Geomeetria Epistemoloogia

Sisukord:

Geomeetria Epistemoloogia
Geomeetria Epistemoloogia
Anonim

Sisenemise navigeerimine

  • Sissesõidu sisu
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Sõprade PDF-i eelvaade
  • Teave autori ja tsitaadi kohta
  • Tagasi üles

Geomeetria epistemoloogia

Esmakordselt avaldatud esmaspäeval 14. oktoobril 2013; sisuline redaktsioon esmaspäeval, 31. juulil 2017

Geomeetrilised teadmised hõlmavad tavaliselt kahte tüüpi asju: definitsioonides, teoreemides ja geomeetriasüsteemi tõendustes sisalduvaid teoreetilisi või abstraktseid teadmisi; ja mõned teadmised välismaailmast, nagu väljendatakse geomeetriasüsteemist võetud terminites. Arvesse tuleb võtta ka abstraktse geomeetria ja selle praktilise väljenduse vahelise seose olemust.

See essee leiab erinevaid teooriaid geomeetria, nende põhjused arusaadavuse, kehtivuse ja füüsilise interpreteeritavad perioodil suuresti enne tulekuga teooriaid eri- ja üldrelatiivsusteooria on 20 th sajandil. Selgub, et keerukas lühi- ja sirgjooneline koosmõju on töös mitmel etapil.

Enne 19 th sajandi ainult üks geomeetria uuriti igal sügavusel või arvatavasti täpne või täpne kirjeldus füüsilise ruumi, ja see oli Eukleidese geomeetria. 19 th sajandi ise nägin rikkalike uus geomeetriaga, millest tähtsaimad olid Projektiivinen geomeetria ja mitte-eukleidiline või hüperboolse geomeetria. Projektiivseks geomeetriaks võib pidada eukleidilise geomeetria mittemeetriliste ja formaalsete külgede süvendamist; mitte-eukleidiline geomeetria kui väljakutse selle mõõdikutele ja tagajärgedele. 20. sajandi algusekssajandil oli välja pakutud erinevaid Riemannian diferentsiaalgeomeetriaid, mis andsid range ülevaate mitte-eukleidilistest geomeetriast. Olulisi edusamme tehti ka abstraktsete geomeetriate valdkonnas, nagu näiteks David Hilbert. Sellest järeldub, et mõisted "geomeetria" ja "füüsilise ruumi" ei ole lihtne tähendused 19 th sajandi ja muutuvate arusaamade need tingimused ei järgi lihtne muster täpsustamist. Nende suhetel on seetõttu ka keeruline ajalugu.

  • 1. Epistemoloogilised probleemid Euclidi geomeetrias

  • 2. Epistemoloogilised küsimused rakendusgeomeetrias

    2.1 Mehaanika mõjud

  • 3. Projektiivne geomeetria

    • 3.1 koordinaatide teisendused; Kleini geomeetria
    • 3.2 Hilbert ja teised aksiomaatilise projektiivse geomeetria kohta
  • 4. Mitte-eukleidiline geomeetria

  • 5. Riemannian geomeetria

    • 5.1 Geodeesia ja ühendused
    • 5.2 Riemann ja Beltrami ning range mitteeuklidiline geomeetria

  • 6. Mitte-Eukliidse geomeetria arusaadavus

    • 6.1 Herbarti filosoofia
    • 6.2 Helmholtz ja Poincaré
    • 6.3 Poincaré versus Russell
  • 7. Lõppmärkused
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Muud Interneti-ressursid
  • Seotud kirjed

1. Epistemoloogilised probleemid Euclidi geomeetrias

Eukleidi esitatud geomeetria üksikasjalik uurimine paljastab mitmeid probleeme. Väärib arvestades nende üsna üksikasjalikult, sest akadeemilistele veenev staatuse Euclid 's Elements oli vaidlustamata peaaegu kõik kuni hiljem aastakümnete 19 th sajandil. Nende probleemide seas on peamiseks probleemiks selguse puudumine sirgjoone ja tasapinna määratlustes ning segadus lühima ja sirgeima kui põhilise geomeetrilise omaduse vahel. (Vt Heathi väljaandes Euclid's Elements kogutud arvukaid kommentaare.) Paralleelse postulaadi mõjusid käsitletakse eraldi, vt jaotist Eukleidese geomeetria kohta.

Esimesed neli Eukleidi elementide raamatut käsitlevad sirgjooni ja ringjooni, kuid on hästi teada, et sirge mõiste määratlus on kõige ebarahuldavam. Joont väidetakse olevat "laiusetut pikkust" ja sirgjoont kui joont, mis "paikneb ühtlaselt punktidega iseendas". See võib aidata lugejaid veenda, et neil on ühine arusaam sirgjoonest, kuid sellest pole kasu, kui teooria loomisel tekivad ootamatud raskused - nagu näeme edaspidi.

Neile, kes otsustasid elemente hoolikalt lugeda ja vaadata, kuidas olulisi termineid kasutatakse, ilmnes, et konto on mõnes mõttes märkimisväärselt põhjalik ja teistes vigane. Sirgjooned tekivad peaaegu alati piiratud lõikudena, mida saab määramata ajaks pikendada, kuid nagu märkisid paljud kommentaatorid, kuigi Euclid väitis, et on olemas kahte punkti ühendav segment, ei öelnud ta sõnaselgelt, et see segment on ainulaadne. See on puudus esimese kongruentsuse teoreemi (I.4) tõestuses, mis ütleb, et kui kahel kolmnurgal on kaks paari külgi võrdsed ja kaasnev nurk on võrdne, siis on kolmnurkade ülejäänud küljed võrdsed.

Teoreem I.4 on huvitav muul viisil. Teoreem I.2 sisaldab põhjalikku ega ole mingil juhul ilmne tõend selle kohta, et antud joonelõiku tasapinnas võib täpselt kopeerida selle ühe otsapunktiga mis tahes tasapinna ettenähtud punktis. Teoreem I.4 nõuab nõuetekohaselt tõendit selle kohta, et ka nurka võib kopeerida täpselt suvalises punktis, kuid seda Euklid ei saa selles etapis pakkuda (üks on toodud jaotises I.23, mis aga põhineb neil varasematel tulemustel). Seetõttu väitis ta, et ühte kolmnurka võib kopeerida täpselt suvalises asendis, mis paneb imestama, miks I.2-le sellist hoolt kanti. Tegelikult pidi kogu figuuride liikumise kontseptsioon saama araabia / islami ajal pikaleveninud aruteluteemaks. (deduktsiooni kohta Euclidis vt Mueller 1981).

Elementide I raamatu usutav lugemine seisneb selles, et sirgjoonena võib mõista suunda, nii et igas punktis on sirgjoon igas punktis ja konkreetses punktis on ainult üks sirg antud suunas. Paralleelne postulaat ütleb siis, et jooned, mis ületavad antud joone võrdsete nurkade all, osutavad samas suunas ja ei vasta. Kuid seda tuleb käsitleda tõlgendusena ja selle täpsustamiseks on vaja üsna palju tööd.

Suund on sellegipoolest usutavam kandidaat kui kaugus; Euclid ei alustanud mõttega, et kahte erinevat punkti ühendav sirgjoon on neid ühendav lühim kõver. Elementide asjakohane primitiivne kontseptsioon on segmentide, näiteks antud ringi kõigi raadiuste, võrdsus. Euclid väitis ühise mõttena 4, et kui kaks segmenti saab kokku langeda, siis on nad võrdsed ja (tülikas I.4) kasutas ta vastupidist, et kui kaks segmenti on võrdsed, saab need kokku langeda. Segmendid on sellised, et kumbki on teisest väiksem või on nad võrdsed. I.20 näitas Euclid, et "mis tahes kolmnurgas on kaks külge, mis tahes viisil kokku võetud, suurem kui ülejäänud." See tulemus on tuntud kui kolmnurga ebavõrdsus,ja on veel pikk tee tõestamaks, et kahte erinevat punkti ühendav joonelõik on nende punktide kaudu lühim kõver. Kui paralleelne postulaat on kasutusele võetud, näitas Euclid, et rööpküliku vastasküljed on võrdsed ja seega on paralleelsete joonte vaheline kaugus konstantne.

Kuid ka elementidel on veel üks nõrkus, mida tasub samuti tähele panna, ehkki see juhtis vähem tähelepanu, ja see on lennuki olemus. Tasapinnal on veel üks ebastandardne määratlus, mis on ilmselgelt modelleeritud joonele: „tasapind on pind, mis asetseb ühtlaselt sirgjoontega iseenesest” (ja mis pole üllatav, „pind on selline, millel on ainult pikkus ja laius”). Pärast seda pole esimeses neljas raamatus sõna "lennuk" mainitud, ehkki need käsitlevad üksnes tasapinna geomeetriat. Kui Euclid pöördus IX raamatus kindla geomeetria poole, alustas ta kolme teoreemiga, näidates järjestikku, et sirge ei saa paikneda osaliselt tasapinnas ja osaliselt mitte, et kui kaks sirget sirget lõikavad üksteist, siis nad asuvad tasapinnas ja iga kolmnurk asub lennuk ja kui kaks lennukit kohtuvad, teevad nad seda järjest. Kuid,võib öelda, et ta väidab vaid neid tulemusi ja teeb need usutavaks, sest ta ei saa oma lennuki määratlust ühegi neist tõestamiseks kasutada. Need moodustavad aga järgmise teoreemi aluse: tasapinna suvalises punktis on tasapind risti ja kõik antud punktiga risti olevad jooned antud punktis moodustavad tasapinna.

I.4 on jällegi problemaatiline. Mõelge redutseerimise absurdi jaoks, et ühel on kaks kolmnurka: (ABC) ja (A'BC) nende ühise aluse (BC) ühel küljel ja sellised, et (BA = BA ') ja (CA = CA'). Selle eesmärk on näidata, et tipud (A) ja (A ') langevad kokku, ja sel juhul peab Gauss täheldama (avaldamata märkused, vt Gauss Werke 8, 193) kasutama seda, et kolmnurgad asuvad samas tasapinnas. Vajalik on lennuki hea määratlus, mis võimaldaks seda tulemust tõestada.

Ütleme nii, et puhtalt sünteetiline geomeetria on selline, mis käsitleb selliseid primitiivseid mõisteid nagu sirgjooned ja tasapinnad sarnaselt ülaltooduga. See tähendab, et põhimõtteliseks peetakse sirgjoone sirgjoonelisust ja tasapinda ning apelleeritakse äsja kirjeldatud sagedusomadustele. See on vastupidav ideele võtta kaugus kui põhikontseptsioon või ideele asendada geomeetrias olevad avaldused avaldustega numbrite kohta (ütleme näiteks koordinaatidena), ehkki sellele püstitatud geomeetria koordineerimine pole vaenulik.

Ütleme nüüd ka, et meetriline geomeetria on selline, kus vahemaa on primitiivne mõiste, nii et võib öelda, et joonesegmentidel on sama pikkus, kokkusurutud kujunditel on vastavad küljed võrdse pikkusega ja geomeetrilised teisendused säilitavad pikkusi. Samuti võime lubada, et sarnasused on lubatud: need on teisendused, mis annavad arvude koopiad. (Eukleidi elementide ükski teoreem ei sõltu kujundi tegelikust suurusest: mis tahes ühe kujundi suhtes kehtiv teoreem kehtib kõigi selle skaala eksemplaride korral.)

Elementaarses geomeetrias liikuti tänapäevases läänes segadusse teel, et muuta kaugus esmaseks primitiivseks kontseptsiooniks, säilitades samal ajal Eukleidese rõhuasetusel sirgjooneliselt, segades sellega sageli erinevate mõistete mõjusid. Silmapaistvaks näiteks selle produktiivsusest oli John Wallisi argument paralleelse postulaadi kaitsmiseks (antud loenguna 1665 ja avaldatud Wallis 1693). Nagu ta mõistis, toetas see võimalust teha kolmnurgast meelevaldseid koopiaid ja see näib olevat esimene kord, kui nende kahe süsteemi vahel samaväärsust tunnistati:

  1. Eukleidi elemendid
  2. Lisatud on Eukleidi elemendid, kus paralleelne postulaat on eemaldatud ja eeldus, et eksisteerivad suvalised sarnased joonised.

Encylopédie Méthodique'is (1784: vol. 2, 132) määratles d'Alembert geomeetriat kui teadust, mis õpetab meid teadma kehade ulatust, asukohta ja tugevust. Ta jätkas, et selle põhimõtted põhinevad nii ilmsetel tõdedel, et neid pole võimalik vaidlustada. Sirge (kõvera tähenduses) on ühemõõtmeline ja lühim, kahte punkti ühendav joon on sirgjoon. Paralleeljooned on jooned, mida nad kunagi pikendavad, kuid ei vasta kunagi, kuna nad asuvad kõikjal võrdsel kaugusel.

Joseph Fourier võttis arutelus Mongega põhimõtteliseks ka distantsi kontseptsiooni, kuid ta alustas kolmemõõtmelise ruumiga. Seejärel määratles ta järjestikuse kera, tasapinna (kahest punktist võrdselt asuvate punktidena) ja joone (kolmest punktist võrdselt asuvate punktidena). See andis talle vähemalt definitsioonid nendest varasematest murettekitavatest mõistetest (vt Bonola 1912, 54).

Adrien-Marie Legendre oli matemaatik, kes mõistis elementide didaktilisi eesmärke, kuid mitte nende algset sõnastust. Ta kirjutas mitu erinevat versiooni oma Éléments de géométrie (1794), et taastada eukleidiline rangus geomeetria õpetamisel, mida tema arvates rikkusid tekstid, näiteks Clairaut (1741), mis tugines mõistetele enesetõendamine. Need, nagu ta pidi tunnistama, erinevad suuresti nende ebaõnnestunud katsetest tuletada paralleelset postulaati.

Kõigis neis väljaannetes võttis Legendre kindlalt meetrilise vaatepunkti. Tema esimese väljaande avadefinitsioon kuulutas, et “geomeetria on teadus, mille objektiks on ulatuse mõõt”. Tema sõnul on ulatusel kolm mõõdet, pikkus ja laius ning kõrgus; sirge on pikkus ilma laiuseta, selle jäsemeid nimetatakse punktideks ja punktil pole seega ulatust. Sirge on lühim tee ühest punktist teise; pindadel on pikkus ja laius, kuid ei kõrgust ega sügavust; ja tasapind on pind, mille korral, kui kaks suvalist punkti on ühendatud sirgjoonega, asub see joon täielikult pinnas.

Seejärel asus Legendre tõestama elementide teoreeme koos mõne tulemusega, mida Euclid eelistas eeldada, näiteks (Legendre'i esimene tulemus): kõik kaks täisnurka on võrdsed. Tema teoreem 3 tõestas, et kahte erinevat punkti ühendav joon on ainulaadne (selle olemasolu on vaikimisi eeldatud sirgjoone määratluse tagajärjel). Igas väljaandes järgitakse tuttavaid kokkusobivuse teoreeme, kuni paralleelset postulaati ei saanud enam tähelepanuta jätta. Kui paralleelsete joonte olemasolu oli kindel, näitas Legendre, et need olid võrdsel kaugusel.

Tegelikult polnud Legendre'i katsed taastada elementaargeomeetria käsitlemise rangust paremaks kui Euclid ja mõnes mõttes ka halvem mitte ainult seetõttu, et tema katsed paralleelset postulaati tõestada ebaõnnestusid, vaid ka seetõttu, et ta smugeldas oma kontole rohkem, kui ta arvas.. Kuid selle peamine tähtsus praegusel eesmärgil on see, et see illustreerib katset maandada elementaarset geomeetriat distantsi kontseptsiooni abil või pigem, täpsemalt öeldes mõttega, et sirge on selle punktide vahelise lühima kõvera kõver. Kaugus ise pole määratletud.

Kokkuvõtteks: tol ajal oleks mõistlik seisukoht olnud, et maja korrastamiseks on vaja meetrilist geomeetriat, ja tõenäoliselt ei saaks ta seda teha, kui pookida kauguse kontseptsioon Eukleidi elementide järgi modelleeritud konstruktsioonile. See on traditsioonilise geomeetria jaoks ebamugav positsioon ja see võib olla avatanud inimeste meele alternatiivide võimalustele. Kindlasti pidi toota kaks. Üks, projektiivne geomeetria, võimendas ja täiustas geomeetria sünteetilist külge. Teine, mitte-eukleidiline geomeetria oli uus ja väljakutseid pakkuv meetriline geomeetria. Kuid enne neile vaatamist pöördume tänapäevaste geomeetriafilosoofiliste arutelude poole.

2. Epistemoloogilised küsimused rakendusgeomeetrias

Kasulik on liialdus lihtsustatult väita, et umbes 1800. aastal oli seisukoht, et on üks füüsiline ruum (universum) ja seda ruumi kirjeldab geomeetria Euclidi elementides, mis oli ainus kandidaat selliseks ülesandeks. Vaidlused puudutasid selle geomeetria täpset esitamist ja selle täpset rakendamist füüsilises maailmas. Geomeetriaga seotud teadmiste olemus oli ka mõne arutelu küsimus.

Locke (vt sissekannet Locke'i kohta) võttis aristotelese traditsiooni alt välja idee, et Eukleidese geomeetria ja ratsionaalne teoloogia on teaduslike teadmiste eeskuju, kuid püüdis oma filosoofiat põhjendada intuitiivsete, tutvustavate ja tundlike teadmistega. Intuitiivne teadmine on see, millest hakatakse kohe aru saama; demonstratiivsed teadmised kasutavad tõestuse vaheetappe, nagu ka geomeetrias. Mõlemad teadmiste vormid on kindlad. Tundlik teadmine pole kindel: see on see, mida me oma meelte kaudu õpime, see avaldab mõju, kuid mitte põhjuseid, on parimal juhul osaline ja võib olla petlik. Kuid kuna Locke põhjendas teatud teadmisi essentside tundmisega, mida ta tundis igavesti meie eest varjatud, oli ta sunnitud kaitsma seda nõrgemat teadmiste vormi, mis sobib inimeste teadmistega. Ruumi võib käsitada koosnevana objektide kõigist (tegelikest ja võimalikest) positsioonidest; puhas ruum on ruum, millest on eemaldatud kõik tahked kehad, ja eraldage primitiivne mõiste, mida me kasutame kehade eraldamise arutamiseks.

Oma essees inimmõistmise kohta (1690) kinnitas Locke seda

Kui me tunneme end meeleavalduse täieliku turvalisusega, et kolmnurga kolm nurka on võrdsed kahe parempoolsega, siis mida me rohkem mõistame, kui võrdsus kahe paremaga on tingimata nõus ja lahutamatu kolmnurga kolm nurka? (Essee IV.i.2)

ja hiljem seda

… parempoolse äärega kolmnurga idee kannab tingimata selle nurkade võrdsust kahe parempoolsega. Samuti ei saa me ette kujutada seda suhet, nende kahe idee seost, et see võib olla muutlik või sõltuda suvalisest võimust, kes selle valikul kas tegi või võiks teisiti teha. (Essee IV.iii.29, lk 559–560)

Vastavate objektide tundlikel teadmistel ei võiks aga kunagi olla seda kindlust ja kuna meie teadmised tulenevad meie teadmistest objektide kohta, siis näib, et teadused kosmose kohta on meie geomeetria teadmistest erinevat laadi. Seega andis Eukleidese geomeetria Locke'i jaoks ühte tüüpi teadmisi ning kogemus ja teaduslik eksperiment teist. Võib tõesti öelda, et epistemoloogiline lõhe püsib filosoofias tänapäevani empiiriliste ja a priori teadmiste eristamise vormis, mida endiselt laialt tunnustatakse.

Olukord Hume'iga on keerulisem, kuid ka vaieldamatult selgem, kuna lünka käsitletakse otse. Oma teoses „Inimloomuse traktaat” (1739–1740) kaitses ta aritmeetika ja algebra kindlust, kuid hoidis seda geomeetriast põhjusel, et meie teadmised punktidest ja joontest on olemuselt ebatäpsed. Eukleidese geomeetria tõed ei olnud tõed maailma kohta, vaid abstraktses süsteemis ja jääksid tõeks, kui maailmas poleks ühtegi kuju, mis vastaks nende eukleidilistele vastetele. Mõistetakse võrdselgeliste kolmnurkade teoreemi, mis kinnitab kahel võrdse nurga all oleva kolmnurga kahe külje võrdsust, soovitas Hume väidetena, et antud olukorras on kolmnurga kaks külge ligilähedaselt võrdsed, ja tõlgendatud seda viisil väide on kindel (vt Badici 2011 ja de Pierris 2012).

Kanti metafüüsikas (vt tema kriitika puhast mõistust (1781/1787) ja kandes Kanti vaated ruumile ja ajale) on olukord jälle keerukam või keerukam. Kant tutvustas a priori teadmiste mõistet erinevalt tagantjärele ja sünteetilisi teadmisi erinevalt analüütilistest teadmistest, et võimaldada teadmiste olemasolu, mis ei tuginenud kogemustele (ja olid seega a priori), kuid ei olnud oma olemuselt tautoloogilised (ja seetõttu sünteetiline ja mitte analüütiline). Analüütilised väited on a priori, a priori mitteanalüütiliste väidete vaieldav klass sisaldab neid, mis teisiti ei saa olla ja pakuvad seega teatud teadmisi. Nende hulgas on eukleidiline geomeetria; Kant omistas kosmoseteadmistele sünteetilise a priori staatuse. Samuti omistas ta kindluse Eukleidese geomeetriale. Aga kirjutas Kant,ei tea filosoof, et kolmnurga nurkade summa on kaks täisnurka, see on matemaatik, sest matemaatik teeb konkreetse konstruktsiooni, mis muudab väite tõestuse tõestatavaks (vt Critique, A 716, B 744).

Prantsuse filosoofiate hulgas oli domineeriv positsioon 1770-ndatel Carteaasia seisukoht, mis, nagu näitas Clairaut 'film Élémens de géométrie (1741), oli võib-olla liiga selgelt naiivne oma nõudmises selgete ja vahetute ideede järele. D'Alemberti positsioon oli tema artiklites Encylopédie Méthodique (1784) keerukam. Geomeetria objekte tuleb mõista nii, et need võetaks kehadest iga kvaliteediga vastu, välja arvatud läbitavuse, jagatavuse ja kujundusega ulatused. Nende objektide hulgas on jooned, millel puudub laius, ja pinnad, millel puudub sügavus. Geomeetria objektide kohta paika pandud tõed on puhtalt abstraktsed ja hüpoteetilised, sest näiteks täiusliku ringina pole sellist asja olemas. Näidatud omadused võivad tegelikke ringe hoida ainult siis, kui tegelik objekt läheneb täiusliku ringi olekule,

Need on mingis mõttes piir ja kui nii öelda, siis füüsiliste tõdede asümptot - mõiste nende objektide kohta, mis lähenevad nii lähedalt, kui keegi soovib, ilma et kunagi selleni täpselt jõuaks. (vt Encylopédie Méthodique II, 132)

Kui aga matemaatilised teoreemid oma olemuselt täpselt ei kehti, teenivad need teoreemid praktikas vähemalt piisava täpsusega. Et neid saaks täie rangusega demonstreerida, tuleb neid pidada kehade hoidmiseks abstraktses täiuslikkuses, mis neil tegelikult puudub.

Geomeetrias uuritud kõverad ei ole ideaalselt sirged ega ka perfektselt kõverdatud, pinnad ei ole ideaalselt tasased ega ka ideaalselt kaardus, kuid mida lähemal need on, seda lähemale lähenevad need omadused, millel on need omadused, mida saab tõestada sirgete või kõverjoonte kohta ja täpselt tasapinnaliste või kõverate pindadega.

Need mõtisklused, jätkas d'Alembert, on piisavad selleks, et ümber lükata skeptikud, kes kurdavad, et geomeetrilisi objekte tegelikult ei eksisteeri, ja teised matemaatikat mitteteadvad teadlased, kes peavad seda kasutuks ja mõttetuks mänguks.

Seetõttu näib, et filosoofid ei leidnud Euclidi elementidest probleeme, kuid Hume, d'Alembert ja teised empiirilise veendumuse teostajad vaidlustasid teooriate rakendatavuse põhjendusega, et geomeetria objektidel ei pruugi maailmas olla ühtegi vastavat objekti.. Filosoofid, kes on avatumad laias valikus teatud teadmistele (nagu näiteks Kant), võiksid anda geomeetrilistele teoreemidele a priori tõdede staatuse, mis ei saa olla teistsugune kui nad on.

2.1 Mehaanika mõjud

Füüsiline ruum oli Euclidi elementide ja Cartesiuse koordineeritud kolmemõõtmelise geomeetria ruumi naiivne, kolmemõõtmeline versioon, ja just nii oli Newton seda oma Principia Mathematica (1687) käsitlenud. See oli mõeldud neutraalseks areeniks, millel ei olnud oma omadusi, mida tungisid läbi mitmesugused jõud, mis loodi füüsiliste kehade poolt ja mis omakorda mõjutasid neid. Neist peamine oli gravitatsioonijõud, mida matemaatikud kartesia traditsioonis pidasid selle kehtestamisel salapäraseks, isegi vastuvõetamatuks kontseptsiooniks, kuid mis 19. sajandi algusekssajandi oli Laplace näidanud, et suudab hästi toime tulla kõigi Päikesesüsteemi teadaolevate liikumistega. Selle tagajärjel oli gravitatsioon muutunud loomulikuks, primitiivseks kontseptsiooniks, mis ei vaja enam täiendavat selgitamist, ja pärast 1800. aastat oli uute magnetilisuse ja elektrienergia teooriate kallal töötanud inimestel mõistlik neid käsitada jõududena ja vajadusel modelleerida., Newtoni gravitatsioonil.

Füüsikalist ruumi, nagu Newton kirjeldas oma Principias, tuleb uurida liikudes liikumises olevate kehade vaatlustest üksteise suhtes ja suvalise kella abil ajaliselt vastavale tegelikule liikumisele absoluutses ruumis ja ajas. Nagu Newton ütles oma esimese Scholiumi lõpus, oli tema traktaadi eesmärk näidata

kuidas tõelisi liikumisi nende põhjuste, tagajärgede ja ilmsete erinevuste põhjal kindlaks teha, ja vastupidi, kuidas tõeliste või nähtavate liikumiste põhjal kindlaks teha nende põhjused ja tagajärjed.

Oli selgelt kahtlemata Newtoni meelt Eukleidese milline füüsilise ruumi ja tõepoolest tundub olevat mingit kahtlust seas astronoomid 17 th sajandi ruum oli kirjeldatav tingimustes kasutatud Euclid 's Elements. Samuti on tõenäoline, et Newtoni füüsika eeliste kasvav tunnustamine kinnistas usku, et ruum on kolmemõõtmeline, homogeenne, isotroopne ja seda tuleb kirjeldada justkui lõpmatu koordinaatide ruudustikuna, näites seega teoreeme - kui mitte just elementide määratlused.

Newtoni loodud füüsilise ruumi geomeetriliste aspektide hulgas on ka tema esimese seaduse väide:

Iga keha säilib puhkeolekus või ühtlaselt sirgjooneliselt edasi liikudes, välja arvatud juhul, kui ta on sunnitud oma olekut muutma mõjutatud jõudude abil.

Selle tulemuseks on ka see, et homogeenne sfääriline tahke aine avaldab teistele kehadele samasugust gravitatsioonilist mõju nagu keha keskpunkti kontsentreeritud võrdne mass. See tähendab, et sellised kehad käituvad viisil, mis on tõenäoline ja mitte ainult ligikaudselt sama, mis punktmassid. Sel viisil omandavad punktid ja jooned tema dünaamika teoorias füüsilise tähtsuse.

Just Laplace esitas tugevaima argumendi öeldes, et füüsiline ruum järgib Eukleidese geomeetriat. Oma 1796. aasta ekspositsioonis du système du monde (vt V raamat, ptk V, lk 472) lisas ta huvitava märkuse (tsiteeritud Bonola 1912: 54) öelda, et

Geomeetrite katsed tõestada Euclidi postulaati paralleelidel on siiani olnud mõttetud. Keegi ei saa aga selles postulaadis ja teoreemides, mida Euclid sellest järeldas, kahelda. Seega hõlmab ruumi mõiste ka iseenesestmõistetavat eripära, ilma milleta pole paralleelide omadusi võimalik rangelt kindlaks teha. Piiritletud piirkonna, näiteks ringi idee ei sisalda midagi, mis sõltub selle absoluutsest suurusjärgust. Kuid kui me kujutame ette selle raadiuse vähenevat, siis tuuakse meid kahtlemata selle ümbermõõdu ja kõigi kirjutatud kujundite külgede suhtega võrdselt. See proportsionaalsus näib mulle loomulikuma postulaadina kui Euclidil ja väärib märkimist, et see avastatakse universaalse gravitatsiooni teooria tulemustes uuesti.

See sarnaneb silmatorkavalt enam kui sajandit varem valitsenud Wallise vaatega, ehkki Laplace ei maininud Walliset ega pruukinud olla teadlik tema arutelust paralleelse postulaadi üle.

Seetõttu oli umbes 1800. aasta paiku tõepoolest tõsi, et probleemid eukleidilise geomeetria tõesusväidetega olid meie välismaailma tundmise üldiste probleemide hulgas. Usaldus filosoofiliste ja teaduslike ringkondade vastu eukleidilise geomeetria kehtivuse kohta iseenesest oli kõrge.

3. Projektiivne geomeetria

Arvates paljud 19 th sajandi Eukleidese geomeetria kaotanud oma põhilisi staatuse geomeetria, mis oli pidada üldisemaid: Projektiivinen geomeetria. (Sissejuhatuseks geomeetriasse 19. sajandilsajandit, vt Hall 2011. Projektiivset geomeetriat kirjeldatakse sissekandes XIX sajandi geomeetria, vt ka erinevate autorite esseesid ajakirjas Bioesmat-Martagon 2011.) Projektiivsel geomeetrial on oma põhiprobleem, mis on sarnane Eukleidese geomeetria kauguse probleemiga, mis puudutab ristsuhte kontseptsiooni ja peame järgima samme, et luua iseseisva subjektina projektiivne geomeetria, määratleda ristsuhe selles seadistuses ja lahendada tõstatatud epistemoloogilised probleemid (saavutus Kleini Erlangeni programmiga seotud)). Samuti näeme, et projektiivse geomeetria kasv loob aluse Hilberti geomeetria aksiomatiseerimiseks.

Projektiivtasandi geomeetriale andis erilise tõuke Jean Victor Ponceleti 1822. aasta raamat Traité des propriétés projectives des figuurid, kus ta näitas projektiivsete meetodite jõudu mittemeetrilise geomeetria provokatiivse sõnastuse all. Uue geomeetria põhiolemus seisneb selles, et võib mõelda sirgjoone lihtsamate omaduste hõivamisele - kaks eraldiseisvat punkti määratlevad ainulaadse joone, kaks eraldiseisvat joont kohtuvad maksimaalselt ühes punktis, jättes kõrvale maatriksi mõiste kaugus ja nurk.

Chasles (1837) kirjutas Ponceleti väited tasapinna ümberkujundamise kohta, mis joonistas read joonteks, rangemal viisil, rõhutades ristsuhte muutumatust. Nelja punkti (A), (B), (C), (D) sirgjoonelise ristsuhe on määratletud kui (AB {.} CD \ mathbin {/} AD {.} CB) ja kui punktid on projektiivse teisenduse abil kaardistatud vastavalt vastavalt (A '), (B'), (C '), (D'), siis

[AB {.} CD \ mathbin {/} AD {.} CB = A'B '{.} C'D' \ mathbin {/} A'D '{.} C'B'.)

See aga jättis subjekti ebamugavasse olukorda, mis näib olevat üldisem kui Eukleidese geomeetria, kuna Eukleidese mehaanilised muundumised on projektiivsed muundumised, kuid mitte vastupidi, näib siiski tuginevat selle põhimõttelise invarianti määratlemisel metrilisele kontseptsioonile.

Selle probleemiga tegeles 1840. ja 1850. aastatel Georg Karl Christian von Staudt. Tema kaks raamatut (1847, 1856–1860) üritasid anda aluse projektiivsele geomeetriale, mis tegi sellest autonoomse subjekti, mis oli sõltumatu Eukleidese geomeetriast. Neid oli raske lugeda ja nad olid mitmes mõttes ebatäiuslikud, kuid range teooria loomise ülesannet võis esmakordselt pidada juba alustatud ülesande täitmiseks. Von Staudt väitis, et tasapinnalise projektiivse geomeetria teisendused võivad kaardistada iga kollineaarsete punktide kolmnurga mis tahes teisega ja punktide neljakordse (mitte kolm neist ei olnud kollineaarsed) ühegi teisega, kuid mitte kollageensete punktide neljakordistusega teise. Seejärel tegi ta üksikasjaliku uuringu kollageensete nelinurkade kohta. Ta tegi ka lühikesi märkusi selle kohta, kuidas eukleidilist geomeetriat oleks võimalik saada projektiivse geomeetria abil,ja nende põhjal oli näha, et tema kolineaarsete nelinurkade teooria taandus ristisuhte tuttavaks teooriaks kohe, kui projektiivsele geomeetriale lisati eukleidiline kauguse mõiste. Klein tegi selle ülevaate 1870. aastate alguses paljudes dokumentides selgeks ja selgesõnaliseks. Esimene loetav projektiivse geomeetria õpik ja see, mis sellele oma nime pani, oli Cremona 1873. aasta Elementi di geometria projettiva ja pärast seda tõusis subjekt kiiresti klassikalise geomeetria põhialuseks.ja see, mis sellele oma nime andis, oli Cremona 1873. aasta Elementi di geometria projettiva ja pärast seda tõusis subjekt kiiresti kiiresti põhiliseks klassikaliseks geomeetriaks.ja see, mis sellele oma nime andis, oli Cremona 1873. aasta Elementi di geometria projettiva ja pärast seda tõusis subjekt kiiresti kiiresti põhiliseks klassikaliseks geomeetriaks.

Selle põhimõisteteks olid ruumid, mis olid (mathbb {R} ^ 3) rikastatud lõpmatuseni sageli tasapinnaks nimetatud punktidega, joontega ja tasapindadega, nii et kõik kaks tasapinnalist joont vastaksid. Enne teooria aksiomatiseerimist 19. sajandi lõpus olid punkt, joon ja tasapind määratlemata mõisted, intuitiivse tõlgendusega, mis võimaldas hõlpsalt liikuda projektiivse ja eukleidilise geomeetria vahel. Geomeetriakaardi lubatud teisendused osutavad punktidele, jooned joontele ja tasapinnad tasapindadele ja säilitavad ristsuhte. Need toimivad ruumis transitiivselt, nii et ükski punkt, joon ega tasapind pole eriline ja seetõttu võib ruumi mis tahes piiritletud osas paralleelsed jooned kaardistada ristuvate joontega ja vastupidi.

Projektilise geomeetria õnnestumine piirdus sünteetilises vormis suuresti lihtsustusega, mille ta tõi kooniliste uurimisele - kõik mittedegenereerunud koonused (ring, ellips, parabool ja hüperbool) on projitseerivalt ekvivalentsed. Projektiivne geomeetria osutus oma algebralises vormis peaaegu hädavajalikuks mis tahes astme algebraliste kõverate uurimisel ja laiendatud kõrgemate mõõtmetega projektiivruumidele algebraliste pindade uurimisel. Kõik see aitas kaasa mittemeetrilisele geomeetriale omistatud keskse tähtsuse saavutamisele, mis põhineb pisut rohkem kui sirgjoonel ja joonte ning tasapindade sagedusomadustel.

Projektiivsel geomeetrial oli ka üks hämmastav omadus, mida nimetatakse duaalsuseks ja mida Cremona pidas loogikaseaduseks. Projektiivtasapinnalises geomeetrias on võimalik vahetada termineid 'punkt' ja 'joon', 'juhuslik' ja 'samaaegne' ning sel viisil vahetada kehtivaid avaldusi. Selle tulemusel on kõigil projektiivse geomeetria definitsioonidel, teoreemidel ja tõenditel kahetine märk. Näiteks Desargues 'teoreemi väite ja selle tõestuse kahetine on teoreemi ja selle tõestuse vastupidine külg. Kolmes mõõtmes saab termineid "punkt" ja "lennuk" vahetada samal viisil ja jooni vahetada teiste liinidega. See tõstatab intrigeeriva epistemoloogilise küsimuse: punktidest koosnevat ruumi on lihtne ette kujutada, kuid seda on võimatu intuitiivselt käsitleda joontest koosnevana. Halvemaks muutmiseksruum on kolmemõõtmeline, kui seda peetakse punktidest koosnevaks, kuid neljamõõtmeline, kui see koosneb sirgedest.

3.1 koordinaatide teisendused; Kleini geomeetria

Kleini Erlangeni programm ja see, mis on saanud tuntuks kui Kleini geomeetriavaade, on kirjeldatud sissekandes XIX sajandi geomeetria. On peetud peamiseks allikaks arvamusele, et geomeetriat saab defineerida kui ruumi mõjutavat rühma ja geomeetriline omadus on mis tahes omadus, mis on muutumatu kõigis vastava rühma teisendustes.

Klein propageeris seda seisukohta pamfletis, mis avaldati, kui temast sai 1872. aastal Erlangeni ülikooli professor, ja 1870. aastatel muudes ajakirjade väljaannetes geomeetria taasühendamiseks. Ta esitas viisi, kuidas näidata, et metrilisi geomeetriaid, nagu eukleidiline ja mitte-eukleidiline geomeetria, ja muid geomeetriaid, nagu näiteks pöörduv geomeetria ja bioloogiline geomeetria, võib pidada projektiivse geomeetria erijuhtudeks (nagu ka afiinset geomeetriat, mida ta ei teinud) teada 1872. aastal).

Põhiline geomeetria oli tõeline projektiivne geomeetria, ütleme kahes mõõtmes. Selles geomeetrias on ruum reaalne projektiivruum ja rühm on kõigi projektiivsete teisenduste rühm. See rühm kaardistab punkte, jooni joontega, kraadi kõveraid (n) kraadide kõveratega (n) ja mis kõige tähtsam - kõigi koloreaarsete punktide ristisuhe jäetakse iga projektiivse teisenduse korral muutmata. Kleiniini vaatepunktist selgub, et punktid, jooned, kraadi kõverad (n) ja nelja kolineaarse punkti ristisuhe on geomeetria omadused.

Projektiivne geomeetria ühendas teisi geomeetriaid mitmel viisil. Klein teatas, et võib proovida lisada konfiguratsioonide loendit, sel juhul on neid muutumatuna hoidev rühm tavaliselt põhirühmast väiksem või võib rühma laiendada, sel juhul muutumatute konfiguratsioonide klass üldiselt kahaneb. Kleinil õnnestus alles hiljuti näidata, et mitte-eukleidiline geomeetria tekib alageomeetriana, piirdudes tähelepanu projektiivses ruumis asuva koonuse sisemusega ja alamrühmaga, mis kaardistab selle koonuse sisemuse iseendaga (vt Klein 1871, 1873)..

Kleini Erlangeni programmi epistemoloogiline iseloom saab selgemaks, kui vaadata, kuidas see lahendas tuntud naggingi kahtluse ristsuhte määratlemisel projektiivses geomeetrias. Kleini vastus kulges analoogselt pikkuste järgi eukleidilises või mitteeuklidilises geomeetrias. Nendes geomeetriates säilitab vastav rühm sirgjooni ja iga punkti saab kaardistada mis tahes teise punktiga, kuid rühmas ei toimu muundamist, mis suudaks joonelõigu kaardistada enda õigeks alamsegmendiks. Igasugust suvalist, kuid fikseeritud joonelõiku võib seetõttu pidada pikkuse ühikuks ja seda võib kasutada joonelõikude mõõtmiseks, konstrueerides selle suvalisi kordseid ja alamkordajaid ning korraldades need joonlauaks. Nüüd mõõta segmendi (AB) pikkust,lihtsalt pannakse punkt (A) joonlaua ühte otsa ja vaadatakse, kuhu punkt (B) joonlauale langeb.

Kleini arusaam von Staudti järel oli, et täpselt sarnast argumenti, mis hõlmab kollineaarsete punktide neljakordistumist, saab kasutada ristsuhte määratlemiseks projektiivses geomeetrias. Projektiivrühm säilitab sirgjooned ja iga kollineaarsete punktide järjestatud kolmiku saab kaardistada mis tahes järjestatud kollageensete punktide kolmnurgaga ning kaart, mis saadab antud järjestatud eraldiseisvate punktide kolmnurga teise järjekorraga eraldatud punktidest kolmnurgaga, on ainulaadne, kuid siiski on olemas rühmas ei toimu ühtegi teisendust, mis suudaks kaardistada neljast kollineaarsest punktist koosneva nelinurga suvalise nelinurgaga. Igasugust suvalist, kuid fikseeritud kollineaarset nelinurka võib seetõttu pidada suuruse ühikuks ning keeruline, kuid mitte keeruline argument võimaldab selle suvaliste korrutuste ja alamkordsete moodustamiseks kasutada ristmõjusid, korraldades ühe oleks valitseja. Üksikasjade esitamise asemel on parem anda see soovituslik illustratsioon selle kohta, miks seda teha saab. Mõõdetakse nelja kolineaarse punkti (P), (Q), (R), (S) ristisuhet, kaardistades punktid punktidele (A), (B), (C), (D) reaalsel real, kus (A) on lähtepunktis, (C) on (infty) ja (D) 1 juures, seega määrab ristsuhte (B) asukoht. See on kordumatu ja kui (AB) pikkus on (x), leiame, et (AB {.} CD \ mathbin {/} AD {.} CB = x).nii et ristisuhet määrab (B) positsioon. See on kordumatu ja kui (AB) pikkus on (x), leiame, et (AB {.} CD \ mathbin {/} AD {.} CB = x).nii et ristisuhet määrab (B) positsioon. See on kordumatu ja kui (AB) pikkus on (x), leiame, et (AB {.} CD \ mathbin {/} AD {.} CB = x).

Tolle aja keeles on pikkus eukleidiliste või mitte-eukleidiliste rühmade kahepunktiline invariant ja ristisuhe on projektiivse rühma neljapunktiline invariant.

3.2 Hilbert ja teised aksiomaatilise projektiivse geomeetria kohta

Probleemid mõned tehnilised küsimused Projektiivinen geomeetria ja kvaliteedi tõstmine rangus lõpus 19 th sajandi tekitanud katsed axiomatise teema. Ülesanne viidi kõige energeetiliselt poolt Pieri Peano ja mitmete teiste Itaalia geometers teises pooles 19 th sajandi ja nad õnnestus anda range arvesse tegelikke ja keerulised Projektiivinen geomeetria kahes ja kolmes mõõtmes (vt Marchisotto ja Smith 2007). Kuid samal ajal õnnestus neil õppeaine vähendada geomeetriaõpetajate range koolitusega ja nad ei hinnanud nende poolt avatud uurimisvõimalusi. Aksioomaatilise lähenemisviisi taaselustamiseks geomeetriast jäeti David Hilbertile (vt Hallett ja Majer 2004).

Hilbertit on elementaarse projektiivse geomeetria osas tutvustatud mitmetes vaidlustes, mis puudutasid seda, mis annab tulemuseks selle, millised seaded tähendavad muid tulemusi. Kõige märkimisväärsem oli Desarguesi teoreem. Kolmemõõtmelises projektiivses geomeetrias on Desarguesi teoreem ainult esinemissageduste aksioomide tagajärg, kuid see on teoreem projektiivtasandi punktide ja joonte kohta (ja nii kahemõõtmelises geomeetrias), kuid keegi polnud seda suutnud tuletada kahemõõtmelise projektiivse geomeetria sagedusaksioomidest. Tuli kahtlustada, et seda ei saa ainuüksi nendest aksioomidest järeldada ning Giuseppe Peano suutis näidata, et tõepoolest ei saa seda mingite täiendavate eeldusteta järeldada. Iseseisvalt,Hilbert tõi ka näite geomeetria kohta, mis vastab kahemõõtmelise projektiivse geomeetria kõigile esinemissageduste aksioomidele, kuid milles Desarguesi teoreem oli vale. Hiljem asendati see lihtsama näitega, mille leidis ameerika matemaatik ja astronoom FR Moulton kõigist hilisematest Hilberti raamatu Grundlagen der Geometrie (1899) väljaannetest.

Aksomaatilises geomeetrias, mille Hilbert esitas, pole põhiobjektid (punktid, jooned, tasapinnad) määratletud. Selle asemel täpsustas Hilbert, kuidas neid saab kasutada ja mida nende kohta öelda saab. Ta esitas viis aksioomide perekonda, mis on järjestatud vastavalt nende poolt kasutatud või kodifitseeritud mõistetele. Seejärel lõi ta mitmesuguseid aksioomide süsteemidele vastavaid geomeetriaid ja kehtestas nende järjepidevuse, andes neile koordinaadid sobivate rõngaste ja väljade vahel - sageli lubavad tema geomeetriad paljusid tõlgendusi või mudeleid. See andis nendele geomeetriatele kogu aritmeetika järjepidevuse ja viis Hilberti huvi katsete suhtes aritmeetika maandamiseks mingis vormis komplekti teooria ja loogika järgi.

Hilberti lähenemine õitses, kuna ta oli mõistnud, et seal on aksioomide matemaatika, uuritud erinevaid, kuid omavahel seotud aksioomiskeeme ja nende mõjusid. Poincaré aktsepteeris Hilberti raamatu ülevaates (1902) uusi geomeetriaid kehtivatena, kuid avaldas kahetsust, et need, nagu ta ütles, olid puudulikud, kuna neil puudus psühholoogiline komponent. Selle all mõtles ta, et neid ei saa mahutada tema selgitusse, kuidas meil on teadmisi füüsilise ruumi geomeetria kohta, kuna neid ei olnud võimalik sünnipäraselt omandada.

4. Mitte-eukleidiline geomeetria

Paralleelse postulaadi uurimine algas Kreeka ajal, jätkus islamimaailmas ja viidi läbi varajases kaasaegses läänes. Kuid endiselt ebaselgetel põhjustel on pärast umbes 1800. aastat inimestel lihtsam ette kujutada, et Eukleidi elemendid ei pruugi olla ainus võimalik meetrilise geomeetria süsteem. Tegurite hulgas, mis aitavad selgitada, kuidas mõeldamatu sai mõeldavaks ka väljaspool matemaatikute kogukonda, oli teoreemide kogunemine, mis põhines muudel eeldustel kui paralleelsel postulaadil. Näib, et sellise radikaalse oletuse uudsete, järjepidevate tagajärgede tootmine ja vasturääkimise leidmata jätmine sundis mõnd inimest mõtlema, kas tõesti võib Eukleidese omast erineda terve geomeetria.

Selle nihke signaalnäide on õigusteaduskonna professor FK Schweikart, kes saatis 1818. aastal Gaussi Marburgi ülikoolis töötava kolleegi Gerlingi kaudu Gaussi konto, mille geomeetria oli Euclidist üsna erinev. Schweikarti geomeetriat aktsepteeris Gauss, kes vastas, et uue geomeetria kõik omadused saab tuletada, kui Schweikarti kontole ilmunud konstandi väärtus on antud. Kuid mida Gauss aktsepteeris ja mis alustel, on vähem selge. Gauss oli juba leidnud tõrke Eukleidese elementide mitme kaitse osas ja aastate möödudes oli ta täiesti kindel, et on olemas uus, kahemõõtmeline geomeetria, mis erineb Eukleidese tasandi geomeetriast. Seda geomeetriat võiks kirjeldada valemitega, mis tema arvates oleksid sarnased sfäärilise geomeetriaga. Kuid ta ei kirjeldanud seda tüüpi kolmemõõtmelist geomeetriat, jättes lahtiseks võimaluse, et kahemõõtmeline geomeetria oli mingisugune formaalne, mõttetu veidrus. Teisest küljest tegi ta Besseliga kirjavahetuses selgeks, et ta ei saa omistada eukleidilisele geomeetriale kindlust, mille ta andis aritmeetikale, mis oli a priori, ning nii tema kui Bessel hoidsid avatud võimalust, et kosmose astronoomilised piirkonnad võivad ebaõnnestuda. ole eukleidiline.

Kosmose esimeste täiesti matemaatiliste kirjelduste (va Euclid) esimeste täielikult matemaatiliste kirjelduste eest tuleb seetõttu iseseisvalt minna János Bolyaile Ungaris ja Nicolai Ivanovich Lobachevskiile Venemaal. Bolyai oma raamatus “Annex scientiam spatii absoluutne verami näitus” (1832) ja Lobachevskii oma raamatus “Neue Anfangsgrunde der Geometrie” (1835) ja jällegi oma Geometrische Untersuchungenis (1840) asendas paralleelse postulaadi eeldusega, et joon ja punkt antakse mitte sellel sirgel, läbi punkti on palju jooni, mis asuvad antud punkti ja antud joonega määratletud tasapinnas ja mis ei vasta antud sirgele. Neist, nagu nad siis näitasid, on üks joon mõlemas suunas antud joone suhtes asümptootiline ja need asümptootilised jooned jagavad kõigi teiste antud tasapinnal ja antud punkti läbivate liinide perekonna kaheks perekonnaks:need, mis vastavad antud reale, ja need, mis mitte. Seejärel järgnes palju tööd, mõlemal juhul kuulsalt sarnased, eriti selleks, et näidata, et nende eeldustega kirjeldatud kolmemõõtmelises ruumis on pind, millel eukleidiline geomeetria hoiab, ja tuletada meelde kolmnurki kirjeldavate trigonomeetriliste valemite olemasolu tasapinnas. Need valemid meenutavad kera kolmnurkade vastavaid valemeid.

Kõik see veenis nii Bolyai kui ka Lobachevskii, et uus geomeetria võiks olla füüsilise ruumi kirjeldus ja sellest tulenevalt oleks empiiriline ülesanne otsustada, kas eukleidiline või mitteeuklidiline geomeetria oli tõene. Lobachevskii üritas asja isegi astronoomiliste vahenditega kindlaks teha, kuid tema tulemused olid täiesti ebaselged.

Muidugi on tõsi, et mitte ükski järjepidevate järelduste arv uues geomeetrias ei välista vastuolu olemasolu, vaid uue geomeetria intrigeeriv seos sfäärilise geomeetriaga ja kolmnurkade trigonomeetriliste valemite olemasolu soovitab tungivalt. et uus geomeetria oli vähemalt ühtlane. Need, kes selle vastu võtsid, ja enne 1860. aastaid oli neid väga vähe, võisid sellegipoolest tervitada paremat kontot kui Bolyai ja Lobachevskii. Kuid enne selle juurde pöördumist tasub valemite hindamisel paus teha, sest paljud geomeetrid pidid leidma neile veenvaid tõestusi uue geomeetria kehtivuse kohta ka pärast Riemann ja Beltrami ümbersõnastamist (näiteks Enriques oma suuremas essees) (1907) geomeetria põhimõtete kohta).

Asi pole ainult selles, et olemas on valemid, vaid need vihjavad ka geomeetria alternatiivsele formuleerimisele, milles Eukleidi elementides kirjeldatud geomeetria võib osutuda, vaid erijuhtum. Kui geomeetria määratlemiseks võiks olla veel üks viis, mis erinevatel juhtudel viiks nende valemiteni, oleks võimalus mõelda läbi kõik geomeetriat puudutavad küsimused, mille kriitiline uurimine avas. 1830. ja 1840. aastatel oli selleks kõige parem isik Gauss. Ta teadis väga hästi, mida Bolyai ja Lobachevskii olid teinud, ning diferentsiaalgeomeetria andis talle vahendid edasiliikumiseks, kuid uudishimulikul kombel ta seda ei teinud. 1840. aastate alguses kirjutas ta mõned märkused, mis näitasid, et ta suutis uue kahemõõtmelise geomeetria ühendada pideva negatiivse kumerusega pinna geomeetriaga, kuid ta ei teinud selle vaatlusega midagi.

Teisest küljest ei piisa pelgalt valemite olemasolust, et muuta need oma olemuselt geomeetrilisteks. Lobachevskii tunnistas oma varasemates väljaannetes seda vajadust anda neile geomeetriline alus, kuid kuna nad olid vene keeles, ei loetud neid väljaspool Venemaad (ega vene matemaatikud neid ka hinnanud). Ta laskis sedalaadi kaalutlused oma 1840. aasta pamfletis, millest sõltub suur osa tema maine tänapäevani, kuid tõi need tagasi oma viimases ettekandes Pangéométrie (1856), mis aga ei olnud varasemate versioonidega võrreldes parem.

Lobachevskii väitis esiteks, et geomeetria oli kosmosekehade teadus ja ruum on kolmemõõtmeline. Kõige primitiivsem mõiste oli kontakt ja selle vastand - kahte keha eraldav lõige. Kaks teineteisest puutumatut keha on eraldatud ja mõlemaga kokkupuutes olev sobiv keha mõõdab nendevahelist kaugust, mis oli muidu määratlemata mõiste. Seetõttu võiks ta määratleda sfääri selle keskpunktiga konkreetses punktis kõigi punktidest võrdse kaugusega. Seejärel näitas ta, kuidas määratleda tasapinda, lüües kinni intuitsioonist, et kahe erineva punkti korral on tasapind ruumis asuvate punktide kogum, mis asuvad mõlemast antud punktist sama kaugusel. Tema sõnul on kahe punktiga tasapind punktide kogum, mis on ühine kahele võrdse raadiusega sfäärile,üks keskendub ühele punktile ja teine teisele. Joone saab määratleda sarnaselt.

Intuitsiooniga, et vahemaa on primitiivne kontseptsioon, tuleb liikumise suurem hindamine või vähemalt selle tagajärg, kui objektid saavad liikuda ilma neid muutmata. Võib ette kujutada jäika kere ümber transportimist, näiteks kuup, mille küljed on ühiku pikkused, ja kasutada ühte selle külgedest pikkuste märkimiseks. Näeme hiljem, et peituvaid võimalusi selle protsessi ajendanud kana-ja muna arutelu vahel Bertrand Russell ja Henri Poincaré lõpus 19 th sajandil.

Uus geomeetria esitas radikaalse väljakutse Eukleidese geomeetriale, kuna see keelas traditsioonilisel geomeetrial oma parima väite kindluse ja mõistmise järele, kuna see oli ainus loogiline süsteem geomeetria üle arutlemiseks. Samuti kasutati ekspertidele teadaolevat pinget mõistete kõige sirgema ja lühima vahel. Kuid muul viisil oli see tavapärane. Selles ei pakutud uusi määratlusi tuttavatele mõistetele, nagu sirgus või kaugus, see nõustus Eukleidese geomeetriaga nurkade alt, see pakkus lihtsalt erinevat intuitsiooni paralleelsete joonte kohta, tuginedes erinevale intuitsioonile sirgjoonte kauge käitumise kohta. Selle pooldajad ei pakkunud skeptilisi järeldusi. Bolyai ja Lobachevskii ei öelnud: "Vaata, siin on kaks loogilist, kuid ühildamatut geomeetriat, nii et me ei saa kunagi teada, mis on tõsi." Selle asemelnad avaldasid lootust, et katsed ja vaatlused otsustavad. Epistemoloogiline hind, mida inimesed peaksid maksma, kui astronoomilised vaatlused oleksid langenud uue geomeetria kasuks, oleks teatud mõttes olnud väike: oleks tulnud öelda, et sirgjoonel on ju ootamatu omadus, kuid ainult üks tuvastatav pikkade vahemaade tagant või silmapaistvate mikroskoopide abil. Kindel on see, et paljud eukleidilise geomeetria teoreemid tuleks siis ümber teha ja nende tuttavad eukleidilised vasted ilmuvad vaid väga heade lähenditena. Kuid see on üldjoontes võrreldav olukorraga, millesse Newtoni mehaanika sattus pärast erirelatiivsuse tekkimist.mõnes mõttes on need olnud kerged: oleks tulnud öelda, et sirgjoontel on ju ootamatu omadus, kuid üks neist on tuvastatav ainult pikkade vahemaade tagant või silmapaistvate mikroskoopide abil. Kindel on see, et paljud eukleidilise geomeetria teoreemid tuleks siis ümber teha ja nende tuttavad eukleidilised vasted ilmuvad vaid väga heade lähenditena. Kuid see on üldjoontes võrreldav olukorraga, millesse Newtoni mehaanika sattus pärast erirelatiivsuse tekkimist.mõnes mõttes on need olnud kerged: oleks tulnud öelda, et sirgjoontel on ju ootamatu omadus, kuid üks neist on tuvastatav ainult pikkade vahemaade tagant või silmapaistvate mikroskoopide abil. Kindel on see, et paljud eukleidilise geomeetria teoreemid tuleks siis ümber teha ja nende tuttavad eukleidilised vasted ilmuvad vaid väga heade lähenditena. Kuid see on üldjoontes võrreldav olukorraga, millesse Newtoni mehaanika sattus pärast erirelatiivsuse tekkimist.ja nende tuttavad eukleidilised kolleegid tunduvad olevat ainult väga head lähendid. Kuid see on üldjoontes võrreldav olukorraga, millesse Newtoni mehaanika sattus pärast erirelatiivsuse tekkimist.ja nende tuttavad eukleidilised kolleegid tunduvad olevat ainult väga head lähendid. Kuid see on üldjoontes võrreldav olukorraga, millesse Newtoni mehaanika sattus pärast erirelatiivsuse tekkimist.

5. Riemannian geomeetria

Palju olulisem muudatus saabus Bernhard Riemann Gaussi diferentsiaalgeomeetria suure laiendamisega. Paljud epistemoloogilised küsimused tõstatuvad juba Gaussi loominguga (1828), seega pöördume kõigepealt selle juurde.

Gauss mõtles sügavalt, mida tähendab pinna määratlemine, ja leidis, et järjestikuse üldistuse kolm määratlust on võimalikud. Võib eeldada, et vähemalt lokaalselt võib pinna anda kujul (z = f (x, y)) mõne funktsiooni (f) jaoks (x) ja (y). See kehtib sfääri piirkondade kohta, kuid mitte kõigist korraga. Üldisemalt võib eeldada, et pind koosneb neist punktidest ((x, y, z)), mis vastavad vormi võrrandile (f (x, y, z) = 0), kuna kera on. Üldisemalt öeldes, ütles Gauss, võib juhtuda, et pinnale anti lokaalselt kolm funktsiooni, igaüks kahest muutujast (u) ja (v). Neid kahte muutujat tuleb käsitada tasapinna punktide koordinaatidena koos funktsioonidega (x (u, v), y (u, v)) ja (z (u, v)) koos andke ruumis pinna punktide koordinaadid. Selles seadistusespinnatüki igal punkti koordinaadid on tasapinnas (u) ja (v). Pinna kahe punkti vahel, mis vastavad tasapinnal olevatele ((u, v)) ja ((u + du, v + dv)), antakse Pythagorase teoreemi versiooni abil järgmise valemi abil: vorm

) silt {*} ds ^ 2 = E (u, v) du ^ 2 + 2F (u, v) dudv + G (u, v) dv ^ 2)

kus (E, F) ja (G) on määratud funktsioonide (x, y) ja (z) abil ja vastavad (EG - F ^ 2 \ gt 0).

Gauss suutis määratleda pinna kumeruse mõõtme ühes punktis ja leidis selle kohta midagi märkimisväärset: kumeruse mõõt sõltub ainult (E, F) ja (G) ning nende tuletistega suhtes (u) ja (v), kuid mitte funktsioonidel (x (u, v), y (u, v)) ja (z (u, v)) otse. Täpne väljend on pikk ja keeruline, kuid nagu Gauss osutas, on tagajärjeks see, et tema pinna pinna kõverusmõõt mingis punktis on sisemine: selle määravad täielikult pinna mõõtmised ja see ei hõlma mingit kolmas mõõde pinna suhtes täisnurga all. Arvestades meetrit, valemi (*) kauguse kohta, saab kõveruse leida. Kui näiteks vahemaa valemiks on see tasapinnalise kera kaardi jaoks,kõverus on kera raadiuse ruudu vastastikune.

Gauss uuris ka seda, millal ühte pinda saab teisele kaardistada nii, et vahemaad ei muutu: kui ühel pinnal asuvad kaks punkti (P) ja (Q) on üksteisest kaugusel (d), siis nii on nende kujutised teisel pinnal. Gauss suutis näidata, et selleks on vajalik tingimus, et vastavates punktides olevad kumerused oleksid ühesugused. Näiteks silinder ja tasapind on lokaalselt isomeetrilised; ehkki kõver, on silindril Gaussi mõttes nullkõverus, nagu ka tasapinnal, mistõttu on võimalik pöörlevalt trumlimalt printida.

See tähendab, et on olemas geomeetrilisi omadusi, millest pinnakaardilt võib järeldada, mis on kaardi detailidest sõltumatud ja viitavad pinnale ise. Selle Gaussi kõverus igas punktis on teada ja on ka teisi omadusi, millest võib järeldada (ds ^ 2) tundmisest, näiteks lühima pikkusega kõver kahe punkti vahel (teatud tingimustel).

Ei saanud kohe aru, et Gaussi lähenemine võimaldas matemaatikutel määratleda pinnad konkreetse meetrikaga tasapinna piirkondadena, mida ei tohiks saada Eukleidese kolmemõõtmelise ruumi pindadest. Muidugi, kui üks pind määratleb kaardi kujutisena maapinnast (mathbb {R} ^ 2) kuni (mathbb {R} ^ 3), siis loomulikult on see asukohas (mathbb {R} ^ 3). Kuid kui määratleda pinda kui (mathbb {R} ^ 2) piirkonda konkreetse mõõdikuga, siis ei pruugi piirkonnas ((mathbb {R} ^ 3) asuvat pinda olla, millele see vastab. Tundub, et esimene inimene, kes seda hindas, oli Riemann, kes laiendas seda ideed ka ükskõik millisele arvule mõõtmetele.

Riemanni ideed olid nii sügavad kui ka naiivsed ning sel põhjusel osutusid neid raskesti täpsustatavateks, kuid võime end esialgu naiivseks pidada. Ta arvas, et talle antakse ruum (ta nimetas seda „mitmeks osaks”), milles saab suvalise lähtepunkti lähedal asuvatesse punktidesse suvalisel juhul koordinaatsüsteemi peale panna ja kui see juhtub, on iga punkt seotud algpunktiga (n) numbrite loendiga, ütles ta, et ruum on (n) - mõõtmetega. Me võime selle protsessi jaoks mõelda nii, et see pakub vähemalt selle osa ruumist, mis asub algpunkti lähedal, (mathbb {R} ^ n). Siiani erineb see pinnapealsest juhtumist ainult selle poolest, et kaks mõõdet on asendatud numbriga (n).

Seejärel arvas ta, et on olemas võimalus öelda, milline on kaugus lõpmatuseni, üldistades valemi (ds ^ 2) kahelt muutujalt ((n)). (Ta lubas isegi kasutada täiesti erinevaid valemeid, kuid me ei kirjelda seda teooria seda osa, mis on paljude aastate jooksul kestev).

Järgmisena kontrollis ta, et see kumeruse olemuslik omadus püsiks kõrgemates mõõtmetes, mida see ka teeb. Põhjuseks on see, et (n) - mõõtmelisel objektil on palju kahemõõtmelisi pindu, millele Gaussi teooria kehtib, nii et (n) - dimensioonilise objekti kõveruse mõiste punktis saab tuletada punkti läbivate kahemõõtmeliste pindade arvestamine.

Nüüd küsis ta, mida me veel tahame, et saaksime geomeetriat teha? Ruumil on koordinaatide süsteemist sõltumatud omadused. Kui kaks erinevat koordinaatsüsteemi annavad erinevad koordinaadid, kuid teevad seda nii, et punktide vaheline kaugus säiliks, siis võimaldab kumbki süsteem teha geomeetriat ja kui leiame, et kaks koordinaatsüsteemi lepivad kumerustes kokku igas punktis punktide vahelistel kaugustel jne.

Kuna (ds ^ 2) valem kirjutati alla vaid mõne piiranguga, pole põhjust arvata, et Riemanniani geomeetria oleks määratletud eelneva eukleidilise geomeetria suhtes. Ei ole väita, et (n) - dimensiooniline Riemannian'i geomeetria tuleb saada kaardi abil mõne (Eukleidese) (N) - dimensioonilise eukleidilise ruumi (n) - mõõtmete alamhulgast. See tähendab, et geomeetriat saab teha ilma mis tahes eukleidilisele geomeetriale viitamata: eukleidiline geomeetria ei ole enam epistemoloogiliselt enne teiste geomeetriate uurimist. Eukleidi valitsemisaeg oli teoreetiliselt möödas.

5.1 Geodeesia ja ühendused

Arvestades kollektori kauguse kontseptsiooni, on võimalik rääkida geodeetikast - kahte punkti ühendav geodeetiline on nende kahe punkti vahel lühima pikkusega kõver. Olemasolu ja ainulaadsuse küsimusi saab tõstatada ja neile võib sageli vastata. Märkimisväärse edusammu saavutasid iseseisvalt Tullio Levi-Civita 1917. aastal ja Hermann Weyl 1918. aastal, inspireerituna Einsteini üldrelatiivsusteooriast, kui nad näitasid, kuidas määratleda paralleelsust kõverdatud kollektoril (Levi-Civita panuse kohta vt Bottazzini 1999 jt). Weyli kaastööd vt Scholz 2001). Ligikaudu öeldes on Weyli esituses (1918) kaks erinevates punktides asuvat vektorit paralleelsed, kui nad kuuluvad vektorite perre kõveral, mis kõveral ei varieeru. See definitsioon ei sõltu vektorite perekonnast kumeruse tagajärjel, vaid sõltub kõverast, kui kõverus ei ole null; tüüpilise kollektori vektorite kohta võib öelda vaid, et need on piki kõverat paralleelsed.

Kauge parallelismi mõiste võimaldab vektorit liigutada mööda suvalist kõverat viisil, mis hoiab seda igas punktis endaga paralleelselt. Seda hakati nimetama ühenduse loomise viisiks erinevate punktide vahel ja teooriat hakati nimetama kollektorite ühenduste teooriaks. Eelkõige on võimalik küsida, kas kõvera puutujavektorite perekond koosneb lähtepunktiga puutujavektoriga paralleelsetest vektoritest. Kui jah, siis on kõver loomulik kandidaat, mida peetakse selle lõpp-punktide vaheliseks sirgeimaks kõveraks, kuna puutujavektor ei kiirene kunagi mööda kõverat.

Ühendusi saab määratleda meetermõõdust sõltumatult, kuid kui meetermõõdustik ja ühendus on ühilduvad, saab näidata, et selle kõvera mis tahes väike tükk on selle lõpp-punkte ühendav lühim kõver, seega on kollektori sirgeimad kõverad geodeetilised. Kaasaegses diferentsiaalgeomeetrias määratletakse geodeesia ühenduste kaudu.

5.2 Riemann ja Beltrami ning range mitteeuklidiline geomeetria

Riemann „Ueber die Hypothesen…” (loenguna peetud 1854. aastal, avaldatud postuumselt 1867. aastal) ja Beltrami „Saggio” (1868) andsid erineva, kuid samaväärse ülevaate kahemõõtmelisest mitte-Eukleidese geomeetriast, kirjeldades seda kui sisemuse geomeetriat. uudse mõõdikuga plaadist. Riemanni konto, mis oli kirjas mõõtmetega (n), nõustub väitega, mida Poincaré pidi kasutama paljudes lühiväljaannetes aastatel 1880 ja 1881, kuid kirjeldab seda selgesõnaliselt ainult oma suuremas artiklis (Poincaré 1882). Selles mõõdikus on geodeetilised ketaste piiretega risti asetsevate ringide kaared ja nurgad esitatud õigesti. Beltrami versioonis on geodeesia esindatud sirgjooneliste segmentidega, mis on plaadi akordid. Riemann ja Beltrami kettad veensid matemaatikuid kiiresti, et Bolyai ja Lobachevskii geomeetria ei olnud eukleidiline,on ju matemaatiliselt mõistlik. Poincaré panus kümmekond aastat hiljem oli eukleidideta geomeetria muutmine teatud teemade looduslikuks geomeetriaks mujal matemaatikas, peamiselt Riemanni pindade arenevas ja olulises teemas.

Matemaatika mis tahes osa range arvessevõtmise olulisust ei tohiks eirata, kuid Riemanniani geomeetria aktsepteerimine mitte-Eukleidese geomeetria seadistamisel ületas järjepideva formalismi tutvustamise. See tähistab aktsepteerimist arvamuses, et geomeetria on mis tahes, mida saab kirjeldada Riemanniani formaalsuses. Uks avaneb vaatele, et seal on palju geomeetriaid, millest igaüks peab olema ühtlane ja millest ükski ei pea viitama eukleidilisele geomeetriale. Arutluse all oleva "ruumi" mõõtmete arv, selle "ruumi" topoloogiline iseloom ja täpne mõõdik on kõik ükskõiksed. On olemas kahemõõtmeline geomeetria, mis on selline, kuna võib leida sobiva mõõdiku; kuna sellel on olemas kaart,mitte sellepärast, et (mathbb {R} ^ 3) on leitud pind, millel on õiged omadused. Tõepoolest, hiljem näidati (Hilbert 1901), et (mathbb {R} ^ 3) pole ühtki pinda, mis vastaks täpselt mitte-Eukleidese kahemõõtmelisele ruumile.

Riemannil oli selge, et selle geomeetria moodustamise epistemoloogilised tagajärjed on tohutud. Matemaatikutel ei peaks enam olema vaja mõningaid põhimõttelisi intuitsioone abstraheerida nende arvamustest, mida nad füüsilise ruumi kohta usuvad, näiteks sirgjoonte või ringide olemust ja omadusi, ning püüda luua tõeline geomeetria, mis põhineb nende intuitsioonide mingil aksiomaatilisel väljendusel. Pigem peaks mõtte suund minema vastupidises suunas: matemaatikud said vabalt konstrueerida lõpmata palju geomeetriaid ja vaadata, milliseid füüsilises ruumis rakendada. Sellega seoses näidati peagi, et mitte-eukliidse geomeetria seadistamisel on võimalik teha teoreetilist mehaanikat.

6. Mitte-Eukliidse geomeetria arusaadavus

Projektiivse geomeetria epistemoloogiline tähtsus sõltub selle mõjudest klassikalise geomeetria olemusele ja rangusele. Mitte-Eukleidese geomeetria epistemoloogiline olulisus sõltub rohkem võimalusest, et eukleidiline geomeetria võiks olla tõene ükskõik millisel viisil. Seetõttu pöörduvad 19 th sajandi uuringud arusaadavuse geomeetria.

6.1 Herbarti filosoofia

Johann Friedrich Herbartist sai Kanti järeltulija Königsbergis 1808. aastal, kuhu ta jäi kuni 1833. aastal Göttingeni suunamiseni, kus ta 1841. aastal suri, kuid ta polnud õigeusklik kantilane. Tema suur töö, 1824–1825, kaheköiteline psühholoogia als Wissenschaft neu gegrundet auf Erfahrung, Metaphysik ja Mathematik, püüdis maandada psühholoogiat filosoofias ning kohtles kogemusi ja metafüüsikat võrdselt. Kasutades mõnda üsna väljamõeldud matemaatikat, püüdis ta näidata, kuidas mälu töötab ja kuidas teatud tüüpi korduvad stiimulid põhjustavad aju õppimist tajuma näiteks jooni, paralleelseid jooni, ristuvaid jooni ja pindu. Herbarti arvates pole kaasasündinud ideid; visuaalne ruum on konstrueeritud kogemusest, kõige olulisem on kontseptuaalse toimingu abil, mis võimaldab järeldada ruumiliste protsesside järjepidevust. Ja kontseptsioonid genereerivad mäluklastrid, mille loogika töötab siis nende päritolust sõltumatult. See oli Herbarti viis vältida psühholoogias maandatud loogikat.

Herbarti ideed mõjutasid Riemannit (vt Scholz 1982). Riemann pidas loodusõpetust looduse mõistmise katseks täpsete mõistete abil, mida tuleb muuta, pidades silmas meie kogemusi nendega. Ta arvas, et kõige edukamad kontseptsioonid on üsna abstraktsed, ja nõustus Herbartiga, et need ei saa Kanti moel a priori olla. Veelgi enam, just nende päritolu tajus andis neile mõistetele nende teaduse jaoks olulise tähenduse. Märkmetes, mille ta ise kirjutas (vt Riemann Werke 1990: 539), ütles Riemann, et nõustus Herbartiga psühholoogia ja epistemoloogia küsimustes, kuid mitte ontoloogia ega oma ideedega ruumi, aja ja liikumise mõistete ülesehituse kohta. Lahkarvamused varjavad sügavamat kaastunnet. Herbart oli proovinud põhjuslikult ühendatud, kuid diskreetsete monaadide kolmemõõtmelist reaalset maailma,mida mõistab mõistus pidevuse kontseptsiooni kaudu, mida ta varustab, muutes seeläbi oma diskreetsed kogemused võimaluste spektriteks. Riemann ei näinud põhjust piirata tähelepanu kolme mõõtmega ja liigutas võimaluste pideva spektri väga loodavatesse geomeetrilistesse mõistetesse.

See vähendas või jättis maha kogemuste rolli, mida Herbart rõhutas. Riemann teadvustas Herbarti sõnul loomulikult: kui kogemus genereerib kontseptsioone, millega me maailma kujundame, siis las Riemann ütles, et matemaatika genereerib täpsemad ja paindlikumad mõisted, mille abil loodusteadusi läbi viia.

6.2 Helmholtz ja Poincaré

Riemann ideed omakorda mõjutasid Hermann von Helmholtzit, kes avaldas mitu mõjukat esseed selle kohta, kuidas on meie teadmised geomeetriast võimalikud. Oma raamatus “Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie” (1868) püüdis ta näidata, kuidas saab konstrueerida ainult piiratud arvu Riemanniani geomeetriaid, milles eksisteerib keha jäiga liikumise kontseptsioon. Ta väitis, et just meie kogemus jäikade kehadega õpetab meile, milline on ruum ja eriti milline on vahemaa. Lisaks väitis ta, et kahemõõtmeline ruum, mis tunnistab jäikaid keha liikumisi, oleks kas Eukleidese tasand või kera. Beltrami kirjutas talle, et osutas, et ta on jätnud tähelepanuta mitte-eukleidilise geomeetria võimaluse ja Helmholtz mitte ainult ei nõustunud sellega,kuid kirjutas veel ühe essee (1870), milles ta selgitas, kuidas oleks võimalik, et meil oleks teadmisi selle geomeetria kohta Kantia mõistes (sünteetiline a priori). Paljud kantilased keeldusid veendumustest, tõenäoliselt siis, kui Kant oli kindlasti uskunud, et meil on sedalaadi laitmatuid teadmisi Eukleidese geomeetria kohta, kuid üks inimene, keda need ideed väga tõenäoliselt mõjutasid, oli Henri Poincaré (vt Hall 2012).

Niipea kui Poincaré hakkas kirjutama oma populaarseid filosoofilisi esseesid geomeetriast, tegi ta selgeks, et tema peamine mure on see, kuidas me saaksime loota ükskõik millisele geomeetriale. Ta oli hästi teadlik Riemannian geomeetriate laiast valikust ja Helmholtzi spekulatsioonide järeldustest, mis olid selleks ajaks Sophus Lie töös rangeks tehtud, et väga piiratud arv geomeetriaid tunnistas jäigaid keha liikumisi. Tema mure raamatus “Geomeetria alustel” (1898) oli epistemoloogiaga seotud.

Poincaré väitis, et mõistus mõistab kiiresti, et suudab kompenseerida teatud tüüpi liikumisi, mida ta näeb. Kui klaas tuleb teie poole, võite kõndida tahapoole, nii et klaas tundub muutumatuna. Sama saate teha, kui see kallutab või pöörab. Mõistus sisaldab neid kompenseerivaid liikumisi ja mõistab, et see võib üksteisele järgneda ning tulemuseks on kolmas kompenseeriv liikumine. Need vaimsed teod moodustavad matemaatilise objekti, mida nimetatakse rühmaks. Mõistus ei saa aga tekitada kompenseerivaid liikumisi teistele nähtavatele liikumistele, näiteks veini liikumine klaasis, kui see ringi keerleb. Sel moel moodustab mõistus jäiga keha liikumise kontseptsiooni, see tähendab täpselt liikumist, mille jaoks mõistus võib moodustada kompenseeriva liikumise.

Seejärel kaalus Poincaré, milline rühm kompenseerivate liikumiste rühm võiks olla, ja leidis, et nagu Helmholtz oli soovitanud ja Lie oli siis tõestanud, oli selliseid rühmi rangelt piiratud kogum. Neist peamised olid rühmad, mis pärinevad eukleidilistest ja mitte-eukleidilistest geomeetriast, ning abstraktsete rühmadena on nad erinevad. Kuid kumb oli õige?

Poincaré vastuoluline seisukoht oli, et kunagi ei või teada. Inimesed valivad evolutsiooni ja imikuelamuste kaudu eukleidide rühma ja ütlevad nii, et kosmos on eukleidiline. Kuid teine liik, kasutades erinevaid kogemusi, võiks valida mitte-eukleidide rühma ja nii öelda, et kosmos oli mitte-eukleidiline. Kui kohtume sellise liigiga, poleks ühtegi eksperimenti, mis teemat otsustaks.

Võib arvata, et ta teeb suuri kolmnurki ja mõõdab nurki. Kolmnurga küljed on, öelgem, valguskiirte poolt. Oletagem, et eksperimentaalse vea piires on katse tulemus kolmnurga nurga summa väiksem kui (pi), tulemus on kooskõlas mitte-Eukliidse geomeetriaga, kuid on vastuolus Eucliidi geomeetriaga. Ainus järeldus, mille Poincaré sõnul teha saab, on see, et kas valguskiired liiguvad sirgjooneliselt ja ruum pole mitte-eukleidiline või on ruum eukleidiline ja valguskiired liiguvad kõveralt.

Tema argumendi saame kokku võtta nii. Meie teadmised välismaailma geomeetriast põhinevad meie vaimsetel võimetel tulla toime jäiga keha liikumisega. Neid rühmi on väga piiratud arv, kuid ükski eksperiment ei saa nende vahel otsustada. Kõik, mida saame teha, on teha valik ja me valime kõige lihtsama. Nagu juhtub, oli see eukleidide rühm, kuna, ütles Poincaré, leidsime, et üks selle omadustest, mida ei jagata mitte-eukleidiliste rühmaga, oli eriti lihtne. Kuid inimliigid olid justkui valiku teinud ja see valik oli nüüd inimese meeles kaasasündinud. Teadmiste omandamise viisi ja asjaolu tõttu, et on mitu sobivat rühma, ei saa me kunagi teada, kas kosmos on eukleidiline või mitte-eukleidiline, ainult et me ehitame selle eukleidiliseks.

See kanti doktriini keerdumine Ding an sichi (asi iseenesest) ja meie piiritlusega esinemiste maailmaga oli Poincaré kui töötava füüsiku jaoks kaasasündinud, kuid siiski on oluline eristada. Äsja selgitatud vaatepunkt on Poincaré geomeetrilise konventsionalismi filosoofia. Ta propageeris konventsionalismi muudes teaduse valdkondades, väites, et see, mida me nimetame loodusseadusteks (Newtoni seadused, energia säästmine ja nii edasi), ei olnud empiirilised küsimused, mida oleks võimalik muuta, ega ka absoluutsed tõed, vaid need olid väljakujunenud tulemused, mis olid juba kõrgel kohal aksioomide rollile praegustes teaduslikes teooriates. Neid saaks vaidlustada, kuid ainult siis, kui vaidlustatakse kogu teaduslik teooria, mitte aga ebamugavate, kui mõned ebamugavad tähelepanekud tehti. Seistes silmitsi satelliidiga, mis ei paistnud järgivat Newtoni seadusi, peaks Poincaré sõnul kaaluma mõnda veel märkamatut jõudu tööl ja mitte püüdma Newtonit ümber kirjutada. Kuid võib välja pakkuda uue teooria, mis põhineb erinevatel oletustel, mis kirjutavad ümber loodusseaduse, sest need seadused ei ole igavesed tõed - me ei võiks selliseid asju kunagi teada. Ja kui pakutakse välja uus teooria, saab mugavuse huvides valida uue ja vana vahel.uue ja vana vahel saab valida ainult mugavuse huvides.uue ja vana vahel saab valida ainult mugavuse huvides.

Oluline eristus on see, et teaduslik konventsionalism toimib kõrgel tasemel. Valikud tehakse teadlikult ja intellektuaalselt, arutelu on avatud ainult inimestele, kellel on märkimisväärne hulk erialast haridust. Geomeetriline konventsionalism toimib mõistuse suhtes enne, kui see on võimeline mingiks ametlikuks juhendamiseks, ja kui see ei toimiks, poleks õnnetu subjekt välismaailma tundmist.

6.3 Poincaré versus Russell

Poincaré vaated viisid ta põrkesse Bertrand Russelliga 1890ndatel, kui ta oli põgenemas oma lühikesest Hegeli-faasist ja sisenenud oma Kantiani faasi. Russell üritas Kantianit a priori luua, väites, et on olemas üks põhiline geomeetria, mis on projektiivne geomeetria, ja meil on sellest sünteetilisi a priori teadmisi (vt Griffin 1991 Russelli kohta ja Nabonnand 2000 vastuolulisuse kohta).

Ei saa olla mingit kahtlust, et Poincaré oma palju suurema matemaatikaoskusega võitis suure osa arutelust, kuna Russell, kellel oli iseloomulik valmisolek oma vigu tunnistada, oli nõus ka tunnistama. Kuid olulist lähenemisviisi erinevust nende vahel ei olnud kunagi vaja lahendada. Poincaré analüüs algas jäikade kehade ideega, millest luuakse kauguse kontseptsioon. Russell väitis vastupidist, et olenemata sellest, mida me võime avastada distantsi mõistest, teame enne alustamist, et vahemaa Londonist Pariisi on üle meetri. See Poincaré eitas oma raamatus „Des fondements de la géométrie: à propos d'un livre de M. Russell” (1899).

Poincaré arvates teame kaugust ühest punktist teise alles siis, kui oleme teada saanud, mida jäigad kehad teevad, ja see teadmine on muutunud meis kaasasündinud. Russelli arvates ei tohtinud ükski vahemaa mõiste arutlus mõelda isegi sellele, et vahemaa Londonist Pariisini on alla meetri - teaksime, et me ei räägi kaugusest, kui ütleme midagi sellist. Poincaré nõudis, et jutt sellest, mida me teame, peaks alati sõltuma sellest, kuidas me seda teame; ilma sellise analüüsita ei olnud väited üldse teadmiste väited. Russell soovis, et distantsi käsitletaks põhimõttelise intuitsioonina.

Matemaatiline illustratsioon võib lahkarvamusi valgustada. Poincaré puhul rääkige sellest, mida võiksime nimetada tavaliseks geomeetriaks, ruumitajuks, mis meil enne täpsemat juhendamist on, tegelikult tegelikult võimega asju mõõta. Me võime kanda jäika kere ümber ja kasutada seda joonlauana. Sellepärast, et saaksime seda teha, räägime kohtadevahelisest kaugusest. Kui soovite muuta seadistust abstraktsemaks, peab olema ruum ja rühm, mis toimib selle ruumi peal ja liigutab ruume ümbritsevas ruumis punkte. Kui sellel rühmal on omadus, et selle ruumi piirkonda siiski liigutatakse, ei kaardistata seda kunagi iseenda õige alamhulgaga, siis saab konstrueerida jäikaid kehasid ja rääkida vahemaast.

Russelli jaoks on inimesel vabadus võtta tühik ja määrata igale paaripaarile „vahemaa” (vastavalt mõnele lihtsale reeglile, mille ma välja jätan). Selle kaugustunde suhtes võib öelda, kas piirkonna liikumisel jäävad punktid samas kauguses või mitte. Oleme seda teinud Maa pinnal asuva kauguse mõttes ja saame seda teha ka siis, kui meil on ka mõni jäik keha liigutus. Matemaatiliselt oleks Russell rahul sellega, mida nimetatakse meetriliseks ruumiks. Asi pole selles, et keegi võiks kehtestada meetermõõdiku Maa pinnale, kus konkreetne punktide paar, näiteks Cambridge, asus üksteisest meetri kaugusel ja London ja Pariis olid vaid poole meetri kaugusel üksteisest - võiks küll, aga seda saab räägi distantsist, eeldamata rühmas tegutsemist. Mõni meetriline ruum tunnistab rühmade tegevust, mis säilitavad vahemaad,teised seda ei tee, kuid vahemaad saab määratleda grupist rääkimata. Poincaré ei puutunud kunagi kokku just selle argumendimeetriliste ruumidega, mis on 20-ndate leiutisth sajandi kuid me teame, mida ta oleks öelnud. Ta oleks öelnud, et see oli kehtiv matemaatika, kuid täiesti formaalne ja seda ei saanud pidada tõelisteks teadmisteks, kuna sellel puudus psühholoogiline mõõde. Me teame seda, kuna see oli tema kriitika aksomaatiliste geomeetriate kohta, mille on ehitanud Hilbert (vt allpool).

Poincaré argumendid kohtusid ka Itaalia matemaatiku Federigo Enriquesi vastuväidetega. Poincaré väitis, et üks võimalus geomeetrilise konventsionalisti argumendi paikapidavust näha on kaaluda ketast, milles kõik on valmistatud samast materjalist, mis paisus kuumutamisel ja milles temperatuur oli spetsiifiline funktsioon kaugusest ketta kese. See Poincaré täpsustatud funktsioon tagas, et ketta mõõdikud, mõõdetuna kettaga samast materjalist valmistatud varrastega, olid mitte-eukleidilised. Plaadil elavad olendid teatasid, et nende ruum oli mitte-eukleidiline; vastaksime, et seal oli ruumi eukleidiline, kuid temperatuurivälja moonutava mõju all. Mõistagi suudavad mõlemad pooled säilitada oma positsiooni enesest vastuoludeta.

Enriques väitis oma väljaandes Problemi della Scienza (1906), et see pole mõistlik. Olenditel oleks õige omistada oma ruumile geomeetria (ja tõepoolest mitte-eukleidiline geomeetria), kuna moonutav jõud pole nende kontrolli all. Nende geodeesia on ruumisse sisse ehitatud ja poleks mõistlik, kui nad määraksid geodeesia teekonda "jõu" toimimiseks, kuna see "jõud" ei olnud midagi, mida nad põhimõtteliselt saaksid manipuleerida. Kuumus, massiivsete objektide gravitatsiooniline mõju, kõik need moonutavad mõjud on asjad, mida võib lubada, sest neid saab muuta. Kui ülaltoodud eksperimendis väidetakse, et ruum on eukleidiline, kuid meie sirgjoonte kandidaadid on deformeerunud, peaks deformatsiooni astet olema võimalik muuta. Katse võib viia kaugemale massiivsetest objektidest, ruumi tühjamates piirkondades. Kui erinevad katsed annaksid isegi pisut erinevaid tulemusi, võiks vastavalt Poincaré enda teaduslike tavade muutmise kriteeriumidele midagi leida olukorras, mis vastutab valguskiirte sirgusest kõrvalekaldumise eest. Kuid kui kõik eksperimendid olid nõus, väitis Enriques, et oleks mõistlik järeldada, et geodeedil liikusid valguskiired ja kosmose geomeetria oli eukleidiline. Kuid kui kõik eksperimendid olid nõus, väitis Enriques, et oleks mõistlik järeldada, et geodeedil liikusid valguskiired ja kosmose geomeetria oli eukleidiline. Kuid kui kõik eksperimendid olid nõus, väitis Enriques, et oleks mõistlik järeldada, et geodeedil liikusid valguskiired ja kosmose geomeetria oli eukleidiline.

Samuti väärib märkimist, et ideede teoreetilise geomeetria ja praktiliste kogemuste seotuse ning geomeetriaga seotud teadmiste laadi kuulumine 1900. aastaks kuulub kogu matemaatika muutuste perre. Matemaatika tekkis autonoomne distsipliin. mis pööras üha suuremat rõhku teema formaalsetele aspektidele ning pakkus keerulist ja sageli kaugemat suhet kogemusmaailmaga. Seda modernistlikku pööret matemaatikas arutatakse erinevates kohtades (vt Gray 2008 ja seal viidatud kirjandus).

7. Lõppmärkused

Selles essees on uuritud peamisi harusid geomeetria arengus kuni 20. sajandi algusaastateni teoreetiliste või abstraktsete teadmiste pealkirjade, selliste teadmiste arusaadavuse empiiriliste ja muude analüüside ning nende teadmiste deduktiivsuse analüüside pealkirjade all.

Sirgjoone staatus elementaarses Eukleidese geomeetrias nii lühimat kõverit, mis ühendab selle kahte selle punkti, kui ka kõverat, mis näitab alati samas suunas, eraldati. Üks uurimistöö viis geomeetriatesse, mis rõhutasid sirgjoonelisust kui põhiomadust (tavaliselt projektiivset geomeetriat), ja teise geomeetriate juurde, mis rõhutasid lühimat aspekti. Varasemat lähenemisviisi peeti algusest peale mittemeetriliseks ja sellest sai soositud koht geomeetria kui deduktiivse ettevõtte formaalseteks, isegi aksiomaatilisteks uurimisteks. Hinnal oli vähem ja vähem öelda füüsilise ruumi kohta (nagu Poincaré täheldas). Geomeetria kontseptsiooni laiendati radikaalselt, kuid viisil, mis ei olnud mõeldud mõistliku ruumi arvele.

Meetriline ülevaade viis Euclidi elementide olulise hägususe järkjärgulise selgitamiseni: paralleelpostitus. Sest palju 19 th sajandi oli see ainus alternatiiv Euclid et pakuti arusaadavas geomeetria, kuigi see oli üldiselt nõus, et ainult kõige tundliku eksperimentide loota asja otsustamiseks. Poincaré vaidlustas arvamuse, et ükski eksperiment ei saa nii otsustada, ja see tõstatas olulised küsimused abstraktsete mõistete tõlgendamise viisi osas.

Lisaks silma paistvale ideele ühe alternatiivi kohta Euclidi geomeetriasüsteemile, mis seisis juba kaks tuhat aastat, oli seal ka hulk metrilisi geomeetriaid, millele vihjati Gaussi diferentsiaalgeomeetria töös ja mille on välja töötanud Riemann. Lõpuks osutus võimalikuks selgitada üldist laadi sirgjoonelise ja lühima vahelist suhet. Samuti sai võimalikuks arutada geomeetriat kui ideede kogumit, mis kasvas välja pikkuse, nurga, kuju ja suuruse naiivsetest ideedest, ja teha seda keerukatel ja rangetel viisidel, aksioomidele apelleerimata, olenemata sellest, kas need aksioomid olid ette nähtud või mitte kui arusaadava kogemuse destilleerimine. Sel moel sai võimalikuks geomeetriliste ideede rakendamine uudses keskkonnas ja uudsel viisil.

Aasta lõpuks esimese kümnendi 20 th sajandil oli selge, et Eukleidese geomeetria oli kaotanud oma eelisseisund. Seal olid paremad formaalsed, aksiomaatilised süsteemid (näiteks need, mille soovitasid Hilbert ja mõned Peano ümbritseva kooli matemaatikud). Seal olid rikkad süsteemid, mis olid põhimõttelisemad selles mõttes, et traditsioonilise geomeetria figuuridel, näiteks sirgjoonel (projektiivse geomeetria paljudel variantidel) oli vähem omadusi. Ja seal oli arvukalt looduslikke lähtekohti ja sügavamaid teooriaid sisaldavaid meetrilisi geomeetriaid.

Seetõttu olid ideed selle kohta, kuidas mis tahes laadi teoreetiline geomeetria on seotud meie ümbritseva ruumiga, muutunud palju keerukamaks. Geomeetria tõde ei olnud enam enesestmõistetav, vaid see oli mingil määral muutunud empiiriliseks ja süvenenud olid ka filosoofilised ideed geomeetria arusaadavuse kohta.

Bibliograafia

  • d'Alembert, J. le Rond, 1784, Encylopédie Méthodique: Mathématique.
  • Badici, E., 2011, “Võrdõiguslikkuse standardid ja Hume'i vaade geomeetriale”, Vaikse ookeani filosoofiline kvartal, 92 (4): 448–467.
  • Beltrami, E., 1868, “Saggio di interpretazione della geometria non Euclidea”, Giornale di Matematiche, 6: 284–312, väljaandes Opere matematiche I: 374–405. Ingliskeelne tõlge ajakirjas J. Stillwell, 1996, Hüperboolse geomeetria allikad (matemaatika ajalugu 10), Ameerika ja Londoni matemaatikaühingud, lk. 7–34.
  • Bioesmat-Martagon, L., 2011, kosmoseprojekti Éléments d'une biograafia, Nancy: Nancy Presses Universitaires de Nancy, Geomeetriate kogumise ajalugu, 2.
  • Bolyai, J., 1832, “Annex scientiam spatii absoluutne veramäide”, W. Bolyai ja J. Bolyai, 1832, Tentamen juventutem studiosam in Elementa Matheosis purae jne, Maros-Vásérhely, 2 v. Ingliskeelne tõlge: GB Halsted, “Kosmose teaduslik absoluut”, lisa Bonola 1912 ja JJ Gray, 2004, János Bolyai, mitteeuklidiline geomeetria ja kosmose olemus, Burndy raamatukogu, MIT.
  • Bonola, R., 1906, La geometria non-Euclidea, Bologna: Zanichelli, ingliskeelne tõlge HS Carslaw, eessõna F. Enriques, 1912, Mitteeuklidilise geomeetria ajalugu, Chicago: Open Court; kordustrükk, New York: Dover, 1955.
  • Bottazzini, U., 1999, “Ricci ja Levi-Civita: diferentsiaalsetest invariantidest üldrelatiivsuseni”, JJ Gray (toim.) Sümboolne universum: geomeetria ja füüsika 1890–1930, Oxford: Oxford University Press.
  • Chasles, M., 1837, Aperçu historique sur l'origine et de développement des méthodes en géométrie… Mémoire de géométrie jne. Mémoires sur les küsimused ettepanekud par l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, tom. 11, Bruxelles.
  • Clairaut, AC, 1741, Elémens de géométrie, Pariis: David Fils. Kordustrükk 1920, Pariis: Gauthier-Villars.
  • Cremona, L., 1873, Elementi di geometria projettiva, Torino. Ingliskeelne tõlge: C. Leudesdorf, 1885, Projektiivse geomeetria elemendid, Oxford: Clarendon Press.
  • Enriques, F., 1906, Problemi della Scienza. Ingliskeelne tõlge: K. Royce, 1914, Problems of Science, Chicago: Open Court.
  • Enriques, F., 1907, “Prinzipien der Geometrie”, Encylopädie der Mathematischen Wissenschaften, III. I.1,1–129, Leipzig, Teubner.
  • Euclid, Eukleidi elementide kolmteist raamatut, tõlge ja kommentaarid Sir TL Heathilt, New York: Dover Publications, 1956.
  • Gauss, CF, 1828, “Disquisitiones generales circa superficies curvas”, Commentaes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. 1870. aastal kordustrükk, Carl Friedrich Gauss Werke, 4: 217–258; ja P. Dombrowski (toim.), 1978, 150 aastat pärast Gaussi originaali ladinakeelse filmi '' Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas '' ingliskeelse tõlke kordustrükk A. Hiltebeitel ja J. Morehead, 1902, Astérisque 62, Pariis: Société mathématique de France; ja P. Pesic (toim.), 2005, Kõverdatud pindade üldised uurimised, New York: Dover Books.
  • Gauss, CF, 1900 Werke 8, Leipzig: Teubner.
  • Gray, JJ, 2008, Platoni kummitus: Matemaatika modernistlik transformatsioon, Princeton: Princeton University Press.
  • –––, 2011, maailmad mitte millestki; muidugi ajaloo geomeetria 19 th sajandi 2. parandatud trükk., London: Springer.
  • ––– 2012, Henri Poincaré: teaduslik elulugu, Princeton: Princeton University Press.
  • Griffin, N., 1991, Russelli idealistlik praktika, Oxford: Clarendon Press.
  • Hallett, M. ja U. Majer (toim), 2004, David Hilberti loengud geomeetria alustest, 1891–1902, Berliin: Springer.
  • Helmholtz, H. von, 1868, “Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie”, Nachrichten K. Ges. Wissenschaften zu Göttingen, 9. Ingliskeelne tõlge MF Lowe poolt, 1921, “Geomeetria aluseks olevatest faktidest”, Epistemoloogilised kirjutised, RS Cohen ja Y. Elkana (toim), Bostoni teaduste filosoofia uuringud, Boston: Reidel, köide 37, 39–57.
  • ––– 1870, “Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome”, Vorträge und Reden, vol. 2, 1–31. Ingliskeelne tõlge “Geomeetria aksioomide päritolu ja tähtsuse kohta”, ajakirjas Epistemological Writings, lk 1–25.
  • ––– 1921, Schriften zur Erkenntnistheorie, Berliin: Springer, P. Hertz ja M. Schlick (toim), 1977, tõlkinud MF Lowe kui epistemoloogilised kirjutised, RS Cohen ja Y. Elkana (toim), Reidel.
  • Herbart, JF, 1824–1825, Psychologie als Wissenschaft neu gegründet auf Erfahrung, Metaphysik, und Mathematik, 2 vols, Königsberg: AW Unzer.
  • Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie, Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals Göttingenis, Leipzigis: Teubner, palju hilisemaid väljaandeid. 10. väljaande ingliskeelne tõlge, L. Unger, 1971, Geomeetria alused, Chicago: Open Court.
  • –––, 1901, “Über Flächen von konstanter Gaussscher Krümmung”, Ameerika Matemaatika Seltsi tehingud 2: 87–99. Gesammelte Abhandlungenis, 2: 437–448.
  • Hume, D., 1739–1740, traktaat inimloomusest, London. Otsitav tekst raamatus „Inimloomuse traktaat”, autor David Hume, on originaaleksemplari kolmes köites kordustrükitud ja analüütilise indeksiga redigeerinud LA Selby-Bigge, MA (Oxford: Clarendon Press, 1896). [veebis otsitav Hume 1739]
  • Kant, I., 1781, 1787, Kritik der reinen Vernunft; tõlkija Norman Kemp Smith, 1929, Immanuel Kanti „Puhta põhjuse kriitika“, 2. toim. rep 1970, London: Macmillan.
  • Klein, CF, 1871, “Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie”, Mathematische Annalen, 4: 573–625. Ka Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (nr XVI): 254–305, Berliin: Springer.
  • ––– 1872, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Programm zum Eintritt in die filosoofia teaduskond ja senat der der Universität zu Erlangen, Deichert, Erlangen, in Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (nr XXVII). Ingliskeelne tõlge: MW Haskell, 1892–1893, New York Mathematical Society bülletään 2: 215–249, Berliin, Springer.
  • ––– 1873, “Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. (Zweiter Aufsatz)”, Mathematische Annalen, 6: 112–145, ajakirjas Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (nr XVIII): 311–343, Berliin: Springer.
  • Laplace, P.-S., 1796, “Exposition du système du monde”, Pariis: Crapelet, Oeuvres VI, Pariis, Gauthier-Villars, 1884
  • Legendre, A.-M., 1794, Éléments de géométrie, Pariis: Fermin Didot Frères, mitu väljaannet.
  • Levi-Civita, T., 1917, “Nozione de parallelismo in un var varàà kvalunque”, Rendiconto del Circolo Matematico di Palermo, 42: 173–205.
  • Lobachevskii, NI, 1835, “Neue Anfangsgrunde der Geometrie mit einer vollständigen Theorie der parallellinien”, saksakeelne tõlge Lobachetschefskij, NI 1899 Zwei geometrische Abhandlungen, tr. F. Engel, Leipzig, Teubner.
  • ––– 1840, Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berliin, rep. Mayer & Müller, 1887, inglise tr. GB Varjatud geomeetrilised uuringud paralleelite teoorias, lisa (Bonola 1912).
  • –––, 1856, Pangéométrie, ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale des paralleles, Kasan. Ingliskeelne tõlge koos kommentaaridega, Pangeometry, A. Papadopoulos (toim), European Mathematical Society, 2010.
  • Locke, J., 1690, Essee inimese mõistmise kohta, London. [Locke 1690 on veebis saadaval]
  • Marchisotto, E. ja JT Smith, 2007, Mario Pieri pärand geomeetrias ja aritmeetikas, Boston: Birkhäuser.
  • Mueller, I., 1981, Matemaatika filosoofia ja deduktiivne struktuur Euclidi elementides, Cambridge: MIT Press.
  • Nabonnand, P., 2000, “La polémique entre Poincaré et Russell au géométrie” aksioomide põhikiri”, Revue d'histoire des mathématiques, 6: 219–269.
  • Newton, Sir I., 1687, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Eestikeelne tõlge The Principia: Loodusfilosoofia matemaatilised põhimõtted, tr. IB Cohen, A. Whitman, J. Budenz, University of California Press, 1999.
  • de Pierris, G., 2012, “Hume ruumist, geomeetriast ja skemaatilisest mõttekäigust”, Synthese, 186 (1): 169–189.
  • Poincaré, H., 1882e. Théorie des groupes fuchsiens. Acta Mathematica 1, 1–62, Oeuvres 2, 108–168.
  • Poincaré, H., 1898, “Geomeetria alustel” (tõlkinud TJ McCormack) Monist 9: 1–43. Kordustrükis Ewald, 1996, Kantilt Hilbertile: Allikaraamat matemaatika alustes, Oxford: Oxford University Press, 2: 982–1012.
  • ––– 1899, „Des fondements de la géométrie: à javaslat d'un livre de M. Russell“, Revue de métaphysique et de morale 7: 251–279.
  • –––, 1902, “Les fondements de la géométrie”, Journal des savants, 252–271. Ingliskeelne tõlge, mille autor on EV Huntington, 1903, “Poincaré ülevaade Hilberti“geomeetria alustest””, Ameerika Matemaatika Seltsi Bülletään, 10 (1): 1–23. [Poincaré 1902 (inglise keeles) on veebis saadaval]
  • Poncelet, JV, 1822, Traité des Propriétées Projectives des Figures, Pariis: Gauthier-Villars.
  • Riemann, GBF, 1867 [1854], “Ueber die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen”, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13: 1–20. Taas avaldatud Gesammelte Mathematische Werke, Wissenschaftliche Nachlass und Nachträge. Kogutud paberid: Nach der Ausgabe von Heinrich Weber ja Richard Dedekind, 1990, R. Narasimhan, (toim.) Berlin: Springer, lk 304–319. Bernhard Riemann, Kogutud paberid, tõlkinud Roger Baker, Charles Christenson ja Henry Orde, Kendrick Press, 2005.
  • Russell, B., 1899, “Sur Les Axiomes de la Géométrie”, Revue de méetaphysique et de morale, 684–706, tõlgitud ja kordustrükis “Geomeetria aksioomidel”, N. Griffin ja AC Lewis, (toim), 1990, Bertrand Russelli kogutud paberid, 2, London: Hyman Unwin, 394–415.
  • Scholz, E., 1982, “Herbarti mõju Bernhard Riemannile”, Historia Mathematica, 9 (4): 413–440.
  • –––, 2001, “Weyl's Infinitesimalgeometrie”, Hermann Weyl's Raum – Zeit – Materie ja tema teadustöö üldist sissejuhatust, E. Scholz (toim.) Basel, Birkhäuser.
  • Schweikart, FK, 1818, “Notiz”, Carl Friedrich Gauss Werke, 8: 180–181.
  • von Staudt, GKC, 1847, Geometrie der Lage, Nürnberg.
  • –––, 1856–1860, Beiträge zur Geometrie der Lage, 3 vooli, Nürnberg.
  • Villaggio, P., 2006, “Enriquesi mehaanika alustest”, K. Williamsis (toim.) Kaks kultuuri: esseed David Speiseri auks, Birkhäuser, 133–138.
  • Wallis, J., 1693, “De postulato quinto et definee lib. 6 Euclidis deceptatio geometrica”, Operum Mathematicorum, 2: 665–678.
  • Weyl, H., 1918, Raum – Zeit – Materie, Springer. Kolmanda väljaande (1920) ingliskeelne tõlge Space-time-matter, London: Methuen.

Akadeemilised tööriistad

sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
 Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
 Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon
info ikoon
 Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon
phil paberite ikoon
 Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

  • Euclid's Elementsi dünaamiline versioon, autor DE Joyce, Clarki ülikool
  • Gaussi (1828) ingliskeelne tõlge Interneti-arhiivis.

Populaarne teemade kaupa

Populaarne päeval

Jacques Lacan

Jacques Lacan

2023
Louis De La Forge

Louis De La Forge

2023
Thomas Kuhn

Thomas Kuhn

2023
Kochen-Speckeri Teoreem

Kochen-Speckeri Teoreem

2023
Ladina-Ameerika Filosoofia

Ladina-Ameerika Filosoofia

2023
Analüütiline Filosoofia Ladina-Ameerikas

Analüütiline Filosoofia Ladina-Ameerikas

2023