Esmakordselt avaldatud K 12.01.2011; sisuline redaktsioon reedel 23. augustil 2019
Matemaatikafilosoofias levinud formalismi mõistmise kohaselt peetakse matemaatikat mitte reaalsuse abstraktset sektorit esindavateks väideteks, vaid see sarnaneb palju rohkem mängule, tuues endaga kaasa enam objektide või omaduste ontoloogia. kui ludo või male. Sellel ideel on teatav intuitiivne usutavus: kaaluge türopakkumist korrutustabelites või õpilast, kasutades funktsiooni eristamiseks või integreerimiseks standardset algoritmi. See vastab ka edasijõudnute matemaatikute praktika teatud aspektidele teatud perioodidel - näiteks kujuteldavate numbrite käsitlemine mõnda aega pärast Bombelli nende tutvustamist ja võib-olla mõnede kaasaegsete matemaatikute suhtumine püstitatud teooria kõrgematesse lendudesse. Lõpukssageli on see seisukoht, mille poole filosoofiliselt naiivsed vastajad žesteerivad, kui neid vaevavad küsimused matemaatika olemuse kohta. Pole siis üllatav, et paljud matemaatikafilosoofid peavad mängude formalismi lootusetult uskumatuks. See artikkel käsitleb mängude formalismi, selle lähisugulasi ja hilisemaid arenguid, millest paljud on püüdnud ületada teravamate sortide tajutavaid piiranguid.
1. Sissejuhatus
2. Mängu ja tähtajaline formalism
3. Traktaarne formalism
4. Formalism ja positivistid
5. Nominalistlik formalism
6. Termin Formalism: karri
7. Curry-Howardi kirjavahetus
8. Kaasaegne formalism
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed
1. Sissejuhatus
Mänguformaalsuse locus classicus pole positsiooni kaitsmine veenva pooldaja poolt, vaid suure filosoofi Gottlob Frege lammutustöö. Mitte, et ta ründas õlgmehe positsiooni: Frege'i väga mõjukas läbimurre tema Grundgesetze Der Arithmetiku (Frege, 1903) II köites on rünnak kahe tõelise matemaatiku, HE Heine ja Johannes Thomae, tööle. Veelgi enam, matemaatikafilosoofid väidavad tavaliselt, et seda seisukohta võtavad matemaatikud endiselt laialdaselt. Siiski tuleb rõhutada, et “formalismi” selles mõttes - Heine / Thomae seisukohta Frege ja tema järeltulijate tõlgendamisel - tuleb eristada keerukamast positsioonist (väidetakse), nimelt Hilbertian formaalsusest. Viimase kohta leiate lisateavet artiklist Detlefsen,1993 või tutvuge Hilberti programmi ja Frege-Hilberti poleemikat käsitlevate sissekannetega.) Detlefsen (2005) pakub ka formalistlike teemade üksikasjalikku ajaloolist käsitlemist antiikkreeklaste mõtlejates kuni Frege ja Hilberti perioodini ja pärast seda, millele siin tähelepanu on suunatud.
Ehkki selles sissekandes käsitleme mitte Hilbertist pärit lähenemisviisi, käsitleme lühidalt Hilbertiani lähenemisviisi. Hilbertianuse seisukoht erineb selle poolest, et see sõltub matemaatilises keeles eristamisest finitaarsektori vahel, mille laused väljendavad sisulisi ettepanekuid, ja ideaalse ehk infinitaarsektori vahel. Kuhu Hilbert vahet eristas või kus seda tuleks eristada, on arutelu küsimus. Oluline on aga see, et Hilbert võttis instrumentalistliku hoiaku ideaalsektori suhtes. Selle keele vormeleid tõlgendatakse või käsitletakse justkui tõlgendamata, nende lausete süntaktiline vorm on selline, millele saame rakendada teisenduse ja järelduse formaalseid reegleid, kuid mitte semantikat. Sellegipoolest on need kasulikud või võivad olla kasulikud, kui ideaalne sektor laiendab konservatiivselt sõjaväge,see tähendab, et kui ükski tõend alates sõjalistest eeldustest kuni lõpliku järelduseni, mis viib ümbersõidu infinitaarse keele kaudu, ei anna järeldust, milleni me ehk poleks jõudnud (ehkki siin peitub kasulikkus) pikema, kohmakama tõendusmaterjali abil. Hilberti programmi eesmärk oli esitada selle konservatiivse laienditulemuse lõplik tõend; Enamik, ehkki mitte kõik, arvavad, et see eesmärk osutus võimatuks Gödeli teise puudulikkuse teoreemi abil.arvan, et see eesmärk osutus võimatuks Gödeli teise puudulikkuse teoreemi abil.arvan, et see eesmärk osutus võimatuks Gödeli teise puudulikkuse teoreemi abil.
Naastes nüüd tagasi meie, kes pole Hilbertist, fookusesse, ei jaota Frege'i rünnatud varasemat formalismi matemaatika eelnimetatud kahesugustesse kategooriatesse: finitaarne / sisuline ja infinitaarne / sisuliselt mõttetu, vaid, vastupidi, käsitletakse kogu matemaatikat ühises ja homogeenne mood. Nüüdsest kasutan „formalismi”, et osutada Hilbertist väljapoole jäävatele seisukohtadele ja alustan Frege Heine ja Thomae poolt destilleeritud formalistlikest seisukohtadest ja kriitikast, mida ta neile esitas. Arvatakse, et see kriitika sisaldab Heine / Thomae lähenemisviisi veenvaid ümberlükkamisi. Kuid on mitmeid Fregeani-järgseid seisukohti, mis näivad olevat formalismi tugevalt mõjutatud või tugevalt analoogsed. Vaatan need järgemööda läbi:
Wittgensteini vaated matemaatikale, eeskätt tema Tractatus Logico-Philosophicuse kontseptsioonile;
formaalsus, nagu seda leidub loogilistes positivistides, eriti Carnapis;
Frege ei ammuta Heine'i ja Thomae loomingust ühtset ja järjekindlat seisukohta ning suur osa tema kriitikast on pühendatud näitamiseks, et nad libisevad ebajärjekindlalt mõtteviisidesse, mis sobivad ainult „sisukale” aritmeetikale, mida Frege peab a tõdede kogu, mida väljendavad lausungid ja milles numbrilised väljendid tähistavad abstraktseid viiteid, mis on sõltumatud vaimus (või vähemalt ühe konkreetse inimese meelsusest). Heine ja Thomae räägivad matemaatilistest domeenidest ja struktuuridest, keeldudest selle kohta, mida võib välja öelda (nt sõna "(3 \ div 0)" kirjutamise vastu, mida peetakse mõnes erilises mõttes mõttetuks), kui arv on suurem või väiksem üksteisega (selle asemel, et füüsilised märgid oleksid suuremad või väiksemad,tumedamad või heledamad) - kõik asjad, millel pole mõtet, kui aritmeetika on märkide ja nende füüsikaliste omaduste teooria või on lihtsalt võrdlusvabade sümbolite teisenduste kogum. (Kuid Heine jätab koos Kroneckeriga erilise koha aritmeetika jaoks, käsitledes seda mitteformaalsel moel; see seisukoht võib seega olla sidusam kui Thomae oma. Vt Simons, 2009, eriti 293–6.)
Sellegipoolest ilmneb Frege teosest kaks erinevat seisukohta: doktriinid, mida Resnik (1980: 54) ja samamoodi Shapiro (2000: 41–48) kirjeldavad vastavalt kui termini formalism ja mängude formalism. Termin “formalist” vaatab matemaatika, aritmeetika väljendeid näiteks tähendusliku tähendusena ainsuse mõisted viitavad, kuid viitavad sümbolitele nagu nad ise, mitte numbritele, mida tõlgendatakse sümbolitest eraldiseisvate üksustena. Nii kirjutab Heine:
Ma määratlen puhta formalisti seisukohast ja nimetan teatud materiaalseid märke numbriteks. (Frege, 1903/80 §87: 183).
Mängu formalist jääb seisukohale, et matemaatilistel lausungitel pole tähendust; või igal juhul ei vali neis esinevad terminid objekte ega omadusi ning lausungit ei saa faktide esitamiseks kasutada. Pigem on matemaatika arvutus, milles "tühjad" sümbolistringid muudetakse vastavalt kindlatele reeglitele. Thomae sõnastab selle nii:
Formalisti jaoks on aritmeetika mäng märkidega, mida nimetatakse tühjaks. See tähendab, et neil (arvutusmängus) pole muud sisu, kui neile on nende käitumine vastavalt teatud kombinatsioonireeglitele (mängureeglid) määranud (Frege, 1903/80, §95: 190).
Thomae märgib ka, et „formaalne seisukoht vabastab meid kõigist metafüüsilistest raskustest” (ibid: 184). Üks peamisi motiive näib sel juhul olevat igasuguse ontoloogilise pühendumise abstraktsete objektide probleemse valdkonna blokeerimine, vältimine või sellest (mingil moel kõrvale hoidmine). Tavalise matemaatika jaoks on vaja paljusid teoreeme, mis kinnitavad olemite-arvude, funktsioonide, komplektide jms lõpmatute valdkondade olemasolu, entiteedid, mis ei tundu olevat konkreetsed. Formalistid soovivad üldiselt loobuda igasugusest pühendumisest nendele valdkondadele, mis näivad tõesti olevat sobilikud põhjalikult naturalistlikuks reaalsuskäsitluseks.
Frege keskendub suurema osa tulest terminite formalistlikele väljakuulutamistele; mängude formalism on aga antiplatonistide ainus mäng linnas, kes on mures ontoloogilise pühendumuse pärast abstraktsete objektide valda. Formaalne formalism käsitleb matemaatikat kui sisu omavat süntaktilist teooriat; ja standardne süntaktiline teooria eeldab lõpmatuse olemasolu üksuste - avaldistüüpide - osas, mis tunduvad igati abstraktsed kui numbrid. Nagu näitas Gödeli süntaksi aritmeerimine, saab standardse formaalse süntaksi elemente ja omavahelisi suhteid modelleerida aritmeetika standardmudeli sees lõpmatu alamstruktuurina.
Frege paljastab halastamatult Heine'i ja Thomae positsiooni puudulikkuse - nende segadused, kui nad libisevad tähtajaliselt mängult formalismile; nende tähise ja tähistatud seostamine; asjaolu, et nad ei esita süntaksi ja tõestusteooria kohta piisavalt kaugelt arvestatavat matemaatika kontot; nende lootusetud katsed laiendada oma positsiooni aritmeetikast analüüsi ja tegelike arvude käsitlemiseni, selle matemaatilise ajaloo etapiks, mida Weierstrass, Cantor ja teised tõlgendavad mitte geomeetriliselt, vaid lõpmatute järjestustena. Nii kirjutab Frege:
Selle [lõpmatu seeria] tootmiseks oleks meil vaja lõpmata pikka tahvlit, lõpmatut kogust kriiti ja lõpmatu aja jooksul. Meid võidakse tsenseerida liiga julmadena, kui üritatakse sellise koduse vastuväidetega nii kõrgele vaimulennule alla suruda; kuid see pole vastus. (219)
Nüüd oli Frege ise irooniliselt muutnud matemaatika, viies matemaatiliste teooriate vormistamisel sisse seninägematud rangusstandardid. Ta tunnistas (§90: 185–6), et Heine'i ja Thomae osas võiks midagi märkimisväärselt parandada, kui käsitleda matemaatilisi teooriaid, nende keelt, aksioome ja reegleid kui omaette formaalseid matemaatilisi objekte. Just see oli Hilberti programmi eesmärk edukalt saavutada, luues uue metamaatika jüngri.
Kuid Frege seab väga ranged väljakutsed isegi rangele mängude formalistile, kes on täielikult varustatud metamaatika tehnikate ja tulemustega. Selline teoreetik annab meile keele iseloomustuse, näiteks määratledes põhielementide primitiivsed sümbolid ja nende stringid ning annab seejärel rekursiivse täpsustuse, millised stringid loetakse hästi moodustatuks. Samamoodi antakse meile range täpsustus selle kohta, millised hästi vormitud valemite paigutused loetakse antud süsteemis tõenditeks ja millist teoreemi nad igal juhul tõestavad. Kui sellised stringid nagu '(3 + 1 = 0)' või '(3 \ gt 2)' osutuvad süsteemis tõestatavaks (ütleme näiteks aritmeetiline modulo 4), siis piisab, kui lugeda need õigeteks lausungiteks süsteemi. Tõde ei pea enam käsitlema; samuti ei pea me eeldama, et antud sümbolikomplekti jaoks on ainult üks süsteem. Samuti ei pea me eeldama, et iga selline süsteem on täielik (kuigi Frege võttis Thomae ülesandeks oma aritmeetilise kalkulatsiooni puudulikkuse, kuigi ulatusliku, kuid kergesti parandatava) eest. Me ei pea eeldama, et nendes stringides olevad numbrid tähistavad midagi väljaspool süsteemi, tõepoolest ei pea me eeldama, et need viitavad üldse millelegi. (Selle mängu formalistide suhtes ei kehti siis vastuväide, et '3 ((gt 2))' peaks mis tahes legitiimse formalistliku lugemise '(gt)' puhul vale välja tulema; pole vaja mõelda numbrid viitavad konkreetsetele märkidele ja '(gt) "tähendavad füüsiliselt suuremaid mõõtmeid.)Me ei pea eeldama, et nendes stringides olevad numbrid tähistavad midagi väljaspool süsteemi, tõepoolest ei pea me eeldama, et need viitavad üldse millelegi. (Selle mängu formalistide suhtes ei kehti siis vastuväide, et '3 ((gt 2))' peaks mis tahes legitiimse formalistliku lugemise '(gt)' puhul vale välja tulema; pole vaja mõelda numbrid viitavad konkreetsetele märkidele ja '(gt) "tähendavad füüsiliselt suuremaid mõõtmeid.)Me ei pea eeldama, et nendes stringides olevad numbrid tähistavad midagi väljaspool süsteemi, tõepoolest ei pea me eeldama, et need viitavad üldse millelegi. (Selle mängu formalistide suhtes ei kehti siis vastuväide, et '3 ((gt 2))' peaks mis tahes legitiimse formalistliku lugemise '(gt)' puhul vale välja tulema; pole vaja mõelda numbrid viitavad konkreetsetele märkidele ja '(gt) "tähendavad füüsiliselt suuremaid mõõtmeid.)
Selline mängude formalist on platonistliku Frege'i väärtustavam vastane, kuid tema esitatud kaks peamist vastuväidet kehtivad endiselt selle keerukama positsiooni suhtes. Esimene on rakendatavuse küsimus: kui matemaatika on vaid arvutus, mille käigus me segame tõlgendamata sümboleid (või sümboleid, mille tõlgendamine ei oma tähtsust), miks siis seda nii edukalt ja nii mitmel moel rakendatakse palju erinevaid asju - tavalised füüsikalised objektid, alaaatomilised objektid, väljad, omadused ja tõepoolest matemaatika ühest osast teise (võime arvestada mõõtmete arvu puhtas geomeetrilises ruumis)? Frege kirjutab:
Ainult rakendatavus tõstab aritmeetikat mängust teaduse auastmeks. (Frege 1903/1980: 187 §91)
Teiseks, Frege eristab üsna õigesti ja tungivalt ühelt poolt „mängu” aritmeetikat, komplektiteooriat, topoloogiat või mida iganes käsitletakse lihtsalt iseseisva matemaatilise objektina, formaalse süsteemina ja teiselt poolt mäng. „Pidagem meeles, et mängu teooriat tuleb eristada mängust endast” (§107, lk 203). Seega võime trigonomeetria "mängus" tuletada
) sin ^ 2 \ teeta + \ cos ^ 2 \ theta = 1)
Pythagorase teoreemist. Metatoorias võime tõestada:
väide, et sellise ja sellise koodiga valem süntaksi matemaatilises esituses (kood, mida meta-meta-teooria esindab siin tähisega '(langle \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1 \ rangle) ') on tõestatav. Samamoodi suudame metateoorias tõestamise ja ümberlükkamise kohta tõestada palju muid asju, näiteks võime näidata, et paljud laused pole tõestatavad ega ümberlükkavad.
Formalisti jaoks see probleem tõstatub: metametoodika on iseenesest oluline matemaatika, näiliselt pühendunud selliste objektide lõpmatule valdkonnale, mis ei ole konkreetsed. Objektiivkeele mängude arvväljendite märgid võivad olla piiratud tindimärgiga jms; aga kuna väljendeid, teoreeme ja tõestusi on lõputult palju, tuleb neid ise pidada abstraktseteks tüüpideks. Parimal juhul suudab formalist saavutada vaid mõnede matemaatiliste teooriate, näiteks komplektteooria, piiritletud valdkondade pühendumise vähenemise aritmeetika loendamatult lõpmatu, kuid siiski oletatavasti abstraktse valdkonnani, kus standardi süntaks ja tõestusteooria loendatavaid keeli, nagu näiteks tavakomplekti teooria, saab modelleerida, nagu Gödel näitas.
Kas formaalsust saab arendada nii, et see ületaks need kaks olulist vastuväidet, rakendatavuse probleemi ja metateooria probleemi, nagu ma seda nimetan? (Mitte, et need on formalismi ainsad vastuväited, kuid need on kaks põhilist.) Kuna Frege kriitika ei vaigistanud hilisemate matemaatikafilosoofide kõiki formalistlikke impulsse, vaatame nüüd edaspidiste arengusuundade põhjal välja, kuidas nad hakkama saavad.
3. Traktaarne formalism
Wittgenstein oli Frege'i loomingu üliõpilane, kes suunas Frege Jenas Frege'i visiidi käigus edasi oma õpinguid Bertrand Russelli käe all. Võib arvata, et ta on nakatatud formaalsuse vastu. Kuid Wittgensteini Tractatuses peituvad kindlad formalistlikud elemendid.
Tõsi, Tractatuse tõlgendamine on kurikuulsalt keeruline teos. Isegi küsimus, kas raamatu põhiosa, sisuliselt kogu seda, välja arvatud eessõna ja lõpu „raam”, tuleb võtta kui tõsist katset esitada metafüüsika, on vaieldav. Kui jätta see hermeneutiline poleemika kõrvale ja kaaluda metafüüsikat, mida meile pakutakse, on formalistlikel aspektidel kaks. Esiteks öeldakse, et matemaatilised laused väljendavad „pseudo-ettepanekuid” ja neil puudub tõe väärtus (ainult tingimuslikel väidetel on tõeväärtus). Teiseks, matemaatikat kirjeldatakse kui „matemaatikat”, mida ei tohi kasutada maailma esitamiseks sellisena, nagu see iseenesest on, kuid mille väärtus on täiesti oluline. Et olla kindel,kõige selgem väide sellest pole Tractatuses, vaid kommentaarides, mille Wittgenstein kirjutas Ramsey koopia kohta:
Matemaatika põhiidee. on arvutuse idee, mida siin esindab toimimise idee. Loogika algus eeldab arvutamist ja seega arvu. Arv on arvutuse alusidee ja see tuleb sellisena kasutusele võtta (Lewy, 1967: 421–2).
Päris Tractatuses saame aimu, et matemaatilised väited on lihtsalt instrumendid (kogu matemaatika, mitte lihtsalt „ideaalne” fragment, nagu Hilbertis):
Tegelikult pole matemaatiline pakkumine päriselus kunagi see, mida me tahame. Pigem kasutame matemaatilisi väiteid ainult järeldustest, mis tulenevad väidetest, mis ei kuulu matemaatikasse, teistele, mis samuti ei kuulu matemaatikasse. (Filosoofias viib küsimus „milleks me seda sõna või seda väidet tegelikult kasutame?” Viib korduvalt väärtuslike arusaamiseni.) Tractatus ¶6.211.)
Seda ideed toetavad väited:
Matemaatika on loogiline meetod. Matemaatika väited on võrrandid ja seetõttu pseudo-ettepanekud. (ibid, ¶ 6,2)
Matemaatika pakkumine ei väljenda mõtet. (ibid, ¶ 6,21)
Siiski tuleb olla ettevaatlik. Wittgenstein eristab sinnlos lauset, millel puudub mõte (sh siinjuures loogilised tautoloogiad ja vastuolud) mitteütlevatest, mõttetutest; pole selge, millisesse klassi matemaatilised laused kuuluvad. Võib arvata, et mängude formalist peaks käsitlema matemaatilisi lausungeid, pidades silmas ainult mõttetute märkide stringe, nagu alusetuid, mitte ainult sinnlosid. Üks selge erinevus mängude formaalsusest on aga see: Wittgensteini jaoks ei tohiks matemaatikat pidada muust keelekasutusest eraldiseisvaks matemaatikaks. Pigem üritab ta näidata, et vähemalt aritmeetika osi võib pidada keele mittematemaatilisteks kasutusteks. Frege seevastuEhkki väites, et aritmeetika (ja analüüsi) nõuetekohane arvestamine peaks näitama, kuidas selle üldisus võimaldab ühetaolise ülevaate andmist mitmesugustest erinevatest rakendustest (vrd Dummett, 1991, 20. peatükk), toetas ta ka tugevalt seisukohta, et matemaatiliste lausungite tähendus on sõltumatu kontseptuaalselt enne nende kasutamist rakendustes.
Wittgenstein ei püüa Tractatuse matemaatika teooriat kaugemale aritmeetikast, see on aritmeetika üsna kitsas fragment. Teooria jagab selgelt mängude formalistide antiplatonismi. Numbreid pole, aritmeetikat tuleb tõlgendada arvutusena, milles manipuleeritakse operaatorite eksponentide või indeksitega. Mis on operaator? Wittgenstein eristab operaatoritermineid funktsiooniterminitest, kuid kommentaatorid on püüdnud selgitada, mis vahet eristab. On selge, et Wittgenstein leidis, et funktsioonitermi (f) kahel esinemisel, mis kehtivad erinevatele stringidele (t) ja (u), on erinev tähendus, kus "tähenduse all" tähendab Wittgenstein referenti, näiteks Frege'i Bedeutungi sarnast. Seega ei tähenda '(f)' jaotises „(f (t))” sama üksust, mis äärepoolseim ((f)) jaotises „(f (f (t))”;see peaks olema Russelli paradoksi lahenduse alus (¶3.333). Eelkõige tähendab "isa" "Johannese isas" seal midagi teistsugust, võrreldes selle ülima esinemisega "Johannese isa isas". Teiste sõnadega ei saa olla tõelist korduvat funktsioonide rakendamist, mis aitab ravida Russelli paradoksi, mida paljud peavad haigusest nii halvaks.
Operaatoreid tuleb vähemalt selles osas eristada funktsioonidest: operaatorite tõeline iteratsioon - ehe näide on pakkumisloogika sensentsed operaatorid - on võimalik ilma eeldusena, et tähendus või viide ühelt märgilt teisele muutub. Mis on nende tähendus või referent siis? Wittgenstein eitab, et neil oleks viiteid, see on üldistus tema väitest, et loogilised konstandid ei ole esindajad. Peter Hylton (1997: 96–98) väidab, et Wittgensteinil Tractatuses on “funktsioonidest” rääkides meeles Russelli algsed funktsioonid ja ta on võimeline operaatoreid nendest “olulistest” üksustest eristama. Russelli propositsioonifunktsioonid ei ole samad kui tavalised matemaatilised funktsioonid, Frege funktsiooni mõiste mudel. Pigem on nad struktureeritud üksused,struktuurselt seotud ettepanekutega, mis on nende väärtushinnangud - asjade olek võiks olla üks viis neist mõelda. Operaatorid seevastu ei kandideeri ühegi sellise üksuse eest, nad pole ettepanekute osad ega mingid koostisosad, nad "ei jäta jälgi".
Senentsiaalsed operaatorid on ette nähtud mitte märkide ega pealdiste kaardistamiseks teistele märkidele ja kirjeldustele, vaid pigem väidetele (Wittgensteini selle mõiste üsna kursilises tähenduses) ettepanekutele. Wittgensteini väidete puhul võib sellise toimingu nagu eitus (pd, { sim} p, { sim} { sim} p \ ldots) korduv rakendamine viia tagasi varasema punkti juurde. Sellegipoolest püüab Wittgenstein selgitada aritmeetikat mittematemaatika keeles rakendatavate sensitiivsete operaatorite osas. (Siin võib näha hirmutusi kiriku hilisema range sarnase idee väljatöötamisest, kui ta käsitleb lambda kalkuleeritud numbreid kui funktsioone, mis korduvalt rakendavad sisestusfunktsioone.) Hüüdlause kujul on numbrid toimingute eksponendid (ibid., ¶6.021).. Seega, kus (Omega) on operaatori jaoks skemaatiline ja (Omega p) (või (Omega (p))) selle pakkumisel rakendamiseks, saame vaadata seeriat
Siin on meil siis lõpmata palju skemaatilisi ümberkirjutamisreegleid. Selliseid indekseid nagu '(^ {0 + 1 + 1 + 1 + 1})' saab lühendada numbritega ilmselgelt, kasutades '(^ {0 + 1 + 1 + 1 + 1})' lühendatult 4 ja nii edasi.
Wittgensteini näited näitavad (ehkki ta seda otseselt ei öelnud), et kahe arvu / eksponendi (Omega ^ {n} p + \ Omega ^ {m} p) lisamine (samuti (Omega ^ {n + m}) p)) antakse reegliga:
) Omega ^ {n} p + \ Omega ^ mp \ Parempoolne nool \ Omega ^ {n} (Omega ^ mp))
öeldes meile, et võime valemis vasakul oleva väljendi asendada parempoolsega.
See on identiteetide, näiteks (n + m = r) "õigsuse" aluseks, välja arvatud see, et Wittgensteini jaoks ei väljenda selline identiteet tõde. Tema arvel kaob identiteedimärk täielikus keeleanalüüsis, samas kui samasust ja eristatavust näitab nimede ühesus ja eristatavus, millest kaks ei viita täielikult analüüsitud keeles ühele ja samale objektile (see vaade annab alust tõlgendamiseks matemaatilised lausungid Tractatuses kui ebaharilikud). Wittgenstein ise ei vaevunud näitama, et isikutunnusest loobumine ei kahjusta keele väljendusjõudu, kuid teised, näiteks Hintikka (1956) ja Wehmeier (2004), on seda teinud. Aluskeeles, koos identiteedist välja jäetud, on asendusreeglid (Tractatus ¶ 6.23).
Neid tuleb tõlgendada üldiselt ja skemaatiliselt. Seega, kui ühendame rakenduse ({ sim}) jaoks (Omega), leiame, et (Wittgensteinil polnud siin ühtegi intuitsioonikirjanikku) ja kaks rakendust ({ sim} { sim} p) võtab meid tagasi (on sama tähendusega kui) (p). Kuid see ei õigusta (2 = 0) tõde, kuna paljude muude toimingute puhul ei ole (Omega \ Omega p) samaväärne (p). Teiselt poolt
) Omega \ Omega (Omega \ Omega \ Omega p) tekst {on alati sama tähendusega kui} Omega \ Omega \ Omega (Omega \ Omega p))
Wittgenstein eeldab kaudselt sobilike reeglite kasutamist sulgude ja operaatorite koostoimel, eriti üldist assotsiatiivsust. (Tegelikult kasutab ta (Omega (p)) väljendamiseks sulgude ja märke (Omega 'p) segu.)
Kuna võrrand (Omega ^ {n} p = \ Omega ^ {m} p) ei ole selle loogilises vormis universaalne üldistus (forall n, m (Omega ^ {n} p = \ Omega ^ {m} p)), kuid puhtalt skemaatiline üldistus, puudub vorm (eksisteerib n, m (Omega ^ {n} p \ ne \ Omega ^ {m} p)), millega me suudab väljendada ebavõrdsust, isegi kui mõistame '(ne)'. Samuti ei saa me ebavõrdsust (n \ ne m) skemaatiliselt väljendada kui (Omega ^ np) ebavõrdsuse hoidmist (Omega ^ mp) iga valiku jaoks (Omega) jaoks. Vastasel juhul (2 \ ne 0) ebaõnnestub, kuna ({ sim} { sim} p) võrdub (p). Traktaari teooria ei saa ebavõrdsusega hakkama.
Nii palju lisamist ja selle toimingu konto piirangute kohta. Mis saab korrutamisest? Wittgenstein määratleb selle tasemel ¶6,241 järgmiselt:
) Omega ^ {n \ korda m} p \ Parempoolne nool (Omega ^ n) ^ mp)
kuid selle mõistmiseks üldpõhimõttena peame teadma, kuidas mõistet ((Omega ^ n) ^ m) tõlgendada. Tavapärasemas matemaatikas võiks määratleda ((x ^ n) ^ m) lihtsalt kui (x ^ {n \ korda m}), kuid selgelt see (või pigem operaatorite eksponentide interaktsiooni ekvivalent) tutvustada Wittgensteini kontole ümmargust. Teise võimalusena võiks pöörduda eksponentide rekursiivse teooria poole - (a ^ {m \ korda 0} = a, a ^ {m \ korda (n + 1)} = a ^ m + a ^ {m \ korda n}). Kuna induktsiooni põhimõtet, mis on vajalik selleks, et näidata, et rekursioon on sidusad tunnused, Wittgensteini süsteemis, ei tohiks neid reegleid eeldatavalt pidada primitiivseteks.
Üldiselt ei anna Wittgenstein Tractatuses meile matemaatikat üldiselt muud kui aritmeetilise, põhimõtteliselt positiivse identiteedi fragmendi kohta, mis hõlmab ainult liitmist. Ja seal ta eitab, et laused väljendavad tõeväärtustega ettepanekuid. Muidugi oli raamat kirjutatud erakordselt rasketes oludes. Võib-olla oleks tema kontot võinud ülalnimetatud raskustest hoolimata edasi arendada ja usutavamalt - kuid skeptilisuse osas selles osas vaata Landini, 2007. Kindlasti ei üritanud Wittgenstein seda teha, kui ta oli FP Ramsey ja Viini ringiga ühenduses. 1920. aastad. Kui Wittgensteini seisukoht ei olnud palju edasiarendamiseks võimeline, on meil valida, kas loobuda kogu matemaatikast, välja arvatud äärmisel juhul liitmise aritmeetika fragment;või Tractarian konto tagasilükkamine. Tänapäevase matemaatika suhtes ei pea olema orjalikult kriitikavaba, et näha, mis siin mõistlik on. Tractatuse konto tagasilükkamine on tõepoolest ka võimalus, mida Wittgenstein ise raamatu lõpus heaks kiidab; siin asume siis küsimusesse, mis mõte on meid läbi viia selliselt veidralt ja veenvalt teoorialt, et see lõpuks ära visata. (Wittgensteini Traktaari positsiooni positiivsema hinnangu saamiseks vt Floyd (2002).siis siinkohal jõuame küsimusse, mis mõte on meid läbi viia sellisel veidral ja veenval teoorial, et see lõpuks ära visata. (Wittgensteini Traktaari positsiooni positiivsema hinnangu saamiseks vt Floyd (2002).siis siinkohal jõuame küsimusse, mis mõte on meid läbi viia sellisel veidral ja veenval teoorial, et see lõpuks ära visata. (Wittgensteini Traktaari positsiooni positiivsema hinnangu saamiseks vt Floyd (2002).
Wittgensteini hilisem matemaatikafilosoofiat käsitlev töö, näiteks märkused matemaatika aluste kohta 1956/1978) pälvis pikka aega veelgi vähem heakskiitu kui Tractarianuse konto, kuigi hiljuti on selle kaitsmisele jõudnud filosoofid nagu Juliet Floyd ja Hilary Putnam. kui matemaatika huvitav ja teadlik ülevaade (Floyd / Putnam, 2000). Selle teemade hulka kuulub tegeliku lõpmatuse tagasilükkamine (tõsi, tema kirjutistes on tendents tugevalt finitistlik); eitus, et otsustamatute lausete tähendus on tähendus; Cantori jõuvarude tõendi tagasilükkamine; idee, et tõestatud avastus muudab kasutatavate mõistete tähendust; ja muud väga radikaalsed ideed. Nende hulgas leiame jätkuvalt formalistlike motiivide järgimist:
Matemaatikas on kõik algoritm ja miski pole tähendus; (Filosoofiline grammatika: 468).
Veel üks püsiv teema Wittgensteini mõtteis on see, et matemaatika tähendus peitub täielikult selle kasulikkuses mittematemaatilistes rakendustes. Kuid puudub süsteemne teooria selle rakendatavuse kohta ega ka näiteks konservatiivse laiendusteoreemi tõestus, mis näitaks, kuidas matemaatiliste arvutuste rakendamine empiirilistele eeldustele ei vii kunagi empiirilise järelduse tegemiseni, mida nendest eeldustest ei järeldu. Ja metateooria probleemi ei ole võimalik lahendada. Teiselt poolt peaksime täheldama, et neid Wittgensteini märkmeid matemaatikafilosoofia kohta ei avaldanud tema, vaid teised pärast tema surma. Üldise ülevaate Wittgensteini matemaatikafilosoofiast tervikuna leiate Wittgensteini matemaatikafilosoofiast.
4. Formalism ja positivistid
Wittgenstein mõjutas suuresti Viini ringi. Matemaatika “ametlik” positivistlik teooria, nagu see ka poleks, pole formalistlik. Matemaatilised teoreemid väljendavad tõdesid, ehkki erilisel viisil: tõesed ainuüksi tähenduse tõttu. Kõige mõjukam positivist on olnud Carnap, kui mitte klassifitseerida Quine'i positivistiks (aga Quine'i vaated olid 1930ndatel igal juhul Carnapi lähedased, tõepoolest, Quine püsis Carnapi radikaalse empirismi suhtes tõesem kui Carnap). Ja kindlasti saab mõnes Carnapi kirjutises märgata tugevaid formalismi elemente, näiteks ajakirjades Logische Syntax der Sprache (1934 [1937]) ja „Empirism, semantika ja ontoloogia” (1950 [1956]).
Endine raamat tõlgiti inglise keelde kui keele loogiline süntaks 1937. aastal. Selles väitis Carnap, et filosoofias on õige meetod tegeleda kontseptuaalse analüüsiga, mis on ette nähtud „loogiliseks süntaksiks”, laias laastus öeldes õige süntaksiks ja tõestusteooriaks. Filosoofiliste erinevuste lahendamiseks tehakse ettepanek vaidlusaluste seisukohtade ründeks ametlikes keeltes või nn raamistikes, mis hõlmavad aksioomide süsteemi ja tõestusreegleid; neid arvestades on mõned laused määravad, tõestatavad või ümberlükatavad. Need on analüütilised ja vastuolulised laused selle raamistiku suhtes. Kuidas valida, millise süsteemi kasutusele võtta? Carnapi sallivuse põhimõte (1934 [1937], lk 52) võimaldab meil vastu võtta mis tahes süsteemi, mida me soovime:
Loogikas pole moraali. Kõigil on vabadus kujundada oma loogika, st oma keelevorm, nagu ta soovib. [Kaldkiri originaalis]
Carnaps laiendab seda ohjeldamatut lubatavust matemaatikale:
Siin pakutud salliv suhtumine on matemaatiliste matemaatiliste arvutuste osas selline suhtumine, mida enamik matemaatikuid vaikib vaikides.
Iga selline arvutus võib olla matemaatika tükk, isegi ebajärjekindel. Semantiliste mõistete alavääristamise või nendest loobumise kaudu me lihtsalt eira traditsioonilisi ontoloogilisi vaidlusi, mis puudutavad üksuste olemust. Matemaatika on "umbes". Ainus probleem on mis tahes matemaatilise arvutuse pragmaatiline kasulikkus.
Siin tekivad mitmed probleemid. Kuidas saab Carnap eristada empiirilisi, teaduslikke ja matemaatilisi teooriaid? Teiseks, kui pragmaatiline kasulikkus on peamiselt empiiriliste rakenduste küsimus, siis kuidas teab Carnapian formalist, et antud arvutus laiendab konservatiivselt empiirilist teooriat, kuidas saab seda teada ilma sisukate matemaatiliste tulemuste poole pöördumata? Carnap kirjutab:
Formalistlik seisukoht on õige, kui ta leiab, et süsteemi saab ehitada puhtformaalselt, see tähendab ilma sümbolite tähendusele viitamata; … Kuid sel viisil välja toodud ülesannet ei saa kindlasti täita ainult loogikalis-matemaatilise arvutuse abil. Kuna see arvutus ei sisalda … neid lauseid, mis on seotud matemaatika rakendamisega … Näiteks ei saa lause "selles toas praegu olla kaks inimest" lausest "Charles ja Peter on siin ruumis ja mitte keegi teine ”ainuüksi logiko-matemaatilise arvutuse abil, nagu selle on tavaliselt vormistanud formalistid; kuid selle saab tuletada logistikasüsteemi abil, nimelt Frege '2' määratluse põhjal. (Carnap 1934 [1937], lk 326)
lisades (kaldkiri on Carnapi omad) "Selline struktuur täidab samaaegselt nii formalismi kui ka loogika nõudmisi."
Kuid mis takistab meil vabalt kehtestada vastavalt sallivuse põhimõttele „sillapõhimõtteid” operaatoritele, kes tõestavad teoreetiliselt nagu arvoperaatorid - „((phi))” arvu nende määratlusliku esinemise kaudu aritmeetiliste aksioomide formulatsioonides ja kui sillapõhimõtted hõlmavad järgmist:
) alustada {joondama} teksti {arvu} phi \ teksti {'s} & = 0 \ vasakpoolne nool \ eksisteerib x (phi x \ amp { sim} eksisteerib y (phi y \ amp y \ ne x)) \ \ tekst {arvu} phi \ teksti {'s} & = 1 \ vasakpoolne nool { sim} eksisteerib x \ phi x \,? \ lõpeta {joondus})
See tähendab, et seome nulli numbri lausega, kus öeldakse, et on täpselt üks sobivat tüüpi olem, ühe numbriga lause, mille kohaselt selliseid üksusi pole. Kui me seda teeme, lisage standardse aritmeetika reeglid ja proovige seda arvutust rakendada, siis toimub katastroof; kuid kas me ei vaja sisulist konservatiivset laienditulemust, mis näitaks, et meie poolt kasutatavate arvutuste jaoks ei saa katastroofi juhtuda?
Gödeli puudulikkuse teoreemid tekitavad Carnapi jaoks selles ja muudes küsimustes väga raskeid probleeme. Esimene mittetäielikkuse teoreem ütleb meile, et mis tahes ((omega) -) järjepidevas formaalses teoorias, mille teoreemid on rekursiivselt loendatavad ja mis eeldab teatud (üsna piiratud) arvu aritmeetikat, on selline aritmeetiline lause, et ei see ega selle eitamine on tõestatav. Carnapi terminoloogias näib, et see annab mitte-määravaid lauseid, mis on tema jaoks probleem, kui oleme veendunud, et mõned neist lausetest vastavad tõele; ja tõepoolest, mittetäielikkuse tulemuse tõestamiseks kasutatavad peamised tüüpi laused - 'Gödeli laused' - vastavad tõepoolest aritmeetika tavamudelis, kui need laused on teooriast lähtuvalt konstrueeritud sobival viisil (selleks on erinevaid viise). iseenesest selles mudelis tõsi.
Gödel ise kirjutas, kuid ei avaldanud otsitavat kriitikat Carnapi positsiooni kohta (Gödel, 1953–9). Gödel ei keskendu mitte oma esimesele mittetäielikkuse teoreemile, vaid järeldusele, mille ta tõmbas oma teises teoorias: et konsistentsi omaduse teatud loomuliku iseloomustamise korral on iseloomustus, mille saab anda matemaatiliselt süntaksi aritmeerimise abil, puudub ametlik teooria. tüüp Gödel leidis, et see võib tõestada oma järjepidevust. Ta väitis, et Carnap peab oma positivistliku väite kinnituseks, et matemaatilistel teoreemidel puudub sisu, andma matemaatiliste arvutuste jaoks järjepidevuse tõestuse, et näidata, et neil pole empiirilist sisu, seda on külluses, mis hõlmab kõiki empiirilisi lauseid. Warren Goldfarb märgib siiski (1995:328), et selles punktis ei osata hinnata Carnapi 1937. aasta positsiooni sügavat terviklikkust, kus erinevus analüütilise ja sünteetilise vahel on seotud kõnealuse süsteemiga, nn keelelise raamistikuga. (Sellel sügaval holismil on muidugi vastupidine intuitiivne tagajärg, et matemaatikat ja empiirilisi teadusi ei eristata raamistikku ületavalt.)
Carnap mõistis tegelikult Gödeli teoreemide importi (Tennant, 2008); ta teadis tulemusi otse Gödelilt, kes tõepoolest luges loogilise süntaksi mustandeid. Hoolimata sellest näitas ta välja, mis näib silmapaistva lohakusena selle mõjule tema positsioonile. Ta tunnistas vajadust järjekindluse demonstreerimisel liikuda tugevama keele juurde (§60c) ja aitas vabalt matemaatilisi tehnikaid, mida ei saanud mingil juhul klassifitseerida peeneks (§-s 14 kasutas ta näiteks reegleid, millel on lõpmata palju eeldused, eriti see, mida hiljem hakati kutsuma reegliks (omega)). Sel moel saab ta eitada vähemalt aritmeetika osas mitte määravaid lauseid, kuna iga tõeline aritmeetiline lause on tõestatav, kasutades reeglit (omega) (suhteliselt nõrga lõpliku loogika suhtes,tunduvalt nõrgem kui klassikaline loogika).
Carnapi pingevaba suhtumine tuleneb tema loobumisest epistemoloogiliste aluste otsimisest. Kui loodetakse kindlustada meie teadmised matemaatikast, pöördudes formalistliku tõlgenduse poole, siis on otstarbekas otsida Hilbertilt nõutud tüüpi järjepidevuse tõendit ja otsida matemaatika kui terviku õigsust piiratud lõigust, mille suhtes meie teadmisi tundub raske vaevata. Kuid Carnap näib olevat võib-olla Gödeli sügavate teoreemide tagajärjel sellest eesmärgist loobunud ja arvas, et sallivuspõhimõte vabastab ta igasugusest sellisest vajadusest. Võib täpsustada, mis meeldib, sealhulgas tugevamad aksioomisüsteemid, millest saab tõestada nõrgema teooria järjepidevust. See ei anna kindlamat alust nõrgema teooria uskumiseks või aktsepteerimiseks, kuid inimene ei vaja seda niikuinii.
Vähesed otsivad tänapäeval matemaatikas Cartesiuse tunnistust, seega võib Carnapi positsioon siin tunduda mõistlik. Pole aga nii selge, kas ta on vastanud kohaldatavuse probleemile. Isegi kui konservatiivse laienditulemuse saab anda ainult võimsamas süsteemis, on meil vaja, et tulemus oleks sisuline tõde, mitte ainult sümbolite jada, mille saame mõnest süsteemist tuletada, kui tahame olla kindlad, et konkreetne arvutus mida kasutatakse sildade või arvutite kavandamisel, on pragmaatiliselt kasulikud. Ja kui Carnapianuse väitel on tulemuseks sisuline tõde, võime küsida, mis selle formalistliku seisukoha kohaselt selle tõe moodustab. Carnapi motivatsiooniks oli kindlasti metafüüsilistesse vaidlustesse sattumise õudus. Kuid kui tema seisukoht on tühjendatud mitte ainult epistemoloogilistest ambitsioonidest, vaid on nii deflatsionistlik, et öelda vaid natuke rohkem kui seda, et metamatmaatikalisi tehnikaid saab kasutada matemaatiliste ja teaduslike teooriate vormistamisel, tühjendatakse see ka kogu filosoofilisest huvist ja lakkab sekkumast arutelud matemaatikafilosoofia üle.
Mitte et Carnap tõesti loobub metafüüsikast: see metafüüsika kunagine vastane on tõesti vendmetafüüsik, kellel on oma konkureeriva teooriaga, nagu FH Bradley oleks võinud öelda. Seega on hilisema „empiirika, semantika ja ontoloogia” impordiks ontoloogiliste murede pseudoprobleemidena kõrvalejätmine, mis tuleneb „sisemiste” küsimuste (väga vaieldav) eristamisest, mis tuleb lahendada raamistiku reeglitega - matemaatikast, tavalisest “asjast” või ükskõik millistest ja “välistest” küsimustest, näiteks “milline raamistik vastu võtta?”. Carnap väitis, et neile välistele küsimustele ei vasta tõeväärtustega väited; näiteks ühelegi sellisele küsimusele on olemas vormi tõene vastus: “Jah, lõpmata palju abstraktseid numbreid on olemas”. Pigem tuleb neile vastata otsustega,otsused vastu võtta või mitte põhineda pragmaatilistel kriteeriumidel, mis käsitlevad raamistiku tõhusust, viljakust ja kasulikkust seoses kõnealuse diskursuse eesmärkidega. Kuid mis eesmärgid need võiksid olla? Kas ennustada "sensuaalsete andmete" voogu, mida peetakse iseenesestmõistetavaks, et moodustada maailma ülim mööbel? Kui jah, siis näeme, et varjatud ontoloogiline neutraalsus on häbiasi ja meil on empiirilise antirealistliku metafüüsika radikaalne vorm.
Formaalsuse jääk seisneb selles: Carnap võtab "korrektsuse" kindlaks süsteemi reguleerivate reeglitega ja ei koosne näiteks reeglite süsteemist sõltumatute faktide valdkonnaga. Ja ta arvab, et see lähenemisviis lahutab ontoloogilised mured ja vabastab meid kohustusest selgitada, kuidas meiega sarnastel piiritletud lihalikel ja verelistel olenditel on üksikasjalikud teadmised sellest sõltumatust faktide valdkonnast, abstraktse, mitte ajalise konfiguratsiooni valdkonnast, mittepõhjuslikud objektid ja omadused, valdkond, mille Carnap paljastab metafüüsilise illusioonina. Üks tugev formalismiga seotud disanaloogia on see, et Carnap võtab seda joont kõigi diskursuse valdkondadega, mitte ainult matemaatikaga.
5. Nominalistlik formalism
WV Quine lükkas kuulsalt positivisti tõeõpetuse tähenduse ja matemaatika kvaasiloogilise ettekujutuse matemaatilisest analüüsist koosnevate tõdede kogumiks (ja osaliselt selle tagajärjel lükkas tagasi ka tema mentori Carnapi sisemise / välise eristuse). Quine koos Nelson Goodmaniga koostas selle asemel formalistliku manifesti. Tema formalistlik etapp ei tundu olevat kestnud väga kaua: hiljem asus ta tööle matemaatilise platonismi vormile, alavääristades, kui mitte üldse ignoreerides, oma suhteliselt noorpõlve flirtimist nominaalsusega. Kuid kuigi see kestis, edendasid ta koos Goodmaniga märkimisväärselt formalismi arutelu, käsitledes põhjalikult küsimusi, mida teised formalistid tõmbasid või ignoreerisid.
Goodmani ja Quine'i "Sammud konstruktiivse nominismi poole" (1947) on esitatud kompromissitu mängude formalism:
Kasu, mis näib olevat saadud loodusteadustele matemaatiliste valemite kasutamisest, ei tähenda, et need valemid oleksid tõesed väited. Keegi, isegi mitte kõige kõvem pragmaatik, ei pea tõenäoliselt aabitsa helmeid tõeks; ja meie seisukoht on, et platonistliku matemaatika valemid on sarnaselt aabitsa helmestega mugavad arvutusabivahendid, mis ei vaja tõe küsimust. (lk 122).
Nad arvestavad
matemaatika laused pelgalt tähenduseta märkide stringidena
nii et
selline arusaadavus, mis matemaatikal on, tuleneb neid märke reguleerivatest süntaktilistest või metamaatilistest reeglitest. (lk 111)
Kommenteerivalt ei häbene Goodman ega Quine metateooriate probleemi, raskused, mis süntaksis ja metamaatikas iseenesest näivad olevat ontoloogiliselt rikkad ja pühendunud abstraktsetele objektidele nagu aritmeetika. Vastupidi, nad seisavad silmitsi sellega ja püüavad teha täielikku pistmist betoonobjektide ontoloogiaga, tegelikult paljude selliste objektidega. (Siiski eeldavad nad üsna võimsaid mereoloogilisi põhimõtteid, põhimõtteliselt universaalset kompositsiooni: nad eeldavad, et ka objektide sulandumine, olgu see siis hajutatud või hajus, on ka heas seisus objekt.)
Nad püüavad suure leidlikkusega välja töötada süntaksi, mis “käsitleks matemaatilisi avaldisi kui konkreetseid objekte” (ibid.) - kui füüsiliste märkide tegelikke stringe - ja annaks konkreetseid surrogaate mõistetele nagu “valem”, “aksioom” ja “tõestus”. nagu platonistlikult määratletud. Kuid nad ei käsitle matemaatika kohaldamise küsimust, tõlgendades seda konkreetsel, formalistlikul viisil.
Lisaks rakendatavuse probleemile on veel kaks formalismi olulist probleemi, mille on välja töötanud Goodman ja Quine. Esiteks ei ole selge, kas neil on õigus süntaksi kohta esitatud üldistele väidetele, mida tõlgendatakse kui teooriat teatud konkreetsete märkide ja märkide liitmise kohta. Kui nad väidavad, et nende valemi määratlus "kvaasvalemi" abil annab meile soovitud tulemused, ütlevad nad:
Nõudes, et ka järgmised (x) lõigus toodud keerukamad alternatiivsed eitused oleksid kvaasivormelite valemite alternatiivsed eitamised, tagab määratlus, et need on ka valemid intuitiivselt kavandatud tähenduses; ja nii edasi (x) enda juurde. (lk 116)
('Alternatiivne eitamine' on Shefferi löögioperatsioon (P | Q), mis on tõene siis ja ainult siis, kui üks komponent on vale.) Probleem on seotud 'ja nii edasi'. Goodman ja Quine üritavad oma suvalise valemi abil edasi liikuda, näidates, et nende määratlus tagab, et iga suurem komponent on valem. Pole selge, kuidas me saame selle tagada meelevaldse (x) korral, ilma et oleks midagi valemide keerukuse sissejuhatust; kuid see pole saadaval, kuna valemeid ei genereerita tavalisel induktiivsel set-teoreetiliselt. Sarnased märkused kehtivad ka tõestuse kohta, et tõendid, nagu need on nominaalselt määratletud p. 120, on sisemine tähtsuse järjekord otseste alam-eelduste ja järelduste seas, mida me intuitiivselt eeldame. Demonstreerimine jätkub kõigi arvude (k) arvu üldistamisega, mis nummerdab aksioomid konkreetseks tõestuseks ja viib seejärel läbi nende valimisjada. Tundub, et see eeldab üldistust kõigi arvude osas ja tõepoolest loendatavat valikut, ressursse, mis pole rangele nominalistile kättesaadavad.
Teiseks, mida saavad Goodman ja Quine öelda sellise lause kohta nagu
(See tähendab koos numbriga '2 ^ (n)', mis tähistab numbrit 2 võimsusega (n) '-' [2 ^ (2 ^ (2 ^ (2 ^ (2 ^ 2))))))]] (+1) on peamine ' vrd Tennant, 1997 lk 152.) Nad ei saa eitada, et lause on olemas, sest meie silme ees on märk. Kuid on põhjust arvata, et konkreetset tõendit ega tõendusmaterjali ei eksisteeri, sest ainsad olemasolevad meetodid võivad kulutada rohkem aega, ruumi ja materjali, kui ühegi inimese käsutuses võiks olla, ehkki tegelikult olemas on. Selle omadusega on lugematu arv lauseid: neist on olemas konkreetsed märgid, kuid tegelikult pole ühtegi konkreetset tõendit ega ümberlükkamist ega ühtegi, mida inimene saaks niikuinii tähendusliku lausungina manipuleerida. (Vrd Boolos, 1987.) Goodmani ja Quine'i veenmise formalistid näivad sunnitud jõudma järeldusele, et ülaltoodud laused, laused, mis on tavalises formaalses mõttes otsustatavad, pole ei tõesed ega valed,kuna ei ole (konkreetselt) tõestatav ega ümberlükatav. Selle arvamuse omaks võtmine tähendaks siiski lihunike matemaatikat, nagu praegu praktiseeritakse; sellist tagajärge tuleks pigem vaadelda kui nende positsiooni reductio ad absurdum'i.
6. Termin Formalism: karri
Kõige olulisem katse mitte Hilbertist pärit formalistliku matemaatikafilosoofia poole on Haskell Curry raamat Matemaatika formaalse filosoofia ülevaade (Curry, 1951). Curry ei ole mängude formalist, tema seisukoht on lähemal termini formalismile, kahest vaatest, millest me alguse saime. Curry matemaatikafilosoofia on aga või üritab olla väga metafüüsiline, vähemalt niivõrd, kuivõrd tema arvates suudab ta jääda matemaatika ontoloogiliste kohustuste osas neutraalseks.
Matemaatikat võib käsitleda teadusena, mis on sõltumatu kõigist, välja arvatud kõige algelisemad filosoofilised hüpoteesid. (lk 3)
Seetõttu ei motiveeri teda abstraktsete objektide platonismivastane õudus. Tema neutraalsust tõepoolest kahjustab mõnevõrra asjaolu, et Curry pühendub oletatavasti abstraktsete väljendustüüpide lõpmatule ontoloogiale. Ametlikult ilmutab ta huvi selle vastu, mida tema formaalsed süsteemid ürgsed üritajad eksitavalt nimetavad -
Saame nende märkide jaoks võtta vastu mis tahes objekte, mis meile meeldivad, ja samamoodi võime operaatorite jaoks kasutada mis tahes viise nende objektide ühendamiseks, millel on nõutavad formaalsed omadused. (lk 28)
Kuid kuna paljude süsteemide jaoks on lõpmata palju primitiivseid "märke", ei saa neid kõiki samastada konkreetsete märkidega, mille matemaatikud on tegelikult valmistanud.
Sarnaselt terminiga formalist võtab ka Curry matemaatika, mis on pärast filosoofilist järelemõtlemist korralikult rekonstrueeritud, et saada sisuliselt süntaktiline aine, nimelt formaalsed süsteemid. Erinevalt Frege'i vastastest suudab Curry, kirjutades pärast metamaatika distsipliini arendamist, anda palju rangema (ehkki tema puhul mõneti ekstsentrilise) ülevaate sellest, mis on formaalne süsteem.
Piiranguid ei seata sellele, mis vormis peavad olema formaalse süsteemi aksioomid, reeglid ja seetõttu ka teoreemid. Ametliku süsteemi elementaarsete väidete tõde seisneb lihtsalt nende tõepärasuses süsteemis. Ühel tema formaalsest süsteemist (näide 7, lk 23) on ainult üks predikaat „ühetaoline predikaat, mida Gödel väljendab sõnadega“ist beweisbar”” (lk 23), st tõestatavuse predikaat. Selle süsteemi elementaarseid tõdesid võib tõlgendada kui väiteid selle aluseks oleva süsteemi tõestatavuse kohta. Kõiki tavapäraseid formaalseid süsteeme saab „taandada” selliseks, kus elementaarse väite redutseerivas süsteemis on ainult üks tõestatavuse predikaat ja tõde (= tõestatavus). kui (phi) on taandatud süsteemis tõestatav (lk 34–35). Curry lubab, et tavaliste loogiliste operaatorite abil saab elementaarsetest väidetest moodustada ühendeid, et väljendada keerulisi väiteid tõestusteooria keeles (IX peatükk).
Lõpptulemus on see, et matemaatikast saab üldiselt metamaatika, sisuline teooria - Curry laused väljendavad tõesuse väärtustega ettepanekuid - sätestades tõed selle kohta, mis on tõestatav sellest, mis on aluseks olevates formaalsetes süsteemides, mille tõlgendamist või pigem tõlgendusi ei peeta matemaatiliselt oluliseks. See seisukoht aga ähvardab laguneda strukturalismiks, vaadelda matemaatilisi lausungeid skeemidena, mis kaudselt genereerivad rea (üldiselt) abstraktseid struktuure, mis vastavad skeemidele. Metatoorika probleemi osas ei püüa Curry sellele vastata; objektide rikkale ontoloogiale pühendumist ei üritata vältida, välja arvatud see, et kui arvestada ainult standardset formaalset süsteemi, võiks seda teha loendatav ontoloogia, mis võib mängida keelelisi väljendeid. Ainult siiskimatemaatilise praktika jämeda moonutamise hinnaga. Määrake teoreetikud, topoloogid, analüütikud jt. lõbustada oletusi ja proovida tõestada asju komplektide, topoloogiliste ruumide, keerukate numbrite funktsioonide kohta ja nii edasi. Filosoofilistel hetkedel võivad nad küsida, millised on need kontseptsioonid, millega nad maadlevad, kuid nad ei vii mõistatusi mõttele ega ürita tõestada väljenduskeelte asju, välja arvatud juhul, kui see on nende tõestamisel instrumentaalse väärtusega. asju komplektide, tühikute, keeruka tasapinna ja muu sellise kohta (vrd Resnik lk 70–71). Filosoofilistel hetkedel võivad nad küsida, millised on need kontseptsioonid, millega nad maadlevad, kuid nad ei vii mõistatusi mõttele ega ürita tõestada väljenduskeelte asju, välja arvatud juhul, kui see on nende tõestamisel instrumentaalse väärtusega. asju komplektide, tühikute, keeruka tasapinna ja muu sellise kohta (vrd Resnik lk 70–71). Filosoofilistel hetkedel võivad nad küsida, millised on need kontseptsioonid, millega nad maadlevad, kuid nad ei vii mõistatusi mõttele ega ürita tõestada väljenduskeelte asju, välja arvatud juhul, kui see on nende tõestamisel instrumentaalse väärtusega. asju komplektide, tühikute, keeruka tasapinna ja muu sellise kohta (vrd Resnik lk 70–71).
7. Curry-Howardi kirjavahetus
Haskell Curry pidi mängima olulist rolli ka loogika ja arvutiteaduse vahelise arenguga seotud arengutes, mis mõnede arvates võivad toetada matemaatika formaalsust. Tema töö kombinatiivse loogikaga koos WA Howardi tööga viis loogika, tõestusteooria ja arvutiteaduse ühendamiseni 'Curry-Howardi kirjavahetuse' ('Curry-Howard', edaspidi kirjutatud 'CH') või 'CH isomorfismi' vahel.
Curry eesmärk oli pakkuda üldist funktsionaalsusteooriat loogika aluse osana, nn eelloogika, nagu Curry seda nimetas. Vt eriti (Curry 1934) ja koos Robert Feysiga (Curry ja Feys 1958). Umbes samal ajal, kui Curry avaldas selle valdkonna esimesed väljaanded, töötas Alonzo kirik välja oma kirjutamata (lambda) - kalkulatsiooni, mille eesmärk oli luua ka loogika, tõepoolest matemaatika üldisem alus ja mis võtab ka väga üldiselt rakendatavaid funktsioone, kui fundamentaalne. Nendes funktsionaalsetes arvutustes (tervikliku ülevaate kohta vt Barendregt (1984), samuti lambda kalkulatsiooni kirje) kasutatakse funktsiooni (f) kohaldamise argumendiks (g) liitmist (fg).) väljundväärtuse andmine, kus nii argument kui väärtus võivad ise olla funktsioonid ja kus enese rakendamine on lubatud. Arvestades, et Curry süsteem on muutujavaba, muutuv sidumine kiriku süsteemis toimub termini (lambda) abil, muutuja (x) siis ja kus see juhtub, kui (N) on seotud ((lambda)) xN). (Lambda) - calculus põhioperatsiooniks on (beeta) - redutseerimine, teisendus, mis viib kohalt ((lambda xN) M) (N [x: = M].) Siin (N [x: = M]) on (M) kõigi (x) tasuta esinemiste asendamise (N) tulemus.[1] Näiteks, ((lambda x.xx) f) (beeta) - taandatakse väärtuseks (ff). Selle võime kirjutada järgmiselt:
[(lambda x.xx) f \ rhd ff)
Seega saavutavad need arvutused selle, mida Wittgenstein Tractatuses (vt eespool) oma tegevuste / funktsioonide eristamisel näib gestivat, sest kirikus ja Curry's on meil täielikult välja töötatud „operatsioonide” teooria, st funktsioonid, mis võivad funktsioone argumendina kasutada ja väärtused. Muidugi iserakendus, nagu lõpmatu silmuse korral ((beeta)) - vähendus:
tekitab muret, et võib tekkida paradoks. Kirik arvas, et vabade muutujate kasutamise vältimine ja välistatud keskosa piiramine (Church 1932: 346–7) blokeeris paradoksi, kuid Kleene ja Rosser näitasid (1935), kasutades Richardi paradoksil põhinevat strateegiat, et süsteem on triviaalne: iga valem võib saadakse reegleid kasutades. Kirik lahendas selle järjepideva kirjutamata (lambda) kalkulatsiooni saamiseks, kuid oluline samm CH-kirjavahetuse osas oli trükitud (lambda) kalkulatsioonide väljatöötamine.
Nüüd on tüüp tüüp väga ületöödeldud sõna. Seda tüüpi žetoone, mis kasutavad ühte selle tähendustest (laias laastus abstraktse süntaktilise objektina), on mõnikord kasutatud ka omaduste, sealhulgas kõrgema järgu omaduste eest seismiseks, nagu Russelli eri tüüpi teooriate puhul. Kirik pidi seda traditsiooni jätkama oma lihtsas trükitud versioonis (lambda) - calculus (kirik, 1940). Selle kasutamise korral on tüüpidel, näiteks kangiini või kuju omadus, näiteks Fido või teisel juhul madalama järgu omadus ruudukujuline olla. Seega ei pea selles mõttes tüüpide esinemisjuhud olema abstraktsed üksused. Teine kasutusviis on süntaktiline, kuna kui keele põhiväljendid jagunevad erinevateks eraldiseisvateks kategooriateks (tüüpideks) ja kehtestatakse vormistamiseeskirjad hästi vormistatud avaldiste genereerimiseks, kasutades tüübierinevusi. Selles kasutuses on 'tüüp' väljend mõne objekti teooria keele süntaktilises metateoorias. Mõnel juhul on süntaktiline teooria tegelikult osa käsitletavast objektiteooriast. Sõltumata sellest, suruvad mõned süntaktilise tüübi teooriate esitlused käsitletava objektiteooria alla süntaktilise metateooria, sätestades, et objektiivkeele hästi vormistatud väljendid sisaldavad süntaktilisi õigeid osi, silte nagu nad oleksid, mis on korrelatsioonis väljendi metateoreetiline tüüp ja neil puudub semantiline roll. Näiteks Howardis (1969) kasutatakse tüüpiliste sümbolitena tüüptümbolitena tüüpiliste sümbolite hästi sõnastatud valemit tinglause loogika tingimusliku fragmendi valemite üle. Mõnel juhul on süntaktiline teooria tegelikult osa käsitletavast objektiteooriast. Sõltumata sellest, suruvad mõned süntaktilise tüübi teooriate esitlused käsitletava objektiteooria alla süntaktilise metateooria, sätestades, et objektiivkeele hästi vormistatud väljendid sisaldavad süntaktilisi õigeid osi, silte nagu nad oleksid, mis on korrelatsioonis väljendi metateoreetiline tüüp ja neil puudub semantiline roll. Näiteks Howardis (1969) kasutatakse tüüpiliste sümbolitena tüüptümbolitena tüüpiliste sümbolite hästi sõnastatud valemit tinglause loogika tingimusliku fragmendi valemite üle. Mõnel juhul on süntaktiline teooria tegelikult osa käsitletavast objektiteooriast. Sõltumata sellest, suruvad mõned süntaktilise tüübi teooriate esitlused käsitletava objektiteooria alla süntaktilise metateooria, sätestades, et objektiivkeele hästi vormistatud väljendid sisaldavad süntaktilisi õigeid osi, silte nagu nad oleksid, mis on korrelatsioonis väljendi metateoreetiline tüüp ja neil puudub semantiline roll. Näiteks Howardis (1969) kasutatakse tüüpiliste sümbolitena tüüptümbolitena tüüpiliste sümbolite hästi sõnastatud valemit tinglause loogika tingimusliku fragmendi valemite üle.mõned süntaktilise tüübi teooriate esitlused suruvad süntaktilise metateooria käsitletava objektiteooria alla, sätestades, et objektiivkeele hästi vormistatud väljendid sisaldavad süntaktilisi õigeid osi, silte, nagu need on, mis on korrelatsioonis metateoreetilise tüübiga. väljend ja neil pole semantilist rolli. Näiteks Howardis (1969) kasutatakse tüüpiliste sümbolitena tüüptümbolitena tüüpiliste sümbolite hästi sõnastatud valemit tinglause loogika tingimusliku fragmendi valemite üle.mõned süntaktilise tüübi teooriate esitlused suruvad süntaktilise metateooria käsitletava objektiteooria alla, sätestades, et objektiivkeele hästi vormistatud väljendid sisaldavad süntaktilisi õigeid osi, silte, nagu need on, mis on korrelatsioonis metateoreetilise tüübiga. väljend ja neil pole semantilist rolli. Näiteks Howardis (1969) kasutatakse tüüpiliste sümbolitena tüüptümbolitena tüüpiliste sümbolite hästi sõnastatud valemit tinglause loogika tingimusliku fragmendi valemite üle.
Väljend «(N: \ tau)», mida loetakse tavaliselt järgmiste joonte kohaselt:
) text {term} N \ text {on tüüpi} tau)
võib seetõttu lugeda mitmel viisil, näiteks:
I: mittesüntaktiline: üksus, millele viitab (N), on klassi / komplekti / omaduse eksemplar, millele viitab (tau), eksemplar, mis ei pea olema süntaktiline ega üldisemalt abstraktne.
II: meta-süntaktiline: (N) viidatud avaldis on süntaktilise kategooria (tau) näide. Süntaktiline teooria, milles terminit tüübi järgi eristatakse, on intellektuaalse taustaga seotud kontekstis „meta”, kuna seda ei esitata (kavandatud tõlgenduse kohaselt) osana üldisemast mitte-süntaktilisest teooriast, mis on keel, mille jaoks ta ise süntaksi pakub.
III: Süntaktiline väljend (N) on süntaktilise kategooria (tau) näide ja tüübiteooria (on) süntaktiline teooria selle keele jaoks, mille juurde ta ise kuulub.
Ehkki mõned tüübiteooria õpikud võivad logistile tunduda üsna hägused, mille osas on küsimus ülaltoodud tüübi tõlgendustest, kui üldse, siis see pole nende teooriate pioneeride puhul kindlasti nii. Näiteks Howard kirjutab oma klassikalises artiklis „Ehituse valem-tüübi mõiste”:
Pealkirjas on teine puudus; nimelt tuleks tüüpi käsitleda abstraktse objektina, valem on aga tüübi nimi. (1969: 479)
ning eristab tüüpe ja tüübisümboleid (480).
On olemas erinevat tüüpi teooriate mittesüntaktilisi mudeleid, ehkki need töötati näiteks hiljem välja (Scott, 1970) ja need teevad üsna tugevad setteoreetilised kardinaalsuse eeldused, näiteks ligipääsmatute kardinalide olemasolu. Formalisti jaoks on palju aktuaalsemad nn terminimudelid, süntaktilised mudelid, mis on sarnased keelte tõlgendustele, mis kasutavad domeeni liikmena oma sümboleid, tõlgendused Henkini terviklikkuse tõenditest; ja eriti 'süntaktilise semantilise lähenemisviisi' osas, nagu Per Martin-Löfi intuitionistliku teooria teooria (vt sissekannet intuitionistliku teooria teooria kohta) või Peter Schroeder-Heisteri 'tõestusteoreetilise semantika' tõlgenduste osas (vt sissekannet tõestusmaterjalide kohta). teoreetiline semantika), mis väldib katseid anda tüüpidele ja terminitele tähendusi, viidates 'välisele' tõetingimusele:matemaatilist keelt ei tohiks vaadelda kui mingit iseseisvat reaalsust.
Sellises kontekstis pole „tüüpi” meta-süntaktiliste ja süntaktiliste näitude eristamine eriti oluline. Isegi kui 'tüüpi' peetakse puhtalt metateoreetiliseks mõisteks, võimaldavad tüübiteooria aksioomid ja järeldusereeglid tõestada tüüpide metateoreeme. Olukorda saab võrrelda järjestikuse arvutuse ja naturaalse deduktsiooni vahelise seosega, kunagise pöördenurga (vdash) abil saab seda tõlgendada kui tuletatavuse suhet mingis aluseks olevas loomulikus deduktsioonisüsteemis, ja järgnevat arvutusega, mis pakub kõrgema järgu teoreeme umbes objektikeele tuletatavus. Seega, hoolimata sellest, kas tüübid on metateoreetilised mõisted või mitte, on tüübiteooria arvutused sellised, et saab tõestada teoreeme, et mõiste (N) on tüüpi ((tau)).
Nüüd on Curry töö (1934) ja põhjalikumalt Feysiga (1958) näidanud teatavat vastavust tingimusliku teooria tõestatavate valemite ja tüübiteooria põhikombinaatorite tüüpide vahel. Eelkõige juhul, kui (parempoolne nool] on tingimuslik ja (alpha \ Rightarrow \ beeta), mis tähistab funktsioonitüüpe, see tähendab tüüpe (tõlgendatud mittesüntaktiliselt), mille sisenditeks on tüüp (alfa) funktsioonid ja väljundid tüüp (beeta) funktsioonid, meil on (siin (vdash_ {T \ parempoolne nool}) tähendab tinglikkuse positiivsuse (ebaolulises) teoorias tõestatavust ja (vdash_ {CL}) tähendab tõestatavus sobivas kombinatsiooniloogikas):
) vdash_ {T \ rightarrow} mathrm {A} rightarrow \ mathrm {B} text {iff mõne jaoks} N, \ vdash_ {CL} N: \ alpha \ Rightarrow \ beeta)
kus (N) on põhikombinaatoritest üles ehitatud termin ja (alpha) on struktuurilt isomorfne A-ni (samamoodi (beeta) B-ni). See tähendab, et A / (parempoolne) B-st saab genereerida A (Rightarrow) B, asendades (rightarrow) kõik esinemised (Rightarrow), võimaldades ühtlast asendust (võib-olla triviaalset identsus üks) senatsiooniliste tähtede seletused keele valemites põhitüüpide nimede järgi.
Curry ja Feys (1958) laiendasid kirjavahetuse ideed tüübiteooria ja Gentzeni järgneva arvutuse vahel. Juba viidatud artiklis, mis levitati 1969. aastal, kuid avaldati alles 1989. aastal Festschrift for Curry köites, süvendas WA Howard (1969) CH-i kirjavahetust, näidates vastavust intuitiivse järjendi loodusliku deduktsiooni ja tüübiteooria vahel dokumendis (lambda) - arvutuslik vorming, mis hõlmab üldist intuitiivistlikku aritmeetikat - 'Heyting aritmeetikat' (HA) - (nõudes seega laienduse pakkumist kõigi ennustusloogikatest loogikale), kõik konstruktsiooni konstruktivistliku mõiste uurimisprojekti osana. Howard süvendas tulemusi, tehes selgeks mitte ainult vastavuse arvutatava valemi tõestatavate valemite ja tüübikirjelduste vahel,aga ka tüübikirjelduses olevate terminite ja vastavate valemite tõendite vahel.[2] Näiteks (relevantide uurijate õuduseks) A (paremnool) (B (paremääris) A) on tõendis T (_ { paremääris}). Vastav tüüp on (alpha \ Rightarrow (beta \ Rightarrow \ alpha)), põhioperaatori K tüüp, kelle toiming on
[NM \ rhd N)
ja kelle (lambda) esitus on ((lambda x. (lambda yx))) (tavaliselt lühendatud (lambda xy.x)), nagu näeb ka (beeta) -vähendusahel: [3]
[(lambda x. (lambda yx) N) M \ rhd (lambda yN) M \ rhd N.)
A (paremääris) (B (paremääris) A) lihtsaim tõend T-is (_ { paremääris}) on:
) dfrac { dfrac { dfrac {} {A} scriptsize {1}} {B \ to A}} {A \ to (B \ to A)} scriptsize {1})
Joonis 1
kus teine samm, vahepealse järelduseni B (parempoolne nool) A, on näide (parempoolne) I (sissejuhatus) eeldamata eelneva B tühja tühjendamisega (järgnevas arvutusversioonis on reegel harvendusraie kohta tuleks kasutada täiendavaid eeldusi järgnevas eelnevas). Tüübiteoreetiline tõestus tüübiteooria TT [4] tüübis (alpha \ Rightarrow (beta \ Rightarrow \ alpha)) konstrueerimise vormis on järgmine:
Siin (lambda) abstraktsioon, terminite kasutuselevõtt (lambda) vastab (parempoolne) I, seega on (lambda) termin (lambda xy.x), mis on näidatud tüüpi (alpha \ Rightarrow (beeta \ Rightarrow \ alpha)) "koodid" (rightarrow) I tüübi korrelatsiooni kaks sammu, nimelt reegel (Rightarrow), mille ma sissejuhatan tüübid ja saame tagasi eeltoodud väiteteoreemi tõestuse. Lisaks, võttes arvesse tihedat seost tüüpteoreetiliste arvutuste ja teatud tüüpi programmeerimiskeelte programmide vahel, näeme TT-tõestust ka teatud tüüpi arvutusobjekti ehituse etappide programmina.
Looduslike deduktsioonisüsteemide puhul on normaliseerimine protseduur, mille abil elimineeritakse ülearused järelduslikud silmused. Teatud loogikates (näiteks intuitsiooniline loogika) kehtib normaliseerimismetateoreem, mis ütleb meile, et mis tahes tõendusmaterjalilt võib selle koondamise ära võtta ja taandada selle normaalsele kujule. Howardi välja toodud täiendav kirjavahetuse tase seob normaliseerimise programmide "hindamisega", milles keerulised terminid taandatakse kõige lihtsamatele vormidele (ekspressiivselt võimsate tüübisüsteemide puhul pole see alati võimalik).
Näib, et Kreisel võttis kasutusele loosungi „valemid tüüpidena“, kusjuures Martin-Löf vastutab laiemalt levinud „ettepanekute kui tüüpide“tunnuslause eest (vt uuesti, Wadler, 2015). Filosoofilises kontekstis kasutatakse 'väidet' sageli selleks, et tähendada midagi lause tähendust, st teatud laadi valemit. Seda terminoloogiat kasutades on levinud intuitionistlik seisukoht, et valemiga väljendatud väide on valemi kõigi tõendite kogum (või intuitiivisti jaoks liik). Arvestades, et erinevad tõestatavad valemid vastavad eri tüüpidele, võimaldab CH-kirjavahetus seda "süntaktilis-semantilist" positsiooni ümber sõnastada: HA valemiga väljendatud väide on selle tõendite tüüp, kus "tüüp" pole sirgjooneline sünonüüm sõnadele "set" või "liik", kuid mõiste (lambda) - calculus. Nagu märgitud, on see arvutuslik vormiline süsteem, millel on rikkalikud seosed programmeerimise ja arvutiteaduse ning näitudega, kus tüüpide esinemisjuhud on puhtalt süntaktilised, näiteks tõestusteoreetilised üksused. Seega ei esinda valemi tähendus, sellistel lugemistel väljendatud väide tegelikkust, mis on erinev keelelisest süsteemist, milles valem esineb.
Seos intuitsioonismiga on siis selge: aga mis on CH vastavus formalismile? Esiteks on selge, et intuitsioonismi mõned vormid ja teatavad formalistlikud seisukohad kattuvad. Muidugi mitte asutaja isa Brouweri filosoofiline intuitsioon, koos matemaatiliste objektide ontoloogiaga vaimsete konstruktsioonidena ja epistemoloogiaga, milles matemaatiliste teadmiste aluseks on ideede järgnevus sisemiselt; see on matemaatiline metafüüsika, mis on formalismist kaugel eemal. Kuid paljud konstruktivistid on oma metafüüsika aktsepteerimiseta omaks võtnud matemaatilise korrektsuse (tõde, kui keegi on valmis rääkima matemaatilisest tõest) Brouweri identifitseerimise või tiheda seose tõestatavusega. Selline identifitseerimine on teatud formaalsuse kaubamärgi jaoks rohkem kui kaasasündinud,see, mis lükkab ümber mõtte, et matemaatilised teesid kujutavad endast meelt sõltumatut reaalsust ja mis jagab lambad kitsedest ka nende põhjal, mis on mingis formaalses süsteemis tõestatavad ja ümberlükkamatud.
Kuid intuitsiooni ja formalisti vahel on ka olulisi erinevusi. Esiteks keelduvad mitte ainult Brouwer, vaid ka paljud hilisemad konstruktivistid määratlemast mingis formaalses süsteemis tõestatavust tõestatavusega. Teise jaoks on formalistid vabalt aidanud end klassikalise loogika ees ja rõhutanud matemaatiku vaba loomingulisust: ta peaks saama vabalt genereerida ükskõik milliseid matemaatilisi teooriaid, mida ta soovib, ainult juhul, kui need võetakse tagasi, kui need osutuvad vastuolulisteks (valitud taustaloogikas).
Esiteks on formalist muidugi formalist! Ta seob õigsuse, vähemalt kõige põhilisemal tasemel, ametliku tõendiga. Siis on CH-i kirjavahetus või paremad kirjavahetused formalistidele kindlasti väga atraktiivsed. Seos väidete ja arvutuste vahel, tõendite kodeerimise algoritmilised redutseerimised taandamatuteks normaalvormideks sobib eriti hästi nende formalismi versioonidega, mille puhul matemaatika on sümbolite loksutamine ilma välise viiteta.
Teise koha pealt tegi edasine töö CH-kirjavahetuste abil üldistatud tulemused intuitsioonistlikust loogikast paljude muude loogikatega, eriti klassikalise loogikaga (Griffin, 1990), aga ka muude loogiliste raamistikega, näiteks modaalloogika ja lineaarloogika.. "Vormelid-tüüpidena" kehtestatud koormavat loogilist piirangut pole vaja, formalistidel pole vaja sõdida ühe käega, mis on seotud tema selja taha.
Mis sellest vaba loovusest, mida formalist hellitab? Konstruktivistlikku tüüpi teooriat on muidugi laiendatud palju kaugemale kui Heytingi aritmeetikat, eriti ambitsioonikaid laiendusi võib leida homotoopia tüübi teooriale toetuvas ühevalentses sihtasutuste projektis (Awodey, 2014). See on siis tee, mille poole võiksid jõuda formaalid, mis põhinevad tüüpidel. Kuid formalisti jaoks, kes soovib mittekonstruktivistliku matemaatika osas olla revideerija, on väljavaated võib-olla vähem selged. Ei piisa ainult konkreetsete teooriate saamiseks lisaaksioomide või järeldusereeglite lisamisest standardses raamistikus, nt esimese või kõrgema astme keeles. Vaja on teha veel üks täiendav töö, mis näitab, et selles süsteemis saab CH-kirjavahetuse laiendamine.
Lisaks on tõenditeoreetilise omaduse (mida intuitsionistlik loogika rahuldab) tähenduses ka primaarsusega seotud probleem, et kui (vdash) A (vee) B, siis kas (vdash) A või (vdash) B. Klassikalistel teooriatel see omadus tavaliselt puudub ja see tekitab probleeme CH-kirjavahetuse üldistamisel ja välistatud keskmise õigustamisel (eeldusel, et formalist ei võta kõiki mittetriviaalseid arvutusi lihtsalt õigustatud, ilma et oleks vaja põhjendust).. Kui matemaatilise väite õigsus konkreetse raamistiku suhtes on tuvastatav tõestatavusega ja kui disjunktsioon on korrektne, kui kumbki disjunktsioon pole tõestatav, siis näib, et formalist nõuab teatavat väljamõeldud jalatööd - supervaluationalism pole siin ilmselgelt kohane - kasutamise õigustamiseks klassikaline loogika.
Samuti on kohaldatavusprobleem, mida Frege pidas formalistide jaoks ületamatuks. Mis tähendus võib olla rakendatud matemaatilistel mõistetel, näiteks «(phi) arvul», kus matemaatiline ja mittematemaatiline diskursus on segunenud? Kui formalist ei soovi minna Dummettialistlikule antiistlikule teele ja tõestamise mõistet üldistada empiirilise keele jaoks sobivaks kontrollimiseks, peab ta leidma võimaluse ühendada tõenditeoreetilist semantikat ilma liiga suure ad hoc -ta. puhta matemaatika jaoks erineva, võib-olla realistliku, tõest tingliku semantikaga, empiirilise keele jaoks.
Lõpuks tuleb märkida, et CH formaalsus, kui seda võime selliseks nimetada, on vastuvõetamatu formalistile, keda motiveerivad platonismi vastased probleemid ja kes soovib jätta abstraktsed objektid kogu matemaatikast, sealhulgas metamatmaatikast välja. Matemaatiliste valemite konkreetsete lausungite tähenduste jaoks on CH formaalsuse kohaselt tõendite kogumid / liigid / tüübid ja viimased on abstraktsed objektid, millest on lõpmata palju, suvaliselt pika lõpliku pikkusega objektid. Teisisõnu pole metateooria probleemi lahendatud. Platonismivastane ei saa otsekoheselt tõstatada süntaktiko-semantika ideid ja rakendada CH-kirjavahetust anti-platonismi toetuseks; vaja on palju filosoofilist tööd.
8. Kaasaegne formalism
Hilisemad arengud on toimunud peamiselt formalistliku liikumise 'Hilbertian' tiivas. PJ Coheni töö üldistatud pidevushüpoteesi kallal näitas koos Gödeli suhtelise järjepidevuse tõestusega, et see ja lugematud seotud teoreetilised ettepanekud, mis käsitlevad komplekti kardinaalsuse seoseid selle jõujõuga, on praeguste aksioomide järgi otsustamatud. Ilma nende küsimuste otsustamiseks aksioomide laiendamiseta ilmsete ja mitte-ad hoc viisideta viisid mõned matemaatikud, näiteks Cohen ise (Cohen, 1971) ja Abraham Robinson (Robinson, 1965; 1969) realistliku tõlgenduse meeleheite. kõrgema komplekti teooria. Seetõttu käsitlevad nad matemaatikaharusid, kus ükski usutav aksioomikomplekt ei otsusta võtmeküsimusi kui matemaatika ideaalseid osi, millel puudub sisu, mida leida teistes valdkondades.
Mänguformalismi osas võib öelda, et kuigi filosoofid võivad süüdistada matemaatikuid kalduvuses näiliselt diskrediteeritud positsioonile kalduda, esitavad väga vähesed filosoofid seisukohti, mis meenutavad mängude formaliste. Gabbay (2010) ja Azzouni (2004; 2005; 2006; 2009) on lennanud formalistliku lipu all. Gabbay formalism (mida ta arendab viidatud artiklis ainult aritmeetika osas) on "lopsakas kesktee traditsioonilise formalismi, fiktsionalismi, logismi ja realismi vahel" (Gabbay, 2010: 219). Veelgi enam, ta kirjutab: “Vastupidiselt traditsioonilisele (mängude) formalismile ei hõlma minu ettepanek katset esitada formaalseid tuletisi igast aritmeetilisest tõest” (Gabbay, 2010: 221).
Azzouni kirjeldab oma „formalismi versiooni” (Azzouni, 2004: 105) kui sellist, milles tavalised matemaatilised tõestused viitavad „formaalsetele tuletustele”. Näidu seos on jäetud üsna lahtiseks: Azzouni ei väida, et kõik nimetatud tuletised kuuluvad ühte ametlikku süsteemi; tavalised tõestused võivad osutada tuletustele formaalsete tuletiste „perekonnast”. Azzouni sõnul ei pea viidatud tuletisi aga eksisteerima; kindlasti ei pea need konkreetsed märgid eksisteerima samal perioodil neid viitavate mitteametlike tõenditega. Vana-Kreeka geomeetria tõendid näitavad 21. sajandi või hilisemaid tuletisi. Tegelikult ei pruugi neid kunagi olla - nad võivad olla liiga pikad, et neid alati kirja panna (Azzouni, 2006: 154), ehkki need olematud tõendid peaksid seletama matemaatikute konsensust selles, millised mitteametlikud tõendid on õiged!Hilisemas töös näib Azzouni taanduvat sellest (või mis tahes) formaalsuse brändist:
Ma langesin (oma tahtmise vastaselt) seisukohale, et matemaatikud peavad mitteametlikke matemaatilisi tõestusi lugedes tegelema keeruka süntaktilise mustri äratundmisega, et nad oleksid tundlikud (ilma seda teadvustamata) olematu formaalse tuletuse taustal. (Azzouni, 2009: 25)
liikudes matemaatiliste mõttekäikude järelduste paketi juurde, mis ei tundu olevat formalistlik: vaata uuesti Azzouni (2009).
Siiski on veel üks rühm tänapäevaseid matemaatikafilosoofe, kelle vaated tunduvad olevat formalismile lähedased, nimelt (mõned nende hulgas) fiktionistid. Nüüd võib mõiste „fiktsionaal” eksitada, kuna mitte kõik fiktionistid ei võrdsusta matemaatikat ilukirjandusega. Ja isegi kui see nii toimiks, siis tekib küsimus: "Milline on ilukirjanduse filosoofiline ülevaade ja ilukirjanduse diskursus?" Paljud filosoofid tõrjuvad väljamõeldud tegelaste realistlikust ontoloogiast, sama paljud lükkavad ümber matemaatika realistliku platonistliku ontoloogia. Fiktsionalismi kohta käiv väga lihtsustatud antirealism võib selliseid väiteid nagu „Oliver Twist sündis Londonis” pidada tõeseks (või õigeks) igaks juhuks, kui see lause või sünonüüm leiab aset Dickensi romaanis (Field, 1989: 3). Isegi kui see toimis ilukirjanduse jaoks, mida see üsna selgelt ei tee, [5]paralleelne lähenemine matemaatikale on ilmselgelt absurdne. Kui matemaatikaväitekiri kuulutatakse ajakirjas teoreemiks koos tõenditega või ilma, olgu see siis auväärne, siis isegi kui seda väidet kunagi ei vaidlustata ja matemaatikakogukonna poolt aktsepteeritud väide ei tähenda see mingil juhul väite väite tõesust (või õige, kui ei meeldi matemaatilistele lausetele tõepõhimõtteid kohaldada). Arvestades nende teoreemide arvu, mille väidetavad tõendid hiljem leiti olevat ebaõiged, võime olla üsna kindlad, et mõned valeväited jäävad kogu aeg ekslikult aktsepteerituteks. Pealegi ei lõppe matemaatilised väited, mõned tõesed, mõned valed, mis ei tee sellest kunagi matemaatilist kirjandust ja mida tegelikud matemaatikud kunagi ei arvesta.
Nüüd võlgneb Oliver Twisti näide väljamõeldise kooli asutajale Hartry Fieldile, kui võime seda näiteks nimetada. Kuid ta kvalifitseerib oma positsiooni järgmiselt:
Enamik meist usub, et Oliver Twist elas Londonis ainult selles mõttes, et usume, et romaan ütleb, et selle tagajärjel elas Oliver Twist Londonis (1989, 3) [rõhuasetus minu].
Kas see sobib ilukirjandusele või mitte (Mis siis, kui teos on ebajärjekindel: kas tuleb kasutada asjakohast tagajärjesuhet? Kuidas saab ta hakkama erinevate teoste võrdlustega nagu ülaltoodud Tolstoi / Dostojevski näites?), See on huvitav seisukoht matemaatika kohta koos kindlad formalistlikud ületoonid. Matemaatik võib esitada mis tahes (järjekindla) teooria, mis talle meeldib. Teooria tõed on siis vaid teooria tagajärjed, pole vaja arvata, et teooria esindab välist reaalsust. Seda laadi ilukirjanduslikkust on uurinud Mary Leng (2010). Kuid võtmeküsimus on: kuidas lugeda sõna "tagajärg"? Formalisti jaoks peab see olema tagajärg kui tuletatavus. Kuid Leng lükkab sellise lugemise ümber: tema väljamõeldis on selline, milles loogilisi tagajärgi tõlgendatakse mitte süntaktiliselt, vaid modaalselt,kusjuures kõnealust vajadust peetakse primitiivseks. Seega ei saa seda ilukirjanduse alamliiki klassifitseerida formalistlikuks.
Seevastu Weir hõlmab selgesõnaliselt formalismi (1991; 1993; 2010; 2016), lisaks formalism mängude formalismitraditsioonis. Tema positsiooni, kui see astub väljamõeldise suhtes, võib vaadelda kui sellist, milles „tagajärge” loetakse formalistlikus traditsioonis süntaktiliselt formaalse tuletuse mõttes. Esimese lähendamisena on seisukoht, et matemaatiline lause on tõene, kui selle olemasolust on olemas konkreetne tuletis, vale, kui eksisteerib selle eituse tähemärgi konkreetne tuletis. Kuna tõe ja eksituse tingimused ei kutsu abstraktseid tõestusi esile, on seda tüüpi formalism kindlalt antiplatonistlik.
See otsekohene konkretistlik formalism näib silmitsi ületamatute probleemidega: näiteks „konkreetselt otsustamatu” kujul on need lühikesed teesid, mis on eeldatavalt seotud Goodmani ja Quine’i nominalismiga, talumatult pikkade tõendite või tõenditega. Weiri katse lahendada selliseid probleeme võtab aluseks üsna levinud “post-Fregeani” või “uus-Fregeani” keeleperspektiivi. Frege leidis vähemalt oma karjääri alguses, et lause tõeväärtuse määravad kaks tegurit, Sinn, lause mõte, sõnasõnaline tähendus või informatiivne sisu; ja kuidas maailm on. Nende lausete indekseelsust ja laiemat kontekstirelatiivsust, mida ta algselt arvas, võis täita, eeldades, et kõnelejad, kes selliseid lauseid laususid ja haarasid, võtsid neid kui elliptilisi täielikemate lausungite jaoks, mille tähendus fikseerus koos maailmaga,ainulaadne tõeväärtus.
Hilisemad tööd (sealhulgas Frege oma) paljastasid selle pildi ebapiisavuse, näitasid, et näiteks John Perry fraasis on teatud indekseeritavus väljendatud mõtte jaoks hädavajalik. Ma võin öelda, et praegu on palav, tõeliselt, teadmata, kus, millal või isegi kes (kui olen piisavalt meeletu või mu peast väljas). Need, kes ei ole täiesti skeptilised, kuna radikaalsed kontekstualistid on süstemaatiliste tähendusteooriatega, muudavad Frege vaate kolmepoolseks. Lause tõeväärtuse määravad konkreetses kontekstis selle informatiivne sisu, kontekstilised asjaolud, mis on seotud kõneleja praktika tavapärasest lausumisest lähtuva, sellele kohandatud ja lõpuks mõistuse ja keelest sõltumatu maailmaga. Kontekstuaalsed asjaolud ei pea väljendi tähenduses ega infosisu kajastama;seega võivad nende spetsifikatsioonid sisaldada kuupäevi ja asukohti, ehkki see ei kuulu mõistes „praegu on kuum” (võrrelge Kaplani tegelaskuju ja sisu eristamist, eriti tema 1989. aastal käsitletud teist sisutunnet (fn 28: 503))).
See pilt viitab omakorda mõttele, et kontekstilised asjaolud, mis "tõestavad" koos iseseisva reaalsusega lausungi, võivad selle realistlikuks muuta. Mänguformalismi Weiri versioonis on põhiline idee see, mis muudab tõeseks (või valeks) (text {'} sin ^ 2 \ teeta + \ cos ^ 2 \ theta = 1 \ text {'}) konkreetne süsteem on konkreetse tõendi või ümberlükkamise olemasolu, kuigi väide, et selline konkreetne tõend on olemas, ei kuulu nõude sõnasõnalisse tähendusesse ega mõttesse.
Seda tüüpi formalismi eeliseks on see, et see mitte ainult ei kinnita matemaatiliste lausungite tähenduslikkust, mõistuse omamist; teravas vastuolus traditsioonilise mänguformaalismiga leiab ta, et sellistel lausungitel on tõeväärtused, kus on olemas tõestused või ümberlükkamised. Metatoodika probleem on lahendatud, kui pärast Goodmani ja Quine'i 1947. aasta moodi saab anda konkreetsete tõendite mittematemaatilise ülevaate. Nagu eespool märgitud, on muidugi endiselt tõsiseid probleeme. Kohaldatavuse probleem tuleb lahendada, pakkudes näiteks konservatiivseid pikendustõendeid. Ja muidugi ei ohusta teooriat mitte ainult Gödeli tüüpi puudulikkus ja otsustusvõimetu, vaid ka intuitiivselt tõe poolt hinnatud laused;veelgi laastavamad otsustusõiguseta kangad kanduvad "konkreetselt otsustamatute" lausete kujul, nagu Tennanti 5. jaotise primaalsuse nõue.
Üks strateegia nende probleemidega tegelemiseks on ühendada formalism range finitismiga (ühe kaubamärgi kohta vaata Yessinin-Volpin (1961; 1970) ja Dummett'i (1975) kriitika jaoks): ainult valemite ja tõendusmaterjalide teostatavad ainult pikad “seeditavad” märgid. Valemitel, millel pole teostatavaid tõestusi ega tõendusmaterjale, puudub tõepõhi väärtus. Kuna Gödeli kiirenduse kaalutlustest teame, et paljude tõestatavate lausete puhul on selle lühimad tuletised või eitamine palju pikemad kui lause ise, on see finitist / formalism positsioon ähvardab põhjustada laastamist täiesti tavalise matemaatika suurtel aladel.
Weir väidab (2010; 2016), et finitistlik formalism pole mitte ainult äärmiselt radikaalne, vaid ka ebajärjekindel. Põhjuseks on lühendi kõikvõimalik roll, mis genereerib keerulisi sümboleid, kus enamikku nende alamrühmadest kunagi ei eksisteeri, näiteks lühendid, mis loovad numbreid, mis nimetavad (platonistiga rääkides) meelevaldselt suuri numbreid. Seetõttu ei saa rangeid finitistlikke kirjeldusi anda tavalisel induktiivsel viisil, kuna kõigi induktiivkomplektide ristumiskoht, mis sisaldab baaskomplekti ja on suletud keerukuse moodustamise toimingute käigus. Ja see tähendab omakorda, et me ei suuda tõestada isegi väga lihtsaid fakte wifide ja tõendite kohta.
Idealiseerimine on metamaatikas oluline, sealhulgas metamatmaatikas leiduvad idealiseeritud tõe ja tõestuse mõisted. Kui formalistil on õigus väita, et primaare on lõpmata palju, kuigi abstraktsete objektide eitamine on olemas, ei näi mingit põhjust, miks ta ei saaks kinnitada, et on olemas lõpmata palju valemeid või lõpmata palju tõestusi, eitades samas ka abstraktsete objektide olemasolu. Weir (2016: 38–39) väidab seetõttu, et formalist suudab vastata konkreetsete otsustamatuste probleemile, kui on olemas konkreetsed tõendid (või tõendusjooned) tulemuste kohta, mis kinnitavad, et antud keele või allkeele jaoks on ametlik tõde, langeb kokku formaalse tõestatavusega ja et pole mingit põhjust piirata sõjaväe keelte idealiseerimist.
Kokkuvõtteks võib öelda, et formalistidel, kes pooldavad standardsete matemaatiliste teooriate, sealhulgas tõenditeooria tähendust ja tõepärasust, on selliste väidete rahuldamiseks rohkem ressursse kui klassikalisel mängude formalismil. Küsimus on selles, kas neist piisab positsiooni päästmiseks, mille kohta on õiglane öelda, et enamik matemaatikafilosoofe arvavad endiselt lootusetu. Teisest küljest puudub kindlasti üksmeel selles, et formalism on surnud ja maetud, ning mõnede matemaatikute ja arvutiteadlaste seas on formalismi suhtes tugevat kaastunnet.
–––, 2005, „Kuidas nimetada formalismiks”, Philosophia Mathematica (III), 13: 135–159.
––– 2006, jälgimise põhjus: tõestusmaterjal, tagajärjed ja tõde, Oxford: Oxford University Press (eriti 7. peatükk).
––– 2009, „Miks mitteametlikud tõendid vastavad ametlikele normidele”, Teaduse alused, 14: 9–26.
Barendregt, HP, 1984, The Lambda Calculus, Amsterdam: Põhja-Holland.
Boolos, George, 1987, “Kurioosne järeldus”, Journal of Philosophical Logic, 16: 1–12; kordustrükk George Boolos, Logic, Logic and Logic Cambridge, MA: Harvard University Press, 1998, 376–82.
Carnap, Rudolf, 1934 [1937], Logische Syntax der Sprache, Viin: Springer; tõlkinud A. Smeaton kui keele loogiline süntaks, London: Kegan, Paul, Trench, Trubner & Co. 1937.
–––, 1950 [1956], „Empirism, semantika ja ontoloogia”, Revue Internationale de Philosophie, 4: 20–40; kordustrükk ajakirjas Tähendus ja vajalikkus, Chicago: University of Chicago Press, 2. trükk, 1956: 205–221.
Church, Alonzo, 1932, “Postulaatide komplekt loogika alustalaks”, Annals of Mathematics, 33 (2): 346–366.
Cohen, Paul, 1971, “Kommentaarid setteooria aluste kohta”, Dana Scott (toim), Axiomatic Set Theory: Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (Volume 13), Providence: American Mathematical Society: 9–15.
Curry, Haskell, 1951, Matemaatika formalistliku filosoofia kontuurid, Amsterdam: Põhja-Holland.
Curry, Haskell ja Feys, Robert, 1958, Kombineeriv loogika, Amsterdam: Põhja-Holland.
Detlefsen, Michael, 1993, “Hilberti formalism”, Revue Internationale de Philosophie, 47 (186): 285–304.
–––, 2005, „Formalism”, Stewart Shapiro (toim), Oxfordi matemaatika ja loogika filosoofia käsiraamat, Oxford: Oxford University Press, 236–317.
Dummett, Michael, 1975, “Wangi paradoks”, Synthese, 30 (3/4): 301–324, kordustrükk Truth and Other Enigmaas Londonis: Duckworth, 248–268.
Field, Hartry, 1989, realism, matemaatika ja moodus, Oxford: Blackwell.
Floyd, Julia, 2002, "Arv ja numbrikirjeldused Wittgensteini traktaadis", Fregist Wittgensteinini: varase analüütilise filosoofia perspektiivid, Erich H. Reck (toim), Oxford: Oxford University Press, 308–352.
Floyd, Juliet ja Putnam, Hilary, 2000, “Märkus Wittgensteini“kurikuulsa lõigu kohta”Gödeli teoreemi kohta”, Journal of Philosophy, 97: 624–632.
Frege, Gottlob, 1903, Grundgesetze der Arithmetik, Begriffsschriftlich Abgeleitet (II köide), Jena: Pohle; kordustrükk 1962, Hildesheim: George Olms.
–––, 1903/1980, „Frege formalistide vastu: Frege Vol. II köide II, paragrahvid 86–137”, Black and Geach (1980): 162–213.
Gabbay, Michael, 2010, „Matemaatika formalistlik filosoofia, I osa: aritmeetika”, Studia Logica, 96: 219–238.
Giaquinto, Marcus, 2002, Kindluse otsing, Oxford: Clarendon. (Vt eriti 210ff).
Gödel, Kurt, 1953–9, „Kas keele matemaatika on süntaks”, S. Feferman jt. (toim), Kurt Gödel: Kogutud teosed (III köide), New York: Oxford University Press, 1995: 334–362,
Goldfarb, Warren, 1995, “Sissejuhatus Gödeli teosesse“Kas keele matemaatika on süntaks””, S. Feferman jt. (toim), Kurt Gödel: Kogutud teosed (III köide), New York: Oxford University Press, 1995: 324–34.
Goodman, Nelson ja Quine, WV, 1947, “Sammud konstruktiivse nominalismi poole”, Journal of Symbolic Logic, 12: 97–122.
Hintikka, Jaakko, 1956, “Identiteet, muutujad ja ebamäärased määratlused”, Journal of Symbolic Logic, 21: 225–45.
Howard, WA, 1969, "Vormel-tüüpi tüüpiline ehituse mõiste", Seldin, JP ja Hindley, JR (toim.) HB Curryle: Esseed kombinatsiooniloogikast, Lambda arvutus ja formalism, London: Academic Press, 1980: 479–490.
Hylton, Peter, 1997 “Funktsioonid, toimingud ja mõistmine Wittgensteini traktaadis”, WW Tait (toim), Varajane analüütiline filosoofia: Frege, Russell, Wittgenstein: esseed Leonard Linsky auks, Chicago: Avatud kohus: 91–106.
Kaplan, David, 1989, 'Demonstratives', J. Almog, J. Perry ja H. Wettstein (toim), teemad Kaplanilt, New York: Oxford University Press, 481–563.
Kleene, Stephen ja Rosser, JB, 1935, “Teatud formaalse loogika ebajärjekindlus”, Annals of Mathematics, 36: 630–636.
Landini, Gregory, 2007, Wittgensteini praktikakoht Russelliga, Cambridge: Cambridge University Press.
Leng, Mary, 2010, Matemaatika ja reaalsus, Oxford: Oxford University Press.
Lewy, Casimir, 1967, "Märkus Tractatuse teksti kohta" Meel, 76: 416–423.
Martin-Löf, Per, 1975, 'Tüüpide intuitiivne teooria: ennustatav osa', loogika kollokviumis '73, HE Rose ja J. Shepherdson (toim), Amsterdam: Põhja-Holland: 73‐118.
Potter, Michael, 2000, Mõistuse lähim sugulane, Oxford: Oxford University Press; vt eriti 10–17 ja 6. peatükk.
Resnik, Michael, 1980, Frege ja matemaatikafilosoofia, Ithaca: Cornell University Press, 1980.
Robinson, Abraham, 1965, “Formalism” Bar-Hillelis jt. (toim.) Loogika, metoodika ja teadusfilosoofia, Amsterdam: Põhja-Holland.
Scott, Dana, 1970, 'Konstruktiivne kehtivus', automaatika demonstreerimise sümpoosionil (Versailles, detsember 1968), M. Laudet, D. Lacombe, L. Nolin ja M. Schützenberg (toim), Matemaatika loengumärkused (125. köide)), Berliin: Springer, 237–275.
Shapiro, Stewart, 2000, Mõeldes matemaatikale, Oxford: Oxford University Press.
Simons, Peter, 2009, “Formalism” Andrew D. Irvine'is (toim), matemaatikafilosoofia, Amsterdam: Põhja-Holland: 291–310.
Weir, Alan, 1991, “Instructive Nominalism”: H. Välja kriitiline ülevaade: Realism, matemaatika ja moodus, Philosophical Books, 32: 17–26.
–––, 1993, „Putnam, Gödel ja matemaatiline realism”, rahvusvaheline ajakiri Philosophical Studies, 1: 255–285.
–––, 2010, tõde tõendusmaterjali kaudu: Matemaatika Formalistlik Sihtasutus, Oxford: Oxford University Press.
–––, 2016, „Mitteametlik tõestus, ametlik tõestus ja formalism”, sümboolse loogika ülevaade, 9: 23–43.
Wittgenstein, Ludwig, 1921/1960, Tractatus Logico-Philosophicus, D. Pears ja B. McGuinness (trans.), London: Routledge ja Kegan Paul.
–––, 1956/1978, Märkused matemaatika aluste kohta, muudetud väljaanne, GEM Anscombe (trans), GEM Anscombe, R. Rhees ja GH von Wright, (toim), Oxford: Blackwell.
Yessenin-Volpin, A., 1961, "Le Program Ultra-Intuitionniste Des Fondements Des Mathématiques". Infinitistic Methods, Proceedings of the Symposium on the Mathematics, Oxford: Pergamon Press, 201‐223.
––– 1970, „Ultraintuitionistlik kriitika ja antitraditsiooniline programm matemaatika aluste jaoks”, A. Kino, J. Myhill ja R. Vesley (toim), intuitsiooni ja tõestusteooria, Amsterdam: Põhja- Holland, 3–45.
Akadeemilised tööriistad
sep mehe ikoon
Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon
Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon
Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon
Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.
Muud Interneti-ressursid
"Kas matemaatika vajab filosoofiat?", Esitas matemaatik Timothy Gowers, kes tutvustab väga formalistlikku lähenemist matemaatikale
[Täpsemate ettepanekute saamiseks pöörduge autori poole.]
