja mitmekesistumisest ning pakkus välja vaatepunkti, mille põhjal saaks selle paljud harud jagada süsteem. Sellest vaatenurgast võib geomeetria haru ülesande öelda järgmiselt:
Arvestades kollektorit ja kollektiivi teisenduste rühma, uuritakse kollektori konfiguratsioone nende tunnuste osas, mida rühma muutused ei muuda. (Klein 1893, lk 67)
XIX sajandi matemaatikas määras 'kollektsioon' sageli seda, mida me nüüd kutsume kogumiks, kuid Klein pidas ilmselt silmas midagi konkreetset:
Kui antakse n muutujat x 1,…, x n, siis… väärtussüsteemid, mille saadame siis, kui laseme muutujatel x iseseisvalt võtta tegelikud väärtused vahemikus −∞ kuni + ∞, on see, mida me nimetame n mõõtme kogumiks. Iga konkreetset väärtussüsteemi (x 1,…, x n) nimetatakse kollektori elemendiks. (Klein 1873, lk 116)
Kui S on mõlemas mõttes kollektor, siis peame S-i teisenduse all silmas S-i üks-ühe kaardistamist. On selge, et
Kui T 1 ja T 2 on transformatsioone S, komposiitmaterjali kaardistamise T 2 ○ T 1, mis koosneb T 1 järgneb T 2, on ka transformatsiooni S;
koosseisu transformatsioone on assotsiatiivne, nii et kui T 1, T 2 ja T 3 on transformatsioone S, (T 3 ○ T 2) ○ T 1 = T 3 ○ (T 2 ○ T 1);
identiteedi kaardistamine I, mis saadab iga S punkti enda juurde, on S teisendus, nii et mis tahes teisenduse korral T, T ○ I = I T = T;
iga teisenduse T jaoks on teisendus T −1, T pöördväärtus, nii et T − 1 ○ T = I (T − 1 saadab kõik S punktid tagasi sinna, kust T tõi).
Tingimuste (i) - (iv) kohaselt moodustavad S muundumised rühma G S täpses tähenduses, mis sellel terminil on algebras. G S hõlmab alagruppides, st komplektidest, mis sisaldavad I ja vastavad tingimused (i) ja (iv). Kui H on GS alarühm ja Φ on S või selle elementide või osade omadus, mida Φ teisendused ei mõjuta, siis ütleme, et Φ on H-muutumatu. Ainus G S-invariant on S kardinaalsus (st elementide arv kollektoris). Teisest küljest, ainuüksi identiteedist koosnev rühm {I} säilitab triviaalselt kõik mõeldavad tunnused. Nende kahe äärmuse vahel võib olla palju erinevaid alarühmi, millel on kõikvõimalikud huvitavad variandid, sõltuvalt vastava rühma struktuurist. Kui S ei ole meelevaldne (struktuurita), vaid Kleini kirjeldatud numbriline kollektor, pärib see struktuuri reaalarvu väljalt, mis aitab iseloomustada G S-i erinevaid alarühmi ja nende invariante. Seega säilitab pidevate muundumiste rühm topoloogilisi omadusi (naabrussuhted) ja lineaarsete muundumiste rühm säilitab projektiivsed omadused.
Kas mõõdikute omadusi saab sel viisil fikseerida? Traditsiooniliselt määratletakse üks numbrilise kollektori kahe punkti (x 1,…, x n) ja (y 1,…, y n) vaheline kaugus (x 1 - y 1) 2 +… + (x) positiivse ruutjuurena. n - y n) 2. Isomeetriate rühm koosneb transformatsioonidest, mis seda funktsiooni säilitavad. Kuid see on vaid konventsioon, mis on vastu võetud selleks, et tagada geomeetria eukleidiline kuju. Projektiivset geomeetriat kasutades mõtles Klein välja midagi paremat. Ükski reaalselt hinnatud punktipaaride funktsioon, mis pole määratletud kogu projektiivses ruumis, ei ole projektiivse rühma invariant, kuid eksisteerib ka kollineaarsete punktide nelinurkade funktsioon, mida nimetatakse ristsuhteks, mis on selline invariant. Arthur Cayley (s. 1821, s. 1895) teostele tuginedes pidas Klein (1871, 1873) punkti nelikute ristisuhet <P 1, P 2, P 3, P 4 >. nii, et P 3 ja P 4 kuuluvad projekteeritud tasapinnal antud koonusele κ, samas kui P1 ja P 2 ulatuvad piirkonnas R, mis on piiritletud või muul viisil fikseeritud κ-ga. Kuna P 3 ja P 4 peavad olema punktid, kus punktide P 1 ja P 2 sirgjoon vastab κ-le, võib nimetatud ristsuhet pidada punktipaari <P 1, P 2 > funktsiooniks. Kolokatsioonid, mis kaardistavad antud koonuse iseendaga, moodustavad rühma ja nimetatud funktsioon on selgelt selle grupi invariant. Klein näitas, et selle funktsiooni teatud funktsioon käitub nagu tavaline kaugusfunktsioon R-il. Koonilise κ olemuse järgi vastab selle funktsiooniga määratud struktuur kas (i) kõigile Eukleidese tasapinna geomeetria teoreemidele või (ii) kõigile Lobachevski tasandi geomeetria teoreemidele või (iii) kolmanda geomeetria teoreemidele, mille Klein ise avastas ja dubleeris seda elliptiliseks. (Elliptilises geomeetrias kohtub iga sirge üksteisega ja kolmnurga kolm sisenurka moodustavad alati rohkem kui kaks täisnurka. Kleini nimed Eukleidi ja Lobachevski geomeetriate jaoks olid vastavalt „paraboolsed” ja „hüperboolsed”.)
Nii töötab Kleini lähenemine lennukis Lobachevski geomeetriale. Olgu κ tõeline koonus - kooniline koonus, mis koosneb ainult reaalsetest punktidest - projektiivtasandil. Olgu G κ kõigi kollageenide kogum, mis kaardistab κ ennast. G κ on projektiivse rühma alarühm. Mõelge nüüd punkti neljakordistuste <P 1, P 2, P 3, P 4 ristosuhtele nii, et P 3 ja P 4 kuuluvad κ-le, samas kui P 1 ja P 2ulatus tegeliku tasapinna sisemuses Int (κ), mida piirab κ. (P ∈ Int (κ) siis ja ainult siis, kui P on reaalne punkt ja punkti P kaudu reaalset puutujat ei läbi.) Nagu eespool märgitud, fikseerib punktide P 1 ja P 2 valik P 3 ja P 4, seega ristsuhet võib vaadelda ainult esimese paari paari funktsioonina, näiteks f κ (P 1, P 2). Funktsioon f κ on selgelt G κ- muutumatu. Pane d κ (P 1, P 2) = c logf κ (P 1, P 2), kus c on suvaline reaalväärtusega konstant, mis erineb 0-st, ja log x tähistab x-i loodusliku logaritmi põhiväärtust. Klein suutis näidata, et d κ käitub täpselt nagu Lobachevski kauguse funktsioon Int-l (κ). Teisisõnu kehtib iga Lobachevski geomeetria teoreem Int (κ) punktidest moodustatud sobivate arvude kohta, kui nende punktide vaheline kaugus on määratud funktsiooniga d κ. Vaatleme näiteks nelja punkti P 1, P 2, P 3 ja P 4 Int (κ) -is, nii et d κ (P 1, P 2) = d κ (P 2, P 3) = D κ (P 3, P 4) = d κ (P 4, P 1). Need on Lobachevski võrdkülgse nelinurga Q tipud, millel võib olla maksimaalselt kolm täisnurka, sel juhul peab Q neljas sisenurk olema terav. (Kui „täisnurk” tähendab, nagu tavaliselt, sellega külgneva nurgaga võrdset nurka ja kahte nurka Int (κ) -des, peetakse üheks võrdseks, kui üks on teise pilt kujutisega grupist G κ).
Kui κ tähistab teist tüüpi koonust, mitte tavalist reaalset, käitub ülaltoodud protseduuri abil saadud funktsioon d κ projektsioonitasandi sobivalt määratletud piirkondades nagu eukliidide vahekauguse funktsioon või nagu elliptilise geomeetria kaugusfunktsioon (see sõltub koonuse κ olemuse kohta). Seega, sõltuvalt sellest, kas κ kuulub ühte või teise tüüpi koonuseliikidest, on κ-d kaardistav kollinatsioonide rühm struktuurilt identne ühega kolmest Lobachevski, Eukleidese või elliptilise isomeetria grupist. Sarnased tulemused kehtivad ka kolmemõõtmelise juhtumi korral, kus kvadraadipind on κ.
Kleini tulemus pani Bertrand Russelli (s. 1873, s. 1970) kinnitama oma uuskantilases geomeetria aluseid käsitlevas raamatus (1897), et üldine „eksterniteedi vorm” on meile a priori avalikustatud projektiivses geomeetrias, kuid selle meetriline struktuur - mis võib olla ainult Lobachevskian, Euclidean või elliptiline - tuleb tagantjärele kindlaks teha katse abil. Henri Poincaré (sünd 1854, sünd 1912) võttis radikaalsema hoiaku: kui geomeetria pole midagi muud kui grupi uurimine,
võib öelda, et Eukleidese geomeetria tõde ei ole Lobachevski geomeetria tõega kokkusobimatu, sest rühma olemasolu pole ühildamatu teise rühma omaga. (Poincaré 1887, lk 290)
Taotlus füüsikale on kohene: „Kõigi võimalike rühmade hulgast oleme valinud ühe, et sellele kõigile füüsikalistele nähtustele viidata, samamoodi nagu me valime kolm koordinaattelge, et osutada neile geomeetrilist kujundit“(ibid., lk 291). Selle konkreetse rühma valimist motiveerib selle matemaatiline lihtsus, aga ka asjaolu, et „looduses on olemas mõned tähelepanuväärsed kehad, mida nimetatakse tahketeks aineteks, ja kogemus näitab, et nende kehade erinevad võimalikud liikumised on üksteisega väga seotud. samamoodi nagu valitud rühma erinevad toimingud”(ibid.). Need Poincaré märkused tähendasid konventsionaalsuse algust teadusfilosoofias ja andsid selle esmase motivatsiooni.
Kleini rühmateoreetiline vaade geomeetriale meeldis matemaatikute ja filosoofide seas palju. See saavutas suure edu, kui Minkowski (1909) näitas, et Einsteini spetsiaalse relatiivsusteooria põhisisu oli Lorentzi rühma (kosmoseaegne) geomeetria, oluline tulemus, mida Klein (1911) elas nautida. See tähendab, et hiljutine arutelu Minkowski kronogeomeetria prioriteedi üle Lorentzi invariantsi üle või vastupidi on täiesti jõude, kuna need on loogiliselt ekvivalentsed ja seega tegelikult ühe mündi kaks poolt (nagu on selgitanud Acuña (2016)). Kleini Erlangeni programm ei suutnud siiski katta Riemann'i diferentsiaalgeomeetriat (§5), mille Einstein (1915, 1916) pani oma üldise relatiivsusteooria keskmesse.
4. Täiustatud aksiomaatika
Aristotelese sõnul tuleb teaduslikke teadmisi (episteem) väljendada avaldustes, mis järgnevad deduktiivselt enesestmõistetavate väidete (aksioomide) lõplikust loetelust ja kasutavad ainult termineid, mis on määratletud iseenesest mõistetavate mõistete (primitiivide) lõplikust loetelust. Üle kahe aastatuhande on üldiselt arvatud, et Aristotelese ideaal realiseerub tegelikult Eukleidi elementides. Tegelikult on loogiline lünk juba Euclid I.1-s (selle probleemi lahendus tugineb järjepidevuse avaldamata eeldusele) ja pole selge, kas Euclid pidas oma postulaate iseenesestmõistetavaks (nimetades neid ' taotlusi”(ta soovitas, et ta seda ei teinud). Idee teadmiste tagamine vaieldamatutest põhimõtetest loogiliste järelduste abil tekitas suurt huvi selliste kaasaegsete teadlaste jaoks nagu Galileo ja Newton, kes mõlemad praktiseerisid meelsasti aksiomaatikat,igal juhul kirjandusliku vormina, nagu Spinoza oma eetikas. Siiski oli tõeliselt rahuldav ja, kui nii võib öelda, tõsine teadmiste haru aksiomatiziseerumise näide trükitud kujul alles 1882. aastal, mil Moritz Pasch (s. 1843, s. 1930) avaldas oma moodsa geomeetria loengud.
Pasch vaatles geomeetriat kui loodusõpetust, mille edukas rakendamine teistes teadustes ja praktilises elus tugineb „üksnes asjaolule, et geomeetrilised kontseptsioonid olid algselt täpselt empiiriliste objektidega kokku lepitud” (Pasch 1882, lk iii). Geomeetria eristub teistest loodusteadustest selle poolest, et omandab vahetult kogemusest vaid väga vähesed kontseptsioonid ja seadused ning selle eesmärk on saada neist puhtalt deduktiivsete vahenditega keerukamate nähtuste seadused. Geograafia empiirilise aluse kapseldas Pasch põhimõistete ja põhilausete või aksioomide tuuma. Põhimõisted viitavad kehade kujule ja suurusele ning nende asenditele üksteise suhtes. Neid ei määratleta, sest mitte ükski määratlus ei saa asendada “sobivate loodusobjektide näitust”, mis on ainus tee nii lihtsate,taandamatud arusaamad (ibid., lk 16). Kõik muud geomeetrilised mõisted tuleb lõplikult määratleda põhiliste mõistete alusel. Põhimõisted on üksteisega seotud aksioomide abil, mis “teatavad, mida on täheldatud teatud väga lihtsate diagrammide korral” (lk 43). Kõiki teisi geomeetrilisi väiteid tuleb aksioomide abil tõestada kõige rangemate deduktiivsete meetoditega. Kõik, mis on vajalik nende tõestamiseks, tuleb eranditeta aksioomidesse registreerida. Seetõttu peavad need sisaldama kogu geomeetria abil välja töötatud empiirilist materjali, nii et “pärast nende kehtestamist pole enam vaja taju tajuda” (lk 17). „Iga tõendis sisalduv järeldus peab oma kinnituse leidma diagrammil, kuid seda ei õigusta diagramm, vaid kindel varasem väide (või määratlus)“(lk 43). Pasch mõistis selgelt oma meetodi mõjusid. Ta kirjutab (lk 98):
Kui geomeetria peab olema tõeliselt deduktiivne, peab järeldamisprotsess olema kõigis selle osades geomeetriliste mõistete tähendusest sõltumatu, nagu ka diagrammidest sõltumatu. Vaja on arvestada ainult geomeetriliste mõistete seoseid, mis registreeritakse avaldustes ja määratlustes. Mahaarvamise käigus on nii lubatud kui ka kasulik meeles pidada selles esinevate geomeetriliste mõistete tähendusi, kuid see pole sugugi vajalik. Tõepoolest, kui see tegelikult vajalikuks osutub, näitab see, et tõendusmaterjalis on lünka ja - kui seda lünka ei saa argumendi muutmisega kõrvaldada - et ruumid on selle toetamiseks liiga nõrgad.
Paschi loengud tänapäevasest geomeetriast käsitlesid projektiivset geomeetriat. Esimene eukleidiline geomeetria, mis vastas Paschi standarditele - David Hilbert (s. 1862, s. 1943) - geomeetria alused - ilmus 1899. aastal ja avaldas tohutut mõju kahekümnenda sajandi matemaatikale ja filosoofiale. Hilbert kutsub lugejat üles kaaluma kolme suvalist objektide kogumit, mida ta nimetab „punktideks”, „sirgeteks” ja „tasapindadeks”, ning viit määratlematut seost (i) punkti ja sirge vahel, (ii) sirgjoone ja tasapind, iii) kolm punkti, iv) kaks punktipaari ('segmendid') ja v) punkti kolmikute ('nurgad') kaks ekvivalentsusklassi. Hilbertis ette nähtud tingimuseds 20 aksioomi, sealhulgas teises väljaandes lisatud täielikkuse aksioom, on nimetatud objektide ja suhete iseloomustamiseks isomorfismiks piisavad. Isomorfism, st struktuuriline ekvivalentsus, võib siiski paikneda objektide erinevate, intuitiivselt lahus olevate süsteemide vahel. Hilbert kasutas seda aksiomaatiliste teooriate tunnust, uurides mõne aksioomi sõltumatust ülejäänud osast. Selle tõestuseks pakkus ta välja struktuuri tegelikud näited (mudelid), mis on määratud kõigi aksioomide abil, välja arvatud üks, pluss eitamata jäetud üksuse struktuur. Frege kaebas, et nendes harjutustes säilinud geomeetrilisi aksioome saab Hilberti kaugele toodud mudelite puhul rakendada üksnes sõnade loomuliku tähenduse muutmise kaudu (vrd Alice'i vestlus Humpty Dumptyga). Hilbert vastas 29. detsembril 1899:struktuurne ekvivalentsus - võib siiski olla objektide erinevate, intuitiivselt lahus olevate süsteemide vahel. Hilbert kasutas seda aksiomaatiliste teooriate tunnust, uurides mõne aksioomi sõltumatust ülejäänud osast. Selle tõestuseks pakkus ta välja struktuuri tegelikud näited (mudelid), mis on määratud kõigi aksioomide abil, välja arvatud üks, pluss eitamata jäetud üksuse struktuur. Frege kaebas, et nendes harjutustes säilinud geomeetrilisi aksioome saab Hilberti kaugele toodud mudelite puhul rakendada üksnes sõnade loomuliku tähenduse muutmise kaudu (vrd Alice'i vestlus Humpty Dumptyga). Hilbert vastas 29. detsembril 1899:struktuurne ekvivalentsus - võib siiski olla objektide erinevate, intuitiivselt lahus olevate süsteemide vahel. Hilbert kasutas seda aksiomaatiliste teooriate tunnust, uurides mõne aksioomi sõltumatust ülejäänud osast. Selle tõestuseks pakkus ta välja struktuuri tegelikud näited (mudelid), mis on määratud kõigi aksioomide abil, välja arvatud üks, pluss eitamata jäetud üksuse struktuur. Frege kaebas, et nendes harjutustes säilinud geomeetrilisi aksioome saab Hilberti kaugele toodud mudelite puhul rakendada üksnes sõnade loomuliku tähenduse muutmise kaudu (vrd Alice'i vestlus Humpty Dumptyga). Hilbert vastas 29. detsembril 1899:Selle tõestuseks pakkus ta välja struktuuri tegelikud näited (mudelid), mis on määratud kõigi aksioomide abil, välja arvatud üks, pluss eitamata jäetud üksuse struktuur. Frege kaebas, et nendes harjutustes säilinud geomeetrilisi aksioome saab Hilberti kaugele toodud mudelite puhul rakendada üksnes sõnade loomuliku tähenduse muutmise kaudu (vrd Alice'i vestlus Humpty Dumptyga). Hilbert vastas 29. detsembril 1899:Selle tõestuseks pakkus ta välja struktuuri tegelikud näited (mudelid), mis on määratud kõigi aksioomide abil, välja arvatud üks, pluss eitamata jäetud üksuse struktuur. Frege kaebas, et nendes harjutustes säilinud geomeetrilisi aksioome saab Hilberti kaugele toodud mudelite puhul rakendada üksnes sõnade loomuliku tähenduse muutmise kaudu (vrd Alice'i vestlus Humpty Dumptyga). Hilbert vastas 29. detsembril 1899:
Iga teooria on ainult mõistete telling või skeem koos nende vajalike vastastikuste suhetega ning põhielemente saab mõelda ükskõik millisel viisil. Kui ma võtan oma punktide jaoks arvesse mis tahes asjade süsteemi, näiteks süsteemi armastust, seadusi, korstnapühkimist … ja eeldan, et kõik minu aksioomid on nende asjade seosed, siis on ka minu teoreemid - näiteks Pythagorase teoreem - ka hoia neid asju kinni. … See teooriate omadus ei saa kunagi olla puudus ja on igal juhul vältimatu.
Kõik see tuleneb muidugi aksiomaatika olemusest, nagu on selgitatud Paschi tsiteeritud lõigus. Sellised tõepäraselt säilitavad semantilised permutatsioonid polnud geomeetrias uudised pärast seda, kui Gergonne (1771–1859) juhtis 1825. aastal tähelepanu järgmisele duaalsuse põhimõttele: Iga tõeline projektiivse tasapinna geomeetria väide annab aluse teisele, võrdselt tõele, kahetisele avaldusele, mille sai asendades "punkt" reaga "rida", "kollineaarne" sõnaga "samaaegne", "vasta" sõnaga "liituma" ja vastupidi, kõikjal, kus need sõnad esinevad esimeses. (Projektiivses ruumigeomeetrias kehtib duaalsus punktide ja tasapindade puhul.) Sama tulemus tagatakse muidugi mitte sõnade, vaid nende tähenduste vahetamisega.
5. Riemann diferentsiaalgeomeetria
Göttingeni filosoofiateaduskonnas 1854. aastal peetud ja 1867. aastal avaldatud loengus “Geomeetria aluspõhja hüpoteesidest” esitas Bernhard Riemann (s. 1826, s. 1866) selle kohta radikaalselt uuenduslikke seisukohti. oluline. Ta märkis, et diskreetse kollektori mõõdetavaid omadusi saab hõlpsalt loendada. (Mõelge riigi elanikkonnast ja uuesti sündinud kristlaste või paaride osakaalust, kes lahutasid abielu esimesel aastal.) Kuid pidevad kollektiivid ei tunnista seda lähenemist. Eelkõige sõltuvad geomeetria objektiks oleva füüsilise ruumi mõõdetavad omadused seda mõjutavatest sidumisjõududest. Kahe kosmosepunkti vahelist kaugust saab kindlaks teha varda või lindiga või optiliselt,ja tulemus sõltub põhimõtteliselt kasutatavate instrumentide füüsilisest käitumisest. Siiani on ruumi mõõdetavaid omadusi edukalt kirjeldatud vastavalt Eukleidese geomeetriale. Kuid „empiirilised kontseptsioonid, millel põhinevad ruumi meetrilised määramised - jäiga keha ja valguskiire mõisted kaotavad oma kehtivuse lõpmata väikestes; seetõttu on üsna tõenäoline, et lõpmata väikestes ruumides mõõdetud suhted ei nõustu geomeetria eeldustega ja tegelikult tuleks sellega leppida niipea, kui nähtusi on seeläbi lihtsamini seletatav”(Riemann 1854, lk 149). Füüsikute ettevalmistamiseks selleks võimaluseks pakkus Riemann välja geomeetria üldisema kontseptsiooni. Riemann'i põhiskeem võtab arvesse palju suuremat üldisust, kui ta tegelikult taotleb; aga,tema hinnangul peaks sellest hetkeks piisama, et iseloomustada pidevate kollektorite geomeetriat nii, et see oleks optimaalselt kooskõlas eukleidilise geomeetriaga iga punkti väikeses naabruses.
Riemann laiendab n-mõõtmetele meetodeid, mida Gauss (1828) kasutas oma eukleidilises ruumis manustatud kõverate pindade sisemise geomeetria uurimisel (nimetatakse „sisemisteks”, kuna see kirjeldab meetrilisi omadusi, mida pinnad ise näitavad, sõltumata sellest, kuidas nad valeta ruumis). Gaussi loomingule tagasi vaadates saab Riemanni kontseptsioonidest parem intuitiivne tunne (vt Torretti 1978, lk 68–82). Lühiduse ja silmapaistvuse huvides on siiski soovitatav vaadata edasi ja kasutada teatavaid hilisemate matemaatikute poolt kasutusele võetud mõisteid, kui nad üritasid Riemanni ettepanekut mõistma panna. Mõelge Riemann'i teooria tänapäevasele sõnastusele täienduses Riemann's Theory Modern Formulation.
Kumerate pindade uurimisel tutvustas Gauss reaalväärtusega funktsiooni, Gaussi kõverust, mis mõõdab pinna kohalikku kõrvalekallet tasasusest pinna sisemise geomeetria osas. Riemann laiendas seda kõveruse kontseptsiooni Riemannian n-manifoldidele. Kasutades oma laiendatud kumerusmõistet, suutis ta suure elegantsiga iseloomustada meetrilisi kollektoreid, milles kõik figuurid saavad vabalt ringi liikuda ilma nende suurust ja kuju muutmata. Need on Riemanniani pideva kumerusega kollektorid. Seda ideed saab kenasti kombineerida Kleini meetriliste geomeetriate klassifikatsiooniga. Riemannian 3-kollektorina käsitatava eukleidilise ruumi kumerus on püsiv, nulli, Lobachevski ruumi negatiivne kumerus ja elliptilise ruumi konstantne kumerus. Erlangeni programmi kohaseltkõiki neid konstantse kumerusega geomeetriaid iseloomustab oma isomeetriate rühm. Kuid Kleini kontseptsioon on liiga kitsas, et hõlmata kõiki Riemanniani geomeetriaid, mis hõlmavad muutuva kumerusega ruume. Tõepoolest, üldjuhul on Riemannian n-koondatud isomeetriate rühm triviaalne rühm, mis koosneb ainult identsusest, mille struktuur ei anna üldse teavet vastava geomeetria kohta.
6. Lie rühmad
Filosoofi jaoks oli 19. sajandi matemaatikaga saavutatud tohutu komplikatsiooni kõige rahuldavam omadus ehk kiirus, millega vastloodud (või avastanud?) Matemaatilised struktuurid leidsid tee empiirilisse teadusesse, võimaldades intellektuaalset haaret ja tegelike nähtuste käsitlemist. Lõpetame selle 19. sajandi geomeetria uuringu mõne kerge märkusega eriti rikkaliku ja viljaka struktuuri kohta, millel on uhked kohad praeguses füüsikas, nimelt Lie rühmad, nn Norras Sophus Lie (1842–1899). matemaatik, kes uuris neid põhjalikult pärast 1870. Lie-rühm on muidugi rühm algebralises mõttes, kellega kohtusime §-s 3, see tähendab komplekt G selliselt, et (i) iga järjestatud paar <x, y> ∈ G on seotud unikaalse elemendiga x · y ∈ G (tuntud kui korrutis või x ja y summa);(ii) toote toiming on assotsiatiivne, st (x · y) · z = x · (y · z) iga x, y, z ∈ G kohta; (iii) on üks ja ainus element 0 ∈ G, nii et iga x ∈ G kohta x · 0 = 0 · x = x (0 on G identne või neutraalne element); (iv) iga x ∈ G kohta on üks ja ainult üks element x−1 ∈ G selliselt, et x · x −1 = 0 (x −1 nimetatakse x-i pöördvõrrandiks). Kuid Lie-rühm on ka sujuv kollektor, nagu on kirjeldatud lisas Riemann's Theory Modern Formulation: Rühm G võib olla esitatud laiguliselt reaalväärtusega (või alternatiivselt kompleksväärtusega) koordinaatide süsteemidega, mis on omavahel seotud täpselt määratletud, eristatavad koordinaatide teisendused kõikjal, kus nende vastavad laigud kattuvad. G rühma rühmad ja kollektorstruktuurid on omavahel ühendatud tingimusel, et toote toiming on G × G eristatav kaardistamine G-ks.
Lie-rühma lihtsaks, kuid oluliseks näiteks on rühm SO (2), mida kiirendab tasapinna pöörlemine suvalise fikseeritud punkti ümber. Kollektor on topoloogiliselt kompaktne ja seetõttu ei saa seda katta ühe koordinaadipaikaga, kuid piisab kolmest: ühest, mis hõlmab, näiteks kõiki pöördeid vastupäeva rohkem kui kolme radiaani ja vähem kui nelja võrra, mida saab loomulikult koordineerida reaalarvude abil avatud intervall (3,4); teine plaaster, mis sisaldab esimese pöördeid, mida saab kaardistada avatud intervalliga (−4, −3), ja kolmas, mis katab kõik vastupäeva pöörded vähem kui kaks täisnurka pluss nende päripäeva pööratud pöörded, mida saab kaardistada avatud intervall (−π, π). Tõepoolest, kõik rühmad, kellega me kohtusime lõikes 3,mida Klein iseloomustas ruumi eukleidiliste geomeetriate ja klassikaliste mitte-eukleidiliste geomeetriate kirjeldamisel, on Lie-rühmad ja nende vastavad sujuvad kollektiivstruktuurid võimaldavad topoloogilisi keerdkäike. Seega moodustavad Eukleidese isomeetriad lahti ühendatud kollektori, mille peegelpeegeldus ei kuulu samasse komponenti nagu Eukleidiliste liikumiste alarühm.
Nagu kõigil sujuvatel kollektoritel, on ka Lie grupil G iga elemendi külge puutuja vektorruum. Eelkõige puutuja ruumi neutraalse element 0 G muutub Lie algebra G määratlusega niinimetatud Lie tõsteseade, et bilineaarne kaardistamine T 0 G x T 0 G viiakse T 0 G, mis kõigi u, v, w T 0 G-s vastab tingimusele [u, u] = 0 ja Jacobi identiteedile: [u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0. G Lie algebra heidab palju valgust G struktuurile läbi 0 ∈ T 0 G naabruskonna homeomorfse (“eksponentsiaalse”) kaardistamise 0 ∈ G naabruskonnaks.
Lisas Riemanni teooria kaasaegne formuleerimine käsitleme kiudkimpude ideed, mis on moodustatud kahest siledast kollektorist F ja M, mis on seotud F projektsiooni π kaardistamisega M-le, mis jaotab kollektori F kiududeks.”, Kaardistatud π abil M-i erinevatesse punktidesse. Kiudkimbust <F, M, π> saab põhikiu kimp <F, M, π, G>, kui kimpude struktuurirühmaks tuntud Lie rühm G toimib F-le nii, et iga F kiud on toimingu orbiit ja veel mõned tingimused on täidetud. Näiteks on Lorentzi rühm tetraedide peamise kiu kimbu struktuurirühma (igas punktis puutujavektorite ortonormaalsed 4-koondised igas punktis) igal relativistlikul kosmoseajal, ükskõik kui veider. Sel viisilLie rühmad võimaldavad ühendada paljusid füüsikalise teooriaga lubatud mudeleid ja kehtestada nende vahel teatav homogeensus.
20. sajandi viimase kolmandiku jooksul on kiudkimbud ja nende Lie rühmad praktiliselt üle võtnud füüsika. See pole koht, kus seletada, kuidas või miks, kuid filosoofide tähelepanu väärib füüsika peatumatu areng üha matemaatiliselt keerukamate, tema prima facie vähem sirgjoonelisemate objektide esitusviisidele. On selge, et kindla stabiilse asja kontseptsioon, mida vähemalt põhimõtteliselt võiks käes hoida ja millega manipuleerida, ei ole meile enam nii kasutatav, kui see oli kunagi meie tulekiviga nikerdatud esivanematele.
Bibliograafia
Esmased allikad
Bolyai, J., 1832. Scientia absoluta spatii. Lisa Bolyai, F., Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae elementis ac sublimioris, metodo intuitiva, ilmne huic propria, introdundi, Tomus Primus. Maros Vasarhely: J. et S. Kali. (Ingliskeelne tõlge: GB Halsted, trükitud Bonola 1955 lisana)
Cayley, Arthur, 1859. „Kuues memuaar kvantikast”, Londoni Kuningliku Ühingu filosoofilised tehingud, 149: 61–90.
Ehresmann, Ch., 1957. “Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentitable”, Colloque de Topologie (Espaces Fibrés), Bruxelles 1950, Pariis: Masson, lk 29–55.
Einstein, A., 1915. “Die Feldgleichungen der Gravitation”, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1915), lk 844–847.
Einstein, A., 1916. “Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie”, Annalen der Physik, 49: 769–822.
Gauss, CF, 1828. Disquisitiones generales circa superficies curves, Göttingen: Dieterich. (Ingliskeelne tõlge: A. Hiltebietel ja J. Morehead: Hewlett, NY, Raven Press, 1965.)
Hilbert, D., 1899. “Die Grundlagen der Geometrie”, Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber Denkmalsis, Leipzigis: BG Teubner, lk 3–92.
Hilbert, D., 1968. Grundlagen der Geometrie, mit Supplementen von P. Bernays. Zehnte Auflage. Stuttgart: Teubner. (Hilbert 1899 kümnes muudetud väljaanne.)
Klein, F., 1893. “Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen”, Mathematische Annalen, 43: 63–100. (Kleini 1872 muudetud versioon).
Klein, F., 1911. “Über die geometrischen Grundlagen der Lorentz-Gruppe”, Physikalische Zeitschrift, 12: 17–27.
Lie, S., 1888–1893. Theorie der Transformationsgruppen (3 köidet), Unter Mitwirkung von F. Engel, Leipzig: Teubner.
Lobachevsky, NI, 1837. “Géométrie imaginare”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 17: 295–320.
Lobachevsky, NI, 1840. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berliin: F. Fincke. (Ingliskeelne tõlge: GB Halsted, trükitud Bonola 1955 lisana)
Lobachevsky, NI, 1856. Pangéométrie ou précis de géométrie fondée for theeorie générale and rigoureuse des parallèles, Kaasan: ülikool.
Locke, J., 1690. Essee humaanse mõistmise kohta (neljas raamatus), London: trükitud Thomas Basset jaoks ja müünud Edward Mory. (Avaldatud anonüümselt; autori nimi lisati teises väljaandes).
Minkowski, H., 1909. “Raum und Zeit”, Physikalische Zeitschrift, 10: 104–111.
Pasch, M., 1882. Vorlesungen über neueren Geometrie, Leipzig: Teubner.
Poincaré, H., 1887. “Sur les hipothèses fondamentales de la géométrie”, Bulletin de la Société mathématique de France, 15: 203–216.
Poncelet, JV, 1822. Traité des propriétés projectives des figuurid, Pariis: Bachelier.
Ricci, G. ja T. Levi-Cività, 1901. “Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications”, “Mathematische Annalen, 54: 125–201.
Riemann, B., 1854. “Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen”, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1867): 133–152. (Ingliskeelse tõlke leiate allpool Spivaki alt.)
Riemann, B., 1861. “Commentatiohematica, qua respondere tentatur quaestioni ab illustrissima Acad. Parisiensi propositae”, Bernhard Riemanns gesammelte matemaatika Werke und wissenschaftlicher Nachlass, Leipzig: Teubner, 1876, lk 391–404.
Russell, B., 1897. Essee geomeetria alustest, Cambridge: Cambridge University Press. (Muutmata kordustrükk: New York, Dover, 1956.)
Saccheri, G. 1733. Euclides ab omni nævo vindicatus sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universæ geometriæ principia, Mediolani: Ex Typographia Pauli Antonii Montani. (Kordustrükk, ingliskeelse tõlkega GB Halsted: New York, Chelsea, 1986.)
Teisene kirjandus
Acuña, Pablo, 2016. “Minkowski kosmoseaeg ja Lorentzi invariants: kas ühe mündi käru ja hobune või kaks külge?”, “Ajaloo ja teaduse filosoofia uuringud” (B osa: Kaasaegse füüsika ajaloo ja filosoofia uuringud), 55: 1–12.
Blumenthal, LM, 1961. Kaasaegne vaade geomeetriale, San Francisco: Freeman.
Boi, Luciano, 1995. Kosmose matemaatika probleem: Une quête de l'intellitable, Berliin: Springer.
Bonola, R., 1955. Mitte-eukleidiline geomeetria: selle arengu kriitiline ja ajalooline uurimus. Eestikeelne tõlge koos lisadega, mille autor on HS Carslaw. New York: Dover.
Freudenthal, H., 1957. “Zur Geschichte der Grundlagen der Geometrie”, Nieuw Archief vor Wiskunde, 5: 105–142.
Freudenthal, H., 1960. “Die Grundlagen der Geometrie um die Wende des 19. Jahrhunderts”, “Mathematisch-physikalische Semesterbericht, 7: 2–25.
Gallot, S., D. Hulin ja J. Lafontaine, 2004. Riemannian Geometry, Berliin: Springer, 3. trükk. (Ajakohane õpik koos lahendustega paaritu numbriga harjutuste jaoks. Jaotis on pühendatud relatiivsusteoorias kasutatavale pseudo-Riemannian geomeetriale.)
Giedymin, J., 1982. Teadus ja konventsioon: Esseed Henri Poincaré teadusfilosoofiast ja konventsionalistlikust traditsioonist, Oxford: Pergamon.
Greenberg, MJ, 2008. Eukleidiline ja mitte-eukleidiline geomeetria: areng ja ajalugu, New York: Freeman, 4. väljaanne. (Suurepärane tööriist iseseisvaks õppimiseks keskkooli vanema astme või kõrgkooli esmakursuslase tasemel.)
Heath, TL, 1956. Kolmteist Eukleidi elementide raamatut, tõlgitud Heibergi tekstist sissejuhatuse ja kommentaaridega, New York: Dover, 3 köidet, 2. trükk, muudetud täiendustega.
Magnani, L., 2001. Filosoofia ja geomeetria: teoreetilised ja ajaloolised probleemid, Dordrecht: Kluwer.
Nagel, E., 1939. “Formaalse loogika kaasaegsete kontseptsioonide kujunemine geomeetria arendamisel”, Osiris, 7: 142–224.
O'Neill, B., 1983. Semi-Riemanniani geomeetria koos relatiivsuse taotlustega, New York: Academic Press.
Nomizu, K., 1956. Lie rühmad ja diferentsiaalgeomeetria, Tokyo: Jaapani matemaatiline selts.
Ronan, M., 2008. “Lie Theory”, T. Gowers (toim), Princetoni kaaslane matemaatikas, Princeton, NJ: Princeton University Press, lk 229–234.
Rosenfeld, BA, 1988. Mitteeuklidilise geomeetria ajalugu: geomeetrilise ruumi kontseptsiooni evolutsioon, tõlkinud Abe Shenitzer, New York: Springer.
Spivak, M., 1979. Põhjalik sissejuhatus diferentsiaalgeomeetriasse (5 köidet), Berkeley: Publish or Perish, 2. trükk. (Sisaldab suurepärast ingliskeelset tõlget koos matemaatiliste kommentaaridega Riemanni loengust “Hüpoteesidest, mis asuvad geomeetria alustalas”; vt 2. osa, lk 135ff).
Torretti, R., 1978. Geomeetria filosoofia Riemannist Poincaréni, Dordrecht: Reidel. (Parandatud kordustrükk: Dordrecht, Reidel, 1984).
