Kontinuumi Hüpotees

Sisukord:

Kontinuumi Hüpotees
Kontinuumi Hüpotees
Anonim

Sisenemise navigeerimine

  • Sissesõidu sisu
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Sõprade PDF-i eelvaade
  • Teave autori ja tsitaadi kohta
  • Tagasi üles

Kontinuumi hüpotees

Esmakordselt avaldatud Wed 22. mail 2013

Pidevushüpoteesid (CH) on seatud teooria üks kesksemaid avatud probleeme, see on oluline nii matemaatilistel kui ka filosoofilistel põhjustel.

Probleem tekkis tegelikult komplekti teooria sünniga; tõepoolest, mitmes mõttes stimuleeris see kindla teooria sündi. 1874. aastal näitas Cantor, et naturaalarvude ja algebraliste numbrite vahel on üks-ühele vastav. Üllatavam oli see, et ta näitas, et naturaalarvude ja reaalarvude vahel pole üks-ühele vastavust. Võttes kriteeriumiks üks-ühele kirjavahetuse olemasolu juhul, kui kahel komplektil on sama suurus (midagi, mille ta 1878. aastaks kindlasti tegi), näitab see tulemus, et lõpmatust on rohkem kui üks ja see sünnitas kõrgema lõpmatu matemaatikas. Cantor püüdis kohe kindlaks teha, kas leidub lõpmatu hulga reaalarvude suurusi, mis on keskmise suurusega, stkas leidus lõpmatu reaalarvude komplekt, mida ei saanud panna naturaalarvudega üks-ühele vastavusse ja mida ei saanud panna üks-ühele vastavusse reaalarvudega. Pidevhüpotees (ühe sõnastuse all) on lihtsalt väide, et sellist reaalarvude komplekti pole. Just tema katse abil seda hüpoteesi tõestada viis Cantor arendama komplektiteooria keerukaks matemaatikaharuks.[1]

Vaatamata tema pingutustele ei suutnud Cantor CH-d lahendada. Probleem on püsinud ning peeti nii oluline Hilbert, et ta pani selle esmalt oma kuulsa nimekiri avatud probleemide ette poolt 20 th sajandil. Hilbert nägi samuti vaeva CH lahendamise nimel, jällegi tulutult. Lõppkokkuvõttes seletati seda edusammude puudumist Gödeli ja Coheni kombineeritud tulemustega, mis koos näitasid, et CH-d ei saa lahendada matemaatikute tööle võetud aksioomide põhjal; tänapäevases mõttes on CH sõltumatu Zermelo-Fraenkeli komplekti teooriast, mida on laiendatud valiku aksioomiga (ZFC).

Seda iseseisvuse tulemust jälgisid kiiresti paljud teised. Sõltumatuse tehnikad olid nii võimsad, et seadsed teoreetikud olid varsti hakanud tegelema metateoreetilise ettevõtmisega tõestada, et teatud põhimõttelisi väiteid ei saa ZFC raames tõestada ega ümber lükata. Seejärel kerkis küsimus, kas on võimalusi iseseisvate avalduste lahendamiseks. Matemaatikute ja matemaatikafilosoofide kogukond oli selles küsimuses suuresti jagunenud. Pluralistid (nagu Cohen) väitsid, et sõltumatuse tulemused lahendasid küsimuse tõhusalt, näidates, et sellel pole vastust. Sellest seisukohast lähtudes võiks võtta kasutusele süsteemi, kusütleme, et CH oli aksioom ja võiks kasutada süsteemi, milles ¬CH oli aksioom ja see oli asja lõpp - polnud küsimust, kumb kahest kokkusobimatust laiendist on “õige”. Mitte pluralistid (nagu Gödel) leidsid, et sõltumatuse tulemused näitasid üksnes meie vahendite puudust matemaatilise tõe piiritlemiseks. Selles vaates vajasid uued aksioomid, aksioomid, mis on nii õigustatud kui ka ülesande täitmiseks piisavad. Gödel läks tegelikult kaugemale, pakkudes välja uute aksioomide kandidaadid - suured kardinaalsed aksioomid - ja ta arvas, et need lahendavad CH-i. Gödel läks tegelikult kaugemale, pakkudes välja uute aksioomide kandidaadid - suured kardinaalsed aksioomid - ja ta arvas, et need lahendavad CH-i. Gödel läks tegelikult kaugemale, pakkudes välja uute aksioomide kandidaadid - suured kardinaalsed aksioomid - ja ta arvas, et need lahendavad CH-i.

Gödeli suurte kardinaaksioomide programm osutus märkimisväärselt edukaks. Järgmise 30 aasta jooksul näidati, et suured kardinaalsed aksioomid lahendavad paljusid küsimusi, mis iseseisvuse ajal osutusid iseseisvaks. CH jäi aga puutumata. Olukord osutus üsna irooniliseks, kuna lõpuks näidati (täpsustatavas mõttes), et ehkki standardsed suured kardinaalsed aksioomid lahendavad kõik keerukuse küsimused tõhusalt rangelt CH-st madalamal, ei suuda nad (Levy ja Solovay jt) lahendavad CH ise. Nii valis Gödel oma programmi proovijuhiks CH, pannes Gödel sõrme täpselt sinna punkti, kus see ebaõnnestub. Just sel põhjusel on CH jätkuvalt keskne roll uute aksioomide otsimisel.

Selles sissekandes anname ülevaate peamistest lähenemisviisidest CH lahendamisel ja arutame mõnda peamist alusraamistikku, mille kohaselt CH-l pole vastust. Teema on mahukas ja me oleme pidanud ohverdama täieliku arusaadavuse kahes mõõtmes. Esiteks ei ole me suutnud arutada peamisi filosoofilisi küsimusi, mis asuvad taustal. Selle jaoks suunatakse lugeja kirjesse „Suured kardinalid ja määravus“, mis sisaldab üldist arutelu iseseisvuse tulemuste, aksioomide olemuse, õigustamise olemuse ja suurte kardinaalsete aksioomide edukuse üle maailma allpool CH-d.. Teiseks, me ei ole suutnud arutada igat CH-lähenemist, mis on kirjanduses. Selle asemel oleme piirdunud nende lähenemisviisidega, mis tunduvad filosoofilisest seisukohast kõige paljulubavamad ja kus matemaatika on arenenud piisavalt arenenud olekusse. Lähenemisviisides käsitleme aksioomide sundimist, sisemudeli teooriat, peaaegu suuri kardinaale - matemaatika on 40 aasta jooksul jõudnud väga kaugele. Ja see on meie ülesande mõnevõrra raskeks teinud. Oleme püüdnud hoida arutelu võimalikult kättesaadavana ja tehnilisemad punktid oleme paigutanud lõppmärkustesse. Kuid lugeja peaks meeles pidama, et me esitame linnulennult vaatepildi ja suurema lahutusvõime saamiseks peaks lugeja igal hetkel mõtlema soovitatud lugemistele, mis kuvatakse iga jaotise lõpus. Lähenemisviisides käsitleme aksioomide sundimist, sisemudeli teooriat, peaaegu suuri kardinaale - matemaatika on 40 aasta jooksul jõudnud väga kaugele. Ja see on meie ülesande mõnevõrra raskeks teinud. Oleme püüdnud hoida arutelu võimalikult kättesaadavana ja tehnilisemad punktid oleme paigutanud lõppmärkustesse. Kuid lugeja peaks meeles pidama, et me esitame linnulennult vaatepildi ja suurema lahutusvõime saamiseks peaks lugeja igal hetkel mõtlema soovitatud lugemistele, mis kuvatakse iga jaotise lõpus. Lähenemisviisides käsitleme aksioomide sundimist, sisemudeli teooriat, peaaegu suuri kardinaale - matemaatika on 40 aasta jooksul jõudnud väga kaugele. Ja see on meie ülesande mõnevõrra raskeks teinud. Oleme püüdnud hoida arutelu võimalikult kättesaadavana ja tehnilisemad punktid oleme paigutanud lõppmärkustesse. Kuid lugeja peaks meeles pidama, et me esitame linnulennult vaatepildi ja suurema lahutusvõime saamiseks peaks lugeja igal hetkel mõtlema soovitatud lugemistele, mis kuvatakse iga jaotise lõpus. Oleme püüdnud hoida arutelu võimalikult kättesaadavana ja tehnilisemad punktid oleme paigutanud lõppmärkustesse. Kuid lugeja peaks meeles pidama, et me esitame linnulennult vaatepildi ja suurema lahutusvõime saamiseks peaks lugeja igal hetkel mõtlema soovitatud lugemistele, mis kuvatakse iga jaotise lõpus. Oleme püüdnud hoida arutelu võimalikult kättesaadavana ja tehnilisemad punktid oleme paigutanud lõppmärkustesse. Kuid lugeja peaks meeles pidama, et me esitame linnulennult vaatepildi ja suurema lahutusvõime saamiseks peaks lugeja igal hetkel mõtlema soovitatud lugemistele, mis kuvatakse iga jaotise lõpus.[2]

Uutes aksioomides on tõesti kahte tüüpi lähenemisviise - kohalik lähenemine ja globaalne lähenemine. Kohaliku lähenemise puhul otsitakse aksioome, mis vastavad küsimustele universumi täpsustatava fragmendi kohta, näiteks V ω + 1 või V ω + 2, kus CH asub. Globaalsel lähenemisel otsitakse aksioome, mis üritavad valgustada kogu komplektide universumi struktuuri. Globaalne lähenemisviis on selgelt palju keerukam. Selles sissekandes alustame kohalikust lähenemisviisist ja lõpu poole puudutame lühidalt globaalset lähenemist.

Siin on ülevaade sisestusest: 1. jaos uuritakse sõltumatuse tulemusi kardinaalses aritmeetikas, hõlmates nii tavaliste kardinalide (kus CH asub) kui ka ainsuse kardinalide juhtumit. 2. jaos käsitletakse lähenemisviise CH-le, kus kontrollitakse järjestikku CH-le lähendamise hierarhiat, millest igaüks on CH “efektiivne” versioon. See lähenemine viis Woodini tähelepanuväärse avastuseni, et (efektiivsete suurte kardinalide juuresolekul) on võimalik efektiivne CH-tõrge, näidates sellega, et CH-i efektiivne rike on sama vaevamatu (suurte kardinaalsete aksioomide suhtes) kui CH ise. 3. jagu jätkub sellest avastusest tuleneva arenguga. Arutelu keskmes on “kanoonilise” mudeli avastamine, milles CH ebaõnnestub. See moodustas aluse tulemuste võrgustikule, mille Woodin esitas ühiselt CH ebaõnnestumise juhtumina. Selle juhtumi esitlemiseks kõige sujuvamas vormis tutvustame tugevat loogikat Ω-loogikat. 4. jaos võetakse vastu konkureeriv aluspõhimõte, et CH-le pole lahendust. Seda seisukohta teravdatakse tõe üldise mitmetahulise kontseptsiooni osas ja seda vaadet seejärel uuritakse. 5. jaos jätkatakse ¬CH juhtumi hindamist, uurides paralleelselt CH juhtumit. Ülejäänud kahes osas käsitleme globaalset lähenemist uutele aksioomidele ja siin oleme palju lähemad. 6. jaos käsitletakse lähenemist sisemudeli teooria kaudu. 7. jaos käsitletakse lähenemist peaaegu suurte kardinaalsete aksioomide kaudu. Selle juhtumi esitlemiseks kõige sujuvamas vormis tutvustame tugevat loogikat Ω-loogikat. 4. jaos võetakse vastu konkureeriv aluspõhimõte, et CH-le pole lahendust. Seda seisukohta teravdatakse tõe üldise mitmetahulise kontseptsiooni osas ja seda vaadet seejärel uuritakse. 5. jaos jätkatakse ¬CH juhtumi hindamist, uurides paralleelselt CH juhtumit. Ülejäänud kahes osas käsitleme globaalset lähenemist uutele aksioomidele ja siin oleme palju lähemad. 6. jaos käsitletakse lähenemist sisemudeli teooria kaudu. 7. jaos käsitletakse lähenemist peaaegu suurte kardinaalsete aksioomide kaudu. Selle juhtumi esitlemiseks kõige sujuvamas vormis tutvustame tugevat loogikat Ω-loogikat. 4. jaos võetakse vastu konkureeriv aluspõhimõte, et CH-le pole lahendust. Seda seisukohta teravdatakse tõe üldise mitmetahulise kontseptsiooni osas ja seda vaadet seejärel uuritakse. 5. jaos jätkatakse ¬CH juhtumi hindamist, uurides paralleelselt CH juhtumit. Ülejäänud kahes osas käsitleme globaalset lähenemist uutele aksioomidele ja siin oleme palju lähemad. 6. jaos käsitletakse lähenemist sisemudeli teooria kaudu. 7. jaos käsitletakse lähenemist peaaegu suurte kardinaalsete aksioomide kaudu.5. jaos jätkatakse ¬CH juhtumi hindamist, uurides paralleelselt CH juhtumit. Ülejäänud kahes osas käsitleme globaalset lähenemist uutele aksioomidele ja siin oleme palju lähemad. 6. jaos käsitletakse lähenemist sisemudeli teooria kaudu. 7. jaos käsitletakse lähenemist peaaegu suurte kardinaalsete aksioomide kaudu.5. jaos jätkatakse ¬CH juhtumi hindamist, uurides paralleelselt CH juhtumit. Ülejäänud kahes osas käsitleme globaalset lähenemist uutele aksioomidele ja siin oleme palju lähemad. 6. jaos käsitletakse lähenemist sisemudeli teooria kaudu. 7. jaos käsitletakse lähenemist peaaegu suurte kardinaalsete aksioomide kaudu.

  • 1 Iseseisvus kardinali aritmeetikas

    • 1.1 Regulaarsed kardinalid
    • 1.2 Ainsad kardinalid
  • 2 Kontinuumi hüpoteesi määratletavad versioonid ja selle eitamine

    • 2.1 Kolm versiooni
    • 2.2 Programm Foreman-Magidor
  • 3 Juhtum ¬CH jaoks

    • 3,1 ℙ maksimaalselt
    • 3.2 Ω-loogika
    • 3.3 Juhtum
  • 4 Multiverse

    • 4.1 Mitmekesised vaated
    • 4.2 Üldine multiverse
    • 4.3 Arvamus ja üldine multiverse
    • 4.4 Kas on väljapääsu?
  • 5 Läbi vaadatud kohalik juhtum

    • 5.1 Juhtum ¬CH jaoks
    • 5.2 Paralleelne juhtum CH-le
    • 5.3 Hindamine
  • 6 Ülim sisemine mudel
  • 7 L (V λ + 1) struktuuriteooria
  • Bibliograafia
  • Akadeemilised tööriistad
  • Muud Interneti-ressursid
  • Seotud kirjed

1. Iseseisvus kardinali aritmeetikas

Selles osas käsitleme sõltumatuse tulemusi kardinaalses aritmeetikas. Esiteks käsitleme tavaliste kardinalide juhtumit, kus CH asub ja kus ZFC kontekstis määratakse väga vähe. Teiseks arutame kõikehõlmavuse huvides ainsuse kardinalide juhtumit, kus ZFC kontekstis saab kehtestada palju enamat.

1.1 Regulaarsed kardinalid

Lõpmatute kardinalide arvu liitmine ja korrutamine on triviaalne: lõpmatute kardinalide κ ja λ korral

κ + λ = κ ⋅ λ = max {κ, λ}.

Olukord muutub huvitavaks, kui pöörduda eksponenteerimise ja katseta arvutada λ lõpmatute kardinalide jaoks.

Püstitatud teooria alguses näitas Cantor, et iga kardinali κ

2 κ > κ.

2 n suuruse lõpliku n korral pole müsteerium. Esimene loomulik küsimus on see, kus alefihierarhias asub 2 0: kas see on ℵ 1, ℵ 2,…, ℵ 17 või midagi palju suuremat?

Kardinal 2 0 on oluline, kuna see on pidevuse suurus (reaalarvude kogum). Cantori kuulus pidevhüpotees (CH) on väide, et 2 0 = ℵ 1. See on üldistatud pideva hüpoteesi (GCH) erijuhtum, mis kinnitab, et kõigi α korral on 2 α = ℵ α + 1. GCH üks eeliseid on see, et see pakub lõpmatu kardinalide jaoks κ λ arvutamise probleemi täieliku lahenduse: Eeldades GCH, kui κ ≤ λ, siis κ λ = λ +; kui cf (κ) ≤ λ ≤ κ, siis κ λ = κ +; ja kui λ <cf (κ), siis κ λ = κ.

CH ja GCH osas tehti väga vähe edusamme. Tegelikult oli seatud teooria varasel ajastul ainus Cantori tulemusest suurem tulemus, mille tulemus oli 2 κ > κ (ja triviaalne tulemus, et kui κ ≤ λ, siis 2 κ ≤ 2 λ), siis oli Königi tulemus see, mis vrd (2 κ). > κ. Edusammude puudumise selgitasid sõltumatuse tulemused komplekti teoorias:

Teoreem 1.1 (Gödel 1938a, 1938b).
Oletame, et ZFC on järjekindel. Siis on ZFC + CH ja ZFC + GCH järjepidevad.

Selle tõestamiseks leiutas Gödel sisemudelite meetodi - näitas, et CH ja GCH hoitakse ZFC minimaalses sisemudelis L. Cohen täiendas seda tulemust siis:

Teoreem 1.2 (Cohen 1963).
Oletame, et ZFC on järjekindel. Siis on ZFC + ¬CH ja ZFC + ¬GCH järjepidevad.

Ta tegi seda, leiutas meetodi välimine mudelid ja mis näitab, et CH ebaõnnestunud üldine laiendamine V B V. Gödeli ja Coheni ühendatud tulemused näitavad seega, et eeldades ZFC püsivust, on põhimõtteliselt võimatu ZFC-s arveldada CH ega GCH.

1963. aasta sügisel valmis Easton pildi, näidates, et lõpmatute regulaarsete kardinalide κ jaoks on ZFC-s tõestatavad funktsiooni κ ↦ 2 κ ainsad piirangud triviaalne piirang ning Cantori ja Königi tulemused:

Teoreem 1.3 (Easton 1963).

Oletame, et ZFC on järjekindel. Oletame, et F on (määratletav klass) funktsioon, mis on defineeritud lõpmatutel korrapärastel kardinalidel nii, et

  1. kui κ ≤ λ, siis F (κ) ≤ F (λ),
  2. F (κ)> κ ja
  3. cf (F (κ))> κ.
Siis on ZFC + “kõigi lõpmatute korrapäraste kardinalide κ, 2 κ = F (κ) korral järjekindel.

Seega olid setteoreetikud tõuganud tavaliste kardinalide kardinaalset aritmeetikat nii kaugele, kui seda oli võimalik ZFC piirides suruda.

1.2 Ainsad kardinalid

Kardinaalse aritmeetika juhtum ainsuses kardinalidel on palju peenem. Enne järjepidevuse hüpoteesi jätkamist teeme pausi, et seda lühidalt arutada.

Üldiselt usuti, et nagu tavaliste kardinalide puhul, on funktsiooni κ ↦ 2 κ käitumine ZFC seadmisel suhteliselt piiramatu. Kuid siis tõestas Silver järgmist tähelepanuväärset tulemust: [3]

Teoreem 1.4 (hõbe 1974).
Kui ℵ δ on loendamatu kofiniteaalsuse ainsus kardinal, siis kui GCH hoiab alla ℵ δ, siis GCH hoiab ℵ δ.

Selgub, et (1977. aastal avaldatud Magidori sügava tulemuse järgi) võib GCH kõigepealt ebaõnnestuda ℵ ω juures (eeldades, et superkompaktne kardinal on järjekindel). Silveri teoreem näitab, et see ei saa kõigepealt nurjuda ℵ ω 1 juures ja see on ZFC-s tõestatav.

See tõstatab küsimuse, kas 2 δ suurust saab "kontrollida" nõrgema eeldusega, kui see, et ℵ δ on loendamatu kaasfinantsuse ainsuse kardinal, nii et GCH hoiab allpool ℵ δ. Looduslik hüpotees, mida tuleb arvestada, on see, et ℵ δ on loendamatu kofinaalsuse ainsus kardinal, mis on tugev piir kardinal, see tähendab, et kõigi α <ℵ δ, 2 α <ℵ δ korral. Aastal 1975 tõestasid Galvin ja Hajnal (muu hulgas), et selle nõrgema oletuse kohaselt on tõepoolest seotud:

Teoreem 1.5 (Galvin ja Hajnal 1975).

Kui ℵ δ on loendamatu kaasfinantsuse ainsus tugev kardinal, siis

2 δ <ℵ (| δ | cf (δ)) +.

Võimalik, et tegemist on hüppamisega, näitas Woodin (eeldades jällegi suuri kardinalid), et on võimalik, et kõigi κ, 2 κ = κ ++ korral. Ülaltoodud teoreem näitab, et ZFC-s on tõestatav, kui suur hüpe võib olla.

Järgmine küsimus on, kas sarnane olukord valitseb loendatava kaasfinantseerimise üksikute kardinalide puhul. 1978. aastal näitas Shelah, et see on tõepoolest nii. Ideede parandamiseks keskendugeme ℵ ω-le.

Teoreem 1.6 (Shelah 1978).

Kui ℵ ω on tugev kardinal, siis

2 ω <ℵ (2 0) +.

Selle tulemuse üks puudus on see, et köide on tundlik tegeliku suuruse 2 0 suhtes, mis võib olla ükskõik milline alla ℵ ω. Märkimisväärselt suutis Shelah seda hiljem oma pcf-i (võimalikud kaasinimesed) teooria arendamisega heastada. Selle teooria väga tulemuslik tulemus on järgmine:

Teoreem 1.7 (Shelah 1982).

Kui ℵ ω on tugeva piiri kardinal, siis (sõltumata 2 0 suurusest)

2 ω <ℵ ω 4.

Kokkuvõtlikult võib öelda, et kuigi pidevfunktsioonide funktsioon tavalistel kardinalidel on ZFC-s suhteliselt piiratud, piirab konstantsusfunktsiooni ainsuses kardinalides (tõenäoliselt ZFC-s) pidevfunktsiooni käitumine väiksematel kardinalitel märkimisväärselt.

Lisalugemine: Kardinaalsema aritmeetika kohta vaata Jech (2003). Ainsuse kardinalide ja pcf-teooria kohta leiate lisateavet Abraham & Magidor (2010) ja Holz, Steffens & Weitz (1999).

2. Kontinuumi hüpoteesi määratletavad versioonid ja selle eitamine

Naaskem tavaliste kardinalide pidevfunktsiooni juurde ja keskendugeme kõige lihtsamale juhtumile, suurusele 2 0. Üks Cantori algsest lähenemisviisist CH-le oli reaalarvude "lihtsate" komplektide uurimine (vt Hallett (1984), lk 3–5 ja § 2,3 punkt b). Üks esimesi tulemusi selles suunas on Cantor-Bendixsoni teoreem, et iga lõpmatu suletud komplekt on kas loendatav või sisaldab perfektset alamhulka, sel juhul on sellel sama kardinaalsus kui reaalide komplektil. Teisisõnu, CH hoiab (selles ravimvormis) käes, kui tähelepanu pöörata ainult suletud rearealadele. Üldiselt on küsimused „määratletavate” reaalarvude kohta paremini jälgitavad kui küsimused suvaliste reaalarvute komplektide kohta ja see soovitab vaadata pideva hüpoteesi määratletavaid versioone.

2.1 Kolm versiooni

Pideva hüpoteesi jaoks on kolm erinevat sõnastust - interpolatiivne versioon, hästi tellitav versioon ja surjection versioon. Need versioonid on ZFC-s kõik üksteisega võrdsed, kuid kehtestame määratletavuse piirangu ja sel juhul võib esineda huvitavaid erinevusi (meie arutelu järgneb Martinile (1976)). Seal on tõesti defineeritavuse mõistete hierarhia, ulatudes läbi Boreli hierarhia, projektiivse hierarhia, hierarhia L (ℝ) ja üldisemalt universaalselt Baire'i komplektide hierarhia - ja nii on need kolm üldist versiooni tõesti versioonide hierarhia, millest igaüks vastab määratletavuse hierarhia teatud tasemele (määratletavuse hierarhia arutelu leiate kande “Suured kardinalid ja määravus” §2.2.1 ja §4.6).

2.1.1 Interpolantne versioon

Esimene CH sõnastus on see, et puudub interpolant, see tähendab, et puudub lõpmatu reaalarvude komplekt A, nii et A kardinaalsus on rangelt naturaalarvude ja reaalarvude vahel. Defineeritavate versioonide saamiseks lihtsalt kinnitatakse, et “määratletavat” interpolanti pole olemas ja see viib määratletavate interpolatiivsete versioonide hierarhiani, sõltuvalt sellest, millist määratletavuse mõistet kasutatakse. Täpsemalt, antud punktiklassi Γ jaoks määratletavate reavaldkondade komplektide hierarhias kinnitab CH vastav määratletav interpolatiivne versioon, et Γ-l pole interpolanti.

Cantori-Bendixsoni teoreem näitab, et juhul, kui Γ on suletud komplektide punktklass, Γ-s ei ole interpolaatorit, kontrollides seega selle CH versiooni. Seda täiustas Suslin, kes näitas, et see CH versioon kehtib Γ kus Γ on Σ̰11 komplektide klass. ZFC-s ei saa palju kaugemale minna - tugevamate versioonide tõestamiseks tuleb teha tugevamad eeldused. Selgub, et selle saavutavad määratletava määravuse aksioomid ja suured kardinaalsed aksioomid. Näiteks näitavad Kechrise ja Martini tulemused, et kui Δ̰1 -determininatsioon kehtib, siis see CH-i versioon kehtib c1n + 1 komplektide punktiklassi jaoks. Läheme edasi, kui eeldada, et AD L (ℝ)siis CH see versioon kehtib kõigi reaalarvude komplektide korral, mis esinevad L (ℝ). Kuna need hüpoteesid tulenevad suurtest kardinaalsetest aksioomidest, on ka ühesugused, et tugevamad ja tugevamad suured kardinalide eeldused tagavad efektiivse pidevuse hüpoteesi selle versiooni tugevamad ja tugevamad versioonid. Tõepoolest, suured kardinaalsed aksioomid tähendavad, et see CH versioon kehtib kõigi rearealade komplektide kohta määratletavuse hierarhias, mida me kaalume; täpsemini, kui on olemas sobiv Woodini kardinalide klass, kehtib see CH versioon kõigi Baire reaalainete komplektide jaoks.

2.1.2 Hästi tellitav versioon

CH teine koostis väidab, et reaalainete iga korralik korraldus on vähem kui ℵ 2. Teatud punktiklassi Γ jaoks hierarhias kinnitab CH määratletav hästitellimisversioon, et iga well korraliku korralduse (kodeeritud komplekti) korralduse tüüp on väiksem kui ℵ 2.

Määratletava määramise aksioomid ja suured kardinaalsed aksioomid viitavad jällegi CH-i versioonile määratletavuse rikkamate mõistete osas. Näiteks kui AD L (ℝ) on käes, siis see CH versioon kehtib kõigi reaalarvude komplektide kohta L (ℝ). Ja kui on olemas sobiv Woodini kardinalide klass, kehtib see CH versioon kõigi universaalsete Baire'i komplektide kohta.

2.1.3 Surjection versioon

CH kolmandas versioonis kinnitatakse, et ei esine surumist ρ: ℝ → ℵ 2 või samaväärselt, et puudub eeltellimine pikkusega ℵ 2. Antud punktklassi Γ määratletavuse hierarhias kinnitab CH vastav surjeversioon, et sellist surje ρ: ℝ → ℵ 2 ei eksisteeri, nii et (ρ kood) on Γ.

Siin on olukord huvitavam. Määratletava määramise aksioomid ja suured kardinaalsed aksioomid mõjutavad seda versiooni, kuna need määravad kindlaks, kui pikad määratletavad eeltellimised võivad olla. Olgu δ̰1 n reaalaegade eeltellimiste pikkuste supremum ja Θ L (ℝ) oleks reaalide eeltellimuste pikkuste supremum, kus eeltellimine on L (ℝ) tähenduses määratletav. See on klassikaline tulemus, et δ̰11 = ℵ 1. Martin näitas, et δ̰12 ≤ ℵ 2 ja kui on olemas mõõdetav kardinal, siis δ̰13 ≤ ℵ 3. Kunen ja Martin näitasid ka PD korral δ̰14 ≤ ℵ 4 ja Jackson näitasid, et PD korral iga n <ω korral δ̰1 n <ℵ ω. Seega, kui eeldada, et Woodini kardinaale on lõpmata palju, peavad need piirid kinni. Pealegi püsivad piirid sõltumata suurusest 2 0. Muidugi on küsimus selles, kas neid piire saab parandada, et näidata, et eeltellimused on lühemad kui ℵ 2. Foreman ja Magidor algatasid selle loomiseks 1986. aastal programmi. Kõige üldisemas vormis püüdsid nad näidata, et suured kardinaalsed aksioomid tähendavad, et see CH versioon kehtib kõigi universaalsete Baire reaalainete komplektide kohta.

2.1.4 CH potentsiaalne mõju

Pange tähele, et ZFC kontekstis on kõik need kolm CH versiooni hierarhiat CH järjestikused lähendid ja piirväärtuse korral, kus Γ on kõigi rearealade komplektide punktiklass, on need samaväärsed CH-ga. Küsimus on selles, kas need lähendused pakuvad mingit teavet CH-ist endast.

On asümmeetria, millele Martin tähelepanu juhtis, nimelt et määratletav vastanäidis CH-le on tõeline vastunäide, sõltumata sellest, kui kaugele astub CH määratletavate versioonide kontrollimine, ei ole keegi CH ise puudutanud. Teisisõnu, määratletavuse lähenemisviis võib ümber lükata CH, kuid see ei suutnud seda tõestada.

Sellegipoolest võib väita, et ehkki määratletavuse lähenemisviis ei suutnud CH-d tõestada, võib see selle jaoks siiski mõnda tõendit pakkuda. Kahe esimese versiooni puhul teame nüüd, et CH kehtib kõigi määratletavate komplektide jaoks. Kas see tõendab CH? Martin tõi välja (enne kui kõik tulemused olid teada), et see on väga kaheldav, kuna igal juhul on tegemist ebatüüpiliste komplektidega. Näiteks esimeses versioonis turvatakse igal etapil CH määratletavat versiooni, näidates, et kõigil defineeritavusklassi komplektidel on täiuslik komplekti omadus; kuid sellised komplektid on ebatüüpilised, kuna eeldades vahelduvvoolu, on lihtne näidata, et on olemas komplekte, millel pole seda omadust. Teises versioonis näitab igas etapis üks tegelikult mitte ainult seda, et iga määratletavuse klassi kuuluva reareala korralik ordertype on alla ℵ 2, aga ka selle ordertype on väiksem kui less 1. Nii et ükski neist versioonidest ei valgusta tegelikult CH-d.

Kolmandal versioonil on selles osas tegelikult eelis, kuna mitte kõik komplektid, mida see käsitleb, pole ebatüüpilised. Näiteks, kuigi kõigi Σ̰11-komplektide pikkus on alla ℵ 1, on olemas Π̰11-komplektide pikkused ℵ 1. Muidugi võib selguda, et isegi kui Foreman-Magidori programm õnnestub, võivad komplektid osutuda teises mõttes ebatüüpilisteks - sel juhul heidab see CH-le vähe valgust. Huvitavam on aga võimalus, et erinevalt kahest esimesest versioonist annaks see tegelikult tegeliku vastanäite CH-le. See muidugi eeldaks Foreman-Magidori programmi läbikukkumist.

2.2 Programm Foreman-Magidor

Foreman-Magidori programmi eesmärk oli näidata, et suured kardinaalsed aksioomid tähendavad ka seda, et CH kolmas versioon toimus kõigi L (ℝ) komplektide ja üldisemalt kõigi universaalselt Baire'i komplektide korral. Teisisõnu, eesmärk oli näidata, et suured kardinaalsed aksioomid tähendavad, et univers L () ≤ ℵ 2 ja üldisemalt, et univers L (A,) ≤ ℵ 2 iga universaalse Baire-komplekti A kohta.

Motivatsiooni tuli tähistas tulemused Foreman, Magidor Seela kohta Martini suurim (MM), mis näitas, et eeldades suur kardinal aksioomid saab alati sundida saada järsk ideaali ℵ 2 ilma kokkuvarisemise ℵ 2 (vt Foreman, Magidor & Seela (1988)). Programm hõlmas kaheosalist strateegiat:

  1. Tugevdada selle tulemuse näidata, et eeldades suur kardinal aksioomid saab alati sundida saada küllastunud ideaali ℵ 2 ilma kokkuvarisemise ℵ 2.
  2. Näita, et sellise küllastunud ideaali olemasolu eeldab, et univers L () ≤ ℵ 2 ja üldiselt that L (A,) ≤ ℵ 2 iga universaalse Baire-komplekti A kohta.

See näitab, et show L () ≤ ℵ 2 ja üldiselt more L (A,)2 iga universaalse Baire-komplekti A korral. [4]

1991. aasta detsembris varjutas selle programmi lootusi järgmine tulemus.

Teoreem 2.1 (Woodin).
Oletame, et mittestatsionaarne ideaal ℵ 1-l on küllastunud ja et seal on mõõdetav kardinal. Siis δ̰12 = ℵ 2.

Asi on selles, et selle teoreemi hüpoteesi saab alati sundida eeldama suuri kardinali. Seega on võimalik, et Θ L () > ℵ 2 (tegelikult δ̰13> ℵ 2).

Kuhu läks programm valesti? Foremanil ja Magidoril oli lähenemine (B) ja lõpuks selgus, et (B) vastab tõele.

Teoreem 2.2 (Woodin).
Oletame, et on olemas õige klassi Woodin kardinalid ja et on küllastunud ideaali ℵ 2. Siis iga A ∈ Γ , Θ L (A,) ≤ ℵ 2 kohta.

Nii et häda on (A) -ga.

See illustreerib huvitava kontrasti efektiivse pidevuse hüpoteesi kolme versiooni vahel, nimelt et need võivad lahku minna. Kui suured kardinalid välistavad kahe esimese liigi määratletavad vastanäidised, ei saa nad välistada kolmanda laadi määratletavaid vastanäiteid. Kuid jällegi peame rõhutama, et nad ei suuda tõestada, et selliseid vastunäiteid on.

Kuid on ka oluline punkt: eeldades suuri kardinaalseid aksioome (AD L (ℝ) piisab), ehkki võib toota välimisi mudeleid, milles δ̰13> ℵ 2, pole praegu teada, kuidas toota välimisi mudeleid, kus δ̰13> ℵ 3 või isegi Θ L () > ℵ 3. Seega on avatud võimalus, et ZFC + AD L (ℝ) abil saab tõestada, et L ()3. Kui see nii oleks, järeldaks see, et kuigi suured kardinalid ei saa välistada CH määratletavat ebaõnnestumist, võivad nad välistada määratletava tõrke 2 0 = ℵ 2. See võib anda mõningase ülevaate pidevuse suurusest, rõhutades ℵ 2 kesksust.

Edasine lugemine: CH-i kolme efektiivse versiooni kohta lugege lähemalt Martin (1976); Foreman-Magidori programmi kohta leiate lisateavet Foreman & Magidor (1995) ja Woodini sissejuhatusest (1999).

3. Juhtum ¬CH jaoks

Ülaltoodud tulemused viisid Woodini tuvastada "kanooniline" mudel, milles CH ebaõnnestub ja see oli aluseks tema argumendile, et CH on vale. Jaos 3.1 kirjeldame mudelit ja lõigu ülejäänud osas tutvustame CH tõrke juhtumit. Jaos 3.2 tutvustame Ω-loogikat ja muid juhtumi koostamiseks vajalikke mõisteid. Jaos 3.3 tutvustame juhtumit.

3,1 ℙ maksimaalselt

Eesmärk on leida mudel, kus CH on vale ja mis on kanooniline selles mõttes, et selle teooriat ei saa muuta sundimisega suurte kardinalide juuresolekul. Taustmotivatsioon on järgmine: esiteks, me teame, et suurte kardinaalsete aksioomide olemasolul on teise astme aritmeetika teooria ja isegi kogu L (ℝ) teooria on seatud sundimisel muutumatu. Selle tähtsus on see, et see näitab, et meie peamisi sõltumatuse tehnikaid ei saa kasutada teise astme aritmeetika (või umbes L (ℝ)) küsimuste sõltumatuse tuvastamiseks suurte kardinalide juuresolekul. Teisekskogemus on näidanud, et kõnealused suured kardinaalsed aksioomid näivad vastavat kõigile peamistele teadaolevatele probleemidele, mis on seotud teise astme aritmeetika ja L (ℝ) -ga ning seatud sundvariandi teoreemid annavad täpse sisu väitele, et need aksioomid on „tegelikult täielikud”.[5]

Sellest järeldub, et kui ℙ on L () homogeenne osajärjestus, pärib üldlaiend L () L () üldise absoluutsuse. Woodin avastas, et selle funktsiooniga on väga eriline osaline järjekord ℙ max. Veelgi enam, mudel L () max rahuldab ZFC + ¬CH. Selle mudeli põhijooneks on see, et see on "maksimaalne" (või "küllastunud") lausete suhtes, mis on teatava keerukusega ja mida saab näidata järjekindlatena mudelisse seatud sundimise kaudu; Teisisõnu, kui neid lauseid saab hoida (sundides üle mudeli), siis nad mudelis püsivad. Selle täpsustamiseks peame tutvustama mõnda üsna tehnilist mõistet.

Komplektide universumi kihistumiseks on kaks viisi. Esimene neist on ⟨V α | α ∈ Sees⟩, teine on ⟨H (κ) | κ ∈ Card⟩, kus H (κ) on kõigi nende komplektide kogum, mille kardinaalsus on väiksem kui κ ja mille liikmete kardinaalsus on väiksem kui κ ja mille liikmetel on kardinaalsus väiksem kui κ jne. Näiteks H (ω) = V ω ja struktuuride H (ω 1) ja V ω + 1 teooriadon vastastikku tõlgendatavad. Viimane struktuur on teise järgu aritmeetika struktuur ja nagu eespool mainitud, annavad suured kardinaalsed aksioomid meile selle struktuuri “tõhusalt täieliku” mõistmise. Me tahaksime olla universumi suuremate ja suuremate fragmentide suhtes samas olukorras ja küsimus on selles, kas peaksime lähtuma esimesest või teisest kihistumisest.

Teine kihistumine on potentsiaalselt peeneteraline. Eeldades, et CH-l on, et H (ω 2) ja V ω + 2 teooriad on vastastikku tõlgendatavad ja eeldades, et GCH suuremad ja suuremad fragmendid, jätkub see vastavus ülespoole. Kuid kui CH on vale, siis on struktuur H (ω 2) vähem rikas kui struktuur V ω 2. Sel juhul hõivab viimane struktuur täielikku kolmanda järgu aritmeetikat, samas kui esimene hõivab ainult väikest fragmenti kolmanda järgu aritmeetikast, kuid on sellegipoolest piisavalt rikas CH-i väljendamiseks. Arvestades seda, on proovides aru saada komplektide universumist, töötades seda läbi tasandite kaupa, mõistlik kasutada potentsiaalselt peenemat kihistumist.

Meie järgmine samm on seega mõista H (ω 2). Tegelikult selgub, et saame pisut rohkem aru ja see on mõnevõrra tehniline. Me asjaga struktuuriga ⟨H (ω 2), ∈, I NS A G ⟩ ⊧ φ, kus ma NS on mittestatsionaarse sobib suurepäraselt ω 1 ja A- G on tõlgendamise (kanooniline esitus) reareaalide komplekt L (ℝ). Üksikasjad pole olulised ja lugejal palutakse mõelda H (ω 2) koos mõne „lisaasjaga” ja mitte muretseda lisa asju puudutavate detailide pärast. [6]

Nüüd saame öelda välja peamise tulemuse:

Teoreem 3.1 (Woodin 1999).

Oletame, et ZFC ja kas Woodini kardinalide klass on õige. Oletame, et A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ) ja φ on Π 2- laused (laiendatud keeles koos kahe täiendava predikaadiga) ja seal on seatud sunniviisiline laiend V [G] nii, et

⟨H (ω 2), ∈, I NS A G ⟩ ⊧ φ

(kus A G on A tõlgendus V-s [G]). Siis

L () max ⊧ “⟨H (ω 2), ∈, I NS, A⟩ ⊧ φ”.

Põhimõtteid on kaks: esiteks on L () max teooria „tegelikult täielik” selles mõttes, et see on seatud sundimisel muutumatu. Teiseks on mudel L () max “maksimaalne” (või “küllastunud”) selles mõttes, et see rahuldab kõiki Π 2- tundeid (vastava struktuuri kohta), mis võimalusel säilivad (selles mõttes, et neid saab näidata olema järjekindel, muutes sunniviisilise seadmise).

Selle struktuuri teooriast võiks aksioomise abil aru saada. Asjakohane aksioom on järgmine:

Definitsioon 3.2 (Woodin 1999).
Aksioom (∗): AD L (ℝ) hoiab kinni ja L (P (ω 1)) on L (ℝ) ℙ max -geenne pikendus.

Lõpuks lahendab see aksioom CH:

Teoreem 3.3 (Woodin 1999).
Oletame (∗). Siis 2 ω = ℵ 2.

3.2 Ω-loogika

Nüüd sõnastame ülaltoodud tulemused ümber tugeva loogika alusel. Kasutame täielikult ära suuri kardinaalseid aksioome ja selles olukorras huvitab meid loogika, mis on „hästi käituv“selles mõttes, et küsimus, mis tähendab, mis pole radikaalselt sõltumatu. Näiteks on hästi teada, et CH on ekspresseeritav täieliku teise järgu loogikas. Sellest järeldub, et suurte kardinalide juuresolekul saab alati kasutada komplekteeritud sundimist, et pöörata ümber teise järgu loogika väidetava loogilise kehtivuse tõeväärtus. Siiski on tugevaid loogikalaadseid ω-loogikaid ja β-loogikaid, millel seda omadust pole - nad käituvad hästi selles mõttes, et suurte kardinaalsete aksioomide olemasolul on küsimus, mis tähendab seda, mida komplekt ei saa muuta sundimine. Tutvustame väga tugevat loogikat, millel on see omadus-loogika. Tegelikult,meie poolt pakutavat loogikat saab iseloomustada kui selle funktsiooni tugevaimat loogikat (tugeva loogika edasiseks arutlemiseks ja selle tulemuse täpseks selgitamiseks vaadake Koellner (2010)).

3.2.1 Ω-loogika

Mõiste 3.4.
Oletame, et T on määratud teooria keeles loendatav teooria ja φ on lause. Siis

T ⊧ Ω φ

kui kõigi Boole'i algebrate B ja kõigi ordinaalide α korral

kui VB α ⊧ T, siis VB α ⊧ φ.

Me ütleme, et lause φ on satisf- rahuldatav, kui on olemas ordinaalne α ja täielik Boole'i algebra B, nii et VB α ⊧ φ, ja me ütleme, et φ on Ω- kehtiv, kui ∅ ⊧ Ω φ. Ülaltoodud teoreem ütleb, et (meie taustal põhinevate eelduste kohaselt) on väide „φ rahuldatav” üldiselt muutumatu ja Ω kehtivuse osas on see lihtsalt järgmine:

Teoreem 3.5 (Woodin 1999).
Oletame, et ZFC ja kas Woodini kardinalide klass on õige. Oletame, et T on määratud teooria keeles loendatav teooria ja φ on lause. Siis kõigi Boole'i algebrate B jaoks

T ⊧ Ω φ kui V B ⊧ “T ⊧ Ω φ”.

Seega on see loogika kindel, kuna küsimus, mis vihjab sellele, mis on seatud sundimisel muutumatu.

3.2.2 Arvamus

Vastavalt semantilisele seosele ⊧ Ω on olemas kvaasüntaktiline tõestatav seos ⊢ Ω. Tõendid on teatavad kindlad reaalkomplektid (üldiselt Baire-komplektid) ja katsestruktuurid on mudelid, mis on nende tõendite abil suletud. Täpsed mõisted "sulgemine" ja "tõestamine" on mõnevõrra tehnilised ja seetõttu anname neist vaikides edasi. [7]

Nagu semantiline seos, on ka see peaaegu süntaktiline tõesuhe suurte kardinaalsete eelduste korral kindel:

Teoreem 3.6 (Woodin 1999).
Oletame, et ZFC ja kas Woodini kardinalide klass on õige. Oletame, et T on loendatud teooria setteooria keeles, φ on lause ja B on täielik Boole algebra. Siis

T ⊢ Ω φ iff V B ⊧ 'T ⊢ Ω φ'.

Seega on meil semantiline tagajärjesuhe ja kvaasisüntaktiline tõesuhe, mis mõlemad on kardinaalsete aksioomide eeldusel kindlad. On loomulik küsida, kas nende suhete õigsuse ja täielikkuse teoreemid kehtivad. Teadaolevalt vastab kõlavuse teoreem:

Teoreem 3.7 (Woodin 1999).
Oletame, et ZFC. Oletame, et T on loendatud teooria setteooria keeles ja φ on lause. Kui T ⊢ Ω φ, siis T ⊧ Ω φ.

On lahtine, kas vastav täielikkuse teoreem kehtib. Arvamus is on lihtsalt väide, et see:

Arvamus 3.8Arvamus).
Oletame, et ZFC ja kas Woodini kardinalide klass on õige. Siis iga lause φ jaoks

∅ φ Ω φ iff ∅ ⊢ Ω φ.

Vajame selle oletuse tugevat vormi, mida kutsume tugevaks je oletuseks. See on mõnevõrra tehniline ja seetõttu anname sellest vaikides üle. [8]

3.2.3 Täielikud teooriad

Tuletage meelde, et suurte kardinaalsete aksioomide üheks põhiliseks plussiks on see, et need „lahendavad” teise astme aritmeetika teooria (ja tegelikult ka L (ℝ) ja enama teooria) selles mõttes, et suurte kardinalide juuresolekul ei saa kasutada L (ℝ) kohta käivate väidete suhtes iseseisvuse kehtestamise sunnimeetodit. See sunniviisilise püsivuse mõiste mängis võtmerolli jaotises 3.1. Nüüd saame seda mõistet rase-loogika järgi ümber sõnastada.

Määratlus 3.9.
Teooria T on lausekogumi jaoks complete- täielik, kui iga φ ∈ Γ, T ⊧ Ω φ või T ⊧ Ω ¬φ jaoks.

L (ℝ) teooria invariantsi seatud sundimise korral saab nüüd ümber sõnastada järgmiselt:

Teoreem 3.10 (Woodin 1999).
Oletame, et ZFC ja kas Woodini kardinalide klass on õige. Siis on ZFC vormis „L (ℝ) ⊧ φ” lausete kogumiseks Ω -komplektne.

Kahjuks järeldub Levy ja Solovay töö tulemustest, et traditsioonilised suured kardinaalsed aksioomid ei anna Σ-21 tasemel Ω-terviklikke teooriaid, kuna alati saab kasutada “väikest” (ja seega suurt kardinaalset säilitavat) sundimist. muuta CH tõeväärtust.

Teoreem 3.11.
Oletame, et L on tavaline suur kardinaalne aksioom. Siis pole ZFC + L Σ-21 jaoks Ω -komplektne.

3.3 Juhtum

Sellegipoolest, kui keegi täiendab suuri kardinaalseid aksioome, on Ω-täielikud teooriad tulemas. See on CH-vastase juhtumi keskpunkt.

Teoreem 3.12 (Woodin).
Oletame, et Woodini kardinalide klass on õige ja et tugeva Ω oletus kehtib.
  1. On olemas selline aksioom A, et

    1. ZFC + A on Ω -rahuldav ja
    2. ZFC + A on H -komplektne struktuuri H (ω 2) jaoks.
  2. Igal sellisel A aksioomil on omadus, mis

    ZFC + A ⊧ Ω 'H (ω 2) ⊧ ¬CH'.

Ümbersõnastagem seda järgmiselt: iga vastava (1) korral laske

T A = {φ | ZFC + A ⊧ Ω 'H (ω 2) ⊧ ¬φ'}.

Teoreem ütleb, et kui on olemas sobiv Woodini kardinalide klass ja je Arvamus peab paika, siis on olemas (mittetriviaalsed) Ω-täielikud teooriad T A2) ja kõik sellised teooriad sisaldavad ¬CH.

On loomulik küsida, kas Ω-täielike teooriate T A vahel on suurem nõusolek. Ideaalis oleks lihtsalt üks. Hiljutine tulemus (tuginedes teoreemile 5.5) näitab, et kui selline teooria on olemas, siis on selliseid teooriaid palju.

Teoreem 3.13 (Koellner ja Woodin 2009).
Oletame, et Woodini kardinalide klass on olemas. Oletame, et A on selline aksioom, et

i. ZFC + A on Ω -rahuldav ja

ii. ZFC + A on H -komplektne struktuuri H (ω 2) jaoks.

Siis on olemas selline aksioom B, et

ma '. ZFC + B on Ω -rahuldav ja

ii '. ZFC + B on H -komplektne struktuuri H (ω 2) korral

ja T ≠ T B.

Kuidas siis valida nende teooriate hulgast? Woodini töö selles valdkonnas ulatub teoreemist 5.1 kaugemale. Lisaks teoreemi 5.1 (1) rahuldava aksioomi eraldamisele (eeldades Ω-rahuldatavust) eraldab ta ka väga erilise aksioomi, nimelt aksioomi (∗) („tähe“), mida juba mainiti.

Seda aksioomi saab sõnastada Ω-loogika (tõestatavuse mõiste) alusel:

Teoreem 3.14 (Woodin).
Oletame, et ZFC ja kas Woodini kardinalide klass on õige. Siis on järgmised samaväärsed:
  1. (∗).
  2. Iga Π 2- pädevuse φ jaoks keeles, milles struktuur on koostatud

    ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

    kui

    ZFC + “⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ”

    on siis Ω -järjepidev

    ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Sellest järeldub, et teoorias 5.1 osalevate erinevate teooriate T A vahel paistab silma üks: (∗) antud teooria T (∗). See teooria maksimeerib struktuuri Π 2 -teooriat ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩.

Jätkuv hüpotees selles teoorias nurjub. Veelgi enam, maksimaalses teoorias T (∗), mis on antud (∗), on kontinuumi suurus ℵ 2. [9]

Kokkuvõtteks: eeldades tugevat je oletust, on olemas H (ω 2) “hea” teooria ja kõik sellised teooriad viitavad sellele, et CH ebaõnnestub. Veelgi enam, (jällegi eeldades tugevat je oletust) on olemas maksimaalne selline teooria ja selles teoorias 2 0 = ℵ 2.

Täiendav lugemine: ℙ max matemaatika kohta vaata Woodin (1999). Ω-loogika sissejuhatuse kohta vt Bagaria, Castells & Larson (2006). Kokkusobimatute Ω-täielike teooriate kohta leiate lisateavet Koellner & Woodin (2009). CH-vastase kohtuasja kohta vt Woodin (2001a, b, 2005a, b).

4. Multiverse

Ülaltoodud CH tõrke juhtum on tugevaim teadaolev kohalik juhtum aksioomide korral, mis lahendavad CH. Selles ja järgmises osas vahetame külgi ja kaalume pluralistlikke argumente selle kohta, et CH-l pole vastust (selles jaotises), ja selle kohta, et CH-ga on võrdselt hea juhtum (järgmises jaotises). Kahes viimases osas uurime optimistlikke globaalseid stsenaariume, mis annavad lootust probleemi lahendada.

Pluralist väidab, et sõltumatuse tulemused lahendavad otsustamata küsimused tõhusalt, näidates, et neil pole vastust. Üks võimalus sellise vaate jaoks alusraamistiku loomiseks on mitmekeelsus. Selles vaates pole mitte ükski kindla teooria universum, vaid pigem seaduslikest kandidaatidest koosnev hulk, millest mõned võivad teatud eesmärkidel teistele eelistada, kuid millest ühtegi ei saa pidada “tõeliseks” universumiks. Multiverse tõe kontseptsioon on seisukoht, et kindla teooria avaldust saab tõeliseks lihtsustajaks öelda ainult siis, kui see vastab tõele kõigis multiversiooni universumites. Selle diskussiooni jaoks peame ütlema, et lause on multiverse kontseptsiooni kohaselt määramatu, kui see pole multtiverse kontseptsiooni kohaselt tõene ega vale. Kui radikaalne selline seisukoht on, sõltub multiversi kontseptsiooni laiusest.

4.1 Mitmekesised vaated

Pluralist on üldiselt matemaatika teatavate valdkondade mittenimurist. Näiteks võib range finitist olla mitte pluralist PA kohta, vaid pluralist kindla teooria kohta ning ZFC kohta mittenimulaator ja mitmete kardinaalsete aksioomide ja väidete nagu CH kohta pluralist.

On olemas radikaalse pluralismi vorm, mis propageerib pluralismi kõigi matemaatika valdkondade osas. Sellest seisukohast lähtudes on iga järjepidev teooria õigustatud kandidaat ja selliste teooriate vastavad mudelid on õigustatud kandidaadid matemaatika valdkonnas. Nimetagem seda kõige laiemaks mitmeversiooniliseks vaateks. Selle arvamuse sõnastamine on keeruline. Selle võib välja tuua järgmiselt: Alustuseks tuleb valida mitmesuguste mudelite arutamiseks taustateooria, mis viib keeruka lahenduseni. Näiteks, vastavalt laiapõhjalisele mitmetahulisele kontseptsioonile, kuna PA ei suuda Con (PA) tõestada (teise mittetäielikkuse teoreemiga, eeldades, et PA on järjekindel), on olemas PA + ¬Con (PA) mudeleid ja need mudelid on õigustatud kandidaadid, mis see tähendab, et nad on universumid laias multiverssis. Selle järelduse juurde jõudmiseks peab (taustteoorias) olema võimalik Con (PA) tõestada (kuna see eeldus on antud juhul vajalik teise puudulikkuse teoreemi rakendamiseks). Seega vastavad taustteooria vaatenurgast, mille alusel väideti, et ülaltoodud mudelid on õigustatud kandidaadid, vastavad kõnealused mudelid valele Σ01-lausele, nimelt ¬Con (PA). Lühidalt öeldes - metatasandil ja objektitasandil toimuva vahel puudub harmoonia. Lühidalt öeldes - metatasandil ja objektitasandil toimuva vahel puudub harmoonia. Lühidalt öeldes - metatasandil ja objektitasandil toimuva vahel puudub harmoonia.

Ainus väljapääs sellest raskusest näib olevat vaatenurga - iga multiverse kontseptsiooni liigenduse - ajutine käsitlemine ja selle vajutamisel omaks võtta taustteooriaga seotud pluralism. Teisisõnu, inimene peaks võtma vastu multiversiooni multiversiaalse kontseptsiooni, multtiverse kontseptsiooni multtiverse kontseptsiooni ja nii edasi lõpmatuseni. Sellest järeldub, et sellist seisukohta ei saa kunagi täielikult liigendada - iga kord, kui proovitakse sõnastada laia mitmeversioonilise kontseptsiooni, tuleb kasutada taustteooriat, kuid kuna selle taustteooria kohta on pluralist, siis see laia lähenemisviisi kasutamine kontseptsiooni artikuleerimisel eeldab ärge tehke kontseptsiooni täielikku õiglust. Seda positsiooni on seetõttu keeruline sõnastada. Kindlasti võib võtta pluralistliku hoiaku ja proovida liikuda eesmärgi poole või näidata seda, milleks ta kavatseb, astudes ajutiselt kindlaks konkreetsele taustateooriale, kuid propageerides siis selle paljususe pluralismi. Vaade on seega midagi „liikuvat sihtmärki“. Me edastame selle vaate vaikides ja keskendume vaadetele, mida saab liigendada alusraamistikus.

Sellest lähtuvalt vaatame vaatenurki, mis hõlmavad mitmuselisust antud matemaatika osas ja ruumilistel kaalutlustel. Kuna see on sissekanne püstitatud teooriasse, läbime pikad debatid range finitismi, finitismi, predikativismi üle ja alustame seisukohtadega, mis hõlmavad ZFC-ga seotud mitmekülgsust.

Olgu lai multiverss (ZFC baasil) kõigi ZFC mudelite kollektsioon. Laialdane mitmeversiooniline tõe kontseptsioon (põhineb ZFC-l) on lihtsalt seisukoht, et kindla teooria väide on tõeline lihtsustaja, kui see on ZFC-s tõestatav. Selles vaates klassifitseeritakse väide Con (ZFC) ja muud otsustamata Π01-avaldused määramatuteks. Sellel seisukohal on seega raskusi, mis on paralleelsed ülalmainitud radikaalse pluralismiga.

See motiveerib üleminekut vaadetele, mis kitsendavad universaali klassi multiversioonis, kasutades tugevat loogikat. Näiteks võib piirduda universumitega, mis on ω-mudelid, β-mudelid (st hästi põhjendatud) jne. Vaate korral, kus võetakse ω-mudelid, liigitatakse väide Con (ZFC) tõeseks (kuigi see on tundlik) taustteooria juurde), kuid väide PM (kõik projektiivsed komplektid on Lebesgue'iga mõõdetavad) liigitatakse määramatuks.

Neile, keda veenavad argumendid (mida käsitletakse lõigus "Suured kardinalid ja määravus") suurte kardinaalsete aksioomide ja määratletava määravuse aksioomide osas, on isegi need mitmeharulised kontseptsioonid liiga nõrgad. Me järgime seda marsruuti. Ülejäänud osas käsitleme suurte kardinaalsete aksioomide ja määratletava määratavuse aksioomide mitte pluralismi ja keskendume CH küsimusele.

4.2 Üldine multiverse

Üldise multiversiooni motiiv on lubada suurt kardinaalset aksioomi ja määratletavat määravust, kuid eitada, et sellised väited nagu CH omavad kindlaksmääratud tõeväärtust. Taustteooria täpsustamiseks võtame ZFC + “On olemas õige Woodini kardinalide klass” ja tuletagem meelde, et see suur kardinaalne eeldus kindlustab määratletava määravuse aksioomid nagu PD ja AD L (ℝ).

Olgu üldine multiverse ? V-i sulgemise tulemus geneeriliste laiendite ja geneeriliste täiustuste korral. Üks viis selle vormistamiseks on võtta väline vaatepunkt ja alustada loendatavast siirdemudelist M. Üldine multiversioon, mis põhineb M-l, on sel juhul väikseim komplekt ? M, nii et M ∈ ? M ja iga loendatavate transitiivsete mudelite paari (N, N [G]) jaoks, nii et N ⊧ ZFC ja G ⊆ ℙ on N-geneerilised mõnes osalise telli ℙ ∈ N, kui üks neist on N või N [G] on ? M seejärel mõlemad N ja N [G] on ? M.

Laske üldisel multiversioonilisel tõe kontseptsioonil olla seisukoht, et väide on tõene lihtsustaja, kui see vastab tõele üldise multiversiooni kõigis universumites. Kutsume sellist väidet üldiseks mitmeharuliseks tõeks. Väidet peetakse üldise multiverse kontseptsiooni kohaselt määramatuks, kui see pole geneetilise multiverse kontseptsiooni kohaselt tõene ega vale. Näiteks, kui arvestada meie suurte kardinaalsete eeldustega, peab selline vaade PM (ja PD ja AD L (ℝ)) tõeseks, kuid peab CH määramatuks.

4.3 Arvamus ja üldine multiverse

Kas üldine mitmeharuline tõe kontseptsioon on rakendatav? Vastus sellele küsimusele on tihedalt seotud Ω-loogika teemaga. Põhiline seos üldise multiverse tõe ja Ω-loogika vahel on järgmine teoreem:

Teoreem 4.1 (Woodin).
Oletame, et ZFC ja kas Woodini kardinalide klass on õige. Siis on iga Π 2- avalduse equivalent jaoks järgmised:
  1. φ on üldine mitmeharuline tõde.
  2. φ on Ω -kehtiv.

Nüüd tuletage meelde, et teoreemi 3.5 järgi on background-kehtivus meie taustal põhinevate eelduste kohaselt üldiselt muutumatu. Siit järeldub, et arvestades meie taustteooriat, on üldise mitmeharulise tõe mõiste Π 2- avalduste osas kindel. Täpsemalt, 2- avalduste puhul on lause „φ määramatu” iseenesest määratav vastavalt üldisele mitmeversioonilisele kontseptsioonile. Selles mõttes ei ole tõe kontseptsioon "ennast õõnestav" ja seda ei saadeta allapoole suunatud spiraalis, kus tuleb toetada multiversioonide mitmeversiooni. Nii et see läbib esimese testi. Kas see läbib keerukama testi, sõltub depends Arvamus.

Arvamusel on sügavad tagajärjed tõe üldisele mitmeharulisele kontseptsioonile. Lase

? Ω = {φ | ∅ ⊧ Ω φ}

ja määratava kardinali κ korral laske

? Ω (H (κ +)) = {φ | ZFC ⊧ Ω “H (κ +) ⊧ φ”},

kui meenutada, et H (κ +) on päriliku kardinaalsuse komplektide kogum, mis on väiksem kui κ +. Seega, eeldades, et ZFC ja kus on olemas õige Woodini kardinalide klass, võrdub komplekt ? Ω Turingi hulgaga Π 2 üldise mitmeharulise tõe hulgaga ja komplekt ? Ω (H (κ +)) on täpselt geneerilise mitmeharulise komplekt. H (κ +) tõed.

Je Arvamuse bearing kande kirjeldamiseks tõe üldises-multiversioonilises kontseptsioonis tutvustame kahte transtsendentsuspõhimõtet, mis piiravad seatud teooria mis tahes tõeset kontseptsiooni tõele - tõepiirang ja määratletavuse piirang.

Definitsioon 4.2 (tõe piirang).
Mis tahes teoreetiline tõese mitmetahuline kontseptsioon komplekti teoorias peab olema selline, et Π 2- tõed (vastavalt sellele kontseptsioonile) komplektide universumis ei oleks H (κ) tõestes (selle kontseptsiooni kohaselt) rekursiivsed ühegi täpsustatava osas. kardinal.

See piirang on nende komplektiteooria põhimõtete - eriti peegeldamispõhimõtete - vaimus, mille eesmärk on tabada eelteoreetilist ideed, et komplektide universum on nii rikas, et seda ei saa "altpoolt kirjeldada"; täpsemini, ta väidab, et iga tõeline kontseptsioon tõest peab austama ideed, et kogumite universum on nii rikas, et tõde (või isegi lihtsalt Π 2- tõde) ei saa mingis täpsustatavas osas kirjeldada. (Pange tähele, et Tarski tõe määratlematuse teoreemi järgi vastab tõepiirang triviaalselt tõese standardmõistetele püstitatud teoorias, mis nõuab, et multiversioon sisaldaks ühte elementi, nimelt V.)

Tõe määratletavuse osas on ka sellega seotud kitsendusi. Täpsustatava kardinaalse κ jaoks on hulga Y ⊆ ω defineeritav H (κ +) väärtuses kogu multiverssis, kui Y on defineeritav mitme multikeele iga universumi struktuuris H (κ +) (võimalik, et valemite abil, mis sõltuvad emakeelsest universumist).

Definitsioon 4.3 (määratletavuse piirang).
Mis tahes teooria sujuv mitmetahuline tõe kontseptsioon peab olema selline, et Π 2- tõed (vastavalt sellele kontseptsioonile) komplektide universumis on defineeritavad H (κ) kogu multiverss-universumis mis tahes täpsustatava kardinaalse κ jaoks.

Pange jälle tähele, et Tarski tõe määratlematuse teoreemi järgi vastab määratletavuse piirang triviaalselt degenereerunud multiverse kontseptsioonile, mis võtab multtiverse sisse üksiku elemendi V. (Pange tähele ka seda, et kui muudetakse määratletavuse piirangut, lisades nõude, et määratlus oleks ühtlane kogu mitmeversioonis, siis see piirang oleks automaatselt täidetud.)

Arvamus bearing üldmõiste-mitmeversioonilise tõe kontseptsiooni püsivuse kohta on esitatud kahes järgmises teesis:

Teoreem 4.4 (Woodin).
Oletame, et ZFC ja kas Woodini kardinalide klass on õige. Oletame, et je Arvamus kehtib. Siis on ? Ω rekursiivne ? Ω (H (δ + 0)), kus δ 0 on kõige vähem Woodini kardinal.
Teoreem 4.5 (Woodin).
Oletame, et ZFC ja kas Woodini kardinalide klass on õige. Oletame, et je Arvamus kehtib. Siis ? coi on defineeritavad H (δ + 0), kus δ 0 on vähim Woodin kardinal.

Teisisõnu, kui on olemas sobiv Woodini kardinalide klass ja kui je Arvamus peab paika, rikub üldine tõesisene mitmemõisteline kontseptsioon tõepõhistust (δ 0) ja määratletavuse piirangut (δ 0).

Ülaltoodud tulemustest on tegelikult teravamad versioonid, mis hõlmavad H (δ + 0) asemel H (c +).

Teoreem 4.6 (Woodin).
Oletame, et ZFC ja kas Woodini kardinalide klass on õige. Oletame, et je Arvamus kehtib. Siis on ? Ω rekursiivne ? Ω (H (c +)).
Teoreem 4.7 (Woodin).
Oletame, et ZFC ja kas Woodini kardinalide klass on õige. Oletame, et je Arvamus peab paika ja AD + Arvamus kehtib. Siis ? coi on defineeritavad H (c +).

Teisisõnu, kui on olemas sobiv Woodini kardinalide klass ja kui je Arvamus peab paika, rikub üldine-mitmeversiooniline tõe kontseptsioon tõepõhistust kolmanda järgu aritmeetika tasemel ja kui lisaks sellele on ka AD + oletused peab, siis rikub üldine-multiverstiline tõe kontseptsioon määratletavuse piirangut kolmanda astme aritmeetika tasemel.

4.4 Kas on väljapääsu?

Näib olevat neli viisi, kuidas üldise multiverse propageerija võib ülaltoodud kriitikale vastu seista.

Esiteks võiks väita, et je Arvamus on sama problemaatiline kui CH ja seega nagu CH, tuleb seda vastavalt tõe üldisele-multiversele kontseptsioonile pidada määramatuks. Selle lähenemisviisi raskused on järgmised:

Teoreem 4.8 (Woodin).
Oletame, et ZFC ja kas Woodini kardinalide klass on õige. Siis kõigi Boole'i algebra ? korral

V ⊧ Ω - oletus, kui V ? ⊧ - oletus.

Seega, vastupidiselt CH-le, ei saa je oletust ZFC + -st sõltumatult näidata: “Woodini kardinalide klass on olemas” seatud sundimise teel. Tõe üldise mitmemõõtmelise kontseptsiooni osas võime punkti öelda nii: kuigi tõe üldine-multiverstiline kontseptsioon peab CH määramatuks, ei pea see Ω oletust määramatuks. Nii et ülaltoodud vastus ei ole tõe üldise-multiverse kontseptsiooni pooldajale kättesaadav. Selle kontseptsiooni pooldaja peab juba je oletust määravaks.

Teiseks võiks kinnitada, et je Arvamus on määrav, kuid võib väita, et see on vale. On mitmeid viise, kuidas seda teha, kuid see ei vähenda ülaltoodud väidet. Põhjus on järgmine: Alustuseks on tihedalt seotud Σ 2 -väide, mille võib ülaltoodud argumentides asendada je oletusega. See on väide, et je Arvamus on (mittetriviaalselt) Ω-rahuldav, see tähendab väide: Multiversioonis on olemas ordinaalne α ja universum V ', nii et

V ' α ⊧ ZFC + "Woodini kardinalide klass on olemas"

ja

V ' α ⊧ "Arvamus".

See Σ 2- väide on seatud sunniviisil muutumatu, mistõttu peab ta määravaks määrama üldise mitmetahulise tõevaate järgijaid. Pealegi läbivad ülaltoodud peamised argumendid selle Ω 2- väite, mitte je oletuse. Teise vastuse võtja peaks seega ka väitma, et see väide on vale. Kuid selle väite tõelevastavuse kohta on piisavalt tõendeid. Põhjus on see, et known 2 kohta pole teada ühtegi näidet-väide, mis on suurte kardinaalsete aksioomide suhtes seatud sundimisel muutumatu, mida suurte kardinaalsete aksioomidega ei saa lahendada. (Selline väide oleks absoluutselt vaieldamatu avalduse kandidaat.) Seega on mõistlik eeldada, et see väide lahendatakse suurte kardinaalsete aksioomide abil. Kuid sisemudeli teooria viimased edusammud - eriti Woodini (2010) - näitavad, et ükski suur kardinaalne aksioom ei saa seda väidet ümber lükata. Kõigi kokku panemine: On väga tõenäoline, et see väide vastab tõele; nii et see reageerimisliin pole paljutõotav.

Kolmandaks võib tagasi lükata kas tõe kitsenduse või määratletavuse piirangu. Probleem on selles, et kui tõe kitsendus tagasi lükata, siis on sellel seisukohal (eeldades oletust Ω oletust) Π 2 tõde seatud teoorias vähendatav selles mõttes, et tõestatakse tõe redutseeritavust H-s (δ 0) (või eeldades tugevat oletust)., H (c +)). Ja kui lükata ümber määratletavuse piirang, siis selle vaate puhul (eeldades oletust je oletust) Π 2 tõde on teoorias vähendatav tões määratletavuse mõttes H-s (δ 0) (või eeldades tugevat je oletust, H (c) +)). Mõlemal juhul on vähendamine pinges mitte pluralismi aktsepteerimisega seoses ZFC + taustteooriaga + „Woodini kardinalide klass on olemas”.

Neljandaks võiks võtta omaks kriitika, lükata tagasi üldise tõese mitmemõttelise kontseptsiooni ja tunnistada, et H (δ + 0) (või H (c +) kohta on mõned väited, millega antakse lisaks AD + oletustele), mis on järgmised: tõeline lihtsustaja, kuid ei vasta tõele geneerilise-multiverse tähenduses, ja hoolivad sellest hoolimata endiselt sellest, et CH on määramatu. Raskuseks on see, et iga selline lause φ on kvalitatiivselt täpselt nagu CH selles mõttes, et seda saab sundida pidama ja sundima nurjuma. Selle lähenemisviisi propageerija jaoks on väljakutse muuta üldist-multiverset tõe kontseptsiooni nii, et see loetaks deter määratuks ja samas loendaks CH määramatuks.

Kokkuvõtlikult: on tõendeid, et ainus väljapääs on neljas väljapääs ja see paneb koorma tagasi pluralistile - pluralist peab välja pakkuma üldise multiversiooni muudetud versiooni.

Edasine lugemine: Lisateavet Ω-loogika ja geneerilise multiversuse vahelise seose kohta ning geneerilise multiverse ülaltoodud kriitikat leiate Woodinist (2011a). Sisemudeli teooria hiljutiste tulemuste kandmise kohta Ω Arvamuse oleku kohta vt Woodin (2010).

5. Läbi vaadatud kohalik juhtum

Vaatame nüüd teise võimaluse, kuidas võiks seista vastu kohalikele juhtumitele CH ebaõnnestumise korral. See hõlmab CH-i paralleelset juhtumit. Jaotises 5.1 vaatleme ¬CH juhtumi põhijooni, et võrrelda seda paralleelse juhtumiga CH puhul. Jaos 5.2 tutvustame paralleelset juhtumit CH jaoks. Jaotises 5.3 hindame võrdlust.

5.1 Juhtum ¬CH jaoks

Tuletame meelde, et jaotises 3.3 kirjeldatud juhul on kaks põhietappi. Esimene samm hõlmab Ω-täielikkust (ja see annab ¬CH) ja teine samm hõlmab maksimaalsust (ja see annab tugevama 2 0 = ℵ 2). Võrdluse hõlbustamiseks kordame siin järgmisi funktsioone:

Esimene samm põhineb järgmisel tulemusel:

Teoreem 5.1 (Woodin).
Oletame, et Woodini kardinalide klass on õige ja et tugeva Ω oletus kehtib.
  1. On olemas selline aksioom A, et

    1. ZFC + A on Ω -rahuldav ja
    2. ZFC + A on H -komplektne struktuuri H (ω 2) jaoks.
  2. Igal sellisel A aksioomil on omadus, mis

    ZFC + A ⊧ Ω “H (ω 2) ⊧ ¬CH”.

Ümbersõnastagem seda järgmiselt: iga vastava (1) korral laske

T A = {φ | ZFC + A ⊧ Ω “H (ω 2) ⊧ ¬φ”}.

Teoreem ütleb, et kui on olemas nõuetekohane klassi Woodin cardinalsi ja Strong Ω hüpotees omab siis on (mittetriviaalse) Ω-complete teooriaid T H (ω 2) ning kõik sellised teooriad sisaldada ¬CH. Teisisõnu, nendel eeldustel on olemas “hea” teooria ja kõik “head” teooriad tähendavad ¬CH.

Teine samm algab küsimusega, kas Ω-täielike teooriate T A vahel on suurem nõusolek. Ideaalis oleks lihtsalt üks. Kuid see pole nii.

Teoreem 5.2 (Koellner ja Woodin 1999).
Oletame, et Woodini kardinalide klass on olemas. Oletame, et A on selline aksioom, et

i. ZFC + A on Ω -rahuldav ja

ii. ZFC + A on H -komplektne struktuuri H (ω 2) jaoks.

Siis on olemas selline aksioom B, et

ma '. ZFC + B on Ω -rahuldav ja

ii '. ZFC + B on H -komplektne struktuuri H (ω 2) korral

ja T ≠ T B.

See tõstatab küsimuse, kuidas valida nende teooriate hulgast? Selgub, et T A hulgas on olemas maksimaalne teooria ja selle annab aksioom (∗).

Teoreem 5.3 (Woodin).
Oletame, et ZFC ja kas Woodini kardinalide klass on õige. Siis on järgmised samaväärsed:
  1. (∗).
  2. Iga Π 2- pädevuse φ jaoks keeles, milles struktuur on koostatud

    ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

    kui

    ZFC + “⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ”

    on siis Ω -järjepidev

    ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Niisiis, teoorias 5.1 osalevate erinevate teooriate T A vahel paistab silma üks: (∗) antud teooria T (∗). See teooria maksimeerib struktuuri Π 2 -teooriat ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. Põhiline tulemus on see selles maksimaalses teoorias

2 0 = ℵ 2.

5.2 Paralleelne juhtum CH-le

CH paralleelsel juhtumil on ka kaks sammu, esimene hõlmab Ω-täielikkust ja teine maksimaalsust.

Esimese sammu esimene tulemus on järgmine:

Teoreem 5.4 (Woodin 1985).
Oletame, et ZFC ja kas on olemas sobiv mõõdetavate Woodini kardinalide klass. Siis on ZFC + CH Ω -21 jaoks täielik.

Lisaks on CH kuni Ω-ekvivalentsus ainulaadne Σ21-lause, mis on Σ21-jaoks täielik; see tähendab, et kui T A on ZFC + A antud Ω-täielik teooria, kus A on Σ21, siis kõik sellised T A on CH -ekvivalentsed TCH -ga ja seega (triviaalselt) kõik sellised T A sisaldavad CH-d. Teisisõnu, on olemas “hea” teooria ja kõik “head” teooriad viitavad CH-le.

Esimese sammu lõpuleviimiseks peame kindlaks tegema, kas see tulemus on kindel. Võib juhtuda, et kui arvestada järgmist taset, siis Σ22 (või edasised tasemed, näiteks kolmanda järgu aritmeetika) CH enam pildi osa pole, see tähendab, et võib-olla tähendavad suured kardinalid, et on olemas selline aksioom A, et ZFC + A on Σ22 jaoks complete-täielik (või kaugemale ulatudes kogu kolmanda järgu aritmeetika) ja veel pole kõigil sellistel A seotud T A, mis sisaldavad CH. Esimese sammu kindlustamiseks peame selle välistama.

Kõige optimistlikum stsenaarium selles suunas on järgmine: Stsenaariumi kohaselt on olemas suur kardinaalne aksioom L ja aksioomid A → selliselt, et ZFC + L + A → on third-täielik kõigi kolmanda astme aritmeetika jaoks ja kõik sellised teooriad on Ω -ekvivalentsed ja tähendavad CH. Minnes kaugemale, võib-olla on komplektide universumi iga täpsustatava fragmendi V λ jaoks olemas suur kardinaalne aksioom L ja aksioomid A →, nii et ZFC + L + A → on V-täielik kogu V λ teooria jaoks ja pealegi sellised teooriad on Ω-ekvivalentsed ja viitavad CH-le. Kui see nii oleks, tähendaks see, et iga sellise λ jaoks on ainulaadne-täielik pilt V λ-stja meil oleks ainulaadne Ω-täielik arusaam komplektide universumi suvaliselt suurtest fragmentidest. See annaks tugeva aluse uutele aksioomidele, mis täidavad ZFC ja suurte kardinaalaksioomide aksioome.

Kahjuks see optimistlik stsenaarium ebaõnnestub: kui eeldada ühe sellise teooria olemasolu, võib konstrueerida teise, mis erineb CH-st:

Teoreem 5.5 (Koellner ja Woodin 2009).
Oletame, et ZFC ja kas Woodini kardinalide klass on õige. Oletame, et V λ on universumi täpsustatav fragment (mis on piisavalt suur) ja oletame, et on olemas suur kardinaalaksioom L ja aksioomid A →, nii et

ZFC + L + A → on Th (V λ) jaoks complete-täielik.

Siis on olemas aksioomid B → sellised, et

ZFC + L + B → on Th (V λ) jaoks complete-täielik

ja esimene teooria Ω lihtsustab CH-d ainult siis, kui teine teooria Ω-lihtsustab ¬CH.

See jätab meile endiselt olemasolu küsimuse ja sellele küsimusele on vastus tundlik je Arvamus ja AD + Arvamus:

Teoreem 5.6 (Woodin).
Oletame, et Woodini kardinalide klass on olemas ja je Arvamus peab paika. Siis pole sellist rekursiivset teooriat A →, et ZFC + A → on V δ 0 +1 teooria jaoks Ω -täielik, kus δ 0 on kõige vähem Woodini kardinal.

Tegelikult peab tugevama oletuse korral stsenaarium ebaõnnestuma palju varasemal tasemel.

Teoreem 5.7 (Woodin).
Oletame, et Woodini kardinalide klass on olemas ja je Arvamus peab paika. Oletame, et AD + oletused kehtivad. Siis pole sellist rekursiivset teooriat A →, et ZFC + A → on Ω-teooria jaoks Ω -täielik.

Lahtine on, kas a22 tasemel võib olla selline teooria. Arvatakse, et ZFC + ◇ on Σ22 jaoks täielik (eeldades suuri kardinaalseid aksioome).

Oletagem, et sellele vastatakse positiivselt ja pöördugem tagasi ainulaadsuse küsimuse juurde. Iga sellise aksioomi A korral olgu T A FC22-teooria, arvutatud ZFC + A abil log-loogikas. Unikaalsuse küsimus küsib lihtsalt, kas T A on ainulaadne.

Teoreem 5.8 (Koellner ja Woodin 2009).
Oletame, et Woodini kardinalide klass on olemas. Oletame, et A on selline aksioom, et

i. ZFC + A on Ω -rahuldav ja

ii. ZFC + A on com -22 jaoks täielik.

Siis on olemas selline aksioom B, et

ma '. ZFC + B on Ω -rahuldav ja

ii '. ZFC + B on Σ -22 jaoks täielik

ja T ≠ T B.

See on paralleel teoreemiga 5.2.

Paralleeli lõpuleviimiseks oleks vaja, et CH oleks kõigi T A hulgas. Seda ei teata. Kuid see on mõistlik oletus.

Arvamus 5.9.
Oletame, et suured kardinaalsed aksioomid.
  1. On olemas Σ22 aksioom A, näiteks

    1. ZFC + A on Ω-rahuldatav ja
    2. ZFC + A on Σ22 jaoks complete-täielik.
  2. Igal sellisel ax22 aksioomil A on omadus, mis

    ZFC + A ⊧ Ω CH.

Kui see oletus peaks paika, oleks see teooria 5.1 tõeline analoog. See lõpetaks paralleeli esimese sammuga.

Samuti on paralleel teise astmega. Tuletame meelde, et eelmise lõigu teise sammuna oli meil nii, et kuigi erinevad T A ei olnud nõus, sisaldasid nad kõik ¬CH ja pealegi paistab nende seast silma üks, nimelt (∗) antud teooria, kuna see teooria maksimeerib struktuuri Π 2 -teooriat ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. CH praeguses kontekstis on meil jälle (eeldades oletust), et kuigi T Aei nõustu, need kõik sisaldavad CH. Selgub, et jällegi on nende hulgast üks, mis paistab silma, nimelt maksimaalne. Kuna on teada (Woodini 1985. aasta tulemus), et kui leidub sobiv mõõdetavate Woodini kardinalide klass, on olemas sundlaiend, mis rahuldab kõiki Σ22 lauset φ, nii et ZFC + CH + φ on Ω-rahuldatav (vt Ketchersid, Larson ja Zapletal (2010)). Sellest järeldub, et kui olemasolu küsimusele antakse positiivne vastus A-ga, mis on is22, siis peab T A olema see maksimaalse Σ22 teooria ja järelikult peavad kõik T A nõustuma, kui A on is22. Niisiis, eeldusel, et on olemas T A, kus A on Σ22, siis, kuigi mitte kõik T A leppige kokku (kui A on suvaline) on üks, mis paistab silma, nimelt see, mis on maksimaalne Σ22 lause jaoks.

Seega, kui ülaltoodud oletused kehtivad, siis juhul, kui CH on paralleelne thatCH-ga, võtab H (place 2) teooria alles nüüd Σ22.

5.3 Hindamine

Kui eeldada, et oletused peavad olema CH-paralleelide juhtumid ¬CH-ga, siis alles nüüd Σ22 asendab H (ω 2) teooriat: Taustal põhinevate eelduste all on meil:

    1. on selliseid A, et ZFC + A on H-i jaoks complete-täielik (ω 2)
    2. iga sellise A jaoks sisaldab seotud T A ¬CH ja
    3. seal on T A, mis on maksimaalne, nimelt T (∗) ja see teooria sisaldab 2 0 = ℵ 2.
    1. seal on Σ22-aksioomid A, nii et ZFC + A on Σ-22 jaoks complete-täielik
    2. iga sellise A jaoks sisaldab seotud T A CH ja
    3. seal on T A, mis on maksimaalne.

Kaks olukorda on maksimaalsuse osas paralleelsed, kuid Ω-täielikkuse taseme osas on esimene tugevam. Sest esimesel juhul me ei ole lihtsalt saada Ω-täielikkust seoses Π 2 teooria H (ω 2) (koos täiendava predikaadid), pigem saame Ω-täielikkust seoses kõik H (ω 2). See on vaieldamatult argument ¬CH juhtumi kasuks, isegi oletades oletust.

Kuid on ka tugevam külg. Sisemudeliteooriast (mida käsitleme järgmises osas) on tõendeid selle kohta, et oletused on tegelikult valed. Kui see nii osutub, rikub see paralleeli, tugevdades juhtumit ¬CH.

Sellele võib siiski vastu astuda järgmiselt: ¬CH puhul on kõrgem higher-täielikkuse aste tõesti illusoorne, kuna see on artefakt sellest, et (∗) kohaselt on H (ω 2) teooria tegelikult vastastikku tõlgendatav H-ga (ω 1) (Woodini sügava tulemuse järgi). Veelgi enam, see viimane asjaolu on vastuolus punktis 4.3 käsitletud transtsendentsuse põhimõtete mõttega. Nendele põhimõtetele tugineti argumendis, mille kohaselt CH-l pole vastust. Seega, kui kogu tolm lahendab Woodini tehtud töö tegeliku impordi CH-ga (nii et see argument käib), ei tähenda see, et CH oleks vale, vaid pigem sellele, et CH-l on tõenäoliselt vastus.

Tundub õiglane öelda, et praeguses etapis on CH-i lahendamise kohalike lähenemisviiside staatus pisut rahulik. Sel põhjusel keskendume selle sissekande ülejäänud osas üldistele lähenemisviisidele CH lahendamisel. Vaatleme väga lühidalt kahte sellist lähenemist - lähenemist sisemudeli teooria kaudu ja lähenemist kvaasisuurte kardinaalsete aksioomide kaudu.

6. Ülim sisemine mudel

Sisemudeli teooria eesmärk on toota "L-sarnased" mudelid, mis sisaldavad suuri kardinaalseid aksioome. Iga suure kardinaalse aksioomi Φ kohta, mis sisemise mudeli teooriaga on saavutatud, on üks aksioomi kujul V = L Φ. Sellel aksioomil on pluss, et (nagu ka lihtsimal juhul V = L) pakub see L Φ (mis eeldusel on V) puudutavatele küsimustele „tõhusalt täieliku” lahenduse. Kahjuks selgub, et aksioom V = L Φ ei ühildu tugevamate suurte kardinaalsete aksioomidega Φ '. Sel põhjusel ei ole seda vormi aksioome kunagi peetud uute aksioomide usaldusväärseteks kandidaatideks.

Kuid sisemudeli teooria hiljutised arengud (tänu Woodinile) näitavad, et kõik muutub ülivõimsa kardinali tasemel. Need arengud näitavad, et kui on olemas sisemudel N, mis „pärib” ülitäpse kardinali V-st (viisil, mida võiks eeldada, arvestades sisemudeli teooria trajektoori), siis on sellel kaks märkimisväärset tagajärge: esiteks, N on lähedane V-le (näiteks mõttes, et piisavalt suurte ainsuse kardinalide λ korral arvutab N õigesti λ +). Teiseks pärib N kõik teadaolevad suured kardinalid, mis eksisteerivad V-s. Seega, vastupidiselt seni välja töötatud sisemudelitele, pakuks superkompakti tasemel sisemudel aksioomi, mida tugevamate suurte kardinaalsete eeldustega ei saaks ümber lükata.

Muidugi on küsimus selles, kas sellel tasemel võib olla L-tüüpi mudel (mudel, mis annab „tegelikult täieliku” aksioomi). On põhjust arvata, et nii saab. Nüüd on olemas kandidaatmudel L Ω, mis annab aksioomi V = L Ω, millel on järgmised omadused: esiteks, V = L Ω on “tegelikult täielik”. Teiseks, V = L Ω ühildub kõigi suurte kardinaalsete aksioomidega. Seega oleks selle stsenaariumi korral lõplikuks teooriaks (avatud) teooria ZFC + V = L Ω + LCA, kus LCA on skeem, mis tähistab „suuri kardinaalseid aksioome“. Suured kardinaalsed aksioomid hõlmavad Gödeli iseseisvust ja aksioomi V = L Ωjäädvustab ülejäänud iseseisvuse juhtumid. See teooria viitaks CH-le ja lahendaks ülejäänud otsustamata väited. Iseseisvus ei jää enam probleemiks.

Selgub aga, et leidub ka teisi kandidaat-aksioome, millel on need omadused, ja nii ilmub taas pluralismi spekter. Näiteks on aksioomid V = L Ω S ja V = L Ω (∗). Need aksioomid oleksid ka „efektiivselt täielikud” ja ühilduvad kõigi suurte kardinaalsete aksioomidega. Kuid nad lahendaksid erinevaid küsimusi erinevalt kui aksioom V = L Ω. Näiteks aksioom V = L Ω (∗) tähendaks ¬CH. Kuidas saab siis nende vahel otsustada?

Edasine lugemine: Sissejuhatus sisemudeli teooriasse vt Mitchell (2010) ja Steel (2010). Lisateavet hiljutiste arengute kohta ühe superkompakti tasemel ja kaugemal leiate Woodinist (2010).

7. L (V λ + 1) struktuuri teooria

See viib meid teise globaalse lähenemisviisi juurde, mis lubab valida õige aksioomi V = L Ω, V = L Ω S, V = L Ω (∗) ja nende variantide hulgast. See lähenemisviis põhineb tähelepanuväärsel analoogial L (ℝ) struktuuriteooria eeldusel AD L (ℝ) ja L (V λ + 1) struktuuriteooria vahel eeldusel, et L on elementaarset manustamist (V λ + 1) enda sisse, kriitilise punktiga alla λ. See kinnistav eeldus on tugevaim suur kardinaalne aksioom, mis kirjanduses ilmub.

L (ℝ) ja L (V λ + 1) analoogia põhineb vaatlusel, et L (() on lihtsalt L (V ω + 1). Seega λ on of analoog, λ + on ω 1 analoog jne. Näitena paralleele struktuuri teooria L (ℝ) alusel AD L (ℝ) ja struktuuri teooria L (V λ + 1) all kinnistades aksioomi, olgem mainida, et esimesel juhul ω 1 on mõõdetav kardinal L (ℝ) ja teisel juhul ω 1 analoog - nimelt λ + - on mõõdetav kardinal L (V λ + 1)). Selle tulemuse tingib Woodin ja see on vaid üks näide paljude tema töös sisalduvate paralleelide näidetest.

Nüüd on AD L (ℝ) all palju teavet L (ℝ) struktuuriteooria kohta. Nagu me eespool märkisime, on see aksioom L (ℝ) kohta käivate küsimuste osas tegelikult „täielik”. Seevastu kinnistamise aksioom üksi ei ole piisav, et järeldada, et L (V λ + 1) omab struktuuriteooriat, mis on täiesti paralleelne L (ℝ) omaga AD L (ℝ). Juba rikkaliku paralleeli olemasolu on aga tõendusmaterjal paralleeli laienemise kohta ja manustamisaksioomi saame täiendada, lisades mõned võtmekomponendid. Kui keegi seda teeb, juhtub midagi märkimisväärset: täiendavad aksioomid muutuvad habrasteks. See tähendab, et neil on võimalus kustutada sõltumatus ja pakkuda mitte-triviaalset teavet V λ + 1 kohta. Näiteks võivad need täiendavad aksioomid lahendada CH ja palju muud.

L (V λ + 1) struktuuriteooria võimaluste uurimise keerukus on see, et meil pole olnud sobivaid läätsi, mille kaudu seda vaadata. Probleem on selles, et mudel L (V λ + 1) sisaldab suurt osa universumist - nimelt L (V λ + 1) - ja selle struktuuri teooria on radikaalselt alahinnatud. Eespool käsitletud tulemused pakuvad meile sobivaid läätsi. Võib uurida L (V λ + 1) struktuuriteooriat lõplike sisemudelite, näiteks L Ω, L Ω S, L Ω (∗) ja nende variantide kontekstis. Asi on selles, et need mudelid mahutavad manustava aksioomi ja igaühe sees on võimalik arvutada L (V λ + 1) struktuuriteooria.

See annab võimaluse valida õige aksioom V = L Ω, V = L Ω S, V = L Ω (∗) ja nende variantide hulgast. Vaadatakse lihtsalt iga mudeli L (V λ + 1) (kus kinnistava aksioom kehtib) ja kontrollitakse, milline on L (ℝ) struktuuriteooria tõeline analoog eeldusel, et AD L (ℝ). See on juba teada, et teatud tükki struktuuri teooria ei saa hoida L Ω. Kuid on lahtine, kas nad suudavad L Ω S-s vastu pidada.

Vaatleme ühte sellist (väga optimistlikku) stsenaariumi: L (ℝ) struktuuriteooria tõeline analoog AD L (ℝ) korral L V S L (V λ + 1), kuid mitte ühegi selle variandi korral. Pealegi on see struktuuriteooria V λ + 1 teooria jaoks „tõhusalt täielik”. Eeldades, et manustatava aksioomi korral on olemas sobiv klass λ, annab see V efektiivselt täieliku teooria. Ja tähelepanuväärselt on selle teooria osa selles, et V peab olema L Ω S. See (ilmselt väga optimistlik) stsenaarium oleks väga tugev näide aksioomidest, mis lahendavad kõik otsustamata väited.

Sellele konkreetsele stsenaariumile ei tohiks liiga palju kaalu panna. See on lihtsalt üks paljudest. Asi on selles, et meil on nüüd võimalus kirjutada üles kindlate küsimuste loend, millel on järgmised omadused: Esiteks on selle loendi küsimustele vastused - sõltumatus pole küsimus. Teiseks, kui vastused lähenevad, on üks kindel tõendusmaterjal uute aksioomide kohta, mis lahendavad otsustamata avaldused (ja seega mitte pluralismi komplektide universumi kohta); kui vastused varieeruvad, on tõendusmaterjal selle kohta, et need väited on "täiesti otsustamatud" ja see tugevdab pluralismi. Sel viisil antakse absoluutse otsustamatuse ja pluralismi küsimustele matemaatiline veojõud.

Edasine lugemine: Lisateavet L (V λ + 1) struktuuriteooria ja määramise paralleeli kohta leiate Woodinist (2011b).

Bibliograafia

  • Abraham, U. ja M. Magidor, 2010, “Kardinaalne aritmeetika”, Foreman ja Kanamori 2010.
  • Bagaria, J., N. Castells ja P. Larson, 2006, An-loogika praimer, J. Bagaria ja S. Todorcevic (toim), kogumiteooria, suundumused matemaatikas, Birkhäuser, Basel, lk 1 –28.
  • Cohen, P., 1963, “Hüpoteesi I järjepidevus”, USA Sciemcesi riikliku akadeemia toimetised, 50: 1143–48.
  • Foreman, M. ja A. Kanamori, 2010, Set Theory käsiraamat, Springer-Verlag.
  • Foreman, M. ja M. Magidor, 1995, “Suured kardinalid ja määratletavad vastanäited pidevhüpoteesile”, Annals of Pure and Applied Logic 76: 47–97.
  • Foreman, M., M. Magidor ja S. Shelah, 1988, “Martini maksimum, küllastunud ideaalid ja mitteregulaarsed ultrafiltrid. I osa,”Matemaatika aastaraamat 127: 1–47.
  • Gödel, K., 1938a. „Valitud aksioomi ja üldistatud pideva hüpoteesi järjepidevus,” USA Riikliku Teaduste Akadeemia toimetised, 24: 556–7.
  • Gödel, K., 1938b. „Üldise pidevushüpoteesi järjekindlus on tõestatud,” USA Sciemcesi Rahvusliku Akadeemia toimetised, 25: 220–4.
  • Hallett, M., 1984, Kantori komplektiteooria ja suuruse piiramine, Vol. 10 Oxfordi loogikajuhendist, Oxford University Press.
  • Holz, M., K. Steffens ja E. Weitz, 1999, Sissejuhatus kardinaalsesse aritmeetikasse, Birkhäuser Advanced Texts, Birkhäuser Verlag, Basel.
  • Jech, TJ, 2003, komplektiteooria: kolmas aastatuhande väljaanne, muudetud ja laiendatud, Springer-Verlag, Berliin.
  • Ketchesid, R., P. Larson ja J. Zapletal, 2010, “Statsionaarse torni ja Woodini Sigma-2-2 maksimumteoreemi regulaarne manustamine.” Journal of Symbolic Logic 75 (2): 711–727.
  • Koellner, P., 2010, “Esimese ja teise astme tugev loogika”, Sümboolse loogika bülletään 16 (1): 1–36.
  • Koellner, P. ja WH Woodin, 2009, “Kokkusobimatud Ω-täielikud teooriad”, The Journal of Symbolic Logic 74 (4).
  • Martin, DA, 1976, “Hilberti esimene probleem: pidev hüpotees”, F. Browder (toim), Hilberti probleemidest tulenevad matemaatilised arengud, kd. 28 of Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, American Mathematical Society, Providence, lk 81–92.
  • Mitchell, W., 2010, “Algus sisemudeli teooriast”, Foreman ja Kanamori 2010.
  • Steel, JR, 2010, “Sisemudeli teooria ülevaade”, Foreman ja Kanamori 2010.
  • Woodin, WH, 1999, Määramise aksioom, sundides aksioome ja nonstationary Ideal, kd. Loogika ja selle rakenduste sarja Gruyter seeria, Gruyter, Berliin.
  • –––, 2001a, “Jätkuv hüpotees, I osa”, American Mathematical Society teated 48 (6): 567–576.
  • –––, 2001b, “Jätkuv hüpotees, II osa,” American Mathematical Society teated 48 (7): 681–690.
  • –––, 2005a, „Hüpoteesi pidevus“, autorid R. Cori, A. Razborov, S. Todorĉević ja C. Wood (toim), Logic Colloquium 2000, Vol. Loogika loengumärkuste artikkel 19, Sümboolse loogika liit, lk 143–197.
  • –––, 2005b, „Teooria seadmine pärast Russelli: teekond tagasi Eedeni”, G. Linkis (toim), sada aastat Russelli paradoksi: matemaatika, loogika, filosoofia, kd. Loogika ja selle rakenduste sarja Gruuster seeria 6, Walter De Gruyter Inc, lk 29–47.
  • –––, 2010, „Sobivad laiendusmudelid I”, Journal of Mathematical Logic 10 (1–2): 101–339.
  • –––, 2011a, „Kontinuumi hüpotees, komplektide geneeriline-multiversioon ja Ω-oletused”, autorid J. Kennedy ja R. Kossak (toim), Set Theory, Aritmetic and Mathematics of the Mathematics: Theorems, Philosophies, Vol. 36 loenguteadet logikast, Cambridge University Press.
  • –––, 2011b, „Sobivad laiendusmudelid II“, Journal of Mathematical Logic 11 (2): 115–436.

Akadeemilised tööriistad

sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Kuidas seda sissekannet tsiteerida.
sep mehe ikoon
sep mehe ikoon
Vaadake selle sissekande PDF-versiooni SEP-i sõprade veebisaidil.
info ikoon
info ikoon
Otsige seda sisenemisteema Interneti-filosoofia ontoloogiaprojektilt (InPhO).
phil paberite ikoon
phil paberite ikoon
Selle kande täiustatud bibliograafia PhilPapersis koos linkidega selle andmebaasi.

Muud Interneti-ressursid

[Palun võtke soovitustega ühendust autoriga.]