Esmakordselt avaldatud teisipäeval, 28. augustil 2001; sisuline redaktsioon teisipäev, 13. detsember 2018
Kõik me tegeleme ja kasutame paikapidavat mõttekäiku, kuid tegelikult toimuvad mõttekäigud erinevad mitmeti enamiku (formaalsete) loogikute uuritud järeldustest. Inimeste arutluskäik hõlmab tavaliselt teavet, mis on saadud rohkem kui ühe meediumi kaudu. Formaalne loogika seevastu on siiani olnud peamiselt seotud kehtivate mõttekäikudega, mis põhinevad teabel ainult ühel kujul, st lausetena. Viimasel ajal on paljud filosoofid, psühholoogid, logistikud, matemaatikud ja arvutiteadlased hakanud üha enam teadvustama mitmeliigilise arutluse olulisust ja pealegi on mittesümboolsete, eriti skemaatiliste esindussüsteemide valdkonnas tehtud palju uuringuid. [1] See sissejuhatus kirjeldab selle uue uurimisvaldkonna üldisi suundi ja keskendub tõendite diagrammide loogilisele staatusele, nende esitusfunktsioonile ja adekvaatsusele, erinevat tüüpi skemaatilistele süsteemidele ja skeemide rollile inimese tunnetuses.
1. Sissejuhatus
2. Skeemid kui esindussüsteemid
2.1 Euleri skeemid
2.2 Venni diagrammid
2.3 Peirce'i laiendus
2.4 Diagrammid kui formaalsed süsteemid
2.5 Euleri ringid vaadati uuesti üle
3. Diagrammide ruumiliste omaduste tagajärjed
3.1. Skemaatilise esituse ja põhjendamise piirangud
3.2 Diagrammide tõhusus
4. Geomeetriaskeemid
4.1 vaated Euclid 'diagrammid 4 th sajandi BCE kuni 20 th sajandil CE
4.2 Manderi täpne / täpsus eristab üldist probleemi
4.2.1 Täpne / kaas-täpne erinevus
4.2.2 Euclidi konstruktsioonide üldprobleem
4.3 Formaalsed süsteemid FG ja Eu
5. Skeemid ja tunnetus, rakendused
5.1 Mõned muud diagrammsüsteemid
5.2 Diagrammid kui vaimsed esindused
5.3 Diagrammide kognitiivne roll
Kokkuvõte
Bibliograafia
Viited
Vastav kirjandus
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed
1. Sissejuhatus
Skeemid või pildid kuuluvad arvatavasti inimsuhtluse vanimate vormide hulka. Neid ei kasutata mitte ainult esindamiseks, vaid neid saab kasutada ka teatud tüüpi mõttekäikude läbiviimiseks ning seetõttu mängivad nad loogikas ja matemaatikas erilist rolli. Senentsiaalsed esindussüsteemid (nt esimese astme loogika) on aga loogika tänapäevases ajaloos domineerinud, diagramme on suures osas peetud vaid marginaalseks. Skeemid võetakse tavaliselt kasutusele tõendite uurimisel heuristliku tööriistana, kuid mitte tõendite osana. [2] Filosoofide, logistikute, kognitiivsete teadlaste ja arvutiteadlaste seas on tegemist üsna hiljutise liikumisega, mille eesmärk on keskenduda erinevat tüüpi esindussüsteemidele ning suur osa uurimistööst on keskendunud eriti skemaatilistele esindussüsteemidele.
Vaidlustades pikaajalise eelarvamuse skemaatilise esituse vastu, on mitmeliigiliste arutluskäikude kallal töötanud erinevad lähenemisviisid, mille võime liigitada kolme eraldi rühma. Ühte uurimisharu võib leida meelefilosoofiast ja kognitiivsest teadusest. Kuna vaimse esindatuse ja mõttekäigu kallal töötavatele on keeleliste vormide piirid selged, on mõned filosoofid ja kognitiivteadlased vaimustunult omaks võtnud selle uue mitmemoodilise mõtlemise suuna ning on uurinud inimlikke põhjendusi ja vaimset kujutamist, mis hõlmavad muid kui keelelisi vorme (Cummins 1996; Chandrasekaran jt 1995). Teine skemaatilise arutluskäigu töö näitab, et sümboolsete ja skemaatiliste süsteemide vahel pole sisulist erinevust, niivõrd kui nende loogiline olek läheb. Mõned logistikud on esitanud juhtumianalüüse, et tõestada, et skemaatilised süsteemid võivad olla sümboolsete süsteemidega samasuguses mõttes terved ja terviklikud. Seda tüüpi tulemused lükkasid otse ümber laialt levinud oletuse, et diagrammid on oma olemuselt eksitavad, ning kaotasid teoreetilised vastuväited tõendites kasutatavate diagrammide suhtes (Shin 1994; Hammer 1995a). Kolmanda suuna multimodaalsetes mõttekäikudes on võtnud arvutiteadlased, kelle huvi on teiste rühmade omadest palju praktilisem. Pole nii üllatav, et arvutiteaduse valdkonnas paljudes valdkondades töötavad inimesed - näiteks teadmiste esindamine, süsteemide kujundamine, visuaalne programmeerimine, GUI kujundamine ja nii edasi - selles uues heterogeense süsteemi kontseptsioonis leidsid uued ja põnevad võimalused ning on rakendanud skemaatilise esindused nende uurimisvaldkondades.
Selle sisestuse jaoks on meil järgmised eesmärgid. Esiteks tahaksime lugejaga tutvuda mõne konkreetse skemaatilise süsteemi üksikasjadega. Samal ajal käsitletakse sissejuhatuses teoreetilisi küsimusi, uurides skemaatilise esituse ja põhjenduse olemust väljendusjõu ja korrektsuse osas. Teise osa juhtumianalüüs ei rahulda mitte ainult meie esimest eesmärki, vaid pakub meile ka põhjalikku materjali kolmanda osa teoreetilisemaks ja üldisemaks aruteluks. Neljandas osas tutvustatakse veel ühte juhtumianalüüsi ja käsitletakse seda kolmanda jao üldise arutelu valguses. Nagu eespool mainitud, on diagrammide teema pälvinud palju tähelepanu, oluliste tulemustega paljudest erinevatest uurimisvaldkondadest. Seegameie viienda jaotise eesmärk on tutvustada erinevaid lähenemisviise skemaatilistele mõttekäikudele, mida võetakse erinevates valdkondades.
Edasiseks aruteluks peame selgitama sõna 'diagramm' kahte omavahel seotud, kuid selgelt eristuvat kasutamist: diagramm kui sisemine vaimne esitus ja diagramm kui väline esitus. Järgnev tsitaat Chandrasekaran et al. (1995: lk xvii) võtab lühidalt kokku sisemise ja välise skemaatilise esituse erinevuse:
Välised skemaatilised esitused: need konstrueerib agent välismaailma kandjas (paber jne), kuid on mõeldud agendi esitustena.
Sisediagrammid või -pildid: need hõlmavad (vastuolulisi) sisemisi esitusi, millel on mõned pildilised omadused.
Nagu allpool näeme, keskenduvad loogikud välisele skemaatilisele süsteemile, mõttefilosoofide ja kognitiivsete teadlaste seas peegeldub kujundlik arutelu peamiselt sisemiste diagrammide üle ning diagrammide kognitiivse rolli uurimine puudutab mõlemat vormi.
2. Skeemid kui esindussüsteemid
Senentsiaalse esindussüsteemi domineerimine tänapäevase loogika ajaloos on varjutanud mitmeid olulisi fakte skemaatiliste süsteemide kohta. Üks neist on see, et enne tänapäevase loogika ajastut olid heuristiliste tööriistadena saadaval mitu tuntud diagrammilist süsteemi. Euleri ringid, Venni diagrammid ja Lewis Carrolli ruudud on laialt kasutatud teatud tüüpi siloloogiliste mõttekäikude jaoks (Euler 1768; Venn 1881; Carroll 1896). Veel üks huvitav, kuid tähelepanuta jäetud lugu on see, et moodsa sümboolika loogika rajaja Charles Peirce mitte ainult ei muutnud Venni diagramme, vaid leiutas ka graafilise süsteemi Existential Graphs, mis on osutunud predikaatkeelega samaväärseks (Peirce 1933; Roberts 1973; Zeman 1964).
Need olemasolevad diagrammid on inspireerinud neid teadlasi, kes on hiljuti juhtinud meie tähelepanu mitmeliigilisele esindatusele. Projektis osalevad loogikud on uurinud teemat kahel erineval viisil. Esiteks on nende huvi keskendunud eranditult väliselt joonistatud esindamissüsteemidele, mitte sisemistele vaimsetele representatsioonidele. Teiseks on nende eesmärk olnud selgitada süsteemi loogiline staatus, mitte selgitada selle heuristilist jõudu, katsetades valikuliste esindussüsteemide õigsust ja väljendusjõudu. Kui süsteem ei suuda oma usaldusväärsust õigustada või kui selle väljendusjõud on liiga piiratud, kaob loogiku huvi selle keele vastu (Sowa 1984; Shin 1994).
Selles osas vaatleme Euleri ja Venni diagrammide ajaloolist arengut kui juhtumianalüüsi, et illustreerida järgmisi aspekte: Esiteks näitab see protsess meile, kuidas ühe matemaatiku lihtne intuitsioon siloloogiliste mõttekäikude kujundamise kohta on järk-järgult kujunenud formaalseks esindussüsteemiks. Teiseks vaatleme erinevaid rõhuasetusi skemaatilise süsteemi laiendamise ja modifitseerimise eri etappidele. Kolmandaks ja sellega seoses illustreerib see ajalooline areng huvitavat pinget ja kompromissi skemaatiliste süsteemide väljendusjõu ja visuaalse selguse vahel. Kõige tähtsam on see, et lugeja on tunnistajate logistik, kes tegeleb küsimusega, kas on olemas sisemine põhjus, miks sentsentssüsteemid, kuid mitte skemaatilised süsteemid, võiksid meile pakkuda rangeid tõendeid,ja nende edu sellele küsimusele eitavalt vastates.
Seetõttu ei üllata lugejat järgmine järeldus, mille tegid Barwise ja Etchemendy - esimesed loogikud, kes algatasid uurimise loogika skemaatiliste tõendite osas,
teksti ja järeldusi kasutavate järelduste formalismide ja diagrammide vahel ei tehta põhimõttelist vahet. Võib olla skeemidel põhinev range, loogiliselt mõistlik (ja täielik) formaalne süsteem. (Barwise & Etchemendy 1995: 214)
See veendumus oli vajalik nende uuendusliku arvutiprogrammi Hyperproof sünniks, mis võtab elementaarse loogikakursuste (Barwise & Etchemendy 1993 ja Barwise & Etchemendy 1994) vastu nii esimese järgu keeltes kui ka diagrammides (mitmemodaalses süsteemis).
2.1 Euleri skeemid
18. sajandi matemaatik Leonhard Euler võttis siloloogiliste mõttekäikude illustreerimiseks vastu suletud kõverad (Euler 1768). Nelja liiki kategoorilisi lauseid esindab ta vastavalt joonisele 1.
Neli juhtumit: esimesel märgistusel „Kõik A on B” on sisemine ringtähis A, mis on täielikult välimise ringi sees tähisega B; teisel, millel on märge „A ei ole B”, on kaks mittekattuvat ringi, üks tähisega „A” ja teine „B”; kolmandal sildil „Mõned A on B” on kaks kattuvat ringi, kattuvus on tähistatud tähega „A” ja ühe ringi mittekattuv bit on tähisega „B”; neljandal juhul, mille pealkiri on "Mõned A ei ole B", on kaks kattuvat ringi, ühe mittekattuv bit on tähistatud tähega "A" ja teise mittekattuv bit on tähisega "B"
Joonis 1: Euleri diagrammid
Kahe universaalse väite jaoks võtab süsteem ringidevahelisi ruumilisi suhteid intuitiivsel viisil: Kui ringiga, mille silt on tähistatud tähega A, on lisatud täht A, tähistab diagramm teavet, et kõik A on B. Kui kahe ringi vahel ei ole kattuvat osa, edastab diagramm teabe, et ükski A pole B.
Seda esindatust reguleerib järgmine kokkulepe: [3]
Igale domeeni objektile x omistatakse kordumatu asukoht, näiteks l (x), tasapinnal selliselt, et l (x) on piirkonnas R siis ja ainult siis, kui x on selle komplekti liige, mida piirkond R tähistab.
Selle kujutise jõud peitub selles, et komplekti kuuluv objekt on hõlpsasti mõistetav komplekti kuuluva objektina, nagu arvatakse, et lehel olevad kohad langevad joonistatud ringidesse või väljapoole. Süsteemi jõud seisneb ka selles, et rohkem kui ühte ringi hõlmavate diagrammide tähenduste kindlaksmääramiseks pole vaja täiendavaid kokkuleppeid: komplektidevahelised suhted kinnitatakse samade suhete abil, mis neid esindavate ringide vahel püsivad. Kahe universaalse väite "Kõik A on B" ja "A ei ole B" kujutised illustreerivad süsteemi seda tugevust.
Kahe eksistentsiaalse väite juurde liikudes ei säilitata seda selgust. Euler õigustab skeemi “Mõni A on B”, öeldes, et võime visuaalselt järeldada, et midagi A-s sisaldub ka B-s, kuna osa ala A asub piirkonnas B (Euler 1768: 233). Ilmselt uskus Euler ise, et samalaadset visuaalse isoleerimise suhet alade vahel saab kasutada nii sel juhul kui ka universaalsete avalduste korral. Kuid Euleri arvamus pole õige ja selline kujutamine tekitab kahjuliku mitmetähenduslikkuse. Sellel diagrammil ei ole mitte ainult ring A osa, mis asub piirkonnas B (nagu kirjeldab Euler), vaid ka järgmised: i) osa ringist B asub piirkonnas A (ii) osa A ringist ei sisaldu piirkonnas A ring B (iii) ringi B osa ei sisaldu ringis A. See tähendab, et kolmandat diagrammi võib lugeda järgmiselt: „Mõni B on A,“Mõni A ei ole B” ja “mõni B ei ole A” kui ka “mõni A on B”. Selle ebaselguse vältimiseks peame kehtestama veel mitu konventsiooni.[4]
Euleri enda näited illustreerivad kenasti tema skemaatilise süsteemi tugevusi ja nõrkusi.
Näide 1. Kõik A on B. Kõik C on A. Seetõttu on kõik C B.
Kolm kontsentrilist ringi, kõige sisem ring C-tähega, järgmine A-täht ja välimine ring B-ga
Näide 2. No A on B. Kõik C on B. Seetõttu ei ole C A.
Vasakul ring tähisega A ja paremal kaks kontsentrilist ringi, sisemine ring tähisega C ja välimine ring tähisega B
Mõlemas näites saab lugeja hõlpsalt järelduse teha ja see illustreerib Euleri diagrammide visuaalselt võimsaid omadusi. Ent kui eksistentsiaalsed avaldused on esindatud, muutuvad asjad keerukamaks, nagu eespool selgitatud. Näiteks:
Näide 3. No A on B. Mõni C on A. Seetõttu pole mõni C B.
Ükski skeem ei saa kaht ruumi esindada, kuna komplektide B ja C suhet ei saa ühes diagrammis täielikult määratleda. Selle asemel soovitab Euler järgmist kolme võimalikku juhtumit:
Kolm juhtumit: 1. juhtumi vasakul küljel on kaks kattuvat ringi, kattumine on tähistatud tähega C ja esimese ringi kattuv osa on tähistatud tähega A; paremal ja eraldi on kolmas ring tähisega “B”. 2. juhtumil on kolm ringi, kaks ringid kattuvad ja kattuv osa on tähistatud tähega C ning esimese ringi kattuv osa on tähistatud tähega A; teise ringi mittekattuvas osas on kolmas ring tähisega „B”. Juhtum 3 sarnaneb juhtumiga 2, välja arvatud see, et kolmas ring ei asu täielikult teise ringi mittekattuvas osas; kolmanda ringi lõik väljaspool teist ringi on märgistatud tähega "B"
Euler väidab, et väidet "Mõned C ei ole B" saab lugeda kõigilt nendelt diagrammidelt. Siiski pole kaugeltki visuaalselt selge, kuidas kaks esimest juhtumit viivad kasutaja selle ettelugemiseni, kuna kasutaja võib lugeda juhtumist 1 „C ei ole B” ja 2. juhtumist „Kõik B on C”.
Seega ei varja eksistentsiaalsete avalduste esitamine mitte ainult Euleri ringide visuaalset selgust, vaid tekitab süsteemile tõsiseid tõlgendusprobleeme. Näis, et Euler ise tunnistab seda potentsiaalset probleemi ja võttis selle puuduse parandamiseks kasutusele uue süntaktilise seadme '*' (tähistab tühjust) (1768: kiri 105).
Tõsisem puudus on aga see, kui see süsteem ei esinda teatud ühilduvat (st järjepidevat) teavet ühes diagrammis. Näiteks takistab Euleri süsteem meid joonistamast ühte skeemi, mis esindab järgmisi lausepaare: (i) „Kõik A on B” ja „No A on B” (mis on kooskõlas, kui A on tühi komplekt). (ii) „Kõik A on B” ja „Kõik B on A” (mis on kooskõlas, kui A = B). (iii) „Mõned A on B” ja „Kõik A on B”. (Oletame, et joonistasime eelmisele väitele Euleri diagrammi ja proovime olemasolevale skeemile lisada uut ühilduvat teavet, st viimast.) See puudus on tihedalt seotud Venni motivatsiooniga luua oma skemaatiline süsteem (vt punkt 3.1). Euleri süsteemi muude puuduste jaoks).
2.2 Venni diagrammid
Venni kriitika Euler Circles'i kohta on kokku võetud järgmises lõigus:
Selle [Euleri diagrammide] ja kõigi sarnaste skeemide nõrk koht seisneb selles, et need illustreerivad rangelt ainult klasside tegelikku suhet üksteisega, mitte aga nende suhete ebatäiuslikke teadmisi, mis meil võivad olla või võivad olla soovivad selle ettepaneku kaudu edastada. (Venn 1881: 510)
Oma ranguse tõttu ebaõnnestub Euleri süsteem järjepidevat teavet ühe diagrammina kujutada, nagu ülal näidatud. Lisaks sellele ekspressiivsele piirangule kannatab Euleri süsteem tasapinnaliste jooniste topoloogiliste piirangute tõttu ka muud tüüpi ekspressiivseid piiranguid mittetühjade komplektide suhtes (vt punkt 3.1).
Venni uus süsteem (1881) pidi neist väljenduslikest piirangutest üle saama, et oleks võimalik esitada osaline teave. Lahenduseks oli tema idee esmastest diagrammidest. Primaarskeem kujutab kõiki võimalikke setteoreetilisi seoseid paljude komplektide vahel, võtmata nende suhtes eksistentsiaalseid kohustusi. Näiteks joonisel 2 on näidatud komplektide A ja B esmane skeem.
kaks kattuvat ringi, millest esimene tähistatakse tähega A ja teine tähega B
Joonis 2: Venni esmased diagrammid
Venni süsteemi kohaselt ei anna see diagramm mingit konkreetset teavet nende kahe komplekti suhete kohta. See on suurim erinevus Euleri ja Venni diagrammide vahel.
Universaalsete väidete esitamiseks, erinevalt visuaalselt selgetest ruumiliste isoleerimissuhetest Euleri diagrammide puhul, on Venni lahendus „varjutada need [vastavad alad] välja” (Venn 1881: 122). Selle süntaktilise seadme abil saadakse universaalsete avalduste skeemid, nagu näidatud joonisel 3.
Kaks Venni diagrammi. Esimene neist kannab pealkirja "Kõik A on B" ja koosneb kahest kattuvast ringist, millel on tähised "A" ja "B", A osa, mis ei kattu B-ga, on varjutatud. Teine kannab pealkirja "No A on B" ja koosneb ka kahest kattuvast ringist, millel on tähis "A" ja "B", kahe ringi kattuvus on varjutatud
Joonis 3: Venni varjutamine
Venni varjundivalik ei pruugi olla absoluutselt meelevaldne, kuna varjutamist võib tõlgendada kui seatud tühjuse visualiseerimist. Siiski tuleb märkida, et varjutamine on uus süntaktiline seade, mida Euler ei kasutanud. See muutmine andis süsteemile paindlikkuse, nii et teatavat ühilduvat teavet võib esitada ühes diagrammis. Järgnevalt ühendab vasakpoolsel joonisel kaks teavet: “Kõik A on B” ja “No A on B”, et visuaalselt edastada teavet “Miski pole A”. Paremal asuv diagramm, mis tähistab nii “kõik A on B” kui ka “kõik B on A”, näitab selgelt, et A on sama, mis B:
Kaks Venni diagrammi: esimesel on kaks kattuvat ringi, millel on märgid 'A' ja 'B' ring A on varjutatud. Teine on ka kaks kattuvat ringi, millel on silt A ja B, mõlemad ringid on varjutatud, välja arvatud juhul, kui need kattuvad
Tegelikult väldib primaarskeemide kasutamine ka mõnda muud ekspressiivsusprobleeme (mis on seotud diagrammiobjektide ruumiliste omadustega), mida käsitletakse allpool 3. osas. Üllatavalt vaikis Venn eksistentsiaalsete avalduste esitamisest, mis oli Euleri diagrammide veel üks raskus. Me võime vaid ette kujutada, et Venn võis tutvustada teist tüüpi süntaktilist objekti, mis esindab eksistentsiaalset pühendumust. Seda tegi Charles Peirce umbes kakskümmend aastat hiljem.
2.3 Peirce'i laiendus
Peirce juhib tähelepanu sellele, et Venni süsteem ei suuda kuidagi esindada järgmist tüüpi teavet: eksistentsiaalsed avaldused, disjunktiivne teave, tõenäosused ja suhted. Peirce püüdis laiendada Venni süsteemi väljendusjõus esimese kahe tüüpi väidete, st eksistentsiaalsete ja disjunktiivsete väidete suhtes. See laiendus viidi lõpule järgmise kolme seadme abil. i) Asendage Venni tühjust esindav varjutus uue sümboliga „o”. ii) sisestage eksistentsiaalse impordi jaoks sümbol x. (iii) Disjunktiivse teabe saamiseks sisestage lineaarne sümbol „-”, mis ühendab sümbolid „o” ja „x”.
Näiteks Joonis 4 tähistab väidet: "Kõik A on B või mõned A on B", mida ei Euleri ega Venni süsteem suuda ühel diagrammil kujutada.
Kaks kattuvat ringi, millel on märgid 'A' ja 'B' kattuvuse sees on silt “x” ja ringi mittekattuva bitti A sees on silt “o”; sirge, mis ühendab tähe "x" numbriga "o"
Joonis 4: Peirce'i diagramm
Põhjus, miks Peirce asendas Venni tühjuse varjundi sümboliga „o”, näib olevat ilmne: varjutusi või varje ja „x” ühendada ei oleks lihtne disjunktiivse teabe esitamiseks. Sel viisil suurendas Peirce süsteemi väljendusjõudu, kuid see muudatus ei olnud ilma kuludeta.
Näiteks järgmine diagramm esindab väidet: "kas kõik A on B ja mõned A on B või mitte A ei ole B ja mõned B ei ole A":
kaks kattuvat ringi, millel on tähis A ja B; esiteks on ringi A mittekattuvas lõigus "o", mis on ühendatud joonega "o" -ga kattumise sees; teiseks, ka ringi A mittekattuvas lõigus on teine 'o', mis on ühendatud joonega ringiga 'B' kattuvas lõigus oleva tähega 'x' kolmas kahe ringi kattuvas osas on sirgega ühendatud 'x' ja 'o' neljandaks kattuvas lõigus 'x', mis on ühendatud joonega ringjoone B mittekattuvas osas sirgega 'x' -ga
Selle diagrammi lugemine nõuab enamat kui visuaalse eraldatuse lugemist ringide vahel (nagu Euleri diagrammidel) või varjutusi (nagu Venni diagrammidel), kuid see nõuab ka sümboolika "o", "x" ja joonte kombinatsioonide lugemiseks vajalikke lisavahendeid. Peirce'i uued konventsioonid suurendasid üksikute diagrammide väljendusjõudu, kuid selle konventsioonide meelevaldsus ja segasemad esitused (näiteks ülaltoodud diagramm) ohverdasid visuaalse selguse, mida Euleri algne süsteem naudib. Siinkohal tunnistab Peirce ise, et väljendil on suur keerukus, mis on tähenduse jaoks oluline (Peirce 1933: 4.365). Seega, kui Peirce'i revisjon lõpule viidi, kaotas enamik Euleri algseid ideesid visualiseerimisest, välja arvatud see, et geomeetrilist objekti (ring) kasutatakse (võib-olla tühjade) komplektide esitamiseks.
Veel üks oluline panus, mida Peirce tegi diagrammide uurimisel, algab järgmise märkusega:
'Reeglit' kasutatakse siin mõttes, milles me räägime algebra 'reeglitest' see tähendab luba rangelt määratletud tingimustel. (Peirce 1933: 4.361)
Peirce oli tõenäoliselt esimene inimene, kes arutas ümberkujundamise reegleid mitte-sensentsiaalse esindussüsteemi sees. Samamoodi, nagu algebrani reeglid räägivad meile, millised sümbolite teisendused on lubatud ja millised mitte, tuleks kasutada ka diagrammi käsitsemise reegleid. Mõned Pierce'i kuuest reeglist vajasid rohkem selgitamist ja osutusid puudulikeks - probleemiks, mida Peirce ise ootas. Kuid mis veelgi olulisem - Peirce'il polnud teoreetilist tööriista - selget vahet süntaksi ja semantika vahel -, et veenda lugejat iga reegli õigsuses või otsustada, kas on vaja rohkem reegleid. St tema oluline intuitsioon (et skeemidel võiksid olla teisendusreeglid) jäi õigustatuks.
2.4 Diagrammid kui formaalsed süsteemid
Shin (1994) jälgib Peirce loomingut kahes suunas. Üks eesmärk on parandada Peirce'i Venni diagrammide versiooni ja teine eesmärk on tõestada selle muudetud süsteemi usaldusväärsust ja täielikkust.
Shini töö muudab Peirce'i Venni diagrammide modifikatsioone, et saavutada ekspressiivne jõud ilma visuaalse selguse tõsise kaotuseta. See revideerimine toimub kahes etapis: (i) Venn-I: säilitatakse Venni varjud (tühjuse jaoks), Peirce 'x' (eksistentsiaalse impordi jaoks) ja Peirce 'ühendusjoon' x 'vahel (disjunktiivse teabe jaoks). ii) Venn-II: see süsteem, mis on loogiliselt samaväärne monaadilise predikaatloogikaga, on sama mis Venn-I, välja arvatud see, et diagrammide vaheline ühendusliin on disjunktiivse teabe kuvamiseks äsja kasutusele võetud.
Naastes ühe Euleri näite juurde, näeme selgelt nende erinevate versioonide vahel kontrasti:
Näide 3. No A on B. Mõni C on A. Seetõttu pole mõni C B.
Euler möönab, et ruumide tähistamiseks ei saa joonistada ühtegi Euleri diagrammi, vaid tuleb joonistada kolm võimalikku juhtumit. Venni süsteem vaikib eksistentsiaalsetest avaldustest. Nüüd tähistavad Peirce'i ja Shini süsteemid neid kahte ruumi ühes diagrammis järgmiselt:
Kaks skeemi, mis mõlemad koosnevad kolmest kattuvast ringist, millel on märgistus A, B ja C. Esimesel diagrammil pealkirjaga "Peirce" on kõigi kolme ringi kattuv "x", mis on ühendatud "x" -ga, ainult A ja C ringi kattudes; samuti on sellel kõigi kolme ringi kattuvusega „o” ja ka „o” ainult ringide A ja B kattuvusega. Teisel diagrammil, mille nimi on „Shin”, on kõigi kolme ringi kattuvusega „x” 'ühendatud' x '-ga ainult ringide A ja C kattumisel; A ja B kattumine on varjutatud
Shini diagrammi puhul viib Venni tühjuse varjutamise konventsioon vastupidiselt Peirce'i o-le palju loomulikumalt lugeja järelduseni "Mõni C ei ole B" kui Peirce'i diagrammi puhul.
Venn-I ei saa siiski väljendada disjunktiivset teavet universaalsete avalduste või universaalsete ja eksistentsiaalsete avalduste vahel. Säilitades Venn-I väljendusvõime, võimaldab Venn-II diagramme joontega ühendada. Ülaltoodud Peirce'i segane pilk on võrdne järgmise Venn-II diagrammiga:
Kaks ristkülikut, mis on ühendatud joonega, millest igaüks sisaldab kahte kattuvat ringi; esimeses ristkülikus on kahe ringi kattumine tähisega „x” ja esimese ringi kattuv osa on varjutatud; teises ristkülikus on kahe ringi kattuv osa varjutatud ja teise ringi mittekattuvas osas on 'x'
Lisaks sellele versioonile esitas Shin (1994) mõlemad neist kahest süsteemist standardse formaalse esindussüsteemi, millel on oma süntaks ja semantika. Süntaks ütleb meile, millised diagrammid on vastuvõetavad, st millised on hästi vormitud ja millised manipulatsioonid on igas süsteemis lubatud. Semantika määratleb diagrammide loogilised tagajärjed. Neid tööriistu kasutades on tõestatud, et süsteemid on usaldusväärsed ja täielikud, samas tähenduses, nagu mõned sümboolsed loogikad.
See lähenemisviis on mõnele esindatussüsteemide kohta tehtud eeldusele põhjaliku väljakutse esitanud. Alates moodsa loogika arendamisest on olulisi mõisteid, nt süntaks, semantika, järeldused, loogiline tagajärg, paikapidavus ja täielikkus rakendatud ainult senentsiaalse esindussüsteemi jaoks. Ükski neist ei osutunud olemuslikuks ainult neile traditsioonilistele sümboolikatele. Mis tahes esindussüsteemi jaoks, olgu see siis sensitiivne või skemaatiline, saame arutada kahte taset, süntaktilist ja semantilist taset. Järeldusreeglid räägivad meile, kuidas manipuleerida antud sümboliga või skemaatilise ühikuga teisega. Loogilise tagajärje määratlemisel puudub ka esindussüsteemi mis tahes konkreetne vorm. Sama argument kehtib ka õigsuse ja täielikkuse tõendite kohta. Kui on tõestatud, et süsteem on usaldusväärne,meil peaks olema võimalik seda tõendusmaterjalina kasutada. Tegelikult uurivad paljud praegused uuringud diagrammide kasutamist automatiseeritud teoreemide tõestamisel (vt Barker-Plummer & Bailin 1997; Jamnik jt 1999).
2.5 Euleri ringid vaadati uuesti üle
Huvitav ja oluline on tähele panna, et Euleri ringide kaudu Shini süsteemidele järkjärgulistel muutustel on üks ühine teema: suurendada süsteemi nii väljendusjõudu kui ka loogilist jõudu nii, et see oleks kindel, terviklik ja loogiliselt samaväärne monaadilise predikaatloogikaga.. Põhiline ümberehitus Euleri ja Venni diagrammidest, tutvustades esmased diagrammid, võimaldab meil esindada osalisi teadmisi kogumite vaheliste suhete kohta. Laiendus Vennilt Peirce'i diagrammidele on tehtud nii, et eksistentsiaalset ja disjunktiivset teavet saaks paremini esindada.
Nii Venn kui ka Peirce võtsid nende paranduste saavutamiseks kasutusele samalaadi lahenduse: tutvustada uusi süntaktilisi objekte, see tähendab Venni varjutusi ja Peirce'i x-e, o-sid ja jooni. Negatiivse poole pealt võib aga öelda, et need muudetud süsteemid kaotavad visuaalse selguse, nagu eespool näha, peamiselt meelevaldsemate tavade kasutuselevõtu tõttu. Peirce'i ja Shini skeemide muudatused keskenduvad visuaalse selguse taastamisele, kuid ilma väljendusjõudu kaotamata.
Hammer ja Shin lähevad nendest redaktsioonidest erinevale teele: Euleri ringidevahelise homomorfse seose taaselustamiseks ja ringide komplektide isoleerimiseks on esindatud komplektide alamhulga suhe ja piirkondade mittekattuvus tähistab eraldussuhet ja võtab samal ajal vastu Venni esmased diagrammid vaikimisi. Teisest küljest ei ole see muudetud Euleri süsteem iseenesest piisav vahend siloloogiliste mõttekäikude jaoks, kuna see ei saa esindada eksistentsiaalseid väiteid. Selle muudetud süsteemi kohta leiate lisateavet (Hammer & Shin 1998).
See juhtumianalüüs tõstatab huvitava küsimuse edasiseks uurimiseks skemaatilise põhjenduse osas. Euleri diagrammide erineva arengu käigus näivad selle väljendusjõu suurendamine ja visuaalse selguse suurendamine üksteist täiendavat. Sõltuvalt eesmärkidest peame eelistama üht teise suhtes. Hammeri ja Shini alternatiivne süsteem pakub lihtsat mudelit muude tõhusate mitte-sensentsiaalsete representatsioonisüsteemide arendamiseks - teemale, millele on arvutiteaduses ja kognitiivteaduses pööratud üha suuremat tähelepanu.
3. Diagrammide ruumiliste omaduste tagajärjed
Kuigi diagrammidel on sageli võimalik lubada sama loogilist olekut nagu valemitel (nagu eespool vaieldi), on skeemide ja traditsiooniliste lineaarsete tõenduslike kalkulatsioonide vahel siiski olulisi erinevusi (millel võib olla süsteemi õigsuse osas ka jooni). Diagrammide juures on oluline märkida (vrd Russell 1923), et diagrammil olevate objektide ruumilisi suhteid saab kasutada objektide vaheliste suhete tähistamiseks mõnes teises valdkonnas. Järjestikused keeled (nt sümboolika, loogika, looduskeeled) kasutavad objektide vaheliste suhete tähistamiseks siiski ainult liitmise suhet. Ruumiliste suhete omapärane representatiivne kasutamine diagrammide puhul on otsene ja intuitiivne, nagu nähtub ülaltoodud Euleri diagrammide arengust, kuid sellel on ka oma ohud - nagu me arutame. Ruumilised piirangud, mis on iseloomulikud skemaatilistele süsteemidele,võib eeldada, et nad on nende tugevate ja nõrkade külgede oluliseks allikaks. Psühholoogilistel kaalutlustel, mis käsitlevad inimese võimalusi teabe visuaalseks töötlemiseks ja kvalitatiivsete ruumiliste mõttekäikude osas, on ka diagrammidega põhjendamise tõhususe tagajärgi, kuid me ei vaata neid siin.
Skeemide eripäraks on see, et need järgivad teatavaid nominaalseid või sisemisi piiranguid, mis tulenevad tasapindade kasutamisest esitusvahendina. Idee on see, et senentsiaalkeeled põhinevad akustilistel signaalidel, mis on oma olemuselt järjestikused, ning seetõttu peavad teatud seoste väljendamiseks olema kompenseerivalt keeruline süntaks - samas kui kahemõõtmelised diagrammid suudavad kuvada teatud seoseid ilma keeruline süntaks (Stenning & Lemon 2001). Diagrammid kasutavad seda võimalust - ruumiliste suhete kasutamist teiste suhete esindamiseks. Küsimus on selles; kui hästi suudavad ruumilised suhted ja objektid kujutada teisi (võib-olla abstraktsemaid) objekte ja suhteid?
Diagrammidega loogiline mõttekäik viiakse sageli läbi vastavalt olukorra võimalike mudelite kujutamisele kuni skeemide topoloogilise ekvivalentsuseni (see muidugi sõltub konkreetsest kasutatavast skemaatilisest süsteemist). Üks skeem on sageli situatsioonide klassi abstraktsioon ja kui sobiv diagramm on koostatud, saab järeldused kujutise lihtsalt lahti lugeda ilma edasise manipuleerimiseta. Mõnes skemaatilises süsteemis (nt Euleri ringid) tehakse järeldused skeemide korrektse konstrueerimise ja nendelt teabe lugemise teel. Järeldusreeglite kasutamine sümboolses loogikas on sellistel juhtudel asendatud konkreetsete diagrammide õigesti joonistamise probleemiga. [5]Näiteks julgeb Euler Circles'i diagramm kogumite vahelisi suhteid hõivata, kasutades tasapinnaliste piirkondade topoloogilisi suhteid nii, et see kujutaks kõiki võimalikke viise, kuidas teatud kogum teoreetilisi avaldusi võiksid tõesed olla. Sellel on kaks olulist tagajärge: (1) kui kindlat diagrammi ei saa joonistada, peab kirjeldatud olukord olema võimatu (nimetatakse “enesekonsektsiooniks”) ja (2) kui tuleb joonistada teatud seos diagrammiobjektide vahel, siis tuleb sellele vastav seose võib järeldada loogiliselt kehtivana. (Vt arvukaid näiteid 2. jaos.) Seda nähtust nimetatakse sageli „vabaks sõitmiseks” (Barwise & Shimojima 1995). See skemaatilise mõttekäigu stiil sõltub seega diagrammide konkreetsest representatiivsest kasutamisest - need esindavad mudeliklasse. Kui konkreetset mudeliklassi ei saa diagrammilise süsteemiga esitada, siis süsteemi juhtimisel ei võeta neid juhtumeid arvesse ja võidakse teha valesid järeldusi. See asjaolu muudab ülitähtsaks skemaatiliste süsteemide esindusliku adekvaatsuse, mida piirab nende ruumiline olemus, nagu me nüüd uurime.
3.1. Skemaatilise esituse ja põhjendamise piirangud
Ruumiliste suhete representatiivne kasutamine tasapinnas piirab teatud olulistel viisidel skemaatilist esitust ja seetõttu ka diagrammidega põhjendamist. Eelkõige on skemaatilistel objektidel topoloogilised ja geomeetrilised (nimetagem neid "ruumilisteks") omadusteks ja suheteks, mis piiravad skemaatiliste süsteemide väljendusjõudu. Näiteks graafiteoorias on teada, et mõnda lihtsat struktuuri ei saa tasapinnale joonistada. Näiteks graafik K 5on graafik, mis koosneb viiest sõlmest, millest igaüks on kaarega ühendatud. See graafik ei ole tasapinnaline, mis tähendab, et seda ei saa joonistada, kui vähemalt kaks kaared on ristunud. See on just selline piirang võimalikele diagrammidele, mis piirab skemaatiliste süsteemide väljendusjõudu. Kuna skemaatiline arutluskäik võib tekkida olukorra kõigi võimalike mudelite loendamise teel, muudab selline esinduslik ebapiisavus (mittetäielikkuse tüüp) paljud skemaatilised süsteemid valeks, kui neid kasutatakse loogilisteks põhjendusteks (nt vt Englebretseni 1992 kriitikat sidrunis ja Pratt 1998).
Võib-olla kõige lihtsam näide selle kohta on Lemon ja Pratt [6] (vt nt 1997). Mõelge Euleri ringidele - kus tasapinna kumerad piirkonnad tähistavad komplekte ja piirkondade kattumine tähistab vastavate komplektide mittetühja ristmikku. Helly teoreemina tuntud kumera topoloogia tulemus väidab (kahemõõtmelise juhtumi puhul), et kui igal 4 kumera piirkonna kolmel ristmikul on mittetühi ristmik, peab kõigil neljal piirkonnal olema mittetühi ristmik.
Selle tagajärgede mõistmiseks kaaluge järgmist probleemi:
Näide 4. Esindage Euler Circles'i abil järgmisi ruume:
A ∩ B ∩ C ≠ ∅
B ∩ C ∩ D ≠ ∅
C ∩ D ∩ A ≠ ∅
Pange tähele, et set-teooria osas tulenevad nendest ruumidest ainult tühised tagajärjed. Ruumide Euleri diagramm, nagu näiteks joonis 5, viib vale järelduseni, et A ∩ B ∩ C ∩ D ≠ ∅ (skeemi keskel oleva neljakordse kattumispiirkonna tõttu):
Neli kattuvat ringi, millel on märgid A, B, C ja D
Joonis 5: Helleri teooriat esitlev Euleri ringide kujutis
Teisisõnu, Euler Circles'i kasutaja on sunnitud [7] esindama komplektide vahelist suhet, mis pole loogiliselt vajalik. See tähendab nii seda, et on loogiliselt võimalikke olukordi, mida süsteem ei saa esindada, kui ka seda, et kasutaja teeb süsteemile põhjenduste tegemisel valesid järeldusi. Üldisemalt võib seda tüüpi tulemusi saada paljude erinevat tüüpi skemaatiliste süsteemide jaoks, sõltuvalt konkreetsetest ruumilistest suhetest ja objektidest, mida nad esindamisel kasutavad - käimasolevas uurimisprogrammis.
Näiteks põhjustab kumerate piirkondade (nt ringide asemel „plekid”) kasutamine sarnase probleemi, Helly teoreemi asemel kaasatakse ainult mittetasapinnalisi graafikuid. Sarnane tulemus on seotud sillogismide lineaarskeemidega Englebretsen 1992, kus sirgeid kasutatakse kogumite tähistamiseks, punktid tähistavad indiviide, punktide ja joonte ristumiskoht tähistab komplekti kuulumist ja sirgete ristumiskoht tähistab komplekti ristmikku. Tasapinnalised piirangud piiravad jällegi süsteemi väljendusjõudu ja viivad ebaõigete järeldusteni.
Atsushi Shimojima “kitsendamishüpotees” võtab selle kõige paremini kokku:
Esindused on objektid maailmas ja sellisena järgivad nad teatavaid struktuurilisi piiranguid, mis reguleerivad nende võimalikku kujunemist. Erinevate representatsiooniviiside järeldatava potentsiaali erinevus on suuresti tingitud erinevatest viisidest, kuidas need esinduste struktuuripiirangud vastavad esinduseesmärkide piirangutele (Shimojima 1996a, 1999).
3.2 Diagrammide tõhusus
Nagu ülalpool arutatud, tekitas suure osa diagrammide vastu huvi väite kohaselt, et need on teatud tüüpi ülesannete jaoks kuidagi „tõhusamad” kui traditsioonilised loogilised esitused. Kindlasti on näiteks kaardil navigeerimiseks suurem kaart kui maastiku verbaalsel kirjeldamisel. Ehkki skeemide kasutamisel on kindlasti psühholoogilisi eeliseid, on need (nagu Euleri ringide puhul) abstraktsete objektide ja suhete kujutistena sageli ebatõhusad. Kui tegemist on puhtalt intuitiivse mõttega, saab mittepsühholoogilisi väiteid skemaatiliste süsteemide „tõhususe” kohta uurida keelte standardsete formaalsete omaduste osas (Lemon et al. 1999). Eelkõige on paljud skemaatilised süsteemid järjekindlad, valed ja mittetäielikud ning skeemide põhjal keerukate järelduste tegemine on NP-raske. Vastupidiselt sellele on enamus senentsiaalseid loogikaid, kuigi suudavad väljendada vastuolusid, täielikud ja õiged[8].
Teisest küljest võib vastuolude esitamata jätmine pakkuda meile huvitavat teavet diagrammi esituse olemuse kohta. Kui keele keskne eesmärk on maailma või asjade seisu esitamine, siis seatakse kahtluse alla vastuolude või tautoloogiate esindamine. Ei vastuolud ega tautoloogiad pole maailma osa. Kuidas saaksime pilti joonistada või pildistada vastuolust, et „sajab vihma ja ei sajagi“? Kuidas on lood disjunktiivse teabega „kas sajab või ei sajagi”? Nüüd näib, et oleme palju lähemal Wittgensteini klassikalisele keeleteooriale (Wittgenstein 1921).
4. Geomeetriaskeemid
Matemaatikud on diagramme laialdaselt kasutanud ja kasutavad ka edaspidi. Matemaatiliste mõistete ja tõendusmaterjalide edastamine õpikutes tahvlitele ei ole ühtlaselt sensitiivne. Figuurid ja pildid on tavalised. Kooskõlas valitseva loogikakäsitlusega kui põhimõtteliselt senentsiaalsega, ei arvata, et nad mängiksid rangetel matemaatilistel põhjendustel tavaliselt rolli. Nende kasutamist piiratakse tõendi mõistmise parandamisega. Tavaliselt ei arvata, et need moodustavad tõenduse osa.
Suhtumist näitab hästi Euclidi metoodika standardne hinnang Elementides. Ühelgi matemaatilisel teemal pole diagrammid silmatorkavamad kui elementaarses geomeetrias, mille Euclid tekstis välja arendab. Objekti tõestused näivad olevat mingis mõttes nendega koos ilmuvate kolmnurkade ja ringide diagrammide kohta. See kehtib eriti elementide geomeetriliste tõendite kohta. Eukleidi skeemid pole üksnes illustratiivsed. Mõned tema järeldusetapid sõltuvad sobivalt koostatud diagrammist. Tavalises loos osutavad need sammud lünkadele Euclidi tõendites. Need näitavad, kuidas Euclid ei viinud geomeetria aksiomaatiliselt väljatöötamise projekti täielikult läbi.
Ken Manders kavatses seda lugu plahvatada oma põneva teosega “Eukleidese diagramm” (2008 [1995]). Tema Euclid'i skemaatilise tõestusmeetodi analüüsist selgub, et Euclid kasutab diagramme kontrollitud ja süstemaatiliselt. Seega seab see kahtluse alla elementide ranguse ühise, negatiivse hinnangu. Pealegi viitab Mandersi analüüsi eripära sellele, et teksti tõestusi saab mõista formaalse skemaatilise loogika järgi. Hiljem kinnitas seda formaalse skemaatilise süsteemi väljatöötamine, mis on mõeldud sellise loogika iseloomustamiseks. Neist esimene oli FG (esitatud Miller 2007-s), millele järgnes süsteem Eu (Mumma 2010).
See osa on pühendatud Mandersi analüüsi ja sellest tekkinud formaalsete süsteemide selgitamisele. Pärast lühikest uurimist selle kohta, kuidas Eukleidi diagramme on läbi sajandite vaadatud, esitatakse Mandersi pilt nende rollist geomeetrilistes tõendites. Järgnevalt kirjeldatakse, kuidas süsteemid FG ja Eu selle pildi ametlikult väljendavad ja eukleidiliste diagrammide loogikat iseloomustavad.
4.1 vaated Euclid 'diagrammid 4 th sajandi BCE kuni 20 th sajandil CE
Elementaarne geomeetria elemendid võeti olema fundamentaalne matemaatika selle loomisest aastal Vana-Kreeka kuni 19 th sajandil. Seetõttu leidsid matemaatika olemusega seotud filosoofid, et nad on kohustatud kommenteerima teksti skemaatilisi tõestusi. Keskseks probleemiks, kui mitte keskseks probleemiks, oli üldine probleem. Diagramm, mis ilmub koos Eukleidese tõendiga, pakub geomeetriliste konfiguratsioonide tüübi ühekordse kiirenduse, mille kohta tõestus käib. Ometi võetakse diagrammil nähtavateks omadusteks kõik antud tüüpi konfiguratsioonid. Mis õigustab seda hüpet konkreetselt üldisele?
Näitena kaaluge elementide I raamatu 16. väite tõestust.
Ettepanek on järgmine:
Mis tahes kolmnurga korral, kui toodetakse üks külg, on välisnurk suurem kui mõlemal sisemine ja vastasnurk.
Eukleidi tõend on:
Kolmnurk ABC, mille segment BC ulatub punktini D, ja sirge BF, mis ristub segmendiga AC
Olgu ABC kolmnurk ja selle üks külg BC moodustataks D-ks;
Ma ütlen, et nurk ACD on suurem kui sisemine ja vastassuunaline nurk BAC.
Laske vahelduvvoolu poolitada punktist E [I, 10] ja laske BE ühendada ja toota sirgega F-ni;
laske EF võrdsustada väärtusega BE [I, 3] ja laske FC liituda.
Kuna AE on võrdne EC-ga ja BE võrdne EF-ga, on mõlemad pooled AE, EB võrdsed vastavalt mõlemale poolele CE, EF; ja nurk AEB on võrdne nurgaga FEC [I, 15].
Seetõttu on alus AB võrdne aluse FC-ga ja kolmnurk ABE on võrdne kolmnurgaga CFE [I, 4], seetõttu on nurk BAE võrdne nurga ECF-ga (mis on ka nurk ACF);
Kuid nurk ACD on suurem kui nurk ACF;
Seetõttu on nurk ACD suurem kui BAE.
Näib, et tõend viitab skeemi osadele, mis on koos tõendiga esitatud. Sellegipoolest ei püüa tõend tuvastada midagi diagrammi kolmnurka, vaid midagi kõigi kolmnurkade kohta. Seega tähistab diagramm mingil moel kõiki kolmnurki.
Skeemide rolli esindustena meenutab Aristoteles Posterior Analyticsi raamatu A 10. peatükis:
Geomeeter ei tee järeldusi tema joonistatud joonest lähtuvalt sellest, mida ta on kirjeldanud, vaid [viitab] sellele, mida joonised illustreerivad. (Tõlke autor on T. Heath, leitud ajakirjas Euclid 1956: I kd, lk.119)
Aristoteles ei astu lõpuosas küsimusele, kuidas geomeeter diagramme kasutab, et nende illustreerimiseks aru saada. Mõni sajand hiljem teeb Proclus oma kommentaaris elemente. Proclus väidab, et konkreetsest astmest universaalsele järeldusele üleminek on õigustatud, kuna geomeetrid
… Kasutage diagrammil kujutatud objekte mitte nende konkreetsete joonistena, vaid kujunditena, mis sarnanevad teistele sama tüüpi joonistele. Minu ees olev nurk poolitatakse ainult sellisena ja sellise suurusega, et see on sirgjooneline ja ei midagi muud … Oletame, et antud nurk on täisnurk … kui ma ei kasuta selle õigsust ja võtan arvesse ainult selle sirgjoont tähemärgi korral kehtib lause võrdselt kõigi sirgjooneliste külgedega nurkade suhtes. (Kommentaar Eukleidi elementide esimese raamatu kohta, Morrow 1970: 207)
Diagrammide koht geomeetrias jäi varase moodsa perioodi probleemiks. XVII ja XVIII sajandi peamised filosoofilised tegelased esitasid sellel oma seisukohti. Valdavat tänapäevast vaadet ette nähes kinnitab Leibniz:
… Geomeetrilisi tõendeid ei näita arvud, kuigi ekspositsiooni stiil võib panna teid mõtlema. Meeleavalduse jõud ei sõltu joonistatud joonisest, mis on joonistatud ainult meie tähenduse tundmise hõlbustamiseks ja tähelepanu fikseerimiseks; põhjendused on universaalsed väited, st juba demonstreeritud definitsioonid, aksioomid ja teoreemid, mis põhjendavad ja kes seda toetaksid, kuigi joonist seal poleks. (1704 uut esseed: 403)
Inimteadmiste põhimõtete sissejuhatuses (1710, punkt 16) kordab Berkeley 13 sajandit hiljem Proclusi võetud üldprobleemi. Kuigi kolmnurkade kohta tutvustava demonstratsiooni käigus on alati olemas kindel kolmnurk, siis on demonstreerimisel selle kolmnurga konkreetsed üksikasjad "mainitud". Demonstratsioon tõestab Berkeley sõnul üldist seisukohta kolmnurkade kohta.
Tänapäevasel perioodil kõige paremini arenenud ning ettearvatavalt kõige keerukam ja raskem geomeetriliste diagrammide ülevaade on Kantil. Kant nägi geomeetri konkreetse diagrammi kasutamisel geomeetrilise kontseptsiooni põhjendamisel midagi sügavat epistemoloogilist tähtsust. Sel viisil mõtiskledes on geomeeter
vaatab kontseptsiooni konkreetselt, ehkki mitte empiiriliselt, vaid pigem ainuisikuliselt, nagu see on a priori välja pakkunud, st konstrueeritud, ning milles see, mis tuleneb ehituse üldistest tingimustest, peab üldiselt olema ka konstrueeritud kontseptsiooni objekt. (1781, Puhta põhjuse kriitika, A716 / B744.)
Vastuoluliste vaadete kohta sellest, millised sellised lõigud näitavad, kus skeemid sobivad Kanti geomeetriafilosoofiasse, vaadake Shabel 2003 ja Friedman 2012.
Aastal 19 th sajandi geomeetria ja matemaatika tervikuna läbis revolutsiooni. Kujunesid palju abstraktsemad ja üldisemad kontseptsioonid kui elementides (nt mitte-eukleidilised geomeetriad, komplektid). Euclidi skemaatilise meetodi olemust puudutavad küsimused ei kaotanud kiireloomulisust, vaid meetodit tuli mõista ka matemaatiliselt vigasena. Viimane vaade leidis kõige täpsema väljenduse Moritz Paschi murrangulises töös, kes esitas Paschis (1882) elementaarse geomeetria esimese moodsa aksiomatizationi. Selles näitas Pasch, kuidas saab subjekti arendada ilma viideteta skeemidele või isegi kiirendatud geomeetriliste mõistete diagrammidele. Töö juhendav metoodiline norm on kenasti väljendatud järgmises sageli tsiteeritavas lõigus:
Tegelikult, kui geomeetria on tõeliselt deduktiivne, peab tuletamise protsess olema igas mõttes sõltumatu geomeetriliste mõistete tähendusest, samamoodi nagu see peab olema sõltumatu arvudest; arvesse tuleks võtta ainult seoseid, mis on esitatud asjaomastes ettepanekutes (vastavalt määratlustele) kasutatud geomeetriliste mõistete vahel. (Pasch 1882: 98; rõhutus originaalis. Tõlge siit on pärit Schlimm 2010-st)
Sellest ajast peale on norm juurdunud nii matemaatikas kui ka matemaatika filosoofilistes aruteludes. Just selle juurdumine viimasesse on Mandersi vastulahendus Mandersil 2008 [1995]. Iidse geomeetria arendamise kontol ei näita tõendis diagrammiga tutvumise vajadus deduktiivset tühimikku. Pigem moodustavad skeem ja tekst koos range ja deduktiivse matemaatilise tõestuse.
4.2 Manderi täpne / täpsus eristab üldist probleemi
4.2.1 Täpne / kaas-täpne erinevus
Muistses geomeetrias teksti ja diagrammi vahelise tööjaotuse selgitamiseks eristab Manders Mandersi 2008 [1995] geomeetriliste diagrammide täpseid ja kaastäpsemaid omadusi. Eristamise aluseks on variatsiooni mõiste. Skeemil realiseeritud täpsed tingimused on tingimused, mida teatud diagrammi iga pideva variatsiooni vahemik ei mõjuta. Seevastu täpsed tingimused on mõjutatud, kui diagramm on väikseima erinevusega. Ligikaudu hõlmavad diagrammi täpsed omadused seda, kuidas selle osad määratlevad tasapinnaliste piirkondade lõpliku komplekti, ja nende piirkondade vahelised eraldussuhted. Silmapaistev täpne seos on diagrammi kahe suurusjärgu võrdsus. Näiteks,nurkade BAE ja ECF ebavõrdseks muutmiseks on vaja ainult CF-i positsiooni väikseimat muudatust positsiooni 16 diagrammil.
Mandersi peamine tähelepanek on see, et Eukleidi diagrammid aitavad tõenditele kaasa ainult nende täpset omadust. Euclid ei tuleta diagrammist kunagi täpset omadust, välja arvatud juhul, kui see tuleneb otseselt kahetäpsest omadusest. Suletustena eksponeerimata ulatuste vahelisi suhteid eeldatakse kohe algusest peale või tõestatakse teksti järelduste ahela kaudu. Seda saab hõlpsasti kinnitada väite tõendiga 16. Diagrammil põhinev järeldus on tõestuselt teine ja viimane. Eelkõige järeldatakse sellest, et nurga ACD on suurem kui nurga ACF. See põhineb üliolulisel joonisel nägemisel, et nurga ACD sisaldab nurga ACF. Väidetavalt on tõendeid ka paljudes teistes suhetes. Ehkki skeem neid kiirendab, on need tekstis selgesõnaliselt õigustatud. Ja nende suhetegarelatid on ruumiliselt eraldatud suurusjärgud.
Pole raske hüpoteesida, miks Euclid oleks end niimoodi piiranud. Skeemid näivad suutvat tõestussümbolitena tõhusalt toimida vaid nende täpsusomaduste ja suhete esindamiseks. Skeemide täpsed omadused on liiga täpsustatud, et neid oleks lihtne reprodutseerida ja toetada otsustusvõimet. Nagu Manders ütleb
Praktikal on ressursse, et piirata lahkarvamuste riski skeemilt (selgesõnaliselt) täpselt täpsustatavate omistamiste osas; kuid täpsete omistamiste jaoks puuduvad sellised ressursid ja seetõttu ei saanud see neid lubada, kui nad poleks lahendanud lahendamatult vastuolulisi otsuseid. (Manders 2008 [1995]: 91–92)
Mandersi arusaamad viivad loomulikult mõtteni, et Euclidi argumendid võiks vormistada sarnaselt Venni diagrammide vormistamise viisile Shinis 1994. Euclidi diagrammide kaasas olev täpne teave on diskreetne. Kui selle teabe saamiseks vaadatakse diagrammi, siis on oluline vaid see, kuidas selle jooned ja ringid jagavad piiritletud tasapinnalise alampiirkondade lõplikuks kogumiks. See avab ukse Euclidi skeemide kontseptualiseerimiseks osana Euclidi tõendusmeetodi süntaksist.
4.2.2 Euclidi konstruktsioonide üldprobleem
Selle kontseptsiooni realiseerimine formaalses tõestussüsteemis tähendab, nagu Shin 1994, diagrammide süntaksi ja semantika täpsustamist. Süntaktilise poole pealt tähendab see Euclidi skeemide täpset määratlemist formaalsete objektidena ja reeglite andmist, mille kohaselt skeemid formaalse objektfiguurina Euclidi väidete tuletistes. Semantilisest küljest tähendab see täpsustamist, kuidas tuletatavaid avaldisi tuleb geomeetriliselt tõlgendada, ehk teisisõnu, kuidas täpselt tuleb neid mõista nii, et need esindavad Eukleidi ettepanekuid.
Eukleidi diagrammide semantiline olukord erineb seega Venni omadest. Loogiliste tulemuste tõestamiseks kasutatakse Venni diagramme. Nendega tehtud järeldused on teemaneutraalsed. Eukleidese diagramme kasutatakse geomeetriliste tulemuste tõestamiseks. Nendega tehtud järeldused on teemakohased. Täpsemalt, kuigi Eukleidese tasandi geomeetria objektid on abstraktsed (nt geomeetrilised jooned on laiused), on nad siiski ruumilised. Järelikult ei tekita diagrammide ruumilisust ja esitusulatust ümbritsevad probleemid Euclid'i diagrammide puhul, nagu näiteks Euleri diagrammide puhul. Geomeetria puhul loeb diagrammide ruumilisus nende kasuks. Ruumilised piirangud geomeetriliste konfiguratsioonide osas on võimalikud ka Eukleidese ruumiliste diagrammide korral.
Sellegipoolest, nagu on tunnistatud Eukleidese geomeetriat käsitlevates filosoofilistes kommentaarides antiikajast alates, on Eukleidese diagrammidega esindusliku ulatusega probleeme, millega tuleb silmitsi seista. Mis õigustab ühe geomeetrilise diagrammi omaduste käsitlemist kõigi tõendusvahemikus olevate konfiguratsioonide esindajana? Kuidas saab üks skeem tõestada üldtulemust? Manderi täpne / kaas-täpne eristamine loob aluse osalisele vastusele. Diagrammi täpset omadust saab jagada kõigi tõendusvahemiku geomeetriliste konfiguratsioonide vahel ja seega on sellistel juhtudel õigustatud diagrammilt täpset omaduste lugemist õigustada. Näiteks kolmnurkade tõestuse korral on variatsioon tõendusvahemiku konfiguratsioonide vahel täpsete omaduste muutumine, nt kolmnurkade nurkade suurus,nende külgede vahelised suhted. Neil kõigil on samad täpselt täpsed omadused, st kõik koosnevad kolmest piiritletud lineaarsest piirkonnast, mis koos määravad ala.
See ei ole täielik vastus, kuna Euclidi tõendid hõlmavad tavaliselt algse konfiguratsiooni tüüpi konstruktsioone. Näiteks väite 16 tõestusega täpsustatakse konstruktsiooni kolmnurgal, mille üks külg on pikendatud. Sellistel juhtudel võib diagramm adekvaatselt näidata algse konfiguratsiooni täpsed omadused. Kuid tõendi konstruktsiooni skeemile kohaldamise tulemust ei saa eeldada, et see esindab kõigi konstruktsioonist tulenevate konfiguratsioonide täpset omadust. Selle nägemiseks ei pea arvestama keeruliste geomeetriliste olukordadega. Oletame näiteks, et tõenduse algkonfiguratsiooni tüüp on kolmnurk. Siis skeem
kolmnurk (äge kolmnurk)
tähistab seda tüüpi täpset omadust. Eeldame veel, et tõendi ehituse esimene samm on langeda risti kolmnurga tipust joonele, mis sisaldab tipu vastaskülge. Siis selle sammu diagrammil kandmise tulemus
sama kolmnurk nagu eelmisel pildil, risti ühelt tipult langeva ristiga
lakkab olemast esinduslik. See, et risti jääb diagrammi kolmnurka, on selle täpset tunnust. Kuid on olemas kolmnurki, mille täpsed omadused erinevad algsest diagrammist, kus ehitusetapi rakendamisel saadakse kolmnurgast väljaspool asuv risti. Näiteks kolmnurgaga
Jäme kolmnurk
ehitusetapi rakendamise tulemus on
Jäme kolmnurk, mille puhul risti ühelt terava nurga alt langev ristmik ulatub kolmnurga vastaskülje pikenduseni
4.3 Formaalsed süsteemid FG ja Eu
Ja nii, et eukliidilise konstrueerimise teostamine tüüpskeemil võib põhjustada mitteesindava diagrammi. Eukleidi skemaatiliste tõendite vormistamise keskne ülesanne on selle arvestamine, st selle reeglitega meetodi eraldamine, mis võimaldab eristada üldisi kahetäpsemaid tunnuseid mitte-üldistest omadustest konstruktsioonide skemaatilistel esitustel. Süsteemides FG ja Eu on selle ülesande täitmiseks kaks erinevat lähenemisviisi.
Kasutades FG meetodit, tuleb diagrammiga koostada iga juhtum, mis konstruktsioonist tuleneda võib. Ehituse üldine täpset seost saab sel juhul igal juhul ilmneda. FG nõue, et kõik juhtumid tootaks, oleks muidugi vähe huvipakkuv, kui see ei pakuks ka meetodit nende kõigi tootmiseks. FG pakutav meetod sõltub asjaolust, et süsteemi diagrammides olevad jooned ja ringid on määratletud puhtalt topoloogilises plaanis. Nende tulenev paindlikkus võimaldab sõnastada ja rakendada arvutiprogrammis juhtumite genereerimise üldise meetodi. [9]
Eu- diagrammide sirged ja ringid pole sama paindlikud. Järelikult ei suuda see juhtumianalüüsi kaudu üldise probleemi lahendada, nagu teeb FG. Selle lähenemisviisi keskne idee on võimaldada diagrammidel hoida osalist teavet algusest peale. Jooksul Eu päritolu, diagramm toodetud tõend konstruktsiooni esialgne sisu seisneb kõik kvalitatiivsed suhted tõendi esialgne skeem. Ehituse lisatud objektide kvalitatiivseid suhteid ei saa diagrammilt kohe välja lugeda. Need, mida diagrammilt saab välja lugeda, tuleb tuletada süsteemi reeglite järgi. [10]
Erinevusi FG ja Eu lähenemisviiside vahel Euclidi konstruktsioonide vormistamisel võib mõista nii, et need esindavad erinevaid üldisi arusaamu skeemide rollist matemaatikas. FG kehastab kontseptsiooni, kus diagrammid realiseerivad konkreetselt mitmesuguseid matemaatilisi võimalusi. Nad toetavad matemaatilisi järeldusi, pakkudes neile võimalustele otsest juurdepääsu. Eu vastupidiselt kehastab kontseptsiooni, kus diagrammid teenida esindama ühe sümboli erinevate komponentide kompleks matemaatiliste olukorda. Nad toetavad matemaatilisi järeldusi, võimaldades matemaatilisel arutelul kaaluda kõiki neid komponente ühes kohas ja keskenduda tõendusmaterjali olulistele komponentidele.
5. Skeemid ja tunnetus, rakendused
Vaatamata mõnede ülaltoodud skemaatiliste süsteemide formaalsetele piirangutele kasutatakse praegu paljusid erinevaid süsteeme väga erinevates kontekstides; loogikaõpetus, automatiseeritud mõttekäik, arvutiprogrammide täpsustamine, füüsikaolukordade kohta arutluskäik, arvutiprogrammide graafilised kasutajaliidesed jne. Üldiselt pole veel teada, kui tõhusad (ülaltoodud tähenduses) paljud neist skemaatilistest süsteemidest on. Anname nüüd lühikese ülevaate teistest skemaatilistest süsteemidest ja nende kasutamisest, samuti filosoofilistest probleemidest, mille tõstatas arutelu skemaatilise arutluse staatuse üle.
5.1 Mõned muud diagrammsüsteemid
Väärib märkimist, et paljud matemaatikud ja filosoofid pakkusid välja skemaatilisi süsteeme, sageli koos didaktilise motivatsiooniga. Mõned süsteemid, nagu Lewis Carrolli raamatus “Loogika mäng” (1896), on variandid Euleri ja Venni ettepanekutel. Teised, nagu Frege (1879), kasutasid pigem tasapinnalisi jooni. (Frege märkuse kirjelduse leiate Gottlob Frege'i kirje keerukatest lausetest ja üldisusest. Vt ka Englebretsen 1992.) Carrolli süsteem asendab Venni süsteemi, kuna komplektide komplektid on sõnaselgelt kujutatud diagrammi piirkondadena, mitte jäädes taustapiirkonnaks, mille suhtes ringid ilmuvad. See tähendab, et Carrolli süsteem on võimeline tegema järeldusi omaduste komplementide vaheliste suhete kohta, arvel näidates mõnda atribuuti eraldatuna (st.ühendamata) piirkonnad. See nihe peegeldab täpselt loogika muutust subjekti-predikaadi argumentatsioonilt funktsiooni-argumendi esitamisele (Stenning 1999).
Kaasaegse kvantifitseeritud loogika rajaja Peirce leiutas ka eksistentsiaalsete graafikutega graafilise süsteemi, mis on loogiliselt ekvivalentne predikaatloogikaga. Koos Don Roberti teedrajava tööga eksistentsiaalsete graafikute kohta ja John Sowa Peirce'i graafikute loomingulise rakendusega pakkus hiljuti rühm diagrammiuurijaid mitmekesisemaid lähenemisi eksistentsiaalsetele graafidele laiemas teoreetilises kontekstis (Shin 2003).
Praktilisemal teemal on AI-uurijad, kelle üheks peamiseks mureks lisaks väljendusjõule on esindussüsteemide heuristiline jõud, arutanud aastakümnete vältel erinevaid esindusvorme (Sloman 1971, 1985, 1995). Seetõttu on nad tervitanud arutelusid visuaalse arutluse erilise rolli üle ja viinud hiljuti AI konverentsidel läbi interdistsiplinaarseid sümpoosione skemaatilise arutluse kohta. [11] Mõistes samal ajal, kui inimesed võtavad erinevaid esindusvorme sõltuvalt nende probleemide tüübist, on mõned AI teadlased ja disainiteoreetikud praktiseerinud valdkonnapõhiseid lähenemisviise probleemile kohandatud esitusvormide toomiseks. [12]
Näiteks leiutas Harel (1988) arvutiteaduse süsteemispetsifikaatide esitamiseks hüpergraafiaid. Seda ideed on kasutatud tööstuslikes rakendustes (nt UML, Booch jt 1998). Barker-Plummer & Bailin (1997) tutvustavad arvutite väljatöötamisel juhtumianalüüsi, mis suudab viia läbi analoogilisi mõttekäike, mida inimesed teatud matemaatiliste teoreemide tõestamisel täidavad. Hiljuti esitas huvitava tulemuse Mateja Jamnik Edinburghis Alan Bundy matemaatiliste mõttekäikude töörühmast (Jamnik 2001). Jamnik näitab, kuidas poolautomaatne formaalne tõestussüsteem suudab täita tajutavaid järeldusi, mida inimesed peavad nii loomulikuks. Näiteks, kui esimese n paaritu naturaalarvu summa on n ruudus, on hõlpsasti näha n-n-ruudustiku lagundamisel elliksideks (Jamnik jt 1999).
Brightoni ülikooli teadlased on viinud läbi huvitavaid projekte nii skemaatiliste süsteemide väljatöötamisel kui ka visuaalsete tööriistade rakendamisel tarkvaraarenduses, vaata linki jaotises Muud Interneti-ressursid.
Samuti tuleks mainida, et ka teadlased, näiteks keemikud ja füüsikud, kasutavad teatud arvutuste tegemiseks diagramme. Näiteks aatomituumafüüsikas arvutuste tegemiseks kasutatakse näiteks Feynmani diagramme. Hiljuti on kvantteooria jaoks välja töötatud formaalne skemaatiline arutluskäik (Coecke & Kissinger 2017). Sõlme teoorias (millel on füüsikas rakendusi, Kauffman 1991) on kolm Reidemeistri käiku skemaatilised toimingud, mis moodustavad täieliku kalkulatsiooni sõlme ekvivalentsi tõestamiseks. Pole üllatav, et sõlme diagrammid on teadlaste seas huvi äratanud (De Toffoli & Giardino 2014). Samuti on uuritud diagrammide ja skemaatiliste mõttekäikude olulist rolli kategooriateooria abstraktses matemaatikas (Halimi 2012; De Toffoli 2017).
5.2 Diagrammid kui vaimsed esindused
Kas meie mentaalsetel esitustel on komponentidena skeemi- või pilditaolised olendid? Sellel küsimusel on üksteisest sõltumatult pikk ajalugu nii filosoofias kui ka psühholoogias. Viimasel ajal on mõned filosoofid siiski osalenud sellel „kujunditeemalisel arutelul”, mis on üks psühholoogia kõige auväärsemaid poleemikaid, ja mõned kognitiivsed psühholoogid leiavad, et filosoofias on teatud epistemoloogilisi teooriaid kasulik toetada nende vaadete kohta selles küsimuses.
Vaimse esindatuse olemus on olnud filosoofias üks mitmeaastaseid teemasid ning filosoofilisi arutelusid piltide ja vaimse esindatuse teemal on hõlpsasti võimalik leida muinasajast. [13]Hobbesi, Locke'i, Berkeley ja Hume'i kirjutised puudutavad suures osas mentaalset diskursust, sõnade tähendust, vaimseid pilte, konkreetseid ideesid, abstraktseid ideid, muljeid jne. Descartes'i tuntud erinevus millegi ettekujutamise ja väljamõtlemise vahel on tekitanud palju arutlusi visuaalsete piltide ainulaadse rolli üle vaimsetes representatsioonides. Kognitiivse teaduse areng 20. sajandil on loomulikult lähendanud teatud gruppi filosoofe ja psühholooge ning leiame hulga autoreid, kelle teosed kuuluvad hõlpsalt mõlemasse teadusharu (Block 1983; Dennett 1981; Fodor 1981).
Introspektsioonil põhinevad pildid olid psühholoogia varajases arengus põhirõhk, kuni distsipliinis muutus domineerivaks biheivioristlik lähenemisviis. Biheiviorismi ajastul jäeti mis tahes vaimse kontrolliga seotud asjad, sealhulgas pildid, igasugusest tõsisest uurimiskavast välja. Lõpuks, kui vaimsete piltide teema tegi 1960. aastatel psühholoogias tagasituleku, võtsid teadlased varasemate vaimsete kujundite kava tagasihoidlikuma päevakorra: Kõik vaimse kujutamise kujutised ei hõlma kujutlusi ja kujundlikkus on üks paljudest mõtetes teabe manipuleerimise viisidest. Tänu biheiviorismi mõjule tunnistatakse ka seda, et enesevaatlusest ei piisa kujundite uurimiseks, vaid vaimset kujutlust puudutav väide peab olema eksperimentide abil kinnitatav, et näidata, et viime vaimsed sündmused edukalt välistesse valdustesse. See on,kui see, mida teatud vaimne enesevaatlus meile ütleb, on ehtne, siis oleks sellel vaimsel seisundil täheldatavaid väliseid tagajärgi.
Seega on kognitiivsete teadlaste kaasaegse kujunduse teemaline arutelu väidete kohta, et pilditaolised pildid eksisteerivad vaimsete representatsioonidena, ja selle kohta, kuidas me tõlgendame teatud katseid. [14]
Kosslyn (1980, 1994) ja teised piltnikud (Shepard & Metzler 1971) esitavad eksperimentaalseid andmeid, et toetada nende seisukohta, et mõned meie mentaalsed kujutised on pigem pildid kui keele lineaarne vorm (näiteks looduslikud keeled või kunstlikud sümboolsed keeled) mõned olulised aspektid, ehkki mitte kõik visuaalsed vaimsed pildid ja pildid pole täpselt samasugused. Seevastu Pylyshyn (1981) ja teised kirjeldajad (Dennett 1981) tõstatavad küsimusi mentaalsete piltide pilditaolise seisundi kohta ja väidavad, et mentaalsed pildid moodustatakse struktureeritud kirjeldustest. Nende jaoks kujutavad mentaalsed pildid pigem keelekasutust kui pilte ja seega puuduvad pilditaolised visuaalsed mentaalsed pildid.
Mõlemad arutelu pooled kasutasid vahel toetava tegurina filosoofilist teooriat. Näiteks leidsid kujundiarutelus olevad pildistajad filosoofias tänapäevase mõtestatum-teooria oma vaatepunktile üsna lähedase. Samamoodi väitsid sensatsiooni-datumiteooria kriitikud, et vaimsete piltide ekslik piltlik vaade tuleneb peamiselt meie segadusest tavakeele osas, ning väitsid, et mentaalsed pildid on epifenomenid.
5.3 Diagrammide kognitiivne roll
Ilma et oleks tugevalt osalenud kujundusteemalises arutelus, on mõned teadlased keskendunud selgelt eristatavale rollile, mida skeemidel või piltidel - erinevalt traditsioonilistest sentensiivsetest vormidest - on meie kognitiivses tegevuses. (Shin 2015; Hamami & J. Mumma 2013) Tuginedes oletustele, mille kohaselt inimesed võtavad oma mõttekäikudes konkreetsete või abstraktsete olukordade kohta oma skemaatilisi või ruumilisi sisemisi mentaalseid representatsioone (vt Howell 1976; Sober 1976), on mõned kognitiivteadlased keskendunud pilte või diagramme meie erinevates kognitiivsetes tegevustes, näiteks mälu, kujutlusvõime, taju, navigeerimine, järeldused, probleemide lahendamine jne. Siin on oluliseks uurimisteemaks muutunud visuaalse teabe eristusvõime, mis saadakse kas vaimsete piltide või väliselt joonistatud diagrammide kaudu. Ehkki enamus neist teostest eeldab vaimsete piltide olemasolu (st aktsepteerivad pildistajate väidet), ei pea nad rangelt öeldes võtma endale kohustust arvata, et need pildid eksisteerivad meie tunnetuses põhiliste ühikutena. Kirjeldajad ei pea loobuma arutelust piltide funktsioonide üle, vaid peavad vaid lisama, et need pildid ei ole meie mällu talletatud primitiivsed ühikud, vaid moodustuvad struktureeritud kirjeldustest, mis sarnanevad mõne keele lausetega (vt Pylyshyn 1981).vaid tuleb vaid lisada, et need pildid ei ole meie mällu talletatud primitiivsed ühikud, vaid moodustuvad struktureeritud kirjeldustest, mis sarnanevad mõne keele lausetega (vt Pylyshyn 1981).vaid tuleb vaid lisada, et need pildid ei ole meie mällu talletatud primitiivsed ühikud, vaid moodustuvad struktureeritud kirjeldustest, mis sarnanevad mõne keele lausetega (vt Pylyshyn 1981).
Skeemide selge rolli otsimine on pannud teadlased uurima erinevusi väliste või sisemiste esituste eri vormide vahel ning peamiselt skemaatiliste ja senentsiaalsete esituste vahel. Kognitiivses teaduses on saavutatud palju olulisi tulemusi. Alustades Larkini ja Simoni klassikalisest juhtumiuuringust (1987), et illustreerida esindussüsteemide erinevust informatiivse ja arvutusliku samaväärsuse vahel, leiab Lindsay töö, kus see arvutuslik erinevus seisneb, mida ta nimetab „mitte deduktiivseks” meetodiks. Nagu eespool lühidalt juhiti tähelepanu, nimetatakse Barwise ja Shimojiima (1995) seda järeldusprotsessi nn vabaks sõitmiseks, st järelduseks, mille põhjal järeldatakse järeldust automaatselt ruumide esindatuse põhjal. Gurris, Lee ja Stenningis (1998) ning Stenningis ja sidrunis (2001),selgitatakse skemaatiliste järelduste ainulaadsust tõlgendamise "otsese" astme osas ning väidetakse, et see omadus on suhteline ja seega "mõned sõidud on odavamad kui teised". Graafikute rolli silmas pidades esitavad Wang ja Lee (1993) formaalse raamistiku korrektsete visuaalsete keelte juhiseks. Praegu oleme väga lähedased mitmeliigiliste mõttekäikude kujundamise teooria ja AI uurimistöö rakendusuuringutele, pakkudes neile distsipliinidele visuaalse põhjenduse arvutuslikku tuge. Wang ja Lee (1993) esitavad formaalse raamistiku korrektsete visuaalsete keelte juhisena. Praegu oleme väga lähedased mitmeliigiliste mõttekäikude kujundamise teooria ja AI uurimistöö rakendusuuringutele, pakkudes neile distsipliinidele visuaalse põhjenduse arvutuslikku tuge. Wang ja Lee (1993) esitavad formaalse raamistiku korrektsete visuaalsete keelte juhisena. Praegu oleme väga lähedased mitmeliigiliste mõttekäikude kujundamise teooria ja AI uurimistöö rakendusuuringutele, pakkudes neile distsipliinidele visuaalse põhjenduse arvutuslikku tuge.
Kujutava vaimse kujutamise küsimusega on seotud erinevate skemaatiliste süsteemide semantika uurimine ja see, mida nad saavad meile õpetada keelte olemuse kohta üldiselt (nt Goodman 1968). Näiteks väidab muu hulgas Robert Cummins (1996), et skemaatilistele esindustele on liiga vähe tähelepanu pööratud ja et keskendumine skemaatilise esituse sarnasemale struktuurilise esindatuse mõistele võib aidata esituse enda olemust selgitada. Me usume, et ülaltoodud kaalutlused võimaldavad meil seda tüüpi nõude osas vähemalt empiiriliselt käsitleda - sõltuvalt kasutatavatest kujutluslikest objektidest ja suhetest peaksid valede järelduste mustrid olema etteaimatavad ja tuvastatavad. Selle teema oluline, kui vähetuntud artikkel on Malinas 1991. Siin uurib Malinas piltliku kujutamise ja pildi “tõesuse” mõisteid sarnasuse mõiste kaudu ja kaalub mitmesuguseid pildilise kujutamise semantilisi mõistatusi. Ta arendab Peacocke'i kujutise „Keskteost” (Peacocke 1987), kus pildiobjektide omaduste ja nende viidete visuaalses valdkonnas kogetud sarnasused tekitavad kujutamise seose. Seejärel pakub ta piltidele ametlikku semantikat, mis on “analoogne ideaalse keele semantikaga”.kus pildiobjektide omaduste ja nende viidete nägemisvälja kogenud sarnasused tekitavad kujutamise seose. Seejärel pakub ta piltidele ametlikku semantikat, mis on “analoogne ideaalse keele semantikaga”.kus pildiobjektide omaduste ja nende viidete nägemisvälja kogenud sarnasused tekitavad kujutamise seose. Seejärel pakub ta piltidele ametlikku semantikat, mis on “analoogne ideaalse keele semantikaga”.
Kokkuvõte
Alustasime diagrammide filosoofilise huvi motiveerimisega, nende rolliga inimlikes mõttekäikudes ja seosest keeleõppega üldiselt ning mitmeliigilise teabe töötlemisega. Seejärel selgitasime skemaatiliste süsteemide ekspressiivse jõu ja visuaalse selguse vahelist kompromissi, uurides diagrammisüsteemide ajaloolist arengut Eulerist ja Vennist Peirce'i loomingu kaudu Shini ja Hammeri hiljutistele töödele. Väideti, et skemaatilistele süsteemidele võib anda samasuguse loogilise oleku kui traditsioonilistele lineaarsetele tõendusmaterjalidele. Seejärel selgitasime diagrammilise esituse ja mõttekäigu mõningaid võimalikke kitsaskohti, uurides skemaatiliste süsteemide ruumilisi piiranguid ja kuidas need võivad mõjutada õigsust ja väljendusjõudu. Lõpetasime teiste diagrammisüsteemide vaatlusega,huvi arvutiteaduse ja kognitiivse teaduse tekitatud diagrammide vastu ning andis sissejuhatuse mõttefilosoofias kujundusteemalisse arutellu.
Bibliograafia
Viited
Allwein, G. ja J. Barwise (toim.), 1996, Logical Reasoning with Diagrams, Oxford: Oxford University Press.
Avigad, J. koos E. Deani ja J. Mummaga, 2009, “Formaalne süsteem Eukleidi elementide jaoks”, Ülevaade sümbolilisest loogikast, 2: 700–768.
Barker-Plummer, D. ja S. Bailin, 1997, “Diagrammide roll matemaatilistes tõendusmaterjalides”, masinagraafika ja visioon, 6 (1): 25–56. (Eriväljaanne skemaatilise kujutamise ja põhjendamise kohta).
Barker-Plummer, D., D. Beaver, J. van Benthem ja P. Scotto di Luzio, 2002, Words, Proofs and Diagrams, Stanford: CSLI Publications.
Barwise, J., 1993, “Heterogeenne arutluskäik”, artiklites G. Mineau, B. Moulin ja J. Sowa, (toim), ICCS 1993: Kontseptuaalsed graafikud teadmiste esindamiseks (loengu märkused tehisintellekti osas: köide 699), Berliin: Springer Verlag, lk 64–74.
Barwise, J. ja J. Etchemendy, 1989, “Informatsioon, infod ja järeldused”, Cooper, Mukai ja Perry, (toim), situatsiooniteooria ja selle rakendused, 1. köide, Stanford: CSLI Publications.
–––, 1991, „Visuaalne teave ja põhjendatud arutluskäik”, Zimmerman ja Cunningham, (toim), Matemaatika õpetamise ja õppimise visualiseerimine, lk 9–24. Washington: Ameerika matemaatiline ühendus.
–––, 1993, Esimese astme loogika keel, Stanford: CSLI väljaanded.
–––, 1995, “Heterogeenne loogika”, artiklites J. Glasgow, N. Hari Narayanan ja B. Chandrasekaran (toim), Diagrammatic Reasoning: Cognitive and Computational Perspectives, pages 209–232. Cambridge, MA: AAAI Press / The MIT Press.
Barwise, J. ja A. Shimojima, 1995, “Surrogate Reasoning”, kognitiivsed uuringud: Jaapani kognitiivteaduse seltsi bülletään, 4 (2): 7–27.
Block, N., (toim.), 1981, Imagery, Cambridge, MA: MIT Press.
–––, 1983, „Vaimupildid ja kognitiivne teadus“, Filosoofiline ülevaade, 92: 499–541
Booch, G., J. Rumbaugh ja I. Jacobson, 1999, The Unified Modeling Language Reference Manual, Reading, Mass: Addison-Wesley.
Coecke, B. ja Kissinger, A., 2017, Kvantprotsesside kujutamine. Esimene kursus kvantteooria ja skemaatilise mõttekäigu kohta, Cambridge: Cambridge University Press.
Carroll, L., 1896, Symbolic Logic, New York: Dover.
Chandrasekaran, B., J. Glasgow ja N. Hari Narayanan, (toim), 1995, Diagrammatic Reasoning: Cognitive and Computational Perspectives, Cambridge, MA: AAAI Press / The MIT Press.
Cummins, R., 1996, Esindused, eesmärgid ja hoiakud, Cambridge, MA: MIT Press.
De Toffoli, S., 2017, “Diagrammi tagaajamine - Visualisatsioonide kasutamine algebralise mõtlemise juures”, sümboolse loogika ülevaade, 10 (1): 158–186.
De Toffoli, S. ja Giardino, V., 2014, “Diagrammide vormid ja rollid sõlme teoorias”, Erkenntnis, 79 (4): 829–842.
Dennett, D., 1981, “Piltide olemus ja introspektiivne lõks”, plokk 1981, lk 87–107.
Euclid, Elementide kolmteist raamatut (teine trükk, Vols. I – III), New York, NY: Doveri väljaanded, 1956. Heibergi tekstist tõlgitud Sir Thomas L. Heath'i sissejuhatuse ja kommentaaridega.
Euler, L., 1768, Lettres à une Princesse d'Allemagne, Peterburi; L'Academie Imperiale des Sciences.
Frege, G., 1879, Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle am See: Louis Nebert
Friedman, M., 2012, “Kant geomeetriast ja ruumilisest intuitsioonist”, Synthese, 186: 231–255.
Gardner, M., 1958, Loogikamasinad ja -skeemid, Sussex: Harvester Press.
Goodman, N., 1968, Art Languages of Art: lähenemisviis sümboliteooriale, London: Oxford University Press.
Greaves, M., 2002, Diagrammide filosoofiline staatus, Stanford: CSLI publikatsioonid.
Grigni, M., D. Papadias ja C. Papadimitriou, 1995, “Topoloogilised järeldused”, tehisintellekti rahvusvahelisel ühiskonverentsil (IJCAI '95), lk 901–907, Cambridge, MA: AAAI Press.
Gurr, C., J. Lee ja K. Stenning, 1998, “Skemaatilise arutluse teooriad: komponentide probleemide eristamine”, Minds and Machines, 8: 533–557.
Halimi, B., 2012, “Diagrammid kui visandid”, Synthese, 186 (1): 387–409.
Hamami Y. ja Mumma J., 2013, “Prolegomena eukleidiliste diagrammide põhjendamise kognitiivsele uurimisele”, ajakiri Language, Logic and Information, 22 (4): 421–448.
Hammer, E., 1995a, “Mõistmine lausete ja diagrammidega”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 35 (1): 73–87.
Hammer, E. ja S. Shin, 1998, “Euleri visuaalne loogika”, loogika ajalugu ja filosoofia, 19: 1–29.
Harel, D., 1988, “Visuaalsetest formalismidest”, ACMi teatised, 31 (5): 514–530.
Howell, R., 1976, “Tavalised pildid, vaimsed esindused ja loogilised vormid”, Synthese, 33: 149–174.
Jamnik, M., 2001, Matemaatiline põhjendamine diagrammidega, Stanford: CSLI Publications.
Jamnik, M., A. Bundy ja I. Green, 1999, “Aritmiliste argumentide diagrammiliste tõendite automatiseerimise kohta”, ajakiri Logic, Language and Information, 8 (3): 297–321.
Kant, I., 1781, Puhta põhjuse kriitika, tõlkinud ja redigeerinud P. Guyer ja A. Wood, Cambridge: Cambridge University Press, 1998.
Kauffman, L. 1991, sõlmed ja füüsika, Singapur: World Scientific.
Kosslyn, S., 1980, Image and Mind, Cambridge, MA: Harvard University Press.
–––, 1994, Pilt ja aju: kujundusdebattide lahendamine, Cambridge, MA: MIT Press.
Lambert, JH, 1764, Neues Organon, Berliin: Akademie Verlag, 1990.
Larkin, J. ja H. Simon, 1987, “Miks skeem on (mõnikord) väärt 10 000 sõna”, kognitiivteadus, 11: 65–99.
Leibniz, G., 1704, Uued esseed inimese mõistmise kohta, LaSalle: Open Court Publishing, 1949.
Lemon, O., 2002, “Visuaalsete keelte tõhususe võrdlemine”, Barker-Plummer jt. (toim), 2002, lk 47–69.
Lemon, O., M. de Rijke ja A. Shimojima, 1999, “Diagrammiliste mõttekäikude tõhusus” (toimetus), ajakiri Logic, Language and Information, 8 (3): 265–271.
Lemon, O. ja I. Pratt, 1997, “Ruumiline loogika ja diagrammilise põhjenduse keerukus”, Masingraafika ja nägemus, 6 (1): 89–108, 1997. (Diagrammilise esituse ja põhjendamise eriväljaanne).
Pasch, M., 1882, Vorlesungen über neuere Geometrie, Teubner: Leipzig.
Peacocke, C., 1987, “Depiction”, The Philosophical Review, 96: 383–410
Peirce, CS, 1933, Collected Papers, Cambridge, MA: Harvard University Press.
Pylyshyn, Z., 1981, “Kujutised ja tehisintellekt”, N. Block, (toim), Readings in Psychology Philosophy, 2. köide, lk 170–196. Cambridge, MA: Harvard University Press.
Roberts, D., 1973, Charles S. Peirce'i eksistentsiaalsed graafikud, Haag: Mouton.
Russell, B., 1923, “Vagueness”, J. Slater (toim.), Esseed keelest, meelest ja asjadest: 1919–26 (Bertrand Russelli kogutud paberid), lk 145–154. London: Unwin Hyman.
Schlimm, D., 2010, “Paschi matemaatikafilosoofia”, ülevaade sümboliloogikast, 3 (1): 93–118.
Shabel, L., 2003, Matemaatika Kanti kriitilises filosoofias: Reflections on Mathematical Practice, New York: Routledge.
Shepard, R. ja J. Metzler, 1971, “Kolmemõõtmeliste objektide vaimne pöörlemine”, Science, (171): 701–3.
Shimojima, A., 1996a, Esinduse tõhusus, Ph. D. lõputöö, Indiana ülikool.
–––, 1999, „Piiranguid säilitavad esindused”, L. Moss, J. Ginzburg ja M. de Rijke, (toim), loogika, keel ja arvutus: 2. köide, CSLI loenguteated nr 96, lk 296– 317. Stanford: CSLI väljaanded.
Shin, S., 1994, Diagrammide loogiline olek, Cambridge: Cambridge University Press.
––– 2003, Peirce'i graafikute ikooniline loogika, Cambridge: MIT Press (Bradford).
–––, 2015, „Lahenduste mõistatus ja kujutamise diagrammilised aspektid“, ülevaade filosoofiast ja psühholoogiast: piltlik ja ruumiline esitus, 6: 49–67.
Sloman, A., 1971, “Filosoofia ja AI vastastikmõju: intuitsiooni ja mitteloogiliste mõttekäikude roll intelligentsuses”, Proceedingsi teisel tehisintellekti rahvusvahelisel ühiskonverentsil, Los Altos, Californias: Morgan Kaufmann.
–––, 1985, „Miks me vajame paljusid teadmiste esitamise vorminõudeid“, M. Bramer, (toim), Research and Development in Expert Systems, lk 163–183.
Stenning, K., 1999, “Das Spiel der Logiku ülevaade, autor Lewis Carrol”, Journal of Symbolic Logic, 64: 1368–1370.
Stenning, K. ja O. Lemon, 2001, “Loogiliste ja psühholoogiliste vaatenurkade joondamine diagrammilises mõttekäigus”, tehisintellekti ülevaade, 15 (1–2): 29–62. (Kordunud on diagrammide mõtestamine, Kluwer, 2001.)
Tye, M., 1991, The Imagery Debate, Cambridge, MA: MIT Press.
Wang, D. ja J. Lee, 1993, “Visual Reasoning: its Formal Semantics and Applications”, Visual Languages and Computing, 4: 327–356.
Wittgenstein, L., 1921, Tractatus Logico-Philosophicus, B. Pears ja B. McGuinness (trans), London: Routledge & Kegan Paul, 1961
Zeman, J., 1964, Ph. D. CS Peirce'i graafiline loogika. väitekiri, Chicago ülikool.
Vastav kirjandus
Barwise, J. ja E. Hammer, 1994, “Diagrammid ja loogilise süsteemi kontseptsioon”, Gabbay, D. (toim.), Mis on loogiline süsteem? New York: Oxford University Press.
Hammer, E., 1995b, loogika ja visuaalne teave, loogika, keele ja arvutustehnika uuringud. Stanford: CSLI väljaanded ja FoLLI.
Hammer, E. ja S. Shin, 1996, “Euler ja visualiseerimise roll loogikas”, Seligman, J. ja Westerståhl, D. (toim), loogika, keel ja arvutus: 1. köide, CSLI loengu märkused # 58, lk 271–286. Stanford: CSLI väljaanded.
Kneale, W. ja Kneale, M., 1962, The Development of Logic, Oxford: Clarendon Press.
Lemon, O., 1997, “Loogika ja visuaalse teabe ülevaade, autor EM Hammer”, ajakiri Loogika, keel ja teave, 6 (2): 213–216.
Roberts, D., 1992, “Charles S. Peirce'i eksistentsiaalsed graafikud”, arvuti ja matemaatika. Rakendus., (23): 639–663.
Shimojima, A., 1996b, “Operatiivsed piirangud skemaatilises mõttekäigus”, J. Barwise ja G. Allwein, (toim), Logical Reasoning with Diagramms, New York: Oxford University Press, lk 27–48.
–––, 1996c, “Põhjendamine diagrammide ja geomeetriliste piirangutega”, Seligman, J. ja Westerståhl, D. (toim), loogika, keel ja arvutus: 1. köide, CSLI loengute märkused nr 58, lk 527–540. Stanford, CSLI väljaanded.
Shin, S., 1991, “Venni diagrammidega põhjendatud situatsiooniteoreetiline ülevaade”, J. Barwise, J. Gawron, G. Plotkin ja S. Tutiya, (toim), situatsiooniteooria ja selle rakendused: köide 2, CSLI loengu märkused nr 26, lk 581–605. Stanford: CSLI väljaanded.
–––, 1999, “Beetagraafikute taastamine efektiivseks süsteemiks”, ajakiri Logic, Language and Information, 8: 273–295.
––– 2000, “Beetagraafikute ikoonilisuse taaselustamine”, Anderson, Cheng ja Haarslev, (toim), Diagrammide teooria ja rakendamine, lk 58–73. Springer-Verlag.
–––, 2002a, Peirce'i graafikute ikooniline loogika, Cambridge, MA: MIT Press.
–––, 2002b, „Peirce'i alfa-graafikute mitu lugemist“, osades M. Anderson, B. Meyer ja P. Olivier (toim), diagrammiline esitus ja arutluskäik, London: Springer-Verlag, lk 297–314.
