Esmakordselt avaldatud reedel 3. mail 2002; sisuline redaktsioon esmaspäeval 6. mail 2019
Epsiloni arvutus on loogiline formalism, mille on välja töötanud David Hilbert oma programmi teenistuses matemaatika alustalades. Epsiloni operaator on terminit moodustav operaator, mis asendab kvantitatoreid tavalises predikaatloogikas. Täpsemalt tähistab mõiste (varepsilon x A) arvutustes mõnda (x) vastavat (A (x)), kui see on olemas. Hilberti programmis mängivad epsiloni terminid ideaalsete elementide rolli; Hilberti finitistlike järjepidevuse tõendite eesmärk on anda protseduur, mis eemaldab sellised mõisted ametlikust tõestusest. Protseduurid, mille abil see läbi viiakse, põhinevad Hilberti epsiloni asendusmeetodil. Epsilon-calculusel on rakendusi ka muudes kontekstides. Esimene epsiloni arvutuse üldine rakendamine oli Hilberti epsiloni teoreemides,mis omakorda annavad aluse Herbrandi teoreemi esimeseks õigeks tõestuseks. Viimasel ajal on keeleteadustes ja keelefilosoofias rakendatud epsiloni operaatori variante anaforiliste asesõnade käsitlemiseks.
1. Ülevaade
2. Epsiloni arvutus
3. Epsiloni teoreemid
4. Herbrandi teoreem
5. Epsiloni asendamise meetod ja aritmeetika
6. Uuemad arengud
7. Epsiloni keeleteaduse, filosoofia ja mitteklassikalise loogika operaatorid
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed
1. Ülevaade
Sajandivahetuseks tunnistati David Hilbert ja Henri Poincaré oma põlvkonna kaheks kõige olulisemaks matemaatikuks. Hilberti matemaatiliste huvide vahemik oli lai ja see hõlmas ka huvi matemaatika aluste vastu: tema geomeetria alused avaldati 1899. aastal ja 1900. aastal rahvusvahelisele matemaatikute kongressile esitatud küsimuste loendis käsitleti kolme selgelt eristuvat alust käsitlevat küsimust.
Pärast Russelli paradoksi avaldamist esitas Hilbert pöördumise 1904. aastal kolmandale rahvusvahelisele matemaatikute kongressile, kus ta visandas esimest korda oma kava pakkuda sünteetiliste konsistentsitõendite abil matemaatikale range aluse. Kuid ta ei pöördunud selle teema juurde tagasi tõsiselt alles 1917. aastal, kui ta Paul Bernaysi abiga alustas loengusarja matemaatika alustest. Ehkki Hilbertile avaldas Russelli ja Whiteheadi töö nende Principia Mathematicas muljet, veendus ta, et loogikakatse katse vähendada matemaatikat loogikaks ei saa õnnestuda, eriti nende redutseeritavuse aksioomi mitteloogilise iseloomu tõttu. Samal ajal pidas ta tõrjutud keskosa seaduse intuitsioonilist tagasilükkamist matemaatika jaoks vastuvõetamatuks. Seetõttuloogiliste ja setteoreetiliste paradokside avastamisega seotud probleemidele reageerimiseks oli vaja uut lähenemisviisi, et õigustada tänapäevaseid matemaatilisi meetodeid.
1920. aasta suveks oli Hilbert sellise lähenemisviisi sõnastanud. Esiteks pidid tänapäevased matemaatilised meetodid olema esindatud formaalsetes deduktiivsüsteemides. Teiseks, neid formaalseid süsteeme tuli tõestada süntaktiliselt järjepidevatena mitte mudeli eksponeerimise või nende järjepidevuse vähendamise teel mõne teise süsteemiga, vaid otsese metamaatilise matemaatilise argumendiga, mis väljendas selgesõnalist „finitaarset“iseloomu. Lähenemisviis sai tuntuks kui Hilberti programm. Selle programmi esimese komponendi pidi pakkuma epsilon-arvutus, teise osa aga tema epsilon-asendusmeetod.
Epsiloni arvutus on kõige elementaarsemal kujul esimese järgu predikaatloogika laiendus „epsiloni operatsiooniga”, mis valib iga tõelise eksistentsiaalse valemi jaoks eksistentsiaalse kvantandi tunnistajaks. Laiend on konservatiivne selles mõttes, et see ei lisa uusi esmajärgulisi tagajärgi. Kuid vastupidi, kvantifitseerijaid saab määratleda epsiloonide järgi, seega saab esimese järgu loogikast aru saada kvantifikaatorivaba mõttekäiguga, mis hõlmab epsiloni operatsiooni. Just see viimane omadus muudab kivi konsistentsi tõestamiseks mugavaks. Epsilon-calculuse sobivad laiendid võimaldavad kinnitada arvude ja komplektide tugevamad kvantitatiivsed teooriad kvantitaatorivabasse kalkule. Hilbert arvas, et selliste laienduste järjepidevust on võimalik näidata.
2. Epsiloni arvutus
Oma Hamburgi loengus 1921. aastal (1922) esitas Hilbert esmakordselt valikufunktsioonide kasutamise idee, et käsitleda välistatud keskpunkti põhimõtet aritmeetika formaalses süsteemis. Need ideed arendati epsilon calculus'iks ja epsilon-asendusmeetodiks loengukursuste sarjas aastatel 1921–1923 ja Hilbert's (1923). Epsilon-calculuse lõpliku esitluse leiate Wilhelm Ackermanni väitekirjast (1924).
Selles jaotises kirjeldatakse esimese astme loogikale vastavat kalkulatsiooni versiooni, allpool kirjeldatakse esimese ja teise järgu aritmeetika laiendeid.
Olgu (L) esimese astme keel, see tähendab konstandi, funktsiooni ja seose sümbolite loendit määratud aritydega. Epsiloni terminite kogum ja (L) valemite komplekt on induktiivselt määratletud samaaegselt järgmiselt:
Iga (L) konstant on termin.
Iga muutuja on termin.
Kui (s) ja (t) on mõisted, siis (s = t) on valem.
Kui (s_1, \ ldots, s_k) on terminid ja (F) on (k) - funktsiooni sümbol (L, F (s_1, \ ldots, s_k)) on termin.
Kui (s_1, \ ldots, s_k) on terminid ja (R) on (k) - \, ary seose sümbol (L, R (s_1, \ ldots, s_k)) on valem.
Kui (A) ja (B) on valemid, siis on ka (A \ kiil B, A \ vee B, A \ paremnool B) ja (neg A).
Kui (A) on valem ja (x) on muutuja, on (varepsilon x A) termin.
Asendamine ja vaba ja seotud muutuja mõisted on määratletud tavalisel viisil; eriti muutuja (x) seotakse terminiga (varepsilon x A). Kavandatav tõlgendus on see, et (varepsilon x A) tähistab mõnda (x) rahuldavat (A), kui see on olemas. Seega reguleerib epsiloni termineid järgmine aksioom (Hilberti “transfinite aksioom”): [A (x) parempoolne nool A (varepsilon x A)) Lisaks sisaldab epsiloni kalkulatsioon tervet aksioomide komplekti, mis reguleerib klassikalised propositsioonilised ühendused ja võrdsuse sümbolit reguleerivad aksioomid. Ainsad arvutusreeglid on järgmised:
Modus ponens
Asendamine: alates (A (x)), lõpetage (A (t)), mis tahes tähtajaks (t.)
Varasemates epsiloni arvutusvormides (nagu näiteks Hilbert 1923) kasutatakse epsiloni operaatori duaalset vormi, milles (varepsilon x A) tagastab võltsitud väärtuse (A (x)). Ülaltoodud versiooni kasutati Ackermanni väitekirjas (1924) ja see on muutunud standardseks.
Pange tähele, et äsja kirjeldatud kalkulaat on kvantitatiivselt vaba. Kvantifikaatoreid saab määratleda järgmiselt:) alusta {joonda} eksisteerib x A (x) & \ equiv A (varepsilon x A) \ \ forall x A (x) & \ equiv A (varepsilon x (neg A)) end {joondus}) Nendest võib tuletada tavalisi kvantifikaatori aksioome ja reegleid, nii et ülaltoodud definitsioonid kinnistavad epsiloni arvutusse esimese järgu loogikat. Vastupidine pole tõsi: mitte iga valem epsiloni arvutustes ei ole tavalise kvantifitseeritud valemi kujutis selle manustamise all. Seega on epsiloni arvutusväljendus väljendusrikkam kui predikaatarvutuse puhul, lihtsalt seetõttu, et epsiloni termineid saab kvantifikaatoritest keerukamal viisil kombineerida.
Väärib märkimist, et epsiloni terminid on mittedeterministlikud, esindades seeläbi valitud aksioomi vormi. Näiteks konstantsete sümbolitega (a) ja (b) keeles on (varepsilon x (x = a \ vee x = b)) kas (a) või (b), kuid kalkulatsioon jätab selle täiesti avatud. Arvutile saab lisada laiendamisskeemi:) forall x (A (x) leftrightarrow B (x)) rightarrow \ varepsilon x A = \ varepsilon x B), mis kinnitab, et epsiloni operaator määrab sama tunnistage samaväärseid valemeid (A) ja (B). Paljude rakenduste jaoks pole see täiendav skeem siiski vajalik.
3. Epsiloni teoreemid
Hilbert ja Bernays 'Grundlagen der Mathematik (1939) teises köites antakse ülevaade epsilon-calculuse tulemustest, mis olid selleks ajaks tõestatud. See hõlmab esimese ja teise epsiloni teoreemi arutelu koos rakendustega esimese astme loogikale, avatud induktsiooniga aritmeetika epsiloni asendusmeetodit ja analüüsi väljatöötamist (see tähendab teise astme aritmeetikat) epsiloni arvutusega.
Esimene ja teine epsiloni teoreem on järgmised:
Esimene epsiloni teoreem: Oletame, et (Gamma \ cup {A }) on kvantifikaatorivabade valemite kogum, mis ei sisalda epsiloni sümbolit. Kui (A) on epsiloni arvutustes tuletatav (Gamma) -st, siis (A) on kvantitaatorivabas predikaatloogikas tuletatav (Gamma) -st.
Teine epsiloni teoreem: Oletame, et (Gamma \ cup {A }) on valemite kogum, mis ei sisalda epsiloni sümbolit. Kui (A) on epsiloni arvutustes tuletatav (Gamma) -st, siis (A) on tuletatav predikaatloogikas (Gamma) -st.
Esimeses epsiloni teoorias on kvantifikaatorivaba predikaatloogika mõeldud hõlmama ülaltoodud asendusreeglit, nii et kvantifikaatorivabad aksioomid käituvad nagu nende universaalsed sulgemised. Kuna epsiloni arvutus sisaldab esimese astme loogikat, tähendab esimene epsiloni teoreem, et lõppkokkuvõttes on võimalik vältida igasugust ümbersõitu esimese astme predikaatloogika kaudu, mida kasutatakse kvantifikaatorivabadest aksioomidest kvantifikaatori vaba teoreemi saamiseks. Teine epsiloni teoreem näitab, et vältida saab ka ümbersõitu epsiloni kalkuleerimisel, mida kasutatakse teoreemi tuletamiseks predikaatkalkulaadi keeles aksioomidest predikaatkalkulatsiooni keeles.
Üldisemalt sätestab esimene epsiloni teoreem, et kvantifikaatoreid ja epsiloneid saab kvantifikaatorivaba valemi tõestusest alati kõrvaldada teistest kvantifikaatorivabadest valemitest. See on Hilberti programmi jaoks eriti oluline, kuna epsilonid mängivad matemaatikas ideaalide elemente. Kui kvantifikaatorivabad valemid vastavad matemaatilise teooria “reaalsele” osale, näitab esimene epsiloni teoreem, et ideaalsete elementide saab reaalsete avalduste tõenditest elimineerida, kui aksioomid on ka reaalsed avaldused.
See idee on täpsustatud teatud üldise järjepidevuse teoorias, mille Hilbert ja Bernays tuletasid esimesest epsilon-teoreemist, mis ütleb järgmist: Olgu (F) mis tahes formaalne süsteem, mis tuleneb predikaatarvutusest konstantse funktsiooni lisamisega ja predikaat sümbolid pluss tõelised aksioomid, mis on kvantitatiivselt ja epsilonid vabad ning mis oletaksid uues keeles aatomivalemite tõesuse. Siis on (F) järjepidev otseses mõttes, et iga tuletatav kvantifikaatori- ja epsilonivaba valem on tõene. Hilbert ja Bernays kasutavad seda teoreemi elementaarsele geomeetriale lõpliku konsistentsi tõestuse saamiseks (1939, ptk 1.4).
Aritmeetika ja analüüsi järjepidevuse tõendite esitamise keerukus seisneb selle tulemuse laiendamises juhtudele, kus aksioomid sisaldavad ka ideaalseid elemente, st epsiloni termineid.
Lisalugemist. Algsed allikad epsilon-calculuse ja epsilon-teoreemide kohta (Ackermann 1924, Hilbert & Bernays 1939) on saadaval ainult saksa keeles. Leisenring 1969 on suhteliselt kaasaegne ingliskeelne epsilon calculuse sissejuhatus raamatupikkusesse. Esimest ja teist epsiloni teoreemi kirjeldatakse üksikasjalikult ajakirjas Zach 2017. Moser & Zach 2006 annavad juhtumi üksikasjaliku analüüsi ilma võrdsuseta. Originaalsed tõendid antakse epsilon-calculus'i aksiomaatiliste esitluste kohta. Maehara 1955 oli esimene, kes kaalus epsiloni terminitega järkjärgulist arvutamist. Ta näitas, kuidas lõigatud elimineerimise abil tõestada teist epsiloni teoreemi, ja tugevdas seejärel teoreemi, et lisada laiendamisskeem (Maehara 1957). Baaz jt. 2018 annavad esimese epsiloni teoreemi täiustatud versiooni. Kirjanduse (sealhulgas Leisenringi raamatu) vigade parandused leiate Flannagan 1975; Ferrari 1987; ja Yasuhara 1982. Skolemi funktsioonidel põhinevat ja seetõttu esimese astme loogikaga ühilduvat epsiloni kalkulatsiooni variatsiooni käsitletakse Davis & Fechter 1991.
4. Herbrandi teoreem
Hilbert ja Bernays kasutasid epsilon calculus meetodeid, et luua teoreemid esimese järgu loogikast, mis ei viita epsilon calculusele endale. Üks selline näide on Herbrandi teoreem (Herbrand 1930; vt Buss 1995, Girard 1982 ja Buss 1998 punkt 2.5). Sageli sõnastatakse see väitena, et kui eksistentsiaalne valem) eksisteerib x_1 \ ldots \ eksisteerib x_k A (x_1, \ ldots, x_k)) on tuletatav esimese astme predikaatloogikas (ilma võrdsuseta), kus (A) on kvantifikaatorivaba, siis on olemas terminite jadad (t_ {1} ^ 1, \ ldots, t_ {k} ^ 1, \ ldots, t_ {1} ^ n, \ ldots, t_k ^ n), nii et [A (t_ {1} ^ 1, \ ldots, t_k ^ 1) vee \ ldots \ vee A (t_ {1} ^ n, \ ldots, t_k ^ n)) on tautoloogia. Kui keegi tegeleb esimese astme loogikaga võrdsusega,üks tuleb asendada „tautoloogia” sõnaga „võrdõiguslikkuse aksioomide asendusjuhtumite tautoloogiline tagajärg”; me kasutame sellise valemi kirjeldamiseks mõistet “kvaasi-tautoloogia”.
Äsja kirjeldatud Herbrandi teoreemi versioon tuleneb kohe Hilberti ja Bernaysi laiendatud esimese Epsiloni teoreemist. Kasutades teise epsiloni teoreemi tõestamisega seotud meetodeid, saadi Hilbert ja Bernays siiski tugevama tulemuse, mis, nagu Herbrandi algses sõnastuses, pakub rohkem teavet. Allpool oleva teoreemi kahe osa mõistmiseks aitab see kaaluda konkreetset näidet. Olgu valem (A)
) eksisteerib x_1 \ Forall x_2 \ eksisteerib x_3 \ Forall x_4 B (x_1, x_2, x_3, x_4)), kus (B) on kvantitatiivselt vaba. Negatsioon (A) on samaväärne kui) forall x_1 \ eksisteerib x_2 \ forall x_3 \ eksisteerib x_4 \ neg B (x_1, x_2, x _3, x_4).) Skolemiseerides, st kasutades eksistentsiaalsete kvantifikaatorite tunnistamiseks funktsioonisümbolit, saadakse) eksisteerib f_2, f_4 \ forall x_1, x_3 \ neg B (x_1, f_2 (x_1), x_3, f_4 (x_1, x_3)).) Seda eitades näeme, et algne valem on “samaväärne”:) forall f_2, f_4 \ eksisteerib x_1, x_3 B (x_1, f_2 (x_1), x_3, f_4 (x_1, x_3)).)
Allpool oleva teoreemi esimene lause, antud konkreetsel juhul, ütleb, et ülaltoodud valem (A) on tuletatav esimese astme loogikas siis ja ainult siis, kui eksisteerib terminite jada (t_ {1} ^ 1, t_ {3} ^ 1, \ ldots, t_ {1} ^ n, t_ {3} ^ n) laiendatud keeles sõnadega (f_2) ja (f_4) selliselt, et [B (t_ {1} ^ 1, f_2 (t_ {1} ^ 1), t_ {3} ^ 1, f_4 (t_ {1} ^ 1, t_ {3} ^ 1)) vee \ täpid \ vee B (t_ {1} ^ n, f_2 (t_ {1} ^ n), t_ {3} ^ n, f_4 (t_ {1} ^ n, t_ {3} ^ n))] on kvaasi-tautoloogia.
Allpool oleva teoreemi teine lause, antud konkreetsel juhul, ütleb, et ülaltoodud valem (A) on tuletatav esimese astme loogikas ainult siis, kui leidub muutujate jadasid (x_ {2} ^ 1, x_ { 4} ^ 1, \ ldots, x_2 ^ n, x_4 ^ n) ja termineid (s_ {1} ^ 1, s_ {3} ^ 1, \ ldots, s_1 ^ n, s_3 ^ n) originaalis keel selline, et [B (s_ {1} ^ 1, x_ {2} ^ 1, s_ {3} ^ 1, x_4 ^ 1) vee \ ldots \ vee B (s_1 ^ n, x_2 ^ n, s_3 ^ n, x_4 ^ n)) on kvaasi-tautoloogia ja selline, et (A) on selle valemi abil tuletatav, kasutades ainult allpool kirjeldatud kvantifikaatori ja idempotentsuse reegleid.
Üldisemalt, oletagem, et (A) on mis tahes eelnev valem kujul) mathbf {Q} _1 x_1 \ ldots \ mathbf {Q} _n x_n B (x_1, \ ldots, x_n),) where (B) on kvantifikaatorivaba. Siis öeldakse, et (B) on (A) maatriks ja (B) eksemplar saadakse, asendades mõne selle muutujaga terminid (B) keeles. Herbrandi tavaline vorm (A ^ H) (A) saadakse
- iga universaalse kvantandi kustutamine ja -
iga universaalselt kvantifitseeritud muutuja (x_i) asendamine (f_i (x_ {i} ^ 1, \ ldots, x_ {i} ^ {k (i)})), kus (x_ {i} ^ 1, \ punktid, x_ {i} ^ {k (i)}) on muutujad, mis vastavad eksisteerivatele kvantifikaatoritele, mis eelnevad (mathbf {Q} _i) (A) (järjekorras) ja (f_i) on selle rolli jaoks määratud uus funktsioonisümbol.
Kui viidatakse maatriksi eksemplarile (A ^ H), peame silmas valemit, mis saadakse, asendades laiendatud keeles termineid maatriksiga A (H ^). Nüüd võime öelda, et Hilbert ja Bernays on sõnastanud
Herbrandi teoreem. (1) Prenexi valem (A) on tuletatav predikaatkalkulatsioonis ainult siis, kui leidub kvaasist tautoloogiaga maatriksi (A ^ H) näidete lahusus.
(2) Eelne valem (A) on tuletatav predikaatkalkulatsioonis ainult siis, kui leidub (A) maatriksi eksemplaride disjunktsioon (bigvee_j B_j), nii et (bigvee_j B_j) on kvaasi-tautoloogia ja (A) on tuletatav (bigvee_j B_j) järgmiste reeglite abil:
(C_1 \ vee \ ldots \ vee C_i (t) vee \ ldots \ vee C_m)
järelduse (C_1 \ vee \ ldots \ vee \ eksisteerimise x C_i (x) vee \ ldots \ vee C_m) ja
(C_1 \ vee \ ldots \ vee C_i (x) vee \ ldots \ vee C_m)
järelduse (C_1 \ vee \ ldots \ vee \ forall xC_i (x) vee \ ldots \ vee C_m) (kui (x) mitte (C_j) jaoks (j \ ne i)),
kui ka (vee) idempotentsus (rakendusest (C \ vee C \ vee D) järeldus (C \ vee D)).
Herbrandi teoreemi saab ka lõigatud elimineerimise teel Gentzeni “keskastmejärgse teoreemi” kaudu. Teise epsiloni teoreemi kasutades tehtud tõendusmaterjalil on aga vahet, et see on Herbrandi teoreemi esimene täielik ja õige tõestus. Veelgi enam, ja seda tunnustatakse harva, kuigi lõikamisel elimineerimisel põhinev tõend seob Herbrandi disjunktsiooni pikkuse ainult funktsioonina tõendis lõigatud valemite jaotuse järgu ja keerukuse funktsioonist, tõendist saadud pikkusest epsiloni arvutusel põhinev seos on seotud funktsioonina transfinite aksioomi rakenduste arvust ja nendes esinevate epsiloni terminite astmest ja astmest. Teisisõnu, Herbrandi disjunktsiooni pikkus sõltub ainult osalevate asenduste kvantitatiivsest keerukusest ja nt.üldse mitte pakkumisstruktuuri ega tõendi pikkuse osas.
Selle punkti alguses mainitud Herbrandi teoreemi versioon on sisuliselt (2) erijuhtum, kus valem (A) on eksistentsiaalne. Selle erijuhtumi valguses on (1) samaväärne väitega, et valem (A) on tuletatav esimese astme predikaatloogikas ainult siis, kui (A ^ H) on. Selle samaväärsuse edasisuunda on palju lihtsam tõestada; tegelikult on iga valemi (A, A \ parempoolne nool A ^ H) tuletatav predikaatloogikas. Vastupidise suuna tõendamine hõlmab täiendavate funktsioonisümbolite eemaldamist (A ^ H) ja see on palju raskem, eriti võrdsuse korral. Just siin mängib keskset rolli epsiloni meetodid.
Eelneva valemi korral määratletakse Skolemi normaalvorm (A ^ S) kahesuunaliselt väärtuseks (A ^ H), st asendades eksistentsiaalselt kvantifitseeritud muutujad funktsioonide tunnistamisega. Kui (Gamma) on eelsõnade komplekt, tähistagem (Gamma ^ S) nende Skolemi normaalvormide komplekti. Arvestades deduktsiooniteoreemi ja Herbrandi teoreemi, pole keeruline näidata, et järgmised on paaris ekvivalentsed:) alusta {joonda} gamma & \ tekst {tõendab} A \\ \ gamma & \ tekst {tõendab} A ^ H \\ \ gamma ^ S & \ tekst {tõestab} A \\ \ gamma ^ S & \ tekst {tõestab} A ^ H \ lõpp {joonda})
Herbrandi teoreemi ja sellega seotud meetodite silmatorkav rakendamine on leitud Luckhardti (1989) Rothi teoreemi analüüsist. Herbrandi meetodite kasulike laienduste arutamiseks vt Sieg 1991. Selle mudelateoreetilist versiooni on käsitletud Avigad 2002a.
5. Epsiloni asendamise meetod ja aritmeetika
Nagu eespool märgitud, oli ajalooliselt esmane huvi epsilon-kivi vastu järjepidevustõendite saamiseks. Hilberti loengutes aastatel 1917–1918 märgitakse juba, et propositsioonilise loogika järjepidevust saab hõlpsalt tõestada, kui võtta pakkemuutujad ja valemid tõe väärtuste 0 ja 1 vahel ning tõlgendada loogilisi ühendusi vastavate aritmeetiliste operatsioonidena. Samamoodi saab tõestada predikaatloogika (või puhta epsiloni arvutuse) järjepidevust, spetsialiseerudes tõlgendustele, kus diskursuse universumil on üks element. Need kaalutlused viitavad järjepidevuse tõestamiseks järgmisele üldisemale programmile:
Laiendage epsiloni arvutust nii, et see kajastaks matemaatika suuremaid osi.
Näita finitaalseid meetodeid kasutades, et laiendatud süsteemi igal tõendil on ühtlane tõlgendus.
Näiteks kaaluge aritmeetika keelt koos sümbolitega (0), (1), (+), (times), (lt). Põhisümbolite määratlevate kvantifikaatorivabade aksioomide kõrval saab täpsustada, et epsiloni terminid (varepsilon x A (x)) valivad väikseima väärtuse, mis rahuldab (A), kui see on olemas, järgmise aksioomiga::) silt {*} A (x) parempoolne nool A (varepsilon x A (x)) kiil \ varepsilon x A (x) le x) Tulemuseks on piisavalt tugev süsteem, et seda kõigepealt tõlgendada -tellimuse (Peano) aritmeetika. Teise võimalusena võib järgmise aksioomi rahuldamiseks kasutada epsiloni sümbolit: [A (y) paremnool A (varepsilon x A (x)) kiil \ varepsilon x A (x) ne y + 1.]
Teisisõnu, kui leidub mõni tunnistaja (y), kes rahuldaks (A (y)), siis epsiloni termin tagastab väärtuse, mille eelkäijal pole sama atribuuti. On selge, et (*) kirjeldatud epsilon-termin rahuldab alternatiivset aksioomi; vastupidi, saab kontrollida, kas antud (A) väärtust saab (varepsilon x A tõlgendada väärtusega (varepsilon x (eksisteerib z \ le x A (x)))), mis vastab alternatiivsele aksioomile (x)) (*). Epsiloni termini tähenduse saab veel kindlaks määrata aksioomiga) varepsilon x A (x) ne 0 \ parempoolne nool A (varepsilon x A (x))), mis nõuab, et kui pole tunnistajaid, siis (A), epsilon termin return 0. Allpool toodud arutluse jaoks on aga kõige mugavam keskenduda ainult (*).
Oletame, et tahame näidata, et ülaltoodud süsteem on järjekindel; teisisõnu tahame näidata, et valemi (0 = 1) kohta pole tõestust. Lükates kõik aksioomide asendused ja asendades vabad muutujad konstandiga 0, piisab, kui näidata, et aksioomide suletud eksemplaride lõplikust komplektist ei ole ühtegi pakkumisjoont (0 = 1). Selleks piisab, kui näidata, et aksioomide suletud eksemplaride piiratud hulga korral saab terminitele anda arvulisi väärtusi selliselt, et tõlgendamisel vastavad kõik aksioomid tõele. Kuna aritmeetilisi operatsioone (+) ja (times) saab tõlgendada tavapärasel viisil, seisneb ainus raskus epsiloni terminitele sobivate väärtuste leidmisel.
Hilberti epsiloni asendamise meetodit saab laias laastus kirjeldada järgmiselt:
Arvestades piiratud aksioomide komplekti, tõlgendage kõigepealt kõiki epsiloni termineid 0-ga.
Leidke ülaltoodud aksioomi (*) näide, mis on tõlgenduse kohaselt vale. See võib juhtuda ainult siis, kui mõistel t on selline, et (A (t)) on tõlgenduses tõene, kuid kas (A (varepsilon x A (x))) on vale või (t) on väiksem kui (varepsilon x A (x)) väärtus.
Ülesanne „parandage”, määrates väärtusele (varepsilon x A (x)) väärtuse (t) ja korrake toimingut.
Finantsstabiilsuse tõend saadakse pärast seda, kui on lõplikult vastuvõetaval viisil näidatud, et see järjestikuste “remonditööde” protsess lõpeb. Kui see on nii, siis on kõik kriitilised valemid epsilon-tingimusteta tõesed valemid.
Selle põhiidee (“Hilbertsche Ansatz”) esitas Hilbert kõigepealt oma 1922. aasta jutus (1923) ja töötas välja loengutes aastatel 1922–23. Seal toodud näited käsitlevad aga ainult tõestusi, milles kõik piiritletud aksioomi esinemised vastavad ühele epsiloni terminile (varepsilon x A (x)). Väljakutse oli laiendada lähenemisviisi enam kui ühele epsiloni terminile, pesastatud epsiloni terminitele ja lõpuks ka teise järgu epsilonidele (et saada järjekindluse tõend mitte ainult aritmeetika, vaid ka analüüsi kohta).
Pesastatud epsiloni terminitega toimetuleku raskusi saab kirjeldada järgmiselt. Oletame, et üks tõestuse aksioomidest on transfinite aksioom [B (y) parempoolne nool B (varepsilon y B (y))) (varepsilon y B (y)) võib muidugi esineda muud tõestuse valemid, eriti teistes transfinite aksioomides, nt [A (x, \ varepsilon y B (y)) paremnool A (varepsilon x A (x, \ varepsilon y B (y)), \ varepsilon y B (y))) Nii et esmalt on vaja leida (varepsilon y B (y)) õige tõlgendus, enne kui proovime leida seda üksusele (varepsilon x A (x, \ varepsilon y B (y))). Siiski on keerulisemaid mustreid, milles epsilon-terminid võivad tõestuses esineda. Aksioomi näide, mis mängib rolli (varepsilon y B (y)) õige tõlgendamise määramisel, võib olla [B (varepsilon x A (x,\ varepsilon y B (y))) parempoolne nool B (varepsilon y B (y))) Kui (B) (0) on vale, siis protseduuri esimeses voorus (varepsilon y B (y)) tõlgendatakse arvuga 0. Järgnev (varepsilon x A (x, 0)) tõlgenduse muutmine 0-st näiteks (n) -le annab tulemuseks selle eksemplari tõlgenduse. kui (B (n) parempoolne nool B) (0), mis on vale, kui (B (n)) on tõene. Nii et (varepsilon y B (y)) tõlgendamine tuleb korrigeerida väärtuseks (n), mis võib omakorda tulemuseks olla (varepsilon x A (x, \ varepsilon y) tõlgendamine B (y))), et see ei oleks enam tõeline valem.tulemuseks on selle eksemplari tõlgendus kui (B (n) parempoolne nool B) (0), mis on vale, kui (B (n)) on tõene. Nii et (varepsilon y B (y)) tõlgendamine tuleb korrigeerida väärtuseks (n), mis võib omakorda tulemuseks olla (varepsilon x A (x, \ varepsilon y) tõlgendamine B (y))), et see ei oleks enam tõeline valem.tulemuseks on selle eksemplari tõlgendus kui (B (n) parempoolne nool B) (0), mis on vale, kui (B (n)) on tõene. Nii et (varepsilon y B (y)) tõlgendamine tuleb korrigeerida väärtuseks (n), mis võib omakorda tulemuseks olla (varepsilon x A (x, \ varepsilon y) tõlgendamine B (y))), et see ei oleks enam tõeline valem.
See on vaid visand raskustest, mis on seotud Hilberti idee laiendamisega üldisesse juhtumisse. Ackermann (1924) esitas sellise üldistuse, kasutades protseduuri, mis „tagantjärele” pöördub alati, kui uus tõlgendus antud etapis tingib vajaduse parandada eelmises etapis juba leitud tõlgendust.
Ackermanni protseduuri rakendati teise järgu aritmeetika süsteemile, milles teise astme termineid piirati siiski nii, et välistada teise järgu epsiloonide ristsidumine. Ligikaudu piirab see aritmeetilise arusaamise piiramist kui olemasolevat komplekti moodustamise põhimõtet (vt arutelu selle jaotise lõpus). Edasised raskused teise järgu epsiloniterminitega kerkisid esile ja kiiresti selgus, et tõend praegusel kujul oli ekslik. Keegi Hilberti koolis ei mõistnud raskuste ulatust aga kuni aastani 1930, kui Gödel teatas oma puudulikkuse tulemustest. Kuni selle ajani usuti, et tõendusmaterjal (vähemalt mõne Ackermanni tehtud muudatusega,millest mõned hõlmasid ideid von Neumanni (1927) epsiloni asendusmeetodi versioonist) läheksid vähemalt esimese astme osas läbi. Hilbert ja Bernays (1939) väidavad, et kasutatud meetodid pakuvad järjekindluse tõestamist ainult avatud induktsiooniga esimese järgu aritmeetika jaoks. 1936. aastal õnnestus Gerhard Gentzenil tõestada esimese astme aritmeetika järjepidevust predikaatloogikal põhinevas formulatsioonis ilma epsiloni sümbolita. See tõend kasutab piirmääratud induktsiooni kuni (varepsilon_0). Ackermann (1940) suutis hiljem Gentzeni ideid kohandada, et anda epsiloni-asendusmeetodi abil esimese astme aritmeetika korrektne järjepidevuse tõend. Gerhard Gentzenil õnnestus tõendada esimese astme aritmeetika järjepidevust predikaatloogikal põhinevas formulatsioonis ilma epsiloni sümbolita. See tõend kasutab piirmääratud induktsiooni kuni (varepsilon_0). Ackermann (1940) suutis hiljem Gentzeni ideid kohandada, et anda epsiloni-asendusmeetodi abil esimese astme aritmeetika korrektne järjepidevuse tõend. Gerhard Gentzenil õnnestus tõendada esimese astme aritmeetika järjepidevust predikaatloogikal põhinevas formulatsioonis ilma epsiloni sümbolita. See tõend kasutab piirmääratud induktsiooni kuni (varepsilon_0). Ackermann (1940) suutis hiljem Gentzeni ideid kohandada, et anda epsiloni-asendusmeetodi abil esimese astme aritmeetika korrektne järjepidevuse tõend.
Isegi kui Ackermanni katsed teise astme aritmeetika järjepidevuse tõestamiseks ebaõnnestusid, andsid nad selgema arusaama teise järgu epsiloni terminite kasutamisest matemaatika vormistamisel. Ackermann kasutas teise järgu epsiloni termineid (varepsilon f \ A (f)), kus (f) on funktsioonimuutuja. Analoogselt esimese järgu juhtumiga on (varepsilon f \ A (f)) funktsioon, mille korral (A (f)) on tõene, nt (varepsilon f (x + f (x)) = 2x)) on identiteedifunktsioon (f (x) = x). Analoogiliselt esimese järgu juhtumiga saab teise astme kvantifikaatorite tõlgendamiseks kasutada ka teise järgu epsiloneid. Eelkõige võib iga teise järgu valemi (A (x)) jaoks leida termin (t (x)) nii, et [A (x) vasakpoolne t (x) = 1) on tuletatav arvutamisel (valem (A) võib sisaldada ka muid vabu muutujaid,sel juhul esinevad need ka terminis (t)). Seejärel saab seda fakti kasutada arusaamise põhimõtete tõlgendamiseks. Funktsioonisümbolitega keeles on need suvalise valemi (A (x)) korral kujul) eksisteerib f \ forall x (A (x) leftrightarrow f (x) = 1))). Mõistmist väljendatakse sagedamini muutujate kujul, sel juhul on see järgmine:) eksisteerib Y \ Forall x (A (x) vasakpoolne x \ Y),) kinnitades, et iga teise järgu valem koos parameetritega, määratleb komplekti.sel juhul on see vorm) eksisteerib Y \ forall x (A (x) vasakpoolne x \ Y-vormingus),) kinnitades, et iga teine järjekorra valem koos parameetritega määratleb komplekti.sel juhul on see vorm) eksisteerib Y \ forall x (A (x) vasakpoolne x \ Y-vormingus),) kinnitades, et iga teine järjekorra valem koos parameetritega määratleb komplekti.
Analüüs ehk teise järgu aritmeetika on esimese järgu aritmeetika laiendamine suvalise teise järgu valemite mõistmisskeemiga. Teooria on ebatäpne, kuna see võimaldab määratleda naturaalarvude komplekte, kasutades kvantifikaatoreid, mis ulatuvad kogu komplektide universumis, kaasa arvatud kaudselt määratletav komplekt. Sellest teooriast saab predikatiivseid fragmente, piirates arusaamise aksioomis lubatud valemi tüüpi. Näiteks vastab eespool Ackermanni osas käsitletud piirang aritmeetilisele arusaamise skeemile, milles valemid ei hõlma teise astme kvantiive. Tugevamate analüüsifragmentide saamiseks on mitmeid viise, mis on siiski etteaimatavalt õigustatud. Näiteks saadakse rafineeritud analüüs, seostades muutujate seadmiseks tavalise järgu;laias laastus ulatuvad kvantifitseerijad antud järgu komplekti määratlemisel ainult madalama järgu komplektidesse, st nende hulka, mille definitsioonid on loogiliselt eelnevad.
Lisalugemist. Hilberti ja Ackermanni varajastest tõenditest räägitakse Zachis 2003; 2004. Von Neumanni tõestus on Bellotti 2016. aasta teema. Ackermanni 1940. aasta tõestust käsitletakse Hilbert & Bernays 1970 ja Wang 1963. Kaasaegse ettekande annab Moser 2006. Epsiloni asendamise varane rakendamine on mittemidagiütlev näide (Kreisel). 1951).
6. Uuemad arengud
Selles osas käsitleme epsilon-asendusmeetodi väljatöötamist tugevate süsteemide järjepidevuse tulemuste saamiseks; need tulemused on matemaatilise iseloomuga. Kahjuks ei saa siinkohal arutada tõendite üksikasju, kuid tahaksime öelda, et epsiloni asendamise meetod ei surnud Hilberti programmiga ning et märkimisväärne osa praegustest uuringutest toimub epsilon-formalismides.
Gentzeni aritmeetika järjepidevuse tõestamine käivitas ordinaalanalüüsina tuntud uurimissuuna ning matemaatiliste teooriate tugevuse mõõtmise programmi ordinaalsete märkide abil jätkatakse tänapäevalgi. See on eriti oluline laiendatud Hilberti programmi puhul, mille eesmärk on õigustada klassikalist matemaatikat konstruktiivsete või kvaasikonstruktiivsete süsteemide suhtes. Gentzeni lõigatud elimineerimise meetodid (ja Paul Lorentzeni, Petr Novikovi ja Kurt Schütte poolt välja töötatud infinitaarse loogika laiendused) on suures osas epsiloni asendamise meetodid nende tegevuste jaoks välja jätnud. Kuid epsiloni arvutusmeetodid pakuvad alternatiivset lähenemisviisi ning endiselt on aktiivne uurimine, kuidas laiendada Hilbert-Ackermanni meetodeid tugevamatele teooriatele. Üldine muster jääb samaks:
Manustage uuritav teooria sobivasse epsiloni arvutusse.
Kirjeldage epsiloni terminite ülesannete värskendamise protsessi.
Näita, et protseduur normaliseerub, st mis tahes tingimuste komplekti korral on värskenduste jada, mille tulemuseks on aksioomidele vastav ülesanne.
Kuna viimane samm tagab algteooria järjepidevuse, on põhiprintsiibist huvitatud normaliseerimise tõestamise meetoditest. Näiteks saab korrapärase analüüsi, määrates protseduuri etappidele tavalised märkused, nii et märke väärtus väheneb iga sammuga.
1960. aastatel laiendas Tait (1960, 1965, 2010) Ackermanni meetodeid, et saada aritmeetika pikenduste ordinaalanalüüs piirmääratud induktsiooni põhimõtetega. Selle lähenemisviisi sujuvamad ja kaasaegsemad versioonid leiate raamatutest Mints 2001 ja Avigad 2002b. Hiljuti on Mints, Tupailo ja Buchholz pidanud tugevamaks, kuid siiski ennustatult õigustatavaks analüüsifragmentideks, sealhulgas aritmeetilise mõistmise teooriaid ja (Delta ^ {1} _1) - mõistmisreeglit (Mints, Tupailo ja Buchholz 1996; Mints & Tupailo 1999; vt ka Mints 2016). Arai 2002 on laiendanud epsiloni asendamise meetodit teooriateni, mis võimaldavad korrata aritmeetilist mõistmist primitiivsete rekursiivsete kaevude järjekordade abil. Eriti,tema töö annab korrapärased analüüsid predikatiivsete analüüsi fragmentide jaoks, mis hõlmavad transfinite hierarhiaid ja transfinite induktsiooni.
Epsiloni asendusmeetodi kasutamisel ebamääraste teooriate analüüsimisel on tehtud mõned esimesed sammud (vt Arai 2003, 2006 ja Mints 2015).
Ülaltoodud 3. etapi variatsioon hõlmab näitamist, et normaliseerimisprotseduur ei ole uuenduste valiku suhtes tundlik, see tähendab, et värskenduste mis tahes jada lõpeb. Seda nimetatakse tugevaks normaliseerumiseks. Mints 1996 on näidanud, et paljudel kaalutud protseduuridel on see tugevam omadus.
Lisaks traditsioonilisele, tõenditeooria alusele tuginevale harule pakub tänapäeval suurt huvi struktuurne tõestusteooria - teema haru, mis keskendub loogilistele deduktiivsetele kalkulatsioonidele ja nende omadustele. See uurimistöö on tihedalt seotud infotehnoloogiaga seotud probleemidega, mis on seotud automatiseeritud mahaarvamise, funktsionaalse programmeerimise ja arvutipõhise kontrollimisega. Ka siin kipuvad domineerima Gentzeni stiilis meetodid (vaata veelkord tõestusteooria sissekannet). Kuid epsilon-arvutus võib anda ka väärtuslikku teavet; vrd näiteks Aguilera & Baaz 2019, või Herbrandi teoreemi ülaltoodud arutelu.
Lisaks epsilon calculus'e uurimisele tõestusteoorias tuleks mainida kahte rakendust. Üks on epsiloni märke kasutamine Bourbaki ansamblites Theorie des (1958). Teine, võib-olla suurem praegune huvi on epsilon-operaatori kasutamine teoreemide tõestamise süsteemides HOL ja Isabelle, kus epsilon-terminite väljendusjõud annab olulisi praktilisi eeliseid.
7. Epsiloni keeleteaduse, filosoofia ja mitteklassikalise loogika operaatorid
Epsiloni operaatori lugemine määramatu valikuga operaatoriks („(x) selline, et (A (x))”) viitab sellele, et see võib olla kasulik tööriist formaalse semantika määramatute ja kindlate nimisõnafraaside analüüsimisel. Epsiloni märget on tegelikult nii kasutatud ja see rakendus on osutunud kasulikuks eriti anafooriliste viidete käsitlemisel.
Vaatleme tuttavat näidet
Iga talupoeg, kellel on eesel, peksab seda
Selle lause üldtunnustatud analüüsi annab universaalne lause
Puuduseks on see, et “eesel” soovitab eksistentsiaalset kvantifikaatorit ja seega peaks analüüs mingil viisil paralleelselt vormistama lause 3 analüüsi, mis on antud 4 abil:
Kõik talupidajad, kellel on eesel, on õnnelikud,
(forall x (mathrm {Farmer} (x) kiil \ eksisteerib y (mathrm {eesel} (y) kiil \ matemaatika {omandid} (x, y)) rightarrow \ mathrm {Happy} (x)))),
kuid võimalikult tihe vormistamine,
(forall x ((mathrm {Farmer} (x) kiil \ eksisteerib y (mathrm {eesel} (y) kiil \ mathrm {omandid} (x, y)) rightarrow \ mathrm {Beats} (x, y)))
sisaldab (y) vaba esinemist. Evans 1980 soovitab, et kuna asesõnad viitavad väljenditele, tuleks neid analüüsida kindlate kirjeldustena; ja kui asesõna esineb tingliku tagajärjel, määrab kirjeldavad tingimused eelkäija. Selle tulemuseks on järgmine punkti (1) E-tüüpi analüüs:) alustada {multline *} forall x ((mathrm {Farmer} (x) kiil \ eksisteerib y (mathrm {Donkey} (y)) kiil \ mathrm {Omanikud} (x, y)) parempoolne nool \(mathrm {Beats} (x, \ iota y (mathrm {eesel} (y) kiil \ mathrm {omandid} (x, y))) end {multline *}) Siin on (iota x) kindel kirjelduse operaator, seega (iota y (mathrm {eesel} (y) kiil \ mathrm {omandid} (x, y))) on (x) omanduses olev eesel; "Selle probleem on selles, et standardanalüüsis on kindel kirjeldus ainulaadsuse tingimus,ja nii (5) on vale, kui on põllumees, kellele kuulub mitu eeslit. Väljapääs sellest on uue operaatori kasutuselevõtmine (kes iganes), mis toimib üldistava kvantifikaatorina (Neale, 1990):) alustada {multline *} forall x ((mathrm {Farmer} (x)) kiil \ eksisteerib y (mathrm {eesel} (y) kiil \ mathrm {omab} (x, y)) parempoolne nool \(mathrm {Beats} (x, \ mathrm {whe}, y (mathrm {eesel} (y) kiil \ mathrm {omab} (x, y))) end {multline *})
Nagu von Heusinger (1994) osutas, viitab see sellele, et Neale on pühendunud asesõnade eristamisele kindlate kirjelduste ((iota) - väljendid) ja WH-väljendite vahel. Heusinger soovitab selle asemel kasutada epsiloni operaatoreid, mida indekseeritakse valikfunktsioonide järgi (mis sõltuvad kontekstist). Selle lähenemisviisi kohaselt on punkti 1 analüüs:
Iga valikufunktsiooni (i) jaoks:) alusta {multline *} forall x ((mathrm {Farmer} (x) kiil \ mathrm {Omanikud} (x, \ varepsilon_i y \ mathrm {Donkey} () y)) parempoolne nool \\\ mathrm {Beats} (x, \ varepsilon_ {a ^ *} y \ mathrm {eesel} (y)) end {multline *})
Siin (a ^ *) on valikfunktsioon, mis sõltub (i) ja tingimuslikest eelnevatest: Kui (i) on valikfunktsioon, mis valib (varepsilon_i y \ mathrm {Donkey} (y)) kõigi eeslite hulgast valib (varepsilon_ {a ^ *} y \ mathrm {Donkey} (y)) eeslite hulgast, mille omanik on (x).
See lähenemisviis asesõnade käsitlemiseks, kasutades epsiloni operaatoreid, mida indekseeritakse valikfunktsioonide abil, võimaldab von Heusingeril toime tulla väga erinevate asjaoludega (vt Egli ja von Heusinger, 1995; von Heusinger, 2000).
Epsilon-operaatori rakendused formaalses semantikas ja valikufunktsioonid üldiselt on viimastel aastatel pälvinud märkimisväärset huvi. Von Heusinger ja Egli (2000a) loetlevad muu hulgas järgmised: küsimuste kujutised (Reinhart, 1992), konkreetsed määramata tähised (Reinhart 1992; 1997; talv 1997), E-tüüpi asesõnad (Hintikka ja Kulas 1985; Slater 1986; Chierchia 1992, Egli ja von Heusinger 1995) ja kindlad nimisõnafraasid (von Heusinger 1997, 2004).
Epsilonioperaatori probleemide ja rakenduste arutamiseks keeleteadustes ja keelefilosoofias leiate BH Slateri artiklist epsilon calculi kohta (viidatud allpool jaotises Muud Interneti-ressursid) ning von Heusingeri ja Egli 2000 ning von Heusingeri ja Kempsoni kogumikest 2004..
Teine epsilon calculus rakendus on üldise loogikana suvaliste objektide põhjendamiseks. Meyer Viol (1995a) pakub epsilon-calculi võrdlust Fine'i (1985) suvaliste objektide teooriaga. Tõepoolest, ühendust pole raske näha. Arvestades ekvivalentsust (forall x A (x) equiv) A ((varepsilon x (neg A))), on termin (varepsilon x (neg A)) suvaline objekt selles mõttes, et see on objekt, millel (A) on tõsi, kui (A) on tõsi üldiselt.
Meyer Viol (1995a, 1995b) sisaldab täiendavaid tõendusmaterjali ja mudeli teoreetilisi uuringuid epsilon-kivi kohta; konkreetselt intuitionistlikud epsiloni arvutused. Siin epsiloni teoreemid enam ei kehti, st epsiloni terminite sissetoomine tekitab intuitiivse loogika mittekonservatiivseid laiendusi. Muid epsiloni operaatorite uurimisi intuitsioonilises loogikas võib leida Shirai (1971), Bell (1993a, 1993b) ja DeVidi (1995). Paljuväärtusliku loogikaga epsiloni operaatorite kohta vaata Mostowski (1963), modaalse epsiloni arvutuse kohta Fitting (1975).
Lisalugemist. Järgnevas loendis on mõned keele ja keeleteaduse valdkonna väljaanded, mis on olulised epsilon calculus'e ja selle rakenduste jaoks. Lugeja on edasiste arutelude ja viidete jaoks suunatud eelkõige kogudele von Heusinger & Egli (toim) 2000 ja von Heusinger & Kempson (toim) 2004: Bell 1993a, 1993b; Chierchia 1992; DeVidi 1995; Egli & von Heusinger 1995; Trahvi 1985; Paigaldamine 1975; von Heusinger 1994, 1997, 2000, 2004; von Heusinger & Egli (toim) 2000; von Heusinger & Kempson (toim) 2004; Hintikka & Kulas 1985; Kempson, Meyer Viol ja Gabbay 2001; Meyer Viol 1995a, 1995b, Neale 1990; Mostowski 1963; Reinhart 1992, 1997; Slater 1986, 1988, 1994, 2000; ja talv 1997.
Bibliograafia
Aguilera, JP, Baaz, M., 2019, „Alusetud järeldused muudavad tõendid lühemaks”. Journal of Symbolic Logic 84: 102–122.
Ackermann, W. 1924, 'Begründung des' 'tertium non datur' 'mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit', Mathematische Annalen, 93: 1–36.
–––, 1937–38, „Mengentheoretische Begründung der Logik”, Mathematische Annalen, 115: 1–22.
–––, 1940, “Zur Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie”, Mathematische Annalen, 117: 162–194.
–––, 2003, 'Epsiloni asendusmeetod ID (_ 1 (Pi ^ {0} _1 \ vee \ Sigma ^ {0} _1)) jaoks, Annals of Pure and Applied Logic, 121: 163–208.
–––, 2006, 'Epsiloni asendusmeetod (Pi ^ {0} _2) jaoks - FIX. Journal of Symbolic Logic 71: 1155–1188
Avigad, J., 2002a, “Universaalsete teooriate küllastunud mudelid”, Annals of Pure and Applied Logic, 118: 219–234.
–––, 2002b, „Uuendusprotseduurid ja aritmeetika 1-konsistents”, Matemaatiline loogika kvartal, 48: 3–13.
Baaz, M., Leitsch, A., Lolic, A., 2018, 'Laiendatud esimese epsiloni teoreemi järjendil põhinev formulatsioon', artiklites: Artemov, S., Nerode, A. (toim.), Logical Foundations Arvutiteadus, Berliin: Springer, 55–71.
Bell, JL, 1993a. „Hilberti epsilonoperaator ja klassikaline loogika”, Journal of Philosophical Logic, 22: 1–18.
Chierchia, G., 1992. 'Anaphora ja dünaamiline loogika'. Keeleteadus ja filosoofia, 15: 111–183.
Davis, M. ja R. Fechter, 1991, 'Esimese astme predikaatkalkulatsiooni tasuta muutuvversioon', Journal of Logic and Computation, 1: 431–451.
DeVidi, D., 1995. 'Intuitionistlik (varepsilon) - ja (tau) - kalkulaator ", Matemaatiline loogika, kvartaalne 41: 523–546.
Egli, U., von Heusinger, K., 1995, 'Epsiloni operaator ja E-tüüpi asesõnad', U. Egli jt. (toim), Leksikaalsed teadmised keelekorralduses, Amsterdam: Benjamins, 121–141 (lingvistilise teooria praegused probleemid 114).
Evans, G., 1980, 'Pronouns', Linguistic Enquiry, 11: 337–362.
Ewald, WB (toim), 1996, Kantist Hilbertini. Lähteraamat matemaatika alustest, kd. 2, Oxford: Oxford University Press.
Ferrari, PL, 1987, "Märkused Hilberti teise (varepsilon) - teoreemi tõendi kohta", Journal of Symbolic Logic, 52: 214–215.
Fine, K., 1985. Mõistmine meelevaldsete objektidega, Oxford: Blackwell.
Fitting, M., 1975. „Modaalne loogika epsilon-calculus”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 16: 1–16.
Flannagan, TB, 1975, "Hilberti teise (varepsilon) - teoreemi laiendil", Journal of Symbolic Logic, 40: 393–397.
Herbrand, J., 1930, Pariisi ülikooli dissertatsiooni Recherches sur la thèorie de la dèmonstration. Ingliskeelne tõlge Herbrandis 1971, lk 44–202.
–––, 1971, Logical Writings, W. Goldfarb (toim), Cambridge, Mass: Harvard University Press.
Hilbert, D., 1922, 'Neubegründung der Mathematik: Erste Mitteilung', Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 1: 157–177, ingliskeelne tõlge Mancosus, 1998, 198–214 ja Ewald, 1996, 1115–1134.
Mints, G., 1994, 'Gentzen-tüüpi süsteemid ja Hilberti epsiloni asendusmeetod. I ', loogika, metoodika ja teadusfilosoofia, IX (Uppsala, 1991), Amsterdam: Põhja-Holland, 91-122.
–––, 1996, „Epsiloni asendamise meetodi tugev lõpetamine”, Journal of Symbolic Logic, 61: 1193–1205.
–––, 2001, “Epsiloni asendamise meetod ja järjepidevus”, W. Sieg et al. (toim), mõtisklused matemaatika alustest: esseed Solomon Fefermani auks, loengu märkused loogikas 15, sümboolse loogika ühing.
–––, 2008, „Lõikav elimineerimine epsilon calculus'e lihtsa koostise jaoks“, Annals of Pure and Applied Logic, 152 (1–3): 148–160.
–––, 2013. „Esimese ja teise järgu predikaatloogika asendamine Epsiloniga“, Annals of Pure and Applied Logic, 164: 733–739.
–––, 2015. „PA ja ID (_ 1) mittedeterministlik epsiloni asendusmeetod”, autorid: Kahle, R., Rathjen, M. (toim.), Gentzeni sajandik: järjepidevuse otsing. Berlin: Springer, lk 479–500.
Mints, G., Tupailo, S., 1999, A. Cantini jt, "Ühendatud keele Epsiloni asendamise meetod ja (Delta ^ {1} _1) - arusaamise reegel". (toim.), matemaatika loogika ja alused (Firenze, 1995), Dordrecht: Kluwer, 107–130.
Mints, G., Tupailo, S., Buchholz, W., 1996, 'Epsiloni asendusmeetod elementaarseks analüüsiks', Archive for Mathematical Logic, 35: 103–130.
Moser, G., 2006, 'Ackermanni asendusmeetod (uuesti segatud)', Annals of Pure and Applied Logic, 142 (1–3): 1–18.
Moser, G. ja R. Zach, 2006, “Epsilon calculus ja Herbrandi keerukus”, Studia Logica, 82 (1): 133–155.
Mostowski, A., 1963. „Hilberti epsilon funktsioneerib palju väärtustatud loogikas”, Acta Philosophica Fennica, 16: 169–188.
Neale, S., 1990, kirjeldused, Cambridge, MA: MIT Press.
Reinhart, T., 1992. “In-situ: näiline paradoks”. Osades: P. Dekker ja M. Stokhof (toim). Amsterdami kaheksanda kollokviumi toimikud, 17. – 20. Detsember 1991. ILLC. Amsterdami ülikool, 483–491.
–––, 1997. 'Kvantifikaatori ulatus: kuidas tööjõud jaguneb QR- ja valikufunktsioonide vahel'. Keeleteadus ja filosoofia, 20: 335–397.
Shirai, K., 1971, 'Intuitionistlik predikaatkivi sümboliga (varepsilon) - Jaapani teadusfilosoofia ühingu Annals 4: 49–67.
Sieg, W., 1991, 'Herbrandi analüüsid', Archive for Mathematical Logic, 30: 409–441.
Slater, BH, 1986, 'E-tüüpi asesõnad ja (varepsilon) - mõisted', Canadian Journal of Philosophy, 16: 27–38.
–––, 2010. „Asendusmeetod vaadati läbi.” osades: S. Feferman ja W. Sieg (toim.), Tõendid, kategooriad ja arvutused: Esseed Grigori Mintsi auks, London: College Publications, lk 131–14.
von Heusinger, K., 1994, Neale ülevaade (1990). Keeleteadus 32: 378–385.
–––, 1997. “Kindlad kirjeldused ja valikufunktsioonid”. Osades: S. Akama (toim). Loogika, keel ja arvutus, Dordrecht: Kluwer, 61–91.
––– 2000, von Heusinger ja Egli, “Indefinites” (2000), 265–284.
–––, 2004, „Kindlate NP-de valikufunktsioonid ja anaforiline semantika”, Keele ja arvutuse uurimine, 2: 309–329.
von Heusinger, K., Egli, U., (toim), 2000. Viide ja anafoorilised suhted, Dordrecht: Kluwer.
–––, 2000a. „Sissejuhatus: Anaphora viited ja semantika”, von Heusinger ja Egli (2000), lk 1–13.
von Heusinger, K., Kempson, R., (toim.), 2004. Semantika valikfunktsioonid, keele ja arvutuse uurimise eriväljaanne 2 (3).
