Esmakordselt avaldatud teisipäeval 10. aprillil 2008; sisuline redaktsioon esmaspäeval 20. aprillil 2015
Mõisted on huvitatud filosoofidest juba iidsetest aegadest. Platoni varastes dialoogides kujutatakse Sokratest küsimusi määratluste kohta (nt eutüfroosas “Mis on vagadus?”) - küsimusi, mis tunduvad korraga põhjalikud ja raskesti mõistetavad. Anselmi „Ontoloogiliste tõendite” põhietapp Jumala olemasolul on „Jumala” määratlus ja sama, mis Descartesi versiooni väitest tema Meditatsioonis V. Hiljuti on Frege-Russelli arvu määratlus ja Tarski tõe määratlus kujundanud kujundava mõju paljudele tänapäevastele filosoofilistele aruteludele. Kõigil neil juhtudel - ja neid võib tsiteerida ka paljudes teistes - pole ainult konkreetsete määratluste üle vaieldud; Samuti on vaieldud määratluste olemuse ja nõudmiste üle. Mõnda neist aruteludest saab lahendada vajalike eristuste abil,sest definitsioonid ei ole kõik ühte tüüpi: definitsioonid täidavad mitmesuguseid funktsioone ja nende üldine iseloom varieerub sõltuvalt funktsioonist. Mõnda muud arutelu pole siiski nii hõlpsalt lahendada, kuna need hõlmavad vaieldavaid filosoofilisi ideid nagu olemus, kontseptsioon ja tähendus.
1. Mõni määratlusvorm
1.1 Reaalne ja nominaalne määratlus
1.2 Sõnastiku määratlused
1.3 Stipulatiivsed määratlused
1.4 Kirjeldavad määratlused
1.5 Selgitavad mõisted
1.6 Ostensiivsed määratlused
1.7 märkus
2. Mõistete loogika
2.1 Kaks kriteeriumi
2.2 Traditsioonilise konto alused
2.3. Konservatiivsus ja kõrvaldatavus
2.4 Mõisted tavapärases vormis
2.5 Kaudsed määratlused
2.6 Nõiaringi põhimõte
2.7 Ringmääratlused
Bibliograafia
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed
1. Mõni määratlusvorm
Tavaline diskursus tunnistab võimalike määratlusobjektidena mitut erinevat tüüpi asju ja see määratleb asja määratlemiseks mitut tüüpi tegevust. Mõne näite saamiseks räägime komisjonist, mis määratleb piiri kahe riigi vahel; kui Riigikohtu otsused määratlevad „isiku” ja „kodaniku”; keemikust, kes avastas kulla määratluse, ja leksikograafist - "lahe"; arutelus osaleja määratlemine vaidlusaluse küsimuse määratlemiseks; ja matemaatik määratledes rühma. Siin määratletakse erinevat laadi asju: piir, õiguslik seisund, sisu, sõna, tees ja abstraktne liik. Pealegi pole kõigil erinevatel määratlustel sama eesmärk: piirikomisjon võib püüda saavutada täpsust; Riigikohus, õiglus;keemik ja leksikograaf, täpsus; arutleja, selgus; ja matemaatik, viljakus. Seega võivad standardid, mille alusel määratlusi määratletakse, erineda üksteisest erinevalt. Erinevad määratlused võib ehk arvata Aristoteli valemi alla, mille kohaselt määratlus annab asjale põhiolemuse. Kuid see rõhutab ainult tõsiasja, et “asja olemuse andmine” ei ole ühtne tegevus.
Ka filosoofias mängitakse sageli mitut erinevat tüüpi määratlust ja definitsioonid võivad teenida paljusid erinevaid funktsioone (nt täpsuse ja selguse suurendamiseks). Kuid filosoofias on ka definitsioonid kutsutud üles etendama väga eristavat rolli: see on epistemoloogiliste probleemide lahendamine. Näiteks tõstatab probleemi matemaatiliste tõdede epistemoloogiline staatus. Immanuel Kant arvas, et need tõed on a priori sünteetilised ning nende staatuse arvessevõtmiseks pakkus ta välja ruumi ja aja teooria, nimelt ruumi ja aja vastavalt välise ja sisemise taju vormidena. Gottlob Frege ja Bertrand Russell püüdsid Kanti teooriat õõnestada, väites, et aritmeetilised tõed on analüütilised. Täpsemalt üritasid nad aritmeetiliste mõistete määratlustest tuletada aritmeetiliste põhimõtete tuletise,kasutades ainult loogilisi seadusi. Frege-Russelli projekti õnnestumiseks peab kasutatavatel määratlustel olema eriline märk. Need peavad olema kontseptuaalsed või seletavad tähendust; need ei saa olla sünteetilised. Just selline määratlus on viimase sajandi jooksul äratanud kõige rohkem huvi ja kõige rohkem poleemikat. Ja just selline määratlus on meie peamine mure. Alustame mõne esialgse, kuid olulise eristamisega. Alustame mõne esialgse, kuid olulise eristamisega. Alustame mõne esialgse, kuid olulise eristamisega.
1.1 Reaalne ja nominaalne määratlus
John Locke eristas oma essees „tegelikku olemust“nominaalsest olemusest. Nominaalne olemus on Locke'i sõnul „abstraktne idee, millele nimi on lisatud (III.vi.2)”. Niisiis, nime "kuld" nominaalne olemus, ütles Locke, "on see kompleksne idee, mida tähistab sõna kuld, olgu see näiteks kehakollane, teatud kaaluga, painduv, sulanduv ja fikseeritud." Kulla tegelik olemus on seevastu selle keha tundmatute osade moodustamine, millest sõltuvad need omadused [nimetatud nominaalses olemuses] ja kõik muud kulla omadused (III.vi.2). " Ligikaudne viis tegelike ja nominaalsete määratluste eristamiseks on Locke'i järgi öelda, et esimene avaldab tegelikku olemust, teine aga nominaalset olemust. Keemiku eesmärk on tegelik määratlus,arvestades, et leksikograafi eesmärk on nominaalne määratlus.
See eristamine on umbkaudne, kuna zooloogi „tiigri” määratlust tuleks pidada tegelikuks määratluseks, ehkki see ei pruugi pakkuda tiigri „tundmatute osade moodustamist”. Veelgi enam, sõna tähenduse arvessevõtmist tuleks pidada nominaalseks määratluseks, ehkki see ei pruugi Lockeani vormis väljendada „abstraktset ideed, millele nimi on lisatud”. Võib-olla on abiks tegeliku ja nominaalse määratluse eristamine järgmiselt: mõiste (X) tegeliku määratluse avastamiseks tuleb uurida asja (või asju), mida tähistab (X); nominaalse määratluse avastamiseks tuleb uurida (X) tähendust ja kasutamist. Kas otsitakse vastust Sokratese küsimusele “Mis on voorus?” on reaalse määratluse või nominaalse määratluse otsimine sõltub selle konkreetse filosoofilise tegevuse kontseptsioonist. Sokratese küsimusega tegeledes püüame saada selgemat pilti sõna „vooruse” kasutamisest või püüame anda ülevaate ideaalist, mis on mingil määral nendest kasutusviisidest sõltumatu? Varasema kontseptsiooni kohaselt seame eesmärgiks nominaalse määratluse; viimase all, reaalsel määratlusel.meie eesmärk on nominaalne määratlus; viimase all, reaalsel määratlusel.meie eesmärk on nominaalne määratlus; viimase all, reaalsel määratlusel.
„Tegeliku määratluse” alla kuuluvate erinevate tegevuste kriitilise arutelu leiate Robinson 1950. Muistsete definitsioonide kohta vaata Charles 2010 esseesid.
1.2 Sõnastiku määratlused
Nominaalsed määratlused - definitsioonid, mis selgitavad mõiste tähendust - ei ole kõik ühte tüüpi. Sõnastik selgitab mõiste tähendust selle fraasi ühes tähenduses. Sõnaraamatute eesmärk on pakkuda määratlusi, mis sisaldavad piisavalt teavet mõiste mõistmiseks. Keelekasutajate jaoks on tõsi, et saame kuidagi aru ja kasutame mõistet sisaldavate lausete potentsiaalset lõpmatust, kui meile on antud selle termini kohta teatav väike kogus teavet. Täpselt, kuidas see juhtub, on suur mõistatus. Kuid siiski juhtub ja sõnaraamatud kasutavad seda fakti ära. Pange tähele, et sõnastiku sissekanded pole ainulaadsed. Erinevad sõnastikud võivad anda erinevat bitti teavet ja on samas võrdselt tõhusad mõistete tähenduste selgitamisel.
Filosoofide otsitavad mõisted ei ole sellised, mida leitakse sõnaraamatust. Frege arvu määratlust (1884) ja Alfred Tarski tõe määratlust (1983, ptk 8) ei pakuta sõnaraamatu kannete kandidaatidena. Kui epistemoloog otsib mõiste „teadmised” määratlust, ei otsi ta sõna „teadma” head sõnastiku sissekannet. Filosoofilist määratluspüüdlust võib mõnikord viljakalt iseloomustada kui tähenduse seletuse otsimist. Kuid tähenduse selgitamise tähendus on siin väga erinev tähendusest, milles sõnaraamat seletab sõna tähendust.
1.3 Stipulatiivsed määratlused
Tingimuslik määratlus annab määratletud terminile tähenduse ega hõlma kohustust, et määratud tähendus oleks kooskõlas termini varasema kasutamisega (kui see on olemas). Stipulatiivsed määratlused on epistemoloogiliselt erilised. Nad annavad otsuseid epistemoloogiliste tunnustega, mis on mujal mõistatuslikud. Kui määratletakse tinglikult „raimex” kui ratsionaalne, kujutlusvõimeline ja kogetav olemine, siis tagatakse, et otsus „raimexid on ratsionaalne” on vajalik, kindel ja a priori. Filosoofide arvates on ahvatlev selgitada mõistatuslikke juhtumeid, näiteks aprioriteeti, apelleerides tinglikele määratlustele.
Saul Kripke (1980) on juhtinud tähelepanu erilisele tinglikule määratlusele. Me võime tinglikult kehtestada uue nime (nt 'Jack the Ripper') kirjelduse kaudu (nt 'mees, kes mõrvas (X, Y \ ja (Z) "). Sellise tingimuse kohaselt, kirjeldas Kripke, on kirjeldus üksnes uue nime viite fikseerimiseks; nimi ei ole kirjelduse sünonüüm. Sest, kohtuotsus
(1) Jack the Ripper on mees, kes mõrvas (X, Y) ja (Z), kui mõrvad pani toime ainulaadne mees
on tingimuslik, kuigi kohtuotsus
Jack Ripper on Jack Ripper, kui mõrvad pani toime ainulaadne mees
on vajalik. Kripke väitel on selline nimi nagu "Jack the Ripper" jäik: see valib sama inimese läbi kõigi võimalike maailmade; kirjeldus seevastu ei ole jäik. Kripke kasutas selliseid viidete kinnistamise tingimusi selleks, et vaielda tingimuslike a priori tõdede olemasolu üle (1). Viidates fikseerivaid kohustuslikke määratlusi võib anda mitte ainult nimedele, vaid ka muude kategooriate mõistetele, nt tavalised nimisõnad.
Vt Frege 1914, et kaitsta ägedat seisukohta, et vähemalt matemaatikas tuleks vaid kohustuslikke määratlusi toetada. [1]
1.4 Kirjeldavad määratlused
Kirjeldavad määratlused, nagu ka tinglikud, täpsustavad tähendust, kuid nende eesmärk on ka olemasolevale kasutamisele vastavus. Kui filosoofid pakuvad määratlusi näiteks „tean” ja „vaba”, ei ole need tinglikud: olemasolevale kasutamisele mittevastavus on neile vastuväide.
Kasulik on eristada määratluse kirjeldava adekvaatsuse kolme klassi: laiendavat, intentsionaalset ja mõistuslikku. Määratlus on lisaks piisav, kui sellel puuduvad tegelikud vastanäited; see on tahtlikult piisav, kui sellele pole võimalikke näiteid; ja see on mõistlik (või analüütiline), kui see annab määratletud termini õigele tähendusele. (Viimane adekvaatsuse aste jaguneb erinevateks mõisteteks, sest mõistust saab sõnastada mitmel erineval viisil.) Mõiste „vesi on H 2 O” on näiteks intensiivselt adekvaatne, kuna vee ja H 2 on identsed. O on vajalik (eeldades Kripke-Putnami vaadet looduslike terminite jäikuse kohta); seetõttu on ka määratlus laiemalt piisav. Kuid see ei ole mõttes piisav, sest 'vee' tähendus ei ole üldse sama mis 'H 2 O'. Määratlus „George Washington on Ameerika Ühendriikide esimene president” on piisav ainult laiendavalt, kuid mitte kahes ülejäänud klassis, samas kui „inimene on naeruv loom” ei ole kõigis kolmes klassis piisav. Kui definitsioone kasutatakse epistemoloogiliseks otstarbeks, on intentsionaalne adekvaatsus üldiselt ebapiisav. Sellised määratlused ei saa kinnitada problemaatilise teema ratsionaalsust ega prioriteetsust.
Skeptilisuse kohta analüütiliste määratluste osas vaadake Quine 1951 ja 1960; vt ka sissekannet analüütilise / sünteetilise eristamise kohta. Horty 2007 pakub teatud viise määratletud väljendite meelte mõtlemiseks, eriti Fregeani semantilise teooria raames.
1.5 Selgitavad mõisted
Mõnikord ei pakuta definitsiooni ei kirjeldavalt ega tinglikult, kuid Rudolf Carnap (1956, §2) nimetas seda selgituseks. Selgituse eesmärk on austada mõne termini keskset kasutamist, kuid teiste osas on see kohustuslik. See selgitus võib olla olemasoleva ebatäiusliku kontseptsiooni absoluutne täiustus. Või võidakse seda terminina „hea asja all mõelda” konkreetses kontekstis ja konkreetsel eesmärgil. (Tsiteeritud fraas tuleneb Alan Ross Andersonist; vt Belnap 1993, 117.)
Selgituse lihtsa illustratsiooni annab järjestatud paari määratlus komplekti teoorias. Siin on paar (langle x, y \ rangle) määratletud kui komplekt ({ {x }, {{x, y } }). Vaadates seda seletust, ei püüa see määratlus hõlmata kõiki tellitud paari eelnevate matemaatikas (ja tavaelus) kasutamise aspekte; selle asemel on selle eesmärk tabada olulised kasutusalad. Oluline fakt tellitud paari kasutamise kohta on see, et seda juhib põhimõte, et paarid on identsed, kui nende vastavad komponendid on identsed:
) langle x, y \ rangle = \ langle u, v \ rangle \ text {iff} x = u \ amp y = v.)
Ja saab kontrollida, kas ülaltoodud määratlus vastab põhimõttele. Määratlusel on mõned tagajärjed, mis ei ole kooskõlas tavapärase mõistega. Näiteks tähendab definitsioon, et objekt (x) on paari liige (langle x, y \ rangle) ja see implikatsioon ei kuulu tavamõiste alla. Kuid mittevastavus ei ole seletamise vastuväide. Selgituse jaoks on oluline mitte eelnev tähendus, vaid funktsioon. Kuni viimane säilib, saab neist end lahti lasta. Just see seletamise tunnus pani WVO Quine'i (1960, §53) oma voorusi ülistama ja säilitama „tellitud paari” määratluse kui filosoofilise paradigma.
Tõe funktsionaalne tingimuslik kirjeldus on veel üks näide. See tingimuslik erineb tavapärasest tingimuslikust mõnes olulises osas. Sellegipoolest võib tõepõhist tinglikku tingimust esitada tavalise tingimusliku seletusena teatud eesmärkidel teatud kontekstides. Kas ettepanek on piisav, sõltub olulisel määral kõnealustest eesmärkidest ja kontekstist. See, et need kaks tingimust erinevad olulises, isegi olulises osas, ei diskvalifitseeri ettepanekut automaatselt.
1.6 Ostensiivsed määratlused
Ostensiivsed määratlused sõltuvad tavaliselt kontekstist ja kogemusest. Oletame, et vestluskontekst muudab ühe koera nähtavaks paljude seas. Siis võib nime "Freddie" tutvustada tingimuse "lase Freddil olla see koer" kaudu. Teise näitena oletame, et vaatate põõsa oksa ja tutvustate tinglikult nimetust „Charlie” järgmiselt: „las Charlie on selle oksa putukas”. Selle määratluse abil saab „Charlie” viitaja siduda isegi siis, kui oksal on palju putukaid. Kui teie visuaalsed kogemused pakuvad teile ainult ühte neist putukatest (ütleme, kuna teised on liiga väikesed, et neid nähtavaks teha), tähistab see putukas kirjelduse „sellel harudel olev putukas” kasutamist. Saame kogemusest mõelda kui teema tutvustamist piiratud osaga maailmast. See osa võib olla osmendava definitsiooni avaldiste hindamispunkt.[2] Järelikult võib määratlus kogemuste abil seostada määratletud terminit, kui ilma selle abita ta seda ei tee. Selles näites ei tähista kirjeldus „putukas sellel oksal” seda, kui seda hinnatakse maailmas tervikuna, kuid see tähistab, kui seda hinnatakse selles osas, mis on teie visuaalses kogemuses esitatud. Vaadake Gupta 2019, et saada ülevaade kogemuste panusest ostensiivselt määratletud mõiste tähenduses.
Kiire määratlus võib põhjustada keele olulist rikastamist. 'Charlie' varjatud määratlus rikastab keelt konkreetse putuka nimega ja võib juhtuda, et enne rikastamist puudusid keelel ressursid selle konkreetse putuka tähistamiseks. Erinevalt teistest tuttavatest definitsioonidest võivad ostensiivsed määratlused kehtestada mõisteid, mis on vältimatud. (Niisiis, ostensiivsed määratlused ei pruugi vastata allpool selgitatavale eemaldatavuse kriteeriumile; need võivad täita ka allpool selgitatud konservatiivsuse kriteeriumi.)
Ostensiivsete definitsioonide võime tutvustada sisuliselt uut sõnavara on pannud mõtlejad mõtlema neile kõigi primitiivsete mõistete allikana. Seega väidab Russell inimteadmistes seda
kõik nominaalsed definitsioonid, kui neid piisavalt kaugele lükata, peavad lõppkokkuvõttes viima terminiteni, millel on ainult ostensiivsed definitsioonid, ja empiirilise teaduse korral peavad empiirilised terminid sõltuma terminitest, millele ostensiivne määratlus on ette nähtud. (lk 242)
CH Whiteley võtab osas „Tähendus ja ebamäärane määratlus” eelduse, et ostensiivsed määratlused on „vahendid, mille abil mehed õpivad enamike, kui mitte kõigi, nende keeles nende elementaarsete väljendite tähendusi, milles muud väljendid on määratletud.” (332) Siiski tuleb märkida, et miski ostensiivsete määratluste loogikas ja semantikas ei nõua mõistete või keeleõppe fundamentalistlikku pilti. Ludwig Wittgenstein kritiseeris selliseid fundamentalistlikke pilte otsustavalt oma filosoofilistes uurimustes. Wittgensteini positiivsed seisukohad ostensiivse määratluse osas jäävad siiski tabamatuks; tõlgendamise kohta vt Hacker 1975.
Lühimääratlused on olulised, kuid meie arusaam neist jääb algelisele tasemele. Nad väärivad loogikute ja filosoofide suuremat tähelepanu.
1.7 märkus
Liigid, millesse oleme määratlusi sorteerinud, ei ole üksteist välistavad ega ammendavad. Mõiste tinglik määratlus võib, nagu juhtub, olla ulatuslikult piisav selle mõiste eelnevale kasutamisele. Sõnastik võib pakkuda mõne sõna (nt värvisõna) ostensiivseid määratlusi. Väljendav määratlus võib olla ka seletav. Näiteks saab pakkuda olemasoleva kontseptsiooni „üks jalg“täiustust: „laske ühel jalal olla selle varda praegune pikkus". Varasemas kasutuses võib mõiste „üks jalg” olla üsna ebamäärane; näiliselt sisse toodud selgitus võib seevastu olla suhteliselt täpne. Lisaks, nagu näeme allpool, on ka muid määratlusi, mida seni ei käsitleta.
2. Mõistete loogika
Paljusid määratlusi - tinglikke, kirjeldavaid ja seletavaid - saab analüüsida kolme ossa: määratletud mõiste, mis on määratletud ((X)), avaldatud mõiste, mis sisaldab määratletud terminit ((ldots X \ ldots)), ja veel üks avaldis ((- - - - - -))), mis võrdub definitsiooniga selle avaldisega. Selliseid määratlusi saab esitada järgmiselt:
(Me jätame kõrvale ostensiivsed definitsioonid, mis nõuavad ilmselgelt rikkamat esitust.) Kui määratletud mõiste on kontekstist selged, võib esitust lihtsustada
) ldots X \ ldots \ eqdf - - - - - - -.)
Väljend '(eqdf)' vasakpoolses servas (st (ldots X \ ldots)) on määratluse lõplik punkt ja paremal pool olev väljend on selle määratlused - eeldatakse, et definiendum ja definiens kuuluvad samasse loogilisse kategooriasse. Pange tähele erinevust määratletud termini ja määratluse vahel: antud näites määratletud mõiste on (X); definiendum on '(eqdf)' vasakus servas määratlemata väljend, mis võib olla või mitte olla identne (X) -ga. (Mõned autorid nimetavad määratletud terminit „definiendumiks”; teised kasutavad väljendit segaduses, viidates mõnikord määratletud terminile ja mõnikord ka konkreetsele definiendumile.) Kõik loogilises ja filosoofilises kirjanduses leiduvad definitsioonid ei mahu skeemi alla (2). Näiteks osalised määratlused jäävad skeemist välja;teise näite pakuvad loogiliste konstantide määratlused neid reguleerivate sissejuhatuse ja eemaldamise reeglite osas. Sellegipoolest on punktile 2 vastavad määratlused kõige olulisemad ja need on meie peamine mure.
Keskendume tinglikele määratlustele ja mõelgem nende loogikale. Mõned olulised õppetunnid viivad, nagu näeme, kirjeldavate ja seletavate määratluste juurde. Vaatleme lihtsuse huvides juhtumit, kus ühtne määratlus kehtestab tinglikult mõiste. (Mitu määratlust tekitab küll tingliku keerukuse, kuid ei tekita uusi kontseptuaalseid probleeme.) Oletagem, et aluskeelt (L) laiendatakse laiendatud keelele uue termini (X) lisamisega (L ^ {+}), kus (X) on tinglikult määratletud vormi (2) definitsiooni (matemaatiline {D}) abil. Millised loogilised reeglid reguleerivad (matemaatilist {D})? Millistele nõuetele määratlus peab vastama?
Enne nende küsimustega tegelemist pange tähele vahet, mida loogikaraamatutes pole märgitud, kuid mis on kasulik määratluste mõtestamisel. Ühes definitsiooniliigis - nimetage seda homogeenseks määratluseks - määratletud mõiste ja definiendum kuuluvad samasse loogilisse kategooriasse. Niisiis, ainsuse terminit defineeritakse ainsuse kaudu; üldtermin üld termini kaudu; lause lause kaudu; ja nii edasi. Ütleme nii, et homogeenne määratlus on regulaarne, kui selle määratlus on identne määratletud terminiga. Siin on mõned näited tavalistest homogeensetest määratlustest:
) silt {3} alusta {joonda *} 1: 1 & \ eqdf \ tekst {0 järeltulija, \\ \ tekst {mees}: \ tekst {mees} & \ eqdf \ tekst {ratsionaalne loom}, \\ \ tekst {tõeline}: \ tekst {tõeline} & \ eqdf \ tekst {kõik on iseendaga identne}. \ lõpeta {joonda *})
Pange tähele, et "tõene", nagu eespool määratletud, kuulub lause kategooriasse, mitte ainsuse alla.
Mõnikord öeldakse, et määratlused on pelgalt lühendite retseptid. Nii räägivad Alfred North Whitehead ja Bertrand Russell definitsioonidest, eriti neist, mida kasutatakse Principia Mathematica tekstis, et need on „rangelt öeldes tüpograafilised mugavused (1925, 11)”. Sellel seisukohal on usutavus ainult tavaliste homogeensete määratluste korral - kuigi see pole tegelikult isegi siin rakendatav. (Whiteheadi ja Russelli enda tähelepanekud teevad selgeks, et nende määratlused pole midagi enamat kui lihtsalt „tüpograafilised mugavused”. [3]) Mõte, et definitsioonid on pelgalt lühendid, ei ole teise tüüpi määratluse jaoks üldse usutav, mille poole nüüd pöördume..
Teise määratluse liigi korral nimetage seda heterogeenseks määratluseks - määratletud mõiste ja definiendum kuuluvad erinevatesse loogilistesse kategooriatesse. Nii võib näiteks üldterminit (nt 'mees') määratleda senentsiaalse määratluse abil (nt '(x) on mees). Teise näite korral võib ainsuse (nt '1') määratleda predikaadi abil (nt 'on identne 1'). Heterogeensed määratlused on palju levinumad kui homogeensed. Näiteks tuttavates esimese astme keeltes on mõttetu määratleda ühekohaline predikaat (G) homogeense määratluse abil. Neil keeltel pole ressursse liitpredikaatide moodustamiseks; seega on (G) homogeense määratluse definitsioonid kindlasti aatomilised. Heterogeenses määratluses võivad definiendid olla hõlpsalt keerulised; näiteks,) silt {4} Gx \ eqdf x \ gt 3 \ amp x \ lt 10.)
Kui keeles on seade abstraktsiooniks, nt komplektide moodustamiseks, võiksime anda teistsuguse heterogeense määratluse: (G):
) tag {5} text {komplekt} G \ text {s} eqdf \ text {numbrite komplekt vahemikus 3 kuni 10}.]
Pange tähele, et selline heterogeenne määratlus nagu (4) pole pelk lühend. Sest kui see oleks, siis poleks selles sisalduv väljend (x) ehtne muutuja ja määratlus ei anna juhiseid (G) rolli kohta teistes kontekstides kui (Gx). Pealegi, kui sellised määratlused oleksid lühendid, kehtiks nende suhtes nõue, et definiendum peab olema lühem kui definiens, kuid sellist nõuet ei eksisteeri. Teisest küljest pole tõelistel määratluste nõuetel vähe mõtet. Järgmine säte ei ole õigustatud määratlus:
) silt {6} Gx \ eqdf x \ gt y \ amp x \ lt 10.)
Kuid kui seda vaadelda pelgalt lühendina, pole selles midagi ebaseaduslikku.
Mõned tinglikud määratlused pole muud kui lihtsalt lühendid (nt määratlused, mis reguleerivad valemites sulgude väljajätmist; vt kirik 1956, §11). Paljud kohustuslikud määratlused ei ole sedalaadi; nad tutvustavad meie diskursuses tähenduslikke esemeid. Seega muudab definitsioon (4) (G) tähendusliku unariaalse predikaadi: (G) väljendab (4) kohaselt konkreetset mõistet. Seevastu ei ole sätte (6) kohaselt (G) tähenduslik predikaat ega väljenda mingisugust mõistet. Kuid mis on erinevuste allikas? Miks on (4) õigustatud, kuid mitte (6)? Üldisemalt, millal on määratlus õigustatud? Milliseid nõudeid peavad definitsioonid täitma? Ja kas selles küsimuses on lõplik? Kas definiendum peab olema näiteks aatomiaatom, nagu punktides 3 ja 4? Kui ei, siis millised piirangud (kui neid on) on definiendumil olemas?
2.1 Kaks kriteeriumi
Nendele küsimustele vastamisel on usutav nõue, et peetakse kinni kahest kriteeriumist. [4] Esiteks ei tohiks tinglik määratlus võimaldada meil kehtestada sisuliselt uusi väiteid - nimetage seda konservatiivsuse kriteeriumiks. Me ei tohiks olla võimelised pelgalt sätte abil kehtestama uusi asju, näiteks Kuu kohta. On tõsi, et kui seda kriteeriumi ei täpsustata, kohaldatakse selle suhtes triviaalseid näiteid, sest määratluse kehtestamine mõjutab mõnda fakti. Sellegipoolest saab selle kriteeriumi muuta täpseks ja kaitstavaks ning me näeme varsti selle saavutamise viise.
Teiseks peaks määratlus fikseerima määratletud avalduse (X) kasutamise - nimetage seda kriteeriumiks Kasuta. See kriteerium on usutav, kuna saadaval on ainult määratlus - ega midagi muud -, mis juhendaks meid (X) kasutamisel. Siin on aga komplikatsioone. Mis loeb (X) kasutamist? Kas juhtumid kuuluvad sõna "ütle" ja "tea" alla? Kuidas on (X) esinemisega tsitaadikontekstides ja näiteks sõnades "ksenofaanid"? Viimane küsimus peaks olema selge, vastus „ei”. Kuid vastused eelmistele küsimustele pole nii selged. On veel üks komplikatsioon: isegi kui suudame kuidagi eristada (X) ehtsaid esinemisi, võib juhtuda, et mõnda neist juhtumitest eiratakse õigusega. Näiteks,jagaja määratlus võib jätta mõned termini esinemised määratlemata (nt kui jagatakse arvuga 0). Õigeusklik seisukoht on pidada selliseid määratlusi ebaseaduslikuks, kuid õigeusk väärib siin vaidlustamist. Jätkem väljakutse siiski mõnele teisele sündmusele ja jätkakem komplikatsioonidest idealiseerimise kaudu. Piirdume ainult maakeeltega, millel on selgelt määratletud loogiline struktuur (nt esimese astme keel) ja mis ei sisalda määratletud termini (X) esinemisi. Ja piirdugem määratlustega, mis ei sea piiranguid (X) õigustatud esinemistele. Kasutuskriteerium dikteerib nüüd, et määratlus peaks fikseerima kõigi avaldiste kasutamise laiendatud keeles, milles (X) esineb. Õigeusklik seisukoht on pidada selliseid määratlusi ebaseaduslikuks, kuid õigeusk väärib siin vaidlustamist. Jätkem väljakutse siiski mõnele teisele sündmusele ja jätkakem komplikatsioonidest idealiseerimise kaudu. Piirdume ainult maakeeltega, millel on selgelt määratletud loogiline struktuur (nt esimese astme keel) ja mis ei sisalda määratletud termini (X) esinemisi. Ja piirdugem määratlustega, mis ei sea piiranguid (X) õigustatud esinemistele. Kasutuskriteerium dikteerib nüüd, et määratlus peaks fikseerima kõigi avaldiste kasutamise laiendatud keeles, milles (X) esineb. Õigeusklik seisukoht on pidada selliseid määratlusi ebaseaduslikuks, kuid õigeusk väärib siin vaidlustamist. Jätkem väljakutse siiski mõnele teisele sündmusele ja jätkakem komplikatsioonidest idealiseerimise kaudu. Piirdume ainult maakeeltega, millel on selgelt määratletud loogiline struktuur (nt esimese astme keel) ja mis ei sisalda määratletud termini (X) esinemisi. Ja piirdugem määratlustega, mis ei sea piiranguid (X) õigustatud esinemistele. Kasutuskriteerium dikteerib nüüd, et määratlus peaks fikseerima kõigi avaldiste kasutamise laiendatud keeles, milles (X) esineb. Piirdume ainult maakeeltega, millel on selgelt määratletud loogiline struktuur (nt esimese astme keel) ja mis ei sisalda määratletud termini (X) esinemisi. Ja piirdugem määratlustega, mis ei sea piiranguid (X) õigustatud esinemistele. Kasutuskriteerium dikteerib nüüd, et määratlus peaks fikseerima kõigi avaldiste kasutamise laiendatud keeles, milles (X) esineb. Piirdume ainult maakeeltega, millel on selgelt määratletud loogiline struktuur (nt esimese astme keel) ja mis ei sisalda määratletud termini (X) esinemisi. Ja piirdugem määratlustega, mis ei sea piiranguid (X) õigustatud esinemistele. Kasutuskriteerium dikteerib nüüd, et määratlus peaks fikseerima kõigi avaldiste kasutamise laiendatud keeles, milles (X) esineb. Kasutuskriteerium dikteerib nüüd, et määratlus peaks fikseerima kõigi avaldiste kasutamise laiendatud keeles, milles (X) esineb. Kasutuskriteerium dikteerib nüüd, et määratlus peaks fikseerima kõigi avaldiste kasutamise laiendatud keeles, milles (X) esineb.
Kasutuskriteeriumi variant on järgmine: määratlus peab fikseerima määratluse tähenduse. Uus sõnastus on vähem määrav ja vaieldavam, kuna see tugineb tähendusele, kahemõttelisele ja teoreetiliselt vaieldavale arusaamale.
Pange tähele, et need kaks kriteeriumi reguleerivad kõiki kohustuslikke määratlusi, sõltumata sellest, kas need on üksikud või mitmekordsed või sellest, kas nad on vormi (2) või mitte.
2.2 Traditsioonilise konto alused
Traditsiooniline mõistete määratlus põhineb kolmel ideel. Esimene mõte on, et definitsioonid on üldistatud identiteedid; teine, et sensitiiv on esmane; ja kolmas, vähendamine. Esimene idee - definitsioonid on üldistatud identiteedid - motiveerib traditsioonilise konto järelduslikke reegleid määratluste jaoks. Karmilt öeldes on see, et (i) mis tahes definiendumi esinemine võib olla asendatud definientide esinemisega (Generalized Definiendum elimination); ja vastupidi: (ii) mis tahes määratluste esinemise võib asendada määratluse esinemisega (üldine sissejuhatus mõistesse Definiendum).
Teise idee - senentsiaalse ülimuslikkuse - juured on mõttes, et termini põhikasutused on väites ja argumendis: kui me mõistame määratletud termini kasutamist väites ja argumendis, siis mõistame seda terminit täielikult. Sentensiiv on argumentide ja väidete puhul esmane. Seega, teise idee kohaselt on määratletud mõiste (X) kasutamise selgitamiseks vajalik ja piisav, et selgitada sensitiivsete üksuste kasutamist, mis sisaldavad (X). (Senentsiaalseteks üksusteks loetakse siin lauseid ja lausetaolisi asju koos vabade muutujatega, nt punkti 4 definitsioonid; edaspidi nimetatakse neid üksusi valemiteks.) Teise idee tõstatatud teemad on muidugi suured ja oluline, kuid neid ei saa lühikese uuringu käigus käsitleda. Aktsepteerime ideed lihtsalt antud kujul.
Kolmas idee vähendamine seisneb selles, et määratletud terminit sisaldava valemi (Z) kasutamist selgitatakse (Z) redutseerimisega aluskeeles. See idee, kui see seostub senentsiaalse ülimuslikkusega, loob kasutuskriteeriumi tugeva versiooni, mida nimetatakse eemaldatavuse kriteeriumiks: määratlus peab taandama iga määratletud terminit sisaldava valemi maakeele valemiks, st ühe, mis on vaba määratletud mõiste. Kõrvaldatavus on traditsioonilise konto eristav tees ja nagu allpool näeme, saab seda vaidlustada.
Pange tähele, et traditsiooniline konto ei nõua laiendatud keele kõigi väljendite vähendamist; see nõuab ainult valemite redigeerimist. Näiteks predikaadi (G) määratlus ei pea võimaldama redutseerida ((G)) eraldi maakeele predikaadiks. Traditsiooniline järeldus on seega kooskõlas mõttega, et tinglik määratlus võib keelele lisada uue kontseptuaalse ressursi, sest miski maakeeles ei väljenda predikatiivset mõistet, mida (G) väljendab laiendatud keeles. Sellega ei saa eitada, et laiendatud keeles ei väljendata ühtegi uut väidet - vähemalt tõe-seisundi mõttes.
2.3. Konservatiivsus ja kõrvaldatavus
Vaatame nüüd, kuidas saab konservatiivsust ja eemaldatavust täpsustada. Kõigepealt kaaluge keeli, millel on täpselt tuttav tõestussüsteem. Olgu näiteks üks aluskeel (L). (L) tõestussüsteem võib olla klassikaline või kolme väärtusega, modaalne või asjakohane või mõni muu; ja see võib sisaldada või mitte sisaldada mõnda mitteloogilist aksioomi. Eeldame vaid, et meil on olemas mõisted “(L) teoreem” ja “(L) ekvivalentselt ekvivalentne” ning ka “((L ^ {+})” ja “tõestatavalt ekvivalentsed dokumendis (L ^ {+})”, mis tuleneb siis, kui (L) tõestussüsteemi täiendatakse määratlusega (matemaatiline {D}) ja definitsioone reguleerivate loogiliste reeglitega. Nüüd saab konservatiivsuse kriteeriumi täpsustada järgmiselt.
Konservatiivsuse kriteerium (süntaktiline koostis): (L) mis tahes valem, mis on tõestatav dokumendis (L ^ {+}), on tõestatav ka versioonis (L).
See tähendab, et mis tahes (L) valem, mis on tõestatav definitsiooni abil ((mathcal {D}), on tõestatav ka ilma (mathcal {D}) kasutamata: määratlus ei võimalda meil midagi uut tõestada sisse (L). Kõrvaldatavuse kriteeriumi saab täpsustada järgmiselt:
Kõrvaldatavuse kriteerium (süntaktiline koostis): (L ^ {+}) mis tahes valemi (A) jaoks on olemas valem (L), mis on väidetavalt samaväärne dokumendis (L ^ {+}). kuni (A).
(Rahvaluule tunnustab Poola loogikut S. Leśniewskit konservatiivsuse ja kõrvaldatavuse kriteeriumide sõnastamise eest, kuid see on viga; arutelu ja täiendavaid viiteid vt Dudman 1973, Hodges 2008, Urbaniak ja Hämäri 2012.) [5]
Varustame nüüd (L) mudeliteoreetilise semantikaga. See tähendab, et me seostame (L) tõlgendusklassiga ja teeme kättesaadavaks mõisted “kehtivad (L) tõlgenduses (M)” (teise nimega: “true in (L) (M)”) ja“semantiliselt ekvivalentsed (L) suhtes (M).” Olgu mõisted “kehtivuses (L ^ {+}) (M)” ja “semantiliselt ekvivalentsed (L ^ {+}) suhtes (M)”, kui (L) täiendatakse määratlusega (matemaatiline {D}). Konservatiivsuse ja kõrvaldatavuse kriteeriumid saab nüüd täpsustada järgmiselt:
Konservatiivsuse kriteerium (semantiline sõnastus): kõigi valemite (A) ja ((L)) ja kõigi tõlgenduste (M) korral, kui (A) kehtib dokumendis (L ^ {+}) dokumendis (M), siis (A) kehtib ka (L) keeles (M).
Kõrvaldatavuse kriteerium (semantiline sõnastus): (L ^ {+}) mis tahes valemi (A) jaoks on olemas valem (B) (L) nii, et kõigi tõlgenduste korral (M, B) on tähenduses (L ^ {+}) semantiliselt samaväärne (A) -ga.
Kahe kriteeriumi süntaktiline ja semantiline sõnastus on selgelt paralleelsed. Isegi kui oletame, et (L) ja (L ^ {+}) puhul kehtivad tugevad täielikkuse teoreemid, pole need kaks sõnastust ekvivalentsed. Mõlemas raamistikus, süntaktilises ja semantilises, on võimalikud mitmed erinevad, mitte ekvivalentsed kahe kriteeriumi koostised.
Pange tähele, et konservatiivsuse ja kõrvaldatavuse kriteeriumide rahuldamine, olgu nende semantiline või süntaktiline sõnastus, ei ole määratluse absoluutne omadus; rahulolu on põhjakeelega võrreldes. Erinevad põhjakeeled võivad olla seotud erinevate tõestussüsteemide ja erinevate tõlgendusklassidega. Seetõttu võib määratlus ühele keelele lisamisel vastata kahele kriteeriumile, kuid teise keelesse lisamisel võib see juhtuda. Kriteeriumide täiendava arutelu leiate Suppes 1957 ja Belnap 1993.
2.4 Mõisted tavapärases vormis
Konkreetsuse huvides kinnitagem, et maakeel (L) on klassikaline identiteediga esmajärjekorras olev keel. (L) tõestussüsteem võib sisaldada mõnda mitteloogilist aksioomi (T); (L) tõlgendused on siis (T) klassikalised mudelid. Nagu varemgi, on (L ^ {+}) laiendatud keel, mis saadakse, kui mitteloogilise konstandi (X) definitsioon (matemaatiline {D}) lisatakse (L); seega võib (X) olla nimi, predikaat või funktsioonisümbol. Kutsuge kaks määratlust samaväärseks, kui nad annavad laiendatud keeles samu teoreeme. Siis saab näidata, et kui (mathcal {D}) vastab konservatiivsuse ja eemaldatavuse kriteeriumidele, siis on (mathcal {D}) samaväärne allpool täpsustatud normaalvormi määratlusega. [6] Kuna tavapärases vormis määratlused vastavad konservatiivsuse ja eemaldatavuse nõudmistele, tähendab traditsiooniline kirjeldus, et kui me nõuame, et määratlused oleksid normaalses vormis, ei kaota me midagi olulist.
Mõistete tavapärase vormi saab täpsustada järgmiselt. Nimede definitsioonid (a, n) - ary predikaadid (H) ja (n) - ary funktsioonide sümbolid (f) peavad olema järgmiselt:
) alusta {joondus} silt {7} a = x & \ eqdf \ psi (x), \\ \ silt {8} H (x_ {1}, \ täpid, x_ {n}) & \ eqdf \ phi \, (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \\ \ tag {9} f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = y & \ eqdf \ chi (x_ { 1}, \ täpid, x_ {n}, y), \ lõpeta {joondus})
kus muutujad (x_ {1}),…, (x_ {n}), (y) on kõik erinevad ja definitsioonid vastavad mõlemal juhul tingimustele, mida saab jagada üldiseks ja konkreetseks osa. [7] Üldine tingimus definiitide kohta on igal juhul sama: see ei tohi sisaldada määratletud terminit ega muid vabu muutujaid, välja arvatud definiendum. Üldised tingimused jäävad samaks, kui traditsioonilist määratluskontot rakendatakse mitteklassikalisele loogikale (nt paljude väärtustega ja modaalloogikale). Eritingimused on muutlikumad. Klassikalises loogikas on punkti 7 määratluse (psi (x)) eritingimus see, et see vastab olemasolu ja ainulaadsuse tingimusele: on tõestatav, et miski vastab (psi (x)) ja et maksimaalselt üks asi rahuldab (psi (x)). [8](8) -l ei ole spetsiifilisi tingimusi, kuid tingimus (9) sarnaneb (7) -ga. Olemasolu ja ainulaadsuse väide peab sisaldama: valemi universaalset sulgemist
) olemas y \, \ chi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, y) amp \ forall u \ forall v) chi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, u) amp \ chi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, v) paremnool u = v])
peab olema tõestatav. [9]
Loogikas, mis lubab vakantseid nimesid, oleks punkti 7 definitsioonide eritingimus nõrgem: eksisteerimise tingimus kaotataks. Vastupidiselt - modaalses loogikas, mis nõuab, et nimed oleksid mittetäpsed ja jäigad, tugevdaks eritingimust: mitte ainult olemasolu ja ainulaadsuse olemasolu peab tingimata säilitama, vaid tuleb näidata, et üks ja teine määratleb rahu. sama objekt kõigis võimalikes maailmades.
Punktidele 7–9 vastavad mõisted on heterogeensed; definiendum on senentsiaalne, kuid määratletud termin mitte. (7) ja (9) eritingimuste üks allikas on nende heterogeensus. Eritingimused on vajalikud tagamaks, et definitsioonid, ehkki mitte määratletud termini loogilised kategooriad, annavad sellele õige loogilise käitumise. Seega tagavad tingimused, et laiendatud keele loogika oleks sama mis põhjakeele loogika. See on põhjus, miks eritingimused normaalvormidel võivad erineda vastavalt põhjakeele loogikale. Pange tähele, et olenemata sellest loogikast, pole regulaarsete homogeensete määratluste jaoks eritingimusi vaja.
Traditsiooniline konto võimaldab määratluste lihtsaid loogilisi reegleid ja laiendatud keele lihtsat semantikat. Oletame, et määratlus (matemaatiline {D}) omab senentsiaalset määratlust. (Klassikalises loogikas saab kõiki määratlusi selle tingimuse täitmiseks hõlpsalt teisendada.) Olgu (mathcal {D})
kus (x_ {1}),…, (x_ {n}) on kõik muutujad vabad kas (phi) või (psi). Ja las (phi (t_ {1}, \ ldots, t_ {n})) ja (psi (t_ {1}, \ ldots, t_ {n})) saadakse terminite samaaegse asendamise teel (t_ {1}),…, (t_ {n}) vastavalt (x_ {1}),…, (x_ {n}) vastavalt (phi (x_ { 1}, \ ldots, x_ {n})) ja (psi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})); köidetud muutujate muutmine vastavalt vajadusele. Siis on (mathcal {D}) reguleerivad järelduse reeglid lihtsalt järgmised:
Laiendatud keele semantika on ka sirgjooneline. Oletagem näiteks, et (matemaatiline {D}) on nime määratlus (a) ja oletagem, et kui see pannakse normaalsesse vormi, on see samaväärne (7). Seejärel laieneb (L) iga klassikaline tõlgendus (M) laiendatud keele (L ^ {+}) ainulaadseks klassikaliseks tõlgenduseks (M ^ {+}). (M ^ {+}) tähis (a) on ainulaadne objekt, mis rahuldab (M psi) (psi (x)); (psi (x)) tingimused tagavad sellise objekti olemasolu. Määratletud predikaatide ja funktsioonisümbolite semantika on sarnane. Määratluste loogika ja semantika mitteklassikalises loogikas käsitletakse traditsioonilises käsitluses paralleelselt.
Pange tähele, et definitsiooni (10) keelele lisamise järeldusjõud on sama, mis aksioomina lisamisel -
Punktide (10) ja (11) loogilise käitumise selline sarnasus ei tohiks siiski varjata suuri erinevusi botingimuste ('(leftrightarrow)') ja definitsioonilise ekvivalentsuse ('(eqdf)') vahel. Esimene neist on senentsiaalühend, kuid viimane on trans-kategooriline: '(eqdf)' kahel küljel võivad esineda mitte ainult valemid, vaid ka predikaadid, nimed ja muude loogiliste kategooriate üksused. Veelgi enam, biktüübilist saab korrata, nt (((phi \ leftrightarrow \ psi) leftrightarrow \ chi)) - kuid mitte määratluslikku samaväärsust. Lõpuks võib selle termini kehtestada tingliku määratlusega põhjakeelde, mille loogilised ressursid piirduvad näiteks klassikalise konjunktsiooni ja disjunktsiooniga. See on täiesti teostatav, isegi kui bioloogilisi tingimusi ei saa keeles väljendada. Sellistel juhtudel,tingliku määratluse järelduslikku rolli ei peegelda ükski laiendatud keele valem.
Mõistete traditsioonilist kirjeldust ei tohiks vaadelda nii, et definitsioonid peaksid olema normaalses vormis. Ainsad nõuded, mida see kehtestab, on (i), et definiendum sisaldab määratletud terminit; ii) et definiendum ja definiens kuuluvad samasse loogilisse kategooriasse; ja iii) määratlus vastab konservatiivsusele ja kõrvaldatavusele. Kuni need nõuded on täidetud, pole mingeid muid piiranguid. Definiendum, nagu ka definiens, võib olla keeruline; ja definiendid, nagu ka definiendum, võivad sisaldada määratletud terminit. Nii pole näiteks formaalselt midagi valesti, kui funktsionaalse avaldise 'arv' määratluse definitsiooniks on valem 'arvu (F) arv on (G) arvuga. Normaalvormide roll on vaid pakkuda lihtsat viisi selle tagamiseks, et mõisted vastavad konservatiivsusele ja eemaldatavusele; need ei ole ainus seaduslik vorming termini kehtestamiseks tinglikult. Seega ei ole põhjus, miks (4) on, kuid (6) ei ole, õigustatud määratlus see, et (4) on normaalses vormis ja (6) mitte.
) alusta {joonda *} silt {4} Gx & \ eqdf x \ gt 3 \ amp x \ lt 10. \\ \ tag {6} Gx & \ eqdf x \ gt y \ amp x \ lt 10. \ lõpeta {joonda *})
Põhjus on see, et (4) austab, kuid (6) ei täida kahte kriteeriumi. (Siinkohal eeldatakse, et maakeel sisaldab tavalist aritmeetikat; selle eelduse kohaselt viitab teine määratlus vastuolule.) Ka järgmised kaks määratlust ei ole tavapärases vormis:
) alusta {joonda *} silt {12} Gx & \ eqdf (x \ gt 3 \ amp x \ lt 10) amp y = y. \\ \ silt {13} Gx & \ eqdf [x = 0 \ amp (G0 \ vee G1)] vee [x = 1 \ amp ({ sim} G0 \ amp { sim} G1)]. \ lõpeta {joonda *})
Kuid mõlemat tuleks tavapärase konto puhul pidada legitiimseks, kuna need vastavad konservatiivsuse ja kõrvaldatavuse kriteeriumidele. Sellest järeldub, et neid kahte määratlust saab tavalises vormis esitada. Definitsioon (12) on selgelt samaväärne punktiga 4 ja määratlus (13) vastab punktile 14:
) silt {14} Gx \ eqdf x = 0.)
Pange tähele, et punkti 13 määratlused ei ole loogiliselt samaväärsed ühegi ((G)) -vaba valemiga. Sellegipoolest on määratlus normaalse kujuga.
Samamoodi on traditsiooniline konto ühilduv rekursiivsete (aka: induktiivsete) määratlustega, näiteks loogika ja matemaatikaga. Näiteks Peano aritmeetikas saab eksponentsiooni määratleda järgmiste võrrandite abil:
) silt {15} alustage {joondama *} m ^ {0} & = 1, \\ m ^ {n + 1} & = m ^ {n} cdot m. \ lõpeta {joonda *})
Esimene võrrand - nn alusklausel - määratleb funktsiooni väärtuse, kui eksponent on 0. Ja teine lause, mida nimetatakse rekursiivseks klausliks, kasutab funktsiooni väärtust, kui eksponent on (n), et määratleda väärtus, kui eksponent on (n + 1). Traditsioonilise kirjelduse kohaselt on see täiesti õigustatud, kuna Peano Aritmeetika teoreemi kohaselt on ülaltoodud määratlus normaalkujul samaväärne. [10] Rekursiivsed määratlused on oma vormingus ümmargused ja just see ringlus muudab need silmatorkavaks. Kuid ringikujulisus on täielikult pinnal, nagu näitab normaalvormide olemasolu. Vt allpool toodud ringmõistete määratlusi.
2.5 Kaudsed määratlused
Ülaltoodud seisukoht võimaldab traditsioonilisel kontol tuua enda sisse ideed, mis võivad esmapilgul tunduda sellega vastuolus olevat. Mõnikord soovitatakse mõistet (X) võtta kasutusele aksiomaatiliselt, see tähendab, kehtestades aksioomidena laiendatud keele teatud laused (L ^ {+}). Öeldakse, et aksioomid määratlevad kaudselt (X). Seda ideed saab hõlpsasti traditsioonilises kontol kasutada. Las teooria on laiendatud keele (L ^ {+}) lausekomplekt. Siis öeldakse, et teooria (T ^ *) on X kaudne (tinglik) määratlus, et öelda, et (X) on määratletud määratlusega.
) phi \ eqdf \ tekst {The True},)
kus (phi) on (T ^ *) liikmete liitühend. (Kui (T ^ *) on lõpmatu, tuleb ülaltoodud vormi täpsustada iga lause (psi) jaoks tekstis ((T ^ *).) [11] Määratlus on seaduslik, vastavalt: traditsiooniline konto, kui see vastab konservatiivsuse ja eemaldatavuse kriteeriumidele. Kui see vastab neile kriteeriumidele, nimetagem (T ^ *) lubatavaks (X määratluse jaoks). Niisiis, traditsiooniline kirjeldus sobib mõttega, et teooriad võivad tinglikult kehtestada uusi termineid, kuid see nõuab suurt nõudmist: teooriad peavad olema vastuvõetavad. [12]
Mõelge konkreetsuse mõttes klassikaliste esimese järgu keelte erijuhule. Laske aluskeel (L) olla üks selline ja olgu selle tõlgendused mõne lause (T) mudelid. Ütleme, et (L ^ {+}) tõlgendus (M ^ {+}) on (L) iff (M) ja (M tõlgenduse (M) laiendus ^ {+}) on sama domeen ja nad määravad samad semantilised väärtused (L) mitteloogilistele konstantidele. Lisaks öelgem seda
(T ^ *) on X iff kaudne semantiline määratlus, iga (L) tõlgenduse (M) jaoks on (T ^) kordumatu mudel (M ^ {+}). *) nii, et (M ^ {+}) on (M) laiendus.
Järgmine nõue on kohene:
Kui (T ^ *) on lubatav, siis on (T ^ *) vaikimisi semantiline definitsioon, mis on (X).
See tähendab, et vastuvõetav teooria fikseerib määratletud termini semantilise väärtuse igas põhjakeele tõlgenduses. See tähelepanek on üks loomulik meetod, mis näitab, et teooria ei ole vastuvõetav:
Padoa meetod. Näitamaks, et (T ^ *) pole lubatav, piisab, kui konstrueerida kaks (T ^ *) mudelit, mis on põhjakeele ühe ja sama tõlgenduse laiendus (L). (Padoa 1900)
Siin on Padoa meetodi lihtne ja filosoofiliselt kasulik rakendus. Oletame, et (L) tõestussüsteemiks on Peano aritmeetiline ja et (L) laiendatakse unariaalse predikaadi lisamisega (Tr) („(L) tõelise lause Gödeli arvu jaoks”)). Olgu (mathbf {H}) teooria, mis koosneb kõigist järgmistest lausetest („Tarski kaksiktingimused”):
[Tr (s) vasakpoolne nool \ psi,)
kus (psi) on lause (L) ja (s) on Gödeli arvu (psi) kanooniline nimi. Padoa meetod tähendab, et (mathbf {H}) pole (Tr) määratlemiseks lubatav. Sest (mathbf {H}) ei fikseeri (Tr) tõlgendust kõigis (L) tõlgendustes. Täpsemalt, standardmudelis seda ei tehta, sest (mathbf {H}) ei sea piiranguid (Tr) käitumisele nende numbrite korral, mis ei ole Gödeli lausete arvud. (Kui kodeerimine muudab iga naturaalarvu lause Gödeli numbriks, siis Peano Aritmeetika mittestandardne mudel pakub vajalikku vastanäidet: sellel on lõpmata palju laiendusi, mis on (mathbf {H}) mudelid.) A Selle argumendi variant näitab, et Tarski tõesuse teooria, mis on sõnastatud dokumendis (L ^ {+}), ei ole (Tr) määratlemiseks vastuvõetav.
Kuidas on Padoa meetodi vastupidisega? Oletame, et suudame näidata, et maakeeli igas tõlgenduses fikseerib teooria (T ^ *) määratletud terminile ainulaadse semantilise väärtuse. Kas võime järeldada, et (T ^ *) on lubatav? See küsimus saab mõne semantilise süsteemi puhul eitava ja teiste puhul positiivse vastuse. (Vastupidiselt, Padoa meetod töötab seni, kuni semantiline süsteem pole eriti keerukas.) Vastupidine ebaõnnestub näiteks klassikaliste teise astme keelte puhul, kuid see kehtib esimese astme keelte puhul:
Bethi määratletavuse teoreem. Kui (T ^ *) on (X) kaudne semantiline määratlus klassikalises esimese astme keeles, on (T ^ *) lubatud.
Pange tähele, et teoreem kehtib ka juhul, kui (T ^ *) on lõpmatu hulk. Teoreemi tõestuseks vt Boolos, Burgess ja Jeffrey 2002; vt ka Beth 1953.
Kaudse määratluse idee ei ole siis traditsioonilise kontoga vastuolus. Konflikti tekkimine on idee filosoofilistes rakendustes. XIX sajandi lõpu ja XX sajandi alguse rangete reduktsionistlike programmide läbikukkumine ajendas filosoofe uurima lõdvemat tüüpi reduktsionismi. Näiteks osutus Frege arvu määratlus ebajärjekindlaks ega ole seega võimeline toetama logistiku teesi, et aritmeetika põhimõtted on analüütilised. Selgub aga, et aritmeetika põhimõtteid saab tuletada ilma Frege määratluseta. Kõik, mis on vajalik, on selle üks tagajärg, nimelt Hume'i põhimõte:
Hume'i põhimõte. (F) s = (G) arv, kui (F) ja (G) on üks-ühele vastavuses.
Kui liidame teise järgu loogikasse Hume'i põhimõtte, saame tuletada (teise järgu) Peano aritmeetika analüütiliselt. (Argumendi põhialused leiate juba Frege 1884-st.) Neo-Fregeanismi keskne tees on, et Hume'i põhimõte on funktsionaalse avaldise 'arv' vaikne määratlus (vt Hale ja Wright 2001). Kui seda väitekirja saab kaitsta, siis saab säilitada aritmeetika loogika, vältides samal ajal Frege selget (ja vastuolulist) määratlust. Neo-Fregeani tees on aga vastuolus traditsioonilise definitsioonide kirjeldusega, sest Hume'i põhimõte rikub nii konservatiivsust kui ka eemaldatavust. Põhimõte võimaldab suvalise (n) korral tõestada, et on vähemalt (n) objekti.(Seotud rakenduse eesmärk on säilitada geomeetria analüütilisus idee kaudu, et geomeetria aksioomid on sellised kaudsed geomeetriliste mõistete määratlused nagu „punkt” ja „joon”. Ka siin on vastuolu traditsioonilise kontseptsiooniga konservatiivsuse osas. ja kõrvaldatavust rikutakse.)
Teine näide: teoreetiliste kontseptsioonide (nt füüsika kontseptsioonide) reduktsionistliku programmi eesmärk oli lahendada nende mõistete tekitatud epistemoloogilisi probleeme. Programmi eesmärk oli vähendada teoreetilisi lauseid vaatluslauseteks (klassideks). Vähendamisi on siiski keeruline, kui mitte võimatu säilitada. Nii tekkis ettepanek, et võib-olla saab teooria mittevaatluslikku komponenti ilma vähenduseta väita, et see on teoreetiliste mõistete kaudne määratlus. Mittevaatlusliku komponendi täpne iseloomustus võib varieeruda sõltuvalt konkreetsest epistemoloogilisest probleemist. Kuid kindlasti on tegemist kahe või mõlema kriteeriumi, konservatiivsuse ja kõrvaldatavuse, rikkumisega. [13]
Viimane näide: me teame Tarski teoreemi järgi, et ükski teooria ei saa olla tõepredikaadi (Tr) lubatav määratlus eespool käsitletud Peano aritmeetika keele jaoks. Sellegipoolest võime võib-olla siiski pidada teooriat (mathbf {H}) kaudseks definitsiooniks (Tr). (Paul Horwich on teinud tihedalt seotud ettepaneku tavalise tõe mõiste kohta.) Siin avaldatakse jällegi survet traditsioonilise kontoga seatud piiridele. (mathbf {H}) vastab konservatiivsuse kriteeriumile, kuid mitte eemaldatavuse kriteeriumile.
Selleks, et hinnata väljakutset, mille need filosoofilised rakendused traditsioonilisele kontole esitavad, peame lahendama probleemid, mis on käimasolevas filosoofilises arutelus. Mõned probleemid on järgmised. (i) On ilmne, et mõned konservatiivsuse rikkumised on ebaseaduslikud: seda ei saa tõeks teha väitega, et nt elavhõbe on suurem kui Veenus. Kui filosoofiline rakendus eeldab konservatiivsuse teatud rikkumiste õiguspärasust, siis vajame vahet kahe juhtumi eristamisel: konservatiivsuse õigustatud rikkumistel ja ebaseaduslikel. Ja me peame mõistma, mis teeb ühe legitiimseks, kuid mitte teise õigustamiseks. (ii) Sarnane küsimus kerkib üles ka kõrvaldatavuse osas. Näib, et mitte ükski vana teooria ei saa olla mõiste (X) kaudne määratlus.(Teooria võib sisaldada ainult tautoloogiaid.) Kui jah, siis vajame jällegi teooriate piiritlemist, mis võimaldaksid kaudselt määratleda mõistet nendest, mis seda ei saa. Ja me vajame eristamist. (iii) Filosoofilised rakendused toetuvad otsustavalt ideele, et kaudne määratlus fikseerib määratletud mõiste tähenduse. Seetõttu vajame ülevaadet selle tähenduse kohta ja kuidas kaudne määratlus selle fikseerib. Traditsioonilise konto kohaselt võib määratletud terminit sisaldavaid valemeid vaadelda kui nende tähenduse omandamist maakeele valemitest. (Arvestades senentsiaalse ülimuslikkust, fikseerib see määratletud termini tähenduse.) Kuid kaudse määratluse liberaliseeritud kontseptsiooni kohaselt pole see samm kättesaadav. Kuidas siiskas peaksime mõtlema valemi tähendusele traditsioonilisel kontol kavandatud lahkumise all? iv) Isegi kui kolme eelmist küsimust käsitletakse rahuldavalt, on endiselt oluline probleem. Oletame, et me lubame, et näiteks füüsika teooria (T) suudab määratleda oma teoreetilised terminid ja annab sellele mõistele erilise tähenduse. Jääb küsimus, kas sel viisil saadud tähendused on identsed (või piisavalt sarnased) tähendustele, mida teoreetilistel terminitel on füüsikas nende tegelikul kasutamisel. Sellele küsimusele tuleb vastata positiivselt, kui kaudsed määratlused täidavad oma filosoofilist funktsiooni. Kaudsete määratluste esilekutsumise eesmärk on arvestada meie tavaliste hinnangute ratsionaalsust, aprioorsust või analüütilisust,mitte mõnedest erakorralistest kohtuotsustest, mis on kuidagi omistatud tavalistele märkidele.
Nende küsimuste täiendavaks arutamiseks vt Horwich 1998, eriti 6. peatükki; Hale ja Wright 2001, eriti 5. peatükk; ja seal viidatud teosed.
2.6 Nõiaringi põhimõte
Veel üks kõrvalekalle traditsioonilisest teooriast algab mõttega, et teooria pole liiga range, vaid et see on liiga liberaalne, et see lubab ebaseaduslikke määratlusi. Seega võimaldab traditsiooniline teooria järgmiselt määratleda valelik ja naturaalarvude klass (mathbf {N}) järgmiselt:
(16) (z) on valelik (eqdf) kõik (z) väited on valed;
(17) (z) kuulub (mathbf {N}) (eqdf) (z) kuulub igasse induktiivsesse klassi, kus klass on induktiivne, kui see sisaldab 0 ja on suletud all järglane operatsioon.
Russell väitis, et sellised määratlused hõlmavad peent tüüpi nõiaringi. Esimese definitsiooni määratlused tuginevad Russelli sõnul kõigi väidete kogumile, kuid kui määratlus on õigustatud, annaks see ettepanekuid, mida saab määratleda ainult sellele kogumile viidates. Sarnaselt püüab teine määratlus määratleda klassi (mathbf {N}) kõigi klasside alusel, mis hõlmab määratletavat klassi (mathbf {N}). Russell väitis, et sellised määratlused on ebaseaduslikud. Ja ta kehtestas definitsioonidele ja kontseptsioonidele järgmised nõudega nn nõiaringi põhimõtted. (Ka Henri Poincaré oli välja pakkunud sarnase idee.)
Nõiaringi põhimõte. "See, mis hõlmab kogu kollektsiooni, ei tohi kuuluda ühte kollektsiooni (Russell 1908, 63)."
Teine sõnastus, mille Russell esitas põhimõtte kohta, on järgmine:
Nõiaringi põhimõte (variandi koostis). "Kui eeldusel, et teatud kollektsioonil on kogusummasid, oleks selle liikmeid ainult selle koguarvu järgi määratletav, siis nimetatud kollektsioonis pole ühtegi kogu (Russell, 1908, 63)."
Lisatud joonealuses märkuses selgitas Russell: "Kui ma ütlen, et kollektsioonil pole koguväärtust, pean silmas seda, et avaldused kõigi selle liikmete kohta on jama."
Russelli peamine motiiv Vicious Circle'i põhimõtte järgimiseks olid loogilised ja semantilised paradoksid. Sellised mõisted nagu “tõde”, “ettepanek” ja “klass” annavad teatud ebasoodsates tingimustes paradoksaalseid järeldusi. Seega, väide "Cheney on valetaja", kus mõiste "valetaja" all mõistetakse punkti 16, annab paradoksaalseid järeldusi, kui Cheney on väitnud, et ta on valetaja ja kõik muud tema väited on tegelikult valed.. Russell lähtus nõiaringi põhimõttest, viidates sellele, et kui “Cheney on valetaja” väljendab ettepanekut, ei saa see olla punkti 16 määratlustes esitatud kvantitaatori ulatuses. Üldisemalt öeldes leidis Russell, et kõigi väidete ja kõigi klasside kvantifitseerimine rikub Vicious-Circle'i põhimõtet ja on seega ebaseaduslik. Lisaksta väitis, et sellised väljendid nagu “tõene” ja “vale” ei väljenda unikaalset kontseptsiooni - Russelli terminoloogias, ainulaadset “propositsioonifunktsiooni” -, vaid ühte eri järkude ettepanekufunktsioonide hierarhiast. Seega õppis Russell paradoksidest seda, et tähenduslike ainete valdkond on piiratum, kui tavaliselt võib tunduda, et mõistete ja määratluste traditsiooniline kirjeldus tuli muuta piiravamaks, et välistada sarnasused (16) ja (17).et mõistete ja määratluste traditsiooniline kirjeldus tuleb muuta piiravamaks, et välistada punktide 16 ja 17 sarnasused.et mõistete ja määratluste traditsiooniline kirjeldus tuleb muuta piiravamaks, et välistada punktide 16 ja 17 sarnasused.
Tavapäraste mitteametlike definitsioonide kohaldamisel ei paku nõiaringi põhimõte, tuleb öelda, selget meetodit tähenduslikkuse eraldamiseks mõttetust. Definitsioon (16) peaks olema ebaseaduslik, kuna selle täpsusvahemikus ulatub kvantifikaator kõigi väidete kogumini. Ja meile öeldakse, et see on keelatud, sest kui see oleks lubatud, siis oleks ettepanekute kogusummal "liikmed määratletavad ainult koguarvu osas". Siiski, kui me ei tea rohkem väidete olemuse ja nende määratlemiseks kasutatavate võimaluste kohta, on võimatu kindlaks teha, kas (16) rikub põhimõtet. Võib juhtuda, et selline ettepanek nagu “Cheney on valetaja” või vähem hea vaieldav näide,„Kas Cheney on valetaja või ei ole ta” - sellele võib anda definitsiooni, mis ei meeldi kõigile väidetele. Kui näiteks väited on võimalike maailmade kogumid, näib selline määratlus olevat teostatav.
Nõiaringi põhimõte on sellegipoolest tõhus motivatsioon õigustatud mõistete ja määratluste konkreetsele kirjeldusele, nimelt sellele, mida hõlmab Russelli rambistatud tüübi teooria. Idee on selles, et üks algab ebaproblemaatilistest ressurssidest, mis ei hõlma väidete, kontseptsioonide ja selliste kvantifitseerimist. Need ressursid võimaldavad määratleda näiteks erinevaid ühetaolisi mõisteid, mis tagavad nõiaringi põhimõtte järgimise. Nende mõistete kvantifitseerimine on seega kindlasti seaduslik ja seda saab keeltesse lisada. Sama kehtib ettepanekute ja muude tüüpide alla kuuluvate mõistete kohta: iga tüübi jaoks saab lisada kvantifikaatori, mis ulatub üle (seda tüüpi) üksuste, mis on määratletavad esialgsete probleemideta ressursside abil. Uued kvantitatiivsed ressursid võimaldavad määratleda täiendavaid igat tüüpi kirjeid; ka nemad austavad põhimõtet ja jällegi saab keelde õigustatult lisada kvantitatiivid, mis ulatuvad laiendatud kogusummast. Uued ressursid võimaldavad määratleda veel üksusi. Ja protsess kordub. Tulemuseks on see, et meil on ettepanekute ja erinevate järkude kontseptsioonide hierarhia. Tüüphierarhia iga tüüp ramifitseerib tellimuste paljususe. See ühtlustamine tagab, et saadud keeles formuleeritud definitsioonid peavad kindlasti järgima nõiaringi põhimõtet. Selle skeemi piires määratletavaid mõisteid ja klasse peetakse predikatiivseteks (selle sõna ühes tähenduses); ülejäänud, ebamäärased. Laiendatud kogusummade vahemikku ulatuvaid kvantiive saab keelde õigustatult lisada. Uued ressursid võimaldavad määratleda veel üksusi. Ja protsess kordub. Tulemuseks on see, et meil on ettepanekute ja erinevate järkude kontseptsioonide hierarhia. Tüüphierarhia iga tüüp ramifitseerib tellimuste paljususe. See ühtlustamine tagab, et saadud keeles formuleeritud definitsioonid peavad kindlasti järgima nõiaringi põhimõtet. Selle skeemi piires määratletavaid mõisteid ja klasse peetakse predikatiivseteks (selle sõna ühes tähenduses); ülejäänud, ebamäärased. Laiendatud kogusummade vahemikku ulatuvaid kvantiive saab keelde õigustatult lisada. Uued ressursid võimaldavad määratleda veel üksusi. Ja protsess kordub. Tulemuseks on see, et meil on ettepanekute ja erinevate järkude kontseptsioonide hierarhia. Tüüphierarhia iga tüüp ramifitseerib tellimuste paljususe. See ühtlustamine tagab, et saadud keeles formuleeritud definitsioonid peavad kindlasti järgima nõiaringi põhimõtet. Selle skeemi piires määratletavaid mõisteid ja klasse peetakse predikatiivseteks (selle sõna ühes tähenduses); ülejäänud, ebamäärased. Tulemuseks on see, et meil on ettepanekute ja erinevate järkude kontseptsioonide hierarhia. Tüüphierarhia iga tüüp ramifitseerib tellimuste paljususe. See ühtlustamine tagab, et saadud keeles formuleeritud definitsioonid peavad kindlasti järgima nõiaringi põhimõtet. Selle skeemi piires määratletavaid mõisteid ja klasse peetakse predikatiivseteks (selle sõna ühes tähenduses); ülejäänud, ebamäärased. Tulemuseks on see, et meil on ettepanekute ja erinevate järkude kontseptsioonide hierarhia. Tüüphierarhia iga tüüp ramifitseerib tellimuste paljususe. See ühtlustamine tagab, et saadud keeles formuleeritud definitsioonid peavad kindlasti järgima nõiaringi põhimõtet. Selle skeemi piires määratletavaid mõisteid ja klasse peetakse predikatiivseteks (selle sõna ühes tähenduses); ülejäänud, ebamäärased.
Nõiaringi põhimõtte edasiseks arutamiseks vt Russell 1908, Whitehead ja Russell 1925, Gödel 1944 ja Chihara 1973. Ramified Type Theory ametliku tutvustamise kohta vt kirik 1976; mitteformaalsema esitluse jaoks vt Hazen 1983. Vaadake ka tüübiteooria ja Principia Mathematica kirjeid, mis sisaldavad täiendavaid viiteid.
2.7 Ringmääratlused
Paradokse võib kasutada ka järelduse motiveerimiseks, mis on Russelli otsusele täiesti vastupidine. Mõelge järgmisele ühe koha predikaadi (G) määratlusele:
) silt {18} alusta {joonda *} Gx \ eqdf x = \ tekst {Socrates} & \ vee (x = \ tekst {Plato} Gx) & \ vee (x = \ tekst {Aristoteles) } amp { sim} Gx). \ lõpeta {joonda *})
See määratlus on põhimõtteliselt ringikujuline; normaalsel kujul seda ei saa taandada ühele. Kuid intuitiivselt annab see olulisi juhiseid (G) kasutamise kohta. Määratlus dikteerib näiteks, et Sokrates kuulub (G) alla ja et peale kolme mainitud iidse filosoofi ei tee seda mitte miski. See määratlus jätab vaid kahe objekti, nimelt Platoni ja Aristotelese staatuse. Kui oletame, et Platon kuulub kategooriasse (G), siis määratlus annab tulemuse, mida Platon tegelikult hõlmab jaotisesse (G) (kuna Platon vastab määratlustele), kinnitades sellega meie oletust. Sama asi juhtub siis, kui oletame vastupidist, nimelt seda, et Platon ei kuulu (G) alla; jälle kinnitatakse meie oletust. Aristotelesega viib iga katse otsustada, kas ta kuulub (G) alla, veelgi keerukamasse olukorda:kui oletame, et Aristoteles kuulub (G) alla, siis jõutakse definitsiooniga järeldusele, et ta ei kuulu (G) alla (kuna ta ei rahulda definiente); ja vastupidi, kui oletame, et ta ei kuulu (G) alla, siis järeldatakse, et ta seda teeb. Kuid isegi Platoni ja Aristotelese puhul pole (G) käitumine harjumatu: (G) käitub siin viisil, nagu tõe mõiste käitub tõejutustajal („See, mida ma praegu ütlen, on tõsi”) ja valetaja (“See, mida ma nüüd ütlen, pole tõsi”). Üldisemalt on tõe mõiste ja ümmarguste määratlustega määratletud mõistete käitumise vahel tugev paralleel. Mõlemad on tavaliselt paljudel juhtudel hästi määratletud ja mõlemal on erinevatel juhtudel ebaharilik loogiline käitumine. Tõepoolest,kõik tõe mõistega levinud segane loogiline käitumine on leitavad ka ringmõistetega määratletud mõistetes. See tugev paralleelsus viitab sellele, et kuna tõde on ilmselgelt õigustatud mõiste, kehtivad ka sellised ringmõistete määratlused nagu (18). Paradoksid ei sea selle vaatepunkti kohaselt kahtluse alla tõe mõiste legitiimsust. Need näitavad ainult seda, et ümmarguste mõistete loogika ja semantika erineb mitteringringi mõistetest. Seda seisukohta arendatakse määratluste revideerimise teoorias.ei sea kahtluse alla tõe mõiste legitiimsust. Need näitavad ainult seda, et ümmarguste mõistete loogika ja semantika erineb mitteringringi mõistetest. Seda seisukohta arendatakse määratluste revideerimise teoorias.ei sea kahtluse alla tõe mõiste legitiimsust. Need näitavad ainult seda, et ümmarguste mõistete loogika ja semantika erineb mitteringringi mõistetest. Seda seisukohta arendatakse määratluste revideerimise teoorias.
Selles teoorias annab ümmargune määratlus määratletud terminile hüpoteetilise tähenduse; määratletud termini semantiline väärtus on revideerimise reegel, mitte nagu ringikujuliste definitsioonide puhul, rakenduseeskiri. Mõelge veelkord (18). Nagu iga määratlus, (18) fikseerib definiendum (kui) tõlgenduse, antakse definitsioonides sisalduvate mitteloogiliste konstantide tõlgendused. Probleem punktiga (18) seisneb selles, et määratletud termin (G) leiab aset definientides. Kuid oletame, et määrame meelevaldselt (G) tõlgenduse - ütleme, et laseme sellel olla diskursuse universumi kõigi objektide komplekt (U) (st arvame, et (U) on objektid, mis vastavad (G)). Siis on lihtne aru saada, et definitsioonid kehtivad täpselt Sokratese ja Platoni kohta. Seega dikteerib määratlus, et meie hüpoteesi kohaselt(G) tõlgendus peaks olema komplekt ({ text {Socrates}, \ text {Plato} }). Sarnase arvutuse võib teha ka kõigi hüpoteeside korral, mis käsitlevad (G) tõlgendamist. Näiteks kui hüpotees on ({ text {Xenocrates} }), annab definitsioon tulemuse ({ text {Socrates}, \ text {Aristotle} }). Lühidalt, kuigi (18) ei fikseeri järsult, millised objektid kuuluvad (G) alla, annab see reegli või funktsiooni, mis sisendina hüpoteetilise tõlgenduse korral annab väljundina veel ühe. Redaktsiooniteooria põhiidee on vaadelda seda reeglit kui redaktsioonireeglit: väljundi tõlgendus on parem kui sisend (või see on vähemalt sama hea; seda kvalifikatsiooni loetakse loetuks). Semantiline väärtus, mille määratlus annab määratletud terminile, ei ole laiendus - diskursuse universumi piiritlemine objektideks, mis jäävad määratletud mõiste alla, ja sellisteks, mis seda ei tee. Semantiline väärtus on läbivaatamisreegel.
Muutmisreegel selgitab ümmarguse kontseptsiooni tavapärast ja erakordset käitumist. Olgu (delta) definitsioonist tulenev redigeerimisreegel ja (V) on määratletud mõiste meelevaldne hüpoteetiline tõlgendus. Saame proovida parandada oma hüpoteesi (V), rakendades reegli (delta) korduvaid rakendusi. Saadud jada, [V, \ delta (V), \ delta (delta (V)), \ delta (delta (delta (V))), \ ldots,)
on versiooni (delta) redigeerimisjada. Kõigi võimalike esialgsete hüpoteeside korral (delta) redaktsioonijadade koguarv on (delta) loodud muutmisprotsess. Näiteks genereerib punkti 18 parandusreegel redigeerimisprotsessi, mis koosneb muu hulgas järgmistest redaktsioonijadadest:
[U, { text {Socrates}, \ text {Plato} }, { text {Sokrates}, \ text {Plato}, \ text {Aristoteles} }, { text {Socrates}, \ text {Plato} }, \ ldots)) { text {Xenocrates} }, { text {Socrates}, \ text {Aristotle}}, { text {Socrates} }, { tekst {Sokrates}, \ tekst {Aristoteles} }, \ täpid)
Vaadake selles protsessis meie nelja iidse filosoofi käitumist. Pärast mõningaid revideerimise algfaase langeb Sokrates alati muudetud tõlgenduste hulka ja Xenocrates jääb alati väljapoole. (Selles konkreetses näites on nende kahe käitumine fikseeritud pärast algstaadiumit; muudel juhtudel võib objekti staatuse selgumiseni kuluda mitu versiooni läbivaatamist.) Läbivaatamisprotsess annab kahele filosoofile kategoorilise otsuse.: Socrates kuulub kategooriliselt kategooriasse (G) ja Xenocrates kuulub kategooriliselt väljapoole (G). Objekte, mille kohta protsess ei anna kategoorilist otsust, peetakse patoloogilisteks (võrreldes redaktsioonireegli, määratluse või määratletud mõistega). Meie näites on Platon ja Aristoteles patoloogilised (18) suhtes. Aristotelese staatus ei ole üheski redaktsioonide järjekorras stabiilne. Tundub, nagu ei suudaks redaktsiooniprotsess tema kohta arvamust avaldada. Mõnikord arvatakse, et Aristoteles kuulub (G) alla, ja siis protsess pöörab end ümber ja kuulutab, et ta ei kuulu (G) alla, ja siis protsess pöörab end jälle tagasi. Kui objekt käitub selliselt kõigis versioonijadades, siis öeldakse, et see on paradoksaalne. Platon on patoloogiline ka (G) suhtes, kuid tema käitumine redaktsiooniprotsessis on erinev. Platon omandab igas versioonijaamas stabiilse oleku, kuid tema omandatav olek sõltub esialgsest hüpoteesist. Kui objekt käitub selliselt kõigis versioonijadades, siis öeldakse, et see on paradoksaalne. Platon on patoloogiline ka (G) suhtes, kuid tema käitumine redaktsiooniprotsessis on erinev. Platon omandab igas versioonijaamas stabiilse oleku, kuid tema omandatav olek sõltub esialgsest hüpoteesist. Kui objekt käitub selliselt kõigis versioonijadades, siis öeldakse, et see on paradoksaalne. Platon on patoloogiline ka (G) suhtes, kuid tema käitumine redaktsiooniprotsessis on erinev. Platon omandab igas versioonijaamas stabiilse oleku, kuid tema omandatav olek sõltub esialgsest hüpoteesist.
Parandusprotsessid aitavad tagada ringmõistete semantika. [14] Neid saab kasutada selliste semantiliste mõistete määratlemiseks nagu "kategooriline tõde" ja loogiliste mõistete nagu "kehtivus" määratlemiseks. Saadud loogiliste mõistete omadused sõltuvad otsustavalt ühest redigeerimise aspektist: etappide arv enne objektide muutumist tavaliseks käitumiseks redaktsiooniprotsessis. Määratlust öeldakse olevat piiratud, kui selle muutmise protsess eeldab tingimata ainult palju selliseid etappe. [15] Piiratud definitsioonide jaoks on olemas lihtne loogiline arv, (mathbf {C} _ {0}), mis on redaktsiooni semantika jaoks kindel ja täielik. [16] Mittetäielike määratluste korral laieneb muutmisprotsess piirmääratud piiridesse. [17]Ja need määratlused võivad lisada keelele märkimisväärset väljendusjõudu. (Esimese astme aritmeetikasse lisamisega muudavad need määratlused kõik (Pi ^ {1} _ {2}) naturaalarvude komplektid määratletavaks.) Väljendatava jõu tõttu on mittepiiritletud ringikujundi üldine kehtivuse mõte määratlused ei ole aksiomiseeritavad (Kremer 1993). Me võime parimal juhul anda usaldusväärse loogilise arvutuse, kuid mitte täieliku. Olukord on analoogne teise järgu loogikaga.
Vaatleme mõisted definitsioonide revideerimise teooria mõnda üldist tunnust. (i) Selle teooria kohaselt jäävad ringikujuliste definitsioonide loogika ja semantika - st normaalkujul olevad definitsioonid - samaks nagu traditsioonilises kontol. Sissejuhatuse ja kaotamise reeglid kehtivad piiranguteta ning läbivaatamisetapid on möödapääsmatud. Kõrvalekalded traditsioonilisest kontost esinevad ainult ümmarguste määratluste korral. (ii) Teooria kohaselt ei häiri ringmääratlused maakeele loogikat. Määratletud termineid sisaldavatele lausetele kehtivad samad loogilised seadused kui maakeele lausetele. (iii) konservatiivsus kehtib. Ükski määratlus, ükskõik kui tige ringkiri selles on, ei tähenda maakeeles midagi uut. Isegi täiesti paradoksaalne määratlus
[Gx \ eqdf { sim} Gx)
peab kinni konservatiivsuse nõudest. (iv) Kõrvaldatavus ei pea paika. Laiendatud keele laused ei ole üldjuhul taandatavad maakeeli. Sellel rikkel on kaks allikat. Esiteks fikseerib revisjoniteooria laiendatud keele lausete väite ja argumentide kasutamise, kuid taandamata lauseid maakeeli. Seega vastab teooria kasutamiskriteeriumile, kuid mitte tugevamale kui kõrvaldatavuse kriteeriumile. Teiseks võib definitsioon selles teoorias lisada maakeele loogilise ja väljendusliku jõu. Ümmarguse määratluse lisamine võib põhjustada uute komplektide määratletavuse. See on veel üks põhjus, miks kõrvaldatavus ebaõnnestub.
Võib vaidlustada, et igal kontseptsioonil peab olema laiend, et selle mõiste alla kuuluvaid objekte peab olema kindel tervik. Kui see on õige, on predikaat tähendusrikas - see väljendab mõistet - ainult siis, kui predikaat piiritleb maailma tingimata järsult nendesse objektidesse, mille suhtes see kehtib, ja objektidesse, mille suhtes ta ei kehti. Seega järeldub vastuväitest, et ükski sisuliselt ringikujulise määratlusega predikaat ei saa olla tähenduslik. Vastuväide ei ole ilmselgelt määrav, sest see põhineb eeldusel, mis välistab paljud tavalised ja ilmselt tähendusrikkad predikaadid (nt "kiilas"). Sellegipoolest on see tähelepanuväärne, kuna see illustreerib, kuidas tähenduse ja kontseptsioonide üldküsimused sisenevad arutelusse õigustatud määratluste nõuete üle.
Revisiooniteooria peamine motivatsioon on kirjeldav. On väidetud, et teooria aitab meil paremini mõista meie tavalisi mõisteid nagu tõde, vajalikkus ja ratsionaalne valik. Väidetavalt on nende mõistete tavapärane ja segane käitumine juurdunud mõistete ringluses. Kui see on õige, siis pole kirjeldavate ja seletavate määratluste jaoks loogilist nõuet, et need pole ringikujulised.
Nende teemade üksikasjalikuma käsitlemise kohta vaata artikleid Gupta 1988/89, Gupta ja Belnap 1993 ning Chapuis ja Gupta 1999. Vaata ka tõe revideerimise teooria kannet. Revisiooniteooria kriitiliste arutelude kohta vaata Vann McGee ja Donald A. Martini artikleid ning Gupta vastust Villanuevas 1997. Vt ka Shapiro 2006.
Frege, G., 1879, Begriffschrift, raamatus Frege to Gödel: Allikaraamat matemaatilises loogikas, 1879–1931, toimetanud J. van Heijenoort, Cambridge, MA: Harvard University Press (1967), lk 1–82.
––– 1884, Aritmeetika alused: arvmõistete logiomatemaatiline uurimine, teine muudetud väljaanne (1980), Evanston: Northwesterni Ülikooli press.
–––, 1914, „Loogika matemaatikas”, Gottlob Frege: Postuumsed kirjutised, toimetanud H. Hermes, F. Kambartel ja F. Kaulbach, Chicago: University of Chicago Press (1979), lk 203–250.
Gödel, K., 1944, “Russelli matemaatiline loogika”, kordustrükis oma kogutud teostes: II köide: väljaanded 1938–1974, New York: Oxford University Press (1990), lk 119–141
Gupta, A., 1988/89, “Märkused määratluste ja tõe kontseptsiooni kohta”, Aristotelian Society, 89: 227–246.
–––, 2006, „Lõplikud ringmääratlused”, eneseviites, toimetanud T. Bolander, VF Hendricks ja SA Andersen, Stanford: CSLI Publications, lk 79–93.
Gupta, A. ja Belnap, N., 1993, The Revolution Theory of Truth, Cambridge, MA: MIT Press.
Hacker, PMS, 1993, “Wittgenstein on Ostensive Definitions”, Inquiry, 18: 267–287.
Hale B. ja Wright C., 2001, Põhjenduse õige uurimus: Esseed matemaatika uusfreeside filosoofia poole, Oxford: Clarendon Press.
Hazen, A., 1983, “Ennustatav loogika”, filosoofilise loogika käsiraamatus: I köide: klassikalise loogika elemendid, redigeerinud D. Gabbay ja F. Guenthner, Dordrecht: Reidel, lk 331–407.
Hodges, W., 1993, “Tarski definitsiooni teooria”, Tarski ja filosoofiat käsitlevates uutes esseedes, toimetaja D. Patterson, Oxford: Oxford University Press, lk 94–132.
Horty, J., 2007, Frege on Definīcijas: Semantilise sisu juhtumianalüüs, New York: Oxford University Press.
Padoa, A., 1900, “Loogiline sissejuhatus igasugusesse deduktiivsesse teooriasse”, Fregest Gödelini: matemaatikaloogika lähteteos, 1879–1931, toimetaja J. van Heijenoort, Cambridge, MA: Harvard University Press (1967), lk 118–123.
Quine, WVO, 1951, “Kaks empirismi dogmat”, kordustrükis Cambridge'i loogilisest vaatepunktist: Harvard University Press (1953), lk 20–46.
–––, 1960, Word and Object, Cambridge MA: MIT Press.
Robinson, R., 1950, Definitsioon, Oxford: Clarendon Press.
Russell, B., 1908, "Matemaatiline loogika kui tüüpide teooriast lähtuv", kordustrükis oma loogikas ja teadmistes: Esseed 1901–1950, London: George Allen & Unwin (1956), lk 59–102.
–––, 1948, Inimteadmised: selle ulatus ja piirid, New York: Simon ja Schuster.
