Video: excel2010alg 0705 otsimine lookup funktsioon 2023, Märts
Sisenemise navigeerimine
Sissesõidu sisu
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Sõprade PDF-i eelvaade
Teave autori ja tsitaadi kohta
Tagasi üles
Esialgne funktsioon
Esmakordselt avaldatud ke 20. juuli 2011
Nagu nimigi ütleb, on propositsioonifunktsioonid funktsioonid, mille väärtusteks on propositsioonid. Propositsioonilised funktsioonid on mänginud olulist rolli kaasaegses loogikas, alates Frege kontseptsiooniteooria algusest ja nende analüüsist Russelli teostes kuni nende ilmumiseni väga üldises varjundis tänapäevase tüübiteooria ja kategoorilise grammatika osas.
Selles artiklis annan ajaloolise ülevaate propositsioonifunktsioonide kasutamisest loogilises teoorias ning vaadetest nende olemuse ja ontoloogilise seisundi kohta.
1. Eellugu
2. Sugulaste loogika
3. Ettevalmistavad funktsioonid ja matemaatilise loogika sünd
4. Fregeani funktsioonid ja kontseptsioonid
5. Propositsionaalsete funktsioonide teke
6. Ettevalmistavad funktsioonid lihtsa tüübi teoorias
Olulised teosed, milles põhiprotsessidel on võtmeroll
Õpikud, milles valimisfunktsioonid on silmatorkavalt esile toodud
Muud esmased allikad:
Muud viidatud teosed
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed
1. Eellugu
Enne kui alustame arutelu pakkumisfunktsioonide üle, on kasulik märkida, mis juhtus enne nende kasutuselevõttu. Traditsioonilises loogikas hoitakse propositsioonifunktsioonide rolli umbes terminitega. Traditsioonilises loogikas käsitletakse selliseid väiteid nagu 'koerad imetajad', mis postuleerivad seost mõistete 'koerad' ja 'imetajad' vahel.
Mõistet käsitletakse kas laiendatult kui objektide klassi või intensiivselt kui omaduste kogumit. Mõiste 'koer' eesmärk 'hõlmab kõiki omadusi, mis sisalduvad' imetaja 'eesmärgis. „Koerte imetajate” intentsionaalne kohtlemine tõlgendab seda lauset tõesena, kuna subjekti semantiline tõlgendus on predikaadi tõlgenduse ülikomplekt. Lause laiendatud käsitluse osas on lause siiski tõene, kuna subjekti tõlgendamine (koerte klass) on predikaadi (imetajate kogum) tõlgenduse alamhulk.
Need kaks predikaadi käsitlust on tüüpilised kahele traditsioonilise loogika traditsioonile - intentsionaalsele ja ekstensiivsele traditsioonile. Loogikud, keda võib lugeda intensiivsete logistikute hulka, on Gottfried Leibniz, Johann Lambert, William Hamilton, Stanley Jevons ja Hugh MacColl. Pikendusloogikute hulgas on George Boole, Augustus De Morgan, Charles Peirce ja John Venn.
Mõnede lausete intentsionaalses loogikatraditsioonis sisalduvate terminite käsitlemine võib tänapäeva lugejatele tunduda kummaline. Intentsiooni predikaat, 20 th Century filosoofia hõlmab ainult neid omadusi, mis tahes pädev kõneleja keele oleks seostame selle predikaadi. Nendest omadustest ei piisa tõeste tavaliste avalduste tegemiseks, nagu näiteks "iga mu koer magab". Kuid me saame mõistete tahtlikust vaatenurgast aru saada, lähtudes selle päritolust. Intensiivse loogika traditsiooni üks rajajaid on Leibniz, kes arvab, et kõik tõed põhinevad indiviidide olemusel. Üksikisiku täielik kontseptsioon sisaldab kõike, mis selle kohta tõsi on. Sellele tuginedes näeme, et mõiste terviklik kontseptsioon sisaldab piisavalt ka selle kohta tõe põhjendamist.
Nii intentsionaalses kui ka laiendavas loogikatraditsioonis näeme keerukate terminite teooriaid. Laiendavas traditsioonis tõlgendatakse disjunktiivseid ja konjunktiivseid termineid klasside liitmise ja ristumise kaudu. Konjunktiivterminit AB tõlgendatakse klassi A ja klassi B ristumiskohana ning disjunktiivtermini A + B laiendamist mõistetakse kui A ja B pikenduste liit.
Intensiivses traditsioonis kehtib vastupidine. Mõistet AB tõlgendatakse kui omaduste liitumist eesmärgi A korral ning punktide B ja A + B kavatsust A ja B omaduste ristumiskohana. See ümberpööramine on mõistlik, kuna rohkem asju sobib väiksema arvu omadustega ja vähem asju sobib suurema arvu omadustega.
Ehkki mõnel terminiloogika alal töötaval loogikul on eitamise käsitlemine väga keeruline, näeme tänapäevase kontseptsiooni päritolu ka laiendavas traditsioonis. Boole'is ja enamikus tema järgijates mõistetakse termini eitamist kui selle terminiga esindatud klassi püstitatud teoreetilist täiendit. Sel põhjusel nimetatakse klassikalise propositsioonilise loogika eitust sageli „Boolean eitus”.
2. Sugulaste loogika
Charles Peirce'i raamatus „Sugulaste loogika” (1883) näeme liikumist mõistete kui funktsioonide mõistmise poole. Üks traditsioonilise terminiloogika probleeme seisneb selles, et sellel puudub oskus suhetes hakkama saada. Peirce'i sugulaste loogika on mõeldud selle parandamiseks. Ta lisab Boolei algebrasse termineid, mis esindavad suhteid, ja annab neile laiendava tõlgenduse. Need ei ole pakkumise funktsioonid täies tähenduses. Peirce'i sugulased on üldnimed, mis tähistavad objektide paari (1883, 328). Seega esindab sugulaste loogika pigem traditsioonilise loogika üldistust kui sellest lahkumist.
Peirce laiendab terminite algebrat suhete konkreetsete tunnuste käsitlemiseks. Nagu teisedki terminid, võib meil olla ka konjunktiivseid, disjunktiivseid ja negatiivseid termineid. Kui f ja g on sugulased, tähistab fg paari klassi (I, J), nii et ma kannan J-ga nii f kui ka g. Sarnaselt on disjunktiivne sugulane f + g selline, et see tähistab (I, J), kui ma kannan f või g J-le ja f '- termini e eitus esindab paari klassi (I, J), näiteks et f ei hoia nende vahel kinni. Peirce'il on ka kompositsioonioperaator;, selline, et f; g nimed (I, J), kui leidub mõni entiteet K, nii et f nimed (I, K) ja g nimed (K, J).
„Argumentide kriitikas” (1892) võtab Peirce omaks idee, mis on veelgi lähemal väidetavale funktsioonile. Seal arendab ta „reama“kontseptsiooni. Ta ütleb, et reama on nagu suhteline termin, kuid see pole termin. See sisaldab kopulat, see tähendab, et kui see on ühendatud õige arvu argumentidega, loob see väite. Näiteks '__ ostab __ __-st __-st __-i jaoks __' on neljakohaline reema. Selle rakendamine neljale objektile a, b, c ja d annab väite, et a ostab b b c-st d (ibid 420).
Üks eriti huvitav punkt Peirce'i reema kohta on see, et ta kasutab sama keemilist analoogiat nagu Frege, kui nad arutavad suhete suhet ja nende argumente. Nad mõlemad võrdlevad suhteid (ja omadusi) "küllastumata sidemetega aatomite või radikaalidega". Mida täpselt see analoogia suhete või omaduste kohta ütleb, kas Frege'is või Peirce'is, on mõneti ebaselge.
Tema teosest täielikuma ülevaate leiate Peirce'i loogika sisestusest.
3. Ettevalmistavad funktsioonid ja matemaatilise loogika sünd
Giuseppe Peano (1858–1932) töös leiame veel ühe olulise sammu ettepanekufunktsiooni tänapäevase ettekujutuse poole. Ehkki tema looming pole nii keerukas kui Frege (vt allpool), on see oluline, kuna see mõjutab eriti Bertrand Russelli.
Oma teoses „Uue meetodi abil esitatud aritmeetika põhimõtted” (1889) tutvustab Peano tänapäevases tähenduses propositsioonilisi ühendusi (implikatsioon, eitus, konjunktsioon, disjunktsioon ja bicondition) ning propositsioonilisi konstante (verum ja falsum).
Meie jaoks on olulisem tema kvantifitseerimise käsitlemine. Peano lubab, et ettepanekud sisaldavad muutujaid, see tähendab, et ta kasutab avatud valemeid. Ta ei anna tõlgendust avatud valemitele. Ta ei ütle meile, mida nad esindavad. Kuid neid kasutatakse tema kvantifitseerimise teoorias. Peanol on ainult universaalne kvantifikaator. Ta ei määratle põhimõttes eksistentsiaalset kvantifikaatorit. Kvantifikaator on alati seotud tingliku või kahe tingimusega. Kvantifitseeritud ettepanekud on alati vormis
A ⊃ x, y,… B
või
A = x, y,… B
Peano loeb „A ⊃ x, y,… B” nii, et ütlus „mis iganes x, y,… võib olla, tuleb väites A järeldada B” ja „=” on Peano kaksiktingimus, mille ta määratleb tavapärasel viisil tingimuslikust ja koosmõju. Kuid ta ei anna meile muud tõlgendust. Ta nimetab muutujaid määratlematute objektidena, kuid ei aruta, mis see või mis võiks olla propositsioonilisi objekte sisaldav väide (või propositsioonifunktsioon).
4. Fregeani funktsioonid ja kontseptsioonid
Frege'is on meil lausete tõlgendamine üsna üldine, kuna see väljendab argumentidele rakendatavaid funktsioone. Vaade, mida ma siin uurin, on selline, mille ta arendas välja 1890ndatel.
Mõelge lausele
Mu koer magab põrandal.
Sellel lausel, nagu kõigil keelelistel väljenditel, on nii mõte kui ka referent. Selle mõte on abstraktne objekt-mõte. Selle referents on selle tõeväärtus (mis hetkel on Tõde). Arutame varsti Frege analüüsi selle mõtte üle, kuid vaatame kohe seda lauset moodustavate väljendite viiteid.
Väljend „minu koer” on Frege sõnul ainsustermin. See valib välja objekti (minu koer, Zermela). Väljend „magab põrandal” viitab mõistele. Kontseptsioonid on funktsioonid. Sel juhul on mõiste funktsioon objektidest tõeväärtusteni (mis on ka objektid). Niisiis, võime käsitleda ülaltoodud lauset nii, et see esindab mõistet __ magab põrandal, kui seda kohaldatakse mu koera suhtes.
Frege kontseptsioonid on tänapäevases mõttes peaaegu propositsioonilised funktsioonid. Frege tunnistab neid otseselt funktsioonidena. Nagu Peirce'i reema, on kontseptsioon küllastumata. Nad on mingis mõttes puudulikud. Ehkki Frege ei jõua mõistete ja muude funktsioonide mittetäielikkuse kirjeldamisel kunagi metafoorilisest kaugemale, on üks asi selge: objektide ja funktsioonide eristamine on tema metafüüsikas peamine jaotus. Funktsioonides on midagi erilist, mis muudab need objektidest väga erinevaks.
Mõelgem veelkord: “mu koer magab põrandal”. Frege arvab, et seda lauset saab analüüsida mitmel erineval viisil. Selle asemel, et käsitleda seda kui __ rakenduse väljendamist, kui ta magab minu koeral põrandal, võime mõelda selle mõiste kohaldamise väljendusena
mu koer magab __
objektile
põrand
(vt Frege 1919). Frege tunnistab seda, mis on looduskeele loogilises analüüsis nüüd tavaline. Saame ühele lausele omistada rohkem kui ühe loogilise vormi. Nimetagem seda mitme analüüsi põhimõtteks. Frege ei väida, et see põhimõte alati kehtib, kuid nagu näeme, väidab tänapäevane tüübiteooria seda.
Lause tähenduse osas on need ka funktsioonide objektidele rakendamise tulemus. Mõiste "minu koer" on abstraktne objekt. Tunnetus „magab põrandal” on funktsioon individuaalsetest meeltest, nagu näiteks „minu koer”, mõteteni (vt Frege 1891). Mõiste „magab põrandal” on kontseptuaalne tähendus. Näib, et mitme analüüsi põhimõte kehtib meelte suhtes sama palju kui viidete puhul. Frege aga räägib mõnikord nii, nagu oleksid lause koostisosade aistingud tegelikult mingil määral mõttes. Raske on mõista, kuidas kõik sellised aistingud mõttes võiksid olla, kui on erinevaid viise, kuidas lauset saab analüüsida koostisosadeks.
Lisaks mõistetele ja kontseptuaalsetele meeltele leiab Frege, et on olemas ka mõistete laiendid. Frege nimetab mõiste laiendamist „väärtuste käiguks”. Väärtuste kursi määrab väärtus, mis kontseptsioonil iga argumendi jaoks on. Seega, mõiste __ väärtuste käik on koer, kes väidab, et argumendi Zermela väärtus on tõene ja Sokratese jaoks vale jne. Väärtus. Kui kahel mõistel on igal argumendil samad väärtused, siis on nende väärtuste kursid samad. Seega on väärtuste kursused laiendid.
Frege mõisteteooria ja selle loogikaga seotuse kohta saate lisateavet Frege'i teoreemi ja aritmeetika aluste kohta.
5. Propositsionaalsete funktsioonide teke
Mõiste 'pakkumisfunktsioon' ilmub trükisena esmakordselt Bertrand Russelli matemaatikapõhimõtetes (1903). Russell tutvustab seda mõtet erinevate ettepanekute arutelu kaudu. Mõelge sellele tüübile, mis ütleb midagi, et see on koer. See on liik 'x on koer'. See on juhuslik funktsioon, mis viib mis tahes objekti o väideeni, et o on koer.
Sel perioodil leiab Russell, et väited on üksused, mille koostisosadeks on indiviidid ja omadused ning suhted. Ettepanekul, et Sokrates on mees, on Sokrates ja valimisõiguslik omadus olla mees. Keerukates väidetes on seos propositsioonifunktsiooni ja väite vahel vähem selge. Nagu Frege, lubab ka Russell pakkumisfunktsiooni võtmist üksuse mis tahes väljajätmisest väites. Seega võime seda väidet vaadata
kui Sokrates joob hamakat, sureb ta
kui funktsiooni rakendust esindav
x joob pekki ⊃ x sureb
Sokratese juurde või funktsiooni
Sokrates joob x ⊃ Sokrates sureb
lukustada jne. Teisisõnu, Russell nõustub mitme analüüsi põhimõttega.
Põhimõtetes analüüsitakse kvantifikaatorit „kõik” osana klasse valivatest viitavatest fraasidest (1903, 72). See, näeme, on ootel üle alates 19 th Century extensional logicians (vt punkt 1). Kuid pisut hilisemates teostes, nagu näiteks „On Denoting” (1905), öeldakse, et propositsioonifunktsioonid on universaalsete väidete koostisosad. Selle analüüsi kohaselt koosneb lause, nagu näiteks "kõigi koerte koor", väide, mis põhineb propositsioonilisel funktsioonil x - koer ⊃ x haukub ja funktsioonil (pakkumisfunktsioonide vahel), mida tähistab kvantifikaatorlause "kõik". Kvantifitseeritud väited on meie jaoks huvitavad, kuna need sisaldavad koostisosade pakkumisfunktsioone.
On ebaselge, kas Russell leiab, et propositsioonifunktsioonid esinevad ka ainsuses olevate lauseosade koostisosadena, näiteks kui Sokrates joob teda, sureb ta. Need väited sisaldavad küll omadusi, nagu surnud, ja suhteid, nagu joogid, kuid on vaieldav, kas Russell arvab, et need on pakkumisfunktsioonid (vt Linsky 1999 ja Landini 1998).
6. Ettevalmistavad funktsioonid lihtsa tüübi teoorias
Matemaatika põhimõtteid kirjutades avastas Russell paradoksi, mis nüüd tema nime kannab. Enne kui jõuame Russelli paradoksini, arutame lähemalt diagonaalimise meetodit, mille abil see ja paljud muud paradoksid genereeritakse.
Komplekti S, ℘ S võimsuskomplekt sisaldab kõiki S alamhulki. Georg Cantor (1845–1918) kasutas diagonaalimise meetodit, et näidata, et mis tahes hulga S korral on ℘ S suurem kui S.
Siin on Cantori tõestus. Oletame, et ℘ S ja S on ühesuurused. Seejärel vastavalt etteantud teoreetilise mõiste "ühesuurused" (õigemini "samad kardinaalsusega ') on üks-ühele sürjektsioon vahel S ja ℘ S. See tähendab, et on olemas funktsioon, mis sobitab iga S liikme unikaalse liikmega ℘ S, nii et ühtegi ℘ S liiget ei jää üle. Nimetagem seda funktsiooni, f. Siis, kui x on S liige, on f (x) in S-s. Kuna ℘ S on S võimsuse komplekt, võib juhtuda, et x on f (x) või mitte (f). Määratlegem nüüd komplekt C:
C = {x ∈ S: x ∉ f (x)}
C on selgelt S alamhulk, seega in S. Hüpoteesi, f on peale -for iga liikme y ℘ S on x ∈ S, nii et f (x) = y. Seega peab olema mingi c ∈ S, et
f (c) = C
Nüüd kas
c ∈ C
või
c ∉ C.
Oletame, et c on C-s. Siis ei ole C definitsiooni järgi f (c) -is. See tähendab, et c ∉ C. Kuid kui c pole C-s, siis c ∉ f (c). Niisiis, C määratluse järgi on c C-s. Seega
c on C-s siis ja ainult siis, kui c pole C-s.
Seetõttu viib eeldus, et komplekt on sama suur kui selle võimsuskomplekt, paradoksi ja see eeldus peab olema vale.
Cantori teoreemil on propositsioonifunktsioonide teooria jaoks olulised tagajärjed. Mõelge (esimese astme) loogilise keele mudelile, mille domeen on D. Keelevahemiku muutujad D liikmete vahel. Nüüd lisame keelele predikatiivseid muutujaid. Need tähistavad pakkumisfunktsioone. Kuidas neid mudelis tõlgendada? Laiendusloogikatraditsioonilt päritud standardne toimimisviis on see, et predikaatmuutujate ulatus ületaks domeeni alamhulki. Mudelit, mille predikatiivmuutujad ulatuvad üle kõigi domeeni alamhulkade, nimetatakse teise astme loogika jaoks „standardmudeliks“. Cantori teoreem ütleb meile, et standardmudeli predikatiivsete muutujate domeen on suurem kui üksikute muutujate domeen. Kui meil on predikaate,siis on kolmanda järjekorra predikaatide domeen veelgi suurem. Ja nii edasi.
Russelli paradoks on Cantori teoreemiga väga tihedalt seotud. Paradoksil on kaks versiooni: (1) klassi versioon; (2) pakkumisfunktsiooni versioon. Arutlen ainult paradoksi funktsionaalse funktsiooni versiooni üle.
Oma varajastes kirjutistes soovib Russell, et loogika oleks universaalne teadus. See peaks lubama meil rääkida kõige omadustest. Selle all tähendab ta seda, et loogika muutujad peaksid hõlmama kõiki üksusi. Kuid pakkumisfunktsioonid on vähemalt põhimõtetes üksused. Nii et muutujad peaksid nende vahel ulatuma. Vaatleme predikaati R selliselt, et
(∀ x) (Rx = ¬ xx)
(Russelli predikaat R on väga sarnane Cantori komplektiga C.) Kui teisendame ja asendame R x-ga, saame
RR ≡ ¬ RR
Näib, et muutujate käsitlemine täiesti üldisena koos vabadusega määratleda propositsioonifunktsioonid mis tahes hästi formuleeritud valemi abil võimaldab meil tuletada vastuolu.
Russell tõkestab tüüpide teooria kehtestamise kaudu vastuolu põhimõtetes. See on tüüpide lihtne teooria, mis eristab ainult erinevate propositsioonifunktsioonide (või selle klassivormis klasside) tüüpe. Kõrvalekalle Russelli enda esitatud tüüpteooria ekspositsioonist, et anda teooriast rangem ja kaasaegsem versioon. See muudab minu ettekanded tüüpide teooria ja tüübiteooria kaasaegsemate versioonide hõlpsamaks.
Kasutame ühte põhitüüpi i (üksikisikute tüüp) ja määratleme tüübid järgmiselt:
i on tüüp;
kui t 1,…, t n on tüübid, siis on nii ka <t 1,…, t n >, kus n ≥ 0.
Mitte miski muu pole tüüp, välja arvatud punktide (1) ja (2) korduvad rakendused.
Tüüp <t 1,…, t n > on tüüpi 1,…, t n olemite omavaheline seos. Kuid lihtsuse huvides tõlgendame seda funktsiooni tüübina, mis viib need entiteedid väitesse. (Pange tähele, et kui n = 0, siis tühjade tüüpide tüüp, siis on see ettepanekute tüüp.) See määratlus hõlmab idee hästi rajatud struktuurist. Siin pole tsükleid. Meil ei saa olla funktsiooni, mis võtab argumendina sama või kõrgema tüüpi funktsiooni. Seega keelab lihtsat tüüpi teooria omamoodi eneserakenduse, mis tekitab Russelli paradoksi.
Tüüpihierarhia vastab kenasti domeenide hierarhiale, mida nägime Cantori teoreemi arutelus. Ühtse predikaadi tüüp on i; selle domeen on D - indiviidide kogum. Predikaatide ühtne predikaat on tüüpi << i >> ja see vastab D alamhulkade domeenile. Ja nii edasi.
Lisateavet leiate sissekandest Russelli paradoksi kohta.
Pärast põhimõtteid usub Russell, et tüüpide lihtne teooria on ebapiisav. Selle põhjus on seotud valeliku paradoksiga. Oletame, et täht L on lause nimi:
L on vale.
See väide on vale siis ja ainult siis, kui see on tõene. Siinne probleem on seotud eneseviitamisega, kuid seda ei saa vältida pelgalt tüüpide lihtsa teooria abil. Andke meile lihtsate tüüpide puhul ainult propositsioonifunktsioonide tüüpide hierarhia. Lihtsas tüüpi teoorias on kõigil väidetel sama tüüp.
Ühtlustatud tüübi teooria mõte on tutvustada ka väidete hierarhiat. Selles vaates on väited ja propositsioonifunktsioonid järjekorras. Kui kindla järjestuse pakkumisele rakendatakse pakkumisfunktsiooni, siis annab see kõrgema järgu pakkumise. Ja igal funktsioonil peab olema argumentidest kõrgem järjekord. Seega väldime valelikku paradoksi, keelates väite esinemise iseeneses. Kui pakkumine p leiab aset teise pakkumise sees, kuna sellise funktsiooni nagu x argument on väär, siis on tulenev pakkumine kõrgemas järjekorras kui p.
Kahjuks ei anna Russell kunagi täpsustatud sõnastust rafineeritud tüüpi teooria kohta. Võib-olla on parim sõnastus tänu Alonzo kirikule (1976). [1]
Peaaegu samal ajal, kui ta võtab vastu tüüpilise tüübiteooria, loobub Russell väidetest. Umbes aastast 1908–1918, kuigi Russell säilitab mõtte, et on olemas tõesed ettepanekud, eitab ta, et on ka valesid. Kui mõtleme millelegi, mis on vale, ütleme näiteks, et Zermela on kass, siis ei mõtle me valet väidet, vaid meie mõtteobjektid on lihtsalt Zermela ja kassi olemise omadus. Võib tunduda veider, kui hierarhia on spetsiaalselt loodud väidete kihistumiseks ja siis väideteks, et väiteid pole. Mõned tõlgid on siiski väitnud, et Russelli väidete olemasolu eitamist ei tohiks võtta tõsiselt ja on väga mõjuvaid põhjuseid lugeda Principiat suuresti väidete teooriaks (vt kirik 1984).
Üks põhjus, miks tüüpide rangustatud teooriat tõsiselt võtta (isegi ilma väiteid aktsepteerimata), on see, et selle saab kasulikult siduda kvantifitseerimise asendusteooriaga. Kvantifikaatorite asendavat tõlgendamist silmas pidades on universaalselt kvantifitseeritud valem nagu (∀ x) Fx tõene siis ja ainult siis, kui kõik selle juhtumid Fa 1, Fa 2, Fa 3,… on tõesed. Samamoodi on (∀ x) Fa tõene siis ja ainult siis, kui vähemalt üks selle esinemisjuhtudest on tõene.
Kaaluge kvantifikaatorite asendavat tõlgendamist predikaatide vaheliste muutujatega, nagu valemis (∀P) Pa. See valem on tõene siis ja ainult siis, kui kõik selle esinemisjuhud on tõesed. Tüüpide lihtsa teooria korral on muutuja P tüüp <i>, kuna selle argumendid on kõik indiviidid (või ainsusterminid). Kuid ka funktsiooni lihtne tüüp (∀ P) Px on. Niisiis on (∀ P) Pa näiteks ((P) Pa ise. Kvantifikaatorite asendav tõlgendamine nõuab, et esinemisjuhud oleksid lihtsamad kui valemid, milleks nad on. Sel juhul saame teada vaid seda, et konkreetne valem on tõene ainult siis, kui see on tõene. See on ebainformatiivne ja tundub paheliselt ringikujuline.
Sellise ringluse blokeerimiseks võime pöörduda tüüpide rambitud teooria poole. Ühendatud teooria korral on propositsioonifunktsioon (∀ P) Px suurusjärgus 2, kuna kvantifikaatori olemasolu korral on siduv suurusjärk 1. Sel viisil sunnib ramifitseeritud teooria valemid olema lihtsamad (vähemalt järjekord) kui valemid, mille kohta nad on instantsid (vt Hazen ja Davoren 2000).
8. Mis on Russelli algfunktsioon?
Pärast 1905. aastat näeme Russellas haletsusväärset kalduvust. Ta soovib elundid oma ontoloogiast kõrvaldada. Mõni aeg vahemikus 1908–1910 hakkab ta eitama väidete olemasolu ja see eitamine jätkub, kuni ta töötab välja teooria väidetest kujutiste või sõnade struktuurina (1918). Milline on siis pakkumisfunktsioonide saatus? Võib tunduda, et keeruline on mõista, mis on propositsioonifunktsioon ilma väideteta, kuid Russelli seisukoht pole nii keeruline. Russell lükkab ümber ainult valed ettepanekud. Ta säilitab fakte oma ontoloogias. Protsessionaalseid funktsioone, mida Principias nimetatakse, nimetatakse nüüd „osalisteks funktsioonideks”. See tähendab, et neil pole alati väärtusi. Näiteks pakkumisfunktsioon __ on see, et koeral pole argumendiks Sydney ooperimaja jaoks väärtust,kuid sellel on väärtus, kui argumendiks võetakse minu koer. Niisiis, valede väidete tagasilükkamine ei põhjusta Russelli väidefunktsioonide teooriale tõsist probleemi.
Olles selle probleemiga tegelenud, vaatame edasi, mida Whitehead ja Russell arvavad, et oletusfunktsioonide olemus on. Principias öeldakse:
'Propositsioonilise funktsiooni' all peame silmas midagi, mis sisaldab muutujat x ja väljendab ettepanekut kohe, kui x-le on määratud väärtus. See tähendab, et see erineb väitest ainuüksi selle poolest, et see on mitmetähenduslik: see sisaldab muutujat, mille väärtus on määramata. (1910, 38).
Selles lõigus näib, nagu nad ütleksid, et propositsioonifunktsioon on mitmetähenduslik ettepanek. Ettepanekute tagasilükkamise valguses on seda seisukohta eriti raske mõista. Urquhart (2003) ütleb, et Whiteheadi ja Russelli jaoks on propositsioonifunktsioon pigem valemi moodi. See näib õige, kuna propositsioonifunktsioonid sisaldavad muutujaid.
Kuid mis on põhimõtteliselt propositsioonilised funktsioonid? See on Russelli teadlaste seas käimas tuline arutelu. Võib-olla kõige mõjukam tõlgendus on konstruktiivne tõlgendus, mis on tingitud Kurt Gödelist (1944). Selle tõlgenduse kohaselt on propositsioonifunktsioonid mingisugused inimkonstruktsioonid. Need sõltuvad meie võimest neile mõelda või neile viidata. Konstruktiivse tõlgenduse versiooni võib leida ka Linsky (1999). Nominaalsem tõlgendus on ka Landinis (1998). Realistide poolel on tõlgendused, mille on andnud Alonzo kirik (1984) ja Warren Goldfarb (1989). Goldfarb arvab, et Principia loogiline teooria on ajendatud Russelli katsest leida propositsioonifunktsioonide tegelik olemus ja et see olemus on sõltumatu meie mõttest sellele. Goldfarbil on hea külg,kuna Russelli loogika peaks väidetavalt olema asjade käigu silmapaistev kujundus. Kuid tundub, et Russell eitab sageli seda, et propositsioonifunktsioonid on reaalsed üksused.
9. Võimalikud maailmad ja ettekujutusfunktsioonid
Mõne aastakümne edasi arendamine, võimalike maailmade lisamine koos komplekteeritud teooriaga loogikute tööriistakasti on andnud neile semantika tegemiseks väga võimsa ja paindliku raamistiku.
Esiteks tuletagem meelde funktsiooni tänapäevast mõistet. Funktsioon on järjestatud paaride komplekt. Kui <a, b> on funktsioonis f, tähendab see, et argumendi a väärtus f on b või, kokkuvõtlikult, f (a) = b. Funktsiooni matemaatilise määratluse järgi on funktsiooni igal argumendil üks ja ainus väärtus. Niisiis, kui järjestatud paar <a, b> on funktsioonis f ja nii on <a, c>, siis b on sama mis c.
Jaotusfunktsioonide konstrueerimine algab võimalike maailmadega ja eeldusega, et need on olemas. Nimetagem võimalike maailmade kogumit W. Pakkumine on võimalike maailmade kogum. Väide, et näiteks Zermela haugub, on kõik maailmade kogumid, milles Zermela haugub. Peame ka eeldama, et on olemas I võimalike indiviidide kogum (st isendid, kes eksisteerivad vähemalt ühes võimalikus maailmas). Nüüd on meil olemas kõik materjalid funktsioonide lihtsa tüübiteoreetilise hierarhia konstrueerimiseks.
Predikaatide tähenduse tavapärane käsitlus erineb veidi sellest, mida ma siin kirjeldasin. Tavaliselt võetakse predikaadi intentsionaalsuse funktsioonina võimalikest maailmadest indiviidide kogumiteni (või kahendatud suhete korraldatud isendipaaride komplektideni, binaarsuhete jaoks järjestatud kolmikutega kolmest kohast suhtesse jne). Rangelt öeldes ei ole need funktsioonid propositsioonifunktsioonid, kuna nad ei võta väiteid väärtustena. Kuid iga sellise funktsiooni jaoks saame konstrueerida 'ekvivalentsed' pakkefunktsioonid, kasutades loogik Haskell Curry järgi protsessi nimega Currying. Alustame funktsioonist f maailmadest indiviidide kogumiteni. Siis saame konstrueerida vastava propositsioonifunktsiooni g järgmiselt. Iga maailma w ja individuaalse i jaoks konstrueerime g nii, et
w on g (i) siis ja ainult siis, kui i on f (w).
Niisiis, predikaatide tähenduste tavapärasem käsitlus võrdub tegelikult propositsioonifunktsioonide kasutamisega.
10. Montague semantika
Nüüd, kui meil on terve propositsioonifunktsioonide hierarhia, peaksime leidma neile töö. Üks teooria, milles propositsioonifunktsioonid teevad head tööd, on Montague'i semantika, mille töötas välja 1960. aastate lõpus Richard Montague.
Montague'i meetodi mõistmiseks peame mõistma lambda abstraktsiooni. Valemi A (x) jaoks loeme predikaatväljendina avaldist λ x [A (x)]. Selle laiendus (antud võimalikus maailmas) on asjade kogum, mis rahuldavad valemit A (x). Lambda abstraktoreid reguleerivad kaks reeglit, mida nimetatakse α-muundamiseks ja β-redutseerimiseks:
(α-con) A (a) (valem, mis sisaldab vaba x-i) võib asendada X-ga [A (x)] a.
(β-punane) λ x [A (x)] a võib asendada A (a) (kus x on A (x) korral vaba a-ga).
Valemi A (x) ja λ x [A (x)] a samaväärsuse tõttu võiks küsida, miks lisada meie keelde lambda-abstraktoreid. Montague semantikas on vastus seotud väga otsese viisiga, kuidas ta tõlgib looduslike keelte väljendeid oma loogilisse keelde. Arutame seda varsti, kuid kõigepealt andke meile natuke teada Montague'i intentsionaalse loogika kohta.
Montague lisab oma keelde veel kaks märkust: ∧ ja ∨. Väljend ∧ À x [Fx] tähistab funktsiooni maailmu komplekti üksikisikud. Võimaliku maailma w korral ∧ λ x [Fx] tähistab funktsiooni, mis viib w väärtuseni X x [Fx]. Operaator ∨ võtab avaldised kujul ∧ λ x [Fx] „alla” nende laiendini maailmas, milles avaldist hinnatakse. Näiteks ∨∧ λ x [Fx] pikendus w juures on täpselt sama kui X x [Fx] pikendus w juures.
Montague'i semantika on nii eriline, et seda saab väga otsesel viisil kasutada looduslike keelte suurte fragmentide semantikana. Mõelge järgmisele lausele:
Zermela haugub.
Selle lause tähendust mõistetakse Montague semantikas selle moodustavate avaldiste tähenduste struktuurina. Montague esindab väljendite tähendusi tõlkereeglite abil. Siin kasutame järgmisi tõlkereegleid:
Zermela tähendab λ P [(∨ P) z]
haugub tõlgib ∧ B
Nüüd saame konstrueerida valemi, mis annab „Zermela haukumise” tähenduse:
λ P [(∨ P) z] ∧ B
Pange tähele, et lause konstrueerimisel paigutame laused samas järjekorras, milles need esinevad inglise keeles. Lambda-abstraktide kasutamine võimaldab meil kahe avaldise järjekorda pöörata vastupidiselt sellele, kuidas nad esineksid formaalse loogilise keele tavalistes avaldustes (millel ei ole lambdasid). Nüüd saame β-redutseerimise abil saada:
(∨∧ B) z
Ja nüüd rakendame Montague'i reeglit eliminate kaotamiseks:
Bz
Selles protsessis alustame avaldisega, millel on sama väljendijärjekord kui algses ingliskeelses lauses, ja taandame selle siis väga tavaliseks loogikavalemiks. See ütleb meile, et lause "Zermela haugub" tõeline tingimus on maailmade kogum, mis on Bz-i avaldus. Muidugi teadsime seda Montague'i tööst sõltumatult, kuid point on selles, et Montague'i redutseerimine näitab meile, kuidas me saame ühendada ingliskeelsete lausete pinna grammatika oma loogilise keele valemiga. Lisaks sellele kuvab standardse loogika valem väga tõepäraselt selle tõe tingimused. Niisiis, Montague'i redigeerimine näitab meile looduslike keelte lausete seost nende tõetingimustega.
11. Kategooria grammatika
Klassikalised grammatikad konstrueerisid esmakordselt 1930. aastatel Kazamir Ajdukiewicz (1890–1963) ning arendasid Yehoshua Bar Hillel (1915–1975) ja Joachim Lambek (1922–) 1950–60. Liigigrammid on loogilised tööriistad keelte süntaksi esindamiseks.
Kategoorilises grammatikas on keelte süntaks esindatud funktsionaalse märke teistsuguse üldistamisega kui Montague'i semantikas. Montague-semantikas kasutatakse lambda abstraktsiooni väljendi tähenduse tähenduse viimiseks kohta, mille avaldis hõivab lauses. Kategoorilises grammatikas peetakse predikaate ja paljusid muid avaldisi sortide funktsioonideks. Kuid kategoorilises grammatikas eristatakse funktsiooni kahte erinevat tüüpi rakendamist selle argumentide jaoks.
Vaatame, kuidas see töötab. Alustame primitiivsete tüüpidega CN (tavaline nimisõna) ja NP (nimisõnafraas). Tähtajatu artikkel 'a' võtab tavalise nimisõna (paremal) ja tagastab NP. Seega on sellel tüüp NP / CN. Tavalise nimisõna 'koer' tüüp on muidugi tüüp CN. Kirjutame, et A-l on tüüp T kui A-T. Nii et meil on,
a ⊢ NP / CN
ja
koer ⊢ CN
Nende kahe jada kokku panemiseks võime kasutada reegli modus ponensi vormi, mis ütleb, et jadast X ⊢ A / B ja jadast Y ⊢ B saame tuletada jada X. Y ⊢ A. Selle reegli abil saame tuletada:
a. koer ⊢ NP
Lisaks on intransitiivse verbi tüüp NP \ S, kus S on lause tüüp. NP \ S kaldkriips tähendab, et avaldis võtab vasakpoolses servas NP tüüpi argumendi ja tagastab tüübi S avalduse. Verb 'barks' on intransitiivne, see tähendab,
haugub ⊢ NP \ S
Modus ponensi versioon, mida me kaldkriipsuga kasutame, on pisut erinev. See ütleb meile, et X ⊢ A \ B ja Y ⊢ A põhjal saame tuletada Y. X ⊢ B. Nii et nüüd saame,
(a. koer). haugub ⊢ S
See ütleb, et „koer haugub” on lause.
Grammatikate sel viisil kirjeldamiseks kasutatav loogika on alamstruktuurne loogika.
Siin huvitab meid see, et kategoorilistes grammatikates peetakse selliseid määrajaid nagu 'a' ja tegusõnu funktsioonideks, kuid need võivad üksteisest erineda selle poolest, kas nad võtavad vastu argumente paremal või vasakul. Funktsiooni komplekteeritud teoreetilises kontseptsioonis järjestatud paaride kogumina mõeldakse funktsioonide üle just nende korrelatsiooniargumentide ja väärtuste vahel. Funktsioonil, nagu seda mõistetakse kategoorilises grammatikas, on rohkem struktuur kui sellel. See on funktsiooni mõiste huvitav üldistus, kuna seda kasutatakse loogikas. Näeme, et sellel on ka olulised seosed propositsioonifunktsiooni mõistega, eriti kuna seda kasutatakse Montague'i semantikas.
Kategoorilises grammatikas võime keele ühele avaldisele omistada mitu tüüpi. Nimetagem seda mitut tüüpi põhimõtteks. Siin on Mark Steadmani näide. Mõelge lausele
Mulle ei meeldi ja Mary naudib muusikali.
Transitiivsetel tegusõnadel 'ei meeldi' ja 'naudib' on tüüp (NP \ S) / NP, see tähendab, et nad võtavad nimisõnafraasi paremal ja tagastavad tegusõnafraasi. Kuid juhul, kui mulle ei meeldi ja Mary naudib muusikali, eraldatakse verbid nende objektist ja ühendatakse nende objektidega. Steadman tegeleb sellega, tõstes katsealuste 'mina' ja 'Maarja' tüüpi. Tavaliselt käsitleme neid sõnu tüübina NP, kuid siin on neil tüüp S / (NP \ S). See on seda tüüpi väljend, mis võtab verbilause paremal ja tagastab lause. Seejärel kasutab Steadman reeglit, mis muudab kaldkriipsu transitatiivseks ja tuletab, et 'I.dislike' on tüüp S / NP, mis võtab nimisõnafraasi (näiteks 'muusikalid') paremal ja tagastab lause.
Näeme, et mitut tüüpi printsiip kehtib ka siis, kui analüüsida lauseid muud tüüpi teooriad, näiteks tüüpide lihtne teooria. Sest kaaluge lauset
Maarja sööb hamburgerit.
Selle lause tõlgendamisel võime võtta 'Maarja' i tüübiks, kuid võime võtta seda ka tüübiks <>, see tähendab indiviidide propositsioonifunktsioonide pakkumisfunktsiooni tüüpi. Võime tõsta ka tüübi 'sööb hamburgerit' väärtuseks << >>, mis on algsülesannete funktsioon üksikisikute algsülesannetes. Ja nii edasi. Mitut tüüpi ja mitme analüüsi põhimõte koos näitavad, et ühte avaldist või lauset saab tõlgendada nii, et sellel on väga suur arv loogilisi vorme.
12. Järeldus
See pakutavate funktsioonide lühike ajalugu näitab, et need on kasulikud entiteedid ja neil on olnud loogikas keskne roll, nagu seda kasutatakse filosoofias ja keeleteaduses. Olen välja jätnud propositsioonifunktsioonide matemaatilisema kasutamise, näiteks Russelli ja Ramsey klasside konstruktsioonides ning kõrgema astme loogika üldmudelite käsitlemisel. Kuid pakkumisfunktsioonide teema on suur ja me ei saa seda kõike käsitleda ühes entsüklopeediaartiklis.
Bibliograafia
Olulised teosed, milles põhiprotsessidel on võtmeroll
Kirik, Alonzo, tulemas, Alonzo kiriku mõistuse ja tähendusloogika, Cambridge: Cambridge University Press. (Selles on Kiriku paberid, milles ta arendab intentsionaalset loogikat. Selles loogikas mängib propositsioonifunktsioonide hierarhia olulist rolli paradokside käsitlemisel seoses ettepanekul põhineva hoiaku aruannetega - st avaldustega selle kohta, mida inimesed usuvad, mõtlevad, eitavad jne)
Cresswell, MJ, 1973, loogika ja keeled, London: Methuen. (See esitleb Montague'i semantika lihtsamat nõbu. Vaadet kasutatakse semantikuna propositsiooniliste suhtumisaruannete jaoks teoses M. Cresswell, Struktureeritud tähendused, Cambridge, MA: MIT Press, 1985.)
Frege, Gottlob, 1892, 'On Concept and Object', kogutud paberites, Oxford: Blackwell, 1991, 182–194. (See on Frege idee kontseptsiooni klassikaline tutvustus.)
Goldblatt, Robert, 2011, Quantifers, Propositions and Identity, Cambridge: Cambridge University Press. (See tutvustab modaalse predikaatloogika uut semantikat, mis kasutab nii ettepanekuid kui ka maailmu. 4. peatükis uuritakse mõningaid formaalseid põhjuseid, miks semantikale lisada ka propositsioonifunktsioone.)
Montague, Richard, 1973, ametlik filosoofia, New Haven: Yale University Press. (Raamatu viimane pool räägib Montague'i intentsionaalsest loogikast ja tema looduskeele semantikast.)
Ramsey, Frank, 1925, “Matemaatika alused”, Ramsey, Sihtasutused: Esseed filosoofias, loogikas, matemaatikas ja majanduses, Atlantic Highlands, NJ: Humanities Press, 1978, 152–212. (See esitleb pakkumisfunktsioonide teooriat kui Ramsey matemaatikafilosoofia võtmeelementi.)
Russell, Bertrand, 1903, Matemaatika põhimõtted, New York: Norton ja Norton. (See on Russelli esimene püsiv arutelu väidetavate funktsioonide üle.)
Whitehead, Alfred North ja Bertrand Russell, 1910–1913, [1925], Principia Mathematica, Cambridge: Cambridge University Press. (See on püsiv, kuid äärmiselt keeruline esitlus rambitud tüübi teooriast.)
Õpikud, milles valimisfunktsioonid on silmatorkavalt esile toodud
Dowty, David R., Robert E. Wall ja Stanley Peters, 1981, Sissejuhatus Montague Semantics, Dordrecht: Reidel, 1981. (See on väga selge Montague semantika õpik.)
Gamut, LTF, 1991, loogika, keel ja tähendus, Chicago: University of Chicago Press. (Väga hea ja selgelt kirjutatud õpik, mis hõlmab muude teemade hulgas modaaloogikat, kategoorilist grammatikat ja Montague'i semantikat.)
Hylton, Peter, 1990, Russell, idealism ja analüütilise filosoofia tekkimine, Oxford: Oxford University Press, 1990.
Hylton, Peter, 2005, Ettepanekud, funktsioonid ja analüüs: valitud esseed Russelli filosoofiast, Oxford: Oxford University Press. (See töö ja Hylton 1990 on olulised tekstid Russelli loogika tõlgendamiseks. Hylton väidab, et Russelli ettekujutus funktsioonifunktsioonist ei sobi ülejäänud tema metafüüsikaga.)
Moortgat, Michael, 1988, Kategoorilised uurimised: Lambek'i kalkulatsiooni loogilised ja keelelised aspektid, Dordrecht: Foris Publications. (See on dateeritud, kuid suurepärane raamat kategoorilise grammatika kohta.)
Muud esmased allikad:
Boole, George, 1854, "Mõtteseaduste uurimine, millel rajanevad loogika ja tõenäosuste matemaatilised teooriad", New York: Dover, 1958.
Frege, Gottlob, 1891, 24. mai 1891 kiri Edmund Husserlile, Frege, filosoofiline ja matemaatiline kirjavahetus, Chicago: University of Chicago Press, 1980, 61–64.
Frege, Gottlob, 1919, “Märkused Ludwig Darmstaedterile”, Frege, Posthumous Writings, Chicago: University of Chicago Press, 1979, 253–257.
Frege, Gottlob, Kogutud paberid matemaatika, loogika ja filosoofia kohta, Oxford: Blackwell, 1991.
Jevons, WS, 1890, Pure Logic ja muud väikesed tööd, Whitefish, MT: Kessinger Publishing, 2009.
Peano, Giuseppe, 1889, “Uue meetodi abil esitatud aritmeetika põhimõtted”, ajakirjas J. van Heijenoort (toim), Fregest Gödelini: matemaatikaloogika lähtematerjal, 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1981, 83–97.
Peirce, CS, 1883, 'Sugulaste loogika', Charles Sanders Peirce'i kogutud artiklites (III köide: täpne loogika), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1933, 195–209.
Peirce, CS, 1892, “Argumentide kriitik” Charles Sanders Peirce'i kogutud artiklites (III köide: täpne loogika), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1933, 250–264.
Muud viidatud teosed
Church, Alonzo, 1976, “Semantiliste antinoomide Russelli resolutsiooni võrdlus Tarski omaga” The Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760.
Gödel, Kurt, 1944, „Russelli matemaatiline loogika”, PA Schilpp (toim), Bertrand Russelli filosoofia, New York: Tudor Publishing Co., 123–144.
Goldfarb, Warren, 1989, “Russell's Reasons of Ramification”, CW Savage ja CA Anderson (toim), Russell Reading: Esseed Bertrand Russelli metafüüsika ja epistemoloogia kohta, Minneapolis: University of Minnesota Press, 24–40.
Hazen, AP ja JM Davoren, 2000, 'Russell's 1925 Logic', Australasian Journal of Philosophy, 78: 534–556.
Kneale, William ja Martha Kneale, 1984, The Logic Development, Oxford: Oxford University Press.
Landini, Gregory, 1998, Russelli varjatud asendusteooria, Oxford: Oxford University Press.
Lewis, CI, 1918, sümboolse loogika ülevaade, Berkeley: University of California Press.
