Finitism Geomeetrias

Sisukord:

Finitism Geomeetrias
Finitism Geomeetrias

Video: Finitism Geomeetrias

Video: Finitism Geomeetrias
Video: A Classical Reconstruction of Strict Finitism (OZSW 2020) 2024, Märts
Anonim

Sisenemise navigeerimine

  • Sissesõidu sisu
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Sõprade PDF-i eelvaade
  • Teave autori ja tsitaadi kohta
  • Tagasi üles

Finitism geomeetrias

Esmakordselt avaldatud 3. aprillil 2002; sisuline redaktsioon teisipäev, 12. september 2019

Meie maailmaesindustes, eriti füüsikas, mängivad (matemaatilised) lõpmatused üliolulist rolli. Pärisarvu, (Re) pidevus aja või ühemõõtmelise ruumi kujutamisena on kindlasti kõige tuntum näide ja laiendatuna võib öelda, et (n) - kordse kartseesluse toode, (Re ^ {n}), (n) jaoks - ruumiline ruum. Kuid need samad lõpmatused tekitavad ka probleeme. Raskuste nägemiseks tuleb vaid mõelda Zeno paradoksidele või selle arutelu tänapäevasele jätkamisele, nimelt arutlusele supertaskide üle (täielikku käsitlemist leiate selle entsüklopeedia sissekandest supertaskide kohta). Seetõttu on väga ahvatlev mõte uurida, kas neid lõpmatusi on võimalik kõrvaldada ja kas füüsikat on ikka võimalik teha. Esimene samm sellele küsimusele vastuse leidmiseks on uurida, kas diskreetne geomeetria on võimalik või mitte, võimaldades võimalikult täpselt läheneda klassikalisele pidevale geomeetriale. Kui see on nii, saab viimast geomeetriat hõlpsasti asendada diskreetse versiooniga mis tahes füüsikalises teoorias, mis kasutab seda konkreetset matemaatilist tausta.

Nagu ülesanne võib tunduda lihtne, on lähendamise mõistet mõista siiski vähemalt kahel viisil. Oletame, et (T) on füüsikaline teooria, mis põhineb klassikalisel geomeetrial. Siis võib lähendamine (T) tähendada kahte erinevat asja:

  1. Kõigi kontseptsiooni (T) mõistete, sealhulgas geomeetriliste mõistete jaoks pakutakse välja diskreetne analoog (kui selline asi on olemas), või
  2. Alusteooria (T ^ / prime) on formuleeritud kasutades võimalikke erinevaid mõisteid nii, et klassikalised mõisted on tuletatavad (T ^ / prime).

Järgnevates osades tutvustatakse ülevaadet (mõnedest) erinevatest punktidest a või b hõlmatud katsetest. Enne sellele teekonnale asumist tuleb siiski mainida mitmeid hoiatuid.

  • 1. Mõned üldised kaalutlused

    • 1.1 Loogikud
    • 1.2 Matemaatikud
    • 1.3 Arvutiteadlased
    • 1.4 Füüsikud
    • 1.5 Filosoofid
  • 2. Diskreetsed geomeetriad kui otsesed analoogid

    • 2.1 Eukliidse tasapinna geomeetria standardne aksomatiseerimine
    • 2.2 Soome kool ja looduslik geomeetria
    • 2.3 Konstruktiivne lähenemisviis
    • 2.4 Otsene füüsiline näide: erirelatiivsusteooria diskreetne versioon
    • 2.5 Mõned osalised lahendused ja lahendatavad probleemid
  • 3. Diskreetsed geomeetriad kui klassikalise geomeetria generaatorid

    • 3.1 Üldine raamistik
    • 3.2 Prototüüpne näide, kasutades graafikuid
    • 3.3 Erijuhtum: kombinatoorne hierarhia
    • 3.4 Kas see võib olla empiiriline probleem?
  • 4. Mida tuleb järgmisena teha?
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Muud Interneti-ressursid
  • Seotud kirjed

1. Mõned üldised kaalutlused

Võttes arvesse konkreetset diskreetse geomeetria ettepanekut, on kõige olulisem arvestada, milline on autori (te) teaduslik ja / või filosoofiline taust ning mis on sellega seoses nende kavatsused. Kas nad on loogikud, matemaatikud, arvutiteadlased, füüsikud või filosoofid (kui loetleda viis kõige sagedamini esinevat juhtumit)? Kas nad tahavad lahendada pelgalt tehnilise, füüsilise või filosoofilise probleemi? Kas nad on mures aluspõhimõtete pärast või on nende uurimise objektiks olemasolevate teooriate edasine arendamine? Nende küsimuste illustreerimiseks tasub tutvuda üksikasjalikumalt iga mainitud viie autoritüübiga.

1.1 Loogikud

Loogikud on sageli huvitatud teooria aluseks oleva füüsikalise või matemaatilise loogilise struktuuri kuvamisest ja alternatiivide olemasolu uurimisest, muutes tavaliselt loogilisi põhimõtteid. Võib ette kujutada geomeetriat, mis ei põhine klassikalisel loogikal, vaid nt intuitsioonilisel loogikal, kus põhimõtted nagu välistatud kolmas, st (p) või mitte - (p), mis tahes avalduse jaoks (p) või topelt eitus, st kui ei, siis - (p), siis (p) enam ei hoita. Sageli on eesmärk leida kõigi võimaluste täielik klassifikatsioon. See lähenemisviis tähendab, et diskreetsete mudelite kallal töötav ja väljatöötav loogik ei usu tingimata, et need mudelid on mingis mõttes õiged või tõesed. Need aitavad lihtsalt paremini mõista, mis on klassikaline geomeetria.

Sellise lähenemisviisi täiuslik näide on ruumiloogikaga seotud töö, vt Aiello jt. (2007) suurepärase ülevaate saamiseks. Autorid võrdlevad oma lähenemist tehtud tööle ajalises loogikas (vt selle entsüklopeedia sissekannet ajaloogika kohta). Aja modelleerimiseks on palju võimalusi: algus- ja / või lõpp-punktiga, diskreetse või pideva, sirge, tsüklilise või hargneva punktiga…. Loogiline ülesanne on luua keel, mis võimaldab kõigil neil struktuuridel “rääkida” ja neid eristada. Ajalises loogikas kasutavad sellised keeled operaatoreid (Fp) (“Ma tulen nii, et (p)”) ja (Pp) (“On olnud nii, et (p)”). Üks näide: kui aeg on tulevikus lineaarne, siis saab seda omadust väljendada järgmiselt. Oletame, et antakse (Fp) ja (Fq), siis on võimalik ainult kolm asja:kas (F (p / ampq)), st (p) ja (q), või (F (p / amp Fq)), st (p) juhtub kõigepealt ja siis (q) või (F (Fp / amp q)), st vastupidi. Ühes valemis: ((Fp / amp Fq) paremnool (F (p / amp q)) või (F (p / amp Fq)) või (F (Fp / amp q))). Täiesti sarnasel viisil soovib sellise keele konstrueerimine seda, mida ruumiline loogika soovib saavutada geomeetria jaoks, ja on seega seotud ettepanekutega, mida käsitleme 3. osas.sellise keele konstrueerimine on see, mida ruumiline loogika soovib saavutada geomeetria jaoks, ning on seega seotud ettepanekutega, mida käsitleme 3. osas.sellise keele konstrueerimine on see, mida ruumiline loogika soovib saavutada geomeetria jaoks, ning on seega seotud ettepanekutega, mida käsitleme 3. osas.

1.2 Matemaatikud

Matemaatik võib uurida olemasoleva teooria diskreetset või piiratud vastust või seda uurida, et näha näiteks seda, millised teoreemid jäävad mõlemal juhul tõestatavaks. See on iseenesest nn tagurpidi matemaatika seisukohast huvitav. Põhiküsimus on välja selgitada, mida on tingimata vaja teatud teoreemide tõestamiseks? Vt nt Simpson (2005) ja Stillwell (2016). Tõendid, millel on ka diskreetne geomeetria, on seega sõltumatud kõikidest diskreetsuse või järjepidevuse eeldustest. Võib siiski süveneda matemaatika alustesse ja uurida piiratud geomeetriaid põhialuste perspektiivist. Üheks selliseks lähenemiseks on range finitism (kuigi mõnikord kasutatakse ka termineid ultrafinitism või ultraintuitsionism), mis ei ole mõeldud teiste aluspõhimõtete alateooriana, vaid alternatiivina omaette. See jagab konstruktivismi paljude vormidega põhimõttelist seisukohta, et matemaatilised objektid ja kontseptsioonid peavad olema matemaatikule juurdepääsetavad konstruktsioonide osas, mida saab teostada või teostada. Erinevaid vorme eristatakse üksteisest mõistete „hukkamine” ja „täitmine” mõistmise osas. Enamik konstruktiviste lubab kasutada potentsiaalselt lõpmatut, st kui protseduur või algoritm tulevikus (tõenäoliselt) mingil hetkel lõpeb, aktsepteeritakse tulemust konstruktiivsena. Konstruktiivse matemaatika ülevaate ja sissekande leiate Bridges & Richman (1987). Range finitism soovib minna veel ühe sammu edasi ja väidab, et lõpmatut tulemust ei aktsepteerita kui tulemust, kuna kuna kõik arvutusressursid on piiratud,võib väga hästi olla, et need ressursid on ära kasutatud enne tulemuse saavutamist. Lisakvalifikatsiooni eesmärk on eristada Hilberti finitismi, mida võib laias laastus vaadelda kui metatasandi finitismi vormi (nt kuigi matemaatilised teooriad võivad rääkida lõpmatutest struktuuridest, peavad selliste teooriate tõenditel siiski olema piiratud pikkus). Nagu arvata võis, pole range finitism matemaatikafilosoofias populaarne vaade. Sellegipoolest on esitatud mitmeid ettepanekuid. Ajalugu ja ülevaade tegelikust (ehkki nüüd mõneti dateeritud) olukorrast leiate Welti (1987). 2. jaos räägitakse selliste ettepanekute kohta veel.võib metatasandil käsitleda kui finitismi vormi (nt kuigi matemaatilised teooriad võivad rääkida lõpmatutest struktuuridest, peavad selliste teooriate tõestused siiski olema piiratud pikkusega). Nagu arvata võis, pole range finitism matemaatikafilosoofias populaarne vaade. Sellegipoolest on esitatud mitmeid ettepanekuid. Ajalugu ja ülevaade tegelikust (ehkki nüüd mõneti dateeritud) olukorrast leiate Welti (1987). 2. jaos räägitakse selliste ettepanekute kohta veel.võib metatasandil käsitleda kui finitismi vormi (nt kuigi matemaatilised teooriad võivad rääkida lõpmatutest struktuuridest, peavad selliste teooriate tõestused siiski olema piiratud pikkusega). Nagu arvata võis, pole range finitism matemaatikafilosoofias populaarne vaade. Sellegipoolest on esitatud mitmeid ettepanekuid. Ajalugu ja ülevaade tegelikust (ehkki nüüd mõneti dateeritud) olukorrast leiate Welti (1987). 2. jaos räägitakse selliste ettepanekute kohta veel. Ajalugu ja ülevaade tegelikust (ehkki nüüd mõneti dateeritud) olukorrast leiate Welti (1987). 2. jaos räägitakse selliste ettepanekute kohta veel. Ajalugu ja ülevaade tegelikust (ehkki nüüd mõneti dateeritud) olukorrast leiate Welti (1987). 2. jaos räägitakse selliste ettepanekute kohta veel.

1.3 Arvutiteadlased

Arvutiteadustes on esitatud teooriad ja ettepanekud üsna erinevad kui loogilised ja matemaatilised, ehkki need inspireerivad üksteist. Probleem, millega siin silmitsi seista, on just tõlke seadistamine klassikaliselt geomeetriliselt analoogselt mudelilt mudelile, mille domeen (tavaliselt) koosneb piiratud arvust pikslitest või lahtritest, mis moodustavad (arvuti) ekraani. Ilmne puudus (selle sissekande vaatenurgast) on see, et peaaegu kõik need mudelid eeldavad taustal klassikalist (lõpmatut) mudelit ja seetõttu ei ole neil omaenda korralikku alust - olukord, mis on üsna analoogne arvulisele analüüsile, mis tugineb protseduuride õigsuse tõestamise klassikalise analüüsi kohta. Enim tähelepanu pööratakse originaali ja diskreetse mudeli vastavuse tõestamise probleemile, et veenduda, kas saadud pilt on teatavas osas originaalile truu. Lihtne matemaatiline näide käsitleb aukude arvu 3-mõõtmelisel Eukleidese pinnal. Tahatakse olla kindel, et iga auk, mis kuvatakse digitaalses pildis, vastab tõepoolest augule algses matemaatilises objektis. Lisateavet leiate Borwein & Devlin (2009). Kuid öeldes, tehakse veel mõnda tööd, mis ei taha tugineda klassikalisele pidevale taustale, vaid otsib hoopis piksli geomeetria “õigeid” aksiomatisatsioone ja / või vormindeid. Mõne toreda näite leiate Kulpa (1979) ja hiljuti Danielsson (2002).truu originaalile. Lihtne matemaatiline näide käsitleb aukude arvu 3-mõõtmelisel Eukleidese pinnal. Tahatakse olla kindel, et iga auk, mis kuvatakse digitaalses pildis, vastab tõepoolest augule algses matemaatilises objektis. Lisateavet leiate Borwein & Devlin (2009). Kuid öeldes, tehakse veel tööd, mis ei taha tugineda klassikalisele pidevale taustale, vaid otsib hoopis piksli geomeetria “õigeid” aksiomatisatsioone ja / või vormindeid. Mõne toreda näite leiate Kulpa (1979) ja hiljuti Danielsson (2002).truu originaalile. Lihtne matemaatiline näide käsitleb aukude arvu 3-mõõtmelisel Eukleidese pinnal. Tahatakse olla kindel, et iga auk, mis kuvatakse digitaalses pildis, vastab tõepoolest augule algses matemaatilises objektis. Lisateavet leiate Borwein & Devlin (2009). Kuid öeldes, tehakse veel mõnda tööd, mis ei taha tugineda klassikalisele pidevale taustale, vaid otsib hoopis piksli geomeetria “õigeid” aksiomatisatsioone ja / või vormindeid. Mõne toreda näite leiate Kulpa (1979) ja hiljuti Danielsson (2002). Tahatakse olla kindel, et iga auk, mis kuvatakse digitaalsel pildil, vastab tõepoolest augule algses matemaatilises objektis. Lisateavet leiate Borwein & Devlin (2009). Kuid öeldes, tehakse veel mõnda tööd, mis ei taha tugineda klassikalisele pidevale taustale, vaid otsib hoopis piksli geomeetria “õigeid” aksiomatisatsioone ja / või vormindeid. Mõne toreda näite leiate Kulpa (1979) ja hiljuti Danielsson (2002). Tahatakse olla kindel, et iga auk, mis kuvatakse digitaalses pildis, vastab tõepoolest augule algses matemaatilises objektis. Lisateavet leiate Borwein & Devlin (2009). Kuid öeldes, tehakse veel tööd, mis ei taha tugineda klassikalisele pidevale taustale, vaid otsib hoopis piksli geomeetria “õigeid” aksiomatisatsioone ja / või vormindeid. Mõne toreda näite leiate Kulpa (1979) ja hiljuti Danielsson (2002).

Pange tähele ka seda, et neid teooriaid ei tohiks segi ajada arvutiprogrammidega, millel on võime geomeetriliste objektide kohta põhjendada. See on osa automatiseeritud mõttekäikude uurimisvaldkonnast - vt Chou jt. (1994) kena sissejuhatuse jaoks - ja selle põhiobjektid on tõestused, mitte tingimata need matemaatilised objektid, mille kohta tõestused on.

1.4 Füüsikud

Nagu üldteada, on üks füüsika kuumaid teemasid kvant- (välja) teooria ja üldrelatiivsusteooria ühendamise otsingud. Kui see õnnestub, oleks tulemuseks kuulus “Kõigi teooria”. Nagu on sama hästi teada, on kõige raskem lahendada probleem, kuidas tulla toime aegruumiga. Kvantide (väljade) teooria eeldab taustana ruumi ja aega, samas kui üldrelatiivsusteooria määrab ruumi-aja struktuuri suuresti masside ja olemasoleva energiaga. Üks võimalus - ja suurem osa 3. jaost käsitleb selliseid näiteid - on leida „sügavam“struktuur, mis on mõlema teooria aluseks ja mis genereerib teatud mõttes ruumi ja aja fundamentaalsematest mõistetest. On selge, et kui selline teooria leitaks, ei tooks see lihtsalt "lihtsalt" mudelit, vaid seda käsitletaks tegelikult reaalsuse tõelise kujutusena. Enamik neist mudelitest, spekulatiivsed, kuna mõned neist võivad praegusel hetkel olemas olla, osutuvad diskreetseteks ja seetõttu väidavad need ettepanekud, vastupidiselt, näiteks koos loogikutega, õiget kirjeldust. Värske mitteametliku ülevaate leiate Rovelli (2016), eriti 11. peatükist “Lõpmatuse lõpp”.

Ajaloolisest vaatenurgast tuleb lisada, et mõni füüsik püüdis välja selgitada, millised võiksid välja näha olemasolevate klassikaliste füüsikaliste teooriate diskreetsed vasted. Tavaliselt kipuvad sellise katse filosoofilised alused olema üsna idiosünkraatilised. 2. jaos esitatakse üks selline näide. Tavaliselt sellised katsed suurt segamist ei tekitanud, kadusid kiiresti tagaplaanile, kuid sisaldavad siiski huvitavaid ja asjakohaseid ideid.

1.5 Filosoofid

Üsna otseses mõttes hõlmab kõik eelnev ka filosoofe. Arutelud loogiliste süsteemide, põhiliste matemaatiliste teooriate, Zeno paradokside, supertaskide, mudeli ja esitluse kohta … on tavaliselt teemad, mis kuuluvad filosoofide valdkonda. Lisaks pakuvad nad argumente teistest filosoofilistest ja / või teadusvaldkondadest. Oletame, et on olemas suurepäraseid argumente epistemoloogilisest või ontoloogilisest vaatenurgast, mis väidavad, et maailma tuleks pidada diskreetseks, siis saavad need argumendid toetada sellise diskreetse maailmapildi otsimist, sealhulgas diskreetse geomeetria väljatöötamist. Isegi kui matemaatiliselt tundub teooria üsna kohmakas või raskesti töödeldav, peab see filosoofiliste kaalutluste tõttu siiski nii olema. Ilma selliste toetavate argumentideta oleks inimese positsioon sellisel juhul palju nõrgem. Lõpuks pööravad nad tähelepanu ka asja ajaloolisele küljele. See on üsna silmatorkav, kuid seda ei esitata siin, kui näeme, et meie ajaloo jooksul on esitatud palju ettepanekuid, mis näitavad, et ruumi, aega ja inimest tuleks pidada piiritletuks ja / või diskreetseks. Vaadake näiteks Sorabji (1983) ja Moore (1993) suurepäraste ajalooliste ülevaadete jaoks, White (1992) kahekümnenda sajandi arengute kohta ning Franklin (2017) ja Lyons (2017) mõne värskema kaastöö kohta.näha, et meie ajaloo jooksul on esitatud palju ettepanekuid, mis näitavad, et ruumi, aega ja inimest tuleks pidada piiritletuks ja / või diskreetseks. Vaadake näiteks Sorabji (1983) ja Moore (1993) suurepäraste ajalooliste ülevaadete jaoks, White (1992) kahekümnenda sajandi arengute kohta ning Franklin (2017) ja Lyons (2017) mõne värskema kaastöö kohta.näha, et meie ajaloo jooksul on esitatud palju ettepanekuid, mis näitavad, et ruumi, aega ja inimest tuleks pidada piiritletuks ja / või diskreetseks. Vaadake näiteks Sorabji (1983) ja Moore (1993) suurepäraste ajalooliste ülevaadete jaoks, White (1992) kahekümnenda sajandi arengute kohta ning Franklin (2017) ja Lyons (2017) mõne värskema kaastöö kohta.

Nagu öeldud, on need viis rühma kõige olulisemad, nii et täielikkust pole tõestatud ega ka vastastikust ainuõigust. Selle lühikese ülevaate eesmärk oli loetleda vaid asjaosaliste erinevad kavatsused, motivatsioonid, eesmärgid ja metoodikad.

2. Diskreetsed geomeetriad kui otsesed analoogid

Esimene küsimus, mis lahendatakse, on klassikaline teooria. Kuna suurem osa tehtud tööst piirdus tasapinnaga, piirdub see esitus ka selle konkreetse juhtumiga (enamikus ettepanekutes peetakse laiendamist kõrgemate mõõtmetega geomeetriasse täiesti sirgjooneliseks). Kuid sellest ei piisa, kuna tasapinna geomeetria esitamiseks on erinevaid teid. Üks võimalus on võtta (eukleidiliste) tasandite, näiteks Hilberti 1899. aasta oma Grundlagen der Geometrie sõnastuses, mis tahes aksiomatiseerumine, ja näidata, milliseid muudatusi on vaja a) aksiomaatilise teooria piiritletud mudelite ja (b) piiritletud mudelite saamiseks mis lähendavad võimalikult täpselt klassikalisi (lõpmatuid, eukleidilisi) mudeleid. Üks esimesi katseid pärineb 40ndate lõpust,50ndate alguses ja seetõttu esitatakse see siin näitena (selles mõttes, et sellel on nii kõik nõutavad positiivsed omadused kui ka veidrused, mis näivad selliste katsetega koos käivat). Täpsemalt puudutab see Paul Kustaanheimo osalist koostööd G. Järnefeltiga perioodil 1949–1977. Järgmisena arutatakse hiljuti Patrick Suppese ettepanekut ja täiesti vanemat ettepanekut Ludwik Silbersteini kohta, mis on täiesti erinev. kus geomeetria on otseselt hõlmatud füüsikalise teooriaga, peab olema täpne spetsiaalne relatiivsusteooria. Selle osa lõpposas käsitletakse konkreetseid probleeme ja esialgseid lahendusi.see puudutab Paul Kustaanheimo osalist koostööd G. Järnefeltiga perioodil 1949–1957. Järgmisena arutatakse hiljuti ettepanekut, mis erineb täiesti Patrick Suppese ettepanekust, ja Ludwik Silbersteini mõnevõrra vanemat ettepanekut, kus geomeetria on otseselt sulandunud füüsikalisse teooriasse, et täpsus oleks spetsiaalne relatiivsusteooria. Selle osa lõpposas käsitletakse konkreetseid probleeme ja esialgseid lahendusi.see puudutab Paul Kustaanheimo osalist koostööd G. Järnefeltiga perioodil 1949–1957. Järgmisena arutatakse hiljuti ettepanekut, mis erineb täiesti Patrick Suppese ettepanekust, ja Ludwik Silbersteini mõnevõrra vanemat ettepanekut, kus geomeetria on otseselt sulandunud füüsikalisse teooriasse, et täpsus oleks spetsiaalne relatiivsusteooria. Selle osa lõpposas käsitletakse konkreetseid probleeme ja esialgseid lahendusi. Selle osa lõpposas käsitletakse konkreetseid probleeme ja esialgseid lahendusi. Selle osa lõpposas käsitletakse konkreetseid probleeme ja esialgseid lahendusi.

2.1 Eukliidse tasapinna geomeetria standardne aksomatiseerimine

Kuidas näeb välja Hilberti tüüpi aksiomatiseerimine? Esimene asi, mida tuleb teha, on (ametliku) keele fikseerimine. Tavaliselt valitakse identiteediga esimese astme predikaatloogika, st keel, mis sisaldab muutujate (ja võimaluse korral ka konstantide) nimesid, funktsioonide nimesid (vajadusel), predikaatide nimesid, sealhulgas identiteedipregaati, loogilisi ühendusi ja kvantiive ning grammatiliste reeglite kogum lausete moodustamiseks. Piirang esimese astme loogikale tähendab, et kvantifitseerida saab ainult muutujaid. Üksikasjadesse süvenemata tuleks meelde tuletada, et saab valida väljendusrikkama keele, näiteks lubada ka predikaatide kvantifitseerimine.

Kui keel on valitud, on järgmine probleem keele primitiivsete terminite kindlaksmääramine. Eukleidese tasapinnalise geomeetria korral on need punktid ja jooned, ehkki mõnikord on jooned määratletud kui teatud punktikomplektid. Järgmisena tuleb valida põhilised predikaadid. Praegu eksisteerib mitmeid erinevaid aksiomatiseerumisi. Kõige sagedamini kasutatavad predikaadid on: esinemissagedus ("punkt (a) asub sirgel (A)"), vaheline suhe ("punkt (a) asub punktide vahel (b) ja (c)”), võrdsusjõu suhe (“kaugus punktist (a) kuni (b) on sama kui kaugus punktist (c) kuni ((d))”), on kongruentsussuhe („rea punkt, mis on määratud kahe punktiga (a) ja (b), ühtlane sirge osaga, mis on määratud kahe punktiga (c) ja (d)”). Pange tähele, et pole vaja, et need kõik toimuksid aksiomaatselt. Näiteks kui jooni ei sisestata primitiivsete terminitena, siis tavaliselt puudub esinemissagedus.

Järgmine samm on aksioomide komplekti kasutuselevõtt, et määrata ülalnimetatud suhete teatud omadused. Näiteks kui aksioomatiseerimisel kasutatakse esinemissagedust, siis on selle seose tüüpilised aksioomid:

  • Kahe punkti kaudu saab tõmmata täpselt ühe sirge.
  • Igal sirgel on vähemalt kaks punkti.
  • Seal on vähemalt kolm punkti, mis ei asu samal sirgel.

Lõpuks otsitakse tõlgendust või aksiomatiseerimise mudelit. See tähendab, et otsime funktsioonide (kui neid on) ja predikaatide primitiivterminite, nagu punktid ja jooned, tähendust nii, et aksioomid muutuksid tõlgenduse osas tõelisteks lauseteks. Kuigi aksiomatiseerimise väljatöötamisel peame sageli silmas konkreetset tõlgendust, ei välista see üsna ootamatute mudelite olemasolu võimalust. Finitistlikud mudelid tuginevad teatud mõttes just sellele võimalusele, nagu järgmine lõik näitab.

2.2 Soome kool ja looduslik geomeetria

Paul Kustaanheimo kuulus Helsingis asuvasse matemaatikute rühma, kes kõik olid huvitatud mingist piiritletud geomeetria vormist. Silmapaistvamad liikmed olid G. Järnefelt, P. Kustaanheimo ja R. Lehti. Nende inspiratsiooni lähtekohaks on JT Hjelmslev, kes töötas välja niinimetatud loodusliku geomeetria (“Die natürliche Geometrie”, vt tema 1923. aasta raamat), mida mõnikord nimetatakse ka “füüsiliseks” geomeetriaks. Nende lähenemisviis ei ole teada jätkumist, erandiks on Reisler ja Smith (1969). Kummalisel moel on aga seos Suppese lähenemisega, mida arutatakse hiljem selles mõttes, et geomeetriat peetakse peamiselt (peaaegu) eksperimentaalseks teaduseks, st geomeetrias käsitletakse joonlaudu ja kompasse, luuakse mõõtmiseks lamedad pinnad, ja nii edasi. Muidugi,kuna meie, inimesed, saame manipuleerida ainult piiratud objektidega, peab tulemuseks olema diskreetne geomeetria.

Kustaanheimo ettepanek - kordan siin umbkaudselt tema ettepaneku suurepärast esitlust Welti (1987: 487–521), mis on palju kättesaadavam kui originaalteos - põhineb järgmisel mõttekäigul. Eukliidse geomeetria klassikalise aksioomaatilise teooria standardmudel koosneb tegelike numbrite otsejoone korrutisest. Või nagu tavaliselt sõnastatakse, kaardistatakse punkt tasapinnal paarile reaalarvule, selle koordinaatidele. Pärisarvudel on lõpmatu välja matemaatiline struktuur. Kuid ka piiratud väljad on olemas. Miks mitte asendada lõpmatu reaalarvu väli piiratud väljaga, nn Galoisi väljaga?

Parim tulemus, mille võiks saada, oleks see, et iga piiritletud Galoisi väli täidab enamiku eukleidilise geomeetria aksioomidest. Kuid see pole nii. Kustaanheimo uurimistöö tulemus on pisut keerulisem:

  • Kõik piiratud väljad seda ei tee. Kui nimetame (p) elementide arvu lõpliku välja domeenis, siis peab (p) vastama mõnele tingimusele. See tähendab, et potentsiaalsed kandidaadid on ainult kindla suurusega piiratud väljad, st (p) konkreetne väärtus.
  • (P) „heade” väärtuste korral täismudel seda ei tee. Näiteks võtke sirgjooned. Nende määratluse järgi piiratud väljal selgub, et sirgeid on kahte tüüpi: avatud ja suletud. Viimased rikuvad mõnda aksioomi, seega piirdute mudeliga ainult avatud olekuga. Seda mudeli piirangut nimetatakse mudeli eukleidiliseks tuumaks.

Lühidalt, ei saa väita, et mõni piiratud väli seda teeb, vaid ainult mõned ja selles osas ainult osa sellest.

See lähenemisviis tõstatab mõned olulised filosoofilised küsimused:

  • On selge, et mudeli suurus on oluline omadus. Kas sellel on mingit tähendust? Või negatiivselt, mida see tähendab, et erineva suurusega väljad ei sobi mudeliteks? Oletame mõttekatsena, et eukleidiline geomeetria on universumi geomeetrilise struktuuri heaks mudeliks. Kas on mõistlik väita, et universum peab sisaldama täpselt (p) punkte (mitte (p-1), mitte (p + 1))? Tundub, et siin nurga taga peitub uut laadi pütagoorism.
  • Sirgjoonte näide näitab, et on olemas “kenad” geomeetrilised objektid (need, mis vastavad enamusele aksioomidest) ja “halvad” geomeetrilised objektid. Halbade ignoreerimine on võib-olla matemaatiliselt huvitav strateegia, kuid see ei kõrvalda neid täismudelist. Teisisõnu, kuigi nad ei mängi olulist rolli mudeli “kernelis”, on nad seal olemas. Mis on selle mõte? Ülaltoodud mõttekatse jätkamiseks on küsimus, mis vastab universumi “halbadele” objektidele? Kui need ei vasta millelegi, miks vajame neid just „heade” objektide leidmiseks?

Kustaanheimo lähenemisviisi kaitsmiseks tuleb öelda, et seosed lõpmatute ja piiritletud mudelite vahel on tavaliselt palju keerukamad, kui arvatakse. Piiritletud mudel ei ole pelgalt lõpmatu mudeli vähendatud versioon. Väga sageli ilmub erinev struktuur. Analoogiana võtame (lõpmatu hulga) naturaalarvu. Võtke osa, öelge numbrid 1 kuni (L). Lõplikul juhul on mõistlik rääkida väikestest ja suurtest numbritest, võrreldes (L). See pole klassikaliselt võimalik. Nii et üks leiab täiendava struktuuri. Metaforiliselt öeldes, tehes asjad piiritletuks, ilmub detailsem või “peeneteraline” struktuur, mis pühitakse lõpmatuste juuresolekul. Võib-olla on heade ja halbade geomeetriliste objektide eristamine selline lisaelement, mis klassikalises Eukleidese mudelis kaob. Ehk siis algarvudel on oma tähendus. Kuid ikkagi jääb küsimus: kas see on uut tüüpi pütagoorism? Lisateavet Kustaanheimo lähenemisviisi kohta leiate lisadokumendist: Lõplikud väljad eukleidilise tasapinna geomeetria mudelitena.

2.3 Konstruktiivne lähenemisviis

Suppesi lähenemisviisi originaalsus seisneb selles, et ta soovitab geomeetria sõnastada konstruktsioonide praktikatena, mis on võrreldav Hjelmslevi loominguga, kuid on siiski üsna eristuv. Konstruktsiooni tuleb siin mõista elementaarses mõttes jooniste või diagrammide koostamisel, kasutades teatud instrumente, näiteks joonlauda ja / või kompassi, ja mitte tänapäevases tähenduses aluspõhimõtetes, st geomeetria konstruktiivset, aksioomaatilist alust.

(Rangelt) finitistlikust aspektist on olulised kaks elementi. Esiteks saab konstruktsioone sõnastada kvantitatiivselt; väljend „tõmmake joon” ei tähenda, et peame rääkima tasapinnaliselt kogu joonte komplektist. „Joone joonistamine” annab tulemuseks konkreetse lõpliku objekti, nimelt joone fragmendi näiteks paberitükile. Teiseks on kõik vaadeldavad mudelid piiratud, kuna ükskõik milliseid konstruktsioone teostatakse, on lähtepunktiks alati piiratud punktide kogum.

Suppes peab kahte põhitoimingut: operatsiooni (B), mis vastab joone poolitamisele (ab), ja operatsiooni (D), mis vastab joone kahekordistamisele (ab). Etapp (C_ {i}) konstruktsioonis koosneb kolmest elemendist: esimene element on rajatav (uus) punkt, teine element on juba olemasolevate punktide paar ja kolmas element on kas (B) või (D) vastavalt valitud operatsioonile. Lähtepositsioon koosneb kolmest antud punktist: (a, b) ja (c).

Näide: kaaluge konstruktsiooni (((d, ac, B), (e, bd, D))), mis koosneb kahest etapist. Esimeses etapis alustatakse (ac) ja konstrueeritakse keskpunkt (d) ning teises etapis võtame segmendi (bd) ja kahekordistame selle. Skemaatiline esitus selgitab toimuvat:

[Punktid a, b ja c moodustavad kolmnurga, sirgjooned ab ja bc on sirged, sirgjoon bc on katkendjoon. Punkt d asub sirgjoone bc keskpaigas. Katkendjoone segment bd ulatub veelgi punktini e.]
[Punktid a, b ja c moodustavad kolmnurga, sirgjooned ab ja bc on sirged, sirgjoon bc on katkendjoon. Punkt d asub sirgjoone bc keskpaigas. Katkendjoone segment bd ulatub veelgi punktini e.]

Joonis 1

Alustades kolmikust (a, b) ja (c), oleme konstrueerinud parallelogrammi abce.

Muidugi ei piisa geomeetrilisest teooriast rääkimiseks pelgalt konstruktsioonide komplekti loetlemisest, seega tuleb näidata, nagu Suppes seda tõepoolest teeb, et formaalne-aksiomaatiline ravi on võimalik. Piisab, kui loetleda operatsioonide (B) ja (D) jaoks vajalike aksioomide komplekt, nii et saaks tõendada, et ülaltoodud näites joonistatud arv on tõepoolest parallelogramm. Lisaks tõestatakse esindusteoreem, et punktidele omistatakse ratsionaalsed koordinaadid.

Tuleb teha kaks olulist märkust. Esiteks jääb üle näidata, et seda elementaarset geomeetrilist teooriat saab laiendada täieõiguslikuks geomeetriliseks teooriaks, mida võib pidada klassikalise geomeetria usutavaks alternatiiviks. Suppes tundub olevat üsna enesekindel, kui kirjutab:

minu enda veendumus on, et inimene võib läbida kogu distantsi või kindlasti peaaegu kogu distantsi puhtalt finitistlikul viisil,… (2001: 136)

Teiseks, keskendumine konstruktsioonidele avab uudse viisi kaugusfunktsiooni probleemiga tegelemiseks. Me ei vaja üldist kaugusfunktsiooni, kuid iga üksikjuhtumi korral peame suutma diagrammil olevatele punktidele koordinaadid omistada ja mitte midagi muud. Siiski jääb üle vaadata, kas põhitoiminguid (B) ja (D) saab laiendada ilma seda olulist omadust kaotamata.

Punktis 2.5 pöördun tagasi kaugusprobleemi juurde, et esitada mõned muud pakutud lahendused. Esiteks aga füüsilisest küljest üsna erinev lähenemine.

2.4 Otsene füüsiline näide: erirelatiivsusteooria diskreetne versioon

Aastal 1936 pakub Silberstein välja üsna sirgjoonelise diskreetse teooria. Ainus, mida me füüsikas kasutame, on sildid, (x, y, z, t) ja kui need on diskreetsed, saab neid alati täisarvudega tähistada. Lühikeses voldikus, mis koondab selleteemalisi viit loengut, piirdub Silberstein ühe ruumilise ja ühe ajaparameetriga. Ehkki ta tunnistab kõrgemate mõõtmete probleemi (1936: 15), ei tegele ta sellega. Nii et kauguseprobleem muutub üsna triviaalseks, kuna ühel joonel langevad diskreetse distantsi funktsioon ja Eukleidese vahemaa funktsioon kokku. Tema ettepanek on elementaarne selles mõttes, et väikseim vahemaa, nimelt. vahemaa kahe külgneva punkti (x_ {i}) ja (x_ {i + 1}) vahel on 1 ja samamoodi ka ajakoordinaadi korral, nii et 1 saab maksimaalse kiiruse, mis on võrdne (c), seega (c = 1). Määratletakse derivaatide analoogid, diferentsiaalvõrrandid asendatakse erinevusvõrranditega, lõplike erinevuste analoog tuletatakse Taylori seeriast ja enamikku klassikalisest füüsikast saab jäljendada. Väärib märkimist, et loengud sisaldavad krooniliste suuruste, st väikseima ajaühiku, ja hodonite, st väikseima (ühemõõtmelise) ruumi suuruse ligikaudset arvutamist. Oletame, et (a) on hormoonide arv sentimeetris ja (b) kroonide arv ühes sekundis, siis) frac {(1 / a)} {(1 / b)} = / frac {b} {a} = c = 3,10 ^ {10} tekst {cm / s,} quad / text {või} quad b = 3,10 ^ {10} cdot a.) kui fikseerime madalama (a) limiit, öelge (10 ^ {- 8}) cm (see on tegelikult Silbersteini soovitus!), siis (b = 3,10 ^ {10} cdot a / geq 3,10 ^ {18}), mis on kroonide arv ühes sekundis. Lisaks rakendab ta diskreetset kosmoseaja raamistikku spetsiaalse relatiivsusteooria suhtes ja ka siin leitakse analoog. Selle lähenemise puhul on üsna huvitav asjaolu, et ilmnevad lisatingimused, mida klassikalisel juhul pole vaja. Siin on üks illustratsioon.

Spetsiaalne relatiivsusteooria tugineb avaldisele, piirdudes siin ühe ruumilise mõõtmega, nimelt, (x ^ {2} - c ^ {2} t ^ {2}). Seega peab iga koordinaadi (x '), (t') muutmine vastama (x ^ {2} - c ^ {2} t ^ {2} = x '^ {2} - c ^ {2} t '^ {2}). Oletame, et kirjutame (x = ax '+ bt') ja (t = cx '+ dt'), siis on pöördsuheteks [x '= / frac {(dx' - bt ')} {(ad - bc)} quad / text {ja} quad t '= / frac {(ax' - ct ')} {(ad - bc)}.) Kui aga (x), (x '), (t) ja (t') peavad kõik olema täisarvud, siis tingimata (ad - bc = 1). See viimane tingimus on puhas tagajärg tõsiasjale, et mõtleme diskreetselt, kasutades täisarvu.

2.5 Mõned osalised lahendused ja lahendatavad probleemid

Selles jaotises käsitletakse kolme konkreetset probleemi, mis tuleb lahendada, kui diskreetse geomeetriaga seotud ettepanekuid võetakse tõsiselt: kauguse funktsiooni probleem, mõõtmete probleem, anisotroopia probleem ja identifitseerimise probleem.

Kaugfunktsiooni probleem. On üsna hävitav argument, mis näitab tõelise kaugusfunktsiooni võimatust diskreetse geomeetria jaoks. See pärineb aastast 1949 ja selle sõnastas esmakordselt Hermann Weyl:

Kui ruut on ehitatud miniatuurstest plaatidest, siis on diagonaalis nii palju plaate, kui neid on külgedel; seega peaks diagonaal olema küljega võrdne. (Weyl 1949: 43)

Sellele probleemile on sõnastatud vähemalt kolm lahendust.

Van Bendegem (1987) väitis, et piiratud geomeetrias peaks olema põhiline fakt, et sirgetel ja punktidel on pikendused. Täpsemalt peaks sirgetel olema konstantne laius (sõltumata joone orientatsioonist) (N_ {D}) Seega tähistab (N_ {D}) suurt (piiratud) arvu, mis vastab ruudud, mis moodustavad (N_ {D}). Joone korral määratletakse laius alati selle joonega risti. Oletame nüüd, et sirge orientatsioon vastab nurgale (alpha) sirge ja (x) telje vahel. Siis on sirge (x) - teljele projitseerimisel selle sirge laius (N_ {D}) (vasakpoolne) frac {N_ {D}} { sin / alpha} paremal]) kus avaldis ([x]) näitab suurimat täisarvu, mis on väiksem või võrdne (x).

[võrk, mille kaks paralleelset joont lähevad vasakult ülalt paremale, põhja lähedal on horisontaaljoon, mis ületab mõlemat joont (selle nurk vasaku paralleelse joonega on tähistatud alfa-sümboliga). Horisontaalse sirgjoone kohal ühendab kaks paralleelset joont ja teine joonelõik (N D / sin (alfa) sellele näitab nool) suundub ristumiskohast parempoolse paralleeljoonega vasakule paralleelsele joonele allpool asuvasse punkti (N D-l on sellele joonesegmendile osutav nool. Esimese rea segmendi ja vasaku paralleelse joone vaheline nurk on tähistatud alfa sümboliga
[võrk, mille kaks paralleelset joont lähevad vasakult ülalt paremale, põhja lähedal on horisontaaljoon, mis ületab mõlemat joont (selle nurk vasaku paralleelse joonega on tähistatud alfa-sümboliga). Horisontaalse sirgjoone kohal ühendab kaks paralleelset joont ja teine joonelõik (N D / sin (alfa) sellele näitab nool) suundub ristumiskohast parempoolse paralleeljoonega vasakule paralleelsele joonele allpool asuvasse punkti (N D-l on sellele joonesegmendile osutav nool. Esimese rea segmendi ja vasaku paralleelse joone vaheline nurk on tähistatud alfa sümboliga

Joonis 2

Kaugus kahe punkti (p) ja (q) vahel (d) on siis määratletud kui ristküliku ruutude arv, mis on moodustatud sirgega vahemikust (p) kuni (q) ja laius (N_ {D}), jagatud arvuga (N_ {D}). Idee on see, et kuigi diskreetses geomeetrias peavad read tingimata olema laiusega, pole see oluline element, nii et seda saab jagada. Seega:

[d (p, q) = N_ {L} cdot / vasakul) frac {N_ {D}} { sin / alpha} right] (mathrm {div}, N_ {D}).]

(N_ {L}) vastab siin (x) - teljega paralleelsete kihtide arvule (p) ja (q) ning (n (mathrm {div}, m) vahel)) on (n) jagamise (m.) jagatis.

Näitena kaaluge Weyli probleemi.

[kahe pikkade ristkülikutega ruudustik, millest üks on orienteeritud ülaosaga (tähisega 'p') / alt (märgisega 'q') pikiteljel ja teine orienteeritud vasakule (sildiga 'q') / paremale (tähisega 'r') pikal telg; need kattuvad ühe ja teise vasaku küljega. Pikk paralleelgramm kattub nii ühe kui ka parema ülaosaga. Mõlema ristküliku pikad küljed on märgistatud N L ja lühikesed - N D. Horisontaaljoone segment paralleelprogrammi ühelt küljelt teisele on märgistatud kui “[sqrt (2) N d]”. Rööpnurk paralleelgrammi ja vasaku / parema ristküliku vahel on märgisega 'alfa = pi / 4.]
[kahe pikkade ristkülikutega ruudustik, millest üks on orienteeritud ülaosaga (tähisega 'p') / alt (märgisega 'q') pikiteljel ja teine orienteeritud vasakule (sildiga 'q') / paremale (tähisega 'r') pikal telg; need kattuvad ühe ja teise vasaku küljega. Pikk paralleelgramm kattub nii ühe kui ka parema ülaosaga. Mõlema ristküliku pikad küljed on märgistatud N L ja lühikesed - N D. Horisontaaljoone segment paralleelprogrammi ühelt küljelt teisele on märgistatud kui “[sqrt (2) N d]”. Rööpnurk paralleelgrammi ja vasaku / parema ristküliku vahel on märgisega 'alfa = pi / 4.]

Joonis 3.

Meil on täisnurkne kolmnurk pqr, nii et lihtsuse mõttes on parempoolsed küljed (pq) ja (qr) üksteisega võrdsed ja joondatud ruudustiku telgedega. Oletame, et paremas servas on ruutude arv (N_ {L}). Siis

) alusta {joonda *} d (p, q) & = d (q, r) & = N_ {L} cdot [N_ {D}] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L}, \\ / lõpp {joonda *})

sest muidugi ([N_ {D}]) = (N_ {D}). Hüpotenuuse nurk on aga (alpha = / frac { sqrt {2}} {2}). Seega

) alusta {joonda *} d (p, r) & = N_ {L} cdot / vasakule) frac {N_ {D}} { sin / alpha} right] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L} cdot) sqrt {2} cdot N_ {D}] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L} cdot) sqrt {2}] _ {n}, / end {joonda *})

kus ([r] _ {n}) tähendab arvu (r) kuni (n) kümnendkohani. Arvutusi pole vaja, et näidata, kas Pythagorase teoreem (lähedane lähend) kehtib, st (d ^ {2} (p, q) + d ^ {2} (q, r) = d ^ {2} (p, r)). Lõpuks on lihtne selgitus, miks Weyli probleem ilmneb: see vastab piiravale juhtumile (N_ {D} = 1). Kui (N_ {D} = 1), siis () sqrt {2} cdot N_ {D}] =) sqrt {2}] = 1), seega (d (p, r) = N_ {L} cdot 1 = N_ {L}) ja Pythagorase teoreem nurjub.

Ehkki laiuse (N_ {D}) kasutuselevõtt ilmselt lahendab probleemi, on sama selge ka puudused. Ilma taustal asuva klassikalise eukleidilise geomeetriata pole ehituse alustamiseks tõesti mingit võimalust. Liini määratlust diskreetse geomeetria enda järgi ei ole ning ennekõike arvutatakse sirge (x) teljel (L) projitseeritav laius eukleidilise kauguse funktsiooni järgi, mis on pole otseselt nimetatud. Lühidalt, seal on segu kahest kaugusfunktsioonist.

Peter Forrest (1995) pakub veel ühe lahenduse. Ta alustuseks tutvustab diskreetsete ruumide perekonda (E_ {n, m}), kus (n) vastab ruumi “klassikalisele” mõõtmele ja (m) on skaalategur, mida tuleb mõista järgmiselt: järgneb: (m) on parameeter, mille abil otsustatakse, millal kaks punkti on külgnevad või mitte, mis on tema geomeetria põhiline (ja ainus) kontseptsioon. Seega juhul (n = 2) tähistatakse punkte täisarvude paaridega ((i, j)) ja kahe punktiga ((i, j)) ja ((i ', j')) on külgnevad, kui need on eristatavad, ja ((i-i ') ^ {2} + (j-j') ^ {2} le m ^ {2}).

Kui naabrus on täpsustatud, saab kaugusfunktsiooni hõlpsasti tuletada: kaugus (p) ja (q), (d (p, q)) vahel on väikseim "linkide" arv punktide ahel, mis ühendab (p) ja (q) nii, et igaüks oleks eelmisega külgnev. Järgmisena pole probleem näidata, et kahte punkti läbiv sirgjoon on selle punktide ahel, millel on kõige lühem vahemaa.

Kui parameetril (m) on väike väärtus, siis pole saadud kaugusfunktsioon eukleidiline. Täpsemalt, kui (m = 1), siis on meil taaskord olukord, mille esitas Weyl. Aga kui ütleme: (m = 10 ^ {30}) (Forresti enda pakutud arv), siis olukord muutub. Siis on võimalik näidata, et distantsi funktsioon diskreetses ruumis lähendab Eukleidese kauguse funktsiooni nii lähedale kui soovitakse. Kõiki üksikasju esitamata saab näidata, et eukleidiline kaugusfunktsioon (d_ {E}) ja diskreetne kaugusfunktsioon (d) on seotud skaalateguriga, st (d_ {E} frac { (p, q)} {d (p, q)} = / mbox {konstant} (m)), kus konstandi määrab väärtus (m). Kui soovite näidata, et algne kaugusfunktsioon (d) vastab Pythagorase teoreemile, pole jällegi vaja arvutusi.

Kui sellele lähenemisele otsitakse nõrka kohta, siis tuleb paratamatult jõuda külgnevuse põhimõttelise arusaamani. Mis põhjus on naaberluse määratlemine eukleidilises mõistes? Lõppude lõpuks näeb selline seisund nagu ((i-i ') ^ {2} + (j-j') ^ {2} le m ^ {2}) välja nii eukleidiline kui võimalik. Võimalikku väljapääsu soovitab Van Bendegem (1997). Diskreetse lähenemisviisi üks eeliseid - ja tegelikult tundub, et see kehtib üldiselt ka rangete finitistlike ettepanekute puhul - on see, et klassikaliselt samaväärsed määratlused osutuvad rangetes finitistlikes raamides eristatavateks. Seega saab ringi täpsemalt määratleda (vähemalt) kahel viisil:

  1. punktide kogumina (p), millel on kindel kaugus fikseeritud punktini,
  2. punktide kogumina (p) selliselt, et fikseeritud joonega segmendi (ab) korral on nurk, mille moodustab (apb), täisnurk.

Klassikaliselt öeldes on need kaks määratlust ekvivalentsed. Kuid need ei ole diskreetses geomeetrias. Kui näiteks kaugusfunktsioon on määratletud kui kaks antud punkti ühendava väikseima arvu hodonite arvu, siis pole need kaks määratlust samaväärsed. Määratlust (a) kasutades on ring ruudu kuju (tuntud fakt nn taksababi geomeetrias) ja on seega abituuriumis abinõu määratlemiseks ülaltoodud viisil kasutu. Teisest küljest annab definitsioon (b) figuuri, mis suudab läheneda eukleidilisele ringile nii lähedale, kui meeldib. Sel viisil on Forresti määratlus naabruskonna kohta diskreetses raamistikus vastuvõetav, kuna ei ole viidatud eukleidilisele kaugusfunktsioonile.

Kolmas lahendus on leitud raamatus Crouse and Skufca (2019), kus on esitatud huvitav kokkuvõte kahest eelnevast ettepanekust kaugusfunktsiooni probleemi lahendamiseks. Mida nad soovitavad, on mingi füüsiline tõlgendus, mis teeb võimalikuks kolm asja. Esiteks võimaldab see kindlaks teha madalaimad hormoonide ja kroonide suurused Plancki pikkuse ja aja osas. Teiseks soovitab see määratleda kauguse punktist A punkti B testihodoni läbitud vahemaa suhtes (muidugi diskreetsete minimaalsete sammudega). See lahendab anisotroopiaprobleemi kohe, kuna ükski suund pole eelisõigus. Kolmandaks ei eelda see, et ruudustik (või sarnane struktuur) on a priori absoluutse võrdlusraamistikuna olemas. See avab võimaluse spetsiaalse relatiivsusteooria ümber sõnastada, mida nad ka teevad. Kuigi Silbersteini lähenemist (vt punkt 2.4 eespool) ei mainita, on see selgelt seotud ja seda võib pidada parenduseks, kuna füüsiline alus on filosoofiliselt paremini motiveeritud.

Kui neid ettepanekuid ja ettepanekuid saab pidada piisavaks vastuseks Weyli klotsiprobleemile, võib hiljuti leida Fritzilt (2013) veel ühe ilusa näite no-go lähenemisviisist (ja sellega kaasnev teoreem). Alustage perioodilise graafi abstraktse formuleerimisega, st tippude ja servade komplektiga. Praktilistel eesmärkidel võib perioodilisust pidada kristalliliseks struktuuriks. See tähendab, et meil on põhiline piiratud ühik, mis suudab katta kogu graafiku selle põhiosa korduvate koopiate kaudu. Võtke näiteks kahemõõtmeline struktuur. Tippe saab märgistada või „kaaluda” kahe numbriga ((i, j)). Trajektoor ((f_ {n}) _ {n / in N}) on tippude kaalujärjekord, mille tipud kannavad (f_ {n}) ja (f_ {n + 1}) on ühendatud servaga. Järgmisena määratleme sellise trajektoori (makroskoopilise) kiiruse nagu

[u = / lim_ {n / paremnool / infty} frac {(f_n - f_0)} {n},)

mis kõlab täiesti vastuvõetavalt. Näide: trajektooril, kus (f_ {n} = (n, 0)), alustades (f_ {0} = (0, 0)), on makroskoopiline kiirus 1, kui (f_ {n} - f_ {0} = (n, 0)) ja jagatud arvuga (n) jäetakse see (1, 0). Üksikasjadesse süvenemata näitab ta siis, et kõigi graafi (makroskoopiliste) kiiruste geomeetriline struktuur ei vasta eukleidilise ruumi omale. Põhjus on üsna lihtne (kuigi tõestusi see pole): graafikul on alati eraldi välja toodud “erilised” suunad ja anisotroopia jäävad tuvastatavaks ka makroskoopilisel tasemel. Seetõttu on üleminek diskreetselt tasemelt makroskoopilisele, pidevale, eukleidilisele ja isotroopsele tasemele välistatud. See on tõeliselt huvitav tulemus, kuna see heidab varju kõigile katsetele kasutada otsest,sageli üsna naiivne üleminek diskreetselt tasemelt pidevale. Samal ajal pooldab ta keerukamate üleminekute tegemist mikroskoopiliselt makroskoopilisele tasemele, näiteks võttes arvesse sirge laiust.

Mõõtmete probleem. Sellele probleemile pole palju tähelepanu pööratud, ehkki see on põhiline. Kui tasapind koosneb diskreetsest elementide, hodonite või aatomite komplektist, siis peab selle komplekti mõõt olema null. Sest mõõtme määramiseks peab see komplekt olema varustatud topoloogiaga ja ainus võimalik kandidaat on diskreetne topoloogia. See tähendab, et mõõde on null. Mõlemad valivad võimaluse dimensiooni mõistest lihtsalt loobuda, tuginedes argumendile, et dimensiooni mõiste eeldab pidevuse ja topoloogia kontseptsiooni ning seega puudub sellel finitistlik tähendus. Või otsitakse analoogi, kuid pole üldse selge, mis see võiks olla. Midagi, mida ei tohiks proovida teha, on tuletada tellimissuhtest mõõtme mõiste. Oletame, et hodoonid on tähistatud täisarvudega ((i,j)) mõnes sobivas koordinaatsüsteemis, näiteks (- L / le i), (j / le L), kus (L) on mõni ülemine piir. Siis on võimalikud üsna erinevad tellimissuhted. Üks võimalus on määratleda ((i, j) lt (k, l)) siis ja ainult siis, kui (i + j / lt k + l). Kuid veel üks võimalus on määratleda ((i, j) lt (k, l)) siis ja ainult siis, kui kas (i / lt k) või kui (i = k), siis (j / lt l). Seetõttu on vaja täiendavaid argumente väita, et antud komplekti kõigi võimalike tellimussuhete hulgast on ühel ja ainsal eriline staatus. Jaos 3 näeme siiski, et graafiteooria vahendeid kasutades saab tõepoolest anda mõõtme definitsiooni.l)) ainult siis, kui (i + j / lt k + l). Kuid veel üks võimalus on määratleda ((i, j) lt (k, l)) siis ja ainult siis, kui kas (i / lt k) või kui (i = k), siis (j / lt l). Seetõttu on vaja täiendavaid argumente väita, et antud komplekti kõigi võimalike tellimussuhete hulgast on ühel ja ainsal eriline staatus. Jaos 3 näeme siiski, et graafiteooria vahendeid kasutades saab tõepoolest anda mõõtme definitsiooni.l)) ainult siis, kui (i + j / lt k + l). Kuid veel üks võimalus on määratleda ((i, j) lt (k, l)) siis ja ainult siis, kui kas (i / lt k) või kui (i = k), siis (j / lt l). Seetõttu on vaja täiendavaid argumente väita, et antud komplekti kõigi võimalike tellimussuhete hulgast on ühel ja ainsal eriline staatus. Jaos 3 näeme siiski, et graafiteooria vahendeid kasutades saab tõepoolest anda mõõtme definitsiooni.

Isotroopia probleem. Kui tasapind on üles ehitatud ruudukujulistest horisontidest, nagu ülaltoodud lõigus, on horisondid paigutatud nii, et iga hodon puudutab nelja muud hodonit, st tasapinda saab modelleerida ruudukujulise ruudustikuna, siis on ilmne, et on eelistatud suunad, sel juhul on kaks eelistatavat suunda. Kui aga ruutude asemel võetakse hodonidena kuusnurki, siis on kolm eelistatud suunda. Seega, olenemata sellest, mis kuju on hodon, eelistatakse suundi ja see tähendab, et ruum on anisotroopne. Pange tähele, et need juhtumid ei ole midagi muud kui eespool käsitletud Tobias Fritzi üldise lähenemisviisi erinäited. Füüsiliste rakenduste jaoks tahaks siiski isotroopiat (või vähemalt võimalikult lähedast).

Võimalik on kaks lähenemisviisi, mis ei kuulu Fritzi no-go teoreemi alla. Hodonitel on kindel kuju või mitte. Esimesel juhul on soovitatud, et tasapinna regulaarse perioodilise plaatimise asemel tuleks otsida ebaregulaarset aperioodilist plaatimist, näiteks Penrose'i plaatimist.

[penroosne plaatmuster, suur arv mitut erinevat tüüpi paralleelgramme, mis võrkuvad 10-liikmeliste rühmadena, moodustades mitu 10-küljelist kujundit, ja 3-rühmad, moodustades mitu põimitavat 6-külgset kujundit
[penroosne plaatmuster, suur arv mitut erinevat tüüpi paralleelgramme, mis võrkuvad 10-liikmeliste rühmadena, moodustades mitu 10-küljelist kujundit, ja 3-rühmad, moodustades mitu põimitavat 6-külgset kujundit

Joonis 4

Ehkki välja töötatud näiteid pole saadaval, näib see paljutõotav rünnakujoon. Penrose'i plaatimise puhul on huvitav näha, et just perioodilisuse tõttu pole enam klassikaliselt sirgeid jooni. Teisel juhul on ebamäärasus võimalik väljapääs. Nagu Peter Forrest oma (1995) ja Crouse ja Skufca oma (2019) kaitsevad, on kogu mõte diskreetse ruumi konkreetsest esitusest, näiteks väikestest ruutudest üles ehitatud, põhimõtteliselt ekslik. Kui hodonil on konkreetne vorm, siis ei saa vältida küsimuste esitamist hodoni osade, näiteks selle piiri kohta, kuid see ei ole mõttekas, kui hodonid on väikseimad võimalikud ruumilised üksused. Van Bendegemis (1997) kaitstud vahepositsiooniks on kaaluda diskreetsete geomeetriate seeriat (G_ {i}), millest igaühel on kindla suurusega hodon, (h_ {i}),(h_ {i} ne h_ {j}) jaoks (i / ne j) ja lisaks on (M) ja (N) sellised, et (M / lt h_ {i} lt N) kõigi (i) jaoks. Seejärel saab seeriale rakendada ülehindamise tehnikat. See tähendab, et avaldus on tõene (vale), kui see on tõene (vale) igas geomeetrias (G_ {i}). Kõigil muudel juhtudel on see ebaselge, st mõnes tõene ja mõnes vale. Kui (A) on lause "hodonitel on suurus (alpha)" (kus (alpha) on konkreetne arv), siis pole see otsustatud, kui a vastab vähemalt ühele (Tere}). Selline lähenemisviis toob arutellu siiski kõik ebamäärasusega seotud probleemid, mis ei ole tingimata julgustav olukord. Ka sellele probleemile saab graafiku teooria raames anda originaalse vastuse.on (M) ja (N) sellised, et (M / lt h_ {i} lt N) kõigi (i) jaoks. Seejärel saab seeriale rakendada ülehindamise tehnikat. See tähendab, et avaldus on tõene (vale), kui see on tõene (vale) igas geomeetrias (G_ {i}). Kõigil muudel juhtudel on see ebaselge, st mõnes tõene ja mõnes vale. Kui (A) on lause "hodonitel on suurus (alpha)" (kus (alpha) on konkreetne arv), siis pole see otsustatud, kui a vastab vähemalt ühele (Tere}). Selline lähenemisviis toob arutellu siiski kõik ebamäärasusega seotud probleemid, mis ei ole tingimata julgustav olukord. Ka sellele probleemile saab graafiku teooria raames anda originaalse vastuse.on (M) ja (N) sellised, et (M / lt h_ {i} lt N) kõigi (i) jaoks. Seejärel saab seeriale rakendada ülehindamise tehnikat. See tähendab, et avaldus on tõene (vale), kui see on tõene (vale) igas geomeetrias (G_ {i}). Kõigil muudel juhtudel on see ebaselge, st mõnes tõene ja mõnes vale. Kui (A) on lause "hodonitel on suurus (alpha)" (kus (alpha) on konkreetne arv), siis pole see otsustatud, kui a vastab vähemalt ühele (Tere}). Selline lähenemisviis toob arutellu siiski kõik ebamäärasusega seotud probleemid, mis ei ole tingimata julgustav olukord. Ka sellele probleemile saab graafiku teooria raames anda originaalse vastuse. Seejärel saab seeriale rakendada ülehindamise tehnikat. See tähendab, et avaldus on tõene (vale), kui see on tõene (vale) igas geomeetrias (G_ {i}). Kõigil muudel juhtudel on see ebaselge, st mõnes tõene ja mõnes vale. Kui (A) on lause "hodonitel on suurus (alpha)" (kus (alpha) on konkreetne arv), siis pole see otsustatud, kui a vastab vähemalt ühele (Tere}). Selline lähenemisviis toob arutellu siiski kõik ebamäärasusega seotud probleemid, mis ei ole tingimata julgustav olukord. Ka sellele probleemile saab graafiku teooria raames anda originaalse vastuse. Seejärel saab seeriale rakendada ülehindamise tehnikat. See tähendab, et avaldus on tõene (vale), kui see on tõene (vale) igas geomeetrias (G_ {i}). Kõigil muudel juhtudel on see ebaselge, st mõnes tõene ja mõnes vale. Kui (A) on lause "hodonitel on suurus (alpha)" (kus (alpha) on konkreetne arv), siis pole see otsustatud, kui a vastab vähemalt ühele (Tere}). Selline lähenemisviis toob arutellu siiski kõik ebamäärasusega seotud probleemid, mis ei ole tingimata julgustav olukord. Ka sellele probleemile saab graafiku teooria raames anda originaalse vastuse. Kui (A) on lause "hodonitel on suurus (alpha)" (kus (alpha) on konkreetne arv), siis pole see otsustatud, kui a vastab vähemalt ühele (Tere}). Selline lähenemisviis toob arutellu siiski kõik ebamäärasusega seotud probleemid, mis ei ole tingimata julgustav olukord. Ka sellele probleemile saab graafiku teooria raames anda originaalse vastuse. Kui (A) on lause “hodonitel on suurus (alpha)” (kus (alpha) on konkreetne arv), siis pole see otsustatud, kui a vastab vähemalt ühele (Tere}). Selline lähenemisviis toob arutellu siiski kõik ebamäärasusega seotud probleemid, mis ei ole tingimata julgustav olukord. Ka sellele probleemile saab graafiku teooria raames anda originaalse vastuse.

Identifitseerimisprobleem. Oletame, et meil on täieõiguslik diskreetne geomeetria ja oletame, et asendame füüsikalise teooria klassikalise geomeetria diskreetse versiooniga. Nüüd räägime hodonitest ja kroononitest. Tekkiv „loomulik” küsimus on see, mida tuleb sellega samastada? Kujutage ette, et oleme kooskõlas Silbersteiniga natuke naiivsed ja meil oleks kiusatus samastada hodon Plancki pikkusega, (l_ {p} = 10 ^ {- 35} text {m}) ja kroononiga Planki aeg, (t_ {p} = 10 ^ {- 43} tekst {s}). Kui nüüd nõustuda sellega, et maksimaalne kiirus on üks hodon kroononi kohta, siis tuleneb sellest tuvastamisest, et maksimaalne kiirus on tõepoolest (c = 3,10 ^ {8} tekst {m / s}). (Märkus. Siin ei juhtu midagi hämmastavat, kuna klassikalises füüsikas defineeritakse (l_ {p}) kui (sqrt { hbar G / c ^ 3},) ja (t_ {p}) kui (sqrt { hbar G / c ^ 5},) nii, et oleks kohe ilmne, et (l_ {p} / t_ {p} = c). Nüüd küsige lihtsat küsimust, milline on järgmine kiirus, vahetult (c) all? Vastus peab olema: üks hormoon kahes krononis, kuid see tähendab kiirust (c / 2). Näib, et jäime kogu vahemiku (c / 2) ja (c) vahele. Väljapääs on olemas, kuid arvatakse, et “tõmblevat” liikumist peetakse võimalikuks, esteetiliselt üsna koledaks ideeks. Objekt liigutab kahte horisonti kahes krononis ja ootab siis ühte krononi ning kordab sama liigutust. Keskmine kiirus on siis (2c / 3). Üks võimalik väljapääs, mida lühidalt mainitakse jaotises 3.2, on juhuslikkuse elemendi sisseviimine struktuuri. Selle teema täieliku keerukuse hindamiseks, mis väljub pelgalt arvulistest suhetest, vaadake suurepärast ülevaadet ja arutelu Hagari (2014) kohta.

3. Diskreetsed geomeetriad kui klassikalise geomeetria generaatorid

3.1 Üldine raamistik

Nagu punktis 1 öeldud, arutame siin ettepanekuid, mis otsivad geomeetrilise teooria aluseks olevat teooriat või mudelit, nii et neist saaks tuletada klassikalisi geomeetrilisi kontseptsioone. Ilmselt tuleb olla eriti ettevaatlik, kuna pidevalt on olemas oht, et lõpmatus siseneb pildile kuskil märkamatult või märkamatult. Oletame, et tuua lihtne näide, et lubatud on ainult piiratud arvu punktide komplekt, aga ka toiming, mis genereerib mis tahes punktipaari vahel kolmanda punkti, mis erineb kõigist olemasolevatest punktidest, ja toimingu kordade arvule pole piiranguid saab rakendada, siis on meil siin ilmselgelt lõputult palju varjatud punkte. Sellise mudeli nimetamiseks diskreetseks geomeetriliseks mudeliks tundub üsna kohatu.

Samuti tuleb olla väga ettevaatlik, nt väidete osas, et kvantmehaanika käsitleb diskreetseid väärtusi, tavaliselt seoses Heisenbergi määramatuse põhimõtetega, seega on füüsika põhitasemel diskreetne teooria. See on aga äärmiselt eksitav. Piisab, kui tutvuda kvantmehaanika käsiraamatuga, et jälgida, et kasutatav matemaatika nõuab lõpmatuste täielikku kasutamist. Pole tähtis, kas kasutatakse Heisenbergi maatriksil põhinevat lähenemist, Hilberti operaatorformalismi, Schrödingeri lainevõrrandit või mõnda muud formalismi, matemaatika hõlmab integraale, tuletisi, lõpmatuid (koonduvaid) summasid, lõpmatu mõõtmega ruume jne (vt kvantmehaanika sissekannet).. Siin pole palju diskreetsust. See tähendab, et ka kvantmehaanika jaoks on diskreetse vaste leidmine tõeline probleem. Seda näitavad selgelt Gerard 't Hoofti katsed kvantmehaanikat tõeliselt diskreetselt ümber sõnastada, vt' t Hooft (2014). Huvitav on märkida, et see mõjutab selliseid teemasid nagu determinism versus indeterminism.

Ajaloolisest küljest võib Tullio Regge loomingut kahtlemata pidada esimeseks katseks välja töötada mudel, millest saaks välja töötada geomeetrilisi kontseptsioone. Algne paber pärineb aastast 1961, vt Regge (1961). Täpsemalt käsitletakse siin üldist relatiivsusteooriat (GRT). Ehkki Regge'i algne eesmärk oli konstrueerida tehnikaid GRT võrrandite lahendamiseks “rasketel” juhtudel, st kui sümmeetriat pole ja häiringuteooria pole rakendatav. Selle asemel, et GRT diferentsiaalvõrrandid erinevusvõrranditeks transkribeerida, otsis Regge tehnikat, mis viiks kokku erinevad võrrandid. Ilma kõiki üksikasju esitamata on tema lähenemisviisi põhikontseptsioon „defitsiidinurk”. GRT-s käsitleme kumeraid ruume. Võtke kahemõõtmeline kaardus pind. Kui see on tasane, siis saab selle katta kolmnurkadega. Kui see on kõver, saab seda lähendada kolmnurkadega, kuid olulise erinevusega. Oletame, et kolmnurgad kohtuvad tippudes, siis saame vaadata ühte kindlat punkti ja kõiki selles punktis kohtuvaid kolmnurki. Kui see pinnaosa on tasandatud, tekib kuskil tühimik. Sellele lüngale vastab nurk ja see on täpselt defitsiidinurk. Mida suurem on kumerus, seda suurem on defitsiidinurk. Sama meetod töötab ka neljamõõtmelise juhtumi puhul, kus kolmnurkade asemel kasutatakse simplekse. Selle lähenemisviisi ilu seisneb selles, et GRT võrrandid saab ümber kirjutada defitsiidinurkade ja simplekside servade pikkuse osas ning lahendada nende mõistete alusel. Misner jt. (1973) sisaldab peatükki (42:„Regge'i kalkulatsioon“), mis selgitab Regge'i lähenemisviisi kompaktselt ja ideaalselt juurdepääsetaval viisil.

Täna on tehtud üsna muljetavaldav hulk katseid. Enamikku neist tuleb pidada väga spekulatiivseteks, kuna need kajastavad tõeliselt praegust olukorda täies arengus. Siiski on alles hulk lähenemisviise, mis hakkavad aeglaselt välja kujunema ja mis näivad olevat elujõulised kandidaadid ning pakuvad huvi geomeetria finitistlikule vaatele (kosmoseaja osas). Tuleb märkida, et asjaomaste autorite peamine eesmärk pole mitte niivõrd geomeetria diskreetse vormi sõnastamine, vaid pigem selle kindlakstegemine, kas see või teine mudel on kvant- (välja) teooria ja GRT, seega ka kogu füüsika, niiöelda või, kui kellelegi meeldib, “Kõigi teooria”. Meie mure siin on tegelikult tagasihoidlikum:kas need mudelid räägivad meile midagi selle kohta, kuidas diskreetsed geomeetriad saab formuleerida nii, et need genereeriksid klassikalist geomeetriat? Niisiis, isegi kui füüsikud lükkaksid sellise mudeli tagasi mõjuvatel kindlatel füüsikalistel põhjustel, võib see ikkagi huvitada diskreetse geomeetria võimalikkuse küsimust.

Huggett & Wuthrich (2013a) annab kena ülevaate tänapäeva olukorrast ülejäänud komplekti osas. Väärib märkimist, et see artikkel on osa eriväljaandest Huggett & Wuthrich (2013b), mis käsitleb kosmoseaja tekkimist gravitatsiooni kvantteooriates. Kokku arutavad ja hindavad nad kuut tüüpi ettepanekuid, kuid siin käsitleme ainult kolme ettepanekut. Ülejäänud kolm on praegusel hetkel kas liiga spekulatiivsed või ei hõlma diskreetset kosmoseaega (näiteks stringiteooria ja mittekommutatiivne geomeetria). Kolm meie teema jaoks olulist lähenemisviisi on järgmised:

  • Võre ruumiaeg: see on lähedane Regge lähenemisele selles mõttes, et pidev ruum (ja aeg) asendatakse diskreetse struktuuriga, antud juhul võrega. Kui need võred on varustatud mingil kujul ilmselgelt diskreetse mõõdikuga, muutuvad ühendused pideva ja diskreetse ruumi (ja aja) vahel väga tihedaks. Järgmises osas esitatakse selline ettepanek (jättes füüsika välja),
  • Mittemeetrilised võred: kõige tuntum näide selle pealkirja all on põhjuslikud võred. Võre “punktide” seosed on põhjuslikud seosed ja see nõuab ruumi-aja struktuuri tuletamiseks palju rohkem tööd. Tegelikult on meil paljudel juhtudel no-go teoreeme selles mõttes, et diskreetsed võred „ei oma relativistlikke kosmoseaegu meenutavaid hästi käituvaid kontinuumipiire” (lk 278), „kajastades” seega juba mainitud Fritzi negatiivset tulemust (2013),
  • Silmuse kvantgravitatsioon: see teooria on üks tõsiseltvõetavatest katsetest ühendada kvant (välja) teooria ja üldine relatiivsus. Põhistruktuurid on nn kolmemõõtmelised spinnivõrgud. Kui neil võrkudel lastakse aja jooksul areneda, tekib neljamõõtmeline struktuur, nn spin-vaht, mis piirides peaks genereerima relativistliku ruumi-aja struktuuri. Siia tuleks lisada hoiatus: kuigi spinnvõrgu struktuur on sõlmede ja servade komplektiga graafi struktuur, on need sõlmed ja servad siiski tähistatud füüsiliselt tähenduslike kogustega, mis hõlmavad pidevaid struktuure nagu Lie rühmad. Üksikasjadesse süvenemata on see lühike väljavõte Reisenbergerist (1999) väga illustratiivne:

    Üldiselt kannavad spinnvõrgu servad gabariidirühma mittetriviaalseid pöördumatuid representatsioone (kordusi) ja tipud kannavad põimikuid. Tipu põimimine võib olla toote kujutise (R) mis tahes muutumatu tenor, mille moodustavad sissetulevate servade kandvate kinnituste ja väljuvate servade kahekordsete korrutiste korrutised. (lk 2047)

Hindamaks, kui kiiresti asjad selles uurimisvaldkonnas arenevad, tuleks võrrelda Huggett & Wüthrichi (2013a) ja Meschini jt. (2005), tähendas ka uuringut. Huvitaval kombel kirjeldavad Huggett ja Wüthrich oma uuringut teise uuringut täiendavana. Viimases artiklis tutvustatakse lühidalt Manfred Requardti tööd ja see on prototüüpseks näiteks, kuna see ei tutvusta asjade füüsilist poolt kohe alguses. Maitsmaks keerukamaid lähenemisviise, mis hõlmavad füüsikat juba algusest peale, vaadake Smolin (2018), kus käsitletakse ka ülalpool mainitud kvant-silmuse gravitatsiooni. Kuigi selliseid lähenemisviise, nii põhilisi kui ka keerukamaid juhtumeid, ei mainita ruumiloogikat käsitlevas kirjanduses,sellest hoolimata on nende kahe vahelised ühendused väga sügavad ja tihedad ning neid tuleb kindlasti lähemalt uurida.

3.2 Prototüüpne näide, kasutades graafikuid

Lähtepunkt on diskreetne graaf (G = / langle N, C / rangle), mis koosneb sõlmede hulgast (N), (n_ {i}) ja hulgast (C) ühendused, (c_ {ij}), nii et ükski sõlm pole iseenesest ühendatud ning sõlmedel (n_ {i}) ja (n_ {j}) on maksimaalselt üks ühendus. Kõige ilmsem tundub, kuidas määratleda kaugusfunktsiooni, ja peaaegu kõigis ettepanekutes järgitakse seda strateegiat (sarnaselt jaotises 2.5 pakutud määratlustele):

(D (n_ {i}, n_ {j})) = väikseim ühenduste arv, mis viivad (n_ {i}) (n_ {j}).

On lihtne näha, kas kaugusfunktsiooni klassikalised omadused on täidetud:

  • (D (n_i, n_i) = 0,)
  • (D (n_i, n_j) = D (n_j, n_i),)
  • (D (n_i, n_j) + D (n_j, n_k) ge D (n_i, n_k).)

Esmapilgul pole üldse selge, kuidas edasi liikuda, kuid kui lugeda (n_ {i}) ja (c_ {ij}) omamoodi vektorina, siis võib lineaarsed kombinatsioonid olla moodustatud, kus (f_ {i}) ja (g_ {ij}) on nt naturaal- või ratsionaalarvud:

[f = / sum_i f_i n_i / quad / mbox {ja} quad g = / sum_ {ik} g_ {ik} c_ {ik}.)

Neid kahte avaldist saab lugeda funktsioonidena funktsioonides (n_ {i}) ja (c_ {ij}). Nüüd on vaja sõlmede ja ühenduste vahelist seost, nii et sisestage spetsiaalne funktsioon (d):

[d: n_i / parempoolne nool / sum_k c_ {ik}.)

On üsna huvitav näha, mis juhtub, kui laiendame funktsiooni (d) lineaarselt, nii et seda saab kasutada suvaliste funktsioonide jaoks (f):

[df = / sum_i f_i / sum_k c_ {ik}.)

Kui nüüd sätestame, et (c_ {ik} = -c_ {ki}) (mingi vektorvõrrandina, väites, et ühendustel on suund), saab ülaltoodud avalduse ümber kirjutada järgmiselt (võtke arvesse, et, kuna silmuseid pole lubatud, (c_ {ii} = 0)):

[df = / frac {1} {2} sum_ {ik} (f_k-f_i) c_ {ik})

Kuigi sellest väljendist (df) on veel kaugel, on sellel juba mõned toredad omadused, mis tuletab meelde funktsiooni (f) tuletist:

  • See on lineaarne: (d (f + g) = df + dg),
  • Kui (f) on konstantne funktsioon selles mõttes, et igal sõlmel (f_ {i}) on sama väärtus, siis on kohe, et (df) konstandi (f) jaoks on 0,
  • Kui (f) on selline, et kahes otseselt seotud sõlmes (n_ {i}) ja (n_ {i + 1}), (f_ {i + 1}) = (f_ {i } + 1), see tähendab, et (f (i) = i), siis (df) on 1, kus 1 on funktsioon, mida tähistab (sum_i n_i). Nii et identiteedifunktsiooni tuletis on konstantfunktsioon 1.

Nagu ülaltoodud määratluste abil on lihtne kontrollida, ei õnnestu tootereeglit, st (d (f / cdot g)) ei võrdu (df / cdot g + f / cdot dg).

Niisiis on teatud määral võimalik konstrueerida arvutusliku algvormi eraldiseisvad graafikud. “Õigete” vastaste leidmiseks on vaja pisut leidlikkust ja loomingulist mõtlemist, kuid see lihtne näide näitab, et diskreetsest graafikust võib tuletada üsna palju struktuuri. Neid on tegelikult rohkem. Diskreetsed graafikud võimaldavad mõnusat lahendust mõõtmeprobleemile, mida mainiti jaotises 2.5. See on idee ligikaudne ülevaade:

Mõelge sõlmele (n_ {i}), siis (U_ {1}) on sõlmede kogum (n_ {j}) selliselt, et (D (n_ {i}, n_ {j}) = 1), st (U_ {1}) koondab (n_ {i}) lähimad naabrid. Samuti võime määratleda (U_ {2}) sõlmede kogumina (n_ {k}) selliselt, et (D (n_ {i}, n_ {k})) on maksimaalselt 2. See sellest järeldub, et (U_ {n} subseteq U_ {n + 1}) ja nii saamegi sisestusruumi (n_ {i}) naabruskonnas. Kui mõõdetakse dimensiooni naabruskondade „kasvu” mõõdupuuna, saab mõõdet määratleda järgmiselt:

) mbox {Dim} = / lim_ {m / rightarrow / infty} frac { ln / lvert U_m / rvert} { ln m})

Selle määratluse üks huvitavaid omadusi on see, et see ei pea olema kogu graafiku osas ühtlane, sest kõik sõltub algsõlme (n_ {i}) valikust. Kuid juhul, kui graafik on piisavalt ühtlane, on mõõt konstant. Lisaks, kui võtta klassikaline juhtum, näiteks kolmemõõtmeline Eukleidese ruum, vastavad mõõtmed. Oletame, et meil on graafikuna tavaline võre, siis on konkreetses sõlmes lähimate naabrite (U_ {1}) hulgana kuup, mis koosneb (3 ^ {3} = 27) punktist ja naabrusest (U_ {m}) loendab ((m + 2) ^ {3}) sõlme. Seetõttu

) mbox {Dim} = / lim_ {m / rightarrow / infty} frac { ln (m + 2) ^ 3} { ln m} quad / mbox {või} quad / mbox {Dim} = / lim_ {m / rightarrow / infty} 3 / cdot / frac { ln (m + 2)} { ln m})

Kuna (m) jaoks on piisavalt suur, (frac { ln (m + 2)} { ln m}) ligikaudne 1, järeldub, et (mbox {Dim} = 3). See näitab, et diskreetsetest graafikutest lähtudes oleme saanud dimensiooni mõiste laienduse. Võib-olla on täheldanud, et seda tüüpi määratlused on üsna sarnased mõnele fraktaalkujutiste mõõtmete määratlemiseks kasutatud määratlusele.

Lisaks võimaldavad diskreetsed graafikud käsitleda ka anisotroopiaprobleeme. Mis tahes privilegeeritud suundade vältimiseks piisab juhuslikkuse elemendi lisamisest võrku, näiteks võttes keskmisi ühendatud sõlmede komplekti kohta. Ebaregulaarse plaatimise skeemi või ebamäärasuse sissejuhatusega on siin selgelt sarnasusi, kuid oluline erinevus on selles, et statistilisi ja tõenäosuslikke mõisteid mõistetakse (üsna) hästi, samas kui plaatimisprobleem on, nagu mainitud, avatud probleem ja ebamäärasus jääb endiselt kurikuulsalt keeruline kontseptsioon haarata (vt selle entsüklopeedia sissekannet ebamäärasuse kohta).

3.3 Erijuhtum: kombinatoorne hierarhia

Oleks viga arvata, et erinevad ülalnimetatud katsed moodustavad kuidagi täieliku kataloogi, mis võimaldab kõiki võimalikke lähenemisviise klassifitseerida. Selles lõigus on selline eksootiline näide, nimelt. lühidalt on esitatud kombinatoorne hierarhia. Selles lähenemisviisis ei keskenduta mitte füüsika enda võrranditele, vaid nendes esinevatele füüsikalistele konstantidele, nagu näiteks valguse kiirus (c), Plancki konstant (h), elektronide mass (m_ {e}) jne. Kuna need väärtused on tingimata piiritletud, tasub uurida, kas finitistlik lähenemisviis seletab, miks nendel konstantidel on väärtused, mis neil juhtuvad olema. Selliseid lähenemisviise nimetatakse mõnikord “numbrimängudeks”.

Lubage mul tuua üks väga lihtne näide. Alustades universumist, mis koosneb piiratud arvust bittidest, st 0 või 1, võetakse kasutusele põhioperatsioon, nimelt „diskrimineerimise” tegemiseks. Selle toimingu väljendamiseks on vaja veel ühte toimingut: lisamoodul 2: (0 + 0 = 1 + 1 = 0) ja (0 + 1 = 1 + 0 = 1). Kui tulemus on 0, siis summa elemente ei eristata, muidu nad on. Vaadake nüüd komplekte, mis sisaldavad 0 ja / või 1, ja nii, et kui kaks elementi on eristatavad, kuulub see element ka komplekti. Selliseid komplekte on täpselt 3 ((= 2 ^ {2} -1)): ({0 }, {1 }) ja ({0,1 }). Kui neid 3 elementi võetakse nüüd 0 ja 1 asemel uue alusena, näitab nutikas konstruktsioon, et 7 ((= 2 ^ {3} -1)) sellised komplektid on olemas ja järgmises etapis 127 ((= 2 ^ {7} -1)) hüppab. Nüüd (3 + 7 + 127 = 137) ja see arv on lähedane elektromagnetilise sidumise konstandile.

Selle programmi edu on olnud üsna tagasihoidlik, kuna need mudelid ei ühenda hõlpsalt olemasolevate füüsikaliste teooriatega. Selle programmi iseseisva esitluse leiate artiklist Bastin & Kilmister (1995). AS Eddingtoni tööga on väga tugev sarnasus. Pole üllatav, et Eddingtoni teose tema põhiteooria kohta on kirjutanud Kilmister (1994).

3.4 Kas see võib olla empiiriline probleem?

Siiani oleme uurinud mitmeid diskreetse geomeetria kui klassikalise geomeetria vastaseid teoreetilisi võimalusi. Arvestades eelmistes lõikudes käsitletud näiteid, näib olulisus füüsika jaoks ilmne. Ehkki võib tekkida kiusatus arvata, et ruumi ja / või aja diskreetsus on puhtalt teoreetiline küsimus, on siiski intrigeeriv küsimus, kas küsimus võib olla ka empiiriline. Konkreetsemalt, kas on mõeldav, et kuidagi saaksime kavandada eksperimendi, mille tulemuseks oleks kas ruum on diskreetne või et ruum on pidev? See võib tunduda tõesti kaugelt vaadatuna, kuid sellegipoolest on asi juhtinud filosoofide tähelepanu ja tõesti on välja pakutud konkreetne eksperiment, ehkki eksperimendi läbiviimiseks vajalikud asjaolud pole praegu paraku teostatavad.

On üsna huvitav näha, et juba 1961. aastal soovitas Paul Feyerabend sellist võimalust. Kuid palju rohkem ei öelda, nagu

praeguse olukorra keerukus näib seisnevat selles, et puuduvad matemaatika diskreetsed alternatiivid, mida praegu füüsikas kasutatakse. (1961: 160)

Sama huvitav on asjaolu, et ka Feyerabend mainib tavaargumenti, et Pythagorase teoreemi puudumine on tõeline probleem. Tema ettepanek on selline

peame vaid eeldama, et eri suundades tehtavad mõõtmised ei pendelda; ja siis võib-olla suudame säilitada teoreemi operaatori võrrandina. (1961: 161)

Ka siin ei öelda kahjuks midagi enamat. Peter Forrest (1995) väidab, et selline eksperiment on võimalik. Põhiline põhjus on see, et klassikaline matemaatika kasutab pidevaid muutujaid, samas kui range finitistlik matemaatika kasutab diskreetseid muutujaid. Seega tuleb diferentseerumiseks ja integreerimiseks leida lõplikud analoogid. Need lähendavad klassikalist juhtumit, kuid ei kattu sellega kunagi. Seetõttu esinevad alati väikesed erinevused ja ei saa välistada, et need võiksid olla tuvastatavad.

Üks selline avastamisvõimalus on seotud järgmise kurioosse nähtusega. Võtke diferentsiaalvõrrand, (df / dx = ax (1 - x)). Selle lahendamine on lihtne ülesanne ja leitakse väga kena pidev lahendus, samas kui diskreetse juhtumi jaoks võetakse vastav erinevusvõrrand, (delta / delta x = ax (1 - x)), sõltuvalt parameetri (a) väärtusest, põhjustab funktsiooni (f) käitumine kaootilisi efekte, mis pideval juhul puuduvad. Vt Van Bendegem (2000) ja Welti (1987: 516–518). Sellise eksperimendi tulemus ei oleks nii selge, kui tahetakse, kuid kaootiliste mõjude jälgimine tähendab, et ruum on diskreetne, samas kui kaootiliste mõjude puudumine tähendab, et kas ruum on pidev või on hodonid palju väiksemad, kui me ette kujutasime. Praegu ei ole edasistest edusammudest teatatud.

Selles lemmas on mitu korda märgitud, et erinevad teadlased, kellel on erinevad kavatsused ja eesmärgid ning erineva taustaga teadlased, on pakkunud või pakuvad võrdselt erinevaid ideid diskreetse geomeetria kui klassikalise geomeetria alternatiivi kohta. Paljud autorid ei pea tingimata esitama enam-vähem terviklikke teooriaid, vaid piirduvad ettepanekute tegemise ja mõne konkreetse idee uurimisega. Neid ettekandeid tuleb pidada inspiratsiooniallikateks täieõigusliku teooria otsimisel. Mõned näited: Hahn (1934), Biser (1941), Coish (1959), Ahmavaara (1965a, b), Finkelstein (1969) (see on esimene viiest sama pealkirjaga ajakirjast samas ajakirjas)., Dadić ja Pisk (1979), Finkelstein & Rodriguez (1986), Meessen (1989), Buot (1989), kui nimetada vaid mõnda neist. Ajavahemikul 1925–1936Kragh ja Carazza (1994) on suurepärane ülevaade, mis näitab, et paljud füüsikud mängisid ringi finitistlike ideedega.

4. Mida tuleb järgmisena teha?

Esimene ülesanne, mis tuleb täita, näib üsna sirgjooneline: võtke mõni siin esitatud ettepanek ja töötage see välja täieõiguslikuks geomeetriaks. Siis on võimalik võrrelda näiteks mainitud Hilberti aksiomatiseerimisega. Teine ülesanne näib olevat üsna keelav: kasutades seda diskreetset geomeetriat, näidake, kuidas füüsikat teha. Üldiselt on see tõepoolest tohutu ettevõtmine, kuid on kaks võimalikku viisi. Esimene tee on näidata, et see lähenemisviis töötab näiteks klassikalise mehaanika jaoks. Kui see õnnestub, loetakse see kindlasti peamiseks argumendiks diskreetsete ettepanekute kasuks. Nagu juhtub, on juba tehtud mõned väga olulised tööd, milleks me vajame, klassikalise mehaanika täielikult vormindatud versioon, mitte õpikute versioonid, mis jätavad paljud asjad mainimata,kuid see võib osutuda aluseks oleva geomeetria jaoks otsustavaks. Sellised versioonid on praegu olemas, vt nt Ax (1978), Andréka jt. (2008), Benda (2008), vaid mõne näite jaoks. Nagu juhtub, hõlmab üks varasemaid versioone Patrick Suppes, vt McKinsey, Sugar & Suppes (1953). Seega näib ettevõte olevat tõeline võimalus. Teine võimalus on uurida QFT ja GRT ühendamise otsimisel tehtavaid alusuuringuid. Veel mõned aastad tagasi oli see kõik väga spekulatiivne, täna on ilmumas mõni tõsine võistleja ja neid tasub jälgida. Nagu öeldud, nii matemaatilisel kui ka füüsilisel tasandil on vaja teha tohutult palju tööd. Tõenäoliselt on parim viis tänapäevase olukorra iseloomustamiseks seda, et mõnele "kuulsale" vastuväitele geomeetria diskreetsele või finitistlikule lähenemisele on (osaliselt) vastatud ja et on esitatud hulgaliselt matemaatilisi, füüsikalisi ja filosoofilisi ettepanekuid ja ideid ning osalised mudelid on välja töötatud või on väljatöötamisel. Teisisõnu on täidetud tingimused, mis teevad selle uurimisprogrammi jätkamise huvitavaks.

Bibliograafia

  • Ahmavaara, Yrjo, 1965a, “Kosmose struktuur ja relativistliku kvantväljavälja teooria formalism I.”, ajakiri Mathematical Physics, 6 (1): 87–93.
  • –––, 1965b, “Ruumi struktuur ja relativistliku kvantväljavälja teooria formalism II.”, Journal of Mathematical Physics, 6 (2): 220–227.
  • Aiello, M., I. Pratt-Hartmann ja J. van Benthem (toim), 2007, Ruumiloogika käsiraamat, New York: Springer.
  • Andréka, H., JX Madarász, I. Németi ja G. Seékely, 2008, “Relativistliku dünaamika aksiomatiseerimine ilma säilitusppostulaatideta”, Studia Logica, 89 (2): 163–186.
  • Ax, J., 1978, “Kosmoseaja põhialused”, Füüsika alused, 8: 507–546.
  • Bastin, T. & CW Kilmister, 1995, kombinatoorne füüsika, Singapur: World Scientific.
  • Benda, T., 2008, “Kosmoseaja kollektori ametlik konstrueerimine”, Journal of Philosophical Logic, 37 (5): 441–478.
  • Biser, E., 1941, “Diskreetne reaalne ruum”, ajakiri Filosoofia, 38 (suvi): 518–524
  • Borwein, J. & K. Devlin, 2009, Arvuti kui tiiglis. Sissejuhatus eksperimentaalsesse matemaatikasse, Wellesley: AK Peters.
  • Bridges, D. & F. Richman, 1987, Konstruktiivse matemaatika variandid, Cambridge: Cambridge University Press (LMS loengute seeria 97).
  • Buot, FA, 1989, “Diskreetne faas-ruumi mudel kvantmehaanika jaoks”, M. Kafatos (toim), Belli teoreem, kvantteooria ja universumi kontseptsioonid, Dordrecht: Kluwer, lk 159–162.
  • Chou SC, XS Gao ja JZ Zhang, 1994, Masinaproovid geomeetrias, Singapur: World Scientific.
  • Coish, HR, 1959, “Elementaarsed osakesed piiratud maailma geomeetrias”, Physical Review, 114: 383–388.
  • Crouse, D. & J. Skufca, 2019, “Relativistlik aja laienemine ja pikkuse kokkutõmbumine diskreetses ruumi-ajas modifitseeritud vahemaa valemi abil”, Logique et Analyze, 62 (246): 177–223.
  • Dadić, I. ja K. Pisk, 1979, “Diskreetse kosmose struktuuri dünaamika”, Teoreetilise füüsika rahvusvaheline ajakiri, 18 (5): 345–358.
  • Danielsson, N., 2002, Aksiomaatiline diskreetne geomeetria, London: Imperial College. (Lõputöö esitatud kõrgtehnoloogia magistrikraadile).
  • Feyerabend, P., 1961, “Kommentaarid Grünbaumi„ Füüsikalise teooria seaduse ja konventsiooni”kohta”, H. Feigl ja G. Maxwell (toim.), Teadusfilosoofia praegused küsimused, New York: Holt, Rinehart ja Winston, lk 155–161.
  • Finkelstein, D., 1969, “Kosmose-aja kood”, Physical Review, 184: 1261–1279.
  • Finkelstein, D. & Rodriguez, E., 1986, “Kvantiline aeg-ruum ja gravitatsioon”, R. Penrose & CJ Isham (toim), Quantum Concepts in Space and Time, Oxford: Oxford University Press, lk 247 - 254.
  • Forrest, P., 1995, “Kas ruumi-aeg on diskreetne või pidev? - Empiiriline küsimus”, Synthese, 103: 327–354.
  • Franklin, J., 2017, “Diskreetne ja pidev: fundamentaalne dihhotoomia matemaatikas”. Journal of Humanistic Mathematics, 7 (2): 355–378.
  • Fritz, T., 2013, “Perioodiliste graafikute kiiruspolütopeedid ja digitaalfüüsika no-go teoreem”, Diskreetne matemaatika 313: 1289–1301.
  • Hagar, A., 2014, diskreetne või pidev? Põhipikkuse otsimine moodsa füüsika alal, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Hahn, H., 1980, [1934], “Kas lõpmatu on olemas?”, B. Mcguinness (toim), Hans Hahn: Empirism, loogika ja matemaatika, Dordrecht: Reidel, lk 103–131 (algselt avaldatud 1934).
  • Hjelmslev, JT, 1923, Die Natürliche Geometrie, Hamburg: Gremmer & Kröger (faksi väljaanne: hardpress.net, 2008).
  • Huggett, N. & C. Wuthrich, 2013a, „Emergent spacetime and empirical (in) koherents“, Uuringud ajaloo ja teadusfilosoofia B osas: Uuringud moodsa füüsika ajaloos ja filosoofias, 44 (3): 276–285.
  • ––– (toim.), 2013b, „Eriväljaanne: Kosmoseaja tekkimine gravitatsioonikvantteooriatesse“, ajaloo ja teaduse filosoofia uuringud, B osa: Tänapäevase füüsika ajaloo ja filosoofia uuringud, 44 (3): 273 –364.
  • Järnefelt, G., 1951, “Refleksioonid eukleidilise geomeetria lõplikul lähendamisel: füüsikalised ja astronoomilised väljavaated”, Annales Academiae Scientiarum Fennicae, A-seeria, I. Mathematica-Physica, 96: 1–43.
  • Kilmister, CW, 1994, Eddingtoni põhiteooria otsing: võtme universumis, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Kragh, H. ja B. Carazza, 1994, “Aja aatomitest ruumi-aja kvantiseerimiseni: diskreetse aja idee, ca 1925–1936”, uurimused ajaloo ja teaduse filosoofia kohta, 25 (3): 437–. 462.
  • Kulpa, Z., 1979, “Diskreetsete ringide, rõngaste ja ketaste omadustest”, arvutigraafika ja piltide töötlemine, 10: 348–365.
  • Kustaanheimo, P., 1951, “Märkus eukleidilise tasapinna geomeetria lõpliku lähendamise kohta”, Societas Scientiarum Fennica. Kommentaarid Physico-Mathematicae, 15/19: 1–11.
  • Lyons, BC, 2017, “Plancki pikkuse kohaldatavus Zenole, Kalamile ja loomingule Ex Nihilo”, Philosophia Christi, 19 (1): 171–180.
  • McKinsey, JCC, AC Sugar ja P. Suppes, 1953, “Klassikalise osakeste mehaanika aksiomaatilised alused”, Rational Mechanics and Analysis, 2 (2): 253–272.
  • Meessen, A., 1989, "Kas on loogiliselt võimalik üldistada füüsikat ruumi-aja kvantimise abil?" osades P. Weingartner ja G. Schurz (toim), Philosophie der Naturwissenschaften. Akten des 13. Internationalen Wittgensteins Symposium, Viin: Hölder-Pichler-Tempsky, lk 19–47.
  • Meschini, D., M. Lehto ja J. Philonen, 2005, “Geomeetria, pregeomeetria ja muud”, moodsa füüsika ajaloo ja filosoofia uuringud, 36 (3) 435–464.
  • Misner, CW, KS Thorne ja JA Wheeler, 1973, gravitatsioon, San Francisco: WH Freeman.
  • Moore, AW, 1993, Infinity, Aldershot: Dartmouth.
  • Regge, T., 1961, “Üldrelatiivsus ilma koordinaatideta”, Nuovo Cimento, 19: 558–571.
  • Reisenberger MP, 1999, “On relativistlikud spinnivõrgu tipud”, Journal of Mathematical Physics, 40 (4): 2046–2054.
  • Reisler, DL & NM Smith, 1969, Geomeetria lõpliku välja kohal, Fort Belvoir, VA: Kaitsetehnilise teabe keskus. (Täistekst:
  • Rovelli, C., 2016, tegelikkus pole see, mis talle tundub. Teekond kvantgravitatsiooni, New York: Penguin. (Tõlkinud Simon Carnell ja Erica Segre, originaal avaldatud 2014. aastal).
  • Silberstein, L., 1936, diskreetne kosmoseaeg. Toronto McLennani laboratooriumis viiest loengust koosnev kursus: Toronto University Press.
  • Simpson, Stephen G. (toim), 2005, Reverse Mathematics 2001: Loengu märkused logikas 21, sümboolse loogika ühendus.
  • Smolin, L., 2018, “Mis meil kvantgravitatsiooni otsimisel puudu on?”, J. Kouneiher (toim), Matemaatika ja füüsika alused ühe sajandi möödumisel Hilbertist, New York: Springer, lk 287–304.
  • Smyth, MB & J. Webster, 2007, “Diskreetsed ruumimudelid”, Aiello, Pratt-Hartmann ja van Benthem 2007: 713–798.
  • Sorabji, R., 1983, Aeg, loomine ja kontinuum, London: Duckworth.
  • Stillwell, J., 2016, Matemaatika elemendid. Euclidist Gödelini, Princeton: Princeton University Press.
  • Suppes, P., 2001, “Finitism geomeetrias”, Erkenntnis, 54: 133–144.
  • Hoof, G., 2014, “Diskreetsete süsteemide kvantmehaanika seostamine standardse kanoonilise kvantmehaanikaga”, Füüsika alused, 44: 406–425.
  • Van Bendegem, JP, 1987, “Zeno paradoksid ja Weyl Tile'i argument”, teadusfilosoofia, 54 (2): 295–302.
  • –––, 1997, “Diskreetse ruumi ja aja kaitsmisel”, Logique et Analyze, 38 (150–152): 127–150.
  • ––– 2000, “Kuidas öelda pidevat diskreetselt”, François Beets ja Eric Gillet (toim), Logique en Perspective. Mélanges pakub à Paul Gochet. Brüssel: Ousia, lk 501–511.
  • Welti, E., 1987, Die Philosophie des strikten Finitismus. Entwicklungstheoretische und mateische Untersuchungen über Unendlichkeitsbegriffe in Ideengeschichte and heutiger Mathematik, Bern: Peter Lang.
  • Weyl, H., 1949, matemaatika ja loodusteaduste filosoofia, Princeton: Princeton University Press.
  • White, MJ, 1992, pidev ja diskreetne. Muistsed füüsikalised teooriad kaasaegsest vaatenurgast, Oxford: Clarendon Press.

Akadeemilised tööriistad

sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon
info ikoon
Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon
phil paberite ikoon
Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

  • Requardt, M., 1995, “Diskreetne matemaatika ja füüsika Plancki skaalal”, käsikiri on saadaval saidil arXiv.org.
  • Van Bendegem, JP, 2019, “Range finitismi annoteeritud bibliograafia”, käimasolev regulaarselt ajakohastatav bibliograafia.