Üldistatud Kvantifikaatorid

Sisenemise navigeerimine

• Sissesõidu sisu
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Sõprade PDF-i eelvaade
• Teave autori ja tsitaadi kohta
• Tagasi üles

Üldistatud kvantifikaatorid

Esmakordselt avaldatud esmaspäeval 5. detsembril 2005; sisuline redaktsioon reedel 26. juulil 2019

Üldistatud kvantifikaatorid on nüüd nii logistide kui ka lingvistide tööriistakastides standardsed seadmed. Selle sissekande eesmärk on kirjeldada neid tööriistu: kust nad pärinevad, kuidas nad töötavad ja mida neid saab kasutada. Kirjeldus on vajaduse korral visandlik, kuid kirjanduses on mitu põhjalikumat uuringut, millele viidatakse vajaduse korral. Alloleva teksti täielikuks hindamiseks on abiks elementaarse komplekti teoreetilise terminoloogia ja esimese astme loogika keele tundmine.

• 1. Sissejuhatused
• 2. Aristoteles
• 3. Frege
• 4. Universaalse ja eksistentsiaalse kvantifikaatori üldistamine
• 5. Suvaliste tüüpide üldistatud kvantifikaatorid
• 6. Teema neutraalsus
• 7. Relativiseerimine
• 8. Väljendav jõud
• 9. Üldistatud kvantifikaatorid ja arvutamine
• 10. Üldistatud kvantifikaatorid ja loomulik keel
• 11. Konservatiivsus
• 12. Pikendus
• 13. Sümmeetria ja monotoonsus
• 14. Määrajad, mis ei ole ISOM
• 15. Püsivus
• 16. Polüaadiliste looduskeele kvantitaatorid
• 17. GQ teooria ja lingvistika
• 18. Kvantifitseerimine ja tunnustamine
• Bibliograafia
• Akadeemilised tööriistad
• Muud Interneti-ressursid
• Seotud kirjed

1. Sissejuhatused

Mõiste “üldistatud kvantifikaator” kajastab seda, et need üksused võeti loogikas kasutusele moodsa loogika standardsete kvantifikaatorite (forall) ja (eksisteeriv) üldistustena. ^[1] Tagantjärele võib öelda, et (forall) ja (eksisteerib) on vaid kaks näidet kvantifikaatori palju üldisemast kontseptsioonist, muutes mõiste "üldistatud" ülearuseks. Tänapäeval on tavaline, et üldmõisteks kasutatakse lihtsalt kvantifikaatorit, kuid ajaloolistel põhjustel on "üldine kvantifikaator" endiselt sagedane. Selles artiklis kasutatakse mõlemaid termineid, kalduvusega lisada loogilisse konteksti „üldistatud” ja jätta see keelelisse konteksti.

Me eristame kvantifikaatori väljendeid sellest, mida nad tähistavad või tähistavad, (üldistatud) kvantifitseerijad ise. Loogilistes keeltes on kvantifikaatori avaldised muutuva sidumisega operaatorid. Seega on (olemas) tuttav operaator, nii et valemis (eksisteerib x \ f) seob ^[2] (eksisteerib x) kõik x-i vabad esinemised rakenduses (f). See tähistab kvantifikaatorit "olemas" - näeme varsti täpselt, mis see objekt on. Samuti kasutatakse sümbolit (Q_0) sageli muutuva siduva operaatorina, mis tähistab “neid on lõpmata palju”.

Looduslikes keeltes on kvantifikatiivsete väljenditena käsitatud mitmesuguseid väljendeid, näiteks iga järgmist ingliskeelset väljendit:

kõik, mitte midagi, kolm raamatut, kümme professorit, Johannes, Johannes ja Maarja, ainult Johannes, tuletõrjujad, kõik, vähemalt viis, kõige rohkem, kõik peale kümne, vähem kui pooled Johannese, mõne õpilase, ei … va Maarja, rohkem mehi kui naisi, tavaliselt, mitte kunagi, üksteist. ^[3]

Mis on siis üldistatud kvantifikaatorid? Enne sellele küsimusele vastamist on abiks lühike ajalooline eessõna.

2. Aristoteles

Aristotelese sülogistikat võib vaadelda kui formaalset uurimist nelja põhilise kvantitatiivse väljendi tähenduse kohta kõik, ei, mõned, mitte kõik ja nende omadused. Näiteks silogismi kehtivus Aristotelese sõnul

kõik (A, B) kõik (B, C) mõned (A, C)

näitab, et ta pidas vastupidiselt tänapäevasele loogilisele kasutamisele eksistentsiaalset importi, nii et kõik A on B tähendab, et A pole tühi termin. Samuti ka sillogismi kehtivus

mõned (A, B) kõik (B, C) kõik (A, C)

väljendab, et mõned tõusevad teises argumendis monotoonselt (nagu me nüüd ütleme). Iga kehtiv sillogism vormistab osa nende kvantifikaatorlausete tähendusest, kuid Aristotelese uurimus nende omaduste kohta läks sillogistikast kaugemale. Ta täheldas näiteks, et mõned ja mitte on konverteeritavad või nagu võiksime nüüd öelda, sümmeetrilised, kuna vastavad skeemile

Q (A, B) Q (B, A)

vastupidiselt kõigile ja mitte kõigile. Lisaks uuris ta, kuidas erinevad eitusvormid kombineerituna kvantitatiivsete väljenditega opositsiooni ruudus (mida hiljem hakati nimetama). ^[4]Keskaja logistikud jätkasid Aristotelese traditsiooni, kuid laiendasid ka siloloogilisi arutluskäike juhtudele, kus A, B võisid ise olla kvantifitseeritavad väljendid, käsitledes seega olukordi ja järeldusi nagu iga inimese mõni eesel ei jookseks (näide John Buridanist, 14. sajand). Ehkki aristotellik loogika ei vasta tänapäevase loogika ekspressiivsusele ja täpsusele, oli silogistika kindlasti määrava tähtsusega kvantitatiivsuse uurimisel. Tegelikult on matemaatilises loogikas hiljuti uuritud mitmesuguse väljendusjõuga sillogistlikke süsteeme just nende suguluse tõttu looduslike mõttekäikude ja nende lihtsate arvutuslike omadustega; vaata punkti 18 allpool.

Eriti huvitav on praeguses kontekstis asjaolu, et nendes kvantifikaatorlausetes võetakse kaks argumenti või terminit ja seega võib neid vaadelda binaarsete suhetena, nii süntaktiliselt (nagu Aristoteles kahtlemata nägi neid) kui ka semantiliselt: arvestades, et terminid tähistavad indiviidide kogumeid, väljendit võib mõnel tähistada kattuvuse, st kahe tühja ristumise vahelise seose tähistamiseks, mis kõik tähistab kaasamissuhet. Pange tähele, et need ei ole suhted üksikisikute vahel, vaid indiviidide teise astme suhete vahel. Tõepoolest, need on täpselt üldistatud kvantifitseerijad vastavalt vastavalt mõnele ja kõigile (antud universumis).

Seda lõime - et kvantitatiivsed väljendid tähistaksid teise astme suhteid - ei valinud ükski Aristotelese keskaja järgija (niipalju kui me teame). Selle asemel tõstsid nad esile asjaolu, et kahel terminil on erinev staatus: esimene ühendab kvantitatiivväljendiga nimisõnafraasi (nagu me nüüd ütleme), mis on lause objekt, teine aga verbifraasi moodustades predikaadi. See pani nad keskenduma sellele, mida teema - kõik mehed, mõned koerad, mitte ükski meremees - tähendas, mis kontseptuaalselt tundub olevat raskem küsimus. Võib arvata, et kõik mehed tähistavad iga meest (või meeste komplekti) ja et mõned koerad tähistavad mõnda konkreetset koera, aga kuidas pole madrustega? Tegelikult saab näidata, et sellised lähenemised on hukule määratud. ^[5] Kaasaegne „lahendus” on see, et nimisõnafraasid tähistavad indiviidide komplekte, nii et näiteks mõned koerad tähistavad komplektide komplekti, mis sisaldab vähemalt ühte koera, kuid mis näib vajavat semantika abstraktsemat ja matemaatilist lähenemist kui idee, mis on vähemalt Aristotelese kaudses tähenduses, et kvantitatiivlaused tähistavad seoseid mõistete (tähiste) vahel.

3. Frege

Teine suurem ajalooline panus üldistatud kvantifikaatorite teooriasse tuli moodsa loogika „leiutajalt“Gottlob Fregelt 1870. aastatel. Tegelikult on Frege panus kahetine. Nagu iga filosoofiaüliõpilane teab, tutvustas ta predikaatloogika keelt koos senentsiaalsete ühenduste, identiteedi ja muutujatega siduva operaatoriga (forall) (ehkki tema kahemõõtmelist loogilist märget enam ei kasutata). Need on kvantitatiivsed näitajad, mida logistikud 1950ndatel aastatel üldistasid. Kuid Frege sõnastas kvantifikaatori abstraktse ettekujutuse ka teise järgu seosena või, nagu ta seda nimetas, teise astme kontseptsiooniks (“Begriff zweiter Stufe”). Ta teadis hästi, et neli Aristoteli kvantifikaatorit olid peamised näited, kuid ta soovis vältida keskendumist subjekti-predikaadi vormile,mida ta (palju õigustades) pidas Aristotelese järel suureks takistuseks loogika arengule. Seetõttu oli oluline avastus, et kõiki kvantifitseerijaid saab määratleda nii ((forall)) kui ka senentsiaalsete operaatorite (asendades kõik ((A, B))) abil (forall x (A (x) parempoolne nool) B (x))), mõned ((A, B)) poolt (neg \ forall x (A (x) paremnool \ neg B (x))) jne).

Tegelikult on ainus oluline erinevus Frege teise taseme kontseptsiooni ja tänapäevase üldistatud kvantifikaatori mõiste vahel selles, et Frege'il polnud ideed tõlgendusest ega mudelist, mida me nüüd (alates mudelateooria tulekust 1950-ndad) näevad universumina, mille kvantifikaatorid ulatuvad, ning mitteloogilistele sümbolitele sobivate semantiliste objektide määramist. Frege sümbolitel oli kõigil kindel tähendus ja ainus universum, mida ta pidas, oli kõige tervik. Kuid peale selle võib öelda, et just Frege avastas üldistatud kvantitatiivid. Frege loogika see aspekt jäi aga pikaks ajaks tahaplaanile ning 50. ja 60. aastate modelliteoreetikud näisid olevat seda teadmata.

4. Universaalse ja eksistentsiaalse kvantifikaatori üldistamine

Kaasaegne predikaatloogika fikseerib tähenduste (forall) ja (eksisteeriv) tähenduse tõdemääratluse vastavate klauslitega, milles täpsustatakse induktiivselt tingimused, mille korral valem (f (x_1, \ ldots, x_n)) (maksimaalselt (x_1, \ ldots, x_n) tasuta) on täidetud vastavate elementidega (a_1, \ ldots, a_n) mudelis (M = (M, I)) (kus M on universum ja mina tõlgendamise funktsioon, määrates mitteloogilistele sümbolitele sobivad laiendid): (M \ mudelid \ f (a_1, \ ldots, a_n)). Need klauslid on (kus "iff" tähendab tavaliselt "kui ja ainult siis")

• (1) (M \ mudelid \ forall x \ p (x, a_1, \ ldots, a_n)) iff iga (a \ M-s), (M \ mudelid \ p (a, a_1, \ täpid, a_n))
• (2) (M \ mudelid \ eksisteerib x \ p (x, a_1, \ ldots, a_n)) kui on mõnda (a \ M-s) st (M \ mudelid \ p (a, a_1, \ täpid, a_n))

Muude kvantifikaatorite tutvustamiseks tuleb hinnata, millised on avaldis (forall) ja (eksisteeriv). Süntaktiliselt on need operaatorid, kes seovad ühe muutuja ühes valemis. Et näha, kuidas need semantiliselt töötavad, on kasulik (1) ja (2) ümber kirjutada. Esiteks tähistab iga valem (p (x)) ühe vaba muutujaga mudelis (M) M alamhulka; M-isendite hulk, mis rahuldab (p (x)). Üldisemalt, kui (p (x, x_1, \ ldots, x_n) = \ p (x, \ xbar)) on maksimaalselt näidatud vabad muutujad ja (abar = a_1, \ ldots, a_n) on M elemendid, las

) p (x, \ abar) ^ { M, x} = {a \ M-s: \ M \ mudelid \ p (a, \ abar) })

olema (p (x, \ xbar)) laiendus (M) suhtes (a_1, \ ldots, a_n). Siis saame sõnastada (1) ja (2) ümber järgmiselt:

• (3) (M \ mudelid \ forall x \ p (x, \ abar)) iff (p (x, \ abar) ^ { M, x} = M)
• (4) (M \ mudelid \ eksisteerib x \ p (x, \ abar)) iff (p (x, \ abar) ^ { M, x} neq \ emp)

Seega tõusevad paremal pool olevad tingimused komplektide omadustena (p (x, \ abar)). Tegelikult võime arvata, et (forall) ja (eksisteerib) tähistavad neid omadusi, st vastavalt omadust, mis on vastavalt universumiga identne ja mitte-tühi. Ja nüüd on lihtne mõelda muudele komplektide omadustele, mida saab käsitleda ka kvantitaatoritena, näiteks omadus, mis sisaldab vähemalt 5 või täpselt 3 elementi või on lõpmatu. ^[6]

Pange tähele, et need omadused sõltuvad ainult universumist M, mitte ülejäänud mudelist. Laias laastus on need lihtsalt M alamhulkade komplektid. See viib järgmise määratluseni. peamiselt Mostowskist (1957):

1. määratlus

Tüübi ({ langle} 1 { rangle}) üldistatud kvantifikaator Q on

• (5) a. süntaktiliselt muutujatega siduv operaator, nii et kui (f) on valem, siis on see ka ((Qx \ f)) ja (Qx) seob kõik x-i vabad esinemised rakenduses (f);
• b. semantiliselt kaardistamine M suvalistest universumitest (mittetühjad komplektid) M alamhulkadega (Q_M), mis tõlgendab vormi (Qx \ f) valemeid vastavalt alapunktile) tag {i } M \ mudelid Q x \ p (x, \ abar) text {iff} p (x, \ abar) ^ { M, x} in Q_M)

Kasutame siin sama sümbolit kvantitatiivse väljendi jaoks ja kaardistamist, mida see tähistab või tähistab. Seega on (forall) tähistatud universaalset kvantifikaatorit, ka kirjutatud (forall), mis on kaardistus, mille andis

) forall_M = {M })

kõigile M. Samamoodi tähistab (eksisteerib) kaardistamist, mis on määratletud

) eksisteerib_M = {A \ subseteq M: A \ neq \ emp })

Ja siin on veel mõned üldistatud kvantifikaatorid:

) silt {6} silt {endine qlist1} algab {joonduma} {2} (eksisteerib _ { geq 5}) _ M & = {A \ subseteq M: | A | \ geq 5 } & (| X | \ textrm {on suurus või} && \ textrm {X-i kardinaalsus) (eksisteerib _ {= 3}) _ M & = {A \ subseteq M: | A | = 3 } (Q_0) _M & = {A \ subseteq M: A \ tekst {on lõpmatu} } (Q ^ R) _M & = {A \ subseteq M: | A | > | MA | } & \ textrm {("Rescher} && \ textrm {kvantifikaator")} (Q _ { tekst {isegi}}) _ M & = {A \ subseteq M: | A | \ tekst {on isegi} } lõpp {joondus})

Nüüd on meil täpne mõiste üldistatud kvantifikaatori kohta, millest (forall) ja (on olemas) on näited, nagu ka lõpmata palju teisi. Veelgi enam, näeme, kuidas laiendada esimese järgu loogikat FO loogikale (FO (Q)), lisades moodustamise reeglitele klausli 5a ja tõe määratlusele klausli (5b-i). Samamoodi, kui lisame rohkem kui ühe üldistatud kvantifikaatori: (FO (Q_1, \ ldots, Q_n)).

Sellises loogikas võib olla võimalik öelda asju, mida FO-s ei väljendata. Näiteks on hästi teada, et FO-s ei saa lõplikkuse mõistet väljendada. Seega ei saa kuidagi öelda tellimissuhte (<) kohta, et igal elemendil on ainult lõplikult palju eelkäijaid. Kuid see on just selline asi, mida saab väljendada dokumendis (FO (Q_0)):

) silt {7} jätkub x \ neg Q_0 y (y <x))

Samuti ei saa FO-s öelda, et (piiratud) komplekt A sisaldab täpselt pool universumi M elemente, kuid see on väljendatav kujul (FO (Q ^ R)):

) silt {8} neg Q ^ RxA (x) kiil \ neg Q ^ Rx \ neg A (x))

(Esimene konjunktsioon ütleb, et (| A | \ leq | MA |) ja teine, et (| MA | \ leq | A |).)

5. Suvaliste tüüpide üldistatud kvantifikaatorid

Võimalik on edasine üldistamine. Esiteks võime lasta Q-l siduda ühe muutuja kahes või enamas valemis. Teiseks võime lasta sellel üheaegselt seostada kaks või enamat muutujat (mõnda neist) valemit. Q kirjutamine näitab seda: Q on tüüpi ({ langle} n_1, \ ldots, n_k { rangle}) (kus iga (n_i) on naturaalarv (geq 1)), kui see kehtib k valemi kohta ja seob i-ndas valemis (n_i) muutujaid. See selgitab, miks eelmises jaotises esitatud kvantifikaatorite tüüp oli ({ langle} 1 { rangle}).

Üldjuhul valitakse tavaliselt üksikute muutujate (x_ {i1},)…, (x_ {in_i} = \ xbar_i) jaoks (1 \ leq i \ leq k), nii et valem algab koos Q-ga on vorm

[Q \ xbar_1, \ ldots, \ xbar_k (f_1, \ ldots, \ f_k))

kus kõik (x_ {i1}, \ ldots, x_ {in_i}) tasuta esinemised asukohas (f_i) muutuvad seotuks. Nüüd seostub Q iga universumi M -ariaalse seosega (Q_M) M-i vaheliste suhete vahel, kus i-ndaks argumendiks on (n_i) - suhe indiviidide vahel. Vastavaks klausliks tõe määratluses saab

) tag {9} M \ mudelid Q \ xbar_1, \ ldots, \ xbar_k (p_1 (xbar_1, \ abar), \ ldots, \ p_k (xbar_k, \ abar)) textrm {iff} \ Q_M (p_1 (xbar_1, \ abar) ^ { M, \ xbar_1}, \ ldots, \ p_k (xbar_k, \ abar) ^ { M, \ xbar_k}))

Siin (p_i (xbar_i, \ ybar)) on valem, milles on maksimaalselt näidatud vabad muutujad; (abar) on M-i elementide jada, mis vastavad (ybar) ja (p_i (xbar_i, \ abar) ^ { M, \ xbar_i}) on (p_i (xbar_i, \ ybar)) laiend (M) suhtes (abar), st komplekt (n_i) - kordab (bbar_i) nii, et (M \ mudelid \ p_i (bbar_i, \ abar)).

See on selle artikli ametlik mõiste üldistatud kvantifikaatori kohta. Selle tutvustas Lindström (1966) ja neid kvantifikaatoreid nimetatakse mõnikord “Lindströmi kvantifikaatoriteks”. ^[7] Kui fikseerime M universumisse, mis sisaldab kõike, on meil põhimõtteliselt Frege ettekujutus teise taseme kontseptsioonist. ^[8]

Q on monadiline, kui igas universumis M on seos M alamhulkade vahel, st kui selle tüüp on ({ langle} 1, \ ldots, 1 { rangle}); muidu on see polüadiline. Näiteks on juba mainitud Aristoteli kvantifikaatorid tüüpi ({ langle} 1,1 { rangle}): ^[9]

) silt {10} silt {endine qlist2} hakka {joondama} tekstima {kõik} _M (A, B) & \ iff A \ subseteq B \\ \ tekstit {mõned} _M (A, B) & \ iff A \ cap B \ neq \ emp \\ \ textit {no} _M (A, B) & \ iff A \ cap B = \ emp \\ \ textit {not all} _M (A, B) & \ kui A \ not \ subseteq B \ end {joonduma})

Siin on veel mõned tüüpi ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikaatorid: ^[10]

) silt {11} silt {endine qlist3} algab {joondus} {2} (tekst on {vähemalt viis}) _ M (A, B) & \ iff | A \ kork B | \ geq 5 (textit {täpselt kolm}) _ M (A, B) & \ iff | A \ cap B | = 3 \(textit {lõpmata palju}) _ M (A, B) & \ iff A \ cap B \ tekst {on lõpmatu} \ \ textit {kõige} _M (A, B) & \ iff | A \ kork B |> | AB | \(textit {paarisarv}) _ M (A, B) & \ iff | A \ cap B | \ text {on isegi} \ \ textit {MO} _M (A, B) & \ iff | A | > B | \\ \ tekst {I} _M (A, B) & \ iff | A | = | B | & \ textrm {("Härtig} && \ textrm {kvantifikaator")} end {alignat})

Monadiliste kvantifikaatoritega on mugav kasutada ainult ühte muutujat ja lasta Q-l siduda sama muutuja kõigis valemites. Nii võib öelda, et öelda, et enamik A pole näiteks B, võib kirjutada

) textit {most}: x (A (x), \ neg B (x)))

vastavas loogilises keeles, mitte (textit {most}: x, y (A (x), \ neg B (y))).

Siin on mõned polüadilised kvantifikaatorid:

) silt {12} silt {endine qlist4} alusta {alignat} {2} W_M (R) & \ iff R \ text {on M & \ textrm {type} { langle'i korralik tellimine } 2 { rangle} (Q_0 ^ n) _M (R) & \ iff \ text {seal on lõpmatu} & \ hfantom { iff } A \ subseteq M \ ST A ^ n \ subseteq R & \ textrm {type} { langle} n { rangle} \ Res ^ k (textit {most}) _ M (R, S) & \ iff | R \ cap S | > | RS | & \ textrm {type} { langle} k, k { rangle} \ \ textit {RECIP} _M (A, R) & \ iff \ textrm {kõigile eraldiseisvatele} a, b \ A \& \ hphantom { iff } textrm {seal on} n \ geq 1 \& \ hphantom { iff } textrm {ja} c_0, \ ldots, c_n \ ST c_0 = a \& \ hphantom { iff } {} amp c_n = b \ amp c_iRc_ {i + 1} textrm {for} i <n \ quad & \ textrm {type} { langle} 1,2 { rangle} end {alignat}]

W ja (Q_0 ^ n) pärinevad loogikast ja komplekti teooriast. (Res ^ k (textit {most})) on enamiku jätkamine k-nupuga. Jätkamist saab rakendada mis tahes kvantifikaatori suhtes (süntaksis tähendab see iga üksiku muutuja asendamist vastava k-muutujate arvuga); sellel on loogiline kasutus, kuid nagu ka RECIP puhul, looduslike keelte puhul teatud lausete tõlgendamisel; vaata punkti 16 allpool.

6. Teema neutraalsus

Nii Mostowskil kui ka Lindströmil oli üldistatud kvantifikaatorite määratlustes üks lisatingimus: nad ei tohiks isomorfseid mudeleid eristada. Mitteametlikult on nad „teemaneutraalsed”: vormi (f = Qx, yz (A (x), R (y, z))) väite tõesus, öeldes, mudelis (M) ei sõltu konkreetsetest inimestest, kellest M koosneb. Kui M isendid on ükshaaval kaardistatud teise universumi (M ') isenditega ja kui A ja R on vastavalt kaardistatud, saadakse isomorfne mudel (M'). Isomorfismi sulgemine ütleb siis, et (M \ mudelid \ f) iff (M '\ mudelid \ f).

Ametlikumalt, kui (M = (M, I)) ja (M '= (M', I ')) on mitteloogiliste sümbolite sama sõnavara V mudelid, on f isomorfism (M) kuni (M '), iff

• f on bijektsioon (üks funktsioonile funktsioonist) M-st (M ') -ni;
• kui P on n -ariline predikaat sümbol V-s ja (a_1, \ ldots, a_n \ in M ), [(a_1, \ ldots, a_n) in I (P) textrm {iff} (f (a_1), \ ldots, f (a_n)) in I '(P);)
• kui c on üksikkonstant V-s, (I '(c) = f (I (c))).

(M) ja (M ') on isomorfsed sümbolites,) M \ cong \ M ')

kui ühelt teisele on isomorfism. Kui Q on üldistatud kvantifikaator tüübiga ({ langle} n_1, \ ldots, n_k { rangle}), siis (P_i) on (n_i) - ary predikaatmärk sümbolile (1 \ leq i \ leq k), (M = (M, I)) on sõnavara mudel ({{P_1, \ täpid, P_k }) ja (R_i = I (P_i)), kirjutame ka

) M = (M, R_1, \ id, R_k))

Siis rahuldab Q isomorfismi sulgemise või lihtsalt Isomi, kui kehtib järgmine:

) silt {13} silt {ex-isom} textrm {If} (M, R_1, \ ldots, R_k) cong (M ', R'_1, \ ldots, R'_k), \ textrm { siis} \ Q_M (R_1, \ ldots, R_k) Leftrightarrow Q_ {M '} (R'_1, \ ldots, R'_k).)

Võib hõlpsalt kontrollida, kas kõik seni üldistatud kvantifikaatorid on tõepoolest Isom. Me ei lisanud seda nõuet üldistatud kvantifikaatorite määratlusse, kuna on olemas loomulikke keelekvantiive, mis seda ei täida; vaata allpool. Kuid loogika peaks olema teemaneutraalne, nii et Isom surutakse pea alati peale. Siis järgnevad kaks olulist asja. Esiteks, nagu eespool märgitud, ei erista loogiliste keelte laused isomorfseid mudeleid. Täpsemalt on meil järgmine

2. fakt

Kui (L = \ FO (Q_1, \ ldots, Q_n)), on iga (Q_i) Isom, (f) on L-lause ja (M \ cong \ M '), siis (M \ mudelid \ f \ Leftrightarrow \ M '\ mudelid \ f).

Teiseks on Isom eriti huvitav vorm monaadsete kvantifikaatorite jaoks. Kui (M = (M, A_1, \ ldots, A_k)), kus (A_i \ subseteq M) iga i jaoks, siis (A_1, \ ldots, A_k) jagage M osaks (2 ^ k) paarisjoonelised alamhulgad (millest mõned võivad olla tühjad); nimetagem neid (M) osadeks. Illustreerime numbritega (k = 2) ja (M = (M, A, B)):

Joonis 1

Nüüd pole raske mõista, kas ainult osade suurused määravad, kas kaks seda tüüpi mudelit on isomorfsed või mitte:

3. fakt

((M, A_1, \ ldots, A_k) cong (M ', A'_1, \ ldots, A'_k)) kui vastavate osade kardinaalsused on samad.

See näitab, et monaadilised ja Isomi üldistatud kvantifikaatorid käsitlevad tõepoolest ainult koguseid, st pigem komplektide kui komplektide suurusi. Tüübi ({ langle} 1,1 { rangle}) üldistatud kvantifikaatorite loend \ eqref {ex-qlist3} illustreerib seda selgelt, kuid ka Aristoteli kvantifikaatorid saab sõnastada kardinaalsustena,) alusta {joondus} teksti kõik {_} _M (A, B) & \ iff | AB | = 0 \ \ \ tekst {mõned} _M (A, B) & \ iff | A \ kork B |> 0 \ lõpeta {joondus})

jne, ja sarnaselt meie poolt esitatud tüüpi näidetele ({ langle} 1 { rangle}).

Üldisemas plaanis võib Isomi all monaadilisi kvantifitseerijaid vaadelda (kardinal) arvude suhetena. Näiteks kui Q tüüp on ({ langle} 1 { rangle}), määratlege siis (kasutades sama sümbolit Q numbrite vaheliste suhete jaoks)

[Q (kappa, \ lambda) iff \ text {seal on (M, A) ST | M \! - \! A | = \ kappa \ amp | A | = \ lambda \ amp Q_M (A))

Isom tagab, et see on täpselt määratletud ja meil on

[Q_M (A) iff Q (| M \! - \! A |, | A |))

7. Relativiseerimine

Iga avaldus, mis hõlmab üldistatud kvantifikaatorit Q, toimub mingis universumis M. Mõnikord on kasulik osata seda relativisatsiooni peegeldada M-siseses universumis. See tähendab uue kvantitaatori määratlemist ühe lisakomplekti argumendiga, mis ütleb, et Q käitub universumis, mis on piiratud selle argumendiga, täpselt nii, nagu käitub M. Seega, kui Q tüüp on ({ langle} n_1, \ ldots, n_k { rangle}), siis defineerime (Q {^ { text {rel}}}) tüüpi ({ langle } 1, n_1, \ punktid, n_k { rangle}) järgmiselt:

) tag {14} (Q {^ { text {rel}}}) _ M (A, R_1, \ ldots, R_ {n_k}) mathbin { Longleftrightarrow _ { text {def}}} Q_A (R_1 \! \ piirang \! A, \ punktid, R_ {n_k} ! \ piirang \! A))

kus (R_i \ subseteq M ^ {n_i}) ja (R_i \! \ piirang \! A) on (R_i) piiranguks A, st hulga (n_i) - tuples asukohas (R_i \ kork A ^ {n_i}).

Tegelikult oleme juba näinud mitmeid relativiseerimise näiteid: kuna üks kontrollib hõlpsalt (vt loendeid \ eqref {ex-qlist1} ja \ eqref {ex-qlist3}), et

) silt {15} alustage {joondamine} teksti {kõik} & = \ jätkake kõiki {^ { teksti {rel}}} \ \ tekstit {mõnda} ja = = on olemas {^ { tekst {rel} }} \ \ textit {vähemalt viis} & = (eksisteerib _ { geq 5}) {^ { text {rel}}} \ \ textit {täpselt kolm} & = (eksisteerib _ {= 3}) {^ { text {rel}}} \ \ textit {lõpmata palju} & = (Q_o) {^ { text {rel}}} \ \ textit {most} & = (Q ^ R) {^ { text {rel}}} \ \ textit {paarisarv} & = (Q _ { text {even}}) {^ { text {rel}}} end {joondus})

8. Väljendav jõud

Kirjeldasime, kuidas FO-le saab lisada üldistatud kvantiive, mille tulemuseks on väljendusrikkam loogika. Selles mõttes koosneb loogika lausekogumist, mudeliklassist ning lausete ja mudelite vahelisest tõesuheest (või rahulolu-suhtest). Selliseid loogikaid nimetatakse sageli mudeliteoreetiliseks loogikaks, kuna need on määratletud semantiliselt mudelite ja tõe mõttes, mitte tõestusteoreetiliselt teoreemide tuletamise deduktiivse süsteemi mõttes. ^[11] Siinkohal piirdume tähelepanu vormi loogikaga (FO (Q_1, Q_2, \ ldots)), mis moodustatakse üldistatud kvantifikaatorite lisamisega FO-sse, kus igale kvantifikaatorile on lisatud moodustamiseeskiri ja tõe semantiline punkt eespool 5. jaotises kirjeldatud määratlus.

Mudeliteoreetilise loogika väljendusjõu võrdlemiseks on ilmne viis. (L_2) on sümbolites vähemalt sama väljendusrikas kui (L_1)

[L_1 \ leq L_2)

kui iga (L_1) - lause (f) võrdub loogiliselt mõne (L_2) - lausega (p), st (f) ja (p) on tõsi, samadel mudelitel. Samuti on (L_1) ja (L_2) sama väljendusjõud, (L_1 \ equiv L_2), kui (L_1 \ leq L_2) ja (L_2 \ leq L_1), ja (L_2 L_2) on tugevam kui (L_1), (L_1 <L_2), kui (L_1 \ leq L_2), kuid (L_2 \ ei \ leq L_1). Seega, (L_1 <L_2), kui kõike, mida saab öelda dokumendis (L_1), võib öelda ka keeles (L_2), kuid on olemas mõni lause (L_2) - lause, mis pole ühegi lausega samaväärne asukohas (L_1).

Kuidas saab tuvastada fakte väljendusjõu kohta? Näib, et (L_1 \ leq L_2) näitamiseks tuleb läbida kõik lõpmata palju lauseid rakenduses (L_1) ja igaühe jaoks tuleb leida samaväärne tekstis (L_2). Kuid praktikas piisab, kui näidata, et jaotises (L_1) toodud üldistatud kvantitaatorid on määratletavad väärtuses (L_2). Kui Q on tüüpi ({ langle} 1,2 { rangle}), siis Q on defineeritav rakenduses (L_2), kui on olemas (L_2) - lause (p), mille lause mitteloogiline sõnavara koosneb täpselt ühest unary ja ühest binaarsest predikatsioonisümbolist, nii et kõigi mudelite jaoks (M = (M, A, R)), [Q_M (A, R) iff (M, A, R) mudelid \ p)

Sarnaselt teiste tüüpidega. Näiteks on kvantifikaator kõik FO-s määratletav, kuna kehtib järgmine:

) teksti {kõik} _M (A, B) iff (M, A, B) mudelid \ forall x (A (x) rightarrow B (x)))

Samuti on (Q ^ R) defineeritav rakenduses (FO (textit {most})), kuna

[(Q ^ R) _M (A) iff (M, A, B) mudelid \ textit {most}: x (x = x, A (x)))

(pange tähele, et kogu meie loogika sisaldab FO loogilist aparaati, seega on nad kõik FO laiendid). Viimane on näide järgmisest tähelepanekust:

(16) Üldistatud kvantifikaatori Q korral on Q defineeritav väärtuses (FO (Q {^ { text {rel}}}))

Selliseid määratletavust puudutavaid fakte võib olla lihtne või raske kindlaks teha, ^[12] kuid neist piisab positiivsuse faktide tuvastamiseks ekspressiivsuse kohta, kuna meil on:

4. fakt

(FO (Q_1, \ ldots, Q_n) leq L) ainult siis, kui iga (Q_i) on defineeritav L-ga.

Teisest küljest on keerulisem tõestada seletamatust, st et mõni lause ei ole võrdne ühegi L-lausega. Üks viis, mis mõnikord töötab, on teha kindlaks, et (L_1) on mõni omadus, mis (L_2) puudub; siis võib sellest järeldada (L_1 \ not \ leq L_2). Mõned omadused, mis on tüüpilised FO-le, kuid kõige tugevama loogika korral ebaõnnestuvad, on järgmised:

• Löwenheimi omadus: Kui lause on tõene mõnes lõpmatus mudelis, vastab see tõele ka mõnes loendatavas mudelis.
• Tarski omadus: Kui lause on tõepärane mõnes võrratult lõpmatus mudelis, vastab see tõele ka mõnes loendamatus mudelis.
• Kompaktsuse omadus: kui ükski mudel ei muuda lausekomplekti kõiki elemente (Phi) tõeseks, on olemas (Phi) piiratud alamhulk (Psi), nii et ükski mudel ei muuda kõiki lauseid (Psi) tõsi.
• Täielikkuse omadus: kehtivate lausete komplekt on rekursiivselt loendatav (st võib olla loodud mingis formaalses süsteemis).

Näiteks rakendusel (FO (Q_0)) pole kompaktsuse omadust. ^[13] Seda saab näha lausekomplekti vaadates

) Phi \: = \: { neg Q_0x (x = x) tass { teeta_n: n = 1,2, \ ldots })

kus (theta_n) on FO-lause, mis ütleb, et universumis on vähemalt n elementi. Kui võtta mõni (siis on lause (Phi ') laused tõesed M-is. Kuid ükski universum ei saa muuta kõiki ((Phi)) lauseid tõeseks. Ja see näitab, et (Q_0) pole FO-s määratletav, st et (FO (Q_0) not \ leq \ FO), kuna vastasel juhul võiksime asendada (Phi) samaväärse komplektiga FO-teadmised, kuid FO-l on kompaktsus, nii et see on võimatu.

See seletamatuse tõestamise viis töötab aga ainult loogika puhul, mille atribuudid on sellised, nagu ülal. Pealegi töötavad need ainult siis, kui lubatud on lõpmatu universum, kuid huvitavad seletamatuse faktid kehtivad ka piiratud mudelite kohta, näiteks asjaolu, et (Q ^ R) ja (Q _ { text {isegi}}) pole määratletavad. FO-s või et enamus = ((Q ^ R) {^ { text {rel}}}) pole määratletav jaotises (FO (Q ^ R)). Loogikud on välja töötanud palju otsesemad ja tõhusamad meetodid määramatuse tulemuste kuvamiseks, mis töötavad ka piiratud mudelite puhul. ^[14]

Ülaltoodud omadused iseloomustavad tegelikult FO-d selles mõttes, et ühelgi FO-de korralikul laiendamisel ei saa neid (teatud kombinatsioone) olla. See on mudelateoreetilist loogikat käsitleva tähistatud teoreemi sisu, Lindströmi teoreem, mille versioon on toodud allpool. Ligipääsetava tõendusmaterjali leiate näiteks Ebbinghaus, Flum ja Thomas (1994). Me ütleme, et loogika (L = \ FO (Q_1, \ ldots, Q_n)) relativiseerub, kui punkti 16 „vastupidine” kehtib iga (Q_i) kohta, st kui iga ((Q_i) { ^ { text {rel}}}) on defineeritav L-ga.

Teoreem 5 (Lindström) Kui L on kompaktne ja omab Löwenheimi omadust, siis (L \ equiv \ FO). Samuti tingimusel, et L relativiseerub, kui L on täielik ja omab Löwenheimi omadust või kui L-l on nii Löwenheimi kui ka Tarski omadused, siis (L \ equiv \ FO).

9. Üldistatud kvantifikaatorid ja arvutamine

Lisaks üldistatud kvantifikaatoritega seotud tõetingimustele võib uurida arvutusi, mis on vajalikud mudelis kvantifitseeritud väite tõesuse tuvastamiseks. Üldistatud kvantifitseerijad tõusevad arvutiteaduse osas, mis uurib arvutuslikku keerukust, erinevates kohtades. Selles kontekstis piirdume tähelepanu piiratud universumitega ja eeldame, et kogu Isom on olemas. Nii et kvantifikaator on sisuliselt piiratud mudelite kogum; Isomi järgi võime eeldada, et kardinaalsuse mudelitel on kõigil sama domeen (M = {1, \ ldots, m }). Selliseid mudeleid saab kodeerida sõnadena, st sümbolite piiratud stringe. Näiteks võib mudelit ((M, A)) tüüpi ({ langle} 1 { rangle}) vaadelda binaarsõnana (a_1 \ ldots a_m), kus (a_i) on 1, kui (i \ tähemärgis A) ja 0. Seega (| A |) on 1-de arv ja (| M \! - \! A |) 0-de arv; autor Isom,stringi järjekord ei oma tähtsust. Nii et Q saab sõnade kogumiks (W_Q), see tähendab formaalseks keeleks: sümbolite kõigi lõplike stringi komplekti alamhulk.^[15]

Nüüd võime küsida, mis on vajalik selleks, et tuvastada, et sõna kuulub (W_Q). Automaadi abstraktne mõiste annab vastuse; automatadid on masinad, mis võtavad vastu või lükkavad tagasi sõnad ja neid liigitatakse vastavalt teostatavate toimingute keerukusele. Automaadi poolt tuvastatav keel on sõnade komplekt, mida see aktsepteerib. ^[16]

Piiratud automaadil on piiratud arv olekuid, sealhulgas algusseisund ja vähemalt üks aktsepteeriv olek. See alustab sõna skannimist algusseisundis vasakpoolses sümbolis ja liigutab igal sammul ühe sümboli paremale ja siseneb vastavalt antud üleminekufunktsioonile (võib-olla) uude olekusse. Kui see võib liikuda mööda kogu sõna, mis lõpeb aktsepteerivas olekus, võetakse see sõna vastu. Automatiseeritud teooria rakendamine üldistatud kvantifikaatorite suhtes algatati van Benthemis (1986) (ptk 7, “Semantilised automatadid”). Lihtne on luua piiratud automaat, mis tunneb ära (forall) (või (forall {^ { text {rel}}} =) kõik), st kontrollides, kas w koosneb ainult 1-st: jääge lihtsalt sisse algusseisund = aktsepteeriv olek seni, kuni ilmub 1, kuid minge tagasilükkavasse olekusse kohe, kui 0 on skaneeritud, ja jääge sinna, olenemata sellest, mis hiljem ilmneb. Veidi keerukam automaat tuvastab (Q _ { text {isegi}}): jälle on kaks olekut, algusseisund = aktsepteeriv olek ja tagasilükkav olek ning see aeg jääb 0-de skaneerimisel samasse olekusse, kuid minge teise olekusse, kui 1 on skaneeritud. Vastuvõtva oleku lõpetamiseks on vajalik ja piisav, et oleks paarisarv 1. See masin kasutab põhiliselt tsükleid pikkusega 2, samas kui esimeses näites oli ainult 1 tsüklit. Helistage viimati nimetatud atsüklilisele automaadile. Van Benthem näitas, et FO-d määratavad kvantandid on täpselt sellised, mida aktsepteerivad piiratud automaadid, mis on atsüklilised ja permutatsioon suletud.ja see aeg jääb 0-de skaneerimisel samaks olekusse, kuid skannimisel 1-ni minnakse teise olekusse. Vastuvõtva oleku lõpetamiseks on vajalik ja piisav, et oleks paarisarv 1. See masin kasutab põhiliselt tsükleid pikkusega 2, samas kui esimeses näites oli ainult 1 tsüklit. Helistage viimati nimetatud atsüklilisele automaadile. Van Benthem näitas, et FO-d määratavad kvantandid on täpselt sellised, mida aktsepteerivad piiratud automaadid, mis on atsüklilised ja permutatsioon suletud.ja see aeg jääb 0-de skaneerimisel samaks olekusse, kuid skannimisel 1-ni minnakse teise olekusse. Vastuvõtva oleku lõpetamiseks on vajalik ja piisav, et oleks paarisarv 1. See masin kasutab põhiliselt tsükleid pikkusega 2, samas kui esimeses näites oli ainult 1 tsüklit. Helistage viimati nimetatud atsüklilisele automaadile. Van Benthem näitas, et FO-d määratavad kvantandid on täpselt sellised, mida aktsepteerivad piiratud automaadid, mis on atsüklilised ja permutatsioon suletud. Van Benthem näitas, et FO-d määratavad kvantandid on täpselt sellised, mida aktsepteerivad piiratud automaadid, mis on atsüklilised ja permutatsioon suletud. Van Benthem näitas, et FO-d määratavad kvantandid on täpselt sellised, mida aktsepteerivad piiratud automaadid, mis on atsüklilised ja permutatsioon suletud.^[17]

Veidi keerukamal automaadil, tõukeautomaadil, on algelisi mäluressursse sümbolivormi kujul, mida saab ülalt alla lükata või üles hüpitada, võimaldades sellel mingil määral jälgida varasematel etappidel toimuvat. Van Benthemi teine tulemus on see, et tõukeautomaatide poolt aktsepteeritud tüübi ({ langle} 1 { rangle}) kvantifikaatorid on täpselt sellised, mille jaoks on numbritevaheline binaarsuhe (esimese astme vahenditega) lisaaritmeetikas määratletav., st mudelis ((N, +)), kus (N = {0,1,2, \ ldots }). Näide on (Q ^ R) (või kõige enam selle relativiseerimine): meil on (Q ^ R (m, n) vasakpoolne nool m <n) ja parem külg on määratletav jaotises ((N, +)) poolt (eksisteerib x (x \ neq 0 \ kiil m + x = n)). ^[18]

Seega sobitatakse algoritmiline iseloomustus loogilisega. See on üks silmapaistev suund algoritmilise keerukuse uurimisel. Mõelge nüüd kõige üldisematele abstraktsetele automaatidele või arvutusseadmetele, st Turingi masinatele. Üks (paljudest) huvitavatest keerukusklassidest on PTIME: probleem, mida identifitseeritakse koos sellele vastava sõnade komplektiga, on PTIME, kui on olemas polünoomi (p (x)) ja Turingi masin, mis aktsepteerib W-d, nii et alati (w \ W-s) on pikkusega n, võtab aktsepteeritav arvutus maksimaalselt (p (n)) sammu. PTIME-probleeme peetakse tavaliselt „jälgitavaks”, samas kui keerukamaid probleeme on „raskesti lahendatavaid”, näiteks EXPTIME-probleeme, kus nõutavate toimingute arv võib plahvatuslikult kasvada. Immermani ja Vardi varaseks tulemuseks on see, et PTIME (sõnu kodeerivad) piiratud mudelite kogumid on täpselt sellised, mida kirjeldatakse üksikute lausetega rakenduses (FO (LFP)), mis on FO loogika koos lisatud mehhanismiga kõige vähem fikseeritud moodustamiseks -punktid.^[19] Siin peame esindama mitte ainult monaadilisi mudeleid, vaid ka suvalisi mudeleid. Näiteks binaarset seost universumis ({1, \ ldots, m }) saab tähistada sõnaga (w_ {11} cdots w_ {1m} # \ ldots \ #w_ {m1 } cdots w_ {mm}), kus ((i, j)) iff (w_ {ij} = 1) seosed kehtivad. Kuid seekord tundub, et järjekord pole oluline, ja tegelikult mainiti Immermani ja Vardi tulemusi ainult mudelites, millel on antud lineaarne järjekord ja binaarne predikaatmärk, mis tähistab seda tellimust.

Loogikat nagu (FO (LFP)) saab uuesti vormistada kui loogikat kujul (FO (Q_1, Q_2, \ ldots)). Siin võib olla vaja lõpmata palju kvantifitseerijaid, kuid mõnel juhul piisab ühest. Mis puutub (FO (LFP)), siis piisab, kui lisada kõik kvantifikaatori kõik kokkuvõtted (vt eespool punkti 5 lõppu). Üldisemalt öeldes, olgu (FO ^ * (Q_1, Q_2, \ ldots)) nagu (FO (Q_1, Q_2, \ ldots)), kuid mehhanismidega relativiseerimiseks (jaotis 7) ja iga jätkamiseks (Q_i) k-nupuni iga k korral. Siis on üks kvantifikaator Q, näiteks (FO (LFP) = \ FO ^ * (Q)).

Nii et üldistatud kvantifikaatorid jäävad lihtsaks ja mitmekülgseks viisiks väljendusjõu lisamiseks FO-le. Üks loomulik küsimus oli, kas ülalnimetatud PTIME loogilist iseloomustust saaks üldistatud kvantifikaatorite abil parendada, eriti kui sel viisil saaks eemaldada piirangud tellitud struktuuridele. Vastus osutus aga eitavaks, kuna Hella (1989) tõestas, et meelevaldsete piiratud struktuuride PTIME-arvutatavaid omadusi ei saa iseloomustada piiratud arvu üldistatud kvantifikaatorite lisamisega FO-le või isegi (FO (LFP)). Küsimus, kas PTIME-d saab iseloomustada vormi loogikaga ((FO ^ * (Q))), jääb siiski lahtiseks (selle lahendamine oleks tõesti keeruline läbimurre keerukusteoorias).

10. Üldistatud kvantifikaatorid ja loomulik keel

1960. aastate lõpus näitas Richard Montague, kuidas looduslike keelte oluliste osade semantikat saab loogiliste vahenditega käsitseda. ^[20] Üks tema peamisi arusaamu oli, et nimisõnafraase (NP) saab tõlgendada domeeni alamhulkade kogumina, st kui (mida me nüüd nimetame) tüüpi ({ langle} 1 { rangle}) kvantifikaatoriteks. Montague töötas tüübiteoorias, kuid 1980. aasta paiku hakkasid mitmed keeleteadlased ja loogikud kasutama loomuliku keele semantikas üldiste kvantifikaatoritega loogika mudelteoreetilist raamistikku. ^[21] Mõelge lihtsa ingliskeelse lause ülesehitusele, mille subjektiks on kvantifitseeritud NP: ^[22]

• (17)

  

(Subjekti) NP koosneb determinandist ja nimisõnast (N). Nii nimisõnal kui ka tegusõnafraasil (VP) on laiendina komplektid ja seetõttu võetakse determinandiks loomulikult kahendite vahelise binaarse seose tähistamine, st tüübi ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikaator. Lause (17) lausungil on (diskursus) universum (näiteks konkreetse ülikooli inimeste kogum), kuid enamiku, vähemalt viie ja sarnase väljendi tähendus ei ole seotud konkreetsete universumitega. Näiteks kõigi sõnade tähendus

• (18) a. Kõigile kassidele meeldib piim.
• b. Kõigil elektronidel on negatiivne laeng.
• c. Kõigil naturaalarvudel on järeltulija.
• d. Kõik kaksikud meeldivad üksteisele.
• e. Kõik Hausdorffi tühikute alamkomplektid on suletud.

sellel pole midagi pistmist kasside või elektronide, numbrite või kaksikute või Hausdorffi tühikutega ega ka diskursuseuniversumitega, mis võivad olla seotud ülaltoodud näidetega. See tähendab lihtsalt kaasamise suhet, sõltumata sellest, millest me räägime. Seetõttu sobib üldistatud kvantifikaator kõik, mis seob iga universumiga M inklusioonisuhte M kohal, kõigi ja samamoodi ka teiste määrajate jaoks.

Vormi lausetele (17) on iseloomulik, et nimisõna argument ja VP argument pole võrdsed. Nimisõna kombineerub determinandiga, moodustades eraldi komponendi NP, ja seda koostisosa võib tähistada ka üldistatud kvantifikaatori, seekordse tüübi ({ langle} 1 { rangle}) tähistamiseks. Seega tähistab vähemalt viis õpilast universumi alamhulkade kogumit, mis sisaldab vähemalt viit õpilast. See kvantifikaator tuleneb esimese tüübi ({ langle} 1,1 { rangle}) kolme argumendi külmutamisest õpilaste rühmale; kirjutame selle kolme (^ { textit {student}}). Üldiselt, kui A on fikseeritud kogum ja Q on tüübi ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikaator, võib määratleda tüübi ({ langle} 1 { rangle}) kvantifikaatori (Q ^ A) autor

) silt {19} silt {QA} (Q ^ A) _M (B); \ Longleftrightarrow _ { text {def}}; Q_ {M \ tass A} (A, B))

mis tahes M ja (B \ subseteq M) jaoks. Kompositsioonilises semantikas on loomulik, et lause igal koostisosal on eraldi tähendus või tähendus ning nimisõnafraaside vaikimisi tähendused on tüüpi ({ langle} 1 { rangle}) kvantifikaatorid.

See kehtib ka mõnede NPde kohta, millel puuduvad määrajad, nagu näiteks kohanimed. Kui leksikaalsele üksusele John omistatakse tõlgenduse abil mõni indiviid j, võib NP John-i tähistada kvantifikaatoriga (I_j), mis on iga M jaoks määratletud

[(I_j) _M = {B \ subseteq M \ !: j \ in B })

See on tegelikult hästi motiveeritud mitte ainult seetõttu, et NP-de tõlgendamine muutub ühtlasemaks, vaid ka seetõttu, et John saab kombineerida kvantifitseeritud NP-dega:

(20) Koosolekule tulid John ja kolm professorit

Siin on mugav, kui Johnil ja kolmel professoril on sama semantiline kategooria. Pange tähele, et üldistatud kvantifikaatoritel - erinevalt inimestest! - on selge Boolei struktuur; määratleda (siin tüüpi ({ langle} 1 { rangle}) puhul, kuid samamoodi mis tahes muu tüübi korral)

) alusta {joonda} (Q_1 \ kiil Q_2) _M (A) & \ iff (Q_1) _M (A) textrm {ja} (Q_2) _M (A) (neg Q) _M (A) & \ iff \ textrm {not} Q_M (A) end {joondada})

Siis võime võtta keermeste määraja punktis (20), et tähistada (I_j \ kiil \ textit {kolm} ^ { textit {professor}}). Samamoodi keeruline NP

(21) Johannes ja Maarja tulid kohtumisele

tähistab (I_j \ kiil I_m).

Tüüpi ({ langle} 1,1 { rangle}) määrava detaili esimest argumenti (tulevat nimisõna) nimetatakse sageli selle piiranguks ja teist ulatust. Nende kahe argumendi süntaktilise oleku erinevusel on selge semantiline vaste.

11. Konservatiivsus

Varakult täheldati seda tüüpi ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantitaatoritel, mida looduslike keelte määrajad tähistavad, järgmine omadus:

• (22) Konservatiivsus (Conserv):

  kõigi M ja kõigi jaoks (A, B \ subseteq M), [Q_M (A, B) Qff Q_M (A, A \ cap B).)

Seda võib näha järgmistest lausepaaridest, kus on selge, et teine lause on lihtsalt ebamugav moodus esimese väljendamiseks:

• (23) a. Enamik õpilasi suitsetab.
• b. Enamik õpilasi on õpilased, kes suitsetavad.
• (24) a. Vähemalt viis professorit puudusid.
• b. Vähemalt viis professorit puudusid professorid.
• (25) a. Üle kolmandiku kraadiõppuritest on välismaalased.
• b. Üle kolmandiku kraadiõppuritest on välismaised kraadiõppurid.

Conservi sõnul on (Q_M (A, B)) tõesuse huvides ainult see osa B-st, mis on ühine A-ga. See tähendab, et joonisel 1 olev osa (BA) ei oma tähtsust. Tundub, et see kehtib kõigi determinandi deotatsioonide puhul, kuid täiesti loomulike loogiliste kvantifikaatorite puhul, nagu näiteks MO ja I ülaltoodud loendist \ eqref {ex-qlist3}, see ebaõnnestub. Põhjus on see, et determinantide märkimistele on iseloomulik, et piiramisargument piirab kvantifitseerimise valdkonda selle argumendiga.

12. Pikendus

Tegelikult on domeeni piiramise ideel veel üks koostisosa. Kvantifitseerimise valdkonna piiramine M-alamhulgaga A tähendab mitte ainult seda, et (BA) pole oluline, vaid kogu M-i osa, mis asub väljaspool A-d, ja seega ka osa (M- (A \ tass B)) joonisel 1. See on omakorda üldisema omaduse näide, mida saab kohaldada suvaliste üldistatud kvantifikaatorite suhtes:

• (26) Laiend (Ext):

  kui Q on ({ langle} n_1, \ ldots, n_k { rangle}), (R_i \ subseteq M ^ {n_i}) jaoks (1 \ leq i \ leq k) ja (M \ subseteq M '), siis [Q_M (R_1, \ ldots, R_k) iff Q_ {M'} (R_1, \ ldots, R_k).)

See tähendab, et universumi laienemise või kahanemise korral ei juhtu midagi, kuni argumente ei muudeta. Nüüd tuletage meelde, et tüübi ({ langle} 1 { rangle}) kvantifikaatorite jaoks esitasime juba loogilise mehhanismi kvantitatiivse domeeni piiramiseks alamvõrgule relativiseerimise mõttes (punkt 7). Nüüd näeme (allpool punktis b), et Conservi ja Eti kombinatsioon on täpselt sama:

6. fakt

1. Mis tahes kvantifikaatori Q korral vastab (Q {^ { text {rel}}}) Ext.
2. Tüüp ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikaator on Conserv ja Ext siis ja ainult siis, kui see on tüüpi ({ langle} 1 { rangle}) relativiseerimine. ^[23]

Jällegi näib, et kõik determinandi tähistused vastavad Ext. Esmapilgul ei näi miski põhimõtteliselt takistavat keelt, mis sisaldab mõistet, näiteks evso, mis tähendas kõiki vähem kui 10 elemendiga universumites ja mõned suuremates universumites. Kuid mitte ainult seda, et üheski keeles pole sellist determinandit - ei saa olla ka siis, kui determinandi nimisõna argument on kvantifitseerimise valdkonna piiramine selle nimisõna tähistamisega.

Kvantifikaator nagu evso ei ole intuitiivselt konstantne selles mõttes, et see ei tähenda igas universumis sama või seda ei tõlgendata sama reegli järgi. Ext võib pidada tugevaks püsivuse nõudeks: Q-d tõlgendav reegel ei maini isegi universumit. Paljud keele ja loogika kvantifitseerijad on tõepoolest Ext. Nagu nägime, on kõik relativiseeritud kvantifikaatorid Ext ja kõik muud kvantifikaatorid loendites \ eqref {ex-qlist2} - \ eqref {ex-qlist4}, va W. ^[24] Tegelikult näib, et kõik kvantitatiivid, mis võtavad rohkem kui ühe argumendi ja mis ilmnevad loomulikus keeles, on Ext. Ja paljud tüüpi ({ langle} 1 { rangle}) kvantifikaatorid on ka Ext, näiteks (on olemas), (I_j), (Q ^ A) (kui Q on Ext; vt ülaltoodud \ eqref {QA}) ja kõik loendis \ eqref {ex-qlist1}, välja arvatud (Q ^ R).

Kuid (forall) ja (Q ^ R) pole Ext. Kuid kaldutakse ütlema ka nende jaoks, et nad tähendavad ühesugust igas universumis. (Forall) juhtum on eriti huvitav, kuna võib väita, et see tõlgendab NP-sid nagu kõike või iga asja. Siin on tuum asi. Kui seda avaldist peetakse loogiliseks konstandiks, mis tähistab alati universumit, siis tähistavad need NP-d (forall): kõigi M ja kõigi (B \ subseteq M) jaoks,) alusta {joonda} (textit {iga} ^ { textit {asi}}) _ M (B) & \ iff \ textit {iga} _M (M, B) & \ iff M \ subseteq B & \ iff M = B \& \ iff \ forall_M (B) lõpp {joonda})

Kui Ext hoiab käes, võime tavaliselt alla lasta alaindeksi M ja kirjutada näiteks

[Q (A, B))

mitte (Q_M (A, B)). See tähendab, et sobivat universumit saab eeldada, kuid jätta tagaplaanile.

13. Sümmeetria ja monotoonsus

Teisi omadusi ei jaga kõik looduskeele kvantandid, vaid eraldavad olulised alaklassid. Me mainisime kahte juba eespool jaotises 2: sümmeetriat ja monotoonsust. Tüüpilisteks sümmeetrilisteks kvantifikaatoriteks on mõned, mitte, vähemalt viis, täpselt kolm, paarisarv, lõpmata palju, samas kui enamik, kõige rohkem üks kolmandik, on mittesümmeetrilised. Teine võimalus sümmeetria väljendamiseks on öelda, et (Q (A, B)) tõeväärtus sõltub ainult hulgast (A \ cap B). Täpsemalt öeldes, kutsuge Q ristmikul, kui kõigi M ja kõigi (A, A ', B, B' \ subseteq M) korral:

(27) Kui (A \ cap B = A '\ cap B'), siis (Q_M (A, B) Vasakpoolne nool Q_M (A ', B'))

Seda saab hõlpsalt kontrollida:

7. fakt

Konservatiivse tüübi ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikaatorite korral on sümmeetria ja ristumisvõime samaväärsed. ^[25]

Märkisime, et mõned sülogismid väljendavad monotoonsust. Lühima märke korral on tüüp ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikaator Q

paremale kasvav (paremale langev) iff kõigi M ja kõigi (A, B \ subseteq B '\ subseteq M) (kõigi (A, B' \ subseteq B \ subseteq M)), (Q_M (A, B)) tähendab (Q_M (A, B ')).

Sarnaselt vasakpoolse suurenemise või vähenemisega ja tõepoolest monotoonsusega üldistatud kvantifikaatori mis tahes antud argumendikohas. Eelkõige on selge, mida tähendab, kui tüüp ({ langle} 1 { rangle}) on ühetooniline. Monotoonsus on looduskeele kvantitaatorites üldlevinud. Näib, et süntaktiliselt lihtsad ingliskeelsed NP-d tähistavad kõik monotoonseid (suurenevaid või vähendavaid) tüüpi ({ langle} 1 { rangle}) kvantiive ja peaaegu kõik süntaktiliselt lihtsad ingliskeelsed määrajad tähistavad õigeid monotoonseid kvantiive. ^[26] Meil on ka:

• (28) a. Kvantifikaatorite (I_j) (pärisnimed) arv suureneb
• b. (Q ^ A) suureneb (väheneb), kui Q õigesti kasvab (väheneb).

Aristotelesed kõik, mõned mitte, on mõlemas argumendis ühetoonilised (nt kõik on paremal suurenev ja vasakul langev), nagu vähemalt viis, mitte rohkem kui kümme, lõpmata palju, samas kui enamikul, vähemalt kaks kolmandikku neist on parempoolsed, kasvab kuid ei suurene ega vähene vasakpoolses argumendis. Täpselt kolm, vahemikus kaks kuni seitse ei ole ühetoonilised, ehkki mõlemad on suureneva ja parema (ja parema ja vasaku) kvantifikaatori (nt vähemalt kolm ja maksimaalselt kolm) koosseisud, vastupidiselt paarisarvule, mis ei ole (piiratud) tõeväärtuse kombinatsioon monotoonsetest kvantifikaatoritest.

Nii sümmeetrial kui ka monotoonsusel on teatud keeleliste nähtuste jaoks oluline seletav roll. Sümmeetria on iseloomulik (enamusele) nn eksistentsiaalsetes lausetes lubatud kvantifikaatorites (nt. Aias on vähemalt viis meest korras, aga aias on enamik mehi, kes seda pole). Polaarsuse ühikute jaotuse selgitamiseks on monotoonsus ülioluline (keegi ei õnnestu kunagi hästi, kuid keegi kunagi õnnestub, see pole nii: negatiivse polaarsusega üksused, nagu näiteks kunagi vajavad vähenevat keskkonda). ^[27] Lisaks on monotoonsus olulisel määral seotud mõttekäikude loomulike vormidega; vt punkt 18.

14. Määrajad, mis ei ole ISOM

Mõelge

• (29) Jaani raamatud varastati.
• (30) Mõnda õpilase raamatut ei tagastatud.
• (31) Koosolekule ei tulnud ühtegi professorit peale Maarja.
• (32) Kõik rannaskäijad, välja arvatud mõned entusiastlikud ujujad, olid täielikult riides.
• (33) Suitsetab rohkem mehi kui naisüliõpilasi.

Väljendid Jaani, mõne õpilase, mitte _ välja arvatud Maarja, kõik _, välja arvatud mõned entusiastlikud ujujad, rohkem meessoost kui naissoost, peetakse loomulikult määrajateks: koos nimisõnadega moodustavad nad fraasid, mis käituvad nagu tavalised NP-d. Samuti on nende poolt tähistatud tüüpi ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikaatorid Conserv ja Ext. Näiteks on järgmise paari laused triviaalselt samaväärsed:

• (34) a. Jaani raamatud varastati.
• b. Jaani raamatud on varastatud raamatud.

Kuid erinevalt eelmistest näidetest ei ole need Isom, kuna need hõlmavad mingit fikseeritud isikut või vara: kui Johannese raamatud varastati ja kui varastatud raamatuid on sama palju kui punaseid pliiatseid (mõnes diskursuse universumis), ja varastamata raamatute arv on sama kui punaste pliiatsite arv, ei järeldu, et Jaani pliiatsid oleksid punased, nagu Isomil oleks.

Nii nagu mitte-Isomi kvantifikaator kolm (^ { textit {student}}) tuleneb Ext kvantifikaatori piiranguargumendi külmutamisest, tulenevad ka ülaltoodud isomivälised kvantifikaatorid argumentide külmutamisest abstraktsemates suhetes, mis on Isom. Me illustreerime seda valdava määraja Johannesega. ^[28]

Arvestades, et John tähistab indiviidi j, saab determinandi Johni kõigi M ja kõigi (A, B \ subseteq M) jaoks määratleda järgmiselt: ^[29]

) texttt {Johannese} _M (A, B) iff \ emp \ neq A \ cap R_j \ subseteq B)

kus (R_j = {b \ in M \ !: R (j, b) }) ja R on mingi „valdaja” suhe; on hästi teada, et see seos varieerub asjaoludest palju - võiks rääkida raamatutest, mis Johannesel on või on kirjutatud või laenatud või Maarjale kingituseks ostetud jne. Oletame, et R on omand. Siis (29) ütleb, et Johannesel on vähemalt üks raamat ja kõik tema valduses olevad raamatud varastati. Vaatleme nüüd üldisemat "kvantifikaatorit", mille on määratlenud: (a \ in M ), (R \ subseteq M ^ 2) ja (A, B \ subseteq M)

) mathbf {P} _M (a, R, A, B) iff \ emp \ neq A \ cap R_a \ subseteq B)

Võib öelda, et see on üldistatud tüüpi kvantifikaator tüübiga {({ langle} 0,2,1,1 { rangle}), lubades 0-l seista üksikisikute eest. (mathbf {P}) on Isom (laiendades määratlust \ eqref {ex-isom} ilmselgelt seda tüüpi kvantifikaatoriteni) ja Johni tulemused, külmutades kaks esimest argumenti sobivateks väärtusteks.

Sarnased konstruktsioonid toimivad ka muude looduslike keelte kvantifikaatorlausete korral, mis tähistavad mitte-isomi kvantiive. Näiteks determinant nr _ välja arvatud Mary tähistab (arvestades, et Mary tähistab m)

[(texttt {no _ välja arvatud Mary}) _ M (A, B) iff A \ cap B = {m })

See tähendab (31), et Maarja on professor, et ta tuli koosolekule ja et ükski teine professor seda ei teinud. Jällegi on hõlpsasti määratletud vastav Isomi kvantifikaator tüübiga ({ langle} 0,1,1 { rangle}). Nii saab Isomi loomulike keelte kvantitaatorite jaoks otsida. Teisest küljest, tüübi ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikaatorite seostamine määrajatega sobib paremini süntaksiga ja võimaldab paljusid üldistusi determinantide tähistamise kohta pidada ka mitte-Isomi juhul.

15. Püsivus

Isom, st teemaneutraalsus, on tavapäraselt vähemalt loogilise konstandi olemasolu vajalik tingimus. ^[30]Loogilisust ja püsivust on võimalik eristada varem nimetatud tähenduses, mis tähendab erinevates universumides ühesugust. Esiteks on loogilisus omadus, mis tuleks määratletavuse korral sulgeda, samas kui pole sugugi selge, et püsivus peaks olema samamoodi suletud. Näiteks pange tähele, et Ext-i kvantifikaatorite klass ei ole esimese astme määratletavuse korral suletud. Täpsemalt, see on suletud tavaliste Boole'i toimingutega, kuid mitte sisemise eituse ja seega ka duaalide võtmiseta, kus ({ langle} 1 { rangle}) kvantifikaatori Q sisemine eitus on defineeritud ((Q \ neg) _M (A) Leftrightarrow Q_M (M \! - \! A)) ja kahekordne - (Q ^ d = \ neg (Q \ neg)). Näiteks (on olemas ^ d = \ forall).

Üks intuitsioon võib olla, et püsivuseks piisab Ext-ist. Kuid erinev intuitsioon on see, et kvantifikaator, mis tähendab sama kõigis universumites, peaks rahuldama Isomit, mis sunnib Q olema “sama” kõigis sama kardinaalsuse universumites. Need kaks ideed ei ole ühitatavad, kuna koos tähendavad nad, et Ext vihjab Isomile, mis on ilmselgelt vale. On selge, et ebamäärane mõiste, mis tähendab erinevates universumides ühesugust tähendust, tunnistab erinevaid täpsustusi. Lähemal vaatlusel näib ebatõenäoline, et oleks olemas üks täpne versioon, mis mahutaks kõik intuitsiooni sarnasuse kohta.

Selles olukorras oleks soovitatav lihtsalt sätestada, et püsivus on Ext + Isom. See oleks Carnapiani püsivuse selgitus. Selle omaduste kombinatsiooniga kvantifikaatorid näivad kindlasti tähendavat ühesugust kõigis universumites. Teisest küljest ei oleks Ext-i, kuid mitte-Isomi kvantifikaatoritel nagu kolm (^ { textit {student}}) või mõnel professoril eri valdkondades sama tähendus, nagu nägime, et see vastab ühele intuitsioonile. Lisaks on vähesed looduslikud mitte-Ext-kvantandid, millega oleme kokku puutunud, määratletavad Ext + Isom-i kvantifikaatorite abil. ^[31]

16. Polüaadiliste looduskeele kvantitaatorid

Mõelge tüüpilisele ingliskeelsele lausele, kus kvantifitseeritakse nii subjekt kui ka objekt:

(35) Enamik filme vaatas läbi kaks kriitikut

Punkti (36) tõetingimused võib anda polüadilise kvantifikaatorina, tüüp ({ langle} 1,1,2 { rangle}) (jättes välja M):

[Q (A, B, R) iff \ textit {Most} (A, {a \ !: \ textit {two} (B, R_a) }))

(See on "kitsa ulatusega" lugemine; "laia ulatusega" lugemine oleks selle asemel (textit {two} (B, {b \ !: \ textit {most} (A, (R ^ {- 1}) _b))).) Kuid see polüadiline kvantifikaator tuleneb kahesugusest ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikaatorist üldlevinud konstruktsiooni abil, mida me kutsume iteratsiooniks. Kui (Q, Q ') on tüüpi ({ langle} 1 { rangle}), määratlege tüüp ({ langle} 2 { rangle}) kvantifikaator (Q \ cdot Q') kõrval

) silt {36} Q \ cdot Q '(R) iff Q ({a \ !: Q' (R_a) }))

Seejärel saame kahesuguse ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikaatori (Q_1, Q_2) iteratsiooni, nagu ülalpool, kasutades (Q_1 ^ A \ cdot Q_2 ^ B). Iteratsioonide omadusi uuriti van Benthemis (1989), Keenanis (1992), Westerståhlis (1994) ning Steinert-Threlkeldis ja Icardis (2013).

Keenan arvab iteratsiooni kui Frege'i piiri. Nagu ta ja teised märkisid, näib, et selle piiri taga on palju looduskeele kvantitaate, st iteratsioonidena määratlematuid. Toome siinkohal mõned näited; äsja antud viidetest võib leida palju muud. Järgmine lause võib iteratsiooni väljendada, kuid tegelikult ei tee seda.

(37) Erinevad õpilased vastasid eksamil erinevatele küsimustele

Näites (37) on eeldatavasti erinevaid tõlgendusi, näiteks üks, mis kasutab järgmist tüüpi ({ langle} 1,1,2 { rangle}) kvantirti:

[Q (A, B, R) iff \ forall a, b \ in A (a \ neq b \ Rightarrow B \ cap R_a \ neq B \ cap R_b))

See kvantifikaator on endiselt esmajärjekorras määratletav, kuid mitte iteratsioon. ^[32] Järgnevalt kaaluge

• (38) a. Inimesed on tavaliselt tänulikud tuletõrjujatele, kes neid päästavad.
• b. Mehed teevad prille kandvatel tüdrukutel harva möödasõite. (Dorothy Parker)

Vanasõnu nagu tavaliselt, harva, alati, ei saa kunagi üldiste kvantifikaatorite tähistamiseks (tähelepanek algselt tehtud Lewises (1975)). Näiteks, Koerad kunagi ei mühi, on laias laastus sünonüüm nimega Koerad mitte niita. Kuid (38) kohta võib väita, et on olemas selline lugemine, kus kvantifikaator kehtib paaride kohta: paaridest, mis koosnevad inimesest ja tuletõrjujast, kes selle inimese päästab, on enamus sellised, et inimene on tänulik. See on lihtsalt enamiku paaridena jätkamine, mille määratlesime kataloogis \ eqref {ex-qlist4}:

[Res ^ 2 (textit {most}) (R, S) iff | R \ cap S | > | RS |)

Nii et (38b), (R (a, b)) iff (a \ in \ textit {person}) ja (b \ in \ textit {fireman}) and (a:: textit {päästetud} b) ja (S (a, b)) kui a on tänulik b-le. Võib näidata, et paljude kvantifikaatorite, eriti enamiku, jaoks pole (Res ^ n (Q)) määratletav jaotises (FO (Q)). Tegelikult ei saa (Res ^ 2 (textit {most})) määratleda ühegi lõpliku arvu monaadsete kvantifikaatorite abil, seega on see näide pöördumatult polüaadilisest kvantifikaatorist. ^[33]

Järgmine:

• (39) a. Viis Bostoni kannut istusid üksteise kõrval.
• b. Enamik parlamendiliikmeid viitavad üksteisele kaudselt.

Siin (39a) võivad olla tõesed tingimused

) eksisteerib X \ subseteq \ textit {Bostoni kannel} [| X | = 5 \ amp \ textit {RECIP} (X, \ textit {istus kõrvuti})])

kus RECIP on tüüp ({ langle} 1,2 { rangle}) kvantifikaator, mis on määratletud \ eqref {ex-qlist4}. See tähendab, et komplektis on viis Bostoni kannut, nii et kui võtate neist kaks, istuvad nad üksteise kõrval või on üks kann või kaks või kõige rohkem kolm (kõik valitud komplektis), nende vahel. Samamoodi (39b). See on vaid üks mitmest polüaadiliste kvantifikaatorite konstruktsioonist, mis esinevad vastastikuses lauses. ^[34]

Lõpuks kaaluge lauset

(40) Enamik teie klassi poisse ja enamik minu klassi tüdrukuid on kõik üksteisega kursis olnud

(40) on esitatud hargnenud kvantifitseerimise näitena, mille saab kahemõõtmelises loogilises vormingus kirjutada järgmiselt:

• (41)

  

kus kavandatud näit on see, et on A alamhulk X, mis sisaldab enamikku elemente A, ja samavõrd suur alamhulk Y B, nii et iga paar ((a, b)) kus (a \ X-is) ja (b \ Y-s) kuuluvad suhtesse R. Üldisemalt on meil polüaadiline kvantifikaator tüübiga ({ langle} 1,1,2 { rangle}), mis on määratletud mis tahes (Q_1, Q_2) tüüpi ({ langle} 1,1 { rangle})

) silt {42} silt {ex-br} Br (Q_1, Q_2) (A, B, R) iff \\ \ eksisteerib X \ subseteq A \: \ eksisteerib Y \ subseteq B \, [Q_1 (A, X) amp Q_2 (B, Y) amp X \ korda Y \ subseteq R])

Üsna usutavalt annab see näidu (40). Pange tähele, et x ja y on siin üksteisest sõltumatud. Kui keegi selle asemel kasutaks mõnda lineaarset lauset

) textit {most}: x (A (x), \ textit {most}: y (B (y), R (x, y))) \ \ textit {most}: y (B (y), \ textit {most}: x (A (x), R (x, y)))]

siis kas y sõltub x-ist või vastupidi. Kahemõõtmeline süntaks lõigus (41) kajastab seda semantilist sõltumatust. ^[35]

Võib näidata, et (Br (textit {most}, \ textit {most})) pole ainuüksi (FO (textit {most})) väljendatav; tõepoolest mitte ühegi lõpliku arvu monaadsete kvantifikaatoritega (tõestuseks vt Hella, Väänänen ja Westerståhl (1997)). Teisest küljest saadakse hargnevad kvantandid monaadsete kvantifikaatorite „tõstmise” operatsiooni abil ja sarnaselt jätkamiseks. Ehkki looduskeeles on arvukalt polüadilisi kvantifikaatoreid ka väljaspool Frege'i piiri, võiks siiski õigustada väidet, et need kõik saadakse süstemaatiliselt monadiliste kvantifikaatorite abil.

17. GQ teooria ja lingvistika

Üldistatud kvantifikaatorite tulek mõjutas 60-ndate aastate lõpus Montague'i töö kaudu keelelist semantikat tohutult, seda tugevdas Barwise ja Cooperi, Keenani ja Stavi jt 80-ndate aastate alguses mudelteoreetiliste meetodite rakendamine (vt märkus 21). Nende tööde peaaegu kõigis näidetes oli loomulik keel inglise keel. Lingvistid on sellest ajast peale rakendanud ja testinud GQ teooria vahendeid ja meetodeid ka teistes keeltes. Kollektsioon Bach jt. (1995) on muu hulgas seitse teistes keeltes kvantifitseerimise juhtumianalüüsi. See rõhutab ka vahet D-kvantifitseerimise ja A-kvantifitseerimise vahel. D-kvantifitseerimisel, mida enamikul meie näidetest seni on, on kvantifikaatori väljend (tavaliselt) määraja, mis kehtib nimisõna suhtes. A-kvantifitseerimine toimub muudel viisidel - A tähistab määrsõnu, abisõnu,afiksid ja argumendistruktuuri kohandajad. Paljud keeled eelistavad A-kvantifitseerimist, mõned eranditult. Inglise keeles on mõlemad tüübid; tuletage meelde lõigus 38 toodud kvantifitseerimise määrsõnu.^[36]

Hiljuti on köidetes Keenan ja Paperno (2012) ning Paperno ja Keenan (2017) eraldi peatükk, mis vastab kindlatele küsimustele, mis käsitlevad kvantifitseerimise väljendamist iga 34 erineva keele osas (erinevad ka ülalnimetatutest), et nende ekspressiivsete ressursside ulatuslik loetelu. ^[37]Lähenemisviis on semantiline: küsimused on vormis „Kas X saab teie keeles väljendada ja kui jah, siis millistel viisidel?“, Mis võimaldab esitada täpsed küsimused konservatiivsuse, monotoonsuse, polaarsuse elementide, monaadilise ja polüaadilise kvantifitseerimise jne kohta. pannakse igasse keelde. Viimases peatükis esitatud kokkuvõte näitab, et paljud inglise keele kohta kehtivad üldistused, mis käsitlevad teatavaid kvantifitseerivaid väljendeid ja nende omadusi, kehtivad ka kõigis või enamikus teistes uuritud keeltes (Keenan ja Paperno, loetelu 25 üldistused).

Teisest küljest on mõned keeleteadlased alates 1990. aastatest väitnud, et GQ teooria ei suuda arvesse võtta paljusid olulisi semantilisi nähtusi - inglise keeles ja teistes keeltes -, mis on seotud kvantifitseerimisega. Szabolcsi (2010) annab nende arengute kohta üksikasjaliku ülevaate. Üks probleem on see, et GQ teoorial ei näi olevat midagi öelda keerukate determinantide kompositsioonilise tähenduse kohta. Näiteks kuidas on enam kui viie tähendus tuletatud selle osade tähendustest? Või kaaluge enamikku, mida sageli käsitletakse lihtsa määrajana, ehkki selle tähendus peab mingil juhul tulema sellest, et olla ülivõrre.

Teine probleemne nähtus on ulatus. Ehkki GQ teooria näib põhimõtteliselt võimaldavat kõiki pesastatud kvantifikatsioonilausete teoreetiliselt võimalikke ulatusi, on naturaalsetel keeltel piirangud, mis reguleerivad, millised neist on tegelikult lubatud. Ulatus on tõepoolest keelelise süntaksi ja semantika põhiteema ning keeruline. Probleem on ka metoodiline: kuidas kindlaks teha, kas antud lause S võib tegelikult tähendada Y (kus Y vastab konkreetsele ulatusele)? Esiteks tuleb välja filtreerida juhtumid, kus Y-i kättesaamatus sõltub faktidest maailma, mitte keele kohta. Teiseks, kelle intuitsiooni tuleks arvestada: rolli peaksid mängima keeleteadlased või testolukorras emakeelena kõnelejad või võib-olla statistilised tõendid? Ikkagi,kuigi on tõsi, et paljud esmapilgul võimatuna näivad lugemised on tegelikult kättesaadavad piisavalt konkreetses kontekstis, on usutav, et keeltel on ulatusepiirangud väljaspool GQ-teooria ulatust.^[38]

GQ-teoreetik võis vastata, et tema tööriistad polnud kunagi ette nähtud ulatuse täielikuks selgitamiseks ega iga keerulise väljendi kompositsioonianalüüside võimaldamiseks. Mudeeteoreetiline raamistik on esiteks kirjeldav: see pakub matemaatilisi objekte, mida saab kasutada tähenduse (mudelitena), ning sõnastada nende objektide omadused ja seosed. Mõnikord näitavad matemaatiliste objektide faktid teadmisi modelleeritavatest asjadest, näiteks monotoonsuse ja polaarsusega üksuste või ühendatud nimisõnafraaside tähenduse kohta. Kuid pole põhjust eeldada, et see juhtub igal juhul.

Need on seisukohad käimasolevas arutelus formaalsete meetodite ja eriti mudelteoreetiliste vahendite rolli üle semantikas; arutelu, mis pole mingil juhul lahendatud. Selge on see, et looduslike keelte kvantifitseerimisega seotud nähtused pakuvad sellele arutelule jätkuvalt suurepärast materjali.

18. Kvantifitseerimine ja tunnustamine

Viimastel aastatel on plahvatuslikult kasvanud semantikat, mõttekäiku ja tunnetust ühendav töö, mis on palju seotud sellega, kuidas kõnelejad kvantitatiivsete väljenditega aru saavad ja õpivad ning põhjustest aru saavad. Uurimistöö peamine suund on seotud monotoonsusega (punkt 13). Juba Barwise ja Cooper (1981) märkisid monotoonsete kvantifikaatorite üldlevinud kuuluvust looduslikes keeltes ja pakkusid välja viisi, kuidas näidata, et monotoonseid kvantiive on lihtsam töödelda kui mittemonotoonseid ja et kvantifikaatorite suurendamine on lihtsam kui kärpeid vähendav. Samuti pakkusid nad välja, et nende hüpoteesi kontrollimiseks võiks kasutada psühholoogilisi eksperimente. Nende tehnilist ettepanekut arendati edasi van Benthemis (1986), mis tutvustas loenduse keerukuse mõistet ja näitas, et mõne eelduse kohaseltminimaalse arvu keerukusega kvantifikaatorid on just need, millel on teatud tugev monotoonsus.^[39]

Monotoonsus on seotud ka sellega, mida van Benthem on nimetanud “üheastmeliseks” mõttekäiguks, mis näib kõnelejatele hõlpsasti kättesaadav. Põhiliste määrajate monotoonsus näitab juba, kuidas selline arutluskäik on litsentsitud. Parempoolse suureneva (väheneva) tüübi ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikaatorite märkimine + (a (-)) paremal ja sarnaselt vasakpoolse monotoonsusega on meil näiteks:

(- \ textit {iga} +) (+ \ textit {some} +) (- \ textit {no} -) (cdot \, \ textit {most} +) (cdot \, \ textit {täpselt kolm}, \ cdot)

kus (cdot) tähistab, et positsioon ei vähene ega suurene. Tore näide on järgmised järeldused (Icard ja Moss (2014), kohandades näidet Geurts ja Slik (2005)):

(43) Enamik ameeriklasi, kes oskavad võõrkeelt, räägivad seda kodus Enamik ameeriklasi, kes oskavad võõrkeelt, räägivad seda kodus või tööl

Eeldus on enamiku eesli lause ja nende kuritarvitamise kohta on raske täpselt määratleda. Tegelikult on mitu lugemist võimalik. ^[40] Hoolimata sellest ei tundu kõnelejatel mingit probleemi selle järelduse tegemisel, kuna ilmselt suureneb enamus õigusega (asepresidendi argument räägib seda kodus nii, et seda räägitakse kodus või tööl), sõltumata sellest, mis subjekti nimisõna on fraas (mõlemas lauses sama) tähendab täpselt.

Lisaks määrajatele näitavad paljud muud väljendid ja fraasid fikseeritud monotoonsuse mustreid. Alustades van Benthemist (1986), on see viinud algoritmideni, kuidas polaarsuse markerid omistatakse lausete analüüsi puude sõlmedele (antud grammatika suhtes) või kuidas selliseid markereid otse tüübimärgistusse lisada; ülevaate ja täiendavate viidete saamiseks vt Icard ja Moss (2014). Lisaks nende rollile järelduses võib selline märgistamine seletada ja mõnikord isegi ennustada negatiivse polaarsusega üksuste jaotust keeltes (13. jao lõpp). Lisaks pole paljudel juhtudel süntaktiline analüüs vajalik: järeldusi saab teha otse pinnavormil ja need oleksid kõlaritele selles mõttes kättesaadavad; võrrelda (43). Äsja mainitud artiklis on esitatud ka formaalse monotoonsuse kalkuleerimise täielik aksiomatization,milles saab väljendada paljusid monotoonsusega mõttekäike.^[41]

Mõnevõrra paralleelseks arenguks on olnud erinevate siloloogiliste fragmentide ametlik uurimine; me märkisime jaotises 2, et paljud sülogismid väljendavad monotoonsust. Need katkendid, millest enamikku on uurinud Ian Pratt-Hartmann ja ennekõike Larry Moss, ulatuvad lõikudest, mis sisaldavad ainult lihtsaid lauseid nagu allXY või someXY, kuni fragmentideni, mis võimaldavad täiendusi, suhtelisi fraase, transitiivseid tegusõnu, mitte-esimese järgu kvantiive nagu enamik, ja muud funktsioonid. Siin on näide (Moss pc) sellise fragmendi järeldustest:

Kõigile meeldib kõigile, kellele meeldib Pat Pat meeldib igale klarnetistile kõigile meeldib kõigile, kellele meeldib kõik, kellele meeldib iga klarnetist

See illustreerib, kuidas üsna kaasatud arutluskäiku saab väljendada lihtsas siloloogilises keeles. Järeldus on õige, kuid selle nägemiseks tuleb natuke järele mõelda. ^[42] Enamiku nende fragmentide peamine eripära on see, et lisaks selgesõnalisele täielikule aksiomaatikale on nende kehtivus ka vastupidiselt esimese järgu loogikale otsustatav. See kehtib ka mõne fragmendi kohta, mille kvantitatiivid pole FO-d määratavad. Sarnaselt monotoonsusega, on ka siloloogiliste fragmentide uurimine osa ettevõttest, mida mõneti lõdvalt nimetatakse loodusloogikaks, mille tulemuseks on hästi käituvad tuttavama loogika alamsüsteemid, mis on nii looduskeelele lähedasemad kui ka arvutuslikult paremini jälgitavad; uuringu kohta vt Moss (2015). ^[43]

Kognitiivse poole pealt on kvantifitseerimise ja monotoonsusega seotud mõistmise ja õppimise küsimusi uuritud nii psühholoogias kui ka neuroteaduses. Geurts ja Slik (2005) küsisid katsealustelt, kas teatud monotoonsusega seotud järeldused olid kehtivad või mitte; tulemused kinnitasid suures osas Barwise ja Cooperi varasemaid hüpoteese. Üksikute määrajate tähendust on uuritud ka empiiriliselt; Pietroski jt. (2009) uuris kõige enam, kus meetod oli katseisikutele väga lühikese aja jooksul kollaste ja siniste punktidega piltide kuvamine (loendamise välistamiseks) ja küsis, kas on tõene või vale, et enamik punktidest on kollased. Sellise eksperimendi variatsioonid on kirjanduses tavalised; hiljutine näide on Odic jt. (2018), mis uurib massi / arvu eristamist tunnetuses ja semantikas. Mõlemad uuringud hõlmavad inimese arvu tunnet ja selle seost kvantitatiivse keele mõistmisega. Võib tekitada Whorfianuse hüpoteesi, et viimane on viimase eeldus. Seda testiti neurobioloogiliste meetoditega (aju skaneerimise meetodid koos psühholoogiliste testidega erinevate ajuhaiguste all kannatavate patsientidega) Clarkis ja Grossmanis (2007). Nad ei leidnud sellele hüpoteesile empiirilist tuge; katse kirjeldust ning kvantifitseerimise ja numbrite mõistmise kohta leiate lisaks Clark (2011a). Seda testiti neurobioloogiliste meetoditega (aju skaneerimise meetodid koos psühholoogiliste testidega erinevate ajuhaiguste all kannatavate patsientidega) Clarkis ja Grossmanis (2007). Nad ei leidnud sellele hüpoteesile empiirilist tuge; katse kirjeldust ning kvantifitseerimise ja numbrite mõistmise kohta leiate lisaks Clark (2011a). Seda testiti neurobioloogiliste meetoditega (aju skaneerimise meetodid koos psühholoogiliste testidega erinevate ajuhaiguste all kannatavate patsientidega) Clarkis ja Grossmanis (2007). Nad ei leidnud sellele hüpoteesile empiirilist tuge; katse kirjeldust ning kvantifitseerimise ja numbrite mõistmise kohta leiate lisaks Clark (2011a).

Nüüdseks on olemas arvukas arv empiirilisi uuringuid selle kohta, kuidas erinevad loogiliste või arvutuslike vahenditega tuvastatud kvantifikaatorite klassid kajastuvad õppimises, mõistmises, kognitiivses koormuses jne. Lingvistilised ja kognitiivsed faktid pakuvad vastupidiselt uusi teoreetilisi küsimusi. Näiteks arvutusliku keerukuse osas näitas Sevenster (2006), et kõige hargnevam, nagu punktis 9 (40), on vaevaline. ^[44]Seejärel täheldas Szymanik, et kui taastamis- ja iteratsioonitoiminguid (vastavalt punktides 38 ja 36) rakendatakse PTIME kvantifikaatorites, on tulemus jällegi PTIME, erinevalt hargnemisest. Sarnaselt säilitavad mõned vastastikuste konstruktsioonide vormid PTIME-i arvutatavuse, teised aga mitte: täpselt viie tõstmine RECIP-i abil nagu punktis 39a), kuid sarnaselt enamuse tõstmisega nagu (39b) seda ei tehta.

Van Benthemi semantilise automaatide seadistuses (punkt 9) tõestasid Steinert-Threlkeld ja Icard (2013), et Frege'i piir (punkt 16) on kindel selles mõttes, et kui kaks Conservi ja Ext tüüpi ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifitseerijad on äratuntavad piiratud (või suruvate) automaatide abil, nii on ka nende iteratsioon. Pealegi näitas Steinert-Threlkeld (2016), et suurte ({ langle} 1,1,2 { rangle}) kvantifikaatoriklasside puhul on otsustatav, kas need on tüüpi ({ langle} 1 iteratsioonid., 1 { rangle}) kvantifitseerijaid või mitte. Kvantitatiivse äratundmise kognitiivsete aspektide kohta nii teoreetiliste kui ka empiiriliste tulemuste hiljutine tutvustus on Szymanik (2016).

Antud on arvutuslikud mudelid kvantitatiivide tähenduse õppimiseks; näiteks Clark (2011a) semantilise automaatide seadistuses. Hiljutises arengus uurivad Steinert-Threlkeld ja Szymanik (peagi ilmuv) närvivõrkude tehnoloogiaga õpitavust, katsetades, kas kolme kvantitatiivi, mis rahuldavad kolme ühiselt pakutavat universaali - kas lihtsad determinandi deotatsioonid on vastavalt ühetoonilised, Isom ja Conserv - on kergem õppida kui kvantifikaatorid, millel pole neid omadusi. Iga universaali puhul võrreldakse aega, mis kulub võrgul seda rahuldava kvantifikaatori õppimiseks, selle ajaga, mis kulub kvantifikaatori õppimiseks, mis seda ei tee. Selgub, et monotoonne ja Isom on lihtsam kui mittemonotoonne ja isomiline, samas kui Conservi puhul pole tuvastatavat erinevust. ^[45]

Need on vaid pilgud käimasolevast uurimistööst. Uurimine selle kohta, kuidas kõnelejad töötlevad kvantitatiivseid väljendeid, ühendades põhimudeliteoreetilise analüüsi psühholoogia, neuroteaduse ja arvutiteaduse meetoditega, on praeguseks rikas valdkond üldistatud kvantifikaatorite uurimisel.

Bibliograafia

• Bach, Emmon, Eloise Jelinek, Angelika Kratzer ja Barbara H. Partee (toim.), 1995, looduslike keelte kvantifitseerimine (keeleteaduse ja filosoofia uuringud 54), Dordrecht: Springer Holland. doi: 10.1007 / 978-94-017-2817-1
• Barwise, Jon, 1979, “On Branched Quantifiers in English”, Journal of Philosophical Logic, 8 (1): 47–80. doi: 10.1007 / BF00258419
• Barwise, Jon ja Robin Cooper, 1981, “Üldistatud kvantifikaatorid ja loomulik keel”, keeleteadus ja filosoofia, 4 (2): 159–219. doi: 10.1007 / BF00350139
• Barwise, Jon ja Solomon Feferman (toim), 1985, Model Theoretic Logics, (Perspectives in Mathematical Logic), New York: Springer-Verlag.
• van Benthem, Johan, 1986, Esseed loogilises semantikas (keeleteaduse ja filosoofia uuringud, 29), Dordrecht: D. Reidel.
• –––, 1989, “Polüaadilised kvantifikaatorid”, Keeleteadus ja filosoofia, 12 (4): 437–464. doi: 10.1007 / BF00632472
• van Benthem, Johan FAK ja Alice ter Meulen (toim.), 2011, loogika ja keele käsiraamat, teine trükk, Amsterdam: Elsevier.
• Bonnay, Denis, 2008, “Loogilisus ja muutumatus”, Sümboolse loogika bülletään, 14 (1): 29–68. doi: 10,2178 / bsl / 1208358843
• Cartwright, Richard L., 1994, “Rääkides kõigest”, Noûs, 28 (1): 1–20. doi: 10.2307 / 2215917
• Clark, Robin, 2011a, “Üldistatud kvantifikaatorid ja numbrite mõistmine”, filosoofiakompass, 6 (9): 611–621. doi: 10.1111 / j.1747-9991.2011.00419.x
• –––, 2011b, „Kvantifikaatorite õpitavuse kohta“, van Benthem ja ter Meulen 2011: 911–923.
• Clark, Robin ja Murray Grossman, 2007, “Numbrite mõistmine ja kvantifikaatori tõlgendamine”, Topoi, 26 (1): 51–62. doi: 10.1007 / s11245-006-9008-2
• Dalrymple, Mary, Makoto Kanazawa, Yookyung Kim, Sam McHombo ja Stanley Peters, 1998, “Vastastikused väljendid ja vastastikkuse mõiste”, keeleteadus ja filosoofia, 21 (2): 159–210. doi: 10.1023 / A: 1005330227480
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter ja Jörg Flum, 1995, lõplik mudeliteooria, (Springeri monograafiad matemaatikas), Berliin: Springer Berlin Heidelberg. doi: 10.1007 / 3-540-28788-4
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter, Jörg Flum ja Wolfgang Thomas, 1994, Mathematical Logic (Einführung in die mateische Logik), teine trükk, New York: Springer-Verlag. doi: 10.1007 / 978-1-4757-2355-7
• Filin Karlsson, Martin, 2017, “Kõik, mis olemas on: absoluutselt kõige kvantifitseerimise semantikast”, Ph. D. Lõputöö, Göteborgi ülikool (Acta Philosophica Gothoburgensia 31). [Karlsson 2017 on veebis saadaval]
• Geurts, Bart ja Frans van der Slik, 2005, “Monotoonsus ja töötlemiskoormus”, ajakiri Semantics, 22 (1): 97–117. doi: 10.1093 / jos / ffh018
• Glanzberg, Michael, 2004, “Kvantifitseerimine ja realism”, filosoofia ja fenomenoloogilised uuringud, 69 (3): 541–572. doi: 10.1111 / j.1933-1592.2004.tb00518.x
• Hackl, Martin, 2000, “Võrdlevad kvantifikaatorid”, doktoritöö, Massachusettsi Tehnoloogiainstituut. [Hackl 2000 on veebis saadaval]
• Hella, Lauri, 1989, “Üldistatud kvantifikaatorite määratletavuse hierarhiad”, Annals of Pure and Applied Logic, 43 (3): 235–271. doi: 10.1016 / 0168-0072 (89) 90070-5
• Hella, Lauri, Jouko Väänänen ja Dag Westerståhl, 1997, “Üldistatud kvantifikaatorite polüadiliste tõstete määratletavus”, ajakiri Logic, Language and Information, 6 (3): 305–335. doi: 10.1023 / A: 1008215718090
• Henkin, Leon, 1961, “Mõned märkused lõputult pikkade valemite kohta”, infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on the Mathematics Foundations, Varssavis, 2. – 9. September 1959, Oxford: Pergamon Press, 167–183.
• Higginbotham, James ja Robert May, 1981, “Küsimused, kvantifikaatorid ja ristumine”, The Linguistic Review, 1 (1): 41–79. doi: 10.1515 / tlir.1981.1.1.41
• Hintikka, Jaakko, 1973, “Kvantifikaatorid vs. kvantifitseerimise teooria”, Dialectica, 27 (3–4): 329–358. doi: 10.1111 / j.1746-8361.1973.tb00624.x
• Hopcroft, John E. ja Jeffrey D. Ullman, 1979, Sissejuhatus automatiseeritud teooriasse, keeltesse ja arvutusse (Addison-Wesley seeria arvutiteaduses), lugemine, MA: Addison-Wesley.
• III kaart, Thomas F., 2014, “Kõrgema järgu silogistika”, formaalses grammatikas 2014, Glyn Morrill, Reinhard Muskens, Rainer Osswald ja Frank Richter (toim.) (Loenguteatised arvutiteaduses 8612), Berliin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1. – 14. doi: 10.1007 / 978-3-662-44121-3_1
• Icard III, Thomas Icard ja Lawrence S. Moss, 2014, „Uusimad edusammud monotoonsuses”, semantiliste esituste vaatenurgad tekstiliste järelduste jaoks (LiLT 9), Stanford, CA: CSLI Publications, 167–194. [Icard ja Moss 2014 on veebis saadaval]
• Icard, Thomas, Lawrence Moss ja William Tune, 2017, “Monotoonsus ja selle täielikkus” keeletemaatika 15. kohtumise materjalides, London, Suurbritannia: Arvutusliku lingvistika assotsiatsioon, 75–87. doi: 10.18653 / v1 / W17-3408
• Keenan, Edward L., 1992, “Beyond the Frege Borders”, keeleteadus ja filosoofia, 15 (2): 199–221. doi: 10.1007 / BF00635807
• Keenan, Edward L. ja Leonard M. Faltz, 1984, Boolean Semantics for Natural Language, Dordrecht: Springer Holland. doi: 10.1007 / 978-94-009-6404-4
• Keenan, Edward L. ja Lawrence S. Moss, 1985, “Üldistatud kvantifikaatorid ja looduskeele väljendusjõud”, looduskeele üldistatud kvantifikaatorid, Alice ter Meulen ja Johan van Benthem (toim.), Berliin, Boston: De Gruyter, 73–124. doi: 10.1515 / 9783110867909.73
• Keenan, Edward L. ja Denis Paperno (toim.), 2012, Looduskeele määrajate käsiraamat (keeleteaduse ja filosoofia uuringud 90), Dordrecht: Springer Holland. doi: 10.1007 / 978-94-007-2681-9
• Keenan, Edward L. ja Jonathan Stavi, 1986, “Looduskeele määrajate semantiline iseloomustus”, keeleteadus ja filosoofia, 9 (3): 253–326. doi: 10.1007 / BF00630273
• Keenan, Edward L. ja Dag Westerståhl, 2011, “Lingvistika ja loogika üldised kvantitaatorid”, van Benthem ja ter Meulen 2011: 859–910.
• Lewis, David, 1975, “Kvantifitseerimise adverbid” looduskeele formaalses semantikas, Edward L. Keenan (toim), Cambridge: Cambridge University Press, 3–15. doi: 10.1017 / CBO9780511897696.003
• Lindström, Per, 1966, “Esimese astme ennustusloogika üldistatud kvantifikaatoritega”, Theoria, 32 (3): 186–195. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1966.tb00600.x
• Linnebo, Øystein, 2006, “Komplektid, omadused ja piiramatu kvantifitseerimine”, Rayo ja Uzquiano 2006: 149–178.
• Luosto, Kerkko, 2000, “Monadiliste üldistatud kvantifikaatorite hierarhiad”, Journal of Symbolic Logic, 65 (3): 1241–1263. doi: 10.2307 / 2586699
• Montague, Richard, 1974, Formaalne filosoofia: Richard Montague'i valitud artiklid, Richmond H. Thomason (toim), New Haven, CT: Yale University Press.
• Moss, Lawrence S., 2015, “Looduslik loogika”, kaasaegse semantilise teooria käsiraamatus, Shalom Lappin ja Chris Fox (toim.), Teine trükk, John Wiley & Sons, 646–681.
• Mostowski, Andrzej, 1957, “Kvantifikaatorite üldistamise kohta”, Fundamenta Mathematicae, 44 (1): 12–36. doi: 10.4064 / fm-44-1-12-36
• Mostowski, Marcin, 1998, “Arvutuslik semantika monadiliste kvantifikaatorite jaoks”, ajakiri Applied Non-Classical Logics, 8 (1–2): 107–121. doi: 10.1080 / 11663081.1998.10510934
• Odic, Darko, Paul Pietroski, Tim Hunter, Justin Halberda ja Jeffrey Lidz, 2018, “Isikud ja mitteisikud tunnetuses ja semantikas: massi / krahvide eristamine ja kvantiteedi esindamine”, Glossa: A Journal of General Linguistics, 3 (1): 61. doi: 10,5334 / gjgl.409
• Paperno, Denis ja Edward L. Keenan (toim), 2017, Looduskeele kvantifikaatorite käsiraamat: II köide, (Lingvistika ja filosoofia uuringud 97), Cham: Springer International Publishing. doi: 10.1007 / 978-3-319-44330-0
• Parsons, Terence, 1997 [2017], “Traditsiooniline opositsiooni väljak”, Stanfordi filosoofia entsüklopeedia, (suvi 2017), Edward N. Zalta (toim). URL =
• Peters, Stanley ja Dag Westerståhl, 2002, “Kas inglise keeles on tõesti korduv kvantifikatsioon?”, Tähenduse ehitamises, David I. Beaver, Luis D. Casillas Martínez, Brady Z. Clark ja Stefan Kaufmann (toim), Stanford, CA: CSLI Publications, 181–195.
• ––– 2006, Keele ja loogika kvantifikaatorid, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199291267.001.0001
• –––, 2013, “Possessiivide semantika”, Keel, 89 (4): 713–759. doi: 10.1353 / lan.2013.0065
• Pietroski, Paul, Jeffrey Lidz, Tim Hunter ja Justin Halberda, 2009, „Kõige tähenduse tähendus: semantika, arvukus ja psühholoogia“, mõistus ja keel, 24 (5): 554–585. doi: 10.1111 / j.1468-0017.2009.01374.x
• Rayo, Agustín, 2012, “Absoluutne üldisus üle vaadatud” Oxfordi uuringutes metafüüsika 7. köites, Karen Bennett ja Dean W. Zimmerman (toim), Oxford: Oxford University Press, 93–126. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199659081.003.0004
• Rayo, Agustín ja Gabriel Uzquiano (toim.), 2006, Absolute Generality, Oxford: Clarendon Press.
• Sher, Gila Y., 1997, “Osaliselt tellitud (hargnevad) üldistatud kvantifikaatorid: üldine määratlus”, Journal of Philosophical Logic, 26 (1): 1–43. doi: 10.1023 / A: 1017944808396
• Steinert-Threlkeld, Shane, 2016, “Iteratud keelte mõned omadused”, ajakiri Loogika, keel ja teave, 25 (2): 191–213. doi: 10.1007 / s10849-016-9239-6
• Steinert-Threlkeld, Shane ja Thomas F. Icard III, 2013, “Iterating Semantic Automata”, lingvistika ja filosoofia, 36 (2): 151–173. doi: 10.1007 / s10988-013-9132-6
• Steinert-Threlkeld, Shane ja Jakub Szymanik, tulemas, “Õpitavus ja semantilised ülikoolid”, semantika ja pragmaatika. [Steinert-Threlkeld ja Szymanik on saadaval Internetis]
• Szabolcsi, Anna, 2010, kvantifitseerimine, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9780511781681
• Szymanik, Jakub, 2016, Kvantifikaatorid ja tunnetus: loogilised ja arvutuslikud vaatenurgad, (lingvistika ja filosoofia uuringud 96), Cham: Springer International Publishing. doi: 10.1007 / 978-3-319-28749-2
• Westerståhl, Dag, 1987, “Üldistatud kvantifikaatorite ja looduskeele hargnemine”, üldistatud kvantifikaatorites, Peter Gärdenfors (toim.) (Uuringud lingvistikas ja filosoofias 31), Dordrecht: Springer, Holland, 269–298. doi: 10.1007 / 978-94-009-3381-1_10
• ––– 1989, “Formaalsete ja looduslike keelte kvantifikaatorid”, Filosoofilise loogika käsiraamat, Dov M. Gabbay ja Franz Guenthner (toim.), Dordrecht: Springer Holland, 4: 1–131. Kordustrükk, 2007, filosoofilise loogika käsiraamat, Dov M. Gabbay ja Franz Guenthner (toim.), Dordrecht: Springer Holland, 14: 223–338. doi: 10.1007 / 978-1-4020-6324-4_4
• ––– 1994, “Iterated Quantifiers”, dünaamika, polaarsuse ja kvantitatiivsuse määramine, Makoto Kanazawa ja Christopher J. Piñón (toim) (CSLI loengu märkused 48), Stanford, CA: CSLI Publications, 173–209.
• –––, 2012, „Klassikaline vs tänapäevaseid opositsiooni ruute ja väljaspool neid“, Opositsiooni väljakul: üldine tunnetuse raamistik, Jean-Yves Beziau ja Gillman Payette (toim), Bern: P. Lang, 195 –229.
• ––– 2017, “Sameness”, Feferman on Foundations, Gerhard Jäger ja Wilfried Sieg (toim), (Silmapaistvad kaastööd loogikale 13), Cham: Springer International Publishing, 449–467. doi: 10.1007 / 978-3-319-63334-3_16
• Williamson, Timothy, 2003, “Kõik”, Philosophical Perspectives, 17 (1): 415–465. doi: 10.1111 / j.1520-8583.2003.00017.x

Akadeemilised tööriistad

	Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
	Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
	Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
	Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

[Palun võtke soovitustega ühendust autoriga.]