Esmakordselt avaldatud se 6. september 2017; sisuline redaktsioon reedel 19. jaanuaril 2018
“Curry paradoks”, nagu seda filosoofid tänapäeval kasutavad, viitavad väga erinevatele eneseviitamise või ringluse paradoksidele, mis jälitavad nende tänapäevaseid esivanemaid Curry (1942b) ja Löb (1955) juurde. [1]Nende nn Curry paradokside ühine tunnus on viis, kuidas nad kasutavad implikatsiooni, kaasatuse või tagajärje mõistet kas ühend- või predikaadina. Curry paradoks ilmneb paljudes erinevates valdkondades. Nagu Russelli paradoks, võib see esineda kas teooria või omaduste teooria paradoksina. Kuid see võib toimuda ka semantilise paradoksi kujul, mis on lähedalt sarnane valetaja paradoksiga. Curry paradoks erineb nii Russelli kui ka valeliku paradoksist selle poolest, et see ei hõlma sisuliselt eituse mõistet. Tavalised tõeteoreetilised versioonid hõlmavad lauset, mis ütleb iseenesest, et kui see on tõene, siis on suvaliselt valitud väide tõene, või - kui kasutada veel süngemat näidet - öeldakse iseenesest, et kui see on tõsi, siis on kõik valed tõesed. Paradoks on see, et sellise lause olemasolu vihjab meelevaldselt valitud väite tõele või - mis on veelgi põnevam - iga vale kohta. Selles sissekandes näitame, kuidas saab luua erinevaid Curry paradokse, uurime saadaolevate lahenduste ruumi ja selgitame, kuidas Curry paradoks on oluline ja kujutab endast eripäraseid väljakutseid.
1. Sissejuhatus: kaks paradoksi pilku
1.1 Mitteametlik argument
1.2 Piirang teooriatele
1.3 Ülevaade
2. Karri lausete ehitamine
2.1 Karri esimene meetod ja set-teoreetilised karri laused
2.2 Curry teine meetod ja tõeteoreetilised karri laused
3. Paradoksi tuletamine
3.1 Karri-paradoksi Lemma
3.2 Alternatiivsed ruumid
4. Vastused Curry paradoksile
4.1 Karri puudulikkuse vastused
4.2 Karri-täielikkuse vastused
4.2.1 Kontraktiivabad vastused
4.2.2 Lahkumisvabad vastused
4.2.3 Taotlus mitteametlikule argumendile
5. Curry paradoksi olulisus
5.1 Negatiivsete paradokside lahendamise lootused
5.1.1 Parakonsistentsed lahendused pettunud
5.1.2 Mittekomplektsed lahendused pettunud
5.2 Osutamine üldisele paradoksstruktuurile
6. Kehtivuskarri
6.1 Ühendusvorm
6.2 Ennustatav vorm
6.3 Tähendus
Bibliograafia
Olulisemad ajaloolised allikad
Muud viited
Akadeemilised tööriistad
Muud Interneti-ressursid
Seotud kirjed
1. Sissejuhatus: kaks paradoksi pilku
1.1 Mitteametlik argument
Oletame, et teie sõber ütleb teile: "Kui see, mida ma ütlen just seda lauset kasutades, vastab tõele, on aeg lõpmatu". Selgub, et järgmise järelduse jaoks on olemas lühike ja näiliselt kaalukas argument:
(P) Ainuüksi teie sõbra väite olemasolu tähendab (või tuleneb sellest), et aeg on lõpmatu
Paljud leiavad, et (P) on väljaspool usku (ja selles mõttes paradoksaalne), isegi kui aeg on tõepoolest lõpmatu. Või kui see pole piisavalt halb, siis kaaluge mõnda muud versiooni, seekord hõlmab väidetavalt vale väide. Laske teie sõbral öelda selle asemel: "Kui see, mida ma ütlen just seda lauset kasutades, on tõsi, siis on kõik numbrid ülitähtsad". Nüüd saadakse mutatis mutandis samad lühikesed ja näiliselt kaalukad argumendid (Q):
(Q) Ainuüksi teie sõbra väite olemasolu tähendab (või sellest tulenevalt), et kõik numbrid on ülitähtsad
Siin on argument (P). Olgu (k) teie sõbra lausutud enesereferentslause, seda on mõnevõrra lihtsustatud, nii et see kõlab järgmiselt: “Kui (k) on tõsi, siis on aeg lõpmatu”. Pidades silmas (k) öeldut, teame seda palju:
(1) Eeldades, et (k) on tõene, on aeg nii, et kui k on tõene, on aeg lõpmatu
Kuid muidugi on ka meil
(2) Eeldusel, et (k) on tõene, on tõsi, et k on tõene
Eeldades, et (k) on tõene, tuletasime tingimusliku koos selle eelnevaga. Kasutades eelduse piires modus ponensi, tuletame nüüd tingimusest tingitut selle sama oletuse alusel:
(3) Eeldades, et (k) vastab tõele, on aeg aeg lõpmatu
Tingimusliku tõestamise reegel annab meile nüüd õiguse kinnitada tingimuslikku, mille eeldusena eeldame:
(4) Kui (k) vastab tõele, on aeg lõpmatu
Kuid kuna (4) on lihtsalt (k) ise, on meil see olemas
(5) (k) on tõene
Lõpuks, koondades (4) ja (5) modus ponensi abil, saame
(6) Aeg on lõpmatu
Näib, et oleme teinud kindlaks, et aeg on lõpmatu, ega kasuta mingeid eeldusi peale enesereferentaalse lause (k) olemasolu, koos näiliselt ilmselgete tõepõhimõtetega, mis viisid meid punkti (1) ja ka (4) kuni (5). Ja sama kehtib ka (Q) kohta, kuna me oleksime võinud sama argumendivormi kasutada vale järelduse tegemiseks, et kõik arvud on algsed.
1.2 Piirang teooriatele
Üks väljakutse, mille Curry paradoks esitas, on täpsustada, mis läheb valesti eeltoodud mitteametlikes argumentides (P), (Q) vms. Kuid alustades Curry esmaesitlusest Curry 1942b-s (vt Curry-lisadokumenti Curry paradoksi kohta), on Curry paradoksi käsitlemine tavaliselt keskendunud teisiti. See on puudutanud erinevaid formaalseid süsteeme - enamasti seatud teooriaid või tõeteooriaid. Selles seades on paradoksiks tõestus, et süsteemil on eriline omadus. Tavaliselt on kõne all olev omadus triviaalsus. Teooria öeldakse olevat triviaalne või täiesti ebajärjekindel, kui see kinnitab iga väidet, mis on teooria keeles väljenduv. [2]
Argument, mis kinnitab, et konkreetne formaalne teooria on triviaalne, tekitab probleemi juhul, kui tegemist on ühega järgmistest juhtumitest: (i) soovime kasutada oma päringutes formaalset teooriat, kuna matemaatikat tehes kasutame komplektteooriat, või (ii) soovime kasutada formaalset teooriat keele või mõtte tunnuste, eriti väidete, millele mõned kõnelejad või mõtlejad on pühendunud, modelleerimiseks. Mõlemal juhul näitaks sihtteooria triviaalsus, et see on kavandatud otstarbeks ebapiisav. Nii et see on Curry paradoksi teine väljakutse.
Curry paradoksi kitsendavate teooriate täpsustamiseks peame ütlema, mis on Curry lause. Mitteametlikult on karri lause lause, mis mõne teooria valguses on samaväärne tingimusel, et ta on eelkäija. Näiteks võiks mõelda jaotise 1.1 argumendile kui tõele mitteametliku teooria poole pöördumisele. Siis on lause “(k) tõene” selle teooria Curry lause. Seda seetõttu, et arvestades seda, mida meie mitteametlik teooria räägib meile selle kohta, mida (k) tõde hõlmab, peaks “(k) olema tõsi” samaväärne kui “Kui (k) on tõsi, siis on aeg lõpmatu”(Kuna see tingimus on (k) ise).
Järgnevalt kasutatakse märget (vdash _ { mathcal {T}} alpha), et öelda, et teooria (matemaatiline {T}) sisaldab lauset (alpha) ja (Gamma \ vdash _ { matemaatilist {T}} alfa) kasutatakse selleks, et öelda, et (alpha) tuleneb (Gamma) kogutud ruumidest vastavalt (mathcal {T}) (st, vastavalt (matemaatiline {T}) tagajärgseosele (vdash _ { matemaatiline {T}})). [3] Välja arvatud jaotises 4.2.1, käsitleme siiski ainult väiteid selle kohta, mis lähtub teooriast ühest eeldusest, st väited, mis on väljendatud vormi lausetega (gamma \ vdash _ { matemaatiline {T }} alpha). (Me tugineme kontekstile, et selgitada välja, kus sellist lauset kasutatakse ja kus seda ainult mainitakse.)
Kaks lauset (teooria keeles (mathcal {T})) nimetatakse vastavalt ((mathcal {T})) asendatavaks, eeldusel, et vormi (Gamma \ vdash _ { matemaatilist {T}} alfa) ei mõjuta üksuste asendamine üksteisega (alpha) või ühegi lause sees (Gamma). Lõpuks eeldame, et see keel sisaldab sideühendit ({ parempoolset noolt}), mis mõnes sobivas mõttes on tingimuslik. Järgneva määratluse jaoks ei sea me selle tingimuse käitumisele mingeid erinõudeid. Nüüd saame määratleda Curry lause mõiste lause-teooria paari jaoks.
Definitsioon 1 (karri lause) Olgu (pi) lause (matemaatika {T}) keeles. Karmi lause lausete (pi) ja (mathcal {T}) jaoks on mis tahes lause (kappa), nii et (kappa) ja (kappa { rightarrow} pi) on asendatud vastavalt {(matemaatiline {T}). [4]
Curry paradoksi erinevad versioonid tulenevad argumentide olemasolust järgmise väga üldise väite kasuks. (Neid argumente, mis toetuvad eeldustele tingimusliku ({ parempoolse}} kohta), käsitletakse üksikasjalikumalt 3. jaos.)
Nõue murettekitav iga teooria (mathcal {T}) ja iga lause (pi) jaoks keeles (mathcal {T}), kui (pi \ jaoks on olemas Curry lause) ja (matemaatiline {T}), siis (vdash _ { matemaatiline {T}} pi).
Argument, mis näib tekitavat muret tekitavat väidet, loetakse paradoksaalseks, kui on olemas ka kaalukas põhjus arvata, et see väide on vale. Rahuldava nõude vastunäidis oleks mis tahes teooria (matemaatiline {T}) ja lause (pi) selliselt, et (pi) ja (matemaatiline {T}), kuid see ei ole nii (vdash _ { mathcal {T}} pi).
Nagu eespool märgitud, mõistetakse Curry paradoksi sageli väljakutsena mittetriviaalsete teooriate olemasolule. Arvestades murettekitavat väidet, on teooria triviaalne, kui Curry lause saab formuleerida mis tahes lause jaoks teooria keeles. Triviaalsus tuleneb tõepoolest nõrgemast tingimusest, mille järgmine määratlus selgesõnaliselt väljendab.
2. määratlus (karri täielik teooria) Teooria (mathcal {T}) on Curry-täielik, tingimusel et iga lause (pi) keeles, mis on keeles (mathcal {T}), on olemas mõned (pi '), nii et (i) kus on (pi') ja (matemaatiline {T}) karri lause ja (ii) kui (vdash _ { matemaatiline {T }} pi '), siis (vdash _ { matemaatiline {T}} pi).
Ehkki üks tingimus (ii) tingimust rahuldavast (pi ') oleks ise (pi), oleks teine näide plahvatusohtlik lause (bot), mis sisaldub teoorias ainult siis, kui iga lause sisaldub teoorias. [5]
Rabaval väitel on nüüd otsene tagajärg: Curry-täielik teooria peab sisaldama kõiki lauseid oma keeles.
Järeldus on murettekitav Iga Curry-täielik teooria on triviaalne.
Jällegi, kõiki argumente, mis näivad tõestavat murettekitavat järeldust, peetakse paradoksaalseks, kui on olemas kaalukas põhjus arvata, et on olemas mittetriviaalsed teooriad (tõepoolest tõesed teooriad), mis on Curry-täielikud.
1.3 Ülevaade
Selle sissekande järelejäänud osas mõistetakse Curry paradoksi teooriate paradoksaalse piirangu kehtestamisena, nimelt ülaltoodud murettekitava järelduse kohaselt. Sel viisil mõistetud Curry paradoksi versiooni esitamine hõlmab kahte asja:
väites, et (matemaatiline {T}) on mõne näiliselt mittetriviaalse sihtteooria jaoks karriga täielik (matemaatiline {T}), ja
esitades argumendi murettekitava nõude kohta. [6]
2. ja 3. jaos käsitletakse neid kahte ülesannet selles järjekorras. Praegu saab põhiidee edastada, kasutades isereferentslause (k) näidet, mille tekst on järgmine: "Kui (k) on tõsi, siis on aeg lõpmatu". Esiteks, arvestades meie arusaamist tõest, tunnistame, et lause “(k) on tõene” on asendatav lausega “Kui (k) on tõene, siis on aeg lõpmatu”. Teiseks tuleneb jaotise 1.1 mitteametlik argument sellest samaväärsusest paradoksaalne järeldus. Lugejad, keda huvitavad peamiselt selle argumendiga seotud loogilised põhimõtted ja nendega seotud põhimõtted ning selliste argumentide vastu seismise võimalused, võiksid pöörduda 3. jao poole.
2. Karri lausete ehitamine
Nagu tänapäeval seda tavaliselt esitatakse, vaevab Curry paradoks naiivseid tõeteooriaid (need, millel on "läbipaistev" tõe predikaat) ja "naiivseid" teooriateooriaid (neid, millel on piiramatu abstraktsioon). Selles jaotises selgitatakse, kuidas iga teooria võib tekitada Curry lauseid. Alustame siiski omaduste teooriaid käsitleva versiooniga, versiooniga, mis sarnaneb lähemalt Curry sõnastusega. (Lisadokument Curry Curry paradoksi kohta kirjeldab lühidalt Curry enda paradoksi versioonide eesmärke.)
Omaduste teoorial on omaduste piiramatu võtmine tingimusel, et mis tahes teooria keeles statuudi korral on olemas omadus, mida (vastavalt teooriale) näitlikustavad just need tingimused, mis sellele tingimusele vastavad. Vaatleme teooriat (matemaatiline {T_P}), mis on sõnastatud keeles, milles on omaduste võtmise seade ([x: \ phi x]) ja näiteside (epsilon). Näiteks kui (phi (t)) ütleb, et objekt, mida termin (t) tähistab, on kolmnurkne, siis (t \ \ epsilon [x: \ phi x]) ütleb, et see objekt on näide kolmnurga omadusest. Piiramatu vara võtmise korral peaks meil olema järgmine põhimõte.
(Atribuut) Iga avatud lause (phi) ühe vaba muutujaga ja iga termini (t) lausete (t \ \ epsilon [x: \ phi x]) ja (phi) kohta t) on asendatud vastavalt (matemaatilisele {T_P}).
Tegelikult visandab Curry (1942b) kaks Curry lause konstrueerimise meetodit, kasutades tema vaste (Property). Ta ütleb, et esimene põhineb „Russelli paradoksil”, teine aga „Epimenidesi paradoksi alusel”. Ehkki mõlemad meetodid on omadusteoreetilised, annab esimene meetod Curry paradoksi setteoreetiliste versioonide eelkäija, teine aga tõeteoreetiliste versioonide eelkäija.
2.1 Karri esimene meetod ja set-teoreetilised karri laused
Russelli paradoksi versioon, mis sarnaneb Curry esimese meetodiga, puudutab kinnisvara näitlikustamist. Selle teema on omadus olla selline, et inimene ei suuda iseennast illustreerida. Omadusteoreetilise Curry lause saamiseks arvestame selle asemel omadust selliseks, et inimene võiks ennast näidata ainult siis, kui aeg on lõpmatu. Ütleme, et tutvustame sellele atribuudile nime (h), määratledes (h = _ {def} [x: x \ \ epsilon \ x { rightarrow} pi]), kus lause (pi) ütleb, et aeg on lõpmatu. [7] Rakendades põhimõtet (vara) lausele (h \ \ epsilon \ h), leiame:
(h \ \ epsilon \ h) ja (h \ \ epsilon \ h { rightarrow} pi) on vastavalt asendatavad (matemaatilise {T_P}) vahel.
Teisisõnu: (h \ \ epsilon \ h) on karri lause lausete (pi) ja (matemaatiline {T_P}) jaoks.
Curry esimene meetod tekitas hiljem setteoreetilisi Curry lauseid. Komplektide teooria piirab piiranguteta abstraktsiooni tingimusel, et kõigi teooria keeles stabiilsete tingimuste jaoks on olemas komplekt, mis (vastavalt teooriale) sisaldab kõiki ja ainult neid tingimusi täitvaid asju. Olgu (matemaatiline {T_S}) meie kogumite teooria, mis on sõnastatud keeles, mis väljendab komplekti abstraktsiooni kasutades ({x: \ phi x }), ja määrake liikmesus, kasutades rakendust (in). Siis on (Vara) vaste
(Komplekt) Iga avatud lause (phi) ühe vaba muutujaga ja iga mõiste (t) lausete (t \ in {x: \ phi x }) ja (phi t) on asendatavad vastavalt üksusele (matemaatiline {T_S}).
Set-teoreetilise Curry lause saamiseks kaaluge komplekti, mis koosneb kõigest, mis on iseenesest liige ainult siis, kui aeg on lõpmatu. Ütleme, et tutvustame sellele komplektile nime (c), määrates sätte (c = _ {def} {x: x \ x x \ \ parempoolses noolega \ pi }). Rakendades põhimõtet (komplekt) lausele (c \ in c), leiame:
(c \ sisse c) ja (c \ sisse c { rightarrow} pi) on asendatud vastavalt (matemaatiline {T_S}).
Teisisõnu: (c \ in c) on karri lause lausete (pi) ja (matemaatiline {T_S}) jaoks.
Curry paradoksi setteoreetiline versioon võeti kasutusele Fitchis 1952 [8] ning seda tutvustatakse ka Mohis 1954 ja Enne 1955.
2.2 Curry teine meetod ja tõeteoreetilised karri laused
Vaatamata tema märkusele valemi paradoksi vormi Epimenides paradoksi kohta, on Curry teine meetod seotud seotud semantilise paradoksi, Grellingi paradoksi, variant. [9]Algsel kujul peab Grellingi paradoks varaks, mida valdavad paljud sõnad, nimelt omaduseks, mis sõnal on, kui ta ei suuda näidata seda vara, mida ta tähistab (Grelling & Nelson 1908). Näiteks on sõnal „solvav” see omadus: see ei anna näidet varast, mille eest ta seisab, kuna see pole solvav (vt sissejuhatust paradokside ja tänapäevase loogika kohta). Tegelikult peab Curry selle asemel omaduseks sõna, kui see näitlikustab seda omadust, milleks ta seisab, ainult siis, kui aega on lõpmatuseni. Oletagem nüüd, et meie teooria tutvustab sellele omadusele nime (u). Seejärel näitab Curry, kuidas konstrueerida lauset, mis (mitteametlikult rääkides) ütleb, et nimi (u) on näide omadusest, mida see tähistab. Ta näitab, et see lause saab olema Curry lause omaduste teooria ja nimede tähistamise jaoks.[10]
Kuigi see Curry lause saamise meetod põhineb väljendite semantilisel tunnusel, tugineb see siiski vara võtmisele. Sellegipoolest võib seda vaadelda täielikult semantilise versiooni eelkäijana. (Ülalnimetatud omaduse asemel võiks kaaluda predikaadi „kehtib iseendale ainult siis, kui aeg on lõpmatu” korral.) Seega, kuna esimestena näitasid Geach (1955) ja Löb (1955), on karri lauseid võimalik saada kasutades ainult semantilisi põhimõtteid, ilma vara abstraktsioonile tuginemata. Nende marsruut vastab mitteametlikule argumendile jaotises 1.1, mis hõlmab enesestmõistetavat lauset (k), mille tekst on järgmine: “Kui (k) on tõsi, siis on aeg lõpmatu”.
Selleks olgu (matemaatiline {T_T}) tõeteooria, kus (T) on tõe predikaat. Eeldame läbipaistvuse põhimõtet
(Tõde) Iga lause (alpha) korral on lausete (T \ langle \ alpha \ rangle) ja (alpha) vastavalt (matemaatiline {T_T}) asendatav.
Curry lause saamiseks selle põhimõtte järgi eeldatakse, et on lause (xi), mis on (T \ langle \ xi \ rangle { rightarrow} pi). [11] Siis järeldub kohe (tõest), et
(T \ langle \ xi \ rangle) ja (T \ langle \ xi \ rangle { rightarrow} pi) on asendatavad vastavalt ((matemaatiline {T_T})).
Teisisõnu, (T \ langle \ xi \ rangle) on karri lause lausete (pi) ja (matemaatiline {T_T}) jaoks.
Geach märgib, et semantiline paradoks, mis tuleneb lausest nagu (T \ langle \ xi \ rangle), sarnaneb „Curry paradoksiga seatud teoorias”. Löb, kes Curry loomingut ei maini, kiidab paradoksi kohtuniku tähelepaneku kohta tõestuse kohta selle kohta, mida praegu nimetatakse Löbi tõestatavuse teoreemiks (vt sissekannet Gödeli puudulikkuse teooriate kohta). Kohtunik, kes oli nüüd teadaolevalt Leon Henkin (Halbach & Visser 2014: 257), tegi ettepaneku, et tema tõendis kasutatud meetod Löb „viib looduskeeles paradokside uue tuletamiseni”, nimelt jaotise 1.1 mitteametliku argumendi. [12]
3. Paradoksi tuletamine
Oletame, et oleme kasutanud ühte ülaltoodud meetoditest, et näidata mõne tõesuse, komplektide või omaduste teooria jaoks, et see teooria on Curry-täielik (tulenevalt näiteks sellest, et see sisaldab keele iga lause kohta Curry lauset või plahvatusliku lause eest). Et järeldada, et kõnealune teooria on triviaalne, piisab nüüd argumendi esitamisest murettekitava nõude kohta. See on väide, et iga teooria (mathcal {T}) jaoks, kui on (pi) ja (mathcal {T}) jaoks Curry lause, siis (vdash _ { mathcal {T}} pi). See argument kasutab eeldusi määratluses 1 nimetatud tingimusliku ({ parempoolne}}) loogilise käitumise kohta. Eeldusel, et muret tekitavale nõudele tuleb vastu seista, seab see selle tingliku käitumisele piiranguid.
3.1 Karri-paradoksi Lemma
Alustuseks on siin toodud väga üldine piirav tulemus, Curry 1942b Lemma lähedane variant. [13]
Curry-Paradox Lemma Oletame, et teooria (matemaatiline {T}) ja lause (pi) on sellised, et (i) on kari lause lausete (pi) ja (mathcal {T} jaoks)), (ii) kõik identiteedireegli (Id) (alpha \ vdash _ { matemaatilised {T}} alpha) juhud kehtivad ja (iii) tingimuslik ({ rightarrow}) vastab mõlemale järgmistest põhimõtetest:
MP on siin modus ponensi versioon ja Cont on kokkutõmbumispõhimõte: lause (alpha) kaks esinemist on “lepingulised” üheks. (Peagi kohtame seotud põhimõtteid, mida sagedamini nimetatakse kokkutõmbumiseks. [14]) Curry-Paradox Lemma tähendab, et mis tahes Curry-terviklik teooria peab triviaalsuse valu korral rikkuma ühte või mitut Id, MP või Cont.
Lemma tõestamiseks on näha, et id, MP ja Cont koos (kappa) koos (kappa { rightarrow} pi) „karri-intersubstitutiivsusega” on (vdash_ { matemaatiline {T}} pi). Järgmine tuletus sarnaneb jaotise 1.1 mitteametlikule argumendile. See argument sisaldas ka alamargumenti Cont põhimõttele, mida uuritakse allpool.
4. jaos käsitletakse viise, kuidas Curry-paradoksilises Lemmas eeldatud kahte põhimõtet, mis käsitlevad ({ rightarrow}), õigustada või tagasi lükata.
3.2 Alternatiivsed ruumid
Curry-Paradox Lemma on sarnaseid, mis tuginevad loogiliste põhimõtete alternatiivsetele komplektidele (vt nt Rogerson & Restall 2004 ja Bimbó 2006). Tõenäoliselt kõige tavalisem versioon asendab reeglid Id ja Cont vastavate seadustega:
Curry-Paradox Lemma teine ühine vaste on Meyer, Routley ja Dunn (1979). [15] Selles kasutatakse konjunktsiooni osas kaht põhimõtet: modus ponensi seaduslik vorm ja konjunktsiooni ideaalsus.
Curry-paradoksi Lemma sõnastamine Cont, mitte ContL või MPL abil Cont abil hõlbustab tähelepanu juhtimist (järgmises jaotises) olulistele erinevustele vastuste klassis, mis lükkavad mõlemad viimased põhimõtted tagasi. [16]
4. Vastused Curry paradoksile
Curry paradoksi vastused võib jagada kahte klassi, lähtudes sellest, kas nad aktsepteerivad murettekitavat järeldust, et kõik Curry-lõpule viidud teooriad on triviaalsed.
Karri puudulikkusega seotud vastused nõustuvad murettekitava järeldusega. Kuid nad eitavad, et omaduste, komplektide või tõe sihiteooriad on Curry-täielikud. Karri-puudulikkuse vastused võivad omada ja tavaliselt ka klassikalist loogikat.
Karri täielikkuse vastused lükkavad murettekitava järelduse tagasi; nad rõhutavad, et võivad esineda mittetriviaalsed Curry-lõpu teooriad. Iga selline teooria peab rikkuma ühte või mitut Curry-Paradox Lemmas eeldatud loogilist põhimõtet. Kuna klassikaline loogika kinnitab neid põhimõtteid, viitavad need vastused mitteklassikalisele loogikale. [17]
Samuti on võimalus propageerida Curry puudulikkuse vastust Curry paradoksidele, mis tekivad ühes domeenis, ütleme näiteks teooria, samal ajal kui Curry täielikkuse vastust Curry paradoksidele, mis tekivad teises valdkonnas, näiteks kinnisvarateooria (nt Field 2008; Beall 2009).).
4.1 Karri puudulikkuse vastused
Näited silmapaistvatest tõeteooriatest, mis pakuvad Curry paradoksile Curry-puudulikkuse vastuseid, hõlmavad Tarski hierarhilist teooriat, tõe revideerimise teooriat (Gupta ja Belnap 1993) ning kontekstualistlikke lähenemisi (Burge 1979, Simmons 1993 ja Glanzberg 2001, 2004). Need teooriad piiravad naiivse läbipaistvuse põhimõtet (tõde). Ülevaate leiate sissekandest valetaja paradoksi kohta. Komplekti teooria kontekstis sisaldavad karri mittetäielikkuse vastused Russelli tüüpi teooriaid ja erinevaid teooriaid, mis piiravad naiivse komplekti abstraktsiooni põhimõtet (Set). Vaadake sissekandeid Russelli paradoksi ja alternatiivsete aksiomaatiliste kogumiteooriate kohta.
Üldiselt ei tundu enamiku Curry-puudulikkuse vastuste hindamisel olulised kaalutlused olevat Curry paradoksi suhtes spetsiifilised, vaid puudutavad võrdselt nii valeliku paradoksi (tõeteoreetilises valdkonnas) kui ka Russelli paradoksi (komplekti- ja vara- teoreetilised domeenid). [18] Seetõttu keskendub ülejäänud osa sellest kiri Curry-täielikkuse vastustele, ehkki jaotis 6.3 naaseb lühidalt eristamisele nn kehtivuse Curry-paradokside kontekstis.
4.2 Karri-täielikkuse vastused
Curry täielikkuse vastused Curry paradoksile väidavad, et on teooriaid, mis on Curry täielikud, kuid mittetriviaalsed; selline teooria peab rikkuma ühte või mitut Curry-Paradox Lemmas eeldatud loogilist põhimõtet. Kuna reegli Id reeglina ei ole vaidlustatud (kuid vt prantsuse keeles 2016 ja Nicolai & Rossi tulekut), tähendas see eitamist, et mittetriviaalse Curry-täieliku teooria tingimuslik ({ paremääris}) vastab nii MP-le kui ka Cont-le. Seetõttu jagunesid vastused kahte kategooriasse.
(I) Kõige tavalisem strateegia on olnud leppida sellega, et selline teooria tingimuslik kuuletub MP-le, kuid eitada, et see kuuletub Cont-le. Kuna jätk on kokkutõmbumispõhimõte, võib selliseid vastuseid nimetada kokkutõmbumisvabadeks. Selle strateegia pakkus esmakordselt välja Moh (1954), kellele on heaks kiitnud Geach (1955) ja Prior (1955)
(II) Teine ja palju uuem strateegia on leppida sellega, et selline teooria tingimuslik kuuletub Cont-le, kuid eitada, et see kuuletub MP-le (mõnikord nimetatakse seda irdumise reegliks). Selliseid vastuseid võib nimetada irdumisvabadeks. Seda strateegiat toetavad erineval viisil Ripley (2013) ja Beall (2015)
Iga karri-täielikkuse vastuse kategooria võib omakorda jaotada vastavalt sellele, kuidas see blokeerib väidetavaid Conti ja MP tuletisi.
4.2.1 Kontraktiivabad vastused
Põhimõte Cont, mis lükatakse tagasi kokkutõmbumisvabade vastustega, tuleneb kahest standardsest põhimõttest. Need on ühe eeldusega tingimuslikud tõendid ja veidi üldisem versioon modus ponensi versioonist, hõlmates maksimaalselt ühte eeldust (gamma):
Kontraktsioonivabad vastused peavad seega kehtetuks tunnistama ühe või teise neist kahest põhimõttest mittetriviaalse Curry-täieliku teooria tingimuslikuks kasutamiseks. Sellest lähtuvalt saab eristada kahte kategooria (I) teoreetiku alamkategooriat:
(Ia) Tugevalt kontraktsioonideta vastus eitab seda, et ({ rightarrow}) järgib MP-d (nt Mares & Paoli 2014; Slaney 1990; Weir 2015; Zardini 2011)
(Ib) Nõrgalt kokkutõmbevaba vastusega nõustutakse sellega, et ({ rightarrow}) kuuletub MP-le, kuid eitab, et see kuuletub CP-le (nt Väli 2008; Beall 2009; Nolan 2016)
Põhjus, miks kategoorias (Ib) loetakse vastused ainult nõrgalt kokkutõmbumisvabaks, on see, et nagu näitasid etapid 1-3, nõustuvad nad kokkutõmbumispõhimõttega, mille kohaselt juhul, kui (alpha \ vdash _ { matemaatiline {T}} alpha { paremarvel} beeta), siis (alpha \ vdash _ { matemaatiline {T}} beeta).
Tugevalt kokkutõmbevaba reageerimise pooldajad leiavad, et MP 'ei väljenda õigesti modus ponensi vastavat vormi. Tavaliselt esitavad nad selle reegli omavormi “alamstruktuurilises” raamistikus, konkreetselt sellises, mis võimaldab meil vahet teha, mis tuleneb ühe korra eeldusest ja mis tuleneb samast eeldusest, mis on võetud kaks korda. (Vt alamstruktuuriloogika alast kirjet.) Seetõttu tuleb MP 'asendada numbriga
Sellepärast, et nad lükkavad tagasi struktuurilise kokkutõmbumise, võivad tugevalt kontraktsioonivabad lähenemisviisid väita, et nad säilitavad modus ponensi hoolimata MP tagasilükkamisest (vt Shapiro 2011, Zardini 2013 ja Ripley 2015a).
Tugevalt kokkutõmbevabad vastused peavad blokeerima ka MP 'tuletamise, kasutades koostoimimise põhimõtteid:
Selle MP tuletamise vältimiseks tuleb eitada, et on olemas konjunktsioon (kiil), mis kuuletub nii MP-le "(_ { kiil}") kui ka Idemile (_ { kiil}). Paljude tugevalt kokkutõmbumisvabade vastuste (nt Mares ja Paoli 2014; Zardini 2011) kohaselt on üks konjunktsiooni liik - “korrutatav” või “sulandumine” - MP-d (_ { kiil}), kuid mitte Idem (_ { kiil}), samas kui teine liik - lisaaine - kuuletub Idemile (_ { kiil}), kuid mitte MP '(_ { kiil}) (vt kannet lineaarsel loogika ja Ripley 2015a). Kui kasutatakse ülalkirjeldatud allstruktuurilist raamistikku, tähendab MP '(_ { kiil}) tõrget tõsiasjaks, et aditiivse konjunktsiooni korral on (gamma, \ delta \ vdash _ { matemaatiline {T}} beeta) ei ole samaväärne (gamma \ kiil \ delta \ vdash _ { matemaatiline {T}} beeta).
Nõrgalt kokkutõmbumisvabade reageeringute osas on CP läbikukkumist mõnikord ajendatud kasutama „maailmade” semantikat, mis eristab loogiliselt võimalikke ja võimatuid maailmu (nt Beall 2009; Nolan 2016). CP ümberlükkamiseks on vaja (alpha \ vdash_ \ matemaatilise {T} beeta] tõde ja (vdash_ \ matemaatilise {T} alfa { parempoolne} beeta \ ekslikkust. Sihil “maailmade” lähenemisviisid (vdash_ \ matemaatiline {T}) on määratletud kui tõe säilitamine maailmade õige alamhulga korral (mudelis), nimelt mudeli “võimalike maailmade” kaudu. Seega, kui (alpha \ vdash_ \ matemaatiline {T} beeta) vastab tõele, pole olemas ühtegi maailma (üheski mudelis), kus (alpha) oleks tõene ja (beeta) vale (Vdash_ \ matemaatilise {T} alfa { rightarrow} beeta) ümberlükkamiseks vajame omakorda võimalikku maailma, kus (alpha { rightarrow} beeta) ei vasta tõele. Kuidas see juhtub? Kuna ühenduvus on määratletud viisil, mis võtab arvesse kõiki mudelis olevaid (tüüpi) maailmu (võimalikke ja kui neid on, siis võimatu), on (alpha { rightarrow} beeta) võimalus olla vale võimalikus maailmas tänu sellele, et (alpha) on tõesed ja (beeta) on võimatus maailmas vale. Ja just see juhtub sihtmärgil lähenedes. (See, kuidas määratletakse noole tõe-maailma ja vale-maailma tingimused, sõltub konkreetsest vaadeldavast „maailmade“lähenemisest.)Ja just see juhtub sihtmärgil lähenedes. (See, kuidas määratletakse noole tõe-maailma ja vale-maailma tingimused, sõltub konkreetsest vaadeldavast „maailmade“lähenemisest.)Ja just see juhtub sihtmärgil lähenedes. (See, kuidas määratletakse noole tõe-maailma ja vale-maailma tingimused, sõltub konkreetsest vaadeldavast „maailmade“lähenemisest.)
4.2.2 Lahkumisvabad vastused
Lahtisidumisvastased vastused peavad blokeerima transpersiivsuse põhimõttel põhineva MP sirgjoonelise tuletamise koos ühe eelduse tingimusliku tõestuse vastandiga:
(Trans) Kui (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beeta) ja (vdash _ { mathcal {T}} alpha), siis (vdash _ { mathcal {T}} beeta)
(CCP) Kui (vdash _ { matemaatiline {T}} alpha { rightarrow} beeta), siis (alpha \ vdash _ { matemaatiline {T}} beeta)
Teoreetikute kategoorias (II) on kaks alamkategooriat:
(IIa) Tugevalt irdumisvaba vastus eitab seda, et ({ rightarrow}) kuuletub CCP-le (Goodship 1996; Beall 2015).
(IIb) Nõrgalt irdumisvaba vastusega nõustutakse, et ({ paremarvel}) kuuletub CCP-le, kuid lükkab Trans tagasi (Ripley 2013).
Põhjus, miks IIb-kategooria vastused on vaid nõrgalt eraldumisvabad, on see, et CCP-d, mida need vastused aktsepteerivad, võib pidada tingimusliku omamoodi eraldumispõhimõtteks.
Üks strateegia süüdistusele vastamiseks, et irdumisvastased reageeringud on vastupidised, on apelleerimine seosele tagajärje ning meie poolt lausete aktsepteerimise ja tagasilükkamise vahel. Selle seose kohaselt tähendab see, kui juhtub, et (alpha \ vdash _ { matemaatiline {T}} beeta), see tähendab (või vähemalt tähendab, et), et see on teooriavalgustuse tõttu ebajärjekindel (mathcal {T}) aktsepteerima (alpha), lükates samal ajal tagasi (beeta) (vt Restall 2005). Oletagem nüüd, et teooria (matemaatiline {T}) valguses on (alpha) tagasilükkamine ebajärjekindel ja (alpha) aktsepteerimine on ka (beeta). Seejärel väidab Ripley (2013), et teooria valguses ei tohiks (beeta) tagasilükkamise suhtes olla midagi seostamatut, kui keegi ei aktsepteeri ka (alpha). Seega on ruumi Transist loobumiseks ja nõrga irdumisvaba reageerimiseks Curry paradoksile. Beall kaitseb tugevalt irdumisvabast lähenemisviisist lähtudes sellega seotud kaalutlustest. Tegelikult väidab ta, et CCP-st nõrgem põhimõte võib mängida olulist rolli lausete, sealhulgas (alfa), (beeta) ja (alfa { parempoolne nool, aktsepteerimise ja tagasilükkamise kombinatsioonide piiramisel } beeta).
4.2.3 Taotlus mitteametlikule argumendile
Just eristatud lähenemisviisid Curry paradoksile leiavad viga jaotises 1.1 esitatud mitteametliku paradoksaalse argumendi erinevate järelduste ja alajärelduste osas. Tugevalt kokkutõmbumisvaba vastus vastab selle argumendi blokeerimise astmele 3, kuna see lükkab MP tagasi. Nõrgalt kokkutõmbumisvaba vastus blokeerib selle asemel sammu (4), kuna see lükkab tagasi CP. Kumbki irdumisvaba vastus ei aktsepteeri punktis 3 toodud põhjendusi. Kuna nad aktsepteerivad jätkumist, võimaldavad irdumisvabad vastused tuletada järelduse punktist 4 (4), kuna nõrgalt irdumisvabad vastused võimaldavad meil tuletada ka KKP järelduse punkti (3) kohta. Mõlemat tüüpi irdumisvabad reageeringud leiavad viga MP lõplikul liigutamisel punktile (6).
5. Curry paradoksi olulisus
Selles osas selgitame mõnda eristavat õppetundi, mida saab õppida, kui arvestada Curry paradoksi. Arutluse kohta selle kohta, millist olulisust Curry paradoksi versioonid jagavad seotud paradoksidega, leiate Russelli paradoksi ja valetaja paradoksi sissekannetest.
5.1 Negatiivsete paradokside lahendamise lootused
Kiriku (1942), Mohi (1954), Geachi (1955), Löbi (1955) ja Prioriga (1955) alustades on Curry paradoksi käsitlemine rõhutanud, et see erineb Russelli ja valetaja paradoksist, kuna see ei t „põhimõtteliselt eitamine” (Anderson 1975: 128). [19] Curry paradoksi eitusvaba staatuse üks põhjus on see, et see muudab paradoksi vastupidavaks mõnede resolutsioonide suhtes, mis võivad olla piisavad selliste eitusparadokside jaoks.
Geach väidab, et Curry paradoks tekitab probleeme kõigile naiivse tõeteooria või naiivse kindla teooria pooldajatele, kes eitusparadokside ees seistes
võib… loota [nende paradokside] vältimiseks, kasutades loogilist süsteemi, kus '(p) siis ja ainult siis, kui mitte - (p)' oleks teoreem mõnes '(p)' tõlgenduses ilma meie suutma järeldada suvalistest avaldustest…. (Geach 1955: 71)
Tema sõnul on probleem selles, et Curry paradoksi "ei saa lahendada üksnes süsteemi kasutuselevõtmisega, mis sisaldab veidramaid eitusid". Pigem tuleb „kui me tahame säilitada naiivset vaadet tõele või klasside naiivset vaadet…, siis me peame muutma elementaarseid järelduse reegleid, mis käsitlevad„ kui”” (1955: 72). Geachi seisukohta Curry paradoksi olulisuse kohta kajastavad tähelepanelikult Meyer, Routley ja Dunn (1979: 127). Nad järeldavad, et Curry paradoks nurjab neid, kes “lootsid, et klassikalise eituse põhimõtete nõrgendamine” lahendab Russelli paradoksi. [20]
Lühidalt, mõte on selles, et on olemas nõrga eituspõhimõttega mitteklassikalist loogikat, mis lahendavad Russelli ja valetaja paradoksi, kuid jäävad siiski Curry paradoksi suhtes haavatavaks. Need on loogika järgmiste funktsioonidega:
(a) Neid saab kasutada mittetriviaalse teooria alusena, mille kohaselt mõni lause on oma eituse abil asendatav.
(b) Neid ei saa kasutada mitte-triviaalse teooria alusena, mis on Curry-täielik.
Kuigi on ebaselge, millist loogikat Geach võis silmas pidada, leidub tõepoolest ka mitteklassikalist loogikat, mis neile kahele tingimusele vastavad. Neil loogikatel põhinevad teooriad jäävad Curry paradoksi suhtes haavatavaks.
5.1.1 Parakonsistentsed lahendused pettunud
Meyer, Routley ja Dunn (1979) juhivad tähelepanu ühele loogikaklassile, mis vastavad tingimustele (a) ja (b). Need kuuluvad parakonsistentsete loogikate hulka, mis on loogika, mille kohaselt lause koos eitamisega ei tähenda suvalist lauset. Parakonsistentset loogikat saab kasutada teooriate saamiseks, mis lahendavad Russelli paradoksi ja valetaja, omades eituse ebajärjekindlust, alistamata triviaalsust.
Sellise teooria (matemaatiline {T}) kohaselt võivad laused (lambda) ja (lnot \ lambda) olla omavahel asendatavad, kui mõlemad (vdash _ { mathcal {T} } lambda) ja (vdash _ { matemaatiline {T}} lnot \ lambda). Sellised teooriad on “rämedad” selles mõttes, et nad kinnitavad mõnda lauset koos selle eitamisega (vt dialeteismi kirjeldust). Ometi ei saa mitmed silmapaistvad parakonsistentsed loogikad olla Curry-teooriate alus triviaalsuse valust. Sellise loogika kohta öeldakse mõnikord, et see pole “karri parakonsistentsus” (Slaney 1989). [21]
5.1.2 Mittekomplektsed lahendused pettunud
Paljud mitteklassikalised loogikad, millele on soovitatud reageerida Russelli paradoksile ja valelikule paradoksile, on ebatäielikud loogikad, loogikad, mis lükkavad ümber tõrjutud keskosa seaduse. Need loogikad võimaldavad „mängulisi” teooriaid. Eelkõige juhul, kui (lambda) ja (lnot \ lambda) on vastavalt sellisele teooriale (matemaatiline {T}) vastastikku asendatavad, ei saa juhtuda, et (vdash _ { matemaatiline {T}} lambda \ lor \ lnot \ lambda). Ka osa neist mittetäielikest loogikatest vastab tingimustele (a) ja (b).
Üks näide on loogika Ł (_ {3}), mis põhineb Łukasiewiczi kolmeväärtuselistel tõestustabelitel (vt nt Priest 2008). Kuna see vastab tingimusele a), pakub Ł (_ {3}) võimalikku vastust Russelli paradoksile ja eriti valetajale, see on hasartne vastus. Kuid kaaluge korduvat tingimuslikku (alpha { rightarrow} (alpha { rightarrow} beeta)), mida lühendame kui (alpha \ Rightarrow \ beeta). Oletame, et (pi) ja Ł (_ {3}) -põhise teooria (matemaatiline {T}) karri lause on määratletud kui mis tahes lause (kappa), mis on asendatavad (kappa \ parempoolne nool \ pi). Siis vastab (matemaatiline {T}) kõigile Curry-Paradoksi Lemma tingimustele, nagu Moh (1954) esmakordselt märkis. Seega, kuni leidub (kappa), mis on asendatud (kappa \ Rightarrow \ pi) vastavalt (matemaatiline {T}), siis (vdash _ { matemaatika { T}} pi). Järelikult ei anna Ł (_ {3}) vastust Curry paradoksile.[22]
Kokkuvõtteks: Curry paradoks takistab mõnd muul viisil kättesaadavat võimalust semantiliste paradokside lahendamiseks räigete või hasartsete teooriate abil. Selle tulemusel on mitteklassikalise loogika arendamisel mänginud olulist rolli Curry paradoksist kõrvalehoidmine (nt Priest 2006; Field 2008).
5.2 Osutamine üldisele paradoksstruktuurile
Curry paradoksi eitusvaba staatus on oluline teisel põhjusel. Prior toob välja järgmise olulise punkti:
Me võime mitte ainult öelda, et Curry paradoks ei hõlma eitamist, vaid et isegi Russelli paradoks eeldab ainult eituse omadusi, mida ta kaudselt jagab. (Enne 1955: 180) [23]
Tal on meeles see, et Russelli paradoksi ja Curry paradoksi võib mõista tulenevalt samast üldisest struktuurist, mida saab kiirendada kas eituse või tingimusliku kasutamise abil. [24]
Üldist ülesehitust saab selgesõnaliselt määratleda ühene unikaalne ühendus, mis tekitab Curry paradoksi, ja näidata, kuidas seda tüüpi näitlikustatakse nii eituse kui tingliku tingimusega määratletud ühetaolise ühendusega.
Definitsioon 3 (karri ühenduv) Olgu (pi) lause teooria keeles (mathcal {T}). Ühtse ühendusega (odot) on (pi) ja (mathcal {T}) karriühendus, kui see vastab kahele põhimõttele:
Üldistatud karri-paradoksi Lemma Oletame, et (matemaatiline {T}) on selline, et Id peab omaks ja et mõne lausepaari jaoks (pi) ja (mu), (i) (mu) ja (odot \ mu) on üksteisest asendatavad vastavalt (matemaatilisele {T}) ja (ii) (odot) on (pi) ja (mathcal { T}). Sel juhul (vdash _ { matemaatiline {T}} pi). [25]
Tõestus:
) algab {array} {rll} 1 & \ mu \ vdash _ { mathcal {T}} mu & \ textrm {Id} \ 2 & \ mu \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ mu & \ textrm {1 Curry-intersubstitutivity} \ 3 & \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ mu & \ textrm {2 P2} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} mu & \ textrm {3 Curry-intersubstitutivity} \ 5 & \ vdash _ { matemaatiline {T}} pi & \ textrm {3, 4 P1} \ \ end {array})
Üldistatud Curry-paradoksi Lemmat saab nüüd muuta kahel erineval viisil, et saada kas Curry paradoks või eitusparadoks:
Curry paradoksi saamiseks laske unitaarsel ühendusel (odot) olla sellisel kujul, et (odot \ alpha) on (alpha { rightarrow} pi), ja las (mu) olla a lause, mis on asendatud sõnaga (mu { rightarrow} pi) vastavalt (matemaatiline {T}). Siis võrdub P1 MP-ga, mida kasutatakse meie Curry-Paradoksi Lemma tuletamisel, samas kui P2 pole midagi muud kui meie reegli jätk.
Eitusparadoksi saamiseks olgu (odot \ alpha) (lnot \ alpha) ja (mu) oleks lause, mis on asendatav sõnaga (lnot \ mu) vastavalt (matemaatiline {T}). [26] Siis on P1 ekstriktiivse kvodlide näide (või "plahvatus"), samas kui P2 on redutseerimise põhimõte.
Priori seisukoht on, et eituse tunnused, mis on olulised Russelli paradoksi või valetaja paradoksi suhtes, ammenduvad selle staatuses Curry ühenduses. See teeb selgeks, miks need paradoksid ei sõltu eituse omadustest, nagu näiteks välistatud keskmise või kahepoolse eituse eliminatsioon, mis ei suuda kinni pidada mitteklassikalistes teooriates, kus eitus jääb Curry sidujaks (nt intuitiivsete teooriate puhul, kus mõlemad vastavad nii ECQ-le kui ka punasele). [27]
Pealegi ei pea Curry ühenduvühend olema üldse eituse moodi. See ei pruugi olla isegi minimaalne eitus (vt eitust käsitlevat kirjet), kuna see ei pea järgima topeltissejuhatuse seadust:
Oletame näiteks, et (odot \ alpha) on (alpha { rightarrow} pi). Siis selleks, et (odot) alluks DI-le, peab olema nii, et (alpha \ vdash _ { matemaatiline {T}} (alpha { rightarrow} pi) { rightarrow} pi). Seda põhimõtet rikuvad mitmed mitteklassikalised teooriad, mille puhul (odot), kui seda selliselt määratleda, kvalifitseeruda Curry-ühendusteks. [28]
Kokkuvõtteks: Curry paradoks osutab üldisele struktuurile, mida ilmestavad mitmesugused paradoksid. See struktuur iseenesest ei hõlma eitamist, kuid seda näitavad ka paradoksid, mis (erinevalt Curry paradoksist) hõlmavad sisuliselt eitamist, näiteks Russelli paradoks ja valetaja paradoks.
Printsi (1994) propageeritud “ühtse lahenduse põhimõtte” valguses muutub oluliseks küsimus, millised paradoksid avaldavad ühist ülesehitust. Selle põhimõtte kohaselt peaksid paradoksid, mis kuuluvad ühte ja samasse tüüpi, saama sama lahenduse. Oletame, et piiritleme ühte tüüpi paradoksi järgmiselt:
Definitsioon 4 (üldistatud karri paradoks) Curry paradoks on meil üldine, kui üldise karri-paradoksi Lemmas esitatud eeldused paistavad kehtivat.
Eeldusel, et keegi aktsepteerib ühetaolise lahenduse põhimõtet, tuleb küsimus, mis pakub kõigile üldistatud Curry paradoksidele ühtse lahenduse pakkumist. Eelkõige piisab, kui iga niimoodi piiritletud laadi puhul näidata, et see, mis näib olevat Curry-ühend, ei ole tegelikult üks? Näib, et sellest peaks tõepoolest piisama. On ebaselge, miks ühetaolisus peaks lisaks nõudma, et kõik näivad Curry-ühendused ei kvalifitseeru sellistena sama tingimuse rikkumise tõttu. Näiteks oletame, et nii eitus kui ka meie ({ rightarrow}) abil defineeritud ühetaoline ühenduvus vastavad mõlemad üldistatud põhimõttele P2, esimesel juhul seetõttu, et ({ lnot}) näib alluvat Punasele ja teises juhul, kui ({ rightarrow}) näib jätkuvat Cont-i järgi. Kui neil kahel esinemisel pole ühist allikat (ntkaudne tuginemine struktuurilisele kokkutõmbumisele, nagu väitis Zardini 2011), ei pea olema üht nimiväärtusega välimust, mis jätaks teise petlikuks. (Siinse filosoofilise küsimuse arutamiseks, mida rakendatakse erineva klassi paradokside suhtes, vt vahetust Smith 2000 ja Priest 2000.)
Kui see on õige, ei pea üldistatud Curry paradokside ühtlane lahendamine soovima eristada taotletud erinevaid loogiliselt revideerivaid lahendusi. Need hõlmavad kolme järgmist võimalust:
Võib arvata, et ainuüksi P1 põhimõte ebaõnnestub, kui (odot \ alpha) realiseeritakse kui (lnot \ alpha) (eituse paradoksi saamiseks), samas kui ainult P2 ebaõnnestub, kui (oodatud \ alfa) realiseeritakse kujul (alfa { parempoolne nool} pi) (karri paradoksi saamiseks). Selle lähenemisviisi korral ebaõnnestuvad ECQ ja Cont, samal ajal kui Red ja MP püsivad (Priest 1994, 2006).
Võib arvata, et ainuüksi P2 ebaõnnestub (odot) mõlemal korral. Selle lähenemisviisi korral Red ja Cont ebaõnnestuvad, samal ajal kui ECQ ja MP püsivad (Field 2008; Zardini 2011).
Võib arvata, et ainult P1 ebaõnnestub (odot) mõlemal korral. Selle lähenemisviisi korral ebaõnnestuvad ECQ ja MP, samas kui Red ja Cont püsivad (Beall 2015; Ripley 2013).
Nii loetaks näiteks Priest'i enda lähenemisviis Curry paradoksi lahendamiseks ja Liar paradoks üldistatult Curry paradoksi ühtlaselt qua-näideteks. See oleks nii, hoolimata asjaolust, et Priest hindab valelikke lauseid nii õigeteks kui ka valedeks, samas kui ta lükkab tagasi väite Curry lausete tõesuse kohta.
Igal juhul tekitab Curry paradoks väljakutseid seoses küsimusega, millist ühtlust tuleks erinevate paradokside lahendustelt nõuda (vt ka Zardini 2015). Preester ise juhib tähelepanu teatud tüüpi paradoksile, mis on kitsam kui üldistatud Curry paradoksid, tüüpi, mille juhtumid hõlmavad eitusparadokse, kuid välistavad Curry paradoksi. Sellist laadi valib Priest "Inclosure Schema" (2002); vaata kannet eneseviidete kohta. Üks käimasolev vaidlus on selle üle, kas võiks olla mõni versioon Curry paradoksist, mida loetakse “kaasamise paradoksiks”, ehkki see on vastu Preestri ühtsele dialeteetilisele lahendusele sellistele paradoksidele (vt vahetust Beall 2014b, Weber jt 2014 ja Beall 2014a, samuti Pleitz 2015).
6. Kehtivuskarri
Viimasel kümnendil (alates selle kande versiooni kuupäevast) on olnud tähelepanu keskpunktis Curry paradokside ja võib-olla eriti nende suhtes, mida on nimetatud kehtivus Curry või v-Curry paradoksideks (Whittle 2004; Shapiro 2011; Beall & Murzi 2013). [29] V-Curry hõlmab karri lauseid, mis tuginevad konkreetselt teooria tagajärjele või “kehtivuse” seosele, kasutades selleks tinglikku või predikaati, mis väljendavad teooria ((matemaatiline {T})) seost ((vdash_) mathcal {T}) enda keeles (mathcal {T}).
6.1 Ühendusvorm
V-Curry paradoksi ühe vormi korral laske Curry lause määratluses (definitsioon 1) nimetatud tinglikust tagajärgühenduseks ({ Rightarrow}). Lause, mille peamiseks operaatoriks on ({ Rightarrow}), tuleb tõlgendada nii: “See (p) tähendab (vastavalt (matemaatiline {T})), et (q)". Nüüd saame kohe Curry paradoksi omanditeoreetilise, setteoreetilise või tõeteoreetilise versiooni, tingimusel et ainult ({ Rightarrow}) vastab Curry-Paradox Lemma MP ja Cont tingimustele.
See Curry-paradoksi Lemma juhtum teeb eriti häirivaks asjaolu, et see takistab Curry paradoksi ühte ühist reageerimist, nimelt nõrka kontraktsioonivaba reageerimist, mida on käsitletud jaotises 4.2.1. See vastus sõltus ühe eelduse tingimusliku tõenduse reegli CP tagasilükkamisest, mis on ühe eelduse „deduktsiooni teoreemi” üks suund. Kuid see on reegel, millele on tagajärjeühenduse jaoks keeruline tundunud vastu panna (Shapiro 2011; Weber 2014; Zardini 2013). Kui (beeta) on teo (matemaatiline {T}) tagajärgsuhte järgi (alfa) tagajärg, siis kui sellel teoorial on oma tagajärjeks {({parempoolne}), ühenduv, siis peab (matemaatiline {T}) kindlasti sisaldama tagajärjenõuet (alpha { Rightarrow} beeta). Sarnaselt on Curry paradoksi mitmekesisus takistuseks eraldiseisvatele reageeringutele,mis nõuavad reegli MP tagasilükkamist. Kui teooria, millel on oma tagajärgühendus, sisaldab nii (alfa) kui ka tagajärje tingimuslikku (alfa { parempoolne} beeta), peab see kindlasti sisaldama ka (beeta). Või vähemalt nii on tundunud. Tõepoolest, nõrga eraldumiseta reageerimise pooldaja väidab, et ({ Rightarrow}) parlamendiliige ehitab ebaseaduslikult transitiivsust (vt punkt 4.2.2). Kuid see, mis tundub möödapääsmatu, on CP, reegli CCP, vastupidine külg, mis on ühe eelduse deduktsiooni teoreemi teine suund. Kui teooria sisaldab tagajärjena tingimuslikku (alpha { Rightarrow} beeta), siis vastab teooriale kindlasti (beeta) (alpha). See välistaks siiski kindlalt irdumisvaba reageerimise. Kui teooria, millel on oma tagajärgühendus, sisaldab nii (alfa) kui ka tagajärje tingimuslikku (alfa { parempoolne} beeta), peab see kindlasti sisaldama ka (beeta). Või vähemalt nii on tundunud. Tõepoolest, nõrga eraldumiseta reageerimise pooldaja väidab, et ({ Rightarrow}) parlamendiliige ehitab ebaseaduslikult transitiivsust (vt punkt 4.2.2). Kuid see, mis tundub möödapääsmatu, on CP, reegli CCP, vastupidine külg, mis on ühe eelduse deduktsiooni teoreemi teine suund. Kui teooria sisaldab tagajärjena tingimuslikku (alpha { Rightarrow} beeta), siis vastab teooriale kindlasti (beeta) (alpha). See välistaks siiski kindlalt irdumisvaba reageerimise. Kui teooria, millel on oma tagajärgühendus, sisaldab nii (alfa) kui ka tagajärje tingimuslikku (alfa { parempoolne} beeta), peab see kindlasti sisaldama ka (beeta). Või vähemalt nii on tundunud. Tõepoolest, nõrga eraldumiseta reageerimise pooldaja väidab, et ({ Rightarrow}) parlamendiliige ehitab ebaseaduslikult transitiivsust (vt punkt 4.2.2). Kuid see, mis tundub möödapääsmatu, on CP, reegli CCP, vastupidine külg, mis on ühe eelduse deduktsiooni teoreemi teine suund. Kui teooria sisaldab tagajärjena tingimuslikku (alpha { Rightarrow} beeta), siis vastab teooriale kindlasti (beeta) (alpha). See välistaks siiski kindlalt irdumisvaba reageerimise.see on tundunud. Tõepoolest, nõrga eraldumiseta reageerimise pooldaja väidab, et ({ Rightarrow}) parlamendiliige ehitab ebaseaduslikult transitiivsust (vt punkt 4.2.2). Kuid see, mis tundub möödapääsmatu, on CP, reegli CCP, vastupidine külg, mis on ühe eelduse deduktsiooni teoreemi teine suund. Kui teooria sisaldab tagajärjena tingimuslikku (alpha { Rightarrow} beeta), siis vastab teooriale kindlasti (beeta) (alpha). See välistaks siiski kindlalt irdumisvaba reageerimise.see on tundunud. Tõepoolest, nõrga eraldumiseta reageerimise pooldaja väidab, et ({ Rightarrow}) parlamendiliige ehitab ebaseaduslikult transitiivsust (vt punkt 4.2.2). Kuid see, mis tundub möödapääsmatu, on CP, reegli CCP, vastupidine külg, mis on ühe eelduse deduktsiooni teoreemi teine suund. Kui teooria sisaldab tagajärjena tingimuslikku (alpha { Rightarrow} beeta), siis vastab teooriale kindlasti (beeta) (alpha). See välistaks siiski kindlalt irdumisvaba reageerimise. Kui teooria sisaldab tagajärjena tingimuslikku (alpha { Rightarrow} beeta), siis vastab teooriale kindlasti (beeta) (alpha). See välistaks siiski kindlalt irdumisvaba reageerimise. Kui teooria sisaldab tagajärjena tingimuslikku (alpha { Rightarrow} beeta), siis vastab teooriale kindlasti (beeta) (alpha). See välistaks siiski kindlalt irdumisvaba reageerimise.
6.2 Ennustatav vorm
V-Curry paradoksi teine vorm ilmneb teooria jaoks ((matemaatiline {T} _V), mille teema hõlmab ühe eelduse tagajärgede seost (vdash _ { matemaatiline {T} _ {V}}) mis saavutatakse selle sama teooria kohaselt selle keele lausete vahel. [30] Olgu seda seost väljendatud predikaadiga (Val (x, y)) ja oletagem veel, et on lause (chi), mis on kas (Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle)) või on viimasega vähemalt asendatav vastavalt (matemaatiline {T} _V). Ühes v-Curry paradoksi vormis kasutatakse kahte põhimõtet, mis valitsevad (Val), mida me nimetame Beall & Murzi (2013) järgi „kehtivuse eraldumiseks“ja „kehtivuse tõestamiseks“.
Neid põhimõtteid kasutades saame järgmise kiire argumendi faili (vdash _ { matemaatika {T} _ {V}} pi) jaoks.
) alustada {array} {rll} 1 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & \ textrm {Id} \ 2 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle) & \ textrm {2 Curry-intersubstitutivity} \ 3 & \ chi \ vdash _ { matemaatiline {T} _ {V}} pi & \ textrm {1, 2 VD} \ 4 & \ vdash _ { matemaatiline {T} _ {V}} Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle) & \ textrm {3 VP} \ 5 & \ vdash _ { matemaatiline {T} _ {V}} chi & \ textrm {4 Curry-intersubstitutivity} \ 6 & \ vdash _ { matemaatiline {T} _ {V}} pi & \ textrm { 4, 5 VD} \ \ lõpp {array})
Selle v-Curry eeldatava vormi korral oleks nõrga kontraktsioonivaba vastus takistuseks „kokkutõmbumisele” etapist 2 kuni 4, lükates tagasi reegli VP, ja eraldumisvaba vastus lükkaks VD tagasi isegi nullpunkti korral. eeldusvormi, mida kasutati 6. etapis. Ehkki nii VP kui ka nullieeldusega VD on predikaadi (Val) kavandatud tõlgendust silmas pidades tundunud möödapääsmatud (Beall & Murzi 2013; Murzi 2014; Murzi & Shapiro 2015; Priest) 2015; Zardini 2014). [31] Lõpuks, isegi kui VD lükatakse tagasi kui ebaseaduslikku transiidsust, näib vältimatu olevat VP vastupidine külg. Kui jah, siis välistaks see vähemalt tugevalt irdumisvaba reageerimise.
V-Curry arutluskäigu vaieldamatult võimsam versioon on esitatud Shapiro (2013) ja Väli (2017: 7) poolt. See arutluskäik võib olla kas ühendavas või predikaatses vormis, kuid see ei sõltu CP-st ega VP-st. Siin anname predikaatvormi, kasutades (Val). Nagu ülalpool, tuletame selle (chi \ vdash _ { matemaatiline {T} _ {V}} pi) kõigepealt VD abil. Arvestades (Val) tähendust, järeldab, et (chi \ vdash _ { matemaatiline {T} _ {V}} pi) näitab, et (Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle)) on tõene, st et (chi) on tõene. Kuid kui (chi) on tõene ja (chi \ vdash _ { matemaatiline {T} _ {V}} pi), siis tundub, et ka (pi) peab olema tõene. Kuna v-Curry-le reageerivad nõrgalt irdumisvabad (mittetransitiivsed) vastused võimaldavad tuletada (chi \ vdash _ { matemaatilist {T} _ {V}} pi), on see arutluskäik ka sellistele vastustele vastuväide.
6.3 Tähendus
Kui tegelikult ei ole v-Curry paradokside suhtes võimalik nõrgalt kontraktsioonivaba või tugevalt eraldumiseta reageeringut, siis (eeldusel, et reegli Id säilitatakse) on Curry-täielike vastuste ruum piiratud tugevalt kontraktsioonideta ja nõrgalt irdumisvabad vastused. Varasemaid vastuseid, nagu on selgitatud jaotises 4.2.1, esitatakse tavaliselt modus ponensi ümbervormistamisel (või kehtivuse predikaadi eraldamisel) struktuurisiseses deduktsioonisüsteemis ja lükates tagasi konstruktsiooni kokkutõmbumisreegel sCont. Viimatimainitud vastused, nagu on selgitatud punktis 4.2.2, lükkavad ümber transitiivsuse struktuuriprintsiibi. Sel põhjusel on substrukturaalsete tagajärjesuhete motiveerimiseks mõnikord kasutatud v-Curry paradokse (nt Barrio jt eelseisvad; Beall & Murzi 2013; Ripley 2015a; Shapiro 2011, 2015). [32]
Elav ja laiaulatuslik arutelu v-Curry paradokside üle on viinud selleni, et me mõistame Curry paradokse. Lõpuks on selgeks saanud see, et kuigi v-Curry paradoksid võivad kutsuda teistsuguseid resolutsioone kui v-Curry paradoksid, jäävad nad samasse vormi nagu üldistatud Curry paradoksid. Täpsemalt võib jaotise 5.2 üldmallis võtta ((oodata)) ((predikaadina või ühendava) tagajärje väljendamiseks, pidades silmas (vdash_ \ matemaatilist {T}) ennast. See on v-Curry süda. Kuivõrd meie keeles on defineeritavaid (palju) erinevaid (formaalseid) tagajärjesuhteid (nt loogiline tagajärg loogilise sõnavara järgi, episteemiline tagajärg loogilise pluss-episteemilise sõnavara alusel jne), on seega palju erinevaid v -Kõrged paradoksid, mis võivad tekkida. Ikkagi,nende paradokside lahenduste ruum on selles sissekandes kasutatud üldistatud Curry paradokside lahenduste ruum.
Siiski on veel vähemalt kaks põhjust, miks v-Curry paradoksid väärivad eraldi tähelepanu. Esiteks, nagu eespool märgitud, on Curry-kompleksi täieliku lahenduse kaks kategooriat - nõrgalt kokkutõmbumisvabad ja tugevalt eraldumisvabad võimalused - v-Curry paradokside puhul eriti problemaatilised. Teiseks, oletagem, et üks kohtleb tavalist Curry paradoksi (vara-teoreetiline, set-teoreetiline või semantiline) Curry-täielikul viisil. Võib siiski olla põhjust käsitleda vastavat (ühendavat või predikaatlikku) v-Curry paradoksi karridena mittetäielikult, võib-olla sellepärast, et näha, et teooria tagajärgseos on põhimõtteliselt väljaspool ühegi seose või predikaadi hõlmamist teooria keeles (vt nt Myhill 1975; Whittle 2004). Seega„ebaühtlane” lahendus tavalistele Curry paradoksidele ja nende v-Curry vastanditele võib jällegi olla motiveeritud ebaühtlus.[33]
Bibliograafia
Olulisemad ajaloolised allikad
Curry, Haskell B., 1942a, “Matemaatilise loogika kombineeritud alused”, Journal of Symbolic Logic, 7 (2): 49–64. doi: 10.2307 / 2266302
–––, 1942b, “Teatud formaalse loogika ebajärjekindlus”, Journal of Symbolic Logic, 7 (3): 115–117. doi: 10.2307 / 2269292
Curry, Haskell B. ja Robert Feys, 1958, Combinatory Logic, 1. köide, Amsterdam: Põhja-Holland.
Fitch, Frederic B., 1952, Sümboolne loogika: sissejuhatus, New York: Ronald Press Company.
Löb, MH, 1955, “Leon Henkini probleemi lahendus”, ajakiri Symbolic Logic, 20 (2): 115–118. doi: 10.2307 / 2266895
Meyer, Robert K., Richard Routley ja J. Michael Dunn, 1979, “Curry paradoks”, analüüs, 39 (3): 124–128. doi: 10.1093 / analüüsid / 39.3.124
Moh Shaw-Kwei, 1954, “Loogilised paradoksid paljude väärtustega süsteemidele”, Journal of Symbolic Logic, 19 (1): 37–40. doi: 10.2307 / 2267648
Enne AN, 1955, “Curry paradoks ja kolmeväärtuslik loogika”, Australasian Journal of Philosophy, 33 (3): 177–82. doi: 10.1080 / 00048405585200201
Muud viited
Anderson, Alan Ross, 1975, “Fitch on järjepidevus”, Anderson, Marcus ja Martin 1975: 123–141.
Anderson, Alan Ross ja Nuel D. Belnap, Jr, 1975, Entailment: the Logic of Relevance and Vajalikkus, 1. köide, Princeton, NJ: Princeton University Press.
Anderson, Alan Ross, Ruth Barcan Marcus ja RM Martin (toim), 1975, The Logical Enterprise, New Haven, CT: Yale University Press.
Ashworth, EJ, 1974, keel ja loogika keskaja järgsel perioodil, Dordrecht: Reidel.
Barrio, Eduardo, Lucas Rosenblatt ja Diego Tajer, peatselt ilmuv teos “Naiivse kehtivuse hõivamine piiramatu lähenemisviisi kaudu”, Synthese, esimene veebis 1. september 2016. doi: 10.1007 / s11229-016-1199-5
Beall, Jc, 2009, Spandrels of Truth, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199268733.001.0001
Bunder, MW, 1986, “Tautoloogiad, mis piiramatu mõistmise aksioomiga viivad ebakõla või triviaalsuse juurde”, mitteklassikalise loogika ajakiri, 3 (2): 5–12.
–––, 1952, „Negatsiooni määratlemise kohta kindla alguse korral eeltingimustes”, Journal of Symbolic Logic, 17 (2): 98–104. doi: 10.2307 / 2266240
Curry, Haskell B., J. Roger Hindley ja Jonathan P. Seldin, 1972, Kombineeriv loogika, 2. köide, (Uuringud loogikale ja matemaatika alused, 65), Amsterdam: Põhja-Holland.
Field, Hartry, 2008, tõe päästmine Paradoxist, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199230747.001.0001
Grelling, Kurt ja Leonard Nelson, 1908, “Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell und Burali-Forti”, Abhandlungen der Fries'schen Schule, 2: 301–334.
Gupta, Anil ja Nuel Belnap, 1993, tõe muutmise teooria, Cambridge, MA: MIT Press.
Halbach, Volker ja Albert Visser, 2014, “Henkini lause”, Maria Manzano, Ildikó Sain ja Enrique Alonso (toim), Leon Henkini elu ja töö (Uuringud universaalses loogikas), Cham: Springer International, lk 249–264. doi: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_17
Hanke, Miroslav, 2013, “Curriani tingimusliku seisundi kaudse tähenduse analüüs”, loogika ajalugu ja filosoofia, 34 (4): 367–380. doi: 10.1080 / 01445340.2013.812832
Hilbert, David ja Paul Bernays, 1939, Grundlagen der Mathematik, II köide, Berliin: Springer.
Murzi, Julien ja Lorenzo Rossi, tulemas, “Naiivne kehtivus”, Synthese, esmakordselt veebis 27. september 2017. doi: 10.1007 / s11229-017-1541-6
Murzi, Julien ja Lionel Shapiro, 2015, “Kehtivus ja tõe säilitamine”, Theodora Achourioti, Henri Galinon, José Martínez-Fernández ja Kentaro Fujimoto (toim), ühendades tõefilosoofiat, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-94-017-9673-6_22
Myhill, John, 1975, “Implication Levels”, Anderson, Marcus ja Martin 1975: 179–185.
Nicolai, Carlo ja Lorenzo Rossi, tulemas, “Objektilis-keeleliste tagajärgede põhimõtted: loogilisest kuni ebarefleksiivseni”, ajakiri Philosophical Logic, esmakordselt Internetis, 20. juuni 2017. doi: 10.1007 / s10992-017-9438-x
Pleitz, Martin, 2015, “Curry paradoks ja kaasamise skeem”, Pavel Arazim ja Michal Dančák (toim), Logica aastaraamat 2014, London: College Publications.
Loe, Stephen, 2001, “Eneseviide ja kehtivus vaadati läbi”, Mikko Yrjönsuuri (toim), Keskaja ametlik loogika, Dordrecht: Kluweri akadeemiline kirjastaja, lk 183–196. doi: 10.1007 / 978-94-015-9713-5_7
Restall, Greg, 1993, “Kuidas olla lepingutevaba”, Studia Logica, 52 (3): 381–91. doi: 10.1007 / BF01057653
––– 1994, Queenslandi ülikooli doktoriväitekiri kontraktsiooniloogikast. [Restall 1994 on veebis saadaval]
–––, 2005, “Mitu järeldust”, Petr Hájek, Luis Valdés-Villanueva ja Dag Westerståhl (toim), loogika, metoodika ja teadusfilosoofia: kaheteistkümnenda rahvusvahelise kongressi materjalid, London: College Publications, lk. 189–205. [Restall 2005 on veebis saadaval]
Ripley, David, 2013, “Paradoksid ja läbikukkumised”, Australasian Journal of Philosophy, 91: 139–164. doi: 10.1080 / 00048402.2011.630010
Seldin, Jonathan P., 2006, “Karri ja kiriku loogika”, Dov M. Gabbay ja John Woods (toim), loogika ajaloo käsiraamat, 5. köide: loogika Russellist kirikusse, Amsterdam: Elsevier, lk 819–873.
Simmons, Keith, 1993, Universaalsus ja valetaja: essee tõe ja diagonaaliargumendi kohta, Cambridge: Cambridge University Press.
Slaney, John, 1989, “RWX mitte karrises parakonsistentses”, Graham Priest, Richard Routley ja Jean Norman (toim), Parakonsistentne loogika: Esseed ebaolulistest, München: Philosophia, lk 472–480.
Weber, Zach, David Ripley, Graham Priest, Dominic Hyde ja Mark Colyvan, 2014, “Tolerating Gluts”, Mind, 123 (491): 813–828. doi: 10.1093 / mind / fzu057
–––, 2013, “Naiivne Modus Ponens”, ajakiri Philosophical Logic, 42 (4): 575–593. doi: 10.1007 / s10992-012-9239-1
––– 2014, “Naiivne tõde ja naiivsed loogilised omadused”, sümboolse loogika ülevaade, 7 (2): 351–384. doi: 10.1017 / S1755020314000045
–––, 2015, “Kuidas saada üks kahele või töövõtjate halb tehing. Semantiliste paradokside ühtse lahenduse poole”, Theodora Achourioti, Henri Galinoni, José Martínez-Fernández ja Kentaro Fujimoto (toim), mis ühendab tõe filosoofiat, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-94-017-9673-6_23
Akadeemilised tööriistad
sep mehe ikoon
Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon
Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon
Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon
Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.
