Frege-Hilberti Poleemika

Sisukord:

Frege-Hilberti Poleemika
Frege-Hilberti Poleemika

Video: Frege-Hilberti Poleemika

Video: Frege-Hilberti Poleemika
Video: Logicismo/Frege/Russell/Whitehead 2024, Märts
Anonim

Sisenemise navigeerimine

  • Sissesõidu sisu
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Sõprade PDF-i eelvaade
  • Teave autori ja tsitaadi kohta
  • Tagasi üles

Frege-Hilberti poleemika

Esmakordselt avaldatud Pühapäeval 23. septembril 2007; sisuline redaktsioon teisipäev, 9. august 2018

Kahekümnenda sajandi algusaastatel käisid kaks matemaatilise loogika titaani Gottlob Frege ja David Hilbert vaidlemas selle üle, kas matemaatika teooriates on aksioomide rollist õigesti aru saadud ning millist järjepidevust ja sõltumatuse tulemusi õigesti näidata. aksioomid. Vaidlus puudutab paljusid loogika ja loogikafilosoofia keerukaid küsimusi ning tähistab olulist pöördepunkti tänapäevase loogika arendamisel. See sissekanne annab ülevaate sellest poleemikast ja selle filosoofilistest alustest.

  • 1. Sissejuhatus
  • 2. Hilberti geomeetria alused
  • 3. Vaba taust ja esialgsed erinevused
  • 4. Sügavam erimeelsus
  • 5. Jätkuvad küsimused
  • 6. Järeldus
  • Bibliograafia

    • Esmased allikad
    • Teisene allikad
  • Akadeemilised tööriistad
  • Muud Interneti-ressursid
  • Seotud kirjed

1. Sissejuhatus

1899. aasta juunis pidas David Hilbert Göttingenis uue Gauss-Weberi monumendi paigaldamise tseremoonial loengu geomeetria alustest. Teubner avaldas sel aastal hiljem pealkirja all “Grundlagen der Geometrie” (“Geomeetria alused”), see teos on kaasaegse matemaatika ja loogika arendamise aluspaik. Ehkki töö teema on geomeetria, puudutab selle püsiv mõju laiemalt aksioomide rolli matemaatilistes teooriates ja selliste metateoreetiliste küsimuste nagu järjepidevus ja sõltumatus süstemaatilist käsitlemist. Esitades rikkaliku järjepidevuse ja sõltumatuse demonstratsiooni, tutvustab Hilbert siin aksioomide „formaalse” lähenemise jõudu ja loob aluse sellele, mis saab varsti meie enda tänapäevase mudelateoreetilise lähenemisviisi formaalsetele süsteemidele.(Hilberti aksioomide käsitluse ajaloolise tausta kohta vt Hallett 2012 ja XIX sajandi geomeetria; Hilberti töö rolli mudelateooria arendamisel leiate mudelateooriast ja Eder & Schiemer 2018.)

Hilberti loeng ja monograafia inspireerisid tema kaasaegse Gottlob Frege teravat reaktsiooni, kes leidis, et nii Hilberti arusaam aksioomidest kui ka lähenemisviis järjepidevuse ja iseseisvuse demonstreerimisele on praktiliselt arusaamatu ja igal juhul tõsiselt vigane. Frege reaktsiooni kirjeldatakse kõigepealt tema kirjavahetuses Hilbertiga detsembrist 1899 kuni septembrini 1900 ja seejärel kahes esseesarjades (mõlemad kannavad pealkirja “Geomeetria alustel”), mis ilmusid aastatel 1903 ja 1906. Hilbert ei olnud Frege kriitikast kunagi liigutanud, ega vastanud neile pärast 1900. aastat. Frege polnud omalt poolt kunagi veendunud Hilberti meetodite usaldusväärsuses ja leidis kuni lõpuni, et viimase järjepidevuse ja sõltumatuse tõendusmaterjalid on saatuslikult puudulikud. [1]

Selles kahe matemaatiku vahel peetavas filosoofilises arutelus näeme kokkupõrget kahe üsna erineva viisi vahel, kuidas mõista matemaatiliste teooriate olemust ja nende õigustamist. Hilberti järjepidevuse ja sõltumatuse tõendite edukuse eriarvamus tuleneb järgmistest üksikasjalikest olulistest eriarvamustest järgmistes põhiküsimustes: kuidas mõista matemaatilise teooria sisu, millest koosneb edukas aksiomatization, mida matemaatilise teooria “tõed” on tõepoolest ja lõpuks, mida tegelikult küsitakse, kui küsida aksioomide komplekti järjepidevuse või antud matemaatilise väite sõltumatuse kohta teistega.

Järgnevas vaatleme lühidalt Hilberti meetodit geomeetria aluses, kirjeldame Frege erinevaid kriitikavariante ja visandame loogika üldised kontseptsioonid, mis tekitavad erinevusi.

2. Hilberti geomeetria alused

Hilberti töö geomeetria sihtasutustes (edaspidi “FG”) seisneb eeskätt selge ja täpse aksioomide komplekti seadmises Eukleidese geomeetriale ning nende aksioomide seoste üksteise ja mõnede põhiliste seoste üksikasjaliku demonstreerimisega. geomeetria teoreemid. Eelkõige demonstreerib Hilbert aksioomide erinevate alarühmade järjepidevust, paljude aksioomide sõltumatust teistest ning oluliste teoreemide mitmesuguste tõestatavuse ja sõltumatuse suhteid aksioomide konkreetsetest alarühmadest. Siia kuuluvad uued eukleidilise geomeetria aksioomide komplekti järjepidevuse ja paralleelide aksioomi sõltumatuse teistest Eukliidide aksioomidest uued näited.

Siin käsitletav „sõltumatuse” mõiste on tõestamatuse mõiste: kui öelda, et antud avaldus on sõltumatu avalduste kogumist, öelda, et see pole nende põhjal tõestatav või samaväärselt sellega, et kogum ei tähenda loogiliselt seda. avaldus. Järjepidevust mõistetakse ka tõestatavuse osas: öelda, et avalduste kogum on järjepidev, tähendab öelda, et sellest ei saa mingit vastuolu tõendada. Seetõttu on kaks mõistet, järjepidevus ja sõltumatus, omavahel määratletavad: avalduste kogum on järjepidev, kui meelevaldselt valitud vastuolu on sellest sõltumatu, ja lause S on sõltumatu hulgast C, kui kogum (C / tass { sim} S) on järjekindel.

Hilberti järjepidevuse demonstreerimine FG-s on kõik suhtelise järjepidevuse demonstratsioonid, mis tähendab, et igal juhul taandatakse geomeetriliste aksioomide komplekti AX järjepidevus tuttava taustateooria B omale, mis näitab, et AX on järjepidev, kui B on. Oluline tehnika, mida Hilbert kasutab, on AX-is esinevate geomeetriliste terminite tõlgendamine selliselt, et AX-i liikmed tõlgendavad seda uuesti tõlgendatuna teoreemidena B. Näiteks tõlgendab Hilberti esimene konsistentsikindlustusega mõisteid „punkt”, „sirge” ja „lamab” nii, et need tähistavad vastavalt konkreetset järjestatud reaalarvupaaride kogumit, reaalarvude suhte kogumit ja algebraliselt määratletud suhe selliste paaride ja suhete vahel; selle uuesti tõlgendamise käiguskõnealused geomeetrilised laused väljendavad reaalarvude taustteooria teoreeme.

Seda, et selline tõlgendamisstrateegia tagab suhtelise järjepidevuse, saab mõista järgmiste põhjenduste kaudu: Kui komplekt AX oleks vastuoluline, tähendaks see loogiliselt vastuolu. Kuid kuna loogiline tähendus on sõltumatu selliste mõistete nagu "punkt" ja "sirge" konkreetsetest tähendustest, tähendaks AX selle tõlgendamisel ka edaspidi vastuolu. Kuid see tähendab lihtsalt seda, et B teoreemide kogum viitaks vastuolule, seega oleks B ise vastuoluline.

Sõltumatust demonstreeritakse täpselt samal viisil. Näitamaks, et lause I on sõltumatu avaldiste komplektist AX (B järjepidevuse suhtes), tõlgendatakse asjakohaseid geomeetrilisi termineid nii, et AX liikmed tõlgendatud kujul väljendavad B teoreeme, samal ajal kui mina teoreemi B eitamine. See tähendab, et I sõltumatust AX-st (B järjepidevuse suhtes) näidatakse, kui tõestatakse (textit {AX} cup {{ sim} I }) järjepidevus B-ga.

Üldine idee kasutada tõlgendust järjepidevuse tõestamiseks polnud FG-s uus; sarnaseid strateegiaid oli hiljuti rakendatud erinevates matemaatikakoolides, et näidata järjepidevust ja sõltumatust aritmeetikas ja klassiteoorias, samuti geomeetrias. [2] Sellel meetodil on ka geomeetriliste mudelite varasemas kasutamises eelnevaid tõendeid mitte-eukleidiliste geomeetriate järjepidevuse tõendamiseks. [3]Hilberti töö FG-s on aga märkimisväärne edasiminek tehnika selguse ja süstemaatilise kohaldamise osas ning mõjuvõimsa ülevaate metateoreetiliste mõttekäikude olemusest, mis on seotud järjepidevuse ja sõltumatuse näitamisega tõlgendamise kaudu. Kui Hilberti tehnikat rakendatakse täielikult vormistatud keele lausetele, mis toimusid järk-järgult kolme aastakümne jooksul pärast FG-d, saame põhimõtteliselt moodsa arusaama mudelitest, mille kasutamine järjepidevuse ja sõltumatuse demonstreerimisel erineb tänapäeval vaid üksikasjalikult sellest Hilberti tehnikast. [4]

Hilberti keskne idee on jällegi keskenduda mitte konkreetsetele geomeetrilistele mõistetele nagu punkt ja joon, vaid pöörata tähelepanu loogilistele seostele, mida aksioomide järgi nende mõistete vahel peetakse. Paralleel-aksioomi sõltumatuse küsimus teistest Eukleidese aksioomidest on täiesti seotud nende aksioomide eksponeeritud loogilise struktuuriga ega ole midagi pistmist sellega, kas tegemist on geomeetriliste punktide ja joontega, millest räägitakse, või mõne muu teemaga kokku. Nagu Hilbert ütleb,

[I] On kindlasti ilmne, et iga teooria on ainult mõistete telling või skeem koos nende vajalike suhetega üksteisega ja et põhielemente saab mõelda ükskõik mis viisil, mis neile meeldib. Kui ma oma seisukohtadest rääkides mõtlen mõnele asjade süsteemile, nt süsteemile: armastus, seadus, korstnapühkimine … ja eeldan, et kõik minu aksioomid on nende asjade seosed, siis minu ettepanekud, nt Pythagorase teoreem, on kehtib ka nende asjade kohta. Teisisõnu: suvalist teooriat saab alati rakendada lõputult paljude põhielementide süsteemide jaoks. (29. detsembri 1899. aasta kiri Frege'ile, nagu katkend Fregest (ellipsis Hilbert või Frege) Frege'is 1980: 40)

See geomeetriliste mõistete kui mitme tõlgenduse vastuvõtmise mõistmine võimaldab näha geomeetrilisi lauseid ise ja nende komplekte, mis pakuvad teatud laadi määratlusi, mida tavaliselt nimetatakse kaudseks määratluseks. Täpsemalt: lausete komplekt AX, mis sisaldab n uuesti tõlgendatavat terminit, määratleb kaudselt n-koha suhte (R _ { textit {AX}}), mis hoiab ainult neid n-tähemärki, mida võetakse vastavalt AX-i uuesti tõlgendatavate tõlgendustena tingimustega, muudavad AX-i liikmed tõeseks. (Näiteks: kui AX on seatud {Seal on vähemalt kaks punkti; iga punkt asub vähemalt kahel real}, siis (R _ { textit {AX}}) on suhe, mis hoiab käes ükskõik millist kolmikut (langle P, / textit {LO}, L / rangle) nii, et P-l on vähemalt kaks liiget, L-l on vähemalt kaks liiget,ja LO on seos, mis kehtib iga P-liikme ja vähemalt kahe L-i liikme vahel.) Määratletud seos on lihtsalt abstraktne struktuur või nagu Hilbert paneb seda “tellinguteks”, mida jagab iga selline n-täht.[5]

Kui lausekomplekt annab seose kaudse määratluse, võib küsida, kas see seos (ja laiemalt ka lausekomplekt ise) on rahuldav. See tähendab, et võib küsida, kas leidub n-täht, mis lausetes asjakohaste mõistete tõlgendamisel teeb iga lause tõeseks. Iga Hilberti järjepidevuse demonstratsioon FG-s annab n-tähe, mis vastab asjaomasele määratletud seosele, ja tõestab selle seose rahuldatavust. Rahuldavus selles mõttes on järjepidevuse jaoks piisav ülaltoodud arutluskäigu kaudu. [6]

Nüüd võime Hilberti tehnikat lühidalt ümber kirjeldada järgmiselt: Arvestades lausete AX-i, kutsub Hilbert taustateooriat B üles tõlgendama AX-i geomeetrilisi termineid, mille kohaselt AX-i liikmed väljendavad B-i teoreeme. See tõlgendus on eeldusel, et B järjepidevus on n-täht, mis rahuldab AX-i määratletud suhet (R _ { textit {AX}}). Selle olemasolu näitab (R _ { textit {AX}}) rahuldatavust ja sellest tulenevalt AX järjepidevust B omaga. Samamoodi I iseseisvuse suhtes AX-ist.

3. Vaba taust ja esialgsed erinevused

Frege'i jaoks on asjad radikaalselt erinevad. Frege leiab, et laused, mida me matemaatikas kasutame, on olulised ainult nonlinguistlike väidete (või tema sõnul "mõtete") tõttu, mida nad väljendavad. Prantsuse ja saksa keeles töötavad matemaatikud töötavad samal teemal, sest nagu Frege seda näeb, väljendavad nende laused samu mõtteid. Iga mõte on seotud kindla teemaga ja ütleb selle teema kohta midagi tõest või valet. [7] Selle mõttega kaasnevad mõtted ka asjadele, mis loogiliselt vihjavad üksteisele või on nendega vastuolus, tõele või valele vastavatele asjadele ja asjadele, mis koos moodustavad matemaatilisi teooriaid. Seetõttu on Frege arvates mõtted, mitte laused, punktid, mille kohta tõstatuvad järjepidevuse ja iseseisvuse küsimused.

Kuna igal mõttel on konkreetne sisu, pole mõttekas rääkida mõtete “uuestõlgendamisest”. Sellist uuesti tõlgendamist, millega Hilbert tegeleb, st konkreetsetele sõnadele erinevate tähenduste määramine, on Fregeani seisukohast midagi, mida saab kohaldada ainult lausete suhtes. Sellest lähtuvalt märgib Frege esimest raskust Hilberti lähenemisega, et pole selge, mida Hilbert tähendab „aksioomidena”: kui ta peab silmas asju, mille jaoks võivad tekkida järjepidevuse ja sõltumatuse probleemid, peab ta rääkima mõtetest, samal ajal kui kui ta peab silmas asju, mida on võimalik mitmeti tõlgendada, siis peab ta rääkima lausetest.

Siit tulenevad raskused mitmekordistuvad. Kui Hilbert pakub konkreetsete geomeetriliste mõistete tõlgendamist marsruudil, et tõestada lausete AX-i suhtelist järjepidevust, märgib Frege, et nüüd on meil mängus kaks erinevat mõttekomplekti: komplekt, mida võime nimetada “(textit {AX } _ {G})”mõtetest, mida väljendatakse siis, kui AX-i terminid võtavad tavapärase geomeetrilise tähenduse (nt. Millel„ punkt”tähendab punkti) ja kogumit, mida võiksime nimetada„ (textit {AX} _ {R})”Mõtetest, mida väljendatakse siis, kui AX-i terminid võtavad tähenduse, mis on määratud Hilberti tõlgendusega (kus nt punkt tähendab reaalarvude paari). Hilberti tõlgendamisstrateegia hõlmab Frege seisukohast:lihtsalt suunates meie tähelepanu mõtete hulgast (textit {AX} _ {G}), mida tavaliselt väljendatakse lausetega AX (ja mille järjepidevuses oleme huvitatud), uuele komplektile (textit {AX} _ { R}) AX-i poolt ümber tõlgendatud väljendatud mõtetest. Ja tõsiasjal, et ümber tõlgendatud laused väljendavad tõesid reaalarvude kohta, pole Frege vaatenurgast vähe pistmist järjepidevuse ja sõltumatuse küsimustega, mis tekivad punktide, joonte ja tasapindade algsete mõtete jaoks.

Lisaks segasele (nagu Frege seda näeb) praktikale, mis seisneb konkreetse lausekomplekti arutamisel erinevate mõtekomplektide vahel edasi-tagasi liikumisest, hõlmab Hilberti protseduur ka Frege'i arvates kahte täiendavat küsitavat aspekti.

Esimene puudutab järjepidevuse tõendite vajalikkust. Frege arvates moodustavad teooria aksioomid alati tõeliste mõtete kogumi; ja kuna tõde tähendab järjepidevust, ei vaja aksioomide kogumi järjepidevus kunagi tutvustamist. Seevastu Hilberti jaoks ei tähenda asjaolu, et lausekogumit võetakse aksiomaatiliselt, tõe (või antud tõlgenduse kohaselt tõe) garantiid ning järjepidevuse tõendamine on sageli ülioluline samm selle matemaatilise auväärsuse loomisel. aksioomide kogu.

Teiseks, Hilbert ja Frege erinevad tõe ja järjepidevuse vahel olulisel määral. Võttes teooria aksiomatiliselt korduvalt tõlgendatavate lausete komplekti abil, on Hilberti seisukoht, et sellise kogumi järjepidevusest piisab, kui on olemas teoorias mainitud matemaatiliste üksuste kogum (või). Näiteks keerukate arvude teooria järjepidevus on kõik, mis on vajalik matemaatilise praktika põhjendamiseks selliste arvude osas. Frege'i jaoks seevastu ei saa järjekindlus kunagi olemasolu tagada. Tema eelistatud näide selle märkimiseks on lausekolmiku järjepidevus (Hilberti mõistes)

  • A on intelligentne olend
  • A on kõikjal kohal
  • A on kõikvõimas

ei ole piisav, et tagada nende ilmnemine. (Vt nt Frege 6. jaanuari 1900. aasta kiri Hilbertile; Frege 1980: 47.)

Vanemate viiside erinevuse keskmes on Frege ja Hilberti vaheline erinevus aksioomide olemuse üle, st küsimus, kas aksioomid on kindlalt tõesed väited kindla objekti või uuesti tõlgendatavate lausete kohta, mis väljendavad mitmeti mõistetavaid tingimusi. mõtlemine teooriatele, mida näitas näiteks Frege, ja uus viis, mis kogus jõudu XIX sajandi lõpus. Võib-olla kõige selgemalt illustreeritud Dedekind'is 1888, on uue lähenemisviisi keskne mõte mõista matemaatilisi teooriaid, mis iseloomustavad üldisi “struktuurilisi” tingimusi, mis võivad olla ühised paljude erinevate järjestatud domeenide jaoks. Nii nagu algebras, annavad rühma aksioomid üldised tingimused, mida saab sobivate suhete korral täita mis tahes viisil,nii määravad geomeetria aksioomid ka uues vaates korduv-kiirgavad tingimused. Teooriaid sellest moodsast vaatenurgast vaadates on täiesti asjakohane võtta aksioomid, nagu seda teeb Hilbert, kuna ümber tõlgendatavad laused on õiged vahendid, mis väljendavad vaadeldavaid korrutatavaid ja ilmnevaid tingimusi.[8] Teooriate varasema fikseeritud valdkonna kontseptsiooni seisukohast on sellised uuesti tõlgendatavad laused aga aksioomidena täiesti sobimatud, kuna need ei suuda kindlaks määrata konkreetset eset. Selles küsimuses, st matemaatiliste teooriate püsiva (Fregean) vs multiplitseeritava struktuuriga (Hilbertian) kontseptsiooni küsimus, on žürii endiselt väljas: see arutelu jätkab kaasaegse matemaatikafilosoofia animeerimist (vt filosoofia kirjet) matemaatika).

Teine küsimus, mis lahutab Frege ja Hilbertit seoses järelduse õigustatusega järjepidevuselt olemasolule, on samuti endiselt elus. Ehkki kõik (kaasa arvatud arvatavasti Hilbert) nõustuksid Frege'iga, et väljaspool matemaatilist valdkonda ei saa me olemasolu järjekindlalt järeldada, on küsimus, kas me suudame seda (või peame) matemaatikas tegema. Fregeani seisukoht on, et matemaatiliste objektide olemasolu saab tõestada (kui üldse) vaid põhiprintsiipidele apelleerimise teel, samal ajal kui Hilbertiani seisukoht on, et sobivatel puhtmatemaatilistel juhtudel pole enam midagi muud tõestada., eksisteerimise olemasolu kindlakstegemiseks kui teooria järjepidevus (vt matemaatikafilosoofia ja matemaatikafilosoofia alaseid kandeid).

Nendele erinevustele vaatamata nõustuvad Frege ja Hilbert, et järjepidevuse ja sõltumatuse osas tuleb esitada olulisi matemaatilisi küsimusi, ning nad nõustuvad sellega, et nt klassikaline küsimus paralleelide aksioomi sõltumatusest ülejäänud Eukleidese geomeetriast on oluline. Kuid nagu eespool märgitud, pole nad nõus, kas Hilberti protseduur nende küsimuste lahendamiseks on piisav. Pöördume Frege põhjenduse küsimuse juurde, millega lükatakse tagasi Hilberti meetod järjekindluse ja sõltumatuse tõestamiseks.

4. Sügavam erimeelsus

Nagu eespool märgitud, leiab Frege, et Hilberti ümbertõlgendused hõlmavad tähelepanu nihkumist geomeetrilistelt mõtetelt (mille järjepidevus ja sõltumatus on kõne all) täiesti teistsuguste mõteteni, näiteks taustteooria B mõtetega (mille järjepidevus ja sõltumatus pole kahtluse all).. Järjepidevuse tõendite osas on tema seisukoht, et Hilbert teeb ebaseadusliku järelduse tegelike numbrite mõttekogumi (textit {AX} _ {R}) järjepidevusest kogumiku järjepidevusele (textit {AX} _ {G}) mõtetest geomeetriliste punktide, joonte ja tasapindade kohta. Frege tunnistab, et Hilberti lausete AX-i võib mõista abstraktse seose kaudse määratlusena (R _ { textit {AX}}), mida rahuldab Hilberti konstrueeritud n-täppidega, ja et järjepidevus (st,(textit {AX} _ {R}) tähendab selle määratletud seose järjepidevust. Kuid ka siin on Frege seisukohal, et Hilberti otsustav järeldus, alates (R _ { textit {AX}}) konsistentsist kuni (textit {AX} _ {G}) konsistentsini, on problemaatiline. Nagu Frege ise ütleb, viidates (textit {AX} _ {R}) ja (textit {AX} _ {G}) kui “spetsiaalseid geomeetriaid” ja (R _ { textit { AX}}) kui üldjuhtumit:

[G] Arvestades, et erigeomeetriate aksioomid on kõik üldaksioomide erijuhud, võib järelduse teha spetsiaalse geomeetria vastuolulisuse puudumisest üldjuhul vastuolude puudumiseni, kuid mitte mingil muul erijuhul vastuolu puudumiseni. (6. jaanuari 1900. aasta kiri Frege'is 1980: 48)

Kui ta on juba välja toonud, mida ta peab küsitavaks järelduseks, leiab Frege, et argumenteerimiskoormus lasub üheselt Hilbertil: kui Hilbert leiab, et (textit {AX} _ {G}) järjepidevus tuleneb kas (textit {AX} _ {R}) järjepidevust või (R _ { textit {AX}}) vastavust, siis on Hilbert kohustatud seda näitama. Frege ei lahku oma viisist tõestada, et otsustav järeldus on vale, kuid näib oma seisukohta sisuliselt väljendanud, kui ta on siin juhtinud tähelepanu põhjenduse vajadusele.

Hilberti seisukohast pole muidugi sellist põhjendust vaja. Erinevused, mida Frege nõuab ikka ja jälle lausekomplektide (AX) ja erinevate mõttekomplektide ((textit {AX} _ {G}), (textit {AX} _ {R} vahel) jne) on Hilberti seisukohast täiesti ebaolulised. Kuna järjepidevus, nagu Hilbert mõistab, kehtib AX-i määratletud mõistete ja suhete "tellingute" kohta, kui selle geomeetrilisi termineid võetakse kohahoidjatena, siis peab ta meeles peetud järjepidevust (öeldes mõtetes) (textit {AX} _ {G}) kui tal on (textit {AX} _ {R}), kuna mõlemad mõttekomplektid on ühe ja sama tellingute variatsioonid. Sama võib öelda ka lausete osas:Frege rõhutab, et järjepidevusküsimus, mis tekib nende geomeetrilise tõlgenduse alusel lausete puhul, on erinev küsimus kui see, mis tekib nende lausete tegeliku arvu tõlgendamisel; teiselt poolt on Hilbertil vaid üks küsimus ja sellele vastatakse jaatavalt, kui leidub tõlgendusi, mille alusel laused tõdesid väljendavad. Seega, kui Frege leiab, et Hilbert võlgneb järelduse, mis tuleneb (textit {AX} _ {R}) konsistentsist kuni (textit {AX} _ {G}) järjepidevuseni, on seal Hilbert lihtsalt ei järelda. Seega, kui Frege leiab, et Hilbert võlgneb järelduse, mis tuleneb (textit {AX} _ {R}) konsistentsist kuni (textit {AX} _ {G}) järjepidevuseni, on seal Hilbert lihtsalt ei järelda. Seega, kui Frege leiab, et Hilbert võlgneb järelduse, mis tuleneb (textit {AX} _ {R}) konsistentsist kuni (textit {AX} _ {G}) järjepidevuseni, on seal Hilbert lihtsalt ei järelda.

Frege'i ebaselgus oma Hilberti protseduuri tagasilükkamise põhjuste osas jätab tõlgendamislünga, mille osas on vaja vaielda. Alustuseks peaksime meenutama, et Hilbertil on selgelt õigus, et tema enda tõlgendamise strateegiast piisab tema väidetava suhtelise järjepidevuse ja sõltumatuse tulemuste saavutamiseks. Kui järjepidevust ja sõltumatust mõistetakse nagu ülaltoodud seoses mitteprovavitavusega ja kui tõestus on, nagu Hilbert arvab, sõltumatu geomeetriliste terminite tähendustest, siis (textit {AX} _ {R}), (textit {AX} _ {G}) ja isegi AX ise on kõik ühesugused, kui üks neist on. Frege tagasilükkamine Hilberti tehnika vastu peab sisaldama kas teatavat segadust selles, mida Hilbert on tuvastanud, või teistsugust arusaamist sellest, mis on seotud järjepidevuse ja sõltumatuse nõuetega.

Üks viis Frege'i panuse mõistmiseks Frege-Hilberti arutelus on seega tunnustada Frege panust Hilberti enda lähenemise selgitamisel aksioomidele, kuid pidada ekslikuks Frege negatiivset hinnangut Hilberti tehnikale järjepidevuse ja sõltumatuse tõestamiseks. Vaatamata sellele, vaatamata Frege ja Hilberti erinevusele aksioomide olemuse osas, näitab (R _ { textit {AX}}) rahuldatavus siiski kõnealuse aksioomide kogumi järjepidevust, hoolimata sellest, kas need aimuvad aksioomid Hilberti viisil lausetena (st kogumina AX) või Frege viisil mõtetena (st kogumina (textit {AX} _ {G})). Samamoodi iseseisvuse osas. Frege'i viga on selles vaates olla see, et ta poleks märganud, et selline tõestamatuse tulemus (stjärjepidevus või sõltumatus), mida Hilbert oma tõlgenduste abil geomeetriliste lausete jaoks demonstreerib, tähendab geomeetriliste mõtete jaoks vastavat tõestamatuse (järjepidevuse või sõltumatuse) tulemust (vt Resnik 1974, Currie 1982, Dummett 1975).

Alternatiivse tõlgenduse kohaselt erineb Frege arusaam järjepidevusest ja sõltumatusest Hilbertist piisavalt, et vaidlusalune järeldus ei kehti: et (R _ { textit {AX}}) on rahuldatav ja sellest tulenev järjepidevus Hilberti tähenduses AX, ei tähenda Frege mõttes järjepidevust (textit {AX} _ {G}). Samamoodi iseseisvuse osas. Selle tõlgenduse kohaselt väidab Frege õigesti, et Hilberti meeleavaldused ei suuda näidata järjepidevust ja iseseisvust selles mõttes, milles ta, Frege, nendest mõistetest aru saab. [9]

Alternatiivse tõlgenduse keskne mõte on see, et Frege'i jaoks on küsimus, kas antud mõte on loogiliselt seotud mõtete kogumiga, tundlik mitte ainult nende mõtete väljendamiseks kasutatavate lausete formaalse ülesehituse, vaid ka neis lausetes esinevad lihtsad (nt geomeetrilised) mõisted. Kui see on õige, näeme kohe, et (textit {AX} _ {R}) järjepidevus ei pea tähendama (textit {AX} _ {G}) järjepidevust, kuna küsimus, kas (textit {AX} _ {G}) tähendab loogiliselt vastuolu, mis võib osalt osutuda kõne all olevate mõtete konkreetselt geomeetrilistele osadele, st AX-i geomeetriliste terminite tavapärastele geomeetrilistele tähendustele. Illustreeriva näite valimiseks, ehkki mitte sellist, mida Frege ise annab, kaaluge lausepaari

  • Punkt B asub joonel punktide A ja C vahel;
  • Punkt B ei asu sirgel punktide C ja A vahel.

See lausepaar on Hilberti mõistes demonstreeritavalt järjekindel. Kuid Frege siinkohal pakutud tõlgenduse osas ei taga see järjepidevus (Hilberti mõistes) seda, et nende lausetega tavalises tõlgenduses väljendatud mõtted moodustavad ühtse kogumi. Kui Frege mõistab näiteks seost „vahel” kontseptuaalse analüüsi suhtes vastuvõtlikkusega, mille kohaselt võib esimene mõte loogiliselt kaasa tuua teise eituse, siis on mõttepaar üksteisega otseses mõttes vastuolus. loogiliselt vastuolu tekitamise tunne.

Mõte sellest, et Frege võtab loogilise kaasatuse just kontseptuaalse analüüsi suhtes tundlikuna just soovitatud viisil, võetakse sel moel ilmsiks strateegias, mida Frege kasutab oma elukestvas katses näidata oma logistilist väitekirja, teesi, et tõed aritmeetika on puhtast loogikast tõestatavad. Selle projekti käigus tutvustab Frege regulaarselt, et antud mõte τ tuleneb loogiliselt mõtete hulgast T viisil, mis hõlmab kahte sammu. Esiteks, Frege allutab τ ja / või T liikmed kontseptuaalsele analüüsile, tuues esile nende mõtete varem teadvustamata kontseptuaalse keerukuse. Teiseks tõestab ta niiviisi analüüsitud T-liikmetest τ niiviisi analüüsitud versiooni. Näiteks peab Frege ennast demonstreerima, et mõte, mille väljendas

i) Arvu kahe kordse summa on selle arvu kordne

tuleneb loogiliselt mõtetest, mida väljendas

(ii) (kogu m

ja poolt

(ii) (jätkub n (n = n + 0).)

Demonstreerimise jätkamiseks tuleb hoolikalt analüüsida mõistet „mitmekordne” liitmise osas, andes meile i asemel keerukama (i), mida seejärel tõestatakse punktidest ii ja iii. [10] Samuti koosneb Frege'i loogikuprojekti oluline osa selliste aritmeetiliste mõistete nagu null ja järglane hoolikast analüüsist, analüüsist, mis toob esile varem märkamata keerukuse ja hõlbustab aritmeetiliste tõdede tõestamist. (Loogikuprojekti arutelu leiate artiklitest Frege, logicism ja neologicism.)

Nagu Frege on öelnud oma aritmeetika aluste esimestel lehekülgedel, kui proovime aritmeetika tõdesid tõestada võimalikult lihtsatest lähtekohtadest,

… Jõuame väga kiiresti ettepanekute juurde, mida ei saa tõestada, kui meil ei õnnestu neis esinevaid mõisteid analüüsida lihtsamateks mõisteteks või redutseerida neid millekski üldisemaks. (Frege 1884: §4)

Lühidalt: mõtete komponente saab mõnikord analüüsida lihtsamate või üldisemate koostisosade osas viisil, mis toob esile loogilise kaasatuse varem varjatud seosed. Seega, kui tahame teada, kas antud mõte on loogiliselt seotud mõtete kogumiga, peame Frege vaatenurgast pöörama tähelepanu mitte ainult seda ülesehitust, mida neid mõtteid väljendavad laused näitavad, vaid ka sisule nendes lausetes esinevate üksikute terminite kohta.

Frege töö selle aspekti ja tema iseseisvust käsitlevate vaadete seos kõnealuse tõlgenduse vahel on järgmine. Kuna mõnikord võime avastada, et mõte τ on loogiliselt seotud mõtete kogumiga T, alles pärast nende mõtete mõne näiliselt lihtsa komponendi hoolikat analüüsi, siis suudame mõnikord ka avastada, et mõtete kogum on ebajärjekindel, st et sellise kontseptuaalse analüüsi põhjal kaasneb sellega loogiliselt vastuolu. Seega on lausekomplektiga expressed väljendatud mõttekomplekti järjepidevus midagi sellist, mis ei pöördu mitte ainult lausete Σ lausete üldstruktuuri, vaid Σ lausetes esinevate mõistete tähenduste poole.

Selle viimase punkti selgitamiseks vaatame mittematemaatilist näidet, mida ei Hilbert ega Frege selgesõnaliselt käsitlenud. Mõelge lausekomplektile {Jonesil oli õudusunenägu, Jonesil polnud unistust} või samaväärselt selle esimese järgu üleviimisega ({Nj, {{ sim} Dj} }). Komplekt on selgelt järjekindel selles mõttes, mida Hilbert on kasutanud FG-s; on mõiste "Jones", "x oli õudusunenägu" ja "x oli unistus" (või "j", "N" ja "D") tõlgendamine nii, et nii tõlgendatud lauseid, väljendada tõdesid. (Mõelge näiteks tõlgendusele, kus j-le omistatakse arv 7, N -le algarvude komplekt ja D-le arvude komplekt, mis on suurem kui 12.) Kuid Fregeani seisukohast väljendatud mõtted on vaieldamatult vastuolulised, sest õudusunenägu on unenägu. Vastuolu Frege vaatenurgast saab näidata, esitades avaldatud mõtete analüüsi ja märkides, et selle analüüsi tulemused annavad kogumi {Jonesil oli häiriv unenägu, Jonesil polnud unistust}.

Samal põhjusel võivad kaks mõttekomplekti, mis on struktuurilt sarnased selles mõttes, et neid saab erinevate lausete tõlgendamisel väljendada sama lausekomplektiga, Frege-järjepidevuse osas erinevad. Geomeetrilise konteksti puhul on Frege Hilbertile vastuväite arvessevõtmise keskseks ideeks see, et Hilbert tegutseb uuesti tõlgendamisel, milleks võib olla järjepidev mõtete kogum (nt (textit {AX } _ {R})) ebajärjekindlaks (nt (textit {AX} _ {G})), kuna teema on muutunud, ja seetõttu muudavad järeldused esimese järjepidevuse asemel teise järjepidevus.

Frege ei väida, et ta ei saaks anda spetsiifilisi geomeetrilisi analüüse, mis oleksid vastuolus Hilberti konkreetsete järjepidevusnõuetega, ja pole tõendeid selle kohta, et ta peaks mõnda neist väidetest valeks. Sellele, et tal oleks võinud olla mõni selline analüüs, vihjatakse Hilbertile saadetud kirjas, milles ta väidab, et geomeetria aluste enda lõpule viimata uurimisel suutis ta „teha vähem primitiivseid termineid”, mis oletatavasti tähendab, et ta võtab mõnesid mõisteid, mida Hilbert on algatanud, et neid saaks teiste kaudu analüüsida (vt 27. detsembri 1899. aasta kirja Hilbertile Frege 1980: 34). Iga selline analüüs paljastaks loogilise sõltuvuse seosed (Frege seisukohast), kus Hilbert leiaks iseseisvuse.

Kuna ükski Frege'i selleteemaline töö pole säilinud, pole meil üksikasjalikke andmeid konkreetsete analüüside kohta, mida ta oleks võinud anda. Frege kriitika olulisim punkt Hilberti suhtes ei ole selles osas siiski erimeelsuste osas erimeelsused või konkreetsete järjepidevuse ja sõltumatuse väidete sellest tulenev läbikukkumine, vaid pigem järjepidevuse ja sõltumatuse tõendite üldine metoodika. Kuna Hilberti puhul sõltub lausekomplekti järjepidevus täielikult nende eksponeeritavast üldisest struktuurist, Frege puhul aga väljendatud mõttekomplekti järjepidevus pöördub lisaks sellele lausetes esinevate mitteloogiliste terminite sisule, Hilbert-konsistents ei tähenda Frege-konsistentsi.

5. Jätkuvad küsimused

Oleme uurinud kaht viisi, kuidas mõista Frege vastuväiteid Hilberti tehnikaid järjepidevuse ja sõltumatuse tõestamiseks. Esimeses peetakse Frege'i põhimõtteliselt ekslikuks ning vea põhjuseks on asjaolu, et ta ei suuda hinnata seost tõlgendatavate lausete komplekti rahuldavuse ja sellega seotud sõltumatuse / järjepidevuse väidete vahel. Teises osas on Frege põhimõtteliselt õige selles mõttes, et (i) ta mõistab mõtete järjepidevust ja sõltumatust, pöörates tähelepanu mitte ainult neid väljendavate lausete pinna süntaksile, vaid ka nende väljenduses kasutatavate lihtsate terminite sisule ja (ii) nii arusaadav järjepidevus ja sõltumatus pole Hilberti viisil tõestatavad.

Kumbki neist tõlgendamisvõimalustest ei ole täiesti probleemne. Esimese osas on oluliseks raskuseks tõsise segaduse omistamine Frege'ile Hilberti tõlgenduste jõu osas, mis on vaieldamatult teatud pinges seoses asjaoluga, et üldiselt öeldes on Frege'i ülevaade Hilberti metodoloogilisest protseduurist FG-s märkimisväärselt selgem kui on Hilberti oma. Veel üks raskuste allikas on see, et Frege'ile sellel kontol omistatud sõltumatuse mõistmine on pingelises seoses arusaamisega loogilistest tagajärgedest, mis on kesksel kohal tema logistiku töös - mõistmises, milles matemaatiliste terminite sisu võib olla loogiliste küsimuste jaoks ülioluline kaasamine. Teine tõlgendus, ehkki Frege jaoks heategevuslikum,vaieldamatult kannatab selle pärast, et Frege ei ole sõnaselgelt maininud kontseptuaalse analüüsi olulisust järjepidevuse ja sõltumatuse küsimustele.

Frege iseseisvuse ja järjepidevuse vaadetega seotud võimalike raskuste viimane allikas on 1906. aasta essee "Geomeetria alused" väga huvitav osa (iii). Selle teksti olulisust ja sellest tulenevaid tõlgendamisraskusi saab visandada järgmiselt.

1906. aasta essee „Geomeetria alused” on eeskätt Frege varasemate vastuväidete (mida käsitleti eespool) ümberjutustus Hilberti järjekindluse ja sõltumatuse käsitlusele. Pärast nende vastuväidete proovimist pöördub Frege III osas positiivse iseseisvuse tõestamise meetodi pakkumise probleemi poole. Kuidas küsib ta, kas antud mõte võiks tõestada mõtete kogumist sõltumatult? Frege pakub vastuseks potentsiaalse meetodi visandi ja lõpetab arutelu, märkides, et visandatud meetod on endiselt puudulik ja et sellel on teatavaid raskusi. Vaatamata ilmselgele puudulikkusele ei naase Frege (niipalju kui me võime öelda) ettepaneku juurde ja tundub, et see oleks lõpuks mitterahuldav. Seda, et ta pidas seda põhimõtteliselt mitterahuldavaks, näitab tema väide neli aastat hiljem Jourdainile saadetud märkuses,et paralleelide aksioomi tõestamatust ei saa tõestada (vt Frege 1980: 183n). See tähendab, et ta näib 1910. aastaks olevat seisukohal, et iseseisvuse tõestamiseks puudub süsteemne meetod.[11]

1906. aasta ettepaneku saab visandada järgmiselt. Oletame, ütleb Frege, et meil on lause C kogum lausetest, millest igaüks väljendab kindlat mõtet, ja lause S, mis väljendab sarnaselt ka määratletavat mõtet. S-mõtte sõltumatuse tõestamine C-mõtetest on väljapakutud meetodi keskmes see, et kasutame terminite (ja seega ka lausete ja lausete) kaardistamise μ, mis säilitab süntaktilise tüübi (nimede kaardistamine nimedega, ühe koha predikaadid ühe koha predikaadid jne) ja kaardistavad enda jaoks loogilised terminid. Siis: S-mõte on sõltumatu C-mõtetest, kui μ kaardistab S valelausega, kaardistades samal ajal kõik C liikmed õigeteks lauseteks. (Frege ettepaneku arutamiseks ja edasiarendamiseks vt Antonelli ja mai 2000, Eder 2016. Frege ettepaneku tagasilükkamise põhjuste arutamiseks,vt Ricketts 1997, Eder 2013, Blanchette 2014.)

Esimene huvitav asi ettepaneku juures on selle silmatorkav sarnasus Hilberti meetodiga. Eeldades, et Frege keel on piisavalt rikas, et hõlmata termineid kõigi objektide, funktsioonide ja komplektide kohta, mida Hilbert võib tõlgendamisel kasutada, on kahtlemata selline kaardistus, mida Frege kirjeldab ainult siis, kui on olemas selline tõlgendus, mida Hilbert kasutab näidata (tema versiooni) iseseisvust: kui Hilberti tõlgendamine pakub terminile t uut sisu, siis Frege meetod kaardistab t lihtsalt uue terminiga, millel on just see sisu. Ja see tähendaks, et hoolimata kõigist Frege tõstatatud vastuväidetest, piisab Hilberti meetodist lõpuks, et näidata, mida Frege peab mõtete sõltumatuseks. Kui see on õige,siis on meil põhjust kahelda Frege'i igas tõlgenduses, mille põhjal on tema tagasilükkamine Hilberti meetodile õigustatud.

Kesksed põhjused, miks võiks kahelda hiljuti Hilberti meetodi ja Frege ettepaneku vahel pakutud tugevas samaväärsuses, on järgmised: i) pole selge, millist keelt Frege silmas peab, ja ii) pole selge, kas terminite klass Frege loetaks "loogiliseks", st klass, mille liikmed μ peavad ennast kaardistama, on sama, mis nende mõistete klass, mida Hilbert arvaks fikseeritud tõlgendusena. Kui Frege'i fikseeritud terminite klass on laiem kui Hilberti klass ja / või Frege keeles puudub osa Hilberti terminoloogiast, siis ei tähenda iseseisvuse demonstreerimine Hilberti mõistes Frege'i mõttes iseseisvust demonstreeriva kaardistamise olemasolu. Üks viis kriitilise küsimuse mõtestamiseks on küsimus, kas sellised mõisted nagu “arv” või “vahel”,termineid, mida Frege peab kontseptuaalse analüüsi suhtes vastuvõtlikuks, lubatakse keeles, millega Frege tegeleb (vastupidiselt näiteks sellele, et nõutakse, et keel sisaldaks ainult „täielikult analüüsitud“termineid), ja kas sellised terminid kuuluvad nende hulka et μ kaardistab suvalise uue terminoloogia. Frege ise märgib äsja tõstatatud teise terminoloogilise piiritlemise probleemi, st iseenda jaoks määratletud mõistete määratlemise probleemi olulisust, ja märgib, et see on probleem, millele tuleks tähelepanu pöörata, et muuta tema visand toimivaks strateegiaks. Kuna ta ei vasta kunagi püsiva terminoloogia või kõne all oleva keele küsimusele, pole Frege ettepanek piisavalt määrav, et selget võrdlust Hilberti ettepanekuga võrrelda. Oleme siis jäänud,Frege meetodi ettepaneku mõistmise tõlgendamise ja sellele järgnenud näilise ümberlükkamise küsimusega, tunnistades samas selle ettepaneku mittetäielikkust. (Lisateavet 1906. aasta teksti kohta leiate artiklist: Ricketts 1997, Tappenden 2000, Blanchette 2014.)

6. Järeldus

Kuna järjepidevuse ja sõltumatuse väited on põhimõtteliselt väited mittesaatmise või tõestamatuse kohta, pole ilmne, isegi kui meil on olemas tugevad tehnikad matemaatiliste tulemuste tõestamiseks, kuidas järjepidevust ja sõltumatust tõestada. See, mida Hilbert meile 1899. aastal pakub, on süsteemne ja võimas tehnika, mida saab kasutada kõigis ametlikes distsipliinides selleks, et teha just seda: tõestada järjepidevust ja sõltumatust. Seejuures paneb ta koos erinevate oma kaasaegsetega aluse kaasaegsete modelliteoreetiliste tehnikate tekkele. (Edasise arutelu jaoks vt Mancosu, Zach ja Badesa 2009; vt ka sissejuhatust 19. sajandi geomeetriasse.)

Frege'i tagasilükkamise ja Hilberti selle tehnika kaitsmise kaudu leiame eeldused, mis on selle edu saavutamiseks olulised. Nagu nägime, on Hilberti stiilis ümbertõlgenduse tõestamatuse tulemuse tõendamiseks oluline tõendusmaterjal, mille kohaselt peab tõestatavus olema tundmatu nende tingimuste sisu suhtes, mida Hilbert peab tõlgendatavaks - antud juhul, geomeetrilised terminid. Järjepidevuse ja sõltumatuse alternatiivne vaade, mille puhul järeldatus ja tõestatavus on geomeetriliste terminite sisu suhtes tundlikud, on selline, mille suhtes Hilberti stiilis ümbertõlgendused ei suuda näidata nii mõistetud järjepidevust ja sõltumatust. Nagu eespool kirjeldatud,Frege'i lugemine, millel tal on selline järjepidevuse ja sõltumatuse vaade, annab põhjenduse tema vastuväidetele Hilbertile ja alternatiivse ülevaate sellest, mis on seotud geomeetrilise järjepidevuse ja sõltumatuse väidetega.

Vaatamata Hilberti ja Frege vahelise kommunikatsiooni ilmselgele ebaõnnestumisele toob nende arutelu päevakorda mitmeid olulisi küsimusi, sealhulgas: i) skemaatiliselt mõistetavate lausete roll kaudsete määratluste andmisel, mida Frege sõnastab selgemalt Hilberti nimel kui Hilbert oli seda veel teinud, ja (ii) mil määral tuleb loogilisi suhteid käsitleda “formaalsetena”. Selles viimases numbris on Frege ja Hilberti erinevus õpetlik. Ammu enne arutelu Hilbertiga leidis Frege, et loogiline rangus nõuab formaalsete deduktsioonisüsteemide kasutamist, “formaalset” selles mõttes, et kõik mõtted väljendatakse täpselt kindlaksmääratud lausete kaudu ning kõik järelduste reeglid ja aksioomid on esitatud süntaktiliselt. (vt nt Frege 1879). Meie jaoks on kõige olulisem asjaolu, et Frege formaalsed süsteemid on täiesti kaasaegsed selles mõttes, et lause tuletatavus sellises lausesüsteemis lausekomplektist lähtub just nende lausete süntaktilisest vormist. Kuulsad kontseptuaalsed analüüsid, millel suur osa Frege loomingust on kõik enne tõestamist esitatud; kontseptuaalsete analüüside põhjal jõutakse formaalse süsteemi raames sobivate lauseteni, mida analüüsitakse, kuid analüüsid ise ei oma tõendusmaterjalis mingit rolli. Seega, kui rääkida positiivsest tööst, mis näitab, et antud lause on tuletatav lausekomplektist, on Frege täpselt nagu Hilbert: tähendused ei oma tähtsust. Tõepoolest, nende kirjavahetuse ajal oli Frege teos märkimisväärselt “formaalsem” kui Hilbert,kuna Hilbert ei kasutanud sel ajal selgesõnaliselt süntaktiliselt määratletud deduktsioonisüsteemi.

Sellegipoolest on Frege loogikakäsitluse tulemuseks see, et loogilise implikatsiooni vahel on ainult ühesuunaline seos, kuna see kehtib mõtete ja formaalse tuletatavuse vahel, nagu see kehtib lausete vahel. Hea formaalse süsteemi korral on lause σ lahutatav hulgast Σ ainult juhul, kui σ väljendatud mõte tuleneb loogiliselt Σ liikmete väljendatud mõtetest. (See eeldab lihtsalt, et inimese aksioomid ja järeldusereeglid oleksid hästi valitud.) Kuid vastupidine on vale: see, et σ pole sellises süsteemis dedu-st tuletatav, ei taga, et σ väljendatud mõte on mõtete kogumist sõltumatu. väljendatud of liikmete poolt. Nagu võib-olla ka Frege enda analüüside kohaselt käsitletud juhtudel, võib mõtete ja nende komponentide täiendav analüüs anda keerukama struktuuri. Kui see juhtub,analüüs võib tagastada veel keerukamad (lausekomplektid) laused σ 'ja Σ' nii, et σ 'on lõppude lõpuks Σ' -st tuletatav. Ülaltoodud kahe tõlgendusvõimaluse heategevuslikumaks selgituseks on see Frege hülgamine Hilberti geomeetria järjepidevuse ja sõltumatuse käsitlusega. Nagu võiksime öelda, kuna märkimisväärne loogiline keerukus võib suhteliselt lihtsate lausetega väljendatud mõtetes avastamata jääda, ei ole mittetuletuslikkus iseseisvuse tagatis Fregeani asjade skeemis. Nagu võib öelda, on loogilise ja formaalse vahel märkimisväärne lõhe.see on Frege tagasilükkamine Hilberti kohtlemise ja geomeetria sõltumatuse käsitlusega. Nagu võiksime öelda, kuna märkimisväärne loogiline keerukus võib suhteliselt lihtsate lausetega väljendatud mõtetes avastamata jääda, ei ole mittetuletuslikkus iseseisvuse tagatis Fregeani asjade skeemis. Nagu võib öelda, on loogilise ja formaalse vahel märkimisväärne lõhe.see on Frege tagasilükkamine Hilberti kohtlemise ja geomeetria sõltumatuse käsitlusega. Nagu võiksime öelda, kuna märkimisväärne loogiline keerukus võib suhteliselt lihtsate lausetega väljendatud mõtetes avastamata jääda, ei ole mittetuletuslikkus iseseisvuse tagatis Fregeani asjade skeemis. Nagu võib öelda, on loogilise ja formaalse vahel märkimisväärne lõhe.

Teisalt on Hilberti jaoks vähemalt aksiomaiseeritud geomeetria kontekstis loogilised seosed lihtsalt vormiliselt kirjeldatavad seosed, kuna need on täielikult seotud kõnealuste lausete eksponeeritud struktuuriga või samaväärselt “tellingutega”. nende lausetega määratletud mõistete kohta. Uuesti tõlgendamise strateegia on efektiivne sellepärast, et Hilberti mõttes pöördub järjepidevus just selle abstraktse struktuuri poole, mitte aga struktuuri viivitavate terminite sisuga.

Hilbert on selles arutelus selgelt võitja selles mõttes, et laias laastus tähendab tema järjepidevuse kontseptsioon formaalsete teooriate kontekstis "järjepidevuse" mõistet ja tema järjepidevuse tõestuse metoodika lähisugulane on nüüd standardne. Me võtame nüüd rutiinselt järjepidevust ja sõltumatust, nagu seda teeb Hilbert, pidades sõltumata niinimetatud mitteloogiliste mõistete tähendustest ja seega olemuslikult Hilberti viisil otsekoheselt tõestatavad. See ei tähenda, et Frege vastuväited on täidetud, vaid pigem sellest, et need on sisuliselt jäetud kõrvale järjepidevuse ametliku mõiste kinnistamise kaudu ja vähemalt selle pealkirja all murettekitava olukorra pärast, mida Frege nimetas “järjepidevuseks”.

Bibliograafia

Esmased allikad

  • Frege, Gottlob, 1879, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle: Louis Nebert. Stefan Bauer-Mengelberg on tõlkinud kontseptsioonistsenaariumina - aritmeetika põhjal modelleeritud puhta mõtte mõtteline keel - Fregest Gödelini, Jean van Heijenoort (toim), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967, lk 5– 82.
  • ––– 1881, “Booles rechnende Logik und die Begriffsschrift”, avaldamata käsikiri Frege 1969: 9–52 [1979: 9–46].
  • ––– 1884, Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch -hematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau: W. Koebner. Tõlkinud aritmeetika alustena: numbri kontseptsiooni loogikalis-matemaatiline uurimine, autor JL Austin, Oxford: Oxford University Press, 1950. Kordustrükk Evanston, IL: Northwestern University Press, 1978.
  • –––, 1903, “Über die Grundlagen der Geometrie” (geomeetria alustel) - esimene sari. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung,

    • 12: 319–324, [Frege 1903 (I) on veebis saadaval]
    • 12: 368–375, [Frege 1903 (II) on saadaval veebis]

    Ingliskeelne tõlge Frege 1984: 273–284.

  • ––– 1906, „Über die Grundlagen der Geometrie“(geomeetria alustel) - teine sari, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung,

    • 15: 293–309, [Frege 1906 (I) on veebis saadaval]
    • 15: 377–403, [Frege 1906 (II) on saadaval veebis]
    • 15: 423–30, [Frege 1906 (III) on saadaval veebis]

    Ingliskeelne tõlge Frege 1984: 293–340.

  • –––, 1969, [1979], Nachgelassene Schriften ja Wissenschaftlicher Briefwechsel, Hans Hermes, Friedrich Kambartel ja Friedrich Kaulbach (toim), Hamburg: Felix Meiner Verlag, köide 1. Mõne valiku ingliskeelne tõlge postuumselt kirjutatud kirjutistena, tõlkinud Peter Long ja Roger White, Raymond Hargreavesi abiga, Chicago: University of Chicago Press.
  • –––, 1971, geomeetria ja aritmeetika vormiliste teooriate alustest, Eike-Henner W. Kluge (tõlkinud), New Haven, CT: Yale University Press.
  • –––, 1980, filosoofiline ja matemaatiline kirjavahetus, Gottfried Gabriel, Hans Hermes, Friedrich Kambartel, Christian Thiel, Albert Veraart, Brian McGuinness ja Hans Kaal (toim) Oxford: Blackwell Publishers.
  • –––, 1984, Kogutud paberid matemaatika, loogika ja filosoofia kohta, Brian F. McGuinness (toim), Oxford: Blackwell Publishers.
  • Hallett, Michael ja Ulrich Majer (toim), 2004, David Hilberti loengud geomeetria alustest 1891–1902, Berliin: Springer.
  • Hilbert, David, 1899, Grundlagen der Geometrie, Leipzig: Teubner. Inglise tõlge 10 th väljaanne on saadaval sihtasutuste geomeetria, Leo Unger (trans.), La Salle, IL: Open Kohtu Press, 1971.
  • Huntington, Edward V., 1902, “Täielik postulaatide komplekt absoluutse pideva ulatuse teooria jaoks”, American Mathematical Society tehingud, 3 (2): 264–279.
  • Padoa, Alessandro, 1900, “Essai d'une théorie algébrique des nombres entiers, précédé d'une sissejuhatuse logika à une theorie déductive quelconque” Rahvusvahelise Filosoofia Bibliothèque du Congrès'is, Pariis, 1900, Pariis: Armand Colin, 1901, 3. köide., lk 309–365; osaline ingliskeelne tõlge kui „igasuguse deduktiivse teooria loogiline sissejuhatus” Fregest Gödelini, Jean van Heijenoort (toim), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967, lk 118–123.
  • Peano, Giuseppe, 1889, Principii di Geometria logicamente esposti, Torino: Fratelli Bocca.
  • Pieri, Mario, 1898, “I põhimõtteline geomeetriline lähenemisviis süsteemi logikale”, Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Torino (seeria 2), 48: 1–62.
  • Veblen, Oswald, 1904, “Geomeetria aksioomide süsteem”, American Mathematical Society tehingud, 5 (3): 343–384. doi: 10.2307 / 1986462

Teisene allikad

  • Antonelli, Aldo ja Robert May, 2000, “Frege uus teadus”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 41 (3): 242–270. doi: 10.1305 / ndjfl / 1038336844
  • Blanchette, Patricia A., 1996, “Frege ja Hilbert järjepidevusest”, Journal of Philosophy, 93 (7): 317–336. doi: 10.2307 / 2941124
  • –––, 2007, „Jätkus järjepidevuse ja kontseptuaalse analüüsi üle”, Philosophia Mathematica, 15 (3): 321–346. doi: 10.1093 / philmat / nkm028
  • –––, 2012, Frege kontseptsioon loogikast, Oxford: Oxford University Press. Vt esp. Ch. 5. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199891610.001.0001
  • –––, 2014, „Frege on formaalsus ja 1906. aasta iseseisvustesti”, Formalism ja pärast seda: matemaatilise diskursuse olemusest, Godehard Link (toim), Boston / Berliin: De Gruyter, lk 97–118.
  • ––– 2017, “Geomeetria ja loogika mudelid: 1870–1920”, loogikas, metoodikas ja teadusfilosoofias: 15. rahvusvahelise kongressi toimetised, Leitgeb, Niiniluoto, Seppälä. ja Sober (toim.), London: College Publications, lk 41–61.
  • Bernays, Paul, 1922, “Die Bedeutung Hilberts fur die die Philosophie der Mathematik”, Die Naturwissenschaften, 10 (4): 93–99. Ingliskeelne tõlge Paolo Mancosu poolt Brouwerist Hilbertini; Arutelu matemaatika aluste üle 1920. aastatel, Paolo Mancosu (toim), New York: Oxford University Press, lk 189–197. doi: 10.1007 / BF01591620 (saksa keel)
  • Currie, Gregory, 1982, Frege: Sissejuhatus tema filosoofiasse, Sussex: Harvester.
  • Dedekind, Richard, 1888 Kas Sind ja oli Sollen die Zahlen?. Ingliskeelne tõlge kui “Numbrite olemus ja tähendus” Dedekindis, Esseed numbrite teooriast, toimetaja ja tõlke teinud Wooster Woodruff Beman, Chicago: Avatud kohus, 1901.
  • Demopoulos, William, 1994, “Frege, Hilbert ja mudelteooria kontseptuaalne struktuur”, loogika ajalugu ja filosoofia, 15 (2): 211–225. doi: 10.1080 / 01445349408837233
  • Dummett, Michael, 1975, “Frege matemaatiliste teooriate järjepidevuse kohta”, Studien zu Frege, Matthias Schirn (toim), Stuttgart / Bad Cannstatt: Fromann-Holzboog, lk 229–242.
  • –––, 1991, Frege: matemaatikafilosoofia, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Eder, Günther, 2013 “Märkused sõltumatuse tõendite ja kaudsete viidete kohta”, loogika ajalugu ja filosoofia, 34 (1): 68–78. doi: 10.1080 / 01445340.2012.702568
  • –––, 2016 “Frege“Geomeetria alustel”ja aksiomaatiline metateooria”, Mind, 125 (497): 5–40. doi: 10.1080 / 01445340.2012.702568
  • Eder, Günther ja Georg Schiemer, 2018, “Hilbert, duaalsus ja mudelateooria geomeetrilised juured”, sümboolse loogika ülevaade, 11 (1): 48–86. doi: 10.1017 / S1755020317000260
  • Hallett, Michael, 2010, “Frege ja Hilbert”, Cambridge'i kaaslane Fregele, Tom Rickettsile ja Michael Potterile (toim), Cambridge: Cambridge University Press, lk 413–464. doi: 10.1017 / CCOL9780521624282.011
  • ––– 2012, „Veel Frege'ist ja Hilbertist“, analüüs ja tõlgendus täppisteadustes: Esseed William Demopoulose, Melanie Frappieri, Derek Browni ja Robert DiSalle'i (toim.) Auks, Dordrecht, New York: Springer, lk 135–162. doi: 10.1007 / 978-94-007-2582-9_8
  • Hodges, Wilfrid, 2004, “Kontseptuaalse analüüsi olulisus ja tähelepanuta jätmine: Hilbert-Ackermann iii.3”, esimese järjekorra loogika vaadatud, Vincent F. Hendricks jt. (toim), Berliin: Logos Verlag, lk 129–153.
  • Korselt, Alwin, 1903, “Über die Grundlagen der Geometrie”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 12: 402–407. Ingliskeelne tõlge EH poolt. W. Kluge Frege'is 1971. [Korselt 1903 on veebis saadaval (saksa keeles)]
  • Mancosu, Paolo, Richard Zach ja Calixto Badesa, 2009, “Matemaatilise loogika arendamine Russellist Tarski, 1900–1935” kaasaegse loogika arendamisel, Leila Haaparanta (toim), New York: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780195137316.003.0029
  • Nagel, Ernest, 1939, “Formaalse loogika moodsate kontseptsioonide kujunemine geomeetria arendamisel”, Osiris, 7: 142–224. doi: 10.1086 / 368504
  • Resnik, Michael David, 1974, “Frege-Hilberti poleemika”, filosoofia ja fenomenoloogilised uuringud, 34 (3): 386–403. doi: 10.2307 / 2107085
  • Ricketts, Thomas, 1997, “Frege 1906. aasta ettekanne metaloogikast”, filosoofilised teemad, 25 (2): 169–188. doi: 10.5840 / philtopics199725214
  • Shapiro, Stewart, 2005, „Kategooriad, struktuurid ja Frege-Hilberti poleemika: meta-matemaatika olek”, Philosophia Mathematica, 13 (1): 61–77. doi: 10.1093 / philmat / nki007
  • Tappenden, Jamie, 2000, “Frege aksioomide, kaudsete tõendite ja iseseisvusargumentide kohta geomeetrias: kas Frege lükkas iseseisvusargumendid tagasi?” Notre Dame Journal of Formal Logic, 41 (3): 271–315. doi: 10.1305 / ndjfl / 1038336845
  • Wehmeier, Kai F., 1997, “Aspekte der Frege-Hilbert-Korrespondenz”, loogika ajalugu ja filosoofia, 18 (4): 201–209. doi: 10.1080 / 01445349708837289

Akadeemilised tööriistad

sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon
info ikoon
Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon
phil paberite ikoon
Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

Soovitatav: