Video: #89 Ahto Lobjakas ja Siiri Sisask, "Kuristi kohal" 2023, Märts
Sisenemise navigeerimine
Sissesõidu sisu
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Sõprade PDF-i eelvaade
Teave autori ja tsitaadi kohta
Tagasi üles
Ilukirjandus matemaatika filosoofias
Esmakordselt avaldatud teisipäeval 22. aprillil 2008; sisuline redaktsioon esmaspäeval 23. juulil 2018
Matemaatilist fiktsionalismi (edaspidi lihtsalt fiktsionalism) peetakse kõige paremini reaktsiooniks matemaatilisele platonismile. Platonism on seisukoht, et (a) eksisteerivad abstraktsed matemaatilised objektid (st mittesobivad matemaatilised objektid) ja (b) meie matemaatilised laused ja teooriad pakuvad selliste objektide tõelist kirjeldust. Nii kirjeldab näiteks platonistide lause lause 3 peaministrit kindla objekti selget kirjeldust, nimelt arvu 3, täpselt samamoodi, kui lause „Marss on punane” kirjeldab Marsi. Kuid kuigi Mars on füüsiline objekt, on number 3 (platonismi järgi) abstraktne objekt. Ja platonistide sõnul on abstraktsed objektid täiesti mittefüüsilised, mittementaalsed, mitteruumilised, mittetemoraalsed ja mittepõhjused. Seega eksisteerib selles vaates number 3 meist ja meie mõtlemisest sõltumatult,kuid seda ei eksisteeri ruumis ega ajas, see pole füüsiline ega vaimne objekt ja see ei astu põhjuslike seoste suhtes teiste objektidega. Seda seisukohta on toetanud Platon, Frege (1884, 1893–1903, 1919), Gödel (1964) ja mõnes nende kirjutises Russell (1912) ja Quine (1948, 1951), rääkimata arvukatest uuematest filosoofidest matemaatika alal, nt Putnam (1971), Parsons (1971), Steiner (1975), Resnik (1997), Shapiro (1997), Hale (1987), Wright (1983), Katz (1998), Zalta (1988), Colyvan (2001), McEvoy (2012) ja Marcus (2015).rääkimata arvukatest uuematest matemaatikafilosoofidest, nt Putnam (1971), Parsons (1971), Steiner (1975), Resnik (1997), Shapiro (1997), Hale (1987), Wright (1983), Katz (1998)), Zalta (1988), Colyvan (2001), McEvoy (2012) ja Marcus (2015).rääkimata arvukatest uuematest matemaatikafilosoofidest, nt Putnam (1971), Parsons (1971), Steiner (1975), Resnik (1997), Shapiro (1997), Hale (1987), Wright (1983), Katz (1998)), Zalta (1988), Colyvan (2001), McEvoy (2012) ja Marcus (2015).
Fiktsionalism seevastu on seisukoht, et a) meie matemaatilised laused ja teooriad peaksid väidetavalt olema abstraktsete matemaatiliste objektide kohta, nagu platonism vihjab, kuid (b) abstraktseid objekte pole olemas ja nii (c) meie matemaatilised teooriad ei vasta tõele. Seega on idee, et sellised laused nagu "3 on peaminister" on valed või valed samal põhjusel, et näiteks "hambahaldjas on helde" on vale või vale - sest just nii, nagu pole sellist inimest nagu hammas haldjas, seega pole olemas ka sellist asja nagu number 3. Oluline on siiski märkida, et vaatamata nimele ei pea fiktsionaalsed vaated sisaldama väga tugevaid väiteid matemaatika ja ilukirjanduse analoogia kohta. Näiteks ei saa siin väita, et matemaatiline diskursus on omamoodi väljamõeldud diskursus. Seegailukirjanduslased pole pühendunud väitekirjale, et matemaatika ja ilukirjanduse vahel pole olulisi lahkarvamusi. (Selle teema juurde naaseme allpool osas 2.4.) Lõpuks tuleb ka alguses märkida, et fiktsionalism on matemaatilise nominaalsuse versioon, seisukoht, et selliseid asju nagu matemaatilised objektid ei eksisteeri.
Fiktsionalismi tutvustas esmakordselt Field (1980, 1989, 1998, 2016). Sellest ajast alates on vaadet arendanud vähesel erineval viisil Balaguer (1996a, 1998a, 2001, 2009), Rosen (2001), Yablo (2002a, 2002b, 2005), Leng (2005a, 2005b, 2010), ja Bueno (2009), ehkki nagu allpool selgub, võib küsida, kas Buenot ja Yablat tõlgendatakse kõige paremini väljamõeldistena. Fiktsionalismi (või fiktsionalismi naabruses asuvate seisukohtade) toetamiseks või kaitsmiseks on Daly (2006), Liggins (2010), Contessa (2016) ja Plebani (2018). Lõpuks võib tõlgendada ka Meliat (2000) kui fiktsionalisti vaate kaitsmist, ehkki ta sellele tegelikult ei pühendu.
Väärib märkimist, et ka Hoffman (2004) toetab vaadet, mis on omamoodi fiktsionalism. Tema vaade erineb ülalkirjeldatud ilukirjanduslikust seisukohast siiski väga, kuna see ei hõlma pühendumist lõputööle (a). Ta tõlgendab matemaatikat uuesti Kitcheri (1984) eeskujul ja toetab seejärel fiktionalisti seisukohta sellest uuestõlgendusest; St ta väidab, et kui matemaatikat on sel moel uuesti tõlgendatud, siis selle ainsuse mõisted ei viita ja selle laused ei vasta tõele. (Pole selge, kui palju see vaade erineb Kitcheri vaatenurgast; võib tõlgendada Kitcherit väga sarnase seisukoha kinnitavana.) Igal juhul on oluline märkida, et Hoffmani väite (a) tagasilükkamine muudab tema vaatepildi radikaalsemaks tavapärasest erinevamaks. ilukirjanduslikud vaated. Nagu allpool selgub, on väite a punkt väga usutav,ja selle usutavus on platonismi populaarsuse üks peamisi põhjuseid. Seega on ilukirjanduse üks peamisi müügiargumente - st eespool määratletud ilukirjanduse tüüpilist tüüpi liik - see, et see ühendab lõputöö (a) omaksvõtu antiplatonistliku ontoloogiaga.
Samuti väärib märkimist, et Lear (1982) ja Corkum (2012) väidavad, et Aristoteles pidas matemaatilise fiktsionalismi versiooni; kuid nagu Corkum märgib, on ebatõenäoline, et Aristoteles pidas ülalkirjeldatud fiktsionalismi versiooni.
Kui esimest korda kuuleb fiktionisti hüpoteesi, võib see tunduda natuke hull. Kas me tõesti peaksime uskuma, et sellised laused nagu '3 on peaminister' ja '2 + 2 = 4' on valed? Kuid väljamõeldise veetlus hakkab ilmnema siis, kui mõistame, millised on alternatiivid. Mõeldes hoolikalt matemaatilise diskursuse tõlgendamisega seotud küsimustele, võib hakata tunduma, et fiktsionalism on tegelikult väga usutav ja tõepoolest, et see võib seal olla kõige vähem hullumeelne vaade.
1. jaos on sõnastatud, mida võib pidada fiktsionalismi keskseks argumendiks. 2. jaos käsitletakse mitmeid erinevaid väljamõeldisi ja fiktsionaalsuse versioone. Need kaks asja käivad koos väga loomulikult, sest fiktsionalismi erinevad versioonid on tekkinud seoses reageeringutega, mille erinevad filosoofid on andnud fiktsionalismi erinevatele vastuväidetele.
1. Argument ilukirjanduse jaoks
1.1 Peamine argument
1.2 Eeldus (1) ja parafraseeriv nominalism
1.3 Eeldus (2) ja deflatsiooni-tõe nominalism
1.4 Eeldus (4) ning füüsikalisus ja psühholoogia
1.5 Eeldus (5) ja platonism
2. Fiktsionalismi vastuväited ja vastused
2.1 Asendamatuse argument
2.2 Objektiivsus
2.3 Revolutsioonilisus ja hermeneutitsism
2.4 Sarnasus ilukirjandusega
2.5 Nõustumine ja uskumine
2.6 Saladuslik lisasisu
2.7 Muud vastuväited
3. Järeldus
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed
1. Argument ilukirjanduse jaoks
1.1 Peamine argument
Ilukirjanduse peamine argument lähtub põhimõtteliselt sellest, et üritatakse kõrvaldada kõik ilukirjanduse alternatiivid. Argumendi saab esitada nii:
Matemaatilisi lauseid, nagu '4 on paaris', tuleks lugeda nimiväärtuses; see tähendab, et neid tuleks lugeda kujul "F a" ja seega kui otsekoheseid väiteid teatud objektide olemuse kohta; nt '4 on paaris' tuleks lugeda otsekoheseks väiteks arvu 4 olemuse kohta. Kuid
Kui lauseid, nagu '4 on võrdsed', tuleks lugeda nimiväärtuses ja kui need on tõesed, peavad tegelikult olemas olema sellised objektid, nagu nad on; näiteks kui arv "4 on paarisarv" esitab otsese arvu numbri 4 olemuse kohta ja kui see lause on sõna otseses mõttes tõene, siis peab tegelikult olemas olema selline asi nagu number 4. Seetõttu (1) ja (2), järeldub sellest
Kui sellised laused nagu '4 on isegi' on tõesed, siis on olemas selliseid asju nagu matemaatilised objektid. Aga
Kui on olemas selliseid asju nagu matemaatilised objektid, siis on need abstraktsed objektid, st mittesobivad ajalised objektid; näiteks kui on olemas selline asi nagu number 4, siis on see abstraktne objekt, mitte füüsiline ega vaimne objekt. Aga
Selliseid asju nagu abstraktsed objektid pole olemas. Seetõttu järeldub punktidest 4 ja 5 modus tollens järgi
Matemaatilisi objekte pole olemas. Ja nii, punktidest 3 ja 6 modus tollens järgi, järeldub sellest
Need laused nagu '4 on isegi' ei ole tõesed (tõsi, nad pole tõesed väljamõeldiste antud põhjusel ja järelikult järeldub, et fiktsionalism on tõene).
Selle argumendi kolm järeldust on kõik üsna selgelt paikapidavad ja seega on küsimus ainult selles, kas neli peamist eeldust (1), (2), (4) ja (5) vastavad tõele. Ja tore selle argumendi ülesehituse juures on see, et kõik need ruumid peaksid vabanema fiktsionaalsuse teistsugusest alternatiivist. Seega on lõigetes 1–7 esitatud argument tegelikult palju pikema argumendi kest, mis sisaldab alamargumente põhiruumide kasuks ja seega fiktsionalismi erinevate alternatiivide vastu.
Arvestades seda, võib öelda, et ulmekirjandusele on viis alternatiivi (või kui soovite, siis viis alternatiivide kategooriat). Neid, kes lükkavad tagasi (1), võib nimetada parafraseeritud nominentideks; neid, kes lükkavad tagasi (2), võib nimetada deflatsioonilise tõe nominaalideks; need, kes tõrjuvad (4) on kas füüsikud või psühholoogid; ja need, kes lükkavad tagasi (5), on platonistid. Oma arvamuse motiveerimiseks peavad ilukirjandusteadlased esitama argumente kõigi nende vaadete vastu.
Ilukirjaniku töö kõige lihtsam osa on vaielda mitmesuguste platonismi vastaste seisukohtade vastu. Kõiki neid vaateid - parafraseeriv nominaalsus, deflatsiooniline-tõeline nominalism, kehalisus ja psühholoogia - võib mõista (nagu võib kasutada fiktsionaalsus) kui reaktsiooni platonismile. Platonism on väga atraktiivne vaade, kuna see annab matemaatilise praktika ja matemaatilise diskursuse äärmiselt loomuliku ja meeldiva ülevaate. Kuid hoolimata sellest ei toeta paljud filosoofid platonismi, sest nad ei saa end selle ontoloogiaga leppida. Teisisõnu, nad lihtsalt ei usu, et on olemas selliseid asju nagu abstraktsed objektid. Seetõttu on suur osa matemaatikafilosoofias tehtud tööst pühendatud platonismi vältimise katsetele. Täpsemalt, parafraseeriv nominaalsus, deflatsiooni-tõe nominalism, kehalisus,ja psühholoogiat saab kõigist neist mõistetest aru saada. Nad kõik üritavad õõnestada platonistlikku vaadet matemaatiliste lausete tõesuse tingimustele. Kuid nagu allpool selgub, on kõigi nende vaadetega tõsine probleem. Ja siin tulebki sisse väljamõeldis: see annab platonistliku ülevaate matemaatiliste lausete tõestest tingimustest, kuid eitab siiski platonisti ontoloogilist teesi, et eksisteerivad abstraktsed objektid. See muudab fiktsionalismi olulisel viisil teistest platonismivastastest vaadetest. Me võime seda hinnata, märkides, et platonism hõlmab kahte erinevat teesi, üks semantiline ja teine ontoloogiline. Semantiline lõputöö on empiiriline hüpotees tavaliste matemaatiliste lausungite tõetingimuste kohta,ja ontoloogiline tees on sügavalt metafüüsiline hüpotees abstraktsete objektide olemasolu kohta. Iga antiplatonismi versioon lükkab ümber platonisti ontoloogilise hüpoteesi ja kõik anti-platonismi mittefiktsionaalsed versioonid lükkavad ümber ka semantilise teesi. Ilukirjandus on ainus platonismivastane vaade, mis ei lükka ümber semantilist teesi. Ja seepärast võib fiktsionalism tunduda atraktiivsemaks kui teised antiplatonismi versioonid, sest platonisti semantiline hüpotees on äärmiselt usutav ja hästi motiveeritud. Seega võivad selle hüpoteesi ümber lükkavad antiplatonismi versioonid tunduda ebausutavad ja motiveerimata. Ilukirjandus on ainus platonismivastane vaade, mis ei lükka ümber semantilist teesi. Ja seepärast võib fiktsionalism tunduda atraktiivsemaks kui teised antiplatonismi versioonid, sest platonisti semantiline hüpotees on äärmiselt usutav ja hästi motiveeritud. Seega võivad selle hüpoteesi ümber lükkavad antiplatonismi versioonid tunduda ebausutavad ja motiveerimata. Ilukirjandus on ainus platonismivastane vaade, mis ei lükka ümber semantilist teesi. Ja seepärast võib fiktsionalism tunduda atraktiivsemaks kui teised antiplatonismi versioonid, sest platonisti semantiline hüpotees on äärmiselt usutav ja hästi motiveeritud. Seega võivad selle hüpoteesi ümber lükkavad antiplatonismi versioonid tunduda ebausutavad ja motiveerimata.
Niisiis, ka väljamõeldise argumendi kerge osa (või igal juhul lihtsam osa) viiakse läbi argumentide esitamise kaudu samaväärselt ruumide (1), (2) ja (4) jaoks või samamoodi vastu antiplatonismi erinevatele mittefiktsionaalsetele versioonidele, st parafraseeriv nominaalsus, deflatsioonilise tõe nominalism, kehalisus ja psühholoogia. Järgmises kolmes lõigus (1.2–1.4) käsitletakse neid nelja seisukohta ja ka argumente, mida ilukirjanduslikud esindajad võiksid neile vastu panna. Jaotis 1.5 hõlmab fiktionisti argumentatsiooni, st eelduse (5) keerulisemat osa ja küsimust, kuidas fiktionalistid võiksid platonismi vastu vaielda.
1.2 Eeldus (1) ja parafraseeriv nominalism
Parafraseeritud nominaalsus on seisukoht, et tavalisi matemaatilisi lauseid, nagu '3 on peaminister', ei tohiks lugeda nimiväärtusega ega täpsemalt öeldes, et neid ei tohiks lugeda kujul 'Fa' ja matemaatikaobjektide kohta väidete esitamiseks. Sellel vaatel on mõned erinevad versioonid. Võib-olla kõige kuulsam on if-thenism. Selles vaates tõlgendatakse väärtust "3 peaministrina" kõige paremini tingimusliku väite väljendusena, näiteks "Kui arvud oleksid olemas, siis 3 oleks peaminister" või ehk "kui arvud on olemas, siis 3 on eesnimed". (If-thenismi versioone on välja töötanud Putnam (1967a, b), Horgan (1984), Hellman (1989), Dorr (2008) ja Yablo (2017); peale selle toetas selle vaate eelkäija juba varakult Hilbert (vt tema 1899 ja tema kirju Frege'ile Frege'is 1980). Lõpuksparafraseeritud nominaalsuse teisi versioone on kinnitanud Chihara (1990), Yi (2002), Hofweber (2005), Rayo (2008, 2013) ja Moltmann (2013); ning tõlgendada võiks ka Curry (1951) ja Wittgenstein (1956) sel viisil.)
Parafraseeritud nominalistlike vaadete probleem on väga lihtne: need hõlmavad empiirilisi hüpoteese tavaliste matemaatiliste lausungite tähenduste kohta, mis on äärmiselt ebatõenäolised. Näiteks seoses if-tadismiga on lihtsalt raske uskuda, et parim tõlgendus matemaatilise diskursuse tavakõnelejate (tavalised matemaatikud ja tavalised rahvaesindajad) lausumisel, nt „3 on peaminister”, on see, et kui seal oli numbreid, siis 3 oleks peaminister. Näib, et see läheb valesti, mida inimesed tegelikult mõtlevad, kui nad niimoodi lauseid lausuvad. Tõepoolest, tundub, et siin saab teha üldisema märkuse. On olemas hea tõlgenduspõhimõte, mis ütleb midagi sellist: inimeste tõlgendusi peaksime tõlgendama nimiväärtusega, välja arvatud juhul, kui on tõendeid, et neil on positiivseid kavatsusi tõlgendada mitteliteraalselt. Arvestades seda ja arvestades (mis näib ilmne), et tavalistel inimestel pole positiivseid kavatsusi oma matemaatiliste lausungite tõlgendamiseks mitteliteraalselt, nt tingimuslike väidete väljendamiseks, näib järgnevat, et me peaksime oma matemaatilisi lausungeid tõlgendama nimiväärtuses.. Kuid see tähendab, et me peame leppima eeldusega (1) ja tagasi lükkama parafraseeritud nominalismi.
Parafraseerivad nominaalsed võivad proovida sellele argumendile vastata, eitades oma pühendumust teesile, et nende parafraasid sobivad tavaliste matemaatikute ja tavaliste rahvapäraste kavatsustega. Tõepoolest, sedalaadi väiteid on esitanud nii Chihara (1990, 2004) kui ka Hellman (1998). Parafraseeritud nominaadid ei saa aga seda seisukohta toetada, sest kui nad seda teevad, kukub nende vaade väljamõeldise versiooniks. Kui parafraseeritud nominalistid tunnistavad, et platonistidel ja fiktionistidel on tõeliste matemaatiliste lausungite - st tegelike matemaatikute lausungite tähenduse osas - õigus, (siis (kuna nad tahavad ka väita, et abstraktseid objekte pole olemas), pühenduvad nad väidavad, et tegelike matemaatikute lausungid ei vasta tõele. Seegakui parafraseeritud nominalistid ei väida, et nende parafraasid hõlmavad tavaliste matemaatiliste lausete tegelikke tähendusi, siis ei paku nende vaade fiktsionalismile tõelist alternatiivi. See variseb väljamõeldise versiooniks. Täpsemalt öeldes, parafraseeriv nominalist oleks lihtsalt väljamõeldis, kes arvab, et me peaksime muutma oma matemaatilist keelt või seda, mida me oma matemaatiliste lausungite all silmas peame; või võib-olla oleks väide lihtsalt see, et me saaksime oma matemaatilist keelt muuta, kui me seda tahaksime ja see fakt annab fiktsionaalidele võimaluse reageerida teatud vastuväidetele.parafraseeritud nominalist oleks lihtsalt väljamõeldis, kes arvab, et peaksime muutma oma matemaatilist keelt või seda, mida me oma matemaatiliste lausungite all silmas peame; või võib-olla oleks väide lihtsalt see, et me saaksime oma matemaatilist keelt muuta, kui me seda tahaksime ja see fakt annab fiktsionaalidele võimaluse reageerida teatud vastuväidetele.parafraseeritud nominalist oleks lihtsalt väljamõeldis, kes arvab, et peaksime muutma oma matemaatilist keelt või seda, mida me oma matemaatiliste lausungite all silmas peame; või võib-olla oleks väide lihtsalt see, et me saaksime oma matemaatilist keelt muuta, kui me seda tahaksime ja see fakt annab fiktsionaalidele võimaluse reageerida teatud vastuväidetele.
1.3 Eeldus (2) ja deflatsiooni-tõe nominalism
Deflatsioonilise tõe nominaalsus on seisukoht, et (a) nagu platonistid ja fiktsionaalid väidavad, tuleks tavalisi matemaatilisi lauseid, nagu '3 on peaminister', lugeda nimiväärtuses, st kujul „F a” ja seega väidetena matemaatilisi objekte ja (b) matemaatilisi objekte pole olemas, kuid (c) meie matemaatilised laused vastavad tõele. Sedalaadi vaateid on toetanud Azzouni (1994, 2004, 2010) ja Bueno (2005, 2009). Siiski tuleb märkida, et Bueno nimetab oma (2009) oma deflatsioonilise tõe nominaalsuse versiooni fiktsionalismi versiooniks. Seda mitte sellepärast, et ta tõesti toetaks vaadet, mida selles essees nimetatakse väljamõeldiseks; sellepärast, et ta kasutab mõistet „fiktsionalism” erinevalt sellest, kuidas seda selles essees kasutatakse. Kuid on oluline märkida, et Bueno kasutamine pole nii erinev; sest nagu me praegu näeme, on deflatsiooni-tõe nominaalsus ja fiktsionaalsus (nagu seda siin defineeritakse) üsna sarnased vaated. (Bueno seisukoht erineb ka siin määratletud fiktsionaalide vaadetest teisel viisil: ta toetab pigem abstraktsete objektide agnostitsismi kui täiemahulist antirealismi. Kuid see erinevus on veelgi vähem oluline kui esimene; kui ümber sõnastada (b) ja (c) fiktionismi ülaltoodud määratluse kohaselt, nii et need oleksid kooskõlas agnostitsismiga, ei peaks praktiliselt midagi muud fiktionalistide vaatepildi osas muutma. Seega saavad fiktsionalistid valida, kas nad soovivad abstraktsete objektide suhtes olla agnostikud või antirealistid, ja see otsus ei avalda nende vaadetele eriti suurt mõju. Tõepoolest, nagu 3. osas selgub,Bueno agnostitsism võib olla enam-vähem samaväärne teatud fiktionistide seisukohtadega.)
Enne deflatsioonilise tõe nominaalsuse probleemide kirjeldamist on oluline märkida, et selle vaate keskne väide on empiiriline hüpotees tavalise diskursuse kohta. Eelkõige on see väide mõiste "tõene" tähenduse või tõe mõiste kohta. Kui deflatsioonilise tõe nominaadid väidavad, et nt 3 on peaminister, võib tõsi olla ka siis, kui poleks sellist asja nagu number 3, väidavad nad tavalise tõe mõiste kohta. Nad ütlevad, et see mõiste kehtib teatavates olukordades, kus enamik meist - platonistidest ja ilukirjanduslikest autoritest ning peaaegu kõigist teistest - arvavad, et see ei kehti. Kui deflatsioonilise tõe nominaalid üritavad eitada, et nad väidavad tavalise mõiste kohta tõde, siis kukub nende vaade väljamõeldise versiooniks. Kuna nad nõustuvad väljamõeldistega, et "3 on peamine" tähendab, et tegemist on teatud abstraktse objektiga, ja kuna nad nõustuvad ka sellega, et abstraktseid objekte ei eksisteeri, järeldub sellest, et kui nad kinnitavad tõe tavavaadet, st, platonistlik-fiktsionalistlik seisukoht, mille kohaselt lause "F a" lause ei saa olla tõene, kui "a" ei viita tegelikult eksisteerivale objektile - siis peaksid nad tunnistama, et "3 on peaminister", ei vasta tõele. Nüüd võivad nad väita, et need laused on tõesed * - kus see on määratletud nii, et vormi 'F a' laused võivad olla tõesed * isegi siis, kui muidugi pole olemas sellist asja nagu -but, oleksid ilukirjanduse autorid sellega nõus. Niisiis, kui deflatsiooni-tõe nominaalsus peab olema fiktsionaalsusest tõeliselt erinev, peab see hõlmama väitekirja tavalise sõna „tõene” tähenduse kohta;Eelkõige peab väide olema, et vormi "f a" laused võivad selle tavapärases tähenduses olla tõesed, isegi kui ainsuse all olev termin "a" ei viita ühelegi tegelikult eksisteerivale objektile.
Seda arvestades väidavad enamik ulmekirjutajaid ilmselt, et deflatsioonilise tõe nominaalsuse probleem on selles, et see on empiiriliselt ebausutav. Teisisõnu, vastuväide oleks see, et deflatsiooni-tõe nominaalsus lendab halvasti, pidades silmas meie intuitsioone "tõelise" tähenduse kohta. Ja tundub, et see väide on mingil määral õigustatud. Näiteks tundub lihtsalt intuitiivselt ilmne, et lause “Mars on planeet” ei saaks olla sõna otseses mõttes tõene, kui sellist asja nagu Marss tõesti olemas oleks. Veelgi enam, intuitiivselt näib lause „Marss on planeet, kuid seda pole olemas” vastuoluna ja see intuitsioon näib olevat kokkusobimatu deflatsiooni-tõe nominaalsusega. Kui see on õige - kui deflatsiooni-tõe semantiline tees on vastuolus meie semantiliste intuitsioonidega -, siis annab see tugevat tõendit selle arvamiseks, et see on vale.
Kuid deflatsiooni-tõe nominaalsusega on ka teine probleem: see peaks pakkuma meile viisi platonismi vältimiseks, kuid tegelikult see seda ei võimalda. Esmapilgul võib tunduda, et deflatsiooni-tõe nominaalsus aitab tõesti vältida platonismi, sest platonismi argument võib tunduda tuginevat ülaltoodud eeldusele (2), st võib tunduda, et ta tugineb deflatsiooni vastase tõe väitele. et kui lauseid, nagu '4 on isegi', tuleks lugeda nimiväärtuses, st kujul 'F a' ja kui need laused on sõna otseses mõttes tõesed, siis oleme pühendunud uskuma objektidesse, millest nad räägivad nt number 4. Kuid tegelikult saavad platonistid sõnastada oma argumendi nii, et see ei tugine sellele deflatsioonivastasele tõe eeldusele. Selle välja toomiseks alustame kahe uue kunsti-tõe termini tutvustamisega1”ja“tõeline 2”- ja sätestades, et tõde 1 tuleb väljendada platonistlik-fiktsionalistlik tõe mõiste, nii et lause“F a”lause ei saa olla tõene 1, kui“a”ei viita tegelikult eksisteeriv objekt, samas kui „tõeline 2” väljendab tõe deflatsioonimõistet, nii et lause „F a” lause võib olla tõene 2 ka siis, kui „a” ei viita ühelegi tegelikult eksisteerivale objektile. Seda arvesse võttes võivad platonistid öelda järgmist:
Me lihtsalt ei hooli sellest, kas sõna "true", nagu seda kasutatakse tavalises inglise keeles, väljendab tõde 1 või tõde 2 (või on see mitmetähenduslik ja väljendab mõnikord ühte ja mõnikord teist mõistet). Me tunnistame, et platonismi argumendi standardsed sõnastused hõlmavad väiteid selle kohta, et tavalised matemaatilised laused, nagu '3 on peaminister', on tõesed. Kuid sama hästi võiksime oma argumendi põhjendada väitega, et sellised laused on tõesed 1. Seda tehes ei nõrgendaks me kuidagi oma argumenti. Argumentideks, mida me matemaatika tõe motiveerimiseks kasutame - eriti on allpool käsitletud Quine-Putnam-asendamatuse argument juba tõe argumendid 1matemaatika. Ja see ei tohiks olla üllatav; Sest kui me ütleme, et tavalised matemaatilised laused, nagu '3 on peaminister', on tõesed, siis peame silmas, et need on tõesed 1; nii et loomulikult peaksid argumendid, mille me matemaatika tõe kohta anname, olema juba argumendid matemaatika tõe 1 kohta.
Arvestades, et platonistid saavad sel viisil edasi minna, näib, et küsimus, kas deflatsiooni-tõe semantiline tees on õige, st küsimus, kas ingliskeelne sõna 'true' väljendab tõe 1 või tõe 2 mõistet - on lihtsalt punane heeringas. Reaalne küsimus on see, kas platonistidel on matemaatika tõe 1 kohta häid argumente (ja muidugi, kas platonistidel on mingeid häid argumente matemaatika tõe 1 vastu). Teisisõnu, kui eeldada, et ruumid 1 ja 4 on tõesed, nii et me peame oma matemaatilisi väiteid lugema abstraktsete objektide kohta (või vähemalt väidetavalt nende kohta), siis on reaalne küsimus, kas on kõik head põhjused, miks valida platonismi ja fiktsionalismi vahel.
1.4 Eeldus (4) ning füüsikalisus ja psühholoogia
Füüsikalisus on seisukoht, et meie matemaatilised laused ja teooriad käsitlevad tavalisi füüsilisi objekte. John Stuart Mill (1843) töötas välja sellise vaate. Tema arvates on matemaatika lihtsalt väga üldine loodusõpetus. Nii pole näiteks Milli sõnul lause "2 + 3 = 5" väide abstraktsete objektide kohta (numbrid 2, 3 ja 5); pigem on see väide füüsiliste objektide hunnikute kohta (eriti ütleb see meile, et kui lükkame kahe objekti hunniku koos kolme objekti hunnikuga, saame viiest objektist koosneva hunniku. (Phillip Kitcher (1984) ja varajane Penelope Maddy (1990) on samuti toetanud seisukohti “füsioloogiliste kalduvustega”, kuid lõpuks ei tõlgendata kumbagi ilmselt sellesse laagrisse langevana. Maddy varasemat vaadet peetakse paremini ebatraditsiooniliseks platonismiks, kuna selle vaate järgimatemaatika on seotud mittefüüsiliste objektidega, mis eksisteerivad ruumis ja ajas; ja Kitcheri vaadet peetakse kõige paremini omamoodi parafraseeritud nominalismiks, sest tema arvates osutuvad matemaatilised lausungid mitte mingite tegelikult eksisteerivate objektide kohta.)
Matemaatika füüsikaliste vaadetega on arvukalt probleeme. Kui mainida ainult ühte neist probleemidest, näib füüsilisus olevat täiesti võimetu arvestama mitmesuguste väidetega lõpmatuste kohta, mida me matemaatikas leiame. Näiteks on kindla teooria teoreem, et lõpmata palju kardinaalseid numbreid on lõpmatuseni järjest suurem ja järjest suurem. Seega on setteooria pühendunud lõpmatute komplektide olemasolule, mis on nii tohutud, et nad lihtsalt kääbus aiasordi lõpmatute komplektidena, nagu kõigi naturaalarvude komplekt. Hiiglaslike lõpmatute komplektide juttu füüsiliste objektide kohta pole lihtsalt mõistlik tõlgendada.
Psühholoogia on seisukoht, et matemaatilised laused ja teooriad käsitlevad vaimseid objekte. Selle arvamuse kõige tavalisem versioon arvab, et numbrid on midagi sellist, nagu meie peas olevad ideed, ja tavalised matemaatilised laused, nagu '3 on peaminister', kirjeldavad neid ideesid. See vaade oli 19. sajandi lõpus populaarneSajand; seda toetasid näiteks varajane Husserl (1891), aga ka intuitsioonistid Brouwer (1912, 1948) ja Heyting (1956). Kuid Frege (1884, 1893–1903) esitas hulgaliselt vaate vastu argumente ja mattis selle sisuliselt maha. Siinkohal vaid ühe argumendina näib, et psühholoogia on matemaatika tohutute lõpmatustega tegelemiseks sama võimetu kui füüsism. Nagu äsja nägime, tähendavad standardkomplekti teooriad, et matemaatiliste objektide lõpmatus on tegelikult tohutu. Kuid see pole lihtsalt usutav, et meie peas on nii palju ideid. Tõepoolest, on selge, et meie peas on ainult lõpmata palju ideid. Seetõttu ei ole usutav väita, et kindla teooria väited saavad tõesteks vaimsete objektide poolt.
Vastusena võiksime väita, et isegi kui meie peas pole lõpmata palju ideid, näib tõenäoline, et meil on peas lõpmatuse ideid. See on kahtlemata tõsi - meie peas on selliseid ideid, kuid see ei päästa psühholoogiat ülaltoodud vastuväitest. Meie matemaatiliste teooriate jaoks on tegelikult olemas lõpmata palju erinevaid matemaatilisi objekte. Näiteks nõuavad aritmeetika standardsed teooriad, et on olemas selline asi nagu 1 ja et on olemas selline asi nagu 2 (ja see erineb 1-st) ning et on olemas selline asi nagu 3 (ja see erineb mõlemast) 1 ja 2) jne. Nii et meie matemaatilised teooriad on tõelised ideede kirjeldused meie peas ainult siis, kui meie peades on olemas lõpmata palju erinevaid ideid. Seega, kuna meie peas pole nii palju ideid,me ei saa väita, et meie matemaatilised teooriad on selliste asjade tõelised kirjeldused.
Teise võimalusena võib ülaltoodud psühholoogiavastasele argumendile vastata liikudes vaatele, mille kohaselt matemaatilised väited käsitlevad ideid, mida me võiksime konstrueerida, või võimalikke vaimseid objekte või mõnda sellist. Kuid see ei oleks psühholoogiline vaade, sest sellises vaates ei oleks matemaatika objektid tegelikud mentaalsed objektid; need oleksid võimalikud objektid, mis oletatavasti on kas abstraktsed objektid või mõne muu metafüüsiliselt kahtlase laadi objektid.
Lõpuks võiks vastu olla selle lõigu mõlemale argumendile, st argumentidele, mis käsitlevad füüsismi ja psühholoogiat, öeldes midagi sellist:
Siin esitatud argumendid peaksid ajendama ideed, et tavalisi matemaatilisi lauseid nagu "4 on isegi" ei tõlgendata usutavalt füüsiliste või vaimsete objektide kohta või, täpsemalt, et neid tõlgendatakse paremini kui umbes (või vähemalt väidetavalt) umbes) abstraktsed objektid. Kuid siin võiks vaidlustada selle, et tavalise matemaatilise diskursuse tõlgendusena ei ole platonistlik / fiktsionaalne vaade usutavam kui füüsism või psühholoogia. Võib ju arvata, et kui tavalised inimesed esitavad matemaatilisi väiteid, kavatsevad nad rääkida abstraktsetest objektidest.
Kuid platonistid ja fiktsionistid ei pühendu teesile, et inimestel on positiivsed kavatsused rääkida abstraktsetest objektidest. Pigem võivad nad öelda järgmist: (i) tavalisi matemaatilisi väiteid saab kõige paremini tõlgendada nimiväärtuses ja seega ka väidetena objektide kohta - kuna tüüpilistel matemaatikutel (ja tõepoolest tavalise rahvakeeli tüüpilistel näidetel) pole positiivseid kavatsusi matemaatiliste lausete lausumisel rääkida mitteliteraalselt; ja (ii) on tüüpiliste matemaatikute ja tüüpiliste rahva kavatsuste tunnuseid, mis on nende matemaatiliste lausungite osas vastuolus mõttega, et need lausungid käsitlevad füüsilisi või vaimseid objekte;ja (iii) tüüpiliste matemaatikute või tüüpiliste inimeste kavatsustes pole midagi, mis oleks vastuolus mõttega, et meie matemaatilised laused käsitlevad abstraktseid objekte. Seega on platonistlik / fiktsionaalne semantiline teooria parem kui teised matemaatilise diskursuse semantilised teooriad, kuna see on ainus teooria, mis vastab andmetele - mitte seetõttu, et matemaatikutel ja tavainimestel on positiivne kavatsus rääkida abstraktsetest objektidest, kui nad lausuvad matemaatilised laused.platonistlik / fiktsionaalne semantiline teooria on parem kui teised matemaatilise diskursuse semantilised teooriad, kuna see on ainus teooria, mis on kooskõlas andmetega - mitte sellepärast, et matemaatikutel ja tavainimestel on matemaatiliste lausete lausumisel positiivsed kavatsused rääkida abstraktsetest objektidest.platonistlik / fiktsionaalne semantiline teooria on parem kui teised matemaatilise diskursuse semantilised teooriad, kuna see on ainus teooria, mis vastab andmetele - mitte sellepärast, et matemaatikutel ja tavainimestel on matemaatiliste lausete lausumisel positiivsed kavatsused rääkida abstraktsetest objektidest.
(Enne liikumist tasub märkida, et võib väita, et matemaatiliste objektide, näiteks numbrite olemasolu sõltub meist endast, ilma et kinnitataks nende objektide psühholoogilist vaadet. Võib väita, et numbrid on meelsusest sõltuvad abstraktsed objektid, st mitte -spatiotemporaalsed objektid, mis tekkisid inimeste tegevuse tõttu. Selliseid üldisi vaateid toetavad Liston (2003–2004), Cole (2009) ja Bueno (2009).)
1.5 Eeldus (5) ja platonism
Kui seni esitatud argumendid on õiged, siis ainsad allesjäänud vaated - ainsad matemaatikafilosoofiad, mida pole välistatud - platonism ja fiktsionaalsus. Seega peavad väljamõeldised oma argumendi täiendamiseks lihtsalt esitama eelduse eelduse (5); teisisõnu, nad peavad vaidlema platonismi vastu. Kuid see osutub palju raskemaks, kui vaidlustada mitmesuguseid eespool käsitletud anti-platonismi mittefiktsionaalseid versioone. Nagu nägime, saavad ulmekirjanduse autorid nende seisukohtade vastu vaielda, motiveerides lihtsalt empiirilisi hüpoteese tavalise matemaatilise diskursuse ja sõna 'tõeline' tavapärase tähenduse kohta. Täpsemalt võivad ilukirjandusteadlased nende seisukohtade vastu vaielda, väites, et a) tavalisi matemaatilisi lausundeid tõlgendatakse kõige paremini nimiväärtuses,ja b) neid lausungeid ei saa usutavalt tõlgendada nii, et need käsitlevad füüsilisi või vaimseid objekte ja c) vormi "Objekt a on F" laused ei saa selle tavapärases tähenduses olla tõesed, kui neid tegelikult ei ole selline asi nagu a. Kuid väljamõeldised ei saa platonismi vastu vaielda sel viisil, sest fiktionistid ja platonistid on ühel meelel tavaliste matemaatiliste lausungite (ja sõna 'tõene') tähenduses. Platoonistid ja ilukirjanduslikud autorid ei ole tõepoolest ühel meelel ühegi semantilise teesiga. Nende eriarvamus on seotud ontoloogilise teesiga: platonistid usuvad abstraktsetesse objektidesse, fiktionistid aga mitte. Seega, kui fiktsionaalid hakkavad platonismi vastu vaidlema, peavad nad kasutama teistsugust argumenti.ja c) vormi "Objekt a on F" laused ei saa selle tavapärases tähenduses olla tõesed, kui pole olemas sellist asja nagu a. Kuid väljamõeldised ei saa platonismi vastu vaielda sel viisil, sest fiktionistid ja platonistid on ühel meelel tavaliste matemaatiliste lausungite (ja sõna 'tõene') tähenduses. Platoonistid ja ilukirjanduslikud autorid ei ole tõepoolest ühel meelel ühegi semantilise teesiga. Nende eriarvamus on seotud ontoloogilise teesiga: platonistid usuvad abstraktsetesse objektidesse, fiktionistid aga mitte. Seega, kui fiktsionaalid hakkavad platonismi vastu vaidlema, peavad nad kasutama teistsugust argumenti.ja c) vormi "Objekt a on F" laused ei saa selle tavapärases tähenduses olla tõesed, kui pole olemas sellist asja nagu a. Kuid ulmekirjanduse autorid ei saa platonismi vastu midagi sellist vaielda, sest ilukirjanduslikud ja platonistid on ühel meelel tavaliste matemaatiliste lausungite (ja sõna 'tõene') tähenduses. Platoonistid ja ilukirjanduslikud autorid ei ole tõepoolest ühel meelel ühegi semantilise teesiga. Nende eriarvamus on seotud ontoloogilise teesiga: platonistid usuvad abstraktsetesse objektidesse, fiktionistid aga mitte. Seega, kui fiktsionaalid hakkavad platonismi vastu vaidlema, peavad nad kasutama teistsugust argumenti. Kuid väljamõeldised ei saa platonismi vastu vaielda sel viisil, sest fiktionistid ja platonistid on ühel meelel tavaliste matemaatiliste lausungite (ja sõna 'tõene') tähenduses. Platoonistid ja ilukirjanduslikud autorid ei ole tõepoolest ühel meelel ühegi semantilise teesiga. Nende eriarvamus on seotud ontoloogilise teesiga: platonistid usuvad abstraktsetesse objektidesse, fiktionistid aga mitte. Seega, kui fiktsionaalid hakkavad platonismi vastu vaidlema, peavad nad kasutama teistsugust argumenti. Kuid väljamõeldised ei saa platonismi vastu vaielda sel viisil, sest fiktionistid ja platonistid on ühel meelel tavaliste matemaatiliste lausungite (ja sõna 'tõene') tähenduses. Platoonistid ja ilukirjanduslikud autorid ei ole tõepoolest ühel meelel ühegi semantilise teesiga. Nende eriarvamus on seotud ontoloogilise teesiga: platonistid usuvad abstraktsetesse objektidesse, fiktionistid aga mitte. Seega, kui fiktsionaalid hakkavad platonismi vastu vaidlema, peavad nad kasutama teistsugust argumenti.arvestades, et väljamõeldised seda ei tee. Seega, kui fiktsionaalid hakkavad platonismi vastu vaidlema, peavad nad kasutama teistsugust argumenti.arvestades, et väljamõeldised seda ei tee. Seega, kui fiktsionaalid hakkavad platonismi vastu vaidlema, peavad nad kasutama teistsugust argumenti.
Matemaatilise platonismi vastu on esitatud mõned erinevad argumendid, kuid kõige olulisem ja kõige kuulsam on see, mida tuntakse platonismi vastase epistemoloogilise argumendina. See argument ulatub vähemalt Platoni juurde. Kaasajal sai see oma klassikaliseima avalduse Paul Benacerrafi (1973) artiklis, ehkki enamik matemaatikafilosoofeid on ühel meelel selles, et Benacerrafi argumentatsiooni sõnastamine on problemaatiline, kuna see tugineb ebausutavale teadmiste põhjuslikule teooriale. Parem viis argumendi sõnastamiseks on järgmine:
Inimesed eksisteerivad täielikult kosmoseaja jooksul.
Kui on olemas abstraktseid matemaatilisi objekte, siis eksisteerivad need väljaspool kosmoseaega. Seetõttu tundub tõenäoline
Kui on olemas abstraktsed matemaatilised objektid, ei suudaks inimene neist teadmisi saada. Aga
See on sisse arvestatud platonistliku vaatega, et eksisteerivad abstraktsed objektid ja et inimesed saavad neist teadmisi omandada (platonismi kohaselt on matemaatilised teadmised lihtsalt abstraktsete objektide teadmised). Seetõttu
Platonism on vale.
Platonistid on püüdnud sellele argumendile vastata mitmel erineval viisil, kuid kõige populaarsem (ja võib väita, et kõige usutavam) vastus on proovida õõnestada järeldusi punktidest i ja ii kuni iii. selgitades, kuidas (iii) võib olla vale isegi siis, kui i ja ii on tõesed, st kuidas inimesed saaksid omandada teadmisi abstraktsetest objektidest, hoolimata asjaolust, et nad on põhjuslikult sellistest objektidest isoleeritud ja järelikult neil puudub igasugust teavet edastavat kontakti selliste objektidega. Seda reageerimisstrateegiat on ellu viinud Quine (1948, 1951), Steiner (1975), Katz (1981, 1998), Resnik (1982, 1997), Shapiro (1989, 1997), Lewis (1986), Linsky ja Zalta (1995), Balaguer (1995, 1998a) ja Linnebo (2006). Küsimus, kas mõni neist vastustest õnnestub, on matemaatikafilosoofide seas äärmiselt vaieldav. Enamgi veel,antiplatonistidel pole väite kohta ühtegi veenvat argumenti, mille kohaselt platonistid ei saaks siin nõutavat selgitust anda, st et nad ei suudaks selgitada, kuidas inimesed saaksid teadmisi abstraktsetest objektidest ilma igasuguse teabe edastamiseta sellised objektid. Seega, kui teha väga pikk lugu lühikeseks, tundub õiglane öelda, et platonismi vastane epistemoloogiline argument on parimal juhul vastuoluline ja ebaselge.tundub õiglane öelda, et platonismi vastane epistemoloogiline argument on parimal juhul vastuoluline ja ebaselge.tundub õiglane öelda, et platonismi vastane epistemoloogiline argument on parimal juhul vastuoluline ja ebaselge.
(Platonismi vastase epistemoloogilise argumendi, sealhulgas platoonistide mitmesuguste reageeringute arutelu täielikumaks aruteluks vaadake Stanfordi filosoofia entsüklopeedia kannet pealkirjaga “Platonism metafüüsikas”.)
Arvestades, et epistemoloogiline argument ei õnnestu platonismi ümber lükata, võiksid fiktsionistid proovida pakkuda platonismi vastu veel mõnda muud argumenti. Üks selline argument, millele on pööratud suurt tähelepanu, on mitmekordse vähendamise argument. Selle argumendi klassikalise väite on taas andnud Benacerraf (1965). Argumenti saab kasutada seoses kõigi meie matemaatiliste teooriatega, kuid tavaliselt viidatakse sellele aritmeetikaga. Veelgi enam, isegi kui aritmeetiline väärtus nullitakse, on argumendi sõnastamiseks endiselt palju erinevaid võimalusi. Üks viis selleks on järgmine: (A) kui leidub abstraktsete objektide jadasid, mis vastavad meie aritmeetilistele teooriatele, siis on neid lõpmata palju,ja üheski nendest jadadest pole midagi „metafüüsiliselt erilist”, mis eristab seda naturaalarvude jadana; kuid (B) platonism on pühendunud teesile, et eksisteerib ainulaadne abstraktsete objektide jada, mis on naturaalarvud. Seetõttu on (C) platonism vale.
Platonistid on sellele argumendile pakkunud arvukalt vastuseid. Tõenäoliselt on kõige levinum strateegia olnud tagasilükkamine (A), st väide, et platonistid võivad tegelikult kaitsta väidet, et eksisteerib kordumatu jada, mis paistab silma naturaalarvude jadana. Seda strateegiat on eri viisidel ellu viinud näiteks Resnik (1997), Shapiro (1997), Parsons (1990) ning Linsky ja Zalta (1995). Lisaks väidab Balaguer (1998a), et isegi kui (A) on tõene, pole see oluline, sest (B) on vale: platonistid võivad lihtsalt tunnistada, et meie aritmeetilistele teooriatele vastavad arvukad jadad ja võib olla, et mitte ühtegi neist paistab silma looduslike arvude ainsa jadana. Nende platonistlike reageeringute staatuse osas pole laialt levinud kokkulepet ja nii nagu epistemoloogiliste argumentide puhul,oleks väga vastuoluline, kui isegi lausa uskumatu, väita, et mitmekordse vähendamise argument lükkab ümber platonismi.
Peale selle on ainus argument platonismi vastu, millele on matemaatikafilosoofias palju tähelepanu pööratud, Ockhami habemenupul põhinev argument. Naaseme selle väite juurde (väga lühidalt) 3. jaos; praegu võime lihtsalt märkida, et nagu epistemoloogiline argument ja mitmekordse reduktsiooni argument, on ka Ockhami habemenupul põhinev argument väga vaieldav ja väide, et see argument lükkab ümber platonismi, on (vähemalt) tendentslik. Seega on üldine järeldus, milleni me siinkohal jõudsime, järgmine: isegi kui fiktsionalistid suudavad motiveerida matemaatilise diskursuse platonistlikku / fiktionalistlikku semantikat ja seeläbi kõrvaldada kõik fiktsionalismi antiplatonistlikud alternatiivid, pole neil tegelikult ühtegi veenvat argumenti. platonismi vastu või järelduseks, et fiktsionalism on platonismist parem. Teisisõnu,ilukirjanduslastel pole eeldustel ühtegi veenvat argumenti (5) ja seega on nende arvates positiivne argument parimal juhul puudulik.
2. Fiktsionalismi vastuväited ja vastused
Arvestades, et platonismi vastu pole kaalukaid argumente, võiks loomulikult küsida järgmise küsimuse, kas leidub häid argumente fiktsionalismi vastu (ja kui platonism on tõesti ainus usutav alternatiiv fiktsionalismile, siis platonismi kasuks). Selles osas käsitletakse mitmeid selliseid argumente. Fiktionalistide vastuseid neile argumentidele uurides näeme ka seda, kuidas erinevad filosoofid on välja töötanud fiktsionaalsuse erinevad versioonid.
2.1 Asendamatuse argument
Vaieldamatult on kõige olulisem ja laialdasemalt arutatud väljamõeldise vastane argument Quine-Putnam asendamatuse argument (vt nt Quine (1948, 1951), Putnam (1971), Resnik (1997) ja Colyvan (2001)). See argument on sõnastatud mitmel erineval viisil. Argumendi ühe väga lihtsa versiooni saab esitada nii: (i) matemaatilised laused moodustavad hädavajaliku osa meie füüsilise maailma empiirilistest teooriatest, st meie füüsika, keemia jms teooriatest; (ii) meil on mõjuvaid põhjuseid arvata, et need empiirilised teooriad on tõesed, st et need annavad meile täpsed pildid maailmast; seetõttu (iii) on meil põhjust arvata, et meie matemaatilised laused on tõesed ja järelikult on fiktsionalism vale.
Ilukirjanduslased on sellele argumendile välja töötanud kahte erinevat tüüpi vastuseid. Esimest, vastavalt Fieldile (1980, 2016), võib nimetada nominatsioonireaktsiooniks ja selle poolt antud fiktsionalismi versiooni võib nimetada hard-road fictionalismiks. Teist vastust, mille on välja töötanud Balaguer (1996a, 1998a), Melia (2000), Rosen (2001), Yablo (2005), Bueno (2009) ja Leng (2010), võib nimetada nominatsioonivabaks vastuseks ja Seda ilukirjanduslikku versiooni, mida see meile annab, võib nimetada kergliiklusega fiktsionalismiks või nirk-ilukirjanduslikuks. Veelgi enam (siinsed nimed tulenevad Colyvanist ja Meliast; esimene räägib „kõva tee nominaalsusest” ja „kergliiklusteede nominismist” ja teine räägib „nirk nominalismist”.)
Põllu raskete teede reageerimine põhineb eelduse (i) ümberlükkamisel. Ta väidab, et matemaatika ei ole empiirilise teaduse jaoks tegelikult hädavajalik. Väli proovib seda väitekirja väita väites, et meie empiirilisi teooriaid saab nimetada, st ümber sõnastada viisil, mis väldib abstraktsetele objektidele viitamist ja eksistentsiaalset kvantifitseerimist. See on äärmiselt vaieldav väide ja on väga keeruline kindlaks teha, kuna arvatavasti peaks iga meie empiirilise teooria nominatsioon tegelikult läbi viima - see on nimetus kõva tee fiktsionalism. Väli ei püüdnud seda kõigi meie empiiriliste teooriate jaoks teha. Pigem püüdis ta oma seisukohta motiveerida, selgitades, kuidas nominatsioon läheks ühele empiirilisele teooriale, nimelt Newtoni gravitatsiooniteooriale. Nüüdmõned inimesed on kurtnud, et isegi kui Fieldi strateegia võiks toimida selle ühe teooria jaoks, ei pruugi see töötada teiste teooriate jaoks ja eriti on Malament (1982) väitnud, et tema strateegia ei töötaks seoses kvantmehaanikaga (kuid vt Balaguer (1996b ja 1998a) argumendiks, et Fieldi strateegiat saab laiendada kvantmehaanika juhtumile, ja vastuse saamiseks vt Bueno (2003)). Veelgi enam, Fieldi programmi vastu on esitatud veel mitmeid vastuväiteid - vt näiteks Malament (1982), Shapiro (1983), Resnik (1985) ja Chihara (1990, 8. peatükk, 5. jagu). Teisest küljest on ka teisi teoseid, mis arendavad või motiveerivad kõva tee nominaalseid vaateid; nt Arntzenius ja Dorr (2012) arendavad viisi diferentseeritavate kollektorite teooria nomineerimiseks. Hetkel,Fieldiani raske tee vastus Quine-Putnami argumendile on endiselt vaieldav.
Balagueri kergele teele reageerimine algab Quine-Putnami argumendi eelduse (i) kinnitamisega, st väitega (väidete huvides), et matemaatika on empiirilise teaduse jaoks hädavajalik. Balagueri strateegia on lihtsalt arvestada nende rakendustega väljamõeldise seisukohast. Tema väite võib kokku võtta järgmiselt: kui leidub selliseid asju nagu abstraktsed objektid, siis on need põhjuslikult inertsed. Kuid arvestades seda, järeldub sellest, et empiirilise teaduse tõesus sõltub kahest faktide komplektist, mis on üksteisest sõltumatult olemas või mitte. Üks neist faktide kogumitest on puhtalt platonistlik ja matemaatiline ning teine on puhtalt füüsiline (või täpsemini öeldes, puhtalt platonistlik). Kuna need kaks faktide komplekti on üksteisest sõltumatud või ei oma neid,fiktionistid võivad väita, et (a) seal on olemas puhtalt füüsiliste faktide komplekt, nagu siin nõutakse, st empiirilise teaduse tõesuseks muutmiseks vajalik, kuid (b) seal ei leidu komplekti puhtalt platonistlikke fakte omamoodi, mis on vajalik empiirilise teaduse tõesuse tagamiseks (kuna abstraktseid objekte pole olemas). Seetõttu on fiktsionalism kooskõlas empiirilise teaduse põhimõtteliselt realistliku vaatega, sest fiktsionalistid võivad väita, et isegi kui matemaatilisi objekte pole olemas ja seega pole meie empiirilised teooriad rangelt tõesed, maalivad need teooriad siiski sisuliselt täpse pildi füüsilise maailma jaoks, sest füüsiline maailm on just nii, nagu see peab olema, et empiiriline teadus oleks tõene. Teisisõnu,fiktionistid võivad väita, et füüsiline maailm „hoiab empiirilise-teadusliku tehingu lõppu”. Lõpuks, eesmärgiga anda ülevaade sellest, mida matemaatika empiirilises teaduses teeb, on väide, et see toimib kirjeldava või esindusliku abina. Teisisõnu, see annab meile lihtsa viisi füüsilise maailma kohta väidete esitamiseks. Näiteks viidates reaalsetele arvudele või, mis veelgi parem, kasutades termineid, mis väidetavalt viitavad reaalarvudele, anname endale lihtsa võimaluse kirjeldada füüsiliste süsteemide temperatuuri olekuid. Ja Balaguer väidab, et matemaatika võib olla kirjeldava abistaja rollis ka siis, kui see pole tõsi; tõepoolest väidab ta, et tõde pole selles osas lihtsalt abiks.väide on, et see toimib kirjeldava või esindusliku abina. Teisisõnu, see annab meile lihtsa viisi füüsilise maailma kohta väidete esitamiseks. Näiteks viidates reaalsetele arvudele või, mis veelgi parem, kasutades termineid, mis väidetavalt viitavad reaalarvudele, anname endale lihtsa võimaluse kirjeldada füüsiliste süsteemide temperatuuri olekuid. Ja Balaguer väidab, et matemaatika võib olla kirjeldava abistaja rollis ka siis, kui see pole tõsi; tõepoolest väidab ta, et tõde pole selles osas lihtsalt abiks.väide on, et see toimib kirjeldava või esindusliku abina. Teisisõnu, see annab meile lihtsa viisi füüsilise maailma kohta väidete esitamiseks. Näiteks viidates reaalsetele arvudele või, mis veelgi parem, kasutades termineid, mis väidetavalt viitavad reaalarvudele, anname endale lihtsa võimaluse kirjeldada füüsiliste süsteemide temperatuuri olekuid. Ja Balaguer väidab, et matemaatika võib olla kirjeldava abistaja rollis ka siis, kui see pole tõsi; tõepoolest väidab ta, et tõde pole selles osas lihtsalt abiks. Ja Balaguer väidab, et matemaatika võib olla kirjeldava abistaja rollis ka siis, kui see pole tõsi; tõepoolest väidab ta, et tõde pole selles osas lihtsalt abiks. Ja Balaguer väidab, et matemaatika võib olla kirjeldava abistaja rollis ka siis, kui see pole tõsi; tõepoolest väidab ta, et tõde pole selles osas lihtsalt abiks.
Teised on välja töötanud sarnased vaated. Näiteks Melia (2000) väidab, et saame kinnitada oma empiirilisi teooriaid ja võtta seejärel lihtsalt tagasi nende väidete platonistlikud / matemaatilised tagajärjed. Ja Rosen (2001) väidab, et fiktsionalism on epistemaatiliselt lubatav, kuna teine teadlaste kogukond võiks aktsepteerida samu teooriaid, mida me teeme, toetades või, mis veelgi olulisem, ratsionaalselt toetades, fiktsionaalset suhtumist oma teooriate matemaatilistesse komponentidesse. Ja Bueno (2009) väidab, et matemaatika mängib empiirilises teaduses kirjeldavat rolli ja seetõttu ei pea see rakendamiseks olema tõene. Ja Leng (2010) väidab, et asendamatu argument ei lükka fiktsionalismi ümber, sest fiktionalistid suudavad anda piisava ülevaate teaduse edusammudest.
Yablo (2005, 2002a, 2002b) arendab ka sellist vaadet (ja tasub märkida, et tema vaade põhineb siin suuresti Waltoni (1990) tööl). Yablo väidab, et matemaatika ilmneb loodusteadustes esindusliku abina ja et selle hästi tegemiseks ei pea see tõde olema. Kuid tema vaadeversioon on pisut erinev, kuna ta arvab, et meie platonistlikult formuleeritud empiiriliste teooriate laused - või vähemalt nende lausete tüüpilised lausungid - on tõepoolest tõesed, kuna nende tegelik sisu on nominalistlik. Triviaalse näite kasutamiseks kaaluge lauset
(M) Marsi kuude arv on 2.
Yablo sõnul on tüüpilised lausete (M) lausungid analoogsed kujundliku kõne tavaliste juhtumitega, nt lausetega nagu
(A) Keskmine emal on 2,4 last.
Punkti (A) süntaktiline vorm näib viitavat sellele, et tegemist on tegeliku objektiga, mida tuntakse keskmise emmena; kuid muidugi pole vaja - seda sel viisil lugedes oleks vaja valesti aru saada, mida inimesed mõtlevad, kui nad lausuvad selliseid lauseid nagu (A). Samuti võib Yablo sõnul ehkki tunduda, et (M) esitab osaliselt nõude tegeliku objekti kohta, mida tuntakse 2-na, kuid tegelikult see nii pole. Pigem (M) -ie tegelik sisu, mida selle lause tüüpilised lausungid tegelikult ütlevad, on see, et on kaks marsi kuud. Ja muidugi, see väide - st väide, et on kaks marsi kuud - ei ole väide numbri 2 või mõne muu abstraktse objekti kohta; see on nominaalselt kosher. Kokkuvõttes võib öelda, et puhta matemaatika fiktsionistid saavad toetada matemaatiliste segalausete parafraseeritud nominaalset vaadet.
(Väärib märkimist, et ka Yablo arvab arvavat, et vähemalt mõnikord on puhtatel matemaatilistel lausetel tegelik sisu - st ütlevad tegelikult asju, mis on nominaalsed ja tõesed. Näiteks arvab ta, et vähemalt mõnikord on sellised laused nagu ' 3 + 2 = 5 'ütlevad sellised asjad nagu, et kui on kolm F ja kaks G, siis (piiranguga kattumine) on viis F või G. Pealegi näib Yablo kohati vähemalt vihjavat arvamusele, et vähemalt Mõnikord, kui lausume lauseid nagu "3 on peaminister", räägime tegelikult, et "3 on peaminister" on aritmeetika teooria (või loo või mängu) kohaselt tõene või vastuvõetav. Pole selge, kuidas Yablo suhtub sellesse ideesse siiski tõsiselt; igal juhul tundub üsna selge, et kui ta selle üldse heaks kiidab, arvab ta, et see on tõsi ainult mõnes kontekstis, st ainult mõnes puhtas matemaatikas. Mis iganes Yablo vaade siiski on, on oluline arvestada, et sellised üldised vaated, st vaated, mis võtavad puhtalt matemaatilisi lauseid, et neil oleks reaalne sisu või mis tegelikult ütlevad asju, mis on nominaalsed ja tõesed, ei ole üldse väljamõeldud versioonid, nagu see vaade on siin määratletud. Need on pigem parafraseerunud nominaalsuse versioonid ja seetõttu tuleb neile punktis 1.2 esitatud seisukoht selle vastu esitada. Naaseme (väga lühidalt) küsimuse juurde, kas Yablo seisukoht on tõesti väljamõeldise versioon jaotises 2.3.)Need on pigem parafraseerunud nominaalsuse versioonid ja seetõttu tuleb neile punktis 1.2 esitatud seisukoht selle vastu esitada. Naaseme (väga lühidalt) küsimuse juurde, kas Yablo seisukoht on tõesti väljamõeldise versioon jaotises 2.3.)Need on pigem parafraseerunud nominaalsuse versioonid ja seetõttu tuleb neile punktis 1.2 esitatud seisukoht selle vastu esitada. Naaseme (väga lühidalt) küsimuse juurde, kas Yablo seisukoht on tõesti väljamõeldise versioon jaotises 2.3.)
Yablo sarnaste vaadete kohta lisateabe saamiseks vaadake artikleid Plebani (2018) ja Berto ja Plebani (2015).
Väärib märkimist, et lihtsa tee nominaalsuse pooldajad ei eelista oma vaadet Fieldi omale lihtsalt sellepärast, et see on „lihtsam“või kuna see ei hõlma pühendumist vastuolulisele väitele, et meie empiirilisi teooriaid saab nomineerida. Melia, Yablo ja Balaguer väidavad kõik, et vaade on sõltumatult parem kui Fieldi vaade, kuna see sobib paremini tegeliku teadusliku praktikaga.
Samuti väärib märkimist, et Quine-Putnam'i argumendile on lihtsad vastused välja töötanud inimesed, kes ei toeta ilukirjandust, nt Sober (1993), Maddy (1995, 1997), Mortensen (1998) ja Azzouni (2004).).
Kergliiklusteele on vastuse andnud Colyvan (2002, 2010) ja Baker (2005, 2009). Nad väidavad, et matemaatika ei mängi looduses ainult kirjeldavat rolli. Samuti mängib see selgitavat rolli. Näiteks kaalub Baker juhtumit, mis hõlmab mitmesuguseid perioodiliste tsikaadide liike, kus nümfaali staadium on kas 13 või 17 aastat. Miks on nümfali staadiumid 13 või 17 aastat? Evolutsioonibioloogide sõnul on vastus järgmine: 13 ja 17 on algarvud ja see minimeerib ristumisi teiste perioodiliste liikidega. Colyvan ja Baker väidavad, et sellised juhtumid nagu need juhtumid, kus matemaatilistel objektidel on füüsiliste nähtuste selgitamisel asendamatu roll - pakuvad meile asendamatuse argumendi parema ja võimsama versiooni. Tõepoolest,nad väidavad, et kui on tõesti juhtumeid, kus füüsiliste nähtuste kohta on saadud tõeliselt matemaatilisi selgitusi, siis fiktsionalismi kergliiklusteed ei saa õnnestuda. Kuid see väide on vaieldav ja vastused neile asendamatu argumendi selgitavatele versioonidele on andnud Melia (2002), Leng (2005b), Bangu (2008), Daly ja Langford (2009) ja Yablo (2012).
2.2 Objektiivsus
Teine vastuväide fiktsionalismile põhineb ideel, et fiktsionalistid ei saa arvestada matemaatika objektiivsusega. Matemaatikapraktika puhul on ilmne fakt, et sellel praktikal on mingisugune objektiivsus. Matemaatikas on oluline erinevus lausete vahel, nagu "2 + 2 = 4" ja "3 on peaminister" ning teiselt poolt "2 + 2 = 5" ja "3 on liit". Ilmselt on mingis mõttes mõte, kus kaks esimest lauset, kuid mitte kaks teist, on “õige” või “õige” või “hea” või mõni muu selline. Kõige ilmsem on siin öelda, et kaks esimest lauset on tõesed, kaks viimast aga valed. Kuid ulmekirjanikud ei saa seda öelda; nad on pühendunud väitele, et kõik need neli lauset ei vasta tõele. Seegakerkib küsimus, kas ilukirjanduslikel teadlastel on matemaatika objektiivsuse, st nende kahte tüüpi lausete erinevuste kohta piisav ülevaade.
Taaskord on kaks erinevat vastust, mille fiktionistid sellele probleemile on andnud. Need kaks vastust annavad meile versioonid fiktsionaalsusest, mida parema terminipaari puudumise tõttu võib nimetada formalistlikuks fiktsionalismiks ja mitteformalistlikuks fiktsionalismiks.
Formalistliku vaate on välja töötanud Field (1980, 1989, 1998). Tema arvates on erinevus "3 peamise" ja "3" liitmise vahel analoogne erinevusega näiteks "Jõuluvana kannab punast ülikonda" ja "Jõuluvana kannab rohelist ülikonda" vahel. Täpsemalt öeldes on Fieldi idee, et erinevus lausete vahel, nagu „3 on peaminister” ja „3 on liitlaused”, seisneb selles, et esimesed (kuid mitte viimased) on osa teatud üldtuntud „loost“, nimelt lugu matemaatika. Field väidab seda, öeldes, et kuigi nii 3 on peaminister kui ka 3 on ühendatud, on mõlemad rangelt valed, esimene vastab tõele matemaatika loos, teine aga mitte. Nüüd on enamus Fieldi siinsetest seisukohtadest kooskõlas nii formalistliku kui ka mitteformaalse fiktsionalismiga. Erinevus nende kahe vaate vahel on seotud sellega, milles fiktionistid arvavad, et matemaatika lugu koosneb. Fieldi jaoks koosneb matemaatika lugu sisuliselt hunnikust formaalsetest süsteemidest, nimelt nendest, mida me praegu aktsepteerime. Täpsemalt ütleb ta (1998, lk 391), et matemaatiline lause on fiktsionalistlikult korrektne ainult siis, kui see on „aktsepteeritud aksioomide tagajärg [a]… tagajärje mõttes, mis ületab esimese astme tagajärje, hõlmates kvantifikaatori loogika, mida on ainult väga palju. Nii et selles vaates on erinevus lausete vahel, nagu „3 on peaminister” ja „3, on liit”, põhjusel, et esimesed on „õiged” ja viimased mitte - on see, et esimesed tulenevad vastuvõetud matemaatilistest aksioomidest. (Seda seisukohta on toetanud ka Leng (2010);ta ütleb, et matemaatiline vastuvõetavus taandub aktsepteeritud aksioomide järgimisele.)
Balaguer (2001, 2009) väidab, et Fieldi formalistlik vaade ei saa olla õige ja ta töötab sellele välja mitteformaalse alternatiivi. Tema argument formalistliku vaate vastu on see, et see ei saa arvestada kogu objektiivsusega, mille leiame matemaatikast. Kõige olulisem on see, et formalistlik vaade hõlmab (valesti), et küsimustele, mis küsivad matemaatiliste lausete tõeväärtuste kohta, mis pole praegu aktsepteeritavates matemaatilistes teooriates võimalikud, ei saa olla objektiivselt õigeid vastuseid. Kõige kuulsam näide on siin tõenäoliselt pidevhüpotees (CH), mis on praegu aktsepteeritud komplektiteooriate, näiteks Zermelo-Fraenkeli komplekti teooria (ZF) puhul määramatu. (Teisisõnu, ZF on kooskõlas nii CH kui ka ~ CH-ga; st ZF + CH ja ZF + ~ CH on mõlemad järjepidevad seatud teooriad.) Arvestades seda,Fieldi arvates järeldub, et ei CH ega ~ CH pole osa matemaatika loost ja järelikult pole CH küsimusele objektiivselt õiget vastust. See tundub siiski vastuvõetamatu, sest võib selguda, et matemaatikud leiavad CH-i küsimusele objektiivselt õige vastuse. Oletame näiteks, et mõni matemaatik tuli välja uue aksioomikandidaadi AX-ga, nii et (i) kõik matemaatikud nõustusid, et AX on intuitiivselt ilmne väide komplektide kohta ja (ii) ZF + AX tähendas CH-d. Kui see juhtuks, siis ütleksid matemaatikud, et nad on tõestanud CH-d ja et nad on avastanud, et CH on õige jne. Väli vaade sunnib meid ütlema, et kui kiidaksime heaks AX-i, siis muutuks CH matemaatika loos tõeseks. Kuid näib, et see muudab asjad valesti. Arvestades AX-i intuitiivset ilmsust,tundub väga loomulik öelda, et selle stsenaariumi korral avastasid matemaatikud, et CH oli olnud tõene (või “õige” või tõene matemaatika loos või mida iganes me tahame seda nimetada) kogu aeg, nagu me ka ei teinud” seda lihtsalt teha, kinnitades uue teooria. Ja jälle tundub, et just seda ütleksid matemaatikud. Nii väidab Balaguer, et Fieldi formalistlik vaade matemaatika objektiivsusele on vastuvõetamatu.
Balagueri fiktsionalismi mitteformaalne versioon säilitab Fieldi väite, et matemaatiline “korrektsus” on seotud matemaatika loos tõesusega, kuid loobub Fieldiani arvamusest, et matemaatika lugu koosneb praegu aktsepteeritud aksioomidest. Balagueri sõnul koosneb niinimetatud matemaatika lugu teesist, et tegelikult eksisteerivad abstraktsed matemaatilised objektid, mida platonistid silmas peavad, st sellised, mille kohta meie matemaatikateooriad väidetavalt peaksid olema. Niisiis on matemaatiline lause fiktsionistlikult õige just siis ja ainult siis, kui see oleks tõene, kui oleks olnud olemas abstraktsed matemaatilised objektid, mida platonistid silmas peavad. Balaguer väidab, et kui fiktsionaalid võtavad selle seisukoha omaks, suudavad nad Fieldi vaatega ülaltoodud probleemi vältida ja üldiselt:nad suudavad objektiivsuse probleemi täielikult lahendada, kuna suudavad jäljendada kõike, mida platonistid objektiivsuse kohta ütlevad.
2.3 Revolutsioonilisus ja hermeneutitsism
Veel ühe vastuväite fiktsionalismile esitas Burgess (2004) - ja tuleb märkida, et siinse argumendi juured on Burgess (1983) ning Burgess ja Rosen (1997). Argumendi saab esitada nii:
Ilukirjanduslased seisavad silmitsi dilemmaga: nad peavad toetama kas hermeneutilist fiktsionalismi või revolutsioonilist fiktsionalismi, kuid kumbki pole usutav. Hermeneutilist ilukirjandust võime määratleda kui seisukohta, et matemaatikud (ja võib-olla ka tavalised rahvamehed) kavatsevad oma matemaatilist juttu pidada ilukirjanduse vormiks; täpsemalt öeldes on siin seisukoht, et tavapäraste matemaatiliste kavatsuste kohaselt ei peaks ainsuseterminid, nagu '3' viitama, ja laused, nagu '3 on peaminister', ei peaks olema tõesed. Kuid hermeneutiline ilukirjandus on uskumatu ja motiveerimata; empiirilise hüpoteesina selle kohta, mida matemaatikud kavatsevad teha, pole selle jaoks lihtsalt häid tõendeid ja see tundub ilmselgelt vale. Revolutsiooniline väljamõeldis on seevastu seisukoht, et a) matemaatikud ei kavatse oma lausundeid käsitleda väljamõeldisena,või muul viisil mitte-sõnasõnalisena; ja nii (b) me peaksime tõlgendama matemaatikuid nii, nagu nad väidavad tegelikult nende lauseid öeldes, st väidetena, mis käsitlevad matemaatilisi objekte (või väidetavalt nende kohta); kuid (c) kuna matemaatilisi objekte pole olemas, on matemaatikute väited lihtsalt valed väited. Kuid ka revolutsiooniline väljamõeldis on uskumatu; arvestades filosoofide ja matemaatikute kogemusi, oleks filosoofide jaoks “koomiliselt ebamäärane” eeldada, et nad on avastanud matemaatikaprobleemi (Burgess, 2004, lk 30).matemaatikute väited on lihtsalt valed väited. Kuid ka revolutsiooniline väljamõeldis on uskumatu; arvestades filosoofide ja matemaatikute kogemusi, oleks filosoofide jaoks “koomiliselt ebamäärane” eeldada, et nad on avastanud matemaatikaprobleemi (Burgess, 2004, lk 30).matemaatikute väited on lihtsalt valed väited. Kuid ka revolutsiooniline väljamõeldis on uskumatu; arvestades filosoofide ja matemaatikute kogemusi, oleks filosoofide jaoks “koomiliselt ebamäärane” eeldada, et nad on avastanud matemaatikaprobleemi (Burgess, 2004, lk 30).
Keegi pole kunagi kaitsnud hermeneutilist fiktsionalismi, nagu see on eespool määratletud. Yablo (2002a) väidab, et tema vaade on versioon hermeneutilisest fiktsionalismist - ja Plebani (2018) järgib teda sel viisil rääkides -, kuid vaade, mida need filosoofid peavad silmas, on pisut erinev ülalkirjeldatud hermeneutilisest fiktsionalisti vaatest. Yablo ei väida, et matemaatikud kavatsevad oma lauset, nagu "3 on peamine", pidada fiktiivsete väidetena. Pigem arvab ta, et need lausungid on (vähemalt mõnikord või võib-olla tüüpiliselt) analoogsed kujundliku kõne tavaliste näidetega, nt laused nagu "tagumine põleti on koht, kuhu paned asju, et neil keeda". Selles lauses on ainsustermin - tagumine põleti -, mis näib (süntaktiliselt) tähistavat väljendit;kuid see pole tegelikult tähistav väljend (vähemalt tüüpilistel juhtudel) ja selle tõlgendamine ehtsa tähistava väljendina lausetes nagu ülaltoodud oleks halvasti valesti aru saada, mida tüüpilised sedalaadi lausete rääkijad kavatsevad öelda. Yablo leiab, et midagi sellist on tõsi seoses (puhaste ja segatud) matemaatiliste lausete tüüpiliste lausungitega, nt lausetega, nagu '3 on peaminister' ja 'Marsi kuude arv on 2'. Nii soovitab Yablo kindlasti hermeneutilist nominaalset vaadet, kuid pole selge, kas tema vaadet peetakse kõige paremini omamoodi hermeneutiliseks fiktsionalismiks. Nagu eespool märgitud (punkt 2.1), võib seda vaadet paremini liigitada omamoodi parafraseeritud nominalismiks. Yablo nimetab oma vaatenurka figuralismiks ja ta räägib, nagu oleks see väljamõeldise versioon. Kuid näib, et ta kasutab mõistet „fiktsionalism” erinevalt sellest, kuidas seda siin defineeritakse. Tõenäoliselt peab ta seda silmas: sõnasõnalisel lugemisel on matemaatilised laused vale, nagu fiktsionalism väidab, kuid on olemas alternatiivne lugemine, millel need tõeks osutuvad (ja nominaalselt kosher). Kuid see, mis muudab ebamugavaks Yablo arvamuse kui väljamõeldise versiooni võtmise, on see, et ta näib arvavat, et see, mida (puhtad ja segatud) matemaatilised laused tegelikult ütlevad - või täpsemalt, mida nende lausete tüüpilised lausungid tegelikult ütlevad - on tõene ja nominalistlik sisus. See kõlab rohkem nagu parafraseeriv nominaalsus kui väljamõeldis.kuid leidub alternatiivne lugemine, millel need tõeks osutuvad (ja nominaalselt kosher). Kuid see, mis muudab ebamugavaks Yablo arvamuse kui väljamõeldise versiooni võtmise, on see, et ta näib arvavat, et see, mida (puhtad ja segatud) matemaatilised laused tegelikult ütlevad - või täpsemalt, mida nende lausete tüüpilised lausungid tegelikult ütlevad - on tõene ja nominalistlik sisus. See kõlab rohkem nagu parafraseeriv nominaalsus kui väljamõeldis.kuid leidub alternatiivne lugemine, millel need tõeks osutuvad (ja nominaalselt kosher). Kuid see, mis muudab ebamugavaks Yablo arvamuse kui väljamõeldise versiooni võtmise, on see, et ta näib arvavat, et see, mida (puhtad ja segatud) matemaatilised laused tegelikult ütlevad - või täpsemalt, mida nende lausete tüüpilised lausungid tegelikult ütlevad - on tõene ja nominalistlik sisus. See kõlab rohkem nagu parafraseeriv nominaalsus kui väljamõeldis.
Stanley (2001) on hermeneutilise fiktsionalismi vastu esitanud mitmeid argumente. Tema argumentidele annavad vastuse Yablo (2002a) ja Liggins (2010).
Vastupidiselt Yablole vastavad Leng (2005a, 2010), Daly (2006) ja Balaguer (2009) Burgessi argumendile, kaitstes revolutsioonilist fiktsionalismi. Leng'i vastuse versioon põhineb väitel, et filosoofidel on vastuvõetav matemaatikute tööd hinnata ja kritiseerida. Muidugi tunnistab Leng, et matemaatika on väga edukas praktika ja et filosoofid peavad seda austama, kuid tema väide on, et me saame matemaatika õnnestumise arvele võtta, eeldamata, et see on tõsi. Ja arvestades seda, väidab ta, saame matemaatilist praktikat filosoofilisest vaatepunktist ratsionaalselt hinnata ja kritiseerida.
Kuid on veel üks revolutsiooniline väljamõeldis, mis ei hõlma mingit matemaatika kriitikat. Nagu ülal sõnastatud, on revolutsiooniline väljamõeldis lihtsalt seisukoht, et i) me peaksime matemaatikuid tõlgendama nende lausete väidetena, nii et (ii) nende lausungid on ebaõiged väited abstraktsete objektide kohta. Kuid sellest ei järeldu, et matemaatikas oleks midagi valesti - midagi kriitikat väärt. See viitab sellele, et 'revolutsiooniline väljamõeldis' pole selle vaate jaoks eriti hea nimi. Parem nimi oleks 'asendiline väljamõeldis'. Kui me räägiksime nii, siis võiksime öelda, et väidetavat fiktsionalismi on nii revolutsioonilisi kui ka mitterevolutsioonilisi. Revolutsioonilised kinnistavad fiktionistid ütleksid, et peaksime muutma seda, mida teeme matemaatikas, nii et me ei esitaks enam valesid väiteid; nt peaksime hakkama oma matemaatilisi väiteid käsitlema kui fiktsioone või peaksime kasutama oma matemaatilisi lauseid selleks, et mõelda, mida if-thenistid nende arvates tähendavad, või mõnda sellist. Mitterevolutsioonilised väitvad fiktionistid seevastu ütleksid, et matemaatikas pole midagi halba, nagu praegu praktiseeritakse; nad tunnistaksid, et sellised matemaatilised laused nagu '4 on isegi' ei ole tõesed; kuid nad väidavad, et selles pole midagi halba, sest matemaatika headuse märk ei ole tõde - see on tõde matemaatika loos või mõnel sellisel.või peaksime hakkama kasutama oma matemaatilisi lauseid, et mõelda, mida if-thenistid nende arvates tähendavad, või mõnda sellist. Mitterevolutsioonilised väitvad fiktionistid seevastu ütleksid, et matemaatikas pole midagi halba, nagu praegu praktiseeritakse; nad tunnistaksid, et sellised matemaatilised laused nagu '4 on isegi' ei ole tõesed; kuid nad väidavad, et selles pole midagi halba, sest matemaatika headuse märk ei ole tõde - see on tõde matemaatika loos või mõnel sellisel.või peaksime hakkama kasutama oma matemaatilisi lauseid, et mõelda, mida if-thenistid nende arvates tähendavad, või mõnda sellist. Mitterevolutsioonilised väitvad fiktionistid seevastu ütleksid, et matemaatikas pole midagi halba, nagu praegu praktiseeritakse; nad tunnistaksid, et sellised matemaatilised laused nagu '4 on isegi' ei ole tõesed; kuid nad väidavad, et selles pole midagi halba, sest matemaatika headuse märk ei ole tõde - see on tõde matemaatika loos või mõnel sellisel.kuid nad väidavad, et selles pole midagi halba, sest matemaatika headuse märk ei ole tõde - see on tõde matemaatika loos või mõnel sellisel.kuid nad väidavad, et selles pole midagi halba, sest matemaatika headuse märk ei ole tõde - see on tõde matemaatika loos või mõnel sellisel.
Näib, et Field toetab sedalaadi mitterevolutsioonilisuse naabruses mõnda seisukohta. Arutades Burgessi väidet teaduse numbrite teise väljaande eessõnas, ütleb ta järgmist: “Minu arvates on see vale dihhotoomia. Kindlasti ei uskunud ma, et minu pakutav konto oli "hermeneutiline", kuid see polnud ka "revolutsiooniline": võtsin pigem selle, mida tegin, pakkudes kontot, mis selgitab, miks tavaline matemaatiline praktika on täiesti korras.” (Väli, 2016, lk 4.)
Lõpuks väidab Balaguer (2009), et ilukirjandusteadlastel on võimalusi nii hermeneutitsismi kui ka enesekehtestamise vältimiseks ning seetõttu võiksid nad Burgessi dilemmat täielikult vältida. Pealegi näib, et Field (2016) toetab ka sellist seisukohta. Armor-Garb (2011) on aga väitnud, et Balagueri poolt välja pakutud (mittehermeneutikliku, mitte-väiteva) fiktsionalismi versioon ei ole vastuvõetav.
2.4 Sarnasus ilukirjandusega
Mõned inimesed, nt Katz (1998), Thomas (2000 ja 2002), Hoffman (2004), Burgess (2004) ja Thomasson (2013), on vastu ilukirjanduse põhjendusele, et matemaatika ja ilukirjanduse vahel on ilmne erimeelsus.. (Millised täpselt on disanaloogiad, erineb vastuväite eri versioonides. Nt. Katz väidab, et järjepidevus on oluline headuse kriteerium matemaatikas, kuid mitte ilukirjanduses. Ja Burgess väidab, et matemaatiliste objektide olemasolu küsimus ei ole empiiriliselt tähenduslik, samas kui küsimus, kas meie väljamõeldud lugude (mitteabstraktsed) objektid eksisteerivad, on empiiriliselt tähenduslik.)
Üks võimalus, kuidas ilukirjanduslikud esindajad sellele vastuväitele reageerivad, on väita, et see on lihtsalt ebaoluline, kuna fiktsionalism ei hõlma väidet, et matemaatika ja ilukirjanduse vahel pole olulisi eriarvamusi. Nagu eespool määratletud, on fiktsionaalsus seisukoht, et a) meie matemaatilised laused ja teooriad peaksid väidetavalt puudutama abstraktseid matemaatilisi objekte, nagu platonism vihjab, kuid (b) abstraktseid objekte pole olemas ja nii (c) meie matemaatilised teooriad ei vasta tõele. Ilukirjandusliku diskursuse kohta ei saa siin üldse väita ja seega võivad ilukirjandusteadlased lihtsalt eitada, et nende arvates kaasneb matemaatika ja ilukirjanduse vahel oluliste erimeelsuste puudumine.
Nüüd ei tähenda see seda, et ilukirjandusteadlased ei saaks väita, et matemaatika ja ilukirjanduse vahel on mõni asjakohane analoogia. Muidugi võivad nad väita, et on olemas; nt võiksid nad öelda, et nagu matemaatikas, pole selliseid asju nagu väljamõeldud objektid ja seetõttu pole tüüpilised väljamõeldud laused sõna otseses mõttes tõesed. Kuid selliseid väiteid esitades ei kohustu fiktsionaalid tugevamate väidetega matemaatika ja ilukirjanduse analoogia kohta, nt et matemaatiline diskursus on omamoodi väljamõeldud diskursus ja nad ei kohustu kindlasti väitma, et olulised erimeelsused kahe ettevõtte vahel. Lühidalt öeldes on ilukirjandus täiesti kooskõlas väitega, et matemaatika ja ilukirjanduse vahel on arvukalt olulisi eriarvamusi.
Lõpuks tuleb märkida, et mõned fiktionistid näivad soovivat esitada tugevamad väited matemaatika ja ilukirjanduse analoogia kohta. Sellised inimesed peavad võib-olla võtma eespool nimetatud vastuväiteid tõsisemalt. Kuid ükski selles essees käsitletud ilukirjanduslikest teadlastest ei toeta ühtegi sellist väga tugevat väidet; eriti ei ütle ükski neist midagi, mis eeldaks, et matemaatika ja ilukirjanduse vahel pole olulisi lahkarvamusi. Teisest küljest tuleb märkida, et Yablo ja Bueno on sellega seoses esitanud mõned väited, mis lähevad kaugemale sellest, mida fiktionistidel on vaja öelda. Näiteks ütleb Bueno (2009), et matemaatilised objektid sarnanevad väljamõeldud tegelastega, kuna need on abstraktsed esemed (seda öeldes järgib ta Thomassoni (1999) vaadet väljamõeldud tegelaskujudele). Ja Yablo on esitanud mõned suhteliselt tugevad väited analoogia kohta, mida tema arvates peetakse matemaatiliste lausungite ja metafooriliste lausungite või piltlike lausungite vahel. Seega on Yablo väljamõeldise konkreetne versioon avatud vastuväidetele, mille kohaselt matemaatilised lausungid pole tegelikult metafooriliste lausungitega sarnased ega analoogsed. Stanley (2001) on esitanud mõned sedalaadi vastuväited ja Yablo vastab neile oma teoses (2002a). Kuid kuna Yablo ei väida, et matemaatilised lausungid on analoogsed väljamõeldud lausungitega, ei pea ta vastama vastuväidetele, mida mainiti käesoleva lõigu alguses. Yablo konkreetses väljamõeldise versioonis on vastuväiteid selle kohta, et matemaatilised lausungid ei ole tegelikult metafooriliste lausungitega sarnased ega analoogsed. Stanley (2001) on esitanud mõned sedalaadi vastuväited ja Yablo vastab neile oma teoses (2002a). Kuid kuna Yablo ei väida, et matemaatilised lausungid on analoogsed väljamõeldud lausungitega, ei pea ta vastama vastuväidetele, mida mainiti käesoleva lõigu alguses. Yablo konkreetses väljamõeldise versioonis on vastuväiteid selle kohta, et matemaatilised lausungid ei ole tegelikult metafooriliste lausungitega sarnased ega analoogsed. Stanley (2001) on esitanud mõned sedalaadi vastuväited ja Yablo vastab neile oma teoses (2002a). Kuid kuna Yablo ei väida, et matemaatilised lausungid on analoogsed väljamõeldud lausungitega, ei pea ta vastama vastuväidetele, mida mainiti käesoleva lõigu alguses.ta ei pea vastama käesoleva lõigu alguses nimetatud tüüpi vastuväidetele.ta ei pea vastama käesoleva lõigu alguses nimetatud tüüpi vastuväidetele.
2.5 Nõustumine ja uskumine
Nagu lõigus 2.2 selgus, arvavad ulmekirjanikud, et laused nagu '2 + 2 = 4' on rangelt valed, arvavad nad siiski, et nad on selle mõiste mõnes mõttes õiged. Milline on siis fiktionisti suhtumine nendesse lausetesse? Bas van Fraasseni (1980) järel, kes toetab empiirilise teaduse osas sarnast seisukohta, on siinkirjutaja tavapärane fiktsionalistlik joon: nad aktsepteerivad lauseid nagu '2 + 2 = 4', ilma et nad neid uskuksid. See, kuidas aktsepteerimist täpselt määratleda, on mõneti poleemikat tekitav küsimus, kuid üks ilmne viis siin edasi liikuda on väita, et fiktionistid aktsepteerivad puhast matemaatilist lauset S ainult siis, kui nad usuvad, et S vastab tõele matemaatika loos.
Mõned inimesed on vastu veendumuse ja aktsepteerimise eristamisele. Horwich (1991), O'Leary-Hawthorne (1997) ning Burgess ja Rosen (1997) esitavad argumendid väitele, et aktsepteerimise ja uskumuse vahel pole tegelikku vahet, sest laias laastus: a) uskuda midagi on lihtsalt olla b) need, kes usuvad, et 2 + 2 = 4, ja need, kes väidetavalt aktsepteerivad ainult seda, et 2 + 2 = 4, eeldatakse eeldatavalt käituma täpselt samamoodi.
Daly (2008) ja Leng (2010) pakuvad sellele argumendile mitmeid vastuseid. Üks tähelepanek, mida Daly väidab, on see, et ulmekirjanikud ei kavatse tegelikult käituda samamoodi nagu platonistid. Neil on tahtmine käituda väga erinevalt, vastates küsimustele nagu: “Kas selliseid asju nagu numbrid on tegelikult olemas?”
2.6 Saladuslik lisasisu
Thomasson (2013) vaidlustab Yablo fiktsionalismi konkreetse versiooni. Nagu me eespool nägime, eristab Yablo (2005, 2002a, 2002b) lausete sõnasõnalist ja tegelikku sisu nagu
(M) Marsi kuude arv on 2.
Thomasson väidab, et Yablo on pühendunud väitele, et lausete (M) sõnasõnalise sisu tõesuse tagamiseks on vaja midagi enamat, kui on vaja nende lausete tegeliku sisu tõesuse jaoks. Kuid mis see ekstra midagi olla võiks? Thomassoni sõnul on see varja ja kui Yablo ei saa selle kohta midagi rohkemat öelda, ei tohiks me tema seisukohta aktsepteerida.
Üks vastus sellele, mille on andnud Contessa (2016, lk 771), on, et on ilmne, mida veel vaja on; peab olema nii, et on olemas "meelsõltumatud, mitte-spatiotemporaalselt paiknevad, põhjuslikult inertsed abstraktsed objektid".
Erineva vastuse annab Plebani (2018). Ta väidab, et hoolimata sellest, kas Yablovi väljamõeldised suudavad artiklite (M) korral liigendada kahte erinevat tõetingimust, saab nende lausete tegelikku ja sõnasõnalist sisu eristada, kuna neil on erinevad teemavaldkonnad.
2.7 Muud vastuväited
Ilukirjanduse vastu on muidugi ka teisi vastuväiteid. Tõenäoliselt kõige laiemalt arutatud põhineb väitel, et fiktsionalism ei ole tõeliselt nominaalne vaade, kuna fiktsionalismi enda sõnastus hõlmab ka avaldusi, mis hõlmavad ontoloogilisi kohustusi abstraktsete objektide suhtes. Seda vastuväidet oleks siin keeruline käsitleda, kuna fiktsionalismi iga erineva variandi puhul on see erineval kujul ja nagu eelnevast arutelust selgub, on fiktsionalismil palju erinevaid versioone (nt võib kumbagi kõvasti toetada - rahvusvaheline ilukirjandus või kergliiklusega väljamõeldislus ja mõlemat vaadet saab kombineerida kas formalistliku fiktsionalismi või mitteformaalse fiktsionalismiga;ja ükskõik millist neist vaadetest saab kombineerida hermeneutilise fiktsionalismi või revolutsioonilise väidetava fiktsionalismi või mitterevolutsioonilise väidetava fiktsionalismiga; ja nii edasi). Tuleb siiski märkida, et mitu erinevat fiktsionalismi kaitsjat on reageerinud murele omaenda fiktsionalismi konkreetsete versioonide nominaalse staatuse pärast. Eelkõige kaitseb Field (1989) oma väljamõeldise versiooni süüdistuse eest, mis seob kosmosepunktide olemasolu, mis võiks arvata, et need pole nominaalselt kosherlikud; ja Balaguer (1998a) kaitseb oma versiooni süüdistuse eest, et see (ja tegelikult ka Fieldi versioon) on pühendunud lugude olemasolule, mis oleks olemasolu korral eeldatavalt abstraktsed objektid; ja lõpuks,Rosen (2001) kaitseb oma seisukohta süüdistuse eest, mis seob teooriaid ja võimalikke maailmu. Balaguer ja Rosen on mõlemad mures mure pärast, et fiktsionalistid on pühendunud lausetüüpide olemasolule, mis eeldatavalt oleksid abstraktsed objektid. Daly tutvustab oma mureversiooni (2008) versiooni ja pakub vastuse Balagueri vastusele sellele murele. Samuti pakub ta vastust vastusele, mille Rosen oli andnud oma varem (1990).
Veel ühe vastuväite fiktsionalismile (või täpsemalt kergliiklusega väljamõeldisele) esitas Szabo (2001). Olgu S mõni matemaatiline lause, näiteks '4 on paaris'. Szabo vaidlustab kergliikluste ulukirjandusteadlaste vastu põhjendusega, et kui nad eitavad S tõele vastavust, kuid jätkavad selle kasutamist viisil, mis tundub platonistide kasutamisest eristamatu, siis on nad põhimõtteliselt pühendunud ütlusele, et '4 on isegi, kuid ma ei usu seda - mis Szabo sõnul ajab nad Moore'i paradoksi suhtes raskustesse.
Lõpuks esitab Chihara (2010) vastuväiteid nii Fieldi kui ka Balagueri väljamõeldud arvamuste suhtes.
3. Järeldus
Seega on väljamõeldisele mitu erinevat vastuväidet, kuid väljamõeldistel on neile kõigile vastuseid ja pole sugugi ilmne, et mõnel vastuväitest õnnestub väljamõeldist ümber lükata. Seega tundub praegu vähemalt esmapilgul usutav arvata, et fiktsionalismi saab kaitsta. Teisest küljest, kui 1. jao väited on õiged, pole ulmekirjutajatel veenvat positiivset argumenti oma arvamuse kasuks. Jagude 1.2–1.4 argumendid viitavad sellele, et ilukirjanduse mitmesuguste anti-platonistlike alternatiivide tagasilükkamiseks on häid põhjuseid ja seetõttu tuleks arvata, et platonism ja fiktsionalism on kaks parimat vaadet matemaatikale, kuid näib, et sellest pole midagi head argument fiktsionalismi eelistamiseks platonismile või vastupidi. Nüüdarvatavasti väidavad enamik fiktsionalistid - ja mõned on öelnud (vt nt Leng, 2010) - et see olukord iseenesest annab meile juba hea põhjuse fiktsionalismi eelistamiseks platonismi asemel. Kui võtame väite, et platonismi jaoks pole head positiivset argumenti, ja ühendame selle Ockhami habemenuga (st põhimõttega, mis ütleb meile, et kui kaks teooriat käsitlevad kõiki samu fakte, siis, siis ceteris parabis, peaksime toetama neist kahest ontoloogilisest seisukohast leebem), siis näib meid olevat juhitud tulemuseni, et fiktsionalism on platonismist parem. Siiski tuleb märkida, et vähemalt kaks ülalkirjeldatud ilukirjanduse kaitsjat lükkavad selle argumendi selgesõnaliselt tagasi. Rosen (vt nt Burgess ja Rosen, 1997) kahtleb, kas Ockhami habemenuga aktsepteerimiseks on põhjust, ja Balaguer (1998a) väidab, et isegi kui me selle aktsepteerime,on põhjust arvata, et see ei ole käesoleval juhul kohaldatav. Nii arvavad Rosen ja Balaguer mõlemad, et praegu pole meil platonismi ega fiktsionalismi toetamiseks ühtegi mõjuvat põhjust. Veelgi enam, nagu punktis 1.3 märgiti, arvavad Bueno (2009), et fiktsionistid peaksid abstraktsete objektide olemasolu suhtes agnostikas olema; see näib olevat enam-vähem samaväärne Roseni vaatega; Balagueri vaade on natuke erinev, kuna ta arvab tegelikult, et abstraktsete objektide olemasolul pole mingit tähtsust.see näib olevat enam-vähem samaväärne Roseni vaatega; Balagueri vaade on natuke erinev, kuna ta arvab tegelikult, et abstraktsete objektide olemasolul pole mingit tähtsust.see näib olevat enam-vähem samaväärne Roseni vaatega; Balagueri vaade on natuke erinev, kuna ta arvab tegelikult, et abstraktsete objektide olemasolul pole mingit tähtsust.
–––, 2008, “Ilukirjandus ja hoiakud”, Filosoofilised uurimused, 139: 423–40.
Daly, C. ja S. Langford, 2009, “Matemaatilised seletused ja asendamatuse argumendid”, Philosophical Quarterly, 59: 641–58.
Dorr, C., 2008, “Pole abstraktseid objekte”, metafüüsika kaasaegsed arutelud, T. Sider, J. Hawthorne ja D. Zimmerman (toim), Oxford: Blackwell Publishing, lk 12–64.
Field, H., 1980, Teadus ilma numbriteta, Princeton, NJ: Princeton University Press.
–––, 1989, realism, matemaatika ja moodus, New York: Basil Blackwell.
–––, 1998, „Matemaatiline objektiivsus ja matemaatilised objektid“, kaasaegsetes ettekannetes metafüüsika alustest, C. MacDonald ja S. Laurence (toim.), Oxford: Basil Blackwell, lk 387–403.
–––, 2016, Teadus ilma numbriteta, teine trükk, Oxford: Oxford University Press.
Frege, G., 1884, Der Grundlagen die Arithmetik. Tõlkinud JL Austin kui aritmeetika alused, Oxford: Basil Blackwell, 1953.
–––, 1893–1903, Grundgesetze der Arithmetik. Tõlkinud (osaliselt) M. Furth kui aritmeetika põhiseadused, Berkeley, CA: University of California Press, 1964.
–––, 1919, „Mõte: loogiline uurimine”, kordustrükk ilmunud essees Frege, ED Klemke (toim), Urbana, IL: Illinois University Press, 1968, 507–35.
Gödel, K., 1964, “Mis on Cantori jätkuvprobleem?”, Kordustrükk Benacerrafis ja Putnamis (1983), 470–85.
Hale, R., 1987, Abstract Objects, Oxford: Basil Blackwell.
Hellman, G., 1989, Matemaatika ilma numbriteta, Oxford: Clarendon Press.
–––, 2005b, „Matemaatiline seletus“, matemaatiline mõttekäik ja heuristika, C. Cellucci ja D. Gillies (toim), London: King's College Publications, lk 167–89.
–––, 2010, matemaatika ja reaalsus, Oxford: Oxford University Press.
